Formeln zur Statistik Statistik - · PDF fileFormeln zur Statistik Statistik - Neff (2.5) Exponentielles Glätten n Beobachtungswerte, Glättungskonstante α Prognosewerte, direkt

Formeln zur Statistik Statistik - Neff

(1.1) Mittelwert, Varianz bei Einzelwerten (1.2) Freiheitsgrade (1.3) Abweichungsquadrate (1.4) Lineare Einfach-Regression (1.5) Multiple lineare Regression, DW-Tabelle (1.6) A'-Regression (1.7) VT Regression (2.1) Linearer Trend und Saisonschwankungen (2.2) Logistischer Trend (2.3) Gleitende Mittelwerte (2.4) Wachstumsfaktoren (2.5) Exponentielles Gltten (3.1) Konzentrationsmae (3.3) Hufigkeitsverteilung (4.1) Wahrscheinlichkeit (4.2) Chi2-Unabhngigkeitstest (4.3) Diskrete Zufallsvariable (4.4) Stichprobenmittel (4.5) Stetige Zufallsvariable (5.1) Binomialverteilung (5.2) Hypergeometrische Verteilung (5.3) POISSON-Verteilung (5.4) Normalverteilung (5.5) Standard-Normalverteilung (5.6) Approximationsbedingungen (5.7) Anpassung und Korrekturfaktoren (5.8) Chi2 - Anpassungstest (6.1) Konfidenzintervall (6.2) Hypothesentest (6.3) unbekannt (6.4) Stichprobe ohne Zurcklegen Tabellen

(7.1) Binomialverteilung (7.2) POISSON-Verteilung (7.3) Tabelle FISHER-Prfma xF (7.4) Tabelle Chi2-Prfma 2 (7.5a) Tabelle STUDENT-Prfma F(t) (7.5b)Tabelle STUDENT-Prfma D(t) (7.6) Standardnormalverteilung FSN

Formeln zur Statistik Statistik - Neff

(1.1) Mazahlen bei Einzelwerten Mittelwert bei N bzw. n Einzelwerten xi

In der Grundgesamtheit 1

1 Ni

i

xN =

= in der Stichprobe: 1

1 ni

i

x xn =

=

Abweichungsquadrate ( ) ( )22 20

1nx i i i

i

A x x x xn=

= = Varianz bei N bzw. n Einzelwerten xi

der Grundgesamtheit: ( )2 2 21 1

1 1N Ni i n

i i

x x N N

22

= =

= = =

der Stichprobe: ( )22 2 2 11 1

1 1

1 1

n n

i i n

i i

s x x x nxn n

2

= =

= = =

Standardabweichung in der Grundgesamtheit: 2 = in der Stichprobe: 2s s= (1.2) Freiheitsgrade "n" Freiheitsgrade (df, degrees of freedom) ist die Anzahl der frei whlbaren, unabhngigen Einzelwerte, die in die statistischen Berechnungen einbezogen werden knnen. a) bei der Stichprobenvarianz n-1 b) beim FISHER-Prfma = n-p-1 p Anzahl der Einflussgren c) beim STUDENT-t-Prfma in der multiplen Regression: = n-p-1 im Hypothesentest: = n -1 d) beim Chi2-Prfma 2 im Unabhngigkeitstest = (k - 1) (l - 1) im Anpassungstest = k p 1 (1.3) Abweichungsquadrate bei Regressionsanalysen SS "Sum of Squares", Summe der Abweichungsquadrate A MS Mittlere Summe der Abweichungsquadrate, Varianz 2, Mean Sum of Squares p Anzahl der Einflussfaktoren

2 2Error1 1

( )n n

i i i

i i

A y y e= =

= = = SSResiduen ( )2Res

Residuen

- -1 1i iy ySS

MSn p n p

= =

2

2 2Gesamt Gesamt Gesamt 1

1

( )( )

1 1

ni iGesamt

i i n

i

y ySSA y y SS MS

n n

=

= = = = =

2

Regression2erklrt Regression erklrt

1

( )( )

ni i

i i

i

SS y yA y y SS MS

p p=

= = = =

Bestimmtheitsma ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

22 1 1 1

22

1

:1 1

n n n

i i i

erklrt i i i

n

gesamti

i

y y y y y ys

rs n n

y y

= = =

=

= = =

Adjustiertes Bestimmtheitsma 2 Residuen

Gesamt

1adjustMS

rMS

=

FISHER-Prfgre xFempir = erklrt

Residuen

MS

MS

Formeln zur Statistik Statistik - Neff

(1.4) Lineare Einfach-Regression = m x + b

Summe der Abweichungsquadrate 2 2Error1 1

( )n n

i i i

i i

A y y e= =

= =

Regressionskoeffizienten ( )22

i i i i

i i

n x y x ym

n x x

=

1

i i

mb y x

n n=

Korrelationskoeffizient

( )( ) ( )( )2 22 2i i i i

i i i i

n x y x yr

n x x n y y

=

Bestimmtheitsma r2

FISHER-Prfgre xFempir ( )2

erklrt2

Residuen

21

MSrn

r MS= =

Die Nullhypothese wird verworfen, wenn xFempirisch > xFc, | 1 | (1.5) Multiple lineare Regression p Einflussfaktoren, = n-p-1 Freiheitsgrade Die Nullhypothese wird verworfen, wenn xFempirisch > xFc, | p | Signifikanter Beitrag des Einflussfaktors xk , wenn | tempirisch | > tc, | Tabelle 7.5a Signifikante Interkorrelation zwischen den Einflussfaktoren xj, xk , wenn rjk > 0,5.

