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PR-REITORIA DE GRADUAO - BACHARELADO EM CINCIA E TECNOLOGIAINFORMTICA

MTODOS NUMRICOS DE DETERMINAO DE RAZES: BISSEO, SECANTE E NEWTON-RAPHSON

Professor.: Aquiles Burlamaqui

CONTEDOMetodologiaContextoBibliografiaMotivaoIdia Central dos MtodosFase IFase IIMtodo da BisseoMtodo de Newton-RaphsonMtodo da SecanteComparao dos mtodosPrticaPesquisa

METODOLOGIAAulas Terico-Prticas:Em todas as aulas havero uma discusso inicial, onde sero construdos os conceitos assim como as atividades prticas que serviro como parmetros para avaliao.Avaliao:A avaliao ser feita em cima das prtica vistas em sala de aula assim como provas escritas e participao, de maneira a avaliar o aluno continuamente.

Eu escutei e esqueci. Eu vi e lembrei. Eu fiz e Entendi. Confucius

CONTEXTO DA AULA NA DISCIPLINAEsta aula de est inserida no contexto da disciplina de Clculo Numrico cujos objetivos so: Apresentar o clculo do ponto de vista computacional.Desenvolver as tcnicas destinadas a compensar as restries das representaes numricas. Pr-requisitos:Clculo IIntroduo Programao

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BIBLIOGRAFIARugiero, Mrcia A. G. & Lopes, Vera L.R. Clculo Numrico: Aspectos Tericos e Computacionais. 2 ed. Makron Books, 1996.Sperandio, Dcio et al. Clculo Numrico: Caractersticas Matemticas e Computacionais. Prentice-Hall, 2003.Franco, Neide M.B.. Clculo Numrico. Prentice-Hall, 2006.

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MOTIVAOA busca por zeros de funes:

- em diversas reas da cincia, surgem modelos matemticos definidos por uma equao do tipo f(x) = 0 Algumas funes podem ter suas razes calculadas analiticamente, porm outras so de difcil soluo ou de soluo desconhecida (polinmios de ordem maior que 3, por exemplo), sendo necessrio a soluo por mtodos numricosDesejamos portanto encontrar um valor x para x tal que f(x) = 0Iremos discutir mtodos numricos de implementao computacionalmente vivel para encontrar um valor para x dentro de um intervalo com uma preciso razovel

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IDIA CENTRAL DOS MTODOSFase I

Localizar ou isolar uma regio que contenha a raiz e definir um valor aproximado inicial

Fase II

Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximao inicial obtida na fase I at se obter uma aproximao para a raiz real dentro de uma preciso e prefixada*

FASE INesta fase fazemos uma anlise terica e grfica da funo f(x)O sucesso da fase II depende da preciso desta anliseUsamos o Teorema de Cauchy:seja f(x) uma funo contnua no intervalo [a, b]se f(a)f(b) < 0 ento existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que zero de f(x)a prova deste teorema pode ser encontrada em [Guidorizzi, 2001]

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FASE I : ANLISE GRFICAFiguras extradas de [Ruggiero, 1996]*

FASE I : ANLISE GRFICA*Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]se f(a)f(b) > 0 ento podemos ter vrias situaes no intervalo [a, b]. Estas situaes e a anlise grfica so discutidas com mais detalhes em [Guidorizzi, 2001] e [Leithold, 1994]

FASE I : ANLISE GRFICAVimos portanto, que a anlise grfica do funo f(x) fundamental para se obter boas aproximaes para a raiz

suficiente o uso de um dos processos a seguir:

i ) Esboar o grfico de f(x) e localizar a regio onde a curva intercepta o eixo das abcissas;

ii ) A partir da equao f(x) = 0 obter a equao equivalente g(x) = h(x) e esboar seus grficos. Os pontos de cruzamento das curvas so os zeros procurados, pois f(x)=0 g(x) = h(x)

iii ) Usar softwares para traar grficos*

FASE I : EXEMPLO COM PROCESSO I*Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]

FASE I : EXEMPLO COM PROCESSO II*Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]

FASE I : TABELA DE VARIAO DO SINAL*Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]

FASE II: REFINAMENTOH vrios mtodos para refinamento da raizTodos pertencem a classe dos mtodos iterativos onde um conjunto de instrues repetido formando cada passo ou cicloEles fornecem uma aproximao da raiz importante:Definir o critrio de paradaEstudar a convergncia e sua eficincia

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Convergncia: Chegar a uma soluo aproximada vlida.*

CRITRIOS DE PARADAExistem vrios tipo de critrios de parada

Analise do valor da funcao:

Erro absoluto:

Erro relativo:

Limites do intervalo:

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FASE II: PSEUDO-CDIGOLer dados iniciaisRealizar clculos e aproximao iniciaisk = 1Enquanto !criterioSatisfeito E k < limMaxcriterioSatisfeito = calcularNovaAproximacao()k = k + 1Fim enquantoExibirResultados()*

FASE 1

FASE 2

FASE II: MTODO DA BISSEOUsando-se o teorema j apresentado

se f(a)f(b) < 0 ento existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que zero de f(x)Divide-se ao meio o intervalo

[a, b] sucessivamente at que (b-a) < eCada novo xk = (ak + bk)/2 ser o novo ak+1 ou bk+1 de modo a manter vlido o teorema acima

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FASE II: MTODO DA BISSEO

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Ex: Achar a raiz da equao

no intervalo [2,3] com o erro absoluto

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FASE II: MTODO DA BISSEOVantagens:SimplesConverge sempreDesvantagens:convergencia lenta

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FASE II: MTODO DE NEWTON-RAPHSONSupondo uma aproximao x0 para a raiz de f(x), no ponto (x0, f(x0)) passa apenas uma nica reta tangente, que a derivada de f(x) em x0. Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x1,definindo por sua vez, o ponto (x1, f(x1))Por este novo ponto tambm passa uma nica reta tangente que corta o eixo x em x2. Esta nova coordenada define outro ponto (x2, f(x2)) que repete todo o processox0,x1,... so aproximaes cada vez melhores para a raiz da funo, o Xk+1 pode ser obtido a partir do Xk atravs da funo:

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FASE II: MTODO DE NEWTON-RAPHSON

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FASE II: MTODO DE NEWTON-RAPHSON (FORMULAO E ANLISE GRFICA)*Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]

ConvergnciaCaso se escolha x0 de forma que x1 saia do intervalo [a,b] o mtodo poder no convergir.

Ex: Ache a raiz da equaopara o erro relativo , ou seja:FASE II: MTODO DE NEWTON-RAPHSON

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Se

Entox0=0,5

FASE II: MTODO DE NEWTON-RAPHSONVantagens:SimplesRpida convergncia

Desvantagens:Nem sempre convergeNecessidade de se conhecer a derivada da funoMuito sensvel estimativa inicialSe a derivada for nula o mtodo falha

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FASE II: MTODO DA SECANTEUma grande desvantagem do mtodo de Newton a necessidade de se obter f(x) e calcular seu valor numrico a cada iteraoUma forma de se contornar este problema substituir a derivada f(x) pelo quociente das diferenasf(xk) ( f(xk) - f(xk-1) ) / ( xk - xk-1)

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FASE II: MTODO DA SECANTE

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*Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]FASE II: MTODO DA SECANTE

FASE II: MTODO DA SECANTEVantagens:SimplesRpida convergncia como o mtodo deNewton e no necessita do conhecimento da derivada da funoDesvantagens:Nem sempre convergeMuito sensvel estimativa inicialSe a derivada for nula o mtodo falha

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FASE II: COMPARAO ENTRE OS MTODOS APRESENTADOSO mtodo da Bisseo sempre converge para uma soluoO esforo computacional do mtodo da bisseo cresce demasiadamente quando se aumenta a exatido da raiz desejadaDeve ser usado apenas para diminuir o intervalo que contm a raiz para posterior aplicao de outro mtodo, como o mtodo de Newton, por exemploO mtodo da Secante uma aproximao para o mtodo de NewtonAo contrrio do mtodo da Bisseo o mtodo da Secante e de Newton podem no convergir

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FASE II: COMPARAO ENTRE OS MTODOS APRESENTADOSO mtodo da bisseo bastante simples por no exigir o conhecimento da derivada da equao em questo, porm possui uma convergncia lentaO mtodo de Newton o que apresenta a convergncia mais rpida, porm exige o conhecimento da derivada analtica da funo em questoO mtodo da Secante mais lento que o de Newton, porm no exige o conhecimento da derivada analtica da funo em questo

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DEMONSTRAO PRTICA DOS MTODOS EM AO*

EXERCCIOS PARA OS ALUNOSImplementar os mtodos apresentados, de preferncia com visualizao grficaPara uma coleo de funes dadas na lista de exerccios

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PESQUISAEm cima de suas implementaes:Encontrar situaes de no convergncia e explicar o que est acontecendoDefinir diferentes critrios de parada, comparar os resultados obtidos e o nmero de iteraes necessrios para cada mtodo

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MTODOS NUMRICOS DE DETERMINAO DE RAZES: BISSEO, SECANTE E NEWTON-RAPHSON

Professor.: Aquiles [email protected]://aquilesburlamaqui.wikidot.com

OBRIGADO!FIM.

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Convergncia: Chegar a uma soluo aproximada vlida.**

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