Matematika 12. Isplestinis Kursas. 1 Dalis (2003) by Cloud Dancing

8/2/2019 Matematika 12. Isplestinis Kursas. 1 Dalis (2003) by Cloud Dancing

1/192

MATEMATIKA 12dalis


2/192

L E I D J O D I S

Mieli dvyliktokai,is vadovlis skirtas pasirinkusiems iplstin matematikos kurs. Vadovlio pirm dal sudaro1, 2 bei 3 skyriai, antr 4 ir 5 skyriai bei XI-XII klass kurso kartojimo mediaga. Kaipir XI klass vadovlyje, kiekvienas skyrius sudarytas i skyreli, kuriuose dstoma teorija,pateikiami isprsti pavyzdiai ir duodamos uduotys, kurias turtumte atlikti savarankikai.Beveik kiekvieno skyrelio pabaigoje yra pratim ir udavini, susijusi su prie tai nagrintateorine mediaga. Sprsdami udavinius geriau siminsite teorij, giliau suvoksite dalyk. Kaippaprastai, sunkesnij udavini numeriai nuspalvinti.Kiekvieno skyriaus paba igoje yra kartojim o udav ini. Sprsdami iuos udavinius prisiminsiteskyriaus mediag. Tarp j rasite ir geometrijos udavini, kuriuos sprsti mokts pagrindi-nje mokykloje bei XI klasje. Kartojimo udavini skyrelyje su atskiru pavadinimu vairsudav iniai" pateikta udavini, kurie nra tiesiogiai susij su inagrintu skyriumi. iameskirsnyje rasite ir lengvesni, ir sunkesni udavini. Kai kuri udavini sprendimo bdainra aptarti teorijoje, taigi juos sprendiant gali tekti kai k sugalvoti patiems, galbt patarimopaklausti mo kytojo . Kam u davini pasirodys per maai, gals pasinaudoti atskira knygeleileistu udavinynu. vadovl kr ne vien autori kolektyvas, bet ir leidyklos specialistai, konsultantai, ekspe-rimentuojantys m okytojai. Nuoirdiai dko jam e visiems, prisidjusiem s rengiant vadovl.Praome savo pastabas, pageidavimus ir pasilymus sisti adresu:Leidykla TEV, Akademijos g. 4, LT-2021 Vilnius.

Vadovl reng autori kolektyvas:Kornelija Intien, Antanas Skpas, V ilius Stakinas, Euge nijus S tankus, Vladas Vitkus.

Su eksperimentiniu vadovliu dirbo mokytojai: R. Biekien, V. Bartkuvien, K. Intien,M. Jakutien, V. Jankeviien, R . Jonaitien, O. Juodien, A. Karm anova, S. Kava linien,R. Klasauskien, I. Knyzelien, R. Kuiauskien, A. Kukuionien, R. Kulieien, D. Matien,G. Mika lauskien, L. Papu kien, R Puzinait, V. Siinien, V. Stokuvien, A. sien,V. Viniautien, R. elvien, R. eimien.


3/192

M A T E M A T I K A I !I DALIS

I p l s t i n i s k u r s a s

V I L N I U S 2 0 0 3


4/192

UDK 51(075.3)Ma615

Lietuvos Respublikos vietimo ir mokslo ministerijos rekomenduota 2003 02 10 Nr. 75

Recenzavo Matematikos ir informatikos institutas

Darbo vadovas Vilius StaknasRedaktoriai: Juozas Mays, Valdas VanagasProgramin ranga: Tadeu eibak, Rolandas JaktysKompiuterin grafika: Edita TatarinaviitTeksto kompiuterinis rinkimas ir maketavimas: Nijol DrazdauskienKorektor ydrn StundienKonsultantai: Maryt Strikien, Elmundas alys

Leidyklos TEV interneto svetain www.tev.lt

ISBN 9955-491-44-2 (1 da l i s ) Leidykla TEV, Vilnius, 2003 Dail. Edita Tatarinaviit, 2003
http://www.tev.lt/http://www.tev.lt/


