Motivation

Example 1: Fano configuration (projective plane).

a b c d e f g

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 1

4 5 6 7 1 2 3

1 2

3

4

5

76

lines a b c d e f gpoints 1 2 3 4 5 6 7

Exercises

• N1: Determina all lines passing through the point 3 of Fano plane.

• N2: How many lines pass through 4 and 6?• N3: How many lines pass through 1, 2, 3?• N4*: Is it possible to draw Fano plane with

straight lines?• N5*: Describe various properties of Fano plane.

For example: Each number from 1 to 7 appears exactly three times in the table.

Incidence structure

• An incidence structure C is a triple– C = (P,L,I) where

• P is the set of points,• L is the set of blocks or lines

– I P L is an incidence relation.– Elements from I are called flags.

• The bipartite incidence graph (C) with black vertices P, white vertices L and edges I is known as the Levi graph of the structure C.

Pappus Configuration

1

1’

1’’

2’’

3’’

2’ 3’

2 3

Naloge

• N1: Koliko točk in koliko premic ima Papusova konfiguracija

• N2: Koliko premic poteka skozi posamezno točko Papusove konfiguracije?

• N3: Koliko je največ in koliko je najmanj premic, ki potekajo skozi par različnih točk Papusove konfiguracije?

• N4: Zapiši tabelo (kombinatorični opis) za Papusovo konfiguracijo.

• N5*: V sadovnjak zasadi 9 dreves v 10 vrst, tako da bodo v vsaki od desetih vrst po 3 drevesa!

Še en zgled

• Slika na levi vsebuje 4 točke 1,2,3,4 in štiri krožnice a,b,c,d. Kombinatorični opis daje konfiguracijska tabela:

a b c d

1 1 1 2

2 3 2 3

4 4 3 4

124

3

Še en zgled - nadaljevanje

• Konfiguracijsko tabelo lahko prikažemo “grafično”.

a b c d

1 1 1 2

2 3 2 3

4 4 3 4

Še en zgled - konec

• Naloge:• N1: Napiši

konfiguracijsko tabelo oglišč in lic četverca (tetraedra).

• N2: Napiši konfiguracijsko tabelo za konfiguracijo oglišč in robov četverca.

• N3: Pokaži, da prva in zadnja konfiguracija ne razločujeta.

1

2

4

3

A D

C

B

Miquelova konfiguracija

• Konfiguracija 4 točk in 6 krožnic na levi se imenuje Miquelova konfiguracija. [Tu pojmujemo tudi premice za krožnice!]

• Konfiguracija izhaja iz Miquelovega izreka.

Miquelova konfiguracija - nadaljevanje

Naloge:• N1: Ali je tudi

konfiguracija na levi Miquelova? Preveri s primerjavo kombinatoričnih opisov.

• N2: Koliko točk in koliko krivulj imata konfiguraciji?

Examples

• 1. Each graph G = (V,E) is an incidence structure: P = V, L = E, (x,e) 2 I if and only if x is an endvertex of e.

• 2. Any family of sets F µ P(X) is an incidence structure. P = X, L = F, I = 2.

• 3. A line arrangement L = {l1, l2, ..., ln} consisting of a finite number of n distinct lines in Euclidean plane E2 defines an incidence structure. Let V denote the set of points from E2 that are contained in at least two lines from L. Then: P = V, L = L and I is the point-line incidence in E2.

Exercises

• N1. Draw the Levi graph of the incidence structure defined by the complete bipartite graph K3,3.

• N2. Draw the Levi graph of the incidence structure defined by the powerset P({a,b,c}).

• N3. Determine the Levi graph of the incidence structure, defined by an arrangemnet of three lines forming a triangle in E2.

Incidence geometry

• Incidence geometry (G,c)of rank k is a graph G with a proper vertrex coloring c, where k colors are used.

• Sometimes we denote the geometry by (G,c,I,~). Here c:VG ! I is the coloring and |I| = k is the number of colors, also known as the rank of G. Also ~ is the incidence.

• I is the set of types. Note that only object of different types may be incident.

Examples

• 1. Each incidence structure is a rank 2 geometry. (Actually, look at its Levi graph.)

• 2. Each 3 dimensional polyhedron is a rank 3 geometry. There are three types of objects: vertices, edges and faces with obvious geometric incidence.

• 3. Each (abstract) simplicial complex is an incidence geometry.

• 4. Any complete multipartite graph is a geometry. Take for instance K2,2,2, K2,2,2,2, K2,2, ..., 2.

Incidence geometries of rank 2

• Incidence geometries of rank 2 are simply bipartite graphs with a given black and white vertex coloring.

• Rank 2 geometries that are in addition connecte: d and the valence of each verteix is at least 2(G) >1 Pasini geometries.

Example of Rank 2 Geometry

• Graph H on the left is known as the Heawood graph.

• H is connected• H is trivalent: (H) =

(H) = 3.• H je bipartite.• H is a Pasini

geometry.

Another View• Geometry of the Heawood

graph H has another interpretation.

• Rank = 2. There are two types of objects in Euclidean plane, say, points and curves.

• There are 7 points, 7 curves, 3 points on a curve, 3 curves through a points.

• The corresponding Levi graph is H!

In other words ...

• The Heawood graph (with a given black and white coloring) is the same thing as the Fano plane (73), the smallest finite projective plane.

• Any incidence geometry can be interpeted in terms of abstract points, lines.

• If we want to distinguish geometry (geometric interpretation) from the associated graph (combinatorial description) we refer to the latter the Levi graph of the corresponding geometry.

