www.ziti.gr

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Βʹ τάξης Γενικού Λυκείου, Θε-τικών Σπουδών. Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:1. Διανύσματα Η έννοια του διανύσματος, πράξεις διανυσμάτων, συντεταγμένες στο επίπε-

δο, εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων.2. Η ευθεία στο επίπεδο Εξίσωση ευθείας, απόσταση σημείου από ευθεία, εμβαδόν τριγώνου.3. Κωνικές τομές Κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή.

Η δομή του βιβλίου, σε γενικές γραμμές, είναι η εξής:/ Σε κάθε ενότητα παρουσιάζεται η θεωρία σύντομα και ελκυστικά, με τις κα-

τάλληλες παρατηρήσεις ή σχόλια, ώστε να αποσαφηνιστούν όλες οι έννοιες./ Στη συνέχεια, παρουσιάζονται αντιπροσωπευτικά παραδείγματα, με τις απα-

ραίτητες μεθοδολογικές οδηγίες./ Κάθε παράγραφος κλείνει με ένα μεγάλο αριθμό ασκήσεων, που καλύπτουν

την ύλη με κάθε λεπτομέρεια. Για τις εύκολες ασκήσεις ή για αυτές που υπάρχουν αντίστοιχα παραδείγμα-

τα, δίνονται οι απαντήσεις στο τέλος του βιβλίου. Για τις ασκήσεις μέτριας δυσκολίας, δίνονται ικανοποιητικές υποδείξεις, ενώ για τις δύσκολες ασκή-σεις, δίνονται σύντομες λύσεις.

/ Το βιβλίο περιέχει διάσπαρτα 10 κριτήρια αξιολόγησης των τεσσάρων θεμά-των.

/ Κάθε κεφάλαιο κλείνει με επαναληπτικές ασκήσεις, όπως και στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν επαναληπτικά θέματα.

Με ευχαρίστηση θα δεχθώ οποιαδήποτε υπόδειξη που θα μπορούσε να συμβάλ-λει στη βελτίωση αυτού του βιβλίου.

Π ρ ό λ ο γ ο ς

5¦òÞìïçï÷

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ∆ιανύσματα

1.1. Η έννοια του διανύσματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: Πράξεις διανυσμάτων) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4. Συντεταγμένες στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: Συντεταγμένες στο επίπεδο - Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Ασκήσεις επανάληψης 1ου κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: 1ο κεφάλαιο) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ευθεία στο επίπεδο

2.1. Εξίσωση ευθείας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.2. Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α

7 ¦åòéåøÞíåîá

2.3. Απόσταση σημείου από ευθεία - Εμβαδόν τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Ασκήσεις επανάληψης 2ου κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: 2ο κεφάλαιο) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κωνικές τομές

3.1. Ο κύκλος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: Κύκλος) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.2. Η παραβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: Παραβολή) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.3. Η έλλειψη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: Έλλειψη) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.4. Η υπερβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: Υπερβολή) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Ασκήσεις επανάληψης 3ου κεφαλαίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Διδακτική ενότητα: Κωνικές τομές) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Επανάληψη

Ερωτήσεις θεωρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Ασκήσεις επανάληψης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

10ο Κριτήριο Αξιολόγησης (Επαναληπτικό) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Υποδείξεις και Απαντήσεις των Ασκήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

£. ¥Ûîï÷: »áõèíáôéëÀ Bʹ ¤ùëåÝïù – £åôéëñî óðïùäñî 8

➧ Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα με διατεταγμένα άκρα. Το διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας (τέλος) το Β συμβολίζε-ται με AB.

Αν τα άκρα Α και Β συμπίπτουν, τότε το AB λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0 . Η απόσταση των άκρων Α και Β ονομάζεται μέτρο του AB και συμβολίζεται με AB .

Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται φορέας του διανύσματος. Αν τα Α, Β συμπίπτουν, τότε ως φορέα του μηδενικού διανύσματος AA θεω-ρούμε οποιαδήποτε ευθεία που περνά από το σημείο Α.

➧ Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και GD λέμε ότι είναι παράλληλα ή συγ-γραμμικά ή έχουν την ίδια διεύθυνση, όταν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλ-ληλους φορείς.

Συμβολικά γράφουμε AB//GD.

◆ Αν έχουν την ίδια φορά, τότε ονομά ζονται ομόρροπα και γράφουμε AB»»GD.

Λέμε, επίσης ότι τα AB και GD έχουν την ίδια κατεύθυνση.

◆ Αν έχουν αντίθετη φορά, τότε ονομάζο-νται αντίρροπα ή λέμε ότι έχουν αντίθε-τη κατεύθυνση και γράφουμε AB»«GD.

