Research Collection

Doctoral Thesis

Dimensionsabhängige relationen für den Krümmungstensor undneue Klassen von Einstein- und Supereinsteinräumen

Author(s): Willa, Alex

Publication Date: 2001

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Diss. ETH Nr. 14026

Dimensionsabhängige Relationen

für den Krümmungstensor

und neue Klassen von Einstein- und

Supereinsteinräumen

ABHANDLUNG

zur Erlangung des Titels

Doktor der Mathematik

der

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULEZÜRICH

vorgelegt von

ALEX WILLA

dipl. Math. ETH

geboren am 26. Juli 1955

von Leuk (Wallis)

Angenommen auf Antrag von

Prof. Dr. Urs Lang, ReferentProf. Dr. Konrad Voss, Korreferent

Zürich 2001

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Zusammenfassung

Der erste Teil der vorliegenden Arbeit enthält eine Aufstellung der Relationen,welche die Komponenten des Krümmungstensors und seiner kovarianten Ablei¬

tungen in einem Riemannschen oder pseudo-Riemannschen Raum erfüllen. Zu¬sätzlich zu den charakteristischen und in allen Dimensionen geltenden Identitäten

(Abschnitt 1.1), werden - in Abhängigkeit von der Dimension und teilweise untereinschränkenden

Voraussetzungen-weiterebekannteundneueRelationenher¬geleitet.SoenthältAbschnitt1.2VerallgemeinerungenderLanczos-IdentitätimvierdimensionalenRaum.DerBeweisgiltauchfürpseudo-RiemannscheRäume.Ersichtlichwirdzudem,weshalbdieserAnsatzzurGewinnungvonIdentitätennurfürdieDimensionvierzweckmässigist.EinweitererdimensionsabhängigerAnsatzvonD.LovelockwirdimfolgendenAbschnitt1.3ausführlichbehandeltunderweitert.DasLeitmotivzumzweitenTeildieserArbeitwardievonA.Lichnerowiczauf¬geworfeneFrage,objederharmonischeRiemannscheRaumlokalsymmetrischseinmüsse.VorerstgehtesindenAbschnitten2.1bis2.4umdiePunktunabhängig¬keitderrichtungsunabhängigenSkalare,dieindenBegriffenEinsteinraum,Su¬pereinsteinraum,.Ep-Raum,k-stein-RaumundharmonischerRaumauftauchen;bereitshierzeigtsicheinestarkeAbhängigkeitvonderDimensiondesRaumes.IndenDimensionen2und3besitztbekanntlichjederharmonischeRaumkon¬stanteKrümmung,währendimvierdimensionalenFallmitdefmiterMetriknurlokalsymmetrischeRäumeinFragekommen.DerüblicheBeweisdieserAussagekannmitHilfederQuaternionenrechnungstarkvereinfachtwerden(Abschnitt2.5).InvielenDimensionenn>5(z.B.5,6und8)bleibtdieFragenachderExistenznicht-symmetrischerharmonischerRäumemitdefiniterMetriktrotzin¬tensiverArbeitoffen,nichtzuletztinfolgedergeringenAnzahlbekannternicht¬symmetrischerSupereinsteinräume.SolcheBeispieleenthältnunderdritteTeil.Die1992vonE.DamekundF.Riccipubliziertennicht-symmetrischenhar¬monischenRäumefürgewisseDimensionenn>7werdenimAbschnitt3.1aufandereWeisedargestellt:dazuwirdvorersteineKlassespeziellerLie-Gruppen(UntergruppenderlinearenGruppe)mitlinksinvarianterMetrikdurchexpliziteAngabederGruppenoperationunddesmetrischenTensorsdefiniert.FordertmansukzessivedieErfüllungderLedgerschenBedingungenfürharmonischeRäume,soentstehteineKlassevonEinsteinräumen;diedarinenthaltenenZweisteinräumesinddanngenaudieDamek-Ricci-Räume.DurcheinenähnlichenAnsatzwirdinAbschnitt3.3eineneueKlassenicht-symmetrischerSupereinsteinräumebeliebi¬gerDimensionn>7definiert.SchliesslichführenanalogeAnsätzeimAbschnitt3.4zuexplizitenDarstellungenderbekanntenfünfdimensionalenGruppenräume,dieEinsteinschsind,sowiezueinerweiterenKlassenicht-symmetrischerhomo¬generEinsteinräumederDimensionn>5.

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Abstract

The first part of the present dissertation contains a list of relations which aresatisfied by the components of the curvature tensor and its covariant derivativesin a Riemannian or pseudo-Riemannian space. In addition to the characteristicidentities which are valid in every dimension (section 1.1), we establish some well-known and some new relations depending on the dimension of the space or onsome other restrictive conditions. Thussection1.2includesgeneralizationsoftheLanczosidentityinspacesofdimensionfour.Thegivenproofisalsovalidforpseudo-Riemannianspaces.Moreover,wewillpointoutwhytherestrictiononthedimensionfourisnecessarytoobtaintheseidentities.AnothergeneralizationproposedbyD.Lovelockwillbepresentedandextendedinsection1.3.TheleitmotifofthesecondpartofthispaperwasthequestionraisedbyA.Lichnerowicz([Ll-1]),whethereveryharmonicRiemannianspaceislocallysymmetric.Firstofallweexamineinsections2.1to2.4whetherthescalarsthatappearinthenotionsofEinstein,Supereinstein,Ep,fc-steinandharmonicspaces,andwhicharethesameineverydirection,areconstantscalarfunctions;alreadyinthisquestionitappearsthattheanswersareessentiallydependingonthedimen¬sionofthespace.Moreover,itiswell-knownthatinthedimensions2and3everyharmonicspaceisaspaceofconstantcurvature,whereaseveryfour-dimensionalharmonicspacewithdefinitemetricislocallysymmetric.Theclassicalproofofthisstatementwillbesimplifiedbyusingcalculationwithquaternions(section2.5).Inmanydimensionsn>5(e.g.5,6and8)thequeryabouttheexistenceofnon-symmetricharmonicspaceswithdefinitemetricisstillopeninspiteofmuchworkandnotleastbecauseofthesmallnumberofknownnon-symmetricSupereinsteinspaces.Examplesofsuchspaceswillbegiveninthethirdpart.Thenon-symmetricharmonicRiemannianspacesofsomedimensionsn>7publishedbyE.DamekandF.Ricci[D-R]in1992arepresentedinadifferentwayinsection3.1:firstwedefineaclassofspecialLiegroups(subgroupsofthelineargroup)withleftinvariantmetricbygivinganexplicitformulaofthegroupoperationandofthemetrictensor.IfwegraduallydemandthefulfilmentoftheLedgerconditionsforharmonicspaces,wefirstfindaclassofEinsteinspaces;the2-steinspaceswhichthisclasscontainsarethenexactlytheDamek-Riccispaces.Byasimilarapproachwedefineinsection3.3anewclassofnon-symmetricSupereinsteinspacesofanydimensionn>7.Analogousattemptswillfinallyleadusinsection3.4toexplicitrepresentationsoftheknownexamplesof5-dimensionalEinsteingroupspacesandtoanewclassofnon-symmetrichomogeneousEinsteinspacesofdimensionn>5.

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung 3

1 Dimensionsabhängige Relationen für den Krümmungstensorund dessen kovariante Ableitungen 7

1.1 Herkömmliche Identitäten für den Krümmungstensor 7

1.2 Verallgemeinerte Lanczos-Identitäten 9

1.2.1 Definitionen 10

1.2.2 Die Einsteinbedingung 14

1.2.3 Der vierdimensionale Fall 17

1.3 Lovelock-Tensoren 24

2 Spezielle Einsteinräume 39

2.1 Ep-Räume 39

2.2 Supereinsteinräume 41

2.3 k-stein-Räume 44

2.4 Ledger-Formeln 51

2.5 Vierdimensionale Riemannsche Räume 53

2.5.1 Quaternionenbasis 53

2.5.2 Einsteinbedingung und Jacobi-Operator 56

2.5.3 Zweisteinbedingung572.5.4VierdimensionaleharmonischeRäume593Gruppenräume,welchedieEinstein-,Supereinstein-oderZweisteinbedingungenerfüllen633.1Damek-Ricci-Räume633.2DerRicci-TensoreinerLie-Gruppe723.3EineKlassevonSupereinsteinräumen773.3.1Definition77

1

3.3.2 Einsteinbedingung 78

3.3.3 Bedingung für symmetrische Räume 80

3.3.4 Supereinsteinbedingung 82

3.3.5 Beispiele 85

3.4 Darstellung 5-dimensionaler Gruppenräume 89

3.4.1 Darstellung des einzigen fünfdimensionalen nicht-kompak¬ten symmetrischen Zweisteinraumes, der kein Dreisteinraumist 89

3.4.2 Gruppendarstellung des einzigen homogenen fünfdimensio¬nalen nicht-symmetrischen Einsteinraumes, dessen Schnitt¬

krümmung keine positiven Werte annimmt 93

3.4.3 Beispiel eines homogenen fünfdimensionalen nicht-symmet¬rischen Einsteinraumes, dessen Schnittkrümmung positiveund negative Werte annimmt 94

Literaturverzeichnis 97

2

Einleitung

Ein Riemannscher oder pseudo-Riemannscher Raum heisst harmonisch, wenn in

jedem Punkt die Abstandssphären konstante mittlere Krümmung haben. A.LlCH-NEROWICZ ([Ll-1]) hat gezeigt, dass jeder vierdimensionale harmonische Raummit definiter Metrik

lokalsymmetrischistunddieFragegestellt,obdiesfüral¬leDimensionenzutrifft.UnterdensymmetrischenRäumenmitdefiniterMetriksindgenaudiesymmetrischenRäumevomRang1harmonisch.Beinicht-definiterMetriksindfüralleDimensionenn>4Beispielevonnicht-symmetrischenhar¬monischenRäumenbekannt.EinRaumistgenaudannharmonisch,wennderKrümmungstensorundsei¬nekovariantenAbleitungeneineunendlicheFolgealgebraischerRelationen,dieLedgerschenFormeln,erfüllen.InsbesondereistjederharmonischeRaumeinEin¬steinraumundgenügtausserdemdersogenanntenZweisteinbedingung.BeiderUntersuchungderartigerRelationenspielendimensionsabhängigeIdentitätenfürdenKrümmungstensorReinewesentlicheRolle.DasersteKapiteldieserArbeitistdemStudiumsolcherIdentitätengewidmet.BekannteBeispiele:jede2-dimensionaleMetrikerfülltdieEinsteinbedingung;beijeder3-dimensio-nalenMetrikverschwindetderkonformeWeyl-TensorC,undfolglichhatjederdreidimensionaleEinsteinraumkonstanteSchnittkrümmung.Fürvierdimensio¬naleRiemannscheRäumehatC.LANCZOS([La])eineIdentitätgefunden,diesichaufdiefolgendeFormbringenlässt:pRik+RiabCRkac—2RiaRka—^RiakbRa—ßgik;dabeiistRikderRicci-TensorundpdieSkalarkrümmung.Wirführenallgemein(d.h.beibeliebigerDimensionndesRaumesundbeibeliebigerSignaturderMetrik)denTensorR=R—[T;g]1ein(denwirLanczos-Tensornennen),wobeiTderspurfreieRicci-Tensorist,undzeigen,dassdieAbbildung:Ry-^RdiebeidenEigenwerte1und3—nbesitzt.R—RcharakterisiertdieEinsteinräume.R=(3—n)RistgleichbedeutendmitC=0undp=0(Seite17).DurchdieDarstellungdesLanczos-TensorsmitHilfedesverallgemeinertenKronecker-SymbolsinderForm:Dhichicdnab_r/iiRifc=4djkabRcd^~P0jk[T;g]h,jk—Thjgtk—Thk9%j+T,kghj—Tijghk3

(Satz 2, Seite 15) wird ersichtlich, inwiefern die Dimension n — 4 eine Sonder¬rolle spielt. Im Abschnitt 1.2 beweisen wir, dass der Krümmungstensor in jedemvierdimensionalen Raum zahlreiche Identitäten erfüllt: für jedes symmetrischeund "transpositionsinvariante" Polynom p(X, Y) in zwei nicht-kommutierendenUnbestimmten ist die Einsteinbedingung Ric(p(R,R )) = Xg erfüllt (Satz 4, Seite

20). Für p(X,Y) = XY + YX ist dies die Lanczos-Identität. Unsere Aussagenund Beweise gelten unabhängig von der Signatur der Metrik.

Obige Darstellung des Lanczos-Tensors verdeutlicht aber auch eine andere

mögliche Verallgemeinerung: wir definieren für jede ganze Zahl p > 1 eine Funk¬

tion u, einen zweistufigen Tensor A und einen vierstufigen Tensor B durch

WLPJ — °t1t2-t2pn Si.s2n S3S4 ^ S2p-l«2pAh .\n~\ _ chsiS2-S2p T>tit2 T3t3U D*2p-l*2p"

j[Pl—

0jtit2—t2pJX S1S2-0- S3S4 Jl S2p-lS2p

nhi.,\„]—

srhia1S2—a2p ptxt2 73*3*4 D*2p-l*2P-" jklfi — Ujkt1t2-42plt «1*2-"- S3S4

-""S2p-lS2p-

Für n = 2p ist u>[p] der Gauss-Bonnet-Integrand. Die Tensoren A\p] wurden vonD. LOVELOCK in [Lo-1, Lo-3] als Verallgemeinerung des in den Einsteinschen

Feldgleichungen auftretenden Tensors Ric(Ä) — \pg = —| A[l] definiert. Mit denTensoren B\p] verallgemeinern wir noch einen Schritt weiter und errechnen damitweitere Relationen für den Krümmungstensor. Die Abhängigkeit von der Dimen¬sion steckt dabei in der Eigenschaft des verallgemeinerten Kronecker-Symbols,dass ^}J..j* = 0 ist für k > n. Spezielle Aufmerksamkeit verdient der Tensor

Q 9 ( p na 6 p po b 1 p na b p po 6 \*->hijk

— L K^haib1^ j k J^haib-n- k j \ -n-hakb1^ j i 1>-hajbn- k il ^

der sämtliche Symmetrien des Krümmungstensors besitzt (inkl. l.Bianchi-Identi-

tät), und der sich in 4- und 5-dimensionalen Einstein- und Supereinsteinräumenbesonders einfach schreiben lässt (Satz 10, Seite 37, und Korollar 10.1).

Verschiedenartige Möglichkeiten, Einsteinräume durch zusätzliche Anforde¬

rungen zu spezialisieren, werden in den Abschnitten 2.1 bis 2.4 des zweiten Kapi¬tels untersucht: Begriffe wie .Ep-Räume, Supereinsteinräume, fc-stein-Räume und

Ledger-Formeln werden kurz erläutert und die Beziehungen der darin auftreten¬den richtungsunabhängigen (aber nicht notwendigerweise punktunabhängigen)Skalare untersucht. Als neues Ergebnis enthält dieser Abschnitt unter anderem

die Aussage, dass sich in jedem 5-dimensionalen harmonischen Riemannschen

Raum die Norm der kovarianten Ableitung des Krümmungstensors aus den Kon¬stanten der drei ersten Ledger-Formeln berechnen lässt (Satz 18, Seite 52) undsomit punktunabhängig ist.

