1a-Sistemas Lineales y Matrices

8/18/2019 1a-Sistemas Lineales y Matrices

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Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.I a) Metodo de Gauss para la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales y metodo de Gauss

[Ref.: Lay, pp 1-26 ´ o Neuhauser, pp. 523-536]

Sistema de m ecuaciones lineales y n incognitas:

a11x 1 + a12x 2 + . . . + a1nx n = b 1. . .

am1x 1 + am2x 2 + . . . + amnx n = b m(1)

aij ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n son los coeficientes del sistema,b i ∈ R, i = 1, . . . , m son los terminos independientes yx j ∈ R, j = 1, . . . , n son las incognitas.

Ejemplo 2x + 3y = 62x + y = 4

Sistema de 2 ecuaciones lineales y dos inc´ ognitas, x e y

Grado en Quımica Matematicas I





´




Ejemplo

Resolver por el metodo de Gauss el sistema

2x + 3y = 62x + y = 4

Solucion:

2x + 3y = 62x + y = 4

−→Ec2 - Ec1

2x + 3y = 6− 2y = − 2

A partir de aquı se procede de abajo a arriba:

y = 1x = (6 − 3)/2 = 3/2


´




Notacion matricial: Matrices de coeficientes y ampliada del S.E.L. (1):

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .

am1 am2 . . . amn

=: A

a11 a12 . . . a1n b 1a21 a22 . . . a2n b 2. . .

am1 am2 . . . amn b m

=: A|b

En el ejemplo anterior la matriz ampliada es:

2 3... 6

2 1... 4




´




Metodo de Gauss

El metodo de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada delsistema, mediante operaciones elementales, en una matriz escalonada yresolver el sistema equivalente (mas sencillo) por un metodo de remonte.


´




Ejemplo

Resolver utilizando el metodo de Gauss el siguiente sistema lineal:

x + 2y − z = −14x + 8y + 6z = −4

y + 3z = −1

Solucion: 1 2 −1

.

.. −1

4 8 6... −4

0 1 3... −1

F 2−4F 1−→

1 2 −1

.

.. −1

0 0 10... 0

0 1 3... −1

y ahora intercambiamos las filas F 2 y F 3 puesto que F 2 tiene un cero en el coeficiente

diagonal:

1 2 −1... −1

0 0 10... 0

0 1 3... −1

F 3↔F 2−→

1 2 −1... −1

0 1 3... −1

0 0 10... 0




I d i´ l Al b li l li i




Ejemplo


x − 3y + z = 4x − 2y + 3z = 6

2x − 6y + 2z = 8

Solucion:

1 −3 1... 4

1 −2 3... 6

2 −6 2... 8

F 2 − F 1F 3 − 2F 1−→

1 −3 1... 4

0 1 2... 2

0 0 0... 0

El sistema equivalente es

x −3y +z = 4y +2z = 2

Se resuelve por remonte en funcion de (no incognitas - no escalones) parametros:En este caso, 3 − 2 = 1 parametro: z = t ∈ IR


I t d i´ l Al b li l li i




y = 2 − 2t

x = 4 − t + 3(2 − 2t ) = 10 − 7t

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones

{(10 − 7t , 2 − 2t , t ), t ∈ IR}.

Ejemplo


2x − y + z = 34x − 4y + 3z = 22x − 3y + 2z = 1

Solucion:

2 −1 1... 3

4 −4 3... 2

2 −3 2... 1

F 2 − 2F 1F 3 − F 1−→

2 −1 1... 3

0 −2 1... −4

0 −2 1... −2

F 3−F 2−→

y ahoraGrado en Quımica Matematicas I

I t d i´ l Al b li l li i




F 3−F 2−→

2 −1 1

... 3

0 −2 1

..

. −4

0 0 0... 2

El sistema equivalente es

2x −y +z = 3−2y +z = −4

0 = 2

Es un sistema incompatible, no tiene solucion.

Rango de una matriz: Numero de escalones de su matriz escalonada.Ejemplos:

En el Ejemplo 1:

1 2 1... −1

0 1 3... −1

0 0 10... 0

rango(A)=3; rango(A|b )=3.Grado en Quımica Matematicas I

I t d i´ l Alg b li l li i s




Propiedad

Teorema de Rouche-Frobenius Dado un sistema de m ecuaciones lineales y n incognitas con matriz de coeficientes A

y matriz ampliada A|b se verifican:

Sistema compatible determinado ⇐⇒ rango(A)=rango(A|b )=n.

Sistema compatible indeterminado ⇐⇒ rango(A)=rango(A|b )=n.

Sistema incompatible ⇐⇒ rango(A)<rango(A|b ).

