254
Introduction à l’analyse numérique Jacques Rappaz Marco Picasso Presses polytechniques et universitaires romandes http://fribok.blogspot.com/

Introduction à l’analyse numérique - cours, examenscours-examens.org/images/An_2017_1/Etudes_superieures/... · 2017. 6. 2. · Jacques Douchet et Bruno Zwahlen 1Fonctions réelles

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

  • Introductionà l’analyse numérique

    Jacques RappazMarco Picasso

    Presses polytechniques et universitaires romandes

    http://fribok.blogspot.com/

  • Les auteurs et l’éditeur remercient l’Ecole polytechnique fédérale de Lausannedont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage.

    LA COLLECTION «ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES» EST ÉDITÉE SOUS LA DIRECTION DUPROFESSEUR ROBERT C. DALANG

    Recherche opérationnelle pour ingénieurs IDominique de Werra, Thomas M. Liebling, Jean-François Hêche

    Recherche opérationnelle pour ingénieurs IIJean-François Hêche, Thomas M. Liebling, Dominique de Werra

    Calcul différentiel et intégralJacques Douchet et Bruno Zwahlen1 Fonctions réelles d’une variable réelle2 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles3 Fonctions réelles d’une variable réelle – Exercices résolus4 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles – Exercices résolus

    Algèbre linéaireAide-mémoire, exercices et applicationsRobert C. Dalang et Amel Chaabouni

    Analyse avancée pour ingénieursBernard Dacorogna, Chiara Tanteri

    Initiation aux probabilitésSheldon M. Ross

    Cours d’AnalyseSrishti D. Chatterji1 Analyse vectorielle2 Analyse complexe3 Equations différentielles

    DANS LA COLLECTION «MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR»

    Introduction à la statistiqueStephan Morgenthaler

    Aide-mémoire d’analyseHeinrich Matzinger

    Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondationscientifique dont le but est principalement la diffusion des travauxde l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne ainsi que d’autres universités et écoles d’ingénieurs francophones.Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier auxPresses polytechniques et universitaires romandes,EPFL – Centre Midi, CH-1015 Lausanne, par E-Mail à [email protected],par téléphone au (0)21 693 41 40, ou par fax au (0)21 693 40 27.

    www.ppur.org

    ISBN 2-88074-363-X© 1998, 2000, 2004, Presses polytechniques et universitaires romandes,CH – 1015 LausanneImprimé en ItalieTous droits réservés.Reproduction, même partielle, sous quelque formeou sur quelque support que ce soit, interdite sans l’accord écrit de l’éditeur.

    http://fribok.blogspot.com/

  • � ��������� ���� ��

    ����� � � � � � � ! # $ � ' ( ) + , . ) # $ � ' 1 $ 4 5 � # $ 8 9 ' 4 , 4 5 � # $ + � = 4 + � + ? 4 5 � # $ 4 $ $ � $ ! # � �� # 9 ' ) + � + ? 4 # , + ! # � ) # $ + ) ��� ( ? 4 $ � � ��! # $�$ 1 $ � . , # $�9 + , � � # I # $�! J ( 5 � � � 4 + ) $�� � I ! ( � 4 NO ( # $ � � � � 4 # � � # $ ��� � ( $ + � � � 4 + ) ) � , ( � 4 5 � # ! # 9 # $�$ 1 $ � . , # $�! J ( 5 � � � 4 + ) $ V � J � 4 ! # ! J � )+ � ! 4 ) � � # � � ) ( 9 # $ $ 4 � # ! # $ 9 + ) ) � 4 $ $ � ) 9 # $ � � � � + [ + ) ! 4 # $ # ) ,�� � ' ( ,�� � 4 5 � # $ ] ' � 9 � ) #! # 9 # $ ( 5 � � � 4 + ) $ � � I ! ( � 4 O ( # $ � � � � 4 # � � # $ � # � � b � � # � ( � # � � + � 4 ( # � � � � 1 � # d 4 ) $ 4 8 � # $( 5 � � � 4 + ) $ ! # � 1 � # # � � 4 � � 4 5 � # ! ( 9 � 4 O # ) � � # $ � ' ( ) + , . ) # $ ! # ! 4 h � $ 4 + ) $ � � � 4 + ) ) � 4 � # 8� # $ ( 5 � � � 4 + ) $ ! # � 1 � # � � � � = + � 4 5 � # ! ( 9 � 4 O # ) � � # $ � ' ( ) + , . ) # $ ! # ! 4 h � $ 4 + ) ( O + � � N� 4 O # # � � # $ ( 5 � � � 4 + ) $�! # � 1 � # ' 1 � # � = + � 4 5 � # ! ( 9 � 4 O # ) ��� # $�� ' ( ) + , . ) # $ ! # � � � ) $ � + � �V O 4 � # $ $ # l ) 4 # m + � � 9 ' � 5 � # � 1 � # ! J ( 5 � � � 4 + ) 8 4 ��# I 4 $ � # ! # ) + , = � # � $ # $ , ( � ' + ! # $) � , ( � 4 5 � # $ V ! 4 $ � + $ 4 � 4 + ) 8�9 � � $ $ ( # $ � � � 9 � � ( ? + � 4 # $ d 4 ) $ 4 + ) � � � � # ! # , ( � ' + ! # $! # ! 4 h ( � # ) 9 # $ l ) 4 # $ 8 ! J ( � ( , # ) � $ l ) 4 $ 8 ! # O + � � , # $ l ) 4 $ 8 ! # , ( � ' + ! # $ $ � # 9 � � � � # $ 8# � 9 � J � � 4 � 4 $ � � 4 + ) ! # 9 # $ , ( � ' + ! # $ ) � , ( � 4 5 � # $ ) ( 9 # $ $ 4 � # � � 9 + ) ) � 4 $ $ � ) 9 # ! J + � � 4 � $! # = � $ # � # � $ 5 � # � J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) � + � 1 ) t , 4 � � # 8 � � ! ( � 4 O � � 4 + )�# � � J 4 ) � ( ? � � � 4 + ) ) � , ( N� 4 5 � # ! J � ) # [ + ) 9 � 4 + ) 8 � � � ( $ + � � � 4 + ) ! # ? � � ) ! $ $ 1 $ � . , # $ � 4 ) ( � 4 � # $ # � ) + ) � 4 ) ( � 4 � # $ 8� J 4 ) � ( ? � � � 4 + ) ! J ( 5 � � � 4 + ) $ ! 4 h ( � # ) � 4 # � � # $ + � ! 4 ) � 4 � # $

    w � # I 4 $ � # ! # ) + , = � # � I + � O � � ? # $ 9 + ) $ � 9 � ( $ V�� J ( � � ! # , � � ' ( ,�� � 4 5 � # # � V�� �� ( $ + � � � 4 + )�) � , ( � 4 5 � # ! # $ ( 5 � � � 4 + ) $ � � I ! ( � 4 O ( # $ � � � � 4 # � � # $ ] # � 4 O � # ) J � � � $ � �� � ( � # ) � 4 + )�! J b � � # � )�# I � + $ ( # I ' � � $ � 4 [ $ � � � # $ � z # � m � � 9 + ) � � # 8 4 � ��� + � � = � � ! #[ + � � ) 4 � � � � # 9 � # � � � # $ ) + � 4 + ) $ ! # = � $ # � l ) ! # � + � O + 4 � � = + � ! # � ! # � # � $ � � + = � . , # $� # 9 + ) � # ) � ! # 9 # � 4 O � # # $ � � ) # O # � $ 4 + ) ( � + h ( # ! � 9 + � � $ � + � 1 9 + � 4 ( 5 � # � # � � # N, 4 # � � � � # � � # ) $ # 4 ? ) # ! # � � 4 $ � � � $ 4 # � � $ � ) ) ( # $ � � I ( � . O # $ 4 ) ? ( ) 4 # � � $ ! ��� � # , 4 # �9 1 9 � # ! # � J { 9 + � # m + � 1 � # 9 ' ) 4 5 � # |�( ! ( � � � # ! # ��� � $ � ) ) # � # � 4 O � # # $ � ! 4 O 4 $ ( # ) } 9 ' � � 4 � � # $ 8 9 ' � 5 � # 9 ' � � 4 � � # ( � � ) � � � 4 N , b , # ! 4 O 4 $ ( # ) $ # 9 � 4 + ) $ � # $ � � # , 4 . � # $ $ # 9 N� 4 + ) $ ! # 9 ' � 5 � # 9 ' � � 4 � � #�9 + ) � 4 # ) ) # ) � ? ( ) ( � � � # , # ) � ! # $ � � ? � , # ) � $ $ 4 , � � # $ 8 � # $! # � ) 4 . � # $ $ # 9 � 4 + ) $ ! ( O # � + � � # ) � ! # $ ) + � 4 + ) $ � � � $ 9 + , � � # I # $ � J � O � ) � N ! # � ) 4 . � # $ # 9 N� 4 + ) ! # 9 ' � 5 � # 9 ' � � 4 � � # 9 + ) � 4 # ) � ! # $ # I # � 9 4 9 # $ 9 + � � 4 ? ( $ 8 ! #�$ + � � # 5 � # � # � # 9 � # � �� � 4 $ $ # z � ? # � $ + ) ) 4 O # � � ! # 9 + , � � ( ' # ) $ 4 + ) { ) l ) 8 � ��! # � ) 4 . � # $ # 9 � 4 + ) ! # 9 ' � 5 � #9 ' � � 4 � � # 9 + ) � 4 # ) � ! # $ ) + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � 9 + , , # ) � � 4 � # $ ! # $ � 4 ) ( $ � � I 4 ) ? ( N) 4 # � � $ 5 � 4 � � 4 � 4 $ # ) � � � $ 4 , � � � � 4 + ) ) � , ( � 4 5 � # ! � ) $ � # � � $ � � � O � � I ! # � # 9 ' # � 9 ' #� # $ } � � # , 4 # � $ 9 ' � � 4 � � # $ # I � + $ # ) � � # $ + � � 4 � $ ! # = � $ # ! # � J � ) � � 1 $ # ) � , ( � 4 5 � #] # $ + � � 4 � $ $ + ) � 9 + ) � # ) � $ ! � ) $ � � � � � � � � � ! # $ � + ? 4 9 4 # � $ ! # 9 � � 9 � ��$ 9 4 # ) � 4 l 5 � # ! 4 $ N� + ) 4 = � # $ ! � ) $ � # 9 + , , # � 9 # � # $ ! # � ) 4 # � $ 9 ' � � 4 � � # $ $ + ) � 9 + ) $ � 9 � ( $ V � J � ) � � 1 $ #) � , ( � 4 5 � # ! # $ ( 5 � � � 4 + ) $ � � I ! ( � 4 O ( # $ � � � � 4 # � � # $ # � $ + ) � ! # � # 9 � � � # � � � $ ! 4 9 4 � #5 � # � # $ � � ( 9 ( ! # ) � $ �+ � � # [ + 4 $ 8 � J + � O � � ? # � ( � ( 9 + ) � ! # $ + � � # 5 � # � # $ � � # , 4 . � # $

    Ohttp://fribok.blogspot.com/

  • O 4$ # 9 � 4 + ) $ ! # $ ! # � ) 4 # � $ 9 ' � � 4 � � # $ � # $ � # ) � � = + � ! � = � # $ � � � ! # $ ( � . O # $ 4 ) ? ( ) 4 # � � $ ! #� � # , 4 # � 9 1 9 � # � ) 4 O # � $ 4 � � 4 � #

    � # $ , � � ' ( ,�� � 4 5 � # $ 9 + ) � # ) � # $ ! � ) $ 9 # � 4 O � # $ + ) � # ) ? � � ) ! # � � � � 4 # # ) $ # 4 ? ) ( # $� � � � # $ ! # � I � � � # � � $ � � I ( � � ! 4 � ) � $ ! � � � # , 4 # � 9 1 9 � # ! # $ $ # 9 � 4 + ) $ ! # ? ( ) 4 # 9 4 NO 4 � 8 ? ( ) 4 # � � � � � 8 , ( 9 � ) 4 5 � # 8 , � � ( � 4 � � I 8 , 4 9 � + � # 9 ' ) 4 5 � # 8 � ' 1 $ 4 5 � # 8 4 ) [ + � ,�� � 4 5 � # 8$ 1 $ � . , # $ ! # 9 + , , � ) 4 9 � � 4 + ) $ ! # � J { 9 + � # m + � 1 � # 9 ' ) 4 5 � # | ( ! ( � � � # ! # � � � $ � ) ) #��� 9 + , � � ( ' # ) $ 4 + )�! # 9 # $ ,�� � ' ( ,�� � 4 5 � # $ � # 5 � 4 # � � � ) # = + ) ) # 9 + ) ) � 4 $ $ � ) 9 # � � ( � N� � = � # ! � 9 � � 9 � � ! 4 h ( � # ) � 4 # � # � 4 ) � ( ? � � � # � ! # � J � � ? . = � # � 4 ) ( � 4 � # 8 ,�� � 4 . � # $ ? ( ) ( � � � # N, # ) � # ) $ # 4 ? ) ( # $ � + � $ ! # � � � � # , 4 . � # � ) ) ( # ! J ( � � ! # $ $ 9 4 # ) � 4 l 5 � # $ � ) 4 O # � $ 4 � � 4 � # $� � ) $ � ) $ + � 9 4 ! # 9 + ) 9 4 $ 4 + ) 8 5 � # � 5 � # $ � ( $ � � � � � $ $ + ) � ( ) + ) 9 ( $ $ � ) $ ! ( , + ) $ � � � N� 4 + ) ] # � # ) ! � ) � 8 � # $ � � � # � � $ $ # $ + ) � # h + � 9 ( $ ! # ,�� 4 ) � # ) 4 � � ) # 9 # � � � 4 ) # � 4 ? � # � �,�� � ' ( ,�� � 4 5 � # ! � ) $ � � [ + � , � � � � 4 + ) ! # 9 # $ � ( $ � � � � � $

