Resoluci n de problemas y comprensi n situacionaldiarium.usal.es/sanvicente/files/2010/07/cultura-2007.pdf · de conclusiones, a la luz de la interpretaci n de los resultados obtenidos,

Resolucioacuten de problemas y comprensioacutensituacional

SANTIAGO VICENTE Y JOSETXU ORRANTIAUniversidad de Salamanca

ResumenLas matemaacuteticas y la resolucioacuten de problemas son herramientas baacutesicas en la escolaridad de las sociedades

avanzadas y en su aprendizaje intervienen una serie de procesos cognitivos En este artiacuteculo se presenta unarevisioacuten de los modelos teoacutericos y de los estudios empiacutericos que dan cuenta de coacutemo la aplicacioacuten de conocimientossobre el mundo real adquiridos durante la trayectoria vital de los sujetos interviene en la resolucioacuten de proble-mas Para ello en primer lugar se describen los diferentes tipos de problemas de matemaacuteticas en segundo lugarse revisan los modelos cognitivos que justifican la necesidad de aplicar conocimientos sobre el mundo real paragenerar un modelo de la situacioacuten para resolverlos en tercer lugar se revisan e interpretan los resultados de losestudios que han comprobado la validez de esos modelos teoacutericos dando al mismo tiempo claves para la mejoradel rendimiento de los alumnos Finalmente se exponen las conclusiones generales de la revisioacuten y se aportanalgunas implicaciones para la praacutectica educativa que se desprenden de esas conclusiones Palabras clave Resolucioacuten de problemas matemaacuteticos modelos de la situacioacuten reescritura de pro-blemas modelos cognitivos

Word problem solving and situationalknowledge

AbstractMathematics and word problem solving are basic tools employed in the schooling of advanced societies and

their learning involves various cognitive processes The present paper reviews theoretical models and empiricalstudies that explain how the application of knowledge about the real world acquired during subjectsrsquo livesmediates in problem solving For this purpose first different types of mathematical word problems are descri-bed second cognitive theoretical models that justify the need of applying knowledge about the real world inorder to generate a situation model for children to successfully solve word problems are described third empiri-cal studies that have shown the validity of these theoretical models are analysed and their results discussed witha view to improving student performance Finally general conclusions obtained from the review are put forthand some educational implications based on these conclusions are presented Keywords Word problem solving situation models rewording cognitive models

Agradecimientos Este trabajo ha sido posible gracias al Proyecto SEJ2006-11249EDUC financiado por elMinisterio de Educacioacuten y Ciencia Asimismo agradecemos sinceramente a Montserrat Castelloacute y a ManuelMontanero su generosidad y sus comentarios sobre la primera versioacuten del manuscritoCorrespondencia con los autores Santiago Vicente Universidad de Salamanca Facultad de Educacioacuten Pso Canale-jas 169 37008 Salamanca E-mail sanvicenteusalesOriginal recibido Enero 2007 Aceptado Febrero 2007

copy 2007 by Fundacioacuten Infancia y Aprendizaje ISSN 1135-6405 Cultura y Educacioacuten 2007 19 (1) 61-85

05 VICENTE 2307 0853 Paacutegina 61

Resolver problemas de matemaacuteticas es una de las herramientas fundamenta-les de las sociedades avanzadas en cuyo aprendizaje la escuela invierte buenaparte de su tiempo y esfuerzo Tal es asiacute que podriacuteamos considerarla junto a lalectura una de las capacidades que la escuela ha tratado de universalizar Sinembargo con frecuencia se hacen puacuteblicos indicadores que sentildealan que los alum-nos muestran un nivel en matemaacuteticas en general y en resolucioacuten de problemasen particular preocupantemente bajo (pe Informe PISA ver INECSE 2004)

iquestCuaacuteles pueden ser los motivos de este preocupantemente bajo nivel de rendi-miento Uno de los motivos podriacutea ser que a pesar de que esta tarea pudieraparecer relativamente sencilla desde el punto de vista cognitivo los procesoscognitivos implicados en el proceso de resolucioacuten de problemas matemaacuteticos sonmuchos y muy complejos Otro motivo estrechamente relacionado con el ante-rior podriacutea ser que a pesar de esta complejidad la cultura de aula frecuentemen-te presenta los problemas de matemaacuteticas de una manera estereotipada limitan-do el proceso de resolucioacuten a sus aspectos estrictamente matemaacuteticos de maneraque potencia el desarrollo de los procesos vinculados a los conocimientos estric-tamente matemaacuteticos a la vez que relega otros relacionados con la aplicacioacuten deotros tipos de conocimiento y que en ocasiones son igualmente importantes Enesta revisioacuten sentildealamos la necesidad de alejar la praacutectica educativa de este enfo-que de la ensentildeanza de la resolucioacuten de problemas basaacutendonos en una serie demodelos teoacutericos y de estudios empiacutericos que apuntan a la necesidad de presentarlos problemas de matemaacuteticas como una tarea de aplicacioacuten de conocimientos nosoacutelo matemaacuteticos sino tambieacuten sobre el mundo real y de sentido comuacuten queson necesarios para una comprensioacuten genuina de la situacioacuten descrita por el pro-blema

El objetivo de este artiacuteculo es doble Por un lado revisaremos los modeloscognitivos de resolucioacuten de problemas que incluyen esta comprensioacuten situacio-nal como parte del proceso de resolucioacuten y los estudios empiacutericos que han com-probado la validez de esos modelos En segundo lugar propondremos una seriede conclusiones y posibles orientaciones para la praacutectica educativa

Para ello hemos estructurado este trabajo en cuatro partes diferentes En laprimera de ellas delimitamos los diferentes tipos de problemas a los que losalumnos pueden enfrentarse y cuaacutel es la influencia de la aplicacioacuten del conoci-miento situacional en cada uno de ellos Una vez delimitada esta cuestioacutenexpondremos brevemente en segundo lugar queacute modelos teoacutericos han sido pro-puestos para justificar la implicacioacuten de la comprensioacuten situacional en el procesode resolucioacuten En tercer lugar describiremos los estudios empiacutericos que ha com-probado la validez de estos modelos teoacutericos aportando al mismo tiempo clavespara potenciar esta comprensioacuten situacional Finalmente proponemos una seriede conclusiones a la luz de la interpretacioacuten de los resultados obtenidos sobre laimplicacioacuten de la comprensioacuten situacional en la resolucioacuten de problemas y porlo tanto de la validez de los modelos teoacutericos asiacute como una serie de implicacio-nes educativas

Tipos de problemas

Para aprender a resolver problemas a lo largo de su trayectoria escolar unalumno habraacute de enfrentarse a diferentes tareas matemaacuteticas Para resolver algu-nas de ellas necesitaraacute conocimientos exclusivamente matemaacuteticos mientras quepara resolver otras ademaacutes de esos conocimientos matemaacuteticos necesitaraacute otrosacerca del mundo real adquiridos a traveacutes de su experiencia vital De esta mane-ra los problemas matemaacuteticos que los estudiantes deben resolver en las tareas

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escolares pueden clasificarse en un continuo en funcioacuten de la relevancia queadquiere para resolverlos la comprensioacuten situacional

Problemas verbales realistas

Los problemas de aplicacioacuten realista o auteacutenticos problemas son aquellos quereproducen fielmente situaciones del mundo real Se trata de problemas quenecesitan de un razonamiento basado en el conocimiento sobre el mundo realDe ahiacute que la utilizacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos pueda incluso conducira soluciones que siendo correctas desde el punto de vista matemaacutetico carezcanrealmente de sentido Verschaffel De Corte y Lassure (1994) proponen una clasi-ficacioacuten en cinco categoriacuteas que hemos reorganizado en la tabla I

Problemas verbales contextualizados que requieren conocimientos matemaacuteticos

Los ldquostory word problemsrdquo son problemas verbales en los que se contextuali-zan en una situacioacuten problemaacutetica que ha de resolverse a traveacutes de operaciones

63Resolucioacuten de problemas y compresioacuten situacional S Vicente y J Orrantia

TABLA ITipos de problemas realistas adaptado de Verschaffel et al (1994)

Razonamiento Ejemplos

Juntar o separar conjuntos Juan tiene 5 amigos y Pedro tiene 6 amigos Juan y Pedroque pueden tener deciden hacer una fiesta juntos Ellos invitan a todos suselementos comunes amigos Todos los amigos estaacuten presentes iquestCuaacutentos amigos

hay en la fiesta

Roberto y Alicia van a la misma escuela Roberto vive a 17kiloacutemetros de la escuela y Alicia a 8 km iquestA queacute distanciavive Roberto de Alicia

Considerar elementos Roberto ha comprado 4 tablones de 25 m cada uno Cuaacutentos relevantes que no tablones de 1 m pueden sacar de estos tablonesaparecen expliacutecitamenteen el problema Un hombre quiere tener una cuerda los suficientemente larga

para unir dos postes separados entre si 12 metros pero solotiene trozos de cuerda de 15 metros iquestCuaacutentos trozosnecesitariacutea juntar para hacer la cuerda lo suficientemente largapara unir las estacas

Sumar o restar 1 al Si la escuela de Villaseco se inauguroacute el 1 de enero de 1964 yresultado estamos en el antildeo 2007 iquestcuaacutentos antildeos lleva abierta la escuela

Interpretar el resto de una 450 soldados deben ser transportados a su lugar dedivisioacuten no exacta entrenamiento En cada autobuacutes pueden entrar 36 soldados

iquestCuaacutentos autobuses seraacuten necesarios

El abuelo da a sus 4 nietos una caja con 18 globos pararepartir entre ellos iquestCuaacutentos globos le toca a cada uno

Decidir una solucioacuten de Juan corre los 100 metros en 17 segundos iquestCuaacutento tardaraacuteproporcionalidad directa en correr 1 kiloacutemetroo no

Este recipiente se estaacute llenando con un grifo a un ritmoconstante Si el agua tiene una profundidad de 4 cm tras 10segundos iquestcuaacutenta profundidad tendraacute despueacutes de 30segundos (este problema se acompantildea por un recipientede forma coacutenica)


algebraicas o aritmeacuteticas A diferencia de los problemas realistas es posible (almenos en determinadas ocasiones) resolverlos sin apelar a conocimientos nomatemaacuteticos Sin embargo determinados modelos teoacutericos sostienen que tam-bieacuten es necesario comprender la situacioacuten descrita por el problema para resolver-lo correctamente y generar un modelo de la situacioacuten del problema como vere-mos maacutes adelante

Los problemas algebraicos proponen situaciones relativamente complejascuya resolucioacuten implica el manejo de expresiones compuestas de constantes yvariables (nuacutemero y letras) Siguiendo a Mayer (1981) pueden clasificarse enocho familias de las cuales las maacutes relevantes y que comprenden la mayoriacutea deestos problemas son los problemas de razoacuten (cantidad por tiempo coste por uni-dad parte del coste total y cantidad de cantidad) de geometriacutea (como los proble-mas de aacutereas) y de estadiacutestica La tabla II propone un ejemplo de cada uno deellos

