PDF RLM Casa RF 2016

7/25/2019 PDF RLM Casa RF 2016

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Analista Tributrio

Raciocnio Lgico-Quantitativo

Prof. Edgar Abreu


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www.acasadoconcurseiro.com.br


Professor Edgar Abreu


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EDITAL DA LTIMA PROVA

RACIOCNIO LGICO-QUANTITATIVO: 1. Estruturas Lgicas. 2. Lgica de Argumentao. 3.Diagramas Lgicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes e Determinantes 6. lgebra elementar. 7.Probabilidade e Estatstica Descritiva. 8. Geometria Bsica. 9. Juros Simples e Compostos,Taxas de Juros e Desconto. 10. Compreenso e elaborao da lgica das situaes por meio

de: raciocnio matemtico (que envolvam, entre outros, conjuntos numricos racionais ereais operaes, propriedades, problemas envolvendo as quatro operaes nas formasfracionria e decimal; conjuntos numricos complexos; nmeros e grandezas proporcionais;razo e proporo; diviso proporcional; regra de trs simples e composta; porcentagem);raciocnio sequencial; orientao espacial e temporal; formao de conceitos; discriminao deelementos.

Banca Organizadora:ESAF

Previso de questes:3 a 5 questes

Representatividade:Aproximado 5% da prova de conhecimento Geral.

Os demais assuntos que no esto em destaque, sero lecionados pelo professor Dudan.


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SUMRIO

PROPOSIO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

NEGAO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

CONECTIVOS LGICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

CONJUNO "E". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

DISJUNO "OU" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

DISJUNO EXCLUSIVA "OU...OU" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

CONDICIONAL "SE......ENTO......" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

BICONDICIONAL ".....SE SOMENTE SE......" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

TAUTOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

CONTRADIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22CONTRAPOSITIVA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

EQUIVALNCIA BICONDICIONAL E CONDICIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

NEGAO DE UMA DISJUNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

NEGAO DE UMA CONJUNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

NEGAO DE UMA CONDICIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

NEGAO DE UMA BICONDICIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

QUANTIFICADORES LGICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ALGUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

NENHUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

TODO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

SILOGISMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

MATEMTICA FINANCEIRA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

TAXA PROPORCIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TAXA EQUIVALENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


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CAPITALIZAO SIMPLES X CAPITALIZAO COMPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

JUROS SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

JUROS COMPOSTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

DESCONTO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

COMO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

DESCONTO RACIONAL SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

DESCONTO COMPOSTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

DESCONTO RACIONAL SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

QUESTES ESAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


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PROPOSIO SIMPLES

Um argumento uma sequncia de proposiesna qual uma delas a concluso e as demaisso premissas. As premissas justificam a concluso.

Proposio:Toda frase que voc consiga atribuir um valor lgico proposio, ou seja, frasesque podem ser verdadeiras ou falsas.

Exemplos:

1) Ed feliz.

2) Joo estuda.

3) Zambeli desdentado.

No so proposies frases onde voc noconsegue julgar, se verdadeira ou falsa, porexemplo:

1) Vai estudar?2) Mas que legal!

Ento, o que no seriauma proposio?

Sentena:Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico.

Frases interrogavas, no imperavo, exclamavas e com sujeito

indeterminado, no so proposies.

Sentenas Abertas:So sentenas nas quais no podemos determinar o sujeito. Uma formasimples de identific-las o fato de que no podem ser nem Verdadeiras ou Falsas. Essassentenas tambm no so proposies.

Aquele cantor famoso.


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A + B + C = 60.

Ela viajou.

QUESTO COMENTADA

(CESPE: Banco do Brasil 2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, hexatamente trs proposies.

I. A frase dentro destas aspas uma mentira.

II. A expresso X + Y positiva.

III. O valor de 4+3=7

IV. Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

V. O que isto?

Soluo:

Item I:No possvel atribuir um nico valor lgico para esta sentena, j que seconsiderar que verdadeiro, teremos uma resposta falsa (mentira) e vice-versa.Logo no proposio.

Item II: Como se trata de uma sentena aberta, onde no esto definidos os

valores de X e Y, logo tambm no proposio.

Item III: Como a expresso matemtica no contm varivel, logo umaproposio, conseguimos atribuir um valor lgico, que neste caso seria falso.

Item IV: Uma simples proposio, j que conseguimos atribuir um nico valorlgico.

Item V: Como trata-se de uma interrogativa, logo no possvel atribuir valorlgico, assim no proposio.

Concluso:Errado, pois existem apenas 2 proposies, Item III e IV.


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Receita Federal (Analista) Raciocnio Lgico-Quantitativo Prof. Edgar Abreu


NEGAO SIMPLES

1) der Feio.Como negamos essa frase?

H... der bonito.

Para quem, tambm disse: der bonito, errou. Negar uma proposio no significa dizer ooposto, mas sim escrever todos os casos possveis diferentes do que est sugerido.

der NO feio.

A negao de uma proposio uma nova proposio que verdadeira se a primeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira.

PARA GABARITAR

Para negar uma sentena acrescentamos o no, sem mudar a estrutura da frase.

2) Maria Rita no louca.

Negao: Maria Rita louca.

Para negar uma negao exclumos o no.

Simbologia:Assim como na matemtica representamos valores desconhecidos por x, y, z... Na

lgica tambm simbolizamos frases por letras. Exemplo:

der Feio.

Z

Proposio: Z

Para simbolizar a negao usaremos ou .

Negao: der no feio.Simbologia: Z.


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Maria Rita no louca.

A

Proposio: A

Negao: Aline louca.

Simbologia: ( A)= A

p= Thiago Machado gosta de matemtica.

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

Caso eu queira negar que Thiago Machado no gosta de matemtica a frase voltaria para aproposio p, Thiago Machado gosta de matemtica.

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

~(~p) = No verdade que Thiago Machado no gosta de matemtica.ou

~(~p) = Thiago Machado gosta de matemtica.

EXCEES

Cuidado, em casos que s existirem duas possibilidades, se aceita como negao ocontrrio, alterando assim a proposio inicial. Exemplo:

p: Joo ser aprovadono concurso.~p: Joo ser reprovadono concurso.

q: O deputado foi julgado como inocenteno esquema lava-jato.

~q: O deputado foi julgado como culpadono esquema lava jato

Isso mesmo, negao de umanegao uma afirmao!


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CONECTIVOS LGICOS

Um conectivo lgico (tambm chamado de operador lgico) um smbolo ou palavra usado para

conectar duas ou mais sentenas (tanto na linguagem formal quanto na linguagem natural) deuma maneira gramaticalmente vlida, de modo que o sentido da sentena composta produzidadependa apenas das sentenas originais.

Muitas das proposies que encontramos na prtica podem ser consideradas como construdasa partir de uma, ou mais, proposies mais simples por utilizao de uns instrumentos lgicos,a que se costuma dar o nome de conectivos, de tal modo que o valor de verdade da proposioinicial fica determinado pelos valores de verdade da, ou das, proposies mais simples quecontriburam para a sua formao.

Os principais conectivos lgicos so:

I. "e" (conjuno)

II. "ou" (disjuno)

III. "se...ento" (implicao)

IV. "se e somente se" (equivalncia)

CONJUNO E

Proposies compostas ligadas entre si pelo conectivo e.

Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por .

Exemplo:

Chove efaz frio.

Tabela verdade: Tabela verdade uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas

possibilidades, o que aconteceria se cada caso acontecesse.

Exemplo:

Fui aprovado no concurso da PF eSerei aprovado no concurso da PRF.

Proposio 1:Fui aprovado no concurso da PF.

Proposio 2: Serei aprovado no concurso da PRF.

Conetivo: e

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de ^.

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p^q


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Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p:Nofui aprovado no concurso da PF.q: Serei aprovado no concurso da PRF.

H2:

p: Fui aprovado no concurso da PF.

q: Noserei aprovado no concurso da PRF.

H3:

p: Nofui aprovado no concurso da PF.

q:Noserei aprovado no concurso da PRF.

H4:

p: Fui aprovado no concurso da PF.

q: Serei aprovado no concurso da PRF

Tabela Verdade: Aqui vamos analisar o resultado da sentena como um todo, considerandocada uma das hipteses acima.

p q P ^ Q

H1 F V F

H2 V F F

H3 F F F

H4 V V V

Concluso:


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DISJUNO OU

Recebe o nome de disjuno toda a proposio composta em que as partes estejam unidas

pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

Exemplo:

Estudo para o concurso ouassisto o Big Brother.

Proposio 1:Estudo para o concurso.

Proposio 2:assisto o Big Brother.

Conetivo:ou

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de v.

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v q


H1:

p: Estudo para o concurso .

q: assisto o Futebol.

H2:

p: NoEstudo para o concurso .q: assisto o Futebol.

