S01 Matemática Financiera UPN

8/18/2019 S01 Matemática Financiera UPN

1/37

MATEMÁTICA FINANCIERAMBA Econ. Gerardo Pérez del Águila Ramos


2/37

CONTENIDOS DE LA SEMANA 1

PARTE 1• Valor del dinero en el tiempo

• Dinero• Valor futuro y valor presente o actual• Razones que afectan el valor del

dinero en el tiempo• Interés simple

• Interés y monto• Interés• Monto• Capitalización de interés• Plazo comprendido entre dos

fechas• Periodos de tiempo bancarios

• Horizonte y subhorizontetemporal• Métodos de afectación al

interés acumulado y al principalcuando se reduce el monto

• Diagrama de flujo de caja

PARTE 2• Interés simple

• Monto e interés simple• Interés con principal constante

y tasa de interés constante• Interés con principal constante

y tasa de interés variable

• Interés con principal variable ytasa de interés constante• Interés con principal variable y

tasa de interés variable• Monto con principal constante y

tasa de interés constante• Monto con principal constante y

tasa de interés variable• Monto con principal variable y

tasa de interés constante• Monto con principal variable y

tasa de interés variable• Ecuaciones de valor (ecuaciones de

equivalencia financiera)


3/37

PARTE 1SEMANA 1

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Matemática Financiera – Semana 01


4/37


• El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar opagar a tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales,etc.)

• Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas:

• valor futuro y

• valor actual• El valor futuro (VF) describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a un

interés y períodos dados

• El valor actual (VA) o valor presente (VP) describe el proceso de flujos de dinerofuturo que a un descuento y períodos dados representa valores actuales


5/37


• Ejemplo:

• De las siguientes opciones ¿Cuálelegiría?

1. Tener UM 10 hoy, u

2. Obtener UM 10 dentro de un año

• Ambas 100% seguras• Indudablemente, cualquier

persona sensata elegirá laprimera, UM 10 valen más hoyque dentro de un año

• Ejemplo:

1. Tener UM 10 hoy, u

2. Obtener UM 15 dentro de un año

• Ambas 100% seguras

• Elección más difícil, la mayoría

elegiría la segunda• Contiene un «premio por esperar»

llamada tasa de interés, del 50%.

• Generalmente en el mercado,esta tasa de interés lo determinael libre juego de la oferta y

demanda


6/37

VALOR FUTURO VERSUS VALOR PRESENTE

• Por ejemplo:

• Suponga que una empresa tiene ahora la oportunidad de gastar $15,000 enalguna inversión que le producirá $17,000 distribuidos durante los siguientes 5años, como se indica a continuación:

• Año 1: $3,000

• Año 2: $5,000• Año 3: $4,000

• Año 4: $3,000

• Año 5: $2,000

• ¿Es esto una buena inversión?


7/37

VALOR FUTURO VERSUS VALOR PRESENTE


8/37


• El valor del dinero en el tiempo se refiere al hecho de que es mejor recibir dineroahora que después

• ¿Es lo mismo recibir $ 1.000.000 dentro de un año que recibirlos hoy? Obviamenteque no, por las siguientes razones:

• La inflación

• Es el fenómeno económico que hace que el dinero día a día pierda poderadquisitivo, es decir, que el dinero se desvalorice

• Dentro de un año se recibirá el mismo $ 1.000.000 pero con un menorpoder de compra de bienes y servicios.

