Eindhoven University of Technology

MASTER

Toestands- en parameter schatting met behulp van lineaire filtertechnieken

Janssen, H.J.F.

Award date:1978

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

Atetudeerverelag,

VAKGROEP SYSTEEM- 1~ REGELTECHNIEK Afdeling der Technische Natuurkunde T.H. Eindhoven.

Atatudeerhoogleraar: Prof. ir. 0. Rademaker Afetudeerbegeleider: Ir. C.G.M. de Mol

Eindhoven, 27 september 1977.

TOESTANDS- EN PARAMETER SCHATTING MET BEHULP VAN LINEAIRE FILTERTECHNIEKEN

H.J.F. Janasen

NR-77/247

Semenve.tting.

In dit verslag worden een aantal least squares-achtige parameterschattingamethoden onderzocht op hun toepasbaarheid op multivariabele systemen. Bijzondere aandacht wordt besteed aan een combinatie van Instrumental Variable methode en Kalman-Filter,om zowel toestanden als parameters te schatten. Daarnaast wordt nog een mogelijkheid besproken om de eigenschappen van de meet- en procesruis te achterhalen gedurende de filterprocedure.

INHOUDSOPGAVE.

1

2

INLEIDING.

1.1 Kader van het afstudeerwerk.

1.2 Indeling van het verslag.

HET SCHATTEN VAN PROCESPARAMETERS.

2.1 Inleiding.

2.2 De Least Squares methode.

pag.

1

2

3

4

4 6

2.2.1 Beschrijving van de LS-methode. 6

2.2.2 Uitbreidingen van de LS-methode. 9

2.2.3 Het optreden van bias. 10

2.3 De Extended Matrix Least Squares methode. 11 2.4 De Gegeneraliseerde Least Squares methode. 13

2.5 De Instrumental Variable methode. 15

2.5.1 Beschrijving van de IV-methode. 15

2.5.2 Optimale keuze van de IV-vectoren. 17 2.6 Algemene formulering van de filter-

vergelijkingen. 21

3 BESCHOUWING VAN SIMULATIES MET PARAMETER­

SCHATTINGSMETHODEN. 22

3.1 Inleiding. 22

3.2 Simulaties uitgevoerd op de P9200. 23 3.2.1 De opzet van de simulaties op de

P9200. 23 3.2.2 Beschouwing van de resultaten. 25

3.3 Simulaties uitgevoerd op de PDP 11/34. 27

3.3.1 De opzet van de simulaties op de

PDP 11/34. 28 3~3.2 Het reduceren van de bias. 29

3.3.3 Vergelijking van een tweetal IV-methoden.

3.4 Conclusie. 33 35

4 BET SCHATTEN VAN PARAMETERS EN TOESTANDB­GROOTHEDEN.

pag.

36

4.1 Inleiding. 36 4.2 Het Gecombineerde Lineaire Filter (GLF). 37

4.2.1 Het schatten van de toestands-grootheden. 38

4.2.2 Het aanpassen van de ruis-covariantie matrices. 39

4.2.3 Startgegevens voor de filter-procedure.

4.3 Het Extended Kalman-Filter (EKF). 4.4 Samenvatting.

41 43 44

5 BESPREKING VAN DE RESULTATEN VAN HET SCHATTEN PARAMETERS EN TOESTANDSGROOTHEDEN. 45

6

5.1 De resultaten van de simulaties. 45 5.1.1 De invloed van de keuze van het

IV-model. 46 5.1.2 De invloed van de covariantie

matrix van de gesubstitueerde meetruis. 54

5.1.3 De invloed van de keuze van Po. 55 5.1.4 Adaptatie van de ruiscovariantie

matrices. 5.2 Experimentele resultaten. 5.3 Samenvatting.

SLOTCONCLUSIE.

56 58 61

62

Literatuur. 63

66 Symbolen.

Appendices.

- 1 -

1. INLEIDING.

Het al of niet beschikken over een mathematisch model van een proces, in het verdere verhaal procesmodel genoemd, is voor een regeltechnicus van groot be,lang. Bij het ontwerpen van een procesregeling of bij het zoeken naar een optimale sturing is een goed model doorgaans onontbeerlijk. In principe kunnen modellen op twee manieren verkregen worden.

- De ene mogelijkheid is het model afleiden op basis van fysische wetmatigheden ( de analytische weg ).

- De andere mogelijkheid is het bepalen van een model uit experimentele gegevens. Dit wordt identificatie genoemd. Een nauwkeurige definitie hiervan wordt gegeven door Zadeh (1962).

Identification is the determination, on the basis of input and output, of a system within a specified class of systems, to which the system under test is equivalent.

Deze definitie wordt uitvoerig besproken door .Äström en Eykhoff 11.11. Wij volstaan met te vermelden dat het equivalent zijn meestal wordt uitgedrukt in de mate waarin een kostenfunctie geminimaliseerd wordt.

In de praktijk wordt vaak een combinatie van genoemde mogelijkheden toegepast. Op fysische gronden wordt dan de modelstructuur gevormd. Het identificeren bestaat dan nog "slechts" uit het bepalen van de numerieke waarden van een aantal onbekende parameters. Deze worden geschat uit metingen van de procesgrootheden.

De laatste jaren zijn verscheidene min of meer nieuwe (parameter)-schattingsmethoden geintroduceerd. Heden ten dage

- 2 -

wordt echter minder gezocht naar nieuwe methodieken, maar wordt meer aandacht besteed aan de toepasbaarheid van bestaande technieken. Een goed overzicht van toepassingen in de procestechniek wordt gegeven door Gustavsson 11.21.

In dit verslag worden enige schattingsmethoden nader bekeken op hun toepasbaarheid. We gaan ervan uit dat de structuur van het procesmodel bekend is, maar dat de parameterwaarden nog achterhaald moeten worden.

1.1. Kader van het afstudeerwerk.

In de vakgroep Systeem- en Regeltechniek is wat de procesidentificatie betreft, en in het bijzonder de parameterschatting, vooral onderzoek verricht naar de toepasbaarheid van Kalman-Filters ( De Mol j1.3l, v.d.Bande 11.41, v.d.Dungen 11·51 en meer recentelijk v.Genuchten l1.6f). Mijn afstudeerwerk is meer gericht op het onderzoeken van toepassingsmogelijkheden op multivariabele processen van schattingstechnieken die wat structuur betreft veel overeenkomst vertonen met het Kalman-Filter. Dit zijn met name de deterministische Least. Squares methoden en de Instrumental Variable methoden. De meer statistische methoden zoals de Bayes Estimator en de Maximum Likelihood methode blijven in dit verslag buiten beschouwing, hoewel een aantal deterministische methoden uit de Maximum Likelihoed methode kunnen worden afgeleid.

- 3 -

1.2. Indeling van het verslag.

Dit verslag is als volgt ingedeeld. In hoofdstuk 2 worden een aantal parameterschattingsmetheden besproken voor multivariabele (MIMO) systemen. Doel hiervan is via een korte behandeling van de gebruikte technieken de lezer over de belangrijkste eigenschappen ervan te informeren en het verband tussen de verschillende methoden aan te geven. Met een aantal van deze methoden zijn simulaties uitgevoerd op de computers P9200 en PDP 11/34. Van de door mij onderzochte methoden blijkt een Instrumental Variable methode het meeste perspectief te bieden. Verdere resultaten van deze simulaties worden in hoofdstuk 3 besproken.

In hoofdstuk 4 wordt een procedure beschreven om met behulp van een Instrumental Variable methode een lineair Kalman-Filter "aan te drijven". Indien noodzakelijk kan deze methode worden uitgebreid zodat de covariantie matrices van proces- en meetruis aangepast kunnen worden gedurende de filterprocedure. De resultaten van de simulaties die hiermee zijn uitgevoerd worden in hoofdstuk 5 vergeleken met de resultaten die verkregen zijn met een Extended Kalman-Filter. Daarnaast wordt in hoofdstuk 5 nog een toepassing op een gedeelte van het proefproces besproken.

Een samenvatting van de conclusies wordt in hoofdstuk 6 gegeven. Tenslotte wijzen we erop dat de gebruikte programmatuur in de appendix is opgenomen.

- 4 -

2. HET SCHATTEN VAN PROCESPARAMETERS.

2.1. Inleiding.

In dit hoofdstuk worden een aantal Least Squares-achtige parameterschattingsmetheden besproken die qua structuur met elkaar overeenkomen. We zullen achtereenvolgens van de volgende methoden de voornaamste eigenschappen behandelen.

1. De Least Squares methode (par. 2.2). 2. De Extended Matrix Least Squares methode (par. 2.3).

3. De Gegeneraliseerde Least Squares methode (par. 2.4).

4. De Instrumental Variable methode (par. 2.5).

In de litteratuur worden deze methoden mee,stal toegepast op single input - single output systemen. In dit verslag wordt bij de afleidingen van de methodefi steeds van multiple input - multiple output systemen,uitgegaan.

De lineaire continue systemen, waarvan we in dit verslag uitgaan, kunnen worden beschreven door de volgende vergelijking •

• Fx + Gu 2.1 x = + g - -Hierin is: F = systeemmatrix (nlCn).

G = distributie matrix (nxm).

x = toestandsvector (n). u = stuurvector (m).

g = procesruisvector (n).

De bovengenoemde schattingsmetheden zijn gebaseerd op metingen op equidistante (~t) tijdstippen. We hanteren daarom de discrete vorm van vergelijking (2.1).

!k = ~~k-1 + 6 l!k-1 + Sk-1 2.2

Met tp = eFAt (transitie matrix). fj = F-1 (qJ-I)G

At ~ bemonsteringsinterval.

De bijbehorende meetvergelijking luidt

Met ~k= metingen van de toestandsgrootheden (nj.

Ek= meetruisvector (n).

- 5 -

We veronderstellen hierbij dat alle toestandsgrootheden gemeten worden. De elementen van~ en~ zijn de parameters die geschat moeten worden. Deze elementen zijn terug te vertalen in tijdconstanten en versterkingsfactoren. Voor een tweede orde systeem is in appendix A1 een tabel opgenomen waarin het verband tussen de discrete parameters en de tijdconstanten en versterkingsfactoren wordt aangegeven.

We nemen aan dat proces- en meetruis de volgende statistische eigenschappen hebben.

ECgk) = 2 ,voor alle k.

[(gkgjT) = Q~kj

[(Ek) = 2 ,voor alle k.

T [(Ek!:j ) = RSkj

2.4

T [(Ekgj ) = 0 ,voor alle k en j.

Bovendien veronderstellen we dat de proces- en meetruis niet gecorreleerd is met de toestandsgrootheden en de sturing.

In de volgende paragrafen worden de verschillende parameterschattingsmetheden besproken, en aan het slot van dit hoofdstuk wordt aangegeven hoe de methoden geformuleerd moeten worden om een compact computerprogramma mogelijk te maken.

- 6 -

2.2 De Least Squares methode.

De LS-methode werd al in 1795 door Gauss ontwikkeld. Hij gebruikte de methode voor de bepaling van de parameters die voorkomen in de bewegingsvergelijkingen van hemellichamen. Behalve voor het schatten van parameters kan de LS-methode ook gebruikt worden voor het schatten van stationaire toestandsgrootheden (Sage 12.11 ), en voor de reductie van dynamische systemen. Men gebruikt dan de output metingen van een hogere oràe systeem om tot een zo goed mogelijk lagere orde model te komen. Deze toepassingsmogelijkheid wordt beschreven door Sinha en Pille (j2.2/).

' 2.2.1 Beschrijving van de LS-methode.

De LS-methode berust op het minimaliseren van een kwadratisch kriterium. Om tot een formulering van dit kriterium te komen voor het systeem beschreven door de vergelijkingen (2.2) en (2.3) moeten deze vergelijkingen samengevoegd worden. Dit is noodzakelijk omdat de onbekende toestandsgrootheden vervangen moeten worden door de metingen van deze grootheden, die de beste beschikbare informatie omtrent die toestandsgrootheden zijn. De nieuwe systeemvergelijking wordt dan

Met behulp van de hieronderstaande definities kan deze vergelijking vereenvoudigd worden.

De gesubstitueerde meetruis

De uitgebreide meetvector

e ~ -k VT -k-1

De uitgebreide transitie matrix : A

gk-1 - frk-1 + Ek 2 •6

~ ( ~~-1'~~-1 ) 2.7

~ (~~A) 2.8

- 7 -

Vergelijking (2.5) gaat met behulp van deze definities over in :

Het te minimaliseren kriterium voor dit systeem is

In deze vergelijking stelt I de eenheidsmatrix voor.

2.9

2.10

Als de covariantiematrix van de gesubstitueerde meetruis bekend is kan men in plaats van de eenheidsmatrix ook de inverse van de ruiscovariantiematrix invullen. Onder bepaalde voorwaarden gaat de LG-methode dan over ~n de minimum variantie LS-methode. Deze methode wordt in de volgende paragraaf besproken.

JN is minimaal als de afgeleide naar A nul is, en de tweede afgeleide positief is. We veronderstellen dat aan de laatste voorwaarde voldaan is. De Least Squares schatting van de parameters is de oplossing van de. volgende vergelijking.

2.11

Uitwerken geeft

2.12

- 8 -

Deze vergelijking kan ook in de vorm van recurrente betrekkingen geschreven worden. Het voordeel van de recurrente schrijfwijze is dat we nu niet meer na iedere nieuwe meting (lN+1) een matrix inversie moeten uitvoeren. Om te komen tot de recurrente schrijfwijze wordt de matrix PN gedefinieerd.

Dan geldt voor PN+1

Met behulp van het matrix inversie lemma (appendix A2)

kunnen we (2.14) herschrijven.

I\

Voor de nieuwe schatting AN+1 geldt

2.13

2.14

2.15

2.16

Door· substitutie van (2.15) in (2.16) gaat de laatste ovex' in:

2.17

De nieuwe schatting van A is gelijk aan de vorige schatting plus een correctie op basis van het verschil tussen de nieuwe meting lN+1 en de geëxtrapoleerde meting AN~N· Uitgaande van beginschattingen voor Ao en Po kan na elke

- 9 -

meting met behulp van het stelsel (2.15),(2.16) de schatting van de parameters worden aangepast aan de nieuwe informatie.

In de volgende paragraaf zullen enkele uitbreidingen van de LS-methode besproken worden. Aan het gebruik van de LS-methode voor het schatten van parameters kleeft een groot bezwaar, nl. de schattingen zijn in het algemeen niet zuiver. In paragraaf 2.2.3 wordt hier dieper op ingegaan.

2.2.2 Uitbreidingen van de LS-methode.

In het begin van de vorige paragraaf is al even gewezen op de minimum variantie methode. Om deze te kunnen toepassen moet men over enige à priori kennis beschikken. De: covariantiematrix van de gesubstitueerde meetruis moet bekend zijn en deze ruis moet de volgende eigenschappen bezitten:

Ec~k~jT) = ~~kj 2.18

[C~k) = 0 -In dit geval kunnen we het te minimaliseren kriterium (2.10) herschrijven (12.11).

2.19

Minimalisering van dit kriterium leidt tot schattingen van de parameters die optimaal zijn in minimum variantie' zin, met andere woorden, de variantie van de schattingsfout wordt geminimaliseerd. De hierbij horende recurrente schrijfwijze komt in paragraaf 2.6 ter sprake.

De minimum variantie LS-methode 'toegepast als schatter van toestandsgrootheden leidt tot het bekende Kalman-Filter 12.31. In appendix A3 wordt aangegeven hoe op analoge wijze als bij het Kalman-Filter niet-stationaire parameters geschat kunnen worden.

- 10 -

Niet-stationaire parameters kunnen ook met de LS-methode geschat worden als we het kriterium op de volgende wijze

formuleren.

2.20

Hierin is p een vergeetfactor die meestal tussen .9 en .99 gekozen wordt. Bij het gebruik van deze methode wordt aan metingen van voorgaande tijdstippen steeds minder waarde toegekend.

2.2.3 Het optreden van bias.

In deze paragraaf wordt aangegeven waarom de LS-methode in het algemeen bij het schatten van parameters geen zuivere schatter is. Onder een zuivere schatter verstaan we een schattingsmethode die zodanige schattingen van de parameters geeft dat voor N-oo geldt:

Wanneer de schattingen asymptotisch gaan afwijken van de werkelijke waarden zegt men dat er bias optreedt. Aan/ s .:; ... !-~·:• ..

/­vergelijking (2.21) wordt door de LS-methode bij ons niet voldaan. Door een aantal bewerkingen op vergelijking (2.9) toe te passen is dit gemakkelijk in te zien.

(2.9)

T Ter rechterzijde vermenigvuldigen met yk_1 , sommeren over alle samplemomenten en expliciet schrijven van A geeft:

2.22

- 11 -

Om aan (2.21) te voldoen, moet de verwachtingswaarde van de laatste term in (2.22) gelijk aan nul zijn. De bijdrage van [2:yk_1 y~_1]-1 aan de verwachtingswaarde is ongelijk nul, er moet dus gelden:

N T Eer: ~kYk-1) = o k=1

2.23

Door gebruik te maken van de definities (2.6) en (2.7) evenals van de meetvergelijking (2.3) gaat (2.23) over in:

2.24

Voor alle kruisproducten geldt dat de verwachtingswaard·e nul is. Alleen de termen met Ek_1 vormen bij het ui twe:rken een kwadraat. De verwachtingswaarde hiervan is ongelijk aan nul, en dus geldt in (2.23) en (2.24) het gelijkteken niet.

Slechts in bijzondere gevallen treedt er geen bias op, nl. als ~k ongecorreleerd is met yk_1 (bijv. wanneer er geen meetruis optreedt).

In de volgende paragrafen worden een aantal methoden besproken die het biasprobleem omzeilen. Onlangs is er nog een artikel van Sagara en Wada 12.41 verschenen dat handelt over het compenseren van de bias door de variantie van de residuen te schatten. Het artikel is te recent om reeds een toepassing ervan op MIMO systemen in dit verslag op te nemen.

2.3 De Extended Matrix Least Squares methode.

De EMLS-methode is een uitbreiding van de LS-methode om te komen tot zuivere parameterschattingen. De methode berust op de veronderstelling dat dA gesubstitueerde meetruis opgebouwd is volgens:

- 12 -

2.25

c1 , •••• ,cm z~Jn de ruismodelmatrices en tk stelt witte ruis voor. Afhankelijk van de à priori informatie over de ruis kan dit model uitgebreid worden. Door de ruis op deze manier opgebouwd te denken is de methode ook geschikt voor systemen waarvan de meet- en procesruis niet wit zijn 12.51. We zullen nu de methode meer in de~ail bespreken, uitgaande van de vergelijking,

(2.9)

Omdat ~k' ••• '~k-m 'niet exact bekend z~Jn moet in (2.25) gebruik gemaakt worden van schattingen van deze grootheden. Vergelijking (2.25) gaat dan over in:

2.26

Deze schattingen worden verkregen door in (~~.9) in plaats van A de schatting Ak in te vullen. De schatting van ~k wordt:

e_"'k = vk - A v "- . k-k-1 2.2?

Door (2.26) te substitueren in (2.9) gaat laatstgenoemde over in:

2.28

Hierin is c g (C1! c2 ; ••• I cm)

dT A (AT "..T ) ~k-1 = ~k-1'···'~k-m

De matrix A en de vector v k~~nen nu uitgebreid worden tot:

A'' ~ (A ! C)

v*T ~ ( T u T ~ T ) -k-1 - Zk-1'-k-1'-k-1

- 13 -

Vergelijking (2.28) gaat met deze definities over in:

Op dit systeem kan de LS-methode worden toegepast. We krijgen dan nieuwe schattingen van A evenals van de ruismodelmatrix C.

""* k [' [k . .rr ~ -1 Ak = ""'""v.v. 1 ~ v. 1V. 1 4- ~J-J- 4- -J- -J-J=1 Jc1

2.29

Met behulp van deze schatting kan uit vergelijking (2.27) een nieuwe schatting van ~k gehaald worden, v-marmee via (2.30) A opnieuw geschat kan worden. Deze iteratie procedure kan enige keren herhaald worden alvorens gebruik gemaakt wordt van de nieuwe meting y_k+1 • De op bovenstaande manier verkregen schattingen zijn zuiver omdat ~k niet gecorreleerd

· is met y~_1 • De recurrente schrijfvlijze kan geheel analoog aa..."l de manier zoals bij de LS-methode te werk gegaan werd verkregen worden.

2.4 De Gegeneraliseerde Least Squares methode.

De Gegeneraliseerde Least Squares methode gaat uit van hetzelfde ruismodel als de EMLS-methode. Bij de GLS-methode worden ruismodelmatrix en systeemmatrix echter afzonderlijk geschat• Voor SISO systemen wordt de recurrente schrijfwijze door Hastings-James en Sage 12.61 gepresenteerde Bij de beschrijving van de GLS-methode voor MIMO systemen moet vergelijking (2.9) anders geformuleerd worden. Deze vergelijking uitgeschreven voor een tweede orde systeem met één ingang en twee uitgangen geeft

Dit kan op de volgende manier samengevoegd worden.

- 14 -

(Y1k)= (Y1k-1 Y2k-1 u k-1 ° 0 0

) a11 +(e1k) 2 •32 Y2k 0 0 0 Y1k-1 Y2k-1 ~k-1 a12 e2k

In matrix notatie wordt dit:

a13 a21 a22

a23

2.33

Deze notatie zullen we' nog vaker· gebruiken omdat alle methoden die in dit hoofdstuk behandeld worden, uitgaande van deze vergelijking leiden tot een zelfde stelsel recurrente betrekkingen.

De Least Squares schatting van a wordt:

,. . [ k T ] -1 k T ~k = ~ v._1v·-1 ~ v._1 l·

J=1 J J J=1 J J

Een schatting van ~k wordt verkregen door ~kte substitueren in (2.33).

~k = lk - vk-1~k 2.35 \.,....

Voor het ruismodel geldt de betrekking (2.26).

Uit deze vergelijking volgt met de LS-methode een schatting voor C.