H3:

p: Estudo para o concurso .

q: Noassisto o Futebol.

H4:

p: NoEstudo para o concurso.

q: Noassisto o Futebol.

Tabela Verdade:

p q P v Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 V F VH4 F F F


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DISJUNO EXCLUSIVA OU....OU

Recebe o nome de disjuno exclusivatoda a proposio composta em que as partes estejamunidas pelo conectivo ouprimeira proposio ou segunda proposio. Simbolicamente,representaremos esse conectivo por v.

Exemplo:

Ouvou praia ouestudo para o concurso.

Proposio 1:Vou Praia.

Proposio 2:estudo para o concurso.

Conetivo:ou

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de V

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p V q


H1:p: Vou praia.

q: estudo para o concurso Brasil.

H2:

p: NoVou a praia

q: estudo para o concurso Brasil.

H3:

p: Vou praia.


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q: Noestudo para o concurso Brasil..

H4:

p: NoVou praia.q: Noestudo para o concurso Brasil.

Tabela Verdade:

p q P v Q

H1 V V F

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F

CONDICIONAL SE......ENTO......

Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidaspelo conectivo Se... ento, simbolicamente representaremos esse conectivo por .

Em alguns casos o condicional apresentado com uma vrgula substituindo a palavra ento,ficando a sentena com a seguinte caracterstica: Seproposio 1,proposio 2.

Exemplo: Seestudo,entosou aprovado.

Proposio 1: estudo (Condio Suficiente)

Proposio 2:sou aprovado (Condio Necessria)

Conetivo:se.. ento

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de


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Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

Agora vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:p: estudo.

q: sou aprovado.

H2:

p: Noestudo.

q: sou aprovado.

H3:

p: Noestudo.

q: Nosou aprovado.

H4:

p: estudo.

q: Nosou aprovado.

p q P Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 F F V

H4 V F F

A tabela verdade do condicional a mais cobrada em provas de concurso pblico.

A primeira proposio, que compe uma condicional, chamamos de condio suficiente dasentena e a segunda a condio necessria.

No exemplo anterior temos:

Estudo condio necessriapara ser aprovado.

Ser aprovado condio suficientepara estudar.

Para detonar uma prova de Raciocnio Lgicoem um concurso pblico, voc precisasaber que, uma condicional s ser falsase a primeira proposio for verdadeira e a

segunda falsa.


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BICONDICIONAL .....SE SOMENTE SE......

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas

pelo conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por .Portanto, se temos a sentena:

Exemplo:Maria compra o sapato se e somente seo sapato combina com a bolsa.

Proposio 1:Maria compra o sapato.

Proposio 2:O sapato combina com a bolsa.

Conetivo: se e somente se.


Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: pq


H1:

p: Maria compra o sapato.

q: O sapato nocombina com a bolsa.

H2:

p: Maria nocompra o sapato.

q: O sapato combina com a bolsa.

H3:

p: Maria compra o sapato.

q: O sapato combina com a bolsa.

H4:

p: Maria nocompra o sapato.

q: O sapato nocombina com a bolsa.

p q P Q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V


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Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemosduas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda,conforme exemplo abaixo:

p q (p q) (q p)

Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por umaconjuno. Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

PARA GABARITAR

SENTENA LGICA VERDADEIRO SE... FALSO SE..

p q p e q so, ambos, verdade um dos doisfor falso

p q um dos doisfor verdade ambos, so falsos

p qnos demais casos que no

for falsop= V e q= F

p qp e q tiverem valores lgicos

iguaisp e q tiverem valores lgicos

diferentes

TAUTOLOGIA

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita umaTautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos dasproposies p, q, r, ... que a compem.

Exemplo:

Grmio cai para segunda diviso ouo Grmio nocai para segunda diviso.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de V.

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p V ~p

Agora vamos construir as hipteses:

O bicondicional s ser verdadeiro quando ambas

as proposies possurem o mesmo valor lgico,ou quando as duas forem verdadeiras ou as duasproposies forem falsas.


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H1:

p: Grmio cai para segunda diviso.

~p: Grmio nocai para segunda diviso.H2:

p: Grmio nocai para segunda diviso.

~p: Grmio cai para segunda diviso.

p ~p p v ~p

H1 V F V

H2 F V V

Como os valores lgicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA!

Exemplo 2, verificamos se a sentena abaixo uma tautologia:

Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.

p = Joo alto.

q = Guilherme gordo. p p q

Agora vamos construir a tabela verdade da sentena acima:

p q p v q p p v q

H1 V F V V

H2 F V V V

H3 F V V V

H4 F F F V

Como para todas as combinaes possveis, sempre o valor lgico da sentena ser verdadeiro,logo temos uma tautologia.

CONTRADIO

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita umacontradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p,q, r, ... que a compem.

Exemplo:Lula o presidente do Brasil eLula no o presidente do Brasil.


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Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^.

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p

p ~p p ^ ~p

H1 V F F

H2 F V F

Logo temos uma CONTRADIO!

PARA GABARITAR

Sempre Verdadeiro= Tautologia

Sempre Falso= Contradio

Verdadeiro e Falso= Contigncia

EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL.

Vamos descobrir qual a sentena equivalente a uma condicional, negando duas vezes a mesma

sentena.Exemplo:Se estudo sozinho ento sou autodidata.

Simbolizando temos:

p = estudo sozinho.

p = sou autodidata.p q

conectivo =

Simbolicamente: p

q

Vamos negar, ~ p q

= p~ q

Agora vamos negar a negao para encontrarmos uma equivalncia.

Negamos a negaoda condicional

Soluo:No estudo sozinho ou sou autodidata.

Mas ser mesmo que estas proposies, p q e ~p v q so mesmo equivalentes? Veremos

atravs da tabela verdade.


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p Q ~p p q ~ p v q

V V F V V

V F F F FF V V V V

F F V V V

Perceba na tabela verdade que pq e ~p v qtem o mesmo valor lgico, assim essas duasproposies so equivalentes.

Exemplo 2:Vamos encontrar uma proposio equivalente a sentena Se sou gremista entono sou feliz.

p = Sou gremista.

q = Sou feliz.

~q = No sou feliz.

p ~ q

Negao: ~ p~ q

= p q

Sou gremista e sou feliz.

Equivalncia:negao da negao.

~ p~ q

= p q

~ p q =~ p ~ q

Logo, No sou gremista ou no sou feliz uma sentena equivalente.

Exemplo 3:Agora procuramos uma sentena equivalente a Canto ou no estudo.

c = Canto.

e = Estudo.

~e = No estudo.

c ~ e

Negao: ~ c ~ e

=~ c e

Equivalncia:Negar a negao: ~ ~ c e

= c ~ e

Voltamos para a mesma proposio, tem algo errado, teremos que buscar alternativa. Vamosl:

Vamos para a regra de equivalncia de uma condicional.

p q ~ p q = , podemos mudar a ordem da igualdade.

~ p q = p q

Veja que o valor lgico de p mudou e q continuou com o mesmo valor lgico.


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Usando a regra acima vamos transformar a proposio inicial composta de uma disjuno emnuma condicional.

c~ e = p q

Para chegar condicional, mudo o valor lgico de p,

Troco ou por se...ento e mantenho o valor lgico de q, ficando:

Se no canto ento no estudo.

Exemplo 4:Estudo ou no sou aprovado. Qual a sentena equivalente?

e = Estudo.

a = Sou aprovado.

~a = No sou aprovado.

e ~ a

Dica: quando for ou a equivalncia sempre ser se...ento.

Assim, temos que transformar ou em se...ento. Mas como?

p q = ~ pq (equivalentes), vamos inverter.

~ p q = p q

Inverte o primeiro e mantm o segundo, trocando ou por se...ento, transferimos isso paranossa proposio.

e ~ a =~ e ~ a

Trocamos e por ~e, mantemos ~a e trocamos "v"por " ".

Logo, Se no estudo ento no sou aprovado.

No podemos esquecer que ou comutativo, assim a opo de resposta pode estar trocada,ento atente nisto, ao invs de pode ser , assim a resposta ficaria:

Se sou aprovado ento estudo.

Quaisquer das respostas estaro certas, ento muita ateno!


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CONTRAPOSITIVA:

Utilizamos como exemplo a sentena abaixo:

Se estudo lgica ento sou aprovado.

p = estudo lgica.

q = sou aprovado.

p q

Vamos primeiro negar esta sentena:

~ (p q) = p~ q

Lembrando da tabela verdade da conjuno e, notamos que a mesma comutativa, ou seja,se alterarmos a ordem das premissas o valor lgico da sentena no ser alterado. Assim vamosreescrever a sentena encontrada na negao, alterando o valor lgico das proposies.

p~ q = ~ q p

Agora vamos negar mais uma vez para encontrar uma equivalncia da primeira proposio.

