БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра функционального анализа ________________________________________________________________________________________

Я. В. Радыно, В. И. Чесалин, А. Г. Яблонская

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ

«ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»

Учебно-методическое пособие для студентов

механико-математического факультета

_______________________________________________________________________________________

МИНСК 2013

УДК 517.986 ББК 22.162я73 Р15

Рекомендовано советом механико-математического факультета

17 сентября 2013 г., протокол № 1

Р е ц е н з е н т доктор физико-математических наук,

профессор А. Б. Антоневич

Р15

Радыно, Я. В. Задачи и упражнения по курсу «Функциональный анализ» :

учеб.-метод. пособие для студентов мех.-мат. фак. / Я. В. Радыно, В. И. Чесалин, А. Г. Яблонская. – Минск: БГУ, 2013. – 39 с.

Учебно-методическое пособие «Задачи и упражнения по курсу «Функци-

ональный анализ» содержит наиболее типичные задачи по всем разделам кур-са «Функциональный анализ». Предназначено для студентов и магистрантов механико-математического факультета БГУ.

УДК 517.986 ББК 22.162я73

© Радыно Я.В., Чесалин В.И., Яблонская А.Г., 2013

© БГУ, 2013

Введение

Предлагаемое пособие содержит задачи и упражнения по всем раз-делам курса «Функциональный анализ» для студентов механико-математического факультета БГУ. Характерной особенностью пособия является тот факт, что при его использовании нет необходимости иметь предварительные знания топологии. Поэтому оно, в первую очередь, рассчитано на студентов тех специальностей и направлений специально-стей, для которых, согласно учебным планам, не читается курс "Тополо-гия".

Сборник состоит из шести глав, в которых собраны задачи, соот-ветствующие разделам лекционного курса. Приведенные задачи имеют различную степень сложности. Наряду со стандартными задачами и упражнениями курса, имеются и задачи повышенной сложности, требу-ющие для своего решения более глубоких знаний и творческих подходов при проведении математического исследования.

Некоторые задачи данного пособия заимствованы из источников, указанных в списке литературы, при этом многие задачи были суще-ственно переработаны, другая часть задач составлена авторами.

Пособие предназначено как для студентов, изучающих курс «Функциональный анализ», так и для студентов и магистрантов, желаю-щих самостоятельно углубить свои знания в области функционального анализа.

3

ГЛАВА 1

МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

В этой главе собраны задачи, в которых используются базовые по-нятия теории меры: кольца и полукольца множеств, борелевская σ-алгебра, мера, мера Лебега на прямой, мера Лебега – Стилтьеса. Приве-дены задачи по наиболее важному разделу функционального анализа – «Интеграл Лебега». Задачи направлены на сравнение интегрирования по Лебегу и по Риману, а также на изучение интегралов Лебега – Стилтьеса. 1.1 Мера 1. Являются ли заданные множества конечными, счетными, множества-ми мощности континуума: 1) ; 6) ; 2) ; 7) ; 3) ; 8) ; 4) ; 9) ; 5) ; 10) ? 2. Доказать, что совокупность всех множеств Лебеговой меры нуль в образует σ-алгебру. 3. Является ли следующая система множеств полукольцом, кольцом, σ-кольцом, -кольцом, алгеброй, -алгеброй, -алгеброй: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ? 4. а) Доказать, что для произвольного множества множество всех его конечных подмножеств образуют кольцо. При каком условии на это кольцо будет алгеброй?

4

б) Пусть – несчетное множество. Доказать, что множество всех таких подмножеств , что либо само это подмножество либо его дополнение до не более чем счетно образует σ-алгебру. в) Доказать, что полукольцо множеств S будет кольцом, если объедине-ние любых двух множеств из S будет принадлежать S. г) Доказать, что если A – алгебра множеств, такая что пересечение каж-дой последовательности ее элементов принадлежит этой алгебре, то A есть σ-алгебра. 5. Пусть фиксированное множество, . Через A обозначим си-стему таких подмножеств , что либо . Доказать, что A есть σ-алгебра. 6. Проверить, что множества из упражнения 1 являются борелевскими в ℝ (соответственно в ). 7. Построить последовательность борелевских множеств на ℝ таких, что

, , ; , , , ; , , , ;

, , ; , , , , .