Los problemas aritmeacuteticos por su parte son maacutes sencillos que los algebraicosy se resuelven mediante la aplicacioacuten de operaciones aritmeacuteticas sencillas Estosproblemas pueden clasificarse en funcioacuten de su estructura matemaacutetica Siguien-do a Heller y Greeno (1978) podemos establecer una distincioacuten entre problemasde cambio (aquellos en los que una cantidad inicial sufre un cambio y da lugar auna cantidad final) de comparacioacuten (en los que una cantidad referente se compa-ra con otra dando lugar a un conjunto diferencia entre ambos) y de combinacioacuten(en los que dos cantidades o partes se combinan para dar lugar a una tercera otodo) Algunos autores antildeaden una cuarta categoriacutea de igualacioacuten que suponeuna mezcla de las estructuras de comparacioacuten y cambio ya que se formulan enteacuterminos de que cantidad hay que antildeadir a un conjunto (referente) para igualarloa otro conjunto (comparado) En la siguiente tabla se ofrecen ejemplos de cadauno de estos subtipos


TABLA IIEjemplos de los principales tipos de problemas de aacutelgebra propuestos por Mayer (1981)

Tipo de problema Ejemplos

De razoacuten Una hormiga gigante estaacute aterrorizando a la ciudad de SanFrancisco Viaja hacia el este en direccioacuten a Detroit que estaacutea dos mil cuatrocientas millas de distancia a una velocidadde cuatrocientas millas por hora El ejeacutercito se percata de estouna hora despueacutes y enviacutea un helicoacuteptero al oeste desde Detroita seiscientas millas por hora para interceptar a la hormigaSi la hormiga salioacute a las 2 pm a queacute hora colisionaraacuten lahormiga y el helicoacuteptero (Tomado de Nathan Kintsch yYoung 1992 p 349)

De geometriacutea Un sentildeor comproacute un solar cuadrado en el centro del pueblo de36 metros de lado para hacerse una vivienda Pagoacute 112750euros el metro cuadrado iquestCuaacutento dinero ha invertido en elsolar

De estadiacutestica Un juego consiste en tirar dos dados Si la suma de sus caras esmayor o igual a 10 se ganan 30 ceacutentimos si estaacute comprendidaentre 7 y 9 seganan 10 ceacutentimos y para cualquier otroresultado no se gana nada iquestCuaacutel deberiacutea ser el precio de laapuesta para que la ganancia esperada de la banca sea de50 ceacutentimos


Resolucioacuten de operaciones aritmeacuteticas

En el polo opuesto a los problemas realistas podriacuteamos situar aquellos ejerci-cios que no se asocian a ninguacuten contexto situacional concreto sino que uacutenica-mente requieren la resolucioacuten de operaciones aritmeacuteticas del tipo ldquo9 + 8rdquoDiversos trabajos han propuesto modelos evolutivos de resolucioacuten de operacio-nes aritmeacuteticas baacutesicas en las que uacutenicamente influye la adquisicioacuten de conoci-miento matemaacutetico (para una revisioacuten ver Baroody 1993 1999 Baroody yGannon 1984 Baroody Wilkins y Tiilikainen 2003 Canobi Reeve y Patti-son 2002 Fuson 1988 1992 Fuson Secada y Hall 1983 Resnick 19831989 1992 Sophian Harley y Martin 1995)

Una vez delimitadas las principales tareas matemaacuteticas a las que se enfrenta-raacuten los alumnos a lo largo de la Educacioacuten Primaria describiremos en lassiguientes paacuteginas los modelos teoacutericos que se han propuesto desde la Psicologiacuteacognitiva para explicar los procesos mentales implicados en su resolucioacuten

Modelos teoacutericos

La resolucioacuten de problemas ha atraiacutedo la atencioacuten tanto de educadores comode psicoacutelogos cognitivos desde hace muchos antildeos Desde el aacutembito de la Psicolo-giacutea Cognitiva se han propuesto una serie de modelos teoacutericos para explicar losprocesos cognitivos implicados en la resolucioacuten de problemas y que puedencategorizarse en dos grandes grupos en funcioacuten del tipo de proceso cognitivo enel que se han centrado El primero de ellos ha aportado informacioacuten sobre coacutemolos alumnos comprenden la estructura matemaacutetica de los problemas y coacutemo estacomprensioacuten matemaacutetica les permite determinar queacute operacioacuten aritmeacutetica esnecesaria para resolverlo (para una revisioacuten de estos modelos ver Orrantia2003) Por otro lado un segundo conjunto de estudios se ha interesado en com-probar si la comprensioacuten de la situacioacuten en la que se inserta el problemamediante la activacioacuten y la aplicacioacuten de conocimientos previos sobre el mundoreal influye en el proceso de resolucioacuten y si es asiacute en queacute grado lo hace Sinembargo mientras que necesidad de comprender la estructura matemaacutetica delos problemas ha sido ampliamente documentada los modelos y estudios dedi-cados a documentar la necesidad de entender la situacioacuten denotada por el proble-


TABLA IIIEjemplos de los tres tipos de problemas propuestos por Heller y Greeno (1978)


De cambio Pedro queriacutea renovar la instalacioacuten eleacutectrica de su casaPedro teniacutea algunos metros de cable que le habiacutean sobradode una instalacioacuten anterior Como Pedro se dio cuenta de queesos metros de cable no seriacutean suficientes para toda lainstalacioacuten comproacute 75 metros de cable maacutes Despueacutes decomprar el cable teniacutea 117 metros Entonces Pedro sepreguntoacute iquestCuaacutentos metros de cable teniacutea al principio(Adaptado de Vicente Orrantia y Verschaffel en prensa)

De comparacioacuten Juan y Pedro han ido a una fiesta de cumpleantildeos Juan tiene8 caramelos y Pedro 5 menos iquestCuaacutentas tiene Juanito

De combinacioacuten Luis y Andreacutes tienen 9 caramelos entre los dos 3 de ellosson de Luis iquestCuaacutentos tiene Andreacutes


ma ha recibido menor atencioacuten Es precisamente en este segundo tipo en el quenos centraremos en esta revisioacuten

La necesidad de crear un modelo de la situacioacuten del problema aplicando paraello el conocimiento del mundo real que posea el alumno ha sido justificadadesde diferentes modelos teoacutericos para cada uno de los tipos de problemas Todosellos tanto los propuestos para los problemas realistas como para los problemasalgebraicos y aritmeacuteticos se sustentan en la idea de que antes de generar unarepresentacioacuten mental de la estructura matemaacutetica del problema es necesariorepresentar previamente la situacioacuten propuesta por el mismo

De esta manera en primer lugar para los problemas realistas VerschaffelGreer y De Corte (2000) proponen un modelo seguacuten el cual para resolver el pro-blema el sujeto primero ha de comprender la situacioacuten descrita por el proble-ma despueacutes debe construir un modelo matemaacutetico que recoja los elementosesenciales de esa situacioacuten problemaacutetica y de las relaciones existentes entre ellospara luego extraer las implicaciones que se derivan de ese modelo matemaacuteticopara interpretar los resultados obtenidos y por uacuteltimo evaluar esta interpreta-cioacuten respecto al modelo de la situacioacuten previamente generado y comunicar elresultado del proceso de resolucioacuten

Por ejemplo tomando el problema de los autobuses (Tabla I) el sujeto enprimer lugar ha de comprender que todos los soldados han de ser transportadosque debe haber suficientes autobuses que cada autobuacutes tiene un liacutemite de pla-zas que en cada autobuacutes no puede ir maacutes de ese nuacutemero maacuteximo de personashellipEn segundo lugar de ese modelo de la situacioacuten debe deducir que si el total desoldados son 450 y que en cada autobuacutes caben 36 el nuacutemero de autobuses nece-sario vendraacute dado por la divisioacuten de 450 entre 36 dando como resultado 125Despueacutes el alumno ha de interpretar este resultado en funcioacuten del modelo de lasituacioacuten y percatarse de que el nuacutemero de autobuses ha de ser un nuacutemero ente-ro y de que es necesario transportar a todos los soldados de manera que la solu-cioacuten correcta no es 125 sino 13 autobuses Una vez realizado este razonamientoel alumno seraacute ya capaz de dar una respuesta al problema

Esta necesidad de generar un modelo de la situacioacuten cualitativa del problemaantes de extraer su esencia matemaacutetica subyace tambieacuten a los modelos teoacutericosrelativos a la resolucioacuten de los problemas algebraicos y aritmeacuteticos Para la reso-lucioacuten de los primeros Nathan Kintsch y Young (1992) proponen un modeloteoacuterico seguacuten el cual para resolver el problema en primer lugar el sujeto ha deleer y comprender el enunciado Una vez comprendido debe generar tanto unarepresentacioacuten cualitativa del problema (modelo de la situacioacuten) mediante el usode sus conocimientos previos sobre el mundo real como un modelo algebraicodel problema (modelo matemaacutetico) utilizando conocimientos previos de tipoalgebraico Retomando el problema de la hormiga el sujeto en primer lugardebe crear una representacioacuten mental de los personajes en este caso la hormiga yel helicoacuteptero situaacutendolos en la direccioacuten adecuada y recreando una distanciaentre siacute de acuerdo con la descripcioacuten de la situacioacuten propuesta por el problemaUna vez creada esta representacioacuten el sujeto debe elegir la estructura matemaacuteti-ca que de adecue a la situacioacuten planteada (en este caso cantidad X tiempo) ysituar los datos del problema dentro de esa estructura para en un uacuteltimomomento ejecutar las operaciones necesarias para resolverlo

En el caso de los problemas aritmeacuteticos dos modelos plantearon la necesidadde crear una representacioacuten mental de la situacioacuten del problema El primero deellos fue el Situation Problem Solver (en adelante SPS) de Reusser (1988) unmodelo computacional (esto es un programa informaacutetico capaz de resolver losproblemas a partir de una serie de paraacutemetros) basado en una propuesta anteriordesarrollada por Kintsch y Greeno (1985) Mientras que el modelo de Kintsch y



Greeno resolviacutea los problemas generando dos niveles representacionales diferen-tes ndashun texto base proposicional y un modelo de la situacioacuten estrechamente rela-cionado con la estructura matemaacutetica del problemandash el de Reusser es capaz degenerar verdaderas representaciones cualitativas de la situacioacuten superando asiacute lalimitacioacuten principal del modelo de Kintsch y Greeno (1985) y acercaacutendose a laesencia de los propuestos por Verschaffel et al (2000) y Nathan et al (1992)Reusser propone que entre el texto base y el modelo matemaacutetico del problema esnecesario generar el Modelo Episoacutedico de la Situacioacuten (en adelante MES) decaraacutecter estrictamente cualitativo Seguacuten este modelo el proceso de resolucioacutenpuede dividirse en cinco pasos que se ilustran en la figura 1

