Rekursive Wortfunktionen by Günter Asser; H. A. PogorzelskiReview by: H. HermesThe Journal of Symbolic Logic, Vol. 29, No. 4 (Dec., 1964), pp. 199-201Published by: Association for Symbolic LogicStable URL: http://www.jstor.org/stable/2270382 .

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and RA of provable and refutable formulas, respectively. There are two rules for each atomic formula, one for provability and one for refutability. For example, for every n 2 0 and formulas a, b, Cl, . . ., cn, the formula (.. .(((=a)b)cj). . .) c is in PA iff (=a)b is in A and is in RA iff (=a)b is not in A. There is a non-constructive extensionality rule stating that for certain specified formulas a, a is in PA or RA iff ab is in PA or RA respectively for all b. The refutability rules for M and E are also non-constructive. For example, (... ((Ea)cl)... )c. is in RA iff ab is in RA for all b. (It is stated that for the special set A of equations, PA is not recursively enumerable. It is not stated whether or not A itself is recursively enumerable.) It is shown by a transfinite induction that any system CA is consistent in the sense that no formula a is in both PA and RA.

A set A of formulas is said to be normal in an equation (=a) b if it is closed under replacement, in any of its formulas, of one term of the equation by the other. A set A is normal in a set B of equations if it is similarly closed for each element of B. Re- strictions on the replacements (and other conditions) give rise to several qualified notions of normality. The set A of equations has a rather complicated impredicative definition in terms of various kinds of normality and it will not be given here; but a corollary of the main theorem (Theorem 21) is easy to state: If a is a consequence of b in any of the provability rules, then (=a)b is in A. It follows that if a and b are equal in the pure (non-extensional) theory of combinators, then (=a)b is in A, so that CA contains the theory of combinators. The set A is undoubtedly much richer than this, but the author states no other results which explicitly give other interesting subsets of A. BRUCE LERCHER

PAUL AXT. Note on the 3-recursive functions. Zeitschrift fuir mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, Bd. 7 (1961), S. 97-98.

Bekanntlich hat Kleene von den primitiv-rekursiven Funktionen ausgehend eine den immer gr6o3eren konstruktiven Ordnungszahlen der ersten und zweiten Zahl- klasse entsprechende Hierarchie von Klassen Cy rekursiver Funktionen (wobei y den Ordnungszahlen zugeordnete Zahlen durchlauft) derart angegeben, daB dabei dem Qbergang einer Ordnungszahl a auf a + 1 die Hinzunahme einer neuen Aus- gangsfunktion entspricht, welche fur Werte 0, 1, 2, ... eines Argumentes alle bisher definierten Funktionen aufzdhlt; und dem tbergang von einer Ordnungszahlen- folge l, a2, ... auf o = limna. die Hinzunahme einer solchen neuen Ausgangs- funktion, welche die zu l, a2, ... gehorigen Abzahlungen in sich vereinigt.

Die zur Zahl y geh6rige Ordnungszahl mit lyl bezeichnet, wird in dieser Arbeit gezeigt, daB das zu IYI < W2 geh6rige Segment dieser Hierarchie die hierarchische Struktur genau der P6terschen drei-rekursiven Funktionen, und das zu IYI < w gehorige Segment dieses Segmentes die hierarchische Struktur der zwei-rekursiven Funktionen ergibt.

Verfasser hat namlich bereits friuher bewiesen, daB jede drei-rekursive Funktion zu einer KMasse Cy mit IYI < 02, und jede zwei-rekursive Funktion zu einer KMasse

Cy mit IYI < c geh6rt. In vorliegender Arbeit wird nun durch die Art, auf welche Kleene fur feste y die Rekursivitat der zur KMasse Cy geh6rigen Funktionen bewiesen hat, nachgewiesen, daB die Funktionen jeder KMasse Cy mit IYI < 02 drei-rekursiv sind; und als Teilergebnis des Beweises erhalt man auch die zwei-Rekursivitat der Funktionen jeder KMasse Cy mit IYI < o. R6ZSA PtTER

GPNTER ASSER. Rekursive Wortfunktionen. Ebd., Bd. 6 (1960), S. 258-278. Die W6rter, die aus Buchstaben eines endlichen Alphabets {al, ..., ar gebildet

werden k6nnen, bilden eine durch dieses Alphabet erzeugte free Halbgruppe. Man kann hier autonom den Begriff einer primitiv-rekursiven Funktion einfUhren. Dabei treten an Stelle der Nachfolgerfunktion v(x) der gew6hnlichen Arithmetik r Nach-

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folgerfunktionen vi(x), und an Stelle der zweiten Gleichung im Rekursionsschema treten r Gleichungen der Form

.(Xl, * * *, Xki, Vj(X)) = fJ(Xl, * * , X, x(Xl * , X)) 1=1. r

Es wird gezeigt, daB die primitiv-rekursiven Wortfunktionen die Bilder der uiblichen primitiv-rekursiven Funktionen sind, wenn man eine G6delisierung verwendet, welche das Wort ai1 ... ai auf die Zahl Z,=jiprP1- abbildet.

