CARACTERIZACION DE CAOS EN UN OSCILADOR CUARTICO BIDIMENSIONAL

146 Universidad Nacional de San Agustin de ArequipaX Simposium Nacional de Estudiantes de Fsica

145

CARACTERIZACION DE CAOS EN UN OSCILADOR CUARTICO BIDIMENSIONAL

W. Aroni Echaccaya

Facultad De Ingeniera de Minas Geologa y Civil

Universidad Nacional de San Cristbal de Huamanga-Ayacucho

E.F.P: de Ciencias Fisco- Matemticas

aewaris@hotmail.com, aewaris@yahoo.esRESUMEN

En el presente trabajo analizamos el comportamiento de un oscilador curtico, del tipo Hnon Heiles con el objetivo de determinar bajo que valores de sus parmetros, el sistema presenta comportamiento regular o catico. Para dicho fin usamos el mtodo de los mapas de Poincar, debido a que dicho mtodo es muy til para la caracterizacin de caos en sistemas hamiltonianos conservativos bidimensionales, los mapas de Poincar para un sistema conservativo de dos grados de libertad consisten es establecer un hiperplano denominado Superficie de Poincar, plano en el cual se mapea los puntos de interseccin de las trayectorias del sistema en el espacio de fase para una energa dada y distintas condiciones iniciales. Encontrando que el oscilador curtico en estudio tiene comportamiento regular en el caso simtrico y catico en el caso asimtrico.

I.- INTRODUCCIN

Agradecimiento especial e los organizadores del X Simposium y VI Jornada Nacional de estudiantes de Fsica, de la Universidad Nacional San Agustn por la invitacin a participar en este evento.

La teora del Caos ha alcanzado en las ltimas dcadas gran importancia terica y experimental en el estudio del comportamiento de los sistemas dinmicos y en especial los sistemas fsicos conocidos como sistemas hamiltonianos, referido principalmente a la predicibilidad o impredicibilidad del comportamiento del sistema en tiempos largos. Casos en los que pequeos cambios en las condiciones iniciales para ciertos sistemas pueden propagarse y convertirse en desviaciones cada vez mas mayores a medida que transcurre el tiempo.

Las leyes que rigen el comportamiento de los sistemas hamiltonianos son de carcter determinista, por lo cual la teora del Caos tiene la caracterstica de ser determinista. En el caso clsico las leyes del movimiento se describen por medio de la segunda ley de Newton o en todo caso por medio de las formulaciones de Dalembert, Ecuaciones de Lagrange, Principio de Hamilton, ecuaciones de Hamilton, etc., y en el caso cuntico la ecuacin de Schrodinger.

Desde el punto de vista clsico un sistema se considera catico si es sensible a las condiciones iniciales, es decir que pequeos cambios en las condiciones iniciales llevan en el largo tiempo a comportamientos (resultados) muy diferentes, mientras que en un sistema regular pequeos cambios en las condiciones iniciales llevan a comportamientos (resultados) similares en el tiempo. Por ello decimos que los sistemas regulares son sistemas predecibles y los caticos impredecibles, dado que no sabremos exactamente cual ser el comportamiento del sistema para una determinada condicin inicial, es ms en la vida real los instrumentos de medida con el que contamos tienen necesariamente un error instrumental, errores que en sistemas caticos en el largo tiempo llevarn a predicciones equivocadas, caracterstica conocida como el efecto mariposa Una mariposa aleteando en un lugar de la tierra (Japn) puede producir en el largo tiempo un Huracn (desastre) en EE. UU..

En el presente trabajo nuestro objetivo principal es analizar si el comportamiento de nuestro sistema (oscilador curtico Ec. (1)) es catico o no, teniendo en cuenta que es un sistema que presenta parmetros el comportamiento depender de los valores que puede tomar el parmetro. Usamos los mapas de Poincar para evaluar el comportamiento del sistema mtodo en el cual se requiere en primera instancia definir las seccin de Poincar, luego construir las trayectorias en el espacio de fase (rbitas) del sistema para condiciones iniciales dadas, el conjunto de puntos de interseccin de dichas rbitas y la superficie de Poincar llamamos Mapa de Poincar.

II. OSCILADOR CUARTICO

El oscilador curtico del tipo Hnon Heiles escogido para fines de estudio es un sistema hamiltoniano conservativo de dos grados de libertad y un espacio de fase de dimensin cuatro representado por el hamiltoniano:

(1)

donde es un parmetro adimensional, es la energa potencial, y son las coordenadas generalizadas y y son los momentos generalizados asociados a las coordenadas y .

,(2)

donde el es la constante de anisotropa, siendo el oscilador isotrpico si y anisotrpico en cualquier otro caso.

Las correspondientes ecuaciones de movimiento que describen el sistema (1), dadas por las ecuaciones de Hamilton son:

(3)

(4)

(5)

(6)

Las Ecs. (3), (4), (5) y (6) son no lineales y por tanto no tienen soluciones analticas, motivo por el cual recurriremos a una solucin numrica.

III.- RESULTADOS

Como nuestro sistema es conservativo, con un espacio de fase de dimensin 4, y que tiene a la energa total como constante de movimiento, motivo por el cual las superficies de Poincar tienen dimensin 2 y estn definidas para nuestro caso por:

,(7)

Pa fines de clculo numrico fijamos = 1.01 en la Ec. (1) y variamos el parmetro, para determinar los mapas de Poincar para los casos escogidos de . En el presente trabajo presentamos resultados grficos los casos simtrico = 0.0, y los casos asimtrico =0.2, 0.4 y 0.6.

a) Para el caso en que: = 1.01 , = 0.0 el mapa de Poincar se ilustra en la Fig. 1. Resultado que nos muestra que el oscilar curtico simtrico presenta un comportamiento regular.

Figura1. Mapa de Poincar para E = 5.0 = 1.01 , = 0.0.

b) El mapa de Poincar para el caso el caso = 1.01 , = 0.2 se muestra en la Fig. 2. que indica que el oscilador curtico, para los parmetros indicados presenta comportamiento catico.

Figura 2. Mapa de Poincar para E = 5.0 = 1.01 , = 0.2

c) Para el caso el caso en que: = 1.01 , = 0.4, el mapa de Poincar se muestra en la Fig. 3., mapa que nos indica que el comportamiento catico del sistema en estudio es mas fuerte, que en el caso b).

Figura 3. Mapa de Poincar para E = 5.0 = 1.01 , = 0.4

d) Para el caso el caso en que: = 1.01 , = 0.6, el resultado grfico se muestra se muestra en la Fig. 4., que indica que el sistema presenta comportamiento catico que es mucho ms fuerte que en los casos anteriores b) y c).

Figura 4. Mapa de Poincar para E = 5.0 = 1.01 , = 0.6

IV.- CONCLUSIONES

De acuerdo a los resultados obtenidos concluimos que:

1. El oscilador curtico representado por (1) presenta comportamiento regular cuando el oscilador es simtrico = 0. Es decir que el sistema para este caso es predecible, dado que no es sensible a las condiciones iniciales.

2. El oscilador curtico cuando es asimtrico presenta comportamiento catico o irregular para cualquier valor distinta de cero de . Casos en las cuales el sistema es bastante sensible a las condiciones iniciales, que hacen al sistema impredecible en el largo tiempo.

V.- BIBLIOGRAFIA

[1]. ATLEE J., E. Perspective of nonlinear dynamics Vol. I y II, Cambridge University Press, 1991.[2]. HENON M., On the numerical computation of poincar, Physica 5D, 412, 1982.[3]. DAVID A, HSIEH ,Chaos and Nonlinear Dynamics,149,November 1990

[4]. BURGOA K. LUZ J.A.C. NOGALES and A .TICONA , Caos en Sistemas Dinmicos tipo Hnon Heiles. casilla N. 8635 [5]. J. L . SUBIAS ,Introduccin a la teora del Caos, Area of Graphical Expresin in Engineering, University of Zaragoza, Spain, November 1991[6]. LUIS SANDOVAL, Un mtodo para unir la dinmica Clsica y Cuntica, Acad. Col. Cien. 24(92):529-534, 2000.[7]. GOLDSTEIN, H., Mecnica Clsica, Revert S. A. 1996[8]. KINCAID, D., CHENEY, W., Anlisis numrico, Adison Wesley, 1994.VI.- AGRADECIMIENTOS

En especial al Profesor Abrahn P. Aslla Quispe por su apoyo y colaboracin en la realizacin del presente trabajo.Estudio relativista de parmetros termodinmicos

M. Valerio Cuadros

Pregrado

Facultad de Ciencias Fsicas,

Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima-Per.

m_valerio_c@hotmail.com,marlon190@gmail.comRESUMEN A inicios del siglo XX grandes cambios se dieron en la fsica, gracias al aporte de A. Einstein, destacndose para esta caso su aporte en la relatividad, Aos despus surge la inquietud, de que si era posible la construccin de una teora termodinmica relativista, que si era posible que parmetros como el calor, la temperatura, la presin, en volumen y la entropa sean posibles expresarlos en sistemas relativistas y cuales eran los cambios que estas abordaban.