5/192

TurinysN a u j j l ai k m a t e m a t i k a 6

I I ve s t ins 151. R ib o s i r iv est in s 162 . I ves t in i t a iky m as fu nk c i jo m s t ir t i 513 . Fu nk c i j i ves t in i ska i iav im o t a isyk ls 644 . T r i g on om e t r i n i f u nk c i j i ve s ti n s 715 . R o d i k l i n s , l o g a r i t m i n s i r l a i p s n i n sf un kc i j i ve s ti n s 796 . Fu nk c i j i ves t in i l a ikym ai 897 . K a r t o j i m o u da v i n i a i 98

II In te gra la i 1078 . P i r m y k t s f u nk c i j o s ir ne a p i b r t i n i a iin t egra la i 1089 . A pib r t in ia i in t eg ra la i 11710. K a r t o j i m o u da v i n i a i 142

I I I T ik im yb s 14711. A tsi t ik t in iai dy diai 14812. Sk a i t in s a t s i t ik t in i dyd ic h a r a k t e r i s t i k o s 1 6 913. K ar to j im o uda v in ia i 177K a r t o j i m o u da v i n i a t s a ky m a i 183


6/192

N au j j la ik m a tem at ikaNatra l ie j i ska i ia i , t aka i , t i ess , a tkarpos . . . Nuo j pras iddavo pa int i s su matemat i -ka pr ie imtus m et, nuo j pras ide da ir dabar . Ka d ios svo kos nra tokios pap ras tos ,ka ip ga li a t rodyt i , s i tik ino jau ant ikins Gra iki jo s m atem at ika i . I t ies , nag r ind am ipapras t lygiaoni s ta tj t r ikamp , a t randame i rac iona lumo re i kin , o viene t ini a tkar-p, tur in i ben dr prad ios tak , ga la i sudaro apsk r i t im kre iv , kur io s i lg i s yrai rac iona lus i s ska i ius . M aa s ingsn e l i s i r m es sus idu r iam e su pas lap t imis , k ur ine mins i pas i te lks vien ska i iavimo i r matavimo gd ius .

Ant ikins Gra iki jos matemat ika i t ik u iuop ias pas lapt i s . Tur jo prae i t i daug ami,kol m atem at ika i i m ok o tyr in t i t a i, kas i rac io na lu " i r kas kre iva" . N au j j la ikmatemat ika i : Kepler i s , Kava l je r i s , Paska l i s , Ferma, Le ibnicas , Niutonas , Dekar tas . . .ge ra i i man ant ikins Gra iki jos matemat ik sukur t moksl , t a iau akla i neklausautor i te t, s iek da m i gau t i na uj rezu l ta t m st irad ing ai , r iz ikingai .. . Ir la im jo !

Dabartis visada prasideda senovjeAnt ik ins Gra ik i j os ma tem a t ika t ar s i kok i a su pe rva igd vys t e l jo ir ugeso . J krus i mo ni ve ika la i daug i au ka ip t ks t an t me t n i eka m Euro poje ne rp jo . T ikra ss tebuklas , kad bent da l i s j i l iko!XVI amiuje Gra iki jos matemat ik ve ika lus imta vers t i Europos ka lbas i r s tudi juot i . i ta ip europ ie ia i a t rado Arch im ed vien i pa i did ia us i prot vi soje m on i josi s tor i jo je .A rchim eda s gim apie 287 m. pr . Kr . S i rak zuo se . Ap ie j inom a daug iau negu apiek i tus G ra ik i jos ma tem a t ikus . J auny s t j e j i s l anks i tuom e t in io mo ks lo cen t re Alek-sandr i j o j e . Sugr s S i rakzus bendravo su Alek sandr i j os moks l i n inka i s l a ika i s ,

Lygiaonio staioj t r ikampio ambinsilgis irac iona lusisskaiius.

Viene t inio apskr i t imoilgis iraciona lusisskaiius.


7/192

Archimedas (gyvenoapie 287-212 m. pr. Kr.).