8. Построить последовательность борелевских множеств на таких, что

, , , ; , , ; , , ; , , .

9. Пусть множество точек отрезка , в двоичном разложении ко-торых на четных местах стоят нули. Найти меру Лебега множества .

5

10. Пусть множество измеримо на отрезке . Для любого интер-вала ∆ имеет место неравенство , , мера Ле-бега. Доказать, что . 11. Пусть , измеримые подмножества на отрезке и

, мера Лебега. Доказать, что . 12. Привести пример множества положительной меры, задаваемой сле-дующими функциями распределения:

3)

;

, где функция Кантора. 13. Пусть мера порождена функцией . Найти , где про-извольное измеримое множество, если

1) 2)

3)

14. Пусть мера порождается функцией , . Найти

, если: , ;

, ; ;

6

, . 15. Доказать, что последовательность измеримых функций сходится по мере Лебега на измеримом множестве . Найти этот предел.

, ; , ;

, ;

, ; , .

1.2 Интеграл Лебега 16. Доказать, что множество и его характеристическая функция измери-мы или неизмеримы одновременно. 17. Будет ли измерима функция:

1) на ; 2) на ?

18. Пусть неизмеримое множество на ). Будет ли функция

измеримой?

19. Доказать, что две непрерывные функции на отрезке эквива-лентны (по мере Лебега) тогда и только тогда, тогда они тождественно равны. 20. Найти меру Лебега множества точек разрыва и выяснить, измерима ли функция:

1) 2)

21. Определим функцию на следующим образом: если

десятичная дробь числа, то . Дока-зать, что измерима и почти всюду постоянна. 22. Найти такую непрерывную на функцию (x), что по-чти всюду относительно меры Лебега :

7

2)

5)

6)

23. Пусть последовательность функций, заданных на ℝ. Определить такую непрерывную на ℝ функцию, что отно-сительно меры Лебега: 1) ; 2) ; 3)

4)

5)

6) ; 7) ; 8) . 24. Будет ли функция интегрируема по Лебегу (по Риману) на множестве

25. Вычислить интеграл Лебега на множестве для функций: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) . 26. Для функции из номера 20 вычислить интеграл Лебега , где 1) ; 4) ; 2) ; 5) .

8

3) ; 27. Вычислить интеграл Лебега , если

1) 2)

28. Вычислить интеграл Лебега

29. Вычислить интеграл Лебега: 1) 2) 3) . 30. Вычислить интеграл Лебега – Стилтьеса , где – ме-ра Лебега-Стилтьеса на ℝ, порожденная функцией :

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

9

31. Вычислить интеграл Лебега-Стилтьеса , где – мера Лебега-Стилтьеса, порожденная функцией :

32. Найти значения параметров и , при которых функция

, определенная на , интегрируема по Лебегу.

№ [a,b) f(x) g(x) 1 [-1,3)

2 [ )

3

4

5

10

33. Доказать, что функция интегрируема на по

мере Лебега – Стилтьеса , где

34. Определим последовательность функций , . 1) Будут ли функции интегрируемы по Лебегу? Вычислить инте-гралы , ; 2) Доказать, что равномерно сходятся к функции по ; 3) Возможен ли предельный переход под знаком интеграла, т.е.

? 35. Определим последовательность функций , ,

. 1) Будут ли функции интегрируемы по Лебегу? Вычислить инте-гралы , ; 2) Доказать, что равномерно сходятся к функции по ; 3) Возможен ли предельный переход под знаком интеграла, т.е.

? 36. Определим последовательность функций , , .

