Salvagente Realizzato con LATEX · Salvagente Glossario breve ed incompleto per lo studente di Ingegneria Idraulica in preda alla disperazione... Realizzato con LATEX Riccardo Mura

Salvagente

Glossario breve ed incompleto per lo studente diIngegneria Idraulica in preda alla

disperazione...

Realizzato con LATEX

Riccardo Mura

riccardo [email protected]

mailto:[email protected]

Salvagente

These are things I find enchanting and miraculous.I don’t have to be at the Grand Canyonto appreciate the way the world works,

I can see that in reflections of light in my bathroom.

— John D. Carmack

Copyright © 2016 Riccardo Mura

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Realizzato con LATEX 2 Riccardo Mura

Indice

1 A 7

1.1 Airy, Teoria lineare di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Analisi dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 B 11

2.1 Bulk modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Bulk viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 C 13

3.1 Cerchi di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Compressibilita, (Modulo di) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Continuita per i fluidi (Equazione di) . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 D 21

4.1 Decomposizione in somma diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Derivate deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Differenze centrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Differenze finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 F 23

5.1 Formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 Formulazione debole di problemi differenziali . . . . . . . . . . 23

5.2.1 Derivate deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Formule di Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3.2 Formule chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3.3 Formule aperte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3.4 Applicazione alle ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 I 33

6.1 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.2 Impulso (Teorema dello) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.3 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

Salvagente INDICE

6.4 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 L 37

7.1 Lavori virtuali (Principio dei) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.1.1 Il PLV per i telai piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 M 41

8.1 Mariotte (Formula di) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.2 Matrici - Categorie fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.2.1 Matrici simmetriche e matrici hermitiane . . . . . . . . 42

8.2.2 Matrici ortogonali e matrici unitarie . . . . . . . . . . . 42

8.3 Metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.4 Metodo di Eulero-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.5 Metodo di Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.6 Metodo di Milne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.7 Metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.7.1 Derivazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.7.2 Derivazione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.7.3 Convergenza del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.7.4 Estensione multidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 O 47

9.1 Omeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9.2 Onda lineare di Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10 P 49

10.1 Polinomio interpolante di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10.2 Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10.2.1 Proiezioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10.3 Prove soniche ed ultrasoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10.3.1 Tipi di onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10.3.2 Parametri fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10.3.3 Profondita di danneggiamento . . . . . . . . . . . . . . 56

10.3.4 Profondita di fessurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10.3.5 Determinazione del modulo elastico dinamico . . . . . . 60

11 S 63

11.1 Schema alle differenze centrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.1.1 Primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.1.2 Secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.1.3 Schema generale di applicazione (1D) . . . . . . . . . . 63

11.1.4 Esempio 2D: Equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . 65

11.2 Schemi alle differenze finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

11.3 Seconda viscosita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


Salvagente INDICE

11.4 Simbolo di Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11.5 Simbolo di Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11.6 Somma diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11.7 Spazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11.7.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11.7.2 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.7.3 Spazio affine canonicamente associato ad uno spazio vet-toriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.8 Spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.8.1 Rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.8.2 Connessione, separazione, spazi di Hausdorff . . . . . . 72

11.9 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.9.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.9.2 Spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.9.3 Spazio di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.9.4 Spazio Hermitiano (o prehilbertiano) . . . . . . . . . . . 73

11.9.5 Spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.9.6 Spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.9.7 Spazi di Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.9.8 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.9.9 Disuguaglianza di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.10Splitting additivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

12 T 81

12.1 Teoria dell’onda lineare di Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

12.1.1 Ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

12.1.2 Impostazione dell’equazione reggente . . . . . . . . . . . 83

12.1.3 Profili d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12.1.4 Relazione di dispersione lineare e celerita di fase . . . . 87

12.1.5 Descrizione cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

13 V 93

13.1 Varieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

13.1.1 Varieta topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

13.1.2 Carte locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

13.1.3 Carte compatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13.1.4 Strutture differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13.1.5 Varieta differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13.2 Velocita del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13.2.1 Velocita del suono nei fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . 96

13.2.2 Velocita del suono nei solidi elastici . . . . . . . . . . . . 99

13.3 Viscosita di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


Salvagente INDICE

Bibliografia 104


A

1.1 Airy, Teoria lineare di

V. Teoria dell’onda lineare di Airy

1.2 Analisi dimensionale

Le leggi fisiche devono garantire la propria validita universalmente. Su cosasi debba intendere per universalita in questo contesto, si potrebbe dibattere alungo, cionondimeno e lecito affermare che essa non potrebbe essere realizzataper una legge, che dipendesse dal particolare sistema di unita di misura nelquale viene espressa.

Alle grandezze misurabili descriventi i sistemi fisici si associano delle di-mensioni, le quali sono univoche, ed una descrizione quantitativa, derivantedalla particolare unita di misura scelta. L’intensita di una forza e misura-ta secondo unita differenti nel Sistema Internazionale ed in quello Imperiale,tuttavia le dimensioni rimangono quelle di una massa per una lunghezza sulquadrato di un tempo (MLT−2).

Banalmente, la prima volta che si sente parlare di analisi dimensionale negliinsegnamenti delle discipline tecniche e scientifiche, e quando si apprende lanecessita, per un’equazione esprimente una realta fisica, di essere combinazionelineare di termini tra loro dimensionalmente equivalenti. Ma questo non e cheun ingenuo alone impresso da un campo di riflessione1 ben piu profondamente

1L’autore del presente lavoro si avvale della liberta di esprimere con tale formula, il concet-to che fa corrispondere alla seguente definizione: ’Insieme di elementi, tra loro interconnessi,i quali assumono realta oggettiva solo in seguito alla manipolazione ad opera dell’intelletto,ossia materializzabili soltanto in forma di relazione e non come oggetti autosussistenti inragione della propria identita’. Si tratta dell’insieme dei giudizi che godono di una fortecorrelazione, potendosi riferire ad un’area conoscitiva circoscritta, e che non corrispondo-no al riferimento ad un oggetto definito. La definizione mira a circoscrivere i meccanismirelazionali della ragione, bandendo i ragionamenti di carattere puramente tautologico.

7

Salvagente CAPITOLO 1. A

radicato nei meccanismi della realta.

Anzitutto, si intuisce che per arrogarsi il carattere di universalita, una leggefisica deve potersi esprimere in funzione di numeri puri. Si pensi ancora allacongruenza dimensionale dei due membri di un’equazione: dividendo l’interaequazione per uno di essi, la relazione espressa sarebbe la medesima, ma lequantita diverrebbero adimensionali: e tale operazione, come tutti sappiamo,e perfettamente lecita.

Ci si sforzera adesso di abbracciare una prospettiva piu ampia.

Si ipotizzi di non conoscere la legge con la quale un fluido, immerso in uncampo gravitazionale che non e necessariamente quello terrestre, e contenutoentro un recipiente di dimensioni finite, fuoriesce da un foro praticato sulrecipiente stesso, piccolo rispetto ad esso.

E anzitutto necessario individuare le variabili che verosimilmente posso-no essere in grado di descrivere il fenomeno. In prima battuta si potrebberodesignare quali buoni candidati: la velocita v di fuoriuscita del fluido; l’ac-celerazione gravitazionale g; la densita ρ del fluido; e l’altezza del battenteidrostatico ζ.

Come avere la certezza che tali grandezze siano tutte corrette al fine dellaformulazione della legge? Si puo ragionare cosı: se la dimensione di unagrandezza non e ottenibile come prodotto delle potenze delle dimensioni dellealtre grandezze, allora non puo aver posto nella legge. Se potesse, al suo variarenon vi sarebbe nessuna combinazione delle altre grandezze capace di bilanciaretale variazione, e potrebbe quindi crescere o decrescere arbitrariamente senzainfluenzare il processo; ma questo e un assurdo.

Si osservino allora le dimensioni delle quattro grandezze preliminarmentescelte:

[v] =[ms

]= LT−1

[g] =îms2

ó= LT−2

[ρ] =îkgm3

ó= ML−3

[ζ] = [m] = L

Si nota subito che soltanto la densita risulta proporzionale alla dimensionedi una massa, e se inclusa tra le variabili impedirebbe l’adimensionalizzabilitacomplessiva della legge: pertanto va scartata.

Il primo risultato che si ottiene e percio la riduzione del numero di variabilicoinvolte:

f(v, g, ρ, ζ) = 0 → f(v, g, ζ) = 0


Salvagente 1.2. ANALISI DIMENSIONALE

Ancora, si puo rendere la legge indipendente dalla dimensione di un tempo,per esempio dividendo per g il quadrato di v:

f(v, g, ζ) = 0 → f

Çv2

g, ζ

å= 0

Ancora, si puo far sı che la legge cercata sia indipendente anche dalladimensione di una lunghezza, andando a bloccare l’ultimo grado di libertarimasto libero:

f

Çv2

g, ζ

å= 0 → f

Çv2

gζ

å= 0

=⇒ v2

gζ= K

Se le variabili governanti il fenomeno sono state tutte incluse, K sara co-stante ed universale. Realizzando esperimenti sufficientemente accurati, sitroverebbe che essa e pari a 2. Difatti, sostituendo tale valore nel modelloformulato, si ritroverebbe la nota legge di Torricelli, usualmente ricavatafacendo ricorso al teorema di Bernoulli:

v =√

2gζ

Si pensi a come tale modo di procedere possa accelerare, peraltro in manie-ra elegante, un genere di risultato che richiederebbe altrimenti, in mancanzadi basi da cui procedere, una ben piu nutrita dose di fatica e risorse.

Ma l’analisi dimensionale non ha soltanto il pregio di indurre a ragionarecon maggiore coscienza sui fenomeni fisici e sulla loro descrizione: essa e fon-damentale per l’individuazione delle similitudini tra i fenomeni, come ci siappresta a discutere, ed e lo strumento principe col quale si formulano modelliefficaci per i processi di difficile trattazione matematica.


Salvagente CAPITOLO 1. A


B

2.1 Bulk modulus

V. anche Velocita del suono

Noto in Italia come modulo di compressibilita.

Misura l’incremento di pressione necessario a produrre nella sostanza ilrelativo incremento di densita:

E := ρ∂p

∂ρ

Insieme con la densita esso definisce la velocita del suono nel mezzo,quando questo sia un fluido:

a :=

E

ρ(2.1)

2.2 Bulk viscosity

Nota in Italia come seconda viscosita, viscosita di volume o anche viscositadilatazionale.

Nella traccia del tensore degli sforzi, alla pressione termodinamica sisomma un contributo che e proporzionale alla divergenza del campo di velocita,per il quale la costante di proporzionalita e per l’appunto la bulk viscosity.

Tale coefficiente diviene significativo soltanto in problemi nei quali risultideterminante la compressibilita del fluido, ragione per la quale e sempretrascurata quando si adotti lo schema di fluido incomprimibile.

11

Salvagente CAPITOLO 2. B

Il coefficiente compare come ζ nelle equazioni di Navier-Stokes scritteper un fluido comprimibile, e come ovvio scompare non appena si trascuri lacomprimibilita, annullandosi la divergenza del campo di moto:

ρ∂~u

∂t+ ρ ~u · ∇ ~u = −∇ p+ ~fm + µ∇2 ~u+

(1

3µ+ ζ

)∇ (∇ · ~u)

Per l’acqua alla temperatura di 15 si ha ζ = 3.09mPl (milliPoiseuille).


C

3.1 Cerchi di Mohr

V. anche Arbelo di Mohr

I cerchi di Mohr costituiscono uno strumento essenziale laddove, note letensioni interne che agiscono lungo direzioni tra loro ortogonali in un puntodi un oggetto solido, si vogliono conoscere gli stati tensionali relativamentea qualsiasi giacitura passante per il punto.

Si richiamano preliminarmente due risultati teorici fondamentali per tuttala MECCANICA DEL CONTINUO, ed alcune formule trigonometricheche risulteranno utili per la trattazione.

Anzitutto, si ricorda che lo stato tensionale in un punto e univocamentedeterminato per qualunque giacitura di normale ~n, quando siano note le seicomponenti indipendenti del tensore degli sforzi, e conseguentemente si puosempre esprimere il vettore sforzo come:

~t = T~n =⇒

Ötxtytz

è=

Öσx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

èÖnxnynz

èCio e sancito dal teorema del tetraedro di Cauchy, ragione per la

quale il tensore degli sforzi prende anche il nome di tensore di Cauchy.

Il secondo risultato teorico e invero gia stato implicitamente assunto di-chiarando pari a 6 il numero di componenti indipendenti del tensore deglisforzi: esso e infatti simmetrico, come si puo facilmente dimostrare imponen-do l’equilibrio alla rotazione di un cubo elementare sottoposto a sforzi normalie tangenziali.

Le relazioni trigonometriche che si vogliono rispolverare sono:

cos2(α) =1 + cos(2α)

2sin2(α) =

1− cos(2α)

2

13

Salvagente CAPITOLO 3. C

2 sin(α) cos(α) = sin(2α)

cos(α− β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

sin(α− β) = sin(α)cos(β)− cos(α)sin(β)

Per il prosieguo, si consideri un sistema di riferimento ortonormale (0, ~x, ~y, ~z)orientato come si usa solitamente nella trattazione della teoria tecnica dellatrave, ossia con: l’origine 0 posta nel baricentro della sezione della trave; ~zavente la direzione dell’asse della trave, uscente dalla faccia lasciata espostadal taglio; ~y avente direzione e verso della forza di gravita; ~x tale da completareuna terna levogira1.

Si richiama inoltre il concetto di direzione principale di sforzo: si trattadi una direzione corrispondente ad uno degli autovettori associati al tensoredegli sforzi; e pertanto se una direzione e direzione principale di sforzo, lecorrispondenti riga e colonna del tensore degli sforzi sono nulle a meno deltermine diagonale in comune.

Si ammetta che ~z rappresenti una direzione principale di sforzo: il tensoredegli sforzi si potra pertanto esprimere come:

T =

Öσx τxy 0τyx σy 00 0 σz

èSe poi la tensione σz risultasse nulla, il tensore si potrebbe esprimere me-

diante una matrice 2×2, ed il risultato del teorema del tetraedro prenderebbela seguente forma: Ç

txty

å=

Çσx τxyτyx σy

åÇnxny

åSi supponga adesso di voler essere in grado di descrivere lo stato tensionale,

note le tre componenti indipendenti del tensore degli sforzi bidimensionalerispetto al riferimento (0, ~x, ~y), per qualunque giacitura che riposa sul piano,ossia in un nuovo riferimento ortonormale (0, ~n, ~m): si chiameranno σn e τnle tensioni agenti lungo le nuove direzioni ~n e ~m, rispettivamente. Si dira

1 Si dice terna levogira, o terna destra, una terna xyz tale che un osservatore posizionatocome l’asse z possa vedere x sovrapporsi ad y con una rotazione antioraria di 90.


Salvagente 3.1. CERCHI DI MOHR

invece α l’angolo antiorario di cui risulta ruotato il nuovo riferimento rispettoal vecchio.

Per prima cosa occorre esprimere il vettore di sforzo in funzione delladirezione ~n:

~t(~n) = T~n =

Çσx τxyτyx σy

åÇcos(α)sin(α)

å=

Çσx cos(α) + τxy sin(α)τyx cos(α) + σy sin(α)

åLe componenti cosı ottenute sono pero ancora espresse nel vecchio riferi-

mento. Si procede pertanto a proiettarle lungo ~n ed ~m:

σn = (T~n) · ~n = (σx cos(α) + τxy sin(α) , τyx cos(α) + σy sin(α))

Çcos(α)sin(α)

å=

= σx cos2(α) + σy sin

2(α) + 2 τxy cos(α)sin(α) =

= σx

Ç1 + cos(2α)

2

å+ σy

Ç1− cos(2α)

2

å+ τxy sin(2α)

=⇒ σn −σx + σy

2=σx − σy

2cos(2α) + τxycos(2α)

Analogamente per la tensione τn agente lungo ~m:

τn = (T~n) · ~m = (σx cos(α)+ τxy sin(α) , τyx cos(α)+σy sin(α))

Ç−sin(α)cos(α)

å=

= (σy − σx) cos(α) sin(α) + τxy(cos2(α)− sin2(α) =

σy − σx2

sin(2α) + τxy cos(2α)

Sommando membro a membro le due identita, con semplici passaggi siottiene infine: Å

σn −σx + σy

2

ã2

+ τn2 =

Åσx − σy

2

ã2

+ τxy2

Questa e la legge con cui varia lo stato tensionale al variare della giaciturasul piano del riferimento, e vi si puo facilmente riconoscere l’equazione di unacirconferenza, il centro e raggio della quale sono rispettivamente:

C ≡Åσx + σy

2, 0

ãR =

Åσx − σy

2

ã2

+ τxy2



Partendo dal presupposto che si conoscano le tensioni σx, σy e τxy nelriferimento di partenza, si puo allora agilmente tracciare il CERCHIO DIMOHR DELLE TENSIONI PIANE.

Sulla circonferenza si individuino i punti P1 ≡ (σx,−τxy) e P2 ≡ (σy, τxy),tracciando per essi il diametro: essi rappresentano gli stati tensionali agentisulle due giaciture opposte aventi gli assi orientati come x ed y.

All’intersezione tra la circonferenza e la verticale passante per P1, si trovail cosiddetto POLO DELLE GIACITURE del cerchio di Mohr M :conducendo da esso una retta inclinata dell’angolo α rispetto alla verticale siintercetta sulla circonferenza il punto rappresentativo dello stato di tensionesulla giacitura ad essa parallela.

All’intersezione tra la circonferenza e l’orizzontale passante per P2, si trovainvece il cosiddetto POLO DELLE NORMALI del cerchio di Mohr N :conducendo da esso una retta inclinata dell’angolo α rispetto all’orizzontale siintercetta sulla circonferenza il punto rappresentativo dello stato di tensionesulla giacitura ad essa normale.

Quando si utilizza il generico termine di POLO, ci si riferisce in genere alpolo delle giaciture M .

Per ricavare le formule di cui abbisogniamo occorre procedere per costruzio-ne grafica. Individuato il polo, si chiami Q l’intersezione con la circonferenzadella retta per M ruotata di α in senso antiorario rispetto alla verticale. L’an-golo sotteso dall’arco P1Q ha un’ampiezza pari a 2α. L’angolo compreso traOP1 e l’asse σn si indichi invece con 2θ.

A meno del segno di τxy, si puo allora senz’altro scrivere:

Rcos(2θ) =σx − σy

2Rsin(2θ) = τxy tg(2θ) =

2 τxyσx − σy

Tornando indietro a sostituire nelle espressioni di σn e τn, si ottiene:

σn =σx + σy

2+Rcos(2θ) cos(2α) +Rsin(2θ) sin(2α) =

=σx + σy

2+Rcos[2(θ − α)]

τn = Rsin[2(θ − α)]


Salvagente 3.2. COMPRESSIBILITA, (MODULO DI)

Riepilogando, per ogni angolo α si possono ricavare gli sforzi nel nuovoriferimento lungo ~n ed ~m, dopo aver tracciato il cerchio di Mohr, applicandole formule:

2θ = arctg

Ç2τxy

σx − σy

åσn =

σx + σy2

+Rcos[2(θ − α)]

τn = Rsin[2(θ − α)]

Si possono calcolare inoltre le tensioni principali σ1 e σ2, corrispondendoesse alle due intersezioni del cerchio di Mohr con l’asse σn:

σ1, σ2 =σx + σy

2±R =

σx + σy2

± Å

σx − σy2

ã2

+ τxy2

3.2 Compressibilita, (Modulo di)

V. Bulk modulus

3.3 Continuita per i fluidi (Equazione di)

Scrivere un’equazione di continuita per un sistema fisico chiuso, significatradurre in forma locale una legge di conservazione, nello specifico quellascritta per la massa del sistema.

