JURUSAN STATISTIKA

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi 10 November Surabaya

REGRESI NONPARAMETRIK

Surabaya 2010SEMINAR TESIS

REGRESI NONPARAMETRIK DERET FOURIER BIRESPON

Oleh :Ri i S i tiRini Semiati1308 201 009

Pembimbing :Prof. Dr.Drs. I Nyoman Budiantara,M.Si.Prof. Dr.Drs. I Nyoman Budiantara,M.Si.

PENDAHULUAN

Regresi nonparametrik merupakan pendekatan

PENDAHULUAN

regresi yg sesuai untuk pola data yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya.

Model regresi nonparametrik- Deret Fourier (Tripena dan Budiantara,2007,

Antoniadis, et al, 1994, dan Bilodeau,1992)- Kernel (Speckman, 1998 dan Hardle, 1990)- Spline (Green dan Silverman 1994; Wahba- Spline (Green dan Silverman, 1994; Wahba, 1990; Craven dan Wahba, 1979; Budiantara,

2002; dan Budiantara, et al, 1997)

Bentuk estimator nonparametrikBentuk estimator nonparametrikdiperoleh dari

Optimasi Penalized, yang menggabungkan goodness of fit dan penaltygoodness of fit dan penalty

{ })f(J)f(RMin λ+

(Wahba, 1990;Wang, 1998;Budiantara, 2002)

{ })f(J)f(RMinHf

λ+∈

(Wahba, 1990;Wang, 1998;Budiantara, 2002)

Yang sering menggunakan PenalizedYang sering menggunakan PenalizedSplineD t F iDeret Fourier

Bilodeau (1992; Tripena dan Budiantara, 2006

Estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik satu respon

generalisasi regresi nonparametrikgeneralisasi regresi nonparametrikDeret Fourier Birespon

Aplikasi data kadar gula darah penderita Diabetespenderita Diabetes Mellitus

• PERMASALAHAN1. Bagaimana bentuk estimator Deret Fourier dalam regresi

nonparametrik birespon2. Bagaimana sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam regresi

nonparametrik biresponnonparametrik birespon3. Bagaimana menerapkan model yang diperoleh pada data kadar

gula darah penderita Diabetes Mellitus• TUJUANTUJUAN

1. Mendapatkan bentuk estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon

2. Mengkaji sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam regresi g j gnonparametrik birespon

3. Mengaplikasikan model regresi nonparametrik birespon Deret Fourier pada data kadar gula darah penderita Diabetes Mellitus

• MANFAAT PENELITIAN1. Memberikan wawasan baru mengenai pemodelan,

khususnya model regresi nonparametrik birespon2. Mengetahui penggunaan model regresi g p gg g

nonparametrik birespon Deret Fourier pada kadar gula darah penderita Diabetes Mellitus

• BATASAN MASALAH• BATASAN MASALAH1. Mengkaji estimator kurva regresi nonparametrik

birespon dengan estimator Deret Fourier2 M k ji if t if t ti t D t F i d l2. Mengkaji sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam

regresi nonparametrk birespon3. Data yang digunakan adalah data yang diambil dari y g g y g

penderita DM yang melakukan cek kesehatan di Laboratorium Klinijk Utama Populer

• REGRESI NONPARAMETRIK

TINJAUAN PUSTAKA

merupakan regresi yang pola hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor tidak diketahui

• REGRESI NONPARAMETRIK BIRESPONiii )x(gy ε+=

)(f

kurva regresi dihampiri oleh fungsi kontinu dan

j1j11j1 )t(fy ε+=

j2j22j2 )t(fy ε+=kurva regresi dihampiri oleh fungsi kontinu dan diferensiabel

∑α+α+γ=K

1kj1k101j11j11 ktcos

21t)t(d

=1k2

∑=

α+α+γ=K

1kj2k202j22j22 ktcos

21t)t(d

• Pemilihan parameter penghalus dalam Deret Fourierp p gBilodeau (1992) :jika maka estimator deret Fourier sangat k jik k ti t d t F i