Tiek Archimedo laikais, tiek ir dabar mon s ne tiekjau daug ino apie savo amininkus matematikus irj atradimus. Taiau Archimedas buvo ymus. Tiesa,daug iau dl savo mechanini iradim. Pavyzdiui,bdamas Egipte, Archimedas irado sraigt renginvandeniui kelti. O romnams, apsiautusiems gimtjArchimedo miest Sirakzus, Archimedo vardas klbaim dl daugyb s jo irast karo main, svaidaniakmenis, ugn, skandinani laivus... Tas mainasArchimedas konstravo draug ir karaliaus papraytas,o pats savo usimim grynja" matematika nebtkeits niek...

kur iuose raydavo apie savo a t radimus . Archimedas mums ne vien t ik pr ie tks tant -me ius gyv enus io moks l i n ink o va rdas. Sen j au to r i pa sak o j ima i pad eda gyva i j s iva i zduot i. Eu reka ! " d i augsm inga i suuko Arch imed as , supra t s k n p ldu -r iavimo dsn . I r iandien mo n s it a ip re i kia d iau gsm vy s te l jus i lga i l aukta ige ra i min i a i . Du oki t e man a t ramos t a k ir a pa jud in s iu e m !" k i t as y mu sArc h im edo posak i s , kur i ame i d idum as d l s avo a trad imo sve r to , o ga l ... ka sdab ar ino i r savot i ko hu m or o a t va i tas. I r pag a l iau pasku t inia i A rch im ed o od ia i ,i ta r t i s iverus iam romn kare iviui : Nel iesk mano br ini!" .Ta iau gr kim e pr ie m atem at iko s . Ko gi na uj j la ik m atem at ika i ga l jo i mo kt i iA r c h i m e d o d a r b ?Figr plot i r kn tr i ska i iavimas vi sada buvo i r prakt ika i , i r t eor i ja i svarbusud aviny s . Gra ika i puik ia i m ok jo j sprs t i , ka i f igros dau giak am pia i , o kna i br iaun a inia i (pr izms , p i ram ids , . .. ). T iesa , toki form ul i plotam s ir tr iam sska i iuot i , kokias naudojame mes , j i e ne inojo . Tod l j i e ne ska i iavo f igr plotus i rkn tr ius , be t lygino juos su inomais ki t f igr plota i s a r kn tr ia i s .Pavyzd iui , pas i rm br inia i s ga l ime nesunkia i s i t ik int i , kad t r ikampio ABC plotassudaro lygia i pus s ta iakampio, kur io kra t in i i lg ia i tokie pa t ka ip AC ir BH, plo to .

A H CSAABC = \SCJABDC SCJABDC = SCJBDFH

SUBDFH = SCIKLCASAABC = ^^CIAKLC


8/192

Taiau kai figra nra daugiakampis, tokiais samprotavimais nieko nepasieksi . Veltuigraik, taip pat i r vlesni laik matematikai band isprst i ymj skri tul io kvadra-tros udavin:Naudo jantis skriestuvu ir liniuote nubraiyti kvadrat, kurio plotas bt lygus viene-tinio skritulio plotui.itaip graik matematikos st i l iumi norta apskaiiuoti" skri tul io plot. Niekam tainepavyko! Tik po imtmei buvo si t ikinta, kad pavykti i r negaljo.Archimedas teisingai isprend daug plot ir tri skaiiavimo udavini. Pavyzdiui ,j is rod, kad rutul io paviriaus plotas lygus keturgubam jo didiojo pjvio plotui(Srut = 4 2 ) , rutulio tris sudaro du tredalius apibrto apie j ritinio trio (mesuraome teigin trio formule V rut = 4 r 3 ) .