En un primer momento el modelo comprende el texto a traveacutes de la cons-truccioacuten del texto base esto es de la representacioacuten proposicional del texto delproblema en los mismos teacuterminos que el modelo de Kintsch y Greeno (1985)En un segundo momento el modelo genera el MES una representacioacuten cuali-tativa de la estructura temporal y funcional de las acciones y situaciones que sedescriben en el problema y en el que tambieacuten se incluye la representacioacuten de losagentes las acciones y las relaciones entre los eventos que evoca el problemaPara generar esta representacioacuten de manera similar a cualquier otro tipo detexto el modelo utiliza la informacioacuten contenida en el texto base y en el caso deque sea necesario determinadas inferencias a partir de sus conocimientos previosen relacioacuten con el campo de conocimiento de referencia (van Dijk y Kintsch1983) Reusser considera que la generacioacuten de este modelo cualitativo de lasituacioacuten es imprescindible para el proceso de resolucioacuten y sostiene que hastaque el modelo no ha generado el MES la comprensioacuten no es lo suficientementeprofunda como para ejecutar los pasos de abstraccioacuten que dan lugar a la matema-tizacioacuten del problema y a la posterior reduccioacuten del MES al modelo matemaacuteti-co del problema esto es a la representacioacuten mental de su estructura matemaacutetica

En tercer lugar el modelo construye una representacioacuten de la estructuramatemaacutetica del problema (el ldquomodelo del problemardquo) aplicando su conocimien-to matemaacutetico Una vez activado el conocimiento matemaacutetico necesario elmodelo proyecta el MES sobre eacuteste de manera que las relaciones situacionalesrepresentadas en el MES se transformen en relaciones matemaacuteticas que permi-tan dar respuesta a la pregunta formulada por el problema

En el cuarto momento del proceso el modelo reduce el modelo del problema asu esencia matemaacutetica abstracta en forma de ecuacioacuten matemaacutetica Por uacuteltimoel modelo genera una respuesta volviendo al modelo de la situacioacuten y dando unsignificado semaacutentico a la respuesta del problema

Volviendo al ejemplo de problema aritmeacutetico de cambio planteado en latabla III el SPS comenzariacutea resolviendo el problema mediante la transfor-macioacuten del texto del problema en un conjunto de proposiciones Tras ello elmodelo creariacutea el MES en el que se representariacutea la secuencia temporal dela situacioacuten (al principio teniacutea algo de cable luego comproacute maacutes cable y alfinal tiene otra cantidad de cable) la estructura causal (necesitaba cable por-que queriacutea cambiar la instalacioacuten comproacute maacutes porque no teniacutea suficiente) ylas intenciones de los personajes (queriacutea cambiar la instalacioacuten eleacutectrica desu casa) Una vez creado este nivel representacional el modelo extrae su esen-cia matemaacutetica y proyecta esta informacioacuten cualitativa en un modelo mate-maacutetico del problema consistente en un esquema de cambio con tres huecosuno para cada conjunto Tras ello abstrae la ecuacioacuten del problema (X + 75= 117) y aplica el conocimiento matemaacutetico para ejecutar la operacioacuten (eneste caso restar)

De este modo la clave del modelo SPS es que el proceso de matematizacioacutendel problema ya no se basa directamente en el texto base del problema sino que



Cultura y Educacioacuten 2007 19 (1) pp 61-8568FIGURA 1

Proceso de resolucioacuten de problemas seguacuten el modelo SPS de Reusser (1988)Adaptado de Staub y Reusser (1995)

TEXTO DELPROBLEMA

TEXTO BASE

Anaacutelisis de lasituacioacuten guiado con

preguntas

MODELOEPISOacuteDICO DELA SITUACIOacuteN

MODELO EPISOacuteDICO DEL

PROBLEMA

MODELOMATEMAacuteTICO DEL

PROBLEMA

ECUACIOacuteN DE LASOLUCIOacuteN

OperacionesAritmeacuteticas

formales

Operaciones deconteo

RESPUESTANUMEacuteRICA

FRASE DELRESULTADO

Anaacutelisis Codificacioacuten

Reduccioacuten Abstraccioacuten

Generacioacuten depreguntas

Anaacutelisis de la situacioacuten

Comprensioacuten del texto

Comprensioacuten de la situacioacuten

Matematizacioacuten

Caacutelculo

Interpretacioacuten delresultado


Interpretacioacuten semaacutentica


se extrae del MES del que en un momento posterior se deduce la estructuramatemaacutetica del problema

El segundo modelo computacional que considera la necesidad de aplicar elconocimiento sobre el mundo real en la resolucioacuten de problemas es el desarrolla-do por Kintsch (1988) Este modelo complementoacute el modelo de Reusser (1988)al proponer una explicacioacuten alternativa a la influencia del conocimiento sobre elmundo real Al igual que el de Kintsch y Greeno (1985) este modelo resuelvelos problemas generando dos niveles representacionales texto base y modelo delproblema pero de manera radicalmente diferente al modelo de Kintsch y Gree-no (1985) En un primer momento de Construccioacuten tanto en el texto basecomo en el modelo de la situacioacuten no se generan uacutenicamente las proposicionespresentes en el texto del problema sino tambieacuten las que procedentes del conoci-miento previo sobre el mundo real que posea el sujeto1 estaacuten relacionadas con elenunciado del problema (siguiendo el ejemplo de problema propuesto estasproposiciones podriacutean ser del tipo ldquola instalacioacuten estaacute anticuadardquo ldquoPedro es elec-tricistardquo etceacutetera) En un segundo momento de Integracioacuten se eliminan las pro-posiciones con bajo nivel de activacioacuten esto es las que menos relacionadas estaacutencon el resto y se genera finalmente una representacioacuten en la que soacutelo se preservanlas proposiciones altamente relacionadas entre siacute independientemente de si for-maban parte del enunciado del problema o si fueron inferidas desde el conoci-miento previo Asiacute esos conocimientos sobre el mundo del sujeto contribuyen aque el alumno represente (y por lo tanto comprenda) los problemas de matemaacute-ticas

En siacutentesis desde el aacutembito de la Psicologiacutea Cognitiva se han propuestomodelos que justifican la importancia de la comprensioacuten cualitativa de la situa-cioacuten en la que el problema se halla inserto para el proceso de resolucioacuten tanto delos problemas realistas (Verschaffel et al 2000) como para los problemas deaacutelgebra (Nathan et al 1992) como para los problemas aritmeacuteticos (Kintsch1988 1998 Reusser 1988) En esencia todos estos modelos proponen la necesi-dad de generar un modelo cualitativo de la situacioacuten del problema esto es unarepresentacioacuten de la situacioacuten descrita por el problema para lo cual es necesarioactivar conocimientos previos acerca del mundo real y del sentido comuacuten

Estudios empiacutericos

Los modelos teoacutericos que acabamos de describir son claros al sentildealar la necesi-dad de crear un modelo cualitativo de la situacioacuten para resolver problemas nosolo realistas sino tambieacuten algebraicos y aritmeacuteticos Con el objetivo de com-probar la importancia de la activacioacuten de conocimientos sobre el mundo realpara la creacioacuten de modelos de la situacioacuten en el rendimiento de los alumnos sehan desarrollado una serie de estudios empiacutericos que en unas ocasiones hancorroborado las conclusiones derivadas de esos modelos mientras que en otroscasos han ofrecido resultados menos acordes con ellos

Descripcioacuten de los estudios empiacutericos

Comenzando por los problemas realistas multitud de estudios han documen-tado el fenoacutemeno de la ldquosuspensioacuten del sentidordquo en la resolucioacuten de problemasrealistas (Caldwell 1995 Carpenter Lindquist Matthews y Silver 1983 Greer1993 Hidalgo 1997 Radatz 1983 Renkl 1999 Reusser y Stebler 1997Saumlljouml y Wyndhamn 1990 Semandeni 1995 Silver Shapiro y Deutch 1993Verschaffel De Corte y Lassure 1999 Verschaffel et al 1994 Yoshida Vers-chaffel y De Corte 1997) En todos estos estudios la gran mayoriacutea de los alum-nos resolvieron este tipo de problemas simplemente ejecutando las operaciones



matemaacuteticas necesarias sin realizar ninguacuten tipo de consideracioacuten sobre la ade-cuacioacuten de la respuesta obtenida a la situacioacuten real propuesta De esta maneraauacuten habiendo generado un buen modelo matemaacutetico del problema los alumnosomitiacutean deliberadamente las implicaciones derivadas de la aplicacioacuten de suconocimiento sobre el mundo real al dar una respuesta al problema lo cualimpediacutea la creacioacuten de un modelo cualitativo adecuado y les llevaba a aportarrespuestas que careciacutean de sentido desde el punto de vista situacional

En cuanto a los problemas de aacutelgebra dos estudios instruccionales (Jonassen2003 Nathan et al 1992) avalan la eficacia de promover la generacioacuten de unmodelo mental cualitativo en la resolucioacuten de problemas de aacutelgebra Nathan etal (1992) disentildearon una aplicacioacuten informaacutetica tutorial denominada ldquoAnima-terdquo basada en el modelo teoacuterico que sentildealamos unas liacuteneas maacutes arriba Esta apli-cacioacuten implementada para la resolucioacuten de problemas de aacutelgebra de razoacuten enprimer lugar pediacutea al alumno que generase una representacioacuten graacutefica expliacutecitadel modelo de la situacioacuten del problema seleccionando personajes de entre unconjunto de pequentildeos dibujos que los representaban y orientando cada uno deellos en una direccioacuten determinada de acuerdo con la situacioacuten propuesta por elproblema Tras ello pediacutea al alumno que seleccionase una representacioacuten esque-maacutetica de la estructura matemaacutetica (en este caso algebraica) del problema Des-pueacutes proporcionaba un viacutenculo entre el modelo de la situacioacuten y el modelo delproblema por medio de una animacioacuten que integrando el modelo de la situacioacuteny el modelo matemaacutetico del problema ilustraba las acciones de los personajesindicadas por el sujeto en su representacioacuten del problema La figura 2 representaeste proceso

Por otra parte Jonassen (2003) desarrolloacute una aplicacioacuten informaacutetica similara la de Nathan et al (1992) que compartiacutea la misma idea y cuyo funcionamientoera muy similar si bien en este caso el modelo de la situacioacuten que el sujeto gene-raba al manipular los datos se mostraba al sujeto a traveacutes de imaacutegenes estaacuteticasen lugar de animaciones Tanto los resultados de la implementacioacuten del progra-ma de Nathan et al (1992) como los del de Jonassen (2003) indicaron la altaefectividad que este tipo de programas tiene sobre el acierto con el que los suje-tos resuelven los problemas a los que se enfrentan