• Analizado desde un punto de vista más sencillo, con ese $ 1.000.000 que serecibirá dentro de un año se comprará una cantidad menor de bienes yservicios que la que podemos comprar hoy, porque la inflación le ha quitadouna buena parte de su poder de compra


9/37



• El costo de oportunidad

• Se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad,logrando que no solo se proteja de la inflación sino que también produzcauna utilidad adicional

• Es aquello que sacrificamos cuando tomamos una decisión

• El costo de oportunidad del dinero es el máximo interés que puede obteneruna persona dentro del mercado en el que se desenvuelve


10/37



• El riesgo

• Se asume el riesgo que quien deba entregar el $ 1.000.000 hoy, ya no estéen condiciones de hacerlo dentro de un año

• En todas las actividades económicas en las que el hombre realizainversiones está implícito el riesgo y aunque se ha comprobadosociológicamente que las personas tienden a pensar que deben asumirriesgos, porque de lo contrario se sentirían cobardes ante la vida, esnecesario pensar en él y entender que tiene su costo

• El riesgo de pérdida influye notablemente en el costo del dinero


11/37



• El dinero es un bien económico

• Tiene la capacidad intrínseca de generar más dinero

• Este hecho lo puede constatar cualquier persona, por ejemplo, cuando de

posita algún dinero en una cuenta de ahorros en una entidad financiera ydespués de algún tiempo al ir a retirarlo se encuentra con que sus ahorroshan crecido, en forma mágica, al recibir una cantidad de dinero mayor

• Ahora, si la opción que se tiene es recibir el $ 1.000.000 dentro de un año, seaceptaría solamente si se entregara una cantidad adicional que compense lasrazones anteriores

• Este cambio en la cantidad de dinero en un tiempo determinado es lo que sellama valor del dinero en el tiempo y se manifiesta a través del interés

• Una cantid ad de d inero en el presente vale más que la misma cantidad en

el futuro


12/37

INTERÉS Y MONTOMatemática Financiera – Semana 01


13/37

PRINCIPALES DEFINICIONES

• Colocación o captación de capitales financieros

• Toda acción en la que se produce un intercambio de capitales de vencimientosno simultáneos

• Principal

• Importe de capital entregado por le prestamista al prestatario, el cual es exigible

al finalizar determinado lapso• Interés

• Es e pago por el uso del dinero ajeno

• Beneficio que se obtiene por la colocación del principal representado por unstock de efectivo; o recíprocamente, el costo que asume el prestatario por usarese principal durante el referido intervalo temporal

• Ganancia de un capital financiero en un plazo determinado


14/37


• Interés

• Se debe distinguir entre el in terés devengado en un periodo de tiempo y elin terés acumulado hasta un momento determinado

• El interés devengado es un flujo producido en el referido periodo

• El interés acumulado es la acumulación de intereses devengados que aún se

mantienen impagos• Se denota con “I ”

• Numéricamente es la diferencia entre el monto y el principal

• Tasa de interés periódica puede ser:• Tasa nominal, simbolizada con “j”, utilizada en el régimen de interés simple

• Tasa efectiva, simbolizada con “i”, utilizada en el régimen de interés

compuesto

periódica)interésdetasatemporal;horizonte principal;(

)variablesotrasriesgo;temporal;horizonte principal;(

f I

f I


15/37


• Interés

• Si es tasa efectiva acumulada se simboliza con “ia” que refleja el efecto de latasa de interés periódica (sea nominal o efectiva) durante todo el horizontetemporal, entonces:

• Si se asume que durante el horizonte temporal y después de la apertura no seproducen depósitos ni retiros, entonces el principal, denotado por P, se mantieneconstante y el interés acumulado puede calcularse así:

acumulada)efectivatasa principal;( f I

a

a

a

i

I P

P

I i

Pi I


16/37


• Monto o saldo

• Viene a ser la suma del principal y el interés acumulado

Principal Principal

InterésacumuladoMonto inicial

Monto final

Momento de aperturade la cuenta

Momento de cierre de lacuenta

1

:Asimismo

P

S

i

P S I

I S P

I P S

a


17/37

EJEMPLO 1

• Una personal colocó durante 3 meses en el Banco de los Andes un principal de S/.15 000. La tasa de interés acumulada fue de 0,04; ¿qué interés se acumuló altérmino de dicho plazo?

P = 15,000.00S/.

i(a) = 0.04 = 4.00%

I = ?

I = 600.00S/. 600.00S/.

El interés acumulado fue de 600.00S/.


