Research Collection

Doctoral Thesis

Eine Näherungsmethode zur Bildfehlerberechnung derElektronenoptik

Author(s): Barbier, Marcel

Publication Date: 1951

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000093182

Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted

This page was generated automatically upon download from the ETH Zurich Research Collection. For moreinformation please consult the Terms of use.

ETH Library

Prom. Nr. 1932

Eine Mherungsmethode zur

Bildfehlerberechnung der Elektronenoptik

VON DER

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN ZÜRICH

ZUR ERLANGUNG DER

WÜRDE EINES DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN

GENEHMIGTE

PROMOTIONSARBEIT

VORGELEGT VON

Marcel Barbier

aus Frankreich

Referent: Herr Prof. E. Baumann

Korreferent: Herr Prof. Dr. F. Tank

Zürich 1951 Buchdruckerei Leemann AG.

Erscheint als Nr. 3 der Mitteilungen aus dem Institut für Technische Physik

an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich

Herausgegeben von Prof. E. Baumann

Inhalt

Übersicht 5

I. Über Abbildungseigenschaften 1. Ordnung 6

1. Einfluß kleiner Veränderungen des Potentials auf die Elektronenbahn... 6

2. Elektronenoptik erster Ordnung eines aus mehreren Teilgebieten zusammen¬

gesetzten Systems 8

3. Die chromatischen Fehler 9

II. Über Abbildungsfehler 3. Ordnung 10

1. Über die Ableitung der Abbildungsfehler 3. Ordnung nach der Eikonal- und

nach der Bahnmethode 10

2. Das Eikonal in elektrostatischen Systemen 12

3. Das Eikonal bei Anwesenheit eines Magnetfeldes 17

4. Abhängigkeit der Eikonalkoeffizienten von Objekt-und Blendenlage. ... 19

III. Anwendungen 22

1. Magnetische Linse 22

2. Elektrische Immersionslinse 26

3

Leer - Vide - Empty

Übersicht

Als erstes wird untersucht, wie genau in der Elektronenoptik Abbildungs¬

eigenschaften erster Ordnung und paraxiale Bahn ermittelt werden können,

wenn man die PotentialVerteilung auf der Achse durch eine andere annähert.

Es zeigt sich, daß ein solches Vorgehen mit wirklich geringen Abweichungenfür die Elektronenbahnen in weiten Grenzen anwendbar ist. Dementsprechendwird die Potentialverteilung stückweise durch solche ersetzt, für die man die

Bahn explizit kennt, und es werden für ein aus mehreren Teilgebieten zusam¬

mengesetztes Potential die Bahnen und Abbildungseigenschaften erster

Ordnung abgeleitet, in der Form wie wir sie für das nachträgliche brauchen.

Aus den gefundenen Beziehungen lassen sich die chromatischen Fehler sofort

ermitteln.

Hierauf wird gefragt, auf was es für Abbildungsfehler dritter Ordnungankommt. In elektrostatischen Systemen zunächst genügt es, die zweite

Ableitung des Potentials längs der Achse zu berücksichtigen, denn es gelingt,die vierte durch partielle Integration aus den Fehlerausdrücken zu ehminieren.

Auf Grund dieser Erkenntnis wird die zweite Ableitung des Potentials stück¬

weise durch Konstanten angenähert und die geschlossene Ausrechnung der

Integrale für die Abbildungsfehler dritter Ordnung für ein solches Potential

als möglich befunden. Falls ein Magnetfeld vorhanden ist, erweist sich ein

verwandtes Vorgehen als zweckmäßig. Die auf diesem Weg erhaltenen Formeln

erlauben schon, die Abbildungsfehler dritter Ordnung für jedes vorgegebene

System mit einer beliebig guten Annäherung zu bestimmen.

Ferner wird die Abhängigkeit der Bildfehler von der Objekt- und Blenden¬

lage untersucht. Um sie zu überblicken, braucht man nicht die Bildfehler für

jeden Fall neu zu rechnen. Es genügt, die Fehlerkoeffiziente einmal für den

Fall berechnet zu haben, wo das Objekt in der Brennebene und die Eintritts¬

pupille im Unendlichen (d.h. die Austrittsblende in der bildseitigen Brenn¬

ebene) liegen. Die Fehler für beliebige Objekt- und Blendenlage lassen sich

dann mit Hilfe dieser Koeffizienten und der Objekt- bzw. Pupillenweiten von

den Brennebenen darstellen. Die diesbezüglichen Formeln werden angeführt.Zum Schluß wird an Beispielen die Genauigkeit des Verfahrens geprüft

und dessen Brauchbarkeit schon bei Verwendung von ganz wenigen Inter¬

vallen erwiesen.

5

I. Über Abbildungseigenschaften 1. Ordnung

1. Einfluß kleiner Veränderungen des Potentials auf die Elektronenbahn

Zur Erläuterung der Frage, wie genau man das Potential kennen muß, um

die Bahn mit einer erwünschten Genauigkeit zu bestimmen, geht man am

besten von der Paraxialstrahlgleichung für Meridianbahnen aus, in der Form1)

/,3

v H16 (S)"-

wobei 0 (z) das elektrische Potential auf der Achse z ist und v den mit 0'1'

multiplizierten Abstand r des Elektrons von der Achse bezeichnet. Striche

bedeuten Ableitungen nach z.

Der Fehler v, der entsteht, wenn 0 sich vom tatsächlichen Potential um

einen kleinen Betrag 0 unterscheidet, ergibt sich nun aus

-,,3 (0'Y- 3 0'

t

0'wo / den beim Verhältnis -^- begangenen Fehler darstellt, d. h.

' A *2

0' 00'

lp 0^

Somit folgt für die Korrektur

3 f 0'

v(z)=-j(pq'-p'q)-1 I -ßfv[p-q(z)-p{z)-q]dxx=z„

wobei p und q die zwei linear unabhängigen Lösungen sind, aus welchen sich

v zusammensetzt. Ferner bezeichnen hierin x die Integrationsveränderlicheund z0 die Koordinate des Anfangspunktes der Bahn.