Los estudios empiacutericos que acabamos de describir apuntan a que tanto losproblemas realistas como los problemas de aacutelgebra requieren del sujeto ciertoesfuerzo de interpretacioacuten maacutes allaacute de lo matemaacutetico para poder ser resueltos coneacutexito iquestQueacute ocurre con los problemas aritmeacuteticos Determinados modelos teoacuteri-cos claacutesicos (Briars y Larkin 1984 Riley Greeno y Heller 1983 tambieacutenKintsch y Greeno 1985) sostienen que es posible que estos problemas puedanresolverse uacutenicamente utilizando conocimientos matemaacuteticos No obstantecomo ya hemos sentildealado los modelos maacutes recientes de resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos (Kintsch 1988 Reusser 1988) discrepan de estos modelos claacutesicos ysostienen que la generacioacuten de un modelo de la situacioacuten con informacioacuten nosoacutelo matemaacutetica sino del mundo real es un paso necesario para la resolucioacuten coneacutexito de los problemas

iquestCuaacutel es entonces la influencia de la creacioacuten de un modelo de la situacioacuten enla resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos Para responder a esta cuestioacuten se handesarrollado una serie de estudios empiacutericos que a traveacutes de la reescritura de losenunciados de los problemas tratan de comprobar si incluyendo informacioacuten detipo situacional en el texto del problema los alumnos son capaces de generar unmodelo de la situacioacuten maacutes completo y con ello resolverlo con maacutes eficacia

El trabajo pionero en el campo de la reescritura de problemas es el desa-rrollado por Hudson (1983) Este autor sostiene que los problemas de com-paracioacuten son maacutes difiacuteciles que los de cambio o combinacioacuten porque la com-



prensioacuten del termino comparativo ltmas quegt es problemaacutetica (Hudson1983 p 84) Para sortear esta dificultad el autor propuso una tarea que hasido frecuentemente replicada (pe De Corte Verschaffel y De Win 1985Fan Mueller y Marini 1994) y que se basa en la sustitucioacuten de la preguntatiacutepica de los problemas de comparacioacuten con la diferencia desconocida (ldquoAquiacutehay algunos paacutejaros y algunos gusanos iquestCuantos paacutejaros maacutes que gusanoshayrdquo) por otra en la que se evita ese teacutermino comparativo (ldquoAquiacute hay algu-nos paacutejaros y algunos gusanos Supoacuten que los paacutejaros compiten entre ellos ycada uno intenta coger un gusano iquestTendraacuten todos los paacutejaros un gusanoiquestCuaacutentos paacutejaros no tendraacuten un gusanordquo) Los resultados de la aplicacioacuten deesta tarea en alumnos de Educacioacuten Infantil y de primero de Primaria mos-traron que los nintildeos del estudio resolviacutean con mucha maacutes facilidad el proble-ma reescrito que su versioacuten ldquoestaacutendarrdquo Hudson atribuyoacute los resultados aque en los problemas ldquoestaacutendarrdquo los nintildeos interpretaron de manera erroacuteneala expresioacuten ldquoiquestCuantos maacutes quehelliprdquo Sin embargo Staub y Reusser (1995)proponen una explicacioacuten alternativa esta reescritura ademaacutes de modificarlas caracteriacutesticas linguumliacutesticas del enunciado del problema cambiaba el con-texto situacional que envuelve el problema hacieacutendolo maacutes dinaacutemico ycomprensible para los alumnos al estar maacutes relacionados con su experienciavital De esta manera estos autores vieron en estos resultados positivos un


FIGURA 2Representacioacuten esquemaacutetica del modelo ANIMATE adaptado de Nathan et al (1992)

MODELO DE LASITUACIOacuteN

PROBLEMA

MODELO CONCEPTUALDEL PROBLEMA

construye

Esquema algebraicoConocimiento del mundo

real

iquestEs correcto

iquestQueacute ha ido mal

Red de trabajo

Relaciones y cantidades

Animacioacuten

Coordinacioacuten

ANIMATE


claro ejemplo de coacutemo modificando el contexto situacional descrito por elproblema los alumnos son capaces de resolverlos de manera maacutes efectiva

Un segundo estudio fue el realizado por Cummins Kintsch Reusser y Wei-mer (1988) En este estudio los autores toman como base lo que denominabanproblemas ldquoempobrecidosrdquo similares a los que hemos denominado ldquoestaacutendarrdquoen el estudio de Hudson (1983) para elaborar a partir de ellos pequentildeas histo-rias ldquoque muestran situaciones plausibles y realistasrdquo (p 427) de entre 18 y 31proposiciones de extensioacuten2 seguacuten su anaacutelisis proposicional Un ejemplo deestos problemas reescritos es el siguiente

Bill lleva muchas cosas en sus bolsillos Ademaacutes tiende a perder cosas todo el tiempo Hoy decamino a su casa se le han caiacutedo 3 conchas Cuando vacioacute sus bolsillos ha encontrado soacutelo 6 con-chas Bill estaba triste porque su padre le habiacutea dado esas conchas iquestCuaacutentas conchas teniacutea alprincipio (Adaptado de Cummins et al 1988 p 429)

Los resultados indicaron en contra de lo que los autores habiacutean hipotetizadoque los problemas reescritos no suscitaban niveles de acierto significativamentesuperiores a los de los problemas ldquoempobrecidosrdquo en los nintildeos mas pequentildeos delestudio (de 2ordm curso)

El tercero de los estudios que se enmarcan en este conjunto de trabajos quehan efectuado reescrituras que facilitan la creacioacuten de un modelo de la situacioacutendel problema es el de Davis-Dorsey Ross y Morrison (1991) Este estudio inclu-yoacute dos tipos de reescritura una disentildeada para mejorar la comprensioacuten de la situa-cioacuten del problema y otra para mejorar la comprensioacuten matemaacutetica de problemasde cambio combinacioacuten y comparacioacuten El primer tipo de reescritura difiere delos desarrollados por Hudson (1983) y por Cummins et al (1988) ya que en esteestudio la reescritura situacional consistioacute en personalizar los problemas sustitu-yendo los nombres de los personajes implicados en el problema por los de lospropios alumnos e introduciendo informacioacuten relacionada con ellos obtenida deun cuestionario sobre sus gustos personales nombres de amigos actividadesfavoritas etceacutetera Por ejemplo los autores tomaban un problema de combina-cioacuten como el siguiente ldquoJuan ha caminado 35 de kiloacutemetro para ver una peliacutecu-la Despueacutes ha caminado a casa de Miguel Juan ha caminado en total 45 dekiloacutemetro iquestCuanto ha caminado Juan desde el cine hasta la casa de Miguelrdquo

Basaacutendose en este problema los autores tomaban la informacioacuten proceden-te del cuestionario y la incluiacutean en eacutel de manera que el problema quedabareescrito de la siguiente manera ldquolaquoMejor amigoraquo ha caminado 35 de kiloacuteme-tro para ver laquopeliacutecula favoritaraquo Despueacutes ha caminado a casa de laquootro amigoraquolaquoMejor amigoraquo ha caminado 45 de kiloacutemetro en total iquestCuanto caminolaquomejor amigoraquo desde el cine hasta la casa de laquootro amigoraquordquo Davis-Dorsey etal 1991 p 63

El segundo tipo de reescritura introducido por los autores y que no nosdetendremos a explicar aquiacute resaltaba la estructura matemaacutetica del problema(para una descripcioacuten maacutes completa ver Vicente Orrantia y Verschaffel enprensa) Los resultados indicaron que la personalizacioacuten de los problemas incre-mentoacute el rendimiento de los nintildeos de 5ordm tanto en combinacioacuten con la reescrituramatemaacutetica como de manera independiente y en los nintildeos de 2ordm soacutelo en combi-nacioacuten de la reescritura matemaacutetica Los autores atribuyeron los resultados obte-nidos en los problemas personalizados a que estos problemas generaron unamayor motivacioacuten intriacutenseca que llevoacute a los alumnos a codificar mejor la infor-macioacuten y a procesarla de manera maacutes faacutecil En definitiva la personalizacioacuten delos problemas incrementoacute la significatividad de la tarea y aumentoacute la conectivi-dad entre el texto del problema y los esquemas mentales del nintildeo



Otro estudio realizado por Stern y Lehrndorfer (1992) propuso una reescri-tura diferente en este caso soacutelo para problemas de comparacioacuten Estos autoresbuscaban ldquomanipular el contexto situacional pero no las formulaciones verbalesde los problemasrdquo (Stern y Lehrndorfer 1992 p 262) para lo cual reescribieronlos enunciados de los problemas de manera que manteniacutean el texto del problemainalterado y le antildeadiacutean precediendo al problema un contexto situacional quepodiacutea ser de dos tipos En primer lugar este contexto podiacutea ser una situacioacuten decompetitividad entre los dos personajes

Pedro es el hermano mayor de Laura Como es mayor su habitacioacuten es mayor y sus juguetesson maacutes caros que los de Laura Pedro ademaacutes tiene una paga mayor que la de Laura y tiene unabici nueva mientras que la de Laura es la bici antigua de Pedro Cuando Pedro hace sus deberesLaura hace unos cuantos garabatos Pedro tiene 9 laacutepices Laura tiene 4 laacutepices iquestCuaacutentos laacutepicestiene Laura menos que Pedro Stern y Lehrndorfer 1992 p 264

En segundo lugar el contexto situacional podiacutea no hacer alusioacuten a ninguacutencontexto de competitividad

Berta y Lidia estaacuten en la misma clase en el colegio Su profesora es la Sra Aacutelvarez Ella hacemuchas cosas agradables con los nintildeos Ayer fueron al zoo Hoy estaacuten dibujando los animalesBerta tiene 6 laacutepices Lidia tiene 4 laacutepices iquestCuantos laacutepices tiene Lidia menos que Berta Sterny Lehrndorfer 1992 p 264

A su vez en los problemas precedidos de contextos competitivos la rela-cioacuten entre este contexto competitivo y el problema podiacutea ser de dos tipos decompatibilidad por ejemplo cuando en la pequentildea historia precedentequien poseiacutea el conjunto mayor era el personaje de maacutes edad o de incompa-tibilidad cuando se planteaba la relacioacuten inversa esto es siguiendo el ejem-plo anterior cuando el duentildeo del conjunto mayor en el problema era el per-sonaje de menor edad Los resultados del estudio apuntaban que cuando losproblemas iban precedidos por una historia competitiva resultaban maacutes faacuteci-les de resolver que si iban precedidos por un contexto neutro Ademaacutes den-tro de los contextos que proponiacutean una situacioacuten de competitividad fueronlos problemas precedidos por contextos compatibles los que los alumnosresolvieron con maacutes facilidad A partir de estos resultados los autores con-cluyeron que las dificultades que los nintildeos experimentan con frecuencia alresolver problemas de comparacioacuten son debidas a problemas para reconocerel contexto en el que aparece la situacioacuten de comparacioacuten lo cual a su vezhace que los nintildeos no activen el conocimiento matemaacutetico necesario pararesolver el problema De este modo situacutea sus resultados en la liacutenea de la teo-riacutea propuesta por Reusser (1988)

