Prueva Estadistica de Hipotesis

5/21/2018 Prueva Estadistica de Hipotesis

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PRUEBA ESTADSTICA

DE HIPTESIS

Rodrigo PIMIENTA

LASTRA*

INTRODUCCIN

En el presente trabajo se pretende destacar el concepto de hiptesis esta-

dstica, as como plantear e identificar tanto la hiptesis de investigacin

o alternativa como la hiptesis nula. Adems, se exponen los tipos de

errores que se pueden cometer al tomar una decisin en favor de una de las dos

hiptesis mencionadas. Para llegar a esto, el trabajo se inicia tratando de resaltar

la importancia que tienen en la investigacin las pruebas estadsticas de hipte-

sis, cules son sus caractersticas esenciales y el concepto general de ellas.

HIPTESIS E INVESTIGACIN

El mtodo cientfico es una forma especial sistematizada de todo pensamiento

e investigacin reflexiva. Es en este marco en el que se mueve el investigador

en su trabajo cotidiano, al intentar estudiar un fenmeno observable. En este

proceso el estudioso de las ciencias aplicadas generalmente encuentra gran

cantidad de obstculos para poder comprender y explicar el comportamiento de

algn fenmeno que le inquieta, l siente curiosidad y busca los motivos del

porqu algo es lo que es. Su primer paso y el ms importante en un esquema

como ste, es tener una idea clara del problema para expresarlo en forma razo-

nablemente comprensible a travs de algn tipo de relacin.

El cientfico observa y recapacita sobre el problema en estudio, lo enfrenta

con las teoras conocidas as como su propia experiencia, en busca de alguna

posible solucin; trata de determinar cules son sus caractersticas relevantes,

para poder formular alguna hiptesis de investigacin y establecer las tcnicas

que utilizar para comprobarla.

En este sentido se puede establecer que uno de los objetivos fundamentales

de toda investigacin cientfica es la comprobacin de hiptesis. La esencia de

* Profesor

Investigador

de la UAM - Xochimilco.


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76RODRGOPMENTALASTRA

una prueba de hiptesis es probar si alguna relacin expresada entre variables

existe; stas son las sospechas que el investigador supone por anticipado del

problema en estudio, para dar a los hechos la oportunidad de demostrar o negar

algo. Toda observacin, toda prueba, toda experimentacin es para un propsi-

to general, someter las dudas del investigador expresadas a travs de relaciones

entre variables,'a pruebas empricas.

CONCEPTO DE HIPTESIS

Una hiptesis es una expresin a manera de conjetura, es decir, una proposi-

cin tentativa en modo afirmativo acerca de la relacin general o especfica

entre dos o ms variables. En la formulacin de cualquier hiptesis es conve-

niente observar los dos criterios siguientes: deben expresar relaciones entre

variables; y adems, ser inferencias que permitan probar las relaciones estable-

cidas. Esto indica que toda expresin hipottica estar integrada por dos o ms

variables mensurables y tener una forma explcita del tipo de relacin que se

supone existe entre stas.

Ejemplo:

Un mayor gasto en publicidad provoca un incremento en los votos obtenidos

por un partido poltico.

En este caso, del planteamiento del problema, se desprende de manera direc-

ta que hay dos variables: gasto en publicidad y votos obtenidos. Ambas pueden

ser cuantificadas y por lo tanto es posible hacer inferencias estadsticas que

permitan probar la relacin mencionada.

IMPORTANCIA DE LA HIPTESIS

Dentro de la investigacin cientfica existen muchas razones para considerar a

las hiptesis como un instrumento indispensable, entre algunas de las que se

pueden mencionar estn las siguientes:

a) Son las herramientas de trabajo de la teora, esto es, de las teoras se pue-

den deducir hiptesis.

b) Estas se pueden demostrarse, es decir, se puede establecer que son pro-

bablemente ciertas o probablemente falsas.

c) Son un instrumento poderoso para el progreso del conocimiento, porque

ayudan a confirmar o negar una teora en forma independiente de la

opinin del investigador.