Iekodam as sudt ing f igr plot, Arch imeda s supjaus tydavo " jas juosteles , ieko-damas kn tri dalydavo juos plonas plokteles, o po to bandydavo i juostel iplotus ar ploktel i trius sumuoti .O kartais geom etriniams rezultatam s gauti j is pasi telkdavo net m ech anik . Pavy zdiui ,parabol inio t r ikampio" plot Archimedas surado samprotaudamas madaug taip. s i -vaizduokime, kad plotas sveria". Jeigu parabolin t rikamp padsime ant sverto suatram os taku O d einiojo peties svertas nusv irs. Ka d j is l ikt pusiau svy roje, reikiatam t ikr plot udti ant kairiojo peties (arba pakabinti po juo). Remdamasis svertotaisykle Archimedas rod, kad svertas l iks pusiausvyroje, jeigu po petimi OA paka-binsime" tam t ikr t r ikamp . Pasinaudojs tuo Archimedas apskaiiavo i r parabol iniotrikampio plot. Tai bent samprotavimas!

Archimedas nus ta t ,k a d SQAB 5


9/192

Tiesa, pats Archimedas neman, kad tokie, nors ir labai iradingi samprotavimai yra irgautj te igini rodymai . Gavs rezul ta tus , j i s juos gr ie ta i matematika i rodydavo.Kitas svarbus ma tem atiko s uda viny s, kur graikai t ik prad jo tyrinti kreivi I ies-t ini br imo u davinys . Gra ik matem atika i m ok jo nubr t i tik vienos kre ivs apskr i t imo l iest in . I r mes ta i mo kam e: per apskr i t imo spindul io ga l nubrk imestatmen spindu liui ir gau sim e liestin! O k daryti , kai kreiv kitokia: parab ol,hiperbol, e lips, . . .? i ir kit kreivi l iestines imokta braiyti t ik naujaisiais lai-ka is . Iskyrus vien kre iv , kur i tyr indamas Archimedas v l pranoko savo la ikmeiomatemat ikus .Tos kreivs Arc him edo spirals atsiradim galime sivaizduoti ta ip. sivaizdu okim e,kad i spindulio pradios tako O pastoviu greiiu pajuda takas, o pats spindulyspradeda suktis apie savo pradi pastoviu kampiniu greiiu, kurio skait in reikmlygi tako judj imo spindul iu gre i iui . s iva izduokime, kad juddamas takas pa l iekapd sak , t. y. bria k reiv. Si kreiv ir yra Arch im edo spiral .

Arch imed as surado bd , ka ip nubr t i spira ls l ies t in pas ir inktam e take T: nub r-kime ties / , e inani per tak O s ta tmenai a tkarpa i OT ir a t idkime toje t iesjetak P, kad bt OP OT2. Tada t ies, einanti per takus T ir P, bus spiralsliestin.Dan gaus knai ir vyno statinsEurop ie ia i Arch imed o ve ika lus prad jo s tudi juot i t ik pradedant XIII amium i. Pir-miausia juos, inoma, reikjo iversti ir i leist i . Po to perskaityti , suprasti ir bandytikelt i bei sprsti naujus udavinius.Pirmasis naujj laik europietis , kuriam pavyko isprsti daug plot ir tri skaiiavimo udavini vokie i mok sl ininkas Johanas Kepleris . Johanu i Kepler iui(1 57 1- 16 30 ) vis gyv enim teko sunkia i grumtis . I r ne vien t ik su matematikosudavinia is , be t i r sunkiomis gyvenimo apl inkybmis . Danai j i s vos s tengdavo su-durti gal su galu, tekdavo bgti nuo religini persekiojim, karo, netgi kovoti ginantmotin , apkal t int raganavimu. . .Tiesa , 1601 meta is j i s gavo Praho je kara l ikojo as t rono mo vie t su kara l iku" a t lygini-mu. Taiau pasirod, kad t ik paadas tebuvo karalikas valstybs idas buvo tuias,pinig niekas nemokjo i r kar ta is j tekdavo pras imanyt i sudar in jant horoskopus .

Apsk rit imo liestinstatmena spinduliui . Liestins brimas Archimedospiralei: OP = OT2.


