1

MODIFIKASI METODE HUNGARIAN UNTUK PENYELESAIAN MASALAH

PENUGASAN

Idris1*

, Endang Lily2, Sukamto

2

1Mahasiswa Program S1 Matematika

2Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau

Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

*idrisidr@ymail.com

ABSTRACT

This paper discusses a new method resulting from the Hungarian method

modification to solve an assignment problem. This new method uses one of

the basic properties of determinant to reduced the cost matrix in assignment

problem to obtain the optimal solution. This method can be utilized for

different types of assignment problem with minimize or maximize objective

functions.

Keywords: assignment problem, Hungarian method, linear programming

ABSTRAK

Pada artikel ini dibahas mengenai bagaimana cara menyelesaikan suatu

persoalan penugasan dengan menggunakan metode baru yang dihasilkan dari

modifikasi metode Hungarian. Metode baru ini menggunakan salah satu sifat

dasar determinan matriks untuk mereduksi matriks biaya pada persoalan

penugasan sehingga mendapatkan solusi yang optimal. Metode ini dapat

digunakan untuk berbagai jenis masalah penugasan, baik untuk masalah

minimisasi maupun masalah maksimisasi.

Kata kunci: masalah penugasan, metode Hungarian, program linear.

2

1. PENDAHULUAN

Masalah penugasan (assigment problem) adalah masalah khusus dari program linear

yang mirip dengan masalah transportasi. Perbedaannya adalah setiap penawaran pada

setiap sumber dan permintaan pada setiap tujuan dibatasi hanya satu unit saja. Untuk

menyelesaikan masalah penugasan ini dapat digunakan metode transportasi, tetapi pada

umumnya diselesaikan dengan menggunakan metode Hungarian.

Pada metode Hungarian diuraikan untuk setiap baris atau kolom pada matriks

biaya dikurangi oleh elemen terkecil pada masing-masing baris atau kolom. Proses ini

dapat dilakukan berulang–ulang sehingga ditemukan sebuah elemen nol pada setiap

baris dengan kolom yang berbeda. Dalam artikel ini, penulis mengusulkan suatu metode

baru yang terdapat pada artikel yang ditulis oleh Basirzadeh, 2012 [2, h. 2347] yang

berjudul “Ones Assignment Method for Solving Assignment Problem”. Diharapkan

metode baru ini dapat menjadi alternatif untuk menyelesaikan masalah penugasan.

2. MASALAH PENUGASAN

Masalah penugasan ini muncul pada kasus membuat keputusan siapa dari n operator

yang harus mengoperasikan masing-masing satu mesin dari unit mesin, sehingga

mendapatkan hasil total biaya masalah penugasan yang optimum.

2.1 Bentuk Masalah Penugasan

Masalah penugasan muncul pada kasus membuat keputusan siapa dari n operator yang

harus mengoperasikan masing-masing satu mesin dari unit mesin, sehingga

mendapatkan hasil total biaya masalah penugasan yang minimum.

Operator

Mesin

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

n

n

n

c

c

c

3

2

1

nnnnn cccc 321

n321

3

2

1

n

Gambar 1. Biaya Penugasan Operator.

Misalkan

0, jika operator i tidak ditugaskan ke mesin j.

=

1, jika operator i ditugaskan ke mesin j.

Selanjutnya permasalahan penugasan pada Gambar 1 dapat dibentuk ke dalam program

linear sebagai berikut [8, h. 226] :

3

dengan batas–batas

= 1,

= 1,

,

Dengan persamaan (1) menunjukkan menunjukkan fungsi obyektif, persamaan (2)

adalah batasan penawaran dan persamaan (3) adalah kendala permintaan.

2.2 Metode Hungarian

Metode Hungarian dikembangkan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan

Hungarian yang bernama D Konig pada tahun 1916 [5, h. 109]. Melalui metode

Hungarian fungsi obyektif dari persoalan penugasan direduksi dengan cara mengurangi

tiap elemen pada masing-masing baris dan kolom dengan elemen tekecil yang ada pada

masing-masing baris dan kolom tersebut untuk mendapatkan solusi optimal pada

persoalan penugasan.

3. MODIFIKASI METODE HUNGARIAN

Metode alternatif ini menggunakan salah satu sifat dasar determinan matriks untuk

mereduksi matriks penugasan. Selanjutnya untuk menguraikan metode tersebut terlebih

dahulu diuraikan beberapa teori matriks yang akan digunakan untuk membentuk sebuah

matriks biaya pada persoalan penugasan.