En algunas ocasiones una hiptesis dada puede ser demasiado amplia para

ser probada. Si es una buena hiptesis podr demostrarse a travs de otras


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PRUEBAESTADSTCADEHIPTESS77

deducidas de ella. Las hiptesis no se prueban directamente, sino a travs de

las inferencias inducidas de ellas.

Finalmente debe enfatizarse que los resultados de toda investigacin deben

aplicarse al problema en particular, a las hiptesis y finalmente a la teora.

PASOS PREVIOS A LA PRUEBA DE HIPTESIS

Para poder efectuar una prueba de hiptesis el cientfico debe desarrollar un

conjunto previo de actividades, entre las que se encuentra el postular los mode-

los y supuestos tericos, con el fin de identificar las variables que lo llevarn a

verificar estadsticamente sus hiptesis de investigacin; recolectar, organizar

y resumir la informacin de las variables mencionadas con el fin de poder

establecer la estimacin de los parmetros poblacionales necesarios.

a) Postular modelos. El establecimiento de modelos es la parte en la que se

proponen las distribuciones y las ecuaciones de tipo estadstico que rela-

cionan a las variables que intervienen en la evaluacin de los supuestos

tericos; entre los ms conocidos se pueden mencionar el binomial, el

normal, el de regresin, etc.

b) Recolectar informacin. La recoleccin de informacin se puede realizar

a travs de algn mtodo de muestreo o el diseo de algn experimento,

con el fin de cuantificar las variables estudiadas, si an no se dispone de

los datos necesarios en las fuentes de informacin acreditadas existentes.

c) Registro presentacin de datos. El registro y la presentacin de los datos

se hace mediante tablas y grficas.

d) Resumen de datos. El resumen de la informacin se lleva a cabo a travs

de indicadores que caracterizan el comportamiento general de las varia-

bles estudiadas, como por ejemplo: las medidas de tendencia central, dis-

persin, asimetra, etc.

e) Estimacin y prediccin. En la parte de estimacin y prediccin se

obtienen los estadsticos de los parmetros de los modelos propuestos,

con el de determinar las tendencias generales del fenmeno en estudio.

f) Pruebas de hiptesis. En esta parte se verifica si los supuestos tericos

sobre el fenmeno estudiado (parmetros del modelo) contrastan con las

observaciones (modelo estimado), a travs de ciertos procedimientos

estadsticos aceptados.

HIPTESIS ESTADSTICA

En el captulo anterior se trat de introducir el concepto y la importancia que

las pruebas de hiptesis tienen en el proceso de investigacin, as como los

pasos previos a la realizacin de una prueba. A continuacin se va a desarrollar


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lo que es una prueba estadstica de hiptesis, se identifica tanto a la hiptesis

nula como a la hiptesis alterna y se establecen los tipos de error en los que se

puede incurrir al tomar una decisin. Para terminar, se mencionan lose diferentes

tipos de hiptesis que se pueden presentar en el anlisis estadstico cotidiano.

HIPTESIS

NULA E

HIPTESIS

ALTERNA

El objetivo de una prueba estadstica de hiptesis es determinar si un supuesto

sobre alguna o algunas caractersticas de la poblacin, est ampliamente

respaldado por la informacin obtenida a travs de datos muestrales. Sugerido

por los propsitos de la investigacin, el supuesto sobre la poblacin involucra

una afirmacin sobre el valor de algn parmetro, por lo tanto una hiptesis

estadstica se puede definir de la manera siguiente:

Una hiptesis estadstica, denotada Ha, es un enunciado sobre la pobla-

cin. Su posibilidad de ser evaluada es con base en la informacin obteni-

da de una muestra aleatoria de la poblacin.

Ejemplo:

La experiencia ha demostrado que el porcentaje de alumnos aprobados usan-

do un cierto mtodo de enseanza es del 75 . Se anticipa que si se usa un

nuevo mtodo de enseanza, el porcentaje de aprobados ser mayor que cuan-

do se usa el mtodo tradicional.

En este caso la Hiptesis Ha sera:

Existe evidencia sustancial de que el nuevo mtodo de enseanza es mejor

que el mtodo tradicional.