Wir schließen hieraus, wenn beispielsweise die Achse in Intervalle geteiltist, in welchen die Potentialkurve jeweils durch eine andere Funktion ange¬

nähert wird, daß die Korrektur sich additiv aus den Korrekturen in den

x) J. Picht, Einführung in die Theorie der Elektronenoptik, Barth, Leipzig 1939, S. 110.

6

einzelnen Intervallen zusammensetzt. In erster Näherung kann man also die

Bahnabweichung, herrührend von einem Intervall, für die Berechnung der¬

selben im nächsten Intervall vernachlässigen. Somit wird es möglich, bei der

Annäherung eines vorgegebenen Potentials durch die für die Rechnungbequemsten Punktionen, die Genauigkeit des Verfahrens fortlaufend zu

überprüfen.Um die Größenordnung der Bahnabweichung in einem Intervall bei

bekannter Potentialabweichung festzustellen, wird am einfachsten das Poten¬

tial um den Anfangspunkt des Intervalls entwickelt

0 = l+az + bz2 + ...

und die Bahn mit den ersten zwei Gliedern gerechnet. Wir tun also nichts

anderes, als die sog. Polygonmethode der Bahnbestimmung auf ihre Exaktheit

zu kontrollieren. Es entstehen zunächst als partikuläre Lösungen

p = {l + azfl>, q = (l+az)ll*

wenn man r zu 1 am Anfang des Intervalls normiert. Ferner, mit

<P = 6z2

wird

26z / 1 az \_

26z'~

l + äz\~~

2 1+azj — l + az

da es im Sinne unserer Rechnung liegt, az bei nicht zu großen Intervallen als

klein gegen 1 anzusehen. So ergibt sich für die Korrekturen am Ende z = L

des Intervalles

\p(L)\_ l f z \q(L)(l+azyi.-p(L) \\q(L)\ 2 ) l + az\q(L)-V{L)(l+az)->l*}aZ

o

= ~bL2[q(L)-p{L)] = -~bL*aL(l+aLyi*4 o

und

p' (L) = q'(L) = I-6L*[q'(L)-p'(L)] = - -|6L*a(1 + aL)-1'-

Die Bahnkurve lautet nun

wo r0 und r0' die Anfangswerte bedeuten. Es entsteht für die Bahnabweichung

?(L) = <p-1l*(C1p + C2q) = -~bL*(2r0'L + r0aL)

7

ferner für die Abweichung der Bahnneigung

r'(L) = - ^0-'l>(C1p + C2q)+0-'U(C1p' + C2q')

= -lbL*(ar0 + 2r0')=r^Hierin ist b L2 der relative Fehler in der Abschätzung des Potentials am

Ende des Intervalls. Somit ist erwiesen, daß in einem Intervall die Bahn

mindestens mit der gleichen relativen Genauigkeit ermittelt wird, wie das

angenäherte Potential aufwies. Bei einer Verfeinerung der Einteilung kann

also die Genauigkeit des Verfahrens nur gesteigert werden.

2. Elektronenoptik 1. Ordnung eines aus mehreren Teilgebietenzusammengesetzten Systems

Die Achse des Systems sei in Intervalle unterteilt, in denen das Potential

stückweise durch Funktionen angenähert wird, für welche man die Gleichungder paraxialen Bahn lösen kann. Man kann also eine lineare Beziehung

(rk+i\_(^ic Bk\ (rk\\rkJ \Ck DJ \rj

zwischen den Bahngrößen an den Enden des betrachteten Intervalls (zk, zk+1)aufstellen. Über Buchstaben gesetzte Punkte bedeuten Ableitungen nach der

Zeit. In paraxialer Näherung ist

z=iu r = r'l/u

mit der Abkürzung

U= 0(z)m

wobei e und m Ladung und Masse des Elektrons sind.

Besteht eine Linse aus mehreren solchen Elementen, so gilt

wo die Indexe e, a auf Ein- bzw. Ausgang hindeuten und die Matrix das

Produkt aller einzelnen Matrizen in der passenden Reihenfolge ist.

Für re = 1, re' = 0 ergibt sich

ra = A, ra' = C'jn', zF.-za=-n'A/G, zF,-zH, = f =-n'/C

8

ferner für ra=l, ra' = 0 ergibt sich

re = D, re'=-C/n, zF-ze = nD\C, zF-zH = f = njC

weil die Determinante der Matrix nach dem Lagrange'sehen Satz gleich 1

sein muß. Dabei beziehen sich ungestrichene Buchstaben auf Ding- und

gestrichene auf Bildraum. Ferner gilt als Brechungsindex

n = ]/u0, n'= iu{

wobei die Indexe 0, i Objekt und Bild bezeichnen. Somit sind die Brenn¬

weiten sowie Haupt- und Brennpunkte bestimmt. Bildlage und Vergrößerung

folgen aus

UK = fl(zF - zo) = (V - 2«)//'

3. Ableitung der chromatischen Fehler aus den Abbildungseigenschaften1. Ordnung

Chromatische Fehler rühren davon her, daß Elektronen mit verschiedenen

Anfangsgeschwindigkeiten zur Bildherstellung beitragen. Die Fehler sind im

wesentlichen durch die Änderung der Abbildungseigenschaften 1. Ordnung

bedingt, die beim Übergang von einer Anfangsgeschwindigkeit zu einer anderen

entsteht. Wir betrachten also die Bahnen, die sich ergeben, wenn sämtliche

Potentiale u um einen konstanten Betrag eu0 verändert werden, und fragenim Falle kleiner e nach der Zerstreuungsfigur in der Bildebene, welche durch

= 0 definiert sein soll.