Muchos cientficos opinaron al respecto, incluso el mismo Einstein hizo un importante aporte al considerar a la entropa como un parmetro invariante ante las transformaciones de Lorentz. En base a este aporte autores como M. Plack, H Ott, Landsberg, I. Avramov, han tratado de construir desde un punto de vista muy particular de cada uno de ellos una termodinmica relativista, en base a estas en este trabajo se dedujo las transformaciones relativistas obtenindose en algunos casos resultados iguales y otros distintos propuestos por los autores ya antes mencionados, abordando as una de la controversias mas grandes de las ultimas dcadas .Esta situacin nos permite cuestionar la posible existencia de una teora termodinmica relativista.INTRODUCCIONDespus de casi un siglo, el problema de encontrar una transformacin relativista de la temperatura sigue sin llegar a puerto. Durante todo este tiempo, se han publicado ms de 50 trabajos, acerca del tema, en especial en la dcada del 60, y las opiniones van desde reglas claras de transformacin hasta el planteamiento de la inexistencia de esta.

Los planteamientos de Einstein, Planck, Ott , Landsberg y I . Avramov dan una representacin clara de los distintos resultados a los cuales es posible llegar por los distintos caminos.

EISNTEIN Y SU APORTEEinstein parti considerando la siguiente situacin: Considrese un sistema termodinmico en reposo respecto a un sistema de referencia inercial A y un sistema de referencia inercial A/ movindose con una velocidadrespecto al sistema A. Entonces, cmo se transformaran los valores de los distintos parmetros del sistema termodinmico en cuestin (definidos para el sistema A) cuando se les midiera en el sistema A/ ? Su acercamiento al tema se baso en encontrar, dinmica y cinematicamente, las transformaciones para dichos parmetros. Einstein planteo que la entropa debera de ser una invariante relativista; es decir, si S es la entropa del sistema termodinmico medida en el sistema A, y S/ la entropa del mismo sistema termodinmico medida en el sistema A/, entonces:

(1)

Que es la transformacin aceptada por todos los autores que han indagado en el tema de la termodinmica relativista. Un argumento para sustentar dicha afirmacin es proporcionado por Tolman considerando la siguiente situacin: se tiene, originalmente, una velocidad entre los sistemas igual a 0 (se sigue que la entropa que deberan de medir ambos sistemas debe ser la misma), y luego se acelera el sistema termodinmico adiabaticamente, de manera que la entropa del sistema no cambia para ninguno de los dos sistemas. Consecuentemente, la entropa es invariante.

PLANCK Y SU PUNTO DE VISTA

Contemporneamente, Planck plante las siguientes transformaciones:

(2)

(3)

(4)

(5)

Donde y c es la velocidad de la luz. Estos resultados fueron, en su mayora, obtenidos tras tomar los anlogos dinmicos de la presin, el calor, el volumen, etc. Y deducir, ocupando dinmica y cinemtica relativista, sus respectivas transformaciones; esto tiene la ventaja de que los resultados son intuitivos.

Luego, considerando su transformacin del calor, la invarianza de la entropa, el primer postulado de la teora de la relatividad especial, y la conocida relacin:

(6)

Dedujo la siguiente transformacin para la temperatura:

(7)

Es decir, la temperatura, a medida que la velocidad se acerca a c, medida por A/ se hace menor. Tan solo existe un problema con este resultado: al tender a c, T tiende a cero ,por lo tanto la entropa S tiende a cero, lo cual entra en contradiccin con la presuncin deque la entropa es una invariante relativista, hecha al principio de este desarrollo, ya que la entropa solo va a cero con esa condicin de temperatura.

Estas transformaciones fueron aceptadas como la verdad absoluta durante media centuria

LAS TRANSFORMACIONES DE OTT

H. Ott, en un trabajo publicado en 1963, expuso que Planck haba considerado fuerzas

no fsicas al calcular el trabajo mecnico W hecho sobre un sistema termodinmico y postul una nueva serie de transformaciones.

(8)

Para obtener la transformacin del calor Q Ott se puede hacer el siguiente tratamiento.

Considrese la tasa de radiacin electromagntica.P

(9)

Donde Q es el calor y t es el tiempo. Esta cantidad es una invariante relativista. Luego

(10)

De esta manera, considerando las transformaciones de Lorentz y que en el sistema A el cuerpo esta en el origen se obtiene:

,

(11)

Y por lo tanto:

(12)

Luego, considerando el primer postulado de la teora de relatividad especial, y

, obtuvo otra transformacin para la temperatura

T = T.

(13)

En esta transformacin se afirma que la temperatura del sistema termodinmico, para

A/, aumenta cuando aumenta, es decir, es exactamente lo inverso a lo planteado anteriormente. Es interesante notar que, si U = U, T = T y V = V/, por el primer postulado de la teora de la relatividad especial y la invarianza de la entropa, se tiene

(14)

Ya que se debe tener . Este resultado atenta contra lo que la intuicin podra decir, como se ve en las ecuaciones deducidas por Planck. Este nuevo set de transformaciones de los parmetros termodinmicos, introducido por Ott, vino a cuestionar lo que se considero como la verdad durante casi 50 aos; esto, por supuesto, causo cierta controversia entre los fsicos de aquella poca, controversia que se vio incrementada cuando P.T. Landsberg, aceptando las transformaciones para el calor y la presin de Einstein y Planck, planteo otra transformacin de la temperatura.

LANSBERG Y SU PLANTEAMIENTO

P.T. Landsberg, en su primer paper, considerando que el tiempo no es una variable

a considerar en la termodinmica, postulo que cualquier transformacin de cantidades termodinmicas entre sistemas de referencia inerciales que consideren, en alguna parte de su concepcin, el tiempo como una variable, pierde sentido y, como los efectos relativistas se producen por el no-absoluto concepto del tiempo, se debera esperar que la temperatura fuese una invariante relativista. Su planteamiento para la transformacin de la temperatura fue.

(15)

Entonces, con estos tres resultados distintos para un problema semejante, queda en evidencia que en esos momentos haba un gran problema al intentar hacer una termodinmica relativista. Durante los aos que siguieron a la publicacin de Landsberg, muchos papers fueron publicados y, lamentablemente, en ellos no hubo nada que hiciera compatibles las tres escuelas de pensamiento: el problema de hacer una termodinmica relativista, simplemente, no estaba resuelto.

Sin embargo, cuando se podra pensar que todo el problema se reduca a encontrar alguna falla en dos de las transformaciones y decantarse finalmente por una tercera, Landsberg postulo un nuevo planteamiento para la transformacin de la temperatura. Esta no existe.

Dicho planteamiento se argumenta considerando el nmero de fotones que contara un observador en I cuando mire la radiacin de un cuerpo negro en reposo respecto a I en un intervalo de frecuencia d y un intervalo de ngulo slido d

(16)

Este resultado involucra, como dice Landsberg, una temperatura direccional

(17)

Donde es el ngulo entre sistemas de referencia. Esto viene de asumir que la funcin de distribucin de los bosones es una invariante relativista. Es interesante para el resultado anterior saber el limite cuando /2, ya que lleva a la transformacin de temperatura de Einstein, mientras que en el lmite 0 se llega a

(18)Conduciendo a otra transformacin de la temperatura para el mismo caso. Sin embargo,

el resultado anterior implica que un bao termal dado por esa temperatura no ser isotrpico para A/ y, luego, un observador en A/ no recibira de manera isotrpica la radiacin de cuerpo negro, y, finalmente, no podra detectar un espectro de radiacin de cuerpo negro, imposibilitando el definir un parmetro llamado temperatura, por consiguiente, no es posible tener una transformacin de ella.

Avramov

Avramov en una de sus publicaciones, hace de manifiesto su punto de vista mostrando una nueva relacin de transformadas para los parmetros termodinmicos.El juego de leyes de transformacin de relatividad para el volumen V, T de temperaturas, y presin P.

(20)

Adems muestra que es suficiente la transformacin Lorentz para determinar otras variables termodinmicas. Despus de las mismas lgicas, uno puede sacar las leyes de transformacin de las relaciones conocidas termodinmicas.

La temperatura es un escalar; por lo tanto esto no puede depender de la direccin. Djenos comparar dos termmetros.

Adems resalta la importancia del estudio de las leyes de distribucin de temperaturas de galaxias distantes. A causa de la extensin del universo su velocidad es muy alta, ellos deberan ser fros y no visto, sin embargo, ellos deberan ser infinitamente brillantes. Adems not que hay una diferencia importante entre el cambio de frecuencia de luz causada por el efecto Doppler y un cambio causado por el cambio de temperaturas.

UN ACERCAMIENTO

Al revisar los distintos acercamientos al tema, en especial los citados en este trabajo, se puede ver que la mayora de los autores obtiene sus transformaciones considerando resultados ajenos a la termodinmica. De esta forma, aplicando distintas disciplinas, como la relatividad y la mecnica estadstica, para luego juntarlas con los resultados de la termodinmica es posible obtener diversos resultados.

En este trabajo, se consideran transformaciones de la Relatividad Especial exclusivamente para los parmetros extensivos, usamos las definiciones de temperatura y presin bsicas de la termodinmica se obtendrn las transformaciones de dicho parmetros.