    � # $ � � � # � � $ � 4 # ) ) # ) � V � # , # � 9 4 # ��� + ) $ 4 # � � � # m � + [ # $ $ # � ��� � ] ' � � � # � z 4 8�� 4 N� # 9 � # � � ! # � � 9 + � � # 9 � 4 + ) ,�� � ' ( ,�� � 4 5 � # $ ! # $ m � # $ $ # $ m + � 1 � # 9 ' ) 4 5 � # $�� ) 4 O # � $ 4 � � 4 � # $� + ,�� ) ! # $ 8 � + � � $ # $ # ) 9 + � � � ? # , # ) � $ # � $ + ) 4 ) � ( � b � V � � � � = � 4 9 � � 4 + ) ! # 9 # � + � NO � � ? # � # � � � O � 4 ��! # ! � 9 � 1 � + ? � � � ' 4 # ��( � ( # h # 9 � � ( � O # 9 ? � � ) ! $ + 4 ) � � �� � ! � , #

    �� + $ # � � 4 �� � J # � � # � � + � O # 4 9 4 � � � # 9 + ) ) � 4 $ $ � ) 9 # # � � # $ � # , # � 9 4 # , # ) � $ ! # $ ! # � I� � � # � � $

    http://fribok.blogspot.com/

  • � ������� ��� � � ���� �� �

    ����������� � � � � � ! # % ' � � + ��� , ' # ��% �} } m + $ 4 � 4 + ) ! � � � + = � . , #� }} / 0 � $ # ! # ��� ? � � ) ? # /} 1 w ) � # � � + � � � 4 + ) ! # � � ? � � ) ? # 1} w ) � # � � + � � � 4 + ) ! J � ) # [ + ) 9 � 4 + ) 9 + ) � 4 ) � # � � � � ) � + � 1 ) t , # } 2 w ) � # � � + � � � 4 + ) ! J 3 # � , 4 � # 4} 5 w ) � # � � + � � � 4 + ) � � � 4 ) � # � O � � � # $ 6} 4 { I # � 9 4 9 # $ } /} 8 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ } 2: ; = ��# ? , ' # � % % D�� = ��# F D�� � G/ } � ( � 4 O ( # $ ) � , ( � 4 5 � # $ ! J + � ! � # } # � # � � # � � ! # � � + ) 9 � � � � # } 4/ / � ( � 4 O ( # $ ) � , ( � 4 5 � # $ ! J + � ! � # } # � # � � # � � ! J � � � + ) ! 4 $ } 6/ 1 � ( � 4 O ( # $ ) � , ( � 4 5 � # $ ! J + � ! � # } # � # � � # � � $ / // � ( � 4 O ( # $ ) � , ( � 4 5 � # $ ! J + � ! � # $ � � ( � 4 # � � / 1/ 2 � ( � 4 O ( # $ ) � , ( � 4 5 � # $ # � 4 ) � # � � + � � � 4 + ) / / 5 { I � � � � + � � � 4 + ) ! # � 4 9 ' � � ! $ + ) / 2/ 4 { I # � 9 4 9 # $ / 4/ 8 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ 1 }

    N O % ' = R ��, ' # � % % D � = ��# F D � W X � ��� D � � � ��� F D , � ��, ' D ��� N N1 } ] ( ) ( � � � 4 � ( $� 1 11 / m + 4 ! $ ! J � ) # [ + � , � � # ! # 5 � � ! � � � � � # 1 41 1 | + � , � � # ! � � # 9 � � ) ? � # � 1 | + � , � � # ! # � 4 , � $ + ) � }1 2 | + � , � � # $ ! # ] � � $ $ N � # ? # ) ! � # � /1 5 { I # � 9 4 9 # $ � 51 4 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ 2

    _ ` = � � � D ' # ��% � � � d � ' � � � � � # %�= , # ��� � W�f � # � # % , ' # � % ��� h , D�� � Wj d � ' � � � � � , � k ��%�� # ' # ��%�% = � W j d � ' � � � � � D ����= ' � � � # %�= � m � } m + $ 4 � 4 + ) ! � � � + = � . , #� 2 } / { � 4 , 4 ) � � 4 + ) ! # ] � � $ $ $ � � � ) # I # , � � # 2 / 1 d � ? + � 4 � ' , # ! J ( � 4 , 4 ) � � 4 + ) 2 1 9 + , = � # ! J + � ( � � � 4 + ) $ � + � � � J ( � 4 , 4 ) � � 4 + ) ! # ] � � $ $ 2 4 2 { � 4 , 4 ) � � 4 + ) ! # ] � � $ $ � O # 9 9 ' � ) ? # , # ) � ! # � 4 O + � 2 8O 4 4

    http://fribok.blogspot.com/

  • O 4 4 4 ���������������������������� 5 � 1 $ � . , # $ ,�� � 9 + ) ! 4 � 4 + ) ) ( $ 5 4 � 1 $ � . , # $ $ � � ! ( � # � , 4 ) ( $ � ( � ' + ! # ! # $ , + 4 ) ! � # $ 9 � � � ( $ 5 8 { I # � 9 4 9 # $ 5 5 6 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ 5 4

    m ; = k ��� + ��� # ' # � %LUW ; = k ��� + ��� # ' # � % ��� ��� � � � � � d � �

    2 } � ( 9 + , � + $ 4 � 4 + )LU

    5 62 / � � 4 � 4 � ( ! # � ��! ( 9 + , � + $ 4 � 4 + )

    LU4 /

    2 1 � ( 9 + , � + $ 4 � 4 + )LU

    � O # 9 9 ' � ) ? # , # ) � ! # � 4 O + � 4 2 � � � � 4 9 # $ $ 1 , ( � � 4 5 � # $ ! ( l ) 4 # $ � + $ 4 � 4 O # $� ( 9 + , � + $ 4 � 4 + ) ! # ] ' + � # $ 1� 4 2

    2 2 � � � � 4 9 # $ ! # = � ) ! # 4 82 5 { I # � 9 4 9 # $ 8 2 4 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ 8 1

    � ` = � ��� D ' # � % ��� � d � ' � � � � � # % = , # ��� �+ , � ��� � � = ' � � � � � # ' = ��, ' # ?�� � # m5 } ] ( ) ( � � � 4 � ( $ � ( � ' + ! # $ ! # � 9 + = 4 # � ] � � $ $ N � # 4 ! # � 8 25 / � ) # I # , � � # 8 65 1 � ( � ' + ! # $ ! # � # � � I � � 4 + ) 8 , ( � ' + ! # ��� $� 6 5 � ( � ' + ! # $ ! � ? � � ! 4 # ) � # � ! � ? � � ! 4 # ) � 9 + ) z � ? � ( 6 /5 2 { I # � 9 4 9 # $ 6 85 5 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ } /

    G & = ' ��� ��� � % D�� = ��# F D�� � + � D � � � k , � k D����� � ? , � � D ��� +�� ��+�� � � � ! D�% � � , ' ��# k � � d � = ' ��# F D�� � ( m4 } ] ( ) ( � � � 4 � ( $� } 24 / � ( � ' + ! # ! # � � � � 4 $ $ � ) 9 # } 44 1 � ( � ' + ! # ! # � � � � 4 $ $ � ) 9 # 4 ) O # � $ # } 64 � ( � ' + ! # ! # � 9 + = 4� } } }4 2 { I # � 9 4 9 # $ } } 4 5 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ } } 4

    # f F D , ' # � % � � ' � d � ' � � � � � ! = F D , ' # � % � %���% � # %�= , # ��� � � � �8 } { 5 � � � 4 + ) $ ) + ) � 4 ) ( � 4 � # $ * ? ( ) ( � � � 4 � ( $� } } 68 / � ( � ' + ! # $ ! # � + 4 ) � l I # * ? ( ) ( � � � 4 � ( $ } / }8 1 � ( � ' + ! # ! # 9 # - � + ) # � , ( � ' + ! # ! # � � 9 + � ! # } / 8 � 1 $ � . , # $ ) + ) � 4 ) ( � 4 � # $ } / 48 2 { I # � 9 4 9 # $ } 1 8 5 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ } 1

    � f F D , ' # � % � ��# / = ��� % ' # � � � � � � N G6 } { 5 � � � 4 + ) $ ! 4 h ( � # ) � 4 # � � # $ ! � � � # , 4 # � + � ! � # * ? ( ) ( � � � 4 � ( $ } 1 46 / m � + = � . , # $ ) � , ( � 4 5 � # , # ) � ,�� � � + $ ( $ } 6 1 � 9 ' ( ,�� $ ! J { � � # � } }6 � ( � ' + ! # $ ! # � � ) ? # N 2 � � � � ! J + � ! � # /� } 26 2 � ( � ' + ! # ! # � � ) ? # N 2 � � � � 9 � � $ $ 4 5 � # } 56 5 � 1 $ � . , # $ ! 4 h ( � # ) � 4 # � $ ! � � � # , 4 # � + � ! � # } 4

    http://fribok.blogspot.com/

  • ������� � ��� ������ � ����� 4 I6 4 { 5 � � � 4 + ) $ ! 4 h ( � # ) � 4 # � � # $ ! J + � ! � # $ � � ( � 4 # � � } 86 8 { I # � 9 4 9 # $ } 2 }6 6 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ } 2

    � ( ; # / = ��� %�k � � � %�# � � � ' = � = � � % ' � � % # �+ ��D � ��� � +���� � � � � � � , D�� � # � # ' � � D %�# ��# � � %�� # ��%�%�� � � � m m} } � ) � � + = � . , # � � I � 4 , 4 � # $ � ) 4 ! 4 , # ) $ 4 + ) ) # � } 2 2} / � ( � ' + ! # ! # $ ! 4 h ( � # ) 9 # $ l ) 4 # $ } 2 5} 1 � ( � ' + ! # ! # ] � � # � 4 ) } 2 4} � ( � ' + ! # ! J ( � ( , # ) � $ l ) 4 $ ! # ! # ? � ( } } 5 }} 2 � ( � ' + ! # ! J ( � ( , # ) � $ l ) 4 $ ! # ! # ? � ( / } 5 2} 5 d � � � + I 4 ,�� � 4 + ) � � � ! 4 h ( � # ) 9 # $ l ) 4 # $! J � ) � � + = � . , # � � I � 4 , 4 � # $ ) + ) � 4 ) ( � 4 � # } 5 4} 4 { I # � 9 4 9 # $ } 5 6} 8 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ }�4�1

    � ��� %�� � = ' ��� ��� � ! = � = � � % ' � � % # � + ��D � � ! , +�+ ����� # � , ' # ��%��� +���� � � � � � � � � � # +�' # F D � � � G m} } } m � + = � . , # $ # � � 4 � � 4 5 � # $ # � [ + � , � � � � 4 + ) O � � 4 � � 4 + ) ) # � � # }�4 2} } /{ � ( , # ) � $ l ) 4 $ � � 4 � ) ? � � � 4 � # $ ! # ! # ? � ( } }�4�6} } 1 � ) # I # , � � # � � � � 4 9 � � 4 # � } 8 }} } { $ � 4 ,�� � 4 + ) $ ! J # � � # � � $ # � , ( � ' + ! # $ ! # ! # ? � ( $ � � ( � 4 # � � } 8 2} } 2{ I # � 9 4 9 # $ } 8 5} } 5 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ } 6 1

    � :�� + +������ # � , ' # � % � � � +�� ��� � � � � � + , ��, � � � # F D � � W��������� � � � � � � , k ��, � � D � � � m} / } { 5 � � � 4 + ) ! # � � 9 ' � � # � � } � # � ! 4 h ( � # ) 9 # $ l ) 4 # $ } 6 2} / /{ 5 � � � 4 + ) ! # � � 9 ' � � # � � } � # � ( � ( , # ) � $ l ) 4 $ } 6 8} / 1 m � + = � . , # $ � � � � = + � 4 5 � # $ / � # � � # � � $ � � � � + I 4 , � � 4 + ) $ / /} / � ) # I # , � � # � � � � 4 9 � � 4 # � / } / 2{ I # � 9 4 9 # $ / 2} / 5 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ / 8

    � N� + +������ # � , ' # � % � � +���� � � � � � ��� d + � � � ��� # F D�� � Wf F D�, ' # ��% ��� ' ��, %�� + � � ' � ' = F D�, ' # ��% ��� � ��%�� � � : (��} 1 } { 5 � � � 4 + ) ! # � � � ) $ � + � � } � # � ! 4 h ( � # ) 9 # $ l ) 4 # $ / 6} 1 /{ 5 � � � 4 + ) ! # $ + ) ! # $ } � # � ! 4 h ( � # ) 9 # $ l ) 4 # $ / } 1} 1 1 { 5 � � � 4 + ) $ ! # $ + ) ! # $ / � # � ( � ( , # ) � $ l ) 4 $ / } 8} 1 { 5 � � � 4 + ) ! # � � � ) $ � + � � } � ) + ) � 4 ) ( � 4 � # / / } 1 2{ I # � 9 4 9 # $ / / /} 1 5 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ / / 5

    � _� + +������ # � , ' # � % � � +���� � � � � � � � � k ��% ? � k ' # ��%�� ��# / D � # � % :�: �} } � ) � � + = � . , # ! # 9 + ) O # 9 � 4 + ) N ! 4 h � $ 4 + )$ � � � 4 + ) ) � 4 � # # � ! 4 h ( � # ) 9 # $ l ) 4 # $ / / 6} / � ) � � + = � . , # ! # 9 + ) O # 9 � 4 + ) N ! 4 h � $ 4 + )$ � � � 4 + ) ) � 4 � # # � ( � ( , # ) � $ l ) 4 $ / 1

    http://fribok.blogspot.com/

  • I ����������������������������} 1 m � + = � . , # $ = 4 ! 4 , # ) $ 4 + ) ) # � $ ! # 9 + ) O # 9 � 4 + ) N ! 4 h � $ 4 + ) / 1 4} { I # � 9 4 9 # $ / 1 6} 2 9 + � # $ = 4 = � 4 + ? � � � ' 4 5 � # $ # � � # ,�� � 5 � # $ /

    http://fribok.blogspot.com/

  • � ���������

    � �

    �� ����� � � � � � �� ��� � � � ��

    ����� ��� � � � � � � " $ & � ( *�+ , .� � � � + $ + ) $ 5 � # � J + ) O # � 4 � � # 9 ' # � 9 ' # � � ) � + � 1 ) t , # p ! # ! # ? � ( n ≥ 0 5 � 4 8 � + � �! # $ O � � # � � $ t0 8 t1 8 t2 8 . . . 8 tn ! 4 $ � 4 ) 9 � # $ ! + ) ) ( # $ 8 � � # ) ) # � # $ O � � # � � $ p0 8 p1 8 p2 8 . . . 8

    pn� # $ � # 9 � 4 O # , # ) � 8 9 J # $ � N V N ! 4 � #

    p(tj) = pj� + � �

    0 ≤ j ≤ n. 0 } } 1� ) # ,�� ) 4 . � # � � � � � # , , # ) � $ 4 , � � # ! # � ( $ + � ! � # 9 # � � + = � . , # # $ � ! J ( 9 � 4 � #

    p(t) = a0 + a1t+ a2t2 + · · · + antn 0 } / 1

    + 4a0

    8a1

    8a2

    8. . .

