8/19/2019 Movimento Do Projectil

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2ª Parte

O movimento a duas

dimensões

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O movimento a duas

dimensões Usar o sinal + e – não é, muitas vezes,

sufciente para descrever totalmente omovimento a mais do que uma dimensão Os vectores podem descrever totalmente o

movimento Continuamos interessados em conecer o

deslocamento, a velocidade e a acelera!ão  "sta an#lise servir# para a descri!ão de

diversos tipos de movimento em matériasposteriores

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Posi!ão e deslocamento $ posi!ão de um

o%&ecto é descrita

pelo seu vectorposi!ão r O deslocamento do

o%&ecto é defnido

como a suamudança de posição 

'r ( r)  * ri

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deias erais so%re o

movimento -a an#lise cinem#tica a duas ou tr.s

dimensões, as )/rmulas são

semelantes 0 an#lise a umadimensão, com e1cep!ão de quenecessitamos de usar a nota!ão

vectorial O sinal positivo e neativo não ésufciente para determinar a direc!ão

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"qua!ões cinem#ticaspara o movimento a duasdimensões uando o movimento a duas

dimensões tem acelera!ão

constante, podem*se desenvolveruma série de equa!ões quedescrevem o movimento

"stas equa!ões são semelantes0s equa!ões cinem#ticas a umadimensão

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"qua!ões cinem#ticas, 3 4ector posi!ão

4elocidade

Partindo do princ5pio que a acelera!ãoé constante, podemos defnir avelocidade em )un!ão do 6 vf  ( vi + at 

ˆ ˆ x y= +r i j

ˆ ˆ x y

d  v vdt 

= = +rv i j

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"qua!ões cinem#ticas, 2 O vector posi!ão tam%ém pode ser

e1presso em )un!ão do tempo6rf  ( ri + vit  + 7 at 2

$ e1pressão indica que o vectorposi!ão é a soma de tr.s vectores 6

O vector posi!ão inicial O deslocamento resultante de vi t  O deslocamento resultante de 7 at 2

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"qua!ões cinem#ticas, 8 $s equa!ões para a velocidade fnal e para

a posi!ão fnal são equa!ões de vectores,

por isso devem poder ser escritasdecompondo nos seus Ou se&a, o movimento a duas dimensões

com acelera!ão constante pode ser

equivalentes a dois movimentosindependentes Um movimento na direc!ão * 1 e outro na

direc!ão * 9

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"qua!ões cinem#ticas, : vf  ( vi + at   torna*se em

v xf  ( v xi + a x t   e v yf  ( v yi + a y t  

rf  = ri  + vi t  + 7 at 2  torna*se 1f  ( 1i + v xi t  + 7 a1t 2 e 9f  ( 9i + v yi t  + 7 a y t 2

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;al5stica Um o%&ecto pode mover*se

simultaneamente nas direc!ões 1 e

9 O tipo de movimento a duas

dimensões com que vamos lidar,

camamos de movimento doprojéctil Podendo ou não utilizarmos um pro&éctil

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Princ5pios do movimento

de pro&ecteis $ acelera!ão g na queda livre é

considerada constante

" é direccionada para %ai1o O e)eito do atrito é dsprez#vel $ssim, um o%&ecto com o movimento

do pro&éctil, defne no seumovimento uma par#%ola

"s9te percurso é camado trajectória

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4erifca!ão da tra&ect/ria

para%/lica,3 "scola do sistema de re)er.ncia

 y  é vertical com a tra&ect/ria para

cima positiva Componentes da acelara!ão

a y  ( * and a x  ( <

Componentes da velocidade inicial v xi ( vi cos θ  and v yi ( vi sin θ  

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4erifca!ão da tra&ect/ria

para%/lica,2 =eslocamentos

 x f  ( v  xi t  ( >v i cos θ ) t  y f  ( v  yi t  + 7a y  t 2 ( >v i sin θ )t  * 7 gt 2

$ com%ina!ão das equa!ões d#6

Ou se&a, est# na )orma y  ( ax  – bx 2 que é a )/rmula da par#%ola

( )   22 2

tan2 cos

i

i i

 g  y x x

v

θ θ 

 = −  ÷

 

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=iarama do movimento

do pro&éctil

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?ovimento do pro&éctil –

mplica!ões $ componente 9 da velocidade é

zero quando a altura do pro&éctil é

m#1ima $ acelera!ão mantém*se constante

durante a tra&ect/ria

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$lcance e m#1ima altura

de um pro&éctil uando analisamos o

movimento de um

pro&éctil, temos duascaracter5sticas deinteresse especial

O alcance, R, é adist@ncia orizontal

entre o lan!amento ea queda do pro&éctil $ m#1ima altura que

o pro&éctil alcan!a é h

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$ltura de um pro&éctil,equa!ão

$ m#1ima altura que um pro&éctilpode alcan!ar em )un!ão da sua

velocidade inicial é6

"sta equa!ão s/ é v#lida nomovimento simétrico

2 2sin

2

i ivh g 

θ =

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$lcance de um pro&éctil,equa!ão

O alcance de um pro&éctil pode sere1presso em termos da sua

velocidade inicial por6

A/ é v#lido para uma tra&ect/riasimétrica

2sin2

i iv

 R g 

θ =

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$lcance de um pro&éctil,inclina!ão

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$lcance de um pro&éctil,fnal

O m#1imo alcance ocorre para θ i (:Bo

nulos complementares dãooriem ao mesmo alcance $ altura m#1ima ser# di)erente para

cada um dos @nulos complementares O tempo de voo ser# di)erente para

cada um dos @nulos

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?ovimento do pro&éctil –Desolu!ão de pro%lemas

Aeleccione um sistema de coordenadas "quacione a velocidade inicial em

termos das suas componentes 1 e 9 $nalise o movimento orizontal usando

técnicas com a velocidade constante $nalise o movimento vertical usando

técnicas com a acelera!ão constante Eem%re*se que as duas direc!ões tem o

mesmo tempo de percurso

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?ovimentos de pro&éctilnão simétricos Aia as reras erais

para o movimento dopro&éctil

=ivida a direc!ão 9em duas partes Para cima e para

baixo, ou $ parte simétrica em

rela!ão 0 alturainicial e an#liseposterior do resto dopercurso

Os movimentos podemser não simétricos demuitas outras )ormas