Questa esprime l’immutabilita nel tempo del quantitativo di massa posse-duto dal sistema: essendo il sistema chiuso, cio che per definizione gli permettedi scambiare con l’esterno soltanto energia e lavoro, se fosse misurabile unavariazione di massa nel tempo ci si scontrerebbe con l’assurdo di osservare lagenesi o distruzione di materia.

Ci si riferisca alla massa di un sistema chiuso, comunque costituito: perqualunque compatto che non oltrepassi la frontiera del sistema, ogni suavariazione temporale deve evidentemente essere bilanciata dalla quantita chein esso entra, o lo abbandona. Dacche siamo nell’ambito dello spazio euclideo



tridimensionale, ogni compatto e una porzione continua di volume del sistema,sicche qualunque volume di delimiti all’interno del nostro sistema, per essodeve valere la legge di conservazione (per la massa).

Nel caso piu generale, un fluido e comprimibile, ossia possiede la capa-cita di veder variare la propria densita conseguentemente alle trasformazionitermodinamiche che lo interessano ed i campi di forze nei quali risulta immerso.

Si pensi ad un volume di forma qualunque, la cui frontiera delimiti unaregione dello spazio occupato dal sistema fluido. Tale volume abbia un ordinedi grandezza tale da potersi ritenere grande rispetto alla scala atomica, cosıda poter essere osservato alle dimensioni che permettono di parlare di mezzocontinuo. Si assuma per semplicita che il fluido contenuto al suo internosia in quiete rispetto al sistema di riferimento scelto e venga sottoposto acompressione: la densita puntuale aumenterebbe, e per quanto si e detto, lospazio in esubero dovrebbe essere istantaneamente occupato da altro fluido,entrante attraverso la frontiera dalle regioni di spazio limitrofe; viceversa se ilfluido dilatasse. Ancora, si ipotizzi fissata la densita, ma il fluido in stato dimoto, sempre secondo un sistema di riferimento prescelto: se la direzione delmoto fosse anche univoca, secondo tale direzione dovrebbe entrare nel volumeuna quantita di fluido, esattamente pari a quella che ne fuoriesce. E se ledirezioni del moto fossero varie, nulla cambierebbe, purche il volume abbiauna frontiera sufficientemente regolare da permettere sempre la definizione diuna normale esterna in corrispondenza delle porzioni di superficie attraversole quali avvengono gli scambi.

Si badi a non confondere il volume di cui sopra con un volume materiale:esso e invero un volume di controllo, e la differenza tra i due concetti efondamentale. Cio che si e fissata e una geometria nello spazio, definibile ecaratterizzabile indifferentemente dalla materia che vi risulta contenuta. Unvolume materiale muta invece concordemente al mezzo continuo che lo occupa:significa che preso un volume materiale comprendente una certa porzione difluido, se questo fosse per esempio soggetto a compressione sarebbe il volumestesso a ridursi in dimensioni mutando la propria geometria, mentre il suobordo non potrebbe vedere in atto alcun flusso di massa! Parimenti, se ilfluido fosse in moto, un qualunque volume materiale definito entro il sistemamuoverebbe di concerto col fluido stesso.

Sia V0 ⊂ E un volume di controllo all’interno di un generico sistema fluidochiuso isolabile nello spazio euclideo, e sia ∂V0 la superficie che lo delimita.

Dovendo la massa di fluido uscente da V0 nell’unita di tempo bilanciareil decremento per unita di tempo della massa fluida contenuta al suo interno- se si prendessero rispettivamente la massa entrante e l’incremento di massa


Salvagente 3.3. CONTINUITA PER I FLUIDI (EQUAZIONE DI)

sarebbe ovviamente lo stesso -, si puo scrivere:∫∂V0

ρ~v d~σ +

∫V0

∂ρ

∂tdV = 0

Quella che si e scritta rappresenta la forma piu generale della legge diconservazione in forma globale per un fluido.

Per passare alla formulazione locale e quindi all’equazione di continuita,occorre mettersi nelle condizioni di poter esprimere l’intera legge sotto unostesso segno di integrale, per poi eliderlo in virtu del fatto che l’equazione deveessere valida per ogni punto del sistema, e non soltanto per volumi finiti. Pereffettuare il primo passaggio, semplicemente, si ricorre al teorema di Gauss(della divergenza)2 per passare dall’integrale di superficie al corrispettivointegrale di volume: ∫

V0

∇ · (ρ~v) dV +

∫V0

∂ρ

∂tdV = 0

Risulta quindi immediato il passaggio alla forma locale, ossia all’equazioneindefinita, o ancora equazione di continuita in forma euleriana3.

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0

Il nome dell’equazione e giustificata dal fatto che la si puo interpretare,molto semplicemente, come l’impossibilita del continuo materiale di ”strap-parsi”. Da cio deriva anche la sua principale limitazione: quando si abbiaa che fare con un sistema multifase, essa risulta inapplicabile all’interfacciatra le due fasi, mentre si puo ancora adoperare in punti che stiano totalmenteentro una singola fase, purche non si ammetta miscelazione. Ivi si ingeneranopercio le difficolta maggiori nel modellare realisticamente un sistema che pre-veda la genesi di cavita interne (bolle), o che presenti superfici a contatto confluidi allo stato gassoso.

Da parte opposta rispetto a quella euleriana, riposa la prospettiva la-grangiana: il punto di vista si sposta dal punto geometrico alla particella

2Si ricorda che l’operatore di divergenza applicato ad una grandezza fisica definita inun certo volume, restituisce il flusso netto specifico uscente dal volume stesso - dove laspecificita e dovuta al fatto che il flusso e inteso essere quello per unita di volume.

3Si parla di prospettiva euleriana quando la descrizione delle grandezze e riferita ad unpunto geometricamente fissato, indipendente dagli eventi che coinvolgono il moto del fluido.



fluida, che viene seguita nel suo moto. Significa che esprimere le proprietadel sistema secondo tale approccio, equivale a fissare, in luogo del punto, l’ele-mento fluido che nel tempo assumera collocazioni spaziali differenti in accordoal campo di velocita nel quale e immerso.

Il passaggio da un punto di vista all’altro si puo realizzare ricorrendo alteorema del trasporto di Reynolds per esprimere loperatore derivatamateriale (o sostanziale, o lagrangiana):

D

Dt=

∂

∂t+ ~v · ∇

Mettendo a sistema l’equazione di continuita ”euleriana”, scritta per com-ponenti, con l’espressione della derivata materiale della densita, scritta an-ch’essa per componenti, si ottiene:

∂ρ

∂t+∂ρvi∂xi

=∂ρ

∂t+ ρ

∂ui∂xi

+ vi∂ρ

∂xi= 0

Dρ

Dt=∂ρ

∂t+ vi

∂ρ

∂xi

=⇒ Dρ

Dt= −ρ∂vi

∂xi− vi

∂ρ

∂xi+ vi

∂ρ

∂xi= −ρ∂vi

∂xi

=⇒ Dρ

Dt+ ρ∇ · ~v = 0

Si faccia attenzione al secondo termine dell’equazione di continuita nelledue prospettive alternative: spostandosi con la particella fluida, per osservareuna densita costante e sufficiente che essa muova in un campo di motosolenoidale.


D

4.1 Decomposizione in somma diretta

V. Spazi vettoriali → Sottospazi vettoriali

4.2 Derivate deboli

V. Formulazione debole di problemi differenziali

4.3 Differenze centrate

V. Schema alle differenze centrate

4.4 Differenze finite

V. Schemi alle differenze finite

21

Salvagente CAPITOLO 4. D


F

5.1 Formula di Grassmann


5.2 Formulazione debole di problemi differenziali

V. anche:

§ Spazi vettoriali → Spazi Lp

§ Spazi vettoriali → Spazi di Sobolev

L’approccio numerico alla risoluzione di problemi differenziali, e nellaquasi totalita dei casi di interesse pratico una necessita, piuttosto che unascelta. I sistemi fisici che si affrontano nel campo dell’Ingegneria Idraulica sonousualmente governati da equazioni o sistemi di equazioni alle derivate parziali,e questi, a differenza delle piu innocue ODE, mettono innanzi all’impossibilita- che diviene estrema difficolta nella migliore delle ipotesi -, di trovare dellesoluzioni in senso classico, ossia in forma analitica.

Trovare soluzione ad un problema differenziale, come noto dalla teoriaelementare dell’Analisi Matematica, significa individuare quelle funzioni, dellequali il problema di partenza istituisce le relazioni sulle derivate.

In altre parole, una funzione e soluzione di un problema differenziale, sesull’intero intervallo di definizione si possono verificare le relazioni richieste,una volta che la si sia derivata.

Verrebbe dunque da pensare, che laddove una funzione non risultassederivabile, essa non potrebbe essere affatto una soluzione ammissibile.

D’altro canto, le soluzioni rinvenibili di certi problemi, le uniche insommache si riesce ad ottenere, definiscono spesso funzioni per le quali non esistonodelle derivate in senso classico nelle variabili imposte. Occorre allora trovareun vincolo meno stringente sull’ammissibilita delle soluzioni, ossia tradurre

23

Salvagente CAPITOLO 5. F

il problema differenziale in quella che si suole definire FORMULAZIONEDEBOLE : in termini spicci, si ricerca una soluzione integrabile, ma nonnecessariamente differenziabile, che in qualche modo soddisfi il problema.

Diviene in questo modo possibile dare ragione dei risultati numerici chefanno corrispondere a problemi differenziali formulati inizialmente nel sensoclassico, o forte, soluzioni individuate ad esempio da textbfdistribuzioni. Eil caso di tutti quei problemi fisici, la cui modellazione conduce a funzionigeneralizzate come la rampa, il gradino o l’impulso.

5.2.1 Derivate deboli

Se una funzione deve in qualche modo soddisfare un problema differenziale,posto che essa non sia derivabile - o differenziabile qualora sia definita su undominio a piu variabili -, si dovra comunque fare in modo che, reinserendole soluzioni nelle equazioni di partenza, queste risultino delle identita. Comefare?

Dare formulazione debole ad un problema, significa imporre che le suesoluzioni lo soddisfino non secondo le proprie derivata classiche, ma secondouna generalizzazione dell’operazione di derivazione che passa sotto il nome diderivata debole. In particolare, ci si appresta a definire una derivata applicabileanche alle funzioni appartenenti agli spazi Lp. Essendo la derivata debole perdefinizione un’estensione della derivazione in senso classico, si ha che nel casoin cui un problema differenziale ammetta soluzione in senso forte, derivatadebole e derivata forte andranno a coincidere.

In altre parole, si sara autorizzati a cercare una soluzione ai problemi dif-ferenziali secondo la loro formulazione debole, ma la soluzione in senso debolecorrispondera a quella forte, purche una soluzione forte esista.

Si dara la definizione di derivata debole (per il primo ordine), quindi siestendera tale definizione ad un ordine generico, ma non prima di fornire, inluogo di una dimostrazione, qualcosa che ne prefiguri l’idea e che induca aragionare sulle implicazioni analitiche del problema.

Da ultimo, verranno enumerate sommariamente le principali proprietadelle derivate deboli.

Definizione

La funzione v e derivata debole della funzione u se si ha:

u ∈ L1≤p≤∞(Ω)

v ∈ Lp(Ω)


Salvagente5.2. FORMULAZIONE DEBOLE DI PROBLEMI DIFFERENZIALI

Ω ⊂ Rn aperto limitato non vuoto

∫Ωu∂ϕ

∂xidx = −

∫Ωvϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω)

Qualcosa su cui ragionare

Siano:

u ∈ C1(Ω) ϕ ∈ C∞0 (Ω)

Si vuole poter scrivere:∫Ωu(x)

∂ϕ

∂xi(x) dx = −

∫Ω

∂u

∂xi(x)ϕ(x) dx ∀i

Perche tale identita abbia senso, occorre che si annullino le derivate delprodotto delle funzioni u e ϕ, essendo:

∂(uϕ)

∂xi= u

∂ϕ

∂xi+ ϕ

∂u

∂xi

Banalmente, u(x)ϕ(x) 6= 0 =⇒ ϕ(x) 6= 0.Ma allora, giacche il prodotto si annulla almeno in tutti i punti in cui si

annulla ϕ(x), ed eventualmente in un certo numero di altri, il supporto1 delprodotto deve essere un sottoinsieme del supporto di ϕ(x), o al piu il medesimoinsieme. Quindi sara un compatto2 appartenente ad Ω:

supp(uϕ) ⊂ supp(ϕ) =⇒ supp(uϕ) ⊂ Ω

Esistera pertanto un aperto Ω0 contenuto in Ω, avente frontiera abbastanzaregolare sulla quale si annulla il prodotto delle due funzioni:

supp(uϕ) ⊂ Ω0 ⊂ Ω , u(x)ϕ(x) 6= 0 ∀x ∈ ∂Ω0

Ne discende:∫Ω

∂(uϕ)

∂xidx =

∫Ω0

∂(uϕ)

∂xidx =

∫∂Ω0

uϕni dσ = 0

1Anche detto sostegno. Indica la chiusura dell’insieme dei punti del dominio sui qualila funzione e non nulla.

2 Un insieme e compatto se e solo se e chiuso e possiede una frontiera.



Generalizzazione

ω ∈ Lp(Ω) e derivata di u α1 volte nella direzione x1, α2 volte nella direzionex2, ..., αn volte nella direzione xn in senso Lp-debole, se:∫

ΩuDαϕdx = (−1)|α|

∫Ωωϕdx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω)

E si puo scrivere:

Dαu = ω =∂|α|u

∂xα11 · ∂x

α22 · ... · ∂x

αnn

D0f = f |α| =n∑j=1

αj

Proprieta

Le derivate deboli, o derivate Lp che dir si voglia, godono delle proprietadi unicita e linearita, e si puo dimostrare che l’ordine di derivazione einvertibile.

5.3 Formule di Newton-Cotes

Si tratta di una delle due principali famiglie di formule per l’integrazione nume-rica (anche detta quadratura numerica), di funzioni in una sola variabile,e nello specifico comprende tutte quelle che si ottengono sostituendo all’in-tegrale definito della funzione, l’integrale della sua approssimazione ottenutamediante il polinomio interpolante di Lagrange, nel medesimo intervallo.

Il fatto di appoggiarsi alla forma di Lagrange, conduce alla principale li-mitazione delle formule appartenenti a questa categoria: sono infatti adattesoltanto quando si possieda una distribuzione di punti di interpolazione connodi equidistanti, cio che accade ad esempio se i punti sono ottenuti dalcampionamento di una funzione continua. Viceversa, se la distanza tra inodi e non costante, bisogna ricorrere all’altra grande categoria, ossia quelladelle formule di quadratura di Gauss.

Nel caso multidimensionale, occorre invece rivolgersi a tecniche differenti,solitamente coincidenti coi metodi Monte Carlo.


Salvagente 5.3. FORMULE DI NEWTON-COTES

5.3.1 Generalita

In linea di principio, per approssimare numericamente il risultato dell’appli-cazione di un operatore lineare ad una funzione continua, e lecito applicareil medesimo operatore all’approssimazione della funzione stessa. Ricorrendo,come premesso, alla forma di Lagrange del polinomio interpolante, si ottienebanalmente:

I(f) =

∫ b

af(x) dx ' In(f) =

∫ b

apn(x) dx =

∫ b

a

n∑j=0

αjf(xj) dx

=⇒ In(f) =n∑j=0

f(xj)

∫ b

a

n∏k=0k 6=j

x− xkxj − xk

dx

Tale formula e valida in generale quale che sia il grado n del polinomio colquale si vuole approssimare la funzione, e quindi per qualunque numero n+ 1di punti di interpolazione disponibili.

Le formule ricavate da tale schema sono formule elementari, nel sensoche dato l’intervallo sul quale si vuole approssimare l’integrale della funzione,esse vanno applicate iterativamente a ciascuno dei sotto-intervalli nei qua-li lo si va a discretizzare. L’ampiezza di tali sotto-intervalli, a sua volta, eimplicitamente imposto dalla distanza che intercorre tra ciascuna coppia dinodi.

L’espressione delle formule composte, ossia quelle direttamente applica-bili all’intero intervallo, verra ricavata separatamente per ciascun caso.

5.3.2 Formule chiuse

Sono quelle formule, all’interno della famiglia, che individuano gli estremi diintegrazione con i nodi dell’intervallo a, b.

Operando un cambio di variabili a vantaggio della semplicita dei terminiche andranno integrati, si ha:

x = x0 + th t = x−x0h

x0 = a xn = b h = b−an

I(f) ' In(f) =n∑j=0

f(xj)

∫ xn

x0

n∏k=0k 6=j

x− xkxj − xk

dx

=⇒ I(f) ' In(f) =n∑j=0

f(xj)h

∫ n

0

n∏k=0k 6=j

t− kj − k

dt



Grado 1 - Formula dei trapezi

E la formula chiusa che si ottiene approssimando la funzione con un polinomiodi grado 1. In termini geometrici, tra ciascuna coppia di nodi si sta riducendola funzione ad un segmento congiungente le due ordinate di interpolazione:l’approssimazione dell’integrale e pertanto pari all’area del trapezio sotteso datale segmento e dall’asse delle ascisse.

Nonostante il grado non elevato, la formula dei trapezi e adatta ad appros-simare con un errore contenuto l’integrale di funzioni periodiche.

I1(f) =1∑j=0

f(xj)h

∫ 1

0

1∏k=0k 6=j

t− kj − k

dt = f(x0)h

∫ 1

0

t− 1

0− 1dt+f(x1)h

∫ 1

0

t− 0

1− 0dt

= ... =h

2[f(x0) + f(x1)] =

b− a2

[f(a) + f(b)]

La formula composta dei trapezi si ottiene, semplicemente, applican-do iterativamente la formula elementare alla successione dei sotto-intervalligenerati dalla discretizzazione di quello di partenza:

I1(f) =h

2[f(x0) + f(x1)] +

h

2[f(x1) + f(x2)] + ...+

h

2[f(xn−1) + f(xn)]

=h

2

ñf(a) +

n−1∑i=1

f(xi) + f(b)

ôGrado 2 - Formula di Simpson

Stavolta la funzione risulta approssimata da un polinomio di grado 2: l’inter-vallo elementare diventa quello che comprende tre nodi consecutivi, tra i qualila funzione e approssimata da un’arco di parabola ad asse verticale passanteper i tre punti di interpolazione.

I2(f) =2∑j=0

f(xj)h

∫ 2

0

2∏k=0k 6=j

t− kj − k

dt

= f(x0)h

∫ 1

0

(t− 1)

(0− 1)

(t− 2)

(0− 2)dt+f(x1)h

∫ 1

0

(t− 0)

(1− 0)

(t− 2)

(1− 2)dt+f(x2)h

∫ 1

0

(t− 0)

(2− 0)

(t− 1)

(2− 1)dt



= ... =h

3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] =

b− a6

[f(a) + 4f

(a+ b

2

)+ f(b)

]

Per ricavare la formula composta di Simpson si procede esattamentecome visto per la formula composta dei trapezi:

I2(f) =h

3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] +

h

3[f(x2) + 4f(x3) + f(x4)]+

+...+h

3[f(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)]

=h

3

[f(a) + 4

n2∑i=1

f(x2i−1) + 2

n2−1∑i=1

f(x2i) + f(b)

]

5.3.3 Formule aperte

In questo caso, gli estremi di integrazione risultano esterni ai nodi che delimi-tano l’intervallo.

