Pemrograman dan Metode Numerik (FISB-MFF1024)

Dosen pengampu : Dr. Iman Santoso e-mail: iman.santoso@ugm.ac.id fis2iman@yahoo.com

REFERENSI : 1.Press et.al, Numerical Recipes, Cambridge

University of Press (1992). 2.Numerical Recipes online : www.nr.com 3.Steven E. Koonin, Computational Physics,

Addison-Wesley (1986) 4.Tao Pang,An introduction to computational

physics, Cambridge press (2006) 5.www.fortran.com untuk resource dari fortran

Kontrak Perkuliahan

Kehadiran (?%)

Tugas (?%)

Ujian Midterm (?%)

Ujian Akhir (?%)

Semua materi kuliah akan dicoba diupload di ELISA UGM

Rencana Perkuliahan

16-20 Juni : Minggu tenang 4 Juli: Ujian akhir

20 Mei : Fungsi Hampiran secara numerik : metode interpolasi (Linier, Lagrange, Newton forward, dan backward difference)

27 Mei : libur nasional

3 Juni: (6) Fungsi Hampiran secara numerik : metode interpolasi (Linier, Lagrange, Newton forward, dan backward difference) 10 Juni: (6) Fungsi Hampiran secara numerik : metode interpolasi (Linier, Lagrange, Newton forward, dan backward difference)

Rencana Perkuliahan

17 Mei : Review materi perkuliahan ke (5)

24 Mei : Review materi perkuliahan ke (6) 31 Mei : (7) Penyelesaian persamaan diferensial biasa (PDB) : Metode Euler dan Metode Runge Kutta (tugas/belajar mandiri)

10 Mei : (6) Fungsi Hampiran secara numerik : metode interpolasi (Langrange, Newton forward, dan backward difference) (tugas/belajar mandiri)

7 Juni : Review materi perkuliahan (7) + penyelesaian PDB dengan metode shooting

10-14 Juni : Minggu tenang 17-28 Juni : Ujian akhir

(4) Integral secara numerik

Integral suatu fungsi : - Proses untuk mengevaluasi area atau luas daerah yang dilingkupi oleh suatu fungsi f(x) dalam interval nilai tertentu. - Antiturunan

a

f(x)

b

f(a) f(b)

𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎

x

(4) Integral secara numerik

Integral numerik : 1. Metode Trapesium : pendekatan polinomial order pertama 2. Metode Simpson : pendekatan polinomial order kedua 3. Metode Gauss Quadrature : pendekatan sebarang polinomial dengan menggunakan faktor bobot W

Strategi :

(1). Diskretisasi variable :

x=a b ℎ =𝑏−𝑎

𝑁=interval

(2). Menkonstruksi formula rekursi :

Relasi 𝑦𝑛 dengan 𝑦𝑛+1,𝑦𝑛−1, 𝑦𝑛−2,…

𝑦𝑛 = y 𝑥 = 𝑛ℎ 8

(4) Integral secara numerik

9

(4) Integral secara numerik

Metode Trapesium :

f(x)

x0=a x1=x0 +h=b

x

f(xo)

h

- Pendekatan linear (order pertama) dua titik f(xo+h)

- Luas daerah yang dilingkupi oleh kurva pendekatan (merah) adalah luas sebuah trapesium :

𝐹 𝑥 ~ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

~ ℎ

2𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 + ℎ

dengan : ℎ = 𝑏 − 𝑎

10

(4) Integral secara numerik

Metode Trapesium :

f(x)

x0 X-h=x0 -h =a

x

f(xo)

h

- Pendekatan linear (order pertama) tiga titik f(xo+h)

- Luas daerah yang dilingkupi oleh kurva pendekatan (merah) adalah luas dua buah trapesium :

𝐹 𝑥 ~ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

~ ℎ

2𝑓 𝑥−ℎ + 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥ℎ

dengan : ℎ = (𝑏 − 𝑎)/2

xh=x0+h =b

h

11

(4) Integral secara numerik

Metode Trapesium :

𝐹 𝑥 ~ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑛−1

𝑖=0

~ℎ

2 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖+1

𝑛−1

𝑖=0

dengan : ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖

xi=x0 =a

x

f(xo)

h

f(x) f(xo+nh)

xi+1=x0+ih xn=x0+nh =b

x

12

x-4=-4h x-3=-3h x0=0 x-h=-h

x-2h=-2h xh=h x2h=2h x3h=3h x4h=4h

f0 f1 f2 f3 f4 f-2 f-1 f-3 f-4

𝑓𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 ; 𝑥 = 𝑛ℎ (7)