Man kennt also die Änderungen An, An', A A, AC, AD und es ergebensich leicht für die Änderungen der Hauptgrößen der Linse folgende Beziehungen

Al_AnL_A_C Af _An' AC

~T~~n~ ~C~' /' ~^nr~~C~

.D

. n . _.nD

. _

AzF=-öAn+-öAD--^AC

AzF,= --çAn'--çAA+ ^ç^àC

Hieraus folgt für den relativen Vergrößerungsfehler

rilr0 I Z0~~ZF

und für die Wanderung der Bildlage

AZi = AzF.\tr lAf | A{' \ Azf)

zo~zf\ ! I Z0~ ZFI

9

Für einen Strahl, der durch r0 und rB, geht, setzt sich also der gesamte chro¬

matische Fehler wie folgt zusammen

Art=Azt(r/)r._o + r0A (rjr0)-Azt(r<'),,_o

wobei B' Austrittsblende bedeutet.

II. Über Abbildungsfehler dritter Ordnung

1. Über die Ableitung der Abbildungsfehler 3. Ordnung nach der Eikonal-

und nach der Bahnmethode

Eikonalmethode

Glaser2) hat gezeigt, daß es genügt, die Terme 4. Ordnung in der Ent¬

wicklung nach Objekt- und Blendenkoordinaten des Eikonals

i

Eoi=jndso

das sich vom Objekt bis zum Bild erstreckt, zu nehmen und sie partiell nach

-(£), -• -'0,abzuleiten, um die Abweichungen Axi,Ayi dritter Ordnung des Bildpunktesvon der Gaußischen Dioptrik zu erhalten. Dabei bezeichnen x, y rechtwink¬

lige Koordinaten senkrecht zur optischen Achse z; n' ist der Brechungsindexam Bild und n soll nunmehr den im Feld veränderlichen Brechungsindexbedeuten, für den wir setzen wollen

-./-2e e. -j»

-

n= 1/ <p +—

(A, s)\ m m

wo tp das elektrische Potential, A das Vektorpotential und ~s der Strahlvektor

sind. Da

n' [£)=n'(av~ Xi)^ZB' ~Zi)

ist, kann man leicht zur Ableitung nach den Koordinaten des Strahles in der

Austrittsblende B' übergehen und man bekommt

2) W. Glaser, Elektronenbewegung als optisches Problem, Beiträge zur Elektronen¬

optik, S. 24, herausgegeben von H. Busch und E. Brüche, Barth, Leipzig 1937.

10

A~ -

ZB'~zi dEOiin 8 xB,

Reduziert man diese Abweichung im Maßstabe des Objektes durch Multipli¬zieren mit x0lxi, so erhält man den Abbildungsfehler, in der Objektebene

gesehen

Ax°~A2~dxB7' Ay°-Ä-2^yB7' WObei Ä*~ V z^

Im rotationssymmetrischen elektrischen Feld beispielsweise ist E allein

Funktion von

a = x02 + y02, b = 2(x0xB, + y0yB.), c = xB,2 + yB,2

und mit der Entwicklung

EQii= j (Bna2 + B22b2 + B33c2 + 2 B12ab + 2 B23bc + 2 Bi3ac)

ergibt sich

Ax0= ^- (B12a + B22b+ B23c)x0+ -j- (B13a +B23b +B33c)xB.-"•2 -"2

Hierin bezeichnen die durch A2 dividierten Koeffizienten B33 den Öffhungs-fehler, B12 die Verzeichnung, B23 die Koma, B22 und B13 die Bildfeldfehler.

Bahnmethode

Bei der Ableitung der Bildfehler nach der Bahnmethode wird die Paraxial-

strahlgleichung auf die Terme der nächsthöheren Ordnung erweitert. Für die

Bahnabweichung dritter Ordnung gilt eine Differentialgleichung, die links

den gleichen Aufbau hat wie die Paraxialstrahlgleichung, rechts aber ein

Störungsglied aufweist. Die Lösung ergibt sich in der Form eines bestimmten

Integrals, das, wenn es vom Objekt bis zum Bild erstreckt wird, den globalenBildfehler dritter Ordnung angibt3).Wenn man dieses bestimmte Integral ansieht, so kann man sich leicht

davon überzeugen, daß es nichts anderes ist, als Eoii, das nach der Koordinate

in der Blendenebene abgeleitet ist. Somit steht die absolute GleichwertigkeitGlasers Eikonalmethode und Scherzers Bahnmethode, sowohl physikalisch als

auch mathematisch, fest.

Die Elimination der vierten Ableitung des Potentiales auf der Achse, die

Scherzer ausführt, wird demnach auch im Eikonal selber durchgeführt werden

können und es wird somit möglich, diese vierte Ableitung des Potentials auch

3) O. Scherzer, Berechnung der Bildfehler nach der Bahnmethode, Beiträge zur

Elektronenoptik, S. 33.

11

aus Glasers Ausdrücken herauszuschaffen, was wir im folgenden tun wollen.

Dieser Umstand öffnet das Tor zu einer näherungsweisen Bestimmung des

Eikonals bei Berücksichtigung der Ableitungen des Potentials nur bis zur

zweiten.

2. Das Eikonal im elektrostatischen Feld

Der Ausdruck für das Eikonal

Für die Bestimmung der Bildfehler dritter Ordnung genügt es, das Eikonal

längs einer Meridianbahn zu berechnen, weil man nur den Gaußischen Strahlen¬

gang verwendet. Das Eikonal 4. Ordnung ergibt sich zu

0

Die Auflösung des Integrals

dz

Betrachten wir zuerst

1 f „„.dz 1 f/W'V f/1 r«'

. ,\r*u"' 1

Ô 0

Durch nochmalige partielle Integration und unter Verwendung der Paraxial-

strahlgleichung

entsteht

128

r*u'" u"r2 u', „

AI

]/u t/u \2u I.

i

+tL {(

- ~u" r*+ Uur'z- 6rr' u'+^A ^dz128J\ 2 4w J ul/u

o

Die Werte der eckigen Klammer am Objekt- und Bildort seien bekannt. Es

bleibt uns nun, ein Integral zwischen Objekt und Bild zu bestimmen, das nur

noch Ableitungen bis u" enthält.