Por su parte Staub y Reusser (1992) realizaron un estudio en el que introdu-jeron 4 modificaciones en el enunciado del problema que produjeron cambiosimportantes en el grado de acierto con el que los nintildeos resolviacutean problemas arit-meacuteticos de cambio A diferencia del estudio de Davis-Dorsey et al (1991) en elque se crearon diferentes problemas para reescrituras diferentes en el estudio deStaub y Reusser (1992) se introdujeron varias modificaciones en el mismo pro-blema Las modificaciones propuestas por los autores fueron cuatro En primerlugar para explicitar la existencia de un conjunto inicial en los problemas decambio con el conjunto inicial desconocido los autores introdujeron una accioacutena traveacutes de un verbo de transferencia-ganancia (en lugar de un estado estaacutetico deposesioacuten) para que el nintildeo activara su conocimiento general sobre los objetos ylas posesiones En segundo lugar modificaron el orden en el que apareciacutean lasacciones de manera que en los problemas de este estudio la secuencia no coinci-diacutea con el orden natural de los acontecimientos En tercer lugar el protagonista



era el sujeto de todas las oraciones del enunciado del problema Por uacuteltimo seevito el uso de pronombres La tabla II muestra un ejemplo de este conjunto demodificaciones propuestas por Reusser comparados con los correspondientesproblemas ldquoestaacutendarrdquo

TABLA IVProblemas reescritos en el estudio de Staub y Reusser (1992) p 290

Cambio 1 Cambio 6

Joe teniacutea 3 canicas Joe teniacutea algunas canicasDespueacutes Tom le dio 5 canicas maacutes Despueacutes le dio 5 canicas a TomiquestCuaacutentas canicas tiene Tom ahora Ahora Tom tiene tres canicas

iquestCuaacutentas canicas teniacutea Tom al principio

Hoy Dane le dio 11 canicas a Susan Peter tiene ahora 4 manzanasAyer Dane se encontroacute 5 canicas Ayer Peter le dio 7 manzanas a MaryiquestCuaacutentas canicas tiene Dane ahora iquestCuaacutentas manzanas teniacutea Peter ayer

Los resultados indicaron que los problemas reescritos del estudio resultaronmaacutes difiacuteciles que los problemas ldquoestaacutendarrdquo Ademaacutes los autores sugeriacutean que elfactor maacutes influyente fue el segundo esto es la variacioacuten de la secuencia tempo-ral

En siacutentesis de estos cinco estudios empiacutericos (salvo del de Cummins et al1988) podriacutea deducirse que los resultados avalan la necesidad de crear un modelode la situacioacuten del problema empleando para ello los conocimientos previossobre el mundo real para resolver problemas aritmeacuteticos Sin embargo un anaacuteli-sis en profundidad de los resultados de estos trabajos nos permitiraacute comprobarque la mayoriacutea de los estudios muestran limitaciones que comprometen las con-clusiones a las que llegan sobre la necesidad de crear ese modelo de la situacioacutenpara resolver los problemas En las siguientes paacuteginas describiremos estas limita-ciones

Re-anaacutelisis de los estudios empiacutericos

Comenzando por el estudio de Hudson si seguimos al autor la reescritura erauacutetil porque permitiacutea eludir el teacutermino comparativo ldquoiquestCuaacutentoshellipmaacutes querdquo y sinos guiamos por el reanaacutelisis desarrollado por Staub y Reusser asumiremos queesta reescritura es eficaz porque propone un contexto situacional diferente maacutescomprensible para el alumno Sin embargo Vicente et al (en prensa) proponenuna tercera explicacioacuten al cambiar la pregunta del problema por la preguntaldquoiquestCuaacutentoshellip no tendraacutenrdquo Hudson estaba introduciendo una accioacuten dentro deuna estructura general de comparacioacuten Dicho de otro modo estaba transfor-mando la estructura matemaacutetica estaacutetica del problema de comparacioacuten a unaestructura que recoge una accioacuten dinaacutemica dentro de una estructura estaacuteticatransformando asiacute el problema de comparacioacuten en un problema de igualacioacutenmaacutes faacutecil de resolver ya que indica una accioacuten que el nintildeo puede interpretar paracomprender el problema y resolverlo correctamente (Fuson et al 1997)

En segundo lugar en el estudio de Stern y Lehndorfer (1992) es necesarioconsiderar queacute es lo que diferencia a los contextos comparativos de los contextosneutros y los contextos comparativos compatibles de los incompatibles Estadiferencia estriba en que la informacioacuten adicional comparativa ayuda al nintildeo adetectar la estructura matemaacutetica del problema mientras que los contextos neu-tros proponen una situacioacuten de la que no puede deducirse estructura matemaacutetica



alguna Asiacute las diferencias entre los contextos comparativos y los contextos neu-tros estriba en que los primeros como indicaban los autores preparan al alumnopara comprender la situacioacuten del problema pero tambieacuten su estructura matemaacute-tica mientras que los contextos neutros presentan al alumno una informacioacutenque describe un contexto situacional ldquoenriquecidordquo en teacuterminos de Cummins etal (1988) pero irrelevante para la tarea

En cuanto a las diferencias entre los contextos comparativos compatibles eincompatibles el razonamiento es similar al anterior en los contextos compara-tivos se le presenta informacioacuten uacutetil para determinar cuaacutel es el conjunto mayor ycuaacutel el menor que es la pregunta que el alumno ha de responder para resolver elproblema Sin embargo en los contextos incompatibles la informacioacuten sobre queacuteconjunto es mayor y cuaacutel es el menor no ayuda a responder a esa pregunta demanera que este contexto ayuda al alumno a determinar la estructura matemaacuteti-ca del problema pero no a determinar el rol matemaacutetico de los conjuntos esto esqueacute conjunto es el mayor y cuaacutel es menor

En definitiva al igual que en la reescritura propuesta por Hudson en el estu-dio de Stern y Lehndorfer los diferentes tipos de reescritura que surtieron efectotienen mucho que ver con la estructura matemaacutetica del problema si en el prime-ro sosteniacuteamos que la reescritura modificaba la estructura matemaacutetica en elsegundo hemos visto que la reescritura explicita esa estructura matemaacutetica Ade-maacutes los contextos compatibles sentildealan las relaciones matemaacuteticas entre los con-juntos de manera que podemos concluir que esta reescritura tiene que ver con elcontexto situacional del problema pero especialmente con el grado de explicita-cioacuten de la estructura matemaacutetica del problema y de los roles de los conjuntos

Prosiguiendo con nuestro re-anaacutelisis en el estudio de Davis-Dorsey et al(1991) la reescritura maacutes eficaz no estaacute relacionada tanto con la creacioacuten de unmodelo cualitativo de la situacioacuten como con la personalizacioacuten el problema locual tal y como sostienen los autores estaacute relacionado en mayor medida con lamotivacioacuten y por antildeadidura en el grado de activacioacuten del alumno y de la pro-fundidad en el procesamiento (ver Mayer Fennell Farmer y Campbell 2004)que con la creacioacuten de un modelo de la situacioacuten entendido eacuteste como la repre-sentacioacuten mental de la estructura temporal y causal del problema siguiendo aReusser (1988)

En cuanto al estudio de Staub y Reusser (1992) la reescritura mezcla modifi-caciones de diferentes tipos sintaacutecticas (rol del protagonista uso de pronom-bres) matemaacuteticas (explicitacioacuten del conjunto inicial) y situacionales (alteracioacutendel orden temporal de los acontecimientos) Ademaacutes como ya sentildealamos en sumomento se introducen todas las modificaciones a la vez de manera que losresultados tal y como sentildealan los autores soacutelo pueden ser especulativos Seguacutenlos autores la alteracioacuten del orden temporal influye claramente en el resultadopero el disentildeo del estudio es tan confuso que es necesario tomar con cautela lainterpretacioacuten de los resultados que aportan los autores

Para finalizar este tercer apartado de nuestra revisioacuten vamos a describir dosestudios recientes que han superado las limitaciones de los estudios previosEstos estudios son los realizados por Moreau y Coquin-Viennot (2003) y porVicente y colaboradores (Vicente 2006 Vicente et al en prensa)

El primero de estos trabajos el desarrollado por Moreau y Coquin-Vien-not (2003) trata de constatar la creacioacuten durante el procesamiento de unproblema aritmeacutetico del modelo matemaacutetico del problema por un lado ydel MES por otro Para ello las autoras reescribieron problemas de cambiode dos operaciones antildeadiendo sobre la estructura baacutesica del problema ndashInfor-macioacuten numeacuterica indispensable (INI) en teacuterminos de las autorasndash variostipos de informacioacuten adicional



ndash Eventos de iniciacioacuten (EI) Expresan sucesos que ldquoinicianrdquo o ldquocausanrdquo elevento mencionado en la siguiente frase generando asiacute cadenas o viacutenculoscausales entre los eventos descritos

ndash Informacioacuten del marco (IM) Aporta informacioacuten acerca del personaje elmarco y el tema de la historia y seguacuten las autoras facilita que el nintildeo pongaen marcha su conocimiento sobre el mundo real y maacutes concretamentesobre el campo de conocimiento referido en el texto

ndash Informacioacuten de explicacioacuten (EX) Son explicaciones que explicitan las rela-ciones o consecuencias de los eventos que aparecen de manera impliacutecita enel texto

ndash Informacioacuten temporal (TE) Se corresponde con expresiones temporales ocircunstanciales

ndash Informacioacuten narrativa (NA) Es informacioacuten superflua y descriptiva que noproporciona ninguna ayuda real a la comprensioacuten del enunciado ni a la reso-lucioacuten del problema

Hemos incluido en la descripcioacuten de los tipos de informacioacuten adicional unasiniciales entre pareacutentesis con el objetivo de que el lector pueda comprobar a queacutetipo de informacioacuten corresponde cada fragmento del ejemplo del problema rees-crito resultante que tomamos de las autoras y que presentamos a continuacioacuten

Un pastor estaacute en una montantildea (IM) El pastor quiere alimentar a sus ovejas (IM) El pastortiene un rebantildeo de 30 ovejas (INI) En su rebantildeo el pastor tiene una oveja negra y una ovejablanca de Escocia (NA) Cada antildeo (TE) se organiza un gran mercado en el pueblo (IE) El pas-tor compra algunas ovejas en el mercado (INI) Esto incrementa el tamantildeo de su rebantildeo (EX)Por la mantildeana (TE) el pastor se percata de la presencia de un oso en la montantildea (IE) La nochesiguiente (TE) el oso devora 12 ovejas (INI) Esto reduce el tamantildeo del rebantildeo (EX) Por lamantildeana (TE) el pastor cuenta sus ovejas (EX) Ahora hay 35 ovejas en el rebantildeo (INI) iquestCuaacuten-tas ovejas comproacute el pastor en el mercado Moreau y Coquin-Viennot (2003) p 114

Todos estos tipos de informacioacuten adicional se desarrollaron considerando elmodelo de Reusser (1988) para facilitar el anaacutelisis de la situacioacuten del problema yla creacioacuten del MES

