Θεωρία ΓράφωνΘεωρία ΓράφωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-ΕφαρμογέςΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα

1Data Engineering Lab

Σχετικά με το μάθημα Ώρες γραφείου: ποτέ Ώρες επικοινωνίας: πάντα email: manolopo@csd.auth.gr Δικτυακός Τόπος Μαθήματος:

http://delab.csd.auth.gr/~manolopo/graph Ώρες Μαθήματος:

Τρίτη 14:00-16:00 (Αίθουσα Α) Πέμπτη 12:00-14:00 (Αίθουσα Α)

Τρόπος Εξέτασης: Περίοδος Ιουνίου-Σεπτεμβρίου ή Απαλλακτικά Θέματα

2Data Engineering Lab

Το Königsberg της Πρωσσίας ιδρύθηκε το 1255 από Τεύτονες ιππότες και ήταν η πρωτεύουσα της Ανατολικής Πρωσίας μέχρι το 1945.

Σήμερα είναι το Ρωσικό Kaliningrad (μεταξύ Λιθουανίας και Πολωνίας στη Βαλτική)

Ήταν μεγάλο κέντρο για αιώνες και πατρίδα των Goldbach, Hilbert, Kant και Wagner.

Η απαρχή της Θεωρίας Γράφων

Data Engineering Lab 3

Γεννήθηκε στη Βασιλεία και θα γίνοταν πάστορας, όπως ο πατέρας του.

Σπούδασε Εβραϊκά και Θεολογία αλλά πήρε και μαθήματα από τον Bernoulli.

Το 1727 έπιασε δουλειά στο Ιατρικό τμήμα του Πανεπιστημ. της Α.Πετρούπολης αλλά μετά το θάνατο της Αικατερίνης Ι ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά.

Leonhard Euler (1707-1783)

Data Engineering Lab 4

Παντρεύτηκε το 1733, είχε 13 παιδιά, ενηλικιώθηκαν τα 5.

Το 1741 μετακόμισε στο Βερολίνο και έμεινε 25 χρόνια.

Δημοσίευσε >500 βιβλία και εργασίες εν ζωή και 400 μετά θάνατο.

Εφηύρε τους συμβολισμούς i, π, e, sin, cos, f(x) και άλλους!

Έχασε την όραση του αλλά έγινε παραγωγικότερος. Είπε:“now I have fewer distractions”

Leonhard Euler (1707-1783)

Data Engineering Lab 5

Data Engineering Lab

Οι 7 γέφυρες τουΟι 7 γέφυρες του KönigsbergKönigsberg

6

Data Engineering Lab

Ο γράφοςκορυφή

ακμή

7

Data Engineering Lab

Μη κατευθυνόμενος γράφος

2

4

31

8

Data Engineering Lab

Περίπατος και Μονοπάτι

Περίπατος: ακολουθία συνδεδέμενων κορυφών Μονοπάτι: περίπατος χωρίς επανάληψη κορυφών

V5V4

V3V2

V1V6

9

Data Engineering Lab

Λύση Euler Συνθήκη για να υπάρχει μονοπάτι που

περνά από όλες τις κορυφές: όλες οι κορυφές να έχουν άρτιο βαθμό

Μονοκοντυλιάtraversability

10

Thomas P. Kirkman William R. Hamilton

Hamiltonian κύκλοι σε πλατωνικούς γράφους

Εύρεση κύκλων σε πολύεδρα

Data Engineering Lab 11

Gustav Kirchhoff

Δένδρα σε ηλεκτρικά κυκλώματα

Data Engineering Lab 12

Arthur Cayley James J. Sylvester George Polya

Απαρίθμηση σε χημικά ισομερή

Data Engineering Lab 13

Francis Guthrie Auguste DeMorgan

Χρωματισμός χαρτών

Data Engineering Lab 14

Παράδειγμα 4-Χρωματισμού

Η Εικασία των 4 χρωμάτων Το 1976, οι Kenneth Appel και Wolfgang

Haken ανακοίνωσαν την απόδειξη (με τη βοήθεια υπολογιστή) της Εικασία των 4 χρωμάτων, ένα άλυτο πρόβλημα επί αιώνες.

Data Engineering Lab 16

Data Engineering Lab

Εφαρμογές γράφωνΕφαρμογή Κορυφές Ακμές Ροή

Communications Telephones exchanges, computers, satellites

Cables, fiber optics, microwave relays

Voice, video, packets

Circuits Gates, registers, processors Wires Current

Mechanical Joints Rods, beams, springs Heat, energy

Hydraulic Reservoirs, pumping stations, lakes Pipelines Fluid, oil

Financial Stocks, currency Transactions Money

Transportation Airports, rail yards, street intersections

Highways, railbeds, airway routes

Freight, vehicles, passengers

17

Data Engineering Lab

Κατευθυνόμενος γράφος

2

4

31

18

Data Engineering Lab

Συνδεσμικότητα

• Μπορώ να πετάξω από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία;

• Υπάρχει μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β στο δίκτυο της;