Signifikante Autokorrelation, wenn fr die DURBIN-WATSON-Prfgre gilt: DW1 [DWunten ; DWoben]

( )21

21

2

1

n

i i

i

n

i

i

e e

DW

e

=

=

=

( )2

1

2

1

n

i i k

i kk n

i

i

e e

DW

e

= +

=

=

(1.6) A'-Regression = a (x) + b Ansatzfunktionen (x)

Summe der Abweichungsquadrate 2

1

( ( ) )n

i

i

A y a x b=

=

Normalgleichungen ( )2( ) ( ) ( )

( )

i i i i

i i

a x b x y x

a x nb y

+ =

+ =

Regressionskoeffizienten ( ) ( )22

( ) ( )

( ) ( )

i i i i

i i

n y x y xa

n x x

=

1

( )i ia

b y xn n

=

Formeln zur Statistik Statistik - Neff

(1.7) VTRegression Lineare Regressionsmodelle (x) = a0 + a11(x) + a2 2(x) + + ak k(x) mit den Ansatzfunktionen i (x)

VANDERMONDE-Matrix

0 0 1 0 0

0 1 1 1 1

0 0

1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

k

k

m m k m

x x x

x x x

x x x

=

V

VANDERMONDE-Gleichung Va = y V TV a = V T y Interpolationswert fr x =z (z) = a0 + a11(z) + a2 2(z) + + ak k(z) (2.1) Linearer Trend und Saisonschwankungen Komponentenmodell yi = i + si + iri

Saisonschwankungen si = yi i 1

1 kj ij

i

s sk =

=

Irregulre Restwerte iri = si js = yi js

Prognosewerte p = (xn+z) + ijs

(2.2) Logistischer Trend

Ansatzfunktion 1 mx b

Sy

e +=

+ *transformiert ln 1

Sy

y

=

Regressionskoeffizienten ( )

* *i i *

i i22i i

1i in x y x y mm b y x

n nn x x

= =

(2.3) Gleitende Mittelwerte k vorausgehende und k nachfolgende Zeitreihenwerte Ungerade bzw. gerade Ordnung des gleitenden Mittelwerts

( )

( )m=i+ k-1m=i+k

i m i i-k m i+km=i-k m=i- k-1

1 1 1 1

2 1 2 2 2y y y y y y

k k

= = + + +

(2.4) Wachstumsfaktoren

Indizes 0,0

kk

BI

B= (Berichtsperiode k, Basisperiode 0)

Wachstumsfaktoren 1

ii

i

yx

y = Zuwachsrate ri = xi 1

Mittlerer Wachstumsfaktor 0

( ) nniy

GM xy

= Mittlere Zuwachsrate 0

nn

y

y-1

(Es liegen n+1 y-Werte y0, y1, , yn vor)

Formeln zur Statistik Statistik - Neff

(2.5) Exponentielles Gltten n Beobachtungswerte, Glttungskonstante

Prognosewerte, direkt n 1

n 1 n-i n-i0 i 0

(1 ) (1 )i i

i

y y y

+= =

= = Geglttete Werte, rekursiv i 1 i+1 i (1 )y y y+ = + Prognosen fr i = n

THEIL'scher Ungleichheitskoeffizient ( )

( )

2

i i

2

i i 1

y yU

y y

=

Die Prognose ist signifikant besser als die naive Prognose, wenn U < 1 (3.1) Konzentrationsmae

n Merkmalstrger mit den Mengen Mi und den Anteilen an der Merkmalsumme mi. Anteile an den Merkmalstrgern fi. Die k anteilsschwchsten Merkmalstrger.

LORENZ-Kurve aus ( )k k

k ki=1 i=1

| i ix y h m

=

Gini-Koeffizient KGini = 1 2 Aunten mit ( )n

unten i 1 i ii=1

1

2A y y h= +

(3.2) speziell fr i1

hn

=

LORENZ-Kurve aus ( )k

k ki=1

| ik

x y mn

=

GINI-Koeffizient KGini = 1 2 Aunten mit n

unten ii=1

1 1

2A y

n

=

HERFINDAHL-Koeffizient n

2Herfindal i

i=1

K m= (3.3) Hufigkeitsverteilungen Stichprobenumfang n, Anzahl der Klassen k, ersatzweise Klassenmitten xi* statt xi.

Relative Hufigkeiten iin

hn

=

Hufigkeitsdichten iii

hf

x=

Empirische Verteilungsfunktion ( )i i i1

( )k

i

i

F F x h h X x=

= = = Zentralwert (Median) xz = xi mit Fi = 0,5

Mittelwert 1 1

1 n ki i i i

i i

x x n x hn = =

= =

Varianz 2 2 2

1

1

1

k

i i

i

s x n n xn =

=

fr n 200. 2 21

k

i i

i

s x h x2

=

= fr n > 200.

Variationskoeffizient s

vx

=

Standardabweichung 2s s= +

Formeln zur Statistik Statistik - Neff

(4.1) Wahrscheinlichkeit

Statistische Konvergenz ( )lim lim( ) 0 1nn n

W h p

= = (Treffer-Wahrschlk. p)

Allgemeiner Additionssatz W(A B) = W(A) + W(B) W(AB) Allgemeiner Multiplikationssatz W(AB) = W(A) W(B|A) Unabhngige Ereignisse W(AB) = W(A) W(B) Verteilungsfunktion F W(a < X b) = F(b