Sistema homogeneo: es aquel en el que el vector de terminosindependientes (b 1, . . . , b m)t es cero.

a11x 1 + a12x 2 + . . .

+ a1nx n = 0. . . . . . . . . . . .

am1x 1 + am2x 2 + . . . + amnx n = 0

Propiedad: Un sistema homogeneo es siempre compatible porque lasolucion trivial, (0, . . . , 0), verifica todas las ecuaciones.




Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones



Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.I a) Matrices.

Producto por un no real (escalar)A ∈Mm×n , c ∈ IR

cA = [caij ]i =1,...,m; j =1,...,n

Traspuesta de una matrizA ∈Mm×n

La traspuesta de A se denota por

At ∈Mn×m

At = [a ji ] j =1,...,n; i =1,...,m

Ejemplos:

2 1

4 3

+ −1 1

0 2

= 1 2

4 5

2

2 1

4 3

=

4 2

8 6

1 2 3

0 4 3

t

=

1 02 43 3






Multiplicacion de matricesA ∈M

m×

l , B ∈ M

l ×

n

AB = C = [c ij ]i =1,...,m; j =1,...,n

siendo c ij =l

k =1

aik b kj = ai 1b 1 j + ai 2b 2 j + . . . + ail b lj

Por tantoAB ∈ Mm×n

NOTA: Para multiplicar matrices, el no de columnas de la 1a ha deser igual al no de filas de la 2a

Ejemplo:

1 2 3−1 0 4

1 2 3 −30 −1 4 0

−1 0 −2 1

=

−2 0 5 0−5 −2 −11 7






NOTA: El orden es importante: en general

AB = BA

Ejemplo:

A = 2 −1

4 −2, B =

1 −12 −2

AB =

2 −1

4 −2

1 −1

2 −2

=

0 0

0 0

BA =

1 −1

2 −2

2 −1

4 −2

=

−2 1−4 2

NOTA: El producto de dos matrices puede ser igual a la matriz cero(todas sus componentes son cero) sin que ninguna de las matricesfactores sea la matriz cero.






Propiedades

Del producto de matrices.

(A + B ) C = AC + BC .

A (B + C ) = AB + AC .(AB ) C = A (BC ).

A 0 = 0 A = 0.

Definicion

Matriz identidad de orden n es la matriz n × n que tiene unos en ladiagonal principal y ceros en el resto de los elementos.

I n =

1 0 0 . . .

00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . . ...

0 0 0 . . . 1






Propiedad

Si A ∈Mm×n.A I n = I mA = A.

Ejemplo

Dada

A =

3 51 −12 4

matriz de orden 3 × 2, se tiene:

A I 2 =

3 5

1 −12 4

1 0

0 1

=

1 0 0

0 1 00 0 1

3 5

1 −12 4

= I 3 A




Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.




Definicion

Dada A ∈Mn×n, se dice que es una matriz simetrica si ai j = a j i paratodo i , j = 1, . . . , n.

Ejemplo

A =

1 2 72 3 4

7 4 5





Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.I a) Calculo de la matriz inversa.

Definicion

Inversa de una matriz cuadrada.

Dada A ∈Mn×n, si existe una matriz B ∈ Mn×n tal que

A B = B A = I n ,

entonces B se denomina matriz inversa de A, y se denota por

B = A−1.

Si una matriz tiene inversa se denomina invertible o no singular.Si no tiene inversa, se denomina singular.

PropiedadesDe la matriz inversa.

A−1

−1

= A.

(A B )−1

= B −1 A−1.





g b y pI a) Calculo de la matriz inversa.

Calculo de la matriz inversa utilizando el metodo de Gauss. Seutiliza en la siguiente forma:

(A|I ) → (I |A−1).

Ejemplo

Calcular por el metodo de Gauss la matriz inversa de

A =

1 −1 −1

2 −1 1−1 1 −1

Solucion: Se escribe

(A|I ) =

1 −1 −1

2 −1 1−1 1 −1

1 0 00 1 00 0 1

F 2 − 2F 1F 3 + F 1−→

1 −1 −1

0 1 30 0 −2

1 0 0

−2 1 01 0 1





g y pI a) Calculo de la matriz inversa.

1 −1 −10 1 30 0 −2

1 0 0

−2 1 01 0 1

− F 32−→

1 −1 −10 1 30 0 1

1 0 0

−2 1 0− 1

2 0 − 1

2

F 1 + F 2F 2 − 3F 3−→

1 0 2

0 1 0

0 0 1

−1 1 0

− 12

1 32

− 12 0 − 12

F 1−2F 3−→

F 1−2F 3−→

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 1

− 12

1 32

− 12

0 − 12

= (I |A−1)

Por tanto,

A−1 =

0 1 1

− 12

1 32

− 12

0 − 12

.





g y pI a) Determinantes.