~ ( ~ q p) q~ p

Agora vamos utilizar a regra de equivalncia que aprendemos anteriormente.

Regra:p q~ p q

Em nosso exemplo temos :

q ~ p ~ q ~ p

Logo encontramos uma outra equivalncia para a nossa sentena inicial.

Esta outra equivalncia chamamos de contrapositiva e muito fcil de encontrar, bastacomutar as proposies (trocar a ordem) e negar ambas.

p q =~ q~ p

Exemplo 2: Encontrar a contrapositiva (equivalente) da proposio Se estudo muito entominha cabea di

p = estudo muito.

q = minha cabea di.

p q

Encontramos a contrapositiva, invertendo e negando ambas proposies.

p q =~ q~ p


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Logo temos que: Seminha cabea nodi ento noestudo muito.

PARA GABARITAR

EQUIVALNCIA 1: p q =~ p q

EQUIVALNCIA 2: p q =~ q~ p (contrapositiva)

EQUIVALNCIA BICONDICIONAL E CONDICIONAL

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidaspelo conectivo ...se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por .Portanto, se temos a sentena:

Exemplo:Estudo se e somente sesou aprovado.

Proposio 1:Estudo.

Proposio 2: Sou aprovado.

Conetivo:se e somente se.


Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

Sua tabela verdade :

p q P Q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V

Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemosduas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda,conforme exemplo abaixo:

p

q

(p

q)

(q

p)


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Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por umaconjuno. Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

p q p q p q (p q) (p q) p q

V V V V V V

F F V V V V

F V V F F F

V F F V F F

NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Agora vamos aprender a negar proposies compostas, para isto devemos considerar que:

Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar propriedade distributiva, similaraquela utilizada em lgebra na matemtica.

NEGAO DE UMA DISJUNO.

Negar uma sentena composta apenas escrever quando esta sentena assume o valor lgico

de falso, lembrando as nossas tabelas verdade construdas anteriormente.

Para uma disjuno ser falsa (negao) a primeira e a segunda proposio tem que ser falsas,conforme a tabela verdade abaixo, hiptese 4:

p q P v Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F

Assim conclumos que para negar uma sentena do tipo P v Q, basta negar a primeira (falso) Enegar a segunda (falso), logo a negao da disjuno (ou) uma conjuno (e).

Exemplo 1:

1) Estudo ou trabalho.

p = estudo.

q = trabalho.

p q

Conectivo = v


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Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

~ p q( ) = ~ p ~ q

Noestudo e notrabalho.

Para negar uma proposio composta por uma disjuno, ns negamos a primeira proposio,negamos a segunda e trocamos ou por e.

Exemplo 2:

No estudo ou sou aprovado.

p = estudo

q = sou aprovado

~p = no estudo

~ p q

Conectivo: v

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

~ ~ p q( ) = p~ q

Lembrando que negar uma negao uma afirmao e que trocamos ou por e e negamosa afirmativa.

Estudo e no sou aprovado.

NEGAO DE UMA CONJUNO.

Vimos no capitulo de negao simples que a negao de uma negao uma afirmao, ouseja, quando eu nego duas vezes uma mesma sentena, encontro uma equivalncia.

Vimos que a negao da disjuno uma conjuno, logo a negao da conjuno ser umadisjuno.

Para negar uma proposio composta por uma conjuno, ns devemos negamos a primeiraproposio e depois negarmos a segunda e trocamos e por ou.

Exemplo 1:

Vou a praia e no sou apanhado.

p = vou a praia.

q = nosou apanhado

p ~ q

Conectivo =


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Vamos agora negar essa proposio composta por uma conjuno.

~ p ~ q( ) = ~ p q

Novou praia ousou apanhado.

PARA GABARITAR

Vejamos abaixo mais exemplo de negaes de conjuno e disjuno:

~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

~(p ~q) = ~(p) ~( ) ~(~q) = (~p v q)

~(~p ~q) = ~(~p) ~( ) ~(~q) = (p v q)

NEGAO DE UMA CONDICIONAL

Conforme citamos anteriormente, negar uma proposio composta escrever a(s) linha(s) emque a tabela verdade tem como resultado falso.

Sabemos que uma condicional s ser falso, quando aprimeiraproposio for verdadeira ea segundafor falsa.

Assim para negarmos uma sentena composta com condicional, basta repetir a primeiraproposio (primeira verdadeira), substituir o conetivo se...ento por e e negar a segundaproposio (segunda falsa).

Vejamos um exemplo:

1) Se bebo ento sou feliz.

p = bebo.

q = sou feliz.

p q

Conectivo =

Negao de uma condicional.

~ p q

( ) = p~ q

Resposta: Bebo e no sou feliz.


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Exemplo 2: Se noestudo ento nosou aprovado.

p = estudo.

~p = no estudo.

q = sou aprovado.

~q = no sou aprovado.

~ p ~ q

Conectivo =

Negando: ~ ~ p ~ q( ) = ~ p qResposta: No estudo e sou aprovado.

Exemplo 3:Se estudo ento sou aprovado ou o curso no ruim.

p = estudo.

q = sou aprovado.

r = curso ruim.

~r = curso no ruim.

p q ~ r

Negando, ~ p q~ r( )Negamos a condicional, mantm a primeira e negamos a segunda proposio, como asegunda proposio uma disjuno, negamos a disjuno, usando suas regras (negar as duasproposies trocando ou por e).

~ p q ~ r( ) = p~ q ~ r( ) = p~ q r

Estudo e no sou aprovado e o curso ruim.

NEGAO DE UMA BICONDICIONAL.Existe duas maneiras de negar uma bicondicional. Uma a trivial onde apenas substitumos oconetivo bicondiciona pela disjuno exclusiva, conforme exemplo abaixo:

Sentena: Estudo se e somente seno vou praia.

p = estudo.

q = vou praia.

~q = no vou praia

~ p~ q

= p ~ q

Conectivo =

Logo sua negao ser: OuEstudo ouno vou praia.


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A segunda maneira de negar uma bicondicional utilizando a propriedade de equivalncia enegando as duas condicionais, ida e volta, temos ento que negar uma conjuno compostapor duas condicionais.

Negamos a primeira condicional ounegamos a segunda, usando a regra da condicional emcada uma delas.

Exemplo 1:

Estudo se e somente se no vou praia.

p = estudo.

q = vou praia.

~q = no vou praia.

p~ q = p~ q

~ q p

Conectivo =

Uma bicondicional so duas condicionais, ida e volta.

Negando,

~ p~ q( ) =~ p~ q ~ q p =

~ p~ q( ) =~ p~ q ~ q p =~ p~ q ~ ~ q p =

p q ~ q ~ p.

Estudo e vou praia ou no vou praia e no estudo.

QUANTIFICADORES LGICOS

Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em umaoutra proposio final, que ser conseqncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas osargumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: Todo, algum,nenhum ou outras similares.

Um argumento vlido tem obrigatoriamente a concluso como consequncia das premissas.Assim, quando um argumento vlido, a conjuno das premissas verdadeiras implicalogicamente a concluso.

Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

1. Todo aluno da Casa do Concurseiro aprovado.

2. Algum aprovado funcionrio da defensoria.


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Concluso:

Existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria.

Para concluir se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com aspremissas dadas. Para isso devemos considerar todosos casos possveis, limitando a escreverapenas o que a proposio afirma.

Pelo exemplo acima vimos que nem sempre a concluso acima verdadeira, veja que quandoele afirma que existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria, ele est dizendoque sempre isso vai acontecer, mas vimos por esse diagrama que nem sempre acontece.

Funcionrio da

Defensoria

Alunos aprovados

Aluno dacasa

Nesse diagrama isso acontece, mas pelo dito na concluso, sempre vai existir, e vimos que no,logo a concluso falsa.

No mesmo exemplo, se a concluso fosse:

Existem funcionrios da defensoria que no so alunos da casa.

Qualquer diagrama que fizermos (de acordo com as premissas) essa concluso ser verdadeira,tanto no diagrama 1 quanto no diagrama 2, sempre vai ter algum de fora do desenho.

Logo, teramos um silogismo!

Silogismo uma palavra cujo significado o de clculo. Etimologicamente, silogismo significareunir com o pensamento e foi empregado pela primeira vez por Plato (429-348 a.C.). Aqui

o sentido adotado o de um raciocnio no qual, a partir de proposies iniciais, conclui-se umaproposio final. Aristteles (384-346 a.C.) utilizou tal palavra para designar um argumentocomposto por duas premissas e uma concluso.


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ALGUM

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso algum.

So considerados sinnimos de algum as expresses: existe(m), h pelo menos um ou qualqueroutra similar.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partirdo desenho?

Concluses:

Existem elementos em A que so B.