Simlest Rank 2 Geometries

• “Simplest” geometries of rank 2 in the sense of Pasini are even cycles. For instance the Levi graph C6 corresponds to the triangle.

Cycle(Levi Graph)

Triangle(Geometry)

Rank 3

• Incidence geometries of rank 3 are exactly 3-colored graphs.

• Pasini geometries of rank 3 are much more restricted. Currently we are interested in those geometries whose residua are even cycels.

• Such geometries correspond to Eulerian surface triangulations with a given 3-vertex coloring.

Reye Configuration

• Reye Configuration of points, lines and planes in the 3-dimensional projective space consists of

• 8 + 1 + 3 = 12 points (3 at infinity)

• 12 + 4 = 16 lines

• 6 + 6 = 12 planes.

P=12 L=16

P=12 - 4 6

L=16 3 - 3

6 4 -

Theodor Reye

• Theodor Reye (1838 - 1919), German Geometer.

• Known for his book :Geometrie der Lage (1866 in 1868).

• Published this configuration in 1878.

• Posed “the problem of configurations.”

Centers of Similitude• We are interested in

tangents common to two circles in the plane.

• The two intersections are called the centers of similitudes of the two circles. The blue center is called the internal (?), the red one is the external.(?)

• If the radii are the same, the external center is at infinity.

Residual geometry

• Each incidence geometry• =(, ~, c, I)• (,~) a simple graph• c, proper vertex coloring,• I collection of colors.• c: V ! I

• Each element x 2 V determines a residual geometry x. defined by an induced graph defined on the neighborgood of x in .

x

x

Reye Configuration -Revisited

• Reye configuration can be obtained from centers of similitudes of .... (check Hilbet ...)

Flags and Residuals

• In an incidence geometry a clique on m vertices (complete subgraph) is called a flag of rank m.

• Residuum can be definied for each flag F ½ V(). (F) = Å{(x) = x |x 2 F}.

• A maximal flag (flag of rank |I|} is called a chamber. A flag of rank |I|-1 is called a wall.

• To each geometry we can associate the chamber graph:

• Vertices: chambers• Two chamber are adjacent if and only if they share a common wall.

• (See Egon Shulte, ..., Titts systems)

The 4-Dimensional Cube Q4.

0000

1000

0010

0100

0001

The Geometry of Q4.

• Vertices (Q0) of Q4: 16

• Edges (Q1)of Q4: 32

• Squares (Q2) of Q4: 24

• Cubes (Q3) of Q4: 8

• Total: 80

• The Levi graph of Q4 has 80 vertices and is colored with 4 colors.

Residual geometries of Q4.

V E S Q3.

(V) - 4 6 4

(E) 2 - 3 3

(S) 4 4 - 2

(Q3) 8 12 6 -

Exercises

• N1: Determine all residual geometries of Reyeve configuration

• N2: Determine all residual geometries of Q4.• N3: Determine all residual geometries of Platonic

solids.• N4: Determine the Levi graph of the geometry for

the grup Z2 £ Z2 £ Z2, with three cyclic subgroups, generated by 100, 010, 001, respectively.

• (Add Exercises for truncations!!!)

COMBINATORIAL CONFIGURATIONS

(Combinatorial) Configuration

• A (vr,bk) configuration is an incidence structure C = (P,L,I) of points and lines, such that

• v = |P|

• b = |L|

• Each point lies on r lines.

• Each line contains k points.

• Two lines intersect in at most one point..

• Pozor: Levijev graf je semiregularen z ožino 6

Symmetric configurations

• A (vr,bk) configuration is symmetric, if • v = b (this is equivalent to r = k).

• A (vk,bk) configuration is usually denoted by (vk) configuration.

Small Configurations

• Triangle is the only (32) configuration.

• Pasch configuration (62,43) and its dual complete quadrangle (43,62) share the same Levi graph S(K4).

Desargues Configurationand its

Levi Graph G(10,3)

Problem: Find a Model!

• We know that G(10,3) embeds in double torus.

• Is there a nice model out there?

• Here are the faces:• 7, 18, 19, 10, 11, 12, 13, 8• 6, 15, 14, 13, 12, 17, 18, 7 • 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 20 • 2, 3, 14, 15, 16, 17, 12, 11 • 1, 2, 11, 10, 9, 4, 5, 20 • 1, 16, 15, 6, 5, 4, 3, 2• 1, 20, 19, 18, 17, 16 • 3, 4, 9, 8, 13, 14

Exercises

CYCLIC CONFIGURATIONS AND HAAR GRAPHS

Haarov graf naravnega števila

Naravnemu številu n priredimo graf na naslednji način: Naj k označuje število števk v dvojiškem zapisu števila n in naj bodo {bk-1, bk-2, ..., b1, b0} dvojiške števke števila n. Graf H(n) = H(k; n), ki mu rečemo Haarov graf števila n, ima vozlišča ui, vi, i=0,1,...,k-1. Vozlišče ui povežemo z vozliščem vi+j, če in samo če je bj = 1.

Opomba: Če za k vzamemo število, ki je večje od števila števk, dobimo v seveda drugačen graf!

Zgled

Poiščimo H(37).

Dvojiški seznam:• {1,0,0,1,0,1}

Število k = 6.

H(37) = H(6,37) je

graf na levi!

Dipol n

• Dipol n ima dve vozlišči, ki ju povezuje n povezav. Če želimo vozlišči posebej označiti, imenujemo prvo vozlišče črno, drugo pa belo. Na levi vidimo 5.