Effettuando un cambiamento di variabile analogamente a come fatto perricavare l’espressione delle formule chiuse:

x = x0 + th t = x−x0h

x0 = a+ h xn = b− h h = b−an+2

I(f) ' In(f) =n∑j=0

f(xj)

∫ xn+h

x0−h

n∏k=0k 6=j

x− xkxj − xk

dx

=⇒ I(f) ' In(f) =n∑j=0

f(xj)h

∫ n+1

−1

n∏k=0k 6=j

t− kj − k

dt

Grado 0 - Formula dei rettangoli (o del punto medio)

Come il nome lascia intuire, questa formula prevede che l’integrale sia ap-prossimato mediante l’area di un rettangolo sull’intervallo elementare: questocomprende tre nodi, e vede la funzione ridotta ad un valore costante pariall’ordinata del punto di interpolazione centrale.

I0(f) =0∑j=0

f(xj)h

∫ 1

−1

0∏k=0k 6=j

t− kj − k

dt



= 2h f(x0) = (b− a) f(a+ b

2

)

La formula composta dei rettangoli si ottiene esattamente come perle formule chiuse:

I0(f) = (x1−x0) f(x0 + x1

2

)+(x2−x1) f

(x1 + x2

2

)+...+(xn−xn−1) f

(xn−1 + xn2

)

= 2hn∑i=0

f(xi−1 + xi

2

)

5.3.4 Applicazione alle ODE

Le formule di Newton-Cotes possono utilizzarsi anche per ricavare in manieraspeditiva metodi di integrazione numerica per le ODE (equazioni differenzialiordinarie, ossia problemi di Cauchy).

Metodo di Eulero-Cauchy

Mettendo da parte la condizione iniziale del problema di Cauchy, che nonrichiede alcuna manipolazione particolare nel passaggio alle tecniche numeri-che, per la generica equazione differenziale di primo grado si ha, integrandosecondo la formula dei rettangoli3:

y′ = f(x, y(x)) =⇒∫y′ dx =

∫f(x, y(x)) dx

=⇒ yj+1 − yj = h f(xj , f(xj))

=⇒ ηj+1 = ηj + hφ(xj , ηj)

La formula e esplicita (alla generica iterazione la stima della funzione vie-ne valutato utilizzando solo valori calcolati ai passi precedenti), e monostep(ad ogni iterazione, viene coinvolti soltanto i valori di quella immediatamenteprecedente).

3In realta si tratta di una formula di ordine 0 ma non della formula dei rettangoli: lafunzione e infatti valutata nel primo punto, e non in quello intermedio, di ogni intervallo.



Metodo di Heun

e il metodo che si ottiene integrando i membri dell’equazione differenzialemediante la formula dei trapezi:

yj+1 − yj =h

2[f(xj , f(xj)) + f(xj+1, f(xj+1))]

=⇒ ηj+1 = ηj +h

2[φ(xj , ηj) + φ(xj+1, ηj+1)]

La formula, essendo implicita, richiede la valutazione della stima dellafunzione incognita al passo attuale: per rendere la formula esplicita le si puosostituire l’espressione data dal metodo di Eulero-Cauchy.

Metodo di Milne

Si ricava integrando i membri dell’equazione differenziale con la formula diSimpson:

yj+1 − yj−1 =h

3[f(xj−1, f(xj−1)) + 4 f(xj , f(xj)) + f(xj+1, f(xj+1))]

=⇒ ηj+1 = ηj−1 +h

3[φ(xj−1, ηj−1) + 4φ(xj , ηj) + φ(xj+1, ηj+1)]

La formula necessita di valori calcolati in due distinte iterazioni precedenti,pertanto oltre ad essere implicito, risulta anche multistep.




I

6.1 Impulso

∆~p :=

∫ t1

t0

~F dt

6.2 Impulso (Teorema dello)

In conseguenza del Secondo Principio della Dinamica, l’impulso e pari allavariazione di quantita di moto del sistema in un intervallo temporale:

~F =d~p

dt=⇒ d~p = ~F dt =⇒

∫ ~p(t1)

~p(t0)~p dt =

∫ t1

t0

~F dt

In virtu del Teorema di Torricelli Barrow :

~p(t1)− ~p(t0) =

∫ t1

t0

~F dt

E quindi, se la forza risulta costante:

∆~p = ~F dt

6.3 Integrazione numerica

V. Formule di Newton-Cotes

33

Salvagente CAPITOLO 6. I

6.4 Interpolazione polinomiale

V. anche Polinomio interpolante di Newton

A differenza di quanto avviene con l’approssimazione ai minimi quadrati,cui conviene ricorrere nel caso in cui si stiano trattando dati sperimentali -e quindi affetti da errore -, i metodi di interpolazione nascono dall’esigenzadi sfruttare un numero discreto di valori assunti da una funzione incognita incorrispondenza di determinanti punti: tali valori si suppongono esatti, e po-trebbero essere ad esempio quelli ricavati mediante un’operazione di campio-namento. Da tali valori si vuole ricostruire la funzione che li ha prodotti, conun opportuno grado di approssimazione, in maniera tale da poterla valutaresu ulteriori punti dei quali non si conosce ancora l’ordinata.

La strategia che contraddistingue le tecniche di interpolazione consiste nelselezionare una famiglia di funzioni elementari, quindi semplici, ed esprimerela legge incognita come combinazione lineare di un numero finito di esse, parial numero dei punti di interpolazione che si hanno a disposizione.

L’interpolazione polinomiale corrisponde alla scelta, tra tutte le famigliedi funzioni che potrebbero adoperare, dei polinomi. Si abbiano dunque:

(xi, yi) punti di interpolazione, (i = 0, ..., n)

xi 6= xj , i 6= j

Si vogliono allora interpolare gli (n+1) punti mediante il polinomio di gradon:

pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n =n∑j=0

ajxj

Essendo note le ascisse e le ordinate di interpolazione, le incognite sonocostituite dai coefficienti del polinomio.

Ribadendo ancora la differenza sostanziale tra questo approccio e quellodei metodi ai minimi quadrati, si vuole porre l’accento sul fatto che i valori dipartenza sono dati per esatti,e dunque non sarebbe ammissibile che il polino-mio responsabile dell’interpolazione dei punti non assumesse in corrispondenzadi essi le medesime ordinate. Laddove per una regressione lineare ai minimiquadrati, la retta di regressione potrebbe non passare per nessuno dei puntidella nuvola fornita.

Si definisce allora una condizione di interpolazone, la quale impone chela funzione assuma esattamente i valori yi in corrispondenza delle ascisse xi,dette nodi dell’interpolazione:

pn(xi) = yi, (i = 0, ..., n)


Salvagente 6.4. INTERPOLAZIONE POLINOMIALE

La rappresentazione piu naturale per il polinomio interpolante, e quella chefa uso della base canonica, costituita da 1, x, x2, ..., xn. Agli n+1 punti diinterpolazione dovra corrispondere una combinazione lineare di n+1 polinomidi grado n, per cui in termini matriciali si puo scrivere, imponendo ancora lacondizione di interpolazione:à

1 x0 x20 · · · xn0

1 x1 x21 · · · xn1

......

.... . .

...1 xn x2

n · · · xnn

íàa0

a1...an

í=

ày0

y1...yn

íI coefficienti aj sono quindi le incognite del problema.Il sistema scritto facendo uso della base canonica permette di ricavare

immediatamente un importante risultato. Affinche esso ammetta soluzioneunica, evidentemente la matrice dei coefficienti (matrice di Vandermonde)deve essere non singolare. E questo avviene quando i nodi siano tutti distinti.Infatti, detta Φ la matrice di Vandermonde, deve essere:

det(Φ) =n∏

i,j=1i>j

(xi − xj) 6= 0

Peraltro la rappresentazione in base canonica non viene utilizzata nella pra-tica, essendo la matrice di Vandermonde malcondizionata e conseguentementeinadatta al trattamento numerico.

Ma a prescindere dalla base adottata, il principio di identita dei po-linomi garantisce che due polinomi sono uguali se per ogni x assumono ilmedesimo valore, per cui la scelta va condotta soltanto in funzione delle ne-cessita di implementazione o comunque di carattere numerico. Purche i nodisiano tutti distinti, cio che si ottiene quando per ciascuno sia disponibile unasola ordinata di interpolazione.


Salvagente CAPITOLO 6. I


L

7.1 Lavori virtuali (Principio dei)

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema materialequalsiasi e che la somma di tutte le forze agenti su di esso sia nulla perqualunque insieme di spostamenti virtuali piccolissimi e possibili.

E questa la formulazione canonica del principio dei lavori virtuali, attesta-tosi a buon diritto quale uno dei metodi di indagine piu generali ed efficaciper la statica dei sistemi rigidi e deformabili nella Scienza delle Costruzioni.

Esso e applicabile a corpi perfettamente o imperfettamente elastici, e valeanche in presenza di cedimenti di vincoli, effetti termici, difetti di montaggio,e tensioni iniziali dovute ad esempio a stati di coazione interna - in cio risul-ta essere piu generale dei teoremi sul lavoro di deformazione, i quali invecerichiedono per la formulazione delle ipotesi piu stringenti.

Per lavoro virtuale si intende il lavoro meccanico svolto da una forza,per indurre sul sistema meccanico uno spostamento virtuale infinitesimo,ossia una piccola perturbazione delle sue coordinate rispetto allo stato iniziale.Il principio e infatti formulato nel contesto di azioni statiche, ossia carichiapplicati con velocita sufficientemente bassa da indurre approssimativamentenel sistema una successione di stati di equilibrio: si fa pertanto l’assunzione chel’applicazione delle forze costituisca un processo quasi-statico, similmentea come si usa nel trattamento dei sistemi termodinamici per istituire dellerelazioni tra le grandezze legate dalle equazioni di stato, avvalendosi deglistrumenti del calcolo differenziale.

Il principio non e quindi valido nel caso delle azioni dinamiche, non potendorendere conto di trasformazioni energetiche rapide e violente che conducanoall’assorbimento irreversibile di energia di frattura ed al danneggiamento delmateriale; ne di spostamenti e deformazioni che siano almeno dello stessoordine di grandezza delle dimensioni degli elementi costituenti il sistema, iquali presupporrebbero dispersioni di energia consistenti.

In buona sintesi, il principio sottintende la stazionarieta dell’energiatotale del sistema: se il sistema e deformabile, il lavoro svolto da una forzaesterna per muovere il punto di applicazione risulta compensato esattamente

37

Salvagente CAPITOLO 7. L

dal lavoro interno 1. Se il sistema e rigido, non vi sara deformazione alcu-na, pertanto il lavoro interno dovra risultare nullo, e quello esterno dovraautocompensarsi mediante i contributi delle azioni agenti e delle reazioni deivincoli.

Serve appena richiamare l’attenzione sul fatto che il lavoro virtuale e l’u-nico ammesso sotto le ipotesi formulate, essendo il lavoro globale nullo per lastazionarieta dell’energia. Ogni volta che in questa sede si parla di lavoro, vainteso come lavoro virtuale.

Il principio dei lavori virtuali - d’ora in poi PLV -, sancisce fondamental-mente una relazione fra tre distinte circostanze, ossia:

• L’equilibrio delle forze esterne ed interne. Quelle esterne com-prendono le azioni applicate e le reazioni vincolari, e si possono dire inequilibrio quando si annullino la loro somma, e la somma dei loro mo-menti calcolati rispetto ad un polo qualsiasi. Quelle interne sono invecerappresentate dalle sollecitazioni agenti entro il corpo materiale.

Se le sollecitazioni interne non sussistono per la rigidita del sistema, ilsistema di forze esterne deve autoequilibrarsi, pertanto le forze applica-te dovranno essere compensate esclusivamente dalle reazioni offerte daivincoli.

1N.B.: Il lavoro virtuale ed il lavoro di deformazione indicano due concetti ben di-versi, ed occorre prestare molto attenzione a non confonderli. Il PLV, nella sua generalita,non entra nel merito delle implicazioni del legame elastico, ed in particolare dell’elasticitaperfetta. Forze e sollecitazioni vengono presi con un valore costante pari a quello agente incorrispondenza dello spostamento o deformazione finale, ed il lavoro virtuale e computatoproprio in questi termini. In realta, il legame elastico lineare implica la necessita che sforzoe deformazione crescano insieme secondo una certa costante di proporzionalita: il lavorointerno di deformazione corrisponde all’area sottesa dal diagramma sforzo/deformazione,e quindi alla meta del corrispondente lavoro virtuale.

L’elasticita presuppone la conservazione dell’informazione. Finche si e nel tratto di com-portamento perfettamente elastico di un materiale, e cosa nota che esso, successivamenteallo scarico, tornera nella configurazione originale. Il lavoro speso per tale ripristino dellecondizioni iniziali, rappresenta energia che era precedentemente immagazzinata all’internodel materiale come potenziale elastico: quest’ultimo e dato in generale dalla somma dieventuali tensioni interne presenti precedentemente all’applicazione di forze al sistema, e dalcontributo del lavoro di deformazione. In ogni caso l’applicazione e la successiva rimozionedella forza riconducono il sistema alla condizione precedente, per il semplice fatto che quelleelastiche sono forze conservative.

Secondo la formulazione del teorema di Clapeyron, il lavoro esterno di deformazio-ne compiuto dalle forze statiche agenti su un corpo elastico - per il quale valga il principio disovrapposizione degli effetti -, e indipendente dall’ordine di applicazione delle singole forze, evale la meta della somma dei prodotti dei loro valori finali per i valori finali degli spostamentidei loro punti di applicazione, valutati nelle direzioni delle forze. Anche in questo caso, ilvalore e pari alla meta del corrispondente lavoro virtuale.


Salvagente 7.1. LAVORI VIRTUALI (PRINCIPIO DEI)

• La congruenza del campo di spostamenti con le deformazionidel sistema, e contestuale loro compatibilita coi vincoli.

Per un sistema rigido, non potendosi avere deformazione alcuna, in as-senza di cedimenti vincolari gli spostamenti devono essere identicamentenulli.

• L’annullamento della somma dei lavori virtuali.

Se due delle tre circostanze sono verificate, il PLV impone che lo siaimmediatamente anche la terza.

Se Fe sono le forze esterne - ivi comprese le reazioni esplicate dai vincoli-,Si le sollecitazioni interne, δ gli spostamenti dei punti di applicazione delleforze esterne, e ξ le deformazioni, il PLV si puo esprimere semplicemente con:

Lve = Lvi =⇒∑

Fe δ =∑

Si ξ

7.1.1 Il PLV per i telai piani

Ai fini dell’applicazione ai sistemi piani, il PLV va tradotto in una formacompatibile con la trattazione tecnica della trave secondo De Saint Venant.

In particolare, e necessario esplicitare le espressioni dei lavori virtuali do-vuti alle componenti di sollecitazione interna, ricordando che queste ultime di-scendono immediatamente dai carichi esterni secondo le equazioni indefinitedi equilibrio:

dN

ds= −p

dT

ds= −q

dM

ds= T −M

DoveN , T edM sono rispettivamente le componenti interne di sforzo assia-le, di sforzo di taglio e di momento flettente, mentre p, q edM sono rispettiva-mente i carichi applicati lungo l’asse della trave, i carichi agenti normalmenteall’estensione della trave, ed i momenti concentrati.

Lavoro virtuale interno per trazione o compressione semplice

Lassiale =

∫sN εz ds =

∫sNσzEds =

∫s

N2

EAds


Salvagente CAPITOLO 7. L

Lavoro virtuale interno per flessione semplice retta

Lflessione =

∫sM φds =

∫sM

σzEds =

∫s

M2

EJds

Lavoro virtuale interno per taglio

Ltaglio =

∫sT η ds =

∫sχT 2

GAds

Lavoro virtuale interno per torsione

Ltorsione =

∫sMt θ ds =

∫s

Mt2

GJpds

Lavoro virtuale interno per effetti termici

Ltermico =

∫sN α∆t ds+

∫sM

α∆t

hds

Espressione completa

In definitiva, per i telai piani il PLV si puo scrivere come:

Lve = Lvi

=⇒

∑Fe δ =

∫s

N2

EAds+

∫s

M2

EJds+

∫sχT 2

GAds+ ...

...+

∫s

Mt2

GJpds+

∫sN α∆t ds+

∫sM

α∆t

hds


M

8.1 Mariotte (Formula di)

E utilizzata per il calcolo degli spessori delle tubazioni.

Quando un liquido sia sottoposto a pressioni elevate, e congiuntamentecostretto entro una sede chiusa di dimensioni piccole rispetto al carico gra-vante sulle sezioni, si puo trascurare il contributo delle forze di volume edassumere che lungo una sezione trasversale la distribuzione di pressione siaapprossimativamente costante.

Sotto tali ipotesi, se la sezione e anche simmetrica, ogni sua meta ottenutacon un taglio trasversale orizzontale vedra agire sui suoi lembi una sollecitazio-ne complessiva di trazione, pari alla spinta che la pressione del liquido esercitasu quella porzione di sede.

Se la sede in cui scorre il fluido e una tubazione, detti D il suo diametrointerno e dL un suo tratto infinitesimo lungo lo sviluppo assiale, tale spintasara pari a pD dL .

La sollecitazione di trazione dT applicata ad ambedue i lembi deve equili-brare esattamente la meta di tale spinta:

dT =p dL

2

Se s e la larghezza dei lembi, ossia lo spessore del tubo, e dΩ la superficiesulla quale la sollecitazione si esplica, si potra quindi esprimere la tensioneagente come:

σ =dT

dΩ=

dT

s dL=pD dL

2 s dL

=⇒ σ =pD

2 s

Risulta cosı immediata la stima dello spessore da attribuire alla tubazio-ne per sopportare una data tensione σ, sia essa il carico di sicurezza atrazione, o un qualunque altro valore del quale si voglia sondare l’effetto.

41

Salvagente CAPITOLO 8. M

8.2 Matrici - Categorie fondamentali

8.2.1 Matrici simmetriche e matrici hermitiane

Una matrice a valori sul campo complesso si dice HERMITIANA se coincidecon la propria trasposta coniugata.

Corrispondentemente, una matrice a valori sul campo reale si dice SIM-METRICA se coincide con la propria trasposta.

8.2.2 Matrici ortogonali e matrici unitarie

Una matrice a valori sul campo complesso si dice UNITARIA se la suainversa e la sua trasposta coniugata coincidono.

Corrispondentemente, una matrice a valori sul campo reale si dice OR-TOGONALE se la sua inversa e la sua trasposta coincidono.

8.3 Metodi iterativi

V. anche:

§ Splitting additivo

8.4 Metodo di Eulero-Cauchy

V. Formule di Newton-Cotes → Applicazione alle ODE

8.5 Metodo di Heun



Salvagente 8.6. METODO DI MILNE

8.6 Metodo di Milne


8.7 Metodo di Newton

Uno dei piu banali problemi che si possano incontrare nel calcolo numerico,e quello di individuare gli zeri, o radici che dir si voglia, di un’equazionenon lineare. Per questa classe di funzioni non sono infatti disponibili formuledirette, mentre e possibile costruire dei metodi efficaci su sottointervalli deldominio dove sia localizzato un solo zero - e cioe sempre necessario inizializzarequesti metodi su una successione di intervalli differenti e non troppo estesi,qualora non si conosca a priori il numero o la localizzazione approssimatadelle radici.