Der Kleenesche Gleichungskalkiil, mit dessen Hilfe man die rekursiven Funktionen einfhfiren kann, laBt sich in naheliegender Weise auch auf der Basis eines r-elementigen Alphabets entwickeln. Man erhalt so die partiell-rekursiven und die allgemein-rekur- siven Wortfunktionen. Diese entsprechen den uiblichen partiell- und allgemein- rekursiven Funktionen verm6ge der obigen G6delisierung. Als Folgerungen ergeben sich: (1) Wenn man zur Definition von partiell-rekursiven Wortfunktionen fiber dem Alphabet {a,, ..., a} auch "Hilfsbuchstaben" aus der Menge {bj, ..., b8} zulaBt, so erhalt man nicht mehr Funktionen als vorher auch; (2) Wie im eindimensio- nalen Fall sind die partiell-rekursiven Wortfunktionen gerade diejenigen, die (im Sinne von Markow) algorithmisch definierbar sind; (3) Das Kleenesche Normal- formentheorem laBt sich auf den r-dimensionalen Fall iubertragen, wobei an Stelle des ,u-Operators der t-Operator (dasjenige Wort, welches .. .) tritt. H. HERMES

H. A. POGORZELSKI. A note on an arithmetization of a word system in a denumerable alphabet. Ebd., Bd. 8 (1962), S. 247-249.

Verf. hatte friuher (XXIX 101) gezeigt, dal3 fur Exponentenketten von [mi., ..., mi] von Mycielski-Zahlen ein Analogon der Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung gilt. Bildet man den Buchstaben aj eines abzahlbar unendlichen Alphabets {a,, a2, ... }

auf die j-te Mycielski-Zahl (Anordnung nach der Grol3e) ab (j = 1, 2, ...), so erhalt man in [mi,, ..., mir] eine G6delisierung des Wortes ai, ... ai,. H. HERMES

H. A. POGORZELSKI. Word arithmetic: Theory of primitive words. Ebd., S. 251-255. Verf. fuhrt in der durch ein abzahlbar unendliches Alphabet A = {a,, a2, * }

gegebenen Worthalbgruppe Q(A) mit dem leeren Wort A eine Multiplikation ein. Sei zunachst EDIA = A, @;air ... a, == aij.u ... ai,. ,. Dann wird X 0 Y in- duktiv definiert durch X 0 A = A, X 0 ajY = X 0 Y verkettet mit EPX. Die bzgl. der Operation 0 unzerlegbaren Worte heiBen primitive Worte. Es wird gezeigt: Wenn Xn O (Xni O ... (X2 0 X1) ... ) = Ym O (Ym-1 0 ... (Y2 0 Y1) ... ), und wenn die XA und Yj primitive Worter und Xn und Ym gleichlang sind, so ist m = n und X1 = Yj fur jedes j. (Die oben gegebene Definition von 0 entspricht einer Korrektur des Verf. Eine weitere Korrektur betrifft die Teilbarkeitsrelation: In Formel (2.6) soll "1(X) > I A" gestrichen und unmittelbar vor der letzten Klam- mer "Z # A" eingefiuhrt werden.) H. HERMES

VLADETA VUCKOVI(. Rekursive Wortarithmetik. Academie Serbe des Sciences et des Arts, Publications de l'Institut Mathematique (Belgrad), Bd. 14 (1960), S. 9-60.

Verf. baut eine rekursive Wortarithmetik auf in Analogie zu Goodsteins XXIII 227. Die Worte (einschlieflich des leeren Wortes 0) sind aus den Buchstaben des Alpha- bets {So, ..., Sj)} aufgebaut. Grundfunktionen sind die Nullfunktion Z(X) = 0, die Identitatsfunktion I(X) = X und die Nachfolgerfunktionen S,(X) = SX. Als "Ableitungsregeln" werden neben der Substitution drei Sorten induktiver Definitionen verwendet (wobei hier die Angabe von Parametern X unterbleiben soll):

(1) die primitive Rekursion:

F(O) = a F(SVY) = by(Y, F(Y)) v = ... .,n- 1

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(2) die doppelte Rekursion:

F(Y, O) = a(Y) F(O, SVZ)=b(Z) V = =O, n- I

F(SAY, SVZ) = cA,?,(Y, Z, F(Y, Z)) ,u, V = 0. . n - 1

(3) die uiberworfene Rekursion:

F(Y, O) = a(Y) F(Y, SVZ) = bV(Y, Z, F(Y, Z))

Auf dieser Basis werden eine Fuille von Funktionen und Relationen definiert und Satze uiber diese Funktionen und Relationen hergeleitet. Charakteristische Beispiele sind die folgenden: Es werden n Additionen o, eingefiuhrt durch die beiden Gleichungen XovO = X, XovSpY = Sp+(XoY), wobei Y + v mod n zu nehmen ist. Ent- sprechend n Multiplikationen ; durch X;O = 0, X;SY = (XY)oj?+vX, und Ex- ponentiationen durch expv(X, 0) = SvO, expv(X, SAY) = [expv(X, Y)]v-~X. R(X) kehrt die Buchstaben in X um, v(X) entfernt in X den ersten Buchstaben. Die Differenz X -* Y wird so gebildet: Schreibt man Y unter X, wobei die ersten Buch- staben von Y und X untereinander zu stehen kommen, so sollen in X diejenigen Buchstaben geloscht werden, unter denen in Y derselbe Buchstabe steht. Setzt man AX, YJ = (X *- Y)oo(Y *- X), so ist JX, YJ = 0 genau dann, wenn X = Y. X , Y ist das Wort, das aus X entsteht, indem man in X von vorne beginnend s Buchstaben entfernt, wobei s die Lange von Y ist. Y beginnt mit X genau dann, wenn Y =

(Y *- X)ooX. X ? Y genau dann, wenn R(Y) mit R(X) beginnt. s,(X) "projiziert" X in ein gleichlanges, allein aus dem Buchstaben Sv gebildetes Wort. E' (und analog I1v) wird eingefiuhrt durch Ev(O) = f(O), Ev(SX) = Ev(X)o,/(SgX). Logische Kon- stanten werden wie bei Goodstein eingefiihrt, ein beschrankter Allquantor durch die Festsetzung, daB AX[f(Y) = 0] fuir EO(f)(X) = 0 stehen soll; dabei ist a(O) = 0, a(SvX) = Sv,. Auch der beschrankte yz-Operator ldht sich einfiuhren, wobei das Ver- fahren von Goodstein nur teilweise verwendet werden kann. - Verf. sieht das End- ziel der rekursiven Wortarithmetik darin, dal3 diese Theorie es erlaubt, den Zugang zu der Theorie der Algorithmen zu formalisieren, und in der Moglichkeit, konkrete Algorithmenprogramme einfach darstellen zu k6nnen. H. HERMES

B. VAN ROOTSELAAR. Die Struktur der rekursiven Wortarithmetih des Herrn V. VuJkovil. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Pro- ceedings, series A, Bd. 65 (1962), S. 192-200; auch Indagationes mathematicae, Bd. 24 (1962), S. 192-200.

(Vgl. das vorstehende Referat.) Setzt man a(0) 0, a(Smx) = S,+?(au), und schreibt man av fur die v-te Iterierte von a, so ist Kury = x + (uvy), wobei xaVy fur xovy und x+y fiirxooy steht. Damit lassen sich alle Additionen vonVuckovic wiedergeben durch + und a. Entsprechendes gilt fuir die Multiplikationen und die Exponentiatio- nen. - Es wird vorgeschlagen, eine Wortarithmetik, in der das von Vuckovic ange- gebene (auf Goodstein zuriickgehende) Regularitatsaxiom [Si, ... Si, = Sj1 ... Si, genau dann, wenn p = q und ii =j, ..., ip = jp] gilt, eine free Wortarithmetik zu nennen, im Unterschied zu einer freien kommutativen Wortarithmetik, welche charakterisiert ist durch das Regularititsaxiom Sa ... Sq Sa' ... q'S mit a < ... < q und a' ... _ q', genau dann, wenn a=a', ... , q = q' (vgl. Vucko- vic, XXVIII 251(2)). -Fur Worte uiber dem Alphabet 0, S,, . . . Sn (Si, *.. , Sn an Stelle Vuckovic' So, ... , Snl-), S-,, ..., S-, welche zusatzlich der Relation S-ASA 0 genugen sollen, lassen sich Operationen +, * einfiuhren, sodaf ein Fastring (cf. z.B. Zassenhaus, Gruppentheorie, 2. Aufl., 1958) entsteht. Dieser ist eine Er- weiterung der Wortalgebra von Vu6kovi6. H. HERMES

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