• Vsak dipol je dvodelen graf, zato so tudi krovi nad dipoli dvodelni. Dipol 3 je kubičen graf, ki mu nekateri pravijo kar theta graf .

Ciklični krov nad dipolom • Vsak Haarov graf je tudi ciklični

krov nad dipolom. Na prejšnjem zgledu se lahko naučimo recept:

• H(37) je določen s številom 37, oziroma z dvojiškim nizom

• (1 0 0 1 0 1)• Dolžina niza je k=6, od tod grupa

Z6. Pod niz zapišemo indekse:• (0 1 2 3 4 5)• Enice se pojavljajo na mestih 0, 3 in

5. To pa določa napetosti na levi. Pripadajoči krov je H(37).

0 3 5

Z6

Naloge

• Graf na levi strani se imenuje Heawoodov graf. Dokaži:– Je dvodelen– Je Haarov. (Poišči ustrezno

število n!)– Zapiši ga v obliki

cikličnega krova nad dipolom.

– Ne vsebuje nobenega cikla dolžine < 6.

– Je najmanjši kubični graf brez ciklov dolžine < 6.

Povezani Haarovi grafi

• Graf G je povezan, če lahko najdemo pot med poljubnima vozliščema.

• Med Haarovimi grafi obstajajo tudi nepovezani. Tak je na primer H(10).

• Pravimo, da je število povezano, če je pripadajoči Haarov graf povezan.

• Primeri majhnih nepovezanih števil: 2,4,8,10,16,32,34,36,40,42,64.

Naloge• Dokaži, da so vse pozitivne potence števila 2

nepovezana števila.• Pokaži, da je Möbius-Kantorjev graf G(8,3) Haarov

graf nekega naravnega števila. Katero število je to?• Poišči vse posplošene Petersenove grafe, ki so

Haarovi grafi kakšnega števila.• Pokaži, da obstajajo Haarovi grafi, ki so tudi

cirkulanti.• Pokaži, da obstajajo Haarovi grafi, ki niso cirkulanti.

Naloge, nadaljevanje

• Dokaži, da so vsi Haarovi graf vozliščno tranzitivni.

• Dokaži, da je vsak Haarov graf Cayleyev graf za diedrsko grupo.

• Dokaži, da obstajajo dvodelni Cayleyevi grafi diedrskih grup, ki niso Haarovi (npr. graf na levi je tak).

Naloge, konec

• Števili n in m sta ciklično ekvivalentni, če in samo če lahko dvojiški niz, ki pripada prvemu prevedemo na dvojiški niz drugega števila s “cikličnimi” avtomorfizimi. To pomeni, da lahko nize ciklično permutiramo, zrcalimo ali pa indekse množimo s številom tujim proti dolžini niza.

• Števili n in m sta Haarovo ekvivalentni, če sta njuna Haarova grafa izomorfna: H(n) = H(m).

• Dokaži, da ciklična ekvivalenca implicira Haarovo ekvivalenco.

• Z računalnikom preveri, da sta števili 137331 in 143559 Haarovo ekvivalentni, nista pa ciklično ekvivalentni.

Graf Marka Watkinsa

• Kubični Haarov graf H(536870930) ima zanimivo lastnost. Je najmanjši povezan Haarov graf, ki med ciklično ekvivalentnimi nima nobenega lihega števila.

• Dokaži, da je vsak Haarov graf lihega števila H(2n+1) hamiltonski in zato povezan.

Ožina povezanih Haarovih grafov

• K2 je edini povezani enovalentni Haarov graf.

• Sodi cikli C2n so povezani dvovalentni Haarovi grafi.

• Izrek: Naj bo H povezan Haarov graf valence d > 2. Tedaj je njegova ožina bodisi 4 bodisi 6.

Ciklične konfiguracije

• Simetrično (vr) konfiguracijo, ki jo določa prvi stolpec s tabele in dobimo preostale stolpce z zaporednim prištevanjem enice (po izbranem modulu m) imenujemo ciklična konfiguracija: Cyc(m;s).

• Na levi sliki je ciklična Fanova konfiguracija Cyc(7;1,2,4) = Cyc(7;0,1,3).

a b c d e f gk 1 2 3 4 5 6 0

k+1 2 3 4 5 6 0 1k+3 4 5 6 0 1 2 3

Povezava s Haarovimi grafi

• Izrek: Simetrična konfiguracija (vr), r > 2 je ciklična, če in samo če je njen Levijev graf Haarov z ožino 4.

• Posledica: Vsaka ciklična konfiguracija je točkovno in premično tranzitivna ter sebidualna.

• Posledica: Vsaka ciklična konfiguracija (vr), r > 2 vsebuje trikotnik.

• Vprašanje: Ali obstaja ciklična konfiguracija, ki ni sebi-polarna?

Astralne in stelarne konfiguracije

• Kombinatorna ciklična konfiguracija ima vse točke (in vse premice) v eni sami orbiti. Ne moremo pa je narisati v ravnini tako, da bi ohranili to simetrijo. [Izjema (v2)] .

• Če obstaja geometrijska realizacija konfiguracije s k enako močnimi orbitami, pravimo, da je konfiguracija k-stelarna. Če je k = 2, je konfiguracija astralna. Oba pojma sta povezana s policikličnimi konfiguracijami.