Una hiptesis complementaria o la contrapartida de sta, denotada H0, sera:

No existe evidencia sustancial de que el nuevo mtodo de enseanza sea

mejor que el mtodo tradicional.

Como se observa la segunda hiptesis es la negacin de la primera. A esta

ltima se le denomina hiptesis nula y a la otra hiptesis de investigacin o

alternativa. A la hiptesis nula se le llama as, porque es la que invalida la afir-

macin establecida, se formula con la intencin expresa de ser rechazada. La

hiptesis de investigacin es una aseveracin de tipo operacional que plantea

el experimentador; esta afirmacin se hace sobre la poblacin coro el fin de

tomar una decisin, usando para ello la informacin proveniente de alguna

muestra.


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PRUEBA

ESTADSTICA

DEHPTESS 9

PRUEBA ESTADSTICA

DE HIPTESIS

En el apartado anterior se establecieron los conceptos de hiptesis nula e hip-

tesis alterna. A la hiptesis alterna se le caracteriz como la afirmacin hecha

sobre la poblacin, tal afirmacin puede tener dos resultados posibles y com-

plementarios al probar su validez, estos son:

La hiptesis Ha es cierta.

La hiptesis Ha es falsa.

Usando informacin muestral se debe tomar una decisin sobre el curso de

accin a seguir, es decir, seleccionar una de las inferencias establecidas. Si la

hiptesis es falsa, entonces se debe rechazar y concluir:

La hiptesis H. no est ampliamente respaldada por los datos de la muestra.

Al proceso en el cual se selecciona una de estas dos acciones se le llama

prueba estadstica de hiptesis.

Continuando con el ejemplo; si se supone que el nuevo mtodo se ensean-

za se aplic en 25 estudiantes y que hubo un nmero X de aprobados. La

hiptesis Ha que se puede plantear es:

Ha: Existe evidencia sustancial que el nuevo mtodo de enseanza mejora al

mtodo tradicional.

La hiptesis complementaria H. es:

H0: No existe evidencia sustancial de que el nuevo mtodo de enseanza

mejora al mtodo tradicional.

Al probar la validez de las hiptesis los resultados po sibles son :

a) la hiptesis Ha es verdadera, es decir, existe evidencia sustancial de que

el nuevo mtodo de enseanza mejora al mtodo tradicional.

b) La hiptesis Ha es falsa, es decir, no existe evidencia sustancial de que el

nuevo mtodo de enseanza mejora al mtodo tradicional.

En el ejemplo las alternativas de decisin son dos: la primera es rechazar la

Hiptesis Ha, si es falsa, y concluir:

Los datos del experimento muestran evidencia sustancial de que el nuevo

mtodo de enseanza no mejora al mtodo tradicional.

En el segundo caso, si la hiptesis Ha es verdadera no se rechaza y se col.-

cluye.

Los datos del experimento muestran evidencia sustancial de que el nuevo

mtodo de enseanza mejora al mtodo tradicional.


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8RODRGO

IMIENTA LASTRA

Para saber si la afirmacin es correcta estadsticamente, el nueva mtodo de

enseanza deber ser aplicado a un gran nmero de estudiantes para poder

determinar si el porcentaje de aprobados, dentese p, es sustancialmente mayor

que cuando se usa el mtodo tradicional, sin embargo, ntese que en el experi-

mento la informacin se limita al resultado obtenido en tan slo 25 estudiantes.

Suponiendo que los 25 estudiantes en el experimento pueden considerarse

como observaciones independientes de la poblacin, se puede ver que el mode-

lo de probabilidad para X tiene una distribucin binomial con n==25 y p un

parmetro desconocido. Simblicamente las hiptesis del problema, planteadas

originalmente, se representan por:

Ho: p:5 0.75 (El nuevo mtodo de enseanza no es mejor que el

mtodo tradicional).

v

Ha: p > 0.75 El nuevo mtodo de enseanza mejora sustancial-

mente al mtodo tradicional).

La naturaleza del parmetro citado est incorporada en el parmetro p, el

cual representa el porcentaje de xitos con el nuevo mtodo.