𝑛 = 0,±1,±2,…

(4) Integral secara numerik

Metode Trapesium : penurunan dengan menggunakan deret Taylor order pertama

13

Ekspansi pers.(7) dgn menggunakan deret Taylor di sekitar x=0 :

𝑓 𝑥 = 𝑓0 +𝑥

1!𝑓′ +𝑥2

2!𝑓′′ +𝑥3

3!𝑓′′′ +⋯ , 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (8)

Stop ekspansi sampai suku order pertama

𝑓 𝑥 ~𝑓0 +𝑥

1!𝑓′ + 𝒪 ℎ2 , (9)

𝐹 𝑥 ~ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑛−1

𝑖=0

~ℎ

2 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖+1

𝑛−1

𝑖=0

turunan secara numerik :

𝑓′ =𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖+1

ℎ

(4) Integral secara numerik

Error (ralat)

14

(4) Integral secara numerik

Metode Simpson 1/3 :

f(x)

x0 X-h=x0 -h =a

x

h

- Pendekatan polinomial order kedua, tiga titik, fungsi parabolik:

𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

f(xo+h)

𝑭 𝒙 ~ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒃

𝒂

xh=x0+h =b

h

f(xo-h)

f(x)

f(x0)

Q : a,b dan c ?

Bentuk eksplisit f(x) dapat diketahui Jika a,b dan c diketahui

15

(4) Integral secara numerik

Metode Simpson 1/3 :

- Diketahui : Untuk 𝑥−ℎ = 𝑥0 −ℎ maka 𝑓 𝑥0 − ℎ = 𝑦0 = a(𝑥0 − ℎ)

2+𝑏 𝑥0 − ℎ + c , (10)

- Dengan cara yang sama akan diperoleh : 𝑓 𝑥0 = 𝑦1 = a(𝑥0)

2+𝑏 𝑥0 + c , (11) 𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑦2 = a(𝑥0 + ℎ)

2+𝑏 𝑥0 + ℎ + c , (12)

- Dari pers.(10),(11) dan (12) akan diperoleh :

𝒂 =𝒚𝟎 − 𝟐𝒚𝟏 + 𝒚𝟐𝟐𝒉𝟐

𝒃 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟎𝟐𝒉

𝒄 = 𝒚𝟏

16

(4) Integral secara numerik

Metode Simpson 1/3 : cara mendapatkan a, b dan c

𝑦1 = a(𝑥0)2+𝑏 𝑥0 + c 𝑦1−𝑐 = a(𝑥0)

2+𝑏 𝑥0

𝑦0 + 𝑦2 = a𝑥0 −2a𝑥0 + 𝑎ℎ2 +𝑎𝑥0 + 2𝑎𝑥0 + aℎ

2 + 𝑏𝑥0 − 𝑏ℎ + 𝑏𝑥0 + 𝑏ℎ + 2c = 2 a𝑥0 + b𝑥0 +2aℎ2 + 2c = 2𝑦1 + 2𝑎ℎ

2

Hence 𝑎 =𝑦0−2𝑦1+𝑦2

2ℎ2

2 2

2

𝑦1 − 𝑦0 = 2a𝑥0ℎ − 𝑎ℎ2 − 𝑏ℎ

𝑦1 − 𝑦2 = −2a𝑥0ℎ − 𝑎ℎ2 − 𝑏ℎ

𝑦2 − 𝑦0 = 2𝑏ℎ

Hence 𝑏 =𝑦2−𝑦0

2ℎ

𝑦1 − a 𝑥02 − 𝑏 𝑥0 = c 𝑐 = 𝑦1

17

(4) Integral secara numerik

Metode Simpson 1/3 : - Substitutsi pers.(13) ke : 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

𝑭 𝒙 ~ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙~ − 𝒉𝒂𝒙𝟑

𝟑+𝒃𝒙𝟐

𝟐+ 𝒄𝒙

𝒉𝒉

−𝒉

-𝒉

𝑭 𝒙 ~𝒉

𝟑𝒚𝟎 + 𝟒𝒚𝟏 + 𝒚𝟐

18

(4) Integral secara numerik

Metode Simpson 1/3 :

𝐹 𝑥 ~ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑛−1

𝑖=0

~ℎ

3 𝑓 𝑥2𝑖 + 4𝑓 𝑥2𝑖+1 + 4𝑓 𝑥2𝑖+2

(𝑛 2 )−1

𝑖=0

dengan : ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖

xi=x0 =a

x

f(xo)

h

f(x) f(xo+nh)

xi+1=x0+ih xn=x0+nh =b

x