Existem elementos em B que so A.

Existem elementos A que no so B.

Existem elementos B que no esto em A.

NENHUM

Vejamos agora as premissas que contm a expresso nenhum ou outro termo equivalente.


A B

Concluses:

Nenhum A B.

Nenhum B A.


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TODO

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso todo.

Pode ser utilizado como sinnimo de todo a expresso qualquer um ou outra similar.


A

B

Concluso:

Todo A B.

Alguns elementos de B A ou existem B que so A.

NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM.

As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos umelemento em comum com o conjunto B.

As Proposies da forma Todo A Bestabelecem que o conjunto A um subconjunto de B.Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todoB A.

Como negamos estas Proposies:

Exemplos:

1) Todamulher friorenta.

Negao: Algumamulher no friorenta.

2) Algumaluno da casa ser aprovado.

Negao: Nenhumaluno da casa vai ser aprovado.


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3) Nenhumgremista campeo.

Negao: Pelo menosum gremista campeo.

4) Todosos estudantes no trabalham.

Negao: Algumestudante trabalha.

PARA GABARITAR

NENHUM ALGUM

negao

negao

Cuide os sinnimos como por exemplo, existem, algum e etc.

TODOS Algum no

negao

negao

SILOGISMO

Silogismo Categrico uma forma de raciocnio lgico na qual h duas premissas e umaconcluso distinta destas premissas, sendo todas proposies categricas ou singulares.

Existem casos onde teremos mais de duas premissas.

Devemos sempre considerar as premissas como verdadeira e tentar descobrir o valor lgico decada uma das proposies, com objetivo de identificar se a concluso ou no verdadeira.

Sempre que possvel devemos comear nossa linha de raciocnio por uma proposio simplesou se for composta conectada pela conjuno e.

Abaixo um exemplo de como resolver uma questo envolvendo silogismo.


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QUESTO COMENTADA

(FCC: BACEN 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

I. Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar aser superada.

II. Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no serofantasiosos.

III. Os supervits sero fantasiosos.

Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

a) A crise econmica no demorar a ser superada.

b) As metas de inflao so irreais ou os supervits sero fantasiosos.c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos.d) Os supervits econmicos sero fantasiosos.e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser

superada.

Soluo:

Devemos considerar as premissas como verdadeiras e tentar descobrir o valorlgico de cada uma das proposies

Passo 1:Do portugus para os smbolos lgicos:


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Passo 2: Considere as premissas como verdade.

PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3VERDADE VERDADE VERDADE

~P~Q P~ R R

No possvel determinaro valor lgico de P eQ, j que existem 3

possibilidades distintasque torna o condicional

verdadeiro.

No possvel determinaro valor lgico de P eQ, j que existem 3

possibilidades distintasque torna o condicional

verdadeiro.

CONCLUSO: R=V

Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise.

Como na premissa 3 vimos que R V logo ~R = F.

Como P uma proposio, o mesmo pode ser F ou V. Vamos testar:

P ~ R

F F

V F

P ~ R

F V F

V F F

Como a premissa 2 verdade e caso a proposio P tenha valor V teremos umapremissa falsa, logo chegamos a concluso que P = F.

Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise.

Como na premissa 2 vimos que P F logo ~P = V.

Como Q uma proposio, o mesmo pode ser F ou V.

Analisando o condicional temos:

P ~ R

V V V

V F F

Logo ~Q = V, assim Q = F


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Passo 4: Traduzir as concluses para o portugus.

Premissa 1:P = F

as metas de inflao noso reais.

Premissa 2:Q = F

crise econmica nodemorar a ser superada.

Concluso:Alternativa A

ARGUMENTO COM QUANTIFICADORES VLIDO SILOGISMO

QUESTO COMENTADA

(FCC: TCE-SP 2010) Considere as seguintes afirmaes:

I. Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

II. Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo soescriturrios.

Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento correto afirmar que:

a) Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter

noes de Matemtica.b) Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.

c) Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, entoele escriturrio.

d) Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas doEstado de So Paulo.

e) Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem noter noes de Matemtica.


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Resoluo:

Primeiramente vamos representar a primeira premissa.I. Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

II. Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo soescriturrios.

Vejamos uma hiptese para a segunda premissa.

Vamos considerar agora a possibilidade de todos os funcionrios terem noes deMatemtica, ficamos agora com duas possibilidades distintas.

Analisamos agora as alternativas:

Alternativa A: Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulodeve ter noes de Matemtica.


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Soluo:

Observe que o nosso smbolo representa um funcionrio do TCE que nopossuinoo de matemtica. Logo a concluso precipitada.

Alternativa B:Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que possui noo de matemtica, pormno escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

Alternativa C: Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de SoPaulo, ento ele escriturrio.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que possui funcionrio do TCE, pormno escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.


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Alternativa D:Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal deContas do Estado de So Paulo.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que escriturrio, porm no funcionriodo TCE, logo a concluso precipitada e est alternativa est errada.

Alternativa E: Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulopodem no ter noes de Matemtica.

Soluo:

O ponto em destaque representa um funcionrio do TCE que no tem noo de

matemtica, como a questo afirma que podem, logo est correta.


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MATEMTICA FINANCEIRA

Obs: Os assuntos Taxa Proporcional e Taxa Equivalente, embora no conste no ltimo

edital para AF da Receita Federal, sero abaixo explicados pois servem como base para oentendimento de Juros Simples e Composto.

TAXA PROPORCIONAL

Calculada em regime de capitalizao SIMPLES:Resolve-se apenas multiplicando ou dividindoa taxa de juros:

Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional a taxa de 2% ao ms?

Resposta:Se temos uma taxa ao ms e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essataxa por 12, j que um ano possuir 12 meses.

Logo a taxa proporcional de 2% x 12 = 24% ao ano.

Exemplo 2.2:Qual a taxa de juros bimestral proporcional a 15% ao semestre?

Resposta:Neste caso temos uma taxa ao semestre e queremos transform-la em taxa bimestral.Note que agora essa taxa vai diminuir e no aumentar, o que faz com que tenhamos que dividiressa taxa ao invs de multiplic-la, dividir por 3, j que um semestre possui 3 bimestres.

Assim a taxa procurada de 15%3

ao bimestre.

COMO FAZER

TAXA TAXA PROPORCIONAL

25% a.m (ao ms) 300% a.a (ao ano)

15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m

60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre)25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano)


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AGORA A SUA VEZ

QUESTES TAXA TAXA PROPORCIONAL2.1.1 50% a.bim. ___________a.ano

2.1.2 6% a.ms _________a.quad.

2.1.3 12% a.ano _________ a.Trim.

2.1.4 20% a. quadri. __________a.Trim.

TAXA EQUIVALENTE

Calculada em regime de capitalizao COMPOSTA. Para efetuar o calculo de taxas equivalentes necessrio utilizar uma frmula.

Para facilitar o nosso estudo iremos utilizar a idia de capitalizao de taxas de juros de umaforma simplificada e mais direta.

Exemplo:Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao ms?

1 passo:Transformar a taxa de juros em unitria e somar 1(100%). Assim:

1 + 0,10 = 1,10

2 passo:elevar esta taxa ao perodo de capitalizao. Neste caso 2, pois um bimestrepossuidois meses.

(1,10)2= 1,21

3 passo:Identificar a taxa correspondente.

1,21 = 21%

Exemplo:Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre?

1 passo: Transformar a taxa de juros em unitria e somar 1(100%). Assim:1 + 0,20 = 1,20

2 passo:elevar esta taxa ao perodo de capitalizao. Neste caso 3, pois um semestrepossuitrs bimestres.

(1,20)3= 1,728

Gabarito: 2.1.1.300% 2.1.2.24% 2.1.3 3% 2.1.4 15%


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3 passo:Identificar a taxa correspondente.

1,728 = 72,8%

COMO FAZER

10% a.m equivale a:

Ao Bimestre (1,1)2= 1,21 = 21%

Ao Trimestre (1,1)3= 1,331 = 33,10%

20% a.bim equivale a:

Ao Quadrimestre (1,2)

2

= 1,44 = 44%Ao Semestre (1,2)3= 1,728 = 72,8%

AGORA A SUA VEZ

QUESTO 1

21% a.sem. equivale a:

Ao Ano

Ao Trimestre

QUESTO 2

30% a.ms.equivale a:

Ao Bimestre

Ao Trimestre

CAPITALIZAO SIMPLES X CAPITALIZAO COMPOSTA

A definio de capitalizao uma operao de adio dos juros ao capital. Bom, vamosadicionar estes juros ao capital de duas maneiras, uma maneira simples e outra composta edepois compararmos.

Vamos analisar o exemplo abaixo:

Exemplo:Jos realizou um emprstimo de antecipao de seu 13 salrio no Banco do Brasil novalor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao ms. Qual o valor pago por Jos se elequitou o emprstimo aps 5 meses, quando recebeu seu 13?