Вычислить , , .

11

ГЛАВА 2

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

В этой главе собраны задачи, в которых используются базовые по-нятия теории метрических пространств, такие как: метрика, метрическое пространство, метрические пространства

и сходящиеся последовательности в этих пространствах, предел последовательности, полнота, непрерывные, равномерно непрерывные и удовлетворяющие условию Липшица отоб-ражения в метрических пространствах и их свойства, сжимающие отоб-ражения в метрических пространствах, принцип сжимающих отображе-ний. 2.1 Метрика 1. Являются ли метриками на числовой прямой следующие функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ? 2. Найти условия, при которых непрерывная на числовой прямой функция задает метрику на c помощью формулы

. 3. Пусть функция c областью определения удовле-творяет условиям: 1) ; 2) возрастает на ; 3) (полуаддитивна) .

12

Доказать, что если - метрика на множестве , то функция также является метрикой на .

4. Пусть функция определена и непрерывна на и удовлетворя-ет условиям: 1) ; 2) возрастает на ; 3) имеет на вторую производную, причем

. Доказать, что если - метрика на множестве , то функция

также является метрикой на . 5. Пусть – метрика на множестве . Доказать, что функции 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) , также являются метриками на . 6. Являются ли метриками на множестве натуральных чисел функ-ции:

1) ; 2) ?

7. Задают ли на множестве целых чисел метрику следующие функ-ций:

1) ; 2)

где – наибольшая степень числа 3, на которую нацело делится разность . Вычислить расстояния , , в данных мет-

риках. 8. Пусть – множество всевозможных n-мерных векторов с координа-тами, принимающими значения только 0 или 1. Расстояние (Хемминга) между двумя векторами равно числу координат, в которых они

13

различаются. Доказать, что является метрическим пространством (оно рассматривается в теории кодирования). 9. Проверить, что множество полей шахматной доски образует метриче-ское пространство, если за расстояние от поля до поля принять наименьшее число ходов, которое потребуется королю, чтобы перейти с поля на поле . Доказать это же утверждение, заменив короля 1) ферзем; 2) ладьей; 3) конем. 10. Являются ли метриками на множестве точек плоскости и следующие функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ? 11. Пусть и - метрические пространства с метриками и

соответственно. Задают ли на декартовом произведении расстояние между точками и сле-

дующие формулы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 2.2 Сходимость последовательностей в метрических пространствах 12. При каких значениях и последовательности непрерывных функ-ций сходятся а) в каждой точке отрезка (поточечно), б) по-чти везде на отрезке , в) равномерно на отрезке (в простран-стве ), г) по метрике пространства , д) по метрике про-странства , если 1) ; 2) ; 3) ;

14

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12)

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ? 13. Выяснить, сходятся ли последовательности числовых последователь-ностей а) покоординатно, б) в , в) в , г) в , д) в , е) в , ж) в , если 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ;

15

18) ;

19) ;

20) ?

2.3 Непрерывные отображения в метрических пространствах 14. При каких значениях и отображение со своей естественной областью определения а) непрерывно либо разрывно хотя бы в одной точке пространства , указать такие точки, б) непрерыв-но в каждой точке пространства , в) является равномерно непре-рывным, в) удовлетворяет условию Липшица, если 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

Рассмотреть случаи, когда , , , , .

16

15. Указать пары пространств и из , , , , , , , для которых отображение со своей естественной областью определения яв-ляется а) непрерывным, б) равномерно непрерывным, в) удовлетворя- ющим условию Липшица: 1) ;

2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ;

19) ;

20) . 2.4 Сжимающие отображения в метрических пространствах 16. При каких значениях отображение является сжима-ющим? Найти его неподвижные точки, если они существуют. Найти условия, при которых к отображению применим локальный принцип сжимающих отображений: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