    8an

    $ + ) � ! # $�9 + # 9 4 # ) � $ 5 � 4 ! # O � + ) � b � � # ! ( � # � , 4 ) ( $ 0 9 � � 4 � # , # ) � 8$ 4 � # $ 9 + # 9 4 # ) � $aj

    80 ≤ j ≤ n $ + ) � 9 + ) ) � $ � � + � $ � # � + � 1 ) t , # p # $ � 9 + ) ) � 1 � # $0 n+ 1 1 � # � � � 4 + ) $ 0 } } 1 $ J ( 9 � 4 O # ) � � � + � $ *

    a0 + a1tj + a2t2j + a3t

    3j + · · · + antnj = pj , 0 ≤ j ≤ n. 0 } 1 1m � 4 $ 5 � # � # $ O � � # � � $ tj # � pj 8 0 ≤ j ≤ n 8 $ + ) � 9 + ) ) � # $ 8 � # $ � # � � � 4 + ) $ 0 } 1 1 [ + � , # ) �� ) $ 1 $ � . , # ! #

    (n + 1)( 5 � � � 4 + ) $ V

    (n + 1)4 ) 9 + ) ) � # $

    a08a1

    8a2

    8. . .

    8an

    � ) #,�� ) 4 . � # ! 4 h ( � # ) � # ! J ( 9 � 4 � # 0 } 1 1 # $ � � � $ � 4 O � ) � #� + 4 �

    T� �

    (n+ 1) × (n+ 1) ,�� � � 4 9 # ! ( l ) 4 # � � � *

    T =

    1 t0 t20 t

    30 . . . t

    n0

    1 t1 t21 t

    31 . . . t

    n1

    1 t2 t22 t

    32 . . . t

    n2

    1 t3 t23 t

    33 . . . t

    n3

    · · · · . . . ·1 tn t

    2n t

    3n . . . t

    nn

    .

    ; = � %�# ' # � % ��W � 8 : < > @ A B : E > H�< JTJ > L N P R P L B A U J @ J X P E@ J�B R : E@ J P > > : U�A \ J P < _

    ` : A E L > t0 a t1 a t2 a . . . a tn b}

    http://fribok.blogspot.com/

  • / ������� � �������������������������� ����� � ���������������

    � 4~a

    # �~p

    $ + ) � � # $(n+ 1)

    N O # 9 � # � � $ 9 + � + ) ) # $ $ � 4 O � ) � $ *

    ~a =

    a0a1a2

    an

    , ~p =

    p0p1p2

    pn

    ,

    ) + � $ � + � O + ) $ ( 9 � 4 � # 0 } 1 1 $ + � $ [ + � , # ,�� � � 4 9 4 # � � #�*T~a = ~p. 0 } 1

    d 4 ) $ 4 8 � # � � + = � . , # 9 + ) $ 4 $ � � ) � V 9 ' # � 9 ' # � � # � + � 1 ) t , #p

    $ � � 4 $ [ � 4 $ � ) � 0 } } 1 � # � � $ #� ( ! � 4 � # V � ( $ + � ! � # � # $ 1 $ � . , # � 4 ) ( � 4 � # 0 } 1 8 9 J # $ � N V N ! 4 � # V�! ( � # � , 4 ) # � ~a � � 4 $ 5 � #T

    # �~p

    $ + ) � 9 + ) ) � $� ( $ + � ! � # � ) $ 1 $ � . , # � 4 ) ( � 4 � # ! #

    (n+ 1)( 5 � � � 4 + ) $ V

    (n+ 1)4 ) 9 + ) ) � # $ ) J # $ �� � $ � ) # ��� 9 ' # � � 4 O 4 � � # 0 9 ' � � 8 2 # � 5 1 � � , ( � ' + ! # 5 � # ) + � $ O # ) + ) $ ! # ! ( 9 � 4 � #� + � � � � + � O # � � #�� + � 1 ) t , # p ) J # $ � � � $ � ) # = + ) ) #�, ( � ' + ! # � � ) $ � � $ � 4 � #�) + � $� � ( $ # ) � + ) $ � ) # , ( � ' + ! # � � � $ � $ � � 9 4 # � $ # � + � � 9 + ) $ � � � 4 � # � # � + � 1 ) t , #

    p

    � ��� � � � . . � � � &�� � � .w � # $ � [ � 9 4 � # ! # � ( $ + � ! � # � # � � + = � . , # 0 } } 1 � + � $ 5 � # � + � � # $ � # $ O � � # � � $ pj $ + ) �( ? � � # $ V � ( � + $ � � [ � ) # 8 5 � 4�# $ � l I ( # V } � + 4 �

    k� )�# ) � 4 # � ! + ) ) ( # ) � � #

    0# �n

    # �$ � � � + $ + ) $ 5 � # � J + ) � 4 �pk = 1

    # �pj = 0

    � + � �j 6= k � + 4 � ϕk � � [ + ) 9 � 4 + ) ! # t! ( l ) 4 # � � �

    ϕk(t) =(t− t0)(t− t1) · · · (t− tk−1)(t− tk+1) · · · (t− tn)

    (tk − t0)(tk − t1) · · · (tk − tk−1)(tk − tk+1) · · · (tk − tn). 0 } 2 1

    ] � � 4 � # , # ) � 8 � # ) � , ( � � � # � � ! #ϕk

    # $ � � ) � � + ! � 4 � ! #n

    � # � , # $(t−tj)

    � O # 9 j 6= k # �# $ � ! + ) 9 � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � (n

    # )t

    � # ! ( ) + , 4 ) � � # � � ! #ϕk

    # $ � � ) # 9 + ) $ � � ) � ## � 4 � # $ � � � + � $ [ � 9 4 � # ! # O ( � 4 l # � 5 � #(i) ϕk

    # $ � � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � (n,

    (ii) ϕk(tj) = 0$ 4j 6= k, 0 ≤ j ≤ n,

    (iii) ϕk(tk) = 1.d 9 ' � 5 � # � + 4 ) �tk

    8 ) + � $ � O + ) $ ! + ) 9 � $ $ + 9 4 ( � ) � + � 1 ) t , # ϕk ! # ! # ? � ( n O � � � ) �� ) # )tk

    # � � ( � + � � I � � � � # $ � + 4 ) � $tj

    8j 6= k� # $ � + � 1 ) t , # $

    ϕ08ϕ1

    8ϕ2

    8. . .

    8ϕn

    $ + ) � � 4 ) ( � 4 � # , # ) � 4 ) ! ( � # ) ! � ) � $ { ) # h # �$ 4α0

    8α1

    8α2

    8. . .

    8αn

    $ + ) �(n + 1)

    ) + , = � # $ � ( # � $ � # � $ 5 � # ∑nj=0 αjϕj(t) = 0

    8∀t ∈ R 8 � � + � $ � + � � t = tk ) + � $ + = � # ) + ) $ *

    0 =

    n∑

    j=0

    αj ϕj(tk)︸ ︷︷ ︸

    0$ 4

    j 6=k

    1$ 4

    j=k

    = αk,

    http://fribok.blogspot.com/

  • ��� � � ����� � ��������������� ���������������� 1

    # � � � � 9 + ) $ ( 5 � # ) � � + � $ � # $αk

    8k = 0, 1, . . . , n

    $ + ) � 4 ! # ) � 4 5 � # , # ) � ) � � $9 + � + ) $ ,�� 4 ) � # ) � ) �

    Pn� J # $ � � 9 # O # 9 � + � 4 # � [ + � , ( � � � � + � $ � # $ � + � 1 ) t , # $ ! #! # ? � ( 4 ) [ ( � 4 # � � + � ( ? � � Vn

    w � # $ � = 4 # )9 + ) ) �5 � #Pn

    # $ ��� ) # $ � � 9 # O # 9 � + � 4 # �! # ! 4 , # ) $ 4 + )(n+ 1)

    # � 5 � # $ � = � $ # 9 � ) + ) 4 5 � # # $ � ! + ) ) ( # � � �1, t, t2, t3, . . . , tn� # [ � 4 � 5 � #

    ϕ0, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn$ + 4 # ) � ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � (

    n� 4 ) ( � 4 � # , # ) �4 ) ! ( � # ) ! � ) � $ , + ) � � # 5 � # 9 # $ ! # � ) 4 # � $ [ + � , # ) � � � $ $ 4 � ) # = � $ # ! #

    Pnd 4 ) $ 4 ) + � $� ! + � � # � + ) $ � ��! ( l ) 4 � 4 + ) $ � 4 O � ) � # *

    ; = � %�# ' # � % ��W : 8 : < > @ A B : E > H < Jϕ0, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn

    J > L N P�� P > J @ J�� P� B P E� J�@ JPn

    P > >�: U�A \ J P < _ ` : A E L > t0, t1, t2, . . . , tn bf � � � + � � ��W � m � # ) + ) $

    n = 28t0 = −1

    8t1 = 0

    8t2 = 1

    � � = � $ # ! # ��� ? � � ) ? # ! #P2

    � $ $ + 9 4 ( # � � I � + 4 ) � $ −1 8 0 # � 1 # $ � [ + � , ( # � � � � # $ � + � 1 ) t , # $ ϕ0, ϕ1, ϕ2 ! ( l ) 4 $� � �ϕ0(t) ≡

    (t− t1)(t− t2)(t0 − t1)(t0 − t2)

    =1

    2t(t− 1) = 1

    2t2 − 1

    2t; 0 } 5 1

    ϕ1(t) ≡(t− t0)(t− t2)

    (t1 − t0)(t1 − t2)= −(t+ 1)(t− 1) = 1 − t2; 0 } 4 1

    ϕ2(t) ≡(t− t0)(t− t1)

    (t2 − t0)(t2 − t1)=

    1

    2(t+ 1)t =

    1

    2t2 +

    1

    2t. 0 } 8 1

    � # $ ? � � � ' # $ ! #ϕ0

    8ϕ1

    8ϕ2

    $ � � � J 4 ) � # � O � � � # [−1,+1] � ) 4 5 � # , # ) � $ + ) � � # � � ( $ # ) � ( $! � ) $ � � l ? � � # } }

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    -1 0 1

    ϕ0

    ϕ1

    ϕ2

    X # R W ��W � 0 � $ # ! # ��� ? � � ) ? # ! #P2

    � $ $ + 9 4 ( # � � I � + 4 ) � $ −1 8 0 # � 1

    ����� � � . & $ � * � � � � � . � � � & � � � .� # O # ) + ) $ � ��� � + = � . , # 0 } } 1 9 + ) $ 4 $ � � ) � V 9 ' # � 9 ' # � � ) � + � 1 ) t , # p ! # ! # ? � ( n5 � 4 � � # ) ) # ! # $ O � � # � � $ ! + ) ) ( # $ p0 8 p1 8 p2 8 . . . 8 pn # ) ! # $ � + 4 ) � $ ! 4 $ � 4 ) 9 � $ ! + ) ) ( $

    t08t1

    8t2

    8. . .

    8tn

    http://fribok.blogspot.com/

  • ������� � �������������������������� ����� � ���������������� + 4 �

    ϕ0, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn� � = � $ # ! # � � ? � � ) ? # ! #

    Pn� $ $ + 9 4 ( # � � I � + 4 ) � $

    t08t1

    8t2

    8. . .

    8tn

    d � + � $ � # � + � 1 ) t , #p

    9 ' # � 9 ' ( # $ � ! ( l ) 4 � � � *p(t) = p0ϕ0(t) + p1ϕ1(t) + · · · + pnϕn(t) =

    n∑

    j=0

    pjϕj(t). 0 } 6 1{ ) # h # � 8 � � 4 $ 5 � #

    p# $ � � ) # 9 + , = 4 ) � 4 $ + ) � 4 ) ( � 4 � # ! #

    (n + 1)� + � 1 ) t , # $

    ϕ08ϕ1

    8ϕ2

    8. . .