10/192

= Z Z Z Z SMs laikais Keplerio vardas daniausiai minimaskalbant apie planet judjimo dsnius. Lengva itarti",planet judjimo orbitos yra elipss", taiau kiekdien ir nakt Kepleris skaiiavo, kol tai nustat!Pavyzdiui, vien skaiiuodamas Marso orbit Keplerisprira daugiau kaip 100 0 lap! Pats jis darbvadino karu su Marsu". Kepleris buvo giliai tikintismogus. Jis man, kad pasaul Dievas sukr pagalmatematin plan ir tik matematikai gali j atskleisti.

Johanas Kepleris (1571-1630)

Ta i au Praho j e Keple r i s ga l jo t y r i n t i j o p i rmtako a s t ronomo Tycho Brahs sukaup-tus a s t ronom in ius duom eni s . I nagr in j s j uo s Keple r is su formu lavo savo ym iuos iusplane t jud j imo dsnius . P i rmasis j t e igia , kad plane tos juda apie Saul ne apskr i t i -mais , be t e l ipsmis . Ant ras i s Kepler io dsnis tv i r t ina , kad spindulys , jungiant i s Saulsu plane ta , per lygius la ikota rpius nubr ia lygiaplo ius sektor ius .

An t ras i s Kepler io dsnis: Jeiplaneta besisukdamaapie Saul S i A B ir i C D nukeliauja per vienoduslaiko tarpus, tai sektori AB ir SCD p lotai lygs.

Taigi ds ny je ka lba m a apie sud t ing f igr e l ipss sektor i plotus . Ka ip ju osapska i iuot i? Kepler i s s iva izdavo, kad ie plota i yra t a rs i sudaryt i i be ga lo dauge l iospindul i . Tere ikia i spindul i bega lyb susumuot i" .Toks po ir i s Ant ikos matemat ikams, ver t inus iems t ik gr ie ta i rodytus te iginius , b-t buv s nepr i im t inas . Ta iau na uj j la ik m atem at ika i m st ki ta ip . J ie nev eng riziking, karta is nela ba i a iki idj ka d t ik gau t te is in g rezu l ta t . Ir gau da vo !


11/192

Didels re ikms naujj la ik matematikos ra ida i tur jo Johano Kepler io ve ika lasgana ke is tu pavadinimu: Naujoj i vyno s ta t ini geometr i ja" .Kar t a tvyks pas vynininkus pirkt i vyno savo ves tuvms Kepler is s teb jo, ka ip j iematuoja statini trius. J is suabejojo, ar te isinga vis statini trius matuoti ta paialiniuote, neatsivelgian t ta i , kad statins b na vairios. Kep leris susim st, ko kieapskritai gali bti knai ir kaip skaiiuoti j trius. J is pradjo nagrinti knus, kuriegaunami sukant plokias f igras apie tam tikras t ieses. Jeigu suksime, pavyzdiui,skritul apie t ies, e inan i per jo centr, ga usim e rutul . Taiau jeig u t ies kertaskritul , bet neina per jo centr, ta i sukant didesnij atkirst skritulio dal gaunamaski toks knas , kur Kepler is pavadino obuol iu. Je igu sukama maesnioj i da l is , gaunamacitr ina". Jeigu skritulys sukamas apie t ies, kuri nekerta skritulio, gaunamas ie-das". Savo ve ika le Kepler is apskai iavo apie 90 nauj kn tr i. Skai iuodamas j isska id knus maas da l is , apyt iks l ia i ska i iuodavo j tr ius i r gautus maus dydiussumuodavo. Pavyzdiui , ied plok tumomis ga l ima suskaidyt i maytes da le les , pa-naias maus r i t inius, ta ikyti joms ri t inio trio formul ir po to gautus trius sumuoti .itaip gaunama iedo trio formul: iedo tris lygus skritulio plotui S, padaugin tami apskrit imo, kur nuskrieja skrituliui sukantis jo centras, i lgio.

Taip sam pro tauja nt kartais galima ir suklysti . Ir Kep leris kartais suklysd avo. Taiausvarbiaus ia N aujo je vyn o s ta t ini geo m etr i joje" buvo d aug id j, kur ias matem a-tikai galjo tikslinti ir pltoti.

