Upload
vokhue
View
262
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe
ia mebonia, lamara qurCiSvili
gamomcemloba inteleqtiTbilisi 2012
m a T e m a t i k a
IX klasi
maswavleblis wigni
redaqtori Teimuraz vefxvaZe
grifi mieniWa 2012 wels ssip ganaTlebis xarisxis ganviTarebis
erovnuli centris (brZaneba ## 375, 18. 05. 2012) mier
ISBN 978–9941–439–10–0© gamomcemloba inteleqti, 2012.© T. vefxvaZe, g. gogiSvili, i. mebonia, l. qurCiSvili, 2012.
guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,
ia mebonia, lamara qurCiSvili
m a T e m a t i k a
IX klasi
maswavleblis wigni
gamomcemloba inteleqti
Tbilisi 2012
Guram Gogishvili, Teimuraz Vepkhvadze,
Ia Mebonia, Lamara Kurchishvili
MaTHS IX
Teacher's book
InTeLeKTI Publishers
Tbilisi 2012
gamomcemloba inteleqtiTbilisi, ilia WavWavaZDis gamz. 5. tel.: 225 05 22
www.intelekti.ge [email protected] [email protected]
intelekti PuBlISherS5 Ilia Chavchavadze Ave., Tbilisi, Georgia. Tel.: (995 32) 225 05 22
sarCevi
Sesavali ................................................................................................................................... 6
wlis bolos misaRwevi Sedgebi ..................................................................................... 10
Sinaarsisa da miznebis ruka ...........................................................................................11
saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis dagegmvis zogadi principebi ............................................................................................................. 21
Sefasebis zogadi principebi ......................................................................................... 26
sanimuSo gakveTilebi ....................................................................................................... 29
I Tavi
$1.1. racionaluri ricxvebi ........................................................................................... 51
$1.2. kvadratuli fesvi. kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebebis gardaqmna. iracionaluri ricxvi ............................................................................. 57
jgufuri muSaoba: piTagoras Teorema .................................................................. 59
$1.3. dasabuTebis xerxebi ................................................................................................ 60
$1.4. namdvili ricxvebi .................................................................................................... 66
$1.5. n-uri xarisxis fesvi. fesvis Tvisebebi ........................................................... 70
sakontrolo wera ........................................................................................................... 72
$1.6. proporcia da ukuproporcia .............................................................................. 74
$1.7. proporciul nawilebad dayofa ........................................................................ 76
$1.8. ricxviTi utoloba. utolobaTa damtkiceba ............................................... 78
$1.9. wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema ....................................................... 83
sakontrolo wera ........................................................................................................... 90
II Tavi
$2.1. monacemTa mopoveba da dajgufeba .................................................................... 90
$2.2. monacemTa warmodgenis saSualebebi ................................................................. 96
$2.3. monacemTa Semajamebeli ricxviTi maxasiaTeblebi. saSualo kvadratuli gadaxra.................................................................................................... 104
amocanebi gameorebisTvis.......................................................................................... 112
sakontrolo wera ..........................................................................................................116
III Tavi
$3.1. funqcia ........................................................................................................................119
$3.2. funqciis mocemis xerxebi. ................................................................................ 122
jgufuri muSaoba .......................................................................................................... 125
$3.3. funqciis Tvisebebi ................................................................................................ 126
$3.4. wrfivi funqcia ....................................................................................................... 129
$3.5. naSTTAa ariTmetika ..................................................................................................131
sakontrolo wera ........................................................................................................137
$3.6. geometriuli gardaqmnebi. RerZuli simetria. centruli simetria .. 138
$3.7. veqtori. veqtorebis Sekreba. veqtoris ricxvze gamravleba ..................... 141
4
$3.8. paraleluri gadatana ........................................................................................... 146
$3.9. geometriuli gardaqmnebis sxvadasxva gamoyeneba ..................................... 149
sakontrolo wera ....................................................................................................... 154
$3.10. viwyebT kvadratuli funqciis Seswavlas ...................................................... 156
$3.11. kvadratuli funqciis Tvisebebi .................................................................... 158
$3.12. kvadratuli funqciis nulebi. vietis Teorema ............................................ 163
§ 3.13. kvadratuli utoloba ......................................................................................... 164
jgufuri muSaoba ........................................................................................................... 170
sakontrolo wera ............................................................................................................173
§ 3.14. funqciaTa kompozicia ........................................................................................ 174
§ 3.15. vagrZelebT funqciebis Tvisebebis Seswavlas ............................................. 176
amocanebi gameorebisTvis .......................................................................................... 179
sakontrolo wera ...........................................................................................................181
IV Tavi
§ 4.1. mTeli da wiladuri gantolebebi ....................................................................... 183
§ 4.2. amocanebis amoxsna .................................................................................................. 185
jgufuri muSaoba ......................................................................................................... 189
sakontrolo wera ........................................................................................................ 190
§ 4.3. geometriul figuraTa warmodgena algebruli damokidebulebebis saSualebiT ............................................................................. 192
§ 4.4. orucnobian gantolebaTa sistema. amocanebis amoxsna orucnobian gantolebaTa sistemis gamoyenebiT ....................................................................... 194
§ 4.5. wrfivi orucnobiani utolobisa da utolobaTa sistemis geometriuli warmodgena .........................................................................................200
sakontrolo wera ......................................................................................................... 203
V Tavi
§ 5.1. mimdevroba. rekurentuli wesiT mocemuli mimdevrobebi ......................... 205
§ 5.2. n-uri wevris formulebi....................................................................................... 210
§ 5.3. ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jamis formula ............................................................................................................. 214
§ 5.4. geometriuli progresiis pirveli n wevris jamis formula .............................................................................................................. 215
sakontrolo wera ......................................................................................................... 217
VI Tavi
$6.1. mravalwaxnagebi ........................................................................................................225
$6.2. koordinatebi ............................................................................................................ 227
$.6.3. msgavsi figurebi. msgavsi samkuTxedebi ........................................................... 229
$.6.4. samkuTxedebis msgavsebis niSnebi ....................................................................... 231
sakontrolo wera ......................................................................................................... 236
$.6.5. samkuTxedebis msgavsebis niSnebi ....................................................................... 238
$.6.6. proporciuli monakveTebi marTkuTxa samkuTxedSi .................................... 241
$.6.7. trigonometriuli funqciebi. trigonometriuli Tanafardobebi marTkuTxa samkuTxedSi ..............................................................244
5
VII Tavi
$7.1. elementaruli xdomiloba. xdomiloba. xdomilobis albaToba .............................................................................................. 249
$7.2. xdomilobaTa jamis albaToba .............................................................................. 253
$7.3. xdomilobaTa namravli. damoukidebel xdomilobaTa namravlis albaToba .................................................................................................... 258
amocanebi gameorebisTvis.......................................................................................... 265
sakontrolo wera ......................................................................................................... 266
VIII Tavi
$8.1. wrewiri. wre. wris nawilebi ................................................................................... 268
$8.2. wrewiris mxebi da mkveTi ........................................................................................ 270
$8.3. rkali. rkalis gradusuli zoma ........................................................................... 273
$8.4. wrewirTan dakavSirebuli kuTxeebisa da monakveTebis Tvisebebi ............ 275
$8.5. Caxazuli da Semoxazuli wrewirebi .................................................................... 280
$8.6. wiris sigrZe. wrewiris sigrZe. wris farTobi ................................................. 283
$8.7. wertilTa geometriuli adgili. amocanebi agebaze...................................... 287
amocanebi gameorebisTvis.......................................................................................... 293
literatura ................................................................................................................... 295
6
Sesavali
moswavlis sarekomendacio wignis daniSnulebaa miawodos maswavleblebs
meTodikuri rekomendaciebi 2011-2012 wlebis erovnuli saswavlo gegmebis mixedviT
Sedgenili IX klasis saxelmZRvanelosTvis (guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,
ia mebonia, lamara qurCiSvili, maTematika IX); daexmaros maT saswavlo procesis
warmarTvis meTodikuri xerxebis SemuSavebaSi; miawodos damatebiTi masala,
sakontrolo weris nimuSebi, rekomendaciebi Sefasebis sistemis damuSavebisaTvis.
mocemuli iqneba Sesabamisi axsna-ganmartebebi masalis wardgenis fazebis Sesaxeb
_ motivacia, sakiTxis dasma, amocanis gansazRvra, problemaTa gadaWris gzebi,
Semowmebis formebi.
maswavleblis sarekomandacio wignSi Tavebisa da paragrafebis numeracia
da dasaxeleba emTxveva moswavlis saxelmZRvaneloSi SemoRebul numeraciasa da
dasaxelebas.
es sarekomendacio wigni imave principebiTaa agebuli, rac wina _ VIII klasis
maswavleblis sarekomendacio wigni _ warmodgenilia saswavlo gegma, Sinarsisa
da miznebis ruka. vcdilobT gaviTvaliswinoT maswavlebelTa didi daintereseba
da meti adgili davuTmoT damxmare masalas _ sakiTxebis mecnierul safuZvlebs,
istoriul aspeqtebs da Sesabamisi literaturis SerCevis saqmeSi rekomendaciebs.
viTvaliswinebT erovnuli saswavlo gegmebisa da Sefasebis centris mier
organizebuli treningis (`saazrovno unarebis ganviTareba~) muSaobaSi miRebul
gamocdilebas _ viZleviT rekomendaciebs saazrovno unarebis ganmaviTarebeli
amocanebis SerCevisa da klasifikaciis saqmeSi.
gaTvaliswinebulia eqspertTa pozicia ama Tu im Temis swavlebis miznebis
Taobaze _ ar SeiZleba, magaliTad, wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis
Seswavlis mizans wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis Seswavla warmoadgendes.
am sakiTxis swavlebis mizani kidev erTi maTematikuri modelis gamoyenebis unaris
ganviTarebasTan aris dakavSirebuli, rac Tan sdevs maTematikis gamoyenebebs
praqtikul saqmianobaSi, sxva mecnierebebSi. am Temis Seswavlisas mniSvnelovania
konteqstis gaTvaliswinebiT amonaxsnTa interpretacia, TvalsaCino warmodgenis
Cvevebis daufleba. maswavleblis wignSi miTiTebuli iqneba yoveli Temis
mecnieruli safuZvlebis mokle mimoxilva, misi swavlebis miznebi, gadacemis
meTodika.
wigni dagexmarebaT saswavlo procesis warmarTvis meTodikuri xerxebis
SemuSavebaSi. kerZod, klasSi moswavleTa mier raime sakiTxis kvleva SeiZleba
individualuri iyos, SeiZleba jgufuri muSaobiT ganxorcieldes. upiratesobas,
cxadia, Temis erTobliv ganxilvas vaniWebT. wina masalis erToblivi gaxsenebisa da
amocanis dasmis Semdeg moswavleebi maswavleblis xelmZRvanelobiT TviTon unda
`aSenebdnen maTematikis Senobas~. maswavlebeli SeiZleba diriJorsac SevadaroT.
7
igi warmarTavs process, amasTanave, saswavlo programiT dasaxuli amocanebis
Sesrulebisas man SeiZleba sxvadasxva mimarTuleba misces kvlevis process, igi
SeiZleba gansxvavebulic iyos im teqstidan, romelic moswavlis saxelmZRvaneloSia
mocemuli. sxvadasxva akademiuri donis klasebSi erTi da imave sakiTxis swavlebisas
pedagogma SeiZleba sruliad gansxvavebuli meTodebic ki gamoiyenos. `swavleba
xelovnebaa... swavleba maswavleblis individualur Tvisebebzea damokidebuli;
swavlebis kargi meTodi, SeiZleba iTqvas, rom imdenia, ramdenic kargi maswavlebeli
arsebobs~ [28].
XXI saukuneSi, rogorc CvenSi, aseve yvela sxva wamyvan saganmanaTleblo-kvleviT
centrSi, maTematikis swavlebis organizaciisadmi SemuSavebul daskvnebSi ZiriTadi
aqcenti saswavlo procesSi moswavlis aqtiuri Cabmis aucileblobaze keTdeba.
xazgasmulia, rom swavleba Ziebisa da dasabuTebis gziT unda mimdinareobdes;
moswavle, ZiriTadad, TviT unda aRmoaCendes WeSmaritebas motivirebuli
situaciebis dagegmvis Semdeg; mTavaria kvlevis procesi; mniSvnelovania, rom
maswavlebelma moisminos moswavleTa pasuxi ara marto kiTxvaze _ `ra~, aramed
kiTxvaze _ `rogor~, an _ `kidev rogor~, `ratom~, `es risTvisaa saWiro~. es
yvelaferi arsebiTia moswavleTa profesiuli saqmianobisTvis, inteleqtualuri
zrdisTvis, demokratiul procesebSi aqtiuri monawileobisTvis. maswavleblis
saxelmZRvanlo dagexmarebaT am principebis ganxorcielebis saqmeSi; dagexmarebaT
SeasruloT erovnuli saswavlo gegmis is miTiTebebi, romlebic kritikuli
azrovnebis ganviTarebas exeba _ swavlebis erT-erT prioritets. maswavlebeli
xSirad unda iyenebdes iseT frazebs, romlebic Seicavs sityvebs: movifiqroT,
amovicnoT, gaviazroT, davaxarisxoT, SevafasoT, SevadaroT, gamovTqvaT hipoTeza,
davasabuToT, vifiqroT prezentaciis formaze, ... azrovnebis ganviTarebas xels
uwyobs da stimuls aZlevs iseTi kiTxvebi, romlebic individualur, an sajaro
gansjas moiTxovs. am kiTxvebis sistemis SemuSavebisaTvis saWiro meTodikur
rekomendaciebs sarekomendacio wignSi SexvdebiT.
moswavlis saxelmZRvanelos gamoyenebis sakiTxSic viziarebT saswavlo
programaSi gamoTqmul Tvalsazriss: `pirovnebaze orientirebuli saganmanaTleblo
procesis centrSi dgas moswavle, misi ganviTarebis procesi da mis mier miRweuli
Sedegi. Sedegze orientireba gulisxmobs moswavlisTvis miwodebuli informaciis
ara mxolod damaxsovrebas, aramed am informaciis myar, dinamiur da funqciur
codnad gardaqmnas~. `saxelmZRvaneloebiT sargeblobisas maswavlebels unda
axsovdes, rom saxelmZRvanelo aris erT-erTi saSualeba da ara erTaderTi,
romelic emsaxureba erovnuli saswavlo gegmis sagnobriv programaSi mocemuli
Sedegebis miRwevas. aseve unda gvaxsovdes, rom saxelmZRvanelo ar aris TavisTavad
programa _ Sesabamisad maswavlebeli ar unda iyos saxelmZRvaneloSi mocemuli
`masalis gavlaze~ orientirebuli, aramed saxelmZRvaneloebSi mocemuli
teqstebis, savarjiSoebis Tu ilustraciebis gamoyenebaze _ sagnobrivi
standartebis Sedegebis misaRwevad. maswavlebeli argebs saxelmZRvanelos
moswavleebis saWiroebebs da ara piriqiT, rodesac maswavlebeli cdilobs
moergos saxelmZRvanelos, maswavlebels SeuZlia ar gamoiyenos romelime teqsti,
an aqtivoba, Secvalos drois xangrZlioba, romelic romelime konkretul Temas
eTmoba, daamatos sakuTari aqtivobebi da sxva~. am striqonebSi maswavleblebi
amoikiTxaven pasuxebs, im kiTxvebze romlebiTac isini mogvmarTavdnen Cveni
8
avtorobiT Sedgenili moswavlis saxelmZRvaneloebis mixedviT swavlebis procesTan
dakavSirebiT. saaTebis ganawileba masalis mixedviT, gakveTilebis warmarTvisaTvis
saWiro rekomendaciebi, sakontrolo weris nimuSebi, damxmare saswavlo masala
_ maswavleblis wignSi mocemuli Sesabamisi miTiTebebi, mxolod rekomendaciis
xasiaTs atarebs. maswavlebels, moswavleTa individualuri Tvisebebis, klasis
akademiuri donis gaTvaliswinebiTa da sakuTari Sexedulebebis mixedviT SeuZlia
cvlilebebi Seitanos SemoTavazebul sistemaSi.
Cven SevecadeT, rom ar Seiqmnas damatebiTi savarjiSoebis sxva krebulebis
gamoyenebis saWiroeba; saxelmZRvaneloSi mocemuli savarjiSoebi moswavleTa
sxvadasxva SesaZleblobebis gaTvaliswinebiTaa warmodgenili; saWiroa SerCeva
da konkretuli situaciis mixedviT maTi swori gamoyeneba. Tumca, aqac
gasaTvaliswinebelia erovnul saswavlo gegmaSi gamoTmquli mosazrebebi:
`dauSvebelia moswavleebis dayofa siZlieris mixedviT~. `Zlierebisa da sustebis
problemis~ daZlevisaTvis SesaZlebelia gakveTilis ise dagegmva, rom Zlierebma
SeZlon sustebis damxareba ise, rom Tavadac amiT sargebeli naxon. garda amisa,
skola maqsimalurad unda daexmaros moswavles, romelsac garkveuli problemebi
aqvs swavlaSi~.
am mimarTulebiT mniSvnelovania jgufuri muSaobis proeqtebi, romelTa
Catarebis meTodika sarekomendacio wignSia gadmocemuli _ davalebebis
Sesruleba jgufebs Soris, Semdgom ki TiToeuli jgufis wevrebs Soris SeiZleba
ise ganawildes, rom yvela iyos CarTuli muSaobaSi. unda gaviTvaliswinoT
moswavleTa asakis Taviseburebebic _ IX klasi sabazo safexuris damamTavrebeli
welia _ am safexurze eyreba safuZveli maTematikis ufro maRali abstraqciebis
Seswavlas, meti yuradReba eTmoba maTematikis yoveldRiur cxovrebaSi gamoyenebis
unar-Cvevebis, analitikuri, logikuri, sistemuri da simboluri azrovnebis
Camoyalibebas.
sarekomandacio wignSi yoveli Tavis da Tematuri blokis mixedviT axsnilia
SemoTavzebuli koncefcia, mocemulia yoveli gakveTilis sarekomendacio sqema,
miTiTebulia gakveTilis tipi da mizani. gakveTilebisa da sakiTxebis mixedviT
garCeulia moswavleTa SesaZlo tipuri Secdomebi da maTi gamomwvevi mizezebi.
vcdilobT davexmaroT maswavlebels amocanebis SerCevaSi _ klasSi da Sin
samuSaod. wigns Tan erTvis popularuli da sacnobaro literaturis sia, romelzec
xSiria miTiTeba. igi daexmareba maswavlebels sainformacio masalis SerCevaSi.
maTematikis IX klasis saxelmZRvanelos Sinarss Semdegi konceptualuri
moTxovnebi gansazRvravs:
a) xeli Seuwyos codnis sxvadasxva sferos Soris urTierTkavSiris gacnobierebas
(paragrafebis umetesi nawili ilustrirebulia faqtebiTa da savarjiSoebiT codnis
sxvadasxva sferodan; aqtualuria da gamiznulia sayofacxovrebo saqmianobaSi
maTematikis rolis ukeT aRsaqmelad).
b) emyarebodes Tanamedrove koncefciebs, romlebic orientirebulia Teoriul-
simravluri enis zomier gamoyenebaze, moswavleTa asakobrivi Taviseburebebis
gaTvaliswinebasa da sagnisadmi interesis aRZvraze. codnis daufleba saazrovno
unarebis ganviTarebiT mimdinareobdes.
g) savarjiSoebi ise iyos dagegmili, rom mimdnareobdes uwyveti gameoreba
mTeli wlis ganmavlobaSi; masala integrirebis maRali xarisxiT gamoirCeodes
9
_ algebruli faqtebis gadmocemisas geometriuli TvalsaCinoebis moSvelieba
(magaliTad, gantolebebis, utolobebis amoxsnebis geometriuli interpretaciebi);
geometriuli faqtebis Seswavlisas koordinatTa meTodis, veqtoruli analizis
sawyisebis gamoyeneba. algebrisa da geometriis sakiTxebTan integrirebuli iyos
monacemTa analizisa da statistikis sakiTxebic.
d) saSualebas aZlevdes moswavleebs gamoimuSavon individualuri da jgufuri
proeqtebis ganxorcielebis Cvevebi.
e) yoveli siaxle emyarebodes ukve arsebul codnas, afarToebdes da
aviTarebdes am codnas.
sarekomandacio wignSi maswavlebeli gaecnoba Cvens Tvalsazriss simbolikisa
da cnebaTa Semotanis Sesaxeb. Semogvaqvs mxolod is simbolika, romelic Semdgom
poulobs gamoyenebas, simboluri ena Cveulebrivi enis gverdiTaa gamoyenebuli.
zogierT cnebas ar vaZlevT formalur gansazRvrebas. cnebaTa aTvisebis procesi
amocanebis amoxsnis saSualebiT mimdinareobs. maT win uZRvis propedevtikuli
muSaoba, romlis mizania konkretuli warmodgenis Seqmna da formalizaciisTvis
Semzadeba. ase mimdinareobs, magaliTad, funqciis cnebis Camoyalibeba. am cnebis
Semotanis procesi (Semzadeba) faqtobrivad V klasidan iwyeba. TviT gansazRvreba
ki sabazo skolis damamTavrebel etapze miewodeba moswavles. cnebaTa aTviseba ar
Tavdeba gansazRvrebis codniT, an aRweriT (magaliTad, funqciis cnebis SemTxvevaSi).
aq mniSvnelovania ara marto kerZodan zogadisken svla, aramed zogadidan kerZoze
dabruneba. masala ise unda iyos gadmocemuli, rom zogadi codnis Semdeg SevZloT
mocemul konkretul SemTxvevaSi misi danaxva. me-9 klasis saxelZRvanelos didi
nawili gantolebebisa da utolobebis cnebebTan aris dakavSirebuli _ im ZiriTad
maTematikur modelebTan, romlebic aRwers bunebasa da sazogadoebaSi mimdinare
mravalferovan movlenebs. maTi Seswvala, rogorc wesi, praqtikuli amocanebis
ganxilviT iwyeba. yoveli aseTi amocana moswavles uqmnis warmodgenas sinamdvilis
Seswavlis ZiriTad maTematikur meTodze _ modelirebaze.
sarekomandacio wigni mogawvdiT rekomandaciebs im masalis gadacemis meTodikis
Sesaxeb, romlebic saswavlo masalis Semzadebis procesis warmarTvas emsaxureba;
zogjer Semzadebis process saxelmZRvaneloSi mTeli paragrafebi aqvs daTmobili;
magaliTad, axali albaTur-statistikuri cnebebis Semotanas win uZRvis Zveli
cnebebis gameoreba, axali magaliTebis damxarebiT wina codnis ganmtkiceba
da axal cnebebze gadasvlisTvis Semzadeba. am process, Cven mier mowodebuli
rekomendaciebis gaTvaliswinebiT, maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges.
10
IX klasi
wlis bolos misaRwevi Sedegebi mimarTulebebis mixedviT:
რიცხვები და მოქმედებები
კანონზომიერებები და ალგებრა
გეომეტრია და სივრცის აღქმა
მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა
მათ. IX.1. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალური რიცხვების შედარება და მათი კლასიფიკაცია.მათ. IX.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა ხერხით და ამ მოქმედებების შედეგის შეფასება.მათ. IX.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება.მათ. IX.4. მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან და რაოდენობის შეფასებასთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა.
მათ.IX.5. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის ელემენტების გამოყენება პრობლემების გადაჭრისას.მათ. IX.6. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების აღსაწერად და გამოსაკვლევად.მათ. IX.7. მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას.
მათ.IX.8. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების მოძებნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.მათ. IX.9. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნებისა და მათი კომპოზიციების კვლევა და გამოყენება.მათ. IX.10. მოსწავლეს შეუძლია “წერტილთა გეომეტრიული ადგილის” ცნების გამოყენება ობიექტთა გამოსახვისა და მათი თვისებების აღსაწერად.
მათ. IX.11. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოწესრიგება და წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.მათ.IX.12. მოსწავლეს შეუძლია დამოუკიდებელ ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა/შეფასება შემთხვევითი ექსპერიმენტებისათვის დაბრუნებით და დაბრუნების გარეშე.მათ. IX.13. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.
11
wlis bolos misaRwevi Sedegebi da maTi indikatorebi
mimarTuleba: ricxvebi da moqmedebebi
მათ. IX.1. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალური რიცხვების შედარება და მათი კლასიფიკაცია.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ამრგვალებს, ადარებს და ალაგებს სხვადასხვა სახით მოცემულ რაციონალურ რიცხვებს;
• განასხვავებს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს, როგორც პერიოდულ და არაპერიოდულ ათწილადებს და მოყავს ირაციონალური რიცხვის მაგალითები;
• აღნიშნავს ნაშთის პერიოდულობას ერთნიშნა რიცხვზე ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრულად გაყოფისას; განმარტავს შემჩნეულ კანონზომიერებას;
• წერს რაციონალურ რიცხვებს ეკვივალენტური (მათ შორის სტანდარტული) ფორმით; ადარებს და ალაგებს სხვადასხვა სახით მოცემულ რაციონალურ რიცხვებს (ხარისხი, სტანდარტული ფორმა და ა.შ.).
მათ. IX.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა ხერხით და ამ მოქმედებების შედეგის შეფასება.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• იყენებს გაყოფადობის ნიშნებს და ნაშთის თვისებებს რიცხვებისა და არითმეტიკული მოქმედებების შედეგის თვისებებზე მსჯელობისას (მაგალითად, “რას მივიღებთ ნაშთში თუ 2345 გავყოფთ 3-ზე?”);
• ირჩევს და იყენებს რაციონალური რიცხვებზე არითმეტიკულ მოქმედებათა, აგრეთვე ხარისხში აყვანისა და ფესვის ამოღების ოპერაციების შესრულების ოპტიმალურ ხერხს. (მაგალითად, მარტივ მამრავლებად შლის რიცხვს და პოულობს ამ რიცხვიდან ფესვის მნიშვნელობას);
• ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით ირჩევს, რა უფრო მიზანშეწონილია - მოქმედებათა შედეგის შეფასება, შედეგის მიახლოებითი თუ ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა. (მაგალითად, “საყოფაცხოვრებო” ამოცანა, რომელიც დაკავშირებულია რამდენიმე საგნის შესაძენად საჭირო თანხის ქონა/არქონასთან);
• იყენებს მოქმედებათა თვისებებს, თანმიმდევრობას და მათ შორის კავშირს რაციონალური რიცხვებზე მოქმედებების (მათ შორის მთელმაჩვენებლიანი ხარისის და არითმეტიკული ფესვის) შემცველი გამოსახულების გასამარტივებლად;
• ამრგვალებს რიცხვით წევრებს (მაგალითად, შეკრების დროს - შესაკრებებს) და პოულობს რაციონალურ რიცხვებზე არითმეტიკულ მოქმედებათა შედეგის მიახლოებით მნიშვნელობას.
12
მათ. IX.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• აყალიბებს და ასაბუთებს მარტივ დებულებას რიცხვებს შორის დამოკიდებულებებზე, მათ თვისებებზე ან მათზე მოქმედებების შედეგის შესახებ; შესაბამის შემთხვევაში ახდენს გამონათქვამის უარყოფას (მაგალითად, მოყავს კონტრმაგალითი); აყალიბებს საწინააღმდეგო დებულებას;
• ამოცანების ამოხსნისას იყენებს რიცხვით სიმრავლეებს შორის დამოკიდებულების გამოსახვის ზოგიერთ ხერხს (მაგალითად, დიაგრამებს ან სხვა გრაფიკულ გამოსახულებებს);
• ახდენს რიცხვების საშუალო არითმეტიკულისა და საშუალო გეომეტრიულის ინტერპრეტაციასა და ერთმანეთთან შედარებას; იყენებს მათ თვისებებს ამოცანების ამოხსნისას;
• ასაბუთებს ნაშთთა არითმეტიკის დებულებებს და იყენებს ნაშთთა არითმეტიკის ელემენტებს ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად, რიცხვების შეკრება/გამოკლება მოდულით 12, 60 ან 360; ისეთი ამოცანების ამოხსნისას, რომლებიც დაკავშირებულია საათთან ან კუთხით მობრუნებასთან).
მათ. IX.4. მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან და რაოდენობის შეფასებასთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ასრულებს გამოთვლებს და ადარებს ორ მარტივად დარიცხულ საპროცენტო განაკვეთს, სხვადასხვაგვარ ფასდაკლებას, დაბეგვრას; მსჯელობს მათ შორის შორის განსხვავებაზე;
• ამყარებს კავშირს მთლიან შემოსავალსა/მოგებასა და საცალო ფასს შორის, მოთხოვნასა და ცნობილი ხარჯებით მიწოდებას შორის მოცემული წრფივი დამოკიდებულების მიხედვით. (მაგალითად, თუ წიგნის ფასია 20 ლარი, მაშინ გაიყიდება 20000 ცალი. გამოცდილებით ცნობილია, რომ საცალო ფასის ყოველი 3 ლარიანი მატება გაყიდვების რაოდენობის 500 ცალით შემცირებას იწვევს. რა უნდა იყოს მინიმალური საცალო ფასი, რომ შემოსავალი იყოს 576000 ლარი?);
• ასრულებს პირად ხარჯთაღრიცხვასთან, შემოსავლთან დაკავშირებულ გამოთვლებს და შეფასებებს შემდგომი მოქმედების დაგეგმვის მიზნით;
• ხსნის სხვა სასწავლო დისციპლინებიდან მომდინარე გამოთვლებთან დაკავშირებულ ამოცანებს.
მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა
მათ. IX.5. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის ელემენტების გამოყენება პრობლემების გადაჭრისას.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• რეალური პროცესების დისკრეტული მოდელებით აღწერისას იყენებს რეკურენტულ წესს (მაგალითად, მოსახლეობის რაოდენობის ყოველწლიური მუდმივი პროცენტული
13
ზრდა); განავრცობს რეკურენტული წესით მოცემულ მიმდევრობას (n-ური წევრის ფორმულის გარეშე);
• აკავშირებს სიმრავლურ ოპერაციებს (გაერთიანება, თანაკვეთა, დამატება) შესაბამის ლოგიკურ ოპერაციებთან (ან, და, არა).
მათ. IX.6. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების აღსაწერად და გამოსაკვლევად.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• მოცემული ფუნქციისათვის, რომელიც აღწერს რეალურ ვითარებას, პოულობს ფუნქციის მნიშვნელობას, ნულებს, მაქსიმუმს/მინიმუმს, ზრდადობა/კლებადობისა და ნიშანმუდმივობის შუალედებს და ახდენს მათ ინტერპრეტაციას ამ ვითარების კონტექსტში;
• ახდენს ფუნქციის გრაფიკის თვისებების (დახრის კოეფიციენტი და საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთა) ინტერპრეტირებას სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების გასაანალიზებლად;
• ცვლის ფუნქციის პარამეტრებს და აღწერს ამ ცვლილების შედეგის ინტერპრეტირებას იმ პროცესის კონტექსტში, რომელიც ამ ფუნქციით აღიწერება (მაგალითად, გავლილი მანძილის დროზე დამოკიდებულების აღმწერ ფუნქციაში
0Stv)t(S +⋅= რა გავლენას ახდენს სიჩქარის ცვლილება განვლილ მანძილზე?).
მათ. IX.7. მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ტექსტური ამოცანის ამოსახსნელად ადგენს და ხსნის ორუცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემას; ახდენს სისტემის ამონახსნის ინტერპრეტაციას ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით;
• ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას და/ან რეალური ვითარების მოდელირებისას ადგენს და ხსნის ერთუცნობიან უტოლობათა სისტემას; ახდენს ამონახსნის სიმრავლურ ინტერპრეტაციას;
• ადარებს ორ ფუნქციას, რომლებიც რეალურ პროცესს გამოსახავს (მაგალითად, პოულობს იმ სიმრავლეს, რომელზეც ერთი ფუნქცია მეტია/ნაკლებია მეორე ფუნქციაზე, ტოლია მეორე ფუნქციის) და ახდენს შედარების შედეგის ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში.
მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა
მათ. IX.8. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების მოძებნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
14
• ახდენს სიბრტყეზე მოცემული წირის მიახლოებას ტეხილის საშუალებით და იყენებს ამ მეთოდს წირის სიგრძის შეფასებისას ან მიახლოებით გამოთვლისას. (მაგალითად, მრუდ წირზე მოძრაობის მარშრუტის სიგრძის მიახლოებითი გამოთვლა; წრეწირის სიგრძის მიახლოებითი გამოთვლა);
• დაადგენს ფიგურის ზომებს შორის დამოკიდებულების ტიპს და იყენებს ამ დამოკიდებულებას ამოცანების ამოსახსნელად (მაგალითად, კვადრატის ფართობის დამოკიდებულება გვერდზე; წრის ფართობის დამოკიდებულება მის რადიუსზე);
• იყენებს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის ტრიგონომეტრიულ თანაფარდობებს რეალურ ვითარებაში ობიექტთა ზომების ან ობიექტებს შორის მანძილების დასადგენად (მაგალითად, იმ საგნის სიმაღლის გაზომვა, რომლის ფუძე მიუდგომელია, მიუდგომელ წერტილამდე მანძილის გამოთვლა).
მათ. IX.9. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნებისა და მათი კომპოზიციების კვლევა და გამოყენება.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• მსჯელობს, თუ რა გეომეტრიული გარდაქმნა შეიძლება იყოს მოცემული ორი გეომეტრიული გარდაქმნის კომპოზიცია; ასაბუთებს თავის მოსაზრებას;
• ფიგურების შესახებ სხვადასხვა მონაცემების საფუძველზე გამოთქვამს ვარაუდს იმის შესახებ შეიძლება, თუ არა მოცემული გარდაქმნის გამოყენებით, მოცემული ფიგურისაგან მეორე მოცემული ფიგურის მიღება;
• იყენებს გეომეტრიული ფიგურის თვისებებს და გეომეტრიულ გარდაქმნებს იმის დასაბუთებისათვის, შესაძლებელია თუ არა სიბრტყის დაფარვა; ახდენს დაფარვის დემონსტრირებას სიბრტყის ნაწილზე.