15. OBSTOJ IN ENUMERACIJA KONFIGURACIJ

Obstoj linealnih konfiguracij

• Trditev: za vsako linealno (vr,bk) konfiguracijo (r ¸ k) veljata zvezi:

• v.r = b.k

• b ¸ v ¸ 1 + r(k – 1)

• Posledica: Za simetrične (vk) konfiguracije velja:• v ¸ 1 + k(k-1) = 1 –k + k2

• Za k = 3 je v ¸ 7,

• Za k = 4 je v ¸ 13,

• Za k = 5 je v ¸ 21.

Dualnost

Vsaka incidenčna struktura C = (P,L,I) porodi dualno strukturo Cd = (L,P,Id) pri kateri je vloga premic in točk zamenjana ob istih incidencah.

• Strukturi C in Cd delita isti Levijev graf, le vloga črnih in belih vozlišč se zamenja.

Sebi dualnost in avtomorfizmi

• Če je C izomorfna svojemu dualu Cd , pravimo, da je sebidualna, pripadajoči izomorfizem pa je dualitnost.

• Dualnost reda 2 se imenuje polarnost.

• Izomorfizem C nase je avtomorfizem ali kolinearnost.

Avtomorfizmi in antiavtomorfizmi

• Avtomorfizmi strukture C oblikujejo grupo, ki jo označimo z Aut0C.

• Če obravnavamo hkrati avtomorfizme in dualnosti (anitavtomorfizme) kot premutacije, ki delujejo na disjunktni uniji P L, dobimo razširjeno grupo avtomorfizmov Aut C.

Grafi in konfiguracije

• Konfiguraciji oz. poljubni incidenčni strukturi lahko priredimo več grafov. Na tem mestu se bom ukvarjali le z dvema: Levijev graf L in Mengerjev graf M.

• Levijev graf konfiguracije je dvodelen in nosi polpolno informacijo o konfiguraciji. Razširjena grupa avtomorfizmov AutC sovpada z grupo avtomorfizmov Levijevega grafa L, medtem ko Aut0C ohranja obe dvodelni množici vozlišč.

“Blocking set”

• Množica točk B konfiguracije je “blocking set”, če za vsako premico L obstajata točki x in y na njej, tako da je:

• x 2 B in x I L,

• x B in y I L.

Pomen oznak

Preštevanje (v3) konfiguracij

Preštevanje (v3) konfiguracij brez trikotnikov

16. KLASIČNE KONFIGURACIJE

Predsedniške volitve 1997 in Möbius-Kantorjeva

konfiguracija 8 kandidatov: Bernik, Cerar, Kovač, Kučan,

Miklavčič, Peršak, Podobnik, Poljšak

Soočenja na TV Slovenija: 8 večerov, vsak večer po trije kandidati

Predsedniške volitve 1997

Čez dolgih sedem dniČez dolgih sedem dni

Nekega večera v studiuNekega večera v studiu

Vprašanje

• Ali lahko razvrstimo kandidate v 8 trojic, tako da se nobena 2 ne bosta srečala več kot enkrat?

124235346

568671 782813

edina (83) konfiguracija

Möbius - Kantorjeva konfiguracijaMöbius - Kantorjeva konfiguracija

457

2

6

37

1 4

58

Levijev graf Möbius - Kantorjeve konfiguracije Levijev graf Möbius - Kantorjeve konfiguracije drugačen pogled na rešitevdrugačen pogled na rešitev

2

6 3

7

45

8 1124

235

346

457

568

671

782

813

Abstraktni model z rešitvijo ima lahko Abstraktni model z rešitvijo ima lahko popolnoma drugačne aplikacijepopolnoma drugačne aplikacije

2

6 3

7

45

8 1124

235

346

457

568

671

782

813

Nekoliko spremenjeni pogojiNekoliko spremenjeni pogoji

Denimo, da bi se na predsedniške volitve letos Denimo, da bi se na predsedniške volitve letos prijavilo 9 kandidatov.prijavilo 9 kandidatov.

Ali jih lahko razvrstimo v 9 trojic, tako da se Ali jih lahko razvrstimo v 9 trojic, tako da se nobena 2 ne srečata več kot enkratnobena 2 ne srečata več kot enkrat?

Vse (9Vse (933) konfiguracije) konfiguracije

Pappusova konfiguracijaPappusova konfiguracija

Problem sadovnjakaProblem sadovnjaka

Na vrtu v vrstah po triNa vrtu v vrstah po tridevet se dreves zasadi.devet se dreves zasadi.

Glavni problemGlavni problemje le v tem, je le v tem,

da naj se deset vrst dobi!da naj se deset vrst dobi!

Pappusova konfiguracijaPappusova konfiguracija

rešitev problema sadovnjakarešitev problema sadovnjaka

Pappusova konfiguracija se edina lahko Pappusova konfiguracija se edina lahko vloži v afino ravnino reda 3vloži v afino ravnino reda 3

2211 33

44 55 66

77 88 99

Omogoča Omogoča razvrstitev razvrstitev

12 kandidatov 12 kandidatov v 9 večerovv 9 večerov

Pappusova konfiguracija

• Pappusova (93) konfiguracija sestoji iz devetih točk in devetih premic. Točkam lahko pripišemo homogene koordinate (a,b,c), pa tudi premicam lahko pripišemo homogene koordinate [p,q,r] pri čemer incidenco določa zveza ap+bq+cr=0.

• Ta primer lahko interpretiramo kot zgled ortogonalne reprezentacije grafov, pri katerih u~v implicira(u) (v).

Möbius-Kantorjeva konfiguracija – še enkrat

• Möbius-Kantorjeva konfiguracija je edina (83) konfiguracija. Njen Levijev graf je posplošen Petersenov graf G(8,3).