    8ϕn

    ! # ! # ? � (n8 � � + � $

    p# $ � � � 4 N , b , # � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � (

    n8 9 J # $ � N V N ! 4 � #

    p ∈ Pn�� J � � � � # � � � � 8�$ 4 ) + � $ � � 4 � 4 $ + ) $ � # $ � � + � � 4 ( � ( $ ! # $ � + � 1 ) t , # $

    ϕj8 ) + � $� O + ) $ � + � � k = 0, 1, 2, . . . , n *

    p(tk) =n∑

    j=0

    pj ϕj(tk)︸ ︷︷ ︸

    0$ 4

    j 6=k

    1$ 4

    j=k

    = pk 0 } } 1

    5 � 4 # $ � = 4 # ) � � � # � � � 4 + ) 0 } } 1w � # $ � 4 , � + � � � ) � ! # � # ,�� � 5 � # � 5 � #�) + � $ � O + ) $ 9 + ) $ � � � 4 � # I � � 4 9 4 � # , # ) � � ) #$ + � � � 4 + ) ! � � � + = � . , # 0 } } 1 # � 9 # 9 4 � + � � ) J 4 , � + � � # 5 � # � � # $ O � � # � � $ p0, p1, . . . , pn! + ) ) ( # $ ] # 9 4 , + ) � � # 5 � # � # $ 1 $ � . , # 0 } 1 � � + � z + � � $ � ) # $ + � � � 4 + ) ~a � + � � ) J 4 , N� + � � # 5 � # �~p

    # � � 4 ) $ 4 � � ,�� � � 4 9 # ! #�� � ) ! # � , + ) ! #T

    # $ � � ( ? � � 4 . � # �� ��$ + � � � 4 + )0 } 6 1 ! � � � + = � . , # 0 } } 1 # $ � ! + ) 9 � ) 4 5 � #f � � � +�� � � W : �� + � O # � � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � ( / 5 � 4 # ) t0 = −1 O � � � p0 = 8 8 # )t1 = 0

    O � � � p1 = 3 # � # ) t2 = 1 O � � � p2 = 6� J � � � . $ 9 #�5 � 4 � � ( 9 . ! # 8 ) + � $ � O + ) $ p(t) = 8ϕ0(t) + 3ϕ1(t) + 6ϕ2(t) + 4 ϕ0 8ϕ1

    # �ϕ2

    $ + ) � ! + ) ) ( $ � � � 0 } 5 1 N 0 } 8 1 9 + � $ + = � # ) + ) $ ! + ) 9 *p(t) = 8

    (1

    2t2 − 1

    2t

    )

    + 3(1 − t2) + 6(

    1

    2t2 +

    1

    2t

    )

    = 4t2 − t+ 3.

    � ��� ��� . & $ � * � � ��� � �� " � .�� ���� � � � �� ����� � � " .$ � & " � $ � *�� � , .

    � + 4 � � ) # [ + ) 9 � 4 + )f : R → R 9 + ) � 4 ) � # ! + ) ) ( # # � $ + 4 � t0 8 t1 8 t2 8 . . . 8 tn 8 (n+1)� + 4 ) � $ ! 4 $ � 4 ) 9 � $ ! + ) ) ( $

    9 + � $ 9 ' # � 9 ' + ) $ ,�� 4 ) � # ) � ) � V 4 ) � # � � + � # �f

    � � � � ) � + � 1 ) t , #p

    ! # ! # ? � (n� � I � + 4 ) � $

    tj80 ≤ j ≤ n 8 9 J # $ � N V N ! 4 � # ) + � $ 9 ' # � 9 ' + ) $ � ) � + � 1 ) t , # p ! # ! # ? � ( n� # � 5 � #

    p(tj) = f(tj), 0 ≤ j ≤ n. 0 } } } 1� 4f(t)

    # $ � ! + ) ) ( # 8 � � + � $ # ) � + $ � ) �pj = f(tj)

    80 ≤ j ≤ n # � # ) $ � 4 O � ) � 9 # 5 � 4# $ � [ � 4 � ! � ) $ � � $ # 9 � 4 + ) } 1 8 ) + � $ + = � # ) + ) $

    p(t) =∑n

    j=0 pjϕj(t)+ 4�� # $

    ϕj80 ≤

    j ≤ n 8 [ + � , # ) � � � = � $ # ! # ��� ? � � ) ? # ! # Pn � $ $ + 9 4 ( # � � I � + 4 ) � $ t0, t1, t2, . . . , tn��� $ + � � � 4 + ) ! � � � + = � . , # 0 } } } 1 # $ � ! + ) 9 ! ( l ) 4 # � � � *p(t) =

    n∑

    j=0

    f(tj)ϕj(t) ∀t ∈ R. 0 } } / 1

    http://fribok.blogspot.com/

  • ��� � � ����� � ��������������� � ������� �� �������� � ������������ 2

    ; = � %�# ' # � % ��W N�� E@ A B P H�< J N J ` : N�� E R J p @ \�� E A ` P B��� b ����� J > L N�� A E L J B ` : N P E L @ Jf@ J @ J � B \

    nP < _ ` : A E L > t0, t1, t2, . . . , tn b

    f � � � + � � ��W N � + 4 �f

    � � [ + ) 9 � 4 + ) ! ( l ) 4 # � � �f(t) = et

    �� + � O # � � J 4 ) � # � � + � � ) � ! #f

    ! # ! # ? � (2

    � � I � + 4 ) � $ −1 8 0 # � 1� 4 ) + � $ � # � � # ) + ) $ � � [ + � , � � # 0 } } / 1 8 ) + � $ � O + ) $ p(t) = e−1ϕ0(t) + e0ϕ1(t) +

    eϕ2(t)+ 4

    ϕ0, ϕ1, ϕ2$ + ) � ! + ) ) ( $ � � � 0 } 5 1 8 0 } 4 1 # � 0 } 8 1 d 4 ) $ 4 ! + ) 9 ) + � $ + = � # N) + ) $

    p(t) =1

    e

    (1

    2t2 − 1

    2t

    )

    + (1 − t2) + e(

    1

    2t2 +

    1

    2t

    )

    =

    (1

    2e− 1 + e

    2

    )

    t2 +

    (e

    2− 1

    2e

    )

    t+ 1.

    ��� l ? � � # } / , + ) � � # � # ? � � � ' # ! # � ��[ + ) 9 � 4 + )f

    # � $ + ) 4 ) � # � � + � � ) � ! # ! # ? � (2

    � � I � + 4 ) � $ −1 8 0 # � 1

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    -1 0 1

    fp

    X # R W ��W : w ) � # � � + � � � 4 + ) ! # � � [ + ) 9 � 4 + )f

    ! ( l ) 4 # � � �f(t) = et

    � � � � ) � + � 1 ) t , #p! # ! # ? � (

    2� � I � + 4 ) � $ −1 8 0 # � 1

    � + 4 � ,�� 4 ) � # ) � ) � � ) # [ + ) 9 � 4 + )f : [a, b] → R 9 + ) � 4 ) � # # � ! + ) ) ( # $ � � � )4 ) � # � O � � � # [ # � , ( [a, b] � + 4 � n � ) # ) � 4 # � � + $ 4 � 4 [ # � 9 + ) $ 4 ! ( � + ) $ � # 9 � $ + 4 � # $ � + 4 ) � $

    tj8j = 0, 1, 2, . . . , n

    8 $ + ) � ( 5 � 4 ! 4 $ � � 4 = � ( $�! � ) $[a, b]

    8 9 J # $ � N V N ! 4 � #tj = a + jh

    8j = 0, 1, 2, . . . , n

    8 � O # 9 h = (b − a)/n � + 4 � p � J 4 ) � # � � + � � ) � ! # f ! # ! # ? � ( n � � I� + 4 ) � $t0, t1, . . . , tn

    5 � # ) + � $ ) + � # � + ) $pn

    � + � � = 4 # ) , + ) � � # ��5 � J 4 � ! ( � # ) ! ! #� J # ) � 4 # �n

    9 ' + 4 $ 4 � � ! ( � � � � � J � � � . $ 0 } } / 1 8 pn # $ � ! ( l ) 4 � � � *

    pn(t) =n∑

    j=0

    f(tj)ϕj(t), 0 } } 1 1+ 4

    ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn# $ � � � = � $ # ! # � � ? � � ) ? # ! #

    Pn� $ $ + 9 4 ( # V

    t0, t1, . . . , tn$ ) � # � �, + ) � � # � � # � ( $ � � � � � $ � 4 O � ) � *

    http://fribok.blogspot.com/

  • 5 ������� � �������������������������� ����� � ���������������

    � ��= � ��� � � � W ��� < ` ` : >�: E > H < J f >�: A L (n + 1) � : A > U : E L A E�� R J E L @ \ B A�� P ��N J > < BN � A E L J�B�� P N N J[a, b] b N : B > > A pn J > L @ \ � E A ` P B �� b ��� � E: < > P� : E >��

    maxt∈[a,b]

    |f(t) − pn(t)| ≤1

    2(n+ 1)

    (b− an

    )(n+1)

    maxt∈[a,b]

    |f (n+1)(t)| 0 } } 1:�

    f (n+1)(t) = dn+1f(t)/dtn+1 b� J 4 ) ( ? � � 4 � ( 0 } } 1�# $ � � ) # # $ � 4 ,�� � 4 + ) ! J # � � # � � # ) � � # � � [ + ) 9 � 4 + ) f # � $ + ) 4 ) � # � N� + � � ) �pn

    ! # ! # ? � (n

    � � I � + 4 ) � $t0, t1, t2, . . . , tn

    ( 5 � 4 � ( � � � � 4 $ ! � ) $[a, b]

    d � � 4 + � 4) + � $ � + � � � 4 + ) $ � # ) $ # � 5 � #�9 # � � # # � � # � � 9 + ) O # � ? # O # � $� ( � + � + � $ 5 � # n � # ) ! O # � $� J 4 ) l ) 4 � � 4 $ 5 � # ) + � $ � O + ) $

    limn→∞

    1

    2(n+ 1)

    (b− an

    )(n+1)

    = 0.

    { ) � ( � � 4 � ( 8 9 # � � # � �� ,�� � 4 + ) # $ � $ + � O # ) � [ � � $ $ # 9 � � maxt∈[a,b] |f (n+1)(t)| � # � �9 � +� � � # � � . $ � � � 4 ! # , # ) � � O # 9 n ] # � ' ( ) + , . ) # # $ � 4 � � � $ � � ( ! � ) $ � J # I # , � � # $ � 4 O � ) �f � � � +�� � � W _�� ` D�% R ��� � + 4 �

    f(t) = 1/(1 + 25t2)5 � # � J + ) 9 + ) $ 4 ! . � # $ � � � J 4 ) � # � N

    O � � � # [−1,+1] � � [ + ) 9 � 4 + ) f(t) # $ � 4 ) l ) 4 , # ) � ! ( � 4 O � = � # $ � � � J 4 ) � # � O � � � # [−1,+1]# � |f (n)(1)| ! # O 4 # ) � � � . $ � � � 4 ! # , # ) � ? � � ) ! � + � $ 5 � # n � # ) ! O # � $ � J 4 ) l ) 4 ��� l ? � � #} 1 , + ) � � # $ + ) 4 ) � # � � + � � ) �pn

    ! # ! # ? � (n

    � � I � + 4 ) � $tj = −1 + 2j/n

    8j = 0

    818

    . . .8n8 � + � �

    n = 5# �n = 10

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -1 -0.5 0 0.5 1

    fp5p10

    X # R W�� W N w ) � # � � + � � ) � ! #f(t) = 1/(1 + 25t2)

    ! # ! # ? � ( 2 # � } � O # 9 ! # $ � + 4 ) � $( 5 � 4 � ( � � � � 4 $9 + � $ + = $ # � O + ) $ 5 � # 8 � � O + 4 $ 4 ) � ? #�! # $ # I � � ( , 4 � ( $ ! # � J 4 ) � # � O � � � # [−1,+1] 8� J 4 ) � # � � + � � ) � � � ( $ # ) � # ! # ? � � ) ! # $ + $ 9 4 � � � � 4 + ) $ 0 4 ) $ � � = 4 � 4 � ( $ ) � , ( � 4 5 � # $ 1 9 + � $9 + ) 9 � � + ) $ ! + ) 9 5 � J 4 � ) J # $ � � � $�4 ) ! 4 5 � ( ! J 4 ) � # � � + � # � � ) # [ + ) 9 � 4 + ) � � � � ) � + � 1 ) t , #! # ! # ? � (

    n( � # O ( # ) ! # $ � + 4 ) � $ t0, t1, . . . , tn ( 5 � 4 ! 4 $ � � 4 = � ( $m � � 9 + ) � � # 8 $ 4 ) + � $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ � # $ � + 4 ) � $ ! 4 � $ ! # 9 ' # = 1 9 ' # h

    tj = a+(b− a)

    2

    (

    1 + cos(2j + 1)π

    2(n+ 1)

    )

    , j = 0, 1, 2, . . . , n,

    http://fribok.blogspot.com/

  • ��� � �� ��� ��� ������������� � ��� �� ��� � 4

    � + � � 9 + ) $ � � � 4 � # � J 4 ) � # � � + � � ) �pn

    ! #f8 � � + � $ � J # � � # � �

    maxt∈[a,b] |f(t)− pn(t)|� # ) !