მათ. IX.10. მოსწავლეს შეუძლია “წერტილთა გეომეტრიული ადგილის” ცნების გამოყენება ობიექტთა გამოსახვისა და მათი თვისებების აღსაწერად.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• წერტილთა გეომეტრიული ადგილის სიტყვიერი აღწერის მიხედვით ასახელებს ან გამოსახავს იმ გეომეტრიულ ფიგურას ან ფიგურის ელემენტს რომელიც ამ აღწერას შეესაბამება (მაგალითად, “იმ წერტილთა სიმრავლე რომელიც თანაბრადაა დაშორებული მოცემული კუთხის გვერდებიდან არის ამ კუთხის ბისექტრისა”);
• იყენებს “წერტილთა გეომეტრიული ადგილის მეთოდს” აგების ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად, “კუთხის ბისექტრისა არის ამ კუთხის გვერდებიდან თანაბრად დაშორებულ წერტილთა სიმრავლე, ე.ი. იმისათვის, რომ ავაგოთ ბისექტრისა საჭიროა . . . ”);
• წერტილთა გეომეტრიული ადგილების სხვადასხვა აღწერების მიხედვით დაადგენს მიმართებას შესაბამის ფიგურებს შორის (მაგალითად, ერთი-და-იგივეა თუ არა ეს ფიგურები? ერთი ფიგურა მეორე ფიგურის ნაწილია თუ არა?).
მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა
15
მათ.IX.11. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოწესრიგება და წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• აჯგუფებს რაოდენობრივ მონაცემებს ინტერვალთა კლასებში და აგებს შესაბამის ცხრილს/ჰისტოგრამას (მათ შორის, ტექნოლოგიების გამოყენებით);
• არჩევს დაუჯგუფებელ რაოდენობრივ მონაცემთა წარმოდგენის შესაფერის გრაფიკულ ფორმას, ასაბუთებს არჩევანს და ქმნის ცხრილს/დიაგრამას (ტექნოლოგიების გამოყენებით ან მის გარეშე);
• ერთი გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს წარმოადგენს განსხვავებული გრაფიკული ფორმით და წარმოაჩენს თითოეული ფორმის ხელსაყრელ და არახელსაყრელ მხარეებს
მათ.IX.12. მოსწავლეს შეუძლია დამოუკიდებელ ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა/შეფასება შემთხვევითი ექსპერიმენტებისათვის დაბრუნებით და დაბრუნების გარეშე.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• იყენებს ალბათობის თვისებებსა და ფორმულებს (ჯამისა და ნამრავლის) ხდომილობათა ალბათობის გამოსათვლელად;
• გეგმავს შემთხვევით ექსპერიმენტს, შემთხვევითი ექსპერიმენტის ჩასატარებლად ერთ მოწყობილობას ჩაანაცვლებს სხვა მოწყობილობით და ასაბუთებს არჩევანს;
• ასახელებს რთული ხდომილობის ხელშემწყობ ელემენტარულ ხდომილობებს და იყენებს ალბათობის კლასიკურ განსაზღვრას რთული ხდომილობის ალბათობის გამოსათვლელად.
მათ.IX.13. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით ირჩევს შესაფერის შემაჯამებელ რიცხვით მახასიათებლებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს, ითვლის და იყენებს მათ მონაცემთა ერთობლიობების დასახასიათებლად/შესადარებლად;
• იყენებს გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს სტატისტიკური შინაარსის მოსაზრებათა/არგუმენტების ჩამოსაყალიბებლად ან შესაფასებლად;
• გამოთქვამს ვარაუდს ხდომილობის მოსალოდნელობის შესახებ მონაცემთა საფუძველზე (მაგალითად, ფარდობითი სიხშირის მიხედვით) და ასაბუთებს ვარაუდის მართლზომიერებას.
16
პროგრამის შინაარსი1. რაციონალური რიცხვთა სიმრავლე და მისი ქვესიმრავლეები (ნატურალურ და მთელ
რიცხვთა სიმრავლეები).2. ირაციონალური რიცხვები.3. არითმეტიკული მოქმედებები და მათი შედეგის შეფასება.
4. n - ური ხარისხის ფესვი. ფესვის თვისებები.5. ფესვის შემცველი მარტივი რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობის შეფასება.
6. სხვადასხვა სახით მოცემული რიცხვების შედარება.7. პროპორცია და უკუპროპორცია.8. პროპორციის ძირითადი თვისება, პროპორციის უცნობი წევრის მოძებნა.9. რიცხვის დაყოფა რამოდენიმე ნაწილად მოცემული შეფარდებით.10. ნაშთთა არითმეტიკის ელემენტები.11. ზომის ერთეულები, მათ შორის კავშირები და გამოყენება: ფართობისა და მოცულობის
ერთეულებს შორის მიმართებები.12. «სამომხმარებლო არითმეტიკა»: მარტივად და რთულად დარიცხული საპროცენტო
განაკვეთი; ხარჯთაღრიცხვა; სხვადასხვა გადასახადი.
13. ფუნქცია. ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე.
14. ფუნქციის ზრდადობა, კლებადობა, ლუწობა, კენტობა, პერიოდულობა.
15. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.
16. ფუნქციების კომპოზიცია.
17. კვადრატული სამწევრი: დისკრიმინანტი, ფესვები. კვადრატული სამწევრის დაშლა მამრავლებად. ვიეტის თეორემა.
18. წრფივი ფუნქცია, კვადრატული ფუნქცია, მათი განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, გრაფიკები და თვისებები: ზრდადობა/კლებადობა, ნიშანმუდმივობის შუალედები, ნულები, მოცემულ ინტერვალზე მაქსიმუმის/მინიმუმის წერტილები და შესაბამისი მნიშვნელობები.
19. ერთუცნობიან უტოლობათა სისტემები.
20. ორუცნობიან განტოლებათა სისტემები (ერთი განტოლება მაინც წრფივია, ხოლო მეორის ხარისხი არ აღემატება ორს).
21. ორუცნობიანი წრფივი უტოლობისა და უტოლობათა სისტემის ამონახსნის წარმოდგენა საკოორდინატო სიბრტყეზე.
22. რაციონალური გამოსახულება და მოქმედებები რაციონალურ გამოსახულებებზე.
23. არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესია და ზოგიერთი სხვა რეკურენტული წესით მოცემული მიმდევრობა (მაგალითად, ფიბონაჩის მიმდევრობა).
24. არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესიის n -ური წევრისა და პირველი n წევრის ჯამის გამოსათვლელი ფორმულები.
25. მსგავსი მრავალკუთხედები.26. სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები.27. მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრებისა და ფართობების შეფარდება.
17
28. სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის მნიშვნელობები, არგუმენტის შემდეგი
მნიშვნელობებისათვის: .
29. ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები მართკუთხა სამკუთხედში.30. გეომეტრიული გარდაქმნები და მათი კომპოზიციები: მსგავსების გარდაქმნა,
მიმართებები გარდაქმნათა კომპოზიციებს შორის.31. წრეწირი და წრე: მათთან დაკავშირებული მონაკვეთები და მათი თვისებები,
ცენტრალური და ჩახაზული კუთხეები.32. წრეწირის სიგრძე და წრის ფართობი (დამტკიცების გარეშე).33. სამკუთხედში ჩახაზული/შემოხაზული წრეწირი და მისი რადიუსი.34. წესიერ მრავალკუთხედში ჩახაზული და შემოხაზული წრეწირები35. გეომეტრიული ადგილის ცნება და მისი გამოყენება აგების ამოცანებში.36. წერტილის კოორდინატები სივრცეში.37. ვექტორები სიბრტყეზე. ვექტორების შეკრება და ვექტორის სკალარზე გამრავლება.38. პრიზმა და მისი ელემენტები: ფუძე, გვერდითი წახნაგი, გვერდითი წიბო, სიმაღლე,
დიაგონალი.39. პრიზმის კერძო სახეები: მართი პრიზმა, წესიერი პრიზმა, მართი პარალელეპიპედი,
მართკუთხა პარალელეპიპედი, კუბი.40. მართი პრიზმის დიაგონალური კვეთა.41. პირამიდა და მისი ელემენტები: წვერო, გვერდითი წიბო, ფუძე, გვერდითი წახნაგი,
სიმაღლე. წესიერი პირამიდა, აპოთემა. 42. მართობი, დახრილი და გეგმილი. მანძილი წერტილიდან წრფემდე.43. მონაცემთა ორგანიზაცია: რაოდენობრივ მონაცემთა დაჯგუფება ინტერვალთა
კლასებად.44. მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი რაოდენობრივი და დაჯგუფებული
მონაცემებისთვის: ფოთლებიანი ღეროების მსგავსი დიაგრამა; სიხშირული პოლიგონი, ჰისტოგრამა.
45. შემაჯამებელი რიცხვითი მახასიათებლები რაოდენობრივი მონაცემებისთვის: ცენტრალური ტენდენციის საზომი – მედიანა; მონაცემთა გაფანტულობის საზომი - საშუალო კვადრატული გადახრა.
46. ალბათობა: ელემენტარული და რთული ხდომილობანი.47. დამოუკიდებელი ხდომილობები და დამოუკიდებელი ხდომილებების ნამრავლის
გამოთვლა.48. ხდომილობათა ჯამის ალბათობა და მისი გამოთვლა.
30, , , , , ,
6 4 3 2 2π π π π ππ
18
Sinaarsisa da miznebis ruka
Temebis CamonaTvali
Temebis kavSiri miznebTan, ra punqtebs faravs Tema
savarau-do saswav-
lo dro
racionaluri ricxvebi. ricxviTi wrfe. kvadratuli fesvi. kvadratuli fesvis Sem-cveli gamosaxulebebis gardaqmna. iracional-uri ricxvebi. namdvil ricxvTa simravle.piTagoras Teorema.
racionaluri ricxvebis Sedareba, dalageba. sxvadasxva saxiT mocemul racionalur da iracionalur ricxvebs Soris gansxvavebis gaazreba, sxvadasxva saxiT mocemuli racio-naluri ricxvebis damrgvalebis, Sedarebis Cvevebis daufleba, iracionaluri ricxvebis magaliTebis dasaxeleba. IX.1. fesvis amoRebis operaciis Sesrulebisas optimaluri xerxebis SerCeva. ariTmetikuli fesvis Semcveli gamosaxulebebis gamartvebis Cvevebis daufleba: operandebis damrgvalebisas Sedegis miaxloebiTi mniSvnelobis povna. IX.2. dasabuTebis sxvadasxva xerxis gamoyeneba ricxvebis Tvisebebis Seswavlisas. IX.3. ricxviT simravleebs Soris damokidebebule-bebis gamosaxva venis diagramebis gamoyenebiT. IX.3.
14 sT
n-uri xarisxis fesvi. fesvis Tvisebebi.proporcia da ukupro-porcia, proporciul nawilebad dayofa.
debulebaTa dasabuTebis xerxebis daufleba, gamonaTqvamis uaryofis Camoyalilebebis unaris ganviTareba, kontrmagaliTis meTo-dis gamoyeneba. IX.3. sidideebis Safardebis gaazreba, sidideebs Soris proporciuli da ukuproporciuli damokidebulebebis aR-moCena, sididis mocemuli ricxvebis propor-ciul nawilebad dayofis gamoyeneba. figuris zomebs Soris damokidebulebebis tipebis gamoyeneba. IX.8, IX.2.
13 sT
ricxviTi utoloba. utolobaTa damtkiceba. wrfivi erTucnobiani utoloba. wrfiv er-Tucnobian utolobaTa sistema.
ricxvebis ariTmetikuli da geometriuli saSualoebis Sedareba, geometriuli inter-pretaciebi, maTi gamoyeneba amocanebis amoxs-nisas. IX.3. teqsturi amocanebis amoxsnisas erTucno-biani utolobis, erTucnobian utolobaTa sistemis Sedgena da amoxsna, amonaxsnTa sim-ravluri interpretacia. IX.7.
9 sT
monacemTa organizeba. monacemTa warmodgenis saSualebebi. monacemTa Semajamebeli ricx-viTi maxasiaTeblebi. saSualo kvadratuli gadaxra.
raodenobriv monacemTa dajgufeba inter-valTa klasebSi da Sesabamisi warmodgenis xe-rxebis agebis Cvevebis daufleba (histograma, cxrili). Sesaferisi diagramebis SerCevis unaris gamomuSaveba, arCevanis dasabuTeba, erTi grafikuli formidan meoreze gadasvla; xelsayreli da araxelsayreli mxareebis gaaz-reba; Sesaferisi Semajamebeli ricxviTi maxa-siaTeblebis SerCeva, arCevanis dasabuTeba, grafikuli formiT warmodgenili monace-mebis statistikuri Sinaarsis gaazreba. IX.11.
7 sT
19
funqcia. funqciis grafiki. funqciis mo-cemis xerxebi. funqciis Tvisebebi. wrfivi funq-cia. naSTi, naSTis Tvise-bebis gamoyeneba.
funqciebis, funqciebis Tvisebebis gamoy-eneba sidideebs Soris damokidebulebebis aRsawerad, funqciis mniSvnelobis, nulebis, maqsimumis, minimumis, zrdadoba-klebadobisa da niSanmudmivobis Sualedebis povna da maTi interpretaciis gaazreba gansaxilveli viTa-rebis konteqstSi. IX.6. funqciis grafikis Tvisebebis gaazreba si-dideebs Soris damokidebulebebis gasaazre-blad. IX.5. funqciis parametrebis cvlilebebis Sede-gebis interpretireba (magaliTad, daxris koeficientis cvlileba). IX.6. naSTis Tvisebebis gamoyenebis gaazreba (mag-aliTad, `saaTis ariTmetika~) IX.3. IX.5.
13 sT
geometriuli gardaq-mnebi; centruli simetria, RerZuli simetria. veqtori. veq-torebis Sekreba, veqto-ris ricxvze gamravleba, paraleluri gadatana. geometriul gardaqmna-Ta gamoyeneba. sibrtyis dafarvis amocanebi.
geometriul gardaqmnaTa Tvisebebis, maTi kompoziciis gaazreba; erTi figuris geome-triuli gardaqmniT meore figuris miRebis SesaZleblobis gaazreba. geometriuli gardaqmnebis gamoyeneba sibrtyis dafarvis SesaZleblobis ganxilvisas. IX.9. IX.8.
12 sT
kvadratuli funqcia. kvadratuli funqciis nulebi. vietis Teorema. kvadratuli utolobis amoxsna.
funqciebis da maTi Tvisebebis gamoyeneba si-dideebs Soris damokidebulebis aRsawerad da gamosakvlevad. mocemuli funqciisTvis am funqciis mniSvnelobis, nulebis, maqsimumis, minimumis, zrdadobis/klebadobis da niSan-mudmivobis Sualedebis povna. IX.6
9 sT
mTeli da wiladuri gan-tolebebi. orucnobiani gantoleba. orucnobian gantolebaTa sistema da maTi gamoyenebiT amocanebis amoxsna. gan-tolebebis grafikuli gamokvleva.
teqsturi amocanebis amosaxsnelad gan-tolebis, utolobis, gantolebaTa sistemis Sedgena, amonaxsnis interpretacia amocanis konteqstis gaTvaliswinebiT. IX.7.
11 sT
procenti. procen-tis daricxvis wesebi. rekurentuli wesiT mo-cemuli mimdevrobebi. ariTmetikuli progre-sia. geometriuli pro-gresia.
amocanebis amoxsnis unaris ganviTareba, rom-lebic dakavSirebulia saprocento ganakve-Tis, daricxvis, dabegvris, fasdaklebis op-eraciebTan. IX.4. realuri procesebis diskretuli procesebis aRwerisas rekursiis gamoyeneba, rekurentu-li mimdevrobebi da maTi ganvrcobis xerxebi. IX.5.
9 sT
20
msgavsebis asaxva. ms-gavsi figurebi. msgavsi mravalkuTxedebi. ms-gavsebis niSnebi. pro-porciuli monakveTebi marTkuTxa samkuTxedSi. maxvili kuTxis sinusi da kosinusi. maxvili kuTxis tangensi. marT-kuTxa samkuTxedis amoxsna.
figurebis an maTi elementebis zomebis pov-nis/Sefasebis sakiTxebis dakavSireba praqti-kuli problemebis gadaWrasTan. marTkuTxa samkuTxedis gverdebsa da kuTxeebs Soris trigonometriuli Tanafardobebis gamoy-eneba realur viTarebaSi obeiqtTa zomebis an obieqtebs Soris manZilebis dasadgenad. IX.8.
17 sT
elementaruli xdomi-loba. xdomiloba. xdomilobis albaToba. moqmedebebi xdomilo-bebze. jamis albaToba. namravlis albaToba.
romelime xerxis (CamonaTvali, xisebri diagrama) SerCeva sxvadasxva simravleebis elementebis kombinaciebis, yvela SesaZlo variantis, simravlis elementTa amorCevis, dalagebisa da gadanacvlebebis raodenobebis mosaZebnad. IX.5. xdomilobis mosalodnelobis Sesaxeb mona-cemTa safuZvelze varaudis gamoTqma da misi marTlzomierebis dasabuTeba. IX.3. albaTobis Tvisebebisa da formulebis gamoyeneba (jamis, namravlis) xdomilobaTa albaTobis gamosaTvlelad. damoukidebel xdomilobaTa albaTobebis gamoTvla SemTx-veviTi eqsperimentisTvis. dabrunebiTa da dabrunebis gareSe SemTxveviTi eqsperimentis dagegmva, mowyobilobaTa SerCeva (Canacv-leba), arCevanis dasabuTeba; rTuli xdomilo-bis xelSemwyob elementarul xdomilobaTa dasaxeleba da albaTobis gamoTvla. IX.12.
9 sT
wertilTa geometriuli adgili. wrewiri. cen-truli kuTxe, Caxazuli kuTxe. agebis amocanebi. wrewiris sigrZe, wris farTobi.
`wertilTa geometriuli adgilis~ cnebis gamoyenebis unaris ganviTareba, am cnebis mixedviT figuris, an misi elementis dasax-eleba da gamosaxva. wertilTa geometriuli adgilis cnebis gamoyeneba agebis amocanebSi, sxvaadsxva Camoyalibebisas figuraTa Soris mimarTebebis gansazRvra. IX.10. sibrtyeze mocemuli wiris miaxloeba texilis saSualebiT da am meTodiT wiris sigrZis Se-faseba an miaxloebiT gamoTvla. IX.8.
13 sT
21
msgavsebis asaxva. ms-gavsi figurebi. msgavsi mravalkuTxedebi. ms-gavsebis niSnebi. pro-porciuli monakveTebi marTkuTxa samkuTxedSi. maxvili kuTxis sinusi da kosinusi. maxvili kuTxis tangensi. marT-kuTxa samkuTxedis amoxsna.
figurebis an maTi elementebis zomebis pov-nis/Sefasebis sakiTxebis dakavSireba praqti-kuli problemebis gadaWrasTan. marTkuTxa samkuTxedis gverdebsa da kuTxeebs Soris trigonometriuli Tanafardobebis gamoy-eneba realur viTarebaSi obeiqtTa zomebis an obieqtebs Soris manZilebis dasadgenad. IX.8.
17 sT
elementaruli xdomi-loba. xdomiloba. xdomilobis albaToba. moqmedebebi xdomilo-bebze. jamis albaToba. namravlis albaToba.
romelime xerxis (CamonaTvali, xisebri diagrama) SerCeva sxvadasxva simravleebis elementebis kombinaciebis, yvela SesaZlo variantis, simravlis elementTa amorCevis, dalagebisa da gadanacvlebebis raodenobebis mosaZebnad. IX.5. xdomilobis mosalodnelobis Sesaxeb mona-cemTa safuZvelze varaudis gamoTqma da misi marTlzomierebis dasabuTeba. IX.3. albaTobis Tvisebebisa da formulebis gamoyeneba (jamis, namravlis) xdomilobaTa albaTobis gamosaTvlelad. damoukidebel xdomilobaTa albaTobebis gamoTvla SemTx-veviTi eqsperimentisTvis. dabrunebiTa da dabrunebis gareSe SemTxveviTi eqsperimentis dagegmva, mowyobilobaTa SerCeva (Canacv-leba), arCevanis dasabuTeba; rTuli xdomilo-bis xelSemwyob elementarul xdomilobaTa dasaxeleba da albaTobis gamoTvla. IX.12.
9 sT
wertilTa geometriuli adgili. wrewiri. cen-truli kuTxe, Caxazuli kuTxe. agebis amocanebi. wrewiris sigrZe, wris farTobi.
`wertilTa geometriuli adgilis~ cnebis gamoyenebis unaris ganviTareba, am cnebis mixedviT figuris, an misi elementis dasax-eleba da gamosaxva. wertilTa geometriuli adgilis cnebis gamoyeneba agebis amocanebSi, sxvaadsxva Camoyalibebisas figuraTa Soris mimarTebebis gansazRvra. IX.10. sibrtyeze mocemuli wiris miaxloeba texilis saSualebiT da am meTodiT wiris sigrZis Se-faseba an miaxloebiT gamoTvla. IX.8.
13 sT
saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis dagegmvis
zogadi principebi
saswavlo procesis organizaciis ZiriTadi forma gakveTilia; saganmanaTleblo,
aRmzrdelobiTi da praqtikuli miznebis ganxorcieleba gakveTilze xdeba. amitom
maTematikis swavlebis ZiriTadi sakiTxi gakveTilis kargi momzadeba da Catarebaa.
meTodikur literaturaSi didaqtikuri cneba _ `gakveTili~ ZiriTadad
ase aRiwereba: gakveTili logikurad dasrulebuli, mTliani saswavlo-
aRmzrdelobiTi procesis garkveuli SemosazRvruli monakveTia. masSi rTul
urTierTdamokidebulebaSia procesis yvela ZiriTadi elementi: Sinaarsi,
mizani, saSualebebi, meTodebi, organizacia; yovel gakveTilze gansazRvruli
saganmanaTleblo da aRmzrdelobiTi amocanebi wydeba; am amocanebis gadawyveta
konkretuli saswavlo masalis ganxilvis procesSi mimdinareobs.
maTematikis gakveTilisadmi wayenebuli mTavari moTxovnaa ZiriTadi didaqtikuri
amocanis arseboba _ im Temis Seswavlis miznis arseboba, romlis gadawyvetis
procesi mocemul gakveTilze mimdinareobs. yoveli gakveTilis win kargad unda
gaiazroT misi Sinaarsi da mizani, amaSi Cven mier mowodebuli ruka dagexmarebaT.
miznis Sesabamisi unda iyos kargad gaazrebuli da dagegmili saswavlo masalis
wardgenis fazebi:
motivacia. ar aris sakmarisi, rom maswavlebels gaazrebuli hqondes mizani;
saWiroa, rom igi moswavleebisTvisac gaxdes ZiriTadi mizani. moswavleebTan
saubari unda daviwyoT ara imiT, Tu ras vaswavliT, aramed mniSvnelovania
Tavidanve interesis aRZvra da iseTi situaciisTvis xelSewyoba, roca moswavle
motivirebulia da poulobs pasuxebs kiTxvaze _ `risTvisaa saWiro~. motivacia
SesaZlebelia praqtikuli amocanis dayenebiTa da misi amoxsnis xerxebis ZiebiT
daviwyoT, an maTematikis Siga kanonzomierebis gaazrebiT, problemuri situaciis
Seqmnis xelSewyobiT; mxolod amis Semdeg xdeba Sesabamisi amocanis dasma da misi
amoxsnis Zieba.
amocanis gansazRvris Semdeg mimdinareobs misi amoxsnis gzis Ziebis procesi.
amoxsnis Ziebis procesis warmarTvis sxvadasxva meTodikuri saSualeba arsebobs.
yovel amocanas, rogorc wesi, amoxsnis Ziebis garkveuli forma miesadageba. es
formebia _ muSaoba jgufebad (SesaZlebelia or-oradac), mTeli klasis erToblivi
monawileobiT, individualuri muSaoba da a. S. im SemTxvevaSic ki, roca amocanis
amoxsnis ZiebaSi mTeli klasi erTdrouladaa Cabmuli, maswavlebelma swavleba ise
unda warmarTos (moxerxebuli kiTxvebis dasmis saSualebiT), rom Temis Seswavlis
procesis ZiriTadi Semoqmedebi Tavad moswavleebi aRmoCndnen; maswavlebeli am
SemTxvevaSi warmmarTvelis, `diriJoris~ funqcias unda asrulebdes.
moswavlis saxelmZRvanelos teqsti mogcemT aseTi gakveTilebis Catarebis
saSualebas. igi ZiriTadi saswavlo saSualebaa da amitom gakveTilisTvis mzadebis
22
procesSi teqstebis, ilustraciebis, savarjiSoebis gacnobas, daxarisxebas didi
dro unda dauTmoT. Tumca, maswavleblis wignic dagexmarebiT TiToeul etapze
(sawyisi, damagvirgvinebeli) Sesasrulebeli savarjiSoebis SerCevis sakiTxSi.
Sinarsisa da miznebis rukaSi ver mivuTiTeT Temis Seswavlis yvela mizani,
romelic saganmanaTleblo da aRmzrdeblobiTi amocanebis gadawyvetis
komponentebisgan Sedgeba. ar unda gavaigiveoT mizani SinaarsTan, magaliTad,
samkuTxedis kuTxeebis jamis formulis gamoyvana saxelmZRvaneloSi isea
warmodgenili, rom igi am Temis Sinaarsis miznad gardaqmnis process kargad
warmogvidgens; dasmuli amocanis amoxsna kritikuli azrovnebis, msjelobisa da
dasabuTebis unaris gamomuSaveba, geometriul figuraTa gamosaxvis da am figuraTa
Tvisebebis SeswavlaSi eqsperimentis gamoyenebis unaris gamomuSavebaa. am miznebis
gansaxorcieleblad qaRaldisgan gamoWril samkuTxedze (modelze) Catarebuli
eqsperimentis (gamoiyeneba ramdenime RerZuli simetria), an dasabuTebis xerxia
mowodebuli. meore maTgani dasmul kiTxvebze pasuxis SerCevis, msjelobisa da
dasabuTebebis fonze mimdinareobs. aq maswavlebelma SeiZleba sxva eqsperimentic
daamatos (transportiris gamoyenebiT). ufro dawvrilebiT am gakveTilis Sesaxeb
qvemoT mogaxsenebT.
am konkretuli magaliTidan Cans, rom aqtivobis mizani saganmanaTleblo da
aRmzrdelobiTi miznebis erTobliobaa.
gakveTilze Seswavlili faqtebi TavisTavad aris mniSvnelovani; Tumca, kidev
ufro mniSvnelovania is, rom maTi Seswavlis dros ganxorcielebuli procesi Tavis
kvals tovebs _ kritikuli azrovnebis ganviTareba, msjeloba da dasabuTebis
unaris gamomuSaveba. amasTanave, moswavleTa gonebaSi gaiazreba mniSvnelovani
sakiTxebi: adamianis mier faqtebis aRmoCena, aRmocenebuli amocanebis amoxsna da
Sedegebis dafiqsireba azrovnebaSi. konkretuli deduqciuri msjeloba, dasabuTeba
im SemTxvevaSi atarebs aRmzrdelobiT funqcias, roca moswavles gavagebinebT misi
Catarebis mniSvnelobas.
axla davasaxelebT ramodenime sasargeblo zogad rekomendacias, romelic
meTodikis sakiTxebs ganekuTvneba:
• maswavlebeli cdilobs, rom yoveli axali SemecnebiTi amocana TviT moswavlem
Camoayalibos;
• maswavleblis xelmZRvanelobiT da moswavleTa ZalisxmeviT _ dakvirvebis,
cdis, konkretuli SemTxvevebis analizis Sedegad iqmneba warmodgena, hipoTeza
arsebul kanonzomierebaze.
• maswavleblis xelmZRvanelobiT mimdinareobs dasabuTebis gzis Zieba, amocanis
amoxsnis gegmis Sedgena, rasac xSirad mosdevs TviT moswavleebis mier am gegmis
realizacia.
axla SevexoT saswavlo procesisTvis mzadebis zogad sqemas:
• maswavleblis muSaoba saswavlo wlis win.
• gakveTilTa sistemis gaazreba saswavlo wlis win;
• konkretuli gakveTilisTvis momzadeba.
momzadebisas maswavlebelma unda gamoiyenos moswavlis wigni, maswavlebelis
sarekomendacio wigni da, saWiroebis SemTxvevaSi, iq miTiTebuli literatura.
sarekomendacio wignis mixedviT sasurvelia maswavlebeli Tavdapirvelad saswavlo
gegmas, Se fasebis sistemas da gakveTilebis SemoTavazebul nimuSebs ga ecnos.
23
sarekomendacio wignis Sesavali mas gaacnobs avtorTa mier saxelmZRvanelos agebis
ZiriTad principebs.
maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges Cvens rekomendaciebs; igi safuZvlad
iRebs Cven mier SemoTavazebul gegmas da azustebs mas sakuTari gamocdilebiTa
da klasis Taviseburebebis gaTvaliswinebiT. es dazustebebi gansakuTrebiT
mniSvnelovania sawyis etapze Sesasrulebeli savarjiSoebis da damamTavrebel
etapze Sesasrulebeli savarjiSoebisa da sakontrolo weris variantebis SerCevisas.
gakveTilis dagegmva iTvaliswinebs Casatarebeli procesis tips:
• axali masalis gacnoba
• masalis ganmtkiceba
• codnis Semowmeba
• sxva tipis gakveTilebi (gakveTili bunebaSi, gakveTili-proeqti, ...)
Tumca, zogierTi tipis procesi (axali masalis gacnoba, ganmtkiceba, Semowmeba),
rogorc wesi, yovel gakveTilze mimdinareobs, SesaZlebelia _ sxvadasxva
moculobiT.
moswavleTa codnis Semowmeba, moswavleTa muSaobaze dakvirveba yovel
gakveTilze mimdinareobs. gakveTilze mTavaria vaswavloT da aRvzardoT. swavleba
ar niSnavs mxolod codnis gadacemas _ swavleba codnis SemoqmedebiTad dauflebas
unda niSnavdes, misi gamoyenebis unaris ganviTarebaze unda iyos morgebuli.
moswavleTa Sefaseba swavlis procesze maswavleblis dakvirvebebiT, moswavleTa
mier sakontrolo da damoukidebeli samuSaobis Sesrulebis xarisxiT ganisazRvreba.
yoveli gakveTilis Semdeg sakuTar wignakSi CainiSneT moswavleebze dakvirvebis
Sedegebi, gaiTvaliswineT moswavleTa SemoqmedebiTi aqtiuroba (masalis aTvisebis
done kargad Cans savarjiSoebis amoxsnis drosac _ ganmtkicebis procesSi).
saswavlo masalis dasabuTebuli SerCeva iTvaliswinebs Semdeg moTxovnebs:
• saswavlo masalis Sesabamisoba Temis mizanTan
• gakveTilze Sesasrulebeli samuSaos moculobis swori gansazRvra
• optimaluri Tanafardoba konkretulsa da zogads Soris
• Teoriasa da praqtikas Soris aucilebeli urTierTkavSiris ganxorcieleba
maswavlebelma, rogorc wesi, Tavidan bolomde detalurad unda gaiazros
gakveTili, winaswar, drois mixedviT unda iyos ganawilebuli mTeli samuSao.
magaliTad, Tu gakveTilze axal Temaze gadasvlac aris gaTvaliswinebuli,
maSin SeiZleba im sakiTxebis Sesaxeb msjeloba, romelTa bunebriv da kanonzomier
gagrZelebas axali sakiTxebi Seicavs, SeiZleba gakveTili pirdapir im praqtikuli
amocanis ganxilviT daviwyoT, romlis maTematikuri modelis Seswavla axali
maTematikuri faqtebis aRmoCenas, hipoTezis Camoyalibebasa da dasabuTebebs
moiTxovs. am procesis bunebrivi gagrZeleba Sesabamisi savarjiSoTa sistemis
ganxilvaa.
kiTxvebze pasuxebis gacemis sistema ar unda iyos erTferovani _ mxolod
warmatebul moswavleebTan mimarTebiT ar unda SemoifargloT; moswavlis raime
mosazrebas myisve nu upasuxebT. swor pasuxsac ki maSinve nu daeTanxmebiT xolme
_ gaakeTeT pauza, iqneb garkveuli eWvic ki gamoTqvaT misi mosazrebis sisworis
mimarT. amiT miaRwevT imas, rom bavSvebi daubrundebian dasmuli kiTxvis analizs da
male WeSmariti daskvna _ swori pasuxi klasis dominantur mosazrebad gadaiqceva.
klasi, erToblivi ZalisxmeviT, `gaiZulebT~ daeTanxmoT mis pozicias. es axarebs,
24
amxnevebs da aerTianebs axalgazrdebs. es maTi erToblivi azris gamarjvebaa.