[Ref.: Steiner, pp 425-432 y 438-442 ]

Definicion

Determinante de una matriz A de orden 1× 1: A = (a).

det A = |A| = a.

Definicion

Determinante de una matriz A de orden 2× 2: A =

a1 b 1a2 b 2

.

det A =

a1 b 1a2 b 2

= a1 b 2 − a2 b 1.





g y pI a) Determinantes.

Definicion

Determinante de una matriz A de orden 3× 3: A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

det A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11

a22 a23

a32 a33

− a21

a12 a13

a32 a33

+

+a31 a12 a13

a22 a23

=

= a11M 11 − a21M 21 + a31M 31





I a) Determinantes.

Definicion

Se denomina menor del elemento aij del determinante de la matriz A aldeterminante que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j deldeterminante original. Se denota por M ij , como ya hemos utilizado en latransparencia anterior.

Definicion

Se denomina cofactor del elemento aij del determinante de la matriz Aa

C ij = (−1)i + j M ij .

Utilizando cofactores el determinante de la matriz A puede expresarse:

det A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11C 11 + a21C 21 + a31C 31 .


Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.)



I a) Determinantes.

Esta formula se llama desarrollo por cofactores a lo largo de la primeracolumna. La formula no varıa si desarrollamos por otra columna, o por

cualquier otra fila,

det A = a21C 21 + a22C 22 + a23C 23.

Definicion

Determinante de una matriz A de orden n × n: A ∈Mn.

Se puede calcular realizando un desarrollo por cofactores a lo largo decualquier fila o columna. El desarrollo por cofactores a lo largo de la fila i es:

det A = ai 1C i 1 + ai 2C i 2 + . . .

+ ainC in,

i = 1, . . . ,

n.

El desarrollo por cofactores a lo largo de la columna j es:

det A = a1 j C 1 j + a2 j C 2 j + . . . + anj C nj , j = 1, . . . , n.


Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.I ) D i



I a) Determinantes.

Ejemplo

Calcular el determinante de

A =

3 −7 8 9 −60 2 −5 7 30 0 1 5 0

0 0 2 4 −10 0 0 −2 0

Solucion:

det A = 3 · C 11 = 3(−1)1+1

2 −5 7 30 1 5 0

0 2 4 −10 0 −2 0

=

= 3 · 2

1 5 02 4 −10 −2 0

= 3 · 2 · (−1)3+2 · (−2)

1 02 −1

= 3 · 2 · 2 · (−1) = −12

Nota. Si A es una matriz triangular, entonces det A = a11 · a22 · · · ann.


Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.I ) D t i t



I a) Determinantes.

Propiedades

de los determinantes.

Si una fila (o columna) de A se descompone en suma de dos, eldeterminante de la matriz A se puede descomponer en suma de dosdeterminantes con arreglo a lo siguiente:

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23

. . .

a2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.ai 1 ai 2 ai 3 . . . ain

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.an1 an2 an3 . . . ann

=

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23

. . .

a2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.b i 1 b i 2 b i 3 . . . b in

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.


+

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 c 23

. . .

a2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.c i 1 c i 2 c i 3 . . . c in

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.


dondeai 1 = b i 1 + c i 1, ai 2 = b i 2 + c i 2, ai 3 = b i 3 + c i 3, . . . , ain = b in + c in .

Si se multiplica una fila (o columna) de la matriz A por unaconstante c , el det (A) queda multiplicado por ese numero c .


Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.I ) Dete i tes



I a) Determinantes.

Si se intercambian dos filas (o columnas) de la matriz A, el det (A)cambia de signo.

Si denotamos la traspuesta de la matriz A por At :

det (At ) = det (A).

Sea B una matriz cuadrada de orden n,det (A · B ) = det (A) · det (B ).

Si en una fila (o columna) de la matriz A todos sus coeficientes soniguales a cero, entonces

det (A) = 0.

Si una fila (o columna) de la matriz A es multiplo de otra, entoncesdet (A) = 0.


Introduccion al Algebra lineal y aplicaciones.I a) Determinantes



I a) Determinantes.

Si a una fila (o columna) de la matriz A se le suma un multiplo deotra, el det (A) no varıa.

Si una fila (o columna) de la matriz A es suma de multiplos deotras, entonces det (A) = 0.

Si c es una constante se tiene

det (cA) = c n · det (A).

A es una matriz invertible ⇔ det (A) = 0, y ademas, se verifica:

det (A−1) = 1

det (A).


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