Letzteres Integral wollen wir in einem Teilintervall (zk,zk+1) der Strecke

(0, i) auswerten und zwar näherungsweise, indem wir u" als konstant in diesem

Intervall und gleich einem mittleren Wert

«'^ «'*.*+!

12

einsetzen. Gleichzeitig wird für r die Bahn eingesetzt, die sich für ein kon¬

stantes u" ergibt. Man erhält

S(-T*"+-)%äUB'j[(-r"'+-) u ]/u•dz

U" = U"a,k+lZk zk

und dies ist

wk,k+l ]/« \2« |

2*+l

Zi

wegen der früheren Gleichung, wo v!" und u"" jetzt verschwinden. Das gesamte

Integral von 0 bis i besteht aus der Summe solcher Beiträge. Es entsteht

i- MfëMrk, k+1~ u

ft-1, k)lu' àrr\y=;*\

',\2u /w/J Jju \2u /w

Es bleibt zu untersuchen, ob die übrigen Terme von E0ii

fi r/w"2, «', ,

a dt

u

sich ebenfalls integrieren lassen, in der Näherung wo u" stückweise konstant

gesetzt wird. Im Intervall (zk, zk+1) setzen wir

u = b + 2a(z-m)2; 2a = ^ü"kk+1

wobei b das Potentialextremum und m die Abszisse desselben angeben. Die

Newton'sehe Bahngleichung

m—(-£)«?••läßt sich auch schreiben

und ergibt als Lösung

Vk+J

wobei

ist. Die Klammer im Integral

r" = ±0"Lm 2

= —ar

cos

eh"'

1

1¥

sin \

sh* \

+ i\asin

sh«>cos

cha

J

*=iW\(h+i~tk)

CO • "<"

13

a2ri + 2ar2r2 + ri = (ar2 + r2)2

erweist sich zum Glück als konstant und nur von den Anfangswerten abhängig,so daß gilt, wegen

die Beziehung

^=-VsW*8+»"*2)af«-,/,ds8 ft=0 J

Zk

i iz.1t,1/ o <n»1 lZk+\—mk Zk~mk\

Y> (akrk +rk) T- i-

/—-

^k k

bk \ iuk+1 iuk )

wobei wir a, b, m mit dem Index k vorgesehen haben.

Aufspaltung der Eikonalkoeffizienten

Es bleibt uns jetzt die Aufgabe, für eine allgemeine Bahn der Form

r = gr0 + hrB,

wobei g und h die speziellen Bahnen sind, für welche gilt

00= !> 9b- = o> äo = °> Ag,= l

das vorhin näherungsweise bestimmte Eikonal Eoii nach

a = r02, b = 2r0rB,, C = rB?

zu entwickeln und die 5-Koeffizienten anzugeben. Es ist z. B.

r2 — a g2 + b g h + c h2

rr =agg- +%b(gh- +g- h) + chh-

So ergibt sich für das Integral I, wenn zur Abkürzung

"^fc = ~Jwr (u fe fc+i_ U"k-l, k)Vuk

gesetzt wird, folgender Beitrag zu den Koeffizienten

*-à{(M-(£).+a><."i

B22 — -"13 —g2

Zigh-+hg-

Kqh\~—qh ~,_

14

Bl232

k

Dabei ist die Summe über alle Grenzstellen k zu nehmen, mit Ausnahme von

0 und i.

Die Beiträge von J an die Koeffizienten sind für Parabelverteilungen, mit

1 ^k+1-mk zk-mkk

2bk\ l/uk+1 ]/uk

die folgenden

k=0

B22 = TiKic(a9h + g-h-)k2

BZ3^Kk{aW + K-*)k*

Bu = HiKk(agi + g-\ (agh + g- lv )k

B13=EKk(ag^+g-\(ah^+ h-\

B23 = TiKk(a9h + g-h-)k(ah2 + h-\

Für das Beschleunigungsfeld ist die Konstante

K_1 / ^_ 1_\,

6fc+i

Für die Strecke mit konstantem Potential ist sie

uk+l~ uk

Zb-Ul %h

ir \_ zk+i zk

2 uk-U

währenddem in den Ausdrücken für die -ß-Koeffizienten a = 0 zu setzen ist.

Genauigkeit der Approximation

Zur Beurteilung der Genauigkeit, mit welcher das Eikonal 4. Ordnungerhalten wird, betrachten wir zunächst die Abweichung des Anteils J dieses

Eikonals vom Sollwert in einem Intervall. Es ist

*dt

J./=-ijJ,(^r» + r») u

Zk

15

dtl lü".

A f/r2 . „ü"

.

a. \,

= -j[-^r>c2 + rk2)j\^4u''+~rAr +2rArju

Diese Abweichung hat also zwei Ursachen. Erstens erscheint u" direkt im

Integranden und wird nur stückweise durch Konstanten approximiert. Zwei¬

tens sind die Bahngrößen r und r, die man einsetzt, aus einem nur angenähertenPotential gewonnen worden, so daß man am Anfang jedes Intervalls mit

einem A rk und einem A rk rechnen muß. Es gilt nun

— rAr + 2rAr= — rkArk+ 2rkArk

wegen des besonderen Aufbaues der Formeln für r, r in unserer Näherung.Wir vernachlässigen dabei Bahnabweichungen, die im Intervall selber ent¬

stehen und bekommen somit für den relativen Fehler für diese Terme von J

den Ausdruck

TrkArk + rkArk9

-Trk2 + rki

welcher die Größenordnung des relativen Fehlers bei den Bahngrößen besitzt,d.h. die des relativen Fehlers in der Annäherung des Potentials. Das weitere

Integral mit A u" läßt sich nach dem Mittelwertsatz wie folgt abschätzen

/•ah(vZ> I . .. |

IT7

Auch hier kann also bei Verfeinerung der Einteilung die Genauigkeit nur

gesteigert werden und die Konvergenz des Verfahrens bei zunehmender Inter¬

vallzahl ist gesichert.Der von u"" herrührende Beitrag /• zum Eikonal besteht nach Ausführung

der partiellen Integration aus einem Integral, das ebenfalls nur r, r' und u bis u"

enthält und sich also mit dem gleichen Genauigkeitsgrad wie die vorhin

behandelten Ausdrücke ermitteln läßt.