" k " T [ €-- " "T 1 -1 Ck= L e .d. 1 L d. 1 d. 1 j=1-J-J- j=1~J- -J- J 2.37

Vergelijking(2.33) kan herschreven worden met behulp van (2.36),(2.37) en de volgende transformaties:

- 15 -

,. ,. v~-1 = vk-1 - 01vk-2-•••• - 0mvk-m-1

in:

v*k v• a" + 'f' \L. = k-1-k ~k

Hieruit kan a opnieuw geschat worden.

k k ~k = [~ v*. :1 v~ -1] -1 ~ v~:1 Y.~

J=1 J J J=1 J J 2.40

Door deze schatting van a in (2.35) te substitueren kan een iteratie procedure op gang gebracht worden. De GLS-methode kan ook in recurrente vorm geschreven worden zoals bij de LS-methode is aangegeven.

2.5 De Instrumental Variable Methode.

De laatste parameterschattingsmethode die we in dit h~fdstuk bespreken is de IV-methode. De IV-methode stamt uit de economie waar zij in 1941 door Heiersol (zie ref.j2.7p voor het eerst werd toegepast. Pas na 1960 heeft deze methode toepassing gevonden in de regeltechniek.

In deze paragraaf wordt eerst de werking van de methode uitgelegd en daarna wordt het bestaan van optimale IV-vectoren en de benaderingen ervan besproken.

2.5.1 Beschrijving van de IV-methode.

De IV-methode berust niet op het minimaliseren van een kriterium zoals de LS-methode, maar is een bewerking van de least squares schatting opdat de bias verdwijnt. Uitgaande van de systeemvergelijking (2.9) wordt de least squares schatting gegeven door (2.12)

(2.12)

- 16 -

Door in plaats van y~_1 de instrumental variable vector ~~-1 te schrijven wordt de instrumental variable schatting verkregen.

,.. N T [ N ZT ]-1 A=~ z V ... N L ;yk-k-1 L -k-1-k-1 k=1 k=1 2.41

Niet elke vector is geschikt om als IV-vector dienst te doen. Om een asymptotisch zuivere schatting te waarborgen

moet ~k-1 voldoen aan de volgende voorwaarden 12.71 •

Plim N-oo

Plim N-o:>

N T J. L ~k~k-1 = 0 1'l k=1

1 N T N L ~k-1~k-1 k=1

2.42

= L, L is niet singulier 2.43

Da definitie van de Plim is opgenomen in appendix A4. ~k-1 is de vector van de toestandsgrootheden uitgebreid met de stuurgrootheden ~k-1 • De eerste voorwaarde is noodzakelijk om te voorkomen dat er bias optreedt en de tweede voo~waarde draagt er zorg voor dat matrix inversie mogelijk is.

Alvorens naar optimale IV-vectoren te zoeken zullen we eerst (2.41) herschrijven opdat het sommatie teken verd1.vijnt. We doen dit voor een systeem met één ingangsgrootheid en twee uitgfu~gsgrootheden. We gebruiken hierbij de volgende notatie afspraken.

z10 z20 uo· z11 • •

ZN-1 ~ • • • • • • • • z 1 N -1 z 2N -1 uN -1

Hierin is z10 het eerste element van de IV-vector op het tijdstip t = 0, etc. Op dezelfde manier wordt WN_1 en YN_1 gedefinieerd.

- 17 -

er e21) er y21 u1) ~ A

: ' YN ~ • •

e1N e2N Y1N Y2N UN

Vergelijking(2.41) gaat met deze definities over· in

2.44

Analoog aan (2.20) vinden w~:

2.45

We zullen nu nagaan of de IV-vectoren ook optimaal gekozen kunnen worden.

2.5.2 Optimale keuze van de IV-vectoren.

Er kan onderscheid gemaakt worden tussen een tweetal optimaliteits kriteria.

1. 2.46

Dit komt neer op het minimaliseren van de kwadratische afwijking. Dit kriterium wordt gekozen wanneer er weinig gegevens over de ruis bekend zijn.

2.47

De keuze van dit kriterium leidt tot het minimaliseren van de variantie van de schattingsfout. Hiervoor is

. T het noodzakelijk dat de verwachtingswaarde van ~EN bekend is.

Bij de minimalisering van J1 gaan we ervan uit dat voor de ruis geldt : EN~< ci,hierin stelt c een constante voor&2.8l. vlanneer het gelijkteken gehanteerd wordt gaat kriterium 1 over in een minimax kriterium. Geminimaliseerd moet worden:

J CWT z )-TzT z Cl·~ z· ,-1 1 = c N-1 N-1 N-1~N-1 WN-1 N-1 1 2.'+8

- 18 -

Hierin is al gebruik gemaakt van het gegeven dat voor T' T groteN geldt (YN_1 zN_1 )~(WN_1 zN_1 ). Toepassing van

theorema 1 (appendix A5) geeft als optimale IV-matrix ZN_1 :

Wanneer kriterium J 2 gehanteerd wordt geldt:

Als [(~~) = 6 , dan is J2 minimaal volgens theorema 1 (appendix A5) voor :

De ondergrens van kriterium J 2 wordt hierdoor:

Deze ondergrens is identiek aan de ondergrens voor de Maximum Likelihoed methode bij gaussische ruis 12.9 I , en aan de ondergrens voor de minimum variantie LS-methode \2.11. Omdat de metingen behept zijn met ruis.(m.a.w. de matrix WN_1 is onbekend), is de optimale IV-matrix voor beide kriteria niet te verwezenlijken. Er zal volstaan moeten worden met benaderingen van de optimale matrix. In de literatuur kunnen twee stromingen onderscheiden worden ten aanzien van de benaderingswijze.

1. De benadering van de optimale IV -vectoren \vordt verkregen door de output en de input van een procesmodel als IV-vectoren te kiezen.

2. De benadering van de optimale IV-vectoren worden verkregen~~e metingen van de toestandsgrootheden op voorgaand~ tijdstippen als IV-vectoren te kiezen.

- 19 -

We zullen nu eerst een aantal van de in de literatuur

voorkomende methoden bespreken waarbij gebruik gemaakt wordt van een model van het proces. De daarbij veel toegepaste techniek wordt in fig. 2.1 schematisch weergegeven.

Wong en Polak 12.71 gaan bij de vorming van de IV-vectoren als volgt te werk. Gedurende de eerste stappen wordt gebruik gemaakt van de LS-methode. Daarna wordt getest of een model opgebouwd uit de geschatte waarden der parameters stabiel is.

.!.k

'l !:!.k ~k

+' Yk

...... Systeem \2.)-- >

,} {t

I delay

ll ~k-1 >

Ak Filter ~

. .?

1 !.k

I Model

~ n Amodk aan-<""::::= passing -

fig. 2.1

>

Als dit model stabiel is worden de modelparameters op de volgende manier aangepast:

2.53

Het IV-model wordt' dus opgebouwd uit de parameterschattingen van p sample-momenten geleden. De looptijd p dient om correlatie tussen modeloutput en de gesubstitueerde meetruis te voorkomen.

- 20 -

De volgende modificatie werd in 1972 door Young voorgesteld,

en is toegepast door Sinha en Sen 12.101 en door Iserman 12.111 Met behulp van een low· pass filter \'/Orden de modelparameters aangepast.

,..

= ( 1 - ~ )Amodel + ~Ak-p k-1

Om te voorkomen dat het model instabiel wordt kiezen zij voor 0

0 = .02 tot .05

Tot een interessante conclusie komen Finigan en Rowe12.12[. Wanneer het ingangssignaal aan bepaalde voorwaarden voldoet (persistent excitation, zie appendix A6), is het aanpassen van het model overbodig ( ~= 0). Elk model dat stabiel is en de zelfde orde heeft als het proces geeft zeer zuivere schattingen (appendix A4).

Een tweetal meer bewerkelijke benaderingen van de optimale IV-vectoren zijn de Bootstrap methode van Rowe 12.131, en de methode van Mayne. Een beschrijving van de laatste methode wordt gegeven door Tzafestas 12.14[.

Andersen et. al. 12.151 maken bij de constructie van de IV-vectoren geen gebruik van een procesmodel, maar de IV-vectoren worden samengesteld uit de metingen die twee sample-momenten eerder verricht zijn. De schatting van de parameters komt er als volgt uit te zien:

A = t VT [ t v v T ] - 1 N k ~k-k-2 -k-1-k-2 . =1 k=1

2.55

Gentil et.al. [2.161 geven een toepassing van een op soortgelijke manier verkregen IV-methode. De IV-vectoren zijn door hen samengesteld uit metingen die meer dan twee sample-rnomenten eerder verricht werden.

- 21 -

2.6 Algemene formulering van de filtervergelijkingen.

Van alle in dit hoofdstuk genoemde schattingsmetheden kunnen de filtervergelijkingen in dezelfde recurrente vorm gegoten worden. Hiervoor is het noodzakelijk dat de systeemvergelijking geschreven wordt zoals bij de bespreking van de GLS-methode is aangegeven.

(2.33)

De algemene formulering van de recurrente betrekkingen is:

~N+1 = ~N + PNZ~ fvNPNZ~ + RN+~-1 (;IH+1 - VN~N)

PN+1 = PN - PNZ~ [ VNPNZ~ + RN+11-1VNPN

Hieruit kunnen we analoog aan het Kalman-filter een gevdchtenmatrix construeren.

-..

De verschillen tussen de methoden komen voornamelijk tot uitdrukking in de berekeningswijze van de gewichtenmatrix.

/,-~

Voor de LS-methode geldt\ZN)= VN en RN+1 = I. Wanneer de covariantie matrix van de~esubstitueerde meetruis bekend

.·' #) •

ii .) \ 1:1 l, i

\. o zl ' \. } ·..A

is en de minimum variantie LS-methode wordt toegepast, geldt RN+1 = ~+1 • Bij de GLS-methode moet het stelsel (2.56),(2.57) zowel voor de procesparameters als voor de ruisparameters worden toegepast. Bij de El\1LS-methode moeten ~ en VN

uigebreid worden met de parameters respectievelijk "toestandsgr0otheden11 van het ruismodel. Voor de IV-methode geldt bij onbekende ruis ~+1 = I, en wanneer de optimale IV-matrix in minimum variantie zin bekend is RN+1 = Bw+1 Deze algemene formulering maakt het mogelijk om in een compact computerprogramma meerdere methoden onder te brengen. Bij de toepassingen die in het volgende hoofdstuk besproken worden hebben we hiervan gebruik gemaakt.

- 22 -

3 BESCHOUWING VAN SIMULATIES MET PARAMETERSCHATTINGS­

METHODEN.

3.1 Inleiding.

In de aanloopfase z~Jn de simulaties uitgevoerd op de P9200, daarna zijn we overgestapt op de PDP 11/34 om eventuele toepassing op het "Potten en Pannen" proefproces mogelijk te maken.

Van de in het voorgaande hoofdstuk besproken parameter­schattingsmetheden zijn de volgende methoden ge1mplementeerd op de P9200.

1. LS-methode. ,

2. IV-methode waarbij de IV-vectoren bestaan uit voorgaande metingen (IV-methode van Anderson).

3. IV-methode waarbij een model de IV-vectoren genereert en het model al of niet wordt aangepast met een low pass filter. ~= 0, IV-methode van Finigan. ~> 0, IV-methode van Young.

NB. t= 0 wil zeggen,het oorspronkelijke IV-model blijft gehandhaafd. De simulaties die uitgevoerd zijn op de P9200 worden in de volgende paragraaf (3.2) besproken.

Bij de implementatie op de PDP 11/34 is gebruik gemaakt van de algemene formulering van de filtervergelijkingen zoals die aan het eind van het vorige hoofdstuk beschreven zijn. Ge1mplementeerd zijn de volgende methoden:

1. LS-methode. 2. EMLS-methode. 3. GLS-methode. 4. IV-methode van Anderson. 5. IV-methode van Finigan en Young.

- 23 -

De simulaties die uitgevoerd zijn op de PDP 11/34 worden in paragraaf 3.3 besproken. In appendix E is een beschrijving van de gebruikte computerprogramma's opgenomen.

Alvorens de resultaten te gaan bespreken zullen we. even memoren>n

welke startwaarden de methoden nodig hebben. - Alle methoden hebben beginschattingen voor ~0 en P0

(zie 2.56 en 2.57) nodig. - De minimum variantie methoden eisen als extra gegeven

de covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis. - De GLS-methode en de EMLS-methode hebben ook

beginschattingen van de ruismodel parameters nodig.

Vergelijkende onderzoeken van parameterschattingsmetheden voor SISO-systemen waarbij een of meer van bovengenoemde methoden betrokken zijn worden beschreven in 12.101, 12.111,

12.141, 12.161, 13.11 enl3.2j.

3.2 Simulaties uitgevoerd op de P9200.

De simulaties op de P9200 zijn voornamelijk gericht op het achterhalen van de invloed die de grootte van de meetruis heeft op de filterprestatie, en op het zoeken van een geschikte keuze van y in het low pass filter bij de IV-methode van Young.

We zullen echter eerst de opzet van de simulaties bespreken voordat we de resultaten behandelen.

3.2.1. De opzet van de simulaties op de P9200.

De schattingsmetheden worden toegepast op een gesimuleerd proces bestaande uit twee eerst orde systemen in serie zoals geschets in fig.3.1 • We hebben een tweede orde proces gekozen met het oog op een mogelijke toepassing op het in de vakgroep Systeem- en Regeltechniek aanwezige "Potten en Pannen" proefproces.

- 24 -

De discrete vorm van de systeemvergelijking ziet er als

volgt uit:

De numerieke waarden behorende bij het door ons gekozen proces staan vermeld in tabel 3.1 •

q1

. u .(.11 x1

1 + T1 s

rl +

Tabel 3.1 Procesgegevens.

"<.(1 = 1 a11 =· .9048

)12 = 1 a12 = .o T1 = 10 s a13 = .0952

T2 = 20 s

q2

iA2 1 + T2 s

r2

y1

a21 = .046~

a22 == .9513

a23 = .0023

X2

+

' ~'i)

\1)

~~') 1, I

Voor de ruis geldt, het gemiddelde is nul en:

(Cgkg~) = o

y2

(CEkE~) = ciÖkj , c is een te kiezen constante.

Als testsignaal wordt steeds een stapvormige verstoring van het ingangssignaal gebruikt.

Om te komen tot een beoordeling van de kwaliteit van een schattingsmethode wordt de relatieve afwijking ( RA )

- 25 -

gedefinieerd.

Hoe kleiner de relatieve afwijking (RA) is, des te beter zijn de schattingen. De parameters a21 en a23 zijn samengevoegd omdat zij voor ons systeem gezamelijk de versterkingsfactor (M2) vastleggen.

We zullen nu de resultaten van de simulaties bespreken.

3.2.2 Beschouwing van de resultaten.

Het vergelijken van de IV-methode van Young voor verschillende waarden van r toonde aan,dat er voor };' varierend van 0 tot .04 weinig verschil bestond in de waarde van RA100

bij de door ons beschouwde IV-modellen (tabel 3.2). Wel bleek dat naarmate )( groter gekozen wordt er meer kans bestaat dat in de· beginfase van de filterprocedure de de schattingen een instabiel gedrag vertonen,hetgeen de eindschattingen nadelig beinvloedt. In tabel 3.2 is voor een aantal IV-modellen bij een spreiding van. de meetruis gelijk aan 2 % van de stapgrootte het gemiddelde van de RA100 over 5 ruisreeksen weergegeven voor 0 = 0 en ~= .02

In deze tabel komt een uitschieter voor die veroorzaakt is door instabiel gedrag van de schattingen in de beginfase van de filterprocedure bij één ruisreeks. Het filter wordt door de stapstoring niet lang genoeg geactiveerd om deze schattingen te verbeteren.

Verder blijkt uit deze tabel dat voor de hier gebruikte modellen ook zonder modelaanpassing uitstekende resultaten te behalen zijn. Dit is des te opmerkelijk omdat het stapvormige ingangssignaal niet voldoet aan de eisen die Finigan en Rowe 12.121 eraan stellen om modelaanpassing achterwege te mogen laten. ( zie ook appendix A6).

- 26 -

Tabel 3.2, De RA voor ~= 0 en ~= .02 bij verschillende IV-modellen.

IV-model

T1

20

5 40

5 20

RA 0'

t

T2

30 40 10

15 60

M1

1 2 2 2 1

M2

2 1 1 2 2

/ I

l( = 0 (Finigan)

I I

I

RA,oo

.0018 • 0030 • 0020 .0042 .0023

I

I I

I I

I+

/ j ,' I

I x

/1 /. 1/.

7 /

/

((= .02 (Young)

l3 eq- ·,11 -

rou~

RAIO() RA 0

.0012 .'1

.0031 L; •

.06 1 .

• 0033 L; .

.0031 .3

+ Lç -· m~~k-.:.t...lf

)( JV- Vl1 e~hu'-~ v lt~ci ... _ 0

] .~~ _ f'1L f-kc e-~ V h'vt,~,_.

- C' in %van de stapgrootte

Grafiek 3.1, De invloed van de meetruis gemiddeld over 6 ruisreeksen. Het bijbehorende IV-model is

T1=20, T2=30, M1=1, ~=2.

- 27 -

De' invloed van de grootte van de meetruis komt tot uitdrukking in grafiek 3.1. In d·eze grafiek is de genormeerde relatieve afwijking (RA/~ ) uitgezet tegen de spreiding van de meetruis (~in% van de stapgrootte). Uit deze grafiek blijkt dat de invloed van de meetruis vrijwel evenredig is met vf voor de LS-methode en met er voor de IV -methode. Dat dit gedrag redelijk overeenstemt met de theorie wordt in appendix B1 aangetoond. Voor de IV-methode van Andereon geldt voor ~ ~ 4% dat de invloed van de meetruis veel overeenkomst vertoont met de invloed uitgeoefend op de IV-methode van Finigan. Wanneer v groter wordt verdwijnt deze overeenkomst.

Wanneer de lijnen in grafiek 3.1 naar beneden worden doorgetrokken kan bij geringe meetruis een gebied aangegeven worden waarbij de LS-schatting beter is dan de IV-schatting na 100 sample-momenten.

Nu de invloed van de meetruis bekend is kunnen we ons bij de simulaties op de FDP 11/34 beperken tot één grootte van de meetruis. We· hebben hiervoor gekozen er= 4% van de stapgrootte.

3·3 Simulaties uitgevoerd op de PDP 11/34.

Bij de· simulaties op de PDP 11/34 zullen we: nagaan in hoeverre de verschillende methoden de bias reduceren of opheffen. Daarnaast wordt aandacht besteed aan de verschillen tussen minimum variantie en niet- minimum variantie methoden. Tenslotte zullen de resultaten van de IV-methode van Andereon vergeleken worden met de resultaten van de IV-methode van Finigan. We zullen echter eerst de opzet van de simulaties op de PDP 11/34 bespreken.

- 28 -

3.3.1 De opzet van de simulaties op de PDP 11/34.

J. De schattingsmetboden worden toegepast op een op RA-741 analoge computer gesimuleerd proces. De metingen komen via

AD-omzette~s beschikbaar voor verwerking op de PDP 11/34.

Het proces bestaat uit twee eerste orde systemen in serie zoals is weergegeven in figuur 3.1. De discrete vorm van de systeemvergelijking wordt gegeven door vergelijking (3.1). De numerieke waarden van de te schatten parameters en van

de tijdconstanten en versterkingsfactoren staan in tabel 3·3 •

Tabel 3.3, De procesgegevens •

..(.f1 = 2.05 a11 s:: • 906 a21 = .047

~2 = 1.00 a12 = .o a22 = .951

T1 = 10.2 a13 = .19'3 a23 = .005 T2 :;: 19.9

Voor de procesruis (g.) en de meetruis (!:) geldt dat ze een normale verdeling hebben met gemiddelde nul en de volgende

varianties:

[(gig~) = 0

t(!:i!:]) = 55Ióij

Als testsignaal gebruiken we evenals bij de simulaties op de P9200 een stapvormige verstoring van de ingangsgrootheid

u.

Er zijn 26 meetseries opgenomen, elk van deze meetseries bestaat uit 78 metingen van de toestandsgrootheden bij een sampletijd van 1 seconde •. Op elk sample-moment wordt het gemiddelde van de schattingen over· de 26 meetseries bepaald. Als we uitgaan van de veronderstelling dat deze schattingen n9rmaal verdeeld zijn dan kan de bijbehorende variantie berekend worden met de volgende vergelijking.

'a2 - ei a)2

L H c?=

N - 1

- 29 -

Gemiddelde en standaardafwijking geven een goede beoordeling van de filterwerking. Het is daarom niet nodig van de in paragraaf 3.2 gedefinieerde relatieve afwijking (RA) gebruik te maken.

Alvorens de filterprocedure te starten moeten we het ruismodel dat gebruikt wordt door de EMLS-methode en de GLS-methode nader specificeren. We zullen uitgaan van het volgende ruismodel.

Hierin is C : de ruismodelmatrix (2x2) tk: de witte ruisvector (2)

Tot slot merken we nog op

- Bi~ de toepassing van de EMLS-methode wordt niet ge1tereerd.

- Bij de IV-methode van Finigen wordt het IV-model opgebouw~ uit de beginschattingen van de parameters (!

0).

We zullen nu overgaan tot het bespreken van de resultaten.

3.3.2 Het reduceren van de bias.

Zoals in hoofdstuk twee is opgemerkt zijn de meeste methoden erop gericht de bias, die de LS-methode kenmerk~ op te heffen. In tabel 3.4 staan de gemiddelde waarden van de eindschattingen van de parameters met de bijbehorende standaardafwijkingen aangegeven voor de ~-minimum variantie uitvoering van de methoden. Niet-minimum variantie wil zeggen dat als covariantiematrix van de gesubstitueerde meetruis de eenheidsmatrix is opgegeven. Het verloop van de gemiddelde waarde van de schatting van parameter a11 is weergegeven in grafiek 3.2.

Uit grafiek 3.2 blijkt dat de EMLS-methode de bias wel reduceert maar niet opheft.Dit wordt mogelijk veroorzaakt

- 30 -

doordat het ruismodel (3.5) niet uitgebreid genoeg gekozen is (het model is nog geen echte witmaker).