Las cantidades termodinmicas intensivas, como lo son la temperatura y la presin, se deducen a partir de las cantidades extensivas Entropa (S), Energa (U), Volumen (V) , etc., de esta manera, se tienen las siguientes definiciones:

;

(21)

As, las transformaciones de la temperatura y la presin aparecen como consecuencias de las transformaciones relativistas de los parmetros termodinmicos extensivos de un sistema simple. En lo siguiente se consideraran los mismos sistemas de referencia mostrados en la seccin

Transformacin de la EnergaEn A la energa del sistema es U, y de la invariancia del intervalo se deduce que:

(22)

Donde m y P son la masa y el momento lineal del sistema medidos en A. De la misma forma, en A/ , se tiene

(23)

Finalmente, dadas las transformaciones relativistas de masa y momentum.

(24)

De las transformadas de Lorente tenemos:

Adems, considerando la entropa como una invariante relativista y utilizando la contraccin del espacio, se obtiene el siguiente set de transformaciones:

; ;

(25)Transformacin de la temperaturaA partir de las definiciones de temperatura y presin dadas anteriormente, validas para cualquier referencia inercial (por primer postulado de relatividad), se tiene para A/

(26)

Esta consideracin covariante para las ecuaciones de estado no es trivial. Esto porque el postulado de relatividad de Einstein hace referencia a las Leyes fundamentales de la naturaleza, y, de esta forma se esta, implcitamente, diciendo que esta ecuaciones son leyes fundamentales.

Un argumento para solventar este vaci en la teora es la generalidad con que se definen,

En termodinmica los estados de equilibrio y la funcin Entropa S. Al ser tan general no parece haber restricciones al definir temperatura o presin, y la definiciones dadas tienen la caracterstica de heredar esta condicin.

Hechas estas consideraciones, para la temperatura, y sabiendo que N/ = N , se tiene:

.

(27)

Ahora, si el volumen se mantiene fijo en A/ , tambin se mantendr fijo en A aunque con otro valor. Luego,

(28)

As de

(29)

Anlogamente, se puede deducir la transformacin de la presin:

(30)

Y, al igual como fue expuesto para el volumen, convencindose de que si la energa se mantiene constante en cualquiera de los dos sistemas, I o I , entonces se mantiene constante en el otro, usando (19),

(31)

Finalmente,

(32)

De esta manera, se tienen las siguientes transformaciones:

(33)

Todo esto lleva a preguntarse que es lo que esta mal, y si realmente las distintas formas de acercarse al problema son correctas o no. Cabra preguntarse tambin si las distintas aproximaciones utilizan teoras compatibles con relatividad y la termodinmica. CONCLUCIONES

El hecho que existan tantos resultados distintos para una situacin fsica aparentemente igual vista por dos observadores, plantea tres problemas de base en la teora termodinmica:

La pobre definicin fenomenolgica de la entropa.

La posible covarianza de las ecuaciones de estado termodinmicas.

La ausencia de sistemas de referencia en la termodinmica.

El primer problema es netamente de definicin y acarrea consigo un problema serio en

el significado que tendrn los parmetros de la termodinmica, ya que todos se pueden escribir en funcin de la entropa y, adems, conlleva la no certeza de la generalizacin de las correspondencias, como la presin definida termodinmicamente con su anlogo definido por F/A, por ejemplo.

En relacin al segundo problema, nuestro resultado, si bien no es nuevo, al considerar las ecuaciones de estado como covariantes sin una fundamentacin clara, y llegar a transformaciones concretas y auto consistentes deja abierta la pregunta si es que es o no correcto intentar hacer esta teora (Termodinmica Relativista). De esta manera, no tener una respuesta clara del porque las ecuaciones deben ser covariantes, estamos poniendo en duda la validez de nuestras transformaciones, y mas aun, estamos cuestionando la posible conexin entre Termodinmica y Relatividad Especial. En este sentido, si queremos hacer un trabajo mas acabado debemos poner nfasis en las posibles limitaciones y vacos tericos las definiciones termodinmicas mas que en los resultados de la relatividad especial.

Finalmente, el tercer problema, as como el segundo, plantea una incompatibilidad entre la termodinmica y la relatividad especial, ya que esta ltima se basa en ver como transformaran las cantidades fsicas de un sistema de referencia a otro y la termodinmica no incluye en su teora a los sistemas de referencia. Se puede notar que las teoras relativistas han sido exitosas cuando han estado basadas en teoras clsicas que consideraban los sistemas de referencia dentro de ellas mas no se han podido hacer bien cuando la teora en la cual se trabaja no ha considerado a los sistemas de referencia (la incompatibilidad mecnica quntica-teora de la relatividad es un caso evidente). Es por esto que planteamos que, hasta que no se cree un postulado en la termodinmica que considere los sistemas de referencia dentro de ella, la termodinmica y la teora de relatividad especial no podrn ser del todo compatibles, y una Termodinmica Relativista ser imposible.

REFERENCIAS:

A.EINSTEIN Jahrbuch d. Radioakt. Elektron. 4 441-2 (1907)

M. PLANCK Ann. Physik 26, 1 (1908).

R.C. TOLMAN Relativity, Thermodynamics and Cosmology. Clarendon Press, Oxford (1934)

H. OTT Zeits. Phys., 175, 70 (1963)

P.T. LANDSBERG Nature 212, 571 (1966)

] P.T. LANDSBERG, G.E.A. MATSAS Physica A 340, 92-94 (2004)

ESTUDIO DE CAOS MEDIANTE EXPONENTES DE LYAPUNOV DEL SISTEMA SPIN BOSON

Tefanes Berrocal Serna.

Universidad Nacional de San Cristbal de Huamanga

Facultad De Ingeniera de Minas Geologa y Civil

E. F. P. Ciencias Fsico matemticas

E-mail: tbeser@hotmail.com, besernat@hotmail.com

RESUMEN

En este presente trabajo, hacemos un estudio para determinar el caos para el sistema spin-bosn por el mtodo de exponentes de Lyapunov con el objetivo de determinar bajo que valores de sus parmetros, el sistema presenta comportamiento regular o catico, el propsito del trabajo es hacer una contribucin en esta direccin, debido a que para sistemas hamiltonianos con dos o ms grados de libertad no es posible detectar el caos como por ejemplo con las mapas de Poincar.

Palabras claves: sistemas dinmicos, caos, sistemas hamiltonianos.

I.-INTRODUCCIN.

El sistema spin bosn es un sistema cuntico que consiste de N tomos dentro de una cavidad que interactan con la radiacin electromagntica. En muchos tratamientos de la interaccin tomo radiacin electromagntica, los tomos son considerados objetos cunticos, mientras que la radiacin es tratada clsicamente (un objeto clsico). Estamos considerando que los tomos poseen slo dos niveles de energa en interaccin con el campo electromagntico, dando lugar al modelo spin - bosn estudiado en [4]. En realidad los tomos poseen muchos niveles de energa, de las cuales consideramos slo transiciones entre dos niveles y despreciando las otras posibles transiciones.

La extrema sensibilidad de un sistema a las condiciones iniciales es comnmente es aceptado como definicin de caos, caos que puede ser medido utilizando diferentes mtodos como mapas de Poincar, entropa de Kolmogorov, Exponentes de Lyapunov, etc. En el presente trabajo usamos el mtodo de los exponentes de Lyapunov, que vienen a ser la razn exponencial en el que trayectorias cercanas divergen o convergen, es decir es una caracterstica cuantitativa que determina si una rbita es catica o regular.

II.- COMPUTACIN DE EXPONENTES DE LYAPUNOV

Con fines de explicar el mtodo usado para calcular los exponentes de Lyapunov consideremos un sistema dinmico continuo de dimensin .

(1)

donde z y F son campos de vectores -dimensionales. Para determinar los exponentes de Lyapunov del sistema, correspondiente a alguna condicin inicial , tenemos para encontrar la evolucin de los ejes de una esfera infinitesimal de estados alrededor de . Para ello consideremos el mapa tangente como el conjunto de ecuaciones dadas por,

(2)

donde es la matriz jacobiana de orden .

(3)

una solucin de la ecuacin (2) puede escribirse formalmente como:

(4)

siendo la mapa tangente, cuya ecuacin evolucin temporal est dada por

(5)

III.-EL METODO DEL JACOBIANO O ESTNDAR

Sean los exponentes de Lyapunov en una sucesin decreciente, . El mtodo estndar consiste en: escoger primero vectores tangentes ortogonales como condicin inicial para la ecuacin (2), que comnmente se toman iguales a etc. En segundo lugar se resuelve la Ec. (2) para cada condicin inicial en un tiempo obteniendo los vectores . Vectores que son ortonormalizados usando el proceso de reortogonalizacin de Gram-Schimdt (GSR) que produce:

,

,etc. (6)

Las normas en el denominador de (6) se denotan por , y se almacenan para la computacin de los exponentes de Lyapunov.