Tqvens mizansac xom es warmoadgens _ moswavle CamoayaliboT Semoqmed, codniT
aRWurvil, iniciativian, xalisian axalgazrdad. maTematika mZlavri emociuri muxtis
matarebelia da misi amoqmedeba Tqveni ZalisxmeviT miiRweva.
yuradRebiT unda movisminoT yvela pasuxi, uxeSi Secdomis SemTxvevaSic ki
dauSvebelia mkacri uaryofiTi Sefasebebis gamoTqma.
yuradReba miaqcieT, rom terminebi, cnebebi da movlenebi sworad iyos
gansazRruli.
gakveTilebis dagegmvasa da warmarTvaSi xels SegiwyobT sanimuSo gakveTilebis
scenarebi.
axali masalis ganmtkicebis procesi SeiZleba e. w. `testuri~ amocanebis
`amoxsniT~ daviwyoT, maTi Sesruleba swori pasuxis SerCeviT unda Semoifarglos
_ zogjer SeiZleba komentarebis gakeTebac gaxdes saWiro. yovel paragrafSi
mocemuli masala, rogorc wesi, 2 gakveTilzea gaTvaliswinebuli; meore gakveTilze
codnis ganmtkicebaze zrunviT SemovifarglebiT.
swavlebis erT-erTi saintereso da mniSvnelovani forma jgufuri muSaobaa.
es muSaoba SeiZleba gakveTilis procesis erT-erTi Semadgeneli nawili iyos _
daukavSirdes axali masalis gaazrebas, praqtikuli saqmianobis (eqsperimentis)
an Semajamebeli daskvnebis gamotanas, an, SesaZlebelia, mas mTeli gakveTilic
davuTmoT. mis warmarTvaSi moswavlis saxelmZRvaneloSi warmodgenili amocanebis
sistema dagexmarebaT (magaliTad, amocanebi jgufuri muSaobisTvis). am SemTxvevaSi
jgufur muSaobas SeiZleba Sejibris saxec ki mivceT.
organizaciulad jgufuri muSaobis es varianti _ paeqroba _ SeiZleba ase
movawyoT:
winaswar vacxadebT Catarebis dRes; moswavleebs vavalebT samuSao rveulis
ormagi furceli iqonion. paeqroba moswavleTagan kapitnebisa da maTi TanaSemweebis
dasaxelebiT iwyeba. optimaluria 4-5 moswavlisagan Semdgari jgufebi _ gundebi.
gundebis dakompleqteba SeiZleba kapitnebsac miandoT. mTavaria, `arCevnebma~ didi
dro ar wagarTvaT.
mas Semdeg, rac gundebi dakompleqtdeba, winaswar gamravlebuli amocanebi
daurigeT gundebs (an dafaze amowereT pirobebi). am SemTxvevaSi yvela gunds
erTnairi davaleba miecema.
gakveTilis dasrulebamde 10-12 wuTiT adre kapitnebs evalebaT warmoadginon
maTi gundebis Sedegebi _ maTi amocanebis amoxsnebi. CaibareT es amoxsnebi winaswari
komentarebis gareSe da saukeTeso amoxsnebis avtorebi rigrigobiT miipatiJeT
dafasTan naSromTa mokle prezentaciisTvis. cxadia, kritika da polemika, Tu amis
safuZveli arsebobs, unda iyos uSeRavaTo, magram _ koreqtuli. am bWobaSi Tqvenc
mogiwevT xandaxan Cabma; zogjer mediatoris rolis Sesrulebac. es procedura
aRniSnul droze mets ar moiTxovs, radgan amocanebi yvelas kargad aqvs gaazrebuli
da mxolod sakvanZo punqtebia xazgasasmeli.
am gansjis dasrulebisTanave unda aRdges merxebis Tavdapirveli ganlageba,
Semdeg acxadebT gundebis mier mopovebul qulebs (TiToeuli amocana SeiZleba
2-quliani skaliT Sefasdes) da dakavebul adgilebs am paeqrobaSi. SeiZleba daawesoT
damatebiTi qulebi prezentaciis Sesafaseblad.
jgufuri muSaobisTvis amocanebi SeiZleba SeirCes saxelmZRvaneloSi Sesabamisi
25
niSnakiT gamoyofili adgilidan. Tumca, winaswar yvela amocana rom ar iyos
`gaSifruli~, iqneb maTi pirobebi odnav SecvaloT, an zogierTi amocana paragrafis
damatebiTi savarjiSoebis krebulidan airCioT.
moswavlis saxelmZRvaneloSi SemoTavazebuli jgufuri muSaobis zogierTi
proeqti raime erTi axali Temis Sesabamisi struqturirebuli kiTxvebisgan
Sedgenili amocanaa _ yoveli kiTxva winas ukavSirdeba _ kiTxvebze pasuxebis
sistema raime erTi axali Temis Sesabamisi problemis dasmas da amoxsnas gulisxmobs.
am SemTxvevaSi pasuxebis sistema, romelic moswavleTa jgufis erToblivi
Zalisxmevis Sedegia, maTi koleqtiuri SemoqmedebiTi naSromia da misi Sefaseba
prezentaciisas ganxorcieldeba.
zogjer jgufebs sxvadasxva saxis davalebebi SeiZleba mivceT _ gansxvavebuli
eqsperimentebis Catareba davavaloT (magaliTad, geometriuli obieqtis Tvisebebis
daadgena, geometriuli faqtis ganxilva-dasabuTeba, Sedegis warmodgena). am
SemTxvevaSi moswavleebi msjeloben warmodgenili varaudebis koreqtulobaze da
adareben maT. aseTi tipis jgufuri muSaobebi, rogorc zemoT aRvniSneT, gakveTilis
fragmenti SeiZleba iyos da xSirad unda gamoviyenoT.
Teoriuli masalis gadmocemis Cveneuli meTodika saSualebas gaZlevT airCioT,
yvelaze ufro mosaxerxebeli forma Sinaarsisa da miznebis rukaSi miTiTebuli
moTxovnebis Sesasruleblad.
saskolo Sefasebis axali sistema, romelic erovnuli saswavlo gegmiT
aris gansazRvruli, iTvaliswinebs Semdeg aucilebel midgomebs: akademiuri
moswrebis Sefaseba unda iyos xSiri da mravalmxrivi. unda Sefasdes ara marto
informaciis floba, aramed SeZenili unar-Cvevebi. ar aris sakmarisi moswavle
mxolod sakontrolo werebis safuZvelze Sefasdes. maswavlebeli unda afasebdes
prezentaciebis, moswav lisave TviTSefasebis, jgufuri muSaobis, Tu sxva
tipis aqtivobebis mixedviT. maswavlebelma Sefasebisas unda gaiTvaliswinos
saganmanaTleblo procesSi moswavlis CarTulobis xarisxi (saxlSi micemuli
davalebebis Sesrulebis xarisxi, gakveTilze aqtiuroba, SemoqmedebiToba da sxva),
amasTanave, mizanSewonilia moswavlesac winaswar gavacnoT Sefasebis kriteriumebi.
am kriteriumebis SedgenaSi SeiZleba moswavleTa CarTvac.
sakontrolo werebis Sefasebis sqemebs am wignSi gaecnobiT. dauSvebelia
moswavleTa qcevis gaTvaliswineba akademiuri moswrebis Sefasebisas _ gakveTilze
arasaTanadod moqceva, rogorc wesi, aisaxeba akademiur moswrebaze.
moswavlis niSani unda gamomdinareobdes mis mier sagnis Seswavlis sxvadasxva
komponentisgan _ sakontrolo weris Sesruleba, gakveTilze msjeloba,
SemoqmedebiTi aqtivoba, jgufuri muSaoba, prezentacia da sxva.
26
შეფასება მათემატიკაში
შეფასების კომპონენტები მათემატიკაში1) საშინაო და საკლასო დავალებათა კომპონენტები
შეიძლება შეფასდეს შემდეგი ცოდნა და უნარ-ჩვევები1. მათემატიკური ცნებებისა და დებულებების გამოყენება;2. კავშირებისა და მიმართებების დადგენა;3. მათემატიკური ობიექტების წარმოდგენა და მათემატიკური ენის ფლობა;4. მსჯელობა - დასაბუთება;5. ამოცანის ჩამოყალიბება;6. მოდელირება;7. ამოცანის ამოხსნის გზა და მისი რეალიზება;8. გამოთვლები;9. დამხმარე ტექნიკური საშუალებებისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების
გამოყენება.
სასიცოცხლო უნარ-ჩვევები
1. შემოქმედებითობა;2. თანამშრომლობა (მეწყვილესთან, ჯგუფის წევრებთან);3. სტრატეგიების გააზრებულად გამოყენება სასწავლო საქმიანობის ხელშეწყობის
მიზნით;4. სასწავლო აქტივობებში მონაწილეობის ხარისხი.
უნარ-ჩვევები ფასდება შემდეგი კრიტერიუმებით:
1. მოსწავლე აღიქვამს ამოცანის შინაარსს, გაიაზრებს და გამიჯნავს ამოცანის მონაცემებსა და საძიებელ სიდიდეებს. ახდენს მონაცემების (მათ შორის პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო მონაცემების) ორგანიზებას და მათ წარმოდგენას;
2. გადმოცემისას სწორად და ეფექტიანად იყენებს მათემატიკურ ტერმინებსა და აღნიშვნებს. ადეკვატურად ირჩევს სიმკაცრის დონეს და როდესაც საჭიროა, დასაბუთებისას იყენებს მკაცრ მათემატიკურ მსჯელობას (მათ შორის ინდუქციურ და დედუქციურ მსჯელობას);
3. პოულობს, არჩევს და იყენებს გზებსა და მეთოდებს (მათ შორის ტექნოლოგიებს) ფიგურების და ობიექტების ზომების, აგრეთვე მათ შორის მანძილების, მასის, ტემპერატურის და დროის გასაზომად. არჩევს და მოიპოვებს პროცესის ან რეალური ვითარების მოდელირებისათვის საჭირო მონაცემებს;
4. ახდენს მოცემული მოდელის ელემენტების ინტერპრეტირებას იმ რეალობის კონტექსტში, რომელსაც მოდელი აღწერს და პირიქით – რეალური ვითარების დაკვირვების შედეგად მიღებული მონაცემების ინტერპრეტირებას შესაბამისი მოდელის ენაზე. განსაზღვრავს მოდელის ვარგისიანობას და აფასებს მისი გამოყენების საზღვრებს;
5. კომპლექსურ (რთულ) პრობლემას ყოფს საფეხურებად, მარტივ ამოცანებად და ჭრის ეტაპობრივად (ამოხსნა),
6. 7. მათ შორის სტანდარტული მიდგომებისა და პროცედურების გამოყენებით;8. ამოცანების ამოხსნისას, იყენებს მათემატიკურ ობიექტებს, პროცესებს და მათ
თვისებებს;9. ირჩევს ეფექტიან სტრატეგიას და მოკლედ აღწერს პრობლემის გადაჭრის საფეხურებს.
მიჰყვება არჩეულ სტრატეგიას. აანალიზებს არჩეულ სტრატეგიას და ასაბუთებს არჩეული სტრატეგიის ეფექტიანობას, მიმოიხილავს შესაძლო ალტერნატიულ სტრატეგიებს და მსჯელობს მათ უპირატესობებსა და ნაკლზე;
27
10. ირჩევს გამოთვლების ადეკვატურ / ოპტიმალურ ხერხს და ახდენს მის რეალიზებას;11. ამყარებს კავშირებს (მაგალითად, სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან
ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;
12. ახდენს მიღებული შედეგების განზოგადებას, ამყარებს კავშირებს (მაგალითად სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;
13. ირჩევს დასაბუთების ხერხს (მაგალითად: საწინააღმდეგოს დაშვების გამოყენება დამტკიცებისას, ევრისტული მეთოდის გამოყენება დასაბუთებისას);
14. ინფორმაციის გადაცემისას წარმოაჩენს საკითხის არსს (მაგალითად, მათემატიკური ობიექტის არსებით თვისებებს);
15. კორექტულია მასწავლებელთან და მეგობრებთან მიმართებაში. იგებს და აანალიზებს სხვის ნააზრევს;
16. თანამშრომლობს თანაკლასელებთან ჯგუფური სამუშაოების შესრულებისას;17. აუდიტორიისა და საპრეზენტაციო მასალის მიხედვით ირჩევს პრეზენტაციის
ფორმას და დამხმარე საშუალებებს (მათ შორის საინფორმაციო ტექნოლოგიებს). ეფექტიანად იყენებს პრეზენტაციისათვის განკუთვნილ დროს;
18. ახდენს პრობლემის ფორმულირებას აუდიტორიისათვის გასაგები ფორმით. ასაბუთებს პრობლემის აქტუალურობას და მნიშვნელობას (იგულისხმება პრობლემის პრაქტიკული ან/და წმინდა მეცნიერული აქტუალურობა);
19. სადემონსტრაციოდ იყენებს მაგალითებს, როგორც რეალური ვითარებიდან ასევე მათემატიკიდან;
20. კეთილსინდისიერად ასრულებს დავალებებს (ვადებისა და რაოდენობის თვალსაზრისით).
2) შემაჯამებელი დავალებების კომპონენტი
შემაჯამებელი დავალების კომპონენტი უკავშირდება სწავლა-სწავლების შედეგს. ამ კომპონენტში უნდა შეფასდეს ერთი სასწავლო მონაკვეთის (თემა, თავი, პარაგრაფი, საკითხი) შესწავლა-დამუშავების შედეგად მიღწეული შედეგები. კონკრეტული სასწავლო ერთეულის დასრულებისას მოსწავლემ უნდა შეძლოს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრული ცოდნისა და უნარების წარმოჩენა. შესაბამისად, შემაჯამებელი დავალებები უნდა აფასებდეს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრულ შედეგებს.შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები:
სტანდარტის მოთხოვნათა დასაფარად, რეკომენდებულია შემაჯამებელ დავალებათა მრავალფეროვანი ფორმების გამოყენება. მათემატიკის შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები შეიძლება იყოს:1. ტექსტურ ამოცანასთან დაკავშირებული ღია ან დახურული (რამდენიმე შესაძლო
პასუხს შორის სწორი პასუხის შერჩევა, შესაბამისობის დამყარება, სწორი თანმიმდევრობით დალაგება) ტიპის დავალება;
2. ტექსტის წაკითხვა და მონაცემთა ანალიზით (გამოთვლების ან ლოგიკური მსჯელობის საფუძველზე) მიღებული დასკვნის გადმოცემა და დასაბუთება (მათ შორის ისეთი ტექსტის, რომელიც შეიცავს დიაგრამებს და ცხრილებს);
3. განტოლების ამოხსნა, ასოითი გამოსახულების გამარტივება, რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობის გამოთვლა;
4. გეომეტრიული ამოცანა, რომელშიც მოსწავლეს მოეთხოვება ფიგურის თვისებების დადგენა, ზომების განსაზღვრა, ფიგურის აგება;
5. ამოცანა, რომელშიც წინასწარ განსაზღვრული მონაცემების საფუძველზე მოსწავლეს მოეთხოვება მოცემული ფაქტის დასაბუთება ან უარყოფა (მაგალითად, თეორემის
28
დამტკიცება).
მოთხოვნები, რომლებსაც უნდა აკმაყოფილებდეს შემაჯამებელი დავალებები:
• დავალების თითოეულ ტიპს უნდა ახლდეს თავისი შეფასების ზოგადი რუბრიკა;• ზოგადი რუბრიკა უნდა დაზუსტდეს კონკრეტული დავალების პირობისა და
განვლილი მასალის გათვალისწინებით;• 10 ქულა უნდა გადანაწილდეს რუბრიკაში შემავალ კრიტერიუმებზე;• მითითებული უნდა იყოს სტანდარტის ის შედეგები, რომელთა შეფასებასაც
ემსახურება შემაჯამებელი დავალება.
ზოგადი რუბრიკის ნიმუში:
შეფასების ზოგადი რუბრიკა ტექსტური ამოცანისათვის (წერითი დავალება)• ამოცანის მონაცემების ორგანიზება;• ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანა;• ამოხსნის გზის მოძებნა;• ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღება.
კონკრეტული რუბრიკის ნიმუში
ტექსტური ამოცანა, რომლის ამოხსნა მოითხოვს განტოლების შედგენას და ამოხსნას
საფეხურები ქულაამოცანის მონაცემების ორგანიზებაამოხსნისათვის საჭირო მონაცემების ამოკრეფა ამოცანის ტექსტიდან 0 - 1მონაცემების ორგანიზება და ისეთი ხერხით ჩაწერა, რომელიც აადვილებს ამოხსნის გზის მოძებნას
0 - 1
ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანასაძიებელი სიდიდეების გამოყოფა 0 - 1საძიებელი სიდიდეებისათვის ასოითი აღნიშვნების შემოღება 0 - 1მათემატიკური ობიექტებისა და პროცედურებისათვის სწორი აღნიშვნების გამოყენება (მაგალითად: ფუნქციის, ალგებრული მოქმედების)
0 - 1
ამოხსნის გზის მოძებნაგანტოლების შედგენის წინმსწრები მსჯელობა 0 - 1განტოლების შედგენა 0 – 1ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღებაგანტოლების ამოხსნის ხერხის მოძებნა 0 - 1განტოლების ამოხსნა და პასუხის მიღება 0 – 1 - 2
29
sanimuSo gakveTilebi
gakveTili 1
aqtivoba. racionaluri ricxvebis Caweris formebi _ wiladi, aTwiladi,
procenti.
reziume. moswavleebi iyeneben erTi da imave racionaluri ricxvisTvis
sxvadasxva saxis Canawerebs, msjeloben garkveul situaciaSi Caweris calkeuli
saxis upiratesobaze. operireben sxvadasxva formiT Caweril ricxvebze, adareben
maT.
aqtivobis mizani. gairRmavos codna racionaluri ricxvebis Sesaxeb, maTi
warmodgenis alternatiuli formebis Sesaxeb; dasmuli amocanis mixedviT Caweris
xelsayreli formis SerCevis alRosa da unaris ganviTareba; racionalunri
ricxvebiT operirebis unaris ganviTareba, rac uaRresad mniSvnelovania amocanaTa
amoxsnisas.
aucilebeli wina codna. naturalur, mTel da racionalur ricxvTa
simravleebi, mimarTebebi maT Soris; ricxvebis gamosaxva sakoordinato wrfeze;
moqmedebebi aTwiladebze, kerZod, aTwiladis mTel ricxvze gamravleba.
saWiro masala. saxelmZRvanelo, kalkulatori.
aqtivobis aRwera. romelime moswavles vTxovT dafaze Camoweros ricxvebi.
magaliTad, -3; 5; 7,2; 35 ; 5
3 ; 0; 2; 62 ; 12
100; 710.
mivmarTavT klass:
• daasaxeleT am ricxvebidan romelia naturaluri, mTeli, racionaluri;
• romeli racionaluri ricxvi ar aris mTeli?
• daasaxeleT mTeli ricxvebi, romlebic ar aris naturaluri?
• romelia mTeli ricxvebi, romelic ar aris racionaluri?
yoveli pasuxi unda dadasturdes klasSi
sajaro ganxilviT.
moswavleebs vTxovT gaixsenon mimarTebebi
n, Z da Q simravleebs Soris, gamosaxon es
mimarTebebi venis diagramebiT; daasaxelon raime
ricxvebi diagramis yoveli aridan, SeiZleba
Caweron dasaxelebuli ricxvebi diagramaSive.
magaliTad,
53 ; 7
12; 7,2;
-3; 0; -1
2; 7; 1Zn
Q
30
davubrundeT dafaze Camoweril ricxvebs da maTgan gamovyoT racionaluri
ricxvebi, romlebic ar aris mTeli.
7,2; 35 ; 5
3 ; 12100; 7
10.
• ra formiTaa Cawerili I ricxvi? (aTwiladi)
• ra formiTaa Cawerili II da III ricxvebi? (wiladi)
• II da III ricxvebs Soris aris Tu ara wesieri wiladi, arawesieri wiladi?
• rogor CavwerT wiladiT 1%-s?
• CawereT 12100 da 7
10 procentis saxiT. (12%; 70%)
• rogor CavwerT 35 -s aTwiladis saxiT? (3:5=0,6)
• rogor CavwerT 53 -s aTwiladis saxiT? (5:3=1,666...)
• rogori aTwiladebia 0,6 da 1,66...? (sasruli; usasrulo perioduli)
• rogor CavwerT usasrulo periodul aTwilads 1,66...? (1,(6))
kalkulatoris gamoyenebiT, an mis gareSe CavweroT wiladebi aTwiladis
saxiT: 14 , 2
5, 3
8, 7
50. yoveli maTgani Caiwera sasruli aTwiladis saxiT. iqve maTi
mniSvnelebi davSaloT martiv mamravlebad.
CavweroT aTwiladis saxiT: 13
, 2399
, 27
, 56
, 49
, 730
, 935
. yoveli maTgani Caiwereba
usasrulo perioduli aTwiladis saxiT. maTi mniSvnelebic davSaloT martiv
mamravlebad.
martiv mamravlebad daSlil mniSvnelebze dakvirvebis Sedegad mosalodnelia,
rom moswavleebma ivaraudon: sasruli aTwiladis saxiT Caiwereba mxolod is
wiladebi, romelTa mniSvnelis martiv mamravlebad daSlaSi mxolod 2-ebi da 5-ebi
monawileobs. Tu SeTavazebuli wiladebis aTwiladebis saxiT Cawera ar aRmoCnda
sakmarisi varaudis gamosaTqmelad, SevTavazoT Tavad daasaxelon wiladebi 2-is da
5-is xarisxebis namravliT miRebuli mniSvnelebiT da Caweron isini aTwiladebis
saxiT. klasSi SeiZleba vimsjeloT aseTi mniSvnelis mqone wiladis sasruli
aTwiladis saxiT Caweris ganxorcielebis gzaze. Semdeg daasaxelon wiladebi,
romelTa mniSvnelebi 2-is da 5-isgan gansxvavebul martiv mamravls Seicavs da
Caweron isini aTwiladis saxiT.
SevTavazoT Caweron aTwiladis saxiT, magaliTad, 1524 . miuxedavad imisa, rom
mniSvnelis erT-erTi martivi mamravli 3-ia, es wiladi mainc sasruli aTwiladis
saxiT Caiwera. ratom? is ar aris ukveci wiladi, Sekvecis Semdeg misi mniSvnelia
8=23.
e. i. moswavleTa `varaudi~ ukveci wiladebisTvisaa samarTliani.
savarjiSod SeiZleba SevTavazoT ricxvebis Sedareba mas Semdeg, rac yovel
maTgans CavwerT aTwiladis saxiT: 34 da 0,7; 3
4 da 0,(7); 1
2 da 0,5(5); 0,7(17) da 0,(71);
0,(71) da 0,71.
31
mas Semdeg, rac moswavleebi kargad daeuflebian wiladebis Caweras aTwiladis
saxiT, saxelmZRvaneloSi SemoTavazebuli nimuSebis mixedviT daveuflebiT
perioduli aTwiladis wiladis saxiT Caweris proceduras (dasawyisisTvis,
magaliTad, 39
, 69
, 2599
, 3199
, 799
wiladebis aTwiladis saxiT CanawerebSi cifrebi,
romlebic periodulad meordeba, Seadaron wiladis mricxvels, maTi odenoba
Seadaron mniSvnelSi 9-ianebis odenobas).
aqtivobis gafarToeba. rogor moviqceT, Tu periodi ar iwyeba uSualod mZimis
Semdeg? magaliTad, erT-erTma moswavlem aseTi gamosavali naxa:
1,2(3)=12,(3)
10=
12 39
99= 111
90 =12190 .
davaleba SeiZleba SevarCioT 11 - 24 savarjiSoebidan.
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. moswavleebi daeuflebian racionaluri
ricxvebis Caweris formebs: wiladurs da aTwiladurs; erTi formiT Cawerili
ricxvis sxva formiT Caweras; Tavad gaarkveven, wiladis saxiT Cawerili ricxvi
sasruli Tu usasrulo perioduli aTwiladis saxiT Caiwereba; ganxiluli
magaliTebiT ilustrirebuli iqneba perioduli aTwiladis wiladis saxiT
warmodgenis procesi, moswavleebi kidev ufro ukeT gaecnobian procents _
racionaluri ricxvis Caweris erT-erT formas.
kidev ufro amaRldeba maTi mzaobis done praqtikuli amocanebis amoxsnisas.
es Tema gagrZeldeba Semdeg gakveTilebze.
am aqtivobis gaanalizebisas aucilebelia pedagogma aRniSnos miRweuli
Sedegebi, Seafasos SeniSnuli xarvezebi, dasaxos maTi gamosworebis gzebi
da vadebi. mas mouwevs muSaobis gaZliereba im moswavleebTan, romlebic ver
axerxebdnen aqtiur Cabmas muSaobaSi. sasurvelia aqtivobis SefasebaSi moswavleTa
mosazrebebis gaTvaliswinebac.
gakveTili 2
aqtivoba. iracionaluri ricxvi. kvadratuli fesvi.
reziume. moswale gaiRrmavebs da goaifarToebs warmodgenas ricxvTa Sesaxeb.
gaecnoba iracionalur ricxvebs. SeZlebas maT miaxloebiT gamosaxvas sakoordinato
wrfeze; farglisa da saxazavis saSualebiT aagebs iseT monakveTs, romlis sigrZe
iracionaluri ricxviT gamoisaxeba. gaecnoba uTanazomo monakveTebis SemTxvevebs.
aqtivobis mizani. moswavlem gaifarTovos codna ricxvebis Sesaxeb, gaecnos
iracionalur ricxvebs, gaiwafos iracionaluri ricxvebis miaxloebiT _
aTwiladebiT warmodgenaSi, ricxvebis SedarebaSi, ricxviT RerZze maT gamosaxvaSi;
SeZlos iracionaluri ricxvebis geometriuli gamosaxva/intrepretacia _ im
monakveTis ageba, romlis sigrZe mocemuli iracionaluri ricxvTi gamosaxeba
(magaliTad, √2 sm sigrZis). miRebuli codniT mniSvnelovani safuZveli Seuqmnas
Teoriuli da praqtikuli saxis amocanebis kvlevas.
32
aucilebeli wina codna. ricxvTa simravleebi da mimarTebebi maT Soris.
piTagoras Teorema; rcixvebis ganlageba sakoordinato wrfeze. fargliTa da
saxazaviT mocemulis toli monakveTis ageba; mocemuli wrfis mocemul wertilSi
marTobis gavleba.
saWiro masala. saxelmZRvnelo, kalkulatori, saxazavi, fargali.
aqtivobis aRwera. maswavleblis mimarTvis pasuxad moswavleebi asaxeleben
racionalur ricxvebs, erT-erTi maTgani gamosaxavs maT ricxviT wrfeze.
mivmarTavT klass:
• arsebobs Tu ara racionaluri ricxvi, romelic ricxvTi wrfeze ar
gamoisaxeba? cxadia, pasuxi uaryofiTia.
kiTxvaze _ arsebobs Tu ara RerZze wertili, romelic ar gamosaxavs raime
racionalur ricxvs _ pasuxi dadebiTia. Tumca, nebismieri pasuxis SemTxvevaSi,
moswavleebTan erTad vasrulebT Semdeg samuSaos: farglis da saxazavis
saSualdebiT ricxviTi wrfis 1-is Sesabamis U wertilze avagebT wrfis marTobs,
Semdeg isev farglis saSualebiT marTobze U-dan gadavdebT 1-is tol UA
monakveTs. piTagoras TeoremiT gamoTvalon OA monakveTis sigrZis kvadrati: OA2=2.
moswavleebs gavaxsenebT, rom ar arsebobs racionaluri ricxvi, romlis kvadrati
2-is tolia. dadebiTi ricxvi, romlis kvadrati 2-is tolia, iracionaluri ricxvia
_ √2 . e. i. Tu OA radiusiT O wertilidan wrewirs wemovxazavT, RerZTan misi
gadakveTis erT-erTi wertili √2 -is toli manZiliT iqneba daSorebuli saTavidan.
is iracionaluri ricxvis, √2 -is gamosaxulebaa.
moswavleebs vTxovT daasaxelon √2 -is mopirdapire ricxvi da gamosaxon is
ricxviT RerZze.
moswavleebi naxazidan xedaven, rom √2 aris 1-is da 2-is Sesabamis wertilebs
Soris.
klasSi sajaro ganxilvis mizniT davsvamT kiTxvebs:
• ras udris 1,52?
• √2 metia Tu naklebi 1,5-ze?
• ras udris 1,42? ...
am kiTxvebze pasuxis gacemis Semdeg moswavleebi daadgenen, rom √2 aris 1,4-sa
da 1,5-s Soris: 1,4<√2 <1,5.
• daasaxeleT ramdenime racionaluri ricxvi 1,4 da 1,5 ricxvebs Soris
(magaliTad, 1,45)
• ras udris 1,452?
• √2 metia Tu naklebi 1,45-ze?
• rogor davazustoT √2 -is mdebareoba RerZze?....
moswavleebi daadgenen, rom 1,41<√2 <1,42.
SeiZleba kidev erTi safexuri CavataroT: movZebnoT racionaluri ricxvebiT
√2 -is ukeTesi miaxloebebi: 1,414<√2 <1,415.
es moqmedebebi SeiZleba kalkulatoris daxmarebiT Sesruldes.
moswavleebi ixseneben, rom nebismieri sasruli an usaksrulo perioduli
33
aTwiladi SeiZleba Caiweros wiladis saxiT, anu isini racionaluri ricxvebia.
√2 kai Caiwereba usasrulo araperioduoi aTwiladis saxiT. rogorc Cans √2 -is
aTwiladad gamosaxvis procesi usasrulod grZeldeba.
savarjiSoebi:
• CamoTvlilTagan romelia iracionaluri: √4 , 0,(12), √5 , √10 , √100?
• ipoveT kvadratis diagonali, romalic gverdis 2 sm-ia;
• ipoveT marTkuTxa samkuTxedis perimetri, romlis kaTetebia 2 sm da 3 sm;
• ipoveT kvadratis gverdi, romlis farTobia 10 sm2;
• romel or uaxloes mTel ricxvs Sorisaa: √7 , -√3 , –√10 , √20 ? ...
aqtivobis gafarToeba. moswavleebs mivmarTavT, kalkulatoris gamoyenebiT
gamosaxon: √9 , √10 , -√5 , √0,04 , √0,4 ricxvebi sasruli aTwiladebiT, an ipovon
maTi miaxloebiTi mniSvnelobebi (magaliTad, meaTedamde sizustiT).
√– 4 ar arsebobs _ ar arsebobs racionalurni an iracionaluri (anu namdvili)
ricxvi, romlis kvadrati –4-ia. am savarjiSos Sesrulebis Semdeg moswavleebs
gauadvildebaT CamoTvlil gamosaxulebebSi A parametris dasaSveb mniSvnelobaTa
dadgena:
√a ; √– a ; √ab2; √–ab2 , –√ab2, √|a| , √|a|+1, √a–1 , 1√a2
, 1√a–1
.
davaleba SeiZleba SeirCevs Sesabamisi paragrafis # 1 - 25 savarjiSoebidan.
maTgan zogierTi SeiZleba klasSi amoixsnas.
aqtivobis ganxilva-Sefaseba: moswavleebi gaecnobian iracionaluri ricxvis
cnebas, daeuflebian mis gamosaxvas miaxloebiT sasruli aTwiladiT; namdvili
ricxvebis Sedarebas, maT ganlagebas ricxvTi RerZze. daeuflebian fargliTa
da saxazaviT wogierTi iseTi monakveTis agebas, romlis sigrZe iracionaluri
ricxviT gamoisaxeba. gaifarToeben da gaiRrmaveben warmodgenas ricxvis cnebis
Sesaxeb. miRebuli codniT mniSvnelovan nabijs dgamen namdvil ricxvTa uwyvetobis
gaazrebisken. aqtivobis dasasruls pedagogma unda daafiqsiros miRweuli Sedegebi,
aRniSnos SeniSnuli xarvezebi, maTi gamosworebis gzebi da vadebi. SesaZlebelia
zogierT moswavleebTan mouwios damatebiTi muSaobis Catarebac.
gakveTili 3
aqtivoba . piTagoras Teoremis dasabuTebis xerxebi
(jgufuri muSaoba)
reziume. moswavleebi amtkiceben piTagoras Teoremas sxvadasxva xerxiT. xvewen
figuraTa dayofisa da konstruirebis Cvevebs.
aqtivobis mizani. erTi da imave debulebis sxvadasxva xerxiT dasabuTeba _
sakiTxis gadawyvetis sxvadasxva gzis Zieba da maTi analizi; dasabuTebis algebruli
da geometriuli xerxebis integracia. figuraTa alternatiuli gzebiT dayofisa
34
da konstruirebis gziT mniSvnelovani Teoriuli Sedegebis miReba. jgufuri
muSaobiT, TanamSromlobiT kvlevis warmoeba.
aucilebeli wina codna. piTagoras Teorema; kvadratis da samkuT xedis
farTobis gamoTvla, Semoklebuli gamravlebis foemulebi.
saWiro masala. saxelmZRvanelo; saxazavi, fanqari, makrateli; samuSao naxazebi,
saTadarigo furclebi.
aqtivobis aRwera. klasi davyoT jgufebad _ klasSi moswavleTa odenobis
gaTvaliswinebiT.
• dafaze vxazavT marTxkuTxa samkuTxeds, moswavleebs vTxovT Camoayalibon
piTagoras Teorema.
• mocemuli Teoremis Tanaxmad, ra damokidebulebaa kaTetebze agebuli
kvadratebis farTobebis jamebsa da hipotenuzaze agebuli kvadratis farTobs
Soris?
• mas Semdeg, rac movismenT pasuxs dasmul kiTxvaze, moswavleebs vTxovT
aagon aq dasaxelebuli kvadratebi.
jgufebs urigdebaT furclebi, Sesabamisad,
a); a) da b); g); d) da e) suraTebiT
(saxelmZRvanelo, gv. 32).
jgufebs vacnobT samuSaos Sinaarss: daasabuTon piTagoras Teorema maT xelT
arsebuli suraTis mixedviT.
SeuZliaT daWran (an warmoidginon rom daWres) figuraTa gamosaxulebebi.
miRebuli figurebis SeTavsebiT, an sxvadasxvagvari konstruirebiT (zogjer
suraTze gamosaxuli miniSnebebiT) unda SeZlon piTagoras Teoremis dasabuTeba.
magaliTad, jgufi, romelic muSaobs a) suraTis
mixedviT, Tu CamoaWris Tavis suraTs gamuqebul
samkuTxedebs, miiRebs rom darCenili kvadratis
farTobi c2-ia; Tavdapirvelad mocemulis _ (a+b)2,
CamoWrili samkuTxedebis farTobebis jamia 4. 12
ab,
anu 2ab.
miviReT, c2=(a+b)2–2ab, c2=a2+b2.
amave jgufma SeiZleba, moWrili samkuTxedebi
daawyos darCenil kvadratze ise, rom hipotenuzebi
kvadratis gverdebs SeuTavsdes ise, rogorc es
suraTzea gamosaxuli:
Tu moswavleebi gamosaxaven darCenili kvadratis
farTobs dafarebuli samkuTxedebisa da patara
kvadratis farTobebis jamiT, miiReben:
c2=4. ab2 +(a–b)2,
c2=a2+b2.
meore davaleba SeiZleba ase Sesruldes:
35
b) suraTidan Tu CamoWrian 4 cal marTkuTxa samkuTxeds, darCeba ori kvadrati,
romelTa gverdebia a da b, Sesabamisad, farTobebis jamia a2+b2.
xolo a) suraTze gamosaxul kvadrats Tu CamoaWrian aseTive 4 cal samkuTxeds,
miiReba kvadrati, romlis gverdia c, farTobia c2. radgan sawisi kvadratebi tolia,
amitom c2=a2+b2.
moswavleebi amis msgavsi araerTi kombinaciis mofiqrebas SeZleben.
aqtivobis gafarToeba. jgufebi axdenen TavianTi namuSevrebis prezentacias,
afaseben erTmaneTis namuSevrebs da SeniSnul nakls sajarod aRniSnaven, Semdeg ki
mTeli klasi muSaobs amocanis amoxsnaze.