A partir de estos problemas las autoras comprobaron si los nintildeos de 5ordmcurso generaban dos niveles complementarios de representacioacuten modelomatemaacutetico del problema y modelo episoacutedico de la situacioacuten Para ellosometieron a los alumnos a dos tareas la primera consistiacutea en seleccionar lainformacioacuten para hacer el problema lo maacutes corto posible sin que eacuteste perdie-ra su significado en la segunda se les pediacutea que seleccionaran la informacioacutenpara hacer el problema maacutes faacutecil de entender Con la primera de las tareas sebuscaban evidencias de la creacioacuten de un modelo matemaacutetico del problemapara lo cual los nintildeos soacutelo necesitariacutean seleccionar la informacioacuten numeacutericaindispensable prescindiendo del resto de la informacioacuten que aportaba uncontexto situacional pero que no aportaba ninguacuten dato numeacuterico al proble-ma Al plantear la segunda tarea se pretendiacutea constatar la creacioacuten de unmodelo de la situacioacuten para lo cual los nintildeos deberiacutean elegir la informacioacutenacerca de las cantidades de los conjuntos y las relaciones entre ellos y ade-maacutes toda la informacioacuten contextual excepto la informacioacuten narrativa la cualal ser informacioacuten no relevante no seriacutea necesaria para la formacioacuten delmodelo de la situacioacuten del problema

Los resultados obtenidos apuntaban a que los alumnos especialmente los maacutescompetentes seleccionaban soacutelo informacioacuten numeacuterica imprescindible en la pri-mera tarea dirigida a la construccioacuten del modelo matemaacutetico del problema einformacioacuten situacional pero no narrativa en la segunda en la que se buscaba lageneracioacuten del modelo episoacutedico de la situacioacuten A partir de estos resultados lasautoras concluyeron que



(hellip) el hecho de especificar las relaciones entre los eventos o acciones contribuye a la compren-sioacuten de los problemas escritos (hellip) La construccioacuten de un modelo de la situacioacuten coherenteconstituye asiacute un sustento adecuado para la comprensioacuten de las relaciones entre los elementosque son indispensables para la resolucioacuten del problema Moreau y Coquin-Viennot (2003) p119

Sin embargo el estudio de estas autoras cuenta una limitacioacuten fundamen-tal la tarea no era la de resolver los problemas de manera que no es posiblesaber a partir de los resultados del estudio si la generacioacuten de este MESrevertiacutea en una mejor comprensioacuten del enunciado y si esto a su vez permitiacutearesolver los problemas con maacutes eacutexito en relacioacuten a su rendimiento en pro-blemas ldquoestaacutendarrdquo

Los estudios desarrollados por Vicente et al (Vicente 2006 Vicente et al enprensa) tienen en cuenta estas limitaciones y partiendo de problemas similares alos utilizados en el trabajo de Moreau y Coquin-Viennot (2003) disentildearon cua-tro estudios en el que se comparaba el rendimiento de alumnos de 3ordm a 5ordm de Pri-maria en problemas de cambio ldquoestaacutendarrdquo de dos operaciones y de dos niveles dedificultad con versiones reescritas matemaacutetica y situacionalmente La reescrituramatemaacutetica ideacutentica en los cuatro estudios resaltaba la estructura matemaacuteticadel problema tal y como se muestra en el ejemplo

Pedro teniacutea 37 metros de cable Comproacute X metros de cable maacutes y los juntoacute con los que teniacutea Deltotal de metros cable que juntoacute ha utilizado Y metros y le han sobrado 11 metros de cable iquestCuaacuten-tos metros de cable comproacuteha utilizado Vicente 2006 p 185

Por otra parte la reescritura situacional fue modificada a lo largo de los estu-dios En el primero de ellos (Vicente 2006 Vicente et al en prensa) esta versioacutendescribiacutea los personajes de la situacioacuten problemaacutetica sus intenciones y estable-ciacutea una estructura causal y temporal de la situacioacuten problemaacutetica siguiendo elmodelo de Reusser (1988) y tal y como se muestra en el ejemplo (la informacioacutenantildeadida se muestra en cursiva)

Pedro queriacutea renovar la instalacioacuten eleacutectrica de su casa Pedro teniacutea 47 metros de cable que le habiacuteansobrado de una instalacioacuten anterior Como Pedro se dio cuenta de que esos metros de cable no seriacutean suficien-tes para toda la instalacioacuten comproacute X metros de cable maacutes Despueacutes de comprar el cable comenzoacute lainstalacioacuten Al hacer la instalacioacuten ha utilizado Y metros de cable y cuando acaba comprueba que lehan sobrado 11 metros de cable Entonces Pedro se pregunta iquestCuaacutentos metros de cable compreacuteheutilizado Vicente 2006 p 183

Los resultados del primer estudio mostraron que soacutelo la informacioacuten matemaacute-tica mejoroacute el rendimiento de los alumnos en los problemas difiacuteciles especial-mente de los alumnos maacutes pequentildeos Las versiones situacionales de los proble-mas en cambio no mejoraron el rendimiento en los problemas difiacuteciles mien-tras que en los problemas faacuteciles fueron los que peor resultado suscitaron

En vista de estos resultados los autores establecieron cuatro explicaciones dife-rentes primero que la versioacuten situacional resultante era demasiado extensa ycompleja desde el punto de vista textual segundo que los problemas eran lo sufi-cientemente sencillos desde el punto de vista situacional como para que la infor-macioacuten situacional no fuera necesaria tercero que el formato ndashtextualndash de la tareano favoreciacutea la creacioacuten del modelo de la situacioacuten y finalmente que la resolucioacutende problemas aritmeacuteticos no requiere de la creacioacuten de un modelo de la situacioacuten

Para comprobar la primera explicacioacuten los autores disentildearon un segundoestudio (Vicente et al en prensa) en el que se elaboraron tres versiones reescritassituacionalmente una primera versioacuten solamente con informacioacuten temporaluna segunda solamente con informacioacuten causal y una tercera con una combina-cioacuten de ambas tal y como muestran los ejemplos



Temporal ldquoPedro teniacutea 47 metros de cable Entonces comproacute X metros de cable maacutes Despueacutes decomprar el cable comenzoacute una instalacioacuten Al hacer la instalacioacuten ha utilizado Y metros de cable ycuando acaba le han sobrado 11 metros de cableiquestCuaacutentos metros de cable comproacuteha utilizadordquo

Causal ldquoPedro teniacutea 47 metros de cable que le habiacutean sobrado de una instalacioacuten anterior ComoPedro se dio cuenta de que esos metros de cable no seriacutean suficientes para hacer una nueva instalacioacuten com-proacute X metros de cable maacutes Como ha hecho una nueva instalacioacuten ha utilizado Y metros de cabley le han sobrado 11 metros de cableiquestCuaacutentos metros de cable comproacuteha utilizadordquo Vicente2006 pp 205-206

De esta manera los autores pretendiacutean preservar uacutenicamente lo que Reusser(1988) consideraba la esencia del MES la estructura temporal y causal de lasituacioacuten a la vez que se reduciacutea considerablemente la extensioacuten y complejidadtextual del enunciado de los problemas Los resultados mostraron que soacutelo lasversiones temporales de los problemas faacuteciles suscitaron un ligero incrementodel rendimiento de los alumnos si bien este incremento estuvo lejos de la signi-ficatividad estadiacutestica

Para comprobar la segunda explicacioacuten esto es si la falta de dificultad situa-cional era la causa de los resultados del primer estudio los autores realizaron untercer trabajo en el cual introdujeron una nueva variable respecto a los estudiosanteriores el nivel de dificultad situacional operacionalizada a traveacutes de lamodificacioacuten del orden en el que se enunciaban los eventos de la situacioacuten tal ycomo hicieran Staub y Reusser (1992) De este modo en este tercer estudio losproblemas ademaacutes de faacuteciles y difiacuteciles desde el punto de vista matemaacuteticopodriacutean ser faacuteciles o difiacuteciles desde el punto de vista situacional Los problemassituacionalmente faacuteciles describiacutean los eventos del problema siguiendo el ordennatural de los acontecimientos mientras que los problemas situacionalmentedifiacuteciles presentaban esta secuencia de manera desordenada tal y como se mues-tran en los ejemplos de las versiones situacionales correspondientes

Situacionalmente faacutecil Hace dos diacuteas Pedro teniacutea 47 metros de cable Ayer Pedro comproacute Xmetros de cable maacutes Esta mantildeana comenzoacute una nueva instalacioacuten Mientras haciacutea la instalacioacuten hautilizado Y metros de cable y cuando acaboacute le habiacutean sobrado 11 metros de cable iquestCuaacutentosmetros de cable comproacuteha utilizado

Situacionalmente difiacutecil Ayer Pedro comproacute X metros de cable maacutes de los que ya teniacutea Estamantildeana comenzoacute una nueva instalacioacuten Mientras haciacutea la instalacioacuten ha utilizado Y metros decable y cuando acaboacute le habiacutean sobrado 11 metros de cable Si hace dos diacuteas Pedro teniacutea 47metros de cable iquestCuaacutentos metros de cable comproacuteha utilizado Vicente 2006 pp 225-226

En este estudio la reescritura situacional se limitoacute a la versioacuten temporal de losproblemas dado el modo de operacionalizar la dificultad situacional y teniendoen cuenta los resultados de los estudios previos Los resultados obtenidos en estetercer estudio replicaron los de los estudios anteriores mientras que la informa-cioacuten matemaacutetica mejoraba el rendimiento en los problemas matemaacuteticamentedifiacuteciles (y tambieacuten en los matemaacuteticamente faacuteciles pero situacionalmente difiacuteci-les) la informacioacuten temporal no mejoroacute el rendimiento de los alumnos en nin-guacuten caso

Finalmente los autores proponiacutean como posible explicacioacuten a los resulta-dos de sus estudios previos que el formato exclusivamente textual de la tareaexperimental no era el mejor modo de promover la creacioacuten del modelo de lasituacioacuten del problema Para comprobar esta explicacioacuten realizaron un cuar-to estudio en el basaacutendose en la idea propuesta por Schnotz (Schnotz 20022003 Schnotz y Barnett 1999) de que los modelos mentales se construyenmaacutes faacutecilmente a partir de imaacutegenes que de textos propusieron dos formatosalternativos para la tarea un primer formato exclusivamente textual y unsegundo formato en el que ademaacutes del texto escrito se incluiacutean dibujos Las



versiones reescritas fueron de nuevo matemaacuteticas y situacionales (tempora-les) de manera que el nuacutemero total de problemas fue de 2 (formato condibujo sin dibujo) X 2 (Dificultad Faacutecil Difiacutecil) X 3 (reescritura estandarmatemaacutetica y situacional-temporal) = 12 problemas Los resultados obteni-dos indicaron que los dibujos no ayudaban a la resolucioacuten de problemasprobablemente porque su disentildeo no fue el maacutes apropiado Sin embargo elresultado maacutes interesante de este estudio no estaba relacionado con el forma-to de la tarea sino con la influencia de la informacioacuten situacional Este resul-tado fue que las versiones situacionales-temporales de los problemas suscita-ron un nivel de acierto significativamente mayor que las versiones estaacutendarLos autores interpretaron estos resultados sosteniendo que en este estudio adiferencia de los tres anteriores los alumnos contaron con 4 versiones de losproblemas con informacioacuten matemaacutetica y se produjo un efecto de aprendiza-je de los problemas con informacioacuten matemaacutetica a los problemas situaciona-les-temporales pero no a las versiones ldquoestaacutendarrdquo