    O # � $ � ( � + � + � $ 5 � # n � # ) ! O # � $ � J 4 ) l ) 4 8 9 + , , # � # , + ) � � # � � l ? � � # }

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -1 -0.5 0 0.5 1

    fp10

    X # R W � W _ w ) � # � � + � � ) ��! #f(t) = 1/(1 + 25t2)

    ! # ! # ? � ( } � O # 9 ! # $�� + 4 ) � $�! # 9 ' # = 1 9 ' # h

    ����� � � . & $ � * � � � � � ����. & , � � .� # $ � � + = � . , # $ ! J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) 5 � # ) + � $ O # ) + ) $ ! # 9 + ) $ 4 ! ( � # � $ + ) � ! # $������

    ���������� � � � � ��� � � ��" ��� � � � &�" ' � "�� ' � * 4 � $ [ + ) � 4 ) � # � O # ) 4 � � # $ O � � # � � $ ! #�� + N� 1 ) t , # $ # � ! # [ + ) 9 � 4 + ) $ # ) 9 # � � � 4 ) $ � + 4 ) � $ 8 ,�� 4 $ ) # � 4 # ) ) # ) ��� � $ 9 + , � � # ! # $! ( � 4 O ( # $ w � # I 4 $ � # ! J � � � � # $ � � + = � . , # $ ! J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) � + � � � # $ 5 � # � $ � # $ O � � # � � $ ! #p(t)

    # � ! # � � ! ( � 4 O ( # p′(t) $ + ) � ! + ) ) ( # $ # ) 9 # � � � 4 ) $ � + 4 ) � $ �$ ) � � � � # ! � ) $ 9 # 9 � $! J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) ! J 3 # � , 4 � # m + � � 4 � � � $ � � # � ) + � � # � � + � + $ 8 ) + � $ � � ( $ # ) � + ) $ � ) $ # � �# I # , � � # 5 � 4 # $ � � J 4 ) � # � � + � � � 4 + )�! J 3 # � , 4 � # � � � ! # $ 9 � = 4 5 � # $ 0 � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � (1 1� + 4 �

    t0 < t1! # � I � + 4 ) � $ ! + ) ) ( $ # ��$ + 4 �

    p0, p1, p′0, p

    ′1

    5 � � � � # ) + , = � # $ � ( # � $! + ) ) ( $ �9 + � $ 9 ' # � 9 ' + ) $ � ) � + � 1 ) t , #p

    ! # ! # ? � ( 1 � # � 5 � #p(t0) = p0, p(t1) = p1, 0 } } 2 1p′(t0) = p

    ′0, p

    ′(t1) = p′1, 0 } } 5 1+ 4

    p′(t)# $ � � � ! ( � 4 O ( # ! # p � � � + 4 ) � t� # $ 9 + ) ! 4 � 4 + ) $ 0 } } 2 1 4 , � + $ # ) � � � O � � # � � ! # p # ) t0 # � t1 * � # $ 9 + ) ! 4 � 4 + ) $ 0 } } 5 14 , � + $ # ) � � � O � � # � � ! #�� � ! ( � 4 O ( # p′ ! # p # ) t0 # � t1�� ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � ( 1$ J ( 9 � 4 � $ + � $ � � [ + � , #

    p(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t

    3;) + � $ � O + ) $ ! + ) 9�l I ( ! � ) $ 0 } } 2 1 8 0 } } 5 1 5 � � � � # 9 + ) ! 4 � 4 + ) $ � + � � ! ( � # � , 4 ) # �5 � � � � # 9 + # 9 4 # ) � $a0

    8a1

    8a2

    # �a3�9 + � $ � + � � � 4 + ) $ � � , # ) # � � # � � + = � . , # V � �� ( $ + � � � 4 + ) ! J � ) $ 1 $ � . , # � 4 ) ( � 4 � # ! #4

    ( 5 � � � 4 + ) $ V4

    4 ) 9 + ) ) � # $a0

    8a1

    8a2

    # �a3

    � 4) + � $ , + ) � � + ) $ 5 � # 9 # $ 1 $ � . , # � 4 ) ( � 4 � # � � + � z + � � $ � ) # $ + � � � 4 + ) � + � � ) J 4 , � + � � #5 � # � � # $ O � � # � � $ p0, p1, p′0, p′1 8 � � + � $ 9 # � � # $ + � � � 4 + ) # $ � � ) 4 5 � #m + � � 9 + ) $ � � � 4 � #p8 ) + � $ 9 + , , # ) + ) $ � � � 9 + ) $ � � � 4 � # � ) # = � $ #

    ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1! # $ � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � ( 1 � $ $ + 9 4 ( # � � I � + 4 ) � $t0

    # �t1

    http://fribok.blogspot.com/

  • 8 ������� � �������������������������� ����� � ���������������

    4 1 $ ) 9 + ) $ � � � 4 �ϕ0

    � # � 5 � #ϕ0

    $ + 4 � � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � ( 1 # �ϕ0(t0) = 1, ϕ

    ′0(t0) = ϕ0(t1) = ϕ

    ′0(t1) = 0.

    $ ) O ( � 4 l # 5 � # � J + ) � *ϕ0(t) = −

    (t− t1)2(2t+ t1 − 3t0)(t0 − t1)3

    . 0 } } 4 14 4 1�� # , b , # 8 + ) 9 + ) $ � � � 4 �

    ϕ1� # ��5 � #

    ϕ1$ + 4 � � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � (�1 # �

    ϕ1(t1) = 1, ϕ′1(t1) = ϕ1(t0) = ϕ

    ′1(t0) = 0.

    $ ) + = � 4 # ) � *ϕ1(t) = −

    (t− t0)2(2t+ t0 − 3t1)(t1 − t0)3

    . 0 } } 8 14 4 4 1 $ ) 9 + ) $ � � � 4 �

    ψ0� # ��5 � #

    ψ0$ + 4 � � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � (�1 # �

    ψ′0(t0) = 1, ψ0(t0) = ψ0(t1) = ψ′0(t1) = 0.

    $ ) O ( � 4 l # 5 � # � J + ) � *ψ0(t) =

    (t− t1)2(t− t0)(t0 − t1)2

    . 0 } } 6 14 O 1�� # , b , # 8 + ) 9 + ) $ � � � 4 � ψ1 � # � 5 � # ψ1 $ + 4 � � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � ( 1 # �

    ψ′1(t1) = 1, ψ1(t1) = ψ1(t0) = ψ′1(t0) = 0.

    $ ) + = � 4 # ) � *ψ1(t) =

    (t− t0)2(t− t1)(t1 − t0)2

    . 0 } / 19 + � $ � + � O + ) $ O ( � 4 l # � 5 � # 9 # $ 5 � � � � # � + � 1 ) t , # $ ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1 $ + ) � � 4 ) ( � 4 � # , # ) �4 ) ! ( � # ) ! � ) � $; = � %�# ' # � %�� W _ � J > H < P L B J ` : N�� E R J > ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1 � : B R J�E L < E J � P >�J @ J P3 H < JE : < > P ` ` J�N N J B : E > � P >�J @ � ��J�B R A L J @ J L � ` J U�< ��A H < J P > >�: U�A \ J�� t0 J�L t1 b

    � � ) $ � � l ? � � # } 2 8 ) + � $ � O + ) $ � # � � ( $ # ) � ( ϕ0 8 ϕ1 8 ψ0 # � ψ1 $ � � � J 4 ) � # � O � � � #[t0, t1]

    � ) 4 5 � # , # ) �d 1 � ) � 9 + ) $ � � � 4 � � � = � $ #�! J 3 # � , 4 � #ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1

    ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � ( 1� $ $ + 9 4 ( # � � I � + 4 ) � $t0, t1

    8 ) + � $ O ( � 4 l + ) $ [ � 9 4 � # , # ) � 5 � # $ 4 p # $ � � # � + � 1 ) t , # ! #! # ? � (3

    ! ( l ) 4 � � �p(t) = p0ϕ0(t) + p1ϕ1(t) + p

    ′0ψ0(t) + p

    ′1ψ1(t), 0 } / } 1� � + � $

    p$ � � 4 $ [ � 4 � � # $ � # � � � 4 + ) $ 0 } } 2 1 0 } } 5 1

    � 4 ) + � $ � � # ) + ) $ ,�� 4 ) � # ) � ) � � ) # [ + ) 9 � 4 + )f

    � ) # [ + 4 $ 9 + ) � 4 )�� , # ) � ! ( � 4 O � = � #$ � � � J 4 ) � # � O � � � # [t0, t1] # � $ 4 ) + � $ 9 + ) $ � � � 4 $ + ) $ � # � + � 1 ) t , # p ! ( l ) 4 � � �p(t) = f(t0)ϕ0(t) + f(t1)ϕ1(t) + f

    ′(t0)ψ0(t) + f′(t1)ψ1(t),� � + � $ ) + � $ ! 4 � + ) $ 5 � #

    p# $ � � J 4 ) � # � � + � � ) � ! J 3 # � , 4 � # ! #

    f� � � ! # $ 9 � = 4 5 � # $ $ � �

    [t0, t1]9 + � $ � O + ) $ ) � � � � # � � # , # ) �

    p(t0) = f(t0), p(t1) = f(t1),

    p′(t0) = f′(t0), p

    ′(t1) = f′(t1).

    http://fribok.blogspot.com/

  • ��� � � ����� � ��������������� � ��� � ��� ����� ��� ����� 6

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    t0 t1

    ϕ0 ϕ1

    ψ0

    ψ1

    X # R W ��W m 0 � $ # ! J 3 # � , 4 � # ! # � 1 � # 9 � = 4 5 � #����� � � . & $ � * � � � � � $ � & � � � . &��� *�* . �

    � J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) ! J � ) # [ + ) 9 � 4 + ) � � � ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � ( ( � # O ( # ) ! # $ � + 4 ) � $( 5 � 4 ! 4 $ � � 4 = � ( $ � # � ��# ) ? # ) ! � # � ! # $ 4 ) $ � � = 4 � 4 � ( $ ) � , ( � 4 5 � # $ 9 + , , # ) + � $ � J � O + ) $ O �! � ) $ � � $ # 9 � 4 + ) } � # � � � $ 8 � J 4 ) � # � � + � � � 4 + )�! J � ) # [ + ) 9 � 4 + ) � � � ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! #! # ? � ( ( � # O ( ) J # $ � � � $ z � $ � 4 l ( # � + � $ 5 � # � � [ + ) 9 � 4 + ) V 4 ) � # � � + � # � ) J # $ � � � $ � ( ? � � 4 . � #] J # $ � � � � � 4 $ + ) � + � � � � 5 � # � � # � J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) � � � 4 ) � # � O � � � # $ # $ � $ + � O # ) � � � 4 � 4 $ ( #� + 4 �

    f� ) # [ + ) 9 � 4 + ) 9 + ) � 4 ) � # ! + ) ) ( # $ � � � ) 4 ) � # � O � � � # [a, b] # � $ + 4 � 0 N + 1 1� + 4 ) � $

    x0 = a < x1 < x2 < x3 < . . . < xN = b! � ) $ � J 4 ) � # � O � � � # [a, b] m + � �9 ' � 5 � # 4 ) � # � O � � � # [xi, xi+1] 8 4 � # $ ��� + $ $ 4 = � # ! # 9 ' + 4 $ 4 � 0 n − 1 1 � + 4 ) � $ 4 ) � ( � 4 # � � $( 5 � 4 � ( � � � � 4 $ ) + � ( $

    xi,1 < xi,2 < xi,3 < . . . < xi,n−1.{ )� + $ � ) �t0 = xi

    8tj = xi,j

    � O # 9 1 ≤ j ≤ n − 1 8 tn = xi+1 8 ) + � $ � + � O + ) $4 ) � # � � + � # �f

    � � I � + 4 ) � $tj

    80 ≤ j ≤ n 8 � � � � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � ( n 9 + , , # ) + � $� J � O + ) $ [ � 4 � ! � ) $ � ��$ # 9 � 4 + ) } � � ) $ � � $ � 4 � # ) + � $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $h = max

    0≤i≤N−1|xi+1 − xi|,

    # ��) + � $ 9 + ) $ � � � 4 $ + ) $ � ) # [ + ) 9 � 4 + )fh : x ∈ [a, b] −→ fh(x) ∈ R

    � # � � # 5 � #fh� # $ � � # 4 ) � # V 9 # � 4 ) � # � O � � � # [xi, xi+1] $ + 4 � z � $ � # , # ) � 9 # � + � 1 ) t , # ! J 4 ) � # � � + � � � 4 + )! # ! # ? � (

    n

    ; = � %�# ' # � % ��W m � E @ A B P H�< Jfh

    J > L N � A E L J�B ` : N P E L @ J @ J � B \ n ` P B A E L J B�� P N N J > @ JN P � : EU�L A : E f b9 + � $ ! ( , + ) � � + ) $ � # � ( $ � � � � � $ � 4 O � ) � *� � = ��� � � � � W : � : A L

    n< E J E L A J�B ` : > A L A � @ : E E\ a >�: A L f : [a, b] → R < EJ � : E U L A : E@ : E E\ J H�< J�E: < > > < ` ` : >�: E > (n + 1) � : A > U : E L A E�� R J E L @ \�B A�� P � N J > < B N � A E L J�B�� P N N J

    [a, b]J�L > : A L

    fh>�: E A E L J B ` : N P E L�@ J @ J � B \ n ` P B A E L J B�� P N N J > b N : B >�A N J _ A > L J�< E JU : E > L P E L J

    C

    A E @ \ ` J�E@ P E L J @ < U�� : A _ @ J > xi a 1 ≤ i ≤ N − 1 � L J�N N J H < J

    maxx∈[a,b]

    |f(x) − fh(x)| ≤ Chn+1. 0 } / / 1

    http://fribok.blogspot.com/

  • } ������� � �������������������������� ����� � ���������������; = � ��%�� ' ��, ' # ��%{ ) � � 4 � 4 $ � ) � � # � ' ( + � . , #�} } $ � � � J 4 ) � # � O � � � # [xi, xi+1] # ) � 4 # � # � � � � 9 # ! # � J 4 ) � # � NO � � � # [a, b] 8 ) + � $ + = � # ) + ) $ *

    maxt∈[xi,xi+1]

    |f(t) − fh(t)| ≤1

    2(n+ 1)

    (xi+1 − xi

    n

    )(n+1)

    maxt∈[xi,xi+1]

    |f (n+1)(t)|.

    d 4 ) $ 4 ) + � $ � O + ) $

    maxt∈[xi,xi+1]

    |f(t) − fh(t)| ≤ C(

    max0≤j≤N−1

    |xj+1 − xj |)n+1 0 } / 1 1

    + 4 � � 9 + ) $ � � ) � #C

    # $ � ! + ) ) ( # � � �C =

    1

    2(n+ 1)n(n+1)maxt∈[a,b]

    |f (n+1)(t)|

    # � + 4i = 0, 1, 2, . . . , N−1 d 4 ) $ 4 0 } / / 1 # $ � � ) # 9 + ) $ ( 5 � # ) 9 # 4 , , ( ! 4 � � # ! # 0 } / 1 1

    � ) # 4 ) � # � � � ( � � � 4 + ) ! � � ' ( + � . , # } / # $ � � � $ � 4 O � ) � # � 4 + ) $ # ! + ) ) # � ) # ) � 4 # �� + $ 4 � 4 [n

    # � $ 4 + ) � � # ) !N

    � + 4 ) � $x1, x2, . . . , xN

    � O # 9 N ! # � � � $ # )�� � � $ ? � � ) ! ! #[ � + ) V 9 # 5 � #h

    $ + 4 � ! # � � � $�# ) � � � $�� # � 4 � 8 � � + � $maxx∈[a,b] |f(x)−fh(x)|

    9 + ) O # � ? #O # � $ � ( � + � + � $ 5 � # h � # ) ! O # � $ � ( � + m � � # I # , � � # 8 $ 4 + ) � + $ # h = (b− a)/N # � $ 4xi = a+ ih

    � O # 9 i = 0, 1, 2, . . . , N 8 + ) � � � �max

    x∈[a,b]|f(x) − fh(x)| ≤ Chn+1.