Tabel 3.4 Gemiddelde eindwaarde van schatting met bijbe­horende standaardafwijking.

para- roe gin- exacte . LS- EMLS- IV- trv-meter schat- waarde' methode methode Andersoil Finigan

ting

a11 .95 .906 I .8495 .8736 .9115 .9059 (.0182) ( .0133) ( .0168) ( .0032)

a12 .001 .o .0277 .0137 -.0013 .0006 (.0088) ( .0052) (.0068) (.0011)

a13 .05 .193 .2585 .2350 .1852 .1930 ( .0214) ( .0189) ( .0238) ( .0054)

a21 .017 .047 .0985 .0909 .0533 .0476 I ( .0197) ( .0198) (.0243) ( .0076)

a22 .983

I .951 .9045 .9124 .9465 .9512

( .0158) (.0143) ( .0150) (.0059)

a23 .01 .005 -.0263 -.0158 .oooo .0037 ' I ( .0166) ( .0197) (.0257) ( .0074)

Verdere filtergegevens staan in appendix B2

Uit tabel 3.4 evenals uit grafiek 3.2 blijkt dat de resultaten van de IV-methoden beter zijn dan de resultaten van de LS-methoden.

De resultaten van de GLS-methode zal men tevergeefs zoeken in de tabel en in de grafiek. De reden hiervoor is dat we er niet in geslaagd zijn met de GLS-methode convergentie te bewerkstelligen voor de 26 meetseries. Wel hebben we voor een aantal afzonderlijke meetseries GLS-schattingen kunnen verkrijgen, maar deze waren zo slecht dat het geen zin heeft ze hier te vermelden. De oorzaak van de slechte resultaten met de GLS-methode moeten enerzijds gezocht worden in een onjuiste beschrijving van de residuen en anderzijds in de geringe convergentiesnelheid van de GLS-methode bij het itereren (zie SÖderström l3·3j). Ook voor SISO-systemen treedt dit probleem op zoals blijkt bij Iserman 12.111, die voor de GLS-methode geen of zeer langzame convergentie vond.

' !'("\

8 11

r

1.

Jt

...

+

+

Grafiek 3.2 Gemiddelde schatting van a11 voor niet-minimum variantie methoden.

A LS o EMLS + IV~Anderson K IV-Finigen

~ ll + 11. +++•++++•++++++

~ 0

ooo•ooooooo ooo•~•••• 4 A ,._A .. ~.,. 0~ .... ,. ....... A

0oo•oooo

20 "40 60 semples -

1 .

+

Jt

f' .i<>

•

A

.80

+

'lf

Grafiek 3.3 ... iddelde schatting van a11 voor minimum variantie methoden.

+

,. t

" + I( ...

+l(+••+t;++++++++t+++++ " "" IC'Wlii.XIC""""J<"""It

o 00 • 00 ° 0

oooooooooooooo 6 ° 0

A 4 4 ° 6 6 A 66&44 A 64 A4AAA4AAD

20 40 60 ·ao semples ---.

( - 32 -~

Wanneer we wel een beginschatting opgeven voor de covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis hebben we te maken met de minimum variantie methoden. We hebben voor de covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis de covariantie matrix van de meetruis ( =55 I) gekozen. De resultaten van de eindschattingen etaan vermeld in tabel 3.5, en het verloop van de schatting van parameter a11 wordt weergegeven in grafiek 3.3.

Tabel 3.5 De gemiddelde waarden van de eindschattingen der parameters met bijbehorende standaardafwijking.

~ para- LS-I

EMLS-mete.r methode methode

.8841 ! .8952 a11 ' (.0082)

! ( .0065)

a12 .0018 .0013 ( .0033)

' ( .0002)

a13 .2296 I .2119 ( .0141) ( .0123)

8 21 .0687 .0586 (.0082) ( .0062)

a22 .9204 .9352 ( .0109) ( .0075)

a23 .0074 .0086 ( .0013) ( .0013)

De filtergegevene staan in

IV-Anders on

.9125 ( .0096)

.0008 ( .0002) .1802

( .0180) .0436

(.0069) .9524

( .0081) .0096

(. 0016)

appendix B2

IV-Finigan

.9089 ( .0032)

.0009 (.0002)

.1867 (.0052) .0379

(.0025)

·9592 ( .0037) .0104

( .0005)

I (I Po = fr ,~_~

WfJ zien dat er bij de EMLS-methode nog steeds bias optreedt maar dat dit aanmerkelijk minder is dan bij de niet-minimum variantie methode. Ditzelfde geldt voor de LS-methode. Wanneer we een grotere waarde voor de covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis kiezen dan heeft dat tot gevolg, dat de schattingen dichter bij de beginschatting blijven,

""· ) Bij de IV-methoden vermindert in het minimum variantie geval weliswa~r de standaardafwijking van de schatting, maar de schattingen zelf worden slechter. In hoofdstuk 5, bij de bespreking van het GLF,komen we hier nader op terug.

- 33 -

De gemiddelde waarden van de eindschattingen van de ruismodelparameters met bijbehorende standaardafwijkingen, geschat door het EMLS-filter zijn:

c11 = -.4866 a:;1 = .002

c12 = .0011 û12 = .006

c21 = -.0150 G"'21 = .079

c22 = -.4650 û22 = .042

Met behulp van definitie (2.6) en vergelijking (3.5) kunnen we dit op de volgende wijze interpreteren. Wanneer er geen procesruis optreedt, wat hier het geval is, dan geldt:

Gemiddeld zal de bijdrage van ~k-1 aan ~k even groot zijn als de bijdrage van ~k'zodat we ook mogen schrijven:

~k ~ - t ~k-1 + .{k

Dit stemt overeen met de bovengenoemde ruismodelparameters.

3.3.3 Vergelijking van een tweetal IV-methoden.

We zullen in deze paragraaf de invloed van de beginschattingen van de parameters en hun covariantie matrices op de filter­werking van de IV-methode van Andereon en van Finigan nagaan. De simulaties zijn onder dezelfde omstandigheden verricht als in hoofdstuk 5, zodat de parameterschattingen met behulp van de IV-methode van Andereon ook vergeleken kunnen worden met de schattingen die verkregen zijn met het Extended Kalman-Filter.

In appendix B3 is een tabel opgenomen waarin voor enkele beginschattingen van de parameters de gemiddelde waarden van de eindschattingen zijn v1eergegeven. Daaruit blijkt dat de IV-methode van Anderson ongevoelig is voor variaties in de beginschatting van de parameters. De eindschattingen en de bijbehorende standaRrdafwijkingen blijven vrijwel gelijk.

- 34 -

Bij de IV-methode van Finigen blijft wel de gemiddelde waarde gelijk maar de standaardafwijking varieert. In hoofdstuk 5 komen we hier nader op terug.

De invloed van d& opgave van de covariantie matrix van de schattingstout (P

0) een het filter, wordt in tabel 3.6

weergegeven. Hierbij wil Pe, ze:ggen,dat voor de diagonaal­elementen van P

0 het kwadraat van het verschil tussen

de exacte waarden en de beginschattingen van de parameters wordt gekozen.

'rebel 3.6 De invloed van P0 •

l I Po .1 p lP = p Po 10 Pe p =- p = = o zo e e 0 e

IV- ~V- IV- IV- IV- IV- IV-Andersor And. Finigen And. Finigen And. Finigen

8 11 .9102 .9097 .9061 .9115 .9059 .9150 .9064 (.0103) ( .0108) ( .0033) ( .0168) ( .0032) ( .0265) ( .0054)

8 12 .0008 .0006 .0009 -.0012 .0006 -.0039 .0003 (.0005) (.0010) (.0001) (.0068) (.0011) (.0147) ( .0025)

a13 .1847 .1860 .1922 .1852 .1930 .1823 .1925 (.0189) c .0194) 1 c .0055) ( .0238) ( .0054) (.0307) (.0071)

8 21 .0457 .0471 I .o43o .0533 .0476 ,.0559 .0502 (. 0087) (.0108) (.0042) ( .0243) ( .0076) '.0306) ( .0084)

8 22 .9505 .9495 .9539 .9465 .9512 ,.9452 .9499 ( .0089) ( .0098) ( .0048) (.0149) ( .0059) ~-0175) ( .0058)

a23 .0086 .0073 .0086 .oooo .0037 ~.0033 .0009 (.0042) ( .0075) ( .0025) (.0257) ( .0074) ~-0340) (.0086)

De IV-methode van Finigen geeft de beste resultaten voor P0 = Pe. De IV-methode van Andereon blijkt de beste resultaten te geven voor P 0 < P e. Een mogelijke verklaring hiervoor ie dat in de beginfase van de filterprocedure de correlatie tussen yk en yk_1 te zeer verslechterd wordt door de dan nog relatief veel invloed hebbende ruis, waardoor ook slechtere schattingsresultaten verkregen worden. Een kleinere P0 draagt er zorg voor dat de beginschattingen niet te veel veranderen in de beginfase van de procedure, hetgeen bij de IV-methode van Andereon een gunstig effect heeft.

- 35 -

3.4 Conclusie.

Wat de toepasbaarheid van de verschillende methoden betreft kunnen we het volgende concluderen.

LS-methode: Toepassing heeft alleen maar zin als de spreiding van de meetruis kleiner is dan 1% van de stapgrootte en de observatie-duur beperkt is.

EMLS-methode: Bij het door ons gebruikte model wordt de bias slechts gedeeltelijk opgeheven. Een uitbreiding van het ruismodel gaat echter gepaard met een grotere rekentijd. De rekentijd bedraagt voor ons model 2x de rekentijd van de LS-methode.

GLS-methode: Nauwelijks toepasbaar. De rekentijd is afhankelijk van het aantal iteraties 2,4,6, ••• x de rekentijd van de LS-methode.

IV-methode van Anderson: Deze methode geeft goede resultaten als de spreiding van de meetruis niet groter is dan 4% van de stapgrootte.

IV-methode van Finigen en Young; Voor een groot aantal IV­modell.en geven deze methoden zeer goede resultaten. De vraag is echter of dit voor meer ingewikkelde processen ook het geval zal zijn. De IV-methode van Finigen geeft de beste resultaten als de niet-minimum variantie uitvoering gebruikt wordt.

De rekentijd van de IV-methoden is vrijwel gelijk aan de rekentijd van de LS-method~.

De opmerkingen over de rekentijd hebben betrekking op de LS-methode als ze geimplementeerd is volgens de algemene formulering die aan het eind van hoofdstuk 2 gegeven wordt.

In het volgende hoofdstuk wordt de parameterschatting uitgebreid met het schatten van de toestandsgrootheden.

- 36 -

4. HET SCHATTEN VAN PARAMETERS EN TOESTANDSGROOTHEDD.

4.1 Inleiding.

In de regeltechniek kan men meestal niet volstaan met het achterhalen van de parametere van een proces. Veeleer zal het de bedoeling zijn om met behulp van de vergaarde kennis over proces, dit proces te gaan regelen of besturen. Het zal dan noodzakelijk zijn, dat behalve de parameters ook de toestandsgrootheden nauwkeurig bekend zijn. Indien deze niet voldoende nauwkeurig gemeten kunnen worden, zal men vaak zijn toevlucht nemen tot een schattingsproce~ure.

Voor het schatten van de toestandsgrootheden is enige kennis omtrent de procesparameters onontbeerlijk. V.d.Sande (4.1 I concludeert in ziön verslag dat het identificeren van de procesparameters belangrijker kan zijn voor het achterhalen van de toestandsgrootheden dan voor het bepalen van de regelaar bij adapterend regelen.

In dit hoofdstuk zullen we een methode bespreken waarmee we sequentieel de parameters en de toestandsgrootheden kunnen schatten. Daarnaaat zullen we een manier aangeven waarmee we adaptief de covariantie matrices van de proces- en meetruis kunnen bepalen. Het filter, waarmee we bovengenoemde schattingen uitvoeren, is het Gecombineerde Lineaire Filter, verder aangeduid met GLF. De werking van dit filter berust op het schatten van de parameters met behulp van een IV-methode, waarna de verkregen schattingen gebruikt worden om een Kalman-Filter ;, aan te drijven " dat de toestandsgrootheden schat. Schematisch is dit weergegeven in fi~uur 4.1. In paragraaf 4.2 wordt uitvoerig op de werking van het GLF i~gegaan.

Door een uitbreiding van dit filter kunnen de ruiscovariantie matrices gedurende de schattingsprocedure aangepast worden op een soortgelijke manier als bij het Adaptive Limited Memory Filter 14.21 wordt toegepast ( paragraaf 4.2).

- 37 -

Identificatieprocedures die ook sequentieel te werk gaan vinden we terug bij Andereon et.al. 12.121,en bij Nelson en

Stear 14.3 I· We willen het GLF enigermate kwalificeren, en daarom vergelijken we de schattingsresultaten met die van het Extended Kalman-Filter (EKF). Dit filter schat ook toestanden en parameters, maar niet sequentieel zoals het GLF • Het EKF zal in paragraaf 4.3 in het kort besproken worden. In hoofdstuk 5 zullen we de resultaten van de simulaties op de PDP 11/34 behandelen.

input en output date - parameter~ ..

;::;..::> IV-methode ~ -

-;::: toeatenden Kelmen- --~ Fi I ter -.

Figuur 4.1 Schema van het GLF.

4.2 Het gecombineerde lineaire tilter (GLF).

Het GLF schat sequentieel de parameters en de toestands­grootheden, terwijl parallel aan het toestandsschatten

:>

-:>

de ruiscovariantie matrices aangepast kunnen worden. Het schatten van_de parametere gebeurt met de IV-methode van Young, waarbij meestal 't = 0 (Finigan) gekozen wordt (zie pag. 20). We gaan hier niet verder in op deze· methode, maar nemen aan dat de schattingen van de parameters na elk sample-moment beschikbaar zijn.

- 38 -

We zullen eerst het schatten van de toestandsgrootheden en de aanpassing van de ruiscovariantie matriceJ .. behandelen, daarna bespreken we de beginschattingen en de à priori kennis vsn het proces,die noodzakelijk zijn om de schattinga­procedure te starten.

4.2.1 Het schatten van de toestandsgrootheden.

Bij het schatten van de toestandsgrootheden maken we gebruik van het Kalman-Filter, nadat we de systeemvergelijking hebben aangepast aan de nieuwste schattingen der parameters. We krijgen dan de volgende systeemvergelijking 1 ).

4.1

De hiérbij horende meetvergelijking is:

4.2

A

Hierin stelt Ak de schatting van de parameters voor waarbij reeds gebruik gemaakt is van de meting ~k' gk geeft de procesruis weer en Ek de meetruis. We gaan er in eerste instantie van uit dat de eigenschappen van de ruis bekend zijn. Deze eigenschappen worden gegeven op pagina 5 (vgl 2.4). Op het bovenstaande systeem passen we het Kalman-Filter toe om de toestandsgrootheden te schatten. Het Kalman-Filter verricht de schattingen op een zodanige manier, dat de variantie van de schsttingsfout wordt geminimaliseerd.

1 ) De sturing ~ wordt beschouwd als toestandsgrootheid, doch wordt in werkelijkheid niet geschat.

- 39 -

Dit filter wordt beschreven door de volgende vergelijkingen.

A

!k - Ak!;k-1 4.3

pk = " "'T AkPk-1Ak + Qk 4.4

Kk ... P' (P' k k + Rk) -1 4.5

!k = i' -k + Kk(zk " ' ) - !k 4.6

pk = (I - Kk)Pk 4.7

De afleiding van deze vergelijkingen is te vinden bij de Mol 11.31. In deze vergelijkingen komen de volgende nog niet eerder genoemde grootheden voor:

P' k

De extrapolatie van de toestandsgrootheden op basis van de schattingen van A en !k_1 •

De covariantie matrix van de à priori schattingstout

( = ( { ( !k - !k) ( !k - !k) T J ) • De Kalman gewichten matrix.

De covariantie matrix van de schattingstout

C = é{ê!k - !k) C!k - !k)·r J ) De in minimum variantie zin optimale schatting van de toestandsgrootheden.

In de vergelijkingen (4.3) t/m (4.7) zijn de ruiscovariantie matrices bekend verondersteld. Wanneer dit niet het geval is bestaat de mogelijkheid om ze tijdens de filterprocedure aan te passen. De manier waarop dit gebeurt wordt in de volgende paragraaf beschreven.

4.2.2 Het aanpassen van de ruiscovariantie matrices.

De in deze paragraaf beschreven methode voor het aanpassen van de ruiscovariantie matrices is afgeleid van het Adaptive Limited Memory Filter zoals dat gepresenteerd is

- 4-0 -

door Myers en Tapley J4-.21•

We zullen achtereenvolgens de aanpassing van de meetruis(R) en de procesruis(Q) covariantie matrices bespreken. Bij de afleiding gaan we ervan uit dat het gemiddelde van de meet- en procesruis nul ia.

De meetruis kan niet exact berekend worden uit vlgelijking (4.~) omdat de toestandsgrootheden niet bekend zijn. We kunnen de meetruis wel benaderen door:

4.8

Dit is het verschil tussen de meting en de geëxtrapoleerde meting. Deze benadering heeft het voordeel dat als we hiervoor de covariantie matrix uitrekenen, hierin expliciet de covariantie matrix (R) van de echte meetruis voorkomt. DP. covariantie matrix van !:k wordt gegeven door :

Een zuivere schatting van deze covariantie matrix wordt gegeven door (appendix C1):

1 k Cov(!:k) = ~ ~

K j=1 P'

j 4.10

Hierin is Rk de gezochte covariantie matrix van de meetruis. Een andere schatting van Cov(~k) wordt verkregen door:

k C ( ~ ) 1 ~ ~ ~ T

ov ~k = i j;1~j~j 4.11

Het aan elkaar gelijkstellen van (4.10) en (4.11) geeft de volgende schatting van Rk

R~ 1 ~ ·c~ .... T P') k = K ~ ~·~j - j

j=1 J 4.12

Om te komen tot een schatting van de procesruiscovariantie matrix (Q) gaan we op dezelfde manier te werk.

- 41 -

De procesruis wordt benaderd door:

" gk = !k - Ak!k-1 4.13

De bijbehorende schattingen van de covariantie matrix van gk zijn (appendix C1) :

4.14

4.15

A

Hieruit volgt voor Qk :

4.16

Het verdient wel aanbeveling om bij de toepassing van de hier geschetste methode enige voorzichtigheid te betrachten. Modelfouten kunnen via vergelijking (4.8) een te grote meetruiscovariantie matrix veroorzaken, met als gevolg dat het Kalman-Filter meer gaat vertrouwen op het foutieve model, wat mogelijk een nog grotere meetruiscovariantie matrix tot gevolg heeft. Een dergelijk verhaal geldt ook voor de procesruiscovariantie matrix. We kunnen deze moeilijkheden omzeilen door in de beginfase van de identificatie procedure de aanpassing van de ruiscovariantie matrices achterwege te laten. Daarnaast kunnen we enigszins rekening houden met de invloed van de modelfouten door het rechterlid van de vergelijkingen (4.11) en (4.15) van een gewichtsfactor te voorzien. Dit kan een constante factor zijn (kleiner dan 1), of een grootheid die voor grote k naar 1 nadert.

4.2.3 Startgegevens voor de filterprocedure.

Alvorens we de filterprocedure starten moeten we over een aantal beginschattingen beschikken. Voor het schatten van de parameters met behulp van de IV-methode moeten we aan het

.filter opgeven:

1. Een IV-model van het proces. De parameters van dit model dienen tevens als beginschattingen van de procesparameters. Dit houdt in dat het IV-model dezelfde orde moet hebben als het proces.

2. De beginschatting van de covariantie matrix van de schattingsfout van de parameters.

3. Indien bekend, de covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis.

Voor het Kalman-Filter moeten we bovendien opgeven:

4. De beginschatting van de toestandsgrootheden.

5. Dè beginschatting van de covariantie matrix van de schattingstout van de toestandsgrootheden.

6. De covariantie matrices van de meet- en procesruis.

Met de hier genoemde voorkennis kan de identieficatieprocedure op gang worden gebracht.

Het filter algorithme is als volgt opgebouwd:

1. Bepaling van de schattingen van de parameters met behulp van de IV-methode.

2. Bepaling van de extrapolatie van ,. !k met (4.3).

3· Bepaling van P' k met (4.4).

4. Aanpassing van de meetruiscovariantie matrix met (4.12).

5. Bepaling van de gewichten matrix en de schattingen van de toestandsgrootheden met (4.5) en (4.6).

6. Bepaling van Pk met (4.7).

7• Aanpassing van de procesruiscovariantie matrix met ( 4.16).

8. Ophoging van k naar k+1 , en herhaling van de procedure.

- 4-3 -

4.3 Het ExtendedKalman-Filter (EKF).

Het EKF is in dit onderzoek opgenomen om als referentie te dienen voor het GLF. We zullen het EKF hier slechts summier bespreken. Voor een uitvoerige beschrijving van het EKF zoals wij dat toepassen, wordt verwezen naar Vissers 14.41.

Wanneer we met een Kalman-Filter zowel parameters als toestandsgrootheden willen schatten, dan kunnen we dat doen door de parameters ook als toestandsgrootheden op te vatten. We krijgen dan het volgende noodzakelijk niet-lineaire systeem.

voor i= 1,2, ••• ,n 4.17

voor i= n+1,n+2, ••• ,n+m

Hierbij is verondersteld dat er n toestandsgrootheden zijn en m onbekende parameters. De meetvergelijking is nog steeds lineair, al zal de meetmatrix (H) uitgebreid moeten worden •

4.18

We krijgen voor het filter dan het volgende stelsel vergelijkingen, geheel analoog aan het stelsel (4.3) t/m (4.7).

A I !k = !C!k-1 '~k-1) 4.19

PI T + ok 4.20 = Jk-1pk-1Jk-1 k

Kk = PkH~(HkPkH~ + Rk)-1 4.21

A

!k = A I !k + Kk(;rk - Hk!k) 4.22

pk = (I - KkHk)Pk 4.23

Hierin is Jk-1 d!

= ~&k-1

4.24

- 44 -

De Jacobiaan Jk_1 is ontstaan door linearisatie van de systeemvergelijking rond de schatting op het voorgaande tijdstip.

Om de filterprocedure te starten moeten de in de vorige paragraaf genoemde beginwaarden opgegeven worden aan het filter.

4.4 Samenvatting.

In dit hoofdstuk is een methode gepresenteerd, waarmee sequentieel de parameters en de toestandsgrootheden geschat kunnen worden. Dit filter (GLF) is bovendien geschikt om de covariantie matrices van de proces- en meetruis aan te passen gedurende de filterprocedure. Daarnaast wordt in dit hoofdstuk een korte beschrijving gegeven van het Extended Kalman-Filter.

