Observa Bili Dad

8/16/2019 Observa Bili Dad

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉDE SUCRE

VICERRECTORADO LUIS CABALLERO MEJÍAS

SISTEMAS DE CONTROL IISECCIÓN: 01

Sistemas Control II

PROFESOR:José P!"o!#

ALUMNOS:$ P%&%&' R(%&)o# E*+: ,01,10-1./$%&(% %2&'3%# E*+: ,01,10-004

$5%6& S%!7os# E*+$8&2'& P!')%# E*+

$'!'sss J%6's# E*+ ,010,0-019

CARACAS MA5O DEL ,019


2/43

INTRODUCCION

C;%!)o s' Co!7&o3 A?%!"%)o@ s' ;'&' !)(%& 3% %+3(%(!)' 's7&%7'%s )' (o!7&o3 %;7o67(o ;' 7&%s('!)'! 3%s ;' ;s;%36'!7' s'

%+3(%! '! (o!7&o3 )' +&o('sos# E! '!'&%3 's7%s 's7&%7'%s +;')'!)'!o6!%&s' (o6o >+%&6'7&os +76os@ % ;' +%&7'!)o )' ;!% 's7&;(7;&%%3o&76(% =% s' 6o)=(%! s;s +%&6'7&os (o! '3 o2'7o )' 3o&%& 3%&'s+;'s7% )'3 +&o('so ;' 6'o& s' %)'(;' % 3os &';'&6'!7os )'3 6s6o(o!=o&6' % ;! (&7'&o )' o+76"%(! =(3 )' '!7'!)'& 6%!'%& +o& ;!o+'&%)o& )' +3%!7%# E! '!'&%3 7o)%s s' 2%s%! '! ;! (o!o(6'!7o 6s o6'!os %(%2%)o )'3 ss7'6% % (o!7&o3%& 7%!7o )' s; ='!o6'!o3o% (o6o )'s;s (o!)(o!'s )' o+'&%(!#

E3 7&%2%o ;' s' +&'s'!7% % (o!7!;%(! 2;s(% '*+3(%& )' 6%!'&% ))(7(% 6; '*+3(7% ;!% 2;'!% (%!7)%) )' 7'o&'6%s s;+;'s7os )'s%&&o33%)os '!)s7!7%s &'%s )'3 (%6+o )' 's7;)o )' Co!7&o3 A?%!"%)o# E! +&6'& 3;%& s')'s%&&o33% ;!% '*+3(%(! 2&'?' so2&' G;é 's '3 (o!7&o3 %?%!"%)oH s;s&'%s )' 's7;)os 6s s!=(%7?%s +%&% 3;'o +%s%& % 's7;)%& )' 6%!'&%6s +&o=;!)% &'%s 's+'(=(%s )'3 (o!7&o3 (o6o ('!(% )' 's7;)o ' !'!os' +&'s'!7%! 7'o&'6%s s;s 2%s's 7'&(%s +%&% 3;'o &'%3"%& ''6+3os+&(7(os ;' 2;s(%! )'6os7&%& 3% ;73)%) )' 3os 6s6o +%&% 3os =;7;&os3'(7o&'s#

T'!'!)o (o6o o2'7?o +&!(+%3 '3 =(3 '!7'!)6'!7o )' 3o '*+;'s7o s'o67&! )'6os7&%(o!'s 6%7'67(%s '*7'!s%s ;' !o =o&6%! +%&7'=;!)%6'!7%3 )' 3% )'=!(! )' 3os )s7!7os 7'o&'6%s +%&% '?7%& %s &');!)%& '! 3os 7'6%s 7&%7%)os '?7%& (o!=;s! )' 7é&6!os#


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CONTROL AVANZADO

E*s7'! )='&'!7's =o&6%s )' (o!7&o3 %;7o67(o ;' &'s+o!)'! % 's7' 7+o )'