Im Abschnitt 2.5 geht es um den vierdimensionalen Riemannschen Fall. Mit

Hilfe der Quaternionenrechnung gelingt es, den Jacobi-Operator geschickt dar¬zustellen (Seite 57). Hieraus ergeben sich wesentlich vereinfachte Beweise für die

4

bekannten Aussagen, dass jeder vierdimensionale Zweisteinraum für jedes k ein k-stein-Raum ist, und dass jeder vierdimensionale harmonische Riemannsche Raumlokal symmetrisch sein muss. Letztere Aussage kann auf Grund einer Arbeitvon Q.S.CHI wie folgt verschärft werden: ein vierdimensionaler Riemannscher

Zweisteinraum, bei dem der Krümmungstensor und dessen kovariante AbleitungpunktunabhängigeNormenbesitzen,istlokalsymmetrisch.ImdrittenKapiteldieserArbeitbehandelnwirBeispielevonGruppenräumenmitlinksinvarianterMetrik,welchedieEinstein-,Supereinstein-oderZweistein¬bedingungenerfüllen.DiezurZeiteinzigenbekanntennicht-symmetrischenharmonischenRäumemitpositivdefiniterMetrik(sogenannteDamek-Ricci-Räume[D-R])werdenimAbschnitt3.1vorgestellt.WirdefinierenzunächsteineallgemeinereKlassevonRiemannschenGruppenräumen,wobeiwirnichtwieüblichvonderLie-Algebraausgehen,sonderndieGruppenoperationunddieMetrikexplizitangeben.Beibe¬liebigerWahlderauftretendenKoeffizientenerhaltenwireinegrosseKlassevonGruppenräumenmitlinksinvarianterMetrik.DerSpezialfallderDamek-Ricci-Räumeergibtsich,fallsdieseKoeffizienten"Clifford-Bedingungen"genügen.Esstelltsichheraus,dassfürunsereBeispieledieZweisteinbedingungenäquiva¬lentmitdiesenClifford-Bedingungensind(Satz22,Seite70).UnsereKlassevonGruppenräumenenthältaberauchzahlreicheweiterenicht-symmetrischeEin¬steinräume.Abschnitt3.2enthältimWesentlicheneineFormelzureinfachenBerechnungdesRicci-TensorseinerRiemannschenLie-GruppeausdenStrukturkonstantenderzugehörigenLie-Algebra(Seite73),mitderenHilfeesgelingt,dieanschlies¬sendkonstruiertenEinsteinräumeausfindigzumachen.DerimAbschnitt3.1verwendeteAnsatzwirdimAbschnitt3.3gleichzeitigverallgemeinertundspezialisiert("mehrdimensionaleErweiterung"einerAbel-schenLie-Gruppe).Diezugewissenzweistufig-auflösbarenabernicht-nilpotentenLie-AlgebrengehörendenRäumewerdenauchhierexplizitangegebenunddannnachihrenEigenschaftenklassifiziert.WirerhaltenzahlreicheBeispielevonEin¬stein-undSupereinsteinräumenbeliebigerDimension(Satz25,Seite83).DabeisinddiesymmetrischenSupereinsteinräumebisaufHomothetieProduktevonreellenhyperbolischenRäumengleicherDimension.Dienicht-symmetrischenSu¬pereinsteinräume(mitDimensionenn>7)hingegensindimAllgemeinenirre-duzibel,jedochkeineZweisteinräume.FürdieKonstruktionkonkreterBeispieleverwendenwiru.a.rechteckigeHadamard-Matrizen.FürfünfdimensionaleRäumebliebdieSuchenachnicht-symmetrischenhar¬monischenRiemannschenRäumenbislangerfolglos.DurcheinenweiterenAnsatzstossenwir(Abschnitt3.4)immerhinaufeineexpliziteDarstellungdeseinzigen5

fünfdimensionalen symmetrischen Gruppenraumes mit Zweisteinbedingung undnicht konstanter Schnittkrümmung, sowie auf eine Gruppendarstellung des ein¬

zigen homogenen fünfdimensionalen nicht-symmetrischen Einsteinraumes, dessen

Schnittkrümmung keine positiven Werte annimmt. Schliesslich erhalten wir ein

neues Beispiel eines homogenen fünfdimensionalen nicht-symmetrischen Einstein¬

raumes. Das letzte Beispiel lässt sich für beliebige Dimensionen (n. > 3) verallge¬meinern: es entsteht eine neue Klasse von Einsteinräumen.

Dank

An dieser Stelle möchte ich Herrn Professor Dr. Konrad Voss von der ETH Zürich

ausdrücklich danken für die unschätzbare Hilfe, die freundliche BetreuungunddiestetsaufmunterndeUnterstützung,dieermirbeiderAusarbeitungdieserDisser¬tationhatzuteilwerdenlassen.AuchnachseinerwohlverdientenPensionierungscheuteProfessorVosswederZeitnochEnergie,michweiterhininregelmässi¬genAbständenzuempfangenunddadurchdenAbschlussdieserArbeiterstzuermöglichen.MeinaufrichtigerDankrichtetsichauchanHerrnProf.Dr.UrsLangvonderETHZürich,dersichbereiterklärte,meinerArbeitalsReferentvorzustehen.Sion,imDezember2000AlexWilla

6

1 Dimensionsabhängige Relationen für den

Krümmungstensor und dessen kovariante Ab¬

leitungen

1.1 Herkömmliche Identitäten für den Krümmungstensor

Sei (M,g) ein Riemannscher oder pseudo-Riemannscher Raum der Dimension n.Die Komponenten Rhijk des zugehörigen Krümmungstensors haben

dieSymme¬trieeigenschaftenRhijk=—Rhikj——RihjkundRhijk=Rjkhiunderfüllendiel.Bianchi-IdentitätRhijk+Rhjki+Rhkij=0.DieAnzahlderunabhängigenKrümmungskomponentenbeträgt"'"^~'.Ge¬mässdenArbeitenvonS.S.CHERN[Ch]undR.KLINGER[Kl-1,p.30],[Kl-2]könnenzudemfürRiemannscheRäumederDimensionn>3injedemPunktdurchDrehungdesKoordinatensystemsmKrümmungskomponentenzumVer¬schwindengebrachtwerden.IneinerderartigenBasis,imFolgendenChern-Basisgenannt,gilt•Riiij=0für2

Weiter erfüllen die Komponenten der 2.Ableitung die Ricci-Identität

Rhi]k,lm — Rhi]k,ml — R hlm.Rsijk + R ilmRhsjk + R jlmRhisk + R klm.Rhijs (1)

Auch für diese Komponenten kann gezeigt werden, dass sie keine weiteren Re¬lationen erfüllen müssen [Kl-1, p.85]. Die Anzahl unabhängiger Komponenten

(modulo R) beläuft sich auf n*.R||2 = Rabcd,eRabcd'e die Quadrate der Normen desKrümmungstensors und seiner Ableitung. Weitere invariante Skalare sind R =

RabcdRcduvRu\b und R = R\hdRcudvR\\; vgl. [Be, p.165]. Dann gelten dieFormeln

(a) Raijk,a = Rik,j - Rij,k

(\^\ p. p.cfca 1 o p abc

(C) Rabcd,eRabCe'd = UDRW2p jDadcb.e 1 II n Z? II2ïlabcd,eti

—

2l|-^-K II

Rahcd,eRaech4 = \\\DRf

(A\ Pai TDcd jdu v 1 pldJ R cdK uvK a b

-

2K

Dab pc d jdu v 1 pn cdn u v11 a b—

4U

pa b pc d TDu v p 1 pR

c dK u VR b a- R

-

4U

(e) A (\\R ||2) = 2\\DR ||2 + 8Rab,cdRadbc + ARstRsabcRtabc -2R-SR

Erfüllt der Raum die Einsteinbedingung Ric = n^g mit konstantem «i,so schreibt sich die letzte Formel vereinfacht:

A (\\R ||2) = 2\\DR ||2 + 4ki||a ||2 -2R-8R. (2)

Beweis. Diese Identitäten werden durch mehrfaches Anwenden der oben erwähn¬

ten Grundrelationen und durch Verjüngung hergeleitet. Für den Beweis von (a) -

(d): siehe [Sa, p.591]; der Beweis der Eigenschaft (e) erfordert geschicktes Rech¬nen (vgl. [Ll-2, p.10]):

8

A(||ß||2) = (RabcdRabcd),stgstOD ryabcd „st i o r> r>abcd,s

—

ZtCabcd,stti g + Ztiabcd,sK

= -2 (Rabds,ct + Rabscdt) f Rahcd + 2\\DR ||2 (2.Bianchi)O ( ds i ps \ T>abcd i oll DC II2

—

—

^ \— ti dab,cs + ti Cab,ds) ti ~\- Z\\Uli\\

= -2 (-Rsbcd,as - Rsbcd,as) Rabcd + 2\\DR ||2 (Symmetrien)A T>s T)abcd L nil /-» r> II2

— 4/1 bcd,as-K +Z\\Lfn\\

Wegen der Ricci-Identität (1) und Eigenschaft (a) gilt:

RSbcd,as = RSbcd,sa + Habcd = (Rbd,c ~ Rbc,d) ,a + Habcd

wobei

tlabcd — JXpbcd-K- mT" pcd-tt bas i ti bpd-tL cas ~T~ tt bcpti das

Nach geeignetem Umschreiben der Indizes folgt:

/ r> D \ r>abcd o E> ryabcd o D jyadbc{tibd,c

—

Jtlbc,d)>a ti= —/ tibc,dati — Z tiab,cdti

sowie, unter Benützung der Eigenschaften (d):

U uabcd __ r>pa r> r> bed p p pnabcd-tl — ti Kpbcdria

—

—ti—

ti—

ti

Eingesetzt im oben berechneten Ausdruck für A (\\R ||2) folgt die Behauptung.

1.2 Verallgemeinerte Lanczos-Identitäten

In einem 1938 erschienenen Artikel beweist C. LANCZOS [La] für vierdimensio-nale Riemannsche Räume eine Identität, die sich in folgender Form schreibenlässt:

pRik + RiabcRh1C— ZRiaRka — 2RiakbRa = ßdik (3)

wobei ß = J(/>2 + ||Ä||2-4||Ric||2), ||Ric||2 = RabRab und p = Rabgab dieSkalarkrümmung ist.

Der Beweis war noch recht umständlich; doch 1967 lieferte D. LOVELOCK

[Lo-1] einen neuen Beweis, der zusätzlich eine Verallgemeinerung der Lanczos-Identität (3) für n-dimensionale Riemannsche Räume enthält. Auf die Arbeitenvon LOVELOCK zu diesem Thema werden wir später noch ausführlich zu sprechenkommen.

In diesem Abschnitt leiten wir neue Identitäten für vierdimensionale Räume

her, welche die Lanczos-Identität als Spezialfall enthalten; die Beweise erfassenzudem auch den Fall der pseudo-Riemannschen Räume.

9

1.2.1 Definitionen

Das verallgemeinerte Kronecker-Symbol wird für i\,jfj, G {1,2,... ,n} definiert

durch

$::ä = det (*%,) für A,/* = l fe.

Es handelt sich dabei um die Komponenten eines schiefen (fc,fc)-Tensors mit den

Werten

signum f*1 "*.* ) falls die Indizes ij ... i^ verschieden sind und\3l ••3k J

ji 3k eine Permutation von i\... i^ ist

0 für alle anderen Indexkombinationen.

Insbesondere gilt also n. Für k = 1 erhält man das übliche

Kronecker-Symbol.

Es sei 7 = det (^ ) und a = sgn(7). Die Grössen

e. ._ .[\Z\ fi}-?

transformieren sich bei Koordinatentransformationen mit positiver Determinante

wie die Komponenten eines Tensors n-ter Stufe, des sogenannten e-Tensors. Der

zugehörige kontravariante e-Tensor n-ter Stufe wird nun definiert durch

Eigenschaften

(:\ AI...in — & X'l-'n

(ii) eH...ÙSfc+1...Sneji _jkSk+i sn = a{n _ k){ ££..£ för k < n

Spezialfälle:

k = 0 t*i-'"c4l...an = an!

fc = l e^-s"ejS2...Sri = ,T(n-l)!^

fc = n é—ek..,n=a8^±

10

R 5n £1 Z = (ÊSjï Sil l fur* + r

Ferner sei B die Menge der 2-stufigen symmetrischen Tensoren:

AGB 4» Ahj = Ajh.

Es gilt dimK = "("-i)y-"+2) und dim(B) = ^1.

Lemma 1. Ein Tensor ÄGKerfülltgenaudanndieersteBianchi-Identität,wennfürbeliebigeIndizesh,i,j,k:rabcdpndhijkKabcd-U.Beweis.DerTensorThijk=àjujkRabcdistschiefinallenIndizes.WegenderSymmetrieeigenschaftenvonRgiltaber:Thijk=8(Rhijk+Rhjki+Rhkij)-QLemma2.EinTensorRGKerfülltgenaudanndieersteBianchi-Identität,wennfürbeliebigeIndizess±,...,snundk:eahcsabcdss---snpr\„°hijkfi-abcd—~,TTj^abcd^hijks^—Sn—u•uDienunfolgendenDefinitionenkönntenohneweiteresaufbeliebigeTensorenvierter,respektivezweiterStufeerweitertwerden.WirbetrachtendreilineareAbbildungen:•dieRicci-AbbildungRic:K—yBdefiniertdurchRlc(K)hj=KhijkgikVifeK•dieSpurbildung(Kontraktion)Sp:B—>RdefiniertdurchSV(A)=AhjghjVAeB•dasKulkarni-Produkt2[;]:BxB—>Kdefiniertdurch[A;B]hijk=AhjBik—AhkBij+AikBhj—AijBhkVA,BGBDerTensor[A;B]besitztalleSymmetriendesKrümmungstensors,erfülltalsoauchdie1.Bianchi-Identität.2vgl.[Ku]und[B-K,p.74]12

Beispiele

1. Für einen beliebigen Tensor A B gilt

Ric([A;g}) = {n - 2)A + Sp(A)g

Sp(Ric([ A ;

1.2.2 Die Einsteinbedingung

Definition. Für einen beliebigen Tensor R aus K definieren wir den Lanczos-

TensorR [La, p.849]:

R = R-([mc(R);g]-?-[g;g^ mit p = Sp(Ric(#)).Vereinfacht

kannmanauchschreibenR=R—[T;g],wobeiT=Ric(ß)—^gderspurfreieRicci-Tensorist.Beispiele1.BeiRäumenkonstanterKrümmunggiltR=—j^-r[g;g],alsoT=0undR=R.2n(n—1)2.BeikonformflachenRäumengiltC=0;vgl.z.B.[Ru].DarausfolgtR=^([^.^.„^^und—n—2R=-(n-QR+^—^p^g].3.BeiallendreidimensionalenRäumenistbekanntlichC=0,alsoR=[Ric(Ä);flf]-^[«7;5f]undR=^[9;g].AusdenBerechnungenaufSeite13undobigemLemma3folgtSatz1.FürdenLanczos-TensorRgilt(a)Ric(ß)=-(n-3)Ric(i?)+*^pg(b)p—p,wobeip=Sp(Ric(i?))(c)Ric(R)=£g&R=RDefinition.WirsageneinTensorRausKerfülledieEinsteinbedingung,fallserdieGleichungRic(i?)=-gerfüllt.

14

Satz 2. Für n > 3 gilt Rh%k = \ Sffî Rabcd - ^p 5% .