Valor dos juros que este emprstimo de Jos gerou em cada ms.

Gabarito: 1. 46,41% ao ano e 10% aotrimestre 2.69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre.


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Em juros simples, os juros so cobrados sobre o valor do emprstimo (capital).

CAPITALIZAO COMPOSTA

MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1 10% de R$ 100,00 =R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00

3 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00

4 10% de R$ 100,10 =R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00

5 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00

Em juros composto, os juros so cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do perodoanterior)

CAPITALIZAO COMPOSTA

MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1 10% de R$ 100,00 =R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00

3 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10

4 10% de R$ 133,10 =R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,415 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05

Assim notamos que o Sr. jos ter que pagar aps 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar jurossimples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.

GRFICO DO EXEMPLO

Note que o crescimento dos juros composto mais rpido que os juros simples.


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JUROS SIMPLES

CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE

J C i t= (1 )M C i t= +

OBSERVAO:Lembre-se que o Montante igual ao Capital+ Juros

Onde:

J = Juros;

M = Montante;

C = Capital (Valor Presente);

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

A maioria das questes relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidadede utilizar frmula matemtica.

APLICANDO A FRMULA

Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a frmula para encontrarmos a soluo.

Exemplo:Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 mesese taxa de 2% ao ms. Qual o valor dos juros?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 2% ao ms

OBS: Cuide para ver se a taxa e o ms esto em meno perodo. Neste exemplo no temproblema para resolver, j que tanto a taxa quanto ao prazo foram expressos em meses.

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,02 (taxa unitria) x 3

J = 6.000,00

Resposta:Os juros cobrados sero de R$ 6.000,00


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RESOLVENDO SEM A UTILIZAO DE FRMULAS:

Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar frmula, apenas o conceito detaxa de juros proporcional.

Resoluo:

Sabemos que 6% ao trimestre proporcional a 2% ao ms.

Logo os juros pagos sero de 6% de 100.000,00 = 6.000,00

PROBLEMAS COM A RELAO PRAZO X TAXA

Agora veremos um exemplo onde a taxa e o prazo no so dados em uma mesma unidade,necessitando assim transformar um deles para dar continuidade a resoluo da questo.

Sempre que houver uma divergncia de unidade entre taxa e prazo melhor alterar o prazodo que mudar a taxa de juros. Para uma questo de juros simples, esta escolha indiferente,porm caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, ir encontrar dificuldades pararesponder as questes de juros compostos, pois estas alteraes de taxa de juros no sosimples, nem proporcionais, e sim equivalentes.

Exemplo 3.2.2Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?

Dados:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 12% ao ano

Vamos adaptar o prazo em relao a taxa. Como a taxa est expressa ao ano, vamos transformaro prazo em ano. Assim teremos:

C = 100.000,00

t = 3 meses =3

12

i = 12% ao ano

Agora sim podemos aplicar a frmula

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,12 x3

12

J = 3.000,00


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ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS

Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prtica. Primeiramente vamosresolver pelo mtodo tradicional, depois faremos mais direto.

Exemplo 3.2.3Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo queo valor do montante acumulado em aps 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de jurosmensal cobrada pelo banco?

Como o exemplo pede a taxa de juros ao ms, necessrio transformar o prazo em ms. Nestecaso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:

Dados:

C = 100.000,00

t = 6 mesesM = 118.000,00

J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

Aplicando a frmula teremos:

18.000 =100.000 6 i

i =18.000

100.000 6=

18.000

600.000= 0,03

i = 3% ao ms

Agora vamos resolver esta questo sem a utilizao de frmula, de uma maneira bem simples.

Para saber o valor dos juros acumulados no perodo, basta dividirmos o montante pelo capital:

juros acumulado =118.000

100.000=1,18

Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros ( 1 = 100%) e encontramos:

1,18 1 = 0,18 = 18%

18% os juros do perodo, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxaproporcional e assim encontrar 3 % ao ms.

EST FALTANDO DADOS?

Alguns exerccios parecem no informar dados suficientes para resoluo do problema. Coisasdo tipo: O capital dobrou, triplicou o dobro do tempo, a metade do tempo, o triplo da taxae etc. Vamos ver como resolver este tipo de problema, mas em geral bem simples, bastaatribuirmos um valor para o dado que est faltando.

Exemplo:Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em aes. Aps8 meses resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicao inicial dobrou. Qual arentabilidade mdia ao ms que este fundo rendeu?


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Para quem vai resolver com frmula, a sugesto dar um valor para o capital e assim teremosum montante que ser o dobro deste valor. Para facilitar o clculo vamos utilizar um capitaligual a R$ 100,00, mas poderamos utilizar qualquer outro valor.

Dados:

C = 100,00

t = 8 meses

M = 200,00 (o dobro)

J = 100,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital).

Substituindo na frmula teremos:

100 =100 8 i

i =100

100 8=

100

800= 0,125

i = 12,5% ao ms

COMO RESOLVER

Exemplo:A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, paraque no fim de cinco anos este duplique de valor?

Dados:

C = 2.000,00

t = 5 anos

M = 4.00,00 (o dobro)

J = 2.00,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital).

i = ?? a.a

Substituindo na frmula teremos:

2.000 =2.0005 i

i =2.000

2.0005=

2.000

10.000= 0,2

i =20% ao ano

Exemplo:Considere o emprstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao mse prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operao?

Dados:

C = 5.000,00


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i = 2 % ao ms

t = 1,5 anos = 18 meses

J = ???Substituindo na frmula teremos:

J = 5.00018 0,02

J =1.800,00

JUROS COMPOSTOS

FRMULAS:

CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE

J M C= (1 )t

M C i= +

OBSERVAO: Lembre-se que o Montante igual ao Capital + Juros

Onde:

J= Juros;

M= Montante;

C= Capital (Valor Presente);

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

RESOLUO DE QUESTES DE JUROS COMPOSTOS

Como notamos na frmula de juros compostos, a grande diferena para juros simples que oprazo (varivel t ) uma potncia da taxa de juros e no um fator multiplicativo.

Assim poderemos encontrar algumas dificuldades para resolver questes de juros compostosem provas de concurso pblico, onde no permitido o uso de equipamentos eletrnicos quepoderiam facilitar estes clculos.


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Por este motivo, juros compostos podem ser cobrados de 3 maneiras nas provas de concursopblico.

1. Questes que necessitam da utilizao de tabela.

2. Questes que so resolvidas com substituio de dados fornecidas na prpria questo.

3. Questes que possibilitam a resoluo sem a necessidade de substituio de valores.

Vamos ver um exemplo de cada uma dos modelos.

JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAO DE TABELA

Este mtodo de cobrana de questes de matemtica financeira j foi muito utilizado emconcurso pblico, porem hoje so raras as provas que fornecem tabela para clculo de juroscompostos Vamos ver um exemplo.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante?Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 8 mesesi = 10% ao ms

M = C (1+ i)t

M = 100.000 (1+ 0,10)8

M = 100.000 (1,10)8

O problema est em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilizao de calculadora fica complicado.

A soluo olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante a tabela aseguir.

Vamos localizar o fator de capitalizao para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8.


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(1+i)t TAXA5% 10% 15% 20%

PRAZO

1 1,050 1,100 1,150 1,2002 1,103 1,210 1,323 1,440

3 1,158 1,331 1,521 1,728

4 1,216 1,464 1,749 2,074

5 1,276 1,611 2,011 2,488

6 1,340 1,772 2,313 2,986

7 1,407 1,949 2,660 3,583

8 1,477 2,144 3,059 4,300

9 1,551 2,358 3,518 5,160

10 1,629 2,594 4,046 6,192

Consultando a tabela encontramos que (1,10)8= 2,144

Substituindo na nossa frmula temos:

M =100.000 (1,10)8

M =100.000 2,144

M =214.400,00

O valor do montante neste caso ser de R$ 214.400,00.

JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIO DE VALORES

Mais simples que substituir tabela, algumas questes disponibilizam o resultado da potnciano prprio texto da questo, conforme abaixo.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante? Considere (1,10)

8= 2,144.

Assim fica at mais fcil, pois basta substituir na frmula e encontrar o resultado, conforme oexemplo anterior.

JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIO

A maioria das provas de matemtica financeira para concurso pblico, buscam avaliar ahabilidade do candidato em entender matemtica financeira e no se ele sabe fazer contas demultiplicao.

Assim as questes de matemtica financeiras podero ser resolvidas sem a necessidade deefetuar contas muito complexas, conforme abaixo.


