RESISTANCE DESMATERIAUX (4)

Référence:Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf

Notes de cours:J. Walt OlerTexas Tech University

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Contraintes principales sous chargementparticulier

8 - 2

Contraintes principales dans une poutre

• Soit une poutre prismatique soumise à un chargement transversal

ItVQ

ItVQ

IMc

IMy

mxy

mx

=−=

=−=

ττ

σσ

• Les contraintes principales sont déterminées les méthodes exposées au chapitre 7

• Est-ce que la contrainte maximum dans la section droite peut être supérieure à :

IMc

m =σ

8 - 3

Contraintes principales• Les équations précédente sont combinées

pour mener aux équations paramétriques d’un cercle,

• Les contraintes principales apparaissent sur les plans principaux de contraintes avec une des contraintes de cisaillement nulles.

( )2 2 2

22

où

2 2

x moy x y

x y x ymoy xy

R

R

σ σ τ

σ σ σ σσ τ

′ ′ ′− + =

+ −⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

o

22

minmax,

90by separated angles twodefines :Note

22tan

22

yx

xyp

xyyxyx

σστ

θ

τσσσσ

σ

−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

définit deux angles séparés par 90°

σmoy

8 - 4

Contraintes principales dans une poutre

tension

compression

8 - 5

Contraintes principales dans une poutre

• La forme de la section droite implique des valeurs importantes de τxy près de la surface, où σx est aussi important.

• σmax peut être plus grande que σm

8 - 6

Problème 8.1

Une force de 160-kN est appliquée en bout d’une poutre en acier de type W200x52.

En négligeant les effets d’épaulement et les concentrations de contrainte, déterminer si les contraintes normales satisfont la spécification de conception qui impose leurs valeurs égales ou inférieures à 150 MPa dans la sectionA-A’.

SOLUTION:

• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion dans la section A-A’

• Calculer la contrainte normale à la surface du dessus et à la jonction âme-bride.

• Évaluer la contrainte cisaillante àla jonction âme-bride.

• Calculer la contrainte principale àla jonction âme-bride

8 - 7

Problème 8.1SOLUTION:

• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion dans la section A-A’

( )( )kN160

m-kN60m375.0kN160=

==

A

AVM

• Calculer la contrainte normale à la surface du dessus et à la jonction âme-bride.

( )

MPa9.102mm103mm4.90MPa2.117

MPa2.117m10512

mkN6036

=

==

=×

⋅== −

cyσ

SM

bab

Aa

σ

σ

-(160kN)(0.375m) = - 60 kN.m

8 - 8

Problème 8.1• Évaluer la contrainte cisaillante à la jonction

âme-bride.( )

( )( )( )( )

MPa5.95m0079.0m107.52

m106.248kN160

m106.248

mm106.2487.966.12204

46

36

36

33

=×

×==

×=

×=×=

−

−

−

ItQV

Q

Abτ

• Calculer la contrainte principale àla jonction âme-bride

( )

( )

( )MPa 150MPa9.169

5.952

9.1022

9.102 22

2221

21

max

>=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

++= bbb τσσσ

la spécification de conception n’est pas satisfaite!

8 - 9

Problème 8.2

Une poutre sur appuis est soumise àune charge répartie et une charge concentrée. Sachant que pour le métal, les valeurs limites sont σadm = 165 MPa et τadm = 100 MPa, sélectionner la poutre en I qui devrait être utilisée.

SOLUTION:

• Déterminer les réactions en A et D.

• Trouver la contrainte cisaillante maximum.

• Trouver la contrainte normale maximum.

• Calculer le module de section requis et sélectionner la section de poutre appropriée.

• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion maxi à partir des diagrammes des efforts internes.

2,75 m89 kN

46 kN/m

6 m1,5 m

8 - 10

+

2,75 m

89 kN

46 kN/m

3,25 m1,5 m

177,6 kN 256 kN

-177,6 kN

-51,1 kN

37,9 kN

-69 kN

-187 kN

314,6 kN.m -51.75 kN.m

Problème 8.2

• Calculer le module de section requis et sélectionner la section de poutre appropriée.

SOLUTION:

• Déterminer les réactions en A et D.0 256 kN

0 177,6 kNA D

AD

M R

M R

= ⇒ =

= ⇒ =∑∑

3maxmin

314,6 kN 0,0019165

selectioner la poutre de section W21 62 adm

M mw mMPaσ

⋅= = =

×

• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion maxi à partir des diagrammes des efforts internes.

max

max

314,6 51.1 kN

187 kN

M kN m avec V

V

= ⋅ = −

=

Type W (cm3)

252320812392219520152146

8 - 11

Problème 8.2• Trouver la contrainte normale maximum.

La contrainte cisaillante est supposée uniforme dans l’âme,

maxmax 2

187 kN 35 MPa 100 MPa0,00533 mame

VA

τ = = = <

• Trouver la contrainte cisaillante maximum.

( )

max3

b 2

314 kN m 151 MPa2081cm

0,251151 MPa 142 MPa0,267

51,1 kN 9,59 MPa0,00533 m

a

bb a

web

Mwyσc

VA

σ

σ

τ

⋅= − = − = −

= = − = −

−= = = −

( )2

2max

142 MPa 142 9,59 MPa2 2

142,64 MPa 165 MPa

MPaσ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= <

(Là où le moment est maximum)

9,59 MPa142 MPa

-τb = 9,59 MPa

142 MPa

=142,64 MPa

w = 2081 cm3

Aame = 0,00533 m2d = 0,5334 m

t = 0,01 m

ta = 0,0156 m

0,267 m

0,251 m

151 MPa

142 MPa