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. moswavleebi axdenen debulebis dasabuTebis
algebruli xerxebis geometriul interpretacias; uviTardebaT erTi da imave
debulebis sxvadasxva xerxiT dasabuTebis, sakiTxis gadaWris sxvadasxva variantidan
ukeTesis SerCevis unari; uviTardebaT geometriuli xedva, konstruirebis unari.
am aqtivobas azrovnebis ganmaviTarebeli funqciac aqvs. aqtivobis Sefasebis
mniSvnelovan komponentebze zogierTi mosazreba pirveli sanimuSo gakveTilis
bolosaa gadmocemuli.
gakveTili 4
aqtivoba. debulebis dasabuTebis sawinaaRmdegos daSvebis xerxi.
reziume. moswavle gaixsenebs gamonaTqvamisa da sawinaaRmdego gamonaTqvamis
cnebebis Sinaarss; daeufleba winadadebis Camoyalilebas pirobiTi winadadebis
saxiT; gaecnoba debulebis WeSmaritobis dasabuTebis sawinaaRmdegos daSvebis
xerxs. gamoiyenebs am meTods zogierTi debulebis WeSmaritobis dasabuTebisas.
miiRebs gamocdilebas da ganiviTarebs unars misTvis sruliad ucnobi debulebebis
kvlevisas gamoiyenon damtkicebis es mZlavri meTodi.
aqtivobis mizani. gaecnos debulebis WeSmaritobis dasabuTebis arapirdapir
xerxs _ sawinaaRmdegos daSvebis xerxs da gamoiyenos is Sesabamis situaciaSi.
mniSvnelovnad Seuwyos xeli saazrovno unarebis mravalmxriv ganviTarebas.
aucilebeli wina codna. gamonaTqvamis cnebis Sinaarsi; gamonaTqvamis saxeebli
(WeSmariti da mcdari); gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvamis ageba.
saWiro masala. saxelmZRvanelo.
aqtivobis aRwera. moswavleebTan erTad vixsenebT gamonaTqvamis sawinaaRmdego
gamonaTqvamis agebis sqemas. Semdeg ki Cven mier SeTavazebuli konkretuli
gamonaTqvamebisTvis moswavleebi ageben sawinaaRmdegos. SeiZleba gamoviyenoT 1.3
paragrafis me-7 savarjiSo, an teqstis I punqtSi moyvanili gamonaTqvamebi.
gavamaxviloT yuradReba: WeSmariti gamonaTqvamis sawinaaRmdego mcdari da
36
piriqiT. aqac, cxadia, sailustracio savarjiSoebi unda gamoviyenoT. magaliTad,
WeSmariti gamonaTqvamis, `√2 iracionaluri ricxvia~, sawinaaRmdego gamonaTqvami
_ `√2 ar aris iracionaluri ricxvi~ _ mcdaria. es gamonaTqvami nimuSia
debulebisa, romelic ar aris Camoyalilebebuli pirobiTi winadadebis saxiT.
SevTaTazoT moswavleebs Camoayalibon ramdenime msgavsi debuleba da
warmoadginon isini pirobiTi winadadebis (Tu p, maSin q) saxiT. SeiZleba gamoviyenoT
me-10 nomris ramdenime savarjiSo. magaliTad, I _ yvela kompozitori momReralia
(Tu adamiani kompozitoria, maSin is momReralia)?
II _ paralelogramis diagonalebi erTmaneTiT Suaze iyofa (Tu oTxkuTxedi
paralelogramia, maSin misi diagonalebi erTmaneTiT Suaze iyofa).
Semdeg SeiZleba sxva tipis winadadebebis agebac: `Tu p, maSin q ~; `Tu p , maSin
q~ an `Tu p , maSin q ~. am savarjiSoebiT moswavleebi ukeT Cawvdebian mocemuli
aqtivobis sawyisi etapis arss.
venis diagramebis gamoyenebac vcadoT: I winadadebaSi kompozitorebis simravle
aRvniSnoT K asoTi, momRerlebis _
M asoTi. Tu vigulisxmebT, rom I
winadadeba WeSmaritia, maSin K-s yoveli
elementi M-is elementicaa, anu KÌM.
amrigad, K da M simravleebs diagramebiT
ase gamovsaxavT:
amiT xazgasmulia, rom K SeiZleba iyos M-is sakuTrivi qvesimravle, an K da M
iyos toli simravleebi.
mosalodnelia, rom gakveTilze mogviwevs yuradRebis gamaxvileba meore
diagramaze _ mocemuli winadadeba ar gamoricxavs, rom yvela momRerali
kompozitoria (miuxedavad imisa, rom realurad es ase ar aris _ Cvens winaswar
codnas am simravleebis Sesaxeb araviTari mniSvneloba ara aqvs).
diagramebiT gamosaxva Semdeg gakveTilebzec, magaliTad, kontrmagaliTiT
debulebis mcdarobis dasabuTebaSi dagvexmareba.
aseTi winaswari `moTelvis~ Semdeg moswavleebi mzad iqnebian axal Temaze
gadasasvlelad: debulebis dasabuTeba sawinaaRmdegos daSvebis xerxiT.
teqstSi SemoTavazebuli sqema SeiZleba magaliTze ganvixiloT. vTqvaT,
SevarCieT savarjiSo 12-is a) debuleba: Tu naturaluri ricxvis kvadrati iyofa
2-xe, maSin es ricxvi iyofa 2-ze.
• moswavleebs mivmarTavT, rom maT daasaxelon piroba da daskvna. pirobas
SeiZleba davarqvaT p, daskvnas q.
naturaluri ricxvi, aRvniSnoT n-iT da mivmarToT klass mis mimarT
Camoayalibos debuleba: Tu n2 iyofa 2-ze. maSin n iyofa 2-ze.
mTeli klasi unda Caebas daskvnis sawinaaRmdego gamonaTqvamis _ q -s agebaSi
da sawyisi debulebis sawinaaRmdego debulebis agebaSi: `Tu p, maSin q ~;
davuSvaT, rom es ukanaskneli debuleba WeSmaritia, anu `Tu n2 iyofa 2-ze,
maSin n ar iyofa 2-ze~.
kiTxvebi mTel klass, romelsac mTeli klasis analizi da dasturi unda
mohyves:
K M
K, M
37
• rogor SeiZleba CavweroT formulis saxiT, rom n ar iyofa 2-ze?
(n=2k–1, kÎn).
• ra saxisaa maSin n2? (n2=4k2–4k+1=4(k2–1)+1).
• iyofa Tu ara 2-ze n2?
• Tu q WeSmaritia, ra SeiZleba vTqvaT p-s WeSmaritobaze _ anu, ra daskvnamde
migviyvana Cvenma daSvebam?
amrigad, q ewinaaRmdegeba p-s, anu daSvebam migviyvana absurdamde, daSveba
mcdaria, e. i. `Tu p, maSin q~ debuleba WeSmaritia.
amis Semdeg moswavleebi damoukidebladac, an gverdiT mjdom TanaklaselTan
erTad, gaarTmeven Tavs 12 g) savarjiSos. SeiZleba klasSi amoixsnas 13 - 17
savarjiSoebidan ori, magaliTad 14 da 16 .
saSinao davaleba SeirCeva 8 - 18 savarjiSoebidan.
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. moswavle gaiwafeba mocemuli gamonaTqvamis
sawinaaRmdego gamonaTqvamis agebaSi, winadadebis pirobiTi saxiT CamoyalilebebaSi;
Seiswavlis debulebis sawinaaRmdegos daSvebis xerxiT dasabuTebis sqemas da
damoukideblad gamoiyenebs kidec ramdenime debulebis dasabuTebisas.
mocemuli aqtivoba saswavlo programiT gansazRvrul mimarTulebaTa
integraciasac emsaxureba da, sazogadod, misi gamoyenebis sfero scildeba
maTematikis sazRvrebs. warmodgenili aqtivoba sayuradReboa imiTac, rom is aris
azrovnebis mniSvnelovnad ganmaviTarebeli aqtivoba.
aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSlo gakveTilis bolos
warmodgenili rekomendaciebi.
gakveTili 5
aqtivoba: monacemTa mopoveba da TvalsaCinod warmodgena maTi Semdgomi
damuSavebisa da gamartivebis mizniT.
reziume: moswavleebi arCeven situaciaSi monacemebis mopovebis xerxebs,
zogierT SemTxvevaSi moipoveben monacemebs, an ukve mopovebuls warmoadgenen
cxrilebis da diagramebis (kerZod, histogramebis) saxiT.
aqtivobis mizani: ganuviTardes monacemTa mopovebis xerxis SerCevis,
mopovebuli monacemebis cxrilebis, diagramebis saSualebiT warmoadgenis unari.
alternatiuli meTodebidan, amocanis tipis mixedviT, xelsayreli meTodebis
SerCevis gamocdilebis miReba. gaiazros monacemTa TvalsaCinod warmodgenis
mniSvneloba, SeZlos ukve arsebuli aratrivialuri diagramebis analizi.
aucilebeli wina codna: diagramis ageba da wakiTxva.
saWiro masala: saxelmZRvanelo; monacemTa cxrilebi.
aqtivobis aRwera. moswavleebs vTavazobT, magaliTad, xuT cnobil sportsmens,
momRerals an msaxiobs Soris yvelaze popularulis gamovlenas. es SeTavazeba
SesaZloa klasSi erTgvar gamococxlebas da `xmovani fonis~ zrdas gamoiwvevs.
38
rogor mivaRwioT Sedegs? mivmarToT moswavleebs, rom Tavad SemogvTavazon
gamokiTxvis meTodi. erTi maTgani Camowers dasaxelebuli pirovnebebis saxelebs
da Seadgens sixSireTa cxrils. magaliTad, cxrilma SeiZleba miiRos aseTi saxe:
dasaxelebuli
adamianis saxelebi
sixSire sixSire
A ||| 3
B |||| 5
C |||| 4
D |||| |||| | 11
E ||| 3
D adamianma 11 xma miiRo da is yvelaze popularuli aRmoCnda.kiTxva: Tu gamokiTxulTa odenoba aris 100, eyofa Tu ara D-s 11 xma
liderobisTvis? moswavleebi gaaanalizeben, rom mniSvnelovania ramdeni miiRo D-m _ 11 xma, magram arsebiTia, ramdeni xmidan aris es Sedegi _ 11 xma mTeli xmebis ra nawilia. isini gaiazreben fardobiTi sixSiris mniSvnelobas. ukve Sedgenil sixSireTa cxrils davumatoT kidev erTi sveti _ fardobiT sixSireTa sveti da SevavsebinoT is moswavleebs.
Semdeg safexurze vTavazobT moswavleebs saxelmZRvanelos teqstis pirvel magaliTSi moyvanil monacemebs _ saqarTvelos trasebze moZravi msubuqi avtomobilebis mier 100 km-is gavlisas sawvavis xarjis Sesaxeb. es monacemebi dakvirvebis Sedegia. umjobesia es cxrilebi moswavleebs daurigdeT. cxrilebidan TvalnaTliv Cans, rom 60 avtomobilis monacemze dakvirveba Znelia. SevTavazoT, an, iqneb variantebidan klasma SearCios romelime da Seadginos sixSireTa cxrilebi. am cxrilebis TvalsaCinro warmodgena histogramiT mTel klass (pedagogis SesaZlo koreqtivebiT) ar gauWirdeba.
cxadia, cxrilebis Sedgena da histogramebis ageba, aratrivialur SemTxvevaSi umjobesia kompiuteris gamoyenebiT. am sakiTxebs wlis ganmavlobaSi araerTxel davubrundebiT da moswavleebi darwmundebian kompiuteris gamoyenebis upiratesobaSi.
klasSi sasurvelia saxelmZRvanelos saTanado teqstis II magaliTis ganxilvac,
SeiZleba Sesruldes $ 2.1-is 1 - 6 , 10 - 13 savarjiSoebidan romelime.
aqtivobis gafarToebis mizniT SevTavazoT diagramis mixedviT siSxireTa
cxrilebis Sedgena, magaliTad savarjiSo 7 an 8 .
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. moswavles gamoumuSavdeba monacemTa mopovebis xerxis SerCevis, mopovebuli monacemebis cxrilebiT da wdiagramebiT warmodgenis, maT Soris ufro xelsayrelis SerCevis, diagramis wakiTxvis unari. Sromatevadi cxrilebis Sedgenisas moswavleebs eqmnebaT ganwyoba _ kompiuteris gamoyeneba xelsayrelia; isini iZenen saTanado gamocdilebas.
am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis bolos
warmodgenili rekomendaciebi.
39
gakveTili 6
aqtivoba. maTematikis erT-erTi fundamenturi cnebis _ funqciis cnebis
Sinaarsis gacnoba.
• pirveli magaliTebi cnebis gamoyenebiTi aspeqtebis moZiebis mimarTulebiT.
reziume: klasi maswavleblis mier warmodgenili SesabamisobaTa magaliTebSi
eZiebs specialuri saxis Sesabamisobebs, romelTac mivyavarT funqciis cnebamde.
vazustebT, funqciis gansazRvris arisa da funqciis mniSvnelobebis simravlis
cnebebs.
moswavleebi asruleben savarjiSoebs funqciis mniSvnelobebis gamoTvlaze,
gansazRvris aris dadgenaze da pirvel sayuradRebo nabijebs dgamen funqciaTa
gamoyenebis mimarTulebiT.
aqtivobis mizani.
• moswavleebma kargad gaiazron da aiTvison funqciis cnebis Sinaarsi _
SeZlon ganasxvavon funqcia sxva tipis Sesabamisobebisgan.
• aiTvison funqciis gansazRvris aris cneba, saWiroebis SemTxvevaSi zogierTi
funqciis gansazRvris aris dadgena.
• daukavSiron funqcia praqtikul samuSaos _ SeZlon zogierTi procesis
funqciis saSualebiT aRwera.
aucilebeli wina codna:
• teqstis mixedviT asoiTi gamosaxulebis Sedgena.
• asoiTi gamosaxulebis mniSvnelobis gamoTvla masSi Semavali asoebis
mocemuli mniSvnelobebisTvis.
• ricxviTi simravleebi (N, Z, Q, R).• simravleebs Soris Sesabamisobis damyareba.
aqtivobis aRwera.
funqciis cnebis aRweramde moswavleebs mivmarTavT warmoadginon or simravles
Soris Sesabamisobis ramdenime nimuSi. magaliTad:
• yovel dasaxelebul ricxvs SevusabamoT Tavisi kvadrati: x → x2. es
Sesabamisoba SeiZleba asec CavweroT: y=x2.
• yovel dasaxelebul ricxvs SevusabamoT Tavisi kubi: x→x3, anu y=x3.
• kvadratis x gverds SevusabamoT amave kvadratis S farTobi.
• yovel adamians SevusabamoT Tavisi sisxlis jgufi.
es funqciis magaliTebia.
SesaZlebelia aseTi Sesabamisobac dasaxeldes: yovel dadebiT x ricxvs
SevusabamoT is ricxvi, romlis kvadrati x-is tolia. am Sesabamisobas funqciad
ar miviCnevT _ yovel x-s erTaderTi y ar Seesabameba.
vagrZelebT funqciis magaliTebis moyvanas:
y=2x+1, y=|x|.moswavleebi asaxeleben x-is mniSvnelobebs, erTi maTgani iTvlis y-is Sesabamis
mniSvnelobebs.
amis Semdeg moswavleebs vaZlevT dakvirvebis, daskvnebis gamotanis saSualebas,
vajamebT ganxilvis Sedegebs da warvudgenT moswavleebs funqciis cnebas.
moswavleTa inter p retaciebi SeiZleba aseTi iyos:
40
funqcia aris Sesabamisoba or simravles Soris, sadac I simravlis yoveli
elementi mxolod erTxel monawileobs;
an, y=f(x) aris funqcia, Tu x-is yovel mniSvnelobas Seesabameba y-is erTaderTi
mniSvneloba.
maTi pasuxebi sxvadasxvanairad JRers, magram erT azrs gamoxatavs. isini am
pasuxebisTvis Seqebas imsaxureben.
yuradRebas vamaxvilebT im SemTxvevaze, roca gansazRvris are dasaxelebuli
ar aris da Tavad vadgenT mas.
magaliTad, funqciis mniSvnelobebi SeiZleba gamoviTvaloT argume-
tis (x-is) nebisnieri mniSvnelobisTvis, garda x=5-isa, Sesabamisad, funqciis
gansazRvris area (-∞;5) (5;+∞) _ es argumentis dasaSveb mniSvnelobaTa simravlea.
aRwerili procesi saSualebas iZleva moswavleebma gaiazron sityva `dasaSvebis~
mniSvneloba funqciis cnebis aRwerisas.
masalis aTvisebis donis dadgenis mizniT moswavleebs SevTavazebT Tavad
moiyvanon funqciis magaliTebi, dagexmarebaT saxelmZRvaneloSi arsebuli
saTanado paragrafis savarjiSo 23 ($3.1), mniSvnelobaTa simravlis dadgenaSi
gasavarjiSeblad _ # 25 savarjiSo, teqstis magaliTebi 2, 3, 4, 6.
klasSi paragrafis amocanebis garda SeiZleba amoixsnas zogierTi 1 - 15 ,
18 amocanebidan.
aqtivobis gafarToeba.
moswavleebs SevTavazoT raime procesi, damokidebuleba aRweron funqciiT.
magaliTad, teqstis pirvel magaliTSi funqciiT aRwerilia saqonlis SeZenisas
gadaxdili Tanxis saqonlis odenobaze damokidebuleba, msgavsi amocanebia # 5 , #
8 , # 9 , # 14 , # 20 .
• Tvalsawieris gafarToebis mizniT SeiZleba moswavleebs SevTavazoT funqcia
mocemuli formulis saxiT da davavaloT moifiqron procesi, romelic am
funqciiT aRiwereba.
moifiqron mocemuli gansazRvris aris mqone funqciebis magaliTebi.
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. magaliTebis, praqtikuli amocanebis saSualebiT
funqciis cnebis aRweris procesSi moswavleebi aqtiur rols TamaSoben, Tavad
azusteben cnebis aRweris zogierT mniSvnelovan aspeqts. Tavad warmoadgenen
funqciis magaliTebs, im procesebs, romlebsac mocemuli funqcia aRwers.
savarjiSoebis saSualebiT moswavle unda gaiwafos funqciiT procesis
aRweraSi, funqciis gansazRvris aris, mniSvnelobaTa simravlis dadgenaSi.
am aqtivobiT moswavleebi safuZvels uyrian mravali saxis kvlevis maTematikuri
aparatis Seqmnas. am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis
bolos warmodgenili rekomendaciebi.
41
gakveTili 7
aqtivoba. kvadratuli funqcia, misi zogierTi Tviseba. samotivacio amocanebis
gacnobis kvalobaze pirveli cdebi funqciis kvlevisa da misi gamoyenebis sferoebis
moZiebis mimarTulebiT.
reziume. moswavleebi ecnobian kvadratul funqcias, misi saSualebiT aRweren
damokidebulebas cvladebs Soris. kerZo SemTxvevaSi ikvleven mis Tvisebebs. am
funqciis magaliTze iZenen mniSvnelovan gamocdilebas sazogadod funqciis
kvlevisa da misi gamoyenebis mimarTulebiT, eqstremumTan dakavSirebul amocanebSi.
aqtivobis mizani. gaecnos kidev erTi saxis funqcias _ kvadratul funqcias.
Aam etapze, kerZo SemTxvevaSi gamoikvlios misi Tvisebebi, SeZlos misi gamoyeneba
saTanado tipis amocanebis, procesebis maTematikuri modelirebisas.
aucilebeli wina codna. Ffunqciis cneba (gansazRvris are, mniSvnelobaTa
simravle); funqciis mniSvnelobis povna argumentis mocemuli mniSvnelobisTvis.
wrfis gantoleba, sakoordinato RerZebis paraleluri wrfeebis gantolebebi da
grafikebi.
saWiro masala. saxelmZRvanelo, kalkulatori, fanqari, saxazavi, ujriani
furclebi.
aqtivobis aRwera. Mmoswavleebs vTavazobT praqtikul amocanas. misi ganxilvis
Sedegad davadgenT, rom cvladebs Soris damokidebuleba aRiwereba kvadratuli
funqciiT. magaliTad, teqstSi ($3.10) moyvanil pirvel magaliTs. ra Seicvleboda
miRebul damokidebulebaSi, Tu SecvlidiT nakveTis zomebs? _ moswavleebs
vTavazobT Caweron am tipis zogadi saxis damokidebuleba. isini erToblivi
mcdelobiT mivlen aRniSnul saxemde. maT vTavazobT sxvadasxva funqciebisgan
SearCion kvadratuli funqciebi, daasaxelon koeficientebi, formalurad ar
aRiqvamdnen maT. magaliTad, y=cx2+ax+b saxis SemTxvevaSi C warmoadgens x2-is
koeficients. SeiZleba Tu ara am saxis kvadratuli funqciis warmodgenaSi gvqondes
C=0? SeiZleba Tu ara y=ax2+bx+c saxis kvadratuli funqciis C koeficienti iyos
nulis toli, an erTdroulad B da C koeficientebi iyos nulis toli.
moswavleebma Tavad gaixsenon msgavsi damokidebulebebi sidideebs Soris.
saxelmZRvaneloSi SemoTavazebulia magaliTi fizikidan. M
moswavleebs vTxovT daasaxelon kvadratuli funqciebi, roca b da c koeficientebi 0-is tolia, a koeficienti dadebiTia. SearCion maTgan ramdenime,
damoukideblad Seadginon argumentis da funqciis Sesabamisi mniSvnelobebis
cxrili da miRebuli wertilebi moniSnon sakoordinato sibrtyeze. sakuTari
da Tanaklaselebis namuSevrebis safuZvelze moswavleebi ivaraudeben grafikis
formas, varaudis Semowmebis mizniT, aviRebT x-is sxva mniSvnelobasac da vipoviT
y-is saTanado mniSvnelobas. maswavlebeli daudasturebs varauds _ es wiri
parabolaa. Kklasi erToblivad ikvlevs parabolas. MmagaliTad, gadis Tu ara
grafiki saTaveze? x-is ra mniSvnelobebisTvis aris funqcia zrdadi, klebadi? ra
cvlilebebs iwvevs parabolis Stoebis ganlagebaSi a koeficientis zrda/kleba?
ra mniSvnelobebis miReba SeuZlia x-s (kvadratuli funqciis gansazRvris are), y-s
(funqciis mniSvnelobaTa simravle)?
42
Semdeg Catardeba igive kvleva a<0 SemTxvevaSi. klasSi samuSao SeiZleba
SearCioT # 1 -# 4 , # 9 , # 13 -# 18 savarjiSoebidan, aqedanve SeirCeva saSinao
davalebac.
aqtivobis gafarToeba. Ddaxazuli parabolebidan SearCion ori _ a-s dadebiTi
da uaryofiTi mniSvnelobebiT, gaavlon y=3, y=2, y=0, y=–1, y=–3 wrfeebi da gamoitanon
daskvna a (a≠0) da n-is sxvadasxva mniSvnelobebisTvis parabolis da y=n wrfis
urTierTmdebareobis Sesaxeb. SeiZleba gaCndes kiTxva: n-is ra mniSvnelobebisTvis
kveTs x=n wrfe parabolas? Aam kiTxvaze dafiqrebisas moswavleebi kidev erTxel
gaiazreben kvadratuli funqciis Tvisebebs. am sakiTxebs SeiZleba daukavSiroT
savarjiSoebi # 5 -# 7 , # 10 -# 12 .
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. Mmoswavleebma sidideebs Soris zogierTi damoki-
debulebis aRsawerad amjerad gamoiyenes kvadratuli funqcia, SeZles misi zogadi
saxiT Cawera. kvadratuli funqciis Tvisebebis dadgenisas maT unviTardebaT
kvlevis unari. kvadratuli funqciis da misi Tvisebebis gacnobiT moswavleebs
gauZlierdaT praqtikuli amocanebis maTematikuri modelirebis aparati. am
funqciis magaliTze iZenen mniSvnelovan gamocdilebas sazogadod funqciis
kvlevisa da misi gamoyenebis mimarTulebiT, kerZod, eqstremumTan dakavSirebul
amocanebSi.
am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis bolos
warmodgenili rekomendaciebi.
gakveTili 8
aqtivoba: mTeli da wiladuri gantolebebis ganxilva _ kvlevis aparatis
gafarToeba da amiT amocanaTa im wris gafarToeba, romelTa Seswavla maTematikur
modelirebas eqvemdebareba. am tipis amocanebis rolis naTlad warmoCena da amiT
mZlavri motivaciis Seqmna sakiTxis Sesaswavlad (§ 4.1).
reziume: moswavleebi ixseneben mTel gantolebebs; ecnobian wiladur
gantolebebs; euflebian wiladuri gantolebebis mTel gantolebaze miyvanis xerxebs;
axdenen amocanis modelirebas wiladuri gantolebiT, xsnian maT da aanalizeben
miRebul Sedegs; iZenen gamocdilebas da analogiur, an sruliad axali tipis
amocanebSic Seecdebian gamoiyenon saTanado codna da unarebi.
aqtivobis mizani: moswavlem miiRos mniSvnelovani gamocdileba wiladuri
gantolebis SeswavlaSi, SeZlos saTanado amocanaTa gaanalizeba da mis amosaxsnelad
gantolebis Sedgena, amocanis pirobis mixedviT _ amoxsnili gantolebis fesvebidan
pasuxis SerCeva.
aucilebeli wina codna: gantolebisa da gantolebis fesvis cnebaTa arsis
codna; gantolebis amoxsna mamravlebad daSlis xerxiT; kvadratuli gantolebis,
bikvadratuli gantolebis amoxsna.
43
aqtivobis mimdinareoba: moswavleebs vTavazobT gantolebebs, romelTagan unda
amoicnon mTeli gantolebebi. gantolebebs, romlebic x–is Semcvel gamosaxulebas
mniSvnelSi Seicaven, wiladuri gantolebebi ewodeba.
vTavazobT or amocanas: I _ marTkuTxedis sigrZe siganeze 4,5 sm-iT metia,
farTobi _ 13 sm2-ia. ipoveT marTkuTxedis gverdebi da II _ amocana teqstis
pirveli punqtidan.
gaaanalizon es amocanebi da erToblivi gansjis gziT daiwyon svla misi amoxsnis
mimarTulebiT. algebruli meTodis mZlavri SesaZleblobebis imediT, mosalodnelia,
rom orive amocanaSi SemoiReben aRniSvnas (albaT I amocanaSi mouwevT marTkuTxedis
gverdis aRniSvna x-iT, II amocanaSi _ TanamSromlebis odenobis wlis dasawyisSi,
an wlis bolos) da Seadgenen gantolebebs.
romelia maTgan wiladuri? .
ra gamosaxulebaze gavamravloT am gantolebis orive mxare, rom mTel
gantolebaze miviyvanoT? x(x–6)-ze.
miiyvanen gantolebas mTel saxemde, gaamartiveben, amoxsnian miRebul kvadratul
gantolebas da miRebuli fesvebidan (x1=–18, x2=24) SearCeven amocanis pirobis
mixedviT pasuxs.
ras viTvaliswinebT pasuxis SerCevisas?
ra ricxvi SeiZleba iyos, magaliTad, moswavleTa odenoba? gadasaxdeli Tanxa?
amis Semdeg SeiZleba SevarCioT romelime savarjiSo ### 16 , ## 20 , ## 21 -dan.
Semdeg etapze SevTavazoT amosaxsnelad magaliTad, wiladuri gantoleba
. (teqstis me-2 punqti).
ra gamosaxulebaze gavamravloT gantolebis orive mxare, rom igi mTel
gantolebaze miviyvanoT? x(x–5)-ze.
gamravlebis da gamartivebis Semdeg xsnian miRebul x2–3x–10=0 kvadratul
gantolebas da miiReben fesvebs: x=5, x=–2. moswavleebi amowmeben amoxsnil
gantolebas da aRmoCndeba, rom x=5 gantolebas ar akmayofilebs _ gareSe fesvia.
erToblivi msjelobis sagani unda gaxdes gareSe fesvis gaCenis mizezi da misi
aRmoCenis saSualebebi. ucnobis ra mniSvnelobebs Soris veZioT gareSe fesvi? iqneb
jobs yvela miRebuli fesvi SevamowmoT xolme?
SeiZleba SevarCioT romelime savarjiSo # # 17 , # 18 , # 31 -dan. wiladuri
gantolebebis amoxsnaSi gawafvis mizniT SeiZleba SevarCioT savarjiSoebi ## 31 -#
38 -dan. maTganve SeirCeva saSinao davalebac.
aqtivobis gafarToeba:
vTavazobT amoxsnan x+ gantoleba: misi fesvebia 2 da 0,5. Semdeg amocana ##
42 , romlis maTematikur modelis Seqmnas maTve davavalebT _ x+ . aRmoCndeba,
rom gantolebas ara aqvs amonaxsni, anu ## 42 amocanaSi dasmuli kiTxvaze pasuxi
uaryofiTia.
rogori ricxvebia x da ? (Sebrunebuli).
44
mivaqcevinoT yuradReba: I SemTxvevaSi 2 da 12
Sebrunebuli ricxvebis jami 52
aRmoCnda, II SemTxvevaSi ar arsebobs iseTi Sebrunebuli ricxvebi, romelTa jami 32
-ia. davsvaT amocana: ra umcires mniSvnelobas SeiZleba Rebulobdes dadebiTi
ricxvis da misi Sebrunebulis jami?
moswavleebma unda gamoikvlion x+ 1x =A wiladuri gantoleba. misi mTel saxeze
miyvanis Semdeg x2–Ax+1=0, D=A2–4.
gantolebas aqvs amonaxsni, roca A2–4≥0, anu roca A≥2 an A≤–2. radgan x>0,
mocemul gantolebas aqvs fesvi, roca A≥2.
x+ 1x
-is umciresi mniSvnelobaa 2. x-is ra mniSvnelobisTvis miiRweva igi?
moswavleebs am samuSaos Sesrulebisas unda mivceT saSualeba imsjelon,
erTmaneTs mousminon, ifiqron damtkicebis gzebze. erToblivi msjelobis sagani
SeiZleba gaxdes aseTi amocana: vTqvaT, mocemuli ricxvisa da misi Sebrunebulis
jami aris 103
. ipoveT es ricxvi.
aq SeiZleba Cven Tavadac davasaxeloT ricxvi 3. SevamowmoT kidec, rom is
aris am amocanis amonaxsni da davsvaT kiTxva: aqvs Tu ara azri amocanis Semdgom
kvlevas, saTanado gantolebis Sedgenas? mosalodnelia, rom bevri dakmayofildeba
miRweuliT da Sewyvets sakiTxis Semdgom gamokvlevas. es amocana gvaZlevs karg
nimuSs muTematikuri modelirebis upiratesobis xazgasasmelad. SevadgenT saTanado
gatolebas x+ 1x
= 103
da mivakvlevT kidev erT fesvs 13 -s. is gantolebam _ wiladurma gantolebam
mogvaZebnina. ufro metic gviCndeba safuZvliani rwmena, rom amocanas sxva amonaxsni
ara aqvs.
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. mocemuli aqtivobis ganxorcielebis Semdeg
moswavle gadadgams mniSvnelovan nabijs _ miiRebs gamocdilebas wiladur
gantolebaTa amoxsnis dauflebaSi, misi saSualebiT amocanis modelirebaSi,
momavalSi mas elis axali sakiTxebi am mimarTulebiT, axali unarebis ganviTareba,
raTa mas SeeZlos dasaxelebuli tipis gantolebebis kvleva, gareSe fesvis aRmoCena,
gareSe fesvis gaCenis mizezis gaanalizeba. bolo etapze Sesrulebuli samuSao
emsaxureba analizis, kvlevis unaris ganviTarebas. garda wiladuri gantolebis
amoxsnisa da gamokvlevisa, moswavle am dros eufleba optimizaciis amocanis
gadawyvetis erT-erT meTods, rac metad aqtualuria.
am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis bolos
warmodgenili rekomendaciebi.
45
gakveTili 9
aqtivoba. meore xarisxis orucnobiani gantolebis da saTanado geometriuli
warmodgenebis ganxilva; gamosaxva sakoordinato sibrtyeze, safuZvliani
gamocdilebis miReba am sakiTxebTan dakavSirebuli mravalricxovani amocanebis
Seswavlis win. (§4.3)
reziume. moswavlem SeZlos meore xarisxis orucnobiani gantolebis amocnoba,
misi amonaxsnebis (maTi arsebobis SemTxvevaSi) gamosaxva sakoordinato sibrtyeze.
mocemuli Tvisebis mqone wertilTa geometriuli adgilis mixedviT saTanado
gantolebaTa nimuSebis ganxilva da axali gantolebebis miReba, maTi gamokvleva,
grafikis ageba.
aqtivobis mizani. moswavlem SeZlos meore xarisxis orucnobiani gantolebis
grafikis winaswari, savaraudo eskizis daxazva da Semdgomi dazusteba fesvebis da
zogierTi mniSvnelovani wertilis mdebareobis gaTvaliswinebiT.
garkveuli Tvisebis mqone wertilTa geometriuli adgilis Sesabamisi gantolebis
dadgeniT daeuflos sazogadod wiris gantolebis daweris princips, gaiRrmavos
geometriuli warmodgenis unari; ukeT gaiazrosG amocanis modelirebis kidev erTi
meTodi da geometriuli warmodgenebis CarTvis mniSvnelovani roli.
aucilebeli wina codna. wrfivi orucnobiani gantoleba, misi amonaxsni; ricxvTa
wyvilebis geometriuli interpretacia; manZili or wertils Soris sibrtyeze.
aqtivobis mimdinareoba. CamoTvlili gantolebebidan moswavleebma amoicnon
orucnobiani gantolebebi.
romelia maT Soris wrfivi, anu romeli Seicavs cvladebs mxolod I xarisxSi?
ra aris im wertilTa geometriuli adgili, romelTa koordinatebic aseT
gantolebas akmayofilebs? (wrfe)
rogori saxe aqvs sazogadod wrfiv orucnobian gantolebas? (ax+by=c).
CamoTvlili gantolebebidan ivaraudon romeli SeiZleba iyos II xarisxis
orucnobiani gantoleba? davuzustebT ra saxisaa II xarisxis orucnobiani gantoleba.
ra aris orucnobiani gantolebis amonaxsni?
daasaxelon, magaliTad, y=x2 gantolebis ramdenime amonaxsni, erTad imsjelon
misi amonaxsnebis simravlis Sesaxeb, ganalagon Sesabamisi wertilebi sakoordinato
sibrtyeze. ra wiri miiReba? (parabola)
is faqti, rom miRebul gantolebas aqvs amonaxsnTa usasrulo odenoba, niSnavs
Tu ara, rom gantolebis amonaxsnia ricxvTa nebismieri wyvili? Tu xy=6 _ II
xarisxis orucnobiani gantolebis ramdenime amonaxsns ganvalagebT sakoordinato
sibrtyeze, ra wirze ganlagdeba isini? (hiperbolaze).
es ganxilva mimdinareobs erToblivad, mTeli klasis ZalisxmeviT da erTad
avagebT wirs. avagebT agreTve xy=–2 hiperbolasac.
ganxilul SemTxvevebSi amonaxsnebis sapovnelad x-is mniSvnelobebis mixedviT
moswavleebi pouloben y-is Sesabamis mniSvnelobebs da gamosaxaven sakoordinato
sibrtyeze saTanado wertilebs. sasurvelia dadebiT x-ebTan erTad ganvixiloT maTi
mopirdapire mniSvnelobebic. mivaqcioT yuradReba: I SemTxvevaSi ( y=x2 SemTxvevaSi)
(0; 0) gantolebis amonaxsnia, II SemTxvevaSi _ ara. axsnan am faqtis geometriuli
Sinaarsi.