A

B

A B

Γ Δ

A B ΓΔ

➧

1.1 Η έννοια του διανύσματος

Κεφάλαιο 1: ∆ιανύσματα

1.1. ¸ Ûîîïéá ôïù äéáîàóíáôï÷ 9

➧ Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται παράλληλο προς οποιοδήποτε διάνυσμα.

➧ Δύο ομόρροπα διανύσματα με ίσα μέτρα ονο-μάζονται ίσα. Αν AB GD= , τότε ισχύουν και οι ισότητες

A BG D= , BA DG= και A BG D=

➧ Δύο αντίρροπα διανύσματα με ίσα μέτρα ονο-μάζονται αντίθετα.

Αν είναι αντίθετα τα AB και GD, τότε γρά-φουμε AB GD=- ή ακόμη AB DG= .

Είναι προφανές ότι

BA AB=-

➧ Θεωρούμε δύο μη μηδενικά διανύσματα ,a b" " και με αρχή ένα σημείο Ο παίρ-νουμε τα διανύσματα OA a=" και OB b= ".

Η κυρτή γωνία AOBW , που σχηματίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, ονομάζεται γωνία των ,a b" " και συμβολίζεται με

(a , b" ")\ ή (b ,a" ")\ . Αν ( rada , b u=" ")\ , είναι φανερό ότι 0 ≤ θ ≤ π. Επίσης, ισχύουν οι ισοδυναμίες

α) a"»»b" + θ = 0.

β) a"»«b" + θ = π.

γ) a"b" + θ = π2 (ορθογώνια ή κάθετα διανύσματα).

A B

A B

Γ

Γ

Δ

Δ

A B

A B

Γ

Γ

Δ

Δ

£. ¥Ûîï÷: »áõèíáôéëÀ Bʹ ¤ùëåÝïù – £åôéëñî óðïùäñî ºåæÀìáéï 1: ¢éáîàóíáôá 10

✒ Παραδείγματα

1 .

Αν OA O A= l l και OB O B= l l, να εξηγήσετε ότι AA B B= l l και AB A B= l l.

Λύση:

Η ισότητα OA O A= l l συνεπάγεται και την

OO AA=l l (1)

Ομοίως από την OB O B= l l έχουμε και την ισό-τητα OO BB=l l (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι AA BB=l l, οπότε και AB A B= l l.

2 .

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με A 60°=W και B 50°=V . Αν θέσουμε ,BG a GA b= = και AB g,= να βρεθούν οι γωνίες ( ( )a b b g, , ," " " ")\ \ και .(g a," ")\

Λύση:

Για να σχηματισθεί η γωνία δύο διανυ-σμάτων, πρέπει τα διανύσματα να έχουν κοινή αρχή.Θεωρούμε τα διανύσματα

, AEGD a b= = και ,BZ g= οπότε έχουμε

◆ ( 70 110180° ° °a , b GA D - == =" ")\ U ,◆ ( AE B 60 120180° ° °b , g - == =" ")\ W και ◆ ( BZ 50 130180° ° °g , a G - == =" ")\ V .

1.1. ¸ Ûîîïéá ôïù äéáîàóíáôï÷ 11

✐ Ασκήσεις

1. Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ κέντρου Ο, να γράψετε όλα τα ζεύγη ίσων και αντίθετων διανυσμάτων.

2. Θεωρούμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα AB και δύο σημεία Ο και Κ. Αν Α1, Α2 είναι τα συμμετρικά του Α ως προς τα Ο και Κ αντίστοιχα και Β1, Β2 τα συμμετρικά του Β, να αποδείξετε ότι A B A B1 1 2 2= .

3. Αν AD BG= και BE AG= , όπου τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΔΕ.

4. Ποιο συμπέρασμα μπορεί να προκύψει από την ισότητα OA OB=- ;

5. Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και δύο οποιαδήποτε σημεία Ε και Ζ των πλευρών ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν EAGK = και AM ZG= , να αποδείξετε ότι EZ MK= .

6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ κατά ευθύ-γραμμα τμήματα ΔΗ = ΒΔ και ΕΖ = ΓΕ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι AH B AZG= =- .

7. α. Αν /a b""/ , να εξηγήσετε γιατί 0a!" " και 0b!" ".

β. Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση να ισχύει /a b" "/ και /a g" "/ , ενώ /b g" "/ .

8. Για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα a" και b", να αποδείξετε ότι

α. ( ( πa , b a , b+ - =" " " ") )\ \ και β. ( (a , b a , b- - =" " " ") )\ \ .