Beweis. Für n = 3 ist die Aussage aus obigem Beispiel 3 ersichtlich. Für n > 4

und R G K definieren wir den Tensor R6KdurchdieKomponentenRh%]k—\ghsgzt&fkcdRcdabDiezubeweisendeAussagelautetsomitR=R—^^p[fif;#]•DieEigenschaft(iv)(c)aufSeite11angewandtaufdenTensorT^—RcdabschreibtsichR=R—[Ric(i?);g]+|[g;g].ZusammenmitderDefinitiondesLanczos-TensorsRfolgtdieBehauptung.MitHilfederEigenschaft(ii),Seite10,fürk=4folgtKorollar2.1.Fürn>4gilt:3k~4(n-4)l°6cd^...^-^-P^fc-I4)Satz3.FürReKgiltË=(n-3)Ä-(n-4)Ä.Beweis.EsbezeichneT=Ric(i?)—^gundT=Ric(Ä)—^pgdiespurfreienRicci-TensorenvonRundß.AusSatz1schliesstmanzunächstaufT=(-(n-3)Ric(R)+?—-^pg)-?-g=-(n-3)TundweiterR=Ä-[f;^]=R+(n-3)[T;g]_=R+(n—3)(R—R)(nachDefinitionvonR)=(n-3)E-(n-4)£DKorollar3.1.Fürn=4gî'/ifürjedenTensorRausK:R=R.DiesefürRiemannscheRäumebereitsvonC.LANCZOSbewieseneIdentitätgiltalsoauchimnichtpositiv-definitenFall.Korollar3.2.DielineareAbbildung:R(->•Ristselbstadjungiertundbesitztfürn>2genauzweiEigenwerte1und—(n—3);dieDimensionenderzugehörigenEigenräumeEundFsinddim(E)='"~''"~"~"~'unddim(F)=(»-K"+;_p^rn>4z's£

.Beweis. Da zum Beispiel für R=[g;g] die Gleichung R =R gilt, ist zumindest1 ein Eigenwert der Abbildung . Sei E der zugehörige Eigenraum.

Zur Bestimmung der Dimension von E betrachten wirdieAbbildungxß:K->BRH>Ric(fi)--g.NachSatz1(c)istEderKerndieserAbbildungundsomitdim(E)=dim(K)-dim(im(0)).NunbestehtdasBildvonif?aberausallenspurfreien2-stufigenkovariantensym¬metrischenTensoren,denn•definitionsgemässistip(R)immerspurfreiund•jederspurfreieTensorTausBliegtimBildvoniß,daij)(~^[T;g])=T.Somitistdim(im(V0)=^r1~1={n^n+2);ausdim(K)=^(n-i)^-n+2)folgtnundim(E)=("-i)("3-"2-2n-8)_WiemanleichtnachweististdieAbbildung:R\-ïRselbstadjungiert;wegenSatz3unddim(E)sindalso1und—(n—3).Fürn>4sindbeideEigenwertevonNullverschiedenunddieAbbildungregulär.FernergibtesfürjedenTensorRausKeineDarstellungR=R'+R"mitR'eEundR"GF(5)undsomitistdimF=dim(K)—dim(E)=dim(im(^>)).SetztmannämlichR"=—!--[T;g]mitT=Ric(Ä)-*gundR'=R-R"(6)sofolgtausdenFormelnaufSeite13:Ric(E")=T,alsoW'=-(n-3)R".WeiterfolgtR/=R'.D16

Nach Satz 1 ist ein Raum (M,g) genau dann ein Einsteinraum, wenn für den

Krümmungstensor R = R gilt, d.h. wenn R G E. Bezeichnen wir einen Raum

als Antieinsteinsch, falls R 6 F d.h. R = — (n — 3)R ist, dann gilt:

Korollar 3.3. Ein Raum der Dimension grösser oder gleich J ist genaudanneinAntieinsteinraum,wennerkonformflachistunddieSkalarkrümmungidentischverschwindet.Beweis.MitdenBezeichnungen(6)gilt:R=-(n-3)RR'=0.AusR'=R-^[T;g]=0folgt:Sp(Ric(ß))=p=0(nachdenFormelnaufSeite13);fürp=0istaberC=R'.Korollar3.4.FüreinenbeliebigenTensorRausKgilt:(n—3)R+RGE;d.h.derTensor(n—3)R+RerfülltdieEinsteinbedingung,undR—ReF.Beweis.UnterVerwendungvon(5)und(6)giltR=R'—(n—3)Ä"unddaher(n-3)R+R=(n-2)R'eEundR-R=(n-2)R"GF.DBemerkung.InRäumenbeliebigerDimensiongilt:einTensorRausKgenügtgenaudanndererstenBianchi-Identität,wenndieseIdentitätauchfürdenzu¬gehörigenLanczos-TensorRgilt.DiesfolgtausderDefinitionvonRunddenEigenschaftendesKulkarni-Produktes(Seite12).1.2.3DervierdimensionaleFallGemässFormel(4)lässtsichderLanczos-TensorRineinemvierdimensionalenRiemannschenoderpseudo-RiemannschenRaum(M,g)wiefolgtschreiben:jk=—eab&cdejk\i)Zudemist(M,g)nachSatz1genaudanneinEinsteinraum,wennfürdenKrüm¬mungstensorRdieGleichungR=Rgilt.

17

Matrizenschreibweise. Sei V = TP(M) der Tangentialraum in einem belie¬bigen Punkt p G M. Ein Tensor R aus K kann als (selbstadjungierter) Endomor-phismus des 6-dimensionalen Raumes VAV der schiefsymmetrischen zweistufigenTensoren

aufgefasstwerden:R:VAV->VAV(8)uhi^vhi=RhljkUjkDasProduktRSzweierTensorenausKistdemgemässalsZusammensetzungvonEndomorphismenzuverstehen:(RS)hijk=RhiabSajk(9)DiesesProduktistnichtnotwendigerweiseselbstadjungiert(siehehierzuDefini¬tionenSeite27).FürdiezugehörigeMatrizenschreibweisewerdendieIndexpaarenumeriert.BesondersgünstigistdieZuordnung(1,2,3;4,5,6)

(iii) Der Tensor EeK erfüllt genau dann die Einsteinbedingung,

wenn TZ = S~X1Z£ oder wenn £71 = 7Z£ (wegen Satz 1).

Definitionen. Im Folgenden bezeichne p ein Polynom mit reellen Koeffizientenin zwei nicht-kommutierenden Unbestimmten,d.h.p(X,Y)isteineLinearkombi¬nationvonMonomenderFormwobei«iundßknichtnegative,ct2,...ctk,ß\,...ßk-ipositiveganzeZahlensind.DasPolynompheisstsymmetrisch,fallsp(X,Y)—p(Y,X)ist.EsseiennunRundSzweiEndomorphismenausK.DeraufGrundderMultipli¬kation(9)definierteEndomorphismusp(R,S)istimAllgemeinennichtselbstad-jungiert,alsonichtinK.DasPolynompheissetranspositionsinvariant,fallsfüralleselbstadjungiertenEndomorphismenRundSderEndomorphismusp(R,S)wiederselbstadjungiertist.Beispiele1.DasPolynomp(X,Y)=XY+YXistsowohlsymmetrischalsauchtranspositionsinvariant.2.DasPolynomp(X,Y)=X2Y+YX2isttranspositionsinvariant,abernichtsymmetrisch.3.DasPolynomp(X,Y)=X2Y+Y2Xistsymmetrisch,abernichttrans¬positionsinvariant.4.DasPolynomp(X,Y)=X2Yistwedersymmetrisch,nochtranspositions¬invariant.5.EinPolynomistgenaudannsymmetrisch,wennesmitjedemMonomXaiYßlXa*Ylh---Xa''YßkauchdasentsprechendeMonomderFormYa*XßlYakXßkmitdemselbenKoeffizientenenthält;dasPolynomistgenaudanntranspositionsinvariant,wennesYßkXak•YßlXaimitdem¬selbenKoeffizientenenthält.Lemma4.EsseienRundSzweiTensorenausK,RundSdiezugehöri-genLanczos-TensorenundpeintranspositionsinvariantesPolynom.DannistpjR~S)^P(R,S).19

Beweis. Sind R und S selbstadjungierte Endomorphismen und p ein transposi¬tionsinvariantes Polynom, so ist definitionsgemäss auch. p(R, S) selbstadjungiert.Bezeichnen wir mit TZ,SundVdiedenEndomorphismenR,Sundp(R,S)zugeordnetenMatrizen,soexistierteinPolynompso,dassV=p(7Z,S)(füreinhomogenesPolynompvomGrad7istp=27-1p).FürdiedemEndomorphismusp(R,S)zugeordneteMatrixgiltwegenFormel(ii)Seite18:p{n,s)=p{z-x-RE,e-xs)=S'1p(7l,S)S=pXR^)=v.dBeispiel.ImFallp(R,S)=±(RS+SR)istp(TZ,S)=TZS+STl=(£-1TlE)(£-1S£)+(£'1S£){£-17ZS)=£-l{KS+SK)£=7ZS+S7Z=ß(7l,S).SetztmannochS—R,sofolgtR?—(R),undsomitspeziellfürTensorenRmitEinsteinbedingung:RGE=^R2eE.(10)Satz4.(VerallgemeinerteLanczos-Identitäten)Injedemvierdimensiona-lenRaumgilt:IstRKundpeinsymmetrischestranspositionsinvariantesPolynom,soerfülltderTensorp(R,R)dieEinsteinbedingung.Beweis.WegenLemma4,Korollar3.1undderSymmetrievonpfolgtp{R,R)=p{R,R)=p(R,R)=p{R,R).DFolgerungen.FürjedessymmetrischetranspositionsinvariantePolynomliefertSatz4eineIdentitätfürTensorenausK,insbesonderealsofürdenKrümmungs¬tensor.(i)DaseinzigehomogenesymmetrischeundtranspositionsinvariantePoly¬nomerstenGradesistp(X,Y)=X+Y.DiedazugehörigeIdentitätRhsjs+Rhsjs—&ghjistbereitsindenfrüherenÜberlegungenenthalten(Korollar3.4).(ii)FürPolynomezweitenGradeskommensowohlp(X,Y)=XY+YXalsauchp(X,Y)=X2-\-Y2inFrage.EsfolgendieIdentitäten20

1. RhSabRa js + RhSabRa js = ßighjwobei ßi = \RabcdRahcd Dies ist die ursprüngliche Form derLanczos-Identität [La, p.847-849], die also auch im nicht positiv de-finiten Fall gilt; Lanczos definiert R durch Formel (7) mit a = 1.Die Formel (3) erhält man, wenn man R gemäss unserer Definitionauf Seite 14 einsetzt. Dabei zeigt sich, dass der Tensor RhsabRabjsbereits symmetrisch ist; die Schreibweise der Lanczos-Identität lässtsich somit noch weiter vereinfachen zu:

Rh abRa js = ßChj

2- RhabRa js + RhSabRa js = ßl9h.j

wobei ß2 = l\\R\\2 , da Sp(Ric(JR2)) = Sp(Ric(#2)). Die linke Seiteunterscheidet sich also von der linken Seite der vorigen Gleichungdurch ein Vielfaches des metrischen Tensors. Einsetzen voni? gemässDefinition ergibt erneut Formel (3).

Die Summe der beiden Identitäten entspricht der Formel, die man erhält,wenn man (10) auf den Tensor R + R anwendet.

Drei Polynome dritten Grades p(X, Y) = X3 + Y3, XYX + YXYund X2Y + Y2X + XY2 + YX2 liefern drei weitere Identitäten:

1 Z? s pa& pcd i p s pa& pcd ., _1. Kh afc-ft cdtt js + tih ab ü cdti js — IflChj

2. RhSabRa cdR° js + RhSabRa cdR° js = llÇhj

3 p s Dab pcd i p s pai> Pcdtih abti cdti js + tih ab-tl cdti js

+ RhabRahcdRCdjs + Rh abRahcdR°djs = izghj

Die skalaren Grössen 7,- lassen sich durch Spurbildung bestimmen; insbe¬

sondere ist 71 = \R (Seite 8), da Sp(Ric(JR3)) = Sp(Ric(#3)). Werdendie Komponenten des Tensors R durch jene des Tensors R ausgedrückt,so entsteht in jedem der drei Fälle dieselbe unübersichtliche Formel:

2RhSabRa cdRC js + SpR^abR"" js

— 4/9 (ß" Rhajb + RhaRaj) + 9 Rh]

+ 4 [RhaRabR]+ RasRS Rhajb)

— 4 y-tth acti bti js "T tih abti sti je)o/D pas p&c , p s pai> pc \

—

^ l tlhati beti js + tih abti esti j)

+ 4 yRhasbRa RSj + RhSRa Rsajb) = "fghj

21

mit

7= ^(2ß + 3p||ß||2-8p||Ric||2 + p3+ öiX bit CK a + ölt It itabcd

~ LZK ablt svlt uj .

Die Liste der verallgemeinerten Lanczos-Identitäten kann mit Polynomen hö¬herenGradesbeliebigerweitertwerden;zumBeispielergibtdassymmetrischetranspositionsinvariantePolynomp(X,Y)—Xp+YpfolgendeIdentitätttha\b\lta2E>2'''itjsTithajbitta.262'''-ttjs—^Qhj•Satz5.SeiqeinbeliebigesPolynomineinerVariablen.FallsRGKdieEin¬steinbedingungerfüllt,d.h.fallsRGE,soerfülltauchq(R)dieEinsteinbedin¬gung.Beweis.Mansetzep(X,Y)=\(q(X)+q(Y)),einsymmetrischestransposi-tionsinvariantesPolynom,undbenutzeSatz4unddieVoraussetzungR=R.Folgerungen.SeiRderKrümmungstensoreines4-dimensionalenRiemann-schenoderpseudo-RiemannschenEinsteinraumes.Satz5angewandtaufdiePo¬lynomeq(X)=XpliefertfolgendeErgebnisse:(a)Rhsjs=KighjDieseAussageisttrivial,daäquivalentzurVoraussetzung.(b)RhSabRajs=K2ÇhjDamitistauchimnichtpositivdefinitenFallbewiesen,dassjedervierdi-mensionaleEinsteinraumeinSupereinsteinraum(DefinitionSeite37)ist.(c)RhSabRacdRCjs=Kzghj(d)ÄÄ'„161Ä0l6la262Ä0263a868---Ä0*-li"-1,.=«^Äifürp>2DieletzteGleichungkannzurVerallgemeinerungderBegriffeEinstein-undSu¬pereinsteinraumverwendetwerden(vgl.Abschnitt2.2).FürRäumederDimen¬sionviergiltalso:Satz6.InjedemvierdimensionalenEinsteinraumerfülltderKrümmungstensordieBedingungenRic(Rp)=Kpg,Vp>1.22

Bemerkung. Die bisherigen Sätze galten für alle Tensoren aus K, also ohne

Benutzung der l.Bianchi-Identität. Wegen Lemma 1, Seite 12, und Eigenschaft

(ii), Seite 10, erfüllt ein Tensor R G K und der zugehörige Lanczos-Tensor R ineinem vierdimensionalen Raum genau dann die l.Bianchi-Identität, wenn

spur(ft£) = 0. (H)

Beispiele. Für eine vollständige Klassifikation der Einsteinschen RäumeimFallen=4verweisenwirauf[Pt,p.90-96].MitderaufSeite18eingeführtenNumerierungderIndexpaarekönneninei¬nemvierdimensionalenRaum(M,g)dieKomponentenRhijkeinesTensorsausKdurcheinesymmetrische6x6Matrixdargestelltwerden:[Rhijk)UVVTWwobeiVeinebeliebige,UundWsymmetrische3x3Matrizensind.1.BeipositivdeflniterMetrikwählemanfüreinenPunktpeineorthonor-mierteBasisdesTangentialraumesTP(M).Esgilt:nundsomitund£=mitI3100010001n=sus=vu2.FüreinenMinkowski-RaummiteinerMetrikderSignatur(—h++)wähleV/mandieBasisso,dass{gij)Danngilt:n=undundfolglichn=-ene23

3. Bei einem Raum mit der Signatur ( h+) wähle man die Basis des Tan--1 0 0 0 \0-100

0 0 10

o o o i y

gentialraumes so, dass (gij) Dann gilt:

71 =UU UV

mit H, und £

10 n

^

U 0

sowie

K = £7l£WH vTn

vu un

\

Unter der Einsteinbedingung lassen sich in allen drei Fällen die Matrizen VVund VT aus U und V berechnen (vgl.[Bu,p.32]);wegen(11)istdiel.Bianchi-IdentitätäquivalentmitSpur(V)=0.DieAnzahlunabhängigerKomponentendesKrümmungstensorsineinemPunkteinesvierdimensionalenEinsteinraumesistalsogleich11.1.3Lovelock-TensorenDerinderallgemeinenRelativitätstheorieuntersuchteEuler-Lagrange-AusdruckderForm«og+ai(Ric(A)-\pgjmitKonstantena0unda\isteinsymmetrischerdivergenzfreierTensor,dernurvonderMetrikundderenerstenbeiden(partiellen)Ableitungenabhängt.HierzubewiesD.LOVELOCK[Lo-3],dassineinemn-dimensionalenRaumjederzwei¬stufigesymmetrischeTensorAmitAhj=Ahj(gst',dugst;duvgst)undAhjih—0folgendermassengeschriebenwerdenkannOüA\=a08h3+J2apS^-ZRtlt2Sls2RtsUs3Si&*-l*2pS2p-l*2p(12)P=iwobeiaibeliebigekonstante(d.h.punktunabhängige)Skalaresind.DieSumman¬denderrechtenSeiteverschwindenfürp>|.DieseDimensionsabhängigkeitwollenwirimFolgendengenaueruntersuchenundausnutzen;manbeachtehierzuauchdieArbeitvonE.M.Patterson[Pa].24

Sei (M, g) weiterhin ein Riemannscher oder pseudo-Riemannscher Raum derDimension n und R ein 4-stufiger Tensor mit den Symmetrieeigenschaften

-K'hijk — J^jkhi — ühikj •

Die in diesem Abschnitt hergeleiteten Formeln gelten also erneut sowohl für den

Krümmungstensor, als auch für den Weyl-Tensor oder beliebige Tensoren aus K

(vgl. Abschnitt 1.2.1).