In hoofdstuk 5 zullen de schattingsresultaten van bovengenoemde methoden met elkaar vergeleken worden.

- 45 -

5 BESPREKING VAN DE RESULTATEN VAN HET SCHATTEN VAN PARAMETERS EN TOESTANDSGRQOTHEPEN·

De in het voorgaande hoofdstuk besproken schattingsmethode (GLF) hebben we geimplementeerd op de FDP 11/34. Een beschrijving van het computerprogramma is in appendix E opgenomen,

Het GLF en EKF worden toegepast op het in hoofdstuk 3 beschreven proces. De numerieke gegevens staan vermeld in tabel 3.3. Ook de omstandigheden waaronder de simulaties plaatsvinden zijn identiek aan de in paragraaf 3.3.1 beschreven omstandigheden.

Bij de toepassing wordt de invloed van een aantal beginschattingen op de filterwerking onderzocht. Er wordt met name aandacht besteed aan:

1. De invloed van de fout in de beginschatting van de parameters. Dit houdt rechtstreeks verband met de keuze van het IV-model.

2. De invloed van de fout in de bij de parameters behorende covariantie matrix van de schattings!out.

3. De invloed van een onjuiste opgave van de meet ruis-en procesruis covariantie matrices.

In dit hoofdstuk zullen eerst de resultaten van de simulaties bespreken en daarna enkele resultaten van een toepassing op een gedeelte van het proefproces behandelen.

5.1 De resultaten van de simulaties.

In eerste instantie gaan we ervan uit dat de covariantie matrices van de meet- en procesruis bekend zijn, waardoor we de ruisadaptatie achterwege kunnen laten. De mogelijkheden van adaptatie komen in par.5.1.4 aan bod.

- 46 -

5.1.1 De invloed van de keuze van het IV-model.

In hoofdstuk 3 is aangetoond dat voor een groot aantal IV-modellen de verschillen tussen de IV-methode van Finigan en de IV-methode van Young in de niet-minimum variantie uitvoering zeer klein zijn. We zullen dan ook hoofdzakelijk gebruik maken van de IV-methode van Finigan. Bij de minimum variantie uitvoeringen blijkt de methode van Young duidelijke voordelen te bezitten.(par.5.1.2).

Pogingen om door terugkoppeling van de schattingen van de toestanden naar de IV-methode tot betere IV-vectoren te k~men, leidden echter steeds tot slechtere schattingen van zowel toestanden als parameters. We hebben twee mogelijke terugkoppelingen onderzocht, te weten:

-zk ·= A x mod -k-1

De slechtere resultaten zijn mogelijk te wijten aan de afhankelijkheid tussen de IV-methode en het Kalman-Filter die door deze aanpak ontstaa~.

In deze paragraaf worden een drietal IV-modellen met elkaar vergeleken. Deze modellen hebben de volgende eigenschappen:

Model 1 : De stapresponsie is sneller en groter dan de stapresponsie van het proces.

Model 2

Model 3

De stapresponsie is trager en kleiner dan de stapresponsie van het proces.

De stapresponsie is vrijwel identiek aan de stapresponsie van het proces.

Schematisch wordt dit weergegeven in figuur 5.1 • De numerieke gegevens staan vermeld in tabel 5.1. Omdat de parameters van het IV-model ook de beginschattingen voor het filter zijn, kan naast elke simulatie run met het GLF ook een run met het EKF gemaakt worden.

- 4? -

11odel 1

x.

1 -------lforlflJ {Procts)

--- lfotl.l2

-1:

Figuur 5.1 Stapresponsies van IV-modellen.

Tabei 5.1 Model parameters.

Continue model parameters.

Model 1 Model 2 l Model 3 Proces

...t{,1 3 1 2 2.06

M-2 2 1 1 1.0 !

T1 6 s. 1 20 s. 10 s. 10.2 S.

T2 10 s. 60 s. 20 s. 19.9 s.

Discrete model parameters.

a11 .833 .95 .90 .906

a12 .o .o .o .o a13 ·5 .05 .20 .193

a21 .2 .017 .05 .047

a22 .9 .983 .95 .951

a23 .01 .001 .001 .005

De gemiddelde waarden van de eindschattingen zijn voor de verschillende IV-modellen uitgezet in tabel 5.2. In deze tabel is bov~ndien de som van de parameters a21 en a23 opgenomen omdat uit deze som de versterkingsfactor~2 berekend kan worden. Voor model 2 is het verloop van de gemiddelde waarde van de belangrijkste parameters uitgezet in de grafieken 5.1 t/m 5.6.

Tabel 5.2 De resultaten van de eindschattingen bij verschillende IV-modellen.

- 48 -

model 1 model 2 model 3

t••c~ EKF GLF EKF GLF EKF GLF

x1 199 199.5 199.6 199.5 199.6 199·5 199.6 (7.5) (1.1) ( 1.6) (1.1) ( 1.2) (1.1) (1.1)

x2 194 193.5 193.6 193.8 194.0 193.5 193.6 (7. 5; (1. 8) ( 4.1) (1.9) (2.2) ( 1. 9) (2.6)

a11 .906 .9040 .9061 .9056 .9059 .9055 .9064 ~.0037) ( .0104) ( .0035) (.0032) ( .0034) (.0054)

a12 .o .0007 .0005 .0004 .0006 .0006 .0003 K .oo14) ( .0060) (.0014) (.0011) ( .0014) ( .0025)

a13 .• 193 .1971 .1927 .1943 .1930 .1940 .1925 ~.0057) (.0109) (.0052) ( .0054) (.0051) (.0071)

a21 .047 .0489 .0495 .0478 .0476 .0508 .0502 ~ .0034) ( .0127) (.0037) ( .0076) (.0036) ( .0084)

a22 .. 951 .9490 .9498 .9506 .9512 .9491 .9499 K.oo29) K.oo92) (.0029) ( .0059) ( .0030) (.0058)

a23 .005 .0050 .0023 .0045 .0037 .0009 .0009 K.oo34) I' .0113) (.0039) (.0074) (.0036) ( .0086)

a21+ .·o52 .0539 .0518 .0523 .0513 .0517 .0511 a23

Uit tabel 5.2 blijkt dat de standaardafwijking van de gemiddelde waarde van de eindschatting verkregen met het EKF onafhankelijk zijn van de door ons gekozen beginwaarden. Dit is bij het GLF zeker niet het geval, hier blijkt dat IV-model 2 niet lang genoeg geactiveerd wordt door de stapstoring, waardoor ook niet lang genoeg een positieve bijdrage aan de filterwerking gegeven kan worden. Bij het veel langer geactiveerde IV-model 2 benadert de standaardafwijking de resultaten van het EKF.

Verder zien we in deze tabel dat bij de beginwaarden behorende bij model 1 het EKF nog geen goede schattingen geeft voor de parameters a11 en a13 • Dit wordt waarschijnlijk veroorzaakt door de grote beginafwijking.

C'\ .::t

r

Grafiek 5.1 Het verloop van de schatting van a11 met het EKF. (met a- grens)

>~~~·' ,,~~ ~-rfy· ~;;.·:~. ,.: r l,

\.:: t l

20 60 s

.9

-

f'

Grafiek 5.2 Het verloop van de schatting van a11met het GLF bij model 2. (met a- grens)

f··~ .•=r:

\

~~ ~.'! - . rl· -

"" .-. r ; ' t

~---~ '"--.- ._, .-.

~~~; ,:

~~~i~t~/. fi1·~r :-s

~. -.~1 . :\.· ....... ~,., • ,< ~T . ~ l

IJ~f' .. , .. ,f~,:~ i .,~. ~~:.

20 40 60 80

• •

c L'"\

.

r

.2

Grafiek 5.3 Het verloop van de schatting van 8 13 met het EKF. (met ~ grens)

"'

.. ~<"' _,J:_.t~ r~ ~ .~: • ~,, :...~~~ ·-.-...

.---- -,40 160 1eo 20

s

.

r

Grafiek 5.4 Het verloop van de schatting van 8 13 met het GLF bij model 2. (met er grens)

~

60 s

"-·-·~

' Lf\

Grafiek 5·5 Het verloop van de schatting van a22 met het EYJ'.

(met c-' grens)

1. r. ; ;•.

'

r .951 ~-- .·.·

oJ>.' 0 .· · · t ! -fiilJ. ,.;;'<-'' - > cr""..;=-.~tr« • .... ~t t' ,. -., .. ~ ~j~. ,

:'".'1_> -~~ ...... - :.r- J - .-.. ~.t_j ~

20 40 60

• 80

Grafiek 5.6 Het verloop van de schatting van a22 met het GLF bij model 2 •

(met er grens)

1.

r

'-~-~~

'\ A I ~ ,E~ I I, • .,,

., ' :1 ~ ! ~· .. ~ i ~ ;~ J

f J

i~~:. ': .... ,

~-\ ll["' \' . '

(

-~ ..: \ . 0 :~ ;' \:

.9~ ~-·.'-~ A. ·-~:!c!fl~ ~~ .• ~:: .t* ··~--.~~+;}(~i~~- ~-~~~;til

.90

i. (~

~-":~··l I .. \-. ~ . ,.

l·'

~· t ·"' . ,:~ ~ : '4 ·:·. I }

\ .

1r. ·" \ i : \'. . . " l ·i {;

~ .. ' ~-­~·>,t t' ··~ l

,~- .. -~

p '"t '

J. J f

20 40 60 80

•

,..

- 52 -

De grafieken die het verloop van de parameter schattingen voor het GLF en het EKF bij toepassing van IV-model 2 aangeven,

laten een rustiger verloop van de schattingen met het EKF zien. Dit wordt veroorzaakt door de verhouding tussen meetruis en procesruis. Deze verhouding bepaalt in hoge mate de grootte van de gewichten matrix van het Kalman-Filter.

lwanneer we bij het GLF gebruik maken van de minimum variantie /uitvoering wordt ook voor deze methode het verloop van Lde schattingen rustiger.

Het verloop van de schattingen van de toestandsgrootheden is aangegeven in tabel 5.3. De afname van de standaard­afwijkingen van de schattingen is weergeven in de grafieken 5.7 en 5.8.

Tabel 5.3 Het verloop van de gemiddelde waarden van de schattingen van de toestandsgrootheden.

x1 x2 Net .... melJ~ng melJ~ng -x 4~ zonder - EKF GLF zonder y2 EKF GLF

ruis y1 ruis

15 154 15~.0 154.3 15,.2 55 57.0 56.0 56.4 1 (8.2) (3.7) (5.9) (8.4) (4.4) (4.7) I

! 30 189 188.8 189.0 188.7 121 119.5 120.7 121.2 (2.2) (2.7) ' (5.0) (8.1 (4.5) ( 4.1)

1_5 I

197 119?.5 19?.4 19?.4 161 162.5 160.7 161.0 (9.5) (2.1) (2.3) (7.2) (3.1) (3.5)

160 199 198.7 198.9 199.0 182 183.0 182.5 182.8 I I ( 6.1) (1.7) (1.?) (7.7) (2.3 (2.8)

175 199 199.0 199.4 199.5 192 192.1 192.4 192.6 (6.4) (1.2) (1. 2) (5.6) (2.2) (2.4)

Uit de tabel blijkt dat de verschillen tussen de schattingen erg klein zijn wanneer de meetruis en de procesruis vrij nauwkeurig zijn opgegeven. Uit de grafieken blijkt dat ook de afname in de standdaardafwijkingen vrijwel samenvallen. Het verschil in de standaardafwijkingen voor x2 kan verklaard worden door de grote tijdconstante in model 2

waardoor deze schatting wat trager op gang komt.

1'<'\ lJ\

Cf"*

1

Grafiek 5.7 Het verloop van de standaardafwijking van x1 bij model 2.

10

l i .. ...

't .. BJ +

• + + + 0 ..

+ ... +

~· • 0

... + .. + 't

6 Je + ... .... ~ 0 x x +

~

0 0

·~ JC' 0

" 0 11.

.. llr 0 l 0•

x

21 ,. • ,,

i

...

tltaefJIS

• ••

20 40 60 80 s

+meting o GLF

IC EKF

Grafiek 5.8 Het verloop van de standaardafwijking van x2 bij model 2.

10

s ....

()"'"

6

0 .&.

+

+

• -t

0

... ~ .. ... ... .. ... -+ +

+

+

+

l + + .,.

~ 0 Jt

•

4 ..

ll

2

0

" • •

... . ••

0

0 • lt

20

0 0 6. 0 0 .,.

.. + ....

.11 "' IC K 0 11 •o o

Ir 0 •

40 s

• I( I( I " ,. • a

• Jl

eo 80

5.1.2 De invloed van de covariantie matrix van de

gesubstitueerde meetruis. ' Ij l ' ( ? ~Cl W, ('!1 ,)I:, 11 f~, tv·., 1\ \ I '·,

In hoofdstuk 2 hebben we gezien dat een optimale keuze van de IV-vector in minimum variantie zin gemaakt kan worden. Dit is mogelijk als de covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis bekend is, en tevens de modeloutput identiek is aan de procesoutput. Tabel 5.4 laat de invloed zien als voor deze covariantie matrix achtereenvolgens I,5I,10I en 55I gekozen wordt. Uit deze tabel blijkt,dat naarmate de elementen van de covariantie matrix groter worden, de eindschattingen van de parameters verschuiven in de richting van de modelparameters. Dit wordt veroorzaakt doordat niet aan de tweede voorwaarde voldaan is, nl. de output van IV-model 2 is niet gelijk aan de. procesoutput. Wanneer we nu een low pass filter gebruiken om het IV-model aan te passen, blijkt de verschuiving te verminderen.

Uit de tabel blijkt verder dat de standaardafwijking van de parameters beduidend afneemt als de elementen van de covariantie matrix groter gekozen worden. Dit wil niet zeggen dat de schattingen beter worden. De resultaten verkregen met de IV-modellen 1 en 3 laten het zelfde beeld

zien. \I 1 J ~V : V(?yk:"?(!be

We kunnen hieruit concluderen dat in geval van toepassing van niet-minimum variantie methoden, het GLF goede resultaten geeft met de IV-methode van Finigan, doch dat wanneer er gebruik gemaakt wordt van minimum variantie methoden de IV-methode van Young de voorkeur verdient. Het kan dan wel nodig zijn dat het proces vaker geactiveerd moet worden omdat bij grote covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis (B) het filter na elke meting slechts kleine wijzigingen in de schattingen toelaat. Ditzelfde geldt ook voor het EKF.

!

Tabel 5.4 De invloed van de covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis op de eindschattingen en de standaardafwijkingen.

GLF 't=O 'C=O i ~=0 l •=0 ~-.02

cov. I 5I 10I I 55I 55I x1 199.6 199.7 199·7 I 200.1 199.9

(1.15) (1.17) (1.18) I (1.17) (1.14)

x2 194.0 194.7 195.2 198.3 196.4 (2.17) (2.07) (2.02) (1.83) ( 1. 90)

8 11 .9059 .9058 I .9061 .9089 .9078 ( .0032) ( .0033) ( .0033) 1 c .0032) ( .0034)

'

8 12 .0006 .0009 .0009 I .0009 .0009 ! ( .0011) ( .0003) (.0001) ; ( .0000) ( .0001)

a13 .1930 .1928 .1922 .1867 .1888 ( .0054) I c .oo55) ( .0055) (.0052) ( .0056)

a21 .0477 I .0447 .0431 .0379 .0404 ( .0076) I c .0052) ( .0042) ( .0025) ( .0034)

a22 .9512 ·9528 .9539 ·9592 .9562 j(.0059) l (. 0051) ( .0048)

I (.0037) ( .0047)

.0037 .0071 .0086 I .0104 I .0101 a23 ( .0074) (.0039) ( .0024) (.0005) ( .0008) 8 21 .0514 .0518 .0517 .0483 .0505 +a23

5.1.3 De invloed van de keuze van Po.

Een van de in paragraaf 4.2.3 genoemde startgegevens voor de filterprocedure is de beginschatting van de covariantiematrix van de schattirigsfout van de parameters (Po). In deze paragraaf wordt nagegaan in hoeverre de keuze van deze matrix de gemiddelde waarden van de eindschattingen be1nvloedt. Dit onderzoek sluit aan op paragraaf 3.3.3. Ook hier wil Pe zeggen dat voor de diagonaalelementen van Po het kwadraat van het verschil tussen de exacte waarden en de beginschattingen van de parameters wordt gekozen. Alle andere elementen worden 0 gekozen.

- 56 -

In appendix D1 zijn voor een aantal waarden van Po de resultaten van de beide filters in een tabel aangegeven. De beginschattingen van de parameters zijn gelijk aan de parameters van IV-model 2 gekozen. Uit deze tabel blijkt dat de schattingen van de toestandsgrootheden 1% of minder varieren bij een verandering van Po van .1Pe naar 10 Pe.

De gemiddelde waarden van de eindschattingen van de parameters verschuiven hierbij als volgt:

a11 van van

.9071 • 9061

naar naar

.9026

.9073

voor het EKF. voor het GLF •

a13 van ,.1909 naar .1991 voor het EKF. van .1922 naar .1930 voor het GLF.

a 21 van +a 23van

a22 van van

.0523 naar • 0510 naar

.9532 naar

.9536 naar

.0533

.0518

• 9465 .9506

voor het EKF. voor het GLF •

voor het EKF • voor het GLF.

Het blijkt dus dat de veranderingen in de eindschattingen bij het GLF geringer zijn dan bij het EKF. Dit geldt ook voor de veranderingen in de standaardafwijkingen. Hieruit kan geconcludeerd worden het het GLF minder gevoelig is voor een onjuiste opgave van de covariantie matrix van de schattingsfout van de parameters.

5.1.4 Adaptatie van de ruiscovariantie matrices.

Tot op heden is er geen gebruik gemaakt van de mogelijkheid om met behulp van het GLF de covariantie matrices van meet- en procesruis te schatten. Dit was niet nodig omdat we ervan uitgingen dat we nauwkeurige waarden van deze matrices tot onze beschikking hadden. In deze paragraaf gaan we ervan uit dat we niet over nauwkeurige waarden van deze matrices beschikken.

De parameterschatting met behulp van het GLF is onafhankelijk van de keuze van de ruiscovariantie matrices wanneer we gebruik maken van de ~-minimum variantie methode.

- 57 -

Bij het EKF be1nvloedt de keuze van de ruismatrices zowel de toestandsschatting als de parameterschatting.

In deze paragraaf wordt de mogelijkheid van adaptatie bekeken door aan de filters een aantal foutieve waarden van de ruismatrices op te geven. In tabel 5.6 staan voor een aantel ruismatrices de eindschattingen van de toestands­grootheden en hun standaardafwijkingen vermeld.

Tabel 5.6 De invloed van de adaptatie van de meet- en procesruis covariantie matrices.

x1 x;:> EKF GLF GLF EKF GLF

R Jt t od zonder met zonder adap. adap. adept.

100 .25 199.6 199.6 199.6 194.4 194.1 (1.12) (1.16) (1.16) (1.84) (2.30)

25 .• 25 199.5 199.6 199.6 193.5 193.5 (1.19) ( 1.16) (1.16) (1.9;2) (2.11)

20 1 199.5 199.5 199.5 193 0 ~) 193-7 ( 1. 51) (1.53) (1.27) (2.37) (2.46)

55 5 199.5 199.5 199.5 193.6 193·7 (1.85) ( 1. 87) l (1.32) (2.71) (2.79)

25 3 199.5 199.5 199.~ 193-5 193.7 (2.05) (2.07) ( 1. 39) (2.91) (2.98)

15 3 199.4 199.6 199.5 193.5 193.6 (2.48) (2.26) ( 1. 39) (3.31) (3.16)

GLF met adept. 194.1

(2.23)

193.9 (2.11)

193.6 (2.09)

193.9 (2.14)

193.7 (2.13)

193.8 (2.10)

Uit deze tabel blijkt dat naarmate de ruisverhouding (RQ-1 )

meer afwijkt van de exacte waarde (55/.25) de resultaten met adaptatie beter worden dan de resultaten zonder adaptatie. Maar er blijkt ook dat wanneer de ruismatrices niet meer dan een factor 2 afwijken van de exacte waarden, adaptatie achterwege mag blijven.

Tabel 5.7 geeft voor een tweetal simulatieruns de gemiddelde waarden en de standaardafwijking van de eindschattingen van diagonaalelementen van de ruiscovariantie matrices. Daaruit blijkt dat met adaptatie goede benaderingen van de echte ruismatrices verkregen kunnen worden.

- 58 -

Tabel 5.7 De eindschattingen van de diagonaalelementen van de ruiscovariantie matrices.

R Q r11 r22 q11 q22 x I xi

55 5 52.9 57.8 1.11 0.38 (19.1) (22.7) (0.42) (0.21)

15 3 45.6 47.6 1.24 0.60 (19.4) (22.5) (0.46) (0.27)

De parameterschattingen met behulp van het EKF blijken bij een onjuiste opgave van de covariantie matrices van de ruis weinig te verlopen, wanneer zij minder dan een factor 3 afwijken van de exacte waarden van de matrices.

NB. Bij de implementatie van vergelijking (4.12) en (4.16) wordt om geheugenruimte te besparen, niet over alle sample-momenten gemiddeld,maar slechts over de laatste twaalf snmple-momenten.

5.2 Experimentele resultaten.

De vakgroep Systeem- en Regeltechniek heeft de beschikking over het "Potten en Pannen" proefproces. Een uitvoerige beschrijving van dit proefproces wordt gegeven door Meulenbrugge en Neelen 15.11.

In deze paragraaf wordt een toepassing van het GLF en het EKF op een gedeelte van het proefproces (het zogenaamde hoogte model) besproken. Het hoogte model is geschetst in figuur 5.2. Het water stroomt door een vaste opening ven het niet geroerde vat .1 naar het goed geroerde vat 2 dat over een variabele uitstroomopening beschikt.

Het is de bedoeling de overdracht van temperatuur 'r1 naar T3 te schatten, waarbij we ook over metingen van temperatuur T2 beschikken. Omdat vet 1 niet geroerd is wordt aan~enomen dat in de bovenlaag 4H ideale menging optreedt en dat de waterstroom in vat 1 verder als een propstroom beschouwd

a.m..