17

7) ; 8) ; 9) ; 10) . 17. При каких значениях следующие последовательности, за-данные рекуррентными соотношениями , сходятся и найти их пределы, если 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ? 18. Найти с точностью 0,01 решения уравнения , приведя его к виду и применяя принцип сжимающих отображений, где 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 19. Найти с точностью 0,01 решение линейной алгебраической системы

, приведя ее к виду и применяя принцип сжимающих отображений:

1) , ;

2) ;

3) ;

4) ;

18

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

20. При каких значениях к интегральному уравнению

применим принцип сжимающих отоб-ражений в пространстве либо ? При с точностью 0,01 найти приближенное решение и сравнить его с точным решением, где 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

19

ГЛАВА 3

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В этом разделе содержатся задачи, относящиеся к одному из ос-новных объектов функционального анализа – линейным нормированным пространствам. Норма, являясь обобщением понятия “длина вектора”, наиболее просто задает топологию, согласованную со структурой век-торного пространства. Важная особенность, на которую хотелось бы об-ратить внимание при решении задач данной главы – это отличие свойств конечномерных и бесконечномерных пространств. 3.1 Норма 1. Являются ли нормами (полунормами) на числовой прямой следующие функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 6) ? 2. Задают ли норму на множестве точек плоскости следующие функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ?

20

3. Можно ли в линейном пространстве непрерывных на отрезке функций задать норму элемента следующим образом: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ?

4. Какие нормы в пространстве являются эквивалентными: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ? 3.2 Множества в нормированных пространствах. Подпространства 5. Проверить, является ли множество а) выпуклым, б) ограниченным, в) открытым, г) замкнутым д) компактным в пространстве , если 1)

2)

3) 4) 5)

21

6) 7) 8) 9) 10) 6. Является ли система векторов в пространстве линейно незави-симой, если 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

9)

10) ?

7. Проверить, является ли множество замкнутым подпространством пространства , если 1) 2) 3) 4) 5) 6)

7)

22

8) 9) 10) 3.3 Сходимость последовательностей и рядов в нормированных пространствах 8. При каких значениях , и ряд из непрерывных функ-ций сходится а) в каждой точке отрезка , б) по норме про-странства , в) по норме пространства , г) по норме про-странства , если

; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ? 9. Проверить сходимость ряда из числовых последовательно-стей а) в пространстве , ; б) в пространстве ; в) в пространстве ; г) в пространстве , если

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ;

10) .

23

ГЛАВА 4

ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Этот раздел посвящен изучению свойств множеств в линейных пространствах со скалярным произведением. При изучении конечномер-ных евклидовых пространств вместо задания длины вектора и угла меж-ду векторами удобнее задавать скалярное произведение, через которое выражается и длина вектора, и угол между векторами. Аналогичный подход используется и при рассмотрении бесконечномерных про-странств. В данной главе собраны задачи, в которых используются базо-вые понятия теории гильбертовых пространств, такие как: скалярное произведение, ортогональность, ортогональная проекция, ортонормаль-ный базис, процесс ортогонализации Грама-Шмидта, ряд Фурье. 4.1 Скалярное произведение 1. Можно ли задать скалярное произведение на числовой прямой с по-мощью формул: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) ; 6)

24

2. Пусть и – вектора на плоскости. Проверить, задают ли скалярное произведение на плоскости следующие формулы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 3. Показать, что в следующих пространствах нельзя ввести скалярное произведение, согласованное с нормой:

4. Пусть - множество всех комплексных матриц. Прове-рить аксиомы скалярного произведения в пространстве

, где - матрица, сопряженная к матрице , - след матрицы. Доказать, что пространство с введенным на нем скалярным про-изведением является гильбертовым. 5. Обозначим через линейное пространство всех функций вида:

Проверить аксиомы скалярного произведения

в пространстве . Пусть – пополнение по норме, порожденной этим скалярным произведением. Доказать, что не является сепарабельным. 6. Непрерывная на функция называется почти периодической, если для любого найдется почти период – число такое, что