)0( →λ)(λkasar, jika maka estimator deret Fourier

sangat mulus.Craven dan Wahba : CV

)( ∞→λ

Craven dan Wahba : CVWang (1998) : UBRWahba (1990) : GCVTripena dan Budiantara (2007) :

perbandingan CV, UBR dan GCV

• DIABETES MELLITUS (DM)( )DM merupakan suatu keadaan yang ditandaioleh kadar gula darah yang melebihi nilainormal akibat tubuh kekurangan insulin.Seseorang dikatakan menderita DM jika hasil

ik k d l k 126pemeriksaan kadar glukosa puasanya 126mg/dl dan glukosa 2 jam pp 180 mg/dlPenderita Dm yg berusia 35-55 thn memilikiPenderita Dm yg berusia 35-55 thn memiliki kemungkinan meninggal 3 kali lebih besar diban dingkan dengan mereka bukan penderita DMg g p

• DATA : penderita DM dengan

METODELOGI PENELITIAN

= kadar gula darah puasa= kadar gula darah 2 jam

setelah puasa

j1yj2y

t = usia

STRUKTUR DATANo t y1 y2No t y1 y212

t1t2

y11y12

y21y22

3..

t3..

y13..

y23..

n tn y1n y2n

• METODE PENELITIAN1. estimator Deret Fourier diperoleh dgna. membangun model regresi birespon

21j)t(f

C

n,...,2,1j,)t(fy j1j11j1 =ε+=

n,...,2,1j,)t(fy j2j22j2 =ε+=

b. menentukan matriks Variance-Coveriance dari error random

c menghampiri kurva regresi dgn),,(W 2

221

1 σσρ−

c. menghampiri kurva regresi dgn∑=

α+α+γ=K

1kj1k101j11j1 ktcos

21t)t(d

∑α+α+γ=K

ktcos1t)t(d ∑=

α+α+γ=1k

j2k202j22j2 ktcos2

t)t(d

d. mencari ukuran goodness of fit untuk PLST

e menentukan penalty untuk PLST

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −σσρ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

~~

22

21~~

fy,,(W'fy

e. menentukan penalty untuk PLST

∫ ∫π π

+0 0

22

2"21

21

"1 dt)]t(f[dt)]t(f[

f. menyelesaikan optimasi PLST

⎬⎫

⎨⎧

λλ⎞⎜⎛⎞

⎜⎛ ∫ ∫

π π2"2"22 d)](f[d)](f[f(W'fMi

⎭⎬

⎩⎨ λ+λ+

⎠⎞

⎜⎝⎛ −σσρ

⎠⎞

⎜⎝⎛ − ∫ ∫=π∈

0 02

22221

2111~~

22

21~~2,1k),,0(Cf

dt)]t(f[dt)]t(f[fy,,(W'fyMink

2 Menyelidiki sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam i t ik bi d l k hregresi nonparametrik birespon dengan langkah-

langkah sebagai berikut– Diperlihatkan sifat estimator linier dari estimator

D t F i d l i t ikDeret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon.

– Diperlihatkan sifat bias dari estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespondalam regresi nonparametrik birespon.

– Diperlihatkan distribusi dari estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon.

3 Menerapkan estimator Deret Fourier dalam regresi t ik bi d d it Di b tnonparametrik birespon pada penderita Diabetes

Mellitus dengan variabel respon y1 adalah kadar gula darah puasa, y2 adalah kadar gula darah 2 jam setelah puasa dan t adalah usia dengan langkahsetelah puasa dan t adalah usia , dengan langkah-langkah sebagai berikut :

– Membuat plot data (t,y1) dan (t,y2)– Memodelkan data dengan menggunakan deret Fourier dalamMemodelkan data dengan menggunakan deret Fourier dalam

regresi nonparametrik birespon– Memilih optimal estimator deret Fourier dalam regresi

nonparametrik biresponM d tk ti i t k ti t d t F i d l– Mendapatkan estimasi untuk estimator deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon

– Menghitung MSE model yang diperoleh

S S

1a. Data berpasangan dan diasumsikan )y,t( j2j1 )y,t( j2j2

HASIL DAN PEMBAHASAN

p gmengikuti model regresi nonparametrik birespon

)y,( j2j1 )y,( j2j2

n,,2,1j,)t(fy j1j11j1 L=ε+=

(4.1.1)b. Matriks variance-covariance

⎤⎡ θρθρθρθ 00r LL

n,,2,1j,)t(fy j2j22j2 L=ε+=

= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

θθθθ

θρθρθρθ

θρθρθρθθρθρθρθ

00

r00

0r000r

LL

MOMMMOMM

LL

),,(W 22

21

1 σσρ−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

θθθθ

θθρθρθρ

θθρθρθρ

00

0r

0

00r

MOMMMOMM

LL

LL),,( 21ρ

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθρθρθρ

r00 LL

(4.1.1) dpt dibentuk menjadi

(4 1 2)⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

ε

εε

⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

n1

12

11

n11

121

111

n1

12

11

)t(f

)t(f)t(f

y

yy

MMM

(4.1.2)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

εε

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

22

21

n1

222

212

n11

22

21

n1

)t(f)t(f

yy

L

M

L

M

L

c. (4.1.2) dapat ditulis menjadi⎠

⎜⎜⎝ ε⎠

⎜⎜⎝⎠

⎜⎜⎝ n2n21n2 )t(fy

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡εε

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎡

α+α+γ

α+α+γ

⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛ ∑

∑

=

=

12

11K

1k12k101121

K

1k11k101111

12

11 ktcos21t

ktcos21t

yy

M

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

εε

ε+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

α+α+γ

α+α+γ

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

∑

∑

=

=

21

n1

K

1k11k101212

K

1kn1k101n11

21

n1

ktcos21t

ktcos21t

yy

yL

M

LLLLLLLLLLLLL

M

L

M

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ε

ε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣α+α+γ

α+α+γ⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜

⎝

∑

∑

=

=

n2

22

K

1k11k101n22

K

1k11k101222

1k

n

22

ktcos21t

ktcos21t

y

yM

M

M

d. Goodness of fit : n21)(R =β ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ β−σσρ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ β− 21

22

2121 )t,t(By),,(W')t,t(By

e. Penalty J(f) =

n2~ ⎠⎝⎠⎝ ~~~~

~1β βλ *D*

f. Dengan menyelesaikan optimasi PLST,

di l h ti t

{ })f(J)f(RMin2,1k),,0(Cfk

+=π∈

diperoleh estimator

(4.1.9)1

2122

2121

~*D*)t,t(B),,(W)t,t('B

N1ˆ

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ+σσρ=β

N1 2

22121 y),,(W)t,t('B σσρ

dan ~

~ N ⎠⎝ N ~

~21~

y),(Hf̂ λλ=λ

2. Sifat-sifat :a. Estimator (4.1.9) merupakan kelas estimator linier, karena dapat

dinyatakan sebagai⎞⎛ yˆ

=b. merupakan estimator yang bias karena

⎟⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛λλ

~2

~1

21 y

y),(H)t,t(f̂ 21

~λ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

λ )t,t(fE 21

^

~

≠⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

)t(f

)t(f

22~

1~1

ˆc. distribusi dari adalah normal karena error random adalah normal ~

ˆλβ

4. APLIKASIPlot data

Plot Data Aktual Respon 1 Plot Data Aktual Respon 2

350

[, i]

0025

0

[, i]

300

3

yk[

150

20 yk[

200

250

tk[, i]

50 55 60 65 70 75

tk[, i]