3.1 Determinan Matriks

Definisi 3.1 [1, h. 77]

Jika matriks , , maka didefinisikan minor elemen ditulis

yaitu determinan matriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dieleminasi.

Selanjutnya, didefinisikan dengan adalah kofaktor elemen .

Melalui Definisi 3.1 dapat dibentuk determinan matriks

seperti yang diuraikan pada Definisi 3.2.

Definisi 3.2 [1, h. 79]

Determinan matriks yang berukuran dapat dihitung dengan mengalikan elemen-

elemen dalam suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan

hasil-hasil kali yang dihasilkan untuk setiap , maka dapat ditulis sebagai

berikut:

,

( untuk kofaktor sepanjang kolom ke-j )

(1)

(2)

(3)

4

dan

.

( untuk kofaktor sepanjang baris ke-i )

Proposisi 3.1 [2, h. 2349]

Misalkan adalah matriks dan adalah determinan matriks tidak nol. Jika

adalah faktor pada baris ke-i dari , maka

dan adalah matriks yang telah dieleminasikan faktor nya.

Bukti

Misalkan > 0 adalah faktor baris ke-k dari matriks = dengan

sehingga elemen-elemen baris ke-k adalah , , . . . , .

Dengan demikian diperoleh,

=

=

= ( )

,

dengan = ( ) adalah matriks yang telah

dieleminasi faktor nya.

Selanjutnya, Proposisi 3.1 juga menunjukkan jika masing-masing

adalah faktor-faktor baris ke-i, dari matriks , maka

dan adalah matriks yang telah dieleminasi faktor masing-

masing dari baris ke-i, .■

Proposisi 3.2 [ 2, h. 2349]

Misalkan adalah matriks dan adalah determinan matriks tidak nol. Jika

adalah faktor pada baris ke-i dari matriks , dan > 0 adalah faktor kolom ke-l

dari matriks . Maka berdasarkan proposisi 3.1 didapat,

dengan adalah matriks yang telah dieleminasi faktor dari tiap barisnya dan

faktor dari tiap kolomnya.

Bukti

Misalkan = ( ) adalah matriks A yang telah

dieleminasi nya, dan > 0 adalah faktor kolom ke-l dari matriks . Sehingga

elemen-elemen kolom ke-l adalah , , . . . , . Dengan

demikian diperoleh,

=

=

= ( )

,

5

Berdasarkan Proposisi 3.1 diperoleh , sehingga . Dan

adalah matriks yang telah dieleminasi faktor dan faktor nya.■

3.2 Modifikasi Metode Hungarian

Di bagian ini diuraikan metode baru untuk mereduksi matriks yang termuat pada

masalah penugasan, sehingga pada fungsi obyektif dicapai nilai optimal. Metode ini

menggunakan salah satu sifat determinan matriks untuk memperoleh solusi

optimal masalah penugasan.

Pemecahan optimal dari persoalan penugasan pada persamaan (1) tidak berubah

jika pada baris atau kolom matriks biaya dibagi atau dikali dengan sebuah konstanta.

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut :

Jika setiap elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j masing-masing dibagi dengan dan

, elemen biaya yang baru menjadi . Ini menghasilkan fungsi

tujuan yang baru.

dengan dan .

maka diperoleh konstanta. Ini menunjukkan bahwa minimisasi fungsi tujuan

menghasilkan pemecahan yang sama dengan minimisasi .

3.2.1 Masalah Minimum

Jika adalah elemen terkecil dari baris pada matriks biaya dan ditulis

maka diperoleh hasil reduksinya

6

dengan ,

Jika pada matriks belum ditemukan elemen 1 pada setiap baris

dengan kolom berbeda maka ditentukan elemen terkecil pada setiap

kolom matriks ditulis,

Dari matriks diperoleh hasil reduksinya,

dengan = ,

proses reduksi dapat dilakukan berulang–ulang sehingga diperoleh nilai total minimum,

yaitu elemen setiap baris dengan kolom berbeda memiliki elemen 1.

3.2.2 Masalah Maksimum

Pada masalah maksimum proses reduksi matriks biaya sama dengan proses

masalah minimum, tetapi faktor baris dan kolom ditentukan oleh elemen terbesar.

7

4. CONTOH PERSOALAN PENUGASAN

Sebuah perusahaan memiliki lima orang karyawan yaitu , dan yang akan

mengerjakan lima jenis pekerjaan yaitu 1, 2, 3, 4 dan 5. Adapun biaya keuntungan

karyawan mengerjakan pekerjaan ke-j dimana disajikan dalam bentuk

matriks biaya penugasan sebagai berikut:

Tentukan produk apa yang harus dijual tiap karyawan agar diperoleh keuntungan

maksimum.

