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Módulo 3.OPTIMIZACION MULTIOBJETIVODIFUSA(Fuzzy Multiobjective Optimization)

Patricia Jaramillo A. y Ricardo Smith Q.Instituto de Sistemas y Ciencias de la DecisiónFacultad de MinasUniversidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia

La lógica difusa

Es básicamente una lógica que permite valores intermedios para poder definir evaluaciones convencionales como sí/no, verdadero/falso, negro/blanco, etc

La lógica difusa se inició en 1965 por Lotfi A. Zadeh, profesor de ciencia de computadoras en la Universidad de California en Berkeley.

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En Japón la investigación sobre lógica difusa es apoyada ampliamente con un presupuesto enorme.

En Europa y USA se están realizando esfuerzos para alcanzar al tremendo éxito japonés. Por ejemplo, la NASA emplea lógica borrosa para el complejo proceso de maniobras de acoplamiento.

Conjuntos BooleanosDefinamos un subconjunto A de X con todos

números reales en el rango entre 5 y 8. A = [5,8], X ∈[0,10]

función característica: asigna un número 1 o 0 al elemento en X, dependiendo de si el elemento está en el subconjunto A o no.

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Conjuntos difusosB = {conjunto de gente joven}B = [0,20]¿ por qué alguien es en su 20 cumpleaños

joven y al día siguiente no?

Operaciones con conjuntos difusos

Sea A un intervalo difuso entre 5 y 8, y B un número difuso en torno a 4.

Operación AND (Y) (intersección) del A y B

A AND B = Min {A,B}

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Operación OR (O) (unión) del A y B

A OR B = Max {A,B}

Operación NEGACION (A)

A = 1 - A

Análisis multiobjetivo

Max Z(x)=(Z1(x),Z2(x)......Zq(x))

sujeto a:g1 (x) < b1

S(x) g2 (x) < b2

gk (x) < bk

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Solución Pareto OptimaSe dice que una solución x* es Pareto

óptima si y solo si no existe otra x ∈ S, tal que Zi(x) ≥ Zi(x*) para todo i y Zj(x) ≠Zj(x*) para al menos un j

S

Z1(x)

A

B

Zmax

a d

c

Zmin

Pro

ducc

ión

eco

nóm

ica

($)

Hectáreas preservadas en estado satisfactorio

I. Problema MO con Metas difusas

Para cada función objetivo existe una función de pertenencia µi(x). Por ejemplo:

>

<<−−

<

=

1

1001

0

0

)(,1

)(,)()(,0

)(

ii

iiiii

ii

ii

i

ZxZ

ZxZZZZZxZ

ZxZ

xµ

1

0Zi1Zi0

µi(x)

La meta difusa se refiere a desear alcanzar una solución sustancialmente mayor o igual a un valor Zi

1 respecto al objetivo Zi

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Otros Tipos de metas1. Zi(X) debe estar en la vecindad de ri (llamada

“meta difusa de igualdad”)2. Zi(X) debe ser sustancialmente mayor o igual a pi

(llamado “meta difusa máxima”)3. Zi(X) debe ser sustancialmente menor o igual a

pi (llamado “meta difusa mínima”)

0

1

Zijpi

µij

0

1

Zijpi

µij

0

1

Zijri

µij

meta difusa de igualdad meta difusa máxima meta difusa mínima

Solución Pareto Optima difusaSe dice que una solución x* es Pareto

óptima difusa si y solo si no existe otra x ∈ S, tal que µi(x) ≥ µi(x*) para todo i y µj(x) ≠ µj(x*) para al menos un j

A

B

d

c

µ 2

µ1

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La resolución del problema multiobjetivo será:

Maximizar µD = µD(µ1(x),µ2(x),...,µq(x))

Por ser funciones difusas, esto es equivalente a:

Maximizar Mínimo(µ1(x),µ2(x),...,µq(x)}Sujeto a las restricciones originales

λMax

Sujeto a: qiZi ,...1,))(( =∀≥λµ x

x∈S

Maximizar Mínimo(µ1(x),µ2(x),...,µq(x)}

Sujeto a las restricciones originales

Equivalente a:

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II. Programación Multiobjetivodifusa

))~,(),...,~,(),~,((Maximizar 2211 qq axZaxZaxZ

difusosparámetrosdevectoresson~,~0)~,(aSujeto

ji

j

ba

bxg ≤

Cada parámetro difuso tiene su propia función de pertenencia.por ejemplo:

0

1

aij

µij

Conjunto α-nivelEl conjunto α-nivel de los números

difusos son definidos como los conjuntos ordinarios para los cuales el grado de sus funciones de pertenencia exceden el nivel α.

0

1

aij

µij

α

α)~,~( ba

ba ~y~

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=≥

=≥=

mjb

qiababa

jsb

ira

js

ir

,...,1,)~(

;,...,1,)~(/),()~,~(

~

~

αµ

αµα

Conjunto α-nivel

De ese conjunto infinito de posibilidades, el decisor desea encontrar los valores que maximicen la función objetivo. El problema queda ahora como

)),(),...,,(),,((Maximizar 2211 qq axZaxZaxZ

α)~,~(),(

0),(aSujeto

ji

j

baba

bxg

∈

≤

Donde (ai, bj, x) son variables de decisión

Redefinición del concepto de Optimo de Pareto α-nivel

Se dice que una solución x* es Pareto óptima α-nivel si y solo si no existe otra y

tal que:)~(bXx∈

α)~,~( ba

qiaxZaxZ iiii ,...1),~*,()~,( =≥

donde los correspondientes valores de a* y b* son llamados parámetros óptimos α-nivel

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Cuando el problema es lineal

)~,...,~,~( 21 xcxcxcMaximizar q

difusosparámetrosson~,~,~

~~aSujeto

bAc

bxA ≤

Cada parámetro difuso tiene su propia función de pertenencia.por ejemplo:

0

1

cij

µij

Redefinición del concepto deConjunto α-nivel Para PL

El conjunto α-nivel de los parámetros se define como el conjunto para el

cual el grado de función de pertenencia excede el nivel α

cbA ~y~,~

α)~,~,~( cbA

0

1

aij

µij

α

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Conjunto α-nivel problemas lineales

De ese conjunto infinito de posibilidades, el decisor desea encontrar los valores que maximicen la función objetivo. El problema queda ahora como

Donde (A, b, c, x) son variables de decisión ⇒

NO LINEAL

)~,...,~,~( 21 xcxcxcMaximizar q

α)~,~,~(),,(

aSujeto

cbAcbA

bAx

∈

≤

α)~,~,~(),,(

aSujeto

cbAcbA

bAx

∈

≤

))~(),...,~(),~((Maximizar 2211 xcxcxc qq ααα µµµ

Si µi(x) es la función de pertenencia de Zi(x)

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Si consideramos los puntos extremos de cada valor α

[ ]RL AA αα , [ ]RL bb αα , [ ]RiLi cc αα ,

0

1

cij

µij

α

cijL cijR

RL bxA αα ≤aSujeto

))~(),...,~(),~((Maximizar 21 xcxcxc Rq

RRααα µµµ

AplicacionesHa sido aplicado en:

Problemas de regulación de la contaminación del aire (Lotov et al, 1997)Problemas de transporte (Verdegay, 1984) Planificación mediambiental (Sakawa and Yano, 1985)Planificación del sistema de suministro de agua (Slowinski, 1986)Job Shop scheduling (Sakawa and Kubota, 2000)Gestión de aguas residuales (Duckstein et al, 1994)Otros......