18/37

EJEMPLO 2

• Un préstamo de 50 mil soles generóun interés de 2500 soles en elhorizonte temporal semestral, ¿quétasa de interés acumulada devengóesta operación?

P = 50,000.00S/.

I = 2,500.00S/.

i(a) = ?

i(a) = 0.05 = 5.00%

La tasa de interés acumulada fue de 5.00%

Como el horizonte es semestral, se trata de una tasa efectiva semestral


19/37

EJEMPLO 3

• Al término del horizonte temporal semestral de una cuenta, se acumuló un interés deS/. 2800,00. La tasa de interés acumulada fue de 0,05. ¿Cuál fue el importe deldepósito inicial?

P = ?I = 2,800.00S/.

i(a) = 0.05 = 5%

P = 56,000.00S/.

El depósito inicial fue de 56,000.00S/.


20/37

EJEMPLO 4

• Calcule el monto generado por un principal de S/. 80 000,00 colocado en un bancodurante 90 días, plazo durante el cual la tasa de interés acumulada fue de 0,03.

S = ?P = 80,000.00S/.

i(a) = 0.03 = 3.00%

I = 2,400.00S/.S = 82,400.00S/.


21/37

EJEMPLO 5

• Determine el importe del principal que devengando una tasa de interés de 0,05durante un periodo cuatrimestral, se convirtió en S/. 20 000,00 al final de ese periodode 120 días.

P = ?S = 20,000.00S/.

i(a) = 0.05 = 5.00%

P = 19,047.62

I =

S =


22/37

EJEMPLO 6

• ¿Cuánto interés acumulado se encuentra incluido en un monto de S/. 70 000,00 cuyoprincipal de S/. 69 100,00 se colocó en un banco durante un periodo de 60 días?

I = ?

S = 70,000.00S/.

P = 69,100.00S/.

I = 900.00S/.


23/37

EJEMPLO 7

• A partir de un principal constante de S/. 15 000,00 y al cabo de 75 días se obtuvo unmonto final de S/. 15 675,00. ¿Qué tasa de interés acumulada se aplicó en lacuenta?

i(a) = ?S = 15,675.00S/.

P = 15,000.00S/.

i(a) = 0.0450 = 4.5%


24/37

CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS

RÉGIMEN DE LA CUENTA

De interésmonocapitalizado

Capitalización seproduce una sola vezdurante la vigencia

de la cuenta

Ejemplo: régimen deinterés simple

De interésmulticapitalizado

Capitalización ocurrevarias veces

Régimen de interéscompuesto

• Capitalización

• Mientras una cuenta esté vigente,el interés se genera al aplicar unatasa de interés a una base decálculo denominada capital

• Al abrir la cuenta: capital coincidecon el principal

• Luego, puede variar debido a laincorporación del interés en elcapital (capitalización deinterés)


25/37

EJEMPLO 8

• Un capital de S/. 10000,00 fue colocado enun banco sujeto a unatasa de interés trimestralde 0,03. ¿Qué interéshabrá acumulado en un

horizonte anual si elrégimen de interés es:(a) monocapitalizado;(b) multicapitalizadotrimestralmente (interéscompuesto)?

(a)

I = ?

j = 0.03 trimestral

P = 10,000.00S/.

I(trimestre) = 300.00S/.

I(t1) = 300 I(t2) = 300 I(t3) = 300 I(t4) = 300

j = 0.03 j = 0.03 j = 0.03 j = 0.03

(b)

S(0) = 10,000.00S/. I(t1) = 300.00S/.

S(1) = 10,300.00S/. I(t2) = 309.00S/.

S(2) = 10,609.00S/. I(t3) = 318.27S/.

S(3) = 10,927.27S/. I(t4) = 327.82S/.

S(4) = 11,255.09S/.