Penyelesaian :

Langkah 1.

Tentukan elemen terbesar pada masing-masing baris, dan tuliskan di kanan matriks

tersebut.

maks

Langkah 2.

Kemudian bagi tiap elemen pada masing-masing baris dengan elemen yang bernilai

paling besar pada baris tersebut. Sehingga didapat

karena belum terdapat elemen 1 pada tiap baris dengan kolom berbeda, maka

lanjutkan le langkah selanjutnya.

Langkah 3.

Tentukan elemen terbesar pada masing-masing kolom dan tuliskan di bawah matriks

tersebut.

8

Langkah 4.

Kemudian bagi tiap elemen pada masing-masing kolom dengan elemen yang

bernilai paling besar pada kolom tersebut. Sehingga didapat

selanjutnya, periksa apakah telah terdapat elemen 1 pada masing-masing baris

dengan kolom yang berbeda.

Karena belum ditemukan elemen 1 pada tiap baris dengan kolom yang berbeda,

maka lanjutkan ke langkah selanjutnya.

Langkah 5.

Tarik beberapa garis yang melewati tiap elemen 1. Namun jumlah garis yang

terbentuk harus seminimal mungkin.

Kemudian pilih elemen yang bernilai paling besar yang tidak terlewati oleh garis,

dalam persoalan ini adalah 0.83. Lalu gunakan nilai tersebut untuk membagi semua

nilai yang berada pada kolom yang sama dengan elemen yang memiliki nilai paling

besar tersebut, pada persoalan ini yaitu kolom ketiga. Sehingga menjadi

9

langkah selanjutnya adalah periksa apakah sudah terdapat elemen 1 pada masing-

masing baris dengan kolom yang berbeda.

Karena telah ditemukan elemen 1 pada masing-masing baris dengan kolom yang

berbeda, maka hasil optimalnya telah didapat, yaitu :

- mengerjakan pekerjaan 3

- mengerjakan pekerjaan 5

- mengerjakan pekerjaan 4

- mengerjakan pekerjaan 2

- mengerjakan pekerjaan 1.

Dengan keuntungan maksimumnya adalah 10 + 5 + 14 + 14 + 17 = 50

5. KESIMPULAN

Modifikasi metode Hungarian menghasilkan sebuah metode baru yang menggunakan

salah satu sifat dasar determinan matriks untuk mereduksi matriks penugasan guna

mendapatkan hasil yang optimal. Metode baru ini dapat dijadikan sebagai alternatif

untuk menyelesaikan berbagai jenis persoalan penugasan, baik untuk masalah

minimisasi maupun masalah maksimisasi. Perbedaan antara metode baru ini dan metode

Hungarian adalah nilai optimal pada masing-masing matriks penugasannya ditunjukkan

oleh elemen satu dan nol, namun kedua metode ini tetap memiliki solusi optimal yang

sama.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, H. 1987. Aljabar Linier Elementer. Terj. dari Elementary Linear Algebra,

Fifth Edition, oleh Silaban, P & Susila, I.N. Penerbit Erlangga, Jakarta.

[2] Bazirzadeh, H. 2012. Ones Assignment Method for Solving Assignment

Problems, Journal Applied Mathematical Science, 47, 2345-2355.

[3] Dimyati, T. T. & Ahmad D. 1992. Operations Research : Model-model

Pengambilan Keputusan. Sinar Baru Algensindo, Bandung.

[4] Gamal, M. D. H. 2007. Program Linear dan Integer. Penerbit Pusat

Pengembangan Pendidikan Universitas Riau, Pekanbaru.

10

[5] Subagyo, P., A. Marwan, & T. H. Handoko, 1985. Dasar-Dasar Operations

Research. PT BPFE, Yogyakarta.

[6] Supranto, J. 1988. Linier Programming Edisi Kedua. Penerbit Fakultas Ekonomi

Universitas Indonesia, Jakarta.

[7] Supranto, J. 1988. Riset Operasi: Untuk Pengambilan Keputusan. Penerbit

Universitas Indonesia, Jakarta.

[8] Taha, H. A. 2007. Riset Operasi, Suatu Pengantar Edisi Kelima: Jilid 1. Terj.

dari Operations Research, an introduction, 5th

Ed, oleh Wirajaya, D. Penerbit

Binarupa Aksara, Jakarta.