50 55 60 65 70 75

2

Nilai fungsi ) untuk nilai-nilai 21,(G λλ 21,λλ

No )1 0,0002241661 0,00004429235 8727,855

1λ 2λ 21,(G λλ

234

0,00026899930,00031383250,0003586657

0,000053150820,000062009280,00007086775

8720,9178716,7598714,4074

567

0,00035866570,00040349900,00044833220 0004931654

0,000070867750,000079726220,000088584690 00009744316

8714,4078713,2648712,9448713 1957

89

0,00049316540,00053799860,0005828318

0,000097443160,000106301630,00011516010

8713,1958713,8418714,761

1011

0,00062766510,0006724983

0,000124018570,00013287704

8715,8698717,105

Terlihat dari tabel

)90000885846,0,0004483322,0( )opt(2)opt(1opt~=λ=λ=λ

Nilai ) = 872,944 yang sesuai dengan optimal

B d k ti l di l h

21,(G λλ~λ

λBerdasarkan optimal diperoleh

= (1,490375; 79,380917; 2,397902;

~λ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,(̂ˆ141312110111 αααααγ=β- 0,28218385; 0,0003539463; 0,07487596)

= (2,566980; 86,447412; 6,652173;- 0 2812492; 0 6188612; 0 4202362)

~

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,(̂ˆ242322210222

~αααααγ=β

0,2812492; 0,6188612; 0,4202362)

Plot fungsi taksiran untuk optimalλ~

Plot Fungsi Taksiran Lamda Optimal Respon 1

o Data aktualFungsi taksiran

Plot Fungsi Taksiran Lamda Optimal Respon 2

350 o Data aktual

Fungsi taksiran

ft[, i

]

200

250

Fungsi taksiran

ft[, i

]

300

3

f

150

200

250

t

50 55 60 65 70 75

t

50 55 60 65 70 75

Estimator Deret Fourier untuk respon 1 :

=λ )t(f̂ )opt(179,381 +1,490t +2,398cos t -0,282cos 2t + 0,004cos 3t+0 075 cos 4t

Estimator Deret Fourier untuk respon 2 :0,075 cos 4t

=)t(f̂ 86,447+ 2,567t +6,652cos t – 0,281cos 2t + 0,619cos 3t

Nilai MSE untuk estimator Deret Fourier respon 1 dan respon 2 :

=λ )t(f )opt(286,447 2,567t 6,652cos t 0,281cos 2t 0,619cos 3t+ 0,420cos 4t

MSE ( 4,611184e+004=λ ))t(f̂ )opt(1

ˆMSE( 1,206822e005=λ ))t(f̂ )opt(2

KESIMPULAN

KESIMPULAN dan SARAN

1. Untuk model regresi diperoleh estimator dariyaitu ~~

21~

)t,t(By ε+β=~β

1221ˆ

−⎞

⎜⎛ 1 22 y)(W)tt('B σσρ

dan 2 Sif t if t ti t D t F i d l i t i

~

2122

2121

~*D*)t,t(B),,(W)t,t('B

N1

⎠⎞

⎜⎝⎛ λ+σσρ=β

N ~2121 y),,(W)t,t('B σσρ

~21~

y),(Hf̂ λλ=λˆ2. Sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametric

birespon adalaha. merupakan kelas estimator linear

~λ~

f

fb. merupakan estimator yang bias untuk kurva c. apabila error random berdistribusi normal, maka distribusi dari

adalah normal

~f

3. estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon, berkaitan dengan diberikan oleh),( )opt(2)opt(1opt~

λλ=λ

)90000885846,0,0004483322,0( )opt(2)opt(1opt~=λ=λ=λ

4. Estimator Deret Fourier untuk respon 1 :

~

ˆ 79,381 +1,490t + 2,398cos t - 0,282cos 2t +0,004cos 3t + 0,075 cos 4t

Estimator Deret Fourier untuk respon 2 :

=λ )t(f )opt(1

Estimator Deret Fourier untuk respon 2 :

86,447 + 2,567t + 6,652cos t – 0,281cos 2t +=λ )t(f̂ )opt(20,619cos 3 + 0,420cos 4t

SARAN • Dalam model Deret Fourier perlu dilakukan

penelitian lebih lanjut tentang pemilihan nilai K p j g poptimal secara bersama-sama dengan pemilihan optimal

• Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk estimator Deret Fourier dalam regresi

t ik ltinonparametrik multirespon.