Figuur ~.2

... 5S -~

kan worden. Voor· een sta~ormige verhoging van T1 blijken de metingen dit te bevestigen (grafiek 1,appendix D2). Bij een stapvormige verlaging van T1 speelt de opwaartse stroming van het warmere water in het onderste deel van vat 1 ook een rol, waardoor het idee van de propstroom wordt "aangetast" (grafiek 3, appendix D2). Getracht wordt de overdracht van T1 naar T3 te beschrijven door een tweede orde systeem met looptijd. Omdat de filters in de in dit verslag beschreven vorm niet geschikt zijn voor het schatten van looptijden, wordt een benadering van de

looptijd uit de betreffende grafiek gehaald. Bij een stapvormige verhoging van T1 wordt de looptijd benaderd door 8 At (grafiek 1 ,appendix D2). Hierin ia IJ t de aampletijd,die 5 seconden bedraagt.

De 'resultaten van de schattingen van parametera en toestanden bij een stapvormige verhoging van T1 staan in tabel 5.8. De resultaten bij een stapvormige verlaging staan in tabel 5.9.

Tabel 5.8. Resultaten van de schattingen bij een stapvormige verhoging van T1 .na 100 sample-momenten.

GLF EKF begin

~ 8.11 .8188 .8190 .9 i a12 .0006 - .o

8 13 .1790 .1793 .1

a21 .0301 .0324 .1 8 22 .9756 .9762 .9 8 23 -.0064 -.0092 .01

x1 58.7 58.7

x2 55·3 55·3

- 60 -

Doordat aan de filters naar verhouding veel procesruis t.o.v. meetruis is meegegeven (Q c I en R = .1I), blijven de filters veel gewicht toekennen aan de metingen, met als gevolg dat de· toestandsschattingen vrijwel .samenvallen met de metingen.

Het verloop van de schatting van a11 en a22 is weergegeven in grafiek 2, appendix D2. Uit het feit dat deze waarden vrij snel stabiliseren, mogen we concluderen dat de overdracht van T,1 naar T

3 goed benadert wordt door een

tweede orde systeem met looptijd.

Tabel 5.9 Resultaten van de schattingen bij een stepvormige verlaging van T1 na 100 sample~momenten.

(looptijd = 6 At) I GLF EKF

8 11 .8811 .8797

8.12 .0029 -a13

i .1150 .1195

a21 .0339 .0299

a22 .9738 .9748

a23 - .0078 -.0047 ' i \

x1 46.3 46.3

x2 47.9 47.9

Het verschil in de schatting van a11 in tabel 5.9 en 5.8 komt overeen met een verschil in de tijdconstanten van 14 sec. Dit kan worden geinterpreteerd alsof het deel van vat 1 waar ideale menging optree~wordt vergroot.

De resultaten verkregen uit de ruisadaptatie staan vermeld in de volgende tabel.

Tabel 5.10 Schattingen van de covariantie matrices van mee t - en ~rocesru1s.

r_1_1 r22 ~1 q22

I beginschatting • 1 .1 1 • 1. eindschatting 1.04 1.08 .01 .0001

l_ beginschatting 10. • 1 1. 1 •

eindschatting 2.46 1.02 .02 .001

- 61 -

Uit deze tabel blijkt dat het GLF bij een stapvormige verlaging van T1 ,de wervelingen ontstaan door de opwaartse stroming van het warme water in vat 1 interpreteert als meetruis.

Resumerend kunnen we zeggen dat de resultaten van het EKF en GLF bij deze experimenten goed met elkaar overeen­stemmen.

5.3 Samenvatting.

We hèbben gezien dat zowel met het EKF als met het GLF goede resultaten te behalen zijn. Het EKF blijkt bij voldoende à priori informatie een geringere variantie van de schattingstout op te leveren, en het GLF blijkt iets robuster te zijn, dat wil zeggen, het is minder gevoelig voor afwijkingen in de beginschattingen.

Tot sl.ot zullen we enige opmerkingen maken over de rekentijd die beide filters nodig hebben. Om tot een vergelijking van de rekentijd te komen zijn zowel voor het EKF als voor het GLF het aantal bewerkingen(vermenigvuldigingen en delingen) geteld, die nodig zijn om van een tweede orde systeem de zes parameters en de twee toestandsgrootheden na elk sample-moment te bepalen. Deze aantallen staan vermeld in tabel 5.11.

Tabel 5.11 Vergelijking van de rekentijden.

Ae.ntal Filter Bewerkingen

GLF zonder 240 adaptatie

GLF met 280 adaptatie

EKF 370

Hieruilblijkt dat de rekentijd van het GLF ongeveer 65% is van de rekentijd van het EKF. Bij toepassing van een hogere dan tweede orde proces wordt dit percentage nog lager.

6 SLOTCONCLUSIES.

Het schatten van procesparameters met behulp van de Least Squares methoden wordt bemoeilijkt door het optreden van bias, die slechts in speciale gevallen afwezig is. Zelfs uitbreiding van de LS-methode tot de Extended Matrix LS­methode doet de bias maar gedeeltelijk verdwijnen ten koste van een verdubbeling van de rekentijd. Wat het schatten van de parameters betreft blijken de Instrumental Variabie methoden aanmerkelijk succesvoller te zijn. Het grootste probleem bij de IV-methode is de keuze van het IV-model. Dit model dient zodanig gekozen te worden, dat het dezelfde orde heeft als het proces, stabiel is, en dat het door het testsignaal gedurende het observatie-interval geactiveerd wordt.

Het schatten van toestanden en parameters met behulp van het Gecombineerde lineaire filter heeft ten opzichte van het Extended Kalman Filter het voordeel, behalve een kortere rekentijd, dat de systeemvergelijkingen lineair blijven. De resultaten van het GLF en EKF ontlopen elkaar niet veel. Het EKF geeft bij voldoende à priori informatie nauwkeurigere schattingen, daar staat tegenover dat het GLF minder gevoelig is voor afwijkingen in de beginschattingen. Naast het in de vakgroep S&R. veel gebruikte EKF biedt het GLF voldoende mogelijkheden om toepassing te rechtvaardigen.

Bij de simulaties bleek, dat het voor een aantal gevallen nodig kan zijn het proces opnieuw te activeren, of een ander testsignaal te gebruiken om tot consistente schattingen te komen. In deze richting zou het onderzoek voortgezet kunnen worden.

Literatuur.

1.1 K.J.Aström, P.Eykhoff. System identification - a survey, Automatics 7, 123-162 (1971).

1.2 I.Gustavsson. Survey of applications of identification in chemical and fysical processes, Automatica 11, 3-24 (1975).

1.3 C.G.M.de Mol. Kalman-filters en toepassingen, Intern rapport, vakgroep S&R,

NR75/1 (1975) • 1.4 ~.M.M.v.d.Sande.

- 63 -

Het schatten van de versterkingsfactoren en de tijdconstanten van een tweede orde systeem met behulp van een Kalman-Filter, Stageverslag,vakgroep s&R, NR75/22 (1975).

1.5 W.T.H.M.v.d.Dungen. · Parameterschatting aan een tweede orde proces met

onbekende looptijd, Stageverslag,vakgroep S.~R, NR76/68 ( 1976).

1.6 A.J.M.v.Genuchten. Kalman-achtige schattingsalgorithmen en looptijden, Afstudeerverslag,vakgroep s&R, NR77/2~6 (1977).

2.1 A.P.Sage. Optimum systems control, Prentice Hall, London (1968).

2.2 N.K.Sinha, W.Pille, A new.method for reduction of dynamic systems, Int.J.Control,Vol 14, N0.1,111-118 (1971).

2.3 H.W.Sorenson. Least-squares estimation: From Gauss to Kalman, IEEE spect,63-68 (1970)

- 64 -

2.4 S.Sagara, K.Wada. On-line modified least-squares parameter estimation

of linear discrete dynamic systems, Int.J.Control,vol 25, no 3, 329-343 (1971).

2.5 A.J.Smets, The instrumental variable method and related identification schemes, TH-report 70-E-15, Eindhoven (1970).

2.6 R.Hastings-James, M.W.Sage. Recursive generalisad-least-squares procedure for online identification of process parameters, Proc.IEE,vol116,no 12 (1969).

K.Y.Wong, E.Polak. Identification of linear discrete time systems using the instrumental variable method, IEEE aut.control,vol AG-12,no 6 (1967).

2.8 K.Wada, S.Sagara. On the estimation of linear discrete systems from the instrumental variable point of view, Nog niet verschenen.

2.9 P.Eykhoff. System identification, J.~iley,London (1974).

2.10 N.K.Sinha,A.Sen. Gomparisen of some on-line identification methods for a simulated first order process, ftut.G.Theory,vol 2, no 2 (1974).

2.11 R.Isermann,U.Baur,W.Bamberger,P.Kneppo,H.Siebert. Gomparisen of six on-line identification and parameter estimation methode.

Automatica,vol 10,81-103 (1974). 2.12 B.M.Finigan,I.~.Rowe.

3trongly consistent parameter estimation by the introduetion of streng instrumental varinbles, IEEE.aut.control, vol AG-19, no 6 (1974).

2.13 I. H. f~owe. A bootstrap method for the statisticnl estimation of model parameters, Int.J.control, vol 12, no 5 ,712-739 (1970).

- 65 -

2.14 S.G.Tzafestas. Some computer-aided estimators in stochastic control

systems identification, Int,J,control, vol 12, no 3, 385-399 (1970)

2.15 W.N.Anderson,G.Kleindorfer,l1 .Kleindorfer,M.Woodroofe. ~~

Consistent estimates of ~parameter of a linar system, Ann.Math.Stat.,40, 2064-2075 (1969)

2.16 S.Gentil,J.P.Sandraz,C.Foulard. Different methods for dynemie identification of an experimental paper machine, Proc.3rd Ifac Symp Ident.and Est,Den Haa~ (1973).

3.1 P.N.James,P.Souter,D.C.Dixon. A comparison of parameter estimation algorithms for discrete systems, Chemical Eng.Sc. vol 29 (1974).

~.2 R.N.Pandya. A class of bootstrap estimators for linear system identification, Int.J.control, vol 15 (1972).

3.3 T SÖderström. Converganee properties of the generalised least squares identification method, Automatica 10, G17-626 (1974).

4.1 J.M.M. v.d.Sande. Adapterend regelen en proefprocessen, Afstudeerverslag,vakgroep S~R,NR77/143 (1977).

4.2 K.A.Myers, B.D.Tapley. Adaptive sequentia! estimation with unknown noise statistica, I~EE aut.control, (1976).

4.3 L.W.Nelson,E.Stear. rhe simultaneous on-line estimation of parameters and states in linear systems. IEEE aut.control (197G)

4.4 H.Vissers. Het sequentiele filter, Intern rapport, vakp;roep ~;~R, NR77 /219 ( 1977)

5.1 H.J .r.1eulenbrugge, J etT .r1.Neelen, Digitale regeling van een meervariabelen proefproces. Afstudeerverslag, vakgroep 3\R (1~73)

- 66 -

Symbolen.

Latijnse symbolen.

A Uitgebreide transitiematrix

a Element van de uitgebreide transitiematrix

B Covariantie matrix van de gesubstitueerde meetruis

C Ruismodelmatrix

d Element van de uitgebreide ruisvector

e Gesubstitueerde meetruis

F Systeemmatrix

f Systeemfunctie

G Distributiematrix

H Meetmatrix

I Eenheidsmatrix

J Te minimaliseren kriterium of jacobiaan

K Gewichten matrix p

(.)

q

R

Covariantie

Covariantie

Procesruis

Covariantie

r Meetruis

matrix

matrix

matrix

RA Relatieve Afwijking

s Sample-moment

van de procesruis

van de meetruis

T Tijdconstante of Temperatuur

u Sturing

v Uitgebreide meetvector

V Uitgebreide meetmatrix

w Uitgebreide toestandsvector

W Uitgebreide toestandsmatrix

x Toestandsgrootheid

Y Uitgebreide meetmatrix

y Heting

Z Instrumental Variable matrix

z Instrumental Variable vector

- 67 -

Griekse symbolen.

~ Maat voor de aanpassing van het IV-model à Stuurmatrix AT Bemonsteringatijd i RuismEJ.trix ~ Versterkingsfactor J Witte ruis ~ Standaardafwijking p Vergeetfactor ~ Transitiematrix

.A.1

Appendix A

Gegevens behorende bij hoofdstuk 2.

A1 Het verband tussen de discrete en continue parameters.

Het verband tussen de discrete parameters (a) en de tijdconstanten (T1 ,T2) en versterkingsfactoren (Aï1 ,~) bij een proces bestaande uit 2 eerste orde systemen in serie (fig.3.1) wordt in onderstaande tabel aangegeven.

a11

8 12 8 13

a21

= 0

= AA., ( 1 - a11 )

= ~T1(a11 - a22)/(T1 - T2)

= exp(- h t/T2) a22

a23. = M1At2( 1 - (a11T1/(T1 - T2)) + a22T2/(T1 - T2))

als geldt :AU1 = 1 dan is:

a21 + a23 = ..U2(1 - a22)

A2 Het matrix inversie lemma.

Als de matrices PN+1 ,PN,VN en~ voldoen aan de vergelijking

PN11 = pN1 + V~BN1VN a.1

en als PN11 ,PN1 en BN1 niet singulier zijn kunnen we op vergelijking a.1 de volgende matrix bewerkingen toepassen. Ter linkerzijde vermenigvuldigen met PN+1 en ter rechterzijde met PN geeft:

a.2

Ter rechterzijde vermenigvuldigen met V~

T T -1 T PNVN = PN+1VNBN (~ + VNPNVN)

Ter rechterzijde vermenigvuldigen met (~ + VNPNV~)-1 VNPN

PN+1V~~1 VNPN = PNV~(VNPNV~ + ~)-1VNPN a.LJ.

A2

Door gebruik te maken van vergelijking a.2 kunnen we hier voor schrijven:

a.4

A3 De minimum variantie LS-methode voor niet stationaire parameters.

Stel dat het gedrag van de parameters beschreven kan worden door:

~k = ~ ~k-1 De gesubstitueerde meetvergelijking is:

Deze vergelijkingen zijn identiek aan de vergelijkingen (10.4-18) en (10.4-19) in Sage 12.1r pag.277. De afleiding van de filtervergelijkingen verloopt geheel analoog met als resultaat de bekende Kalman vergelijkingen.

~ Kk = PkV~-1(Vk-1PkV~-1 + Ek)-1

!k = ~~k-1 + Kk(lk - vk-1~~k-1)

pk = (I - KkVk-1)Pk

Let op' De bias verdwijnt op deze manier niet.

Het is mogelijk om de IV-methoden ook op bovenstaande manier te formuleren voor niet stationaire parameters. In dat geval treedt er geen bias op.

a.6

a.8

A3

A4 Definities.

Plim ( aN ) = 0 is als volgt gedefinieerd:

Lim P ( I aNI ( E ) = 1 N ... •

voor l > 0 a.10

Een schatter wordt consistent of zuiver genoemd als geldt:

Lim p ( I a . . - a . .I "E. ) = 1 N-.• l.J l.J .

Een schatter wordt strongly consistent of zeer zuiver genoemd als geldt :

Lim p ( I a . . - a . j I = 0) = 1 N .. • l.J 1

A5 Tpeorema.

a.11

a.12

Stel A en B zijn mxn matrices en R is een mxm matrix die positief definiet is • Als (BTA)-1 ,(BTR-1B)-1 en (ATRA)-1

bestaan, dan is de nxn matrix

positief semidefiniet. Dus

(ATB)-1ATRA(BTA)-1 - (BTR-1B)-1 ) 0

Het bewijs hi~voor is te vinden in j2.7r.

A6 Persistent excitation ( of order n).

Een signaal u heet persistent excitation of order n als de volgende limieten bestaan:

-Gemiddelde, u = lim N•-

A4

Correlatie functie,

r (T) = lim ~ ~ (uk - Ü)(uk+T - Ü) u N•~ i;1

a.13

Bovendien moet de volgende matrix positie! definiet zijn.

Een stapvormige verstoring is persistent excitation of order 1. De IV-methode van Finigan eist, om te komen tot zeer zuivere schattingen, dat het ingangsignaal persistent excitation of order 2n +1 is. Waarbij de orde van het proces n is. Een stapvormig ingangsignaal zal dus geen zeer zuivere schattingen opleveren.

B1

AP,~endix B.

Gege'vens behorende bij hoofdstuk 3'•

B1 Het verband tussen RA en ne m~etruis. ----- _________ _.._ ____ _::_: _ _c__~-'---'---"--

• D~ onde~gr~ns ven het krite~ium J 2 (2.47) vobr•de IV-methode wordt gegeven door:

( T -1 -'lt J2 • WN-1 8 WN-1) (2.52)

• ' r

Uitachrijven van ~ ,geeft voor de diagonaAl-elementen:

In de covarianti8 matrix van de gesubstitueerde meetruis (B) ... komt de variantie van de meetruis voor. Dit wil dus

')

zeggen dat de ondergrens van J 2 evenredig is met o- ';

Bij de LS-methode geldt dat de fout die veroorzaakt wordt door de bias, evenredig is met ~2 van de meetruis •. Qoor d~ definitie van RA (3.2) wordt deze fout ~ekwadrateerd, met ale gevolg:RA is evenredig met a-.4 • Uit de metinp:en hebben we e.en evenredigheid met 0""'3.5 gevonden. llit stemt redelijk overeen met de theorie.

B2 Filtergegevens behorende bij tabel ?.4 en 3.5.

Voor beide tabellen geldt :

Pe is . p .. .025 . 11 p22 • .00001

p33 = .025

p44 = .01

p55 == .01

I'66 .0001

De niet-diAgonaal elementen Voor tabel ~. tj. ~eldt verner Voor te bel 3.c; p;eldt R ·- S')

stapstoring u == 96.6

Po = Fe

zi ,in n nl •

p. ·- T •

T •

B2

B3 De invloed van de beginschatting van de parameters op de eindschattingen en de bijbehorende standaard­afwijkingen.

model 1 model 2 model ~

IV- IV- IV- IV- IV- IV-AND. FIN. I AND. FIN. AND. FIN.

., I .9113 I • 9061 I • 9115 .9059 .9113 .9064 a11

( .0168) (.0104) (.0168) ( .0032) ( .0167) ( .0054) I

-.0012 I .0006 -.0012 .0003 8 12 .0005 I -.0012 ( .0067) ; ( .0060) ( .0068) (.0011) ( .0067) I (.0025)

' . 8 13 • 1855 I .1927 i .1852 .1930 .1855 .1925

(.0238) (.0104) 1 (.0238) ( .0054) ( .0236) ( .0071) l

8 21 .0535 .o495 I .0533 .0476 .0553 .0502 ( .0243) C .o127) I C .0243) ( .0076) ( .0242) ( .0084)

8 22 .9463 .9498 .9465 .9512 .9456 .9499 ( .0149) i ( .0092) ( .0149) (.0059) (.0149) ( .0058)

8 23 -.0002 1 .oo23 I .oooo .0037 -.0024 .0009 (.0258) 1 c.o113) (.0257) ( .0074) ( .0256) ( .0085)

Beginschattingen

T1 6 s. 20 s. 10 s.

T2 10 s. 60 s. 20 s.

1 3 1 2

2 2 1 1

Appendix c.

Gegevens behorende bij hoofdstuk ~~.

C1 De ruiscovariantie matrices.

De afleiding van (4.10) uit (4.Q).

Cov(!:k) = F{c~k- !k-)Clk- ~l~)-r}

: E{c~k- Ák!k-1)C~k- Äk~k-1! r1 Substitueer:

lk : !k + Ek

!k = Ak!k-1 + gk

~k = !k - !

Hiermee gaat(4.9) over in:

Uitscrijven geeft:

Cov(~k) = (\C~k!k-1!~-1A~ + gkg~ + !:!-:!:~)~

Met F - C (x 'XT )

k-1- L -k-1-k-1

8en zuivere schatter voor cov(tk) worrtt rlRn:

k CovO\) =.c ~ '[ !". • 17k

j~ 1 ,J

"'

C1

(4.'1)

( /~ .1 ())

Dit gAldt alleen als tîk een zu.iverP sciHJttPr is vnn A.

fiet bewijs van verp;el i,jking ('1.1/J) VE~rloopt op dP::>;Pl frlp

manier n]s hierhnvPn ~Pschetst is.

""""' a E)(ocl Po = .'1 Fe l p 1 -,- Po = Fe

! o =

3 .ce

EKF GLF ! EKF GLF EKF GLF

x1 I 199.8 199.7 ' '190 Ç. 199.6 "199.5 199.6 '

/. -~

(1.10) c1.18) 1 c1.11) ( 1 .17) (1.13) (1.15)

x2 194.4 ( 1. 37)

195.2 I 194.1 194.4 193.8 194.0 c 2. o2) 1 c 1 • s6) (2.10) ( 1. 86) (2.17)

a11 I. 906 • 90'71 I ( .0025)

• C106'Î I .9061 .9057 .9056 .9059 I

(. )033) i ( .0027) (. 0033) ( .0035) (. 0032) I

a12 .o

: 193l' .190; ' - .

' .1922 .1930 .1930 .1'043 .1930 8.13 ( .0044) (. 0055) ( .0047) ( .0055) ( .0052) ( .0054)

a21 .047 .0434 .0430 .0452 .0456 .0478 .0476 ( .0017) ( .0042) (.0023) ( .0058) (.0037) ( .0076)

a22 .951 .9532 .9539 .9522 .9523 .9506 .9512 ( .0023) (. 0048) ( .0024) (. 0054) ( .0029) ( .0059)

a23 .005 .0089 .0086 i .0072 .0062 .004-6 .0037 ( .0009) (. 0025) (.0021) ( .0049) ( .0039) (.0074)

8.21 +a23 .052 .0523 .0516 .0524 .0518 .0524 .0513

rabel met eindschsttingen bij verschillende waarden van ?o.

Sc~attingen uitgevoerd met IV-model 2.

Fo = 3 Fe EKF

I I

1CJCJ.4

I 193.5 I ( ." P.,....)