    { ) � � � � 4 5 � # 8 + ) � � # ) ! � �N

    ? � � ) ! # �n

    � # � 4 � 0 n = 1 + � / + � 1 + � 1f � � � +�� � � W m ] + ) $ 4 ! ( � + ) $ � # 9 � $ + 4

    f(x) = x1.7 + 0.1e3x sin(13x)8a = 0

    8b =

    0.88N = 4 0 � + � � � # $ = # $ + 4 ) $ ! # � � l ? � � # 1 8 x0 = 0 8 x1 = 0.2 8 x2 = 0.4 8 x3 = 0.6 8

    x4 = 0.8�� 4

    n = 18 4 � ) J 1 � � � $ ! #�� + 4 ) � 4 ) � ( � 4 # � � � � I�4 ) � # � O � � � # $ [xi, xi+1] # �� J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) $ � � 9 ' � 5 � # 4 ) � # � O � � � # $ # [ � 4 � � � � ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � (�} ����l ? � � # } 5 , + ) � � # � # ? � � � ' # ! # � J 4 ) � # � � + � � ) � � � � 4 ) � # � O � � � # $

    � 4n = 2

    8�) + � $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ � + � � � + 4 ) � 4 ) � ( � 4 # � � V[xi, xi+1]

    � # � + 4 ) � , 4 � 4 # �xi,1 =

    xi+xi+12

    # � � J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) $ � � 9 ' � 5 � # 4 ) � # � O � � � # $ # [ # � � � � � ! # $ � + � 1 ) t , # $! # ! # ? � ( / � � l ? � � # } 4 , + ) � � # � # ? � � � ' # ! # � J 4 ) � # � � + � � ) � � � � 4 ) � # � O � � � # $� J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) ! # � � ? � � ) ? # � � � 4 ) � # � O � � � # $ , # � # ) ( O 4 ! # ) 9 # ! # $ $ � � � $ ! # � �! ( � 4 O ( # � � # , 4 . � # # ) 9 ' � 5 � # � + 4 ) � xi 0 l ? } 5 # � } 4 1 � ) # ,�� ) 4 . � # ! # 9 + ) $ � � � 4 � #� ) 4 ) � # � � + � � ) � � � � 4 ) � # � O � � � # $ � � � $ � 4 $ $ # # $ � ! J � � 4 � 4 $ # � � J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) ! J 3 # � , 4 � #� O # 9 ! # $ 9 � = 4 5 � # $ $ � � 9 ' � 5 � # 4 ) � # � O � � � # [xi, xi+1] 0 $ # 9 � } 2 1 ] � � 4 � # , # ) � $ 4 f # $ �� ) # [ + ) 9 � 4 + )C1

    $ � � � J 4 ) � # � O � � � # [a, b] # � $ 4 8 $ � � 9 ' � 5 � # 4 ) � # � O � � � # [xi, xi+1] 8 ) + � $4 ) � # � � + � + ) $f

    � � � � ) � + � 1 ) t , #�! # ! # ? � ( 1 9 + , , # ) + � $ � J � O + ) $ ! ( z V [ � 4 � ! � ) $� � $ # 9 � 4 + ) } 2�$ � � � J 4 ) � # � O � � � # [t0, t1] 8 � � + � $ # ) 9 ' � 5 � # � + 4 ) � xi � ��[ + ) 9 � 4 + )5 � 44 ) � # � � + � #f

    � � # ) ! � � O � � # � � f(xi) # � $ ��! ( � 4 O ( # � � # , 4 . � # � � # ) ! � � O � � # � � f ′(xi)� J 4 ) � # � � + � � ) � � 4 ) $ 4 9 + ) $ � � � 4 � # $ � � ) # [ + ) 9 � 4 + )C1

    $ � �[a, b] 0 l ? } 8 1

    http://fribok.blogspot.com/

  • ��� � � ����� � ��������������� � ��� � ��� ����� ��� ����� } }

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    0 0.2 0.4 0.6 0.8a = x0 x1 x2 x3 b = x4

    x1.7 + 0.1e3x sin(13x)interpolant

    X # R W � W � w ) � # � � + � � � 4 + ) � � � 4 ) � # � O � � � # $ ! # f � � � ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � ( }

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8a = x0 x1 x2 x3 b = x4x0,1 x1,1 x2,1 x3,1

    x1.7 + 0.1e3x sin(13x)interpolant

    X # R W � W G w ) � # � � + � � � 4 + ) � � � 4 ) � # � O � � � # $ ! # f � � � ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � ( /

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    0 0.2 0.4 0.6 0.8a = x0 x1 x2 x3 b = x4

    x1.7 + 0.1e3x sin(13x)interpolant

    X # R W ��W # w ) � # � � + � � � 4 + ) � � � 4 ) � # � O � � � # $ ! # f � � � ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! J 3 # � , 4 � # 9 � N= 4 5 � # $

    http://fribok.blogspot.com/

  • } / ������� � �������������������������� ����� � ���������������� ��� ��� . & � � � . �f � � � k # k � ��W � $ ) $ � � � + $ # 5 � # � J + ) 9 + ) ) � 4 $ $ # � # $ O � � # � � $ f(t) ! J � ) # [ + ) 9 � 4 + )9 + ) � 4 ) � # � � I O � � # � � $ ! # t # ) � 4 . � # $ $ # � � # , # ) � 8 9 J # $ � N V N ! 4 � # + )�$ � � � + $ # 9 + ) ) � # $ � # $O � � # � � $

    f(k), k = 0, ±1, ±2, . . .� 4t ∈ R 8 t ) + ) # ) � 4 # � 8 + ) ! ( l ) 4 � � ) # � � � � + I 4 ,�� � 4 + ) p(t) ! # f(t) # ) 4 ) � # � � + � � ) �� � [ + ) 9 � 4 + )

    f� � � � ) � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � ( 1 � � I 5 � � � � # � + 4 ) � $ # ) � 4 # � $ � # $ � � � $� � + 9 ' # $ ! #

    t{ 9 � 4 � # � ) � � ? + � 4 � ' , # 5 � 4 8 � + � �t! + ) ) ( 8 [ + � � ) 4 �

    p(t)

    j ��� D ' # � %� + 4 �

    t ∈ R 8 t ) + ) # ) � 4 # � # � $ + 4 � k = E[t] � � � � � � 4 # # ) � 4 . � # ! # t m � 4 $ 5 � # t ∈]k, k+1[4 � $ J � ? 4 � ! # ! ( l ) 4 � � # � + � 1 ) t , #p

    ! + ) � � # ? � � � ' # � � $ $ # � � � � # $ � + 4 ) � $(k − 1, f(k − 1)

    ),(k, f(k)

    ),(k + 1, f(k + 1)

    ),(k + 2, f(k + 2)

    ).

    � , ��� � , D � W � d � ? + � 4 � ' , # [ + � � ) 4 $ $ � ) �p = p(t)

    V � � � � 4 � ! #t

    � � R�����# ' � � � � � � � � % ' , # ��� �

    ψ0(x) := −1

    6x(x − 1)(x− 2)

    ψ1(x) :=1

    2(x + 1)(x− 1)(x− 2)

    ψ2(x) := −1

    2(x+ 1)x(x − 2)

    ψ3(x) :=1

    6(x + 1)x(x− 1)� 4 � #

    t

    k := E[t]� 4t = k

    p := fk;� 4 ) + )p := fk−1 ∗ ψ0(t− k)

    +fk ∗ ψ1(t− k)+fk+1 ∗ ψ2(t− k)+fk+2 ∗ ψ3(t− k)

    � ( l ) 4 � 4 + ) ! # $ [ + ) 9 � 4 + ) $ψ0

    8ψ1

    8ψ2

    8ψ3

    ] � � 9 � � ! #k

    � 4t# $ � # ) � 4 # �

    � 4 ) + ) + ) 9 � � 9 � � #p(t)

    http://fribok.blogspot.com/

  • ��� � � ����� ����������� } 1] + ) [ + � , ( , # ) � � � I � ( $ � � � � � $ ! # � ��$ # 9 � 4 + ) } 8

    p# $ � � # � + � 1 ) t , # ! ( l ) 4 � � �

    p(t) =f(k − 1)ϕ0(t) + f(k)ϕ1(t)+ f(k + 1)ϕ2(t) + f(k + 2)ϕ3(t),

    0 } / 1+ 4

    ϕ08ϕ1

    8ϕ2

    8ϕ3

    # $ � � � = � $ #�! # ��� ? � � ) ? # ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � ( 1 � $ $ + 9 4 ( #� � I�� + 4 ) � $k − 1 8 k 8 k + 1 8 k + 2 { ) � � 4 � 4 $ � ) � � J ( ? � � 4 � ( 0 } 2 1 8 � ) 9 � � 9 � � $ 4 , � � #! + ) ) # *

    ϕ0(t) = −1

    6(t− k)(t− k − 1)(t− k − 2),

    ϕ1(t) =1

    2(t− k + 1)(t− k − 1)(t− k − 2),

    ϕ2(t) = −1

    2(t− k + 1)(t− k)(t− k − 2),

    ϕ3(t) =1

    6(t− k + 1)(t− k)(t− k − 1).

    { h # 9 � � + ) $ � # 9 ' � ) ? # , # ) � ! # O � � 4 � = � # x = t− k m � 4 $ 5 � # t ∈]k, k + 1[ 8 � � + � $x ∈]0, 1[ # � ) + � $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $ � # $ [ + ) 9 � 4 + ) $ ψ0 8 ψ1 8 ψ2 8 ψ3 � � �

    ψ0(x) = ϕ0(x+ k), ψ1(x) = ϕ1(x+ k),

    ψ2(x) = ϕ2(x+ k), ψ3(x) = ϕ3(x+ k),$ + 4 � # ) 9 + � #ψ0(x) = −

    1

    6x(x − 1)(x− 2),

    ψ1(x) =1

    2(x+ 1)(x− 1)(x− 2),

    ψ2(x) = −1

    2(x+ 1)x(x − 2),

    ψ3(x) =1

    6(x+ 1)x(x − 1).

    � J ( ? � � 4 � ( 0 } / 1 $ J ( 9 � 4 � ,�� 4 ) � # ) � ) � *p(t) =f(k − 1)ψ0(t− k) + f(k)ψ1(t− k)

    + f(k + 1)ψ2(t− k) + f(k + 2)ψ3(t− k).� J � � ? + � 4 � ' , # 9 + � � # $ � + ) ! � ) � # $ � � � ( $ # ) � ( ! � ) $ � # � � = � # � � } } � # $�� � � � , . � � # $! J # ) � � ( # $ + ) �t ∈ R # � � # $ O � � # � � $ fk = f(tk) � #�� � � � , . � � #�! # $ + � � 4 # p # $ � � �O � � # � � p(t)

    f � � ��k # k � � W : � + 4 �t0 < t1

    ! # � I ) + , = � # $ � ( # � $ ! 4 $ � 4 ) 9 � $ # � $ + 4 �ε

    � # � 5 � #0 <

    ε < t1 − t0} { I � � 4 9 4 � # � � ) � + � 1 ) t , #pε

    ! # ! # ? � (�1 � # � 5 � #pε(t0) = pε(t0 + ε) =1,

    pε(t1) = pε(t1 + ε) =0.

    http://fribok.blogspot.com/

  • } ������� � �������������������������� ����� � ���������������/ � 4

    ϕ(t) = limε→0

    pε(t)8 , + ) � � # � 5 � #

    ϕ(t0) = 18ϕ(t1) = ϕ

    ′(t0) = ϕ′(t1) =

    08 # � � 4 ) $ 4

    ϕ# $ � � ) # [ + ) 9 � 4 + ) ! # = � $ #�! # $ � + � 1 ) t , # $ ! #�! # ? � ( 1 � + � �� J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) ! J 3 # � , 4 � # 0 $ # 9 � } 2 1

    j ��� D ' # � %} � + 4 �ϕ0

    8ϕ1

    8ϕ2

    8ϕ3

    � � = � $ # ! # � � ? � � ) ? # ! #P3

    � $ $ + 9 4 ( # � � I � + 4 ) � $t0

    8t0 + ε

    8t1

    8t1 + ε

    { ) � � 4 � 4 $ � ) � � # � ( $ � � � � � 0 } 6 1 ) + � $ � O + ) $ *pε(t) = ϕ0(t) + ϕ1(t).

    � J � � � � # � � � � 8 � J ( ? � � 4 � ( 0 } 2 1 ! + ) ) #�*ϕ0(t) =

    (t− t0 − ε)(t− t1)(t− t1 − ε)(−ε)(t0 − t1)(t0 − t1 − ε)

    ,

    ϕ1(t) =(t− t0)(t− t1)(t− t1 − ε)ε(t0 − t1 + ε)(t0 − t1)

    .

    { ) � ( ! � 4 $ � ) � � # $ ! # � I [ � � 9 � 4 + ) $ 9 4 N ! # $ $ � $ V � ) ! ( ) + , 4 ) � � # � � 9 + , , � ) 8 ) + � $+ = � # ) + ) $ *pε(t) =

    (t− t1)(t− t1 − ε)ε(t0 − t1)(t0 − t1 − ε)(t0 − t1 + ε)

    ×(

    (t0 − t1 − ε)(t− t0) − (t0 − t1 + ε)(t− t0 − ε))

    =(t− t1)(t− t1 − ε)(3t0 − t1 − 2t+ ε)

    (t0 − t1)(t0 − t1 − ε)(t0 − t1 + ε).

    / m � � ! ( l ) 4 � 4 + ) ! #ϕ8 ) + � $ � O + ) $ *

    ϕ(t) = limε→0

    pε(t) =(t− t1)2(3t0 − t1 − 2t)

    (t0 − t1)3,

    # � ! + ) 9 8 # ) ! ( � 4 O � ) � 8 ) + � $ + = � # ) + ) $ *ϕ′(t) =

    2(t− t1)(3t0 − t1 − 2t) − 2(t− t1)2(t0 − t1)3

    = 6(t− t1)(t0 − t)

    (t0 − t1)3.