Tra gli approcci possibili, quello a fondamento del metodo di Newton esenz’altro tra i piu diffusi e consolidati. Si descrivera dapprima il metodo perle equazioni scalari, per poi estenderlo al caso vettoriale dopo averne discussola convergenza.

L’idea e quella di approssimare la radice con le successive intersezioni tral’asse delle ascisse e la tangente al grafico della funzione nell’approssimazioneprecedente. Un primo punto di inizializzazione puo essere scelto ove si ritengadi trovarsi in prossimita della radice reale, ma per cio che si dira piu avanti circala convergenza del metodo, e sempre opportuno applicare preliminarmente unalgoritmo di basso costo computazionale come il metodo di bisezione, per poiandare a raffinarlo con quello di Newton.

8.7.1 Derivazione geometrica

L’espressione del metodo puo essere derivata intuitivamente per via geometricain base alla descrizione data poc’anzi.

Alla generica iterazione, la tangente alla curva che interseca l’asse delleascisse e quella retta che appartiene al fascio passante per l’approssimazionedella radice che si vuole calcolare, avente per coefficiente angolare la derivatadella funzione calcolata nell’approssimazione precedente. Per cui, ricordandol’espressione generalizzata di una retta nel piano, e potendo affermare checertamente il nuovo punto possiede ordinata nulla:

y − y0 = m(x− x0) =⇒ f(x(k+1) − f(x(k)) = m(x(k+1) − x(k))



=⇒ −f(x(k)) = f ′(x(k))(x(k+1) − x(k))

=⇒ x(k+1) = x(k) − f(x(k))

f ′(x(k))

8.7.2 Derivazione analitica

Lo stesso risultato si ottiene troncando al primo ordine lo sviluppo in se-rie di Taylor della funzione troncato al primo ordine e centrato nell’ultimaapprossimazione calcolata:

f(x) ≈ f(x(k+1) ' f(x(k)) + f ′(x(k))(x(k+1) − x(k)) = 0

=⇒ x(k+1) = x(k) − f(x(k))

f ′(x(k))

8.7.3 Convergenza del metodo

In conseguenza di come si e condotta la derivazione analitica del metodo, si puolegare l’errore commesso applicando il metodo a quello dovuto al troncamentodel polinomio di Taylor.

Esprimendo il polinomio in funzione della radice reale α ed esprimendo ilresto nella forma di Lagrange, si puo pertanto scrivere:

f(α) = f(x(k)) + f ′(x(k))(α− x(k)) +f ′′(ξ(k))

2(α− x(k))2 = 0

Dove ξ(k) e un punto appartenente all’intervallo chiuso (x(k), α).

Poiche per ipotesi f ′(x(k)) 6= 0 per ogni punto dell’intervallo nel qualel’algoritmo opera, si puo dividere l’espressione per tale valore, permettendo discrivere l’errore tra un’iterazione e la successiva del metodo:

f(x(k))

f ′(x(k))+ α− x(k) +

1

2

f ′′(ξ(k))

f ′(x(k))(α− x(k))2 = 0

=⇒ e(k+1) = α− x(k+1) =1

2

f ′′(ξ(k))

f ′(x(k))(α− x(k))2 =

1

2

f ′′(ξ(k))

f ′(x(k))e(k)2


Salvagente 8.7. METODO DI NEWTON

Se la derivata seconda che compare nel quoziente e limitata, allora si puoragionevolmente pensare di sostituire al termine di proporzionalita tra gli er-rori ai due passi una costante M , non non minore di esso, tale che sia lecitoscrivere:

|e(k)| ≤M |e(k)2 |

=⇒ |Me(k)| ≤ |Me(k−1)|2 ≤ |Me(k−2)|22 ≤ ... ≤ |Me(0)|2k

=⇒ |e(k)| ≤ 1

M|Me(0)|2k

Perche l’errore converga a 0, per k →∞, evidentemente deve aversi:

|Me(0)| < 1 =⇒ |e(0)| < 1

M=⇒ |α− x(0)| < 1

M

In termini spicci, affinche il metodo converga la distanza tra il punto diinizializzazione e la radice reale deve essere piuttosto contenuto, posto che Msi suppone essere piuttosto grande.

8.7.4 Estensione multidimensionale

Un sistema di n equazioni non lineari puo a buon diritto essere ritenuto equi-valente ad un’unica funzione vettoriale di n componenti. Anzi questo e veroin generale, quale che sia la natura delle equazioni che compongono il sistema.

Si puo ricorrere ancora ad uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al primoordine per ricavare l’equivalente vettoriale del metodo di Newton:

F (x(k+1)) =

àf1(x1, ..., xn)f2(x1, ..., xn)

...fn(x1, ..., xn)

í' F (x(k)) + F ′(x(k))(x(k+1) − x(k))

= F (x(k)) + J(F )|x=x(k)(x(k+1) − x(k))

Dove J(F ) e lo Jacobiano della funzione vettoriale.

=⇒ x(k+1) = x(k) − J−1(F )|x=x(k)F (x(k))

Occorre sapere in quale maniera sia piu conveniente applicare questa esten-sione del metodo, e a tale scopo si puo prendere per riferimento il seguente



esempio in tre dimensioni, nel quale semplicemente si sono moltiplicati per loJacobiano entrambi i termini dell’espressione su ricavata:

J(F )|x=x(k)x(k+1) = J(F )|x=x(k)x(k) − F (x(k))

J(F )|x=x(k)(x(k) − x(k+1)) = F (x(k))

=⇒

Ö ∂f1∂x1

∂f1∂x2

∂f1∂x3

∂f2∂x1

∂f2∂x2

∂f2∂x3

∂f3∂x1

∂f3∂x2

∂f3∂x3

èx=x(k)

Üx

(k+1)1

x(k+1)2

x(k+1)3

ê−

Üx

(k)1

x(k)2

x(k)3

ê =

Öf1(x1, x2, x3)f2(x1, x2, x3)f3(x1, x2, x3)

è

=⇒

Ö ∂f1∂x1

∂f1∂x2

∂f1∂x3

∂f2∂x1

∂f2∂x2

∂f2∂x3

∂f3∂x1

∂f3∂x2

∂f3∂x3

èx=x(k)

Ü∆

(k)1

∆(k)2

∆(k)3

ê=

Öf1(x1, x2, x3)f2(x1, x2, x3)f3(x1, x2, x3)

èPer l’applicazione multidimensionale del metodo e quindi sufficiente risol-

vere tale sistema lineare.


O

9.1 Omeomorfismo

V. Spazi topologici

9.2 Onda lineare di Airy

V. Teoria dell’onda lineare di Airy

47

Salvagente CAPITOLO 9. O


P

10.1 Polinomio interpolante di Newton

V. anche Interpolazione polinomiale

Quando si debbano trattare nodi di interpolazione in numero prefissato,viene naturale ricorrere al polinomio interpolatore nella forma di Lagrange,quando questi risultino anche equispaziati, o all’ interpolazione di Cebysev, incaso contrario.

Tuttavia, questi metodi non sono adatti qualora si preveda la successivaaggiunta di ulteriori punti di interpolazione, specie se in numero importanteed in diverse iterazioni: ad ogni step, si dovrebbero infatti ripetere daccapotutti i calcoli gia effettuati per i primi n punti.

Si voglia dunque salvare il risultato relativo al polinomio di grado n-1 cheinterpola i primi n punti, cercando un polinomio di grado n su n+1 punti chesi possa esprimere come:

pn(x) = pn−1(x) + gn(x)

La funzione gn(x) deve essere tale da annullarsi in corrispondenza dei primin nodi, ossia risultare proporzionale al polinomio nodale ωn−1(x) secondoun opportuno coefficiente:

gn(x) = an ωn−1(x) = an

n−1∏i=0

(x− xi)

Imponendo la condizione di interpolazione per il nuovo punto, si ottiene:

pn(xn) = yn = pn−1(xn) + an ωn−1(xn)

=⇒ an =yn − pn−1(xn)

ωn−1(xn)

49

Salvagente CAPITOLO 10. P

A questo punto, e chiaro che per aggiungere un punto di interpolazione escrivere il nuovo polinomio interpolante in funzione del vecchio, e sufficientecalcolare il coefficiente an. D’altra parte, non sarebbe conveniente utilizzarela formula sopra utilizzata a tale scopo.

La scelta che porta alla definizione della forma di Newton del polinomiointerpolante, e quella che fa uso delle cosiddette differenze divise, definitedalle relazioni:

1. f [xi] = f(xi)

2. f [x0, ..., xn] =f [x1, ..., xn]− f [x0, ..., xn−1]

xn − x0

Da cui sostituendo:

f [x0, ..., xn] =pn(x)− pn−1(x)

ωn−1(x)

=⇒ pn(x) = pn−1(x) + ωn−1(x) f [x0, ..., xn]

La formula, che e ricorsiva, una volta riscritta per esteso e sostituendoal polinomio nodale la sua espressione, da luogo al alla forma comune delpolinomio interpolante di Newton:

pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0)+

+f [x0, x1, x2](x− x0)(x− x1) + ...

...+ f [x0, ..., xn](x− x0) · · · (x− xn−1)

10.2 Proiezioni

V. anche Spazi vettoriali → Sottospazi vettoriali

Prende il nome di proiezione qualunque mappa lineare P : Cn → Cn chegoda della proprieta di idempotenza, ossia tale per cui si possa scrivere:

P 2 = P


Salvagente 10.2. PROIEZIONI

Cosa si puo dire di un’applicazione lineare cosı definita? Anzitutto efacile dimostrare che i suoi autovalori debbono ricadere in un ben determinatocampo di valori, discendendo direttamente dalla definizione di autovalore:

P~v = λ~v =⇒ (P − λI) = 0

=⇒ P 2 = (λI)2 = P = λI

=⇒ λ2 = λ

=⇒ λ ∈ 0, 1

Tale vincolo sugli autovalori, che per una proiezione risultano quindi do-ver essere tutti o nulli o pari all’unita, ha un’interpretazione ben precisa: unavolta proiettato - ossia sottoposto ad una qualunque applicazione che sia ascri-vibile alla categoria delle proiezioni -, un vettore vedra invariate tutte le suecomponenti lungo le direzioni che costituiscono la base della trasformazione,meno quelle che sono andate a zero.

Cio e perfettamente in accordo con l’intuizione geometrica: un vettoreavente componenti non nulle secondo i tre assi nello spazio euclideo E, vedraannullarsi una delle sue componenti se proiettato in un piano normale aduno dei vettori di base, due se proiettato lungo una di queste direzioni; lecomponenti che non si annullano rimarranno uguali a se stesse.

Ma questo implica anche, a ben vedere, che ad una proiezione P corri-sponde una partizione dello spazio Cn tale che da una parte si avranno tuttiquei vettori che la P manda a zero, e dall’altra tutti quei vettori trasformatia partire dai ~vi ∈ Cm, dove m e il rango della matrice P . Si pensi ancora allospazio euclideo: la proiezione sul piano xy ripartira i vettori dello spazio traquelli che si annullano perche normali a tale piano, e quelli trasformati chead esso appartengono. Pertanto la dimensione della base della trasformazionesara pari a 2, mentre la nullita, o dimensione del kernel, equivarra ad 1.

Per quanto detto, una proiezione induce necessariamente una decom-posizione per somma diretta dello spazio sul quale e definita, e si puoscrivere:

Cn = Ran(P )⊕Null(P )

Ogni elemento ~v ∈ Cn puo quindi essere scritto come:

~v = P~v + (I − P )~v



Per converso, ogni coppia di sottospazi M ed S che costituisca una decom-posizione in somma diretta di Cn, definisce univocamente una proiezione:

Cn = M ⊕ S =⇒ ∃!P : P ∈ Cm×n, Ran(P ) = M, Null(P ) = S

=⇒®

P~v ∈M~v − P~v ∈ S ∀~v ∈ Cn

Si dice che la mappa lineare P proietta ~v su M e lungo, o parallelamente,al sottospazio S.

Viene naturale definire S attraverso il suo complemento ortogonaleL = S⊥, avente dimensione pari ad m = rank(P ).

Dati due sottospazi M ed L della medesima dimensione m, e possibiledefinire una proiezione su M ortogonale ad L, se e solo se nessun vettore nonnullo di M e ortogonale ad L.

10.2.1 Proiezioni ortogonali

Una particolare classe di proiezioni e ottenuta quando si abbia L ≡M , ossia:

Null(P ) = Ran(P )⊥

In questo caso P e detto PROIEZIONE ORTOGONALE su M .Unaproiezione che non sia ortogonale si dice proiezione obliqua.

Una proiezione ortogonale e definita dal rispetto delle seguenti condizioni:®P~v ∈M

(I − P )~v⊥M =⇒®

P~v ∈M< (I − P )~v, ~w >= 0

∀ ~w ∈M

=⇒ P~v ∈M~v − P~v⊥M

Si puo dimostrare che una proiezione e ortogonale se e solo se la matriceP associata e una matrice hermitiana.


Salvagente 10.3. PROVE SONICHE ED ULTRASONICHE

10.3 Prove soniche ed ultrasoniche

V. anche Velocita del suono

Tra le indagini non distruttive sui materiali, i metodi sonici ed ul-trasonici si distinguono per la minima intrusivita, nonche per la spiccataversatilita.

Essi permettono di effettuare verifiche di omogenetia su maschi murari,manufatti in acciaio, ed anche volumi di terreno - per questi ultimi, la tomo-grafia si prefigura quale uno degli strumenti attualmente piu diffusi per laricostruzione dei profili stratigrafici. Le possibili applicazioni non sono peral-tro limitate a questi esempi di particolare interesse per il campo dell’IngegneriaCivile e Meccanica, ma in questa sede ci si limitera a dare un resoconto dellemetodologie di maggiore risalto e di piu semplice realizzazione per il nostrocampo.

Il principio informatore di questa categoria di metodi e indivuato dallavelocita di trasmissione tra un apparato emettitore responsabile della pro-pagazione di un’onda elastica di una data frequenza - martello strumentatoper le prove soniche, trasduttore piezoelettrico per quelle ultrasoniche -, e l’ap-parato ricevitore - trasduttore piezoelettrico in testa ad un oscilloscopio perentrambi i tipi di prova.

La distinzione tra prove soniche ed ultrasoniche annette semplicemente allafrequenza dell’onda prodotta, essendo fissata per convenzione la soglia degliultrasuoni alla frequenza di 20 kHz, ovvero quella frequenza oltre la quale isuoli non risultano piu udibili dall’orecchio umano.

10.3.1 Tipi di onde

Mentre nei fluidi possono propagare soltanto onde di pressione longitudinali- o di compressione -, in conseguenza della cospicua distanza interatomicache comporta il totale smorzamento delle azioni di taglio, i materiali solidipermettono la trasmissione di onde trasversali.

A queste due principali famiglie, ne vanno tuttavia aggiunte altre due, dellequali e bene tener conto specie per non commettere errori di impostazionenelle metodologie di indagine, dovuti ad una conoscenza parziale dei fenomeniacustici. Se ne dara una descrizione sommaria, senza entrare nel dettagliodella trattazione analitica.

Onde di Rayleigh

Le onde di superficie, od onde di Rayleigh, possono considerarsi un caso par-ticolare delle onde trasversali. Esse propagano sulla superficie di un materialesolido, per uno spessore non superiore alla lunghezza d’onda, quando quella



sia a contatto con un gas. Non possono invece sussistere all’interfaccia tra duemezzi solidi ne sono riscontrabili sulla superficie di un solido immerso in acquao in un altro liquido di densita paragonabile. Va notato che, nonostante ladirezione di propagazione possa essere normale a quella di emissione, gli ato-mi vibrano sia lungo tale traiettoria che trasversalmente ad essa, descrivendoorbite ellittiche.

A parita di altri fattori, la velocita di propagazione e pari a circa il 90%di un’onda trasversale semplice, mentre l’attenuazione risulta sensibilmenteinferiore. Tale caratteristica, in congiunzione con la capacita di superare spi-goli vivi e di poter quindi propagare sulla superficie di un elemento solido digeometria complessa, ne caratterizza le potenzialita in ambito tecnico.

Onde di Lamb

Le onde piatte, od onde di Lamb, sono a loro volta un caso particolare delleonde di superficie, le quali degenerano in esse se il materiale che si offre allapropagazione e spesso non piu di tre volte la lunghezza d’onda.

La peculiarita risiede nel fatto che il materiale solido viene indotto a vibrareper tutto il suo spessore, generando a seconda delle condizioni al contornoun’onda simmetrica (dilatazionale), od asimmetrica (di flessione).

10.3.2 Parametri fondamentali

Frequenza e lunghezza d’onda rappresentano le proprieta fondamentali inambito tecnico, ma non sono le uniche di interesse.

La scelta di una determinata frequenza, e quindi di una corrispondentelunghezza d’onda, essendo esse intrinsecamente legate dalla velocita di propa-gazione in un dato mezzo, influenza la direzionalita ed il contenuto ener-getico dell’onda. Da una parte, la lunghezza d’onda determina la capacitadell’onda propagata di rilevare discontinuita di un certo ordine di grandezzanel mezzo, oltre all’eventuale incapacita di trasmettersi al di la di esso: lacosiddetta flaw sensibility e pari circa ad un terzo della lunghezza d’onda,e pertanto ostacoli di dimensione inferiore a tale soglia non possono essere ri-levati; mentre ostacoli di dimensione molto maggiore della lunghezza d’onda,possono indurre la riflessione totale di questa in funzione del rapporto tra laloro densita e quella del mezzo attraversato.

D’altra parte, alla lunghezza d’onda risulta proporzionale l’energia chel’onda propaga, pertanto quando essa sia particolarmente ridotta, le disper-sioni lungo il percorso di trasmissione, analoghi concettualmente a quelli notiper altri fenomeni oscillatori, possono compromettere a tal punto il segnaleda non permettere la ricezione di questo alle distanze utili per una specificaapplicazione.

In funzione delle particolari necessita tecniche, va pertanto selezionata unafrequenza che rappresenti un efficace compromesso tra capacita di propagazio-



ne ad una certa distanza, e compatibilita con le discontinuita da indagare odaggirare.

Vale la pena richiamare, benche banale, l’espressione piu generale dellavelocita di propagazione:

V =λ

T= λ f

Indicando con ρ la densita del mezzo attraversato, con ω la pulsazioneossia la frequenza angolare, con ξ l’oscillazione delle particelle in vibrazionerispetto alla posizione di equilibrio, con d la distanza dal punto di emissione,e con α un coefficiente di attenuazione proprio del mezzo di propagazione, sipossono esprimere i seguenti parametri:

Impedenza acustica Z = V ρ

Pressione sonora P = Zωξ

Intensita sonora I =P 2

2Z

Attenuazione A =P

P0= e−αd

Fenomeni dispersivi per incidenza normale

Per un’onda sonora che incide normalmente l’interfaccia tra due mezzi di dif-ferente densita e quindi diversa impedenza acustica, si possono definire dueindici atti a determinare quantitativamente la percentuale di intensita sonorache viene riflessa(indice di riflessione R), e quella che viene invece trasmessasuperando l’interfaccia (indice di trasmissione T ):

R =IriflessaIincidente

= (Z2−Z1)2

(Z1+Z2)2

T = ItrasmessaIincidente

= 4Z1Z2(Z1+Z2)2

= 1−R

Si possono altresı determinare facilmente le quote rispettivamente riflessae trasmessa della pressione sonora:ß

PR =Z2 − Z1

Z1 + Z2PT =

2Z2

Z1 + Z2

Legge di Snell

Esattamente come per l’ottica geometrica nel caso della propagazione di ondeelettromagnetiche, anche nel caso delle onde di natura sonora vige la legge diSnell, la quale mette in relazione l’angolo di incidenza α e l’angolo di rifrazione



β tra loro e con le velocita che l’onda possiede nei mezzi rispettivamente postiprima e dopo l’interfaccia:

sinα

sinβ=V1

V2

10.3.3 Profondita di danneggiamento

Quando si preveda o si voglia scongiurare un danneggiamento eccessivo dellostrato piu esterno di una parete o di una piastra, si puo ricorrere alla propaga-zione di un’onda ultrasonica, da emettersi sulla faccia presunta danneggiata.In particolare, si fara riferimento al caso di una parete di calcestruzzo, la qua-le viene usualmente assoggettata a tale prova per la verifica dello spessoredanneggiato dall’azione del fuoco.