Mengerjev graf Möbius-Kantorjeve konfiguracije

• Kaj pa je Mengerjev graf te konfiguracije?

• Brez problemov uvidimo, da je Mengerjev graf te konfiguracije K8 – 4K2

• Na sliki je lepo razvidno, da vozlišča grafa prestavljajo točke, trikotniki v grafu pa premice konfiguracije.

Clebschev šestkotnik

Clebschev šestkotnik – še enkrat

123

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Clebschev graf

Hiperkocka Q4

Clebschev graf – še enkrat

Grayev graf G• Najmanjši kubični graf, ki je

povezavno tranzitiven in ni vozliščno tranzitiven ima 54 vozlišč in je znan pod imenom Grayev graf. Označili ga bomo z G.

• Ker ima ožino 8, je Levijev graf dveh najmanjših dualnih, točkovno, premično in praporno tranzitivnih, ne sebidualnih (273)-konfiguracij.

Grayeva konfiguracija

• Ciklično risanje obeh konfiguracij, ki izhajata iz Grayevega grafa.

• Obe risbi prikazujeta probleme v zvezi z risanjem z ravnimi črtami. Na obeh opazimo lažne incidence, ki jih v kombinatornih konfiguracijah ni. Če se želimo izogniti lažnim incidencam bodisi zgubimo 9-merno simetrijo bodisi izgubimo ravne črte.

Grayeva konfiguracija še enkrat• Slika na levi prikazuje

mnogo boljšo sliko Grayeve konfiguracije. Pomaga nam tudi ločiti med Grayevo konfiguracijo in dualno Grayevo konfiguracijo.

• Risba na levi pokaže, da je Mengerjev graf M Grayeve konfiguracije izomorfen kartezičnemu produktu treh trikotnikov: K3 K3 K3 .

Mengerjev in dualni Mengerjev graf

• Lepa reprezentacija iz prejšnje prosojnice olajša izbiro med Grayevo konfiguracijo in njenim dualom (ter med Mengerjevim grafom M = K3

3 in dualnim Mengerjevim grafom D.)

Rod produkta K3 K3 K3

• Pred leti so dokazali, da je (K3 K3 K3 ) = 7. Optimalno vložitev so konstruirali Mohar, Pisanski, Škoviera in White. Shematično je prikazana na levi.

b a

c

c'

b'

ac'

b'

c'

a'

b'

a'

b'

a'

c

c'

b

b

b'

a'

c

a

c+

c' b

a'

a

Optimalna vložitev

• Optimalna vložitev s prejšnje prosojnice ima nekaj zelo lepih lastnosti:– Njen dual je dvodelni.– Vložitev uporabi vseh 27 trikotnikov grafa za lica– Če pobarvamo lica z dvema barvama, je vseh 27

trikotnikov pobarvanih z isto barvo.

• Od tod pa sledi zelo pomembna ugotovitev: Točke Grayeve konfiguracije ustrezajo vozliščem, premice pa trikotnikom vložitve. Incidenca je seveda določena s povezavami.

Grayev graf lahko vložimo v sklenjeno orientabilno ploskev

roda 7• Če obržimo originalna

vozlišča in vpeljemo nova vozlišča v težiščih trikotnikov in povežemo vsako težišče z oglišči, dobimo na ta način ravno Grayev graf.

• Posledica: Grayev graf je mogoče vložiti v isto ploskev!

Grayev graf lahko vložimo v sklenjeno orientabilno ploskev

roda 7• Če obržimo originalna

vozlišča in vpeljemo nova vozlišča v težiščih trikotnikov in povežemo vsako težišče z oglišči, dobimo na ta način ravno Grayev graf.

• Posledica: Grayev graf je mogoče vložiti v isto ploskev!

Spodnja meja• Zgornja meja je potemtakem 7.

Da je tudi spodnja meja 7, sledi iz naslednjega rezultata:

• Trditev: Naj bo L Levijev in M Mengerjev graf neke (v3) konfiguracije C, tedaj velja ocena (M) (L).

• Dokaz: Začnemo z optimalno vložitvijo grafa L. Že opisani proces lahko obrnemo (in vpeljemo trikotnike). Tako dobimo vložitev grafa M v isto ploskev.

Dualni Mengerjev graf D• Še na nekaj moramo opozoriti,

namreč na dualni Mengerjev graf D, gi se ga da po isti logiki vložiti v sklenjeno ploskev roda 7. Ni težko videti, da je tudi ta graf s slike na levi zanimiv. Je namreč Cayleyev graf poldirektnega produkta cikličnih grup Z3 ⋉ Z9.

• Lahko ga tudi opišemo kot Z9-krovni graf nad bazičnim grafom z naslednje prosojnice.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

Napetostni graf

• Dualni Mengerjev graf je Z9 krovni graf nad napetostnim grafom na levi. Napetosti so seveda iz grupe Z9.

• Lahko ga tudi predstavimo kot Cayleyev graf z naslednje prosojnice.

+4

+1

-1+4

-2

+2

+2

-4

+1

Holtov Graf

• 4-valentni Holtov graph H je vpet podgraf grafa D na 27 vozliščih in je najmanjši 1/2-ločno tranzitivni graf. To pomeni, da je H najmanjši vozliščno in povezavno, ne pa ločno tranzitiven graf. Prikazuje ga slika na levi.

Holtov graf - ponovno

• 4-valentni Holovt graf H je vpet podgraf grafa D. Iz D ga dobimo z odtranitvijo 2-faktorja 3C9. Natančneje: H je Z9-krov nad zelenim grafov na levi [z odstranjenimi tremi rdečimi zankami.]