46
axla ki SevecadoT wiris wertilTa Tvisebis mixedviT davweroT wiris gantoleba. magaliTad, ra gantolebiT aRiwereba:
a) x da y RerZebidan tolad daSorebuli wertilTa geometriuli adgili? (y=x, an y=–x wrfe);
b) im wertilTa geometriuli adgili, romelTa koordinatebis kvadratebi tolia? y2=x2. es gantoleba aRwers y=x da y=–x wrfeebis erTobliobas;
g) im wertilTa geometriuli adgili, romlebic y RerZidan orjer meti manZiliTaa daSorebuli, vidre x RerZidan?
Tu saZiebel wertilebs M(x; y)-iT aRniSnaven, maSin pirobiT |x|=2|y|, anu y=0,5x an y=–0,5x.
aseTi Tvisebis mqone wertilebis geometriuli adgili saTaveze gamavali ori wrfis erToblioba yofila.
saWiroebis SemTxvevaSi moswavleebs daexmarebiT kiTxvebiT: ra manZilia M(x; y) wertilidan x RerZamde? (|y|), y RerZamde? (|x|).
d) im wertilTa geometriuli adgili, romlebic 3 erTeuliTaa daSorebuli koordinatTa saTavidan? (√x2+y2 =3, anu x2+y2=9). saTavidan tolad daSorebuli wertilebi wrewirze Zevs _ wrewirs qmnis. es wrewiris gantolebaa centriT saTaveSi, radiusiT 3.
e) wertilTa geometriuli adgili, romlebic 2 erTeuliTaa daSorebuli (3; 4) wertilidan?
moswavleebs ukve gamoumuSavdebaT kvlevis Catarebis garkveuli gamocdileba da klasi erToblivi ZalisxmeviT daZlevs am amocanas.
saZiebeli wertilebi M(x; y)-iT aRvniSnoT.miviRebT, √(x–3)2+(x–4)2=2 , anu (x–3)2+(y–4)2=4.ra wiris gantoleba miviReT? wrewiri centriT (3; 4), radiusiT 2.v) mivmarTavT moswavleebs daweron im wrewiris gantoleba, romlis centria
(a; b) da radiusi r.
klasSi samuSaod da saSinao davalebad SeiZleba SeirCes savarjiSoebi ## 1 -# 20 -dan.
aqtivobis gafarToeba. aqtivobis gaRrmavebis mizniT SeiZleba amovxsnaT
# 7 , # 8 da Semdeg # 21 savarjiSo. am savarjiSoze muSaobisas moswavleebi iyeneben koordinatTa meTods, algebrul meTodebs, aanalizeben wrewiris SesaZlo mdebareobis parametris mniSvnelobaze damokidebulebas.
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. mocemuli aqtivobisas moswavle ifarTovebs amocanis modelis Seqmnis SesaZleblobas. kerZod, eufleba mocemuli Tvisebis mqone wertilTa geometriuli adgilis, sazogadod garkveuli wiris gantolebis daweris meTods da am gantolebis mixedviT sakoordinato sibrtyeze wiris grafikulad gamosaxvas, iZens gamocdilebas, saTanado unarebs. am samuSaos Sesrulebisas iyenebs algebrul da geometriul meTodebs integrirebulad. uviTardeba geometriuli warmodgenebi da kvlevis, analizis unari, umtkicdeba rwmena, rom kvlevis maTematikuri aparatis gamoyenebiT mravali sayuradRebo, sakmaod rTuli amocana xdeba daZlevadi. kvlevis mravali meTodis codna ki aiolebs amocanis amoxsnas (amaSi erTxel kidev darwmundebian moswavleebi, roca geometriuli adgilis ZiebaSi CarTaven sxvadasxva meTods).
am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis bolos
warmodgenili rekomendaciebi.
47
gakveTili 10
aqtivoba. xdomilobaTa namravli. damoukidebel xdomilobaTa namravlis albaToba (§6.3).
reziume. magaliTebis ganxilviT moswavleebi ecnobian xdomilobaTa gam rav-lebis operacias _ ukavSireben mas simravleTa TanakveTis operacias, da moukidebel xdomilobaTa namravlis albaTobis gamosaTvlel formulas; ganixilaven da xsnian saTanado mravalferovan praqtikul amocanebs _ iwafebian namravlis albaTobis gamoTvlaSi, xdomilobebis damoukideblobis dadgenaSi;
aqtivobis mizani. Mmoswavleebi gaecnon xdomilobaTa gamravlebis operacias;gaecnon damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis gamosaTvlel
formulas;gaiwafon damoukidebel xdomilobaTa namravlis gamosaTvleli formulis
gamoyenebaSi; SeZlon damoukidebeli da damokidebuli xdomilobebis garCeva. amocanebSi
SeZlon jamisa da namravlis, sawinaaRmdego xdomilobebis albaTobebis gamosaTv-leli formulebis kombinirebulad gamoyeneba, problemis gadaWris alternatiuli gzebis moZieba, miRebuli Sedegebis Semowmeba da Sejameba.
aucilebeli wina codna. Mmoswavles unda SeeZlos simravleebis sxvadasxva saxiT warmodgena (maT Soris venis diagramebiT); moqmedebebi simravleebze (gaerTianeba, TanakveTa, damateba); kombinatoruli gamoTvlebis Catareba; xisebri diagramis gamoyeneba; SeeZlos martivi eqsperimentis Sesabamisi elementarul xdomilobaTa sivrcis dadgena da masSi mocemuli xdomilobis xelSemwyobi elementaruli xdomilobebis SerCeva, xdomilobis albaTobis dadgena; araTavsebadi xdomilobebis jamis albaTobis gamoTvla.
aqtivobis aRwera. gakveTils viwyebT aucilebeli wina codnis SemowmebiT: moswavleebs mivmarTavT moiyvanon SemTxveviTi xdomilobebis magaliTebi. SeiZleba Tavad Cven davusaxeloT raime eqsperimenti da maT davavaloT Seadginon elementarul xdomilobaTa sivrce. am sivrcis Sedgenisas, cxadia, mocemuli amocanis mixedviT SesaZlebelia, aracalsaxa Sedegebis miRebac. esec saukeTeso saSualebas miscems mTel klass, daubrundnen am umniSvnelovanes cnebas da daazuston misi detalebi. mas Semdeg rac konkretuli amocanis konkretuli sivrce SeirCeva, gadavalT Semdgom ganxilvaze. magaliTad, ori kamaTlis gagorebisas mosuli ricxvebis wyvilebis, an mosuli ricxvebis jamis Seswavlisas tolSesaZlebelia Tu ara elementaruli xdomilobebi I SemTxvevaSi, II SemTxvevaSi?
ganvixiloT raime xdomiloba am eqsperimentisas. magaliTad, A – wyvilebis mosvla, B _ mosuli ricxvebis jami 7-ia, C _ mosuli ricxvebidan TiToeuli luwia da sxva (moswavleebi maT Tavadac daasaxeleben). moswavleebi erToblivi ZalisxmeviT daasaxeleben cdis Sesabamis elementarul xdomilobaTa sivrces da SerCeuli xdomilobis Sesabamis qvesimravles, TiToeul SemTxvevaSi gamoTvlian albaTobas.
moswavleebTan erTad davafiqsiroT _ albaTobis gamoTvlisas yovelTvis Tu aris saWiro, elementarul xdomilobaTa sivrcis elementebis CamoTvla? iqneb mxolod maTi odenobis dadgenaa sakmarisi? magaliTad, `orniSna (samniSna, xuTniSna) ricxvebidan SemTxveviT SerCeuli ricxvis CanawerSi mxolod kenti cifrebia~ xdomilobis albaTobis gamoTvlisas rogor daviTvaloT xelSemwyob SemTxvevaTa
48
odenoba? am kiTxvaze pasuxis misaRebad movuwodoT klass racionaluri gziT moiZios saZebni ricxvi.
orniSna ricxvebidan alalbedze ricxvis SerCevis eqsperimentisas ganvixiloT xdomilobebi:
A _ ricxvi 3-is jeradia, B – ricxvi 5-is jeradia.moswavleebs mivmarTavT daasaxelon A+B xdomiloba, gamosaxon A da B
simravleebi venis diagramebiT. ra simravleESeesabameba A+B xdomilobas, ra aris A∩B simravle? _ am magaliTiT SeiZleba aRvweroT xdomilobebis gamravlebis (A⋅B) operacia, Semdeg ki ramdenime magaliTiT ganvamtkicoT SeZenili codna _ savarjoSo 5.
paragrafSi ganxiluli birTvebisa da kenWebis Sesaxeb eqsperimentis magaliTze Semogvaqvs damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis gamosaTvleli
formula. am formulis gamoyenebaSi moswavleebi kidev ufro daxelovndebian -
gaiwafebian savarjiSoebiT: ## 4 ,# 7 ,# 10 ,# 14 .
`s~ ganyofilebaSi aRwerili magaliTiT kidev erTxel xazs gavusvamT
xdomilobebis damoukideblobasa da araTavsebadobas Soris gansxvavebas _
AmivmarTavT moswavleebs araTavsebadi xdomilobebi venis diagramebiT gamosaxon.
iqve SeiZleba ganvixiloT amocanebi: # 1 , # 2 , # 3 , # 6 .
# 23 , # 24 , # 27 savarjoSoebic karg samsaxurs gauwevs moswavleebs araTavsebadi
xdomilobebis jamis, damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis ukeT
gaazrebasa da maT gamoTvlaSi, damoukidebeli xdomilobebis amocnobaSi. saSinao
davaleba SeirCeva ## 1 -# 33 -dan darCenili savarjiSoebidan _ klasis maTematikuri
momzadebis donis mixedviT.
aqtivobis gafarToeba. Aaqtivobis gafarTovebis mizniT SeiZleba SeirCes
eleqt ronul sqemaSi denis gavlasTan dakavSirebuli savarjiSo (## 34 ). Aaq, sxva
formulebTan erTad, moswavleebs mouwevT sawinaaRmdego xdomilobis albaTobis
formulis gamoyeneba, damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis
formulis gamoyeneba 2-ze meti xdomilobis SemTxvevaSi. ## 35 savarjiSo
SeiZleba saSinao davalebad mivceT. am amocaniT gveZleva kargi SesaZlebloba
sabunebismetyvelo saxis amocanebis maTematikuri kvlevis, amoxsnis da miRebuli Sedegis gaanalizebis.
aqtivobis ganxilva-Sefaseba. Aam aqtivobis Sedegad moswavle SeZlebs xdomilobebze Sekrebis, gamravlebis operaciebis ganxorcielebas, mocemulis sawinaaRmdego xdomilobis dasaxelebas _ Sesabamis elementarul xdomilobaTa simravleebis venis diagramebiT gamosaxvas. Ggaiwafeba araTavsebadi xdomilobebis jamis, damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis gamoTvlaSi, damoukidebeli xdomilobebis amocnobaSi. daukavSirebs miRebul codnas sxvadasxva saxis amocanebs, maT Soris _ fizikur amocanas. DdaZlevs proeqtze (saCogburTo matCis msvlelobisas sportsmenebis mogebis albaTobebis SefasebasTan dakavSirebuli) muSaobisas warmoqmnil problemebs, am aqtivobis Sedegad moswavleTa albaTuri azrovnebis ganviTarebas kidev erTi mZlavri impulsi miecema.
am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis bolos warmodgenili rekomendaciebi.
49
Tavi I
erovnul saswavlo gegmaSi I-VI klasebSi ricxvis cnebis swavleba Semdegi
sqemiTaa mocemuli: mTeli arauaryofiTi ricxvebi da maTi Canawerebi (cifrebis
saSualebiT), dadebiTi racionaluri ricxvebi da maTi Canawerebi (wiladebi,
aTwiladebi). procentic miCneulia racionaluri ricxvis Caweris erT-erT formad.
vicavdiT ra aRniSnuli gegmebis moTxovnebs, uaryofiTi ricxvebis sistematuri
gadmocema VII klasis saxelmZRvaneloSi daviwyeT.
ricxvebis Seswavla moswavleTa maTematikuri momzadebis safuZvelia; isini
swavlebis procesSi ecnobian naturalur ricxvebs, mTel da racionalur ricxvebs,
eqmnebaT warmodgena iracionalur ricxvebze. ricxvTa Seswavlisas moswavleebs
uyalibdebaT da umuSavdebaT gamoTvlis Cvevebi. ricxvis cnebis swavlebisas
Cven mudmivad vukavSirebT TvalsaCino geometriul warmodgenebs, grafikul
ilustaciebs, sxvadasxva yofiT sakiTxebs.
am TavSi xdeba ricxvebis Caweris ukve Seswavlili formebis gameoreba, ricxvis
cnebis Semdgomi gafarToeba _ iracionaluri ricxvis gacnoba.
Cven am etapze SeuZleblad migvaCnia namdvil ricxvTa mkacri Teoriis
gadmocema _ namdvil ricxvTa struqturis, dalagebis, moqmedebaTa gansazRvrisa
da am moqmedebebis Tvisebebis mkacri maTematikuri damtkiceba xSirad umaRlesi
skolis maTematikis programaSic ar aris gaTvaliswinebuli. Tumca aRvniSnavT,
rom iracionaluri ricxvebisTvis ariTmetikuli operaciebs aqvs igive Tvisebebi,
rac racionaluri ricxvebisTvis.
Cven arc racionalur ricxvTa simravlis agebis maTematikuri Teoria gvaqvs
mocemuli. imedi gvaqvs maswavleblebi kargad icnoben ricxviTi sistemis agebis
sxvadasxva gzas. es daexmareba maT swavlebis procesSi Tavidan aicilon Secdomebi,
romlebic racionaluri da iracionaluri ricxvebis maT CanawerebTan gaigivebam
SeiZleba gamoiwvios. erT-erTi xerxi, romelic gamoiyeneba maTematikaSi, aris
ganzogadebis procesi, romelic ekvivalentobis mimarTebis gansazRvrisa da
ekvivalentobis klasis saSualebiT axali obieqtis SemoRebas ukavSirdeba.
magaliTad, racionaluri ricxvis (wiladebSi ekvivalentobis mimarTebis
SemoRebis Semdeg) ekvivalentobis klasad warmodgena, iracionaluri ricxvis _
fundamenturi mimdevrobis klasad (an gankveTis erT-erT klasad) da a.S.
es sakiTxebi gadmocemulia im saxelmZRvaneloebSi, romlebic umaRlesi
pedagogiuri saswavleblebisTvisaa gankuTvnili. magaliTad, [20].
axla SegaxsenebT racionalur ricxvTa mxolod im ZiriTad Tvisebebs,
romlebiTac srulad aRiwereba am ricxvTa simravle _ Q. Qes dagvexmareba namdvil
ricxvTa R simravlisa da kompleqsur ricxvTa C simravlis ukeT gaazrebaSic
(pedagogebis gadamzadebis programa kompleqsur ricxvebsac moicavs).
50
qvemoT, yvelgan a, b da c asoebiT racionaluri ricxvebia warmodgenili, `racionalur ricxvebs~ Semoklebis mizniT `ricxvebiT~ movixseniebT.
1. nebismieri a da b-sTvis arsebobs ricxvi, romelsac a da b-s jami ewodeba; misi aRniSvnaa: a+b.
2. nebismieri a da b-sTvis a+b=b+a (Sekrebis komutaciurobis _ gadanacvle-badobis Tviseba).
3. nebismieri a, b da c-sTvis (a+b)+c=a+(b+c). (Sekrebis asociaciurobis _ jufTebadobis Tviseba).
4. arsebobs ricxvi, romelic neitraluria Sekrebis mimarT, mas nuli ewodeba, misi aRniSvnaa 0. am ricxvs aqvs Tviseba: nebismieri a-sTvis, a+0=a.
5. nebismieri a-sTvis arsebobs erTaderTi ricxvi, romelsac a-s mopirdapire ricxvi ewodeba; igi aRiniSneba -a-Ti da iseTia, rom a+(–a)=0.
6. nebismieri a da b-sTvis arsebobs ricxvi, romelsac a da b-s namravli ewodeba; misi aRniSvnaa a.b an ab.
7. nebismieri a da b-sTvis ab=ba (gamravlebis komutaciurobis Tviseba).8. nebismieri a, b da c-sTvis (ab)c=a(bc) (gamravlebis asociaciurobis Tviseba).9. nebismieri a, b da c-sTvis a(b+c)=ab+ac (gamravlebis distribuciulobis
(ganrigebadobis) Tviseba Sekrebis mimarT; mokled _ ganrigebadobis Tviseba.10. arsebobs ricxvi, romelic neitraluria gamravlebis mimarT. mas erTeuli
ewodeba, aRiniSneba 1-iT. am ricxvs aqvs Tviseba: nebismier a-sTvis, 1⋅a=a.11. 1≠0.12. 0-sgan gansxvavebuli nebismieri a-sTvis arsebobs erTaderTi ricxvi,
romelsac a-s Sebrunebuli ewodeba, aRiniSneba a–1–iT da romlisTvisac a.a–1=1.dasaxelebul 12 Tvisebas velis aqsiomebsac uwodeben. radgan racionalur
ricxvebs es Tvisebebi aqvs, amitom, amboben _ racionaluri ricxvebi qmnis vels _ QQ velia.
Semdegi oTxi TvisebiT xazgasmulia, rom Q simravle dalagebuli velia.13. nebismieri a da b-sTvis Semdegi sami mimarTebidan: a=b, a<b da b<a mxolod
erTi mimarTebaa WeSmariti, DdanarCeni ori mcdaria.14. Tu raime a, b da c ricxvebisTvis a<b da b<c, maSin a<c.15. Tu raime a, b da c ricxvebisTvis a<b,B maSin a+c<b+c.16. Tu raime a, b da c ricxvebisTvis a<b da c>0, maSin ac<bc.
Semdeg _ me-17 Tvisebas arqimedes aqsiomasac uwodeben.
17. yoveli a ricxvisTvis arsebobs iseTi k mTeli ricxvi, rom a<k.
bolo _ me-18 ZiriTadi Tviseba migviTiTebs, rom nebismieri racionaluri ricxvi ori mTeli ricxvis fardobas warmoadgens. TviT saxelwodebac `racionaluri~ modis `ratio~-dan _ fardobidan.
18. nebismieri racionaluri a ricxvisTvis arsebobs iseTi mTeli n ricxvi, n≠0, rom na mTeli ricxvia.
dasasrul SevniSnavT, rom 1-12 Tvisebebi axasiaTebs namdvil da kompelqsur ricxvebsac, 13-17 Tvisebebi aqvs namdvil ricxvebsac, kompleqsurs _ ara. me-18 TvisebiT ki ar xasiaTdeba arc R da arc C simravle.
1-18 Tvisebebze dayrdnobiT SeiZleba davasabuToTO racionaluri ricxvTa sxva
mravali _ TqvenTvis kargad nacnobi Tviseba.
51
1.1. racionaluri ricxvebi
mizani: gaixsenon naturalur, mTel, racionalur ricxvTa simravleebi. SeZlon
maT Soris mimarTebebis warmodgena venis diagramebiT; racionaluri ricxvebis
Cawera sxvadasxva formiT; Seafason mocemul situaciaSi romeli formaa ufro
xelsayreli, SeZlon sxvadasxva saxiT Cawerili ricxvebis Sedareba, gamoiyenon
SeZenili codna yofiTi, sabunebismetyvelo da sxva saxis amocanebis amoxsnisas;
gamoTqvan varaudebi da Seamowmon isini sxvadasxva konkretul SemTxvevaSi.
paragrafi ricxvTa sistemebis gafarToebis mokle mimoxilvaa. es Zveli
masalis gameoreba da sistematizaciacaa. misi samive punqtis ganxorcieleba
SeiZleba sam gakveTilze moxerxdes. ufro dawvrilebiT am sakiTxebs SeiZleba
gaecnoT me-3 punqtSi mocemul proeqtSi dasaxelebul wyaroebSi.
1 - 10 testebidan ramdenime (magaliTad, 3 , 6 , 9 ) klasSi amoixsneba,
danarCeni saSinao davalebad SeiZleba gamoiyenoT.
3 testze muSaobisas SeiZleba maRali Sefaseba mivceT moswavles, romelic
SeZlebs n, Z da Q simravleebs Soris damokidebulebis venis diagramiT gamosaxvas,
gaakeTebs saTanado komentarebs.
amave gakveTilze movaswrebT me-2 punqtze muSaobasac: moswavleebi
ixseneben wiladis aTwiladis saxiT Caweras mricxvelis mniSvnelze gayofiT.
saxelmZRvaneloSi sxva xerxicaa warmodgenili.
moswavleebi dafaze wiladebs gadaweren aTwiladebis saxiT, Semdeg axdenen
maT klasifikacias (me-2 punqtSi warmodgenili cxrilis msgavsad) wiladebad,
romlebic Caiwereba sasruli aTwiladis saxiT da wiladebad, romlebic Caiwereba
usasrulo perioduli aTwiladis saxiT. mniSvnelebis martiv mamravlebad daSlaze
dakvirvebiT mosalodnelia, moswavleebma gamoTqvan varaudi, romeli wiladi
Caiwereba sasruli aTwiladis saxiT, romeli _ usasrulo perioduli aTwiladis
saxiT. varaudis gamoTqma waxalisdeba maRali quliT.
dafaze davtovoT wiladis aTwiladad gadasawerad Sesrulebuli erT-erTi
gayofa, magaliTad,
masze dakvirvebiT SevecadoT gamoTqmuli varaudis dasabuTeba. damxmare
kiTxvebia, magaliTad,
_ ramdeni gansxvavebuli naSTi SeiZleba miviRoT 7-ze gayofisas?
_ gayofis procesSi sul didi ramdeni safexuris Semdeg daiwyeba naSTebis
gameoreba?
52
moswavleebma SeiZleba dasabuTeba ganazogadon nebismieri SemTxvevisTvis, es
procesi am asakobrivi safexurisTvis azrovnebis maRali donis Sesabamisia da,
bunebrivia, masSi monawile moswavleebidan aqtiurebi da warmatebulebi Sefasdebian
maRali qulebiT.
saSinao davalebad SeiZleba davumatoT 15 - 22 savarjiSoebi.
momdevno gakveTili wina gakveTilze ganxorcielebuli aqtivobis gafarToebaa:
• vixsenebT racionaluri ricxvis Caweris kidev erT formas _ procents.
moswavles ukve SeuZlia erTi da igive ricxvi Caweros sami saxiT _ wiladiT,
aTwiladiT, procentiT, savarjiSoebi _ 12 , 25 .
• me-2 punqtSi ganxiluli 1 , 2 , 3 magaliTebiT (an maTi msgavsi
magaliTebiT) moswavle eufleba aTwiladis wiladis saxiT Caweras (savarjiSo 23). • iwafeba racionaluri ricxvebis ricxviTi wrfis wertilebiT gamosaxvaSi
(savarjiSoebi 43 - 46 , 31 , 32 ).
• 41 , 42 savarjiSoebiT moswavle midis mniSvnelovan daskvnamde, rom
nebismier or racionalur ricxvs Soris aris racionaluri ricxvebis usasrulo
odenoba.
33 - 40 savarjiSoebiT xdeba SeZenili codnis gamoyeneba sxvadasxva situaciaSi.
am savarjiSoebis nawili SeiZleba klasSi amoixsnas, nawili _ saSinao davalebd
mieces.
maswavlebels SeuZlia savarjiSoebis mimdevroba mosazrebiT, klasis SesaZ leb-lobebis gaTvaliswinebiT Secvalos.
paragrafis me-2 punqtSi saubaria racionaluri ricxvebis Caweris saxeebze.aTwiladis saxiT wiladis Cawerisas warmodgenili magaliTebis analiziT da
wina wels miRebuli gamocdilebiT moswavleebi gamoTqvamen varauds: Tu ukveci wiladis mniSvnels 2-isa da 5-isgan gansxvavebuli sxva raime martivi gamyofi ara aqvs, maSin wiladi Caiwereba sasruli aTwiladis saxiT. winaaRmdeg SemTxvevaSi _ usasrulo perioduli aTwiladis saxiT.
axla vimsjeloT im varaudis Sesaxeb, romelic miRebuli wiladis usasrulo periodul aTwiladad warmodgenisas periodSi cifrebis odenobas exeba.
vTqvaT, ukveci wiladis mniSvneli aris n. mricxvelis n-ze gayofisas, Tu ganayofis aTwiladi nawilis raime TanrigSi 0-ia, anu gayofisas saTanado naSTi 0-ia, wiladi sasruli aTwiladis saxiT Caiwereba. 0-sgan gansxvavebuli naSTebis odenoba aris n–1. amitom n-ze gayofisas n–1 odenobis gansxvavebul naSTze mets ver miviRebT. amrigad, romelime naSTi (vTqvaT, l) gameordeba da amitom misi Semdgomi naSTebic imave TanamimdevrobiT gameordeba, rac iyo l-mde. es aTwiladis periodulobaze miuTiTebs. Sesabamisad, perioduli aTwiladis periodSi Semavali cifrebis odenobac (n–1)-ze meti ver iqneba (dirixles principi).
saxelmZRvaneloSi moyvanilia perioduli aTwiladis wiladis saxiT Caweris magaliTebi. ganvixiloT kidev erTi _ specialuri saxis perioduli aTwiladi: 0,(9), CavweroT is wiladis saxiT. SemoviRoT aRniSvna _ 0,(9)=n, maSin 10n=9,(9), 10n=9+0,(9), 10n=9+n, saidanac n=1, 0,(9)=1.
analogiurad miviRebT, rom nebismieri peroduli aTwiladi, romlis periodia 9, Caiwereba sasruli aTwiladis saxiTac. magaliTad, 6,91(9)=6,92; 7,(9)=8. aseTi Tvisebisaa mxolod 0 da 9 periodis aTwiladebi. maT Semdgom mxolod sagangebod ganvixilavT xolme.
53
moyvanilia ricxvebis Caweris sxva formebic: standartuli, procenti.
21 mocemul formulaSi unda Casvan R-is mniSvneloba. umjobesia gamoiyenon
misi Caweris standartuli forma: R=6,37⋅105.
pasuxi: S≈4⋅3,14⋅(6,37⋅105)2≈5,1⋅1012(km2).amocanis amoxsnis procesSi moswavles uviTardeba formulis gamoyenebisa da
konkretul monacemTan muSaobis unari. saboloo Sedegis saxis mixedviT is kidev
erTxel daafiqsirebs ricxvis standartuli formiT Caweris upiratesobas.
23 g) SemoviRoT aRniSvna: 1,(9)=n, maSin 19,(9)=10n, 18+1,(9)=10n, 18+n=10n, saidanac
n=2, 1,(9)= 21 .
z) SemoviRoT aRniSvna: 1,3(4)=n, maSin 13,(4)=10n, 134,(4)=100n, 121+13,(4)=100n,
121+10n=100n, saidanac n= 12190
.
T) 1,2(1)=n, 12,(1)=10n, 121,(1)=100n, 109+12,(1)=100n, 109+10n=100n. saidanac n= 10990
.
i) 5,3(73)=n, 53,(73)=10n, 5373,(73)=1000n, 5320+53,(73)=1000n, 5320+10n=1000n, saidanac
n= 5320990 =5 37
99 .
miaqcieT yuradReba! 5 3799 =5,(37). miviReT, 5,3(73)=5,(37). es faqti amoxsnis
dasawyisSive SeiZleboda SegvemCnia.
bolo sami magaliTis amoxsnis da ganxilvis Semdeg moswavleebma SeiZleba
aRmoaCinon perioduli aTwiladis wiladad warmodgenis wesi im SemTxvevaSi, roca
periodi uSualod mZimis Semdeg ar iwyeba.
24 25 =0,4, 4
9 =0,(4), 0,50=0,5, 020 =0,
93 =3. gansxvavebulia Svidi ricxvi:
25 ;
49 ; 0,5;
0; 3; 13
; 0,33 - yvela racionaluria, mTelia ori - 0 da 3; udidesia 3, umciresi - 0.
25 aqciis fasi gaxda Zveli fasis 100,5%, anu 1,005 nawili:
a) 1000⋅1,005=1005 (lari), b) 5000⋅1,005=5025 (lari). g) 700⋅1,005=703,5 (lari).
27 pirobiT, 1kg kaklis darCeviT 40%, anu 0,4 kg nigozi miiReba, rac myidvels
8 lari ujdeba, 1 kg nigozis misaRebad man 2,5 kg kakali unda iyidos 20 larad,
orive SemTxvevaSi myidveli 20 lars ixdis, magram SeiZleba moswavleTa nawilma
naWuWiani kaklis darCevasTan dakavSirebuli Sromis Tavidan asacileblad nigozis
yidva amjobinos.
28 150 lari kabis Tavdapirveli fasis 75%-ia. kabis Tavdapirveli fasia
150⋅10075
=200 (lari).
29 a) P=170-100=70 (kg), b) 170(sm)= 1702,54
(duimi),
P=12 ⋅
1702,54
-220≈148,11 funti ≈67 kg.
54
30 2010, 2015 da 2020 wlebisTvis msoflio mosaxleobis odenobis sapovnelad
mocemul formulaSi unda CavsvaT, Sesabamisad, x=10, x=15 da x=20. miviRebT,
2010 wels P=6,2⋅109⋅1,01710 ≈7,34⋅109. es ricxvi 7 miliardze metia.
2015 wels P=6,2⋅109⋅1,01715≈7,98⋅109; 2020 wels P=6,2⋅109⋅1,01720≈8,69⋅109.
1980 da 1990 wlisTvis mcxovrebTa odenobis sapovnelad mocemul formulaSi
x=-20 da x=-10 mniSvnelobebis CasmiT miviRebT.
1980 wels P=6,2⋅109⋅1,017-20≈4,43⋅109, 1990 wels P=6,2⋅109⋅1,017-10≈5,24⋅109.
41 T) -6,8796=-6,87960, -6,8795=-6,87950. maT Sorisaa, magaliTad, racionaluri
ricxvebi: -6,87951, -6,87952.
42 a) 211=
20110;
311=
30110 maT Sorisaa, magaliTad, racionaluri ricxvebi
21110 da
22110.
v) 110=
10100 ;
1100-sa da
110-s Sorisaa, magaliTad, racionaluri ricxvebi: 2
100
da 3100
.
T) 110= 9
90 = 90900 ,
19 =
1090 =100
900 maT Sorisaa, magaliTad, racionaluri ricxvebi:
91900 da 92
900 .
43 mocemuli ricxvebia:
0,35=0,350; 0,(3)=0,333..., 0,3=0,300, 14
=0,250, 0,4=0,400, 0,33=0,330.
zrdis mixedviT: 14 <0,3<0,33<0,(3)<0,35<0,4.
45
BC=5,8-2,5=3,3; 2,5-3,3=-0,8. B-sgan 3,3-iT daSorebuli A wertili gamosaxavs (-0,8)-s.
pasuxi: A(-0,8).sazogadod, Tu ricxviTi wrfis A da B wertilebis koordinatebia a da b
ricxvebi, maSin AB monakveTis P Sua wertilis koordinatia a+b2 .
marTlac, AB=b–a, AP= b–a2 , P-s koordinatia: a+ b–a
2 =a+b2 .
Cvens SemTxvevaSi, Tu saZiebel ricxvs x-iT aRvniSnavT, miviRebT, x+5,82 =2,5,
saidanac x=-0,8.
46 P wertilis koordinatia –6–12 =-3,5;
Q wertilis koordinatia –1+52 =2;
0,33 0,35
55
PQ monakveTis sigrZea 2–(–3,5)=5,5;
PK monakveTis sigrZea 5–(–3,5)=8,5.
savarjiSoebi: 31 – 40 , 47 – 48 aris Semzadeba 49 - 51 savarjiSoebis
Sesasruleblad.
x1 da x2 ricxvebis Sesabamis A da B wertilebs Soris manZili AB=|x2–x1|.
|x2–x1|<r niSnavs, rom A da B wertilebs Soris manZili r–ze naklebia, anu B
daSorebulia A–sgan (A daSorebulia B–sgan) r–ze naklebi manZiliT.
50 b) veZebT x ricxvs, romlisganac 3–mde da –3–mde manZilebis jami 5,2–ia:
|x–2|+|x–(–3)|=5,2.
Tu –3≤x≤3, maSin x–dan –3–mde da 3–mde manZilebis jami metia 5,2–ze (6–is tolia).Tu x<–3 an x>3, maSin aRniSnuli jami 6–ze metia.
pasuxi: aseTi x ricxvi ar arsebobs, gantolebas amonaxsni ara aqvs.
g) mocemul gantolebas akmayofilebs yoveli x ricxvi, romelic akmayofilebs
pirobas: –3≤x≤3.
d) pirobiT, x–dan 0–mde da 6–mde manZilebis jami 7,5–ia. Tu 0≤x≤6, maSin
dasaxelebuli manZilebis jami 6–ia (da ara 7,5). Tu x<0, maSin |x|+|x–6|=–x+6–x=6–2x; 6–2x=7,5; 2x=–1,5; x=–0,75 .Tu x >6, maSin |x|+|x–6|=x+x–6=2x–6; 2x–6=7,5; x=6,75.e) Tu 0≤x≤7, maSin x–dan 0–mde da 7–mde manZilebis jami 7–ia. amrigad, mocemuli
gantolebis amonaxsnia nebismieri x ricxvi, romelic 0≤x≤7 pirobas akmayofilebs.
sxva fesvebi gantolebas ara aqvs.
SeniSvna: Tu A da B wertilebs Soris manZili k–s tolia da d mocemuli ricxvia,
maSin
1) ar arsebobs wertili, romlidanac A da B wertilebamde manZilebis d jami
k–ze naklebia (d<k).2) AB monakveTis nebismieri wertilidan A da B wertilebamde manZilebis d jami
k–s tolia (d=k).3) arsebobs ori wertili, romelTagan TiToeulidan A da B wertilebamde
manZilebis d jami k–ze metia (d>k).