Definition. Wir definieren für jede ganze Zahl p > 1 eine Funktion u>, einen

zweistufigen Tensor A und einen vierstufigen Tensor B durch

,.[„1_

r*ls2-*2pDtlt2 0*3*4...

D*2p-l*2p

^IPl—

°tlt2-t2pn «1*2-°- S3S4•••

IlS2p-lS2p

Ah.\]_

rh.slS2-s2p r>tit2 pi3*4. . .

R*2P-l*2p^ 3\r\ — Ujtit2 -t2p-n' »1*2-"- *3*4 il s2p-lS2p

R^.JJ_

rhis1S2-32p 0*1*2 D*3*4. .

D*2p-l*2p""

J« L/'J — "jfctl n - 1 (15)

Durch Entwickeln der £-Tensoren werden sich hieraus dimensionsabhän¬

gige Identitäten ergeben (siehe unten).

(ii) Die kovarianten Lovelock-Tensoren haben die Symmetrieeigenschaften:

Ahj\p] = Ajh\p] i.e. A\p] B

Bhijk\p] = Bjkhi\p] = -Bhikj\p] i.e. B\p]eK

25

Beweis. Die Symmetrie von A\p] folgt aus der Paarsymmetrie von R:nach Eigenschaft (ii), Seite 10, für k = 2p + 1 gilt nämlich

a(n- k)\Ahj\p] =

-r, f. «2p+2—«n pil*2*lS2 . . . P*2p-l*2p*2p-l*2p

t/lS152...S2p"2p+2—«nCJ*2p-l*2pS2p-l*2p

=?|ct £c

Wir zeigen weiter unten (Seite 40), dass die Tensoren B\p] die zweite Bianchi-Identität i.A. nicht erfüllen.

Definitionen. Die folgendendreiMultiplikationenermöglicheneineVereinfa¬chungderSchreibweiseweitererEigenschaftenderLovelock-Tensoren.Dabeiver¬wendenwirteilweisedasselbeMultiplikationssymbol:imjeweiligenZusammen¬hangistdieadäquateOperationeindeutigerkennbar.•BxB—>BdefiniertfürbeliebigeA,ßGBdurch(A.B)h,=\{Ah,B%+Bk,A;)•BxK—>BdefiniertfürbeliebigesAGBundR£Kdurch(A0R)hj=AsRhsjt•KxK—>Kdefiniertfürbeliebigeä,5gKdurch[R•Ojhijk—~x{Rhtuvb]k~rOhiuvRjk)Beispiele.FürA,BBundR:S6K:1.(a0>(c2.(a0>(d3.(aG>(c(d(eSp(A•5)=AstBst=(A,B)dasinBüblicheSkalarproduktSp(A2)=||A||2dasQuadratderNormvonAA-g=ASp(A0R)=Sp(A•Ric(i2))=(A,Ric(Ä))Sp(Ric(Ä)0Ä)=||Ric(Ä)||2gQR=Ric(Ä)AQ[g;g]=2(Sp(A)g-A)(Ric(RS)J=2yRhabcSjac+ShabcRjac)Sp(Ric(ÄS))=RabcdSabcd=(R,S)dasSkalarproduktinKSp(Ric(i?2))=||Ä||2dasQuadratderNormvonR(JA;g]•Rj=AhsRSijk+A^R^k+A/Rhtsk+AksRhijs[g;g]-R=4R

27

(f) Ric([ A ; g ] • j?) = 2(A • Ric(Ä) + A 0 ä)

(g) Sp(mc([A;0].Ä))=4(A,Ric(Ä))Speziell: Sp(Ric([Ric(E) ; g] #)) = 4 ||Ric(£)||2

(h) Sp(Ric(JR3)) = Ä (vgl. Seite 8)

Lemma 5. Für p > 1 gelten folgende Rekursionsformeln

co[p} = (Ä,B[p-l]> (18)A[p] = ^[pk-2^Ric(JR-5[p-l]). (19)

Beweis. Die Aussage für u[p] ist offensichtlich. Für AÄj[p] wird das verallgemei¬nerte Kronecker-Symbol als Determinante nach der ersten Zeile entwickelt; unter

Berücksichtigung der Symmetrieeigenschaften der Tensoren 8 und R folgt:

Ahj]_

rhsis2-S2p-pt1t2 r>tsU. . .

Z?*2p-i*2P71 JUKI — 0itl2 :

Bhijk[p] = -u,\p]8$+ [A\p] ; g}hijk+2PRhistBstjk[p-l}-4p(p-l)Fhijk[p] (20)

gilt, wobei der Tensor

TPhi.,\n]— ASlS2 s2p r>ht2 r>it4

. . .

C>

Beweis der Formel (20). Beim Tensor B[p] wird die Determinante 8 zuerst nachder ersten Zeile (Zeilenindex h) entwickelt; danach werden die verbleibenden Un¬terdeterminanten nochmals nach der ersten Zeile (Zeilenindex i) entwickelt:

DÄi.,

[„1 _ ?his1s2"S2p jyttfz jytsU . . . R^p-i^pUjilfj

~

jktit2-t2plt SlÄ2il S3 «4lh

«2p-lS2p

J-9nA'SlSr"S2P Rht2 R*3t2p-lt2pukuj t2—t2plh s1s21^ S3S4

-»«s2p-is2p

I Xsls2 s2p nhi JDtzU.

D*2p-l*2p' j kt3-t2p11 S1S211 s3st J-L s2p_iS2p

^\P 1)Vjkt2tit5-t2p11' S1S211 S3S4 ll «2p-l*2p

+ 2p (S) (R-B\p- l])ht ki -Sl(R.B\p- l])ht jt)+ 2pRhiuvBuvjk[p-l]

^P\P i-)°jkt2tits-t2pJX slS2J^ s3s4 -«>. s

Wird nun noch der in Lemma 5 enthaltene Ausdruck für 2pKic(R B\p — 1])eingesetzt, so entsteht Formel (20).

Beispiele.

1. Lovelock-Tensoren für Räume konstanter Krümmung.

Sei Rh%jk — KyS'j 5\ — 8^8lA der Krümmungstensors eines Raumes kon¬stanter Krümmung der Dimension n. Dann gilt

rhisiS2S3---S2p pi1t2 njJ- chiuiU2 S3—S2p0jkt1t2t3-t2p-a «is2

— ZJY °jku1u2t3-t2p

und entsprechend:

BhiM = {m^tzu:zzpp-

Wegen Eigenschaft (iii), Seite 11 folgt:

in — 2VB\p] = (2KY —^ -^^\g]g] für2p + 2

Analog lassen sich u>[p\ und A\p] bestimmen:

WH = {2K)VJ^2p)\ für2^reA[P] = {2K)V {n-2pl-l)\9 ^2P + l1.(21)DamitbeweisenwirSatz8.SeiCeinzweistufigerschiefsymmetrischerkovarianterTensor,R=C(g)C,Q=Ric(i2)GB,d.h.Qhj=—Chscsj,/derdurch(f(x),y)=CjliXtyhdefinierteEndomorphismusvonV—T(M)und

Jetzt muss nur noch u\p] bestimmt werden. Hierzu verwenden wir Formel

(16):

(n-2p)w\p] = nu\p} + (2y.fJ2(-l)kip2{p_k)Sp(Qk)k=i

d.h.u\p]=-^-(^!)2è(-l)V3(p-*)Sp(Qfc).DerBeweisistvollständig,wennwirzeigen,dass-2p+1—«nCtl

Im vorliegenden Beispiel mit Rhijk = ChiCjk lässt sich auch für den zu¬

gehörigen Tensor B[p] eine Rekursionsformel finden. Unter Benutzung von

(20) lässt sich für p > 2 zeigen, dass B\p]=--u\p\[g;g]+[A\p];g]+Ap2œ\p-1]Ä-8p2(p-l)K\p](23)mitKhijk[p]=(chucivCjkcst+chicuvcjsckt-2(p-l)chucivCjsckt)Bstuv\p-2]ist.InfolgendenzweiSpezialfällenkönnenwirexpliziteResultateangeben:(a)DerTensorRhijk=ChiCjkerfüllezusätzlichdieersteBianchi-Iden-tität;CistdanneinBivektor.DieserFallgiltinsbesonderefürdenKrümmungstensoreinesspeziellenrekurrentenRaumes([R-W-W],KapitelV).ZusammenmitdenEigenschaftendes^-Tensorsfolgtdann:*1*2

Kl =0

c =

hr 0 0 0

0 ~hr 0 0mit r > 1 u

0 0 /„ 0

0 0 0 -1»*

E E 0 0 \

E E 0 0wobei E =

0 0 0 0

0 0 0 0;

Wegen der Einsteinbedingung folgt aus Satz 8 mit Q — Ric(ß) :

Qp = K?g und A[p]=Xpg(24)fürjedesp.WirbeweisennundenSatz9.Sei(M,g)einRaumderDimensionn=2m>4.ErfüllteinTensorRhijk=Ch%C]kausKdieEinsteinbedingungRic(i?)=«igmitKi7^0,sosinddienicht-trivialenLovelock-Tensoren:u[p]=(2"p!)2(")/cfA[p]=^u\p}9m=^"M((»-2(p+i))[s;4undfürC^0)ver¬schwindenalleLovelock-Tensorenbisaufu[0]—1,A[Ö\=g,B[0]=\{g-g)undJ3[1]=4Ä.Beweis.Sei«i^0.ZumBeweisderFormelfüru\p]genügteszuzei¬gen,dasscp2p—imJAcfistfürp2pdieKoeffizientendescharakteristiscfienPolynomsdesinSatz8definiertenEndomor-phismus/.Nach.Voraussetzunggilt/*=—/undf2=—K\idy.BetrachtetmandieEigenwertevon/,dannfolgt:det(Aidy-/)=(A2+K1)munddamitdasgewünschteErgebnis.AusdenFormeln(16)und(24)folgt(n—2p)u;[p]=n\pfür2p

Schliesslich bleibt noch B\p] zu bestimmen. Mit (23) beweist man vor¬erst (durch Induktionsschluss von p — 2 auf p):

B\p} = ap[g;g] + ßpR

mit den Startwerten a0 = |, ß0 — 0 und q?i = {n — 4)ki, /?i = 4 (vgl.allgemeine Formel(27)unten),sowieden'Endwerten'ap=ßp=0falls2p>n-1.DienochfehlendenKoeffizientenap,ßpermittelnwirmitHilfederFormel(17):(n_(2p+l))A[p]=(2(n-l)a„+/cx/3p)2.AllgemeineErgebnisse.FürjedeMetrikgundfürjedenTensorRausKlassensichdieLovelock-TensorenvomGrad1und2folgendermassendarstellen:w[l]=2p,wobeip=Sp(Ric(Ä))A[l]=2pg-4Ric(R)B[l]=p[g;g}-4[Ric(R);g]+4Ru[2]=4p2-16||Ric(ß)||2+4||i?A[2]=u[2]g-16pRic(R)-l6Ric(R2)+32(Ric(ß))2+32Ric(i?)0RDieDarstellungvonu[l]undA[l]ergibtsichaus(18)und(19),diejenigefürB[l]ausEigenschaft(iv)(c)aufSeite11oderaus(20).DerAusdruckfüru>[2]undA[2]ergibtsichnunebenfallsaus(18)und(19)unterVerwendungderimBeispiel3(Seite27)gegebenenFormeln(e),(g),(c)und(f).2ißllü-/DM12,^11DII2V^'J34

Der Tensor — \ A[l] ist der Einsteintensor; für n = 3 ist ^ B[l] der Weyl-Tensorund für n = 4 gilt ^ B[l] = R, der auf Seite 14 definierte Lanczos-Tensor. DiedimensionsabhängigenEigenschaften(13)-(15)derLovelock-Tensoren(Seite25)zusammenmit(27)liefernersteResultate:InjedemzweidimensionalenRaumistdieEinsteinbedingungRic(ß)—Kigerfüllt.Fürn=2istnämlichgemäss(14)A[l]=0,undsomitRic(i?)=^g.IndiesemFallverschwindetauchB[l],dasheisstR=f[

Unter dieser Voraussetzung wird

u[l] = 2nKi

A[l] = 2(n-2)K1g

B[l] = (n-4)K1[g;g] + 4R

u[2] = 4{n(n-4)Kl + \\R\\2)A[2] = 4((n-4)2^ +

||JR||2)^-l6Ric(JR2)

B[2]=2((n2-12n+40)/c2+]|Ä||2)[g;g]+16(n-8)k1R-16[Ric(ä2);g]+16SWobeiShijk—RhiabRajk~2[RhajbR^ki~RhakbR"'ji)u[3]=8(n(n2-12n+40)^+3(n-8)K1||ß||2+2(5',Ä))A[3]=ag-96(n-10)/ciRic(Ä2)+192Ric(ß2)©R-96Ric(S•R)wobeia=8((ra-6)(n2-12n+40)k?+3{n-lO)K1\\R\\2+2{S,R))Dieersten5Formelnergebensichaus(27)spezialisiertfürACE;dieFormelfürB[2]wirdgemäss(20),u[3]undA[3]mitdenRekursionsformeln(18)und(19)berechnet.BeimBetrachtenvonB[2]stossenwiraufdenbemerkenswertenTensorSmitdenKomponentenùhijk=RhiabRjk2{RhajbRkiRhakbRji)•DieserTensorbesitztdieüblichenSymmetrieeigenschafteneinesTensorsausK.ErfülltRzusätzlichdiel.Bianchi-Identität,sogiltdieswegenSatz7(Seite26)auchfürdenTensorS.Zudemgiltdann(durchmehrfachesAnwendendieserIdentität):Shijk—2[RhaibRajk—RhaibRakj+RhakbR"'ji~RhajbR"ki)undRic(5•R)=2Ric(Ä3)-ATwobeiThj=RhashRacbdRcjds(28)sowie(ausdenFormeln(d)Seite8sofortersichtlich):(S,R)=2{R-2R).36

Die dimensionsabhängigen Formeln (13), (14) und (15) ergeben nun weitereResultate für Einsteinräume:

Jeder dreidimensionale Einsteinraum ist ein Raum konstanter Krümmung.