L’onda viene emessa dall’apparato emettitore - Transmitter (T ) -, in posi-zione fissa, ed acquisita dall’apparato ricevitore - Receiver (R) -, il quale vienemosso in posizioni successive.

Ad ogni posizione dell’apparato ricevitore corrisponde un differente tempodi trasmissione, da riportarsi su di un diagramma avente in ascissa la distanzatra i due apparati, ed in ordinata il tempo misurato.

Nel diagramma e evidente una discontinuita. Poiche la cotangente del-l’angolo sotteso dal diagramma, punto per punto, rappresenta la velocita ditrasmissione, si puo riconoscere che con i due apparati posti a distanza suffi-cientemente limitata, l’onda si propaga interamente sulla superficie, con unacerta velocita Vs; mentre da una certa distanza, che si chiamera x0, in poi,



si avra una velocita di trasmissione Vd differente: gli apparati saranno suf-ficientemente lontani da far sı che l’onda trovi il suo percorso piu breve (intermini di tempo), propagandosi lungo l’interfaccia tra lo strato danneggiatoe quello integro, piuttosto che sulla superficie, in quanto lo strato incolumepresenta senz’altro un maggiore modulo di elasticita dinamico e permettedi conseguenza una velocita superiore. La discontinuita, posta esattamentealla distanza limite che fa da spartiacque tra le due situazioni, rappresentaanche quella distanza alla quale le due modalita tendono a convergere versoun’identico tempo di trasmissione.

In generale il primo e l’ultimo tratto di traiettoria dell’onda che propa-ga all’interfaccia, di lunghezza x1, avranno una certa inclinazione incognitarispetto alla superficie, ma non e necessario individuarne il valore ai fini delcalcolo. E invece s, ossia lo spessore dello strato danneggiato, la sola incognitada calcolarsi.

Le espressioni di Ts e Td, sono date rispettivamente da:Td =

x0

Vd

Ts =2√x1

2 + s2

Vd+x0 − 2x1

Vs

Per esprimere x1 in funzione degli altri parametri, si puo imporre la con-dizione di minimizzazione di Ts. L’inclinazione locale della traiettoria e lalunghezza del tratto sono infatti quelli che permettono all’onda di propagarsinello spazio nel tempo minore possibile:

dTsdx1

= 0 =⇒ 2

Vd

1

2√x1

2 + s22x1 −

2

Vs= 0

=⇒ x12

Vd2(x1

2 + s2)=

1

Vs2 =⇒ x1

2Vs2 = Vd

2x12 + Vd

2s2



=⇒ x12(Vs

2 − Vd2) = Vd2s2 =⇒ x1 =

Vds»Vs

2 − Vd2

Eliminata cosı un’ulteriore incognita il cui valore risulta superfluo, si puotornare indietro a sostituire nell’espressione di Ts, ed uguagliare quest’ultimaa Td:

2

…Vd

2s2

Vs2−Vd2+ s2

Vd− 2Vds

vs»Vs

2 − Vd2+x0

Vs=x0

Vd

Omettendo lo sviluppo dei passaggi intermedi per la loro banalita, si ottienequindi la profondita di danneggiamento cercata:

s =x0

2

Vs − VdVs + Vd

10.3.4 Profondita di fessurazione

Quando su una parete si rilevi la presenza di una fessura mediante ispezionevisiva, i metodi ultrasonici sono i piu adatti per la stima della sua profondita.

L’approccio consiste ancora nel sistemare l’apparato emettitore in posizio-ne fissa, e nell’effettuare successive misure del tempo di trasmissione dell’ondaelastica facendo avanzare man mano lungo una direzione rettilinea l’apparatoricevitore.

Una prima stima approssimata di h puo gia ottenersi dall’analisi delloschema grafico, senza ricorso ad ulteriori strumenti analitici. Dette L0 la di-stanza che percorrerebbe l’onda in assenza della discontinuita che la fessurarappresenta, ed Lcrack la distanza effettivamente percorsa, e immediato dar-ne le espressioni in funzione della distanza L del baricentro della fessura dai



due apparati, posto che questi siano collocati simmetricamente a cavallo dellastessa:

L0 = 2L

Lcrack = 2√L2 + h2

Giacche la deviazione avviene comunque entro un volume solido che siritiene omogeneo meno che nello spazio occupato dalla fessura, la velocita conla quale l’onda si propaga deve essere la medesima che avrebbe se la superficiefosse indenne e la traiettoria rettilinea, e sotto tale ipotesi e lecito scrivere:

T0 =2L

V

Tcrack =2√L2 + h2

V

Dividendo la seconda equazione per la prima, si ottiene quindi facilmente:

TcrackT0

=

√L2 + h2

L

=⇒ Tcrack2

T02 =

L2 + h2

L2

=⇒ h = L

√ÇTcrack

2

T02

å− 1

Il tempo T0 si puo valutare, banalmente, posizionando entrambi gli appara-ti al di qua o al di la della fessura, dove il materiale sia integro, e posizionandolialla medesima distanza reciproca: il problema e cosı facilmente risolto.

Individuati i punti relativi alle misure effettuate su un diagramma analo-go a quello utilizzato per la stima della profondita di danneggiamento, se siinterpolassero separatamente i punti ricavati da parti opposte della fessura,le due curve non convergerebbero, ed in corrispondenza dell’ascissa relativaalla posizione della discontinuita, si riscontrerebbe un salto: la sua estensionein ordinata, rappresenta la differenza tra il tempo di trasmissione in presen-za della fessura, ed il tempo di trasmissione in sua assenza, per la medesimadistanza tra i due apparati.



La stima della profondita condotta mediante la procedura semplificata,trova il suo principale limite nel fatto che ipotizza perfettamente lineare ilpercorso di propagazione dal dispositivo emettitore al fondo della fessura, cosıcome quello da lı al ricevitore. Tale assunzione e tanto meno realistica, quantomeno risulta omogeneo il materiale: se si trattasse di un acciaio si commette-rebbe un errore trascurabile in termini puramente quantitativi - ma le indaginisugli acciai richiedono di norma una precisione ben maggiore di quella suffi-ciente per i manufatti in calcestruzzo -, mentre per il conglomerato cementiziola stessa presenza degli aggregati annessi alla malta rende l’ipotesi piuttostoblanda.

Andrebbe allora adoperata la formula indicata nel diagramma, che in luogodella semplificazione di cui sopra, si affida alle grandezze deducibili dai risultatidelle misure stesse.

10.3.5 Determinazione del modulo elastico dinamico

Oltre al rilievo dei difetti nel materiale indagato, l’altro fondamentale impiegodei metodi sonici ed ultrasonici e quello che consente di valutare il modulo dielasticita dinamico, ossia quello che compare nelle equazioni riportate in →Velocita del suono → Velocita del suono nei solidi elastici, e che puo esseremediante quelle calcolato. Esso e differente dalla controparte statica, per la ra-gione che la velocita di applicazione delle tensioni risulta sufficientemente alta,e la loro ampiezza sufficientemente trascurabile, da non consentire l’influenzadei parametri reologici tipici di materiali come il calcestruzzo, escludendo in



toto gli effetti di natura viscosa e non lineare. Il modulo calcolato non e per-tanto rappresentativo delle reali caratteristiche meccaniche del materiale, edil suo valore va inteso come finalizzato a delle comparazioni, piuttosto che aduna caratterizzazione in se e per se.

Il confronto puo avvenire sia localmente tra punti diversi del manufatto,al fine di realizzare una mappa di omogeneita per l’individuazione di aree piudeboli o affette da deterioramento, sia nel tempo, per esempio per la stimadegli effetti di un intervento di riparazione o di adeguamento saggiando ledifferenze tra i valori misurati prima e quelli dopo l’intervento.

In un certo senso, si ha un’informazione piu significativa dalla velocitadi propagazione apparente1, piuttosto che dal valore del modulo dinamico:indicativamente, calcestruzzi di carenti caratteristiche meccaniche comportanovelocita di propagazione fino ai 3 km/s, mentre si riconosce essere un materialedalle buone proprieta quello per cui si registri un valore di 4 km/s.

1La velocita di trasmissione viene calcolata, assumendo di conoscere la distanza lungo ilpercorso di propagazione e misurando il tempo impiegato dal segnale a raggiungere la sondache opera da ricevitore. Invero la traiettoria non puo essere univocamente determinata,sicche la velocita e sempre una stima, la cui approssimazione si ritiene accettabile.




S

11.1 Schema alle differenze centrate

E uno schema di discretizzazione per le derivate che usualmente si associaalla risoluzione di problemi fisici afferenti a condizioni di stazionarieta, equindi al trattamento di PDE (equazioni alle derivate parziali) ellittiche- cionondimeno, vi si puo ricorrere anche per problemi di diffusione governatida PDE paraboliche.

D’ora in avanti si indichera con h il generico intervallo di discretizzazione.

11.1.1 Primo ordine

y′(xi) 'yi+1 − yi−1

2h

11.1.2 Secondo ordine

Le differenze centrate del secondo ordine si ottengono non dalle corrispettivedel primo, ma esprimendo la derivata seconda con una differenza in avantiper poi sostituire alle derivate prime che vi compaiono le rispettive differenzeall’indietro:

y′′(xi) 'y′i+1 − y′i

h=

yi+1−yih − yi−yi−1

h

h

=⇒ y′′(xi) 'yi+1 − 2yi + yi−1

h2

11.1.3 Schema generale di applicazione (1D)

Si consideri la generica equazione differenziale di secondo grado nella solavariabile x:

y′′(x) = p(x)y′(x) + q(x)y(x) + r(x)

63

Salvagente CAPITOLO 11. S

Sostituendo alle derivate di y le espressioni fornite per le differenze centratedi primo e secondo ordine, si ottiene:

yi+1 − 2yi + yi− 1

h2− pi

yi+1 − yi−1

2h− qiyi = ri

Moltiplicando ambo i membri per h2, che essendo il quadrato dell’ampiezzadi un intervallo discreto e senz’altro positivo, risulta ancora:

yi+1 − 2yi + yi−1 − hpi2

(yi+1 − yi−1)− qiyi = ri

E quindi, raccogliendo i fattori rispetto ai nodi di valutazione della funzio-ne: (

1 + hpi2

)yi−1 +

[−(2 + h2qi

)]yi +

(1− hpi

2

)yi+1 = h2ri

Se l’intervallo reale [a, b] sul quale si vuole risolvere l’equazione e statosuddiviso in n+1 intervalli - ossia se si hanno n+2 nodi sui quali valutare ivalori assunti dalla funzione -, l’espressione su ricavata puo essere applicatasoltanto su n nodi.

Cio e congruente con il fatto che un’equazione differenziale di secondogrado richiede due condizioni al contorno: il fatto di passare dal continuo aldiscreto, e da metodi analitici a numerici, non modifica il numero di condizioniche si debbono fornire per poter pervenire ad una soluzione.

Passando ad una forma compatta e quindi alla forma matriciale:

bi yi−1 + ai yi + ci yi+1 = ri

y0 = α ; yn+1 = β

=⇒

a1 c1

b2 a2 c2

. . .. . .

. . .. . .

. . . cn−1

bn−1 an

y1

y2......yn

=

h2r1 − b1α

h2r2...

h2rn−1

h2rn − cnβ

Si osserva che la matrice dei coefficienti del sistema e una matrice tri-diagonale. Il fatto che si abbia a che fare con matrici sparse comporta laselezione di opportuni metodi di risoluzione numerici al fine di sfruttare taleconfigurazione a vantaggio del costo computazionale.


Salvagente 11.1. SCHEMA ALLE DIFFERENZE CENTRATE

11.1.4 Esempio 2D: Equazione di Laplace

V anche:

§ Metodo di Gauss-Seidel

§ Metodo di Jacobi

§ Metodo SOR

Si supponga di voler risolvere un problema semplice di filtrazione bidi-mensionale nel piano xz, tale cioe che le caratteristiche del moto si possanoassumere pressoche costanti spostandosi in direzione y su piani paralleli ad xz.Si consideri, per semplificare al massimo l’esempio, che la frontiera del dominiodi filtrazione vada a coincidere con un rettangolo su xz, e sovrapposta a questola griglia di punti sui quali si vuole risolvere numericamente il problema, siipotizzi di conoscere le condizioni al contorno lungo i quattro lati e quindi sututti i nodi di frontiera.

In condizioni stazionarie, l’equazione di Darcy si riduce ad un’equazionedi Laplace nella variabile h - ossia l’altezza piezometrica -, in dipendenza dellecoordinate spaziali:

∆h = ∇2h = 0 =⇒ ∂2h

∂x2+∂2h

∂z2= 0

A questo punto e sufficiente esprimere le derivate parziali ricorrendo al-le differenze centrate di secondo ordine, ed indicando con ∆x l’intervallo didiscretizzazione lungo x e con ∆z quello lungo z:

∂2h

∂x2(xi, zi) '

hi+1, k − 2hi, k + hi−1, k

∆x2;

∂2h

∂z2xi, zi '

hi, k+1 − 2hi, k + hi, k−1

∆z2

Lo schema di discretizzazione risulta cosı fissato, a meno della risoluzionespaziale della griglia di calcolo nelle due dimensioni.

E poiche l’espressione dell’equazione reggente e nota, rimane soltanto dascegliere il metodo numerico cui affidare la ricerca della soluzione.

Trattandosi di un problema di equilibrio 1, non vi e alcuna evoluzione delfenomeno nel tempo fintanto che dominio e condizioni al contorno non subi-scono variazioni - d’altra parte, l’Equazione di Laplace non prevede derivatetemporali delle grandezze.

1Come di consueto per le equazioni ellittiche, che descrivono in molti casi condizionistazionarie particolari di fenomeni retti da equazioni paraboliche (problemi di diffusione),oppure iperboliche (problemi di convezione).



Non conoscendosi i valori assunti dalla funzione incognita se non sullafrontiera, l’approccio piu consono prevede la predisposizione di una matricedi valori iniziali, del tutto arbitrari a meno di quelli sulle righe e colonne piuesterne, e la successiva applicazione di un opportuno metodo iterativo. L’avereper le mani un problema bidimensionale rende infatti comodo sistemare i puntidella griglia di calcolo nelle rispettive celle di una matrice.

Se il dominio di filtrazione e discretizzato in m intervalli lungo x ed nintervalli lungo z, la matrice avra pertanto (m+1)∗ (n+1) elementi. L’analisidella convergenza dei metodi iterativi assicura peraltro che l’arbitrarieta delvettore - qui matrice - dei valori iniziali non compromette in alcun modol’evoluzione dell’algoritmo.

A questo punto viene il passaggio che solitamente presenta le maggioridifficolta nell’economia di una corretta digestione concettuale.

A prescindere dal metodo iterativo, che si scegliera in funzione delle speci-fiche necessita in termini di precisione, carico computazionale e possibilita diparallelizzazione, e al modo in cui si implementa l’equazione su discretizzatache bisogna porre la massima attenzione.

Per operare occorre anzitutto esplicitare hi, k:

hi+1, k − 2hi, k + hi−1, k

∆x2+hi, k+1 − 2hi, k + hi, k−1

∆z2= 0

=⇒ 2hi, k( 1

∆x2+

1

∆z2

)=hi+1, k + hi−1, k

∆x2+hi, k+1 + hi, k−1

∆z2

=⇒ hi, k =

hi+1, k+hi−1, k

∆x2+

hi, k+1+hi, k−1

∆z2

2(

1∆x2

+ 1∆z2

)Fatto questo, per adattare lo schema al metodo si puo pensare di esprimere

l’evoluzione del processo di convergenza alla soluzione come il soddisfacimentodi una condizione costruita ad hoc, ovvero l’annullarsi della derivata di hi, krispetto ad una variabile temporale fittizia t.

Il fatto che h non veda variazione temporale e condizione fisicamente lecita,ma si preferisce vedere la variabile come astratta per la ragione che essa,nell’impostazione numerica, viene a sua volta discretizzata per intervalli finiti,i valori dei quali non hanno alcun significato fisico.

Nel caso piu banale, ossia quello di schema esplicito senza tecniche dirilassamento (ossia il Metodo di Jacobi), e scegliendo l’intervallo temporalefittizio nella maniera piu semplice possibile, si ottiene:

∆t =1

2(

1∆x2

+ 1∆z2

)


Salvagente 11.2. SCHEMI ALLE DIFFERENZE FINITE

=⇒ h(j+1)i, k = ∆ t

(h

(j)i+1, k + h

(j)i−1, k

∆x2+h

(j)i, k+1 + h

(j)i, k−1

∆z2

)

Perche il metodo vada a convergenza, esso dovra operare su tutte le celleinterne della matrice, senza pero modificare i valori imposti sulla frontieradalle condizioni al contorno.

In piu, per implementare delle pareti impermeabili, sara necessario im-porre le relative condizioni di Neumann, facendo sı che la riga (o la colonna)dei punti adiacenti alla parete assuma i medesimi valori presenti in corrispon-denza alla frontiera - cio che esprime l’annullarsi della derivata spaziale dellafunzione in direzione normale alla parete stessa.

Per operare tra due ”step temporali”, che il metodo scelto sia esplicitocome nell’esempio sopra piuttosto che implicito, occorrera ovviamente allocarelo spazio necessario per due matrici, delle quali ad ogni iterazione l’ultimacalcolata diviene la prima, mentre la piu ”vecchia” viene sovrascritta con inuovi valori.

11.2 Schemi alle differenze finite

V. anche:

§ Schema alle differenze all’indietro

§ Schema alle differenza centrate

§ Schemi alle differenze in avanti

§ Schemi upwind

Si tratta di una famiglia di schemi di discretizzazione, il cui fine equello di approssimare le derivate, totali o parziali, mediante rapporti incre-mentabili trattabili numericamente, allo scopo di permettere la manipolazionee risoluzione mediante calcolatore delle equazioni differenziali. Si rimandaalle sezioni riservate ai singoli schemi per un’informazione piu esaustiva.



11.3 Seconda viscosita

V. Bulk viscosity

11.4 Simbolo di Levi-Civita

Si supponga di voler esprimere in una notazione compatta l’operazione diprodotto vettoriale tra due generici vettori di R3 ~a = (a1, a2, a3) e ~b =(b1, b2, b3).

Nel campo dell’algebra lineare tale operazione viene usualmente indicatamediante il prodotto misto tra il vettore delle componenti che costituiscono labase dello spazio, il vettore ~a, ed il vettore ~b: questo e a sua volta formalizzatoper mezzo del determinante che per righe le componenti, nell’ordine, dellabase, di ~a, e di ~b.

E importante notare che l’ordine delle righe del determinante non e super-fluo: il prodotto vettoriale e anticommutativo, ed inoltre la base deve sempretrovarsi in prima posizione.