51 radgan –1,2 da 7-is ariTmetikuli
saSualoa 2,9, amitom mosaZebnia AB monakveTis
K Sua wertili: A(–1,2), B(7), K(2,9). K wertilis
mosaZebnad A da B wertilebidan SemovxazoT
tolradiusiani wrewirebi 4,1–ze meti raime
radiusiT (7–2,9=2,9–(–1,2)=4,1). maTi gadakveTis
wertilebze gamavali wrfe mocemul ricxviT wrfes K wertilSi gadakveTs.
marTlac, ∆ACD=∆BCD (sami gverdiT). amitom ∠ACD=∠BCD da CK aris ACB
tolferda samkuTxedis biseqtrisa. is medianac iqneba _ AK=KB. K wertilis
koordinatia 7+(–1,2)2 =2,9.
56
52 etapebis mixedviT, TanamimdevrobiT, vpoulobT damatebuli wertilebis
odenobas:
1; 2; 4; 8; 16.
• TiToeuli etapis Semdeg moniSnuli wertilebis odenobebia:
3; 5; 9; 17; 33.
• miRebuli Sedegebis mixedviT SeiZleba daiweros n-ur etapze, 1≤n≤5, moniSnuli
wertilebis savaraudo odenoba _ 2n–1, n=1, 2, 3, 4, 5. (1)xolo n-uri etapis Semdgom wertilebis saerTo odenobaa
2n+1, n=1, 2, 3, 4, 5. (2)• bunebrivia, rom bolo ori formula: (1) da (2) nebismieri n naturalur
ricxvisTvisac miviCnioT WeSmaritad. roca n=6, maSin uSualo gamoTvlebiT
vpoulobT dasaxelebul or ricxvs: 32-s da 65-s. igive ricxvi miiReba (1) da (2) formulebidanac, roca n=6. es faqti kidev ufro sarwmunos xdis Cveni varaudis
WeSmaritobas. am formulaTa damtkiceba maTematikuri induqciis meTodis
gamoyenebiT martivadaa SesaZlebeli. am meTods IX klasSi ar gavecnobiT.
• etapebis mixedviT, TanamimdevrobiT, vpoulobT mezobel wertilebs Soris
manZilebs: 102 ; 10
4 ; 108 ; 10
16; 1032.
• savaraudoa, rom n–uri etapis Semdeg yovel or mezobel wertils Soris
manZili iqneba 102n . roca n=6, maSin am gamosaxulebiTa da uSualo gamoTvlebiT
miRebuli mniSvnelobebi tolia. es mniSvnelobaa 1064.
es aqtivoba gvaZlevs SesaZleblobas codnis dabali donidan ufro maRalze
asvliT da ukan dabrunebiT ganvaviTaroT moswavleTa saazrovno unarebi.
me-3 punqtSi SemoTavazebulia or nebismier racionalur ricxvs Soris arsebuli
racionaluri ricxvebis povnis ori xerxi:
I xerxi aTwiladebiT gamosaxuli ricxvebis aTwilad nawilebSi nulebiT
warmodgenili damatebiTi Tanrigebis Semotanas gulisxmobs;
II xerxi nebismieri formiT Cawerili a da b racionaluri ricxvebis
ariTmetikuli saSualos miTiTebas gulisxmobs.
vTqvaT, a<b, maSin a+a<b+a, a< a+b2
; analogiurad, Tu a<b, maSin a+b<b+b,
a+b2
<b, anu a< a+b2
<b.
am gziT moswavleebi SeZleben nebismier or racionalur ricxvs Soris uamravi
racionaluri ricxvis dasaxelebas. geometriulad es niSnavs, rom ricxviT wrfeze
nebismier or racionalur wertils Soris uamravi racionaluri wertilia.
moswavleebi yovel racionaluri ricxvs ricxviT wrfeze erTaderT wertils
Seusabameben, magram momavalSi isini Seityoben, rom ricxviT wrfeze arsebobs
wertilebi, romlebic ar aris racionaluri ricxvis Sesabamisi, anu racionalur
ricxvTa simravlesa da ricxviTi wrfis wertilTa simravles Soris ar aris
urTierTcalsaxa Sesabamisoba.
57
1.2. kvadratuli fesvi. kvadratuli fesvis Semcveli
gamosaxulebebis gardaqmna. iracionaluri ricxvi
mizani: ricxvis cnebis gafarToeba _ iracionaluri ricxvis cnebis gacnoba,
rac kidev erTi nabijia maTematikuri, sabunebismetyvelo, yofiTi da sxva saxis
amocanebis kvlevis maTematikuri aparatis gaZlierebis mimarTulebiT. kerZod,
fesvis Tvisebebis gamoyenebiT moswavlem SeZlos sayuradRebo amocanebis amoxsna.
ganvixilavT marTkuTxa samkuTxeds, romlis kaTetebis sigrZeebi sigrZis erTi
erTeulia. aseTi samkuTxedis hipotenuzis sigrZis kvadrati 2-is tolia. yuradReba
miaqcieT im faqts, rom arsebobs ori iracionaluri ricxvi: √2 da –√2 , romelTa
kvadrati 2-is tolia. √2 -iT aRniSnulia dadebiTi iracionaluri ricxvi, –√2 -iT
_ uaryofiTi iracionaluri ricxvi. √2 ariTmetikuli kvadratuli fesvia 2-dan.
yoveli racionaluri ricxvi SeiZleba CavweroT sasruli an usasrulio
perioduli aTwiladis saxiT. iracionaluri ricxvi ki Caiwereba usasrulo
araperioduli aTwiladis saxiT.
paragrafSi warmodgenili aqtivobis warmatebiT ganxorcielebisTvis moswavle
gawafuli unda iyos piTagoras Teoremis gamoyenebiT marTkuTxa samkuTxedis
gverdebis povnaSi. paragrafs SeiZleba ori gakveTili davuTmoT. pirvel gakveTils
piTagoras TeoremiT da misi Sebrunebuli Teoremis gaxsenebiT viwyebT.
wina paragrafis 41 -e da 42 -e savarjiSoebis Sesrulebisas moswavleebi
darwmundnen, rom nebismier or racionalur ricxvs Soris racionaluri ricxvebis
usasruli odenobaa da amitom SeiZleba zogierTs Seeqmna STabeWdileba, rom
ricxviTi RerZi racionaluri ricxvebiT mTlianad `Seivso~. am paragrafis
pirvelive punqtSi aRwerilia ricxviT RerZze iseTi wertilis agebis procesi,
romelic ar Seesabameba racionalur ricxvs. am procesis ganxilva moswavleTa
monawileobiT unda mimdinareobdes.
iracionaluri ricxvebis miaxloebiTi mniSvnelobebis dadgenisTvis moswavleebs
kalkulatorebic dasWirdebaT. amaze maswavlebelma winaswar unda izrunos.
iracionaluri da racionluri ricxvebis amocnobaSi moswavleebi 1 - 8
testebiT, 10 , 11 savarjiSoebiT gaiwafebian; iracionaluri ricxvis miaxloebiTi
mniSivnelobis dadgenaSi _ 12 , 13 , 15 savarjiSoebiT; ricxviT wrfeze
iracionaluri ricxvebis ganlagebaSi _ 15 - 18 savarjiSoebiT; iracionaluri
ricxvebis damrgvalebaSi _ 19 , 20 savarjiSoebiT.
22 - 25 amocanebi piTagoras Teoremis gamoyenebiT ixsneba. sasurvelia
erT_erTi maTgani (magaliTad, 22 ) klasSi amoixsnas, danarCeni mieces saSinao
davalebad. momdevno gakveTili maTematikuri procedurebis SesrulebaSi varjiSs
eTmoba. moswavleebi ixseneben, ariTmetikuli fesvis Tvisebebs da iyeneben maT
fesvis Semcveli gamosaxulebebis gamartivebisas. paragrafis me-2 punqtSi aseTi
gamartivebis magaliTebia ganxiluli. isini daexmareba moswavleebs saSinao
davalebis SesrulebaSi, romelic 22 - 46 savarjiSoebidan SeirCeva klasis
momzadebis donis gaTvaliswinebiT.
58
12 a) √4 <√7 <√9 , anu 2<√7 <3;
b) √9 <√15<√16 , anu 3<√15<4;
v) √484<√490<√529 , anu 22<√490<23.
13 √608≈24,66; 24,662=608,1156.
√608 iracionaluri ricxvis miaxloebiTi mniSvnelobis kvadrati ar aris 608.
16 savarjiSoSi gasaTvaliswinebelia _
1,(56)=1,56565..., 1,56=1,5600...,
π≈3,14159, √2 ≈1,4142135, 23 =0,(6), 1
3 =0,(3).
17 gaviTvaliswinoT, rom 3 13 =3,(3)>3,(31), 4 2
3 =4,(6)>4,62.
18 gaviTvaliswinoT, rom 2,0(45)=2,045454...>2,045;
1,3(7)=1,377...>1,(37)=1,3737...; – 79 =–0,(7)<–0,077.
23 amovxazoT suraTis erTi fragmenti. Tu ABC samkuTxedis farTobi 1 kv.
erTeulia, maSin mis kaTetebze agebuli kvadratebidan TiToeulis farTobi 2kv.
erTeulia, xolo hipotenuzaze agebuli kvadratis _ 4kv. erTeuli. amrigad,
kaTetebze agebuli kvadratebis farTobebis jami hipotenuzaze agebuli kvadratis
farTobis tolia.
24 d) 482+552=732, sadac 73 didi kvadratis gverdia. piTagoras Teoremis
Sebrunebuli TeoremiT davaskvniT, rom Z samkuTxedi aris marTkuTxa.
25 a) ABE samkuTxedis kaTetebia BE=b da AE=a, SABe=ab2 ;
b) GH=GF=b–a, EFGH kvadratia da SeFGh=(b–a)2;
g) daStrixuli nawilis farTobia SABCD=4. ab2 +(b–a)2; amasTanave, SABCD=c2.
miviReT, rom c2=a2+b2. es piTagoras Teoremis ilustraciaa.
30 - 34 savarjiSoebi aris Semzadeba 43 -e savarjiSosTvis, xolo 38 - 41
savarjiSoebi _ 42 -e savarjiSosTvis.
43 e) x2–4x+3=x2–4x+4–1=(x–2)2–1.
mocemuli gantoleba gadavweroT ase: (x–2)2=1,
x–2=1 an x–2=–1, saidanac x=3; x=1.
v) (x–3)2=1, x–3=1 an x–3=–1, saidanac x=4; x=2.
44 a) I xerxi. √ 6+4√2 =√ 4+√2 2+2⋅2√2 =√ (2+√2 )2=2+√2 .
II xerxi. 2+√2>0 da (2+√2 )2=4+4√2+2=6+4√2 _ mocemuli toloba sworia.
b) √ 8√3+19 =√2⋅4√3+16+√32=√(4+√3 )2 =4+√3 .
59
45 1
√3 –√2 –1= √3 +√2 +1
(√3 –(√2 +1))(√3 +(√2 +1)) =(√3 +√2 +1)3–(3+2√2 )
=(√3 +√2 +1)√2
–2√2 ⋅√2 =–√2 (√3 +√2 +1)
4;
1
√5 –√2 +2= √5 +√2 –2
(√5 –(√2 –2))(√5 +(√2 –2)) =(√5 +√2 –2)
4√2 –1=
(√5 +√2 –2)(4√2 +1)(4√2 –1)(4√2 +1)
=(√5 +√2 –2)(4√2 +1)
31.
48 mocemuli sigrZis monakveTis agebis sqema a) da b) SemTxvevebisTvis suraTzea
warmodgenili:
a) b)
√5 √10
N
M
g) SemTxvevaSi, jer avagebT erTeulovan
monakveTs _ MN kaTets. Semdeg _ monakveTs,
romlis sigrZe 2 erTeulia da am monakveTiT
avagebT hipotenuzas. meore kaTetis sigrZea √3 .
d) jer avagoT monakveTi, romlis sigrZea .
Semdeg ki avagoT marTkuTxa samkuTxedi, romlis kaTetebia da 2.
jgufuri muSaoba
Tema: piTagoras Teorema.
jgufebisTvis samuSaos ganawileba saxelZRvaneloSia mocemuli, iqvea
miTiTebuli eleqtronuli fostis misamarTi, sadac SesaZlebelia aRniSnul
Temaze informaciis moZieba. SesaZloa es muSaoba kompiuterul klasSi Catardes
da moswavleebma muSaobis procesSi moiZion sasurveli informacia. SesaZloa,
jgufuri muSaobis dasrulebis Semdeg zogierT maTgans gauCndes survili, gaecnos
piTagoras Teoremis sxva damtkicebebsac.
1 didi kvadratis farTobs ((a+b)2-s) Tu gamovaklebT oTxi toli marTkuTxa
samkuTxedis farTobs, miviRebT mcire kvadratis farTobs _
c2=(a+b)2–4⋅ ab2
, saidanac gamartivebis Sedegad miviRebT: c2=a2+b2.
1 1
1
11
1
1
1
1 1 1 1
60
2 a) suraTis mixedviT ukve miviReT , rom `didi~ kvadratidan `mcire~
kvadratis farTobi (c2) miiReba oTxi toli samkuTxedis `CamoWriT~. b) suraTis
mixedviT `didi~ kvadratidan amave samkuTxedebis `CamoWriT~ miiReba ori kvadrati,
romelTa saerTo farTobia a2+b2. amrigad, c2=a2+b2.
3 mocemuli figuris farTobia c2+2⋅ 12
ab.
Tu am figuras CamovaWriT or tol (daStrixul)
marTkuTxa samkuTxeds, miviRebT ori-kvadratiT Sedgenil
figuras, romlis farTobia a2+b2.
amrigad, c2+ab–ab=a2+b2, c2=a2+b2.
4 mocemuli figuris farTobia a2+b2. am figurisgan
ori samkuTxedis CamoWriT da gadaadgilebiT c gverdis mqone kvadrati miiReba
(ixileT me-3 amocana). amrigad, c2=a2+b2.
5 e) suraTze gamosaxuli trapeciis farTobi erTi mxriv aris a+b2
⋅(a+b), meore
mxriv, ab2+ab
2+ c2
2. am gamosaxulebebis gatolebiT miviRebT: c2=a2+b2.
1.3. dasabuTebis xerxebi
mizani: ganasxvaos WeSmariti da mcdari winadadebebi; SeZlos gamonaTqvamebidan
axlis Sedgenisas damakavSirebeli sityvebis gamoyeneba; gansakuTrebiT
gamaxvilebulia yuradReba pirobiTi winadadebis Sedgenaze, pirobisa da daskvnis
garCevaze, mocemuli wanamZRvrebis mixedviT raime daskvnis gamomdinareobaze da
amaSi saTanado simravleTaTvis venis diagramebis gamoyenebaze. sawinaaRmdegos
daSvebiT debulebis dasabuTebis xerxis gacnoba; mocemul situaciaSi Sesabamisi
xerxis SerCeva da gamoyeneba; mocemulis sawinaaRmdego debulebis Camoyalibeba
da saTanado unarebis gaRrmaveba mniSvnelovani SenaZeni gaxdeba moswavleTaTvis.
paragrafSi ganxilulia Teoriuli masalis Sesabamisi magaliTebi, rac saSualebas
aZlevs moswavles damoukidebladac gaarTvas Tavi masalis aTvisebas.
maswavleblebs SevaxsenebT, rom VIII klasis saxelmZRvaneloSi gvqonda
debulebis sawinaaRmdego debulebis agebis da kontrmagaliTis gamoyenebiT
debulebis dasabuTebis magaliTebi. Tumca, SesaZlebelia zogierTma moswavlem
sxva saxelmZRvanelos gamoyenebiT gaiara VIII klasi. amitom sasurvelia pirveli
nawilis gavlisas moviSvelioT is wesebi, romlebic adre iyo ganxiluli.
moswavleTa umetesoba, imedia, amas damoukideblad gaakeTebs. mniSvnelovania
zogad-mtkicebiTi da kerZo-mtkicebiTi winadadebebis uaryofis agebis wesebic
gaixsenon moswavleebma (VIII klasis Cveni saxelmZRvanelodan). codnis ganmtkicebas
61
xels uwyobs saxelmZRvaneloSi mocemul kiTxvebze da testebze swori pasuxebis
SerCevis procesi.
pirvel nawils SeiZleba erTi gakveTili davuTmoT, meore gakveTils rTuli
gamonaTqvamis erT-erTi saxis agebis warmodgeniT viwyebT.
maswavleblebs SevaxsenebT, rom yovel pirobiT winadadebasTan erTad SeiZleba
ganvixiloT Sebrunebuli winadadeba, mopirdapire (ar avurioT sawinaaRmdego
winadadebasTan _ uaryofasTan) da mopirdapires Sebrunebuli winadadeba. isini
SeiZleba ase CavweroT: p⇒q, q⇒p, p⇒q , q⇒p . amasTanave, pirveli da meoTxe
ekvivalenturi winadadebebia, meore da mesamec ekvivalenturi winadadebebia.
sawinaaRmdegos daSvebis xerxiT debulebis dasabuTeba, faqtobrivad, pirveli
winadadebis nacvlad meoTxis dasabuTebaa _ Tu es ukanaskneli WeSmaritia, maSin
pirdapiri winadadebac WeSmaritia.
debulebis sawinaaRmdego debulebis agebaSi gawafvisTvis moswavleebi
paragrafis am punqtSi mocemuli debulebebis sawinaaRmdego debulebebs ageben.
TiToeuli maTganis WeSmaritobis dadgenisas isini ixseneben ricxvTa sistemebs,
damokidebulebebs maT Soris, eZlevaT sportSi TavianTi codnis gamovlenis
saSualeba, davalebad SeiZleba mieceT 1 - 7 savarjiSoebi.
debulebis pirobiTi winadadebis saxiT CaweraSi gawafvis mizniT visargeblebT
8 - 10 savarjiSoebiT.
momdevno gakveTilze moswavleebs vacnobT debulebis dasabuTebis
sawinaaRmdegos daSvebis xerxs. es gacnoba magaliTebis saSualebiT unda moxdes.
isini mocemulia paragrafis meore punqtSi.
paragrafis me-2 punqtSi mocemuli me-3 magaliTis ganxilva sawinaaRmdegos
daSvebis xerxis gamoyenebas moiTxovs _ Tu erTi da imave xarisxis fqvilis
tomrebis odenoba 10-ze naklebia, maSin sul tomrebis odenoba iqneba 28-ze
naklebi (maqsimum _ 27), rac ewinaaRmdegeba pirobas.
Zalian mniSvnelovania kontrmagaliTis gamoyenebiT debulebis dasabuTebis
xerxi. mis gacnobas da ganmtkicebas me-3 punqtSi ganxiluli ori magaliTi
emsaxureba. saSinao davalebad mivcemT 19 - 22 savarjiSoebs.
me-4 punqti emsaxureba moswavleSi wanamZRvrebidan logikuri daskvnebis
gamotanis unaris ganviTarebas. mniSvnelovania, rom moswavlem SeZlos daskvnis
gamotana wanamZRvarSi mocemuli debulebebis mimarT sakuTari mimarTebis
gaTvaliswinebis gareSe, anu daskvnis gamotanisas ar isargeblos wanamZRvrebSi
mocemuli debulebebis garda sxva faqtebiT. magaliTad, Secdomaa, Tu moswavle
daskvnebis gamotanis nacvlad Seecdeba punqtSi ganxiluli magaliTis b da e
wanamZRvrebis mcdarobis dasabuTebas kontr ma galiTiT.
7 a) √2 ar aris iracionaluri ricxvi;
b) 35
ar aris iracionaluri ricxvi;
g) π ar aris racionaluri ricxvi;
d) arsebobs martivi ricxvi, romelic ar aris kenti;
e) ar arsebobs kenti martivi ricxvi;
v) ar arsebobs luwi martivi ricxvi;
62
z) arsebobs martivi ricxvi, romelic ar aris luwi;
T) arsebobs avadmyofi, romelsac ara aqvs maRali temperatura (an _ zogierT
avadmyofs ara aqvs maRali temperatura);i) zogierTma abiturientma ver daZlia warmatebiT misaRebi gamocdebi;
k) gamocdaze arc erTi abiturienti ar CaiWra;
l) zafxulSi arc erTi dRe ar aris wvimiani;
m) arc erTi samkuTxedi ar aris marTkuTxa;
n) zogierTi samkuTxedi araa maxvilkuTxa (an _ arsebobs erTi mainc samkuTxedi,
romelic araa maxvilkuTxa);o) zogierTi fexburTeli ar aris maRalSemosavliani.
8 piroba: `TbilisSi cxovrobT~;
daskvna: `saqarTveloSi cxovrobT~.
9 a) piroba: `kuTxeebi vertikaluria~;
daskvna: `kuTxeebi tolia~.
b) piroba: `kuTxeebi tolia~;
daskvna: `kuTxeebi vertikaluria~.
es winadadebebi sxvadasxva faqts aRniSnavs, b) winadadeba a) winadadebis
Sebrunebulia. a) WeSmaritia, b) mcdaria.
10 a) Tu adamiani arqiteqtoria, maSin is iyenebs geometrias;
b) Tu raime ver gavige, maSin iZulebuli var davsva kiTxvebi;
g) Tu raime ricxvi mTelia, maSin is racionaluria;
d) Tu raime mobiluri telefoni CarTulia `jeoselSi~, maSin misi nomeri ar
iwyeba cifrebiT 599;
e) Tu vkiTxulobT ucxour wigns, maSin viyenebT xolme leqsikons;
v) Tu samkuTxedi tolferdaa, maSin fuZesTan mdebare kuTxeebi tolia.
11 es diagrama gamosaxavs a) da d) winadadebebs, anu, Tu mocemuli wina dadeba
WeSmaritia, WeSmaritia a) da d) winadadebebic.
12 a: x naturaluri ricxvis kvadrati iyofa 2-ze,
b: x ricxvi iyofa 2-ze.
dasamtkicebelia: `Tu a, maSin b~.
davuSvaT sawinaaRmdego: Tu naturaluri ricxvis kvadrati iyofa 2-ze, maSin es
ricxvi ar iyofa 2-ze. anu, davuSvaT, rom x kentia: x=2k–1, k∈N. maSin misi kvadrati,
x2=4k2–4k+1=4(k2–k)+1 ar iyofa 2-ze. miviReT winaaRmdegoba. amrigad, a) WeSmaritia.
b) davuSvaT sawinaaRmdego: √2 aris racionaluri ricxvi. maSin √2 SeiZleba ase
warmovadginoT: √2 =mn
, mn
aris ukveci wiladi, m∈Z, n∈N. miviRebT m2
n2 =2, m2=2n2, m2
luwia, amitom m luwia (ixileT am savarjiSos a) amocana), e.i. m=2k, k∈Z da 4k2=2n2, n2=2k2, saidanac vRebulobT: n luwia ( a) amocana). m da n-is luwoba ewinaaRmdegeba
daSvebas, rom mn
ukveci wiladia. e. i. daSveba mcdaria.
63
g) davuSvaT sawinaaRmdego: x2 iyoda 5-ze da x ar iyofa 5-ze. Tu x ar aris 5-is
jeradi, maSin x=5k+1, x=5k+2, x=5k+3 an x=5k+4. k mTelia, k≥0. am oTxive SemTxvevaSi x2
ar aris 5-is jeradi (x2=25k2+10k+1, x2=25k2+20k+4, x2=25k2+30k+5+4 an x2=25k2+40k+15+1).miviReT winaaRmdegoba, e. i. daSveba mcdaria da g) winadadeba WeSmaritia.
d) davuSvaT sawinaaRmdego: racionaluri (α) da iracionaluri (β) ricxvis
jami (γ) racionaluria. α+β=γ, β=γ−α. miviRebT, rom iracionaluri ricxvi ori
racionaluri ricxvis, anu ori ukveci wiladis sxvaobis saxiT warmoidgineba. ori
wiladis sxvaoba kvlav wiladia. amrigad, iracionaluri ricxvi wiladiT gamoisaxa
_ miviReT winaaRmdegoba.
e) davuSvaT sawinaaRmdego: iracionaluri (α) ricxvis nulisgan gansxvavebul
racionalur (β) ricxvze namravli racionaluri (γ) ricxvia. γ=α⋅β, α= γβ.
miviRebT winaaRmdegobas: iracionaluri ricxvi aris ori racionaluri ricxvis,
anu ori wiladis ganayofi _ iracionaluri ricxvi wiladiT gamoisaxeba.
v) davuSvaT sawinaaRmdego: naturaluri (x) ricxvis kvadrati (x2) iyofa 6-ze da
TviT (x) ricxvi ar iyofa 6-ze. maSin x SeiZleba warmovadginoT 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4
an 6k+5 saxiT, k∈Z, k≥0. TiToeul SemTxvevaSi x2 ar iyofa 6-ze (36k2+12k+1, 36k2+24k+4, 36k2+36k+6+3, 36k2+48k+12+4, an 36k2+60k+24+1). miviReT winaaRmdegoba.
z) davuSvaT √6 racionaluria, anu √6 =mn
, mn
ukveci wiladia, m∈Z, n∈N. maSin
m2=6n2, saidanac m iyofa 6-ze ( 3) amocana), m=6k. k∈Z, maSin 36k2=6n2, n2=6k2, saidanac
vRebulobT: n iyofa 6-ze. miviReT winaaRmdegoba, mn
wiladi ikveceba 6-ze.
T) pirobiT, n2=kp, n∈N, p martivia. Tu davuSvebT, rom n ar iyofa p–ze, n=ap+r, r≠0, 0<r<p, a∈N, r∈N, miviRebT winaaRmdegobas. marTlac, n2=a2p2+2apr+r2=p(a2p+2ar)+r2. radgan r da p Tanamartivia, amitom r2-ic Tanamartivia p-sTan _ n2 ar iyofa p-ze.
i) davuSvaT sawinaaRmdego: vTqvaT, √p racionaluri ricxvia. warmovadginoT is
ukveci wiladis saxiT: √p =mn
, m∈N, n∈N, mn
ukvecia, maSin p=mn2
, m2=n2p. miviRebT: m2
iyofa p-ze. maSin T) debulebis Tanaxmad m iyofa p-ze, m=pk, k∈N. amrigad, p2k2=n2p, pk2=n2. axla n2 iyofa p-ze, maSin TviT n-ic iyofa martiv p ricxvze. miviReT wi-
naaRmdegoba _ mn
wiladi ar aris ukveci, anu m da n Tanamartivi ricxvebi iyofa
martiv p ricxvze.
l) davuSvaT, rom √3 +√5 racionaluria, √3 +√5 =mn
, sadac mn
ukveci wiladia.
miviRebT, m2=n2(8+2√15 ), saidanac √15 = m2–8n2
2n2, anu √15 iracionaluri ricxvi
Caiwera ori naturaluri ricxvis Sefardebis saxiT. miviRebT winaaRmdegoba _
k) amocanis ZaliT √15 aris iracionaluri ricxvi.
13 davuSvaT sawinaaRmdego: ori ricxvidan TiToeuli metia 27-ze, maSin maTi
jami metia 54-ze. miviReT winaaRmdegoba.
14 davuSvaT: am aTi Sesakrebidan TiToeuli ar aRemeteba 6-s, maSin maTi jami
ar aRemateba 60-s. miviReT winaaRmdegoba.
64
15 davuSvaT: 7 sajinibodan TiToeulSi cxenebis odenoba 7-s ar aRemateba,
maSin Svidive sajiniboSi cxenebis saerTo odenoba 49-s ar aRemateba. miviReT
winaaRmdegoba.
16 davuSavT: 15 sajinibodan TiToeulSi luwi odenobis cxenia, luwi ricx-
vebis jami luwia, e. i. TxuTmetive sajiniboSi cxenebis saerTo odenoba luwia,
miviReT winaaRmdegoba (99 kentia).
17 davuSvaT, sami Tanamamravlidan TiToeuli 4-ze naklebi ar aris (≥4). maSin
maTi namravli 64-ze naklebi ar aris (≥64). miviReT winaaRmdegoba.
18 a) Tu davuSvebT, rom arsebobs samkuTxedi 400, 600 da 700 kuTxeebiT, mivi-
RebT winaaRmdegobas _ am samkuTxedis kuTxeebis jami ar udris 1800-s.
b) davuSvaT, arsebobs samkuTxedi gverdebiT: 7 sm, 10 sm da 18 sm. miviRebT wi-
naaRmdegobas _ am sakuTxedis ori mcire gverdis jami ar aRemateba mesame gverds:
7+10<18. es ewinaaRmdegeba samkuTxedis utolobas.
g) davuSvaT, rom x naturaluri ricxvi 21-ze gayofisas naSTSi iZleva 1-s, 14-ze
gayofisas _ 3-s. maSin x=21k+1=14n+3, k∈Z, n∈Z, saidanac 21k–14n=2. miviReT winaaR-
mdegoba, radgan tolobis marcxena mxare iyofa 7-ze, marjvena _ ara.
19 a) 2 martivi ricxvia da luwia; b) 02+02=0 _ ar aris dadebiTi;
g) |0|=0 _ ar aris dadebiTi;
d) ar aris rombi;
e) AC=BD, ∠BAD=900, ABCD ar aris marTkuTxedi.
20 ganvixiloT rombi, romlis gverdi 10 sm-ia, maxvili kuTxe _ 300. am rombis
simaRle 5 sm-ia, farTobi _ 10⋅5=50 sm2. brahma-
gufTas formuliT, S=√(20–10)4 =100 sm2.
es rombi mocemuli formulis mcdarobis
damadasturebeli kontrmagaliTia.
21 mcdarobas vasabuTebT kontrmagaliTiT:
veZebT n-is im mniSvnelobas, roca n(n+1)+17 ar aris martivi ricxvi. aviRoT n=17, 172+17+17=17⋅19 ar aris martivi, igi iyofa 17-ze da 19-ze.
22 a) magaliTad, qarTveli kalaTburTeli zaza faCulia.
b) magaliTad, n=3-Tvis. g) magaliTad, 0..x=0 gantolebas uamravi amonaxsni
aqvs.
A
B
C
D
510
300
65
d) magaliTad, 0..x=1 gantolebas ara aqvs amonaxsni.
e) magaliTad,
25 vTqvaT, baTumelebis simravlea B. maTi simravle, vinc icis curva _ C.
wanamZRvrebis Tanaxmad B⊂C.a) gamomdinareobs _ im moswavleebma, romlebic baTumelebi arian, ician curva.
b) ar gamomdinareobs _ wanamZRvrebis mixedviT ar aris
gamoricxuli aseTi SemTxveva. aq D yvela moswavlis simravlea.
g) ar gamomdinareobs _ ar aris gamoricxuli, rom zogi-
erTi vinc icis curva, ar aris baTumeli.
d) gamomdinareobs _ radgan B⊂C, amitom yoveli elementi, romelic ar
ekuTvnis C-s, ar ekuTvnis B-sac.
26 a) ar gamomdinareobs _ wanamZRvrebis mixedviT ar aris gamoricxuli, rom
yvela gzatkecili parizze gadiodes.
b) gamomdinareobs _ yvela gzatkecili, maT Soris parizze gamavali gzatke-
cilebi, romSi midis.
g) ar gamomdinareobs _ parizze gamavali yvela gzatkecili romSi midis, ma-
gram SesaZlebelia, rom romidan milanSi mimavali gzatkecilebi ar arsebobdes
(wanamZRvrebis gaTvaliswinebiT).
27 gareuli cxovelebis simravle iyos A, im
cxovelebis simravle, romlebic mxolod xorciT
ikvebebian _ B, Sinauri cxovelebis simravle _ C.
a) ar gamomdinareobs _ wanamZRvrebis mixedviT
SeiZleba arsebobdnen Sinauri cxovelebi, romlebic
mxolod xorciT ar ikvebebian.
b) ar gamomdinareobs _ wanamZRvrebis Tanaxmad SeiZleba arsebobdes cxoveli,
romelic xorcTan erTad mcenareul sakvebsac Rebulobs.
g) gamomdinareobs _ ixileT A da B simravleTa TanakveTa.
d) gamomdinareobs _ ixileT A simravlis is nawili, romelic B-Si ar Sedis.
28 Tu a>√3 da b>a, maSin b>√3 da ab>3, anu S>3.
amrigad, WeSmaritia winadadeba: Tu a) , maSin d).
Tu b<√2 da a<b, maSin a<√2 da miviRebT: ab<2.
Tu b=√2 da a<b, maSin a<√2 da kvlav miviRebT: ab<2.
pasuxi: Tu a), maSin d) .
29 b) dauSvaT sawinaaRmdego: ar aris ukveci wiladi, anu n(n+1) da
2n+1-s aqvs martivi saerTo gamyofi p (cxadia, p-ze iyofa n an n+1). (n(n+1)+2n+1)–ic
unda gaiyos p–ze.
Tu p-ze iyofa n, maSin n2+n+2n+1=n(n+3)+1 ar iyofa p-ze, naSTi 1-ia.
CD
B
A CB
66
Tu p-ze iyofa n+1, maSin n(n+1)+2n+1=n(n+1)+2(n+1)–1=(n+1)(n+2)–p+(p–1) ar iyofa
p-ze, naSTi (p–1)-ia. miviReT winaaRmdegoba, e. i. daSveba mcdaria. ukveci
wiladia.
30 davuSavT sawinaaRmdego: vTqvaT, ujrian furcelze davxazeT a-gverdiani
tolgverda samkuTxedi ise, rom misi wveroebi ujrebis wveroebs daemTxva.
ujris gverdis sigrZe erTeulad miviCnioT.
radgan samkuTxedis wveroebi ujrebis wverobs emTxveva, marTkuTxedis im
nawilis farTobi (S1), romelic samkuTxedis `gareTaa~ racionaluri ricxviT gamois-
axeba, TviTon marTkuTxedis S farTobic _ racionaluri ricxviT gamoisaxeba.
miviReT, rom tolgverda samkuTxedis farTobi _ =S–S1. (1)
radgan samkuTxedis wveroebi ujrebis wveroebSia,
amitom samkuTxedis gverdis kvadrati: a2=m2+n2, m,n∈N, a2
racionaluria, xolo _ iracionaluri. amrigad,
(1) tolobis marcxena mxare iracionaluria, marjvena _
racionaluri ricxvebis sxvaoba _ racionaluri ricxvi,
es ki SeuZlebelia.