+4

+1

-1+4

-2

+2

+2

-4

+1

Nekaj prezentacij grupe Z3 ⋉ Z9

• Grafa H in D sta Cayleyeva grafa grupe Z3 ⋉ Z9.

– Z3 ⋉ Z9 = <a, b | a9 = b3 = 1, b-1ab = a2>

– D = <x, y, z | x9 = y9 = z9 = 1, y-1xy = x2, y-1zy = z2, x-1yx = y2, x-1zx = z2, z-1xz = x2, z-

1yz = y2>– H dobimo iz D če iz prezentacije odstranimo

kateregakoli od x,y,z.

Nerešeni problemi

• Kolikšen je rod grafa D? Kolikšen je rod grafa H? Rod grupe Z3 ⋉ Z9 je poznan: (Z3 ⋉ Z9) = 4. Po drugi strani smo dokazali, da dopušča D vložitev v sklenjeno ploskev roda 7. Zato velja:– 4 (D) 7

– 4 (H) 7

• V prvem primeru bo najbrž lažje izboljšati spodnjo, v drugem pa zgornjo mejo.

Balabanova 10-kletka

• Na levi vidimo Balabanovo 10-kletko. To je najmanjši kubični graf ožine 10. Ima 70 vozlišč, vidimo tudi očitno simetrijo.

• Kletka poseduje tudi Hamiltonov cikel. To vidimo npr. iz LCF kode zanjo:

• [-9, -25, -19, 29, 13, 35, -13, -29, 19, 25, 9, -29, 29, 17, 33, 21, 9, -13, -31, -9, 25, 17, 9, -31, 27, -9, 17, -19, -29, 27, -17, -9, -29, 33, -25, 25, -21, 17, -17, 29, 35, -29, 17, -17, 21, -25, 25, -33, 29, 9, 17, -27, 29, 19, -17, 9, -27, 31, -9, -17, -25, 9, 31, 13, -9, -21, -33, -17, -29, 29]

Preostali 10-kletki

• Ob Balabanovi obstajata še dve 10-kletki. Druga je bolj simetrična od tretje.

• [(-29, -19, -13, 13, 21, -27, 27, 33, -13, 13, 19, -21, -33,

29)5]

Preostali 10-kletki

• Ob Balabanovi obstajata še dve 10-kletki. Tretja je najman simetrična.

• [9, 25, 31, -17, 17, 33, 9, -29, -15, -9, 9, 25, -25, 29, 17, -9, 9, -27, 35, -9, 9, -17, 21, 27, -29, -9, -25, 13, 19, -9, -33, -17, 19, -31, 27, 11, -25, 29, -33, 13, -13, 21, -29, -21, 25, 9, -11, -19, 29, 9, -27, -19, -13, -35, -9, 9, 17, 25, -9, 9, 27, -27, -21, 15, -9, 29, -29, 33, -9, -25].

10-kletke

• Vse tri 10-kletke so hamiltonske, zato smo jih lahko opisali z LCF kodo.

• Grupe avtomorfizmov imajo rede: 80, 120, 24.

• Literatura: T.P., M. Boben, D. Marušič, A. Orbanič: The 10-cages and derived Configurations, Discrete Math. 2003 (v tisku).

17. (v3) KONFIGURACIJE

Martinettijev izrek

• V. Martinetti je leta 1887 vpeljal pojem redukcije, oz. pojem ireducibilne konfiguracije. Pri tem je mogoče (v3) konfiguracijo reducirati na ((v-1)3) konfiguracijo. Določil je tudi množico vseh ireducibilnih konfiguracij.

• Tako je mogoče vsako (v3) konfiguracijo dobiti iz ene od ireducibilnih z inverznim zaporedjem redukcij.

• Težava je v tem, da se je pri pregledovanju vseh primerov zmotil. Zato je treba Martinettijev izrek malo popraviti in dokazati na podoben način, kot ga je dokazoval Martinetti.

• Martinettijev izrek je popravil Marko Boben.

(v3) grafi in konfiguracije

• Povezan, kubični, dvodelni graf z ožino vsaj 6 poimenujemo krajše kot (v3) graf.

• (v3) graf je Levijev graf neke povezane (v3) konfiguracije.

Martinettijve redukcija

• Martinettijevo redukcijo na Levijevem grafu konfiguracije prikazuje slika na levi.

• V konfiguraciji zbrišemo premico in točko na njej.

• Pozor: Martinettijevo redukcijo lahko izvedemo na dva načina! Uporabimo jo lahko le, če ne ustvarimo štirikotnikov!

Ireducibilne konfiguracije in grafi.

• (v3) konfiguracija (oz. njen Levijev graf) je ireducibilna, če ne moremo na njej izvesti Martinettijeve redukcije. Druge (v3) konfiguracije oz. (v3) grafi so reducibilne.

Pomožna trditev

• Lema: (v3) graf G je ireducibilen natanko tedaj, ko za poljubno povezavo e grafa G velja:

• e je skupaj z eno izmed sosednjih povezav presek dveh 6-ciklov ali

• e leži na poti efg dolžine 3, ki je presek dveh 6-ciklov.