~a×~b :=

∣∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ = ~e1 (a2b3 − a3b2)− ~e2 (a1b3 − a3b1) + ~e3 (a1b2 − a2b1)

Il simbolo di Levi-Civita, generalizzato ad un numero arbitrario di dimen-sioni, e definito da:

εijkl... :=

+1 se (i, j, k, l, ...) e permutazione pari di (1, 2, 3, 4, ...)

+1 se (i, j, k, l, ...) e permutazione dispari di (1, 2, 3, 4, ...)

0 se due indici sono uguali

Tornando all’esempio in R3, si puo pertanto scrivere:

~a×~b = εijk ~ei aj bk i, j, k = 1, 2, 3

Da cui si riottiene il medesimo risultato precedentemente trovato.

Questa notazione e particolarmente conveniente quando si voglia esprimerein termini sintetici il rotore di un campo vettoriale in R3, ad esempio lavelocita ~u associata ad un sistema fluido.


Salvagente 11.5. SIMBOLO DI RICCI

Si ricorda che in tal caso il rotore genera il campo della vorticita ~ωassociata al moto del fluido:

~ω := ∇× ~u =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~e1 ~e2 ~e3

∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= εijk ~ei

∂uk∂xj

11.5 Simbolo di Ricci

V. Simbolo di Levi-Civita

11.6 Somma diretta


11.7 Spazi affini

V anche Spazi vettoriali

11.7.1 Premessa

Si indichi con E l’insieme formato dai punti dello spazio della geometriaeuclidea.

Dati due punti P,Q ∈ E, il vettore applicato di punto iniziale P e puntofinale Q e il segmento individuato dalla coppia ordinata (P,Q), e viene indicatocon il simbolo ~PQ; P viene anche detto punto di applicazione.

Se P ≡ Q, ~PQ ≡ ~PP e detto vettore nullo applicato in P .

Due vettori applicati non nulli sono detti equipollenti se e solo se hannola stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso.



Un vettore geometrico libero e una classe di vettori applicati equipol-lenti.

L’insieme dei vettori geometrici liberi di E si denota con il simbolo

VE = PQ : P,Q ∈ E

Lo spazio della geometria euclidea risulta individuato una volta chea VE si associno le due operazioni di somma (secondo la regola del parallelo-gramma), e di prodotto per uno scalare.

Valgono le seguenti due proprieta:1. Dati un vettore geometrico libero v ed un punto P ∈ E:

∃!Q ∈ E |v = PQ

2.PQ + QS = PS ∀ (P,Q, S) ∈ E

11.7.2 Definizione

Siano A un insieme non vuoto, i cui elementi si chiamano punti, e V uno spaziovettoriale su un campo K.

Una STRUTTURA DI SPAZIO AFFINE sull’insieme A e definitadall’applicazione

f : A× A→ V

(P,Q) 7−→ f(P,Q)

se sono verificate le seguenti proprieta:1.

∃!Q ∈ A | f(P,Q) = v ∀P ∈ A, ∀v ∈ V

2.f(P,Q) + f(Q,S) = f(P, S) ∀ (P,Q, S)

Uno SPAZIO AFFINE sul campo K e una coppia (A, f).V = V(A) viene chiamato spazio vettoriale dei vettori liberi di A.

Lo spazio affine della geometria euclidea (E, f) e uno spazio affine reale didimensione 3.

Analogamente, i punti di un piano formano uno spazio affine di dimensione2, mentre i punti di una retta formano uno spazio affine di dimensione 1, suR.


Salvagente 11.8. SPAZI TOPOLOGICI

11.7.3 Spazio affine canonicamente associato ad uno spaziovettoriale

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K.

Una struttura di spazio affine su V e determinata dall’applicazione:

f : V×V→ V

(v,w) 7−→ w− v

11.8 Spazi topologici

Si consideri un generico insieme R, i cui elementi arbitrari verranno chiamatipunti. R e uno SPAZIO TOPOLOGICO se per ogni suo elemento P,detti intorni di P dei sottoinsiemi parziali UP di R contenenti P ma nonriducentisi allo stesso, si realizzano le seguenti condizioni:

1. ∃UP ∀P ∈ R

2. ∃UkP : Ukp ∈ (U iP ∩ UjP ) ∀i, j

3. Q ∈ UP =⇒ ∃UQ ⊂ UP

Dacche fa propria la nozione di intorno, per uno spazio topologico R si puoparlare anche di punti di accumulazione, insiemi aperti e chiusi, e cosı via. Inparticolare, ogni intorno e un insieme aperto.

Analogamente, assegnata una funzione f(P) definita in R o in una partedi essa, sono immediatamente applicabili i concetti di limite e continuita,poggiantisi anch’essi sulla nozione di intorno.

11.8.1 Rappresentazione

Se R ed R′ sono due spazi topologici, si chiama RAPPRESENTAZIONEdi R su R′ ogni corrispondenza che associ ad ogni punto del primo un puntodel secondo, e tale che l’insieme dei punti P ′ corrispondenti ai punti di Resaurisca completamente R′.



Omeomorfismo

Una rappresentazione tra due spazi topologici prende il nome di OMEO-MORFISMO qualora soddisfi alle seguenti condizioni:

• La rappresentazione e biunivoca

• La rappresentazione trasforma insiemi aperti di R in insiemi aperti diR′, ossia e bicontinua

11.8.2 Connessione, separazione, spazi di Hausdorff

Uno spazio topologico si dice connesso se non puo decomporsi nella sommadi due sottoinsiemi chiusi non vuoti, privi di elementi comuni.

Uno spazio topologico si dice separato o di Hausdorff, se per esso valeil seguente assioma di separazione:

Due punti distinti ammettono sempre per entrambi intorni nei quali non sianopresenti elementi comuni.

Si fa notare che ogni spazio affine e uno spazio topologico connesso.

11.9 Spazi vettoriali

V. anche Spazi affini

11.9.1 Generalita

Preliminarmente, si richiama la nozione di operazione interna od esterna: edetta interna un’operazione che applicata agli elementi di un insieme produceuna soluzione appartenente al medesimo insieme; un’operazione esterna pro-duce invece un risultato appartenente ad un insieme distinto da quello deglielementi di partenza.

V e uno spazio vettoriale su un campo K (insieme non vuoto di scalari,generalmente R o C, sul quale sono definite le operazioni binarie interne disomma e prodotto), se e soltanto se sugli elementi dell’insieme V , che prendonoil nome di vettori, sono definite un’operazione interna (somma tra vettori),ed un’operazione esterna (prodotto di un vettore per uno scalare), lequali soddisfano le seguenti proprieta:


Salvagente 11.9. SPAZI VETTORIALI

• In V la somma e commutativa ed associativa e ammette un elementoneutro (~0), mentre ad ogni vettore ~v e associato il suo opposto (−~v).

• Il prodotto per uno scalare e distributivo rispetto alla somma vettoriale:

α(~u+ ~v) = α~u+ α~v ∀α ∈ K, ∀ ~u,~v ∈ V

• Il prodotto per uno scalare e pseudo-distributivo rispetto alla somma discalari:

(α+ β)~v = α~v + β~v ∀~v ∈ V

• Pseudo-associativita:

(αβ)~v = α(β~v) ∀α, β ∈ K, ∀~v ∈ V

• Il prodotto per uno scalare ammette l’elemento neutro, ossia lo scalare1.

11.9.2 Spazi normati

Sono spazi che ammettono la norma, ossia una funzione che associa ad ognielemento non nullo dello spazio una lunghezza positiva, definita da:

|| · || : V → [0,+∞)~u 7→ ||~u||

Essa deve verificare le seguenti condizioni:

• ||~v|| ≥ 0 ∀~v ∈ V, ||~v|| = 0 se x = 0.

• ||λ~v|| = |λ| ||~v|| ∀λ

• Disuguaglianza triangolare:

||~u+ ~v|| ≤ ||~u||+ ||~v|| ∀ ~u,~v ∈ V

11.9.3 Spazio di Banach

Prende questo nome uno spazio normato completo rispetto alla metricaindotta dalla norma, nel quale cioe la definizione della norma comportache ogni successione di Cauchy converge ad un elemento che appartiene almedesimo spazio.

11.9.4 Spazio Hermitiano (o prehilbertiano)

e ogni spazio vettoriale sul quale sia definito un prodotto interno: se lo spazio edefinito sul campo reale R, tale operazione coincide con il prodotto scalare.

Uno spazio dotato di prodotto scalare e anche normato, ma non e vero ingenerale il viceversa.



11.9.5 Spazio di Hilbert

Gli spazi di Hilbert sono spazi vettoriali completi rispetto alla metricaindotta dal prodotto scalare.

Si possono considerare una generalizzazione degli spazi euclidei: glispazi euclidei sono spazi di Hilbert a dimensione finita.

11.9.6 Spazi Lp

Si tratta degli spazi vettoriali di funzioni all’interno dei quali riposano lefunzioni a p-esima potenza sommabile.

Gli spazi L1≤p≤∞ sono spazi di Banach, quindi completi rispetto allametrica indotta da una norma, qui definita, nel caso finito, da:

||f ||p =

(∫X|f |p dµ

) 1p

Lo spazio L2 e inoltre - unico caso tra gli spazi Lp -, uno spazio di Hilbert.

11.9.7 Spazi di Sobolev

V. anche Formulazione debole di problemi differenziali

Sono spazi vettoriali di funzioni completi rispetto alla norma ottenuta comecombinazione lineare delle norme-Lp della funzione e delle sue derivate debolifino a un certo ordine.

Se Ω ⊂ Rn e il sottoinsieme sul quale sono definite le funzioni che appar-tengono allo spazio, tale norma risulta definita da:

||f ||W l,p(Ω) =∑|α|<l||Dαf ||Lp(Ω)

Le soluzioni dei problemi alle derivate parziali vengono usualmente cercatein spazi di Sobolev, mediante il passaggio alla formulazione debole.

11.9.8 Sottospazi vettoriali

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, e sia W un sottoinsieme non vuotodi V . W e un sottospazio vettoriale di V se e solo se:

~u,~v ∈W, λ, µ ∈ K =⇒ (λ~u+ µ~v) ∈W


Salvagente 11.9. SPAZI VETTORIALI

Tale espressione sintetica impone implicitamente che W sia spazio vetto-riale su K con le operazioni di somma vettoriale e prodotto di un vettore peruno scalare, e che esso sia chiuso rispetto a tali operazioni.

Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani passanti per l’origine,sottospazi dello spazio euclideo E.

Siano allora W ed U due sottospazi di V .

La somma e l’intersezione di W ed U sono ancora sottospazi vettoriali,definiti rispettivamente dalle relazioni:

W + U := ~w, ~u | ~w ∈W,~u ∈ U

W ∩ U := ~v |~v ∈W,~v ∈ U

Un’importante relazione tra i quattro sottospazi W , U , W + U e W ∩ Urisulta istituita dalla formula di Grassmann:

dim(W + U) = dim(W ) + dim(U)− dim(W ∩ U)

Quando si abbia W ∩ U = 0, si dice che W ed U sono in SOMMADIRETTA, e che V si decompone in somma diretta di W ed U :

V = U ⊕W

Per esempio, lo spazio M(n) delle matrici quadrate n× n su K si decom-pone per somma diretta nel sottospazio relativo a quelle simmetriche e nelsottospazio relativo a quelle antisimmetriche:

M(n) = S(n)⊕A(n)

Data la matrice quadrata A ∈ Cm×n associata ad un generico endomor-fismo da Cn in se stesso, godono di particolare importanza i due sottospazidi Cn, detti rispettivamente range (avente la dimensione della base di A) enucleo (o kernel), cosı definiti:

Ran(A) = Ax |x ∈ CmNull(A) = x ∈ Cn |Ax = 0

Inoltre, per il teorema del rango, si ha:

rank(A) + null(A) = n



Dove rank(A) e il rango della matrice, pari al numero di righe linearmenteindipendenti ossia all’ordine massimo dei minori a determinante non nullo,mentre null(A), con la prima lettera minuscola, e la nullita o dimensionedel kernel.

Si ponga attenzione alla simmetria: il rango e la dimensione del range,e quindi dell’immagine della trasformazione lineare, mentre la nullita e ladimensione del kernel, ossia del sottoinsieme del dominio che la trasformazionemanda a zero.

Analoga definizione si puo ovviamente applicare per trasformazioni lineariche agiscono sul campo reale, semplicemente sostituendo a Cn, Rn.

11.9.9 Disuguaglianza di Schwarz

E definita per ogni spazio che ammetta prodotto scalare:

| < ~u,~v > | ≤ ||~u|| · ||~v|| ∀~u,~v ∈ V

Quindi il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori e sempre nonmaggiore del prodotto delle loro norme.

11.10 Splitting additivo

V anche:

§ Metodo di Gauss-Seidel

§ Metodo di Jacobi

§ Metodo SOR

Si tratta di una particolare strategia di costruzione di metodi iterativi perla risoluzione di sistemi lineari.

L’idea e quella di ottenere la soluzione del sistem Ax = b applicandoad ogni step alla soluzione approssimata una matrice di iterazione M dadefinirsi convenientemente, e a partire da un vettore x(0) di inizializzazione,sul quale non si fanno ipotesi particolari.

Ad ogni iterazione ci si aspetta dunque di poter scrivere x(k+1) = Mx(k)+f,dove f e una quantita costante ottenuta dal vettore dei termini noti del sistema.


Salvagente 11.10. SPLITTING ADDITIVO

L’operazione di splitting consiste nell’esprimere la matrice A dei coefficientidel sistema come somma algebrica di due o piu matrici distinte, delle qualialmeno una (P ), deve essere facile da invertire, mentre la somma delle altrepuo essere genericamente indicata come la matrice N . Questo escamotagepermette di scrivere:

Ax = b

A = P −N=⇒ (P −N)x = b =⇒ Px(k+1) = Nx(k) + b

=⇒ x(k+1) = P−1Nx(k) + P−1b = Mx(k) + f

Mentre la scelta particolare di P e di N riguarda ciascun metodo apparte-nente alla presente classe, si vuole conoscere il comportamento dell’errore nellageneralita dei casi, in maniera tale da poter poi individuare delle condizioni diconvergenza che permettono di caratterizzare, studiare e sviluppare i singolialgoritmi.

Intuitivamente, la convergenza puo esprimersi come l’annullamento dell’er-rore (sulla soluzione), nel limite del numero di iterazioni operate dall’algoritmoche tende ad ∞, per qualunque vettore scelto per l’inizializzazione:

limk→∞

||e(k)|| = limk→∞

||x(k) − x|| = 0

Combinando linearmente l’espressione ottenuta dallo splitting con la stessaespressione scritta per la soluzione esatta, e mettendo in evidenza i terminiesprimenti l’errore, si ricava l’espressione di questo in funzione della matricedi iterazione:

Px(k+1) = Nx(k) + bPx = Nx + b

P (x(k+1) − x) = N(x(k) − x)

=⇒ P (e(k+1)) = N(e(k))

=⇒ e(k+1) = P−1Ne(k) = Me(k)

Andando ora a sostituire nell’espressione della convergenza si trova:

limk→∞

||e(k)|| = limk→∞

||Me(k−1)|| = limk→∞

||M2e(k−2)|| =

= ... = limk→∞

||Mke(0)|| = limk→∞

e(0)||Mk||



=⇒ limk→∞

e(0)||Mk|| = 0

In sostanza, a dover convergere a 0 affinche converga a 0 l’errore, sono lepotenze della matrice di iterazione.

Tale circostanza, sotto la quale si parla di matrice convergente, e per-seguibile se e solo se il raggio spettrale e inferiore all’unita, ossia se risultainferiore all’unita il massimo in modulo tra gli autovalori di M . Tale e lacondizione necessaria e sufficiente acche il metodo iterativo converga:

maxiλi(M) = ρ(M) ≤ ||M || < 1

Come riportato nell’espressione, il raggio spettrale non e mai maggiore diqualunque norma matriciale consistente, e pertando per ottenere la conver-genza e sufficiente selezionare una norma facile da calcolare ed imporre che siainferiore all’unita.

Per spiegare il significato della condizione di convergenza, puo essere utilerifarsi ad un caso particolare, ma di sicuro potere esplicativo.

Si supponga allora di aver selezionato la seguente matrice di iterazione perun sistema lineare con matrice dei coefficienti a rango pieno e pari a 3:

M =

Ö1 2 10 2 01 −2 1

èTale matrice e diagonalizzabile, quindi riducibile ad una matrice diago-

nale avente per elementi diagonali i suoi autovalori, che per la condizione didiagonalizzabilita avranno molteplicita geometrica pari a quella algebrica.

Gli autovalori di M , come e facile calcolare, sono 2, 2, 0, pertanto lamatrice diagonale associata e:

DM =

Ö2

20

è=⇒ DMe(k) = 2e

(k)1 i + 2e

(k)2 j + 0e

(k)3 k

Diagonalizzare una matrice significa rappresentare l’endomorfismo ad essaassociato in una base - costituita dagli autovettori -, tale che la nuova matriceesprima in maniera piu semplice, comprensibile e trattabile la maniera in cuil’applicazione lineare opera. Cionondimeno, se l’endomorfismo e il medesimo,per cui se inizialmente dilatava un vettore cui fosse applicato, lo fara anchenella nuova base, e se lo contraeva o lasciava invariato, ugualmente.


Salvagente 11.10. SPLITTING ADDITIVO

Evidentemente, a meno delle differenze dovute all’esprimere le coordinatein una base differente, M dilata il generico vettore lungo due direzioni an-nullandone la terza componente, e dunque non potrebbe portare il metodo aconvergenza, amplificando anzi l’entita dell’errore ad ogni iterazione. E faciledimostrare che M opera realmente cosı, e ce ne si persuade, molto banalmente,provando ad applicarla al posto della sua diagonalizzazione:

Mx(k) =

Ö1 2 10 2 01 −2 1

èÜe

(k)1

e(k)2

e(k)3

ê=

Ü4e

(k)1

2e(k)2

0e(k)3

êOra e evidente, ricordando ancora che una volta diagonalizzata una matrice

presenta sulla diagonale i suoi autovalori, che se si vuole far diminuire daun’iterazione all’altra l’errore, gli autovalori della matrice di iterazione devonoessere, banalmente, tutti minori di 1.

A questo punto, colto il significato geometrico della condizione di conver-genza, conviene pero sfruttare le norme matriciali, essendo il raggio spettralenon cosı economico in termini computazionali.

Ricorrendo alla norma-infinito, la condizione diviene:

||M ||∞ = maxi=1,....m

n∑j=1

|mij | < 1

Si puo rilassare ulteriormente la condizione nel caso di particolari scel-te della matrice P , che si ricorda doversi preferire facile da invertire. Se adesempio la si ponesse uguale alla diagonale di A, automaticamente la conver-genza del metodo iterativo sarebbe garantita qualora A fosse a dominanzadiagonale stretta; ovvero se si avesse:

|aii| >n∑

j=1,j 6=i|aij |

Per ogni riga della matrice di iterazione si potrebbe infatti scrivere:

n∑j=1

|mij | =1

|aij |

n∑j=1,j 6=i

|aij | < 1 =⇒n∑

j=1,j 6=i|aij | < |aii|

Pertanto risulta dimostrato che, in questo particolare caso e in altri similiche qui non si affronteranno, la dominanza diagonale stretta della matricedei coefficienti del sistema implica che l’unita e maggiorante sia della norma-infinito della matrice di iterazione, sia del suo raggio spettrale, rendendo ilmetodo costruito su di essa convergente.