1.4. namdvili ricxvebi
mizani: SeZlos ricxviTi simravleebis CamoTvla, aRwera, maT Soris mimarTebis
gamosaxva diagramebiT; namdvil ricxvebsa da sakoordinato wrfis wertilebs Soris
urTierTcalsaxa damokidebulebis damyareba. gaiwafos iracionalur ricxvebze
moqmedebebSi. Seadaros namdvili ricxvebi, saWiroebis SemTxvevaSi ipovos maTi
miaxloebiTi mniSvnelobebi saTanado sizustiT (kalkulatoriT an mis gareSe). SeZlos SeZenili codnis gamoyeneba praqtikuli amocanebis gadaWrisas.
am da momdevno paragrafSi xdeba ricxvis cnebis gafarToebasTan dakavSi-
re buli sakiTxebis gacnoba-gaRrmaveba. moswavleebi ukve gawafulni arian ra-
cio naluri ricxvebis ricxviTi wrfis wertilebiT gamosaxvaSi, magram SeiZleba
yuradReba ar gaumaxvilebiaT im faqtze, rom ricxviTi wrfis yovel wertils
ar Seesabameba racionaluri ricxvi (anu Q-s da ricxviTi RerZis wertilTa
simravles Soris ar myardeba urTierTcalsaxa Tanadoba). paragrafi swored erTi
aseTi wertilis agebiT iwyeba. SesaZloa moswavleebma SeZlon sxva iracionaluri
ricxvebis dasaxeleba da ricxvTa RerZze maTi Sesabamisi wertilebis moaxloebiT
moniSvna. am samuSaosTvis saWiroa kalkulatoris gamoyeneba. gawafvis mizniT.
amovxsnaT savarjiSoebi 9 , 19 , 25 - 30 . maTgan zogierTi saSinao davalebad
SeirCeva.
67
me-9 klasSi SeuZleblad migvaCnia namdvil ricxvTa mkacri maTematikuri
Teoriis gadmocema _ namdvil ricxvTa struqturis dalagebis, moqmedebaTa
gansazRvrisa da am moqmedebebis Tvisebebis mkacri maTematikuri damtkiceba
xSirad umaRlesi skolis maTematikis programebSic ar aris gaTvaliswinebuli.
imedi gvaqvs maswavleblebi kargad icnoben ricxvTa simravlis agebis
maTematikur Teorias. es daexmareba maT swavlebis procesSi Tavidan aicilon
Secdomebi, romlebic racionaluri da iracionaluri ricxvebis maT CanawerebTan
gaigivebam SeiZleba gamoiwvios. maTematikaSi aq grZeldeba ganzogadebis procesi,
romelic ekvivalentobis mimarTebis gansazRvrasa da ekvivalentobis klasis
saSualebiT axali obieqtebis SemoRebas ukavSirdeba. magaliTad, racionaluri
ricxvis (wiladebSi ekvivalentobis mimarTebis SemoRebis Semdeg) ekvivalentobis
klasad warmodgena, iracionaluri ricxvis _ fundamenturi mimdevrobis klasad
(an gankveTis erT-erT klasad) da a. S.
maswavleblebs SevaxsnebT, rom winadadeba: racionaluri ricxvi aris
ricxvi, romelic SeiZleba Caiweros mn
saxiT, sadac m mTeli ricxvia, n _
naturaluri, ar SeiZleba CaiTvalos racionaluri ricxvis gansazRrebad.
aseve ar aris iracionaluri ricxvis gansazRvreba winadadeba: iracionaluri
ricxvi aris n ricxvi, romelic moicema usasrulo araperioduli aTwiladis
saxiT. orive SemTxvevaSi mocemulia ricxvebis Tviseba, maTi e. w. arapirdapiri
gansazRvrebisTvisac araa sakmarisi es winadadebebi, radgan aseTi gansazRvrebis
dros sxva Tvisebebis CamonaTvalicaa saWiro (moqmedebebi da maTi Tvisebebi,
dalagebuloba da a. S.).es sakiTxebi SeiZleba wavikiTxoT saxelmZRvaneloebSi, magaliTad, i. qarcivaZe.
maTematikuri analizi, t.1. Tbilisi 1981; v. WeliZe, e. wiTlanaZe. maTematikuri
analizi, t. 1. Tbilisi; Рудин. Основы математического анализа, Москва 1966; Колмогоров.
Математика – наука и профессия, Москва, 1987; Нeчаев. Числовые системы, Москва, 1975.
10 es debulebebi wina paragrafis savarjiSoebis amoxsnisas gamoviyeneT. axla
cota dawvrilebiT SevexebiT maT.
a) mocemuli ori racionaluri ricxvi gamovsaxoT mn
da ke
wiladebis saxiT,
sadac m, k∈Z, n, e∈N. maTi jami, mn
+ ke
= me+nkne
wiladiT gamoisaxeba, sadac me+nk∈Z,
ne∈N, e. i. is racionaluri ricxvia.
analogiurad, b) da g) SemTxvevebSi, ori, mn
da ke
racionaluri ricxvis
namravli mkne
da ganayofi menk
racionaluri ricxvebia.
d) davuSvaT sawinaaRmdego: racionaluri ricxvis da iracionaluri ricxvis
jami (namravli, ganayofi) racionaluri ricxvia. miviRebT winaaRmdegobas _
iracionaluri ricxvi ori racionaluri ricxvis sxvaobiT (ganayofiT), anu kvlav
racionaluri ricxviT _ wiladiT gamoisaxeba.
68
11 debulebis mcdarobas kontmagaliTiT davasabuTebT, 2+√3 da 2–√3
iracionaluri ricxvebis jami da namravli, Sesabamisad, 4-isa da 1-is tolia;
2+√3 da √3 –2 iracionaluri ricxvebis sxvaoba 4-ia, √27 da √3 iracionaluri
ricxvebis ganayofia 3. yovel magaliTSi moqmedebis Sedegi ar aris iracionaluri
ricxvi.
12 cxrilis Sevsebis procesSi SeiZleba moviyvanoT saTanado magaliTebi.
N simravle Caketilia Sekrebis da gamravlebis operaciebis mimarT, gamoklebisa
da gayofis mimarT ar aris Caketili. magaliTad, ori naturaluri ricxvis, 6-is da
9-is sxvaoba da ganayofi ar aris naturaluri: 6–9= –3∉N, 6:9= 23∉N.
Z simravle Caketilia Sekrebis, gamoklebis da gamravlebis mimarT. ar aris
Caketili gayofis mimarT _ sakmarisia aseTi magaliTis warmodgenac: 8:12= 23∉Z.
racionalur ricxvTa simravle Caketilia Sekrebis, gamoklebis, gamravlebisa
da gayofis operaciebis mimarT, es dasabuTebulia me-10 savarjiSos a) b) da g) punqtebSi.
moswavleebs SeiZleba SevTavazoT iracionalur ricxvTa simravlis ganxilvac.
es simravle ar aris Caketili arc erTi am moqmedebis mimarT.
saTanado magaliTebi moyvanilia me-11 savarjiSos amoxsnisas.
13 A simravle Caketilia gamravlebis operaciis mimarT. Sekrebis, gamoklebis
da gayofis operaciebis mimarT (Tu 0-ze gayofas ar gamovricxavT) ar aris
Caketili. magaliTad, -1+(-1)=-2∉A, 1-(-1)=2∉A, 10∉A.
14 a) kenti mTeli ricxvebis simravle gamravlebis mimarT aris Caketili,
danarCeni sami operaciis mimarT _ ara. magaliTad, 3+5=8, 3:5=0,6, 13-9=4.
b) luwi mTeli ricxvebis simravle Sekrebis, gamoklebis da gamravlebis
operaciebis mimarT Caketilia, gayofis mimarT _ ara. magaliTad, 128
=1,5.
g) Caketilia gamravlebis mimarT. danarCeni operaciebis mimarT _ ara.
magaliTad, 23+22=11, 23
25=2–2, (ar aris 2-is naturaluri xarisxi), 24-22=12.
16 d) √ (1–2√5 )2 –2√5=|1–2√5|–2√5=2√5–1–2√5=–1.
19 gaviTvaliswinoT, rom √2 ≈1,414 da 1,4<√2 <1,5, √3 ≈1,732 da 1,5<√3 <2.
20 3 erTeulis tol radiusiani wrewiris sigrZe 6π erTeulia, marcxniv erTi
brunis Sesrulebisas A wertili 6π erTeulis sigrZis manZils gaivlis da misi
koordinati iqneba –6π≈–18,84; –19<–6π<–18.
69
21 AC=5 sm. Tu A wertilis koordinatia 0,
maSin C wertilis koordinatia 5, O wertilis _
2,5.
Tu saTaves O wertilSi gadavitanT, maSin A da
C wertilebis koordinatebi iqneba, Sesabamisad,
–2,5 da 2,5,
23
suraTis mixedviT, P wertilis koordinatia .
am formuliT da kalkulatoris an kompiuteris gamoyenebiT moswavleebi
swrafad SeZleben C1, C2, C3 d C4 wertilebis koordinatebis povnas da saWiroebis
SemTxvevaSi procesis gagrZelebasac.
24 vTqvaT, A1(4,211) da A2(4,219), B1(4,212) da B2(4,218). radgan 4,1222=17,740944,
4,2182=17,791524. amitom advilad davasaxelebT B1 da B2-s Soris iracionalur
ricxvebs, magaliTad, √17,75 da √17,79.
26 a) 1,32=1,69, 1,52=2,25. 1,3 da 1,5-s Soris iracionaluri ricxvebia, magaliTad,
√2 , √1,7 .
b) 3,22=10,24, 3,42=11,56. 3,2 da 3,4 –s Soris iracionaluri ricxvebia, magaliTad,
√11 , √10,5 .
g) 42=16, 4,22=17,64. 4 da 4,2-s Soris iracionaluri ricxvebia, magaliTad,
√17 , √17,2 .
28 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; √3 ; 1,73206; 1,7321; 1,733; 1,74; 1,8. B∩C=√3 .
29 a) ≈2⋅1,41+1,67≈4,49; b) ≈2,24–1,17≈1,07;
g) ≈9,38–2⋅1,73≈5,92; d) ≈2⋅2,24+3⋅1,41≈8,71.
37 Cven adre ukve visaubreT 9 periodis mqone usasrulo aTwiladebis Sesaxeb
isini sasruli aTwiladis saxiTac SeiZleba Caiweros. kerZod, 7,(9)=8; 6,26(9)=6,27.
38 b) √ 7–4√3 =√ 22+√3 2–2·2√3 =|√3–2|=2–√3 .
A C
D
B
O
P B(b)A(a)
70
39 a) 3+2√2=√2 2+12+2√2=(√2+1)2;
b) 9+4√5=√5 2+22+2·2√5=(√5+2)2;
g) 14–6√5=32+√5 2–2·3√5=(3–√5 )2;
d) 17–12√2=32+(2√2 )2–2·3·2√2=(3–2√2 )2.
40 √(√a+b)2+(√c )2+2√c(a+b) +√(√a+b)2+(√c )2–2√c(a+b) =
=|√a+b+√c |+|√a+b–√c |= 2√a+b, Tu a+b≥c
2√c , Tu a+b<c
41 √x+2√x–1) +√x–2√x–1) =√x–1+1+2√x–1+√x–1+1–2√x–1 =|√x–1+1|+|√x–1–1|.
radgan 1≤x≤2, amitom x–1≤1, √x–1≤1, √x–1–1≤0. amrigad, vRebulobT, √x–1+1+1–√x–1=2.
42 a) (√ a+√a2–b2 +√ a–√a2–b
2 )2
= a+√a2–b
2 + a–√a2–b
2 +2√ a–√a2–b2 ·√ a+√a2–b
2 =a+√b =√(a+√b)2 .
1.5. n-uri xarisxis fesvi. fesvis Tvisebebi
mizani: ricxvis Caweris erT-erTi formis (fesvis) da am formiT Caweril
namdvil ricxvTa Tvisebebis gamoyenebis unaris gamomuSaveba, fesvis Semcveli
gamosaxulebebis gardaqmnebis CatarebaSi gawafva, miaxloebiTi gamoTvlebis Catare-
bis unaris ganviTareba.
paragrafSi warmodgenil masalas SeiZleba 2 gakveTili davuTmoT. gakveTils
viwyebT kvadratuli da kuburi fesvebis cnebebis gaxsenebiT. es Temebi moswavleebma
me-8 klasSi gaiares.
_ risi tolia kvadratuli fesvi 9-dan?
_ kvadratuli fesvi 9-dan aris 3 da –3.
_ ra saxiT Caiwereba maT Soris dadebiTi ricxvi, ra ewodeba mas?
_ ariTmetikuli kvadratuli fesvi 9-dan (√9 ) aris 3.
_ ris tolia √16 , √25 , √36 .
_ ramdeni ricxvi arsebobs, romelTa kvadrati aris 2? ra saxiT Caiwereba isini?
_ √2 da –√2 .
_ daasaxeleT ori momdevno naturaluri ricxvi, romelTa Sorisaa √2 .
Semdeg vixsenebT erT-erT mniSvnelovan tolobas: √a2 =|a| da viyenebT mas
sxvadasxva magaliTis amoxsnisas. magaliTad, SeiZleba SevTavazoT moswavleebs
ipovon:
√(a–b)2 , roca a<b; √(1–√3 )2 da a. S.
amis Semdeg SeiZleba gadavideT n-uri xarisxis fesvis ganxilvaze. calcalke
vixilavT SemTxvevebs: n _ luwia, n _ kentia.
pirvel SemTxvevaSi moswavleebi TviTon midian im daskvnamde, rom xn=a gantolebas,
roca a<0, ara aqvs amonaxsni _ ar arsebobs n-uri xarisxis fesvi a ricxvidan, roca a
71
uaryofiTia; √0n
=0, xolo roca a>0, gvaqvs ori namdvili ricxvi _ ariTmetikuli fesvi
(dadebiTi fesvi dadebiTi ricxvidan) √an da uaryofiTi ricxvi – √an
, orive aris n-uri
xarisxis fesvi a-dan.
TuU n kentia, maSin nebismieri a ricxvisTvis arsebobs erTi namdvili ricxvi _
n-uri xarisxis fesvi a-dan, romelic ase Caiwereba _ √an, magaliTad, √–83
= –2, √–325=–2,
√273=3 da a.S.
savarjiSoebi sawyisi etapisTvis: 1 - 21 , 24 .
savarjiSoebi damagvirgvinebeli etapisTvis: 32 _ 35 , 29 .
savarjiSoebi damoukidebeli muSaobisTvis: 31 , 26 , 27 , 22 , 23 .
miTiTebebi:
6 √a66=|a|=a, anu a³0.
7 √a33=a=–a, saidanac 2a=0, a=0.
8 Tu a<0, √a24=√|a|=√–a .
14 pirobiT, x aris √x -is kvadrati da √x N∈n. e. i. x-Tan uaxloesia √x N+1-is kvadrati:
x+2√x N+1.
21 xSirad, fesvis mniSvnelobis gamosaTvlelad ricxvis martiv mamravle bad
daSlas viyenebT. magaliTad,
√ 2 46625 =√ 1296
625 ; 625=54, 1296=24⋅34=64; amitom √ 2 46625 = 6
5 .
25 davuSvaT, dasaxelebuli mocemulobisas sruldeba √an≥√bn
, maSin miviRebT
(√an)
n≥(√bn
)n, anu a³b. es ki ewinaaRmdegeba amocanis pirobas (0£a<b). amrigad, √an
<√bn.
26 a) √23
= √3215
, √35
= √2715
; saidan davaskvnaT, rom √23
>√35
;
b) √73
=√496
>√406
, g) √5=√6258
>√5008
;
d) √43
=√166
, √3=√276
, saidanac √43
<√3 , e) √0,3=√0,0276
>√0,00096
.
27 b) 1,443<3; 1,453>3, amitom √33»1,44 naklebobiT, 0,01 sizustiT.
28 2<√153
<3;
radgan 2,43<15<2,53, amitom 2,4< √153
<2,5.
analogiurad miviRebT, 2,46<√153
<2,47; 2,466<√153
<2,467, saidanac √153»2,47 (0,01
sizustiT).
analogiurad,
1,4<√33 <1,5; 1,44<√33 <1,45; 1,442<√33 <1,443, anu √33 »1,44;
72
1,7<√53 <1,8; 1,70<√53 <1,71; 1,709<√53 <1,710. saidanac √53 »1,71.
√33 ·√53 »2,4624, rac naklebia √153
-is miaxloebiT mniSvnelobaze.
gaviTavaliswinoT, rom √153
davamrgvaleT metobiT, √33 _ naklebobiT, √53 _
metobiT.
am amocanis amoxsnisas kalkulatoris daxmarebiT SeimsubuqebT gamoTvlebs.
29 moswavleebs SeiZleba warudginoT pasuxebSi miTiTebulebisgan gansxvavebuli
aTwiladebic. magaliTad, vTqvaT, micemulia ori aTwiladi: 0,164 da 0,734. maTi
measedebamde damrgvalebiT miiReba: 0,16 da 0,73. maTi jamia 0,89. sawyisi wiladebis
jamia 0,898. misi measedebamde damrgvalebiT miiReba 0,90. Sedegebi gansxvavebulia,
radgan pirvel SemTxvevaSi orjer Catarebuli damrgvalebis cdomilebebi Seikriba,
meore SemTxvevaSi ki zusti Sedegis damrgvaleba erTxel Catarda.
am ganxilvis Semdeg mimarTeT moswavleebs warmoadginon raime iseTi ori
aTwiladi, romlebisTvisac orive gziT miiReba erTi da igive Sedegi.
32 cxadia, –√5<√–35 , √2<√333 , √2<π.
SeadareT √333 da π; (√333 )3=33, π3»31.
pasuxi: –√5 ; √–35 ; √2 ; π; √333 .
sakontrolo wera
SearCieT swori pasuxi:
1. 2,9⋅10-3, 0,31⋅10-2, 23,1⋅10-4 da 0,01 ricxvebidan umciresia
1) 2,9⋅10–3 2) 0,31⋅10–2 3) 23,1⋅10–4 4) 0,01.
2. Tu √a2(–b) =30 da a=–2√3 , maSin b=
1) 75 2) –75 3) 5√3 4) –2,5.
3. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebze agebuli kvadratebis farTobebia 49 sm2 da
25 sm2. ipoveT samkuTxedis hipotenuza.
1) 74 sm 2) 12 sm 3) √74 sm 4) 24 sm.
4. vTqvaT, a³0. maSin √a4 aris
1) √a -s kvadrati 2) a-s kvadrati
3) √a8 -s kvadrati 4) √a16
-s kvadrati.
5. √x ·√x3 =
1) √x5 2) √x23 3) √x56 4) √x26 .
73
6. √(π2–10)2 =
1) π2–10 2) 10–π2 3) π–10 4) 10–π.
amoxseniT amocanebi
7. marTkuTxedis sigrZe siganeze 2,4-jer metia. am marTkuTxedis perimetri 6,8√10
sm-ia. ipoveT misi farTobi.
8. ricxviT wrfeze mocemulia wertilebi: P(3,2) da Q(3,3). daasaxeleT raime
wertili racionaluri koordinatiT da raime wertili iracionaluri koordinatiT,
romlebic P da Q wertilebs Soris Zevs.
pasuxebi da miTiTebebi:
1 2 3 4 5 6
3 2 3 3 3 2
1. es ricxvebia 0,0029; 0,0031; 0,00231 da 0,01. maTgan umciresia 0,00231.
2. pirobiT, √12·(–b) =30, saidanac –b= 90012
, b=–75.
4. √a4 = √a28 .
6. π<√10, |π2–10|=10–π2.
7. marTkuTxedis sigane aRvniSnoT x-iT, sigrZe _ 2,4x-iT, pirobiT, 6,8x=6,8√10 sm,
saidanac x=√10 sm. marTkuTxedis farTobia 2,4x2=24 (sm2).
pasuxi: 24 sm2.
8. wertili, romlis koordinati racionaluria da Zevs PP-sa da Q-s Soris, aris,
magaliTad, A(3,21).
gaiTvaliswineT, rom 3,22=10,24; 3,32=10,89. magaliTad, √10,3 iracionaluria da ZevsP
P da Q wertilebs Soris.
SeiZleba moswavles gaaxsendes, rom iracionaluri ricxvi Caiwereba usasrulo
araperioduli aTwiladis saxiT da moiyvanos aseTi magaliTi:
3,2020020002000020...
yoveli 2-ianis Semdeg 1-iT meti nulia, vidre mis win.
Sefasebis sqema1-6 amocanebidan TiToeuli SeiZleba Sefasdes 1 quliT. me-7 da me-8 amocanebis
uxarvezo amoxsna _ or-ori quliT.Tu me-7 amocanaSi moswavlem marTkuTxedis siganisa da sigrZisTvis SemoiRo
aRniSvnebi x da 2,4x da mocemuli perimetris gamoyenebiT SecdomiT gamoTvala x, SeiZleba naSromi SeafasoT 1 quliT.
me-8 amocanaSic SeiZleba gamoviyenoT 1 qula, Tu moswavlem Seasrula ori moTxovnidan 1 mainc uxarvezod.
74
1.6. proporcia da ukuproporcia
mizani:
proporciis gamoyenebis axali magaliTebis ganxilva, proporciuli da
ukuproporciuli sidideebis garCevis unaris ganviTareba, proporciulobisa da
ukuproporciulobis aRmoCena.
proporciulobis da ukuproporciulobis Tvisebebs mravali gamoyeneba aqvs TviT
maTematikaSi. magaliTad, geometriuli figurebis msgavsebis, trigonometriuli
funqciebis Tvisebebis ganxilvisas; isini gamoiyeneba fizikis, qimiis, biologiis,
geografiis kursebSic. maswavlebelma SeiZleba es Tvisebebi procentebze amocanebis
amoxsnis drosac gamoiyenos.
sakiTxis Seswavlas praqtikuli amocanis (problemis) dasmiT viwyebT. sidideebs
OSoris proporciul damokidebulebas da Sefardebebis tolobas amocanis Sinaarsis
mixedviT vRebulobT (1 kvadratuli metris SesaRebad saWiro saRebavis odenobis
sapovnelad or Sefardebas vRebulobT. maTi gatolebiT proporcias vwerT).
maswavlebelma SeiZleba isaubros sidideebis Sefardebaze. es sakiTxi maT wina
klasSic ganixiles (sivrculi figurebis Sedarebisas _ moculobis ganxilvis dros);
sigrZis Sefardeba sigrZesTan, farTobis farTobTan, moculobis moculobasTan
_ es sidideebi erTi da imave erTeulebSi unda iyos gamosaxuli da maSin isini
ricxvebis SefardebiT gamoisaxeba. faqtobrivad mimdinareobs propodevtikuri
muSaoba SemdgomSi msgavsebisa da sxva sakiTxebis ganxilvis dros proporciebisa
da proporciuli sidideebis sworad gaazrebisa da CawerisTvis. es Tema momavalSi
xSirad gamoiyeneba (magaliTad, proporciuli koordinatebi, wrfivi gantolebebis
proporciuli koeficientebi, proporciuli monakveTebi samkuTxedebSi, wreSi da
sxva).
erT-erTi mniSvnelovani Tema, romelic SemdgomSi ganixileba, kuTxis gadamkveTi
wrfeebiT proporciuli monakveTebis miRebis sakiTxia. am Temas Cven nawilobrov am
paragrafebSic vexebiT, Tumca, mxolod im SemTxvevaSi, roca monakveTebis Sefardebebi
mTeli ricxvebia da advilia Talesis Teoremis gamoyenebiT am Teoremis ganzogadeba.
ufro rTuli SemTxvevebis ganxilva ise, rogorc es kiselevisa da pogorolovis mier
iyo moyvanili, mravali eqspertis azriT, saskolo maTematikaSi ar aris mizanSewonili.
Cven am SemTxvevebs momavalSi farTobebs vukavSirebT (asea bevr ucxour gamocemaSi,
ase iyo evklidesTanac).
paragrafSi warmodgenili amocanebi am mimarTulebiT masalis gavlis Semamza-
debeli samuSaoebia.
pasuxebi da miTiTebebi:
10 ukuproporciuli sidideebis namravli mudmivia. samkuTxedis nebismieri
gverdis sigrZis am gverdisadmi gavlebul simaRleze namravlis naxevari samkuTxedis
farTobia _ mudmivia, e. i. samkuTxedis gverdebi maTdami gavlebuli simaRleebis
ukuproporciulia.
75
20 2 tumbo tumbavs 15 saaTSi;
1 tumbo _ 30 saaTSi;
5 tumbo _ 6 saaTSi.
SeiZleba gamoviyenoT ukuproporciuli sidideebis Tviseba _ maTi namravli
mudmivia, miviRebT: 2⋅15=5x, saidanac x=6 (sT).
23 b) Vkup
=a3, a _ wiboa, wibos orjer gazrdiT moculoba 8-jer izrdeba.
d) wakiTxuli gverdebis ricxvis gaormagebas, sazogadod, ar mosdevs arc
wasakiTxi gverdebis gaormageba, arc orjer Semcireba, amrigad, b) da d) SemTxvevaSi
dasaxelebuli sidideebi arc proporciulia, arc _ ukuproporciulia.
29 vatos mier SeTavazebuli amocanis amoxsna SeiZleba ase warmovadginoT:
3 qaTami _ 3 dR _ 3 kvercxs
12 qaTami _ 3 dR _ 12 kvercxs
12 qaTami _ 12 dR _ 48 kvercxs.
gaizarda 4-jer qaTmebis odenoba, kvercxebis odenobac gaizarda 4-jer; dReebis
odenobis 4-jer gazrdamac gamoiwvia kvercxebis odenobis 4-jer gazrda.
30 3 xelosani 5 dReSi _ 60 fanjara
3 xelosani 1 dReSi _ 12 fanjara
3 xelosani 2 dReSi _ 24 fanjara
1 xelosani 2 dReSi _ 8 fanjara
8 xelosani 2 dReSi _ 64 fanjara
radgan xelosnebis odenoba da maT mier SeRebili fanjrebis odenoba proporciuli
sididebia, amitom moswavleebma III etapis Semdeg SeiZleba daiweron proporcia.
243
= 64x
, saidanac x=8.
pasuxi: 8 xelosani.
31 Tveebisa da jariskacebis odenobebi ukuproporciuli sidideebia. amitom
7⋅560=10x, saidanac x=392. 10 Tvis manZilze sakvebi 392 jarikacs eyofa, amitom
560–392=168 jariskaci unda gadavides sxva nawilSi.
32 SAMK= 23
SAMC= 23
· 14
SABC= 16
·36=6 (sm2).
33 . miiReba 100⋅100⋅100=1000000 kubi. maTgan Seqmnili mwkrivis sigrZea 1000000
sm=10 km.
36 wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemas aqvs saxe:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
pirobiT, a1a2
=b1b2
;
76
Tu a1a2
= b1b2
≠c1c2
, sistemas ara aqvs amonaxsni;
Tu a1a2
= b1b2
=c1c2
, sistemas aqvs uamravi amonaxsni;
am sistemas ar SeiZleba hqondes erTaderTiU amonaxsni.
37 a) vTqvaT, samkuTxedis gverdebia m, n da p, mocemuli marTkuTxa samkuTxedisa
ki _ a, b da c, c2=a2+b2.pirobis Tanaxmad, m=ak, n=bk da p=ck, k proporciulobis koeficientia. maSin
m2+n2=a2k2+b2k2=(a2+b2)k2=c2k2=p2.piTagoras Teoremis Sebrunebuli Teoremis Tanaxmad m, n da p gverdebiani
samkuTxedi marTkuTxaa.
b) Sebrunebul Teoremaa: Tu samkuTxedi marTkuTxaa, maSin misi gverdebi mocemuli
marTkuTxa samkuTxedis gverdebis proporciulia.
es Teorema mcdaria.
38 vTqvaT, mocemulia marTkuTxa samkuTxedebi, romelTa gverdebia 3 sm, 4 sm, 5
sm da 5 sm, 12 sm da 13 sm. cxadia, es gverdebi araa proporciuli.
1.7. proporciul nawilebad dayofa
mizani: mocemuli ricxvebis nawilebad dayofis cnebis gaazreba da gamoyeneba
amocanebis amosaxsnelad.
gakveTils viwyebT statistikur monacemTa erT-erTi TvalsaCino xerxis _ wriuli
diagramis Sedgenis amocanis ganxilviT. am amocanis ganxilvas mivyavarT sididis (am
SemTxvevaSi sruli kuTxis) mocemuli ricxvebis proporciul nawilebad dayofis
amocanamde. aseTi warmodgena kargad gamosaxavs monacemTa Soris Tanafardobebs.
proporciuli dayofa konkretuli magaliTis warmodgeniT aRiwereba.
klasSi yuradReba unda gavamaxviloT im SemTxvevis ganxilvazec, roca gviwevs
mocemuli ricxvebis Sebrunebuli ricxvebis proporciul nawilebad dayofa. am
SemTxvevas zogjer gamosaxaven, rogorc mTelis mocemuli ricxvebis ukuproporciul
nawilebad dayofas. magaliTad, roca sami muSidan erTi da imave samuSaos Sesruleba
pirvels 6 saaTSi SeuZlia, meores _ 8 saaTSi, mesames _ 9 saaTSi, maSin erTsa da
imave droSi maT mier Sesrulebuli samuSaos moculobebi (odenobebi) am ricxvebis
Sebrunebuli ricxvebis ( 16
-is, 18
-is, 19
-is) proporciulia. am SemTxvevaSi amis axsna ar
aris Zneli _ 16
aris pirveli muSis mier 1 saaTSi Sesrulebuli samuSaos nawili, 18
_
meoris, 19
_ mesamis).
davalebebi mravalferovania (magaliTad, aris amocanebi geometriuli figurebis
Tvisebebis Sesaxeb, Senadnobebze, farTobebze). amasTanave, umjobesia erTi tipis
amocanebidan nawili klasSi amovxsnaT, danarCeni saxlSi. magaliTad, klasSi
sasurvelia amoixsnas 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 12 , 15 , 17 , 19 , 20 -is g) da d)
amocanebi.
77
pasuxebi da miTiTebebi:
9 miTiTebis gaTvaliswinebiT,
18
x+ 16
x+ 15
x=118, saidanac x=240.
I-s daumzadebia 18⋅240=30 detali, II-s _ 1
6⋅240=40 detali, III-s 1
5⋅240=48 detali.
11 Tu kubebis wiboebs aRvniSnavT 3x da 4x-iT, maSin, pirobis Tanaxmad,
(3x)3+(4x)3=156, saidanac x3=127
. I kubis moculobaa 27x3= 3247
sm3, II kubis _ 64x3= 7687
sm3.
12 pirveli ricxvi ise Seefardeba meores, rogorc 2:3=8:12; meore ise Seefardeba
mesames, rogorc 4:5=12:15; es ricxvebi aRvniSnoT 8x, 12x da 15x-iT. pirobiT,
8x+12x+15x=140, saidanac x=4. es ricxvebia 8⋅4, 12⋅4 da 15⋅4.
13 samkuTxedis pirveli da meore gverdebi ise Seefardeba, rogorc 2:3=8:12,
meore da mesame gverdebi, rogorc 4:5=12:15. e. i. samkuTxedis gverdebi proporciulia
ricxvebis 8, 12 da 15. es SesaZlebelia _ aseTi samkuTxedi arsebobs.
14 muSebis mier Sesrulebuli samuSao _ damzadebuli detalebis odenobebi 14
,
16
da 14,5 ricxvebis proporciulia. e. i.
14
x+ 16
x+ 14,5
x=460, saidanac x=720.
pirvelma daamzada 14⋅720=180 detali, meorem _ 1
6 ⋅720=120 detali, mesamem _
14,5
⋅720=160 detali.
16 avtomanqanisa da motociklis siCqareebi, Sesabamisad, 5-isa da 2-is
proporciulia. amave ricxvebis proporciuli iqneba maT mier gavlili manZilebic. e.
i. avtomanqanas gavlili eqneba 280⋅57
=200 km.
17 SemoviRoT aRniSvnebi: iyides x wigni da 40–x rveuli; es odenobebi Sesabamisi
fasebis ukuproporciulia, x40–x
=1312
, x40–x
= 23
saidanac 3x=80–2x, x=16. iyides 16 wigni.
saxelmZRvaneloSi miTiTebuli gziT:
nayidi wignebisa da rveulebis raodenoba maTi jamis ukuproporciulia, e. i.
wignebis da rveulebis raodenoba aris 13
da 12
proporciuli:
13
x+ 12
x=40, saidanac x=48.
wignebis raodenobaa 13⋅48=16.
78
18 wertilis mier yoveli gverdis gavlaze daxarjuli dro am gverdze moZraobis
siCqaris ukuproporciulia, e. i. AB, BC da CA monakveTebis gavlisas daxarjuli
droebi SeiZleba aRvniSnoT 14
x, 13
x da 16
x-iT. pirobiT, 14
x+ 13
x+ 16
x=36, saidanac x=48.
AB-s gavlaze daxarjuli droa 14⋅48=12 wm, AB-s sigrZea 12⋅4=48 m. BC da CA-s gavleze
daxarjuli droebia, Sesabamisad, 13⋅48=16 wm da 1
6 ⋅48=8 wm.
19 erTi da imave Tanxis wignebis odenobebi wignis fasis ukuproporciulia. am
amocanaSi 4, 5 da 10-lariani wignebis odenobebi proporciulia ricxvebis: 14
, 15
da 110
.
14
x + 15
x + 110
x =880, saidanac x=1600.
4-lariani wignebis odenobaa 14⋅1600=400, 5-larianis _ 1
5⋅1600=320, 10-larianis _
110⋅1600=160.
20 radgan B-dan gavlebuli wrfiT Seqmnili ori samkuTxedis simaRleebi saerToa,
maTi farTobebi proporciulia wrfis mier AC gverdze Seqmnili monakveTebis
sigrZeebis.
amocanis amosaxsnelad gavavloT BD wrfe ise, rom, DÎAC da a) AD=DC, b) AD:DC=1:2,
g) AD:DC=2:3. d) gavavloT BD da BE wrfeebi ise, rom DÎAC, EÎAC da AD:DE:EC=1:2:3.
aseTi dayofa moswavleebs araerTxel CautarebiaT.
1.8. ricxviTi utoloba. utolobaTa damtkiceba
mizani: moswavlem gaixsenos ricxviTi utolobebis Tvisebebi, SeZlos yoveli
Tvisebis sailustracio magaliTebis moyvana; daakavSiros ricxviTi utolobebi
sakoordinato wrfesTan; SeZlos Tundac zogierTi Tvisebis dasabuTeba
algebruli da geometriuli xerxebiT. gaixsenos ori ricxvis ariTmetikuli
da geometriuli saSualoebi, kavSiri maT Soris, am kavSiris damtkiceba.
moaxdinos ariTmetikul da geometriul saSualoebs Soris kavSiris geometriuli
interpretacia; SeZlos utolobaTa gamoyeneba amocanebis amoxsnisas.
utolobebis Tvisebebis gaxsenebisas moswavleTaTvis ar aris savaldebulo
yoveli maTganis dasabuTeba, es dasabuTebebi qvemoTaa warmodgenili:
1. (tranzituloba). Tu a>b da b>c, maSin a–b>0 da b–c>0, saidanac (a–b)+(b–c)>0, a–b+b–c>0, a–c>0 da a>c.
amave Sedegs miviRebT, Tu mocemul utolobebs davukavSirebT geometriul
warmodgenebs:
a>b da b>c utolobebis Tanaxmad ricxviT wrfeze a aris b-s marjvniv, b aris
c-s marjvniv, anu a aris c-s marjvniv, rac niSnavs, rom a>c.