1 ou)

GLF 1CJCJ.C)

193.3 (2.18)

Fo = 10 Fe EKF GLF 1CJCJ.C 1CJq.4 i

-1Ci3 -1 t ,: • l

( 1 ~ 81) "10:Z: ,.,

./ _/ .. ' (2.16)

I • 9047 • 9065 • 9226 • 9C03 i I (.0049) (.0039) ~.:::C?O) (.OC59) I

.1960 .1926 .1991 .1918 ( .0064) (.0056) ( .0085) ( .0065)

.0501 .0486 .0530 .0490 (.0049) ( .0085) ( .0064) ( .0089)

.94-89 .9508 .9465 .9506 ( .0034) (.0062) (. 0041) ( .OOS4-)

.0028 .0025 .0013 .O.J20 ( .0054) ( .0086) ~ .0071) (.0092)

.0529 .051 'Î .0533 .0510

Verdere gegevens: stapstoring u = 95.6 , B = I,R = 55 I,O = .25 I.

I I i

02

~ ~ ~ IJ 11 11

)( ~

+ 0 ~ _:)

0

~ ~ ,... e. ~

'<)

1.11 "" .:)-

___ L ____ . __ j_ ---- -·- ___ [__ ___________

~ .. 0 '#.. .(

~ 0 ,. ~ v

.... 0 .,. ~

~ .. 0 >I.

1 - + a ._.

~ ... 0 >1. B -" ... ~

.... • 't

+ 0 'IC

~ ... 0 )I

·~ + 0 )I

{ ~ ll e

'- 0 ..... 0 + 0 'IC :::. ~ .... 0 )l

('f -u .. 0 "' V"'

+ 0 >(

~ ~ 0 ll( s

~ .. ~ ~ 0 I(

:J"'1 0 ~

\.. .. 'Jl <1 ~ ... • ... 'b

:~ -+ 0 lC. ,, _Q ... 0 .." 0

~ u

"" + 0 .. ~ ~

~ ·- + 0 lC. ..,. s::: ... 0 1l 0 ..., Ç,)_ ~ 0 1(.

V' 8~ ~ + 0 ll

~ - ~ '-U ., • "' ~ .. 0 )I ~

........ + 0

~ 0 _:x ~ .,.. • ~ .,.

Jo.. ..... <-r' "

+---r---·.- ------r-

~ ~ ~, !L -N 0 ~ :2 V)

...., "'-l)

->-•

••

.8o

~.o

•

0 t

0

+~,

~~~ ve(lo~p vo~ d(J -AC~QbLn~~ vo.,_ Q,, ~.., Ql2 lo<j d·afVOr'""',-tf{' V€r-hO<ji""9 VQ't ft

~ ~3t~••••••••~e•••

+- E I( F 'H h c. ~ ~ ,· 11 '3 Q 11

oS L ~ ,,

---.-- -... ~~~p_h 'oo

& ~ 1)1J !f8" ..... 5 1!; ............. .

~

so 'Oo

b3

\j 0

" '-.o

\-"? ;:,. "" <l ~ ~ "" '-" tJ' '""

.;:,.

<lil I j _________ __ _L - --- ___ _j --___ _______L -- -.

./

~~ )( 0 .j.

V

:.)-t' lt () ... ~ 0

-.Q :::. 0 .j.

t~ l( 0 +

\:7 ·g- lr 0 ~

0 ~ ~ ~ 0 q. I( 0 .j. ~ ~ >

r= ~ ç x () -+ 'V

1/ ll 'l( 0 -1 ( ~ " Q f + <:l 'Á )... 0 + ~ .....

10 Je () + ~

.::,. -~ ~

)( () +-..... &

'"' .......... \( () +

a....., ~ )( 0 -+-~.-..-

~ ~ l( () .j..

~ :~ x 0 .j.

~ Q ~ .lt () ..j. € :::,

""' )( 0 + )( 0 +

(V)

" 0 + ~ )( 0 + ~ <;_ :V 0 +

Cl lr 0 + ..... tv- Je 0 +

)( () ..j.

---lJ )( 0 -t

~ ... () + ~ ,, )( () + I

~ I

,::,.. )I 0 ..j. I ~

"' .)( 0 + 0 0

"""'-~ )( +

x 0 +

x 0 + () +

V

~ lO <;:) • (") +

~ ~ ::r- ,..... \..) ..." ...,..,

0

~

____,.. ~ - -> ,..., 0 ~ ~ .." \.,/) ,_,.,

"-' ...,.,

0

~

-go t> o

.86

.82

,q6

. q2. -

.qo o ! 1" 0

~ro(iek Lt.

JJ ~ s c h o ~ L f'l g ~ n v' a n 01

, e n a 2 2 b ij e e n

shop vormige verloqc.n_g van "I 1·

.... -t +- .... 0 0 ° 0 0

S:omplf'I ~--r- -~~~---- --~-----·

50 100

•

~ampl~s L.....~~-~~-------,-----~~-~------.----

50 100

1~1

Appendix E

Beschrijving van de gebruikte computer pror;remma's. -----·-----··-·--- "" --- -- ------

E1 ~_et_ ~o~pute:r-_ __ p~og~El._!Ilma GELS.

Dit programma is bedoeld om op de 1'9200 vnn een tweede

orde proces de parameters te schatten, wnarbij de meetruis,

de procesruis en de ruis op het i np;ongsignM"11 g~varieerd

kunnen worden.

De parameters worden geschat met A<~n of m~P r vnn ~ie vo lgPnde

methoden:

Leest Squares methode.

IV-methode van Anderson.

IV-methode von Finigan.

Aan de hand van de Algol tekst zt1llen we een korte beschrijvin~

van het programma geven.

De procedure RECUR (regel ~95-4SO) lost het stelsel

recurrente betrekkingen (2.15 en 2.17) op.

De procedure KWALITEIT (regel 45S-500) berekent de relatieve

afwijking (RA).

Van regel 505 tot 870 worden de beginschnttin~en ingelez~n,

de méthode(n) gekozen, en de hoeveelheid ruis opgegeven.

Van regel 870 tot 1145 worden de bovenF,enoemde methoden

toegepast, en voor elk sample-moment de variabelen aangepast.

Uitgeprint worden de schattingen van de JlarAmeters en de

grootte ven HA •

Ç ELS.

0005 '.BlGiti''R:EAL'GMi 0010 'IN'IEG1R'I,J,!(,L,~.:f,LES, ANDEtltH; 0 0 1b I .EEAL • f'ID c, I·HE'l·, BRUI s, M Eill' T 11. T22, 'I 21, Dl, D2, u, 0 0 20 I V 11 .I V 21 ,r V 22t! V 13, I V 23, TO U 1t '10 U 2, ~ U 1, 1·1 U 2, Kf,L s, n1 A'f, K\'ii V; 0 0 2b ' A HHAY 'ALS, AN D, AI V ( 1: 2, 1: 3] , l'L S, P All, H V ( 1: 3, 1: 3J , \t;, V 1, V 2( 1: 3J , 0030 ~ t,{ 2, \•il, I'•2,X 1,X2,X 3, i 3( 0: 140] ,Y[ 1: 2J; 0035 'ARRAY 'KL s, K All, KI V( 1: 10J, i'.t( 1: 3, 1: 3J, AA( 1: 2, 1: 3); 0040 'llDCIDUHJo.' 1-'.fU~'IMA'IillXI~, A, Dli 0045 'VALUE' :i, D; '!~'lEGER' ti, Di 'ARRA{' Ai 0050 'EEGH' 'U'HGlfi' I, J, K, JMI~, J 1~AX; 0055 K := 73 'I' I D + 81; JMAX := Oi oOG o • FO R • J ~I :I : = J 'i AX + 1 • riH u 1 • J M r N <= N • DO • 0 065 • lH.'GUl I J M AX : = 'I F I J M AX + K < :I "IH M ' J M AX + K • EL SE. !'l; 0070 NLCR; 00'?5 0030 0035 0(90 00]5 0100

• FO R • I : = 1 I s 'I E p I 1 • UN 1I L I N • DO I

'BEGHl ' !'IL CR;

'Y.>h' J := JMitf 'STiP' 1 'U:HIL' JMAX 'DO' I ,BEG I l'l I S} A CEl 1) ; FW 'I I L, 2, A( I ' J J ) • Et·l DI

'MD' 'END'

0105 'Y'IL'i 0110 'hlAL' 'f'ID CEDURE' RA!~IDM; Olló 'BEGI~' F'RAIJD := FRA~D * 1021; 0120 RNHOM := FRA!~ D := FRAN D - El-lTI ERI F'RAIJ Dl 0125 'l;>J D';

0130 1 .1-JGCELUR.Jo.' S1TRAIJJDMIXI; 1 VALUE' ,(; '!:nEGER' Xi

0135 I M.GI~ I x := AhSI X:l i

0 14 0 'I F' I x = x I I ' 2 * 2 I 'IH M I x : = 1. + 1 i 0145 FRAN'D := 'f../1048576 0150 'E:l1'; 0155 0160 I RiAL • F RAti Di I IDJ L EAN • B.'l-J !«AL; 0165 0170 '.!ü.AL I'!· R) CEDU.ItE 'NO h\t AAL; 0 1'75 • EEGI ~~I 1

) \·,~i •• REAL ''i RAil D;

0 18 0 I I F ' JHJ R'~ AL • 'IH M • t-W fû"' AAL:= y ItA'f DI EL SE • 0185 'BEGH 1 'REAL'U,v,c; 019 0 S'l Alt 'I: U:= 2'1' RMl IOM- t; V:= 2* RAil DOM- H 0195 C:=U*U+V* V i

0200 'IF''C>1"IHM' 'GO'IO 'STAH'I'ELSE'C:=SOH'H-2'1'L!il Cl/Cl i 0205 NOlNAAL:=u-:~c; 'l HAND:=V*C; û210 'MD'; 0215 HIJ }i\( AL:= 'tOT I lNO R\f AL i 0220 •r:n·~nh:\IAL;

022b 'l'JOCJ<:LUJü' l-.hHl'l~AT2tf.1, :l, A, DJi 0230 • v .AL uv ,'.j, 01, :v; •r !~ 'IEGlR • \f, ~r, Di • ARHM • A; 023t 'llf,GU' 'I~'HGER' I, J, !(, J:-41~, JMAXi

0240 K := 73 'I' ID+clli J;~AX := Oi 0245 'FOR' JMI~ := JMAX + 1 'i'.HIL1' JfH~ <= ~ 'IQ' 0250 '.bEG!~' -JMA!C := 'IF' JMAX + K < N' ''IHM' JMAX + K 'IT,SE' r-r;

0255 0260 0265 0270 0275 oa3o

NL CR; '}'OR' I := 1 'STEl-' 1 'Ut'l'IIL' "f 'IO' 'BlGU I tiL CR;

I Hl D'

'K)h' J := JIHN' 'SUf' 1 'U:I'IIL' JMM 'lO' 'BEGIN' SPACEl 11; FLJTI D, 2, A(I, JJI 'END'

0235 'HD' 0210 '!)ID' fRI :.f'P-i A'l2i 02:15 'rlD C},Dl.iltE'RECURI titMt A, Vlt V2t Pt'i l; 0 300 I V AL UE. >J 'M; 0305 'IN11GEh'N,Mi 0310 'A.FthAi '\11,V2t'ltAtFi 0315 I B1GH "Itf 'lEGER. I t J; 0~'>20

0325 0330 0335 0340. 0345 0350 0355 0360 0365 0370 03?5 0;}3 0 03-35 0310 03:15 0400 0405 0410 0415 0420 0425 0430 0435 0440 0445 0450 •:r.tn•;

'RlAL'LSi • ARRM • m, RH 1: M J, AM 1: 'iJ; '}Oh'I:=1'STr.f'1'UNTIL •,-1 •m • '.BEG! :i' .HHI J := Oi

'E~ li';

• FO R • J : = 1 • s 1 E 1: • 1 • UN u L • '4 • m • hl (IJ:= J:H [I)+ V 1[ J J * H J, I J

L S: = li 'FJh'I:=1'STlF'1'U~'liL'M~m·

LS:=LS+ PtHIJ * V2CIH • FO R. I : = 1 Is 'I1f. 1 • Ui'l 'II L IN I r.o • I hiGI N • AA( I J : = '{ [I ) ;

'E~l D';

• m R • J: = 1 • s 'I lf • 1 • u:-1 'I I L '\1 • r.o • A AC IJ : = A A [I J - AU , J J * V 2C J J

• :r'J H ·I : = 1 • sT 1 F • 1 ·u ~·l'II 1 • :.r • m • ':FJh'J:=1'S'l'lP'l'UN"TIL 'M 'IO' A[ I , J J : = AC I , J J + A AC I J * PH [ J J I L Si

'I<> h • r : = 1' s 1 Ef • 1 • UN u 1 'M • ro • • BIG!~ • Hl c r 1 : = o;

'FJh'J:=1'S'Uf'l'UN1IL '"1 •m • F:HIJ:=11HIJ + HI,JJ * V2CJJ;

'MD' i I FO R I I : = 1 I s u. 1' I 1 I urn I L I ,1.1 I LO I

• :r'J R 'J: == 1 • sTEP • 1 • u:nr 1 'M • ro ' H I tJ J : = PC I , J J - HH I J * HH J J I L S

0455 'UD CEDU Rl 'KW ALl 'Ill Tl Kf, AL, K\'1 A, M, At 'I 11, 'I 21, '1'22, D1t D2l ; 0460 'vALUVT11t 121, 1'22, D1, D2i 0465 'HAL ''Illt 'l'2lt '122, Dl, D2,KViALi 'ItlTlGlR'~Ii 04?0 'AhRA'l ·~WA, A; 0475 ':iHGI N 'Kv.AL:=KrtAL-KWACMJ i 04B 0 KV,A(MJ :=1 AC 1, ll- 'Illl t 2/ Tllt 2+1 A[ 1, 31- Dll t 2/ D1t 2 04'35 +I A[2,1J+A[2,3J-T21-D21t2/l T2l+D21t2+1 A[2,2J-T221t2/'l'22t2i 04J 0 Ki'• AL:= K hAL + K \'i AC M J ; ~4: =M + H 0 4) 5 I I F ' 14 = 1 0 I TH EN ' M : = H 0500 'MD';

0505 'FO h 'I:= 1' S'II.I-' 1 'Uti'I'IL '3' I.O' 0510 'F).h 1J:=1'S'Ill-'1'Uri'IIL '3'I.O' 0515 I BJ:..GI ~' 05201-L S(l, JJ: = l' MH I dJ:= PI V (I, .J l: = O; 0525 Hli.JJ:=O; 0530 '1:-iD'; 0535 I'!lPi T'lEX '11 'I '.JA = 1 'l 'l PlL CR; 0540 PHH'I'IM'I'I '(' L!~AS'I' SQUAHS? 'l 'lHlS :=READ; 0545 PRIJTU..\ '1'1 'I' MDLRSJ~ ? 'l 'I; Ar-IDE :=READ; 0550 Ft\I:·i'l'HX'l'l 'I' UiS'lli· VARIAh'LE? ') 'lHtH:=RlAD; 0555 NLCh; 0560 f'Hirf'I'IEX'I'I 'I' FiüCESRUIS = ') 'l;}.!OC:=READ; 0565 P.PJ:n'llX'l'! '!' MH'I.HUIS ='l 'HMEE'I :=RiAD; 0570 Fhl'f'I'IU'II 'I' INGA"JGSBUIS ='l 'l;hRUIS :=READ; 0575 l'HI'UHX.'II 'I' ~1lTlWIS OP Ir-IGA.~G = 'l 'l;MERI:=READ; 053 0 n CH; 0535 'I:F''LES=:1'1HHl"BlGltf'Phl~'I'I'E.XTI 'I 'FLS ='l 'J;

Otil 0 FL S[ 1, 1l: = .1-L S[ 2, 2): = fL S[ 3, 3): =RE AD; 05-)5 'UD'; 0600 'I F I Ail Ll = 1. 'IH Eli •• BEG! i•[ •i::,RI ti 'I'IEX 'II '( • FA.~ = • ) • ) ; 0605 l' AIH h 1J: =f A.'f( 2t 2] := PA:H 3, 31: =RE AD; 0610 'EHD'; 0615 'IF''I"iV = 1'THb'i"BEGIN'FRI~'l'IEX'I'I 'I 'HV = ') '); 0620 PI H 1, 1l: = fi V( 2, 2]: = H V( 3, 31: =HE AD; Oc25 PH 1, 1J :=fH 2, 21 :=1-H 3, 31 :=H V( 1,11 0630 'MD'; 0635 N"L Ch; 0640 l'!lPl'I'IEXT I 'I' S'l'AF = ')'); U:=READ; 0645 '111: =UH -11101; 'I22:=EX f(- 1120); 0650 '1'21:=-( '111-'122); 0655 D1:=1-'l'1HD2:=1+'111-2*T22;t-JLCR; 0660 HU.\f'I''l1X:T ('I' A EXACT ') ');~nCR; 0665 HO '11 4, z, '1111; SPACEl 161; FL) 'I! 4, 2, D1l; ~IL CR; 06?0 F'L) 11 4, 2, 'I 211 ; SI' A CEl 31; FLO '1'1 4, 2, 'I 221; SPACEl 31; FI.O Tl 4, 2, D2l; 0675 N'L CRnlL CR; 063 0 'I F ' I 'i V= 1 ' 'IH L'l ' Oû'3b 'hr,Gl 'I' Hû N 'I'IM '11 . , • 'IOU1 = 'l 'l ; 'IO U 1: =RE AD; 069 0 FRI N' 'I 'I 1X 'I I ' ( ' '10 Ui:: = 'l 'l ; 'I') U 2: =RE AD; 069 5 PRI ~ 'I'IlX 'll ., ' MU 1 = 'I 'lPIU1:=RlAD; 0700 Phl ~ 'l'liX 'll . ( ' MU 2= 'I 'l ;MU2:=READ; 0705 '1~lD';

0710 ~lLCR; 0715 'D!t'GA\1:=.0,.02 '10' 0720 'B!,GI 'l' 0?25 S1'1HA'll0r~l 333333); 1lL CR; 0730 .lfJO i:N AL:= '.!'AL SE' t 0735 IVll:=E.X.H-1/'lOU1l; IV22:=IXH-11'IOU2l; 0740 1\i 21: =~4 uz;:· 'IQ U 1*1 I V 11-I V 221 /I 'J.) U 1- 'IO U2H 0745 IV13:=MU1*t 1-IVlll; 0750 IV23:=MU1*MU2*t 1-1 '100111 'IOU1-'IOU2ll*IV11

l

0755 +I 'IOU211 'lOU1-'lOU21 I*I V221; 0'760 AA[ 1, 1J :=I V 1H AA[ 1, 2J :=. 002; AA[ 1, 31 :=I V 13; 0765 AA( 2, 1J: =I V 2H AA( 2, 21: =I V 22i AA[ 2, 31: =I V 23; 0770 M:=~:=I(:=H

07rl5 ']<}It'J:=l 'S'll}'l 'Uè'l'HL 'lO'LO 1

0730 KLS[J1:=KA:HJl:=KIV(Jl:=Oi 07E3S KHS:=KwM:=f(V.IV:=O; 0 'i9 0 }'Hl :i T'll.X. 'H 'I ' G .A:'-1 = ' I ' l i FLJ 'l'l 4, 2, GA~ l ; O?J5 i'hl:I'l'UX '11 '(' \ir.E'IrtUI S = 'l 'l; FL•')'ll 4, 2,;Hr:'II; 03 00 N L CnLHI N' 'l'IEX 'H 'I ' .f'-t A 'I = 'I 'li FLO '11 4, 2d H 1, 1J ); 03 05 V U 1J: =i H 01: =M Jo,E'I*N) h.'-1 AAL; Od10 VH2J:=i2[0J:='H.1'I*~)J\'.1AAL;

CB 15 'Fo R • r : = 1 • STl!-' 1 'u~r TIL • 2 • w ' C~3 20 'D h 'J : = 1 ' S 'LU-'' 1 'UN TI L ' 3' L0 ' m 25 AL S[ I , J J : = A !'i D[ I , J 1 : = AI V ( I , J 1 : = A A[ I , .J 1 ; 08 ~·.o ~L CH; ·~L Ch; m 35 'JOh' I : = 1' S'Hf' 1 'Ut~ 'II L '3' LO ' 0'3 4 o ' K> R • J : = 1 I s 'I :u- • 1 • m1 'l1 1 • 3 • ro • Od <:15 1-L SU ,.J J : = 1:1 H I , .J 1 : = f A'l[ I , J J : = .!:' H I ,.J J ; Ck3ó0 \.1[0]::::\,2[0):=0; "\.

()>~ 5b .( 1[ 0) : = .< 2( 0] : = 0; ' CB60 \';[3J:=X.3[0J:=U + B.hUI S * 'Dk-IAAL; 0365 Y 3( OJ: =V H :..11: =X 3[ OJ + M Ihi*r.JCHt\1 AAL; W?ü 'J!'JH'f,:=1'S'lH'1'Uti'liL'100'D)' OE3 ?S ' }H,Gl :{ I.( 3( L): =X. 3[ L- 1] +bh UI S* lW Rt-1 AAL; OH.:30 X.HL1:= 'l11*XHL-1J+D1*X3[L-ll + f'lOC * ~QBMAAL; O~db X. 2[ Ll := 'I21 *X H L-1l+'l22·'X. 2[ L- 1J+D2"'X. 3[ L-lJ+H-.J c-:<tl-J H~ AAL i 0:3.10 H 2J: =Y 2[ L 1: =Á. 2[ L J+~Ul p·•m ii~ AAL; 0:3J 5 H 1J: =i HL J: =.\HL J+M i1'P·tiQ k~ AAL; OJ 00 '{ 3[ LJ: =JC 3( L 1+ M F.RI*~J .H:-1 AAL; OJ05 '11<' LES =1 '1tfU' OJ 10 'B},GI !~~ 'RECUhl 2, 3, ALS, V 1, V 1o 1-L S, i l; O~l 15 K\\ ALl 'lll '1'1 K \~L s, KL s, M, ALs, 'I 11, '1'21, 'I 2::', Dl, D2l ; 0~ 2 0 ' I 1' ' I L 'I ' 25 l * 25= L ' 'lH Er i ' 0925 'BEGI:-I'l-hiN'I'IEX'll 'I 'L1AS'i SC/. ')'); 09 30 i' .hl N 'l''IM 'll 'I ' K\'1 ALl Hl T = 'l 'I ; O.J 35 FLO 'I'I 4, 2, 'C H Sl ; 0940 fffi~'IMA'l21 2, 3, ALS, 41 i~iLCR; OJ 45 I 1~ D' CY~ 5 0 ' EN D ' ; OJ 55 'I F ' I N V = 1 ' 'lH M ' 09 t 0 ' BEGI ti ' \-1[ 1l :=\·;HL 1 :=I V 11'~ \·; 1[ L- 1J +I V 13* ~~ ( 3J ; 09 65 \i[ 21 : = \•1 2( f, J :=I V 21 *\'i 1( L- 1J +I V 22"' \-; 2( L- 1l +I V 23* v,( 31 ; 0) 'i' 0 \1( 31 : = .( 3( L l ; OJ?b IU:CU.i\1 2, 3, AI V, \'i, V 1, FIV, Y I; OJ-:30 'I F'L>4''ldE~' 'BiGB' Wd5 IV11:=1 1-GA'O*IVll+GAIP'AIV[ 1, 1); 09J 0 I V 13: =I 1- GAt~ I* I V 13+ G M -;~-AI V [ 1, 31 ; 0J95 IV21:=1 1-GMI*IV21+GA'~*AIV[2, lJi 1000 IV22:=1 l-GAi~l>l-!V22+GN-1"AIV(2,2J;

1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 1055 1060 1065 1 0?0 10?5 HBO 1<B5 1 OJ 0 10J5 1100 1105 1110 1115 1120 1125

'E~ D';

'E~ D'; KWAL! 'H.I 'II J(\~I V, KI V, N't AI V, Tll, 'I21, 'I22, Dl, lJ21;

'I }' 'I L 'I ' 251 ·;} 25= L 'lH EN ' 'BEGitJ'l:hlti'I'l1X'H 'I' INS'I.R. VAR· ~='I 'I; FIX 'II 3, O, L I ;

PPJN'iTIXTI '<' KVIALI'IEI'I = '1'1; FLO 'I'I 4, 2, K Vil V l ;

PRI t~ H A'l2< 2, 3t Al V, 41; ~n CR; 'END'

'I }'' M DE = 1 ''IH EN ' 'BEG! N' 'I F 'L> 1' 'IH E:i '

' BlG I N ' V 2( 1 l : =i 1( L- 21 ; V 2( 21 :=i 2[ L- 21 ; V2( 31 :='i 3[ L- 2J;

'END'

RE CU Hl 2, 3, A~J D, V 2, V 1, I- M, Y l ; K\'rALI 'LEI 'll K\~A:J,KA'l,l(, A!'ID, '!11, 'I21t '1'22, Dl, D2l;

'I F,.,'< L '/ '251 * 25=1 ''IlH:J ' 'BEGil'l\rhi!H'IU'H 'I 'A:iDE.RfDN'l 'l;

)-hl N 'I 'I U 'I I 'I ' K \-,ALl 'Hl 'I = ' I ' I ; no 'I< 4, 2, K\'iA"ll;

PhHJ'IMA'I2t 2, 3, NID,4l ;HLCR;

'EM D'

1130 V 1C 1J : = Y HL l ; V H 21 : = Y 2( L l ; V 1( 31 : = Y 3( L J ; 1135 'E~ID';

114 0 ' E:-1 l.J ' 1145 'ltH'

f

E6

F''7 -1(

E2 Beschrijving van het computerprogramma 1 /dUiM.

Dit programma is geschikt om op de' .PDI' 11/7'1- voor een

tweede orde proces de parameters te schatten met behulp

van de volgende methoden.

1 LS-methode.

2 IV-methode van Anderson.

3 IV-methode van Finigan.

L~ J~~f"'LS-methode.

5 GLn-methode.

.

We zullen het programma beschrijven aan de hand van de

Fortran tekst.

rrot label 7 WOrdt de keuze gemaakt uit boven[J;Pnoemde methoden.

Van IJabel 7 tot label 20 wordt naar het ruis:nodel geinformeerrl.

Een tweede orde vormend filter kan slcclJts door de

GLS-methode verwerkt worden.

Van label 20 tot label 40 worden de beginschattingen ge vrR a r:rl.

Van lRbel 40 tot label 70 worden de met i rw;en binnengehaald:

y1 via AD 0

y2 via AD 1

Van label 70 tot I.east Squares worden de procesparameters

gevraagd die nodig zijn voor de bepaling van de relntieve afwijking (I~A).

Van label 200 tot label 680 worden de methoden in de

bovengenoemde volgorde toegepast op de mctingen,waarbij

gebruik gemeekt is van de volgende snbroutjnes INI,NUl., FILTEH , !)UAL en MODEL.

De subroutine FILTER lost de filtervergeli,ikingen (2. 5t;)

en (?.57) op en genereert de nieuwe schattingen.

De Sllbrontinc INI zorgt er voor dat de meetvectoren ;yk en

yk_ 1 na elke schntting opnieuw gevuld worden. De subroutine i~!JT. zorgt ervoor dat na elk,-, nwthorl0 rle

schattjn"':en weer de waarde van de bep:::insc}111t:.inp:en aAnnemen. De snbrolltine ~,\lH, herekent de rnlnt:Leve :• 1'•,i,i!·ing (RJ\)

over de lantste Vî st!'lppen.

Ik~ subTOntine r10i);·;J, 7.orgt voor rlr> r•rnlf'AS ;inr; vnn dP.

PA RAM ....................................... .... ..................... .

r; F' () F: 1() i'iF T F F< ~:; C H t1 TT 1 ;·-J c-; c ::::::::::::::::::::::::::.::::::::::::::::::::::::::::::::·:::::::::::::::.::· .:·:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::·:::::::::::::::::::: ............. , .. .

n T i'i F N ~:; 1 n N t1 c1 < :1. 4 ) • r:~~ \ :1. 4 'i • r: < :) ) • Y ( ;::: ) • y J < :1. o o ) ., Y :) < 1 o c· 1 • 111 1 (I • 1 <'+ )

ü J i'i EN~:; T 0 N H :1. ( '? ) ,, H ::? ' ? ) V F' ( :1 4 ,, :1 'Ï· ) y F: ( 4 I' 4 ) V F' h: ( :1. 4 '! J 4 ) ,, I, I F F f, { .I 4 ,, 4 ' [I I i·i F N ~:; I D N 1,..1 ( :.:) ) • F' () ( I 4 ~· J 4 ) V J (::; H ( :? ) y J F: (:) T F ( :::: ) ,, T H IJ F I r';. ' I' r: ' l 4 ) T l"i F' L 1 C 1 T L. 0 G J C:: t1 L ( :C< ) F<FtlL J N J v I~ IJL f\'F'E ó TYF'F :1.

I. F uh' i"i I() T ( • h T N < I.)~~ h: ,. L F (i~:; T \:;u I .1 (:l F: F (:; ï' ::: • <j; )