Fall des Elektronenspiegels

Zum Schluß ist die Frage, ob man sich im Falle eines Spiegels für die

Berechnung des Eikonals 4. Ordnung mit der Kenntnis der zweiten Ableitungdes Potentials wie hier begnügen kann, noch von Interesse. Die Berechnungder Bildfehler für den Spiegel stammt von Recknagel1). Es werden die Abwei-

4) A. Recknagel, Zur Theorie des Elektronenspiegels, Zeitschrift für Physik, 104,

1937, 381.

16

chungen A r und A z von der Bahn 1. Ordnung, für welche die Paraxialgleichungnoch gilt, in der Form bestimmter Integrale angegeben, welche $"' und 0""

explizit enthalten. Nun zeigt eine leichte Untersuchung, daß eine Elimination

dieser Größen durch partielle Integration beim Spiegel nicht mehr möglichist. Obwohl die ursprünglichen Ausdrücke durchwegs konvergent sind, gehtdie Konvergenz der Integrationsprodukte nach erfolgter partieller Integrationam Strahlumkehrpunkt definitiv verloren. Zur Bestimmung der Abbildungs¬fehler eines Spiegels ist also die Kenntnis der höheren Ableitungen des Poten¬

tials unerläßlich. Die Voraussetzung, daß die Strahlen gegen die Achse nur

schwach geneigt sind, ist also für die besprochene Bestimmung der Fehler-

koeffizienten wesentlich.

3. Das Eikonal bei Anwesenheit eines Magnetfeldes

Der Ausdruck für das Eikonal

Mit der Abkürzung

/ = --%„#(*)m

wo ju0 die Permeabilität im Vakuum und H die magnetische Feldstärke auf

der Achse bedeuten, findet man im ruhenden elektromagnetischen Feld für

die paraxiale Bahn5)

^+ ÜLZLw = o, 0(z) = 0(zo) + -g Ji«fe; we*+ = v = x + iyd2w u" + f2

Die Terme 4. Ordnung vom Integranden des Eikonals lauten weiter

1 /„„ u"2\ (vv)2 u"

_ ,_, ,_I

^-\ f" vv vv' — vv'+ Lr-, K--—

wobei Querstriche auf die konjugiert komplexe Größe hinweisen. Nach erfolg¬tem Übergang von v zu w erhält man

#4=-WÛV-^^-^'-^ff" (ww)2 u" + f2 www'w' u (w'w')2

4 8 2 2 4"-JfàFiww'— ww'[f2 ww'— ww' iu I,„ ,u" + f2\

_.

f/u~w'w'4

dz

6) W. Glaser, Zur Bildfehlertheorie des Elektronenmikroskops, Zeitschrift für Physik,97, 1935, 177.

17

Auflösung des Integrals

Wir versuchen eine ähnliche näherungsweise Bestimmung wie vorhin, d.h.

wir müssen u" und /2 stückweise konstant ansetzen. Dann läßt sich die Bahn w

bezüglich des mitdrehenden Koordinatensystems wie früher durch Kreis- oder

Hyperbelfunktionen ausdrücken, in der Form

w = w0g + wB, h

wobei g und h die reellen, wie vorhin normierten Lösungen der Paraxialbahn-

gleichung sind. Man hat also an jedem Ort

ww = w0w0g2 + (w0 wB. + wüwB) gh + wB, wB* h2 = ag2 + bgh + ch2

genau wie vorher. Ferner gilt

1 w w ! 1_

_, , |=

-^(w0 wB, - w0wB.)

w w 2%° a

g h

g'h'= d u

V

Unser Eikonal ist somit noch Funktion der Größe

d = x0 yB- — xB, y0

und heißt

Ei0i= l(Bnaz + B22b2 + B33c2 + 2 B12ab + 2 B13ac + 2 B23bc

+ 2Bliad + 2B2ibd + 2B3icd)

Der Term Bud2 kommt nicht vor, weil

b2d2 = ac-

Wir nennen

Ck ~ Ï (u + / )k, ft+1

einen mittleren Wert dieser Größe im Intervall (zk, zk+1) und erhalten

'cos

x,

1 sin

l/\c\ sh

_.

sin

+ i\c\ .1, «>

cos

ch

(£)• **°

Zk+l/» 7

i

Zk

Man verifiziert leicht, daß der Ausdruck (ckivw + wwm)z auch hier längst der

Bahnkurve konstant ist, so daß man für die zugehörigen Terme von Ei0{erhält

18

2*+l

J — c"S (cww + ww-)k2fc=0

u~3^ dz

St

Der Term, der u"" enthält, läßt sich auf analoge Weise behandeln, wie früher,was hier nicht wiederholt sei.

Wir nehmen ferner an, daß ein mittlerer Wert der 1. Ableitung von / für

jedes Intervall bekannt ist und drücken /" durch die Veränderung von /' vonIntervall zu Intervall aus. Es entsteht nach partieller Integration für den

weiteren Term von Ei0i

32jn iü 32%%J k'k+1 tk-1-k)[t~^r_Die restlichen Terme ergeben

-^ffiuoÄ'02 jf*u-°l>dz + ^d iü0h0' |/"^|dz— -jd^ügho' \(ckww + wW-)2fu-s^dz =

. ,Z*+l

1 f= -jd2Uoh'02T,J\k+i\u~'lldz

10 k+o,i \yu/k

z= zk

X— 1

— — d-\/u0h0' ^ (cww + ww-)kfk k+1u-zl>dz

* fc=0'

J2*

Es ist also möglich, auch mit dem magnetischen Feld eine Annäherung für

das Eikonal zu erhalten. Die Aufspaltung in die einzelnen Koeffizienten

geschieht genau wie vorher. Für den wichtigen Sonderfall eines konstanten

elektrischen Potentials wird sie weiter unten bei den Anwendungen angegeben.