. Проверить аксиомы скалярного произведения

в пространстве Бора всех почти периодических функций. Будет ли это пространство гильбертовым? 4.2 Ортогональное проектирование

25

7. Пусть - заданное подпространство в гильбертовом пространстве . Описать ортогональное дополнение , найти проекцию вектора на подпространство и вычислить расстояние от до : 1) ;

2) , ;

3) , ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) , ; 9) ; 10) . 8. Доказать, что система векторов в гильбертовом простран-стве линейно независима тогда и только тогда, когда ее определитель Грама

9. Множество в гильбертовом пространстве называется чебышев-ским, если для любого в существует элемент такой, что расстояние от до множества равно . Такой элемент называется элементом наилучшего приближения. Доказать, что любое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве является чебышевским. 10. Пусть - конечномерное подпространство гильбертова простран-ства , а – линейный базис (не обязательно ортогональ-ный) в . Доказать, что для любого элемент наилучшего приближения в подпространстве имеет вид

26

где

а расстояние от до равно

В частности, если – ортонормированный базис в , то

4.3 Ортонормальный базис 11. Показать, что система векторов образует ортонормальный ба-зис в гильбертовом пространстве : 1)

2)

3) 4) 5) где - система функций Хаара:

Многочлены , получающиеся при ортогонализации системы функ-ций в гильбертовом пространстве , называются мно-гочленами Лежандра. Можно показать, что

27

6) 7) 8) где - многочлены Чебышева первого рода:

9) где

- многочлены Чебышева второго рода:

10)

где - многочлены Якоби:

; 11) где – многочлены Эрмита:

;

12) где

12. Применить процесс ортогонализации Грама-Шмидта к векторам

в гильбертовых пространствах и : 1) ; 2) ; 3)

; 4) ; 5) ;

28

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 4.4 Ряды Фурье 13. В гильбертовых пространствах 1) – 12), рассмотренных в задаче 11 предыдущего параграфа, найти разложение в ряд Фурье следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 14. В гильбертовых пространствах , и

приблизить функции тригонометрическими многочленами с точностью до : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

29

ГЛАВА 5

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ Этот раздел посвящен изучению линейных операторов и функцио-налов. В задачах рассматриваются такие вопросы, как ограниченность операторов и функционалов, нахождение их норм в различных простран-ствах, сильная сходимости операторов. Изучаются сопряженные про-странства, сопряженные операторы, продолжение функционалов с за-данного подпространства на все пространство. 5.1 Линейные операторы 1. Пусть – конечномерные нормированные пространства. Доказать, что любой линейный оператор из в непрерывен. 2. Оператор в пространстве задан матри-цей . Выразить норму оператора через коэффициенты матрицы при

. Доказать неравенство , .

3. Доказать, что оператор является линейным, ограниченным и найти его норму: 1) 2)

30

3) 4) 4. Пусть – банаховы пространства, – ограниченный ли-нейный оператор. Всегда ли выражения 1) , 2) задают в норму? Будет ли c этой нормой банаховым пространством? 5. Является ли оператор линейным непрерывным:

1) ; 2) ? 6. Пусть задан оператор ,

где . Показать, что

– линейный непрерывный оператор и найти . 7. Пусть заданы операторы , ,

. Проверить, что они являются линейными, ограниченными и найти

. 8. Пусть задан оператор . Проверить, что оператор является линейным, ограниченным и его норма . 9. Пусть задан оператор , ,

.

Доказать, что – линейный ограниченный и найти норму . 10. Найти норму оператора , если: 1) ; 2) . 11. При каком значении параметра оператор яв-ляется линейным и непрерывным в ?