Para considerar a un enunciado como vlido se deben acumular suficientes

evidencias que lo apoyen. Por lo tanto el investigador deber tornarlo como

falso, a menos que lo contrario sea ampliamente respaldado por los datos. En

otras palabras, la hiptesis nula deber ser vista como cierta y slo rechazarse

cuando los datos muestren ampliamente lo contrario.

A continuacin se dan otros ejemplos de pruebas de hiptesis:

a) En un juicio:

Ha: Culpable de un crimen.

vs.

H0: No es culpable del crimen.

b) En decisiones para el mercado:

Ha: El nuevo producto es mejor que un producto estndar.

v

H0: El nuevo producto no es mejor que el estndar.

c) En pruebas de medicamentos:

HO: El nuevo medicamento no mejora sustancialmente al rnedicamen-

to estndar.

vs.

Ha: El nuevo medicamento mejora sustancialmente al medicamento

estndar.


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PRUEBA ESTADSTICA

DEHPTESSs

Al probar un nuevo mtodo, un nuevo medicamento, una nueva tcnica, etc;

se ven involucrados ciertos riesgos o gastos que pueden ser serios o conside-

rables si se comete algn error al tomar una decisin. Slo se usar el nuevo

mtodo, el nuevo medicamento, la nueva tcnica, etc; si son ampliamente

respaldados por los datos, es decir, si es claro que mejoran al que se ha venido

utilizando, ya que esto no implica nuevas dudas o inversiones adicionales.

ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II

En una prueba de hiptesis la toma de decisiones se haya sujeta a los datos

recolectados a travs de un experimento o de una muestra aleatoria, por lo que

es posible cometer dos tipos de errores que pueden llevar a una prdida sustan-

cialmente diferente, estos errores son:

Error tipo 1: Rechazar una hiptesis verdadera.

El error tipo II: No rechazar una hiptesis falsa.

Esquemticamente este tipo de errores se puede representar de la manera

siguiente:

Cuadro 1

Reglas de decisin de una hiptesis estadstica

Decisin

Situacin real de Ho

Certa Falsa

Rechazar Ho

Error de tipo I a

No rechazar Ho

Error de tipo II

El tamao de estos dos tipos de error se define como la probabilidad de que

cada uno de ellos ocurra; al trmino a (alfa) se le llama nivel de significancia

de la prueba, generalmente se le asignan los valores 0.10, 0.05 0.01 y se

determina al inicio de la investigacin; a R (beta) se le denomina potencia de

la prueba. Ntese que debido a la relacin existente entre las hiptesis, los dos

tipos de error se hayan relacionados, al controlar el tipo 1 automticamente se

controla el otro, para un tamao de muestra dado.

En la prctica se busca trabajar con errores pequeos del tipo 1, es decir, se

puede tomar como el error ms serio rechazar Ho cuando es verdadera, que no

rechazarla cuando es falsa. En el peor de los casos se queda uno con H0, porque

como ya se mencion no incluir nuevos riesgos o cambio alguno. Esto ltimo

debe tomarse con ciertas reservas dependiendo del problema en particular que

se est trabajando.


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8 RODRGOPMENTALASTRA

REGLA DE DECISIN

La regla de decisin en una prueba de hiptesis estadstica, se basa en la com-

paracin del valor a previamente establecido y un valor determinado con base

en los datos del experimento, denotado (alfa gorro). Si es menor a que se

rechaza Ho y se acepta Ha, es decir se acepta la aseveracin operacional de la

hiptesis de investigacin, grficamente se tiene:

Grfica 1

o a

a

Regin de aceptacin de Ho Regin crtica de rechazo de H. (Ha)

Si a > tx entonces se rechaza H.

Si a < c entonces no se rechaza H.

A esta regla se le llama

prueba de la hiptesis nula

tx se le denomina el

estadstico de prueba. La prueba de la hiptesis nula es un curso de accin que

especifica el conjunto de valores de una variable aleatoria X, para las cuales Ho

puede ser rechazada.