Dies folgt aus B[l] = 0 für n = 3.

Jeder vierdimensionale Einsteinraum ist ein Supereinsteinraum.

Dabei bezeichnet man als Supereinsteinraum einen Raum, bei dem für den Krüm¬

mungstensor R sowohl Ric(i?) als auch Ric(ß2) ein Vielfaches des metrischenTensors ist. Obige Aussage folgt aus A[2] = 0 für n = 4.

Satz 10. a) In jedem vierdimensionalen Einsteinraum gelten für den Krüm¬

mungstensor R die Identitäten

S = --(2K21-K2)[g;g] + 4KlRj L Ol D Z?a b Z? Z?a b i I? T)a b E? Z?a b \UM. Z

^Khaibtt j k—

tthaibü k j + ühakbü j i~

ühajb-ti k i)

= - \2k\ - k2) {ghjQik - 9hk9ij) + ^iRhijk

und R - 2R = -4«i (2/cf - 3/c2)wobei K\ — -j und k2

=

"

4" mit Ric(Ä2) = K2g.

b) In jedem fünfdimensionalen Einsteinraum gelten für den Krümmungstensor Rdie Identitäten

S = ~l (5/ci + l|jR|!2) ^;g] + [Rie (R2) ;g] + S^Rd.h. 2 [RhaibR0j k — RhaibRak j + RhakbRaj i ~ RhajbR°' k i)

=-T (5«i + \\R ||2) (ghjÇik - ghkgij) + JRic (ß2) ;g]hi.k + ^îRhijk

und R-2R =--«i (25k2-9||i? ||2) .

c) In jedem sechsdimensionalen Einsteinraum gilt für den Krümmungstensor Rdie Identität

D « T)a,b r>cd at) s pa 6 r>c di^h abft cd-ft js

~

4 Kha b^ c à& s j

= öl-3/ci||i2|| + R —2R J ghj + 4:KiRhabcRja°

+ 2RsabcRta cRhsj

37

Beweis. Satz 10 folgt unmittelbar aus B[2] = 0 und tu[3] = 0 für n = 4 undn = 5, sowie A[3] = 0 für n — 6.

Unter der zusätzlichen Voraussetzung «i = 0 entspricht die Identität von Satz10 c) der Formel (3.4) in [Lo-1,

p.192].UmgekehrtentstehtunsereIdentität,wennebendieseFormelaufdenWeyl-TensoreinessechsdimensionalenEinsteinraumesangewandtwird.DieSupereinsteinbedingungenRic(Ä)=K\gundRic(jR2)=n2gmitK\=—undk2=^—"-sindfürjedeDimensionnäquivalentmitA[l]=AiflrundA[2]=X2gwobeiAi=2(n—2)k1undA2=4(re—4)un—4)k\+k2).AusdenIdentitätenvonSatz10b)undc)folgtalso:Korollar10.1.[Pa,p.357]InjedemfünfdimensionalenSupereinsteinraumgiltfürdenKrümmungstensorR:S=--{5*1-3k2)[g;g]+3/ciÄd.h.2[RhaibRajk—RhaibRakj+RhakbRaji~RhajbR0,ki)=-j(5/îi-3^2)(ghjgik-ghkgij)+3«iÄW-?-fcunJR—2R=—-«1(5/Ci—9/c2)•Korollar10.2.InjedemsechsdimensionalenSupereinsteinraumgiltfürdenKrümmungstensorR:Rh'abRacdR°js—4RhasbRacdR"j=77(Ä~^R)dhj

38

2 Spezielle Einsteinräume

Beim Studium gewisser Räume, namentlich bei Einsteinräumen, harmonischenRäumen und sogenannten A;-stein-Räumen, werden an den Krümmungstensor Be¬

dingungen gestellt, bei denen richtungsunabhängige Skalare auftreten. Genauge¬nommenhandeltessichdabeiumreellwertigeFunktionen,diealsonichtaprioriauchnochpunktunabhängigseinmüssen.SoistetwadieSchnittkrümmungKineinemPunktgenaudannrichtungsunabhängig,wennRhijk=K{ghjgik—ghkgij)ist.SolldieseBedingungmjedemPunkterfülltsein,sogiltdieseGleichungvorerstnurfüreinevomPunktabhängigeFunktionK.AusderDivergenzformel(a)Seite8folgt(nachMultiplikationmitgik):2Rja,bgab=p,j,also(n-2)(n-l)K,j=0unddemgemässfürRäumederDimensionn>2derSatzvonFriedrichSchur[SCH,p.563]:„IstineinemRäumedasRiemann'scheKrümmungsmaassinje¬demPunktenachallenFlächenrichtungenhinconstant,soändertessichauchvonPunktzuPunktnicht."AnalogeResultatefürEin-undZweisteinräumelegtendieVermutungnahe,dassfürjedenfc-stein-RaumgenügendgrosserDimension(ra>2k)alleauftreten¬denrichtungsunabhängigenSkalareauchpunktunabhängigseinmüssten([Wl,p.29]).EinegewisseVerwirrungindieserFragestellungentstehtjedochdurchdieverschiedenartigenMöglichkeiten,denBegriffEinsteinraumzuerweitern.Ausser¬demwerdendiedazugehörendenBeziehungenbeisteigenderOrdnungszahlraschunüberschaubar.DienunfolgendenÜberlegungenenthaltenhinsichtlichdesebenErwähnteneineübersichtlicheDarstellungbekannterundeinigerneuerErgebnisse.Fürsym¬metrischeRäumeerübrigensichdabeidieFragennachderPunktunabhängigkeitderKonstanten.2.1Ep-RäumeSei(M,g)einRiemannscherRaumundRderzugehörigeKrümmungstensor.Definition.FüreinenichtnegativeganzeZahlpbezeichnenwirdenRaum(M,g)alseinenEp-Raum([Pa,p.355]),fallsaufMeinereellwertigeFunktion\pexistiert,sodassinjedemPunktdesRaumesdieGleichungA\p]=\g(29)gilt,wobeiA\p]deraufSeite25definierte,zumKrümmungstensorRgehörige,39

zweistufige kovariante Lovelock-Tensor ist; zudem ist dann wegen (16) Seite 26:

Xp = ^—^u\p). (30)n

Für einen Raum der Dimension n ist für jedes p > \ n die Bedingung (29)mit Xp = 0 trivialerweise erfüllt; ebenso ist wegen A[Ö\—gjederRaumein.E0-Raum.EinsteinraumistgleichbedeutendmitEi-Raum.JederirreduziblesymmetrischeRiemannscheRaumist-fürbeliebigesp-einEp-Raum[PA,p.355].DassineinemEp-RaumdieskalareFunktionXpnunauchpunktunabhängigseinmuss,folgtausLemma6.FallseinTensorfeldRdieSymmetrieeigenschaftendesKrümmungs¬tensors(ohneersteBianchi-Relation)besitztunddie2.Bianchi-Identitäterfüllt,sogiltfürdiezugehörigenLovelock-TensorenjederStufep:Ahj,h\p}=0undBhijk,h[p]=0.Beweis.DieBehauptungfolgtausderDefinitionderLovelock-Tensoren(Seite25)unterBenutzungder2.Bianchi-RelationundderSchiefsymmetriendesS-Tensors.nNachdembereitserwähntenSatzvonLovelock(Formel(12)Seite24)sinddieLinearkombinationenderTensorenA\p]mitkonstantenKoeffizientendieein¬zigenzweistufigensymmetrischenunddivergenzfreienTensoren,diesichausdenKomponentendesKrümmungstensorsergeben.Vermerktseihierzudem,dassdieLovelock-TensorenB\p]die2.Bianchi-Iden-titäti.A.nichterfüllen;wärezumBeispielfürp=1:BhiikAl]+BhikiAl]+Bhiljtk[l]=0,sofolgtedurchzweimaligesVerjüngenausLemma6:BuvUv,k[l]=0undsomit,wegenEigenschaft(iii)Seite26undmito;[l]=2p(Seite34):2(n-3)(n-2)/>,*=0.Fürn>4müsstedieSkalarkrümmungkonstantsein,wasi.A.nichterfülltist.Satz11.Ist(M,g)einEp-RaummitA\p]=Xpg,dannistdieFunktionXpkonstant,d.h.punktunabhängig.40

Beweis. Aus A/y[p] = \ghj folgt durch kovariante Ableitung und anschliessende

Verjüngung mittels Lemma 6 : (Ap); = .^^[p] = 0.

Aus (30) folgt nun sofort

Korollar 11.1. Unter der Voraussetzung A[p] = Xpg und 2p ^ n ist dieskalare Grösse u\p] punktunabhängig.

2.2 Supereinsteinräume Definition.EinRaum(M,g)isteinSupereinsteinraum,fallsaufMzweireell-wertigeFunktionen«iundk2existierenso,dassRic(i2)=KigundRic(i?2)=k24vorausgesetztundder4-dimensionaleRaumalsSpezialfallbehandelt(z.B.[G-W,p.358]);wirwollenhierbewusstaufdieseEinschränkungverzichten.EinezweiteVerallgemeinerungderEinsteinbedingungergibtsichnunausderForderung,dassinjedemPunktdesRaumesRic(i?p)proportionalzummetri¬schenTensorist.DieerstendreiBedingungenlautendemnach:Rhihk-Kigik(31-1)RhiabRabhk=i^29ik(31.2)RiabRacdR°hk=K3gik(31.3)GemässeinemfrüherenErgebnis(Seite34)istdieBedingungA[l]=AiggleichbedeutendmitderEinsteinbedingung(31.1)wobeiAi=2(n-2)K!.(32)Fürn

Unter der Voraussetzung A[l] = Ai g wird die Bedingung A[2] = X2 gäquivalent zur Supereinsteinbedingung (31.2) wobei

A2 = 4(n - 4) («2 + (n - 4) k2) (34)Dies folgt aus den Berechnungen vonSeite36.EinRaumistalsogenaudanneinSupereinsteinraum,wennereinE\-und.E^-Raumist.Fürn3mitk\=-pundk2=I||ß||2gilt:(i)(n-1)k2>2kx2(ii)(n—1)^2=2k\2O(M,g)isteinRaumkonstanterKrümmungBeweis.WegenderEinsteinbedingungRic(i?)=K\gwirdderWeyl-Tensor(vgl.Seite13):C=R-^-T)Kl[g-,g].WirberechnendieNormdiesesTensorsmitHilfederFormelnderBeispiele3(e)und(c)vonSeite27:iicir=hau2--^n^p+jé^fK"sp(Ric(^;9d).42

Mit ||ß||2 = jiK2, P = n«i und Sp(Ric([#; 5-])) = 2n(n - 1) folgt

2

\\Cf = n{n2--^-iKi)und somit die Ungleichung (i), welche ihrerseits

dieAussage(ii)impliziert.AusdenFormeln(35)und(2)Seite8lässtsichausserdemdasfolgendeLemmaableiten;dieDimensionen2und4spielendarineineSonderrolle,daesindiesenFällenkeineGarantiefürdiePunktunabhängigkeitvon\\R||2gibt.Lemma8.InjedemSupereinsteinraumderDimensionn,mitn/2undn=^4,giltfürdieAbleitungdesKrümmungstensors:\\DR\\2-R-AR=-2nK!K2.DieseGleichunggiltzudemfürjeden2-dimensionalenRaum,dessenSkalarkrüm-mungkonstantist,sowiefürjeden4-dimensionalenEinsteinraum,dessenKrüm¬mungstensorpunktunabhängigeNormbesitzt.UnterderVoraussetzungA[l]—\\gundA[2]=A2gwirddieBedingungA[3]—A3gäquivalentmitRic{SR)=ag(36)wobeiA3=8(n-6)(2o-+3(n-8)«iK2+(n2-12n+40)«:f),a=£(Ä-2Ä)undShijk=2(RhaibRajbk-RhaibRakbj+RhakbRajbi-RhajbRakbi)ist(siehedieFor¬melfürA[3],Seite36).HierdriftenalsoerstmalsdieBedingungenRic(i?3)=K3gundA[3]=A35»auseinander(gemäss(28)Seite36).IndiesemZusammenhangerscheintdieDefinitioneines£3-RaumesimGegensatzzuFormel(31.3)alsdienatürlichereFortsetzungdesBegriffsdesSupereinsteinraumes.Satz12.SeiShijk=2yRhaibRajk—RhaibRakj+RhakbRaji~Rhajb^ki)a)InjedemSupereinsteinraumderDimensionn

b) Erfüllt ein Raum der Dimension n > 6 die Bedingungen

Ric(ß) = Kig , Ric(#2) = n2g und Ric(5' • R) = crg,

A 0

so sind die Grössen K\, k2, er und R — 2R punktunabhängig.

Beweis. Teil a) folgt aus der Tatsache, dass für n < 6, A[3] = A3 g mit A3 = 0immer erfüllt ist. Aussage b) folgt aus Satz 11.