31

12. При каких значениях параметров оператор является линейным и непрерывным в ? 13. Определить тип сходимости (сильная или по норме) последователь-ности операторов к оператору , если: 1) , , ; 2) , , ; 3) , , ;

4) , , , где – тождественный оператор; 5) , , ; 6) , , ; 7) , , , где – тождественный оператор; 8) , , . 5.2 Обратные операторы 14. Пусть и есть заданная ниже пара пространств и отображение

реализует естественное вложение в . Доказать, что , но не имеет ограниченного обратного. Является ли про-

странство с Y-нормой банаховым: 1) ; 2) ? 15. Существует ли непрерывный обратный оператор к оператору

: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ? 16. Пусть заданы операторы ,

32

. Доказать, что не имеет обратного, а – имеет и найти . 17. В пространстве заданы два оператора и Найти операторы ? 5.3 Линейные функционалы 18. Продолжить линейный непрерывный функционал с одномерного подпространства на двумерное нормированное пространство с со-хранением нормы: 1) ,

; 2) , ,

; 3) ,

.

19. В каких из пространств , , следующие функционалы являются а) линейными, б) ограниченными, в) непрерывными: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) , – фиксированное; 6) ; 7) ; 8) ; 9) , – фиксированное? 20. В каких из пространств , , , следующие функционалы являются а) линейными, б) ограниченными, в) непрерыв-ными: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

33

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ? 21. Пусть задано отображение . Определить все линейные продолжения на с той же нормой, если в

норма: 1) , 2) . 22. Найти норму функционала в пространствах: 1) ; 2) ; 3) . 5.4 Сопряженные операторы 23. Для оператора найти сопряженный оператор , если 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10) .

34

ГЛАВА 6

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Интегральные уравнения являются одним из основных объектов при-ложений в функциональном анализе. Результаты об интегральных урав-нениях носят характер иллюстраций и следствий общих утверждений, что позволяет демонстрировать плодотворность методов функциональ-ного анализа. В этой главе собраны задачи нахождения точных и при-ближенных решений уравнений Фредгольма и Вольтерра различными методами. Также имеется ряд задач, в которых требуется найти точные условия разрешимости интегральных уравнений Фредгольма в гильбер-товом пространстве . 6.1 Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами 1. Для всех значений параметров решить интегральное уравнение Фредгольма

где 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

35

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 2. С помощью сопряженного уравнения при каждом значении выяснить, для каких значений параметров существует реше-ние интегрального уравнения Фредгольма

в пространстве , где 1) , , 2) , , 3) , , 4) , , ; 5) , , ; 6) , , ; 7) , , ; 8) , , ; 9) , , ; 10) , , ; 11) , , ; 12) , , ? 6.2 Интегральные уравнения Фредгольма. Замена ядра вырожденным 3. Найти с точностью 0,01 решение интегрального уравнения Фред-гольма

заменяя ядро вырожденным, где 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , ;

36

7) , ; 8) , ; 9) , ; 10) , ; 11) , ; 12) , . 6.3 Интегральные уравнения Фредгольма. Разложение решения в ряд Фурье 4. С помощью разложения в ряд Фурье в пространстве решить интегральное уравнение

, где – -периодическая функция: 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) ; 5) , ; 6) , ; 7) , ; 8) , ; 9) , ; 10) , ; 11) , ; 12) , . 6.4 Интегральные уравнения Вольтерра. Решение методом последовательных приближений и сведением к дифференциальному уравнению 5. Методом последовательных приближений при и сведением к дифференциальному уравнению решить интегральное уравнение Воль-терра

, где 1) , ;