~~~ C C F F' T .::· ~· r~ L F ~:; T YF'F ;:)

.·. F'O 1:< i•·i(l T ( ' L F () :::; T (::;U 1..1 (I F F ~::; 1) ., (t N 0 F 1:.: ~::; Cli\l·i· :::: ·· + i ~~CCLF·T '? • r:ttNO TY"F'F J FOI:;:i"i(l T T N~:;TI:;:I.Ii\·1F j\1 T (ti. 1v11:1h: l t1 Hl.l: ;:· .... ' <j:. )

t1CCFF'l ·.? • 0 J \)() r·ï·F'F 4

i t J

t1CCFF''ï ? ~ üFXr·i T YF'F :''i F 0 F~ r·1 (l T \ i r; F c-; F f\l F h: t1l .. ,. L F (l (::; T c:. (lil (i h' [ (:; • tlC:C:FF'T / • :e<UL~:; FOF;:M1:'!jl < i . .lt1 T Y NFF F FUF:f'1i~l ( L l i

I 0:• F Uh: r1 t1 T ( ,· "'' '"' .... "'· :::: '"' :::· ,,,, :::: '·'· .... .. · · · · ......... ···· ............................. ···· I "i FUF:I·11~l ( J J ·,

T'YF'F Jó T'lF'F J .?

T l'F'F l H T'r'F'F J?

16 FORMAT ( iOWAf VUOF SOUFf MFLfFUTS TF:FFDT OF'? ') I / F 0 F~ MAT ( .. U N F{ F I< F f\1)1 [ () F 1.•.1 J f T F F: I.J J ~:; :: 0 ' .i

I. U F U F< 1'11~ T ( i I. ~:; T F U F~ 0 F t.} U F;: 1'11 !'--' ft F T 1.. l F h' ::: I . ·, I 9 F U r;; (·'i t1 ï ! . ::;. ü F U F: 0 F \}U F: i'1 [ N U F J L T F h' :: ;:' .· :0

TYF'F ;,:;o ::oo FUF(i·ll() ï ( . UF'OF .... '~I;)

t1 C: C F F' l l ~'.'i • I'\ T TYPE JO

E&

TYPE 21 21 FORMAT (' DE BEGINSCHATTING VAN DE PARAMETERS ')

DO 25 I=1,6+4*KI TYPE 22,1

22 FORMAT (' AO(',Il,') - '$) ACCEPT 23vA(l)

23

26

27

AOCI)=ACI) FORMAT <F10.4) CONTINUE TYPE 26 FORMATC'ODE BEGINSCHATTING VAN DE COVARIEANTIEMATRIX') DO 27 I=1,6+4*KI TYPE 681vivi ACCEPT 23vPCivi) POCivi)=P(I,I> CONTINUE CALL ASARLN ClviSB> IRATEC1)=3 IRATE<2>=10 IBUFC5)=512 IBUFC6)=512 CALL SDAC (IBUF,6,16,IRATEv2vOv2viSBv1v v ) TYPE 10 TYPE 28

28 FORMAT (' DE DISCRETISATIE TYD? = '$) ACCEPT 31vMT TYPE 30

30 FORMAT (' HOEVEEL TYDSTAPPEN WILT U?= '$) ACCEPT 31vN

31 FORMAT CI3) TYPE 32

32 FORMAT (' HOE GROOT IS DE STAPSTORING? = '$) ACCEPT 23vU TYPE 34

34 FORMAT (' OM DE HOEVEEL STAPPEN WILT U OUTPUT PRINTEN?- '$) ACCEPT 31,MN TYPE 35

35 FORMATC'ODE MEETRUIS COVARIANTIEMATRIX') DO 40 I=1v2 TYPE 682vivi

*

40 c c c

f.1CCEPT 2:·~, F~ (I, I) CONTINUE , ------------------------------------------------------------------SETPOINTBEPALING ================================= I BUF (~'.'i) =U U=CU····~5:1.2)*2 CALL. f.lf.tC (()V ~:>ETP 1, , I SB) CAL.l.. ADC ClvSETP2, ,JSB) SETP1=CSETP1-32768.)/64 SETP2=CSETP2-32768.)/64

c =================================== C HET VERZAMELEN VAN DE METINGEN c ===================================

CALL. ADC (0vY1(1)v viSB) CALL ADC C1vY2C1)v viSB)

45 Y1C1)=CY1C1)-32768.)/64-SETP1 Y2Cl)=CY2(1)-32768.)/64-SETP2

CALL. MARK ClvMTv2vif.tS) DO 70 J::"2vN CAL.L WAITFR ClviDS) CAL.L MARK ClvMTv2viDS> CALL ADC COvY1CI)v viSB) CALL. ADC C1vY2(l)v viSB>

60 Y1CI)=CY1CI)-32768.)/64-SETP1 Y2CI>=CY2CI>-32768.)/64-SETP2 TYPE 76vivY1CI>vY2(!)

70 CONTINUE

E!o

71 ~ORMAT C'OGEEF DE TYDCONST.EN VERSTFACT.VAN HET SYSTEEM') 72 FORMAT C' TOU1 - '$) 73 FORMAT (' TOLJ2 = '$) 74 FORMAT (' VF 1 = '$) 75 FORMAT C' VF 2 = '$) 76 FORMATCI13vE13.3vE13.3)

*

TYPE 71 TYPE 72 ACCEPT 23vTOU1 TYPE 73 ACCEPT 23vTOl..l2

TYPE 74 ACCEPT 23vVF1 TYPE 75 ACCEPT 23vVF2 CALL DISCCMT,TOU1vTOU2,VF1vVF2vA1vA3,A4vA5vA6) H1<3>=U

c ================================================ C LEAST SQUARES c ================================================

200

201

240 241

243

IFCBLES) GO TO 200 GO TO 290 TYPE 10 TYPE 201 TYPE 10 FORMAT<' D[ MIN. VAR. LEAST SQUARES METHODE CALL INICH1vYvY1(1)vY2(1),y1(2)vY2(2)) CALL NULCPvA,AOvPOvKNvMvQUAvQUAL> FORMATC'O K A11 A12 FORMATC'O QUAL A21 A?? --TYPE 240 TYPE 241 TYPE 10 DO 280 K=2vN CALL FILTER<Ov2v6vH1vH1,WEEGvR,PvAvY) CALL UUALITEITCQUALvQUA,MvAvA1vA3,A4,A5,0) IFCK.NE.KN> GO TO 250 KN = KN t MN TYPE 281vKvAC1)vAC2)vAC3) TYPE 282vQUALvA(4),A(5)vAC6)

250 CALL INICH1vY,YC1)vY(2),Y1<Ktl),Y2CKt1)) 280 CONTINUE 281 FORMAT<I13v7E13.3) 282 FORMATC8E13.3)

+ I )

l:;;

A13') A23')

c ======================================================= C DE METHODE VAN ANDERSON c ======================================================== 290 IF<BAND) GO TO 300

GO TO 390 300 TYPE 10

TYPE 301

*

TYPE :1.0 301 FORMAT(' DE LEAST SQ. METHODE VOLGENS ANDERSON'>

CALL INICH1vYvY1(2),y2(2)vY1(3)vY2(3)) t-f~~(:J.) -·· Yl<l> H2(2) == Y2CU H2 < 3) ''" U CALL NULCF'vAvAOvPOvKNvMvQUAvQUAL) TYPE 240 TYPE 24:t

330 TYPE :1.0 DO 3DO 1\=3 v N CALL FILTERCOv2v6vHlvH2vWEEGvRvPvAvY) CALL QUALITEITCQUALvQUAvMvAvAlvA3vA4vA5v0) IFCK.NE.KN> GO TO 370 1\N = 1"\N + l·lN TYPE 2Dlvl\vACl)vAC2),AC3) TYPE 282vQUALvAC4)vA(5)vAC6)

370 H2<1> = HlCl) H2(2) '"' H:l.C2) CALL INICHlvYvYC1)vYC2)vY:l.CI\+1)vY2CI\t1))

380 CONTINUE c ===================================================== C DE INSTRUMENTAL VARIABLE METHODE. c ===================================================== 390 IF<BIVA) GO TO 400

GO Hl 490 400 TYPE 10

TYPE 40:1. TYPE :1.0 TYPE 402

402 FORMATC'OGEEF DE PARAMETERS VAN HET I.V.MODEL.') TYPE 72 ACCEPT 23,TD1. TYPE 7:3 ACCEPT 23, Hl2 TYPE 74 ACCEPT 2~".), VS 1 TYPE 7!:) ACCEPT 23vVS2 CALL DISC<MTvTO:t,TCJ2,VS1vVS2rB1.vB3vB4vB5vB6)

*

f/2

CALL MODEL<Bl~B3vB4vB5vB6vWvU> 401 FORMAT<' DE INSTUMENTAL VARIABLE METHODE.')

CALL INICH1vYvY1<1>vY2<1>vY1(2)vY2(2)) H2 ( :l ) ··- WC 1 ) H2 < 2) == W < 2) H2c:·5> === u

405 CALL NULCPvAvAOvPOvKNvMvQUAvQUAL> TYPE 240 TYPE 241 TYPE 10 DO 4BO 1<=<?. v N CALL FILTER<Ov2v6vH1vH2vWEEGvRvPvAvY) CALL QUALITEITCQUALvQUAvMvAvA1vA3vA4vA5v0) IFCK.NE.KN) GO TO 470 KN===I\Ntr1N TYPE 281vKvAC1)vA(2)vA(3) TYPE 2B2vQUALvA(4)vA(5)vAC6)

470 CALL INI<HlvYvY(l)vYC2)vY1CKtl>vY2CKt1)) CALL MODELCB1vB3vB4vB5vB6vH2vU)

480 CONTINUE

Er3

c ======================================================= C DE EXTENDED MATRIX LEAST SQUARES c ======================================================= 490

500

~'.'i() 1

c:· '1 r.:· .. .J,;..,..J

526

*

3

3

IFCBEXM> GO TO 500 GO TO ~590

TYPE :1.0 TYPE ~50:1.

TYPE :1.0 FORMAT<' DE EXTENDED MATRIX LEAST SQUARES .') CALL INICH:lvY,Y1<1>,Y2C:I.)vY1(2)vY2(2)) CALL NULCPvAvAOvPOvKNvMvQUAvQUAL> TYPE ~)2~)

TYPE ~:'i26 FOF~MATC '0 1\ AU. A1.2

C1.2 C13 C14') FCH~MAT (I 0 C~UAI ... A21

C':>':> ...... ,.., C.23 C24 I)

DO ~5BO K===2 v N CALL FILTERCKiv2v6t4*KlvH:lvH1vWEEGvRvPvAvY) CALL QUALITEITCQUALvQUAvMvAvA1vA3vA4vA5v2*KI)

A1.3

A23

IFCK.NE.KN) GO TO 570 TYPE 281,KvCACI)vi=1v3+2*KI) TYPE 282~QUALvCACI>vi=4+2*Kiv2*C3+2*KI)) KN = KN + MN

570 IFCKI-1) 576,574v572 572 H1C7)= H1(5)

H1C6) = H1C4) 574 H1C4) = YC1) - AC1)*H1C1) - AC2)*H1<2> - AC3)*H1(3)

f;~

H1C5)=YC2>-AC4t2*KI>*H1(1)-AC5+2*KI>*H1(2)-AC6+2*KI>*H1(3) 576 CALL INI<HlvYvYC1)vYC2>vY1CK+l>vY2CKt1)) 580 CONTINUE c ========================================================= C DE GEGENERALISEERDE LEAST SQUARES. c ========================================================= 590 IFCBGLS) GO TO 600

GO TO 680 600 TYPE 10

TYPE 601 TYPE 10

601 FORMAT<' DE GEGENERALISEERDE LEAST SQUARES METHODE.') CALL INICH1vYvY1Cl)vY2(1),Y1(2)vY2(2)) H1C4> - O. H1(5) = O. H2C1) = O. H2(2) = o. CALL NULCPvAvAOvPOvKNvMvQUAvQUAL) TYPE 611

611 FORMAT(' BEGINSCHATTING VAN DE RUISMODEL COVARIANTIE MATRIX.' 612 FORMAT< ' PRC'vi1v'v'vi1v') = '$)

DO 620 I=1v4*KI TYPE 612vivi ACCEPT 23vPRCivi)

620 CONTINUE

*

RC1v1) = 1. RC2v2) = 1. TYPE 10 TYPE 525 TYPE 526 TYPE 10 DO 680 K=2vN

CALL FILTERCOv2v6,H1vH1vWEEGvRvPvAvY) CALL QUALITEITCQUALvQUAvMvAvA1vA3vA4vA5v0) CALL INICH1vYvYC1)vYC2>vY1CKt1)vY2CKt1)) E<l> = YC1>-H1C1>*AC1)-H1C2>*AC2>-H1<3>*AC3) EC2) = YC2)-H1<1>*A<4>-H1C2>*AC5)-H1C3>*AC6) CALL FILTERCOv2v4vH2vH2vWEEGvRrPRvCvE) H2(1) = EC1) H2C2) = EC2) YCl) = YC1)-C(1)*H1C1)-CC2>*H1<2> YC2) = YC2) -CC3)*H1C1)- CC4>*H1C2) H1C1) = H1C1>-CC1)*Y1CK-1>-C<2>*Y2CK-1) H1(2) = H1<2>-CC3>*Y1CK-1)-CC4>*Y2<K-1) IFCK.NE.KN> GO TO 680 KN = KN + MN TYPE 281vKvAC1)vAC2)vAC3)vCC1)vCC2) TYPE 282vQUALvAC4)vAC5)vAC6)vC(3)vCC4)

680 CONTINUE 681 FORMAT<' POC'vilv'v'vilv') ='$) 682 FORMAT<' RC'vl1v'v'vi1v') = '$)

END c =================================================== C SUBROUTINE c ===================================================

SUBROUTINE FILTERCKI,NivMivH1vH2vWEEGvRvPvAvY) DIMENSION H1C7>vH2(7)vWEEGC14v4)vRC4v4)vYC2)vAC14)vPC14r14) DIMENSION HPC4v14>vPHC14v4)vHPHC3v3)vHPHINVC2r2),YVC3) ML=MI/2 DO 100 I=lvNI DO 100 J=l,MI HPCivJ)=O. DO 100 L=l,ML HPCivJ)=HPCivJ>+H1CL>*PCLtCI-1>*MLvJ)

100 CONTINUE DO 110 I=1vNI DO 110 J=1vNI HPHCivJ)=RCivJ) DO 110 L=1vML HPH<IvJ)=HPHCivJ)tHPCivLtCJ-1>*ML>*H2CL)

110 CONTINUE DET=HPHC1v1>*HPHC2v2>-HPHC2v1)*HPHC1v2)

*

HPHINVC1vl>=HPHC2v2)/DET HPHINVC1?2)=-HPH(1,2)/DET HPHINVC2v1)=-HPHC2v1)/DET HPHINVC2v2>=HPH(1,1)/DET DO 120 ,..1====1 vNI DO :1.20 I====:l.vi'ii PH< I , ,.J) ==~O. DO 1~.~0 1...===:1.vi'11... PH(J:,J)=PHCivJ)tPCI,I...t(J-:I.)*ML>*H2(1...)