A la vista de los resultados de los cuatro estudios los autores plantearoncomo conclusioacuten tentativa que la informacioacuten situacional es uacutenicamente uacutetilcuando los alumnos disponen de claves matemaacuteticas para interpretarlasDicho de otro modo la creacioacuten de un modelo de la situacioacuten es un pasoclave en la resolucioacuten de problemas siempre y cuando el alumno dispongadel conocimiento matemaacutetico necesario para interpretar ese modelo desde elpunto de vista matemaacutetico

En resumen de los principales estudios empiacutericos basados en la reescritu-ra de problemas podemos destacar dos cosas Por un lado cada uno de losestudios que hemos descrito han elaborado una forma diferente de reescribirlos problemas sustituir el teacutermino ldquomaacutes querdquo por la expresioacuten ldquocuaacutentoshellipno tendraacutenrdquo (Hudson 1984) incluir contextos situacionales ricos (Cum-mins et al 1988) personalizar el problema con informacioacuten significativapara los alumnos (Davis-Dorsey et al 1991) incluir descripciones de situa-ciones competitivas entre personajes precediendo a problemas de compara-cioacuten (Stern y Lehndorfer 1992) indicar el estado inicial mediante unaaccioacuten alterar la estructura temporal de los hechos otorgar siempre al prota-gonista del problema el rol sintaacutectico de sujeto en las oraciones del problemay evitar el uso de pronombres en problemas de cambio (Staub y Reusser1992) y finalmente incluir informacioacuten situacional de diferentes tipos enproblemas de cambio de dos operaciones (Moreau y Coquin-Viennot 2003Vicente 2006 Vicente et al en prensa) Como podemos observar la varia-bilidad de los criterios para reescribir los problemas es muy alta Por otrolado el segundo aspecto que queremos destacar es el relativo a los resulta-dos obtenidos en tres de ellos (Davis-Dorsey et al 1991 Hudson 1983 yStern y Lehndorfer 1992) los resultados mostraron que los problemas rees-critos eran maacutes faacuteciles de resolver que los problemas ldquoestaacutendarrdquo En el estu-dio de Cummins et al (1988) y en tres de los cuatro estudios realizados porVicente (2006) por el contrario no encontraron diferencias entre los proble-mas reescritos y los problemas estaacutendar mientras que el estudio de Staub yReusser (1992) soacutelo ofrece resultados especulativos acerca de la influenciarelativa de algunas de las modificaciones que introdujeron y el de Moreau yCoquin-Viennot (2003) no permite extraer datos acerca de la influencia de lareescritura en la resolucioacuten de problemas ya que si bien en este estudio laoperacionalizacioacuten de la reescritura situacional fue muy clara mostraba unalimitacioacuten fundamental la tarea no era la de resolver el problema de maneraque no podemos saber si la construccioacuten de un modelo de la situacioacuten dife-



renciado del modelo matemaacutetico del problema tiene alguna influencia en elproceso de resolucioacuten

Finalmente los estudios realizados por Vicente et al (Vicente 2006Vicente et al en prensa) tambieacuten definieron con nitidez la reescritura situa-cional diferenciaacutendola claramente de la reescritura matemaacutetica y sometie-ron a los alumnos a la tarea de resolver los problemas pero no se hallaronevidencias de la necesidad de generar un modelo de la situacioacuten De hecholos uacutenicos resultados positivos encontrados a este respecto en su uacuteltimoestudio fueron resultados inesperados debidos a un efecto de aprendizajede manera que el hallazgo de que soacutelo cuando los nintildeos cuentan con clavesmatemaacuteticas para interpretar la informacioacuten temporal son capaces de utili-zarla para resolver el problema con maacutes eficiencia requiere estudios adiciona-les que lo corroboren

Conclusiones e implicaciones educativas

La tarea de resolver un problema de matemaacuteticas implica la interaccioacutende varios tipos de procesos cognitivos Ademaacutes del componente matemaacuteticoesto es la comprensioacuten de la estructura matemaacutetica del problema algunosmodelos teoacutericos (Kintsch 1988 Nathan et al 1992 Reusser 1988 Vers-chaffel et al 1994) proponen que para resolver correctamente los proble-mas es necesario generar una representacioacuten mental cualitativa de la situa-cioacuten descrita por el problema utilizando para ello el conocimiento sobre elmundo real de que disponga el sujeto Esta afirmacioacuten que ha demostradoser cierta para los denominados ldquoproblemas realistasrdquo y para los problemasde aacutelgebra no ha sido corroborada claramente para los problemas aritmeacuteti-cos tal y como se desprende del anaacutelisis de los estudios empiacutericos basados enla reescritura de problemas que hemos recogido en este trabajo La mayorparte de esos estudios al reescribir situacionalmente los problemas modifi-caron determinados aspectos matemaacuteticos de los mismos de manera que nopuede concluirse que esta mejora se deba a una mejor comprensioacuten de lasituacioacuten descrita por el problema Ademaacutes aquellos estudios que han dife-renciado claramente ambos tipos de reescritura (matemaacutetica y situacional)no han apoyado la idea de que crear un modelo del problema sea necesariopara resolverlo

iquestSignifica esto que la informacioacuten situacional es irrelevante para la tarea yque crear un modelo de la situacioacuten no es necesario para la resolucioacuten de proble-mas aritmeacuteticos Nuestra respuesta es que no La limitacioacuten que acabamos desentildealar esto es la mezcla de los dos tipos de rescritura en la mayor parte de losestudios unido al hecho de que en la mayoriacutea de ellos se hayan encontrado resul-tados positivos apunta a la idea de que si bien la informacioacuten situacional por siacutemisma no es uacutetil para que los alumnos resuelvan con mayor acierto los proble-mas cuando esta informacioacuten situacional permite hacer inferencias sobre laestructura matemaacutetica del problema como en el caso de Hudson (1983) Stern yLehrndorfer (1992) y Vicente (2006) permite a los alumnos mejorar su rendi-miento

De esta manera las conclusiones que podemos extraer de esta revisioacuten sondos La primera conclusioacuten de ellas es que si bien la creacioacuten de un modelode la situacioacuten se ha mostrado necesaria para la resolucioacuten de problemas rea-listas y algebraicos para los problemas aritmeacuteticos la creacioacuten de este mode-lo de la situacioacuten probablemente contribuya a la mejor resolucioacuten del pro-blema soacutelo cuando contenga claves situacionales de la estructura matemaacuteticadel problema como informacioacuten sobre la magnitud relativa de los conjuntos



en los problemas de comparacioacuten (Stern y Lehrndorfer 1992) o como la evo-lucioacuten temporal de las magnitudes en los problemas de cambio (Vicente2006)

De esta primera conclusioacuten podemos extraer una segunda el modelo de lasituacioacuten que permite elaborar las inferencias necesarias para generar elmodelo matemaacutetico del problema difiere en funcioacuten del tipo de problema aresolver Esto es mientras que la inclusioacuten de viacutenculos causales entre lasituacioacuten comparativa y las cantidades del problema ha mostrado ser maseficaz para los problemas de comparacioacuten tal y como se desprende de losresultados del estudio de Stern y Lehrndorfer (ldquoPedro es el hermano mayor deLaura Como es mayor su habitacioacuten es mayorhelliprdquo) la explicitacioacuten de la estruc-tura temporal parece maacutes adecuada para los problemas de cambio como sedesprende del trabajo de Vicente (2006)

iquestQueacute implicaciones pueden tener estas conclusiones sobre la labor educa-tiva de los maestros Para responder a esta pregunta debemos considerar doselementos el tipo de tareas a las que se enfrentan los alumnos y el modo deabordarlas en el aula En las primeras paacuteginas de este trabajo proponiacuteamos laidea de que los problemas de matemaacuteticas con los que se encuentra un alum-no a lo largo de su escolaridad pueden situarse en un continuo desde la reso-lucioacuten de operaciones en las que uacutenicamente se necesitan conocimientosmatemaacuteticos hasta los problemas realistas en los que la aplicacioacuten de estosconocimientos matemaacuteticos es claramente insuficiente para la resolucioacuten coneacutexito del problema Entre esos dos polos se situariacutean los problemas de aacutelge-bra y los aritmeacuteticos

Por otra parte la falta de eacutexito de los alumnos en los problemas realistasparece estar causada al menos en parte por la cultura del aula seguacuten la cualtodo problema de matemaacuteticas tiene una solucioacuten que es uacutenica y de caraacutecterexclusivamente matemaacutetico (Verschaffel 2002) De esta manera la forma deresolver los problemas en el aula se sustenta en la idea impliacutecita de que resol-ver problemas es en uacuteltima instancia resolver la operacioacuten aritmeacutetica sub-yacente al mismo y que para ello la uacutenica informacioacuten necesaria es la infor-macioacuten matemaacutetica Asiacute el conocimiento del mundo real y las consideracio-nes que desde el sentido comuacuten pudiera realizar el alumno quedan fueradel proceso de resolucioacuten de tal modo que al final las matemaacuteticas termi-nan siendo ajenas al mundo real Este hecho ampliamente documentadopara los problemas realistas probablemente sea la causa del bajo rendimien-to de los alumnos en problemas similares a los utilizados por el informePISA (2003) en los que tal y como sentildeala el Instituto Nacional de Evalua-cioacuten y Calidad del Sistema Educativo (INECSE) ldquono se evaluaba simple-mente la capacidad de los alumnos para realizar operaciones matemaacuteticassino el grado en que son capaces de reconocer formular y abordar problemasmatemaacuteticos en contextos realesrdquo (INECSE 2004 p 2)

iquestCuaacutel es el origen de esta visioacuten distorsionada de los problemas de mate-maacuteticas Retornando la idea del continuo de las tareas matemaacuteticas a las quese enfrenta el alumno a lo largo de su escolaridad los primeros problemas dematemaacuteticas a los que se enfrenta son los problemas aritmeacuteticos Con fre-cuencia estos problemas aritmeacuteticos son resueltos sin apelar a otro conoci-miento que no sea el matemaacutetico de una manera muy similar a la resolucioacutende operaciones aritmeacuteticas fundamentalmente por dos razones La primeraprobablemente sea la que hemos visto en la revisioacuten de los estudios empiacuteri-cos no estaacute claro que comprender la situacioacuten empleando para ello conoci-mientos sobre el mundo real ayude a resolver mejor los problemas mientrasque las ayudas matemaacuteticas siacute han probado ser eficaces De esta manera es



muy loacutegico que los maestros se apoyen en lo que ayuda a sus alumnos aresolver mejor los problemas (ayudas matemaacuteticas) y releguen a un segundoplano lo que no es tan uacutetil (ayudas situacionales)