El procedimiento mencionado se repite para los subsiguientes tiempos de integracin considerando como condicin inicial para la ecuacin (2), y obteniendo los vectores resultados , que sern ortonormalizados nuevamente usando GSR procedimiento que produce un nuevo conjunto ortonormal de vectores , i=1,..., y las normas . Despus de iteraciones se tiene conjunto ortonormal de vectores , en el tiempo . De modo que los exponentes de Lyapunov son:

(7)

IV: EL SISTEMA SPIN-BOSON CON UN CAMPO ELECTROMAGNETICO LINEALMENTE POLARIZADO

Hemos considerado que el sistema spin bosn consiste de N tomos con momento angular total , dado que cada una tiene interactuando con el campo electromagntico. El hamiltoniano clsico (10) del sistema spn - bosn se obtuvo va estados coherentes a partir de la hamiltoniana cuntica con el fin de estudiar su comportamiento respecto a las condiciones iniciales utilizando nicamente las ecuaciones de movimiento de Hamilton dadas por:

(8)

(9)

donde (q1,p1) son las variables cannicas que representan al tomo y (q2,p2), variables cannicas que representan al campo electromagntico, cuya hamiltoniana es:

(10)

(11)

(12)

Las ecuaciones de movimientos de (10) dados por (8) y (9) son:

(13)

(14)

EMBED Equation.3 (15)

(16)

Las Ecs. (13), (14), (15) y (16) forman un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales no lineales, que linealizamos para hacer el estudio cualitativo, es decir hallamos la matriz jacobiana de orden .

V.- RESULTADOS

Los resultados obtenidos para los exponentes de Lyapunov del sistema spin-bosn, considerando tomos que interactan con el campo electromagntico para distintas condiciones iniciales, se presentan a continuacin grficamente. Para efectos de clculo numrico se tomaron los parmetros

EMBED Equation.3

Figura 1.-Exponentes de Lyapunov para condicin inicial [0.1 0.1 0 0 ]

Figura 2.- la evolucin temporal de las cuatro trayectorias, correspondiente al la figura 1.

Figura 3.- Exponentes de Lyapunov para condicin inicial [0.1 0.5 0.5 0.1]

Figura 4.- La evolucin temporal de las cuatro trayectorias fsicas, correspondientes a la figura 2

.

VI.- CONCLUSIONES

De acuerdo a los resultados obtenidos concluimos que:

3. El sistema spin-bosn representado por (10) presenta comportamiento regular en las proximidades del punto de equilibrio , para una condicin inicial , pues todos los exponentes de Lyapunov tienden o convergen a cero cuando el tiempo tiende al infinito (ver figura 1 y 2). Es decir que el sistema para este caso es predecible, dado que no es sensible a las condiciones iniciales.

4. El sistema spin-bosn presenta comportamiento catico o irregular para la condicin inicial , pues los exponentes de Lyapunov para esta condicin inicial divergen como muestran las figuras 3 y 4. que llevan a concluir que el sistema spin bosn tiene comportamiento catico, es decir es sensible a las condiciones iniciales, que hacen al sistema impredecible en el largo tiempo.

VII.-BIBLIOGRAFA

[1]. H.GOLDSTEIN, Classical Mechanics, Second Edition, Addison-Wesley Publishing Co. USA (1980).

[2]. G. RANGARAJAN, S. ABIB AND R. D. RYNE, Phys. Rev. Lett.80 (1998) 3747.

[3]. G.BENETTIN L. GALGANI, A. GIORGILLI AND J. M. STRELEYN, Meccanica 15 (1980).

[4]. DE AGUIAR, M. A. M., FURUYA K., LEWENKOPF C. H., NEMES M. C., Ann. Phys. N. Y. 216, 291, (1992).

[5]. KINCAID, D., CHENEY, W., Anlisis numrico, Adison Wesley, 1994.

VI.- AGRADECIMIENTOS

En especial al Profesor Lic. Abrahan Pablo Aslla Quispe por su apoyo incondicional y colaboracin en la realizacin del presente trabajo, tanto con revisin y comentarios proporcionados.

A los organizadores del X Simposium y VI Jornada Nacional de estudiantes de Fsica, de la Universidad Nacional San Agustn por la invitacin a participar y hacer conocer mi trabajo en este evento.MATERIAL DEL FUTURO (Seda de araa)

1R.Prncipe Aguirre, 2J.Yana Galarza .

Estudiantes de pre-grado.

Facultad de Ciencias Fsicas,

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

1 terick17@hotmail.com, 2 sagitario_2185@hotmail.comResumen

La inusual combinacin de elevada resistencia y flexibilidad han convertido al hilo de la seda de araa en objeto de estudio en el mbito de la ciencia de materiales desde hace dcadas[5].

La industria moderna exige el avance de los materiales que utilizamos en la vida cotidiana[5], es por ello que optamos por investigar y describir la estructura a nivel macromolecular de la seda dando a conocer uno de los posibles diseos investigados hasta la actualidad, para eso recurrimos al anlisis de las protenas fibrosas existentes en la seda lo cual nos brinda informacin para saber el por que de la elevada resistencia y elasticidad.

Si podramos construir materiales imitando el diseo de la estructura de la seda tendramos grandes aplicaciones en el rea industrial y clnica como por ejemplo suturas quirrgicas, construccin de tendones, chalecos antibala mucho mas resistentes, cuerdas de paracadas entre otros.

Sin embargo todava no se ha conseguido desarrollar una tcnica que garantice la produccin rentable de un anlogo sinttico de este material.

Introduccin.

Desde que el hombre empez a hacer uso de la ciencia y de la tecnologa para satisfacer sus necesidades, ha tratado de mejorar sus productos y no ha encontrado mejor aliado que la naturaleza.

La naturaleza ha sido campo de estudio de muchos cientficos en diversas disciplinas por su complejidad que hasta ahora nos sorprende porque no ha sido comprendido en su totalidad.

Como ya lo mencionamos la naturaleza nos traza el camino en este campo cientfico, y uno de los productos que mas llama la atencin es la seda de araa (red de arrastre), son muchos los cientficos de DuPont (lder mundial en la fabricacin de fibras) y Nexia (empresa biotecnolgica asociada al ejercito de los EEUU.), que estudian la tenacidad, resistencia, y la elasticidad de esta y los mas importante tratan de reproducir el mtodo que usan las araas para fabricar la seda (red de arrastre).

Las fibras de seda (red de arrastre) fabricadas por las araas tiene propiedades mecnicas que no han sido superadas por ninguna fibra artificial pues combinan una elevada resistencia como la del acero con una gran deformacin, como el caucho, y ambas propiedades no suelen coincidir en la mayor parte de los materiales[3].

La seda de araa(red de arrastre) es un polmero de protena llamado fibroina, compuesta fundamentalmente por dos aminocidos Glicina y Alanina, las cuales son responsables de su tenacidad y elasticidad.

Para determinar el comportamiento de la protena y dar un posible diseo estructural a partir del anlisis, los cientficos (DuPont y Nexia) sometieron la seda a diversas pruebas de laboratorio, analizando la estructura de macromolculas, estructura a nivel aminocidos, factores de cristalizacin de la seda y finalmente la fabricacin de la seda por la araa (glndulas).

Sin embargo a pesar de las pruebas hechas por los cientficos (DuPont y Nexia), la manipulacin y la comprensin del comportamiento de las protenas siguen siendo en parte desconocidos, debido a esto no se ha logrado reproducir exactamente la seda.

El propsito de este artculo es difundir y dar a conocer las posibles aplicaciones (al inters por el hombre), la explotacin y la biotecnologa de la seda.

Fabricacin de la seda por la araa.

La seda se produce en glndulas en fase liquida, con peso molecular que varia entre20000 y 300000 gr/mol[6]. En la glndula, las molculas de seda de la protena son solubles en agua y globulares. Mientras que la protena de seda procede a travs del conducto, una fase cristalina liquida de poca viscosidad aparece gradualmente. Una estructura semi cristalina con una tercera fase compleja se forma cuando las protenas de seda pasan a travs de la hilera, la vlvula regula el grosor y flujo de la seda.

Fig. 1: Esquema interno de la glndula Ampulcea mayor. a) Zona de secrecin de espidroina I y II, que constituyen el corazn de la fibra. b) zona de secrecin de protenas cidas que disparan la polimerizacin de espidroina. Tambin se secretan aqu carbohidratos y peroxidasa que cubren la fibra. c) Este bucle en el tbulo est para retirar agua, de un modo similar a la nefrona, potenciando la polimerizacin. d) La parte proximal de este tbulo secreta H+; la parte distal est dedicada a la secrecin de una cobertura de lpidos. e) Salida a la espinareta: seda drawline perfectamente ensamblada. (BAM: Biomimetic Advanced Matherials)

Fig. 2: pequeos tubos que estn conectados con las glndulas ( el nmero de tubos puede variar entre 2 y 50 000)

Propiedades de la seda.

Se deben observar las propiedades mecnicas si se desean clasificar este tipo de material.

Para esto se hace uso de curvas de esfuerzo deformacin para observar propiedades bajo tensin.

Alta resistencia a la tensin, mayor que un acero.

Alta extensibilidad, comparable a la de una goma.

Alta capacidad de retener agua comparable a la de la lana.

Resistencia superior a la del kevlar

La resistencia a ruptura y el modulo elstico de la seda de la red de arrastre de la araa.

Estructura a nivel macromolecular.