)'!o6!%(!# E! '!'&%3 7o)%s s' 2%s%! '! ;! (o!o(6'!7o 6s o 6'!os%(%2%)o )'3 ss7'6% % (o!7&o3%& 7%!7o )' s; ='!o6'!o3o% (o6o )' s;s(o!)(o!'s )' o+'&%(! % 7&%?és )' ;! 6o)'3o 6%7'67(o ;' 3o )'s(&2%'! =o&6% 2%s7%!7' %+&o*6%)% '! 7o)o s; &%!o )' o+'&%(! +%&% (;%3;'& !s7%!7' )' 7'6+o s7;%(! &'3'?%!7' '! +&o('sos +o& 3o7's o >2%7((o6+&%&s' '! '3 6'&(%)o@ s!o

;' &';'&'! s'& (o!=;&%)%s +o& ;! '*+'&7o '! (o!7&o3 ;'! )'2'&+os7'&o&6'!7' (%+%(7%& %3 o+'&%)o& )'3 +&o('so +%&% SI *1 *,###*! ENTONCES 1 ,### 6###@ )o!)' >*1 *,### *!@ &'+&'s'!7%! 3os%!7'(')'!7's o +&'6s%s ' >1 ,### 6@ 3%s (o!s'(;'!(%s o %((o!'s#L% =o&6% )' +&o('s%& 's7%s &'3%s (o!7&%s7!)o3%s (o! 3% !=o&6%(!

)s+o!23' )'3 +&o('so (o!7&o3%)o )% 3%s (%&%(7'&s7(%s )' (%)% 7+o )'(o!7&o3 '! +%&7(;3%


4/43

• Co!7&o3 Ó+76o: Es7' (o!7&o3 s' 2%s% '! 3% )'=!(! )' ;!% =;!(! o=;!(o!%3 ;' +o& 3o '!'&%3$ !(3;' '3 '&&o& )' (o!7&o3 3% %((! )'(o!7&o3 o s;s )'s?%(o!'s (o! +o!)'&%(o!'s ;' +'&67'! >+'s%&@'! =o&6% &'3%7?% (%)% ;!% )' '33%s s' 's7%23'(' ;! (&7'&o )'

o+76"%(! so2&' )(A)%+7?' Co!7&o3@K: Es7'ss7'6% )' (o!7&o3 's %+&o+%)o +%&% ss7'6%s ;' s'%! ?%&%!7's '! '3

7'6+o# A;!;' )'!7&o )' 's7% (%7'o&% +o)&%! (o3o(%&s' 3os >PID%;7o%;s7%23's@ '3 (o!('+7o 's 6;(%+&'!)%@ 3o;' s' 3' ;'&' '!s'%&K ;!% )' >?%3)%(!@ )o!)' s' (o!7&%s7% '3%+&'!)"%' )' 3% &') (o! o7&os )%7os )s+o!23's )'3 ss7'6% ;' !o s';73"%! +%&% '3 '!7&'!%6'!7oK# C;%!)o 3% &') >


5/43

>I!7'&!%3Mo)'3 Co!7&o3 o IMC@K# Es7' ss7'6% )' (o!7&o3 7%62é!


6/43


7/43

;376% '(;%(!# S' )'6;'s7&% ;' 's7o &';'&' ;' '3 &%!o )' 3% 6%7&" nm

* n s'%! n.Es )'(& (o6+3'7%6'!7' o2s'&?%23' s s3o s 3% 6%7&" n * nm:

Es )' &%!o n o 7'!' n ?'(7o&'s (o3;6!% 3!'%36'!7' !)'+'!)'!7's# Es7%6%7&" s' )'!o6!% matriz de obser vabilidad .

Ejemplo 1

Sea el sistema descrito por:

Diga si este sistema es controlable y observable.