    9 + � $ � O + ) $ ! + ) 9 = 4 # ) ϕ(t0) = 1 8 ϕ(t1) = ϕ′(t0) = ϕ′(t1) = 0 8 9 # 5 � 4 � � + � O #5 � #ϕ

    # $ � � ) # ! # $ 5 � � � � # [ + ) 9 � 4 + ) $ ! # = � $ # ! # $ � + � 1 ) t , # $ ! J 3 # � , 4 � # ! # ! # ? � ( 1� $ $ + 9 4 ( # � � I � + 4 ) � $t0

    # �t1 0 $ # 9 � } 2 1

    f � � � k # k � ��W N � + 4 �f

    � ) # [ + ) 9 � 4 + ) 9 + ) � 4 ) � #�! + ) ) ( #�$ � � � J 4 ) � # � O � � � # [−1,+1] # �$ + 4 �p

    � # � + � 1 ) t , # ! # ! # ? � ( / 5 � 4 4 ) � # � � + � #f

    # ) � # $ � + 4 ) � $ −1, 0,+1 { I � � 4 , # �∫ +1

    −1 p(t)dt# ) [ + ) 9 � 4 + )! #

    f(−1), f(0) 8 # � f(+1) � ( � 4 l # � 5 � # � � [ + � , � � # � 4 ) $ 4+ = � # ) � # 9 +�� ) 9 4 ! # � O # 9 � � [ + � , � � # ! # � 4 , � $ + ) ! # � � $ # 9 � 4 + ) 1

    http://fribok.blogspot.com/

  • � � � � � �� ��� ��� ��� ���������� ����������� ��� ���������������� } 2j � � D ' # � %{ ) � � 4 � 4 $ � ) � � # � ( $ � � � � � 0 } 6 1 8 � # � + � 1 ) t , # p # $ � ! ( l ) 4 � � �

    p(t) = f(−1)ϕ0(t) + f(0)ϕ1(t) + f(+1)ϕ2(t),+ 4ϕ0

    8ϕ1

    8ϕ2

    # $ � � � = � $ # ! # ��� ? � � ) ? # ! #P2

    � $ $ + 9 4 ( # � � I�� + 4 ) � $ −1, 0,+1 # � # $ �# I � � 4 9 4 � ( # ! � ) $ � J # I # , � � #�} } 9 + � $ � O + ) $ ! + ) 9∫ +1

    −1

    p(t)dt = f(−1)∫ +1

    −1

    ϕ0(t)dt+ f(0)

    ∫ +1

    −1

    ϕ1(t)dt+ f(+1)

    ∫ +1

    −1

    ϕ2(t)dt.

    � ) 9 � � 9 � � $ 4 , � � # ! + ) ) #∫ +1

    −1

    ϕ0(t)dt =1

    3,

    ∫ +1

    −1

    ϕ1(t)dt =4

    3,

    ∫ +1

    −1

    ϕ2(t)dt =1

    3,

    # � � � � 9 + ) $ ( 5 � # ) �∫ +1

    −1

    p(t)dt =1

    3

    (

    f(−1) + 4f(0) + f(+1))

    .

    w ��$ # , = � # ! + ) 9 ) � � � � # � ! J � � � � + 9 ' # � ∫ +1−1

    f(t)dt� � � � � 5 � � ) � 4 � (

    J(f)! ( l ) 4 # � � �

    J(f) =1

    3

    (

    f(−1) + 4f(0) + f(+1))

    .

    � � ) $ � #�9 ' � � 4 � � # 1 ) + � $ � � � # � � # � + ) $�� � 5 � � ) � 4 � (J(f) � �� ��� ��� � �����" � � " ��� � � m � � 9 + ) $ � � � 9 � 4 + ) 8 � � [ + � , � � # ! # 5 � � ! � � � � � #J(f)

    4 ) � . ? � # # I � 9 � # , # ) � � # $� + � 1 ) t , # $ ! # ! # ? � ( ! # � I � � $ # ) $ + 4∫ +1

    −1

    q(t)dt = J(q)

    � + � � � + � � � + � 1 ) t , #q

    ! # ! # ? � ( ! # � I ] # � � # [ + � , � � # ! # 5 � � ! � � � � � # $ J � � � # � � # � �[ + � , � � # ! # � 4 , � $ + ) 0 $ # 9 � 1 1

    ���� � � � . � (� (* � � � &�� $� ��� " . � . � & . , � &�� " . �9 + � $ � O + ) $ � � ( $ # ) � ( ! # � I # I # , � � # $ ! J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) � + � 1 ) t , 4 � � # 8 V $ � O + 4 �� J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) ! # � � ? � � ) ? # # � � J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) ! J 3 # � , 4 � # w � # I 4 $ � # ) � � � � # � � # , # ) �! J � � � � # $ � 1 � # $ ! J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) * 4 ) � # � � + � � � 4 + ) � � 4 ? + ) + , ( � � 4 5 � # 8 $ � � 4 ) # $ 8 # � 9d � 4 � � # ! J # I # , � � # 8 9 + ) $ 4 ! ( � + ) $ � J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) ! J � ) # [ + ) 9 � 4 + )

    f : [a, b] → R� � � � ) # [ + ) 9 � 4 + ) 5 � # ) + � $ � � � # � � # � + ) $ $ � � 4 ) #�9 � = 4 5 � # # � 5 � # ) + � $ ) + � # � + ) $S

    � 4t0 = a < t1 < . . . < tn = b

    8 $ + ) �(n + 1)

    � + 4 ) � $ ! + ) ) ( $ ! � ) $ � J 4 ) � # � O � � � # [a, b]� � + � $ 4 � # $ � � + $ $ 4 = � # ! # � � + � O # � � ) #�[ + ) 9 � 4 + ) S : [a, b] → R 9 + ) � 4 ) � # 8 � # � � # 5 � #S(t0) = f(t0)

    8. . .

    8S(tn) = f(tn)

    8 ! # ! ( � 4 O ( # $ � � # , 4 . � # # � $ # 9 + ) ! # 9 + ) � 4 ) � # $ 8� + � 1 ) t , 4 � � # ! # ! # ? � ( 1 $ � � 9 ' � 5 � # 4 ) � # � O � � � # [tj−1, tj ] 8 1 ≤ j ≤ n 0 O + 4 ��� � �# I # , � � #�� / 2���� / 8�� � + � � � � � $ ! # ! ( � � 4 � $ 1

    http://fribok.blogspot.com/

  • } 5 ������� � �������������������������� ����� � ���������������� J # I # , � � #�! # � � $ # 9 � 4 + ) } , # � � � ) � # ) ( O 4 ! # ) 9 # � � ! 4 O # � ? # ) 9 # ! #�� J 4 ) � # � N� + � � � 4 + ) # $ � � J # I # , � � # ! # � � ) ? # � )�� � � 4 � # , # ) � ,�� � ' ( ,�� � 4 5 � # 9 + , � � # � ! # 9 # �# I # , � � # $ # � � + � O # ! � ) $ � } 5��� J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) � � � 4 ) � # � O � � � # $ # $ � � ) ! # $ 4 ) ? � ( ! 4 # ) � $ ! # � � , ( � ' + ! # ! # $ ( � ( N, # ) � $ l ) 4 $ 0 9 ' � � } V } 1 { ) � � � � 4 9 � � 4 # � � # � ' ( + � . , # } / # $ � � # ? # ) � # ! # � ( $ � � � � � $� ' ( + � 4 5 � # $ 5 � 4 � # � , # � ! #�, + ) � � # � � � 9 + ) O # � ? # ) 9 # ! #�� � , ( � ' + ! # ! # $ ( � ( , # ) � $l ) 4 $9 + � $ � # O 4 # ) ! � + ) $ $ � � 9 # � � � 4 ) $ � $ � # 9 � $ ! # � J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) � + � 1 ) t , 4 � � # ! � ) $� # $ 9 ' � � 4 � � # $ / # � 1� # ) + , = � # � I � + ? 4 9 4 # � $ $ 9 4 # ) � 4 l 5 � # $ ? � � ) ! � � = � 4 9 0 � � � # I # , � � # ��� � � # TM 8

    � � � ' # ,�� � 4 9 � TM 8 ��� � � � = TM 1�� = + � ! # ) � � # $ � � + = � . , # $ ! J 4 ) � # � � + � � � 4 + ) |�4 ) � � # N, # ) ��� ��� � � � � � ��! # $ � + ? 4 9 4 # � $ ! # ] + ) 9 # � � 4 + )d $ $ 4 $ � ( # � � � $ � ! 4 ) � � # � � $ 0 ] d $ 1� � 4 � 4 $ # ) � ! # $ , ( � ' + ! # $ 4 $ $ � # $ ! # � � � ' ( + � 4 # ! # � J 4 ) � # � � + � � � 4 + )�� / 5��

    http://fribok.blogspot.com/

  • � ���������

    � �

    � � � � � � �� ��� � ��������

    � ��� �� & � �� . � � ",�� & ��� " . � � � & & . �. � . & & . "�& .�� & � � � � � "�& .

    � + 4 �f

    � ) # [ + ) 9 � 4 + ) ! #R

    ! � ) $R

    $ � � � + $ ( # 9 + ) � 4 ) � # # � ! # � � # , 4 . � # ! ( � 4 O ( #f ′

    9 + ) � 4 ) � # �� 4x0 ∈ R

    # $ � � ) � ( # � ! + ) ) ( 8 ) + � $ � + � O + ) $ ( 9 � 4 � #�*f ′(x0) = lim

    h→0

    f(x0 + h) − f(x0)h

    = limh→0

    f(x0) − f(x0 − h)h

    = limh→0

    f(x0 + h/2)− f(x0 − h/2)h

    .

    0 / } 1

    � ) # 4 ! ( # � + � � 9 � � 9 � � # � ) � , ( � 4 5 � # , # ) � � � � � # , 4 . � # ! ( � 4 O ( # f ′ ! # f � � � + 4 ) � x09 + ) $ 4 $ � # ! + ) 9 V $ # ! + ) ) # � � ) # O � � # � � h � + $ 4 � 4 O # � $ $ # � � # � 4 � # # � V 9 � � 9 � � # �∆hf(x0)

    h

    + � ∇hf(x0)h

    + � δhf(x0)h

    0 / / 1� � � . $ � O + 4 � ! ( l ) 4 � # $ 5 � � ) � 4 � ( $

    ∆hf(x0) =deff(x0 + h) − f(x0), 0 / 1 1

    ∇hf(x0) =deff(x0) − f(x0 − h), 0 / 1

    δhf(x0) =deff(x0 + h/2) − f(x0 − h/2). 0 / 2 1

    � + � $ 5 � #h > 0

    # $ � ! + ) ) ( 8 � J + = z # � ,�� � ' ( ,�� � 4 5 � #∆h

    # $ � � ) + � ( � � � # � � * V � + � � #[ + ) 9 � 4 + )9 + ) � 4 ) � #f : R → R ! + ) ) ( # 8 4 � [ � 4 � 9 + � � # $ � + ) ! � # � ) # � � � � # [ + ) 9 � 4 + )9 + ) � 4 ) � #

    ∆hf! ( l ) 4 # � � �

    ∆hf(x) = f(x + h) − f(x)� # $ 9 + ) $ 4 ! ( � � � 4 + ) $ $ # , N= � � = � # $ $ + ) � O � � � = � # $ � + � � � # $ + � ( � � � # � � $ ∇h # � δh

    ; = � %�# ' # � % : W � � : B >�H�< Jh > 0

    J > L @ : E E \ a N J > : ` \ B P L J < B > ∆h a ∇h J L δh >�: E LP ` ` J N \ > : ` \�B P L J�< B�@ J @ A � \�B J�EU J ` B J�R A��B J�B J > ` J U L A�� J R J E L ` B : � B J > > A�� J a B \�L B : � B P @ JJ�L U J�E L B \ J b} 4

    http://fribok.blogspot.com/

  • } 8 ������� � ������� � �� ��� � ����� �� � � �� ���������9 + � $ O ( � 4 l + ) $ ,�� 4 ) � # ) � ) � � # � ( $ � � � � � $ � 4 O � ) � *

    � ��= � ��� � � : W � � J > : ` \ B P L J�< B > @ J @ A � \ B J�EU J ` B J R A� B J ∆h a ∇h J�L δh > : E L N A��E \ P A B J > b; = � ��%�� ' ��, ' # ��%� + ) � � + ) $ � # � ( $ � � � � � � + � � � J + � ( � � � # � �

    ∆hm + � � 9 # [ � 4 � # 8 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ ! # � I ) + , = � # $� ( # � $ 5 � # � 9 + ) 5 � # $

    α# �β

    # � ! # � I [ + ) 9 � 4 + ) $ 9 + ) � 4 ) � # $f, g : R → R 5 � # � 9 + ) 5 � # $9 + � $ O ( � 4 l + ) $ $ � ) $ ! 4 9 � � � ( 5 � #

    ∆h(αf + βg)(x) = αf(x + h) + βg(x+ h) − αf(x) − βg(x)= α∆hf(x) + β∆hg(x) ∀x ∈ R.� # , b , # � � 4 $ + ) ) # , # ) � $ J � � � � 4 5 � # � � I + � ( � � � # � � $ ∇h # � δh �

    � 4f

    # $ � � ) # [ + ) 9 � 4 + ) ! # � I [ + 4 $ 9 + ) � 4 )�� , # ) � ! ( � 4 O � = � # 8�$ + ) ! ( O # � + � � # , # ) �� 4 , 4 � ( � � ! # � I 4 . , # + � ! � # � � O + 4 $ 4 ) � ? # ! � � + 4 ) � x0 $ J ( 9 � 4 � *f(x0 + h) = f(x0) + f

    ′(x0)h+1

    2f ′′(ξ)h2, 0 / 5 1

    + 4ξ

    # $ � � ) � + 4 ) � ! # � J 4 ) � # � O � � � # [x0, x0 + h] � # $ � # � � � 4 + ) $ 0 / 5 1 # � 0 / 1 1 ) + � $+ = � # ) + ) $ *∣∣∣∣f ′(x0) −

    ∆hf(x0)

    h

    ∣∣∣∣=

    1

    2|f ′′(ξ)|h. 0 / 4 1

    9 + � $ � + � O + ) $ ! + ) 9 ( ) + ) 9 # � � # � ( $ � � � � � $ � 4 O � ) � *� ��= � ��� � � : W : � A

    f : R → R J > L @ J < _ � : A >�U : E L A E � R J�E L @ \�B A�� P � N J a > A x0 ∈ RJ > L � _ \ J�L > Ah0 > 0

    J > L < E E : R � B J ` : > A L A � @ : E E\ a A N J _ A > L J < EJ U : E > L P E L J C L J�N N JH�< J∣∣∣∣f ′(x0) −

    ∆hf(x0)

    h

    ∣∣∣∣≤ Ch, ∀h ≤ h0. 0 / 8 1

    ; = � ��%�� ' ��, ' # ��%m + $ + ) $C =

    1

    2max

    x∈[x0,x0+h0]|f ′′(x)|.