T

12.1 Teoria dell’onda lineare di Airy

Mentre nell’Idraulica Fluviale l’attenzione e posta quasi esclusivamente sugliaspetti dinamici, nell’Idraulica Marittima detiene un’importanza fondamenta-le pure lo studio della cinematica, la quale consente non soltanto di descriverele traiettorie seguite dalle particelle in moto nel piano contenente le oscillazio-ni della superficie libera, ma anche di caratterizzare energeticamente, seppurecon un certo grado di approssimazione, il fenomeno propagatorio.

Quella di Airy (1884), risulta essere la piu semplice tra le teorie atte arealizzare una descrizione cinematica del moto ondoso, ma benche sia oramaipassibile di critica per le profonde limitazioni, la sua trattazione rimane unottimo strumento didattico, che peraltro permette di apprezzare con maggiorecoscienza i risultati e gli strumenti offerti da teorie piu recenti.

Il moto viene analizzato su un piano, che e quello su cui giace la verticaleastronomica, cosı che una dimensione si estenda grossomodo come la direzionelocale delle linee di forza del campo gravitazionale, mentre l’altra identifica ladirezione lungo la quale si propaga l’onda, in un verso o nell’altro.

12.1.1 Ipotesi

La teoria lineare di Airy e anche nota come teoria dell’onda infinitesima:la prima e fondamentale ipotesi riguarda infatti l’entita delle oscillazioni del-la superficie libera - il cui profilo si prefigura come uno dei punti di arrivodella trattazione -, rispetto alla posizione di riposo, ossia alla configurazionedi equilibrio, che implica anche l’assenza di qualsiasi azione delle cosiddetteforzanti, ovvero delle forze che generano il fenomeno oscillatorio.

Volendo semplificare quanto piu possibile il fenomeno sı da mettere in lucei soli aspetti essenziali senza perdere troppo in generalita, si puo supporre ilfluido omogeneo, isotermo, ed incomprimibile. L’omogeneita riduce il campodi analisi ad una sola specie chimica, l’isotermia consente di trascurare le per-turbazioni, di entita ancora piu trascurabile, dei campi di velocita e pressionead opera dei gradienti termici; e l’incomprimibilita, da ultimo, ben si accordaalla scala tipica sia dei possibili domini che delle grandezze caratteristiche diun moto ondoso.

81

Salvagente CAPITOLO 12. T

Volendo semplificare quanto piu possibile il fenomeno sı da mettere in luce isoli aspetti essenziali, si puo supporre il fluido ideale, pesante, incomprimibile,isotermo ed omogeneo.

La condizione di fluido ideale presuppone l’annullamento dei termini,nell’equazione del moto, proporzionali alla viscosita. L’imposizione della stessarisulta lecita, dacche nei riguardi del moto ondoso, nel caso generale, i fenomeniviscosi afferiscono prevalentemente alla superficie ed il fondo, ossia le interfaccedel campo di moto, piuttosto che l’interno del dominio.

Ritenere il fluido un fluido pesante, equivale a considerare la forza pesoquale unica forza di massa influenzante. In questo caso la legittimita del-l’assunzione e data dal fatto che alla scala della lunghezza d’onda tipica diun moto ondoso ordinario, non e sensibile l’influenza della forza apparente diCoriolis.

L’incomprimibilita risulta un’ipotesi accettabile sia in relazione al fat-to che le oscillazioni dei campi interessanti il sistema fluido sono di piccolaintensita, sia per le caratteristiche intrinseche di questa categoria di moti.

L’ipotesi di isotermia, consente di semplificare l’equazione di stato delsistema fluido e di ignorare le perturbazioni infinitesime - di ordine ancora in-feriore alle piccole oscillazioni della superficie -, indotte sui campi da eventualigradienti termici.

L’omogeneita, ossia l’ipotesi che il fluido sia costituito da una sola speciechimica, permette di escludere variazioni locali di densita.

Le condizioni sopra elencate concorrono a definire un’ipotesi ulteriore, laquale dipende da esse e le sottintende, e che va ad aggiungersi a quella delleoscillazioni infinitesime della superficie libera. Essa e l’ipotesi di IRROTA-ZIONALITA (del campo di moto). In particolare, si vuole mostrare comeil moto ondoso, in conseguenza delle semplificazioni che la teoria abbraccia,si possa ritenere scaturente da condizioni di irrotazionalita, ed irrotazionalepure nel suo sviluppo.

Quanto alle condizioni iniziali, si puo assumere che il moto scaturisca dacondizioni iniziali di equilibrio idrostatico, il quale come e chiaro non puoimplicare ed anzi esclude ogni carattere di rotazionalita.

Per quanto concerne la permanenza, e invece noto che un moto irrota-zionale rimane tale quando siano soddisfatte le condizioni di fluido ideale, dibarotropicita, e di conservativita delle forze di massa. La prima condizione estata imposta esplicitamente. La barotropicita discende dall’isotermia, quan-do a questa si aggiunga l’ulteriore ipotesi di processo isoentropico, poiche intale circostanza la pressione diviene funzione univoca della sola densita. Laconservativita e garantita dall’esclusione dell’influenza delle accelerazioni diCoriolis, essendo la forza di gravita senz’altro dotata di potenziale.


Salvagente 12.1. TEORIA DELL’ONDA LINEARE DI AIRY

12.1.2 Impostazione dell’equazione reggente

Posto che il moto si puo ritenere irrotazionale, esso dovra per conseguenzaammettere un potenziale: l’espressione di tale potenziale di velocita e quanto cisi prefigge di trovare, al fine di poter caratterizzare la cinematica del fenomeno.Tale espressione sara la soluzione di un’equazione, corredata di certe condizionial contorno, ed ora ci si propone di costruire opportunamente l’una e le altre.

Sviluppandosi il moto, come si e detto, su un piano, siano u e w le com-ponenti del vettore velocita, rispettivamente nel verso di propagazione del-l’onda, e in quello delle linee di forza del campo di gravita. Essendo nullala componente nella terza dimensione, la condizione di irrotazionalita, datadall’annullamento della vorticita, sara data semplicemente da:

~ω = ∇× ~v =∂u

∂z− ∂w

∂x= 0

Dall’equazione di continuita si ricava invece:

Dρ

∂t+ ρ∇ · ~v = 0

Dρ

∂t= 0 =⇒ ∇ · ~v = 0

∇ · ~v =∂u

∂x+∂w

∂z= 0

Ancora, la definizione di un potenziale φ′(x, z, t) per la velocita richiedeche sia:

~v = −∇φ′ =⇒

u = −∂φ

′

∂x

w = −∂φ′

∂z

Gli ultimi due risultati, combinati, implicano l’armonicita del potenziale,per il quale si puo pertanto scrivere l’equazione di Laplace:

∇ · ~v = ∇ ·(−∇φ′

)= 0 =⇒ ∇2φ′ = 0

Il primo risultato e invece utile per scrivere in una forma conveniente leproiezioni dell’equazione del moto, che in questo caso e l’equazione di Eulero,



lungo i due assi. Si riporta il procedimento relativo alla sola proiezione sull’assex, poiche quello relativo all’asse z conduce al medesimo risultato:Å

ρD~v

Dt

ã·~i =

Äρ ~fm −∇p

ä·~i

=⇒ ∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ w

∂u

∂z= −g ∂z

∂x− 1

ρ

∂p

∂x

=⇒ ∂

∂t

Ç−∂φ

′

∂x

å+ u

∂u

∂x+ w

∂w

∂x= −g ∂z

∂x− 1

ρ

∂p

∂x

=⇒ ∂

∂x

Ç−∂φ

′

∂t+u2

2+w2

2+ gz − p

ρ

å= 0

=⇒ ∂

∂x

Ç−1

g

∂φ′

∂t+ z +

p

γ+|~v|2

2g

å= 0

La derivata spaziale si annulla, pertanto l’argomento e costante rispettoalla variabile x, mentre risulta funzione del tempo. Si puo pertanto scrivere:

−1

g

∂φ′

∂t+ z +

p

γ+|~v|2

2g=C ′(t)

g= C(t)

Evidentemente la presenza della funzione variabile nel tempo e di disturbo,ma un escamotage permette di superare agevolmente l’ostacolo: si sostituisceal potenziale incognito φ′, un secondo potenziale φ che lo maggiora per unaquantita proporzionale all’integrale indefinito nel tempo della funzione che sivuole togliere di mezzo.

φ = φ′ + g

∫C(t) dt

=⇒ −1

g

Å∂φ

∂t− g C(t)

ã+ z +

p

γ+|~v|2

2g= C(t)

Da cui, semplificando e trascurando il termine cinetico, essendo questotrascurabile nell’ipotesi di piccole - e lente - oscillazioni della superficie libera:

1

g

∂φ

∂t= z +

p

γ

Si sono cosı ottenute, nella variabile φ, delle forme equivalenti dell’equa-zione di continuita - espressa come equazione di Laplace -, e dell’equazione del



moto. Si potrebbe obiettare che ci si e inizialmente riferiti ad un potenziale φ′:in realta i due sono del tutto equivalenti all’atto pratico, in quanto, differendoper una costante, una volta derivati condurranno a degli stessi valori: cio cheinteressa non e identificare univocamente una funzione potenziale, ma trovarei parametri cinematici che descrivono il fenomeno.

Condizione al contorno dinamica

Una prima condizione al contorno, di natura dinamica, si puo imporre assu-mendo che la pressione relativa sia nulla in ogni punto della superficie: in talmodo si ignora l’eventuale presenza del vento, ma la semplificazione risultaaccettabile se si considera il fatto che per un moto ondoso sviluppato, ad unacerta distanza dal fetch1 che l’ha generato, il profilo della superficie di un’ondaisolata conserva le sue caratteristiche pur non essendo piu a diretto contattocon l’azione della forzante.

Se l’asse z e diretto nel verso delle profondita decrescenti, mentre η(x, t)e lo scostamento della superficie rispetto al livello z = z0 = 0 di riposo,dall’equazione del moto deriva immediatamente:

1

g

∂φ

∂t

∣∣∣∣z=η

= η

Tale condizione e facilmente linearizzabile, sempre per l’ipotesi dei piccolispostamenti dalla condizione di riposo, scrivendo:

η =1

g

∂φ

∂t

∣∣∣∣z=0

Condizioni al contorno cinematiche

Si dispone di due condizioni al contorno di carattere cinematico, relative ri-spettivamente alla superficie ed al fondo. L’idea e quella che una qualunqueparticella, che si trovi in superficie o al fondo, vi rimarra anche per istan-ti successivi del moto. Cio equivale ad imporre l’impenetrabilita del fondale,nonche l’impossibilita per le particelle di assoggettarsi a miscelamento, quantoe in accordo con l’ipotesi di barotropicita.

1Superficie di mare aperto sulla quale spira un vento con direzione ed intensita costanti,ed entro cui avviene la generazione del moto ondoso.



Al fondo, deve annullarsi la componente verticale della velocita. Se d e laprofondita rispetto alla quota di riposo, si puo scrivere:

wz=−d = −∂φ∂z

∣∣∣∣z=−d

= 0

In superficie, la componente verticale della velocita deve invece coinciderecon la velocita con qual quale muove il profilo:

wz=η =Dη

Dt=∂η

∂t+ u

∂η

∂x' ∂η

∂t= −∂φ

∂z

∣∣∣∣z=η' −∂φ

∂z

∣∣∣∣z=0

=⇒ ∂η

∂t= −∂φ

∂z

∣∣∣∣z=0

Condizione di Poisson

Derivando rispetto al tempo la condizione dinamica, e combinandola con lacondizione cinematica di superficie, si ottiene:

1

g

Ç∂φ2

∂t2

åz=0

+∂φ

∂z

∣∣∣∣z=0

= 0

Delle condizioni al contorno scritte, le tre riquadrate sono quelle che sieffettivamente conducono alla risoluzione del problema.

12.1.3 Profili d’onda

Imponendo all’equazione di Laplace le tre condizioni al contorno individuate, edopo aver risolto applicando il metodo di separazione delle variabili, si trovanotre soluzioni, descriventi rispettivamente l’onda progressiva - avanzante nelverso positivo delle x -, l’onda regressiva - avanzante nel verso negativo dellex -, e l’onda stazionaria - caratterizzata dalla sola oscillazione verticale delprofilo.

φprogressive =ag

σ

ch[k(z + d)]

ch(kd)cos(kx− σt)

φregressive =ag

σ

ch[k(z + d)]

ch(kd)cos(kx+ σt)

φstationary =2ag

σ

ch[k(z + d)]

ch(kd)coskx cosσt

Le grandezze che compaiono sono:



• a: ampiezza dell’oscillazione dell’onda rispetto alla posizione di riposo

• σ =2π

T: pulsazione (o frequenza angolare)

• k =2π

L: numero d’onda - L lunghezza d’onda

Si trovano cosı, infine, le espressioni dei profili d’onda nei tre casi sum-menzionati, sostituendo le espressioni dei potenziali in quella del livello dellasuperficie libera, nell’approssimazione di livello coincidente con la posizione diriposo per la piccola entita delle oscillazioni:

η =1

g

∂φ

∂t

∣∣∣∣z=0

ηprogressive =∂

∂t

Çag

σ

ch[k(z + d)]

ch(kd)cos(kx− σt)

åz=0

= a sin(kx− σt)

ηregressive =∂

∂t

Çag

σ

ch[k(z + d)]

ch(kd)cos(kx+ σt)

åz=0

= −a sin(kx+ σt)

ηstationary =∂

∂t

Ç2ag

σ

ch[k(z + d)]

ch(kd)coskx sinσt

åz=0

= −2a coskx sinσt

12.1.4 Relazione di dispersione lineare e celerita di fase

Cosa rappresenta, o per meglio dire, da cosa e rappresentata l’informazionein un fenomeno fisico oscillatorio?

Intuitivamente, l’oscillazione di una o piu grandezze legate allo stato delsistema fa sı che queste assumano i medesimi valori ad intervalli regolari, sesi escludono i fenomeni dispersivi e si assuma quindi che ogni grandezza siasemplicemente trasportata dalla propagazione. Nel procedere di un’onda dishock, ad esempio, ad esempio, la sua celerita rappresenta la velocita con laquale il suo fronte ripido avanza nello spazio.

Nel caso di un canale a pelo libero, una causa perturbatrice indurra ilpropagare di un’onda, che in assenza di smorzamento avra istante per istantela medesima velocita caratteristica: la celerita, per l’appunto.

Se la velocita della corrente indisturbata e inferiore alla celerita dell’onda,e la causa perturbatrice si manifesta in un punto qualunque lungo l’estensionedell’alveo, il suo effetto sara sentito sia a valle, che a monte di quella posizione.La perturbazione va pensata come l’instaurarsi di una condizione al contor-no che muta la soluzione delle equazioni descriventi i campi delle grandezze



interessate, e l’influenza si esplica tanto in un senso, quanto nell’altro. Unaparticella a monte della discontinuita, essendo piu lenta dell’onda, vedra le suegrandezze associate mutare piu velocemente di quanto essa non avanzi nellospazio: l’onda modifichera il livello della superficie libera anche a valle dellaperturbazione per una distanza considerevole.

Se la corrente avesse invece velocita superiore alla celerita dell’onda, ladiscontinuita si osserverebbe nell’intorno della posizione della causa perturba-trice, senza tuttavia riuscire a percorrere a ritroso la corrente.

Come e noto dalla teoria elementare delle correnti a pelo libero, la celeritacon cui l’onda propaga e funzione dell’energia posseduta dalla corrente pre-cedentemente all’instaurarsi della discontinuita. Questa discrimina pertanto,per la medesima condizione al contorno, e per la stessa velocita della corrente,se gli effetti della perturbazione propagheranno in una sola o in entrambe ledirezioni, in funzione del fatto che la celerita risulti inferiore o superiore allavelocita della corrente indisturbata.

Deve pertanto potersi esprimere una relazione, che leghi l’energia del si-stema all’alterazione delle caratteristiche del flusso e quindi alla quantita dimoto, attraverso la celerita permessa per la propagazione di una perturbazio-ne, e che nel caso di un fenomeno ondulatorio si presenta come un legame tra lapulsazione ed il vettore d’onda: tale e la RELAZIONE DI DISPERSIO-NE, e discrimina della velocita con cui l’informazione si propaga in funzionedell’energia del sistema, ossia della velocita con cui il mutamento delle condi-zioni al contorno modifica i valori dei campi alterando le soluzioni locali delleequazioni reggenti.

Ritorniamo ora al moto ondoso oggetto della nostra indagine.

Nel caso di un’onda isolata progressiva cosı come trattata dalla teoria linea-re, la relazione di dispersione e vincolata dal fatto che per ipotesi l’oscillazionesi propaga su un piano lungo la sola direzione x, e dalle ulteriori semplificazionifatte in sede di impostazione.

Essa puo essere ricavata, imponendo la condizione di condizione di Pois-son precedentemente ricavata all’espressione del potenziale di velocita, otte-nendo:

σ2 = gk tanh(kd)

Rimane da assegnare un’espressione alla celerita, che in questo caso pren-de il nome di celerita di fase, giacche afferisce al caso della propagazionedella singola perturbazione, e non tiene in conto i fenomeni che scaturisconodall’interferenza di perturbazioni successive.

Richiamando il fatto che si e assunta come condizione iniziale un campodi moto uniforme con velocita nulla, ossia l’equilibrio idrostatico, la celerita



dell’onda sara evidentemente data dal rapporto tra la lunghezza d’onda, equindi l’intervallo spaziale tra successive coincidenze dei valori del campo, edil periodo dell’onda stessa, ossia il tempo richiesto per le medesime coincidenze.Si puo cioe scrivere:

c =L

T=

2π

T

L

2π=σ

k

Ricorrendo alla relazione di dispersione lineare, si ottiene pertanto:

σ2

k2=g

ktanh(kd)

=⇒ c =σ

k=

…g

ktanh(kd)

Si vuole ora mostrare come la celerita di fase dell’onda sia funzione nontanto della profondita d, quanto della velocita relativa, ossia il rapporto traquella e la lunghezza d’onda.

L’argomento della tangente iperbolica puo infatti essere riscritto come:

kd =2π

Ld = 2π

d

L

Approssimazione di acque basse

Al tendere a 0 della profondita relativa, e quindi per profondita molto limitateoppure per lunghezze d’onda particolarmente grandi, la celerita risulta essere:

c = limkd→0

…g

ktanh(kd) ≈

…g

kkd =

√gd

Convenzionalmente il limite di acque basse viene individuato da unvalore della profondita relativa pari ad un ventesimo, benche in realta pertale valore l’argomento della tangente iperbolica sia sensibilmente superiore aquello nullo:

d

L=

1

20=⇒ tanh(kd) = tanh

Å2π

L

L

20

ã= tanh

Åπ

10

ã' 0.304



Approssimazione di acque profonde

Al tendere ad ∞ della profondita relativa, ossia per profondita molto elevateo per lunghezze d’onda piuttosto piccole, si ottiene invece:

c = limkd→∞

…g

ktanh(kd) =

…g

k

In questo caso il limite di acque profonde, che risulta essere un’appros-simazione piu accurata della precedente, viene individuato nella meta di unalunghezza d’onda, ed infatti si puo facilmente vedere che:

d

L=

1

2=⇒ tanh(kd) = tanh

Å2π

L

L

2

ã= tanh (π) ' 0.996

Per profondita relative comprese tra il limite di acque basse ed il limite diacque profonde, si parla di acque di transizione.