Bemerkungen 1.Satz11enthältunderweitertsomitdieAussage,dassinjedemEinsteinraumderDimensiongrösserals2dieSkalarkrümmungundinjedemSuperein¬steinraumderDimensiongrösserals4dieNormdesKrümmungstensorskonstantsind([Pa,p.355]).2.ZurZeitfehltnocheinBeispieleines6-dimensionalen(nicht-symmetrischen)Supereinsteinraumes,beidemdieFunktionapunktabhängigist.2.3k-stein-RäumeSei(M,g)weiterhineinRiemannscherRaum,RderzugehörigeKrümmungsten¬sorundpoeinPunktausM.Fürjedenvon0verschiedenenVektorxausTPo(M)seiv—||a;||2=gikxlxkund7diegeodätischeLiniemit7(0)=pound7(0)=x.DerzugehörigeJacobi-OperatorH=#(-,7)7isteinlängs7definiertessym¬metrischesTensorfeld.Für7(0)=pobezeichnenwirseineKomponentenmitDerVektorxselbstisteinEigenvektordesJacobi-OperatorszumEigenwert0.BeisymmetrischenRäumenbesitztderJacobi-Operatorlängsjedergeodäti¬schenLiniekonstanteEigenwerteundparalleleEigenräume;umgekehrterfülleneinzigdielokalsymmetrischenRäumediesebeidenEigenschaften.FordertmannurkonstanteEigenwertelängsjederGeodätischen,soentstehtdieerweiterteKlassederC-Räume([B-V]).Beizweipunkt-homogenenRäumensinddieEigenwertedesJacobi-OperatorskonstantaufdemBündelderTangentialeinheitsvektoren.DieUmkehrungdieserAussageistdienochoffeneOssermanscheVermutung(siehe[Os,p.751],sowieTeilergebnissein[Chi]).44

Bekanntlich lässt sich jedes symmetrische Polynom in n Variablen vom Gradk aus den Potenzsummen vom Grad < k berechnen ([Wa, p.92]). Verlangt mansomit nur, dass in jedem Punkt eines Riemannschen Raumes die

elementarsym¬metrischenFunktionenderEigenwertedesJacobi-OperatorsvomGrad

Beweis. Wir schreiben vm = SUlU2..M2mxUlxU2 • • • xU2rn wobei v — ghiXhxl und

SUlu2...u2m = S {guiu29u3ui • • •5,«2m-i«2m) • DaderTensorStotalsymmetrischist,folgtdurchpartiellesAbleiten:~dxT2mSh«2••••"2mcU2xu*xU2m=2my'1(ghsxs)NunwirdeinzweitesMalpartielldifferenziertQ2m^-=2m(2m-1)ShtU3...U2mx^x^=2m(vm~lghs+2(m-l)vm~2(ghsxs)(gitx*))undanschliessendmitghxwiederverjüngt;dadurchentsteht:„hi9hlShirUztt2m._.n+2(m!)r«3„«4...r«2„U3..M2mU/**'r.1uUsU^...«2m"^'*'2m-1DWirdauchdielinkeSeitevon(38.2)verjüngt,sofolgtunterBenutzungdererstenBianchi-Identität(sieheSeite27)Ric(Ä)0R+|Ric(ß2)=(n+2)^2#.FürjedenZweisteinraumgiltzusammenmit(38.1)demzufolge([Be,p.164])Ric(ß2)=-((n+2)/x2-^)gunddamitderSatz13.Jedern-dimensionaleZweisteinraumistaucheinSupereinsteinraummitKi=ßiund«2=ö(("+2)/i2-l4)•ZudemgiltfürZweisteinräumederDimensionnwegen(35):n=1:fi2—/J.1=0n=2n=3n=4n>5^2=Viwobei/iibeliebig/*2=\n\punktunabhängigfx2nichtnotwendigerweisepunktunabhängigjj,iund^2punktunabhängig(39)Bemerkung.Dafür,dassineinemvierdimensionalenZweisteinraumdieFunk¬tionfi2tatsächlichpunktabhängigseinkann,fehltbishereinBeispiel.

46

Korollar 13.1. In jedem Zweisteinraum der Dimension n gilt für den Krüm¬

mungstensor R:

||Ä||2 = |((n + %2-^).Mit Ausnahme der Räume der Dimensionen n = 2 und 4 ist in jedem Zweistein¬

raum die Norm, des Krümmungstensorskonstant.DieausKorollar13.1folgendeUngleichung(n+2)^2>/^i2kannnochwesentlichverschärftwerden.AusSatz13undLemma7Seite42folgtKorollar13.2.InjedemZweisteinraummitspur(II)=\i\vundspur(II2)=fi2v2gilt:(i)(n-1)^2>/"i2(ii)(n—l)//2=Mi2^(M,g)isteinRaumkonstanterKrümmung(Hi)H2=0-O-derRaum(M,g)istflach.Bemerkung.DieAussagedesletztenKorollarslässtsichauchunabhängigvonSatz13verstehen:fürnbeliebigereelleZahlen£1}£2,•••,(ngiltdieUngleichung(J20)

Korollar 13.3. In jedem Zweisteinraum der Dimension n (n ^ 2 und n ^ A)gilt für die Ableitung des Krümmungstensors:

a o 477 / \

\\DR \\2-R-AR= -— ((n + 2)//2 - rf) fr .

Diese Gleichung gilt ebenfalls für jeden 2-dimensionalen Raum, dessen Skalar-

krümmung konstant ist, sowie für jeden 4-dimensionalen Zweisteinraum, dessen

Krümmungstensor punktunabhängige Norm besitzt.

Dieses dritte Korollar folgt aus Lemma 8, Seite 43.

Die bisherigen Ergebnisse für Zweisteinräume wurden allein durch die Ein¬

steinbedingung (38.1) und durch eine Abschwächung (Verjüngung) der Bedin¬

gung (38.2) erreicht. Dass letztere noch viel reichhaltiger ist, wird sich bereits imvierdimensionalen Raum zeigen (vgl. Abschnitt 2.5.3). Im allgemeinen Fall lautetdiese Bedingung ausgeschrieben:

^ hqi **> jpk 1 -H* hqi-^ kpj I -tt hqj -^ ipk I -*£ hqj -**' kpi

+ RPhqkR9WJ + RPhqkRq3pi = ^2{gh%93k + QhjQik + 9hk9%3) (40)

Für die Dimensionen 4 und 5 ist folgende Darstellung bemerkenswert:

Satz 14. In jedem vier- und fünfdimensionalen Einsteinraum ist die Zweistein¬

bedingung (38.2) äquivalent mit folgender Bedingung:

RhaibRaj k + RhakbRaj î = a(Rh%]k + Rhk]i) + ßghjdik 4- i{ghig3k + ghkg0i)

wobei fürn = 4: a = |/ii, ß = §(9j/2 - fy\), 7 = §//?;

fürn = b: a = fa, ß = ±(22[x2 - 7rf), 7 - £(2^2 + 7fij).

Für den Weyl-Tensor vereinfacht sich diese Bedingung weiter zu

ChaibCaj k + ChakbCaj , = 2~ß2gh3gik-, falls n = 4

oder ChatbCaj k + ChakbCaj , = j2-~ß2(22ghjglk + gh%g3k + ghkg3i), falls ra = 5

W0èeî' ^2 = 2^(1+2) l|C||2 = l*2-éî

Beweis. Die Formel für den Krümmungstensor entsteht, wenn man auf beidenSeiten der Gleichung (40) den in Satz 10 a), Seite 37, bzw. Korollar 10.1 fürn = 5, enthaltenen Ausdruck für den Tensor ^(Shijk + Shkji) addiert; dabei sindgemäss Satz 13, Seite 46, «i durch ^1 und k2 durch |((n + 2)//2 — fif) zu ersetzen.

48

Umgekehrt folgt (40) aus der Formel von Satz 14 durch Symmetrisieren über dieIndizes i, j und k.

Unter der Voraussetzung Ric(ß) = fiig lässt sich leicht nachweisen,dassderRaumgenaudanneinZweisteinraumist,wennauchderWeyl-TensorC=•^—2(w-ii^i[ff'>9]dieentsprechendeBedingung:S(C\6tCjak)=~ß2S(ghigjk)„2mitß2—/^2—-^ierfüllt.DaderWeyl-TensorjedochRicci-freiist,sämtli¬cheSymmetriendesKrümmungstensorsbesitztunddieersteBianchi-Identitäterfüllt,dürfenauchfürdiesenTensorSatz10undKoronar10.1angewandtwer¬den.FürCgiltsomitdieselbeFormelwiefürR:manersetzedarinlediglich//idurch0undfi2durchJî2.ZurCharakterisierungderRäumekonstanterKrümmungunterdenZweistein¬räumen(Korollar13.2)kannauchfolgenderSatzbewiesenwerden:Satz15.FüreinenZweisteinraumsindbezüglicheinerBasismitg\3=5ijfol¬gendeBedingungenäquivalent(dabeisinda,ß,7,ebeliebige,von1verschiedeneIndizes):(a)derRaumhatkonstanteKrümmung(b)Ri"w=TSaß(c)Rlaßl=0(d)i^7£=TS«?wobeiT=^ni=^tr)P-Beweis.Esgenügtzuzeigen,dassfüreinenZweisteinraumjedederdreiAus¬sagen(b),(c)und(d)bereitshinreichenddafürist,dassderRaumkonstanteKrümmungbesitzt.WirbenutzendazudieBedingungen(38.1)und(38.2)inderfolgendenabgeschwächtenForm:(41)(42)(43)(44)(45)dabeiergebensich(44)und(45)aufGrundvonSatz;13.pit-n-lt=Hipstttst=nfi!pitplu=V2pitT>UV-f.UV1''lt=§((n+2)p2--Ä)pstr>uv-ftuv-'I'st=f((n+2)^2~Ä)49

Wir zeigen nun, dass in jedem der drei Fälle die Gleichung fi\ = (n — 1)^2 gilt;die Behauptung folgt dann aus Korollar 13.2 (ii). In den folgenden Rechnungenbezeichnen griechische Buchstaben (auch bei Summation) immer beliebige von 1verschiedene Indizes.

Falls Rlaiß = t Saß , so folgt durch Verjüngen aus (41): fii = (n — l)rund aus (43): //2 = r2(n — 1), und somit: ß\ = (n — l)//2 •

O Falls Rlaßl = 0, so gilt: RuuvRuvlt = 2 RulvRlvu = 2fi2 wegen (43);hieraus entsteht mit (44): |((n + 2)/i2 — fJ-1) = 2fi2 oder [i\ — (n — l)//2 •

O Falls RaPlt = t6$ , so gilt einerseits wegen (42) und (41):nm = Rstst = 2Rult + R^aß = 2in + r{n - l)(n - 2), d.h. r = ^^;andererseits mit (45), (44) und (43):

o pi* P I V>aß t?uv— Z K UVK it-\- It uvtt aß

O pit T)uv , n T>aß r>\v i T>aß ryye— ZK uvIt if + Z It

^

lvIt aß + tl -yeli'aß

_

o pit pu-u i o( Psi pi*1 O pi* pi11 A I Paß P7e

— ^/t „„/l lt~T Z \K \vtt st—

ZK \VK Itj -tK leK aß

= AR UVRUVh — AR ivRv\t-\-Ra ~/tRyeaß= §((n + 2)/i2 - tf) - Afi2 + 2r2(n - l)(n - 2)

Einsetzen von r = ^zj/^i ergibt erneut: /^ = (n — l)/^2 . n

Betrachten wir nun die dritte Bedingung (38.3) eines Dreisteinraumes, so folgtdurch zweimaliges Verjüngen der rechten Seite (lange Rechnungen) und mit Lem¬ma 9 Seite 45 der

Satz 16. In jedem Dreisteinraum erfüllt der Krümmungstensor R die Relation:

Ric(12ß3 + S R) = ug,

wobei S der auf Seite 36 eingeführte Tensor und v = 4(2/^ — 3(n. + z)ßifi2 +

(n + 2)(n + A)fi3) ist.

Die Funktion v kann noch punktabhängig sein. Durch weiteres Verjüngen folgt

Korollar 16.1. In jedem Dreisteinraum gilt für den Krümmungstensor R:

7R-2R = 2n {2fi\ - 3(n + 2)^i/i2 + (n + 2)(n + 4)^3) •

50

2.4 Ledger-Formeln

Ein Riemannscher- oder pseudo-Riemannscher Raum (M,g) heisst harmonisch,falls jede geodätische Sphäre mit genügend kleinem Radius konstante mittle¬re Krümmung besitzt. Dazu äquivalente DefinitionenunddievollständigeListedersymmetrischenharmonischenRiemannschenRäume(zweipunkt-homogeneRäume)sindinderLiteratur([R-W-W,Be])ausführlichbeschrieben.Dieur¬sprünglicheBehauptungvonLichnerowicz,dassesbeiRiemannschenRäumenderDimensionn

Beweis. Der Beweis der Formel (i) besteht lediglich darin, die Gleichung (48) zwei¬mal zu verjüngen. Auf die ausführlichen und langwierigen Rechnungen soll hier

aus Platzgründen verzichtet werden. Zur Berechnung der rechten Seite verwen¬den wir Lemma 9. Für die linke Seite berücksichtige man einerseits die

bereitsimBeweisvonSatz16enthaltenenRechnungen;die6!=720TermeausdemSymmetrisierungsprozesslassensichdurchgeschickteAnwendungderSymmetri¬endesmetrischenTensorsunddesKrümmungstensorsstarkreduzieren.UnterBenutzungderbeidenBianchi-Identitätenentstehtdann(i).Formel(ii)folgtsofortdurcheineweitereVerjüngung.OWirfassennunnochdievorläufigenErgebnissefürharmonischeRäumederDimensionen4und5zusammen.Satz18.InjedemharmonischenRaumderDimensionn=4giltmitdenKon¬stanten7i,72und73derLedger-Formeln:p=47i\\Rf=1(672-7?)R=ff(957l3-4087l72+1273)R=^(88O73-36247l72+9673)\\DRf=f|(80713-3367l72+973)InjedemharmonischenRaumderDimensionn—5giltanalog:P=571IW=f(772-7i2)R=i(19573-11067172+4273)R=|(4457l3-24227l72+8473)\\DR\\2=|(98073-54327l72+18973)Beweis.DieersteFormelentstehtjeweilsdurchVerjüngungderEinsteinbedin¬gung.DiezweiteFormelfolgtausKorollar13.1.DiedreiletztenFormelnergebensichfürn=4durchAuflösendesGleichungssystems:R-2R=-I673+487172-R-AR+\\DR\\2=f7i3-327l72-112R+32R+27||JDJR||2=-2567l3+23047l72-1927352

Die erste dieser drei Gleichungen steht in Satz 12 (und Satz 10, Seite 37) wobei

Ki und K2 gemäss Satz 13 durch 71 und §(672 — 7i) zu ersetzen sind. AusKorollar 13.3 stammt die zweite, aus Satz 17 die dritte Gleichung.

MitderselbenBegründunggiltfürn=5:R-2R=-f73+^7l726liefertSatz12keineGleichung;mitdenzweiverbleibendenGleichungen:-R-4R+\\DR\\2=^73-M|M7l72-112JR+32i?+27||JD#||2=-64rc73+96n(n+2)7172-n(n+2)(n+4)73ausKorollar13.3undSatz17zeigtmanimmerhin,dass:85i?-140Ä=100n7l3-132n(n+2)7172+n(n+2)(n+4)73.(50)A0DieFunktion17R—28RistsomitinjedemharmonischenRaumkonstant.EinResultatdieserArt(mitanderenZahlenfaktoren)stehtbereitsin[Be],Seite166;diedortpublizierteFormel(6.68)beruhtindesaufeinemfehlerhaftenZwischen¬ergebnis(6.65,p.165),welchesdurchunsereFormel(2),Seite8,richtiggestelltwird.2.5VierdimensionaleRiemannscheRäume2.5.1QuaternionenbasisSei(M,g)einvierdimensionalerRiemannscherRaumundseip0einPunktinM.WirwähleninTP0(M)eineorthonormierteBasisei,e2,e3,e4undfassendiesezugleichalsBasisdesQuaternionenraumesHauf:ei=1,e2=I,e3=J,e4=KmitP=J2—K2=—1undIJ=—JI=K(analogfürzyklischvertauschteI,J,K).Fürx,yGHberechnetsichdasSkalarproduktgemäss(x,y)=\{xy+yx),wobeixdiezuxkonjugierteQuaternionist.