    � # � � � # � � � 4 + ) 0 / 4 1 ) + � $�+ = � # ) + ) $ = 4 # ) � J 4 ) ( ? � � 4 � ( 0 / 8 1 9 � � $ 4 h ≤ h0 � � + � $ξ ∈ [x0, x0 + h0]

    # � ! + ) 9 12 |f ′′(ξ)| ≤ C �9 + � $ + = � # ) + ) $ ! # � � , b , # [ � + ) � ) � ( $ � � � � � $ # , = � � = � # $ 4

    ∆hf(x0)# $ � � # , N� � � 9 ( � � � ∇hf(x0)m � � 9 + ) � � # 8 $ 4 ) + � $ � � � � + 9 ' + ) $

    f ′(x0)� � � � � O � � # � � δhf(x0)

    h

    8 ) + � $ + = � # ) + ) $� ) # , # 4 � � # � � # � � � � + I 4 ,�� � 4 + ) { ) # h # � 8 $ � � � + $ + ) $f

    � � + 4 $ [ + 4 $ 9 + ) � 4 )�� , # ) � ! ( � 4 NO � = � # # � 9 + ) $ 4 ! ( � + ) $ � # $ ! ( O # � + � � # , # ) � $ � 4 , 4 � ( $ *

    f (x0 + h/2) = f(x0) + f′(x0)

    h

    2+f ′′(x0)

    2!

    (h

    2

    )2

    +f ′′′(ξ)

    3!

    (h

    2

    )3

    , 0 / 6 1

    f (x0 − h/2) = f(x0) − f ′(x0)h

    2+f ′′(x0)

    2!

    (h

    2

    )2

    − f′′′(η)

    3!

    (h

    2

    )3

    , 0 / } 1

    http://fribok.blogspot.com/

  • � � � � ��� � � ����� � � �� ����������� � �� ���� � } 6+ 4

    ξ# $ � � ) � + 4 ) � ! # � J 4 ) � # � O � � � # [x0, x0 +h/2] # � η # $ � � ) � + 4 ) � ! # [x0 −h/2, x0]{ ) $ + � $ � � � 1 � ) � 0 / } 1 V 0 / 6 1 # � # ) � � 4 � 4 $ � ) � � � � # � � � 4 + ) 0 / 2 1 8 ) + � $ � O + ) $ *

    ∣∣∣∣f ′(x0) −

    δhf(x0)

    h

    ∣∣∣∣=

    ∣∣∣∣

    f ′′′(ξ) + f ′′′(η)

    6

    ∣∣∣∣

    h2

    8

    ≤ |f′′′(ξ)| + |f ′′′(η)|

    2

    h2

    24.

    0 / } } 1

    � 4h0

    # $ � � ) ) + , = � # � + $ 4 � 4 [ l I ( # � $ 4 ) + � $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $C =

    1

    24max

    x∈[x0−h0/2,x0+h0/2]|f ′′′(x)|,

    ) + � $ ! ( ! � 4 $ + ) $ V � � � � 4 � ! # 0 / } } 1 � # � ( $ � � � � � $ � 4 O � ) � *� � = ��� � � � : W N � A

    f : R → R J > L L B : A > � : A > U : E L A E�� R J E L @ \�B A�� P � N J a > A x0 ∈ RJ > L � _ \�J L > Ah0 > 0

    J > L < E E: R ��B J ` : > A L A � @ : E E\ a A N J _ A > L J < EJ�U : E > L P E L J C L J N N JH�< J∣∣∣∣f ′(x0) −

    δhf(x0)

    h

    ∣∣∣∣≤ Ch2, ∀h ≤ h0. 0 / } / 1

    � # $ � ' ( + � . , # $ / / # � / 1 ) + � $ � $ $ � � # ) � 5 � # 8 $ 4f

    # $ � � $ $ # � � ( ? � � 4 . � # 8 � # $ 5 � � ) N� 4 � ( $ ∆hf(x0)h

    # � δhf(x0)h

    9 + ) O # � ? # ) � O # � $ f ′(x0) � + � $ 5 � # h � # ) ! O # � $ � ( � + � � ) $� # � � # , 4 # � 9 � $ 8 � � 9 + ) O # � ? # ) 9 # # $ � ! J + � ! � # h � � + � $ 5 � # ! � ) $ � # ! # � I 4 . , # 9 � $ 8 � �9 + ) O # � ? # ) 9 # # $ � ! J + � ! � # h2; = � %�# ' # � % : W : � E @ A L H < J

    ∆hf(x0)/hJ�L ∇hf(x0)/h >�: E L @ J > � : B R < N J > @ J @ A � �

    � \�B J�EU J > � E A J > ` B : � B J > > A�� J > J L B \�L B : � B P @ J > ` : < B N � P ` ` B : _ A R P L A : E�@ J f ′(x0) b � J >@ A � \�B J E U J >∣∣∣∣f ′(x0) −

    ∆hf(x0)

    h

    ∣∣∣∣

    J�L ∣∣∣∣f ′(x0) −

    ∇hf(x0)h

    ∣∣∣∣

    >�: E L P ` ` J�N \ J > � ��� �� � � � � � � � "��� � � b � N N J > >�: E L @ � : B @ B J h J�L : E @ A L H < J N J >� : B R < N J > @ J @ A � \ B J E U J > � E A J > >�: E L U : E > A > L P E L J > � N � : B @ B J 1 J�E h b� J R�� R J N P � : B R < N J @ J�@ A � \�B J E U J > � E A J > U J E L B \ J > δhf(x0)/h ` : < B N � P ` ` B :�_ A��R P L A : E @ J

    f ′(x0)J > L U : E > A > L P E L J � N�� : B @ B J

    2J EhU P B N � J�B B J�< B�@ J�L B : EU P L < B J

    ∣∣∣∣f ′(x0) −

    δhf(x0)

    h

    ∣∣∣∣

    J > L @ � : B @ B Jh2 b � N N J J > L P A E > A ` N < > ` B \ U�A > J H < J N J > � : B R < N J > @ J @ A � \�B J�EU J > � E A J >` B : � B J > > A�� J > J L B \�L B : � B P @ J > b

    � ��� �� & � �� . � ",�� & ��� " . � � & �& . �. � . & & . "�& � � & & � � ���

    � + 4 �c

    � ) ) + , = � # � ( # � ! + ) ) ( � 1 � ) � � ) # � # � � ( $ # ) � � � 4 + ) ! ( 9 4 ,�� � # 4 ) l ) 4 # � )9 � � 9 � � � � # � � # ) O 4 � ? � � #�� + � � � ) � # ) # � + � � � ��� # � # ) 4 � 5 � J � )�) + , = � # l ) 4 ! # 9 ' 4 h � # $

    http://fribok.blogspot.com/

  • / ������� � ������� � �� ��� � ����� �� � � �� ���������� + � � ! + ) ) # � � ) # � # � � ( $ # ) � � � 4 + ) ! ( 9 4 ,�� � # l ) 4 # ! #

    c5 � # ) + � $ ) + � # � + ) $

    c̃d 4 ) $ 4� � ��# I # , � � # 8

    c = 1/3! # O 4 # ) ! � � c̃ = 0.333333 5 � 4 # $ ��= 4 # ) $ � � � ) # � � � � + I 4 ,�� � 4 + )) � , ( � 4 5 � # ! #

    c

    ; = � %�# ' # � % : W N 8�: < > @ A B : E > H < � < E E: R ��B Jc̃J > L @ : E E \ P� J U

    NU�� A � B J > > A � E A��

    � U P L A � > J E B J ` B \ >�J�E L P L A : E�@ \ U�A R P N J�� > � A N J > L @ : E E\ P� J U N U�� A � B J > U : R ` L \ > �` P B L A B�@ < ` B J R A J�B�U � A � B J E: E E < N bf � � � +�� � : W � � # $ ) + , = � # $ *

    0.333333 = 0.333333 100

    34.2456 = 0.342456 102

    0.000345033 = 0.345033 10−3

    3.42550 1018 = 0.342550 1019$ + ) � ! + ) ) ( $ � O # 9 5 9 ' 4 h � # $ $ 4 ? ) 4 l 9 � � 4 [ $; = � %�# ' # � % : W _ � : A L

    c< E E: R ��B J�B \ J N J�L >�: A L

    c̃>�P � P N J < B P ` ` B : U�� \ J ` P B < E U P N �U�< N P L J�< B J�E � A B � < N J�� : L L P E L J L B P � P A N N P E L P � J U

    NU�� A � B J > @ \ U A R P < _�� > A � E A � U P L A � > b

    � � P H < P E L A L \ |c− c̃| J > L P ` ` J�N \ J J B B J < B�@ � P B B : E@ A > > < B c b� � P H < P E L A L \ η = 10−N J > L P ` ` J N \ J ` B \ U�A > A : E B J�N P L A�� J @ < U P N U < N P L J < B b� ) $ 4 , � � # 9 � � 9 � � ) + � $ , + ) � � # 5 � # |c − c̃| ≤ 5|c|η $ 4 � #�9 � � 9 � � � � # � � � � � + ) ! 4 �9 + � � # 9 � # , # ) � � # ) + , = � #

    cm � � # I # , � � # 8 � + � $ 5 � #

    c = 1/3# � 5 � # � J + ) ! 4 $ � + $ # ! # 59 ' 4 h � # $ $ 4 ? ) 4 l 9 � � 4 [ $ 8 � � + � $ + ) � � � �

    c̃ = 0.333333# � � J # � � # � � ! J � � � + ) ! 4 $ $ � �

    c$ # � �

    |c− c̃| = 1310−6 ≤ 5|c|η� � 4 $ 5 � #

    η = 10−6{ � � ! 4 + ) $ ,�� 4 ) � # ) � ) � � ) # I # , � � # 4 � � � $ � � � ) � � J 4 , � + � � � ) 9 # ! # $ # � � # � � $ ! J � � � + ) N! 4 $ � + � $ 5 � J + ) ( O � � � # ∆hf(x0)/h � + � � � � � � + 9 ' # � ) � , ( � 4 5 � # , # ) � f ′(x0)f � � � +�� � : W : ] � � 9 � � + ) $

    ∆hf(x0)/h� + � $ 5 � #

    f(x) = x28x0 = 7

    8h = 0.06

    + �h =

    0.01� 4�) + � $ � O + ) $ � )�9 � � 9 � � � � # � � 5 � 4 ) # ! 4 $ � + $ # 5 � # ! # 1�9 ' 4 h � # $ $ 4 ? ) 4 l 9 � � 4 [ $ 8) + � $ + = � # ) + ) $ � + � �

    h = 0.06# �h = 0.01

    � # $ O � � # � � $ $ � 4 O � ) � # $ *h = 0.06 :

    ∆hf(x0)

    h=

    (7.06)2 − (7.00)20.0600

    ' 49.8− 49.00.0600

    ' 13.3,

    h = 0.01 :∆hf(x0)

    h=

    (7.01)2 − (7.00)20.0100

    ' 49.1− 49.00.0100

    ' 10.0.m � 4 $ 5 � #

    f ′(x0) = 14) + � $ 9 + ) 9 � � + ) $ 5 � # � J # � � # � � + = � # ) � # � � � � � [ + � , � � # � � I! 4 h ( � # ) 9 # $

    ∆hf(x0)/h# $ � � � � $ ? � � ) ! # � + � �

    h = 0.015 � # � + � �

    h = 0.06] #� ' ( ) + , . ) # # $ � � 4 ( � � I # � � # � � $ ! J � � � + ) ! 4 $ w � $ � � ! # � � # ) ! � # � ) # ,�� 9 ' 4 ) # ! 4 $ N� + $ � ) � ! # 5 9 ' 4 h � # $ $ 4 ? ) 4 l 9 � � 4 [ $�� + � � + = � # ) 4 � � � 9 + ) 9 � � $ 4 + ) 4 ) O # � $ # { ) # h # � 8 ) + � $+ = � # ) + ) $ ! � ) $ 9 # 9 � $ � # $ O � � # � � $ $ � 4 O � ) � # $ *

    h = 0.06 :∆hf(x0)

    h=

    (7.06000)2 − (7.00000)20.0600000

    =49.8436− 49.0000

    0.0600000= 14.0600,

    h = 0.01 :∆hf(x0)

    h=

    (7.01000)2 − (7.00000)20.0100000

    =49.1401− 49.0000

    0.0100000= 14.0100.

    http://fribok.blogspot.com/

  • � � � � ��� � � ����� � � �� ����������� � �� ���� � / }� � ) $ � � $ � 4 � # 8 ) + � $ ) # [ # � + ) $ � � $ � ) #�� ' ( + � 4 # $ � � � # $ # � � # � � $ ! J � � � + ) ! 4 $

    � 4 $ + ) $ $ 4 , � � # , # ) � 5 � # � + � $ 5 � #η

    # $ � � ��� � ( 9 4 $ 4 + ) � # � � � 4 O # ! � 9 � � 9 � � � � # � � � � 4 � 4 $ (� � + � $ � J # � � # � � � = $ + � � # |c − c̃| + = � # ) � # $ � � � J ( O � � � � � 4 + ) c̃ ! J � ) ) + , = � # c # $ � ! #� J + � ! � # ! # ? � � ) ! # �