Estructuralmente es un material polimrico de protenas llamado fibroina. En la seda del red de arrastre de la araa (seda del ampllate) se piensa que esta compuesta de dos protenas espidroina I y II de peso molecular 200000 entre 300000 gr/mol [6].

La cadena de pptidos del espidriona I y II se orienta altamente alo largo de la direccin de la fibra, inducida posiblemente por le flujo elongacional dentro del conducto durante el giro [1].

Los dominios de poly ala se caracterizaron previamente por NMR (Resonancia Magntica Nuclear) y fueron encontrados predominantemente la conformacin de hojas - y la organizacin de microcristales.

Del estudio de la informacin estructural se obtuvo datos de la literatura que se muestra en la fig (3).De estos anlisis se propone un modelo para la seda de la red de arrastre , con una multiplicidad de subestructuras fibrosas cubiertas por una membrana dura en forma de fibra esta estructura consiste en regiones -paralelas conteniendo alanina y glicina interpolado con predominantes porciones helicoidales que no contienen alanina todas las cadenas tienden a ser paralelas, los cristales son irregulares [1]

Por otro lado el equipo de UCSB (university of California, Santa Barbara), utilizo la microscopia atmica de fuerza (AFM), para analizar una solucin de la protena de la red de arrastre de la araa.

Observaron la solucin para montar nanofibras cada una con una subestructura dividida en segmentos, la medida de los segmentos sugiere un apilado de molculas, el patrn que apila prosigue una serie de nanocristales dentro de una matriz amorfa, emparejando con observaciones de la estructura compuesta con resonancia magntica nuclear (NMR) y difraccin de radiografa. En cambio el equipo de Hamsma esta utilizando la fuerza molcular por espectroscopia para ver que sucede cuando la tiras la seda los datos revelados de la protenas sern utilizados para mejorara los modelos para la estructura y los mecanismos de la molcula de la fibra de seda [2]

Fig.3: Modelo propuesto para la seda de la red de arrastre de la araa [1]Estructura a nivel aminocidos.

En la seda del ampllate existe la combinacin glu, pro, ala. Se cree que los constituyentes bsicos de la seda de araa son los aminocidos, glicina y alanina [6], Estos dominios fueron caracterizados por microscopia electrnica de trasmisin, el tamao de los dominios hace ilusin que deben ser incorporados la glicina.

Los cientficos afirman que en los dominios glicina no se han observado la presencia de estructuras atmicas, descrito como la matriz amorfa. Ellos sugieren a partir de los datos NMR (Resonancia Magntica Nuclear) estructuras helicoidales cuya configuracin puede ser gly-lev-gli-xgln, el adorno gly tambin se presenta en los dominios de la hoja - . De la observacin ellos afirman que la mayora incorpora residuos de alanina en la estructura regulares del -paralelo que forman predominantemente los dominios cristalinos. Tambin afirman que los residuos que los resigue de glicina no solo estn ordenados si no tambin son rgidos en la escala de tiempo NMR (Resonancia Magntica Nuclear) al igual que la alanina [1].

Ahora el alineamiento de los aminocidos es posiblemente responsable de su gran resistencia [3] entonces en la seda existen una secuencia de aminocidos, los bloques repetidos en la secuencia de aminocidos (son de forma larga) y al final de cada bloque la protena se enrosca y se vuelve en si misma 180[6] esto provoca que se agrupen en motivos de hojas - separados por motivos de alanina formando entre ellos una espiral, estos bloques probablemente explican la elasticidad de la seda ya que mientras mas motivos - se encuentra en la fibra mayor es la elasticidad [3]

Por otra parte, para examinar la orientacin de aminocidos cristalinos en la red de arrastre un investigador de la UBC (universidad britnica columbia) esta continuando esta lnea de investigacin.

El mtodo que estn empleando lo cientficos de ubcs (university of California, Santa Barbara) la de NMR (Resonancia Magntica Nuclear), describen ellos que la seda cosechada se pone dentro de una punta de prueba y analizan las imgenes con el fin de determinar como los aminocidos se distribuyen.

Ellos estiran o relajan esperando una respuesta y poder ver en le modelo las cadenas estiradas as fuera alo largo de la direccin de la seda y la orientacin se los cristales .O desorientacin cuando esta relajado.

Explican ellos que ya tienen una mejor sensacin para cuando la seda es cristalina y que estn haciendo las cadenas realmente, entonces ellos estn esperanzados en los modelos avanzados que le equipo esta generando.

Explotacin y biotecnologa de la seda.

Es posible obtener artificialmente la seda a partir de las araas ordeandolas. Para ello hay que sedar a la araa (normalmente ponindola a bajas temperaturas) y fijarla a un sustrato. Posteriormente se saca con unas pinzas la fibra de las espiranetas y se atan a una bobina, que ha de ir girando a una velocidad tal para obtener de 1 a 15cm/s. De seda, para sacar la seda ampullate, diferenciadle por ser algo mas gruesa y de un color tpicamente dorado.

Fig 4: Obtencin de seda de Nephila clavipes: a) Inmovilizacin. b) Aparato para la obtencin de seda. c) Muestra de bobina con seda dragline (Dr. Mike Ellison et al, Clemsom University). d) Vista de la salida de seda de las espinaretas. e) Esquema de la instalacin para obtener seda (Silk Protein Project, University of Washington).En la mayora de los casos esto se hace en el laboratorio para obtener muestras experimentales, ya que no es recomendable sacar ms de 25 m. Por araa, siendo muy poco rentable este procedimiento para un uso industrial.

Al no ser rentables estos sistemas, la multinacional DuPont, lider mundial en la fabricacin de fibras (es la que desarrollo el Kevlar), consigui expresar el gen de la fibroina de la araa en bacterias (S. R. Fahnestock, 1997) y levaduras (M. S. Ellison et al, 2002). Aunque los resultados hasta ahora no son muy productivos, ya que la materia enzimtico tanto de las bacterias como de las levaduras digieren en parte la protena producida, o, obtenindose fibras de un peso molecular menor al esperan mejorar la tcnica en los prximos aos. De esta forma esperan producir entre 35 y 350 Kg de seda por lote de cultivo, frente a los 3kg que se producen ahora.

Sin embargo, los cientficos de Nexia (empresa biotecnolgica asociada al ejrcito de EEUU) intentaron una idea mucho mas ambiciosa basndose en araas y las clulas productoras de leche de los mamferos. Ambas son clulas glandulares procedentes del tejido embriognico epitelial y ambas secretan grandes cantidades de protenas hidrosolubles. Las clulas epiteliales de cabra, adecuadamente modificadas, son capaces de fabricar la protena de la seda.

Para ello tomaron una estirpe de cabra de crecimiento rpido (BELE Brees Early-Lactate Early), que alcanzan la madurez sexual a los 3 meses de edad, obtenidas para la sntesis de diversas protenas en la leche, este proceso de produccin de protenas a partir de la leche de cabra lo han patentado como MAC-T (Mammary Cell Lines).

Tras filtrar y purificar la leche obtenida, se obtiene una harina formada por protenas puras de la seda, que una vez polimerizadas in Vitro, dan lugar a fibras de seda. Las fibras obtenidas asi han sido patentadas como Biosteel.

Jeffery Turner, presidente del Nexia, opina que cuando el mtodo de produccin este a pleno rendimiento, obtendrn un material mas duro que el Kevlat de DuPont pero a un precio competitivo, que estima en 50/kg (Rita L. Aquino, 1999)

Posibles aplicaciones.

Medicina (tendones, ligamentos, suturas artificiales de ciruga)

pesca (hilo y redes)

chaleco anti balas 8materiales de resistencia a impactos)

cuerdas de paracadas.

censores de toxicidad telas)

conservacin de alimentos

fabricacin de materiales a temperatura ambiente, en solucin acuosa y de valiosas propiedades mecnicas.

Conclusiones y discusiones.

Si bien el estudio de este tema esta en paales hoy en da, se puede visualizar ya un impacto en la tcnica y la tecnologa futura

Sin duda que la complejidad del estudio y la sntesis de los compuestos orgnicos naturales nos vuelca a un esfuerzo en esta direccin como tambin partir de estos resultados inferir los mecanismos que dominan cada sistema y lograr reproducir materiales de inters.

La posibilidad de generar nuevos materiales a partir de del modelos de la seda de araa tendra un impacto importante en medicina y podra alcanzar otros campos como la industria, construccin. Sin duda el mayor impacto de estas sustancias radica en la formacin de nuevas estructuras.

Referencias

[1] Backbone J. D. van Beek, S. Hess, F. Vollrath, and B. H. Meier, The molecular structure of spider dragline silk: Folding and orientation of the protein, PNAS - August 6, 2002 - vol. 99 - no. 16 10267.

[2] By Paula Gould, spiders sil spiders silk, ISSN:1369 7021 Elsevier Science Ltd 2002[3] Venkatachalam, C. M. & Urry, D. W. (1981) Macromolecules 14, 12251229.

[4] Putthanarat, S., Stribeck, N., Fossey, S. A., Eby, R. K. & Adams, W. W. (2000)

Polymer 41, 77357747.