£. ¥Ûîï÷: »áõèíáôéëÀ Bʹ ¤ùëåÝïù – £åôéëñî óðïùäñî ºåæÀìáéï 1: ¢éáîàóíáôá 12

1ο κριτήριο αξιολόγησης1ο ❖Διδακτική ενότητα: Πράξεις διανυσμάτων

ΘΕΜΑ 1ο

α. Πώς ορίζεται το γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού με διάνυσμα;

β. Αν Μ είναι το μέσο ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς στο χώρο, να αποδείξετε ότι

AB OB OA= - και OM 21(OA OB)= + .

γ. Χαρακτήρισε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτά-σεις.

i) Αν AB AG= , τότε τα σημεία Β, Γ συμπίπτουν.

ii) Τα διανύσματα AB και BA δεν είναι ίσα σε καμία περίπτωση.

iii) Αν b 3a=- , τότε a b b a+ = - .

ΘΕΜΑ 2ο

α. Για ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα σημείο Ο του χώρου, να αποδειχθεί ότι OA OG OB OD+ = + .

β. Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, να αποδειχθεί ότι AB BG GD DA 4EZ- + - =

γ. Να βρεθεί σημείο Μ του επιπέδου τριγώνου ΑΒΓ με M3MA 4MB 5 G 0.- + =

ΘΕΜΑ 3ο

α. Δίνονται τρία διαφορετικά σημεία Α, Β και Γ με AG lAB= και BG mAB= , όπου λ, μ Œ ®. Να αποδειχθεί ότι λ = μ + 1.

β. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα κυρτό τετράπλευρο και Ο σημείο αναφοράς στο χώρο, να αποδειχθεί ότι ο φορέας του διανύσματος d OA OB OG OD= + + + διέρχε-ται από το μέσο Κ του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα μέσα των δια-γωνίων του τετραπλεύρου.

311° ëòéôÜòéï áêéïìÞçèóè÷ (¢éäáëôéëÜ åîÞôèôá: ¦òÀêåé÷ äéáîùóíÀôöî)

ΘΕΜΑ 4ο

α. Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα ενός τετρα-

πλεύρου ΑΒΓΔ και ισχύει EZ 41(AD BG)= - , να αποδειχθεί ότι το τετρά-

πλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο.

β. Αν 0a 2b 3g+ + = και 3a

2b

73 g

= = , να αποδειχθεί ότι α »»β και β»«γ.

γ. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το σημείο Ε με AE 23AD= .

Αν οι ευθείες ΕΓ και ΑΒ τέμνονται στο σημείο Μ, να εκφραστεί το AM συ-ναρτήσει του AB .

£. ¥Ûîï÷: »áõèíáôéëÀ Bʹ ¤ùëåÝïù – £åôéëñî óðïùäñî ºåæÀìáéï 1: ¢éáîàóíáôá 32

Ασκήσεις επανάληψηςΑσ❖

1. Δίνονται οι ευθείες ε1: y = x – 1 και ε2: y = x – 3. α. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, της οποίας κάθε σημείο ισαπέχει από τις

ε1 και ε2. β. Να βρεθούν οι εξισώσεις όλων των κύκλων που έχουν κοινές εξωτερικές

εφαπτόμενες τις ε1 και ε2. γ. Να βρεθεί η εξίσωση εκείνου από τους παραπάνω κύκλους που διέρχεται

από την εστία της παραβολής y2 = 4x.

2. Δίνονται οι κωνικές τομές

C1: x ya b2

2

2

2

+ = 1 και C2: x ya b

2 2

- = α – β, όπου α > β > 0.

α. Να αποδειχθεί ότι οι C1, C2 έχουν ίδιες εστίες. β. Αν ε1, ε2 είναι οι εκκεντρότητες των C1, C2 αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι i) ε12 = ε22 q (2 – ε22) και ii) 1 < ε2 < 2 .

γ. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C1, C2. δ. Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες των C1, C2 σε κάθε κοινό τους σημείο

είναι κάθετες.

3. α. Να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (2συνλ, 2ημλ), λ Œ ® είναι ο κύκλος C: x2 + y2 = 4.

β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του C που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν.

γ. Αν Μ (α, β) είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του C, να αποδειχθεί ότι –10 ≤ 3α – 4β ≤ 10.

4. Δίνεται η εξίσωση (λ + 1)x2 – λy2 = 1, λ Œ ® (1)

α. Να βρεθούν οι τιμές του λ, για τις οποίες η (1) παριστάνει έλλειψη. Υπάρ-χει σταθερό σημείο, από το οποίο διέρχεται η έλλειψη;

β. Στην περίπτωση που η (1) παριστάνει κύκλο, τότε:

i) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου, που διέρχο-νται από το σημείο Μ (2, 4).

221¶ðáîÀìèãè: °óëÜóåé÷ åðáîÀìèãè÷

Υποδείξεις και Απαντήσειςτων Ασκήσεων

10) α) Κατασκευάστε τα παραλληλόγραμμα ΑΔΜΓ και ΒΓΝΔ.