4. Abhängigkeit der Eikonalkoeffizienten von Objekt- und Blendenlage

Zusammenhang zwischen Eoi und EFF„

Wir setzen als bekannt voraus das Eikonal (im rein elektrischen Feld)

EFF, (xF, xF,, yF, yF<) = C0+ 2C2o

+ i (Cu ä2 + C22 b* + C33 c2 + 2 ä b C12 + 2 b c C23 + 2 a c C13)

19

auf einen Strahl, zwischen den beiden Brennebenen genommen. Dabei sind

ä = xF2 + yF2, b = 2(xFxF, + yFyF,}, c = xF, + yF,2

Wir haben den Übergang zu vollziehen von EFF zu

Bot= Eof + Ej?F' + EF>i

wobei die Koeffizienten von E0{ gesucht werden, in der Entwicklung nach den

Koordinaten x0, y0, xB,, yB.. Es gilt zunächst, nach Bruns Gleichungen

— n ç = C2 xF', n ç = C

2 xF

GtsC = nlf = -n'lf

wo £, £', 7], 7]' die Tangenten des Winkels des Strahles mit der 2-Achse am

Objekt und Bild und G unser Matrizenkoeffizient sind. Für den Übergang von

den Variabein xF, xF,, ...zu %, ccB-, . . . gilt

£<>

_

^0 —%Fw

'^0 ^F/^F'— %F y^F'IV

wobei

CXgi = — \Zj3' ^F') ^F %F' = P ^F ' *^F'

IV

Z0~ZFq

ZB' ~~ ZF'_

"Q "F n_

y = —i—>p =

/' r

/'

die Gegenstands-, resp. die Blendenweite von den betreffenden Brennebenen,

reduziert auf die betreffenden Brennweiten, angeben. Die alten Koordinaten,

als Funktion der neuen ausgedrückt, heißen

xF=j{x0+yxB,); yF=j(y0+yyB')

xr = J (ßxo + XB') > Vf- =j

(0 Va + Vb-)

wobei A = 1 —ßy

ist. J kann nicht Null werden, denn Objekt und Blende fallen nicht in optisch

konjugierte Punkte. Somit ergibt sich zuerst

A~°-

A*~A

ferner

#o^=f (2o-^)(£2 + ^=g^(|32a+£&+ c)2

20

wegen

Die Umrechnung von EFFIi auf die neuen Koordinaten ergibt sich mit den

abgeleiteten Beziehungen von selbst und man kann die -B-Koeffizienten des

gesuchten Eikonals Eoii leicht angeben, so zum Beispiel

#33= }i(lfs-^+CnYi + ±C22y* + Cs3 + ±C12y3 + ±C23y + 2C13yj.

Das Legen der Blende

Bei Linsensystemen ist im allgemeinen durch äußere Mittel die Blenden¬

lage beliebig zu beeinflussen. Beim Bildwandler hingegen ist die Richtungs¬verteilung der emittierten Elektronen für jeden Objektpunkt gleich. Falls der

Bildwandler eine flache Photokathode hat, mit anschließendem homogenenBeschleunigungsfeld bis zum Eintritt in die Linse, liegt also die Eintritts¬

pupille im unendlichen. In diesem Fall hat man nur die Apertur des Strahlen¬

büschels, nicht die Lage der Blende bezüglich der Linse, in der Hand.

Nun sieht man aber einen Weg, um auch beim Bildwandler die Blenden¬

lage bezüglich der Linse beliebig festzulegen, nämlich die Ausbildung der

Photokathode als Kugelkalotte und des Beschleunigungsfeldes als kugel¬

symmetrisches Zentralfeld mit gleichem Mittelpunkt. Die von jedem Objekt¬

punkt kommenden Strahlenbüschel laufen dort zusammen. Die Eintritts¬

pupille liegt also nunmehr in der Gegend des Kugelmittelpunktes und man

kann die Linse entweder dort oder näher an die Kathode heran anbringen.Diese Linse braucht übrigens nicht mehr so stark zu sein wie beim homogenenFeld, weil das Kugelpotentialgebiet schon selber eine Konvergenz einbringt.

Umkehrung der Flugrichtung des Elektrons

Eine Linse ist bezüglich Bildfehler 3. Ordnung vollständig durch die

Koeffizienten Gmn des Eikonals EFF, charakterisiert. Vertauscht man Objekt-und Bildraum, d.h. ändert man den Bewegungssinn des Elektrons, so wird

dieser in einem elektrostatischen Feld wieder die selbe Bahn durchlaufen, das

Eikonal EFF, ändert dabei nicht; nur haben die F, F' genannten Brennebenen

unter sich Platz gewechselt. Man sieht leicht ein, daß C22 und C13 unverändert

bleiben, währenddem Cn und C33 gegenseitig ineinander übergehen, ebenso

C12 und C23. Es gilt also, wenn Sterne die neuen Koeffizienten kennzeichnen

ri*— n n*

_ n

u22 = ^22' °13 — ^13

21

fernerri* ri ri* ri

.ri* ri ri* ri

°11 — °33> °33 "~ °11> °12 — °23J °23 — °12-

Hieraus kann man schließen, daß bei einer symmetrischen Linse folgendeKoeffizienten einander gleich sein müssen

^11 = ^33î ^12 = ^23

Das gleiche gilt auch für die sechs entsprechenden Koeffizienten im Magnet¬feld. Obwohl die Bahn jetzt nicht mehr reversibel ist, wird in der mitdrehenden

Meridianebene dieselbe Kurve wieder vom Elektron durchlaufen, weil die

Paraxialgleichung nur die magnetische Feldstärke im Quadrat enthält und

also auf deren Vorzeichen nicht anspricht. Im Eikonal selbst enthalten die

Terme, die zu den sechs genannten Koeffizienten beitragen, ebenfalls nur f2bzw. //" und hängen demzufolge nicht vom Flugsinn des Elektrons ab. Bei den

übrigen drei Termen des Eikonals, welche die magnetischen Verdrehungs¬fehler wiedergegeben, wird nur das Vorzeichen, nicht aber die Größe, bei

Umkehrung der Flugrichtung oder Feldrichtung geändert. Es gilt also

o*— c r1* — n

0H—

~°34) u34—~

°14

C*24 = ^24

Bei einer symmetrischen Linse gilt

Ou = — Cu

und folglieh auch

Ci4 = C34

Es genügt also stets, wenn man eine gegebene Linse nur von einer ihrer beiden

Seiten her untersucht.