Dokaz leme I. del

• Naj bo e poljubna povezava ireducibilnega G. Če jo reduciramo po Martinettiju, dobimo graf ožine 4. Pregled vseh možnih primerov pokaže, da sta v G dva 6-cikla, ki vsebujeta v preseku povezavo e, presek pa je pot, dolžine 2 ali 3 [in e ni vmesna povezava na tem preseku].

e e

Dokaz leme II. del

• Naj bo e povezava na preseku dveh 6-ciklov. Obravnavati moramo dva primera: presek je pot dolžine 2 in pot dolžine 3. Pokazati moramo, da povezave e v nobenem primeru ne moremo reducirati. V obeh primerih dobimo po redukciji štirikotnik.

e e

Dokaz leme II. del

• Naj bo e povezava na preseku dveh 6-ciklov. Obravnavati moramo dva primera: presek je pot dolžine 2 in pot dolžine 3. Pokazati moramo, da povezave e v nobenem primeru ne moremo reducirati. V obeh primerih dobimo po redukciji štirikotnik.

e e

Graf t, družini grafov t(n) in T(n)

• Na sliki je graf t na desetih vozliščih, ki je osnova za konstrukcijo družin grafov t(n) in T(n).

T(2) = t(4)

• T(2) = t(4)• T(n) ima 20n vozlišč. Od

tega ima le 6 vozlišč valence 2. Tri zgoraj, tri spodaj. Če povežemo tri zgornja vozlišča s tremi spodnjimi, dobimo kubičen graf. To lahko naredimo na 6 načinov, vendar dobimo le tri neizomorfne grafe T1(n), T2(n) in T3(n).

Družina grafov C(m)

• Graf C(m) ima 6m vozlišč. Dobimo ga iz m 6-ciklov s povezovanjem, ki ga prikazuje slika na levi.

• Iz grafa C(m) dobimo tri grafe D(3m), D(3m+1) in D(3m+2). Pri tem ima graf D(n) ravno 2n vozlišč.

C(3)

A

B

Cca

b

Družina grafov D(3m)

• Iz grafa C(m) dobimo graf D(3m) brez dodajanja novih vozlišč. Dodamo le tri povezave, tako, da dobimo kubičen graf: A-a,B-b in C-c.

D(9)

A

B

Cca

b

Družina grafov D(3m+1)

• Iz grafa C(m) dobimo graf D(3m+1) z dodajanjem dveh novih vozlišč: X in x. Dodamo še povezave, kakor prikazuje slika,

• Pri grafu D(3m+2) dodamo 4 nova vozlišča povezana v pot dolžine 3.

D(10)

A

B

Cca

b

Grafi D(n), n ¸ 7.

• Iz kaže se, da so grafi D(n), n ¸ 7 ravno Levijevi grafi cikličnih konfiguracij z bazno premico {1,2,4}. To pa pomeni, da jih lahko predočimo kot Zn krove nad dipolom 3. To pa so ravno Haarovi grafi: D(n) = H(2n-1 + 5). Ni težko videti, da je njihova LCF koda LCF = [5,-5]n.

1 2 4

Zn

D(7)

• D(7) = Heawoodov graf.

D(8)

• D(8) = Moebius Kantorjev graf, Levijev graf edine (83) konfiguracije.

D(9)

• D(9) = Levijev graf edine ciklične (93) konfiguracije.

D(10)

• D(10) = Levijev graf edine ciklične (103) konfiguracije.

Popravljen Martinettijev izrek

• Ireducibilni (v_3) grafi so:• Graf Papusove konfiguracije.

• Grafi T1(n), T2(n), T3(n), za n ¸ 1

• Grafi D(n), za n ¸ 7.

• Opomba: Martinetti je spregledal primera T2(n) in T3(n) in ni posebej omenjal D(7) in D(8).

19. STEINITZOV IZREK

Motivacija

• Fanove konfiguracije ne moremo narisati s samimi ravnimi črtami. Nujno rabimo tudi krive črte. Skozi tri točke gre natanko ena krožnica. Zato lahko vsako (v3) konfiguracijo narišemo s premicami in krožnicami.

• Vprašanje: Koliko največ krožnic rabimo?

Zgodovinsko ozadje

• Ernst Steinitz je svojo kratko disertacijo proti koncu 19. stoletja namenil oblikovanju in dokazu izreka, ki daje odgovor na to vprašanje.

• Dokazal je namreč, da je mogoče vsako povezano (v3) konfiguracijo narisati z največ eno krožnico.

• V disertaciji najdemo tudi prvi dokaz Königovega izreka.

Povezanost je nujna

• Če bi ne zahtevali povezanosti konfiguracij, bi že s konfiguracijo (143), sestavljeno iz dveh Fanovih ravnin dobili protiprimer, saj bi zanjo porabili dve krožnici (krivi črti).

Evklidska : Projektivna ravnina

• Točko i konfiguracije predočimo v Evklidski ravnini s koordinatami (xi,yi), v projektivni ravnini pa s homogenimi koordinatami (xi,yi,zi).

• Točke i,j,k so kolinearne, če in samo če je determinanta [i,j,k] = 0. Pri tem je:

• [i,j,k] = det [(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xk,yk,zk)], v evklidskem primeru pa je:

• [i,j,k] = det [(xi,yi,-1),(xj,yj,-1),(xk,yk,-1)].

Risanje Fanove ravnine

• Pri Fanovi ravnini imamo 7 točk, torej 14 neznank: xi,yi, 1 · i · 7. Zanje imamo tudi 7 pogojev, določenih s sedmimi ničelnimi determinantami.

• Koordinate štirih točk (tako, da nobene tri ne ležijo na skupni premici) si lahko še posebej izberemo.

• Npr: (0,0), (0,1), (1,0) in (1,1)• Preostane 14-8 = 6 neznank.

