Transformasi laplace1

1

Transformasi Laplace

dteetxX

realetxtx

tjt

t

.

;.

1

1

jX

dtetx tj

).(

jX

j

j

tj

tj

deXtx

dtetxX

).(2

1)(

).()(

Alihragam Laplace dan Konvergensinya

Pasangan alihragam Fourier

sering juga dinotasikan dengan

X

2


• X(s) = ζ[x(t)]• x(t) = ζ-1[X(s)]

js

dsesXj

tx

dtetxsX

j

j

st

st

).(2

1)(

).()(0

js

3


x(t) X(s) ROC

δ(t) 1 Semua s

u(t) Re(s)>0

tn u(t)Re(s)>0

e-at u(t) Re(s)+Re(a)>0

u(t) Cos ω0tRe(s)>0

u(t) Sin ω0tRe(s)>0

s1

1

!ns

n

as 1

20

2 s

s

20

20

s

4

Sifat-sifat Transformasi Laplace

Sifat x(t) X(s)

Kelinearan a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y(s)

Penskalaan x(at)

Geseran waktu x(t-a) e-sa X(s)

Geseran frekuensi e-at x(t) X(s+a)

Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)

a

sX

a

1

5


Sifat x(t) X(s)

Konvolusi frekuensi (modulasi)

x(t) y(t)

Diferensiasi frekuensi

(-t)n x(t)

Diferensiasi waktu

Untuk TL dua sisi

)(*)(2

1sYsX

j

)(sXds

dn

n

1

0

)()0(

1)(n

k

kknn xssXs)(txdt

dn

n

)(sXsn

6


Sifat x(t) X(s)

Integrasi waktu

Teorema nilai awal

Teorema nilai akhir

7

Contoh

1.

1

1

( ) .

( )

t

t st

x t e u t

X s e u t e dt

0

0)1.

1,Re( )

t st

s t

e e dt

es

ss

8

Contoh

2.

2

2

( ) .

( )

t

t st

x t e u t

x s e u t e dt

0

0

1.

1,Re( )

t st

s t

e e dt

es

ss

9


Sifat x(t) X(s)

Kelinearan a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y(s)

Penskalaan x(at)

Geseran waktu x(t-a) e-sa X(s)

Geseran frekuensi e-at x(t) X(s+a)

Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)

a

sX

a

1

10


Sifat x(t) X(s)

Konvolusi frekuensi (modulasi)

x(t) y(t)

Diferensiasi frekuensi

(-t)n x(t)

Diferensiasi waktu

Untuk TL dua sisi

)(*)(2

1sYsX

j

)(sXds

dn

n

)(txdt

dn

n

1

0

)()0(

1)(n

k

kknn xssXs

)(sXsn

11


Sifat x(t) X(s)

Integrasi waktu

Teorema nilai awal

Teorema nilai akhir

0

)( dttxs

sX )(

dttx )(

0

)(1)(

dttxss

sX

)(lim0

txt

)(lim ssXs

)(lim0

ssXs

)(lim txt

12

Contoh

2

2

22

22

. .sin 3 ( ) ( ) ?

3sin 3 ( )

93

sin 32 9

3. sin 3 ( )

2 9

t

t

t

x t t e t u t X s

t u ts

e t u ts

dt e t u t

ds s

Lihat tabel

Sifat 4

22

6 2

2 9

sX s

s

Sifat 7

13

Contoh

2 1 1 ( ) 2x t t u t u t u t u t

2 1 1 2 . 2 2

2 1 1 2 . 2

t u t t u t u t u t u t

t u t t u t u t u t

2 1 1 2 2x t t u t tu t u t u t

X s 2

2 se

s 2

2

s

1

s

2se

s

-1 2

2

14

( ) ( ).

1( ) ( ).

2

st

jst

j

X s x t e dt

x t X s e dsj

Teknik penemuan 1x t X s

Re

. st

sidu

x t X s edisemua

kutub

Invers Alih ragam Laplace

15

Contoh

1.

2.

1 2

2

1Re , 0

2 2

stt

s

es e t

s s

1

2 2 21 2

1Re Re

1 2 1 2 1 2

st st

s s

e es s

s s s s s s

1 2

2

2

2 2

2 1

1 .