12.1.5 Descrizione cinematica

Col procedere dell’onda progressiva, le particelle descrivono delle orbite el-littiche intorno alla posizione di riposo. Poiche per ipotesi gli spostamentirispetto a tale posizione sono piccoli, si puo rilassare il problema esprimendole componenti di velocita u e w in funzione di essa:

u(x, z, t) ' u(x0, z0, t) =

agk

σ

ch[k(z0 + d)]

ch(kd)sin(kx0 − σt) =

dξ

dt

w(x, z, t) ' w(x0, z0, t) = −agkσ

sh[k(z0 + d)]

ch(kd)cos(kx0 − σt) =

dζ

dt

Da cui le espressioni dei due parametri cinematici risultano:ξ =

∫u dt =

agk

σ2

ch[k(z0 + d)]

ch(kd)cos(kx0 − σt)

ζ =

∫w dt =

agk

σ2

sh[k(z0 + d)]

ch(kd)sin(kx0 − σt)

Combinando linearmente con la relazione di dispersione lineare, si possonoquindi tradurre in una forma piu comoda:

ξ = ach[k(z0 + d)]

sh(kd)cos(kx0 − σt)

ζ = ash[k(z0 + d)]

sh(kd)sin(kx0 − σt)



Per mostrare l’ellitticita delle orbite, e sufficiente operare un semplicecambio di variabili:

A = ach[k(z0 + d)]

sh(kd)

B = ash[k(z0 + d)]

sh(kd)

=⇒

Åξ

A

ã2

= cos2(kx0 − σt)Åζ

B

ã2

= sin2(kx0 − σt)

=⇒ ξ2

A2+ζ2

B2= 1

I valori di A e B sono anch’essi determinati dalla profondita relativa, chedecide dello ”schiacciamento” delle orbite: esse si restringono nell’approssima-zione di acque basse, mentre degenerano in circonferenze nell’approssimazionedi acque profonde.




V

13.1 Varieta

V. anche Spazi topologici

13.1.1 Varieta topologiche

Si definisce varieta topologica di dimensione n Mn uno spazio di Hausdorfftale che ogni suo punto P possieda un intorno aperto UP omeomorfo ad unaperto dello spazio euclideo n-dimensionale Rn.

13.1.2 Carte locali

Ogni coppia (U,ϕ), dove U e un insieme aperto di Mn, mentre ϕ e un omeomor-fismo di U in un insieme aperto di Rn, prende il nome di intorno coordinato oCARTA LOCALE : a P ∈ U sono assegnate le n coordinate x1(P), ..., xn(P)della sua immagine ϕ(P) in Rn→ ciascuna xi(P) e una funzione a valori realidefinita in U : l’i-esima funzione coordinata.

Se (P ) giace anche in un secondo intorno V , e possibile definire una secondacarta locale (V, ψ), e quindi un altro set di coordinate per il punto P: ψ(P) =(x1′(P), ..., xn

′(P)).

Poiche ϕ e ψ sono omeomorfismi, essi definiscono per composizione unnuovo omeomorfismo, detto FUNZIONE DI TRANSIZIONE :

ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V )→ ψ(U ∩ V )

Dominio e codominio della funzione di transizione sono insiemi aperti diRn, corrispondenti ai punti dell’intersezione (U ∩ V ) mediante le due applica-zioni coordinate ϕ e ψ, rispettivamente.

In coordinate l’applicazione ψ ϕ−1 e data dalle funzioni continue

xi = hi(x1, ..., xn) ≡ xi(x1, ..., xn) i = 1, ..., n

93

Salvagente CAPITOLO 13. V

Esse restituiscono le coordinate xi′

di P ∈ (U ∩ V ) in funzione dellecoordinate xi.

Analogamente esiste l’applicazione inversa:

ϕ ψ−1 : ψ(U ∩ V )→ ϕ(U ∩ V )

xi = gi(x1′ , ..., xn′) ≡ xi(x1′ , ..., xn

′) i = 1, ..., n

Il fatto che le due applicazioni siano omeomorfismi, uno inverso dell’altro,certifica la continuita delle funzioni hi(x) e gj(x′), insieme con le identita:

hi(g1(x′), ..., gn(x′)) ≡ xi′ i = 1, ..., n

gj(h1(x), ..., hn(x)) ≡ xj j = 1, ..., n

Allora ogni punto di una varieta topologica Mn giace in una collezionedi carte (ATLANTE), e se due intorni di un punto hanno intersezione nonvuota si possiedono automaticamente le formule per il passaggio di coordinateda un sistema all’altro.

La definizione delle varieta differenziabili e prefigurata dalla scelta parti-colare di quelle carte che godono della proprieta di essere definite sempre dafunzioni differenziabili.

13.1.3 Carte compatibili

Due carte (U,ϕ), (V, ψ) sono C∞-compatibili se dal fatto che l’intersezione(U ∩V ) sia non vuota discende che le funzioni che hi(x) e gj(xi) che fornisconoil cambio di coordinate sono di classe C inf : cio equivale a richiedere che ψϕ−1

e ϕ ψ−1 siano diffeomorfismi dei due sottoinsiemi ϕ(U ∩ V ) e ψ(U ∩ V ) diRn.

13.1.4 Strutture differenziabili

Una STRUTTURA DIFFERENZIABILE (C∞, liscia) su una varietatopologica Mn e una famiglia U = Uα, ϕαα∈I di carte locali tali che:

• Gli insiemi Uα ricoprono Mn:

Mn :

(Mn =

⋃α∈I

Uα

)

• Per ogni coppia α, β le carte (Uα, φα) e (Uβ, φβ) sono C∞-compatibili.

• Ogni carta (V, ψ) compatibile con ogni (Uα, φα) ∈ U e essa stessa in U.


Salvagente 13.2. VELOCITA DEL SUONO

13.1.5 Varieta differenziabili

Una VARIETA DIFFERENZIABILE e una varieta topologica munitadi una struttura differenziabile.

13.2 Velocita del suono

V anche:

§ Bulk modulus

§ Onde di Shock

La Fisica distingue due macrocategorie di onde: le onde elettromagne-tiche, che sono in grado di propagarsi in quello che comunemente assume ilnome di vuoto; e le onde elastiche, le quali invece, come suggerisce il nome, sipropagano soltanto quando si renda disponibile un mezzo materiale dotato dielasticita. Le onde sonore appartengono a quest’ultima categoria, e trasmetto-no l’informazione mediante il propagarsi di una differenza locale di pressionerispetto al valore indisturbato nel mezzo.

Questa e indotta dal dislocamento delle particelle, e pertanto si puo af-fermare in prima battuta che tale categoria di fenomeni abbia sempre originidi natura meccanica. Si percuota una lastra con un oggetto contundente ri-gido: accostando l’orecchio al manufatto, sulla stessa faccia della percussioneo su quella opposta, nelle vicinanze dell’urto od anche ad una certa distanza,si avvertira senz’altro il suono prodotto, ossia l’onda di pressione che me-diante il sistema di trasduzione rappresentato dall’apparato auditivo umano,percepiremo come tale.

La condizione di elasticita del mezzo attraversato per la sussistenza diun’onda acustica, equivale ad imporre che tale mezzo continuo sia dotato diuna certa capacita di comprimersi, condizione sine qua non per la sussistenzadi variazioni locali di pressione. Pertanto, un mezzo sara piu o meno pro-penso ad accogliere la propagazione dell’onda in funzione della sua intrinsecacompressibilita. Questa non riguarda la comprimibilita in senso stretto -altrimenti in aria atmosferica il suono propagherebbe a velocita nettamentesuperiori che in acqua, mentre e l’esatto opposto -, ma la capacita di accogliere,per una data deformazione, una certa sovrapressione o sottopressione. Risultainoltre significativa la densita del mezzo: a parita di altre condizioni, in unmezzo molto denso deformazioni di piccola entita mobiliteranno un numero



di molecole molto piu ampio, e ricordando che la differenza di pressione e ge-nerata dal movimento delle particelle, questo si tradurra in una propagazionepiu celere.

Lo studio delle onde sonore (anche onde acustiche), prende le mosse dall’i-potesi, peraltro ragionevolissima nelle applicazioni canoniche, di piccole oscil-lazioni dei campi che l’onda attraversa lungo il suo percorso - in questo si distin-gue dall’altra importante famiglia di onde elastiche di pressione, ossia le ondedi Shock. Sotto tale ipotesi, e ragionevole assumere che il sistema termo-dinamico sotteso sia soggetto soltanto a trasformazioni approssimativamenteisoentropiche.

13.2.1 Velocita del suono nei fluidi

Lo stato termodinamico locale in un sistema fluido risulta fissato da due qua-lunque variabili termodinamiche indipendenti, purche la composizione chimicadel continuo non muti, ad esempio, a causa di fenomeni diffusivi.

Si potrebbe ad esempio scegliere la densita (od il suo reciproco, il volumespecifico), in congiunzione con la temperatura assoluta, ed esprimere quindila pressione in funzione di queste. In questo caso, si sceglieranno la densitae l’entropia specifica:

f(ρ, p, s) = 0 =⇒ p = f(ρ, s) ⇐⇒ ρ = f(p, s)

Accettando poi l’ipotesi di trasformazioni isoentropiche - e quindi di fluidobarotropico1, si ottiene per la variazione di pressione nel tempo la seguenterelazione:

Dp

Dt=

Å∂p

∂ρ

ãs

Dρ

Dt+

Å∂p

∂s

ãρ

Ds

Dt=

Å∂p

∂ρ

ãs

Dρ

Dt

Le variazioni nel tempo di pressione e densita risultano pertanto legate traloro dal modulo di compressibilita isoentropico (bulk modulus), divisoper la densita del fluido:

Ks = ρ

Å∂p

∂ρ

ãs

=⇒ Dp

Dt=Ks

ρ

Dρ

Dt

Vale la pena di soffermarsi un attimo a riflettere sul significato fisico del-la relazione trovata. Per un fluido attraversato da un’onda acustica vi e una

1Un fluido e definito barotropico quando la pressione si possa ritenere funzione univocadella densita.



costante, propria di tale fluido, proporzionale alla sua compressibilita ed inver-samente proporzionale alla sua densita, che lega le variazioni totali nel tempodella pressione, a quelle della densita stessa. La costante deve pertanto gio-care un ruolo importante nella definizione della velocita alla quale l’onda sipropaga.

Per ottenere maggiori informazioni, occorre combinare la relazione tro-vata a partire dall’equazione di stato, con l’equazione di continuita e conl’equazione del moto. Per fare cio, occorre tuttavia fare delle considerazionipreliminari.

Anzitutto, le grandezze che compaiono nelle tre equazioni vanno scompo-ste, al fine di poter scrivere separatamente i valori iniziali dei campi in cuiil sistema fluido e immerso, dalle oscillazioni di questi, che la propagazionedell’onda farebbe scaturire. Si considerera inoltre nulla la velocita iniziale delfluido:

ρ = ρ0 + ρ′ ; p = p0 + p′ ; ~u = ~u0 + ~u′ = ~u′

Tale scomposizione, in virtu dell’ipotesi di trascurabilita delle oscillazionirispetto ai valori imperturbati, ed in conseguenza della conservazione dei valoriiniziali, permette di elidere le oscillazioni quando non derivate, ed i valoriiniziali quando derivati. Cio, in particolare, consentira di eliminare i terminiconvettivi delle equazioni e quindi di linearizzarle.

In secondo luogo, l’ipotesi di isoentropicita si sposa con quella di fluidoideale, che nega la possibilita di variazioni di entropia ad opera dei fenomenidiffusivi innescati dalla viscosita: si riterra pertanto il flusso inviscido, ossiaretto dall’equazione di Eulero, ed in virtu della conseguente irrotazionalita,si assumera l’esistenza di un potenziale di velocita.

Le tre equazioni che abbiamo a disposizione sono quindi:

Dp

Dt=Ks

ρ

Dρ

Dt

Dρ

Dt+ ρ∇ · ~u = 0

ρD~u

Dt+∇p = 0

=⇒

p′ =Ks

ρ0ρ′

D(ρ0 + ρ′)

Dt+ (ρ0 + ρ′)∇ · ( ~u0 + ~u′) = 0

(ρ0 + ρ′)D( ~u0 + ~u′)

Dt+∇(p0 + p′) = 0



=⇒

p′ =Ks

ρ0ρ′

∂ρ′

∂t+ ρ0∇ · ~u′ = 0

ρ0∂~u′

∂t+∇p′ = 0

Sostituendo la prima equazione nella terza, il sistema diventa:∂ρ′

∂t+ ρ0∇ · ~u′ = 0

ρ0∂~u′

∂t+Ks

ρ0∇ρ′ = 0

A questo punto, derivando rispetto al tempo la prima delle due equazio-ni, ed applicando la divergenza ai termini della seconda, per poi sottrarle,ritenendo lecita l’inversione dell’ordine di derivazione, si ha:

∂2ρ′

∂t2+ ρ0

∂

∂t(∇ · ~u′) = 0

ρ0∇ ·Ç∂~u′

∂t

å+Ks

ρ0∇2ρ′ = 0

∂2ρ′

∂t2− Ks

ρ0∇2ρ′ = 0

Come si puo osservare, quella scaturente e un’equazione di D’Alembert,o equazione delle onde. La costante e dunque il quadrato della velocita conla quale la perturbazione del campo di densita si propaga. L’onda sonoraviaggia con la medesima celerita di fase con la quale si propagano le pertur-bazioni che induce su tutti i campi interessati - quindi anche quello di velocitae quello di pressione. Abbiamo percio trovato l’espressione della VELOCITADEL SUONO :

c =

Ks

ρ0=

√Å∂p

∂ρ

ãs



Viene fatto notare che nel caso dei fluidi, le onde acustiche sono sempreonde longitudinali, pertanto le compressioni e dilatazioni nonche le acce-lerazioni delle particelle avvengono soltanto nella direzione di propagazionedell’onda di pressione.

Velocita del suono nei gas ideali

L’equazione di stato puo essere scritta come:

p = ρRT

Recuperando un risultato noto della Termodinamica, ancora sotto l’ipotesidi trasformazione isoentropica:

ds = cv

Ådp

p− γ dρ

ρ

ã= 0 =⇒ dp

p= γ

dρ

ρ

=⇒Ådp

dρ

ãs

= γp

ρ= γ

ρRT

ρ= γRT =

cpcvRT

Dove cp e cv sono, rispettivamente, il calore specifico a pressione costanteed il calore specifico a volume costante del gas.

La velocita del suono in un gas ideale risulta essere, allora:

c =

√Ådp

dρ

ãs

=√γRT

13.2.2 Velocita del suono nei solidi elastici

Le onde sonore possono propagarsi nei solidi sia come onde longitudinali, siacome onde trasversali, e la velocita di propagazione risulta differente nei duecasi.

Le relazioni sono, nell’ipotesi semplificativa di solido elastico lineare isotro-po ed omogeneo, facilmente ricavabili, purche si ricordino le espressioni dellalegge di Hooke generalizzata; queste sono ottenute sovrapponendo gli effet-



ti delle deformazioni dovute alle tensioni normali e tangenziali, ed invertendole relazioni:

σx =E

(1 + ν)(1− 2ν)[(1− ν)εx + νεy + νεz]

σy =E

(1 + ν)(1− 2ν)[νεx + (1− ν)εy + νεz]

σz =E

(1 + ν)(1− 2ν)[νεx + νεy + (1− ν)εz]

τxy =E

2(1 + ν)γxy

τxz =E

2(1 + ν)γxz

τyz =E

2(1 + ν)γyz

Onde longitudinali

L’unica tensione non nulla, e parimenti l’unica deformazione non nulla, saraquella normale agente lungo la direzione di propagazione dell’onda, cosı darisultare:

∂p

∂ρ=σlεl

=E(1− ν)

(1 + ν)(1− 2ν)

=⇒ cl =

1

ρ

∂p

∂ρ=

√E

ρ

1

(1 + ν)(1− 2ν)

Onde trasversali

Parimenti, quando l’onda sia trasversale, la tensione tangenziale e la relativadeformazione insisteranno su un piano avente come costola la direzione dipropagazione dell’onda, e si avra:

∂p

∂ρ=τtγt

=E

2(1 + ν)

=⇒ ct =

1

ρ

∂p

∂ρ=

√E

ρ

1− ν2(1 + ν)


Salvagente 13.3. VISCOSITA DI VOLUME

13.3 Viscosita di volume

V. Bulk viscosity




Bibliografia

[1] Andrea Atzeni. Dispense di Idraulica Marittima. Aracne editrice, 2011.

[2] G. Noseda D. Citrini. Idraulica. Casa Editrice Ambrosiana, 1987.

[3] Antonello Rubatta Enrico Marchi. Meccanica dei fluidi principi eapplicazioni idrauliche. UTET, 1981.

[4] G. V. Fracastoro. Fisica Tecnica Ambientale. otto editore, 2003.

[5] W. Malalasekera H. K. Versteeg. An Introduction to ComputationalFluid Dynamics THE FINITE VOLUME METHOD. Pearson EducationLimited, 2007.

[6] Fridtjov Irgens. Rheology and Non-Newtonian Fluids. SpringerInternational Publishing Switzerland, 2014.

[7] Robert Johansson. Numerical Python A Practical Techniques Approachfor Industry. Apress Media LLC, 2015.

[8] William E. Shotts Jr. The Linux Command Line A CompleteIntroduction. No Starch Press, Inc., 2012.

[9] Michael Ware Justin Peatross. Physics of Light and Optics. BrighamYoung University, 2014.

[10] Fredrik Kjolstad. Simit: A language for physical simulation. 35(2), Marzo2016.

[11] E. M. Lifshitz L. D. Landau. Fluid Mechanics. Pergamon Books Ltd.,1987.

[12] Richard P. Brent Laurence Tianruo Yang. The improved bicgstab methodfor large and sparse unsymmetric linear systems on parallel distributedmemory architectures. 2002.

[13] John Reid Michael Metcalf and Malcolm Cohen. Modern FortranExplained. Oxford University Press, 2011.

103

Salvagente BIBLIOGRAFIA

[14] Alfio Quarteroni. Modellistica Numerica per Problemi Differenziali.Springer-Verlag Italia, 2016.

[15] Biagio Raucci. Il linguaggio fortran 90/95.

[16] Robert A. Dalrymple Robert G. Dean. Water waves mechanics forengineers and scientist. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1991.

[17] Yousef Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Society forIndustrial and Applied Mathematics, 2003.

[18] Paolo Serafini. Ricerca operativa. Springer-Verlag Italia, 2009.

[19] Robert H. Stewart. Introduction To Physical Oceanography. Texas A MUniversity, 2008.

[20] Al Sweigart. Automate the boring stuff with Python. No Starch Press,Inc., 2015.

[21] Philip A. Thompson. Compressible-Fluid Dynamics. McGraw-Hill, 1988.

[22] John A. Trangenstein. Numerical Solution of Hyperbolic PartialDifferential Equations. Cambridge University Press, 2007.

[23] John A. Trangenstein. Numerical Solution of Elliptic and ParabolicPartial Differential Equations. Cambridge University Press, 2013.

[24] Martin B. van Gijzen and Peter Sonneveld. Idr(s): A family of sim-ple and fast algorithms for solving large nonsymmetric systems of linearequations. 31(2), 2008.

[25] Vari. Cfd online. http://www.cfd-online.com/, 1994+.

[26] Vari. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page, 2000+.

[27] Roberto Verzicco. Appunti di turbolenza, 2006-2007.

[28] Y.Goda. Random seas and design of maritime structures. World ScientificPublishing Co. Pte. Ltd., 2000.

[29] Simone Zuccher. Note di fluidodinamica, 2016.


http://www.cfd-online.com/

https://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

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