Kelompok al-khawarizmi

BARISAN DAN DERET

TAK HINGGA

1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri dansikap toleransi dalam perbedaan strategi berfikirdalam memilih dan menerapkan strategimenyelesaikan masalah.2. Mendeskipsikan konsep barisan dan deret takhingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunanbilangan asli.3. Menerapkan konsep barisan dan deret tak hinggadalam penyelesaian masalah sederhana.

Kompetensi Dasar

susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya padakalender terdapat

susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan

tertentu. Yang biasanya dilambangkan Un.

Barisan bilangan biasanya ditulis :

U1, U2,`U3, . . . . , Un

Dengan Un adalah suku ke – n dan n = 1,2,3, . . .

Macam-macam Pola Barisan

al-khawarizmi

Barisan Dan deret

Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamatispeedometer pada motor tersebut? Pada speedometer terdapat angka-angka 0, 20, 40, 60, 80, 100, dan 120 yang menunjukkan kecepatan motor saat kalian mengendarainya. Angka-angka ini berurutan mulaidari yang terkecil ke yang terbesardengan pola tertentu sehinggamembentuk sebuah barisanaritmetika.

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika

Barisan Aretmatika adalahbarisan bilangan yang tiap

sukunya diperoleh dari sukusebelumnya dengan cara

menambah atau mengurangidengan suatu bilangan tetap.

Bentuk Umum

Cara mencari b

Contoh soal

Johan Gauss. Ia semasa sekolahnya, ketika seorang guru menyuruh siswanyauntuk menjumlahkan bilangan-bilangan dari 1 sampai 40. Gauss hanya butuhbeberapa saat saja untuk menemukan jawabannya.

Caranya sederhana dan tidak terpikirkan oleh yang lain. Yaitu, ia hanyamembalikkan bilangan itu lalu menjumlahkannya. Seperti di bawah ini.

S = 1 + 2 + 3 + … + 39 + 40

S = 40 + 39 + 38 + … + 2 + 1

2S = 41 + 41 + 41 + … + 41 + 41

2S = 40 x 41

2S = 1640

S = 820

Kalau diperhatikan, soal tersebut merupakan suatu penjumlahan dari barisanbilangan, inilah yang dinamakan deret aritmatika. Berdasarkan cara yang ditemukan oleh Gauss di atas, kita dapat merumuskan jumlah untuk suku ke-n, yaitu;

Sn = n/2 (U1 + Un)

Sampai di sini, kita dapatkan pengertian dari deret aritmatika, yaitu “suatupenjumlahan dari barisan aritmatika”.

Deret Aritmatika

Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalahjumlah suku-suku dari

barisan aritmatika.

Bentuk UmumRUMUS

Contoh soal

Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deretarimetika 3 + 5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :

Sn = n/2(2a + (n -1)b

S20 = 10( 6 + 19.2)

= 10 ( 6 + 38)

= 10 ( 44 }

= 440

Barisan Geometri

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalahbarisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan sukusebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misalbarisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebutdengan rasio barisan geometri (r).

Bentuk Umum

Rumus Barisan Geometri

Rumus Suku ke-n dari barisan geometridirumuskan

dengan a = suku awal dan

r = rasio barisan geomteri

Contoh Soal

Tentukan suku ke- 10 dari barisan geonetri

1,3,9,27,…..

Jawab :

a = 1

r = 3

n= 10

683.193U

)3(1U

arU

9

10

110

10

1n

n

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku daribarisan geometri.Kalau jumlah n suku pertama deret geometri kitalambangkan dengan Sn, makadapat ditulis:Sn = a + ar + ar2 + ar3 + …arn-1Kita kalikan persamaan di atas dengan r, diperolehr Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + …arn-1 + arnkita kurangkanSn = a + ar + ar2 + ar3 + …arn-1r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + …arn-1 + arn

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri Bentuk umum:

Rumus jumlah n suku pertama deretgeometri

Deret Geometri Tak Berhingga

S∞ = limn→∞Sn = lim

n→∞

a(1 − rn)

1 − r

Contoh soalTentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut.

Berdasarkan deret tersebut dapat kita ketahui a = 2 dan r = 1/3. Dengan demikian,

Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 3.

Notasi Sigma dan Induksi Matematika

=𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + …+ 𝑎𝑛

𝑘=1

𝑛

𝑎𝑘𝑆𝑛=

𝑘=1

𝑛

𝑎 + 𝑘 − 1 𝑏 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 + …+ 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏)𝑆𝑛=

𝑘=1

𝑛

𝑎𝑟𝑘−1𝑆𝑛= =𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+ …+𝑎𝑟𝑛−1

Jumlah suatu deret aritmetika dan geometri(𝑆𝑛) dapat ditulis dalam notasi sigma, yaitu:

Untuk deret aritmetika:

Untuk deret geometri:

No. 1Seorang petani mencatat hasilpanennya selama 11 hari. Jika hasilpanen hari pertama 15 kg danmengalami kenaikan tetap sebesar2 kg setiap hari, maka jumlah hasilpanen yang dicatat adalah…

No. 2Diamati 8 jenis virus tertentu. Setiap 24 jam masing-masingvirus membelah diri menjadi 2. Jika setiap 96 jam seperempatdari seluruh virus dibunuh, makabanyaknya virus pada hari ke-6 adalah…

Penyelesaian masalah no. 1

Penyelesaian masalah no. 2