1

. , 0

st st

s s

st stt

s

t t t

e d e

s ds s

s t e ee

s

e t e e t

16

Pecahan Parsial X(s)

• Derajat P(s) < derajat Q(s)

)(

)()(

sQ

sPsX

• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan penyebutnya berbentuk polinomial

17

Pecahan Parsial X(s)• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama

nk

sXpsA

ps

A

ps

A

ps

AsX

pspsps

sPsX

kps

k

n

n

n

k

,...2,1

)().(lim

)(...

)()()(

))...()((

)()(

2

2

1

1

21

tpn

tptp neAeAeAtx ...)( 2121

x(t) menjadi :

18

Pecahan Parsial X(s)• Jika pi = pk

*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus

19

Pecahan Parsial X(s)• Q(s) mempunyai akar rangkap

kk

k

ps

rk

pslr

lr

kl

kps

k

n

n

rr

nr

sXpsds

d

lrA

sXpsA

ps

A

ps

A

ps

A

ps

A

ps

AsX

pspsps

sPsX

)(.)(lim)!(

1

)().(lim

)(...

)(

)(...

)()()(

))...(()(

)()(

2

2

1

12

1

12

1

11

21

20


• Contoh soal

0

2)(

32

2

1)(

2

1

3)2)(1(

4

22)3)(1(

4

2

3

1)3)(2(

4

321)(

)3)(2)(1(

4)(

3212

23

21

23

3

2

1

321

t

eeetx

ssssX

sss

sA

sss

sA

sss

sA

s

A

s

A

s

AsX

sss

ssX

ttt

21


• Contoh soal

12

12

1

)22(

2)2()()(

)22(

)()22()(

22)(

)22(

1)(

3

2

1

2131

221

232

21

2321

2

A

A

A

sss

AsAAsAAsX

sss

AsAsssAsX

ss

AsA

s

AsX

ssssX

22


0

)()()(

1)1(

1

2

1

1)1(

1

2

1)(

1)1(

2

2

1)(

22

1)(

21

21

21

22222

1

222

1

221

21

t

tSinetCosetx

ss

s

ssX

s

s

ssX

ss

s

ssX

tt

23


0

2)(

)2(

2

2

1

1

1)(

221)!22(

1

12)1(

1

21)!12(

1

11)2(

)2(21)(

)2)(1()(

22

2

12

211

21

212111

2

t

teeetx

ssssX

ss

sA

ssss

s

ds

dA

ss

sA

s

A

s

A

s

AsX

ss

ssX

ttt

24

Sistem LTI dengan penyelesaian Pers Diferensial koefisien konstan

• Sistem mempunyai hubungan

Sistem Sistem LTILTI

Sistem Sistem LTILTI

x(t) y(t)

j

jm

jj

n

ii

i

i

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

dt

xdb

dt

yda

atau

bdt

dxb

dt

xdb

dt

xdb

adt

dya

dt

yda

dt

yda

00

011

1

1

011

1

1

...

...

25

Sistem LTI dengan Pers Diferensial

• Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui

1. x(t) untuk t>0

2. y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-)

3. x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)

Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.

26


21)0(

1)0(

0,)(

3107

y

y

tetx

dengan

xxyyy

t

27

.

2

0

2 12

2 12

2

( ) (0 ) (0 ) 7 ( ) (0 ) 10 ( ) ( ) (0 ) 3 ( )

(0 ) 1, (0 ) 0

( ) 7 ( ) 1 10 ( ) ( ) 3 ( )

7 10 ( ) 7 3 ( )

7 10 ( )

s Y s sy y sY s y Y s sX s x X s

walaupun x e x karena belum ada masukan

s Y s s sY s Y s sX s X s

s s Y s s s X s

s s Y s

12

( 3) 15( 1) 2

2

152

2 2

152

51 1 1 112 3 6 6 6

21 12 3

17 3

1

( )7 10

( 3)( )

( 1)( 7 10) ( 7 10)

( 3)( )

( 1)( 2)( 5) ( 2)( 5)

( )( 1) ( 2) ( 5) ( 2) ( 5)

( )

ss

t t

s ss

sY s

s sss

Y ss s s s s

ssY s

s s s s s

Y ss s s s s

y t e e

5 2 551 11

6 6 6t t te e e

Spiritual

Transformasi laplace1