La segunda causa podemos encontrarla en el modo en que los libros de textopresentan la resolucioacuten de problemas Tal y como sentildealan Orrantia Gonzaacutelez yVicente (2005) los libros de texto suelen presentar la resolucioacuten de problemascomo meros ejercicios de ejecucioacuten de operaciones Ademaacutes los problemas sue-len pertenecer principalmente a los tipos de problemas maacutes sencillos (Riley et al1983) y rara vez incluyen informacioacuten situacional de manera que toda la infor-macioacuten que aparece en el problema es informacioacuten matemaacutetica uacutetil para resol-verlo y toda la informacioacuten necesaria para resolverlo estaacute presente en el proble-ma De esta manera los problemas suelen ser meros ejercicios estereotipadospara la aplicacioacuten de operaciones aritmeacuteticas

De esta manera el primer contacto con la resolucioacuten de problemas a traveacutes delos problemas aritmeacuteticos hace que se establezca un modo de resolver problemasque por un lado se apoya fundamentalmente en el uso exclusivo de conocimien-tos matemaacuteticos y que por otro tiende a afrontar los problemas de manera este-reotipada Una vez que el alumno ha aprendido a resolver los problemas de esemodo con toda seguridad generalizaraacute ese aprendizaje a la resolucioacuten del restode problemas esto es a los problemas algebraicos y realistas dando como resul-tado un divorcio creciente entre las matemaacuteticas de la escuela en las que con lomatemaacutetico es suficiente y la vida real llena de matices que requieren la aplica-cioacuten de otros tipos de conocimientos

Teniendo en cuenta lo anterior es evidente que para mitigar los efectos deesta disociacioacuten entre el mundo real y las matemaacuteticas en primer lugardeberiacutea supeditarse la ejecucioacuten de operaciones a la resolucioacuten de problemasy no a la inversa En segundo lugar la resolucioacuten de problemas deberiacutea darcabida a la aplicacioacuten de lo que el alumno ya sabe sobre el mundo real Comohemos visto esto es maacutes sencillo para los problemas realistas y de aacutelgebra enlos que los errores cometidos por la inhibicioacuten de consideraciones realistasson maacutes evidentes pero iquestqueacute hacer con los problemas aritmeacuteticos en los quela inclusioacuten de informacioacuten que active los conocimientos previos sobre elmundo real no ha demostrado ser tan eficaz como las ayudas matemaacuteticasUna respuesta razonable seriacutea alejarnos de estos problemas estereotipados yal servicio de la ejercitacioacuten de las operaciones aritmeacuteticas y proponer pro-blemas de todos los tipos (cambio comparacioacuten y combinacioacuten) y que con-tengan informacioacuten relativa a la situacioacuten del problema que permita alalumno resolverlo con maacutes eacutexito Como hemos sentildealado en la segunda de lasconclusiones de nuestra revisioacuten sobre cada tipo de problema probablemen-te pueda generarse un modelo de la situacioacuten cualitativo con claves contex-tuales ligadas a la estructura matemaacutetica del problema (cadenas causalespara los problemas de comparacioacuten y temporales en los de cambio por ejem-plo) que puedan ser interpretadas por los alumnos para resolver el proble-ma Ayudarles a detectar y a interpretar estas claves contextuales en los pro-blemas aritmeacuteticos que son los primeros a los que se enfrentan puede ser elprimer paso para que en problemas contextualmente maacutes complejos comolos problemas de aacutelgebra o realistas no se limiten a ejecutar operaciones y aproponer soluciones matemaacuteticas que en muchos casos carecen de sentidoEsto es ensentildeando a los nintildeos a apoyarse en claves contextuales uacutetiles pararesolver los problemas aritmeacuteticos estaraacuten aprendiendo que la clave de losproblemas de matemaacuteticas no tiene por queacute estar uacutenicamente en la aplica-cioacuten de conocimientos matemaacuteticos rompiendo asiacute la concepcioacuten erroacutenea



Notas Santiago Vicente y Joseacute Orrantia son miembros del Departamento de Psicologiacutea Evolutiva y de la Educacioacuten de la Universi-

dad de Salamanca Sus campos de investigacioacuten son a) el estudio de los procesos cognitivos implicados en la resolucioacuten deproblemas y en el caacutelculo b) el desarrollo del conocimiento matemaacutetico c) el anaacutelisis de la interaccioacuten en sesiones de resolu-cioacuten de problemas de matemaacuteticas y d) las dificultades de aprendizaje del caacutelculo y la resolucioacuten de problemas y su inter-vencioacuten

1 El modelo de Kintsch y Greeno (1985) tambieacuten generaba una serie de inferencias a partir de los conocimientos previos delmodelo necesarias para mantener la coherencia del texto Sin embargo el modelo de Kintsch ademaacutes de estas inferenciasgeneraba una cantidad de proposiciones mucho mayor que el modelo anterior

2 Lamentablemente esa es la uacutenica informacioacuten que aportan del resultado del anaacutelisis proposicional de los enunciados de losproblemas ya que no mencionan nada de la estructura del texto ni de como esas proposiciones se relacionaban entre siacute

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que estaacute en la base de la mayor parte de los errores cometidos por los alum-nos en los problemas de aacutelgebra y realistas

Una primera aproximacioacuten eficaz a este modo de resolver los problemaspodriacutea ser la elaboracioacuten de versiones reescritas en las que se incluyan clavessituacionales vinculadas al modelo del problema Por ejemplo podriacuteanincluirse situaciones comparativas con viacutenculos causales relacionados con elmodelo del problema de manera similar al estudio de Stern y Lehndorfer(1992) para problemas de comparacioacuten y ensentildear al alumno a utilizar estasclaves como pistas para delimitar el modelo del problema y por lo tantopara decidir queacute operacioacuten hay que realizar para resolverlo Evidentementela reescritura es una ayuda textual cuya eficacia dependeraacute en buena parte dela relevancia que el maestro le deacute en el proceso de resolucioacuten de problemasNuestra propuesta es incluir este razonamiento no estrictamente cuantitati-vo dentro del proceso de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos para despueacutesgeneralizarlo a la resolucioacuten de otros tipos de problemas como los de aacutelge-bra y los realistas


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Resolver problemas de matemaacuteticas es una de las herramientas fundamenta-les de las sociedades avanzadas en cuyo aprendizaje la escuela invierte buenaparte de su tiempo y esfuerzo Tal es asiacute que podriacuteamos considerarla junto a lalectura una de las capacidades que la escuela ha tratado de universalizar Sinembargo con frecuencia se hacen puacuteblicos indicadores que sentildealan que los alum-nos muestran un nivel en matemaacuteticas en general y en resolucioacuten de problemasen particular preocupantemente bajo (pe Informe PISA ver INECSE 2004)

iquestCuaacuteles pueden ser los motivos de este preocupantemente bajo nivel de rendi-miento Uno de los motivos podriacutea ser que a pesar de que esta tarea pudieraparecer relativamente sencilla desde el punto de vista cognitivo los procesoscognitivos implicados en el proceso de resolucioacuten de problemas matemaacuteticos sonmuchos y muy complejos Otro motivo estrechamente relacionado con el ante-rior podriacutea ser que a pesar de esta complejidad la cultura de aula frecuentemen-te presenta los problemas de matemaacuteticas de una manera estereotipada limitan-do el proceso de resolucioacuten a sus aspectos estrictamente matemaacuteticos de maneraque potencia el desarrollo de los procesos vinculados a los conocimientos estric-tamente matemaacuteticos a la vez que relega otros relacionados con la aplicacioacuten deotros tipos de conocimiento y que en ocasiones son igualmente importantes Enesta revisioacuten sentildealamos la necesidad de alejar la praacutectica educativa de este enfo-que de la ensentildeanza de la resolucioacuten de problemas basaacutendonos en una serie demodelos teoacutericos y de estudios empiacutericos que apuntan a la necesidad de presentarlos problemas de matemaacuteticas como una tarea de aplicacioacuten de conocimientos nosoacutelo matemaacuteticos sino tambieacuten sobre el mundo real y de sentido comuacuten queson necesarios para una comprensioacuten genuina de la situacioacuten descrita por el pro-blema

El objetivo de este artiacuteculo es doble Por un lado revisaremos los modeloscognitivos de resolucioacuten de problemas que incluyen esta comprensioacuten situacio-nal como parte del proceso de resolucioacuten y los estudios empiacutericos que han com-probado la validez de esos modelos En segundo lugar propondremos una seriede conclusiones y posibles orientaciones para la praacutectica educativa

Para ello hemos estructurado este trabajo en cuatro partes diferentes En laprimera de ellas delimitamos los diferentes tipos de problemas a los que losalumnos pueden enfrentarse y cuaacutel es la influencia de la aplicacioacuten del conoci-miento situacional en cada uno de ellos Una vez delimitada esta cuestioacutenexpondremos brevemente en segundo lugar queacute modelos teoacutericos han sido pro-puestos para justificar la implicacioacuten de la comprensioacuten situacional en el procesode resolucioacuten En tercer lugar describiremos los estudios empiacutericos que ha com-probado la validez de estos modelos teoacutericos aportando al mismo tiempo clavespara potenciar esta comprensioacuten situacional Finalmente proponemos una seriede conclusiones a la luz de la interpretacioacuten de los resultados obtenidos sobre laimplicacioacuten de la comprensioacuten situacional en la resolucioacuten de problemas y porlo tanto de la validez de los modelos teoacutericos asiacute como una serie de implicacio-nes educativas

Tipos de problemas

Para aprender a resolver problemas a lo largo de su trayectoria escolar unalumno habraacute de enfrentarse a diferentes tareas matemaacuteticas Para resolver algu-nas de ellas necesitaraacute conocimientos exclusivamente matemaacuteticos mientras quepara resolver otras ademaacutes de esos conocimientos matemaacuteticos necesitaraacute otrosacerca del mundo real adquiridos a traveacutes de su experiencia vital De esta mane-ra los problemas matemaacuteticos que los estudiantes deben resolver en las tareas












hay en la fiesta



















































TEXTO DELPROBLEMA

TEXTO BASE


preguntas



PROBLEMA


PROBLEMA



formales



FRASE DELRESULTADO







Matematizacioacuten

Caacutelculo


























PROBLEMA


construye


real

iquestEs correcto


Red de trabajo


Animacioacuten

Coordinacioacuten

ANIMATE





















Cambio 1 Cambio 6

























































































































































hay en la fiesta



















































TEXTO DELPROBLEMA

TEXTO BASE


preguntas



PROBLEMA


PROBLEMA



formales



FRASE DELRESULTADO







Matematizacioacuten

Caacutelculo


























PROBLEMA


construye


real

iquestEs correcto


Red de trabajo


Animacioacuten

Coordinacioacuten

ANIMATE





















Cambio 1 Cambio 6
























































































































































































TEXTO DELPROBLEMA

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PROBLEMA


PROBLEMA



formales



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Caacutelculo


























PROBLEMA


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PROBLEMA


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real

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Cambio 1 Cambio 6





























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Documents

Resoluci n de problemas y comprensi n situacionaldiarium.usal.es/sanvicente/files/2010/07/cultura-2007.pdf · de conclusiones, a la luz de la interpretaci n de los resultados obtenidos,