I(t1) = 300 I(t2) = 309 I(t3) = 318,27I(t4) = 327.82

j = 0.03 j = 0.03 j = 0.03 j = 0.03

0 1 2 3 4

I = 1200

P = 10 000

S = 11 200

0 1 2 3 4

I = 1255,09

P = 10 000

S = 11 255,09

S(0) = 10 000

S(1) = 10 300

P = 10 000

S(2) = 10 609

P = 10 000

S(3) = 10 927,27

P = 10 000

S(4) = 11 255,09

P = 10 000


26/37

PLAZO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS

• Método de los días terminales

• Considerar todos los días posteriores a la fecha inicial que no sean posteriores ala final, se excluye el día correspondiente a la fecha inicial

• Por ejemplo, desde las 0:01 horas hasta las 23:59 horas del 28 de abril seconsiderará 0 días; del 28 de abril a cualquier hora hasta el 29 del mismo mes,a cualquier hora se considerará 1 día

• Por ejemplo, del 28 de abril al 2 de mayo se considera que existen 4 días

28/04/2016 29/04/2016 30/04/2016 01/05/2016 02/05/2016

día 1

día 2

día 3

día 4


27/37

EJEMPLO 9

• ¿Cuántos días han transcurrido entre el 27 de junio y el 4 de agosto de 2015, fechasde depósito y cancelación de un capital colocado en un banco?

Fecha inicial 27/06/2015

Fecha final 04/08/2015

Solución:



Días transcurridos 38 días


28/37

PERIODOS DE TIEMPO BANCARIOS

Periodo

bancario

Sigla Número de

días

Número de periodos en un

año

Año A 360 1

Semestre S 180 2

Cuatrimestre C 120 3Trimestre T 90 4

Bimestre B 60 6

Mes M 30 12

Quincena Q 15 24

Día D 1 360


29/37

BASES UTILIZADAS POR EXCEL PARA CONTAR LOS DÍAS DELMES Y DEL AÑO

Base Base para contar días Observaciones

0 u omitido US (NASD) 30/360

1 Real/real

2 Real/360 Año bancario

3 Real/365

4 Europea 30/360


30/37

EJEMPLO 10

• Una cuenta a interés simple sigue un régimen de interés monocapitalizado. Unmodelo particular de este tipo de cuenta es aquel en el cual se cumple I=Pjn. Lossímbolos utilizados en el segundo miembro de la fórmula anterior significanrespectivamente: principal, tasa de interés simple o tasa nominal, y número deperiodos de tasa. Calcule el interés simple de un depósito de ahorros colocadodesde el 31/08/2015 hasta el 31/03/2016 (el año 2016 es bisiesto). El principal es de

S/. 50 000,00 y la tasa de interés simple anual es de 0,12. Emplee cada una de las 5bases que usa Excel para el cálculo de sus operaciones financieras.

Setiembre Octubre Noviembre Diciembre

0 u omitido US (NASD) 30/360 mes = 30 días; año = 360 días 30 30 30 30

1 Real/real mes calendario; año calendario 30 31 30 31

2 Real/360 mes calendario; año 360 días 30 31 30 31

3 Real/365 mes calendario; año = 365 días 30 31 30 31

4 Europea 30/360 mes = 30 días; año = 360 días 30 30 30 30

P = 50,000.00S/.

j = 12%

0 u omitido S/. 3,500.00

Base Base para contar días Significado

Base I = Pjn


31/37

HORIZONTE Y SUBHORIZONTE TEMPORAL

• Horizonte temporal

• El horizonte temporal se una cuenta es el intervalo de tiempo que existe desdeque se abre la cuenta hasta que se cierra

• Se simboliza con H

• Subhorizonte temporal

• Es un intervalo de tiempo dentro del horizonte temporal de la cuenta• Cuando el horizonte temporal se divide en subhorizontes temporales uniformes,

entonces se simboliza con h

• Si no son uniformes entoces el k-ésimo subhorizonte se simboliza con hk

15/04/2015 28/10/205

0 30 60 90

196

H = 196

h(1) = 30 días

h(2) = 30 días

h(3) = 30 días


32/37

EJEMPLO 11

• Determine el horizonte temporal de una cuenta de ahorros a un plazo de 30 días, siésta se abre el 2 de enero y se cancela el 29 de enero.