37

2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , ; 7) , ; 8) , ; 9) , ; 10) , ; 11) , ; 12) , .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абросимов, А. В. Упражнения по функциональному анализу: учеб. по-собие / А. В. Абросимов, В.А. Калягин, А. А. Калинин, В.Н. Филлипов. – Н.Новгород: ННГУ, 1992. – 76 с. 2. Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения: учеб. пособие / А. Б. Антоневич, М. Х. Мазель, Я. В. Радыно. – Минск: БГУ, 2011. – 319 с. 3. Антоневич, А.Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А.Б. Антоневич, Я.В. Радыно. – Минск: БГУ, 2003. – 430 с. 4. Бородин, П. А. Задачи по функциональному анализу. Часть 1 / П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак. – М.: ЦПИ, 2009. – 176 с. 5. Ганенкова, Е. Г. Функциональный анализ : учеб. пособие / Е. Г. Ганен-кова, К. Ф. Амозова. – Петрозаводск: ПетрГУ, 2011. – 88 с. 6. Городецкий, В. В. Методы решения задач по функциональному анали-зу : учебное пособие / В. В. Городецкий, Н. И. Нагнибеда, П. П. Настасиев. – Киев: Выща шк., 1990. – 479 с. 7. Дерр, В. Я. Функциональный анализ. Лекции и упражнения: учебное пособие для бакалавров / В. Я. Дерр. – Москва, Юрайт, 2012. – 464 с.

38

8. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального ана-лиза / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М., 1981. – 543 с. 9. Петров, В. А. Элементы функционального анализа в задачах / В. А. Петров, Н. Я. Виленкин, М. И. Граев. – М.: Просвещение, 1978. – 128 с. 10. Юргелас, В. В. Функциональный анализ : практикум для студентов / В. В. Юргелас. – Воронеж: ВГУ, 2007. – 56 с.

39

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ............................................................................................................. 3 Глава 1. Мера и интеграл Лебега ..................................................................... 4 1.1 Мера ....................................................................................................... 4 1.2 Интеграл Лебега .................................................................................... 7 Глава 2 Метрические пространства ............................................................... 12 2.1 Метрика ............................................................................................... 12 2.2 Сходимость последовательностей в метрических пространствах ....................................................................................... 14 2.3 Непрерывные отображения в метрических пространствах ........... 16 2.4 Сжимающие отображения в метрических пространствах ............. 17 Глава 3 Линейные нормированные пространства ........................................ 20 3.1 Норма ................................................................................................... 20 3.2 Множества в нормированных пространствах. Подпространства ................................................................................. 21 3.3 Сходимость последовательностей и рядов в нормированных пространствах ......................................................... 22 Глава 4 Гильбертовы пространства ............................................................... 24 4.1 Скалярное произведение .................................................................... 24 4.2 Ортогональное проектирование ........................................................ 25 4.3 Ортонормальный базис ...................................................................... 27 4.4 Ряды Фурье .......................................................................................... 29 Глава 5 Линейные операторы и функционалы ............................................. 30 5.1 Линейные операторы .......................................................................... 30 5.2 Обратные операторы ......................................................................... 32 5.3 Линейные функционалы .................................................................... 32 5.4 Сопряженные операторы ................................................................... 34 Глава 6 Интегральные уравнения .................................................................. 35 6.1 Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами .................................................................... 35 6.2 Интегральные уравнения Фредгольма. Замена ядра вырожденным ................................................................ 36 6.3 Интегральные уравнения Фредгольма. Разложение решения в ряд Фурье ......................................................................... 36 6.4 Интегральные уравнения Вольтерра. Решение методом последовательных приближений и сведением к дифференциальному уравнению .................................................... 37 Список литературы .......................................................................................... 38

Учебное издание

Радыно Яков Валентинович Чесалин Владимир Иванович Яблонская Анна Геннадьевна

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ

«ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»

Учебно-методическое пособие для студентов

механико-математического факультета

В авторской редакции

Ответственный за выпуск А.Г. Яблонская

Подписано в печать 15.10.2013. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,33. Уч.- изд. л. 1,59. Тираж 50 экз. Заказ

Белорусский государственный университет.

ЛИ № 02330/0494425 от 08.04.2009. Пр. Независимости, 4, 220030, Минск.

Отпечатано с оригинала-макета заказчика на копировально-множительной технике механико-математического факультета

Белорусского государственного университета. Пр. Независимости, 4, 220030, Минск.