19

Data Engineering Lab

Λειτουργία δικτύων

A B

C D

Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε

άλλον;

A B

C D

Βλάβη

20

Data Engineering Lab

Ζυγισμένος γράφος (weighted)

2

4

31

1.2

2.1

0.2

0.5

2

4

31

4

8

6

2

9

21

Data Engineering Lab

Συντομότερη διαδρομή

• Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία;

• Ποιο μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β έχει το μικρότερο βάρος;

22

Data Engineering Lab

GPS – Πλοήγηση

Εύρεση Ελαχίστων Διαδρομών …

23

Data Engineering Lab

Routing in Internet (TCP/IP)

V1

1

43

3

6

44

1 2

5

2

V2V3

V7V6

V5V4

D3=2D2=1

D7=3

D6=6

D5=7

24

Data Engineering Lab

Γρίφος (3 utilities)

ΔΕΗ ΟΤΕ ΕΥΑΘΣύνδεσε τα 3 σπίτια με τις 3 παροχές χωρίς να διασταυρωθούν οι συνδέσεις

25

Data Engineering Lab

Προσπαθήστε…

Σπίτι 2 με ΟΤΕ;

26

Data Engineering Lab

Επιπεδικότητα Μπορεί ένας γράφος να σχεδιασθεί ώστε να μην

υπάρχουν τεμνόμενες ακμές;

27

Data Engineering Lab

Ωκεανία

Ποιο δίκτυο διαδρομών είναι το ασφαλέστερο; (κίνδυνος από μεγάλες διαδρομές στη θάλασσα)

28

Data Engineering Lab

Ελάχιστα Ζευγνύοντα Δένδρα

1 2

2 2

3

4

4

5

3

3

2

1

A

B

C

D

E

F

G10

63

76

12

6

9

10

29

Data Engineering Lab

Λύση

1 2

2 2

2

1

A

B

C

D

E

F

30

Data Engineering Lab

Σκάκι (πρόβλημα κυριαρχίας)

Πως να τοποθετήσω τις 8 βασίλισσες χωρίς να απειλούνται;

31

Data Engineering Lab

Περίπατος του Ιππότη/Αλόγου (Hamiltonian περίπατος)

32

Data Engineering Lab

Χάρτες (χρωματισμός)

Πως να χρωματίσω κάθε χώρα (νομό), ώστε γειτονικοί νομοί να μην έχουν ίδιο χρώμα;

Πόσα χρώματα χρειάζονται στο ελάχιστο;

Η απόδειξη του 4

33

Data Engineering Lab

Ανάλυση συνδέσμων

Ποιοι κόμβοι είναι κεντρικοί;

34

Δίκτυο metro (Λονδίνο)

Data Engineering Lab 35

Data Engineering Lab

Χάρτης επιστήμης (science map)

36

Δίκτυα συν-συγγραφέων

Data Engineering Lab 37

Δίκτυα αναφορών (citations)

Data Engineering Lab 38

Data Engineering Lab

Κοινωνικά δίκτυα

small-world6 hops

39

Το Φαινόμενο του Μικρού Το Φαινόμενο του Μικρού ΚόσμουΚόσμου

http://mathforum.org/mam/04/poster.html

Ο Stanley Milgram έστειλε ένα σύνολο επιστολών από τις Μεσοδυτικές πολιτείες των ΗΠΑ προς τη Βοστώνη. Κάθε φορά, οι επιστολές μπορούσαν να αποσταλούν μόνο προς γνωστούς αποστολείς. Ο Milgram κράτησε τα ίχνη των επιστολών και βρήκε ότι η μέση τιμή του μήκους των ιχνών ήταν περίπου 6, διατυπώνοντας έτσι την αρχή του «6 degrees of separation."

Data Engineering Lab 40

Το Παιχνίδι τουΤο Παιχνίδι του Kevin Bacon Kevin BaconBacon

Number# of

People

0 1

1 1766

2 141840

3 385670

4 93598

5 7304

6 920

7 115

8 61

Average Bacon number: 2.947

Connery Number

# of people

0 1

1 2216

2 204269

3 330591

4 32857

5 2948

6 409

7 46

8 8

Average Connery Number: 2.706 Ο Bacon είναι ο 1222ος πλέον

συνδεδεμένος ηθοποιός του Hollywood.

Το παιχνίδι συνίσταται στην εύρεση μονοπατιού προς τον Bacon από τυχόν άτομο του Hollywood με <=6 βήματα.

Data Engineering Lab 41

Δίκτυο χρέους

Data Engineering Lab 42

Δίκτυο επιστημονικής συνεργασίας

Data Engineering Lab 43

Δίκτυο γενετικής αλληλεπίδρασης

Data Engineering Lab 44

Σχέσεις μεταξύ επιχειρήσεων βιοτεχνολογίας των ΗΠΑ

Data Engineering Lab 45

Δίκτυο αλληλεπίδρασης πρωτεϊνών

Data Engineering Lab 46

νέες κατευθύνσεις στη Θεωρία Γράφων

Όλο και μεγαλύτεροι γράφοι