53

Sei y G H . Die Abbildung y h4 Iy wird als Drehung um ^ in den Ebenen

(ei;e2) und (e^e^) aufgefasst. Analog werden die Abbildungen y i-t Jy und

y 1-4- Ky gedeutet. Alle drei Abbildungen erhalten das Skalarprodukt.FüreinenfestenVektorx=x'e,-GTPo(M),mit\\x\\=1,definiertmaneineneueBasisdurch:e\—e,x.(51)DieseBasisistebenfallsorthonormiert.WirbezeichnenmitSdiezugehörigeorthogonaleTransformationsmatrixmitSpalten(x,Ix,Jx,Kx),d.h.:\(A)(xl-x2-x3-x4x2xlx4-x3x3-x4x1x2x*xs-x2x1/Lemma10.FüreinebeliebigeQuaternionxGHmit\\x\\—1,gilt:xAIx+JxAKx=1AI+JAK.AnalogesgiltbeizyklischerVertauschungvon/,JundK.Beweis.FasstmandasschiefeProduktaAbzweierQuaternionenalsMatrix(atbj—ajbl)auf,sogiltfüryGH:(aAb)y=(b,y)a-(a,y)b.(52)FürorthonormierteVektorenaundbbewirktdieseAbbildungeineDrehungdervonaundbaufgespanntenEbeneum—-|.SeinunxGHmit||x|[=1.FürjedesyGHkannderVektor—IywiefolgtalsLinearkombinationderBasisvektorenx,Ix,Jx,Kxgeschriebenwerden:—Iy=(x,—Iy)x+(Ix,—Iy)Ix+(Jx,—Iy)Jx+(Kx,—Iy)Kx=(Ix,y)x—(x,y)Ix+(Kx,y)Jx—(Jx,y)Kxundsomitwegen(52):—Iy—(xAIx)y+(JxAKx)y,DielinkeSeitedieserGleichungistunabhängigvonx;hierausfolgt(mitx=1)dieBehauptungdesLemmas.54

Bemerkung. Geometrisch bedeutet die Aussage von Lemma 10, dass die durchdie Vektoren x und Ix, sowie Jx und Kx aufgespannten Ebenen invarianteTeilräume der Clifforddrehung y\-ï—Iysind.WiruntersuchennundasVerhaltendesKrümmungstensorsRbeiderBasis¬transformation(51).FürdieKomponenteninderneuenBasisgilt:T>l„aJ>„c„dpiS\r-cdpnhi]k—ShStSjSk^abcd—Ï2-1hl2-*jknabcdwobeiEa^=8^suhSvi=sahSbt—salsbhInderMatrizenschreibweise(sieheSeite18)gilt:K'=ET7£S,(53)dabeiistE=(S^Jdie6x6-Matrix,derenSpaltendurchdieBivektorenxAIx,xAJx,xÀKx,JxAKx,KxAIx,IxAJxgebildetsind.ImRaumderschiefsymmetrischenTensoren,versehenmitdemSkalarprodukt(A,B)=\AstBst,giltfürBivektoren:(aAb,cAd)=(a,c)(b,d)—(a,d)(b,c).AusdieserDarstellungundderOrthogonalitätvonSfolgtsofort,dassdieSpal¬tenvektorenderMatrixEorthonormiert,dieMatrixselbstorthogonalseinmuss.DieDualabbildung$:Ah>BdefiniertdurchBh%=\ehlstAsiistinvolutorisch,symmetrischunderhältdasSkalarprodukt.AngewandtaufdieSpaltenvektorenvonEgilt:$(;rAIx)=JxAKx$(xAJx)=KxAIx$(xAKx)=IxAJxDamitistgezeigt,dasssichdieMatrixEinderForm:(54)schreibenlässt;wegenderOrthogonalitätvonEsindzudemsowohldieSummealsauchdieDifferenzderMatrizenEiundS2orthogonal.WegenLemma10giltsogarEi+E2=J3•(55)AusderOrthogonalitätvonEi—E2folgtnunzudem:EiE^=|(Si+Sj").ExplizitistEi=x1x1+x2x2x1x4+x2x3—x1x3+x2xA—x1x4+x2x3x1x1+x3x3x1x2+x3x4xxx3+x2xA—x1x2+x3x4x1x1+x4x455

2.5.2 Einsteinbedingung und Jacobi-Operator

Es sei nun (M, g) ein vierdimensionaler Einsteinraum, so folgt aus R =R (sieheSatz 1 (c) Seite 14 und Beispiel

1Seite23),dassin—oi(56)AAAAdabeisindA—\{U+V)undB=\{U—V)symmetrischeMatrizenvomTyp(3,3)mitspur(«4)=spur(#)(l.Bianchi-Identität).(AA.Hilfssatz1.BesitztderKrümmungstensorRdieFormTZ=\\,so\AAlässtsichderJacobi-OperatorlT(a;)fürxGTPo(M)wiefolgtdarstellen:(00\H(x)=STi^SmitHa=undS=(x,Ix,Jx,Kx).Beweis.SeixGTPo(M)mit||x||=1.MitderBasistransformation(51),denEigenschaften(53)bis(55)undderVoraussetzungschliesstmanvorerstaufR'=R.DerJacobi-OperatorIT(:e)wirdalsBilinearformaufgefasst:Tix(a,b)=Rhijkxtxkahbj=R(a,x,b,x).BezüglichderneuenBasiswird:nx(4>ei)=R(e'h,x,e'j,x)=R'ihij=Rihij,daR'=R,unddamitIT'=11^.AllgemeintransformiertsichjedochdieBilinearformgemässIT=

Werden jetzt diese beiden Hilfssätze auf den Krümmungstensor (56) ange¬wandt, so folgt für den Jacobi-Operator n in einem fest gewählten Punkt p0 undfür beliebiges x G TPo(M)

:snAsT+rnBrTnwobeiS=(x,Ix,Jx,Kx),T=(x,xI,xJ,xK)undHu='o0^0u(57).Esgiltspur(n)=2spur(A)(x,x).Bemerkung.FüreinenbeliebigenRaumkenntman(ineinemPunktpQ)dieDarstellungn=VT71VmitV=(vAh)=(xWh-xjS\)([R-W-W,p.118]).ImvierdimensionalenFallkanneinezu(57)analogeSchreibweiseeingeführtwer¬den:fürTZ=1UV^gilt:n=sxnusxT+s2nwsj+Sinvsj+(&nvsj)Tmit

Hilfssatz 3. Falls x = x1el £ H mit x1 — 9f?(x) = 0, dann gilt für dieMatrizen S = (x, Ix, Jx, Kx) und T = (x, xl, xJ, xK) :

sTr = 2o o

\

0 (x'xJ) j

(x,x)

Beweis. Da x reinimaginärist,giltx=—xundx2=—(x,x).NachDefinitionvonSund7~sinddieElementederMatrix2.Analogistfürj=1:(e,x,x)=(x,x)^x.Fürz,j>2gilt:^C^X5XCj/—r\ltt/C»lti'C7IC--J«/•I—JItt*Co["CftlsfDi•*•JüCjCitt«**/CiCj«/•I=-2a>>=-2^=2x?xJ—2)werdenimKrümmungstensordieMatrizenAundBvertauscht.OhneEinschränkungdürfenwiralsoannehmen,dassB=AX3undesgilt:

58

Satz 19. Ein vierdimensionaler Riemannscher Raum ist genau dann ein Zwei¬

steinraum, wenn die Komponenten des Krümmungstensors in jedem Punkt be¬

züglich orthonormierter Basisfelder folgende Gestalt annehmen:71=1uu\(0J3^\UU]\I30wobein=|spur(£/).(60)Beweis.AusdenvorausgehendenUeberlegungenistersichtlich,dassdieSchreib¬weise(60)fürdenKrümmungstensorzurErfüllungderZweisteinbedingungennotwendigist.Sieistaberauchhinreichend:wegenderSchiefsymmetriedese-TensorsistehijkXlxk=0;nunfolgtausderDarstellung(60)unddemHilfs¬satz1,dassIi=STluSTmitnw=|IundS=(x,Ix,Jx,Kx).(61)0UDieBehauptungfolgtjetztausSST=(x,x)T4:spur(IT)=(x,x)spur(W)undspur(IT2)=(x,x)2spur(W2).Korollar19.1.JedervierdimensionaleZweisteinraumistaucheinDreistein¬raumunddamitaucheink-stein-Raumfürjedesk.Aus(61)folgtnämlich,dassVkGN,spur(ITfc)=(x,x)kspur(Wfc).Aus(49),Seite51,folgtzudemKorollar19.2.JedervierdimensionalesymmetrischeZweisteinraumistharmo¬nisch.2.5.4VierdimensionaleharmonischeRäumeEinharmonischerRaumerfülltinjedemPunktzusätzlichzudenZweisteinbedin¬gungendiedritteLedgerscheBedingung(Seite51):spur(9IÏ2-32IT3)=-y3{x,x}3.WegenKorollar19.1mitspur(n3)=^3(;r,x}3schreibtsichdieseBedingungimvierdimensionalenFallvereinfacht:spur(n2)=r)(x,x)3mitr,=f(7s+32^3)-(62)59

Die Grössen r] und fi3 sind nicht nur richtungsunabhängig, sondern auch punkt¬unabhängig: einerseits sind nämlich 71,72 und 73 punktunabhängig; dann sind

A 0

aber wegen Satz 18, Seite52,RundR,undwegenKorollar16.1,Seite50,schliess¬lichauchfi3punktunabhängig.DerJacobi-OperatorbesitztimmerdenEigenwert0.SindalsodieindenDreisteinbedinungen:spur(n)=71(x,x)spur(n2)=72(2;,x}2spur(IT3)=(j,3(x,x)3(63)auftretendenKonstantenpunktunabhängig,sosindalleEigenwertedesJacobi-Operatorskonstant.Q.S.CHIbeweistin[Cm]u.a.,dassjedervierdimensionaleRaum,dessenJacobi-OperatorkonstanteEigenwertehat,einlokalsymmetrischerRaumist.DamitistjedervierdimensionaleharmonischeRaumlokalsymmetrisch.Wirwählenhierdie'klassischere'Beweisführung(vgl.[R-W-W,Abschnitt4.10]und[Be,Lemma6.80]),benutzenaberweiterhindieQuaternionenschreibweise.In(63)setzenwirfürxParallelfelderunddifferenzierenkovariant:spur(np)=0spur(nnp)=0spur(n2Up)=0(64)wobeiIIp=(Rhijk,pXlxk).Ausspur(ilp)=0folgtwiefürdenKrümmungs¬tensorselbst(siehe(56)):1pvII"^P*^p/Vp\v-p(ApJ\*/A.p-r\.pj+(Bp-Bp^\~BpBpjdabeisindAP,BPsymmetrischespurfreieMatrizenvomTyp(3,3).Aus(61)unddenHilfssätzen(1)und(2)folgt:spur(nnp)=spur((

Damit vereinfacht sich die dritte Ledgersche Bedingung (62) nochmals wesentlich:

spur(£/p Uq) = 7? (Jjpq (65)

Durch die Wahl einer Chern-Basis (Seite 7) dürfen wir annehmen, dass U

diagonal ist. Sei also

(u 0 0

^

U = 0 t) 0

0 0 w

( , \cip dp Cp

und Up = p Op Jp

&p Jp ^p i

Den Fall u—v=weinesRaumeskonstanterKrümmungwollenwirweiterhinausschliessen.SomitgibtesimWesentlichennochdieFälleu,v,wverschiedenundu—v^w.AusdenBedingungen(64),diewegenHilfssatz1,Seite56,dieFormspur(Wp)=spnv(UUp)—spur(£Y2£/p)=0annehmen,folgtinbeidenFällen:cp—0undbp——ap.SchreibtmandienochzubestimmendenKoeffizientenap,dp,ep,fpalsSpaltenvektorender4X4-MatrixJ-—(a,d,e,f),soist(65)äquivalentmitTTT=-nTA.(66)Für77=0istT=ö,derRaumalsosymmetrisch.ImFall77>0lassensichunterdengetroffenenVoraussetzungensämtlicheBedingungender2.Bianchi-IdentitätinfolgenderQuaternionenschreibweiseein¬fangen:d——Ka+leund/=—Ke.SomitistT=(a,—Ka+Je,e,—Ke).DadieSpaltendieserMatrixorthogonalseinmüssen,folgta=aJemitaçR,undsomitJ-=(aJe,(a-fl)ie,e,—Ke).DieSpaltenmüssenaberauchdiesselbeLängehaben.DiesführtaufdenWider¬spruch:a2—(1+a)2=1.Damitistgezeigt,dassjedervierdimensionaleharmonischeRiemannscheRaumlokalsymmetrischist.61

. ~j * * &

62

3 Gruppenräume, welche die Einstein-, Super-einstein- oder Zweisteinbedingungen erfüllen

3.1 Damek-Ricci-Räume

Sei M = RxR'x Rm ein (1 + ç+ m)-dimensionaler Vektorraum(m,q>1);dieKoordinateneinesPunktesvonMbezeichnenwirmit(t;x1,...,xq;y1,...,ym),oderkurzmit(t;x;y).Fallsnichtandersvermerkt,beziehensichimWeiterenlateinischeIndizesaufdieKoordinatenxlundgriechischeIndizesaufdieKoor¬dinatenya;fürdieersteKoordinatebenutzenwirdenIndex0.SeiAeineMatrixvomTyp(q,m)mitElementeni*/\.ia—/jdisaXs=lwobeidiereellenZahlenüijavorläufigalleindurchdieSchiefsymmetrie*JÎOf—ai]a(67)(68)eingeschränktwerden.BezüglichderKoordinatenbasisdddtrikgdurchdt'dxi'dy

Wir definieren in M zudem eine Multiplikation * durch:

(u; v; w) -k (£; x; y) = (u + t ; eux + v ; e2uy + eu(av, x) + w) (70)

wobei (av,x)a — J2rsarsavrxs und somit (av,x) — —(ax,v),wegenderSchief¬symmetrie(68).NungiltSatz20.DerdurchdieMetrik(69)definierteRiemannscheRaum(M,g)isteineLie-GruppemitlinksinvarianterMetrik.Beweis.Fürdiedurch(70)definierte(nicht-kommutative)Multiplikation*•istderNullpunktNeutralelement.DasInversevon(t;x;y)ist(—t;—e~lx\—e~2ty).DurchdasAusrechnendesProduktesvondreiElementen(i;x;y),(£';x'\y')und(i";x";y")ausMüberzeugtmansich,dassfürdieMultiplikationdasAssozia¬tivgesetzgilt.Esbleibtzuzeigen,dassalleLinkstranslationenLIsometriensind.DieMetrik(69)lässtsichinderFormds2=dt2+e~2tdx2+e~4t[dy+(adx,x)]schreiben.FürdieAbbildungL:(t;x;y)i->-(u;v;w)*(t;x\y)=(u+t;eux+v;e2uy+eu(av,x)+w)gilt:L*:(dt;dx;dy)h->(dt;eudx;e2udy+eu(av,dx)).NunfolgtfürdieLängenberechnungimBildpunkt:ds*2=dt2+e~2{t+uh2udx2+e-4(

Unter Benutzung von gx und der Schiefsymmetrie (68) erhält man für die

Norm des Gradienten von h:

||grad h\\2 = Ah2 - Ahf + f2 + e~2tf2x2 + 4y2 + 4e"2* £ AiaAiß yayß.i,a,ß

Substituiert man hier gemäss (71) / — 1 + e2t + x2 und f2 = Ae2th — 4y2 , so

ergibtsich:||gradh\\2=4(h2-h+e~2t(£AiaAißyayß-x2y2)).(72)Definition.Derdurch(69)definierteRaum(M,g)isteinDamek-Ricci-Raum,fallsinjedemPunktdieClifford-BedingungATA=x2lm(73)erfülltist.DiesistgenaudannderFall,wenndieGleichung1q9zJ(aisaajsß+O-jsaC-isß)=Sij8aß(74)fürbeliebigeIndizesi,jE{l,...,q}unda,ßG{1,...,m}gilt.DieClifford-BedingungkannnichtfüralleDimensionenqundmerfülltwerden.AusderTheoriederClifford-Algebren([A-B-S,Ka])entstehtdieKlassifika¬tionderverallgemeinertenHeisenberg-GruppenunddiejenigederDamek-Ricci-Räume(siehe[B-T-V,p.22undp.79]).WiesichausderFormel(72)leichtzeigenlässt,istdieClifford-Bedingungnotwendigundhinreichenddafür,dassdieNormdesGradientenvonhselbstwiedernurFunktionvonhist(hheisstdanntransnormal).Damitsinddiedurchh=konstantdefiniertenHyperflächenparallelunddieGradientenlinienvonhgeodätisch.Bemerkung.AusderClifford-Bedingung(74)folgendurchAufsummierenüberdieverbleibendenlateinischenodergriechischenIndizes:^2astaastß=q8aß(75)s,t^ais^ajsa-=mSij(76)Wirzeigenweiterunten,dassdieseabgeschwächtenClifford-Bedingungengenaudannerfülltsind,wenn(M,g)einEinsteinraumist.DievolleClifford-BedingungerfülltderRaum(M,g)genaudann,wennereinZweisteinraumist(Seite70).