Fecha inicial 02/01/2016Fecha final 29/01/2016

H = 27 días


33/37

EJEMPLO 12

• Determinar si el horizonte temporal de una cuenta colocada a un plazo de 15 días, siésta se abre el 2 de enero y se cierra el 1 de febrero


Ficha final 01/02/2016


Ficha final 01/02/2016H = 30

h(1) = 15

h(2) = 15


34/37

MÉTODOS DE AFECTACIÓN AL INTERÉS ACUMULADO Y ALPRINCIPAL, CUANDO SE REDUCE EL MONTO

• PRIMERO PRINCIPAL LUEGO INTERÉS (PPLI)

• Si el importe de pago es menor o igual que el principal al inicio del día, se aplicapor completo para reducirlo

• Caso contrario, se cancela por completo el principal y la diferencia rebaja elinterés acumulado

• Por ejemplo, si al inicio del día tenemos un monto de S/. 1100,00 integrado porS/. 1000,00 de principal y S/. 100,00 de interés, y durante el transcurso del día yantes de su término se realiza un pago de S/. 500, entonces el monto sereduciría a S/. 600,00 (1100 – 500) ¿a qué importes se reducen el interésacumulado y el principal?

Principal Interés acumulado Principal Interés acumulado Principal Interés acumulado

1,000.00S/. 100.00S/. 500.00S/. -S/. 500.00S/. 100.00S/.

Monto

600.00S/.

Antes del término del día

1,100.00S/.

Monto

Al inicio del día

Pago

500.00S/.


35/37

MÉTODOS DE AFECTACIÓN AL INTERÉS ACUMULADO Y ALPRINCIPAL, CUANDO SE REDUCE EL MONTO

• PRIMERO INTERÉS LUEGO PRINCIPAL (PILP)

• Si el importe de pago es menor o igual que el interés al inicio del día, se aplicapor completo para reducirlo

• Caso contrario, se cancela por completo el interés y la diferencia rebaja elprincipal

• Por ejemplo, si al inicio del día tenemos un monto de S/. 1100,00 integrado porS/. 1000,00 de principal y S/. 100,00 de interés, y durante el transcurso del día yantes de su término se realiza un pago de S/. 500, entonces el monto sereduciría a S/. 600,00 (1100 – 500) ¿a qué importes se reducen el interésacumulado y el principal?

Principal Interés acumulado Principal Interés acumulado Principal Interés acumulado

1,000.00S/. 100.00S/. 400.00S/. 100.00S/. 600.00S/. -S/.

Monto

600.00S/.

Antes del término del día

1,100.00S/.

Monto

Al inicio del día

Pago

500.00S/.


36/37

DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA O DE TIEMPO-VALOR

• En una operación financiera tanto los ingresos como de efectivo como los egresos odesembolsos de efectivo constituyen f lujo s de caja

• Estos flujos son importantes para evaluar alternativas de inversión o de operacionesfinancieras

• Convenciones:

• Convención de fin de periodo, es decir que los flujos ocurren al final del periodo

• El momento 0 corresponde al presente, y el momento 1 al final del periodo deinterés

• Un determinado momento futuro se expresará con un número positivo, mientrasque un determinado momento pasado se expresará con un número negativo

• Son flujos de caja positivo todos aquellos que constituyan ingresos o entradasde efectivo

• Son flujos de caja negativos todos aquellos que constituyan egresos o salidas deefectivo

• Los flujos positivos son graficados con flechas hacia arriba y los negativos conflechas hacia abajo

• Los flujos de caja pueden ser representados de forma bruta o neta

• Las representaciones pueden ser efectuadas desde el punto de vista del

prestatario o del prestamista


37/37

AGRADECIDO POR SU ATENCIÓNFin de la semana 01

Documents

S01 Matemática Financiera UPN