-
Materi 2
Pemodelan Sistem Kontrol ( PD &Transformasi Laplace)
Re. SK
Widjonarko, ST. MT.
Jurusan Teknik Elektro FT- UNEJ
Email : [email protected]
*
-
Definisi
Adalah bentuk sajian hubungan antar variabel yang menyusun
sistem/plant dalam bentuk formulasi matematis atau dalam bentuk
graph/diagram atau lainnya.Variabel Sistem Variabel input u(t)
Variabel output y(t) Variabel state x(t) Variabel noise/gangguan
(t)
*
-
Adalah variabel yang menggambarkan semua kondisi state
sistem
Sistem
u(t)
y(t)
(t)
x(t)
Variabel State
*
- Dalam bentuk PD Dalam bentuk Transfer Function Dalam bentuk
Persamaan State Dalam bentuk Blok Diagram Dalam bentuk Signal Flow
Graph dll
Pemodelan Matematik Sistem Kontinyu
*
-
Transformasi Laplace
Teorema transformasi Laplace
Ekspansi pecahan parsial: Review
- Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik
suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana
responsenya akan bergantung pada masukannyaSolusi dari persamaan
differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua
kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari
kondisi awal).Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang
digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial.
- Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial
(dalam domain t) kedalam persamaan aljabar dalam domain s. dimana F
(s) adalah simbol untuk Transformasi Laplace, L adalah Transformasi
Laplace operator, dan f (t) adalah beberapa fungsi waktu t.
Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana
untuk menghasilkan solusi dalam domain s.Solusi dalam domain t
dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse transformasi
Laplace
-
Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t)
Inverse Transformasi Laplace
Fungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval waktu
yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace tidak dapat
digunakan.
- LinieritasDifferensiasiIntegrasiNilai awalNilai akhirPergeseran
waktu
-
Diberikan persamaan differensial sbb:
Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1
dan y(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:
Fungsi unit step dari tabel transformasi Laplace
Menggunakan teorema differensiasi transformasi Laplace
Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers transformasi
Laplace
-
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi
penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
Ekpansi dalam pecahan parsial,
Dimana A, B dan C adalah koefisien
-
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel),
persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi
Dengan t0
-
1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan
transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.
2.Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan
untuk mendapatkan variabel outputnya.
3.Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar
pada langkah 2.
4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi
Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t.
- Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t)
lazimnya diberikan dalam bentuk:Bentuk ekspansi pecahan parsial
dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya
(denumerator).Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar
real dan tidak sama
N(s) adalah numerator (pembilang) dalam s, D(s) denumerator
(penyebut) dalam s
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam
bentuk:
Ki (i=1,,N) adalah konstanta yang harus dicari
- Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam
bentuk:
Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:
Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan
complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:
Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat
dalam s
- Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama
dan kompleks
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam
bentuk:
-
Contoh Soal 1 :
-
Contoh Soal 2 :
-
Contoh Soal 3 :
-
*
-
Tugas 1:
Tugas 2:
Tugas 3:
Tugas 4:
Untuk Q(s) orde 1
*
-
Tugas 1:
Tugas 2:
Tugas 3:
Untuk Q(s) orde 2
*
(
)
(
)
{
}
s
F
L
t
f
1
-
=
(
)
(
)
{
}
(
)
-
=
=
0
dt
e
t
f
t
f
L
s
F
st
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
s
F
s
F
t
f
t
f
L
s
aF
t
af
L
2
1
2
1
+
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dt
df
f
s
F
s
dt
t
f
d
L
f
s
sF
dt
t
df
L
0
0
0
2
2
2
-
-
=
-
=
(
)
{
}
(
)
(
)
dt
s
f
s
s
F
dt
t
f
L
+
=
0
(
)
(
)
s
sF
t
f
s
t
=
lim
lim
0
(
)
(
)
s
sF
t
f
s
t
0
lim
lim
=
(
)
{
}
(
)
s
F
e
t
f
L
s
t
t
-
=
-
(
)
(
)
(
)
s
s
Y
y
s
sY
y
sy
s
Y
s
1
5
)
(
2
)
0
(
3
3
)
0
(
0
2
=
+
-
+
-
-
(
)
(
)
(
)
(
)
t
f
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
5
2
3
2
2
=
+
+
(
)
(
)
)
2
3
(
5
)
(
5
)
(
)
2
3
(
5
)
(
2
3
3
2
2
2
2
2
2
+
+
+
-
-
=
+
-
-
=
+
+
=
+
+
+
-
+
s
s
s
s
s
s
Y
s
s
s
Y
s
s
s
s
s
Y
s
sY
s
s
Y
s
)
2
)(
1
(
5
)
2
3
(
5
)
(
2
2
2
+
+
+
-
-
=
+
+
+
-
-
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Y
2
3
)
1
(
5
)]
(
)
2
[(
5
)
2
(
5
)]
(
)
1
[(
2
5
)
2
)(
1
(
5
)]
(
[
2
2
2
1
2
0
=
+
+
-
-
=
+
=
-
=
+
+
-
-
=
+
=
=
+
+
+
-
-
=
=
-
=
-
=
=
s
s
s
s
s
Y
s
C
s
s
s
s
s
Y
s
B
s
s
s
s
s
sY
A
s
s
s
)
2
)(
1
(
5
)
2
(
)
1
(
)
(
2
+
+
+
-
-
=
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
C
s
B
s
A
s
Y
)
2
(
2
3
)
1
(
5
2
5
)
(
+
+
+
-
=
s
s
s
s
Y
t
t
e
e
t
y
2
2
3
5
2
5
)
(
-
-
+
-
=
)
(
)
(
)
(
s
D
s
N
s
F
=
)
)...(
)(
(
)
(
)
(
2
1
N
s
s
s
s
s
s
s
N
s
F
+
+
+
=
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
N
N
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
F
+
+
+
+
+
+
=
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)
(
)]
(
)
[(
1
1
2
1
N
i
i
i
i
i
i
i
i
s
s
i
i
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
N
s
F
s
s
K
i
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
=
+
=
+
-
-
=
M
n
n
n
n
n
n
s
s
s
s
s
s
s
N
s
F
)
2
...(
)
2
(
)
2
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
1
2
2
w
zw
w
zw
w
zw
+
+
+
+
+
+
=
M
n
n
M
M
n
n
n
n
s
s
B
s
A
s
s
B
s
A
s
s
B
s
A
s
F
)
2
(
...
)
2
(
)
2
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
w
zw
w
zw
w
zw
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
M
n
n
n
n
n
n
N
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
N
s
F
)
2
...(
)
2
(
)
2
)(
)...(
)(
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
w
zw
w
zw
w
zw
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
M
n
n
M
M
n
n
n
n
N
N
s
s
B
s
A
s
s
B
s
A
s
s
B
s
A
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
F
)
2
(
...
)
2
(
)
2
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
w
zw
w
zw
w
zw
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
0
2
)
(
3
2
2
1
)
(
2
1
3
)
2
)(
1
(
4
2
2
)
3
)(
1
(
4
2
3
1
)
3
)(
2
(
4
3
2
1
)
(
)
3
)(
2
)(
1
(
4
)
(
3
2
1
2
2
3
2
1
2
3
3
2
1
3
2
1
>
+
-
=
+
+
+
-
+
=
=
-
=
+
+
+
=
-
=
-
=
+
+
+
=
=
-
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
-
-
-
t
e
e
e
t
x
s
s
s
s
X
s
s
s
s
A
s
s
s
s
A
s
s
s
s
A
s
A
s
A
s
A
s
X
s
s
s
s
s
X
t
t
t
1
2
1
2
1
)
2
2
(
2
)
2
(
)
(
)
(
)
2
2
(
)
(
)
2
2
(
)
(
2
2
)
(
)
2
2
(
1
)
(
3
2
1
2
1
3
1
2
2
1
2
3
2
2
1
2
3
2
1
2
-
=
-
=
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=
A
A
A
s
s
s
A
s
A
A
s
A
A
s
X
s
s
s
A
s
A
s
s
s
A
s
X
s
s
A
s
A
s
A
s
X
s
s
s
s
X
0
)
(
)
(
)
(
1
)
1
(
1
2
1
1
)
1
(
1
2
1
)
(
1
)
1
(
2
2
1
)
(
2
2
1
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
>
-
-
=
+
+
-
+
+
+
-
=
+
+
+
-
=
+
+
+
-
=
-
-
t
t
Sin
e
t
Cos
e
t
x
s
s
s
s
s
X
s
s
s
s
X
s
s
s
s
s
X
t
t
0
2
)
(
)
2
(
2
2
1
1
1
)
(
2
2
1
)!
2
2
(
1
1
2
)
1
(
1
2
1
)!
1
2
(
1
1
1
)
2
(
)
2
(
2
1
)
(
)
2
)(
1
(
)
(
2
2
2
12
2
11
2
1
2
12
11
1
2
>
+
+
-
=
+
+
+
+
+
-
=
=
-
=
+
-
=
=
-
=
+
=
-
=
+
-
=
-
=
-
=
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
=
-
-
-
t
te
e
e
t
x
s
s
s
s
X
s
s
s
A
s
s
s
s
s
ds
d
A
s
s
s
A
s
A
s
A
s
A
s
X
s
s
s
s
X
t
t
t