El valor que se utiliza para determinar el curso de la accin, se llama estads-

tico de prueba y al conjunto de valores para los que Ho es rechazado se llama

regin de rechazo de la prueba. Una prueba queda completamente especifica-

da por un estadstico de prueba y la regin de rechazo.

Continuando con el problema que se ha venido trabajando, las hiptesis nula

y alternativa planteadas anteriormente son:

Ho: p < 0.75

vs

Ha: p > 0.75


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Antes de realizar el experimento los valores que puede tomar la variable

aleatoria X son: 1, 2, 25. Cada uno de estos valores tienen las mismas posibi-

lidades de ocurrir, tanto bajo la hiptesis H. como bajo la hiptesis Ha, pero

ninguno aisladamente puede probar que una de las dos hiptesis es cierta.

Intuitivamente, se sospecha qu valores grandes de X indican que H,, puede ser

falsa, y H. verdadera; en forma similar valores pequeos de X sugieren que H.

es verdadera y Ha es falsa.

Suponga que al aplicarse el nuevo mtodo de enseanza aprobaron 18 estu-

diantes, bajo el supuesto de que la variable aleatoria X se distribuye como una

binomial con parmetro p=1/2, es decir, B(25,1/2); se puede determinar la

regin crtica o de rechazo de la prueba para un a determinado.

Tomando en este ejemplo un = 0.05, se tiene:

a =P (Rechazar Ho dado que H. es verdadera),

Como X

se distribuye B 25,1/2

y la forma de esta distribucin es:

f x)= [n] pX 1 _p)fl_X

x= 0,1,2,...n

Se tiene que la probabilidad de cometer el error tipo 1, est dada para valores

de x=18,19,..., 25; por lo tanto:

=P x

_181 p= Y2)

-

25

5

= Y -2X 112)8 112)25

-x

x=18

i = 0.007

De lo anterior se puede concluir:

Como = 0.007 es menor que a = 0.05 se rechaza H0, es decir, a un nivel

de significancia del 5 se puede concluir que los datos del experimento han

mostrado que el nuevo mtodo de enseanza es mejor que el anterior.


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Abusando del lenguaje grfico, en la forma de la distribucin, con el objeto

de ser ms claros, la prueba presentara la siguiente forma:

1 a 0.95

Grfica 1

Ho

cc =0.007

Regin de aceptacin de H.

Esquemticamente, la representacin sera:

Regin de rechazo de Ha

Decisin

Situacin real de Ho

Cierta p:5 0.75 Falsa p > 0.75

Rechazar Ho

Error de tipo 1 ^e = 0.007

No rechazar Ho

Error de tipo II

Podra todava cuantificarse la magnitud del error tipo II, pero en este caso

no se har, ya que no es el objetivo de este escrito tocar estos puntos.

DIFERENTES TIPOS DE HIPTESIS

a 0.05

Hasta el momento se ha planteado un solo tipo de prueba estadstica, esto es,

en un sentido; en la prctica se pueden presentar diferentes tipos de prueba,

aqu slo se mencionarn tres que se consideran las ms usuales.


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Sea 6 un parmetro poblacional y Q, un valor que se obtiene en un experi-

mento, el cual se comparar con el parmetro de la poblacin a travs de una

hiptesis. Las diferentes formas que puede presentar una prueba estadstica de

hiptesis, son las siguientes:

n smbolos

H.,

H02 G > Go

vs

Ha2:G

o

Grficamente

Grfica 3

Hd,

Re gin de aceptacin de Ho 1

Haz

Regin crtica de rechazo de H,,

Grfica 4

Re gin de aceptacin de H02

H

Re gin crt ica de rechazo d e Ho 2


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8 6

RODRIGO PIMIENTA LASTRA

Grfica 5

Regin de rechazo de H0

Ha 3

H 3

a 2 I al2

Regin de aceptacin

d e H o

Ha3

Regin de rechazo de Ho3

Las reglas de decisin en los dos primeros casos son iguales a la. planteada

anteriormente, en el tercer caso puede ser igual o plantearse en los trminos

siguientes:

Si a/2 > /2 entonces se rechaza H03.


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PRUEBA

ESTADSTICA

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