Solución:Co6o +;')' o2s'&?%&s' '3 &%!o )' 3% 6%7&" 's ,

E3 ss7'6% 's )' 's7%)o (o6+3'7%6'!7' (o!7&o3%23'#P%&% 3% (o!7&o3%23)%) )' s%3)% s' (%3(;3% '3 &%!o )' 3% 6%7&" CB | CABW#Co6o

E3 &%!o )' 's7% 6%7&" 's 1# Po& 7%!7o '3 ss7'6% 7'!' ;!% s%3)%(o6+3'7%6'!7' (o!7&o3%23'#P%&% ?'&=(%& 3% (o!)(! )' o2s'&?%23)%) '*%6!' '3 &%!o )' C* | A*C*W#

Co6o

E3 &%!o )' C* A*C*W 's ,# Po& 7%!7o '3 ss7'6% 's (o6+3'7%6'!7' o2s'&?%23'#

Condiciones para observabilidad completa en el plano s.

L%s (o!)(o!'s +%&% o2s'&?%23)%) (o6+3'7% 7%62é! s' +;')'! '*+&'s%& '!

7é&6!os )' =;!(o!'s )' 7&%!s='&'!(% o 6%7&('s )' 7&%!s='&'!(%# L%(o!)(! !'('s%&% s;=('!7' +%&% o2s'&?%23)%) (o6+3'7% 's ;' !o o(;&&%


8/43

;!% (%!('3%(! '! 3% =;!(! )' 7&%!s='&'!(% o '! 3% 6%7&" )' 7&%!s='&'!(%#S o(;&&' ;!% (%!('3%(! '3 6o)o (%!('3%)o !o s' +;')' o2s'&?%& '! 3%s%3)%#

Ejemplo 2

Demuestre que el siguiente sistema no es completamente observable.

ẋ= A x+Bu

y=C x

Donde:

Tome en cuenta que la función de control u no afecta a la observabilidad completa del sistema.

Para examinar la observabilidad completa, simplemente se ace u ! ".

Solución:P%&% 's7' ss7'6% s' 7'!' ;':

To6%!)o '! (;'!7% ;' '3 )'7'&6!%!7' )' 's7% 6%7&" 's 0 '3 &%!o )' 3%

6%7&"

A∗¿¿

¿

C ∗ A∗C ∗¿¿

s'& 6'!o& ;' -# As '3 ss7'6% !o 's (o6+3'7%6'!7'

o2s'&?%23'#

D'


9/43

3% =;!(! )' 7&%!s='&'!(% '!7&' % sK # 1sK 's

Po& 7%!7o 3% =;!(! )' 7&%!s='&'!(% '!7&' 3% s%3)% % sK 3% '!7&%)% $ sK 's

Es '?)'!7' ;' 3os )os =%(7o&'s s 1K s' (%!('3%! ;!o %3 o7&o# Es7o s!=(%;' !o


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l criterio de estabilidad robusta polinomial

E3 +o3!o6o P K 's &o2;s7%6'!7' 's7%23' s so3o s:ƛ

1# L% (3%s' A )' +o3!o6os P K (o!7'!' +o& 3o 6'!os ;! +o3!o6o ;&7"ƛ

+LK 33%6%)o >2s(o@#,# E3 s;'!7' +&!(+o )' '*(3;s! )'3 ('&o (;6+3': '3 (o!;!7o [%K !o(o!7'!' %3 o&'! +;!7o ('&oK 's )'(&

Dónde: D'!o7%&'6os (o6o [%K %3 (o!;!7o )' 7o)os 3os ?%3o&'s )'3 ?'(7o

TEOREMA DE 8ARITONOV

U!% =%63% )' +o3!o6os )' !7'&?%3o E(;%(! ,#,K &'+&'s'!7% ;! !6'&o!=!7o )' +o3!o6os ;' =o&6%! +%&7' )' '33%# P%&'('&% 6+os23' '3 +o)'& )'7'&6!%& 3% 's7%23)%) )' 7o)% 3% =%63% s! '62%&o '3 7'o&'6% )'8