III. Anwendungen

1. Magnetische Linse

Die Beziehungen bei konstantem elektrischem Potential

Wir betrachten eine rein magnetische Linse, d.h. das elektrische Potential

soll überall gleich sein. Für den wichtigen Sonderfall konstanten elektrischen

Potentials lassen die abgeleiteten Beziehungen Vereinfachungen zu, welche

im folgenden erörtert werden sollen.

22

Für ein Intervall ergibt sich

ck~ -gl k,k+1> "

so daß nur Kreisfunktionen für die Bahn zu erwarten sind. Ferner ist

xk = fk, k+1 izk+l ~~ zk) 2~j7^

Mit den Abkürzungen

fk, k+llfm = Vk zß = x

wo fm das Maximum von / und l eine Bezugslänge darstellen, entsteht

aft = ao2/Ai(a;ft+l — xk)> a0 = /m ~2^U

Mit Vorteil werden überall zeitliche Ableitungen durch örtliche ersetzt. Es

entsteht für paraxiale Bahnen in dimensionsloser Schreibweise

cosaj., — sinafc\ {wkß- Vksm «fc.cos **/ \wk'hol

wobei mit w nunmehr der reelle Abstand des Elektrons von der Achse gemeintist. Wenn man am einfachsten wjl=l und w' = 0 am Objekt- bzw. Austritts¬

blendenort setzt, erhält man die zwei ausgezeichneten Bahnen

g = wjl, h = wjl

aus denen die allgemeine Lösung aufgebaut ist

1/

w =

j (r0wg + rB,wh)

und es ist ferner

V =

j w*' (zo)

Für das Eikonal, unter Verwendung der dimensionslosen Ableitung nach x

dx dz

entsteht

23

EntA= - l-p I(xe - x0) w'* (z0) + oc0* S (y2w*ß* + w'tja^ Lk + (x{ -xa) w"> (zt)

JOii-

- «0*2(2/^+^/Z4 +W^V(Zo) F2f- «<>«>'* («o)

a~2

S à yk+ wflP - 4 «02 S (2/2 w2/?2 + w'2/ao2) Vk Lke

wobei die Abkürzungen

Lk=xk+i-xk, Vk=y{zk)> Vk=yiz)für 2fc<z<zÄ+i>

a-l

F2 = S Vk Lk »^ 2/+fc = 2/\ *+l

- 2/+/fc-l, ke

verwendet wurden, und wo e und a auf Ein- und Austritt des Feldgebieteshinweisen. Die geschweifte Klammer ist dimensionslos. Für die Aufspaltungnach a, b, c, d ist zu beachten, daß

w2 1

/w'\2 1

1 — 1 =w-~Aaw'9* + bwg'w'h + cWh2)\«0/ i <x0

iraui

uns der Abkürzung

ist. Wir erhalten daraus die C-Koeffizienten des Eikonals Epp,^. Wenn wir

Zmn=-2PCn1

mn

iûoc0*

bedienen, entsteht zum Beispiel

a-l

k=e \ <*o Ik e \ a0 /

usw., ferner

Zu=-2^{Ê^vK-ws^v+f)^}

usw.

Praktisches Beispiel

Wir wählen das von Glaser untersuchte Feld6)

1y-

l + x2

6) W. Glaser, Strenge Berechnung magnetischer Linsen, Zeitschrift für Physik 104,

1937, 381.

24

und approximieren es durch folgende Treppenfunktion

Lk= 3 1 0,5 1 0,5 1 3

yk = 0,1 0,3 0,65 0,95 0,65 0,3 0,1

Vu = 0 0,2 0,5 0,8 0,8 0,5 0,2

Daß die Gaußischen Abbildungseigenschaften mit dieser groben Einteilung

schon ganz genau herauskommen, sieht man aus folgender Tabelle, wo für

die Fälle einer schwachen, mittleren und starken Linse die Konvergenz und

die Abszisse des Brennpunktes eingetragen sind. (Weggelassen ist der Fall, wo

der Brennpunkt innerhalb des Feldgebietes fällt). Glasers exakte Resultate

sind in Klammern beigefügt. Die Genauigkeit für die Optik erster Ordnung

liegt innerhalb 2%.

a0 = ^Glaser 0,1 0,25 0,33

Ijf 0,0157(0,0157) 0,0932(0,0914) 0,1594(0,161)

xF, 64,1(63,5) 10,68(10,53) 6,18(6,31)

G0.,jl 4,8-104(6,4-104) 250(300) 52(67)

Auch eingetragen wurde die Öffnungsfehlerkonstante für hohe Vergrößerungen

Cv,. Sie wird wie folgt definiert

Ar0 = C0„?

0 0J5 0,1 0,15 Q2 Q25 Qß Q35

Fig. 1. Die Fehlerkoeffizienten der magnetischen Linse in Abhängigkeit der Linsenstärke

25

Mit /tr-°Mr» a--ilr-rt

n ' o— prF' '

° —

jr ;' F'

— I s

entsteht G^^Z^ /Wga\~4Z 2a02 \ a0/

Wie man aus der vorangehenden Tabelle ersieht, ist der Öffnungsfehler im

großen Wertebereich 5-10* bis 50 in der Größenordnung richtig erfaßt und

mit einer befriedigenden Genauigkeit angegeben.Abschließend haben wir noch die übrigen Fehlerkoeffizienten der symmetri¬

schen Magnetlinse berechnet. Figur 1 gibt den Verlauf sämtlicher Zmn in

Abhängigkeit der Linsenstärke an, so daß jeder beliebige Abbildungsfehler3. Ordnung rasch bestimmt werden kann.