[5] Grupo de ciencia de los materiales, El camino del hilo de seda, universidad politcnica de Madrid.

[6] Luis Fernndez de Castro Daz, Nephila clavipes la Seda Los Milagros de la seda.

[7] Rivelino V.D. Montenegro, La asombrosa telaraa, Una publicacin del Geoscience Research Institute, N. 66 Ciencia de los Orgenes 1 SOLITONES TOPOLGICOS COMO PARTCULAS ELEMENTALES

Enrique John Arias Chinga

Pregrado

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Ingeniera, Lima

Grupo de Fsica Terica

enrikearias@gmail.com, enrikearias@hotmail.comRESUMEN

El presente trabajo muestra, en trminos generales, la estructura de una teora relativista de campos a un nivel clsico, es decir, sin cuantizacin.

El formalismo general de la Teora Clsica de Campos y sus principales herramientas sern descritas con el fin de hallar soluciones, conocidas como Solitones, de ecuaciones de movimiento de un campo no lineal. Dichas soluciones, cumplen con un criterio de estabilidad y tienen la propiedad de tener su energa concentrada en una pequea regin del espacio. Para este trabajo nos limitaremos a un espacio-tiempo bidimensional.

Los solitones estudiados son los llamados solitones topolgicos y son hallados en un campo sobre el que se impone una ecuacin de ligadura, en este campo hallaremos una magnitud que se conserva, llamada carga topolgica. Esta magnitud ser independiente de la dinmica del campo, y se conservar slo debido a la ligadura impuesta.

La energa de los solitones est acotada inferiormente por una funcin de su carga topolgica y por ello vemos que los campos no pueden evolucionar tal que disminuyan su energa hasta cualquier valor, lo cual confiere a los solitones su propiedad de estabilidad.

ELEMENTOS DE LA TEORA CLSICA DE CAMPOS

La teora clsica de campos describe funciones del tiempo t y las coordenadas llamadas funciones de campo , mediante una funcin escalar real que depende de estas y de sus primeras derivadas llamada Densidad Lagrangeana. Las ecuaciones de movimiento del campo se obtienen por medio del Principio de Mnima Accin, segn el cual la evolucin fsica del sistema es tal que hace extremal la siguiente funcional llamada accin:

donde: es la densidad lagrangeana. De este principio obtenemos para las funciones de campo las ecuaciones de Euler-Lagrange:

Usando este formalismo se prueba que si el campo presenta simetras, transformaciones ante las que la accin se mantiene invariante, entonces a cada simetra le corresponde una ley de conservacin y las magnitudes que se conservan se llaman en general cargas, esto formalmente es conocido como El Teorema de Noether, por ejemplo debido a la simetra de los campos ante las traslaciones en el espacio-tiempo, tendremos la conservacin del 4-vector de energa-momento. Esta ley de conservacin est descrita por medio del tensor de energa-momento:

Teniendo el 4-vector de energa-momento:

Como las componentes son las densidades del 4-momento, la densidad de energa del campo es la componente y para cualquier campo tenemos la expresin de su densidad de energa:

El MODELO SINE-GORDON

Analizaremos un campo en un espacio-tiempo bidimensional, = 0, 1, con la

siguiente densidad lagrangeana:

Donde la variable de campo es el escalar real: y es el potencial de interaccin, este modelo est dado por el siguiente potencial:

Usando el Teorema de Noether se obtiene la energa del campo:

donde es la densidad de energa:

La ecuacin de movimiento del campo, que es deducida a partir del principio variacional, es:

Buscaremos soluciones estacionarias, es decir que no dependan del tiempo, entonces la ecuacin de movimiento queda:

donde la prima indica derivada sobre la nica variable espacial x.

Esta ltima ecuacin es de la forma de la ecuacin de Newton para una partcula en un potencial, y tiene una integral del movimiento, que es la energa en el caso de la partcula; en nuestro caso no tiene esa interpretacin, y est dada por:

(1)

Pero la densidad de energa, dada por el Teorema de Noether, para las soluciones estacionarias, es:

Y exigiendo que la energa del campo tenga un valor finito, necesitamos que esta

densidad de energa se anule en el infinito, esto se cumple si en el infinito, y . Es decir para esto tomamos las siguientes condiciones de frontera:

(2)

Este estado del campo, donde es un valor constante que minimiza el potencial V es conocido como el estado de vaco del campo, o simplemente como el vaco del campo. Para nuestro caso los estados de mnima energa del campo, es decir los vacos del campo, son que minimizan a V, es decir:

entonces Ahora usando las condiciones de frontera (2) en (1), para todo x obtenemos que:

y con esto:

usando la frmula explicita de :

resolviendo esta ecuacin obtenemos:

Esta solucin estacionaria de las ecuaciones de campo que toma valores entre dos puntos del vaco mientras su argumento, x, toma valores desde hasta , es conocida como kink. Donde xo es una variable de integracin, que es denominada el centro del kink,

La densidad de energa del kink es:

CAMPOS QUIRALES

Un campo quiral es un campo sobre el cual se tienen ecuaciones de ligadura, estas ecuaciones de ligadura mantienen a los campos sobre una variedad , tal que las funciones de campo sern mapeos del tipo:

Por otro lado del Teorema de Noether obtenemos leyes de conservacin debido a simetras en los campos, sin embargo vamos a ver que tambin se pueden hallar leyes de conservacin pero que no estn relacionadas con simetras en la evolucin fsica del campo, sino que estn ligadas a propiedades topolgicas de la variedad , debido a esto a las cargas conservadas en estos casos, que son invariantes topolgicas, se les llamarn cargas topolgicas.

En un modelo de un campo con dos componentes, , en un epacio-tiempo bidimensional, , impondremos la condicin que los campos se encuentren sobre una circunferencia, es decir, :

...(3)

donde la suma por est implcita, derivando esta ltima ecuacin, tenemos:

escribiendo esta ecuacin matricialmente:

Para poder hallar soluciones no triviales a este sistema de eceuaciones, el determinate de la matriz cuadrada debe ser igual a cero, de donde tenemos que:

usando las siguientes igualdades:

obtenemos:

donde:

Es decir hemos obtenido una ley de conservacin, expresada mediante la ecuacin de continuidad, a partir de la condicin (3), adems esta ley de conservacin se cumple para cualquier funcin de campo, que cumpla con la restriccin impuesta, no depende de las ecuaciones de campo. La carga topolgica obtenida de esta manera est dada por:

Considerando ahora el modelo de un campo quiral (3), con la densidad lagrangeana:

donde es una funcin acotada inferiormente y tomaremos el nivel de energa tal que su cota inferior sea cero: Hallaremos las ecuaciones del campo al hacer extremal la accin; pero debemos hacer esto considerando la restriccin (3). Para esto usamos el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, y definimos:

realizando la variacin de respecto a , tenemos la ecuacin de las funciones de campo que hacen extremal la accin cumpliendo con ser un campo quiral (3):

...(4)

Y la energa est dada por:

Parametrizando el campo quiral (3), por medio de un nico parmetro , tenemos que:

Usando esta expresin de las componentes , en trminos de , las ecuaciones complicadas que obtuvimos para los campos , (4), se reducen notablemente, usando que:

Tal que en trminos de , las ecuaciones (4) son:

Esta ecuacin, es la ecuacin de un campo escalar real, con una densidad lagrangeana del tipo:

Considerando soluciones estacionarias, tendremos que las funciones de campo son mapeos que parten de la recta real, hacia una circunferencia en el espacio de las funciones de campo, S1. Ahora, si en la recta real identificamos los puntos del infinito y los consideramos equivalentes, entonces la recta as dispuesta es topolgicamente equivalente a una circunferencia S1. Tal que nuestras soluciones estacionarias sern mapeos del tipo:

la energa del campo en trminos de es:

Adems de la primera parte de este captulo sabemos q ue existe una carga topolgica en este modelo, dada por:

usando que:

Entonces:

Aqui se nota que la carga Q, es justamente la longitud recorrida alrededor de la

circunferencia en el espacio de las funciones de campo debido al mapeo , dividida entre la longitud de la circunferencia cuando es recorrida una sola vez, . Es decir, la carga topolgica es el numero de vueltas que da el mapeo alrededor de la circunferencia . Si tomamos , es decir:

Entonces nuestro campo quiral con dos campos escalares, , se convierte en el

campo de sine-gordon con campo escalar tal que:

Y usando las condiciones de frontera para el campo sine-gordon:

donde , tendremos para la carga topolgica :

Ahora, usando que , entonces, luego de algunos clculos, se demuestra la siguiente desigualdad:

Identificando los trminos de la desigualdad, que son justamente la carga topolgica, dividida entre , y la energa de la solucin estacionaria al modelo sine-gordo, finalmente tenemos:

CONCLUSIONES:

Se obtuvo una solucin de un campo no lineal que presenta su energa concentrada en una pequea regin del espacio.

variedad.

Se ha hallado un ley de conservacin slo debido a la ligadura impuesta sobre el campo y que es independiente de la dinmica del campo.