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Exemplo: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 2 meses

i = 10% ao ms

M = C (1+ i)t

M = 100.000 (1+ 0,10)2

M = 100.000 (1,10)2

M = 100.0001,21

M = 121.000,00

Resposta:O valor do montante ser de R$ 121.000,00

COMO RESOLVER

Exemplo: Qual o montante obtido de uma aplicao de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma taxade juros compostos de 20 % ao ano?

Dados do problema:

C = 2.000,00

t = 2 anos

i = 10% ao ano

M = ???

M = C (1+ i)t

M =2.000 (1+ 0,20)2

M =2.000 (1,20)2

M =2.0001,44

M =2.880,00

Exemplo:Qual os juros obtidos de uma aplicao de R$ 5.000,00 feita por 1 anos a uma taxa dejuros compostos de 10 % ao semestre?

Dados:

C = 5.000,00

t = 1 ano ou 2 semestres


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i = 10% ao ano

Como a questo quer saber qual os juros, temos:

Assim os juros sero de R$ 1.050,00

M = C (1+ i)t

M = 5.000 (1+ 0,10)2

M = 5.000 (1,10)2

M = 5.0001,21

M = 6.050,00

Exemplo:Uma aplicao de R$ 10.000,00 em um Fundo de aes, foi resgatada aps 2 meses

em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de jurosmensal que este fundo remunerou o investidor?

Dados:

C = 10.000,00

t = 2 meses

M = 11.025,00

i = ??? ao ms

M = C (1+ i)t

11.025=10.000 (1+ i)2

(1+ i)2 =11.025

10.000

(1+ i)2 =11.025

10.000

(1+ i) =105

100i =1,051= 0,05

i = 5% ao ms

DESCONTO SIMPLES

Se em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo tirar juros,conceder desconto nada mais do que trazer para valor presente um pagamento futuro.

Comparando juros simples com desconto simples teremos algumas alteraes nas

nomenclaturas das nossas variveis.


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O capital em juros simples (valor presente) chamado de valor atual ou valor lquido emdesconto simples.

O montanteem juros simples (valor futuro) chamado de valor nominalou valor de faceem

desconto simples.

COMO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL

Existem dois tipos bsicos de descontos simples nas operaes financeiras: o descontocomercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalizao simples,na prtica, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso pblicocostumam exigir os dois tipos de descontos.

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

Mais comum e mais utilizado;

Tambm conhecido como desconto bancrio;

Outra termologia adotada a de desconto por fora;

O desconto calculado sobre o valor nominaldo titulo (valor de face ou valor futuro)

FRMULAS:

CLCULO DO VALOR DO DESCONTO CLCULO DO VALOR ATUAL

Dc =N id t A=N (1 i

d t)

OBSERVAO: Lembre-se que o Desconto igual ao Valor Nominal Valor Atual

Onde:

DC= Desconto Comercial

A= Valor Atual ou Valor Lquido

N= Valor Nominal ou Valor de Face

id = Taxa de desconto;

t= Prazo.

Exemplo:Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercialsimples a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 3 meses antes da data devencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m


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Dados:

N = 10.000,00

t = 3 mesesid= 5% ao ms

Dc = N i

d t

Dc =10.000 0,05 3

J =1.500,00

Agora vamos calcular o Valor Atual, que o Valor Nominal subtrado dos descontos.

A =10.000 1.500

A=

8.500,00

DESCONTO RACIONAL SIMPLES

Pouco utilizado no dia a dia, porm cobrado em provas de concurso pblico;

Tambm conhecido como desconto verdadeiro;

Outra termologia adotada a de desconto por dentro;

O desconto calculado sobre o valor atual do titulo (valor de lquido ou valor presente);

Como o desconto racional cobrado sobre o valor atual, este valor ser sempre menor que

o valor do desconto comercial, que cobrado sobre o valor nominal do ttulo.

FRMULAS:


Dr = A id t A=

N

(1+ id t)

OBSERVAO:Lembre-se que o Desconto igual ao Valor Nominal Valor Atual

Onde:

Dr= Desconto Racional

A= Valor Atual ou Valor Liquido



t= Prazo.


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Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o racional comercial simples aser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 3 meses antes da data de vencimento, auma taxa de desconto de 5% a.m

Dados:

N = 10.000,00

t = 3 meses

id= 5% ao ms

Como o valor do desconto depende do valor Atual que no foi fornecido pelo exerccio, temosque calcular primeiramente o valor atual para depois calcular o valor do desconto.

A=N

(1+ id t)

A=10.000

(1+ 0,05 3)

A=10.000

(1+ 0,05 3)

A= 8.695,65

Agora vamos calcular o desconto, que o Valor Nominal subtrado do valor Atual.

Dr =10.0008.695,65

Dr =1.304,35

DESCONTO COMPOSTO

Similar ao desconto simples, porm iremos trocar a multiplicao da taxa pelo prazo pelapotenciao.

Tambm temos dois tipos de desconto composto, o comercial e o racional. A diferena entreestas duas maneiras de cobrana de desconto a mesma dos descontos simples comercial eracional.

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

Pouco utilizado no Brasil;

Seu calculo semelhante ao calculo de juros compostos;

Outra termologia adotada a de desconto por fora;

O desconto calculado sobre o valor nominaldo titulo (valor de face ou valor futuro).


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FRMULAS:


Dc = N A A=N (1 id)t


Onde:

DC= Desconto Comercial




t= Prazo.

Exemplo:Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercialcomposto a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 2 meses antes da data devencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m

Dados:

N = 10.000,00

t = 2 meses

id = 10% ao ms

Existe uma frmula que permite encontrar o valor do Desconto Comercial Composto a partir dovalor Nominal do ttulo. Mas o objetivo minimizar ao mximo possvel o numero de frmulaspara o aluno decorar.

A = N(1+ id)t

A =10.000 (1 0,10)2

A =10.000 0,81

A = 8.100,00

Agora vamos calcular o desconto, que o Valor Nominal subtrado do Valor Atual.

Dc =10.000 8.100

Dc =1.900,00


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DESCONTO RACIONAL SIMPLES

o desconto composto mais utilizado no Brasil;

Tambm conhecido como desconto verdadeiro;

Outra termologia adotada a de desconto por dentro;

O desconto calculado sobre o valor atualdo titulo (valor de lquido ou valor presente);

Como o desconto racional cobrado sobre o valor atual, este valor ser sempre menor queo valor do desconto comercial, que cobrado sobre o valor nominal do ttulo.

FRMULAS:


Dr=Axi

dxt A=

N(1+i

d)t


Onde:

Dr= Desconto Racional




t= Prazo.

Exemplo:Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racionalcomposto a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 2 meses antes da data devencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m

Dados:

N = 10.000,00

t = 2 meses

id= 10% ao ms


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Calculando o valor atual teremos:

A =N

(1+ id)t

A =10.000

(1+ 0,10)2

A =10.000

1,21

A = 8.264,46

Agora vamos calcular o desconto, que o Valor Nominal subtrado do valor Atual.

Dr =10.000 8.264,46

Dr =1.735,53

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Questes ESAF

1. (78470) ESAF 2014 Receita Federal Auditor Fiscal da Receita Federal

Se verdade que alguns adultos so felizese que nenhum aluno de matemtica feliz,ento necessariamente verdade que:

a) algum adulto aluno de matemtica.b) nenhum adulto aluno de matemtica.c) algum adulto no aluno de

matemtica.d) algum aluno de matemtica adulto.e) nenhum aluno de matemtica adulto.


Ana est realizando um teste e precisaresolver uma questo de raciocnio lgico.No enunciado da questo, afrmado que:todo X1 Y. Todo X2, se no for X3, ou X1 ou X4. Aps, sem sucesso, tentarencontrar a alternativa correta, ela escutaalgum, acertadamente, afrmar que: noh X3 e no h X4 que no seja Y. A partirdisso, Ana conclui, corretamente, que:

a) todo Y X2.b) todo Y X3 ou X4.c) algum X3 X4.d) algum X1 X3.e) todo X2 Y.

3. (78472) ESAF 2014 MF AssistenteTcnico Administrativo

A negao da proposio se Paulo trabalhaoito horas por dia, ento ele servidorpblico logicamente equivalente proposio:

a) Paulo trabalha oito horas por dia ou servidor pblico.

b) Paulo trabalha oito horas por dia e no servidor pblico.

c) Paulo trabalha oito horas por dia e servidor pblico.

d) Se Paulo no trabalha oito horas pordia, ento no servidor pblico.

e) Se Paulo servidor pblico, ento eleno trabalha oito horas por dia.


- Se o Brasil vencer o jogo, ento a Franano se classifca.

- Se a Frana no se classifcar, ento a Itliase classifca.

- Se a Itlia se classifcar, ento a Polnia nose classifca.

- A Polnia se classifcou.