11/43

!'('s%&% s;=('!7' +%&% 7o)os 3os +o3!o6os '! 3% =%63% )%)%+%&% s'& 's7%23' ;&7" C%33'& D'so'& 1..1K#L% =%63% )' +o3!o6os s' o27'!' +o& (o!s)'&%!)o +'&67& ;' (%)% ;!o )' 3os (o'=('!7's )'3 +o3!o6o +%&%?%&%& D'!7&o )' ;! !7'&?%3o )' =o&6% !)'+'!)'!7'# M;'s7&% 3% 's7%23)%) )'[;' 's7% =%63% )' +o3!o6os +;')' )'7'&6!%&s' 6&%!)o 3% 's7%23)%) )'(;%7&o+o3!o6os ?é&7('s (o!s7&;)os 's+'(%36'!7'#

TEOREMA# $na familia de polinomios de intervalo P, con grado invariante, esrobustamente estable si y sólo si sus cuatro polinomios de &aritonov son

estables.

Donde los polinomios de &aritonov son:

E*+3(%(! )'3 7'o&'6%#

F'6os ;! !6'&o !%7;&%3 ! ] 0 +%7% 7o)o 301,-^!$1#

L;'o )'=!6os ;! (o!;!7o 8 )' +o3!o6os )' &%)o ! 7%3 :

Do!)' +%7% 7o)o 3 01,-^!$1#

S;+o!%6os ;' '3 (o'=('!7' )'3 7'&6!o )' 6%o& &%)o )' P"K 's;%3 % 1#

D'=!&'6os / +o3!o6os:


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NOTA: I!?'&7&'6os '3 o&)'! )' 3os !)('s )' 3os (o'=('!7's )'3 +o3!o6o+%&% =%(37%& 3%s )'=!(o!'s )' 3os +o3!o6os %!7'&o&'s#

OBSERVE: Los +o3!o6os )' 8


13/43

P%&% +&o2%& 3% 's7%23)%) )' 3os +o3!o6os )' 8


14/43

D' 's7% =o&6% s 0 a MK 's7 '! ;!% )' 3os 3%)os (o! '*('+(! )'3os ?é&7('s# S;+o!% ;' '3 3%)o ";'&)o )'3 &'(7!;3o )' 3% =;&%

%!7'&o& 7o(% '3 o&'! o s'% # Los +o3!o6os )' ;&7"


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SIMPLIFICACIÓN PARA POLINOMIOS DE RADO MENOR A 9

Po& '3 7'o&'6% )' 8


16/43

Po& 3o ;' 3% (o!)(! )' k 12 's &');!)%!7'# Po& %!%3o% s 3% (o!)(!

)' 's7%23)%) )' k 21 's s%7s='(


17/43

L ,004K +&o+;so ;! (&7'&o !;'?o 6; s'!(33o +%&% +&o2%& 3% )'=!(!+os7?% o !'%7?%K )' )'7'&6!%)%s 6%7&('s !(3;'!)o 3% 6%7&" )' ;&7"#E! (o!7&%s7' (o! 3os (&7'&os 7&%)(o!%3's '! 3%s !o&7' )'7'&6!%!7's s'(%3(;3%! 's7' !;'?o (&7'&o s3o !'('s7% ;! )'7'&6!%!7' +%&% s'& (o6+;7%)o#

Es 2'! s%2)o ;' '3 s!o )' ;! )'7'&6!%!7' s' (o!s'&?% (;%!)o ('&7%so+'&%(o!'s )' &');((! )' 3% =3% 's )'(& 3% %)(! )' ;! 's(%3%& 637+3o)' o7&% =3% )' ;!% =3% )%)% s' 33'?%! % (%2o '! 3% 6%7&" (;%)&%)%# A)'6s s's7%s o+'&%(o!'s )' &');((! )' 3% =3% so! 33'?%)o % (%2o '! ;! (o!;!7o )'=3%s )%!)o 3;%& % ;! !;'?o (o!;!7o )' =3%s s' +;')' )'(& ;' s'& ('&&%)o3%s o+'&%(o!'s# E=(%"6'!7' +o)&%6os &');(& ;!% 6%7&" (;%)&%)% )%)% %;!% 6%7&" 7&%!;3%&% 7&%?és )' 's7%s )os o+'&%(o!'s 6'!7&%s s' 6%!7'!' 3%s'%3 )' 3% )'7'&6!%!7'# Noso7&os ;s%6os '3 s;'!7' 7'o&'6% )' L ,004K:

T'o&'6%# -l polinomio caracterstico de una matri) cuadrada /,

, donde ai0 ", i ! ",1, 2, n, es un

polinomio 'ur(it) si y sólo si la matri) de 'ur(it) anteriormente +eqn.3 se

puede reducir a una matri) triangular superior + a trav4s de una serie

operaciones de reducción de la forma:

S!(' ' !'') 7


18/43

A!"O#I$%O

P%&% (%)% ;!o )' 3os / +o3!o6os )' 8


19/43

T'!'6os:

EJEMPLO ,# Co!s)'&' '3 ss7'6% )%)o:

Co! 3os (o'=('!7's ;!)os )' 3% s;'!7' 6%!'&%:

V'&=;' s '3 ss7'6% 's &o2;s7%6'!7' 's7%23' )' s'&3o (%3(;3' ?%3o& 6s+';'o )'3 ?%3o& )'3 &%)o )' 's7%23)%)#

RESPUESTA

E3 +o3!o6o (%&%(7'&s7(o )'3 ss7'6% )' 3%"o ('&&%)o 's:


20/43

P;'s7o ;' 7o)os 3os (o'=('!7's s' +'&7;&2%! )' =o&6% !)'+'!)'!7' s'

+;')' %+3(%& '3 7'o&'6% )' 8


21/43

P, P #

E!7o!('s

$S$ D &A'$'S


22/43


23/43

S;+o!%6os ;' '*s7' ;! e g 0 (o! e A f9 e e B 0 # E!7o!('s

Po& 3o7%!7o 8 !o 7'!' &%!o )' =3% (o6+3'7o +o& 3o 7%!7o A BK !o 's (o!7&o3%23'#

Po& '3 (o!7&%&o s;+o!'& A BK !o 's (o!7&o3%23'# Po)'6os 7&%!s=o&6%& 's7'+%& '! 3% =o&6% !o&6%3 )' (%+%()%) )' (o!7&o3 AY BYK )o!)' A,, !o 's 3%6%7&" ?%(%# +o& 3o 7%!7o +o)'6os )'7'&6!%& %3;!%s f ∈ C

#

E!7o!('s )'=!%6os:

[;')!)o!os:

Co! o27'!'6os:

Co6o 7%62é! 's !?'&723' +o)'6os (o!(3;& ;' :

+/ 8 f9 3 5 !o 7'!' &%!o =3% (o6+3'7%#

EJEMPLO 1# P%&%:

(o!s)'&%:

L% ;376% &'3%(! 6+3(% ;' P10# D' 3% +&6'&% &'3%(! s' 3'':


24/43

L% +&6'&% '(;%(! 6+3(% P, 0# Po& 3o 7%!7o A BK 's (o!7&o3%23'#

;on *atlab se puede calcular los valores propios pares diferentes 1,. . . ,


25/43

(O#%'!A D I)$#O!ACIO) D S+!,S$#

E3 7'o&'6% )' S3?'s7'& 's7 2%s%)o '! 3% 33%6%)% =&6;3% )'

!7'&+o3%(! )' L%&%!' ;' +'&67' )'7'&6!%& 3% '*+&'s! )' ;! +o3!o6o=hK % +%&7& )' ! )%7os !)'+'!)'!7's = h1 K = h, K^# = h- K ;s%!)o 3% '(;%(!