2. Die elektrische Immersionslinse

Wir untersuchen die Linse, welche durch zwei koaxiale Kreiszylindergleichen Durchmessers D gebildet wird, die auf verschiedenem Potential

stehen und aneinander stoßen. Das Potential auf der Achse ist nach Zworykin

Wir wollen es annähern durch zwei Parabelverteilungen gleicher Krümmungaber entgegengesetzter zweiter Ableitung, die mit stetigem Tangentenüber¬

gang zwischen zwei Gebieten konstanten Potentials angeordnet sind. Es seien

zx, z2, z3 Beginn, Mitte und Ende des Feldgebietes. Es gilt

wo L als Linsendicke angesehen werden darf. Durch Gleichsetzen der Wende¬

tangenten ergibt sich der Zusammenhang

L = 1,52 D

Die Beziehung für die Bahn schreibt man zweckmäßig dimensionslos

^k+1

L

k+l

mit

j/Wj.-Mo/ \ sh "' ch V \/«t —%

26

\^\

<£e ^^

i/o 1

2 4 6 6 10

Fig. 2. Die Fehlerkoeffizienten für die elektrische Immersionslinse

in Abhängigkeit des Spannungsverhältnisses

Für rx\L=\, r\ = 0, was der mit g bezeichneten Bahn entspricht, ergibt sich

am Ausgang

-|^ = ch a, cos a, —sh

a2 sin a,,~-j=âS= = sh oc2 cos <x, — ch a» sin a,

L 2 12 1'

^Ui-UQ2 12 1

ferner für r2\L= 1, r3 = 0, was der A-Bahn entspricht, wird

-~ = ch <x2 cos a-L + sh <x2 sin ax, >"ia = — »"30

Die Brennweiten ergeben sich aus dem Matrizenkoeffizient C, welcher gleich

C = lh

ist. Die Lage der Brennpunkte folgt aus

Z\~%F —»1* lK"

-z» =_rMÏui

lh 3a

Die Berechnung der sechs Abbildungsfehlerkoeffizienten Cmn geschieht wie

unter II erläutert und sei hier nicht im einzelnen ausgeführt. Die Ergebnissesind in Figur 2 enthalten, wo die Größen

27

V ATZ l Ui U0\ ^mn

in Abhängigkeit von uJuq eingetragen sind. Anhand von Figur 2 lassen sich

also sämtliche Abbildungsfehler der Immersionslinse sofort angeben.Im Werk von Zworykin und Mitarbeitern (Electronoptics an the electron-

microscope, Wiley, New-York 1945) sind auf Seite 450 die Brennweiten und

die Abstände der Brennebenen von der Linsenmitte graphisch dargestellt;ferner ist auf Seite 613 der Öffnungsfehler Ss/M in Abhängigkeit der Linsen¬

stärke nach numerischen Integrationen von Ramberg eingetragen, so daß wir

die Genauigkeit unserer Näherung kontrollieren können. Rambergs 8ajM für

die beschleunigende bzw. bremsende Linse ist identisch mit unserem C33jCbzw. CnIC.

Die folgende Tabelle enthält die für drei Potentialverhältnisse berechneten

Größen erster Ordnung und Öffnungsfehler, sowie Rambergs Öffnungsfehler.

?H (zf-zh)Id

u0 = fJD

1 oo

2,33 -6,914 -2,319 -0,785

Ein Vergleich mit der Figur von Zworykin würde zeigen, daß die Optik erster

Ordnung innerhalb der Ablesegenauigkeit der Kurven liegt. Was den Öffnungs¬fehler anbetrifft, sieht man, daß die Näherung im großen Spannungsintervall

ttjtt0=l bis 4 als genügend betrachtet werden kann. Falls bei stärkeren

Spannungsverhältnissen ganz genaue Werte gefordert werden, ist es also

angebracht, mehr als zwei Parabelbögen für die Potentialkurve zu nehmen.

Abschließend möchte ich Herrn Professor E. Baumann, Vorsteher des

Institutes für technische Physik an der Eidgenössischen Technischen Hoch¬

schule in Zürich, für sein Entgegenkommen und die Erlaubnis, diese Arbeit

als Assistent an seinem Institut durchzuführen, meinen verbindlichsten Dank

aussprechen. Meinem Freund, Herrn dipl. Phys. Fred Mast, bin ich für die

Anregung zur vorliegenden Arbeit und für wertvolle und fördernde Diskus¬

sionen sehr verpflichtet.

(zF-z2)/D= *ilD

^337)2

C

$817)2

M^D2C

^82 7)2M

00

-8,64

-3,4-1,585

2,15

3,48

4,8

8,0

2,15

3,3

4,6

6,8

2,15

1,56

1,441,7

2,15

1,45

1,2

0,9

28

Lebenslauf

Geboren am 20. Dezember 1924, als Sohn des Jean-Baptiste, Gesandschafts-

sekretärs, und der Antoinette, geb. Feyerick, von Frankreich, besuchte ich

das freie Gymnasium Saint Martin zu Pontoise (Seine-et-Oise) und wurde auf

Grund des franz. Baccalauréat im September 1942 als Studierender der Abtei¬

lung für Elektrotechnik der Eidgenössischen Technischen Hochschule in

Zürich aufgenommen, wo ich das Elektroingenieurdiplom im Dezember 1946

erhielt.

Vom 1. April 1947 bis zum 1. Juni 1950 stand ich im Dienste der Eid¬

genössischen Technischen Hochschule als Assistent am Institut für technische

Physik, zuerst bei Prof. Dr. F. Fischer und nach dessen Tod bei seinem Nach¬

folger, Herrn Prof. E. Baumann.

Seit dem 1. September 1950 bin ich im Forschungslaboratorium der Com¬

pagnie Generale de Télégraphie sans Fil, 23 rue du Maroc, Paris 19, tätig.