Logo, pode-se afrmar corretamente que:a) a Itlia e a Frana se classifcaramb) a Itlia se classifcou e o Brasil no

venceu o jogo.c) a Frana se classifcou ou o Brasil venceu

o jogod) a Frana se classifcou e o Brasil venceu

o jogo.e) a Frana se classifcou se, e somente se,

o Brasil venceu o jogo.


O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por6 meses, taxa de juros compostos de6% ao semestre, com juros capitalizadostrimestralmente. Calcule o montante dessaaplicao.

a) R$ 10.600,00b) R$ 10.615,00

c) R$ 10.620,00d) R$ 10.612,00


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e) R$ 10.609,00

6. (78475) ESAF 2014 MTur Todos osCargos

Assinale qual das proposies das opes aseguir uma tautologia.

a) p q qb) pq qc) pq qd) (pq) qe) p q q

7. (78476) ESAF 2014 MTur Todos os

Cargos

A proposio se Catarina turista,ento Paulo estudante logicamenteequivalente a:

a) Catarina no turista ou Paulo no estudante.

b) Catarina turista e Paulo no estudante.

c) Se Paulo no estudante, ento

Catarina no turista.d) Catarina no turista e Paulo no estudante.

e) Se Catarina no turista, ento Paulono estudante.

8. (78477) ESAF 2014 MTur Todos osCargos

As seguintes premissas so verdadeiras:

- Se Paulo no trabalha tera-feira, ento

Maria trabalha sbado.

- Se Ana no trabalha domingo, entoSamuel no trabalha sexta-feira.

- Se Samuel trabalha sexta-feira, entoMaria no trabalha sbado.

- Samuel trabalha sexta-feira.

Logo, pode-se afirmar que:

a) Paulo trabalha tera-feira e Mariatrabalha sbado.

b) Paulo no trabalha tera-feira ou Mariatrabalha sbado

c) Maria trabalha sbado e Ana notrabalha domingo.

d) Ana no trabalha domingo e Paulotrabalha tera-feira.

e) Se Maria trabalha sbado, ento Anano trabalha domingo.

9. (78478)ESAF 2013 MF Todos os Cargos

Conforme a teoria da lgica proposicional, aproposio ~ P P :

a) uma tautologia.

b) equivalente proposio ~ P V P .c) uma contradio.d) uma contingncia.e) uma disjuno.

10. (78479)ESAF 2013 MF Todos os Cargos

A negao da proposio Braslia a CapitalFederal e os Territrios Federais integram aUnio :

a) Braslia no a Capital Federal e osTerritrios Federais no integram aUnio.

b) Braslia no a Capital Federal ou osTerritrios Federais no integram aUnio.

c) Braslia no a Capital Federal ou osTerritrios Federais integram a Unio.

d) Braslia a Capital Federal ou osTerritrios Federais no integram aUnio.

e) Braslia no a Capital Federal e osTerritrios Federais integram a Unio.

11. (78480)ESAF 2013 MF Todos os Cargos Conhecimentos Bsicos

Considere verdadeiras as premissas aseguir:

se Ana professora, ento Paulo mdico;

ou Paulo no mdico, ou Marta

estudante;


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Marta no estudante.

Sabendo-se que os trs itens listados acimaso as nicas premissas do argumento,

pode-se concluir que:

a) Ana professora.b) Ana no professora e Paulo mdico.c) Ana no professora ou Paulo

mdico.d) Marta no estudante e Ana

Professora.e) Ana professora ou Paulo mdico.

12. (78481)ESAF 2013 MF Especialista em

Polticas Pblicas e Gesto Governamental

Se Eva vai praia, ela bebe caipirinha.Se Eva no vai ao cinema, ela no bebecaipirinha. Se Eva bebe caipirinha, ela novai ao cinema. Se Eva no vai praia, ela vaiao cinema. Segue-se, portanto, que Eva:

a) vai praia, vai ao cinema, no bebecaipirinha.

b) no vai praia, vai ao cinema, no bebe

caipirinha.c) vai praia, no vai ao cinema, bebecaipirinha.

d) no vai praia, no vai ao cinema, nobebe caipirinha.

e) no vai praia, no vai ao cinema, bebecaipirinha.

13. (78482) ESAF 2013 MF Analista deFinanas e Controle ConhecimentosGerais Todos os Cargos

A negao da proposio se Curitiba acapital do Brasil, ento Santos a capitaldo Paran logicamente equivalente proposio:

a) Curitiba no a capital do Brasil eSantos no a capital do Paran.

b) Curitiba no a capital do Brasil ouSantos no a capital do Paran.

c) Curitiba a capital do Brasil e Santos

no a capital do Paran.d) Se Curitiba no a capital do Brasil,ento Santos no a capital do Paran.

e) Curitiba a capital do Brasil ou Santosno a capital do Paran.

14. (78483) ESAF 2013 DNIT TcnicoAdministrativo

A proposio Paulo mdico ou Ana notrabalha logicamente equivalente a:

a) Se Ana trabalha, ento Paulo mdico.b) Se Ana trabalha, ento Paulo no

mdico.c) Paulo mdico ou Ana trabalha.d) Ana trabalha e Paulo no mdico.e) Se Paulo mdico, ento Ana trabalha.

15. (78484)ESAF 2013 DNIT Analista Ad-ministrativo e Analista em Infraestruturade Transportes Comum a todas as reas

A proposio composta p p q

equivalente proposio:

a) p v qb) p qc) p

d) ~ p v qe) q


Se Marta estudante, ento Pedro no professor. Se Pedro no professor, entoMurilo trabalha. Se Murilo trabalha, entohoje no domingo. Ora, hoje domingo.Logo,

a) Marta no estudante e Murilotrabalha.

b) Marta no estudante e Murilo notrabalha.

c) Marta estudante ou Murilo trabalha.d) Marta estudante e Pedro professor.e) Murilo trabalha e Pedro professor.


Em uma cidade as seguintes premissasso verdadeiras: Nenhum professor rico.


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Alguns polticos so ricos. Ento, pode-seafirmar que:

a) Nenhum professor poltico.

b) Alguns professores so polticos.c) Alguns polticos so professores.d) Alguns polticos no so professores.e) Nenhum poltico professor.

18. (78487) ESAF 2012 Receita Federal Analista Tributrio da Receita Federal

A negao da proposio se Paulo estuda,ento Marta atleta logicamenteequivalente proposio:

a) Paulo no estuda e Marta no atleta.b) Paulo estuda e Marta no atleta.c) Paulo estuda ou Marta no atleta.d) se Paulo no estuda, ento Marta no

atleta.e) Paulo no estuda ou Marta no atleta.


Se Paulo irmo de Ana, ento Natlia prima de Carlos. Se Natlia prima deCarlos, ento Marta no me de Rodrigo.Se Marta no me de Rodrigo, ento Leila tia de Maria. Ora, Leila no tia de Maria.Logo:

a) Marta no me de Rodrigo e Paulo irmo de Ana.

b) Marta me de Rodrigo e Natlia prima de Carlos.

c) Marta no me de Rodrigo e Natlia prima de Carlos.d) Marta me de Rodrigo e Paulo no

irmo de Ana.e) Natlia no prima de Carlos e Marta

no me de Rodrigo.


Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco

por 5 meses, a uma taxa de juros simples de2% ao ms. Aps esses 5 meses, o montantefoi resgatado e aplicado em outro banco

por mais 2 meses, a uma taxa de juroscompostos de 1% ao ms. O valor dos jurosda segunda etapa da aplicao igual a:

a) R$ 221,10.b) R$ 220,00.c) R$ 252,20.d) R$ 212,20.e) R$ 211,10.


Um ttulo de R$ 20.000,00 foi descontado 4meses antes do seu vencimento, a uma taxa

de desconto comercial simples de 5% aoms. A taxa efetiva mensal de juros simplesdessa operao igual a:

a) 6,50%.b) 5,50%.c) 5,25%.d) 6,00%.e) 6,25%.

22. (78491) ESAF 2012 Receita Federal

Auditor Fiscal da Receita Federal

A afirmao A menina tem olhos azuisou o menino loiro tem como sentenalogicamente equivalente:

a) se o menino loiro, ento a meninatem olhos azuis.

b) se a menina tem olhos azuis, ento omenino loiro.

c) se a menina no tem olhos azuis, ento

o menino loiro.d) no verdade que se a menina temolhos azuis, ento o menino loiro.

e) no verdade que se o menino loiro,ento a menina tem olhos azuis.


Se Anamara mdica, ento Anglica mdica. Se Anamara arquiteta, ento

Anglica ou Andrea so mdicas. Se Andrea arquiteta, ento Anglica arquiteta. SeAndrea mdica, ento Anamara mdica.