O s6+3'6'!7'

Co!s)'&%!)o ;!% 6%7&" A!*6K (o! n %;7o?%3o&'s )='&'!7's h1 s;s77;'!)o h +o& A s' o27'!'

Es7% 376% s' (o!o(' (o6o 3% =o&6;3% )' !7'&+o3%(! )' S3?'s7'D'2)o % ;'

Do!)' PhK 's '3 +o3!o6o (%&%(7'&s7(o )' A#

-#CICIO

D'6;'s7&' ;' '3 ss7'6% )'s(&7o 6')%!7' 3% '(;%(! s;'!7' 's(o6+3'7%6'!7' o2s'&?%23' s so3o s 3% 6%7&" (o6+;'s7% )' 6! * ! )o!)'

's )' &%!o !#


26/43


27/43

[;' 6+3(% ;' +%&% ('&7o x0K x0K !o +;')' )'7'&6!%&s' % +%&7& )' y7K# As '3 &%!o )' 3% 6%7&" )'2' s'& ;%3 % !#

A (o!7!;%(! s' o27'!' 3% (o!)(! s;=('!7'# S;+o!% ;' '3 &%!o !#Co6o

P&' 6;37+3(%!)o %62os 6'62&os )' 's7% ;376% '(;%(! +o& s'o27'!'

S s' !7'&% 's7% ;376% '(;%(! )' 0 % 7 s' )');('

O2s'&?' ;' '3 +&6'& 6'62&o )' 's7% '(;%(! 's ;!% (%!7)%) (o!o()%# Ss' )'=!'

E!7o!('s s' 7'!' ;'

Do!)'

S' +;')' 's7%23'('& ;' 01t2 's ;!% 6%7&" !o s!;3%& )'3 6o)o s;'!7'# Si01t2| =;'&% ;%3 % 0 '!7o!('s

Lo ;' s!=(% ;'

[;' 6+3(% ;' '3 &%!o j !# Po& 7%!7o i01t2| 3 45 o 01t2 's !o s!;3% Ass' o27'!':


28/43

5 x142 s' )'7'&6!% +o& 7%!7o s' )'6;'s7&% ;' x142 s' )'7'&6!% % +%&7& )'y1t2 s so3o s '3 &%!o !

O2s'&?' ;' x142 ' y1t2 s' &'3%(o!%! 6')%!7'

%6$ODO D S'S$I$'CI7) DI#C$A A#A OB$)# !A %A$#I8 D"A)A)CIAS D! OBS#,ADO# D S$ADO 9.

(O#%'!A D AC9#%A)

S' +;')' ;73"%& +%&% )'7'&6!%& 3% 6%7&" )' %!%!(%s )'3 o2s'&?%)o&

)' 's7%)o 9e#

S'% '3 ss7'6% )'=!)o 6')%!7'

L% =&6;3% )' A(Q'&6%!! +%&% 3% %s!%(! )' +o3os +%&% '3 ss7'6%%!7'&o& s' )'7'&6!% %s:

S'% '3 ss7'6%

Do!)' s' ;73"% 3% 3' )' &'%36'!7%(! )'3 's7%)o ; $9x# S' s;+o!';' 's7' ss7'6% 's )' 's7%)o (o6+3'7%6'!7' (o!7&o3%23'# T%62é! s' ?% %s;+o!'& ;' 3os +o3os '! 3%"o ('&&%)o )'s'%)os 's7! '! sk1 sk,^ sk!

L% ;73"%(! )' ;! (o!7&o3 6')%!7' &'%36'!7%(! )'3 's7%)o

; $9x

6o)=(% 3% '(;%(! )'3 ss7'6% %

s' )'=!'

L% '(;%(! (%&%(7'&s7(% )'s'%)% 's

Co6o '3 7'o&'6% )' C%3'$%637o! '*+&'s% ;' s%7s=%(' s; +&o+%

'(;%(! (%&%(7'&s7(% s' 7'!' ;'


29/43

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CONCLUSION

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