β) ΔΝ // =ΓΜ & ΜΝ // =ΓΔ κ.λπ.

11) …AD AE BE BZ GZ GD- + - + - = =^ ^ ^h h h 0 κ.λπ.12) ΜΑΔΒ παραλληλόγραμμο και /MD MG ,/ άρα

ο γ.τ. του Μ είναι η ευθεία που περνά από το Γ και το μέσο του ΑΒ.

13) Όπως στο παράδειγμα της §1.2, αποδείξτε ότι α »» β και β »« γ .

1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα σελ 26

1) α) α = 2β , β) α = – 32 β , γ) α = – 3

1 β .

2) α) Λ (αφού μπορεί να είναι λ = μ = 0 και α // β ).

β) Σ (αφού λ ≠ 0 ή μ ≠ 0, οπότε

α = lm

β ή β = ml α ).

γ) Σ (αφού AB 3AB 5AG ,- =

δηλ. A 2 ABG 5-= ).

δ) Σ (αφού α »« β και | α | ≥ | β |).

ε) Λ AM AB AG21 AB AG < 2

+= +c m .

3) α) …BM B 31 A AB3

1 G AM AB G+ -= - = ^ h … x = 3

2 α + 31 β (ή x = α + …3

1BG = )

β) x = α + 35

32…BG = =- α + 3

5 β .

4) AG = α + β , BD = β – α , AZ = α + 21 β ,

DE =- β + 21 α και 2

1EZ = α + 21 β .

5) 21 ADEA 4

1=- =- α 41- β ,

EB EA= + α = 43 α 4

1- β και

EG 41=- α + 4

3 β .

6) α) ,AD 21 AB AG= +^ h 2

1 BG ,BE BA= +^ h 2

1 A GBGZ G= +^ h κ.λπ.

1.1 Η έννοια του διανύσματος σελ 12

1) AB DG , AD BG, OA OG= = =- κ.λπ.

2) A B BA1 1 = και A B BA2 2 = , επειδή τα ΑΒΑ1Β1 και ΑΒΑ2Β2 είναι παραλ-

ληλόγραμμα.

3) ΑΒΓΔ και ΑΒΕΓ παραλληλόγραμμα.

4) Ο μέσο του ΑΒ.

5) ΑΜΓΖ και ΑΕΓΚ παραλληλόγραμμα, οπότε τα τμήματα ΑΓ, ΜΖ και ΕΚ έχουν κοινό μέσο. Έτσι, το ΕΖΚΜ είναι παραλληλόγραμμο.

6) ΑΒΓΗ και ΑΓΒΖ παραλληλόγραμμα.

7) α) Αν α = 0 ή β = 0 , τότε α // β , άτοπο β) Ναι, όταν α = 0 .

8) α) Παραπληρωματικές γωνίες β) Κατακορυφήν γωνίες.

1.2 Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων σελ 15

1) α) α »« β και | α | ≥ | β | β) α , β ομόρροπα μη μηδενικά

γ) α , β , γ ομόρροπα δ) α , β αντίρροπα

2) Εφαρμόστε δύο φορές τον κανόνα παραλλη-λογράμμου.

3) Η σχέση γράφεται OA OB OD OG- = - κ.λπ.4) Αποδείξτε ότι το ΒΜΓΝ είναι παραλληλόγραμ-

μο.

5) EH EA AH ,= + ,ZU ZG GU= + ,KD KB BD= + EA BD=- κ.λπ.

6) 90° (βλέπε παράδειγμα 2, § 1.1).

7) DE DG AD DB ,- = + δηλαδή GE AB= κ.λπ.

8) /BA MG ,/ άρα ο γ.τ. του Μ είναι η ευθεία ε // ΑΒ, που περνά από το Γ.

9) Η τριγωνική ανισότητα ισχύει και για περισ-σότερα από δύο διανύσματα.

Κεφάλαιο 1: Διανύσματα

ºåæÀìáéï 1: ¢éáîàóíáôá 231

Βιβλία Μαθηματικών του Θανάση Ξένου

Μαθηματικά

Μαθηματικά

ΔHMOTIKOY

ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕυκλείδειαΓεωμετρία

Μαθηματικά

Α’ & Β’ Λυκείου

Α’ & Β’ Λυκείου

Τυπολόγιο

για όλες τις τάξεις

Προβλήματα & Κριτήρια A’ & Β’ Λυκείου

Μαθηματικά

Γ’ Λυκείου

Προβλήματα& Κριτήρια

Γ’ Λυκείου

ΕΠΑΛ & ΑΣΕΠ

Μαθηματικά

ΑΕΙ-ΤΕΙ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

KENTPIKH ΔIAΘEΣH:

Aρμενοπούλου 27, 546 35 Θεσσαλονίκη