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Considerando que as afirmaes soverdadeiras, segue- se, portanto, que:

a) Anamara, Anglica e Andrea so

arquitetas.b) Anamara mdica, mas Anglica e

Andrea so arquitetas.c) Anamara, Anglica e Andrea so

mdicas.d) Anamara e Anglica so arquitetas, mas

Andrea mdica.e) Anamara e Andrea so mdicas, mas

Anglica arquiteta.


Se Ana pianista, ento Beatriz violinista.Se Ana violinista, ento Beatriz pianista.Se Ana pianista, Denise violinista. SeAna violinista, ento Denise pianista. SeBeatriz violinista, ento Denise pianista.Sabendo-se que nenhuma delas toca maisde um instrumento, ento Ana, Beatriz eDenise tocam, respectivamente:

a) piano, piano, piano.b) violino, piano, piano.c) violino, piano, violino.d) violino, violino, piano.e) piano, piano, violino.


Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ouno caso. Vou morar em Pasrgada ou no

compro uma bicicleta. Ora, no vou morarem Pasrgada. Assim,

a) no viajo e caso.b) viajo e caso.c) no vou morar em Pasrgada e no

viajo.d) compro uma bicicleta e no viajo.e) compro uma bicicleta e viajo.

26. (78495) ESAF 2012 CGU Analista deFinanas e Controle

Seja D um conjunto de pontos da reta. Sejam

K, F e L categorias possveis para classificarD. Uma expresso que equivale logicamente afirmao D K se e somente se D F eD L :

a) Se D F ou D L, ento D K e, se D no K, ento D no F e D no L.

b) Se D F e D L, ento D K e, se D no K, ento D no F ou D no L.

c) D no F e D no L se e somente se Dno K.

d) Se D K, ento D F e D L e, se D no K, ento D no F ou D no L.

e) D K se e somente se D F ou D L.

27. (78496) ESAF 2010 SMF-RJ Fiscal deRendas

A proposio "um nmero inteiro parse e somente se o seu quadrado for par"equivale logicamente proposio:

a) se um nmero inteiro for par, ento oseu quadrado par, e se um nmerointeiro no for par, ento o seuquadrado no par.

b) se um nmero inteiro for mpar, ento oseu quadrado mpar.

c) se o quadrado de um nmero inteiro formpar, ento o nmero mpar.

d) se um nmero inteiro for par, ento oseu quadrado par, e se o quadrado deum nmero inteiro no for par, ento o

nmero no par.e) se um nmero inteiro for par, ento o

seu quadrado par.

28. (78497)ESAF 2010 SMF-RJ Agente deFazenda

Qual das proposies abaixo tem a mesmatabela verdade que a proposio: Se |a|< 3,

, ento b 4 , onde a e b so nmeros reais?a) b 4 e |a| < 3.


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b) b > 4 ou |a| < 3.

c) b > 4 e |a| < 3.

d) b 4 ou |a| < 3.e) b 4 ou |a| 3.

29. (78498)ESAF 2010 MTE Auditor Fiscaldo Trabalho

Um poliedro convexo regular se esomente se for: um tetraedro ou um cuboou um octaedro ou um dodecaedro ou umicosaedro. Logo:

a) Se um poliedro convexo for regular,ento ele um cubo.

b) Se um poliedro convexo no for umcubo, ento ele no regular.

c) Se um poliedro no for um cubo, nofor um tetraedro, no for um octaedro,no for um dodecaedro e no for umicosaedro, ento ele no regular.

d) Um poliedro no regular se e somentese no for: um tetraedro ou um cubo ou

um octaedro ou um dodecaedro ou umicosaedroe) Se um poliedro no for regular, ento

ele no um cubo.

30. (78499)ESAF 2010 MTE Auditor Fiscaldo Trabalho

Um ttulo sofre um desconto simples pordentro de R$ 10.000,00 cinco meses antesdo seu vencimento a uma taxa de desconto

de 4% ao ms. Qual o valor mais prximo dovalor nominal do ttulo?

a) R$ 60.000,00.b) R$ 46.157,00.c) R$ 56.157,00.d) R$ 50.000,00.e) R$ 55.000,00.

31. (78500)ESAF 2013 MF Contador

O capital de R$ 100.000,00 foi aplicadoem um banco por 2 meses. A taxa de juroscompostos dessa aplicao foi 1% ao ms.

Decorridos esses 2 meses, o montantedessa primeira aplicao foi resgatado eaplicado em outro banco por 4 meses nosistema de juros simples. A taxa de jurosdessa segunda aplicao foi 2,5% ao ms.Ento, o montante, ao ?nal da segundaaplicao, foi:

a) R$ 112.200,00b) R$ 112.320,00.c) R$ 112.211,00.d) R$ 112.245,00e) R$ 112.342,00

32. (78501)ESAF 2013 MF Contador

Um ttulo de valor nominal igual a R$15.000,00 foi descontado 6 meses antesdo seu vencimento. O desconto pelaantecipao do ttulo foi de acordo com osistema de desconto comercial simples auma taxa de 10% ao trimestre. O valor aoqual o ttulo foi descontado igual a:

a) R$ 6.000,00b) R$ 13.000,00.

c) R$ 10.000,00.d) R$ 9.000,00e) R$ 12.000,00.


No sistema de juros simples, um capitalfoi aplicado a uma determinada taxa anualdurante dois anos. O total de juros auferidospor esse capital no final do perodo foi

igual a R$ 2.000,00. No sistema de juroscompostos, o mesmo capital foi aplicadodurante o mesmo perodo, ou seja, 2 anos,e a mesma taxa anual. O total de jurosauferidos por esse capital no final de 2 anosfoi igual a R$ 2.200,00.

Desse modo, o valor do capital aplicado, emreais, igual a:

a) 4.800,00.

b) 5.200,00.c) 3.200,00.d) 5.000,00.


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e) 6.000,00.

34. (78503) ESAF 2010 CVM Analista deMercado de Capitais

Um ttulo descontado quatro mesesantes do seu vencimento a uma taxa dedesconto de 5% ao ms, sendo o valor dodesconto racional composto calculado emR$ 4.310,00. Marque o valor mais prximodo valor nominal do ttulo.

a) R$ 20.000,00b) R$ 24.309,00c) R$ 21.550,00

d) R$ 25.860,00e) R$ 15.690,00

35. (78504)ESAF 2010 MPOG Analista dePlanejamento e Oramento

H trs suspeitos para um crime e pelomenos um deles culpado. Se o primeiro culpado, ento o segundo inocente.Se o terceiro inocente, ento o segundo culpado. Se o terceiro inocente, ento

ele no o nico a s-lo. Se o segundo culpado, ento ele no o nico a s-lo.Assim, uma situao possvel :

a) Os trs so culpados.b) Apenas o primeiro e o segundo so

culpados.c) Apenas o primeiro e o terceiro so

culpados.d) Apenas o segundo culpado.e) Apenas o primeiro culpado.


Sejam F e G duas proposies e ~F e ~Gsuas repectivas negaes. Marque a opoque equivale logicamente proposiocomposta: F se e somente G.

a) F implica G e ~G implica F.b) F implica G e ~F implica ~G.

c) Se F ento G e se ~F ento G.d) F implica G e ~G implica ~F.e) F se e somente se ~G.


Considere os smbolos e seus significados: ~

negao, conjuno, V disjuno, contradio e tautologia. Sendo F e G

proposies, marque a expresso correta.

a) (F V G) ~ (~F ~G) = .b) (F V G) (~F ~G) = .c) (F V G) (~F ~G) = .d) (F V G) (~F ~G) = F V G.e) (F V G) ~ (~F ~G) = F G.

38. (78507) ESAF 2010 SUSEP Analista

Tcnico

Um ttulo sofre um desconto racionalcomposto dois meses antes do seuvencimento a uma taxa de 5% ao ms. Dadoque o valor do desconto R$ 10 000,00,qual o valor mais prximo do valor nominaldo ttulo?

a) R$ 100 000,00.b) R$ 107 561,00.

c) R$ 102 564,00.d) R$ 97 561,00.e) R$ 110 000,00.


A afirmao: "Joo no chegou ou Mariaest atrasada" equivale logicamente a:

a) Se Joo no chegou, Maria estatrasada.

b) Joo chegou e Maria no est atrasada.c) Se Joo chegou, Maria no est

atrasada.d) Se Joo chegou, Maria est atrasadae) Joo chegou ou Maria no est

atrasada.


Considere a seguinte proposio: "Se chove

ou neva, ento o cho fi ca molhado". Sendoassim, pode-se afi rmar que:


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a) Se o cho est molhado, ento choveuou nevou.

b) Se o cho est molhado, ento choveue nevou.

c) Se o cho est seco, ento choveu ounevou.

d) Se o cho est seco, ento no choveuou no nevou.

e) Se o cho est seco, ento no choveu eno nevou.

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