79
2. (ricxvis mimateba)Tu a>b, maSin a–b>0 da nebismieri c-sTvis a+c–c–b>0, (a+c)–(b+c)>0, a+c>b+c.
mocemuli utolobebi davukavSiroT ricxviT wrfes.
Tu ricxviT wrfeze a aris b-s marjvniv da orives gadavwevT erTi da imave
mimarTulebiT c erTeuliT, maTi urTierTganlageba ar Seicvleba, anu a+c>b+c.
3. (ricxvze gamravleba)Tu a>b, c>0, maSin a–b>0, (a–b)c>0, saidanac ac–bc>0 da ac>bc.Tu a>b da c<0, maSin a–b>0, (a–b)c<0, saidanac ac–bc<0 da ac<bc.
4. (utolobaTa Sekreba).Tu a>b, c>d, maSin a–b>0, c–d>0, saidanac (a–b)+(c–d)>0, (a+c)–(b+d)>0, a+c>b+d.
5. (utolobaTa gamravleba).Tu a, b, c, d dadebiTi ricxvebia da a>b, c>d, maSin a–b>0, c–d>0, saidanac
(a–b)c>0, (c–d).b>0. am utolobaTa SekrebiT miviRebT: ac–bc+bc–bd>0, ac–bd>0, ac>bd.savarjiSoebi 1 - 15 savaldebuloa yvela moswavlisTvis. maTgan zogi
saSinao davalebad SeirCeva. 16-36 savarjiSoebidan SeirCes da klasSi Sesruldes
maswavleblis SexedulebiT, klasis donis gaTvaliswinebiT. aqtivobis gafarToeba
SeiZleba ganxorcieldes ariTmetikul da geometriul saSualoebs Soris
Tanafardobis gaxsenebiT, dasabuTebiT da savarjiSoebiT: 37 - 43 .
vTqvaT, a≥0, b≥0. am ricxvebis geometriuli saSualo ar aRemateba ariT-
metikul saSualos: a+b2
≥√ab (1). marTlac, utoloba ase gadavweroT: a+b2
–√ab≥0,
saidanac miviRebT nebismieri arauaryofiTi a da b-sTvis WeSmarit utolobas:
(√a –√b )2
2≥0, rasac mivyavarT (1) utolobis damtkicebasTan.
sasurvelia klasSi amoixnas 37 -e amocana, romelic am utolobis dasabuTebis
kidev erT xerxs warmoadgens. sxvadasxva xerxis gamoyeneba xels uwyobs kritikuli
azrov nebis ganviTarebas, maTematikis sxvadasxva nawilis erTianobis gaazrebas.
1 Tu a–b<0, maSin a<b da amitom a≤b.
2 Tu a–b=0, maSin a=b, amitom a≤b.
3 –7,5a>–6,5a utoloba ase gadavweroT: (–a)⋅7,5>(–a)⋅6,5, am utolobasTan
erTad gaviTvaliswinoT, rom 7,5>6,5. maSin miviRebT: –a>0, a<0.zogierTebi aseT gzas amjobineben: mocemuli utolobisTvis 7,5a ricxvis
damatebiT miviRebT: 0>1,5a. aqedan, a<0.
14 pirobiT, 3<b<5, –7<–a<–4. am ori utolobis SekrebiT miviRebT: –4<b–a<1.
15 - 18 amocanebSi gaviTvaliswinoT, rom Tu a>b>0, maSin 1a <
1b :
16 piroba ase gadavweroT: 1≤a≤3, 14 ≤
1b ≤
12 da miRebuli utolobebi gadavam-
ravloT: 14 ≤
ab ≤
32 .
80
17 piroba ase gadavweroT: 2≤a≤3,5; 14 ≤
1b ≤
25 da miRebuli utolobebi
gavamravloT: 12 ≤
ab ≤
75 .
ab -s umciresi mniSvnelobaa
12 .
18 2≤a≤3 da 16 ≤
1b ≤
25 utolobebis gadamravlebiT miviRebT:
13 ≤
ab ≤1,2.
21 gamoviyenoT utolobebis ricxvze gamravlebisa da Sekrebis Tvisebebi:
3x>16,8, 4y>6, 3x+4y>22,8. 3x+4y-is umciresi mTeli mniSvnelobaa 23.
22 a≤7,2 da –b<12,8 utolobebis SekrebiT miviRebT: a–b<20. a–b gamosaxulebis
mniSvneloba 20 ver gaxdeba.
23 x>–15 da –2y≥5 utolobebis SekrebiT miviRebT: x–2y>–10.
24 pirobiT, a>0, b>0 da b>a, anu b–a>0. maSin 1a –
1b =
b–aab >0, saidanac
1a >
1b . miviReT, Tu 0<a<b, maSin
1a >
1b . utolobaTa am Tvisebas xSirad
gamoviyenebT.
25 a>0. ganvixiloT sxvaoba: a+ 1a –2=a
2+1–2aa =(a–1)2
a ≥0. miviReT a+ 1a –2≥0 a–s
nebismieri dadebiTi mniSvnelobisTvis, saidanac a+ 1a ≥2.
axla dasabuTebis sxva xerxi gamoviyenoT:
a da 1a dadebiTi ricxvebisTvis davweroT kavSiri ariTmetikul da geometriul
saSualoebs Soris:
a+ 1a
2 ≥√ a·1a , saidanac a+ 1
a ≥2. a+ 1a =2 tolobas adgili aqvs, roca a=1.
26 ganvixiloT a+ 1a +2 gamosaxuleba da gaviTvaliswinoT, rom a<0. maSin
a+ 1a +2=a
2+1+2aa =(a+1)2
a ≤0. amrigad, a+ 1a +2≤0 nebismieri uaryofiTi a-sTvis, saidanac
a+ 1a ≤–2. SeiZleba dasabuTebis aseTi gza avirCioT: davweroT kavSiri ariTmetikul
da geometriul saSualoebs Soris –a da – 1a dadebiTi ricxvebisTvis:
–a+(– 1a )2 ≥√ –a·(– 1
a ) , saidanac miviRebT: –a– 1a ≥2, a+ 1a ≤–2.
amave formulas iolad miviRebT dadebiTi ricxvebisTvis damtkicebuli
formulidanac. marTlac, Tu b>0, maSin b+ 1b ≥2. Tu am utolobas gavamravlebT
(-1)-ze da (–b)-s aRvniSnavT a-Ti, miviRebT a+ 1a ≤−2, Tu a<0.
28 mivaqcioT yuradReba, rom pirobiT, a SeiZleba gautoldes 3,4-s, b ver
gautoldeba 4,6-s. e. i. a+b<3,4+4,6, a+b<8. udidesi mniSvneloba 7.
81
29 piroba ase gadavweroT: x≥4,8, –y≥2,6. am utolobebis SekrebiT miviRebT:
x–y≥7,4.
30 piroba ase gadavweroT: x<12,4, –y≤3,6. am utoloebebis SekrebiT miviRebT:
x–y<16. udidesi mTeli mniSvnelobaa 15.
31 x≥7,2 utolobidan –3x≤–21,6. miRebuli da y≤100 utolobebis SekrebiT
miviRebT: y–3x≤78,4. udidesi mniSvnelobaa 78,4.
35 a) 4x2+4x+1+8=(2a+1)2+8, umciresia 8;
b) a2+4a+4–3=(a+2)2–3, umciresia -3;
g) 25x2–20x+4+8=(5x–2)2+8; umciresia 8;
d) 16a2–40a+25+25=(4a–5)2+25. umciresia 25;
36 giorgis mier gavlili manZilia S1=3V2+5V1, laSas mier gavlili manZili
_ S2=4V2+4V1, S2–S1=V2–V1>0, radgan V2>V1. amrigad, S2>S1 _ laSas mier gavlili
manZili metia.
37 ADC da CDB samkuTxedebidan h2=b2–d2 da h2=a2–e2. am tolobebis SekrebiT
miviRebT:
2h2=a2+b2–d2–e2. h2= c2–d 2–e2
2
radgan c=d+e, miviRebT h2=de,h=√de – marTkuTxa samkuTxedSi marTi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle
kaTetebis gegmilebis geometriuli saSualoa. igulisxmeba kaTetebis gegmilebi
hipo te nuzaze.
amasTanave viciT, rom marTi kuTxis wverodan gavlebuli mediana hipotenuzis
(anu d+e-s) naxevaria: CO= d+e2 . marTi kuTxis wverodan gavlebuli mediana
hipotenuzaze kaTetebis gegmilebis ariTmetikuli saSualoa.
CO da CD (Tu D wertili ar emTxveva O wertils) aris, Sesabamisad C
wertilidan AB wrfisadmi gavlebuli daxrili da marTobi. CO da CD daemTxveva
erTmaneTs, Tu ∆ABC tolferdaa (maSin d=e), sxva SemTxveavSi CO>CD _ daxrilis
sigrZe marTobis sigrZeze metia. _ COD samkuTxedSi CO hipotenuzaa, CD kaTetia
da CO>CD.
miviReT, CO≥CD, anu d+e
2 ≥√de _ ariTmetikul da geometriul saSualoebs
Soris kavSiris dasabuTebis erT-erTi geometriuli xerxi.
38 viyenebT ariTmetikul da geometriul saSualoebs Soris kavSirs.
a+b
2 ≥√ab , b+c
2 ≥√bc , a+c
2 ≥√ac ,
utolobebis SekrebiT miviRebT:
a+b+b+c+a+c
2 ≥√ab +√bc +√ac ,
a+b+c≥√ab +√bc +√ac .
82
39 a) pirobiT, a>0, b>0, a>b, saidanac a+b>0, a–b>0. maSin
a2–b2=(a–b)(a+b)>0.miviReT, a2–b2>0, a2>b2.meore xerxi. a>b da a>b utolobaTa gamravlebiT miviRebT a2>b2.
mesame xerxi. vTqvaT a>0, b>0, a>b da a2<b2. am SemTxvevaSi 1a <
1b da am utolobis
a2<b2-ze gamravlebiT miviRebT a<b, rac ewinaaRmdegeba amocanis mocemulobas.
meoTxe xerxi: erTmaneTs SeadareT a gverdiani da b gverdiani kvadratebis
farTobebi.
b) davamtkicoT, rom Tu a>b, maSin a3>b3.pirveli xerxi. gavamravloT a>b, a>b da a>b utolobebi. miviRebT a3>b3.
meore xerxi. Tu a>b, maSin a–b>0. ganvixiloT sxvaoba:
a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)=(a–b)(a2+2a b2 +
b2
4 +3b2
4 )=(a–b)((a+ b2 )2+
3b2
4 )>0.
miviReT, rom a3–b3>0, a3>b3.davamtkicoT Sebrunebuli debuleba.
Tu a3>b3, maSin a3–b3>0, (a–b)(a2+ab+b2) >0.meore Tanamamravli dadebiTia nebismieri a da b-sTvis. e. i. a–b>0, a>b.SeiZleba sawinaaRmdegos daSvebis xerxis gamoyenebac (ixileT a) amocana).
g) davamtkicoT, rom, Tu ad–bc<0, maSin ab M<
cd , sadac a, b, c da d dadebiTi
ricxvebia.
Tu ad–bc<0, maSin ad<bc. am utolobis 1
bd dadebiT ricxvze gamravlebiT
miviRebT,
ad· 1bd <bc· 1
bd , saidanac ab M<
cd .
davamtkicoT Sebrunebuli Teorema:
vTqvaT, ab M<
cd . utolobis orive mxare gavamravloT bd dadebiT ricxvze,
miviRebT
ab ·bd< c
d ·bd, saidanac ad<bc, ad–bc<0.
40 a) dadebiTi a da b ricxvebisTvis WeSmaritia, rom 1
a+b<1a ,
1a+b<
1b .
utolobebis SekrebiT miviRebT: 2
a+b<1a +
1b .
b) dadebiTi a, b da c ricxvebisTvis WeSmaritia:
1
a+b+c<1
a+b , 1
a+b+c<1
b+c , 1
a+b+c<1
a+c .
utolobebis SekrebiT miviRebT dasamtkicebel utolobas.
41 cnobilia kavSiri saSualoebs Soris: a+b
2 ≥√ab ; b+c
2 ≥√bc ; a+c
2 ≥√ac ;
saidanac, a+b≥2√ab , b+c≥2√bc , a+c≥2√ac .
utolobebis gamravlebiT miviRebT:
(a+b)⋅(b+c)⋅(a+c)≥8√a2b2c2 , (a+b)⋅(b+c)⋅(a+c)≥8abc.
83
42 a) x2+2√x2+1
=x2+1+1√x2+1
=x2+1√x2+1
+1
√x2+1=√x2+1+
1√x2+1
axla gamoviyenoT a+1a ≥2 utoloba, roca a=√x2+1, miviRebT: √x2+1+
1√x2+1
≥2.
amrigad, x2+2√x2+1
≥2.
b) viyenebT a+1a ≥2 utolobas, roca a=x2, x≠0. miviRebT, x2+
1x2 ≥2,
x4+1x2 ≥2, saidanac
x2
x4+1≤12 .
(me-15 amocanaSi davasabuTeT: Tu a>0, b>0 da a>b, maSin 1a <
1b ).
roca x=0, maSin x2
1+x4 =0 da, cxadia, x2
1+x4≤2. amrigad, nebismieri x-sTvis davasa-
buTeT b) utoloba.
43 vTqvaT, manZilia S da pirvel SemTxvevaSi siCqarea vkm/sT. meore
SemTxvevaSi turistis mier daxarjuli dro ase gamoisaxeba:
S
2(v+1) +S
2(v–1) =Sv
v2–1 , v>1; pirvel SemTxvevaSi _ Sv .
Sesadarebelia v
v2–1 da 1v sidideebi. ganvixiloT sxvaoba:
v
v2–1 –1v =
v2–v2+1(v2–1)v =
1(v2–1)v >0.
amrigad, v
v2–1 >1v . meore SemTxvevaSi daxarjuli dro metia.
1.9. wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema
mizani: moswavle daeuflos wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis amoxsnis
xerxebs, amoxsnis Caweras ricxviTi SualedebiT, SeZlos praqtikuli amocanis
modelirebisas (saTanado SemTxvevebSi) wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis
Sedgena, amoxsna da amonaxsnis interpretacia.
paragrafSi warmodgenili masalis ganxilvas SeiZleba sami gakveTili
davuTmoT: I gakveTili _ pirveli nawili, II gakveTili _ meore nawili, III
gakveTili _ Sejameba, codnis ganmtkiceba. I gakveTils viwyebT praqtikuli
amocanis ganxilviT; misi maTematikuri modeli wrfiv orucnobian utolobaTa
sistemaa. gakveTili problemis gadaWraze orientirebuli mecadineobis formiT
tardeba.
maswavlebelma SeiZleba gakveTilis dagegmvis sxva gza airCios, magaliTad,
problema me- 16 _ me- 19 amocanebidan SearCios. SeiZleba romelime ori
amocanis erTdrouli warmodgenac. magaliTad, Teoriul nawilSi warmodgenil
amocanasTan erTad SeiZleba me- 17 amocanis ganxilvac.
84
orive SemTxvevaSi maTematikuri modeli wrfiv orucnobian utolobaTa
sistemaa.
meore gakveTilic praqtikuli amocnis ganxilviT daviwyoT. igi miiyvaneba
3x+4y=50 gantolebis arauaryofiT mTel ricxvebSi amonaxsnebis povnaze. sinjvis
meTodis gamoyenebis gasaadvileblad sasurvelia misi ase gadawera: y= 50–3x4 . cxadia,
x luwia, da x<17; sinjvis meTodi gvaZlevs: x=2, y=11; x=6, y=8; x=10, y=5; x=14, y=2.
amis Semdeg SeiZleba diofanturi gantolebis mTel ricxvebSi nebismieri mTeli
amonaxsnis warmodgena da maTgan arauaryofiTis Ziebis procesSi utolobaTa
sistemis gamoyeneba.
paragrafis meore punqtSi ganxilulia utolobebis gamoyenebis magaliTebi
wrfivi orucnobiani gantolebis amonaxsnebidan, amocanis pirobebis mixedviT
sasurvelis SerCevisas. am SerCevas utolobaTa sistemis amoxsnamde mivyavarT.
gavixsenoT, rom diofantes gantolebaa ax+by=c, sadac a, b da c mTeli
ricxvebia da veZebT gantolebis mTel amonaxsnebs.
Tu (x0;y0) aris diofantes gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsni da, Tu a da
b Tanamartivi ricxvebia, maSin am gantolebis yoveli amonaxsni SeiZleba vipovoT
formulebiT: x=x0+bt, y=y0–at, t∈Z.damtkiceba. SevamowmoT, rom, Tu (x0; y0) aris ax+by=c gantolebis erT-erTi
amonaxsni (anu, ax0+by0=c), maSin x=x0+bt da y=y0–at formulebiT mocemuli x da y
ricxvebis wyvilic aris amave gantolebis amonaxsni.
marTlac, a(x0+bt)+b(y0–at)=ax0+by0=c.axla vaCvenoT, rom mocemuli gantolebis nebismier mTel amonaxsns aqvs saxe:
x1=x0+bt, y1=y0–at, t ∈Z.
marTlac, davuSvaT, rom (x1; y1) aris mocemuli gantolebis raime mTeli
amonaxsni, maSin ax1+by1=c.mocemulobis Tanamad, ax0+by0=c.
miviReT, rom ax1+by1=ax0+by0, saidanac x1–x0=ba (y0–y1).
radgan a da b Tanamartivi ricxvebia, amitom ba ukveci wiladia, x1, x0, y1 da y0
mTeli ricxvebia. amitom y0–y1
a aris mTeli da y0–y1
a =t aRniSvnis SemoRebiT miviRebT:
y1=y0–at, x1=x0+bt, t∈Z.paragrafSi ganxilulia praqtikuli amocana, romlis amoxsnas diofantes
gantolebis amoxsnaze daviyvanT.
16 vTqvaT, A iaxtaze x mgzavria, maSin B-ze aris 49–x mgzavri. mocemulobis
Tanaxmad,
x>49–x x>24,5 4(49–x)>x+66, saidanac x<26.radgan x mgzavrTa odenobaa, amitom x=25.
pasuxi: 25 da 24.
85
17 vTqvaT, B-dan gamosuli avtomobilis siCqarea x km/sT, A-dan gamosulis
siCqare iqneba (x+25)km/sT. Sexvedras maT 2 sT-ze naklebi dro moandomes, e. i. 2
sT-Si maT mier gavlili manZilebis jami 300-ze meti iqneboda:
2x+2(x+25)>300.
amasTanave, siCqaris SezRudvis gaTvaliswinebiT, miviRebT sistemas:
2x+2(x+25)>300 x+25<90, saidanac x∈(62,5; 65).B-dan gamosuli avtomobilis mier 4 sT-Si gavlili manZili naklebia 65⋅4=260
km-ze, amitom igi am droSi A-Si Casvlas ver moaswrebs.
18 vTqvaT, baraTebiT isargebla x pensionerma, x<300. baraTebis odenobaa
x+120. pirobiT, 2(x+120)>800 da x+120 aris 10-is jeradi. miviReT sistema:
x<300 2(x+120)>800,
saidanac x∈(280; 300). x aris 10-is jeradi. e. i. x=290.
pasuxi: 290.
19 vTqvaT, B milidan wuTSi gaedineba x litri wyali. carieli avzis orive
milis erTdroulad gaxsnis SemTxvevaSi 10 wuTSi avzSi iqneba 120–10x litri
wyali. pirobiT,
120–10x<60 120–10x>30, saidanac x∈(6;9).pasuxi: B milidan wuTSi gaedineba 6-dan 9 litramde wyali.
20 mocemulis tolfasi sistemaa
x≥2
x≤a–143 .
mas erTaderTi amonaxsni aqvs, Tu a–14
3 =2, saidanac a=20.
21 a) pirobiT, 5+4+x≤15. samkuTxedis utolobebiT:
5+4>x, 4+x>5.
miviReT sistema:
x≤6 x<9 x>1, saidanac x∈(1; 6].
pasuxi: 2 sm; 3 sm; 4 sm; 5 sm; 6 sm.
b) amocanis pirobis da samkuTxedis utolobebis gaTvaliswinebiT vwerT:
8+5+x≤20 8+5>x 5+x>8, saidanac x∈ (3;7],
pasuxi: 4sm, 5sm, 6sm, 7sm.
4 5
x
86
30 a) 3x+5y=60 gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsnia (0;12), nebismieri
mTeli amonaxsnia x=0+5t, y=12–3t, t∈Z.es amonaxsnebi naturaluri iqneba, roca
5t>0 12–3t>0, saidanac t=1, 2 an 3.
pasuxi: (5; 9), (10; 6), (15;3).
sinjvis xerxiT amoxsnisas gamovsaxavT erT-erT ucnobs meoriT. magaliTad,
x=20– 5y3
. aq x>0, y>0, y iyofa 3-ze. y-is SesaZlo mniSvnelobebia: 3; 6; 9. x-is
saTanado mniSvnelobebi: 15; 10; 5. Semdeg amovwerT saTanado wyvilebs (x; y).
b) 5x+7y=140 gantolebidan x=28– 75
y. naturaluri amonaxsnebisTvis 28– 75
y>0,
y>0 da y iyofa 5–ze. saidanac y=5, 10 da 15.
pasuxi: (21;5), (14;10), (7;15).
g) 7x+9y=252 gantolebidan x=36– 97
y. x∈N, amitom 36– 95
y>0, y∈N, y iyofa 7–ze,
saidanac y=7, 14 an 21.
pasuxi: (27;7), (18;14), (9;21).d) 5x+9y=180 gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsnia (0;20), nebismieri mTeli
amonaxsni moicema formulebiT x=0+9t, y=20–5t, t∈Z. naturaluri amonaxsnebisTvis
9t>0 20–5t>0, saidanac t=1, 2 an 3pasuxi: (9; 15), (18;10), (27;5).
31 vTqvaT gamoviyeneT x cali 0,7 litriani qila da y cali _ 0,9 litriani.
maSin, pirobiT, 0,7x+0,9y=20,5, 7x+9y=205.
am gantolebis erT–erTi mTeli amonaxsnia (1;22), nebismieri mTeli amonaxsni
moicema formulebiT: x=1+9t, y=22–7t, t∈Z.
1+9t≥0 22–7t≥0, saidanac t=0, 1, 2 an 3.
qilebis saerTo odenobaa x+y=2t+23. is umciresia, roca t=0.
pasuxi: 23 qila.
32 x=2700+19t, y=–2400–17t. naturaluri amonaxsnebis SesarCevad amovxsnaT sistema:
2700+19t>0 t>–142 219
–2400–17t>0, saidanac t<–141 317
t–s erTaderTi mTeli mniSvnelobaa t=–142.
pasuxi: x=2, y=14.
87
33 SemoviRoT aRniSvnebi: 170 litriani gamoyenebuli kasrebis odenoba iyos
x, 190 litrianis _ y. pirobiT,
170x+190y=3000, 17x+19y=300.wina amocanis pirobidan cnobilia, rom am gantolebis erT-erTi mTeli
amonaxsnia (2700;-2400), nebismieri mTeli amonaxsni moicema formulebiT:
x=2700+19t, y=–2400–17t.erTaderTi mTeli amonaxsni, romelic amocanis pirobas akmayofilebs miiReba,
roca t=-142. maSin x=2, y=14.
pasuxi: SeiZleba. 170-litriani _ 2 kasri. 190 litriani _ 14 kasri.
34 pirobiT, 4n+5m=26. (4;2) am gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsnia. yvela
mTeli amonaxsni moicema formulebiT:
n=4+5t, m=2–4t. t≥−45 4+5t≥0
2–4t≥0, saidanac t≤ 12
da t=0
Sesabamisad, n=4, m=2 da sxva mTeli amonaxsni am gantolebas ara aqvs.
amave Sedegs ufro swrafad miviRebdiT sinjvis xerxis gamoyenebiT.
35 a) 2x+1≥–1 2x+1<10, x∈[–1;4,5).
36 a) –5≤2+3x≤0, –7≤3x≤–2, – 73≤x≤− 2
3. pasuxi: [– 7
3;− 2
3 ]
b) mocemulis tolfasi ormagi utolobaa:
–10<2x–12,3≤–1,2, 2,3≤2x≤11,1, 1,15≤x≤5,55.
37 3x–2a=5 gantolebidan x= 2a+53
. pirobiT, 0≤ 2a+53
<10. saidanac, –2,5≤a<12,5.
38 pirobiT, –1≤y≤8, anu –1≤3x+4≤8. saidanac, – 53≤x≤ 4
3.
39 mocemuli sistema tolfasia sistemis:
25,5x≤102 x≤4 4x≥7–a, x≥ 7–a
4.
am sistemas ara aqvs amonaxsni, Tu 7–a4
>4, saidanac a<-9. pasuxi: (-∞;-9).
40 a) –1<x–1<1, 0<x<2, x∈(0;2); b) –2<x+2<2, –4<x<0; g) –3<2x–1<3, –1<x<2; d) –5<3x–1<5, – 4
3<x<2;
e) x–2>2, an x–2<–2, saidanac, x>4 an x<0; v) x+3>5, an x+3<–5, saidanac, x>2 an x<–8;
z) 2x–4>4, an 2x–4<–4, saidanac, x>4 an x<0.
88
gamocanebi gameorebisTvis
3 - 5 savarjiSoebi sasurvelia mimdevrobiT Sesruldes, isini
azrov nebis donis TandaTanobiT amaRlebas emsaxureba da saTanado unarebis
ganviTarebas uwyobs xels.
15 sazogadod _ ara. magaliTad, √3 da –√3 iracionaluri ricxvebis
ariTmetikuli saSualo (ricxvi 0) ar aris iracionaluri.
16 samkuTxedis a da b kaTetebze agebuli naxevarwreebis farTobebis jamia: πa2
8 +πb2
8 =π⋅a2+b2
8 =πc2
8 _ hipotenuzaze agebuli naxevarwris farTobis tolia.
17 9,3⋅10–6
3⋅10–3=3,1⋅10-6-(-3)=3,1⋅10-3,
20 pirobiT, kompiuteri yovel wm-Si 4⋅106 operacias asrulebs. 1013
operaciis Sesrulebas sWirdeba 10⋅1012
4⋅106=2,5⋅106 wm. es miaxloebiT 29 dRe-Ramea.
21 8⋅1012 operaciis Sesrulebas dasWirdeba 8⋅1012⋅4⋅10-6=3,2⋅107 wm. es
miaxloebiT 370 dRe-Ramea _ weliwadze meti.
22 piroba gadavweroT ase: 1 kuburi milimetri sisxli 5,8⋅106 nawilaks
Seicavs, 50 kuburi milimetri _ 50⋅5,8⋅106=2,9⋅108 nawilaks.
24 g) a2+1 dadebiTia a–s nebismieri mniSvnelobisTvis, amitom utolobis
(a2+1)–ze gayofisas utolobis niSani ar icvleba, miviRebT: x≥ aa2+1
.
d) a-s nebismieri mniSvnelobisTvis –a2–1<0. Sesabamisad, utolobis (–a2–1)-ze
gayofiT utolobis niSani icvleba, miviRebT: x>– a+1a2+1
.
v) a-s nebismieri mniSvnelobisTvis a2+2a+5=(a+1)2+4>0. pasuxi: x>– aa2+2a+5
.
25 SemoviRoT aRniSvna: I yuTSi x birTvia, meoreSi _ (15–x) birTvi. pirobiT,
5x<15–x, saidanac, x<2,5.
pasuxi: I yuTSi SeiZleba iyos 1 an 2 birTvi.
26 a) –4<2x<14, –2<x<7. g) –11<–z≤–1, saidanac, 11>z≥1, anu z∈[1;11). e) –15≤–3y≤–12. saidanac, 5≥y≥4, anu y∈ [4;5].
27 a) utoloba CavweroT ormagi utolobis saxiT:
–1,2<4x–8<1,2, saidanac 1,7<x<2,3. b) 5x–15>0,5 an 5x–15<–0,5. saidanac x>3,1 an x<2,9.pasuxi: x∈(–∞; 2,9)∪(3,1;+∞).
89
g) 2x+10>3 an 2x+10<-3, saidanac x>-3,5 an x<-6,5.
pasuxi: x.d) -3<2x-10<3, 7<2x<13, x∈(3,5;6,5).
28 4a+9b2
≥6√ab, 4a+9b–12√ab2
≥0, (2√a +3√b )2
2≥0 es ki WeSmariti utolobaa,
masTan erTad mocemuli utolobac WeSma ritia.
mocemuli utolobis WeSmaritobas davadgenT, Tu gamoviyenebT damokide-
bulebas ori ricxvis ariTmetikul da geometriul saSualoebs Soris: x+y
2 ≥√xy , x=4a, y=9b.
29 viyenebT utolobebis gamravlebis Tvisebas da viTvaliswinebT, rom a , b, c da d dadebiTi ricxvebia:
a) viyenebT WeSmarit utolobas c2+d 22
≥cd. saidanac, c2+d2≥2cd.
a>b da c2+d2>2cd utolobebis gadamravlebiT miviRebT:
b) c2+d2≥2cd-dan 1c2+d 2
≤ 12cd
(c da d dadebiTebia).
am da b<a utolobebis gadamravlebiT miviRebT, bc2+d 2
< a2cd
.
g) c2-isa da 1-is ariTmetikuli da geometriuli saSualoebis Sedareba gvaZlevs
c2+1≥2c. am da a>b utolobebis gamravlebiT miviRebT: a(c2+1)>2bc.
d) a>b-dan 1a <
1b . am da 2c≤c2+1 utolobebis gamravlebiT miviRebT: 2c
a≤ c2+1
b .
30 SemoviRoT aRniSvnebi:
I bankSi _ x lari, II bankSi _ (8000-x) lari.
pirobiT, x⋅ 4100 +(8000-x)⋅ 3
100 =250. saidanac x=1000.
I bankSi Seutania 1000 lari.
31 SevadginoT sistema:
3m⋅ p100 +7m⋅ q
100 =0,87(3m+7m)
7n⋅ p100 +3n⋅ q
100 =0,83(3n+7n),
gamartivebiT miviRebT:
3p+7q=870 7p+3q=830, p=80, pasuxi: 80%.
32 SemoviRoT aRniSvna: sawyisi xsnaris odenoba _ x kg, marilis
procentuli Semcveloba _ p%. am xsnarSi xp100 kg marilia, romlis odenoba
aorTqlebisas da gamoxdili wylis damatebisas ar icvleba.
90
2 litri (2 kg) wylis aorTqlebis Semdeg darCa (x–2) kg xsnari 20% marilis
SemcvelobiT: (x–2)⋅0,20= xp100 . (1)
(x–2) kg xsnarSi 10 litri (10kg) gamoxdili wylis damatebis Semdeg miiRes (x+8) kg xsnari 10% marilis SemcvelobiT:
(x+8) 0,10= xp100 (2)
(1) da (2) tolobebidan:
2(x–2)=x+8.
saidanac x=12 kg da p=1006 %=16 2
3 %.
sayuradRebo saganmanaTleblo funqcia aqvs `vip~ rubrikiT warmodgenil
amocanebs _ aseTi davalebebi xels uwyobs moswavleebSi yuradRebis koncentrirebis,
eqstremalur pirobebSi mobilizebis unarebis ganviTarebas; qmnis motivacias, rom
sakiTxis damuSavebisas rac SeiZleba naklebi problemebi Seqmnas `teqnologiurma
komponentma~ da mTeli Zalisxmeva gadavides `saazrovno komponentebze~.
sakontrolo wera
I varianti
SearCieT swori pasuxi
1. givim da merabma erTad SeiZines sawarmo. maT mier Cadebuli Tanxebi ise
Seefardeba erTmaneTs, rogorc 3:5. isini sawarmos muSaobiT miRebul mogebas amave
wesiT inawileben. ra Tanxa Sexvdeba givis 21000 lari mogebidan?
1) 2625 lari 2) 13125 lari 3) 7875 lari 4) 7000 lari.
2. mocemuli wyvilebidan ise SearCieT a-sa da b-s mniSvnelobebi, rom a+b–ab iyos
racionaluri ricxvi.
1) a=√3+1, b= –√3 2) a=√3–2, b=√3+23) a=2–√3 , b=2+√3 4) a=√3–2, b=–√3 .
3. Tu –8£a–b£3, maSin |a–b|-s udidesi mniSvnelobaa
1) 11 2) 8 3) 5 4) 3.
4. Tu ax>10 utolobis amonaxsnTa simravlea (–∞; 10a ), maSin
1) a>0 2) a<0 3) a=0 4) a nebismieria.
5. AB da BC monakveTebis Sesaxeb cnobilia, rom AB£5,2 sm, BC<8,8 sm. ra udidesi
mTeli ricxviT SeiZleba gamoisaxos AC monakveTis sigrZe?
1) 14 sm 2) 13 sm 3) 4 sm 4) 3 sm.
6. Tu x ekuTvnis erTdroulad [–3; 5) da [0; 10) Sualedebs, maSin
1) xÎ(– ∞; 1) 2) xÎ[–3; 0] 3) xÎ(5; 10) 4) xÎ[0; 5).
91
amoxseniT amocanebi
7. CawereT a2–5ab, gamosaxulebis mniSvneloba m+n√3 saxiT, mÎZ, nÎZ, roca a=√3+2,
b=√3–2.
8. maRaziam pirvel dRes gayida Saqris maragis 25%, meore dRes _ darCenilis 40^%.
amis Semdeg maRaziaSi sawyisi maragis ramdeni procenti darCa?
pasuxebi:
1 2 3 4 5 6
3 3 2 2 2 4
7. (√3+2)2–5(√3+2)(√3 –2)=7+4√3+5=12+4√3 .
8. 45%
Sefasebis sqema:
1-6 amocanebidan TiToeulis swori pasuxi SeiZleba Sefasdes 1 quliT.
me-7 da me-8 amocanebis srulyofili amoxsnidan TiToeuli Sefasdes 1 quliT.
me-7 amocanis amoxsna umniSvnelo xarvezebiT _ 1 quliT.
me-8 amocanis amoxsna Sefasdes 0 quliT Tu warmodgenili pasuxi: 100–(25+40)=35%.
meore dRes darCenili 75%-idan darCenili Saqris raodenobis SecdomiT gamoTvla
Sefasdes 1 quliT.