26. DUALNOST IN POLARNOST

Dualnost

Vsaka incidenčna struktura C = (P,L,I) porodi dualno strukturo Cd = (L,P,Id) pri kateri je vloga premic in točk zamenjana ob istih incidencah.

• Strukturi C in Cd delita isti Levijev graf, le vloga črnih in belih vozlišč se zamenja.

Sebi dualnost in avtomorfizmi

• Če je C izomorfna svojemu dualu Cd , pravimo, da je sebidualna, pripadajoči izomorfizem pa je dualitnost.

• Dualnost reda 2 se imenuje polarnost.

• Izomorfizem C nase je avtomorfizem ali kolinearnost.

Avtomorfizmi in antiavtomorfizmi

• Avtomorfizmi strukture C oblikujejo grupo, ki jo označimo z Aut0C.

• Če obravnavamo hkrati avtomorfizme in dualnosti (anitavtomorfizme) kot premutacije, ki delujejo na disjunktni uniji P L, dobimo razširjeno grupo avtomorfizmov Aut C.

Grafi in konfiguracije

• Konfiguraciji oz. poljubni incidenčni strukturi lahko priredimo več grafov. Na tem mestu se bom ukvarjali le z dvema: Levijev graf L in Mengerjev graf M.

• Levijev graf konfiguracije je dvodelen in nosi polpolno informacijo o konfiguraciji. Razširjena grupa avtomorfizmov AutC sovpada z grupo avtomorfizmov Levijevega grafa L, medtem ko Aut0C ohranja obe dvodelni množici vozlišč.

28. PROBLEMI SADOVNJAKA

• Problem sadovnjaka•  

• Na vrtu v vrstah po tri

• devet se dreves zasadi.

• Glavni problem

• je le v tem,

• da naj se deset vrst dobi!

29. Policiklične konfiguracije

Dyckov graf

• Dyckov graf na levi ima 32 vozlišč.

• Naloga: Dokaži, da je dvodelen in ima ožino 6.

• Naloga: Zapiši njegovo LCF kodo.

• Lahko ga imamo za Levijev graf (163) konfiguracije .

• Naloga: Dokaži, da je konfiguracija sebi-dualna.

• Naloga: Pokaži, da ima grupa automorfizmov 192 elementov.

Dyckov graf, še enkrat

• Na levi vidimo še en pogled na Dyckov graf.

• Naloga: Pokaži, da Dyckova configuracija vsebuje trikotnike.

Dyckova konfiguracija

• Če uporabimo teorijo Bokowskega & Sturmfelsa tako, kot sta jo uporabila M. Boben in T.P. V članku (Europ. J. Combin. 2003, to appear) na t.i. polyciklične konfiguracije, lahko dokažemo, da je mogoče Dyckovo konfiguracijo narisati z ravnimi črtami v Evllidski ravnini.

The “theory” behind• On the left we see bipartite

quotient graph on 8 vertices. The Dyck graph is a Z4 regular covering graph. The non-zero voltages from Z4 are assigned to arcs in such a way that the negative voltage is assigned to the opposite arc.

• There are 4 point orbits and 4 line orbits.

• [Catch: only 3 radii!]• The voltage graph is selected by a

suitable choice of semi-regular automorphism.

1

1

1 1

2

The Klein configuration

• The Klein graph is not bipartite, so there is no chance of having it as a Levi graph of a configuration.

• We can take its canonical double cover (or Kronecker cover or the tensor product with K2).

• It has 112 vertices and gives rise to a (563) configuration.

The voltage graph for the Klein configuration

• We chose a quotient with 14 vertices (hence the voltages, not shown, are from Z8).

• The configuration will reflect an 8-fold rotational symmetry.

The Klein configuration

• On the left we see a possible drawing of the Klein (563) configuration.

• It is possible to choose a different semi-regular automorphism that would reveal a 7-fold symmetry.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1718

19

20

2122

23

24

25 26

27

28

2930

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

4243

44

45

46 47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

The Klein configuration - again

• Here is a drawing that should arise from a Z7 voltage graph on 16 vertices.

The Dürer configuration

• The well-known graphics by A. Dürer depicts the solid whose skeleton is the generalized Petersen graph G(6,2) alias the Dürer graph.

The Kronecker double cover• Its girth is 6.• It turns out that the

corresponding (123) configuration is cyclic.

• If we want to draw it with straight lines, we need a semi-regular automorphism.

• The voltage graph is shown at the bottom.

• There is one class of points that lies in all three classes of lines and one class of lines that contains all three classes of points.

The Petrie dual

• Each map is defined by three involutions on flags (0,1,2). Now add the product 3=02, that is another fixedpoint free involution. This can be viewed as an rank 4 incidence geometry: (0,1,2,3).

• Orbits for <1,2> form the vertex set V.

• Orbits for <,2> form the edge set E.

• Orbits for <0,1> form the face set F.

• Orbits for <0,3> form the Petrie walks P.

E

VF

P

Du

OpPe

The Petrie hexagon

• M = (0,1,2,3)

• Du(M) = (2,1,0,3)

• Pe(M) = (0,1,3,2)

• Du(Pe(M)) = (3,1,0,2)

• Pe(Du(M)) = (2,1,3,0)

• Pe(Du(Pe(M))) = Du(Pe(Du(M))) = (,1,3,2)

M

Du(M)Pe(M)

Du(Pe(M)) Pe(Du(M))

Pe(Du(Pe(M))) = Du(Pe(Du(M)))

31. GRÜNBAUMOV KONFIGURACIJSKI RAČUN