Adems las soluciones halladas son estables, en el sentido que la evolucin fsica no puede hacer disminuir la energa del campo menos de un valor fijado por una magnitud propia del campo y ajena a la evolucin fsica.REFERENCIAS:

[1] Valery Rubakov, Classical Theory of Gauge Fields, Primera edicin, Princeton University Press, 137-171, 2002.

[2] Sokolov- Ternov, Electrodinmica Cuntica, Primera edicin, Editorial Mir- Mosc, 10-110, 1989. EL FORMALISMO DE LA TEORA DE FUNCIONES GENERALIZADAS EN EL MTODO DE SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SISTEMAS FSICOS

Daga Chamorro, Ronald Edson

Pre Grado

Universidad Nacional De Ingeniera

Facultad De Ciencias Grupo De Fsica Terica

20020062f@Uni.Edu.PeRonald.Daga@Hotmail.ComRonald.Daga@Gmail.ComRESUMEN

En el presente trabajo se detalla el formalismo de la Teora de Funciones Generalizadas aplicadas a la solucin de conocidas ecuaciones diferenciales sistemas fsicos como son la Ecuacin de Newton y la de Schrodinger. Estas ecuaciones son expresadas en trminos de funciones generalizadas y son integradas mediante el mtodo de la Funcin de Green.

Para poder calcular la Funcin de Green correspondiente a cierta ecuacin diferencial, es necesario integrar una funcin que en la mayora de los casos resulta tener uno o ms puntos de singularidad, es por ello que se hace uso del Mtodo de Variable Compleja.

Algunos de los resultados obtenidos del formalismo de la Teora de las Funciones Generalizadas son utilizados para justificar el procedimiento de variar el polo, o punto de singularidad, comnmente usado en el mencionado Mtodo de Variable Compleja. Esto se consigue mostrando que dicho procedimiento es resultado de variar la Funcin de Green, aumentndolo o disminuyndolo por alguna solucin de la Ecuacin Diferencial Homognea respectiva.

1. Introduccin. Las funciones generalizadas permiten formular, en el lenguaje matemtico, nociones idealizadas como por ejemplo el de densidad de una carga puntual, densidad de un punto material o el de impulso instantneo, donde inevitablemente se recurre a ciertas abstracciones matemticas como la nocin de punto, y se reproduce una situacin que no es del todo exacta, esto debido a que cualquier masa posee un volumen bien determinado, toda fuerza acta durante un determinado lapso de tiempo y cualquier fuente de un campo tiene dimensiones determinadas. Como un ejemplo de tal situacin, veamos el caso de la accin de una fuerza instantnea. Supongamos que en el instante t = 0 un cuerpo de masa m0 ha experimentado la accin de una fuerza F(t) que le comunic la velocidad v0, despus de la cual dicha fuerza se dio por terminada. Se tratar de determinar cual es esta fuerza F(t) para t = 0. En cualquier instante de tiempo, se tiene

Desde el punto de vista de la matemtica clsica esta ltima igualdad carece de sentido, ya que la integral en el primer miembro de la igualdad, que se considera como impropia debido a que la funcin F(t) es igual a cero en todos sus puntos menos en t = 0, es igual a cero; mientras que el segundo miembro de esta igualdad no es nulo. Por otra parte, partiendo de razonamientos fsicos es natural esperar que tal igualdad tenga un sentido determinado, esto quiere decir, que nos encontramos fuera de las posibilidades de emplear el aparato matemtico conocido y que se deberan introducir algunas nuevas nociones matemticas.2. Teora de funciones generalizadas. En esta parte del trabajo se desarrollarn detalladamente definiciones fundamentales y principales propiedades del formalismo de la teora de funciones generalizadas. Dicha teora nos servir luego para poder justificar algunos procedimientos del mtodo de solucin de ecuaciones diferenciales, las cuales sern reinterpretadas como ecuaciones diferenciales de funciones generalizadas2.1. Funcin generalizada. El espacio de prueba T es el conjunto de todas las funciones terminales que tienen derivadas continuas en todos los ordenes. Este espacio forma un espacio lineal y la convergencia de sus elementos est definida de la siguiente manera

Convergencia en T. Una sucesin {}, n = 0, 1,2,...donde, converge para si:

Existe un intervalo fuera del cual , n = 0, 1, 2,..., se anulan.

En dicho intervalo convergen uniformemente para .

El prototipo de una funcin de prueba es el siguiente:

Ahora, se define a una funcin generalizada como toda funcional continua lineal F definida sobre el espacio de testeo T.

2.1.1. Funcin generalizada regular e irregular. Toda funcin generalizada F definida sobre el espacio T mediante una funcin f (x) localmente integrable, segn la relacin

se denomina funcin generalizada regular. Todas las dems funciones generalizadas se denominan singulares. A partir de ahora y en lo que resta del trabajo, la funcin har mencin a una funcin del espacio de prueba T. Para denotar cualquier funcin generalizada F se usar la siguiente notacin:

Ejemplo 1. Sea la funcin generalizada definida mediante la funcin

Como no es integrable en ningn intervalo que contenga al cero, es una funcin generalizada singular.

Ejemplo 2. Sea la funcin generalizada definida como

donde por se entiende una funcin que es igual a cero para todo xxo y se convierte en infinito en el punto x = xo de manera que

sta tambin es una funcin generalizada singular.

2.2. Operaciones algebraicas y analticas con funciones generalizadas.

2.2.1 Producto de una funcin generalizada y una funcin. Debido a que no es posible definir el producto de dos funciones generalizadas, vamos a definir el producto una funcin generalizada y una funcin infinitamente diferenciable como

2.2.2 Derivacin de funciones generalizadas.

Sea una funcin generalizadas definida mediante la funcin ordinaria f (x) diferenciable

La derivada generalizada de la funcin generalizada regular est definida por la propiedad

Esta definicin es extendida para cualquier funcin generalizada. Entonces, la derivada generalizada de una funcin generalizada F cualquiera es

Ejemplo 1. Sea la funcin de Heaviside definida como Y la funcin generalizada definida mediante esta funcin

Su derivada generalizada es entonces

. (1)Ejemplo 2. Sea la funcin generalizada definida como

Se cumple que

Si denotamos la siguiente funcin generalizada como

Entonces se obtiene la siguiente igualdad de funciones generalizadas

Extendiendo este ltimo resultado, para n = 0, 1, 2,..., se obtiene la siguiente relacin

2.3. Transformada de Fourier de una funcin generalizada. Segn la definicin de la transformada de Fourier de una funcin ordinaria f (x), la manera ms natural de definir a la transformada de Fourier de una funcin generalizada (definida por la funcin f(x)) sera haciendo uso de una funcin generalizada definida mediante la transformada de Fourier de la funcin que define a dicha funcin generalizada (es decir, la funcin f(x)). Asumiendo que se tendra

Sin embargo, las funciones f(x) y g(x) cumplen la siguiente relacin

y debido a que [g(x)]^(u) (transformada de Fourier de la funcin g(x)) no pertenece a T, tal definicin no resultara ser una funcin generalizada. Este problema nos conduce a la necesidad de extender el espacio de prueba T, de manera tal que la transformada de Fourier de una funcin ordinaria sea tambin una funcin de prueba. Es importante sealar aqu que se utilizar el trmino atenuado para referirse a las respectivas extensiones de las definiciones dadas previamente, sin que esto implique un cambio fundamental en la definicin de cada una de ellas.

El nuevo espacio de prueba est definido como el conjunto de todas funciones complejas que posean las siguientes propiedades: es infinitamente diferenciable.

y todas sus derivadas en todos los rdenes, desaparecen en el infinito, ms rpido que el reciproco de un polinomio, es decir

La convergencia de sus elementos ahora esta dada por

Convergencia en . Una sucesin de funciones de prueba atenuadas {}, n = 0, 1, 2,..., donde converge para si y solo si:

{} converge uniformemente para convergen uniformemente para .

Toda funcional lineal continua f definida sobre el espacio _, es ahora definida como la nueva funcin generalizada denominada funcin generalizada atenuada.Las dificultades que obtuvimos en un comienzo desaparecen al extender el espacio de prueba, y sobre ste, redefinir las funciones generalizadas. La transformada de Fourier de una funcin generalizada atenuada cualquiera f(x) est definida como

Ejemplo 1. Se cumple la siguiente relacin

Ejemplo 2. Usando (1) y la siguiente relacin

Se tiene

. (2)Segn esta ltima relacin, vamos hallar la solucin de la ecuacin Dicha solucin es la suma de la solucin de la ecuacin homognea y una solucin particular

Pero de (2)

. (3)Y usando la relacin se obtiene que es decir

Ejemplo 3. Usando la relacin

y usando (3), se obtiene

Es decir

. (4)Ejemplo 4. Usando las siguientes relaciones

, Se tiene

y usando (4), se obtiene

Para m = 2

. (5)Ejemplo 6. Usando la siguiente relacin

y usando (4) y (5), se obtiene

Aplicando a esta ltima relacin la transformada inversa de Fourier

2.4. Producto directo y convolucin de funciones generalizadas.

2.4.1. Producto directo de funciones generalizadas.

Sean los espacios de funciones de prueba atenuadas con soporte compacto en respectivamente. Se define el producto directo de dos funciones generalizadas atenuadas cualquiera como

donde 2.4.2. Convolucin de funciones generalizadas. La convolucin de dos funciones ordinarias f y g definidas en. est definida como

Se define as la convolucin de dos funciones generalizadas atenuadas, como

Ejemplo 1. Sea L un operador diferencial coeficientes constantes, entonces

La diferenciacin de una convolucin implica la diferenciacin de uno de sus factores.