65

Wir berechnen nun auch den Laplace-Operator angewandt auf die Funktion h.Mit Ah = div grad h = j=£ (fygijh,j) , wobei 7 = det(^) = e~2^+2^ ,entsteht unter Berücksichtigung der

Schiefsymmetrie(68)undderDefinition(71):Ah=21(2+q+2m)h-(m+1)+(£A„A.mx21(77)DieverjüngteClifford-Bedingung(76)istsomitnotwendigundhinreichenddafür,dassAh=2(2+q+2m)h—2(ro+1),alsoAhselbstnurFunktionvonhist.Zusammenmit||gradh\\2=Ah2—AhbedeutetdievolleClifford-Bedingung,dassdiedurchh=konstantdefiniertenHyperflächenkonstantemittlereKrümmunghaben(histeineisoparametrischeFunktion).NunfolgtSatz21.DieDamek-Ricci-Räumesindharmonisch.Beweis.NachdenbisherigenErgebnissensinddieNiveauflächenderFunktionhparalleleHyperflächenmitkonstantermittlererKrümmung.DurcheinenPotenz¬reihenansatzwirdklar,dassdieFunktionhimNullpunkteinMinimumannimmt;gemässDefinition(71)istnämlich:h=-(l-2t+2t2-...)(x2+2+21+2t2+...)2+Ay2=1+{f+x2+y2)+...DadamitdieOrthogonaltrajektorienderNiveauflächenvonhimNullpunktzu¬sammenlaufen,sinddieseFlächendieAbstandssphärenmitZentrum0.DieBe¬dingungfürharmonischeRäume,dassalleAbstandssphärenkonstantemittle¬reKrümmungbesitzen,istvorerstimNullpunkterfüllt.AlsGruppenraummitlinksinvarianterMetrikerfülltderRaum(M,g)dieseBedingungauchinjedemanderenPunkt.Korollar21.1.Sei(M,g)einDamek-Ricci-Raum,ddieDistanzfunktion(Di¬stanzeinesPunkteszumNullpunkt)und0=\d2dieAbstandsfunktion.Danngelten:H=-(ArcoshVh)oderh=(coshv2ÛJAft=1+qV^Öcoth(\/2ü)+2mV2ÏÏcoth(2v/2ÏÏ).AlsharmonischerRaumerfüllt(M,g)auchdieLedger-Formeln(sieheSeite51);fürdiedreierstenKonstantengilt:7i=-{

Beweis. Da die Niveauflächen von h Abstandssphären sind, ist h selbst eineFunktion der Distanzfunktion und somit ist folgender Ansatz sinnvoll:

ü = -co2(h) mit w(l) = 0.

Allgemein gilt für die Abstandsfunktion||grad0||2=20([R-W-W,p.16]);zusammenmit||grad/i||2=Ah2—AhvonSeite65,erfülltalsoudieDifferen¬tialgleichung1=2——Vh2—hmitderAnfangsbedingungw(l)=0;dieLösungdieserGleichungliefertdieerstenbeidenFormelndesKorollars.Weiterfolgtaush=6(d)vorerstAh=6"\\dü\\2+6'Ad.Ersetzenwirdarin:6(fl)=(coshV^ü)2\\dd\\2=20Ah=2(2+q+2m)h-2(m+l)soentstehtderzubeweisendeAusdruckfürAO.DieKoeffizienten71,72,73,...indenLedger-FormelnlassensichausdenKoeffi¬zientenderReihenentwicklungvonAO=x(^)berechnen(vgl.[R-W-W,p.62]und[Bu,p.26]).DamiterhältmandieimKoronar21.1angegebenenWerte.Bemerkungen1.Sei(M,g)dieinSatz(20)definierteRiemannscheLie-Gruppe.DieMen¬geallerlinksinvarianterVektorfelderaufMbildetdiezuMgehörigeLie-Algebram.ZurBerechnungderStrukturkonstantenvonmbetrachtetmandiebezüglichgorthonormiertenlinksinvariantenVektorfelderF_dE~m(8m8\*=ei^-^A-w)(78)Y-e2*—a"dy'67

Umgekehrt gilt | = E, £ = e^Xi + e~2t £, AiaYa und ^ = e~2iYa.Der Riemannsche Zusammenhang ist dann durch folgende Gleichungen cha¬rakterisiert: DEV=0,WemDXiE=-XiDYaE=-2YamgDxiXj=SijE+22a,ijaYaDYaXi=—y]ajsgXsDXiYa=-£a,-,aX,DYaYß=28aßEs=lundfürdieLie-KlammerngeltendiekoordinatenunabhängigenFormeln:[E,Xi]=Xi[E,Ya]=2Yam[Xi,Xj]=2j2"mYe(79)YaS=l(7-1mVi=e-tXi+2e-2tY,Ai„Y(TiG{1,2,...,q}(80)Va=e~2tYaae{l,2,...,m}.DielineareUnabhängigkeitdieserVektorfelderistsofortersichtlich.3.InderClifford-Bedingung(74)istdieSummeY?s=\aisa

Beweis. Unter der Voraussetzung J2l=i aisaajsß — üij5aß ist die Clifford-

Bedingung (74) trivialerweise erfüllt. Wir betrachten nunfolgendeIdentität:/j(aisaajsß)(ûjt/3aifcr)=2-,aisa{ajsß

Für m = 0 und m = 1 sind die Damek-Ricci-Räume symmetrisch. Allge¬mein (für m > 2) ist hingegen ein Damek-Ricci-Raum (M,g) dann und nurdann symmetrisch, wenn die nilpotente Lie-Algebra n = [m, m] zusätzlicheine sogenannte J2-Bedingung erfüllt ([B-T-V,

p.86]).Diesistausnahms¬weisenochfürm=3undq=Ak(M=~H.Hk+1)sowiefürm=7undq=8(M=Cayi72)möglich([C-D-K-R,p.6]).FürgewisseDimensionen(zumBeispielfürm=3undq=8)existiertsowohleinsymmetrischeralsaucheinnicht-symmetrischerDamek-Ricci-Raum.Esistdaheroffenbarunmöglich,dieJ2-BedingungaufeineBedingungzureduzieren,diealleinvondenDimensionenqundmabhängt.Fürm=2undq=4existierteinnicht-symmetrischerDamek-Ricci-RaummitderkleinstmöglichenDimension7;manwählez.B.dieMetrik(69)mit:A=(x2-xXX\V—X"-*1/DievonNullverschiedenenStrukturkonstanten(vgl.Formeln(79))sinddanngegebendurch:[E,Xi)=Xi,[X,Ya]=2Ya[X1,X2]=2YU[X3,X4]=2YU[XlfX4]=2Y2,[X2,X3]=2Y2.FürdieAbleitungdesKrümmungstensorserrechnetman||Z).R||2=4608.7.AlsharmonischerRaumistjederDamek-RicciRaumeinZweisteinraum.UmgekehrtgiltderSatz22.ErfülltdergemässSatz20definierteRaum(M,g)dieZweistein¬bedingungen,soistereinDamek-RicciRaum.Beweis.NachVoraussetzunggiltfürdenJacobi-OperatorIIinjedemPunktpGMundbezüglichjederRichtungVGTP(M):spur(n)=7ii?undspur(II2)=j2v22und7i,72zweirichtungsunabhängigeKonstantensindwobeiv=(sieheSeite45)

70

Die Komponenten des Krümmungstensors bezüglich der orthonormiertenBasis (78) sind punktunabhängig. Wir bestimmen daraus den Jacobi-Opera-tor in einem beliebigen,

aberfestgewähltenPunktpMundbezeichnenmit(i;x1,...,xq;y1,...ym)ausnahmsweisenichtdessenKoordinaten,son¬derndieKomponenteneinesbeliebigenVektorsV(ETP(M)bezüglichdieserBasis.DieBerechnungergibt:IIoo=-x2-Ay2n0j=txJ-3^Ta:)S

Da aber ATA eine symmetrische m X m Matrix ist, gilt allgemein (sieheBemerkung Seite 47):

m spur ((ATA)2) = (spur(.4T„4))2 4» ATA = Xlm .

Aus (82) und (83) folgt sogleich ATA = x2Im , das heisst der Raum erfülltdieClifford-BedingungundisteinDamek-Ricci-Raum.8.MitdemindiesemAbschnittgewähltenAnsatzeinerLie-Gruppemitlinks¬invarianterMetrikentstehtaucheineKlassevonEinsteinräumen;dazumüssendieKonstantena,-jalediglichdieverjüngtenCliffordbedingungen(75)und(76)erfüllen.AlsBeispielhierfürbetrachtenwirdieMatrix:\AVV2x2y/2xzx400-V2X10x3V2x400-V2X1-x20V2x400-x1-y^x2-V2xIDer10-dimensionaleGruppenraumMmitderlinksinvariantenMetrik(69)isteinEinsteinraum,jedochkeinSupereinsteinraumundsomitauchwedereinZweistein-nocheinDamek-Ricci-Raum.3.2DerRicci-TensoreinerLie-GruppeSei(£?,)einen-dimensionaleRiemannscheLie-Gruppe,d.h.eineLie-GruppemiteineraufGdefiniertenlinksinvariantenMetrikg.DieMengegallerlinksinvarian¬terVektorfelderaufderLie-GruppeistdiezuGgehörigeLit-Algebra.BezeichnetedasNeutralelementderLie-Gruppe,soistdieAbbildung,diejedemVektorfeldXausgdessenWertinTe(G)zuordnet,ein(Vektorraum-)Isomorphismus;dieElementevongkönnenalsoauchalsVektoreninTe(G)aufgefasstwerden.Sei(Xi,X2,...,Xn)eineorthonormierteBasisvonTe(G)undn2[Xi;Xj]=222aijsXsd.h.a,-^=-{[X{;Xj],Xk)•DieseBezeichnungisthinsichtlichderimAbschnitt3.1enthaltenenErgebnis¬sezweckmässig.DieStrukturkonstanten2aijkmüssenfüralleIndizesfolgendeBeziehungenerfüllen:

72

1. üijk = —üjik (die SchiefSymmetrie der Lie-Klammer)

n

2. ^2 (aijsaski + cLjksasii + akisasji) = 0 (die Jacobi-Identität).s=l

Bekanntlich lassensichineinemRiemannschenRaumdiekovariantenAblei¬tungenausdenLie-Klammernberechnen:(DXY,Z)=1({[X;Y],Z)~{[Y;Z],X)+{[Z-X],Y)2,(84)+DX{Y,Z)+DY{X,Z)-DZ{X,Y))DieKoeffizientendesRiemannschenZusammenhangswerdendefiniertdurchnDx.Xj—^2b{jsXs.s=lDadieBasisorthonormiertist,folgtaus(84):bijk=o-ijk—ajki+a-kij(85)FürdieseKoeffizientengiltdieSchiefSymmetrieindenbeidenletztenIndizes,sowieeineausderJacobi-IdentitätabgeleiteteBeziehung.UmgekehrtkönnendieStrukturkonstantenausdenfe'sberechnetwerden:2dijk=bijk—bjik.(86)FürdieKomponentendesKrümmungstensorserhältman:nRhijk—2^(2&s«ajfcs+bjshbkis—bkshbjis)s=lundmit(86)fürdiejenigendesRicci-Tensors:n[Ric(R)jh.=-J2(bhsjbtst+bthsbsjt)s,t=lWirdefinierennMatrizenßk,k=1,...n,vomTyp(n,n)durchderenEle¬mente:(#*)..=bikj(87)MitdiesenMatrizenlässtsichderRicci-Tensorwiefolgtschreiben:(Ric(Ä))=-£spur(£5)(B.)+spur(BhBj)hj.5=1(88)73

Dass die Matrix J2*=i spur(#s)Bs symmetrisch ist, lässt sich auch unter Anwen¬

dung der Jacobi-Identität direkt nachweisen. Die Formel (88) benutzen wir späterin folgender Form:

Satz 23. Eine n-dimensionaleRiemannscheLie-GruppeistgenaudanneinEin¬steinraum,wennineinemPunktdiedurch(85)und(87)definiertenMatrizendieGleichungJ2spur(£,)(ßs)h.+spur(BhBj)Ls=l=k5.hjerfüllen.Beispiel.FürdieaufSeite63definiertenRäumederDimension1+q+msindbezüglichdendortüblichenIndizes(Zeilenindizessind0,i,a,Spaltenindizes(B0\JBk=0000-lq000-2J„000{ßik)0(aikß)K0(ajka)00000(—««ry)0\(2^a7)00(zumBeweissieheSeite68),sodassinMatrixschreibweise:\//B,\IRic(Ä)=-/(q+2m)(000X,00\V+002Jmq+Am0V0000~[T^r,sarsaO-rsßJI\

74

Die Einsteinbedingung ist nach Satz 23 gleichbedeutend mit den Bedingungen:

/ , ^isc^jsa — TÏÏOij

r,s

welche ihrerseits mit den verjüngten Clifford-Bedingungen (75) und (76) identischsind. AufderSuchenachneuenGruppenräumen,welchedieEinstein-,Superein-stein-oderZweisteinbedingungerfüllen,wollenwirnunweiterespezielleLie-Gruppenuntersuchen.WirerwähnenhierzufolgendeBegriffeundAussagenausderTheoriederLie-AlgebrenundLie-Gruppen(mitVerweisaufentsprechendeLiteratur):•EineLie-AlgebraisteinVektorraumgmiteinerbilinearenschiefsymmetri¬schenMultiplikation[•,•]igxg-yg,diezusätzlichdieJacobi-Identität:[LY,Y],Z}+[[Y,Z],X}+[[Z,X],Y]=0(90)erfüllt.•EineLie-AlgebragheisstAbelschoderkommutativ,wenn[g,g]={0}.•EineLie-Algebragheisstauflösbar,fallsdierekursivdefinierteabgeleiteteReihe:S)1^=[g,g],£>p+1g=[£pg,£>pg]abbricht,dasheisst,fallsfüreinepositiveganzeZahlp,2)pg={0}.IstpdiekleinsteZahlmitdieserEigenschaft,sosprechenwirvoneinerp-stufig-auflösbarenLie-Algebra.•EineLie-Algebraflheisstnilpotent,fallsdierekursivdefiniertezentraleRei¬he:xg=[g,g],

sowohl positive als auch negative Werte an [Ml, p.301]. Somit kann einesolche Lie-Gruppe auch kein Einsteinraum sein. Im Folgenden betrachten

wir nur Lie-Algebren, die nicht nilpotent sind.

Das grösste auflösbare Ideal einer Lie-Algebra g heisst das Radikal von g.Eine Lie-Algebra heisst halbeinfach, wenn ihr Radikal verschwindet; dies

ist genau dann der Fall, wenn dieLie-Algebrakeinnicht-verschwindendesAbelschesIdealenthält.EineLie-Algebraheissteinfach,wennsiekeinenicht-trivialenIdealeenthältundnichtAbelschist.IsttdasRadikaleineLie-Algebrag,dannexistiertnachdemS