1.20 CONTINUE DO 130 I===lvr1I DO 1.:30 ,.J::::J.,NI WEEG< I v J) ::::0. DO :1.30 l..===:l.vNI WEEG<IvJ)=WEEGCivJ>tPHCivL)*HPHINVCI...vJ)

130 CONTINUE DO 140 I=1vNI YVC I )::::y( I) DD :1.40 l...===lYMI... YV<I>=YVCI>-H1CL>*A<I...tCI-1>*MI...)

:1.40 CONTINUE DO 1~50 I====1.vMI DO l!~ïO J===1vNI A<I>=A<I>+WEEGCivJ>*YVCJ)

150 CONTINUE DO lé>O I::::J.,MI DO lé>O ,.J::::l vi·1I DO 160 I...== :i V NI PCivJ)=P<IvJ)-WEEGCivi...>*HP(I...yJ)

160 CONTINUE F~ETUF~N

END c ==================================================

*

SUBROUTINE QUAI...ITEITCQUAI...vQUA,M,A,A1vA3,A4vA5vKI> DIMENSION QUAC10)vAC7) CWAL=CH.JAL. .... OU~l ( jvj)

QUACM>=CCAC:I.)-A1>**2/A1**2tCAC3>-A3>**2/A3**2 3 t<AC4tKI>-A4>**2/A4**2+CAC5tKI>-A5)**2/A5**2)/10

QUAL===QUtll...tDUJ~ < l"i) M==M+l

IFCM.EQ.ll) M=l RETURN END

c =================================================== SUBROUTINE NUL<P~A,AOvPO,KN,M,QUAvQUAL> DIMENSION PC14,14)vPOC14v14)vAC14)vAOC14)vQUAC14) QUAL=O KN=3 M=l DO 170 I=lv14 QUACI>=O ACI>=AOCI) DO 170 J=1v14 PCivJ)=POCI,J)

170 CONTINUE RETURN END

c ==============================

*

SUBROUTINE INI<H1,Y,Y11vY21,Y12vY22) DIMENSION H1<2>,YC2) H1C1)=Y11 H1C2>=Y21 YCl) =Y12 YC2) =Y22 RETURN END SUBROUTINE DISCCMTvTOU1,TOU2,VF1vVF2vA1,A3vA4vA5vA6) Al=EXPC-MT/TOU1) A5=EXPC-MT/TOU2> A3=VF1*<1-A1) A4=VF2*TOU1*CA1-A5)/CTOU1-TOU2) A6=VF1*VF2*C1-A1*TOU1/CTOU1-TOU2)tA5*TOU2/CTOU1-TOU2)) RETURN END SUBROUTINE MODELCA1vA3vA4vA5,A6,W,U> DIMENSION WC2) WC2)=A4*W<l>tA5*WC2)tA6*U WC1)=A1*WC1>tA3*U RETURN END

1~18

E3 Beschrijving van het computerprogramma GLF55. -------- ------ ------ --- -----------~----

Dit programma is geschikt om op de I Dl 11/ ~h van een

tweede orde proces de paramet&rs en de toe~tandsgrootheden

te schatten met behulp VR.n het in hoofdstuk ~~ beschreven GLF.

De beschri,iving van het computerprop;ramrna r:r,eschiedt aan de

hand van de Fortran tekst.

Tot label ?50 worden de beginschattingen en de metingen

binnengehaald.

Vanaf label 250 worden eerst met behulp van de subroutine

FILTER de filtervergelijkingen (?.5G) en (2.S7) opgelost

volgens de IV-methode van Finigan. Daarna wordt het

algorithme zoals beschreven op pagina 42 uitp:evoerd.

f)e hierbij gebruikte subroutines zijn aanp:epaste versies

van de snbroutines die in het progrRmma l 1'\nAM gebruikt worden.

De subroutine MIDDEL berekent het gemiddelde en de

stAndaardafwijking van de schRttingen over de ,')6 meetseries.

c --------------------------------------------c PARAMETER EN TOESTANDSCHATTEN c -----------------------------------------------

15 20

30 35 40 50

COMMON /MID/SOMC8,79)vSIGC8,79) DIMENSION AC6>YA0(6),PPOC6v6)rROC3)vRMC3),Q0(3) DIMENSION QPC3)vXN<2>,PTC3),PT0(3),YNC2) DIMENSION H1(3)vWCJ),DEC15v3),Q1(15)vQ2C15) DIMENSION RSC2v2>vWEEGC6v2)vDC15v3)vPAC15,3) DIMENSION RE1C15>,RE2C15)vPPC6v6)vPAHC3),WEC4> INTEGER YC2v80) FORMATC'OGEEF DE TYDCONST.EN VERSTERK.FACT.V.H.SYSTEEM.') FORMAT(' TOU1- '$) FORMAT<' TOU2 = '$) FORMAT(' VF 1 = '$) FORMAT<' VF 2 = '$) FORMATC'OGEEF DE TYDCONST.EN VERST.FACTo V.H.MODEL.') FORMATCF10.4) TYPE 15 TYPE 20 ACCEPT 50vTOU1 TYPE 25 ACCEPT 50,TOU2 TYPE 30 ACCEPT 50vVF1 TYPE 35 ACCEPT 50vVF2 TYPE 40 TYPE 20 ACCEPT 50vT01 TYPE 25 ACCEPT 50vT02 TYPE 30 ACCEPT 50vVS1 TYPE 35 ACCEPT 50vVS2

90 FORMAT<' ADAPTEREN VANAF SMPLEMOMENT KAD- '$) TYPE 90 ACCEPT 100vKAD

100 FORMATCI4) 105 FORMAT(' HET AANTAL MEETSERIES NM- '$)

*

E~o

1:1. ~.) FORMAT<' HET AANTAL SAMPLES NS = '$)

FORMAT<' HOE GROOT IS DE STAPSTORING 1 TYPE :1.0~.:;

u - I$)

ACCEPT :I.OOvNM TYPE 1 t ~'i

ACCEPT lOO,NS TYPE :1. 2~) ACCEPT ~50 ~U I

130 FORMAT(' BEGINSCHATTING VAN DE PARAMETERS.') 135 FORMAT<' BEGINSCHATTINGVAN DE PP-COV MATRIX.') 140 FORMAT(' BEGINSCHATTING VAN DE R-MEETR.COV MATR.') :1.45 FORMAT<' BEGINSCHATTING VAN DE Q-PROC.RUIS COV.MATR.') 155 FORMAT<' BEGINSCHATTING VAN DEPT- COV. MATR.') 160 FORMAT<' AOC'vi1v')= '$)

TYPE :1.30 DO :1.65 I:::: 1. , 6 TYPE :1. f.)O, I ACCEPT ~:'iO v AO (I)

165 CONTINUE 1.70 FOF~MATC' PPOC'vi:I.v'v'vi1.,')== '~I>)

TYPE :1.3~:'i

DO 1. n'i J:::=:l., 6 TYPE :1. ï'O V I ' I ACCEPT 50vPPO(Ivi)

175 CONTINUE 1. 80 FOf\lvj(j T ( 1 ~'( (

1 ? I 1. V 1 ) :::

1 ~~;)

TYPE :1.40 DO 1B~) J:=:l, ;3 TYPE :I.BO, I ACCEF'T ~'.)0, RO <I)

1.85 CONTINUE 1.90 FDRHr~T(I QOC'rilv'):::: '~;)

TYPE :1. 4~'.'i DO 200 I:::: 1. v 3 TYPE :1. !,i(), I ACCEPT ~~jO V GO (I)

200 CONTINUE 210 FORHAT(' PT(',I:I.,')= '$)

TYPE :l ~5~5 [I() 21.~'i I==1.v3

*

TYPE 21.0,I ACCEPT ::ïo V F'TO (I)

21.5 CCJNTINUE CALL ASSIGN(3Y'MEET.DAT') NAN '"' NS-1 NE ===2*Nr·l DEFINE FILE3<NEvNANvUvNREC) CALL DISC <TOUlvTOU2vVF1vVF2vAlvA3vA4vA5YA6) TYPE 240,AlvA3YA4vA5vA6

240 FCJRMAT(/6El2.4) DO 600 M::: 1 V Ni'"l J...C::::O l..D::::O CALL NUL.<PPvF'POvAvAOvRMvROvQP,QOvXNvF'TvPTOvHlvW) DCl 24:1. :f::::::Lv:L!"-5 F~El (I)::=() F~E2( I)::::() Ql(I)::."O Q;!. (I) ::::0

DO 241. ~J=:: 1 , 3 PA ( I v ,.J > ::::0 DE(IvJ)::::O

24:1. CONTINUE IN=1

DO 250 K=2*M-1v2*M IF<K.EQ.2*M> IN=2 READ<3'K) <Y<INvJ)vJ=l,NAN>

2~10 CONTINUE

*

CAI...l.. DISC <T01vT02vVS1vVS2vB1vB3vB4vB5vB6> H:f.(3)::::t.JI YN < :1.) ""'y < :1., :L > YN CO ::::y ( 2 v :1.)

W(3)::::l.JI RS ( :1. v 1 ) ::::1 • RSC2v2)==l. DO 600 K::= :1. v Nr~N

CAI...L FILTER<Ov2v6vH1vWvWEEGvRSvPPvAvYN) XEl= A<l>*XN<l>+AC3>*UI+A<2>*XN<2> XE2= A<4>*XN<l>+A<5>*XN<2>+A<6>*UI

DCKL,l>=AC1>*<A<1>*PT<1>tAC2>*PTC2))t 3 AC2>*<AC1>*PTC2)tA<2>*PTC3))

DCKLv2)=CPTC2>*AC5)tPTC1>*A<4>>*AC1) 3 +A<2>*<A<4>*PTC2>+A<5>*PTC3))

DCKLY3)=AC5>*<PTC2>*AC4)tPTC3>*AC5))t 3 AC4>*<PTC1>*A<4>+PTC2>*A(5))

IFCK.LT.KAD) GO TO 409 RMC1>=RMC1)tPACKLv1)/12-RE1CKL>**2112 RMC3)=RMC3)tPACKLv3)/12-RE2CKL>**2112

409 CONTINUE DO 410 I=1v3

410 PACKLvi)=DCKLvi)tQPCI) IFCLC.NE.1> GO TO 411 LC=O QP(1)=-QPC1)

411 CONTINUE IFCLD.NE.1) GO TO 412 LD=O QPC3>=-QP(3)

412 CONTINUE Rl= YClvK)-XEl R2= YC2vK>-XE2 IF CK.LT.KAD>GO TO 417 RE1CKL>=.9*R1 RE2CKL>=.9*R2 RMC1)=RMC1)tRE1<KL>**2/12-PA<KLv1)/12 RMC3)=RMC3>tRE2CKL>**2112-PACKLv3) /12 IFCK.GT.KADt14) GO TO 415 RMC1)=RMC1)-R0Cl)/15 QPC1)~QP(1)-Q0(1)/15

RMC3)=RM<3>-ROC3)/15 QPC3)=QPC3)-Q0(3)/15

415 CONTINUE IFCRM<1>.GT.O> GO TO 416 RM<1>=-RMC1) LA=1

416 CONTINUE

*

IFCRM(3).GT.O) GO TO 417 RMC3)=-RMC3) LB=l

E22

417 CONTINUE DO 420 I =~1~:3

PAHCI>=PACKLvi>+RMCI) 420 CONTINUE

DET=PAHC1>*PAHC3>-PAHC2>**2 WEC1)= CPA<KLvl>*PAHC:3)-PACKLv2>*PAHC2))/DET WEC2)=C-PACKL~l>*PAHC2)tPA<KLv2>*PAHC1))/DET WEC3)=( PACKLv2)*PAHC3>-PACKLv3)*PAHC2))/DET WEC4)=C-PACKLv2>*PAHC2>+PACKLv3>*PAHCl>>IDET X01~::XN C :1.) X02"=XN C 2) XNCl>=XE1tWEC:I.>*RltWEC2>*R2 XNC2>=XE2tWEC3>*R1tWE<4>*R2 PTCl>=PACKLv:J.)-WEC1>*PACKLv1)-WEC2>*PACKLv2) PTC2>=PACKLv2>-WEC1>*PACKLv2>-WEC2>*PACKLv3) PTC3>=PACKLv3)-WEC3>*PACKLv2)-WEC4>*PACKLv3) IFCK.L.T.KAD) GO TD440 QPC1)=QPC1)-Q1CKL>**2112tDECKLv1)/:1.2 QP(3)=QPC3)-Q2CKL>**2112tDECKLv3)/:J.2 Q1(KL>=CXNC1)-AC:I.>*X01-A(3)*UI-AC2>*X02>*•9 Q2CKL)=CXNC2)-AC4>*X01-AC5>*X02-AC6>*UI>*.9 DO 430 I::::lv3 DECKLvi>=DCKL,I>-PTCI)

430 CONTINUE QPC1)=QPCl)tQ1CKL>**2112-DECKLvl)/l2 QP(3)=QP(3)tQ2(KL>**2112-DECKLv3)/12 IFCQP(l).GT.O> GD TD 435 L.C'"' 1 QP < 1) :::·-(~p < 1)

43~) CONTINUE IFCQPC:3>.GT.O> GD TD 440 LD'"'1 C~P ( 3) ::::--C~P C 3)

440 CONTINUE

*

KL=::I\L+ :1. IFCKL.EQ.13) KL=l CALL. MIDDELCXNvAvMvK> H:I.Cl)"-"YNCl) H:l. C2):::YNC~) YN(l)::::YC:lvK+l>

YNC2)=YC2vKt1) IFCLA.NE.1) GO TO 455 RMC1>=-RM<1> LA =0

455 CONTINUE IFCLB.NE.l> GO TO 460 RMC3)=-RMC3) LB=O

460 CONTINUE CALL MODEL CB1vB3vB4vB5vB6vWvUI)

600 CONTINUE CALL CLOSEC3) END

c =================================================== C SUBROUTINE c ===================================================

SUBROUTINE FILTERCKivNivMivH1vH2vWEEGvRvPvAvY) DIMENSION H1C3)vH2<3>vWEEGC6v2)vRC2v2)vYC2)vAC6)vPC6v6) DIMENSION HPC2v6)vPHC6v2)vHPHC2v2)vHPHINVC2v2)vYVC2) ML=MI/2 DO 100 I=1vNI DO 100 J=1vMI HPCivJ)=O. DO 100 L=1vML HPCivJ)=HPCivJ)tH1CL>*P<L+<I-1)*MLvJ)

100 CONTINUE DO 110 I=lvNI DO 110 J=lvNI HPHCivJ)=RCivJ) DO 110 L=1vML HPHCivJ)=HPHCivJ)tHPCivlt(J-1)*ML>*H2CL)

110 CONTINUE

*

DET=HPHC1v1>*HPHC2v2>-HPHC2vl)*HPHC1v2) HPHINVC1vl>=HPHC2v2)/DET HPHINVC1v2>=-HPHC1v2)/DET HPHINVC2v1)=-HPHC2v1)/DET HPHINVC2v2)=HPHC1v1)/DET DO 120 J=lvNI DO 120 I=lvMI PHCI,J)=O.

DO 120 L=1vML PHCivJ)=PHCivJ)+P<IvL+CJ-1)*ML)*H2CL)

120 CONTINUE DO 130 I=1vMI DO 130 J=1vNI WEEGCivJ)=O. DO 130 L=lvNI WEEGCivJ>=WEEG<IvJ>+PHCivL)*HPHINVCLvJ)

130 CONTINUE DO 140 I=lvNI YV<I>=Y<I> DO 140 L=lvML YVCI>=YV<I>-H1<L>*A<L+<I-1>*ML)

140 CONTINUE DO 150 I=1vMI DO 150 J=lvNI A<I>=A<I>+WEEGCivJ>*YVCJ)

150 CONTINUE DO 160 I=lvMI DO 160 J=lvMI DO 160 L=1vNI PCivJ)=PCivJ)-WEEGCivL>*HPCLvJ)

160 CONTINUE RETURN END

c ================================================== c ===================================================

SUBROUTINE NULCPPvPPOvAvAOvRMvROvQPvQOvXNvPTvPTOvH1vW) DIMENSION PPC6v6)vPPOC6v6)vAC6)vAOC6>vRMC3)vROC3)vWC2) DIMENSION QP(3)vQ0(3)vXNC2)vPTC3)vPTOC3)vH1C2) DO 10 I=1v6 ACI>=AOCI) DO 10 J=1v6 PP<IvJ)=PPOCivJ)

10 CONTINUE DO 20 I=1v3 RMCI>=ROCI> QPCI)=QOCI)

20 PT<I>=PTOCI)

*

WCI>=O XNCI>=O

30 Hl<I>=O RETURN END SUBROUTINE DISCCTOU1vTOU2vVF1rVF2vA1vA3vA4vA5vA6) Al=EXPC-1/TOUl> A5=EXPC-1/TOU2) A3=VF1*<1-A1) A4=VF2*TOU1*CA1-A5)/CTOU1-TOU2) A6=VF1*VF2*<1-Al*TOU1/CTOU1-TOU2>tA5*TOU2/CTOU1-TOU2)) RETURN END SUBROUTINE MODEl.CA1vA3vA4vA5vA6vWvUI> DIMENSION WC2) WC2>=A4*W<l>+A5*WC2)tA6*UI W(l)=Al*WC1)tA3*UI RETURN END SUBROUTINE MIDDELCXNvAvMvK> COMMON /MID/SOMC8v79)vSIGC8v79) DIMENSION XNC2)vAC6) DO 8 I=lv2 SIGCivK>=SIGCivK>+XNCI>**2 SOMCivK>=SOMCivK)tXN<I>

8 CONTINUE DO 9 I=3v8 SIG<IvK>=SIG<IvK>tACI-2>**2 SOMCivK>=SOMCivK>tA<I-2)

9 CONTINUE IFCM.NE.26) GO TO 15 DO 10 I=1v8 SIGCivK>=SQRTCCSIGCivK)-SOMCivK>**2/26)/25> SOMCivK>=SOMCivK)/26

10 CONTINUE IFCCK/3)*3.NE.K> GO TO 11 TYPE 12vKvCSOMCivK>vi=1v8) TYPE 13vCSIGCivK)vi=lv8)

11 CONTINUE 12 FORMATC/I5v8E12.4) i3 FORMATCE17.4v7E12.4> 15 CONTINUE

*

RETURN END

AQnvu\J,·ns bQhor~nde b~ ~e~ afs~uofeC?rvf>r~J~@ vo.n

~. Jan çsert .

\.Job dQ minimum vorionbie mC?lhodPn ~~tre(~ 1s: P9n cnjuirte

inlE>r(Jn>~o~ie gegC?ven. o.~ houdt j() dab po.r~qro.ar 5.1. ~ koW~t

tE> vervotilen, en d.(> ~eks-~ op poq 31. vervoY\qe"' moeb i.Jorolc>n

door he~ ond~rd o.on.de .

\.JonrH?er- we ~Vel een bÇ>giflçchoUirt9 opqeve11 voor de covan·afltiQ matrix van d.Q qr?çl;(bsLtueC?rdQ I'Y/C?Q~riA'S h{>bbfn "'Je le moken I'YlQ~ d.e fhinimi.Aw. VQriaYlbie meLhoci~Vt . als gel ct~ r3 N =- b I zu 11 e Vl de res ui ~a. ~en idPn tie k ?(jn GYOvt dQ t'('çu/talQtt VQyt de ru:cl-m,.n,'WIUVk VQf',"()IJ,'~ m.e~J,ooiPIII. O;t Volgt r ec ~ ts l rf>Q k s u i t h (' ~ k r; J Pr ,'u wt ( IJ. '9) . d a l me b ~ N =- b I

overq~or~ '" hel lQo.ç~ Sql,(c;t,..Ps kv-,)er,·un-, ( ~.to).

\JonnQQr b4 de de ree IA r reV1 ~e

h ;en'n. ~ = bI 1\1

Ofl de re keu-ze Oit IS op de

Yn1n1mum.

~c h r ~ Ç vv y 1 Q

, dan KOV1

van fJo vol gQn de

VQr,'cm t.·e L (JC< d fqiACXr{'~ - mPJh ode Cf~br!A;kb t..JOt'dt J Qn '1)() ~ChY~VPifl

dit op9P vol v.Jofd9n. ols .QQY\

( Po ..Jord~ V@U11Pniqvr.tfJ,·qJ mpl '/h). manier in ~e -ct·Pn :

3.5 ~

Een v~rCA~~t.dPr;vt9 VOvt 13N 1?'\0P~ d.uç gPpc.ard goan m~l ee..,_ v~ron.ciE'r;n9 va." P,...,. En i11qPvori ~'\=- bI ~o('l ook PN mpt

b vermeV\:qvvtlcf,gJ L-Jordçn. Qi~ hoiAd~ in Jetl .ePn PPY\c:~J,·_qe VE>rar\(:l{>r;llg VCIIl. GN tyt ('J.ÇÓC) o(Jgf.>val:- kon vOOfdP"' air

.QQrtz~J;qf Vf(ra~'~d.er' "9 t!QV\ (\~ .

dQ keiAcC? von. Po Vf'rsch;/t . e~ ~obol 3.il qf'lcll- f3 0 = I en Po = Pe. ( Pe tJ ,) z- PqCfCJn.

JQI voor dP J,·q9onocJel<?mPrtiPvt va .... Po h(>f kt,JadrQc,l: va~

h<?l v<?rc;ch; l f~Aççp~ dfi' f?-:>tQcl~ c,JQ.arde ~" c4 bt>q,.n.rcho!f,·".,g

VOl'\ dr; porai'Ylelerr qek o-zpil. ,.s )

13 y ba b<?l '3. 5 qp/J f- !Jo =- I -en Po ~ _!_ Pe _o 6o= ss- I Pyt Po= Pe. S'S LJ

O;t '7:.Q/Ç'dQ q~ldt voor de qror',·ekPrt. 3.~ en 3.'3.

[ph inJer-eççon!e. conciCAri~ d~·e h·t·@r<Att volq~ i & dQt voor of~

qoedP rPs V(l)a)p"" keu-ze va"l Po by ~ LS- mPihode , om Jol

1:. (? kom(>"'- , qe f d ~ Po =

-I Pe 13 .

Ûit iç PPn on den~ ket.ne von Po don. by rh 1V- mp)hocfe

qem.ca:Ak~ rn ort t.Jorrlen. , ?:Ooh '~"~ dP volqphrJP Pr:uetqroo,Ç {3.3.3)

7()/ bltjkqn .

+ LS- rn pJ.J,oJe

x JV- r>-t{)fhoole vol-t AVldersov.

0 TV- metkode V0"1. r,·..,l·goJ-t