Transformada de Fourier de la convolucin de funciones generalizadas.

Seanentonces Ejemplo 1. Sea f una funcin generalizada cualquiera, entonces

Ejemplo 2. Sea f una funcin generalizada cualquiera, entonces

Para un operador diferencial L con coeficientes constantes, se tiene

3. Solucin de ecuaciones diferenciales.

3.1. Ecuaciones diferenciales. Nuestro objetivo es encontrar la solucin de la ecuacin diferencial siguiente

. (1)

donde : funciones infinitamente diferenciable.

: funciones generalizadas. : funcin generalizada conocida.

Una funcin generalizada es solucin de (1), si para cada . (2)Buscando la solucin se puede encontrar las siguientes situaciones

Si la solucin f es una funcin suficientemente suave, la ecuacin (1) puede mostrarse en sentido clsico, entonces f ser una solucin clsica.

Si la solucin f no es suficientemente suave, la ecuacin (1) no podr mostrarse en sentido clsico, pero cumplir con (2); entonces f ser una solucin dbil.

Si f es una funcin generalizada singular y satisface (2), entonces ser una funcin generalizada como solucin.

Cualquiera sea el caso se llamar a las soluciones, soluciones generalizadas. Al utilizar la teora de funciones generalizadas, realmente, no se obtiene una nueva comprensin respecto a las soluciones de los problemas clsicos de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la teora mejora nuestro conocimiento en el caso que se presenten discontinuidades, o si se quiere encontrar soluciones fundamentales (funciones de Green).3.2. Ecuacin de Newton. Sea F(t), una fuerza que depende del tiempo actuando sobre una partcula. La correspondiente ecuacin de Newton en una dimensin es

. (3)con las condiciones inicialesLa solucin fundamental resulta ser la funcin de Green G(t t) . (4)G(t) tiene la forma

. (5)donde g(t) es la solucin del sistema La solucin de (3) es

Para poder encontrar la funcin de Green, se utilizaran las siguientes relaciones

reemplazando en (4), se obtiene

Entonces la Funcin de Green es

. (6)3.2.1. Mtodo de variable compleja. Para poder integrar (6), tomamos la integral por una variable compleja

... (7)Es decir, se ha cambiado el punto de singularidad de la funcin a integrar. Vemos estas singularidades en el plano complejo mostrado en la figura. Se buscar que (6) sea parte de una integral de variable compleja. Sea

donde debe contener una de las singularidades. Para nuestra conveniencia, el contorno de debe contener parte del eje real. Sea la curva mostrada en la figura, la cual contiene a la singularidad Entonces sea

donde : contorno de sin la parte correspondiente al eje real.

Entonces

Por el lema de Jordan

Entonces, usando la relacin (6) se obtiene

Ahora vamos a utilizar el teorema del residuo para hallar . Para , se tiene

Entonces

y como de (5), para t t < 0 , G(t t) = 0, finalmente se obtiene

Esta funcin de Green es conocida como funcin de Green retardada.

Anlogamente, para , se obtiene la siguiente funcin de Green

conocida como funcin de Green avanzada. Con la funcin de Green retardada podemos resolver la ecuacin de Newton con condiciones iniciales. Y si la ecuacin de Newton es invariante cuando cambiamos de signo al tiempo, entonces la funcin de Green avanzada nos dar informacin del pasado.3.2.2. Justificacin del proceso de variacin del punto de singularidad (polo). Ahora se proceder de un modo distinto, partimos de (6)

Se hallar G(t t) con ayuda de la relacin

Aplicando la transformada inversa de Fourier

.. (8)Pero

.. (9) Reemplazando (9) en (8) se obtiene

es decir

Como (t t) es solucin de la ecuacin homognea

Se tiene que

tambin es solucin fundamental. Sea la nueva funcin de Green . (10)Vemos que la relacin (10) es idntica a la relacin (6). A partir de esto, se puede ver que el procedimiento de cambiar el punto de singularidad, usado en el mtodo de variable compleja, es resultado de cambiar de solucin fundamental (funcin de Green), sumndole o restndole alguna solucin de la ecuacin diferencial homognea respectiva. Para poder hallar la solucin, vamos a usar la relacin

Entonces

Este resultado es idntico al obtenido, usando el mtodo de variable compleja, es decir

4. Conclusiones.

Se logr establecer las principales definiciones del formalismo de la teora de funciones generalizadas con el objeto de obtener algunos resultados particulares que posteriormente serviran para poder justificar el procedimiento de variar el polo, o punto de singularidad, comnmente usado en el mtodo de variable compleja (mtodo de integracin de funciones con singularidades) al calcular la funcin de Green y as la solucin de la ecuacin diferencial respectiva. Se mostr que dicho procedimiento es resultado de variar la funcin de Green correspondiente aumentndolo o disminuyndolo por alguna solucin de la ecuacin diferencial homognea respectiva.5. Referencias

[1] A.N.Kolmogorov - S.V.Fomin, Elementos de la teora de funciones y del anlisis funcional, Editorial MIR Mosc. 1978.

[2] I.M.Gelfand - G.E. Shilov, Generalized Functions - Properties and Operations, Volumen 1, Academic Press - New York and London, 1964. [3] Ram P.Kanwal, Generalized Functions - Theory and Applications, BirkhauserR, 2004.

[4] L.D.Kudrivtsev, Curso de Anlisis Matemtico, Editorial MIR Mosc, 1984.CARACTERIZACIN MINERALGICA DE LA GREDA

Chvez Panduro Elvia Anabela

Pregrado

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Laboratorio de Suelos

gell_anabela@hotmail.com1. Resumen

Se presenta un caracterizacin estructural y mineralgica sobre la Greda. Se determin la fraccin arcillosa que es la mas activa e importante para este estudio, porque los constituyentes minerales a describir presentan actividades geoqumicas de gran importancia para el uso como limpiador y para la absorcin de toxinas. Las tcnicas para su estudio son: Difraccin de Rayos X (DRX), Espectroscopia Mssbauer de Transmisin (EMT). La importancia de esta investigacin se encuentra en la necesidad de buscar los medios para conocer los diversos componentes de la greda, y de esta manera saber que otras aplicaciones son posibles.

2. Introduccin

La Greda es un mineral arcilloso utilizado como limpiador y con indicios de que se pueda utilizar como un adsorvedor de toxinas. Esta informacin motivo conocer en detalle la composicion elemental y mineral de este material por su potencial para fines industriales, la muestra fue extraida del departamento de Junin ubicado a 4250 m.s.n.m.[2].

La Greda se origina de minerales arcillosas que son las rocas sedimentarias ms abundantes sobre la Tierra [1], estas a su vez se forman por una acumulacin de lminas de partculas microscpicas, compuestas de silice y de aluminio respectivamente, a la vez estn constituidas de granos muy pequeos , de dimensin < 2mm las cuales estn constituidas de capas tetradricas y capas octadricas que contienen tomos de silicio y

aluminio , que pueden ser sustituidos por tomos de Mg, Ca, Fe ; debido al tamao de los granos est el hecho que su densidad superficial es muy grande, la cual crea condiciones para que sean muy activas qumicamente. El entendimiento del potencial de la Greda, como cualquier otro mineral arcilloso para aplicaciones industriales depende de nuestro conocimiento de sus propiedades fsicas, especialmente de aquella que tiene que ver con su estructural.

3. Objetivos

El objetivo es determinar e identificar la composicin mineralgica de las diferentes fracciones granulomtricas de la Greda sobre la base de su estructura cristalina Llegar a resultados concretos, los cuales puedan ser utilizados, por personas interesadas con esta arcilla.

4. Tema de Trabajo

El tema se enfoca en la caracterizacin mineralgica y estructural de la Greda (un mineral arcilloso), utilizando diferentes tcnicas analticas y qumicas.

5. Materiales y Metodologa

5.1. Materiales:

Muestra de materia en bruto, agua desionizada., hidrmetros. termmetros, bouyouco.

Reactivos usados:.Dicromato de potasio 1N, buffers de calibracin (para las medidas de pH), cido Sulfrico, indicador difenil amina sulfrico, sulfato ferroso amoniacal 0.1 N (sal de Mohr). hipoclorito de sodio, agente dispersante, solucin de citrato de Na. solucin Bicarbonato de Sodio, solucin Nacl saturado.

5.2. Equipos:

Equipo de Difractmetro de Rayos X.,espectrmetro Mssbauer, balanza de electrnica, mufla.

5.3. Mtodos: Estos realizados con la ayuda de [3] [8] Recoleccin de muestras:

Se estudiara dos muestras que fueron recolectadas de diferentes zonas de la sierra central entre ellas tenemos la Greda (blanca, negra) estas todas pertenecen al departamento de Junn y Cerro de Pasco.

Secado de muestras: Cada muestra, es secada temperatura de medio ambiente despus tamizada a (