DAFTAR PUSTAKA

Antoniadis, A., Bigot, J., dan Spatinas, T., (2001), Wavelets Estimator in Nonparemetric Regression : A Comparative Simulation Study, Journal of

DAFTAR PUSTAKA

Statistical Software, 6, 1-83.Bilodeau, M., (1992), Fourier Smoother and Additive Models, The Canadian

Journal of Statistics, 3, 257 – 259.Budiantara, I.N.,(1999), Estimator Spline Terbobot Dalam Regresi Semiparametrik,

Majalah Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (IPTEKS) 10 103-109Majalah Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (IPTEKS), 10, 103-109.Budiantara, I.N., (2000), Optimasi dan Proyeksi Dalam Regresi Nonpara metrik

Spline, Majalah Berkala Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (BMIPA), Universitas Gajah Mada, 10, 35-44.

Budiantara, I.N.,(2001), Regresi Nonparametrik dan Semipara metrik S P k b M k l h P bi Ut d S i N i lSertaPerkembangannya, Makalah Pembicara Utama pada Seminar Nasional Alumni Pasca Sarjana Matematika Universitas Gajah Mada, Yogjakarta.

Budiantara, I.N., (2002), Estimator Tipe Penalized Likelihood, Jurnal Natural FMIPA Unibraw, Edisi Khusus, 231-235.

Budiantara I N (2005) Model Keluarga Spline Polinomial Truncated DalamBudiantara, I.N.,(2005), Model Keluarga Spline Polinomial Truncated DalamRegresi Semiparametrik, Makalah Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika Universitas Diponegoro, Semarang.

Budiantara, I.N.,(2006), Model Spline Dengan Knots Optimal, Jurnal Ilmu Dasar, FMIPA Universitas Jember, 7, 77-85, ,

Dalimarta, S, (2004), Diabetes Mellitus, Edisi IX, Jakarta Penebar, Swadaya Diabetic Medicine, (2006), Umur Panjang dengan Diabetic yang Terkontrol,Diabetic Sweetner, Infotech.

Draper, N., dan Smith, H., (1996), Applied Regression Analysis, John Wiley &Sons New York&Sons New York

Eubank, R.L., (1988), Spline Smoothing and Nonparametric Regression,Marcel Dekker, New York

Lehman, R., (1983), Theory of Point Estimation, John Wiley & Sons, New YorkPerkeni, (1998), Konsesus Pengelolaan Diabetes Indonesia S l S R (1982) Li M d l S d Editi J h Wil & S ISearle, S.R., (1982), Linear Models, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.,

New Jersey, CanadaSoegondo, S., (1999), Diagnosis dan Klasifikasi Diabetes MellitusTerkini, Dalam rangkuman,

AB. Slamet Suyono, Sutrisno Waspadji(dkk), Jakarta, Pusat Diabetes, Dr. Tjiptomangunkusumo, FKUI.

Tj k i A (2007) Hid S h t d B b h i B Di b t M llit P bit PTTjokroprawiro, A., (2007), Hidup Sehat dan Berbahagia Bersama DiabetesMellitus, Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Tantra, H., (2008), Segala Sesuatu yang Harus Anda Ketahui Tentang Diabetes, Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Tripena, A., Budiantara, I.N., (2006), Fourier Estimator in Nonparametric Regressio , I t ti l C f O N t l S i d A li d N t l S iInternational Conference On Natural Sciences and Applied Natural Scienes, Ahmad Dahlan University, Yogjakarta.Vitahealth, (2004), Informasi Lengkap untuk Penderita dan Keluarga Diabetes, Jakarta, Gramedia Pustaka Utama.

Wahba, G., (1990), Spline Models For Observation Data, SIAM Pnsylvania

Wang, Y., (1998), Spline Smoothing Models with Correlated Errors, Journal of The A i St ti ti l A i ti 93 341 348American Statistical Association, 93, 341-348.

Wu, H., dan Zhang, J.T., (2006), Nonparametric Regression Methods for Longitudinal Data Analysis, John Wiley & Sons, Inc., Canada

TERIMAKASIH