Sukant skritulgaunamas rutulys. Sukant maesnijskritulio dalgaunama Kepler iocitrina.Sukant didesnijskritulio dalgaunamas Kepler ioobuolys.

Keplerio iedas.Jo tris V=S C,ia S skritulio plotas,o C ilgis apskritim o,kur prabga centras O.


12/192

Greiiai ir liestinsPlo t i r t r i ska i iav imo udav in d id i j nau j j l a ik m atem at ikos p rob lem nagr in jo dauge l i s ma tem at ik , ku r i va rda i n iekad nebus um ir ti : B . K ava l j e r is ,E. Torielis , B. Paskalis , P . Ferma, D. Volis , . . . Liestins duotajai kreivei brimoudav inys t a ip pa t buvo nag r in jam as . N a u ja s ty r in j im b ruo as kre ivs dana ibdav o s ie jam os su ju d j im u , o l ie s t ins su ta ko , b r ian io k re iv g re i io k ryp t imi .Panagr ink im e , pavyzd iu i , c ik lo id kre iv , ku r i l aba i m go X V I- X V I I am iausm atem at ika i . Je igu v ie nam e ra to take ta isys im e p ie tuk , o ra t ridens ime pale is ien , ta i an t sienos p ie tu kas br kre iv , kur i vad inam a c ik lo ide . J i sudary ta i pas ika r to jan i a rk , p r imenan i s inuso id .

Matemat ikai i sprend daug su c ik lo ide sus i jus i udavin i : surado c ik lo ids arkosilg , ia arka apribotos f igros plot, taip pat rado bd brti cikloids l ies t in.Pavyzdiu i , p rancz matemat ikas Roberval is pas i l c ik lo ids l ies t in bra iyt i ta ip .Kai p ie tukas , briant is c ik lo id yra take A, j i s ta rs i da lyvauja dvie juose judj imuose:s lenka lygiagreia i t iese i gre i iu S j i r sukas i ap ie tak O gre i iu >2 (i>i = >2)Vadinas i , i t ik r j moment in is tako gre i t i s yra v = ; + 1; vektoriaus v kryptis iryra cikloids l ies t ins kryptis . I r tai t iesa.Buvo nag r in jamas i r bendresn i s l i e s t ins duo ta jame ta ke b ra iymo bdas s i ek ian tnus ta ty t i , p r ie kokios t iess ar t ja kre ivs k i rs t in , e inant i per duot j tak i r per k i tkre ivs tak , ar t jan t pr ie p i rmojo . i ta ip , pavyzdiu i , P . Ferma nus ta t , ka ip bra iyt iparabols l ies t ines .

N o r d a m a s n u b r t i p a r a b o l sl ies t in take P , P . Ferma tyr injo ,ka ip ke i ias i pa rabo ls k i r s t ins , e inan ios pe r t a kus P ir Tn pad t i s ,kai Tn ar t ja pr ie P. Kirs t in ar t ja pr ie

tam t ikros r ib ins t iess , kur i i r y raparabo ls l i e s t in t a ke P .

Cikloid kreiv, kuri briar iedanio apskr i t imo takas .

Cikloids l ies t ins braiymas.


13/192

Didieji varovaiTaigi plot ( taip pat ir tr i) skaiiav ima s ir kreivi l iest ini brai ym as du pag rin-dinia i naujj la ik matemat ikos udaviniai . I p i rmo vi lgsnio j ie v is ikai ski r t ingi .velgti , kad j ie yra glaudiai tarpusavyje susi j ir naudojantis iuo suvokimu sukurt inau j matem at ikos rm s teng du gen ia ls m ons I . Niu tonas (1 64 3-1 72 7) i rV. L e i b ni c as ( 1 6 4 6 - 1 7 1 6 ) .J ie buv o labai skirt ingi . Sky rsi visk uo ku o t ik gali skir t is to paties laikm eiom on s: ki lm e, tautybe , interesais , l ikimais , . .. Tik aistra m oks lui ir pro to j ga j iebuvo panas .Izaoka s Niuton as papras to angl v als tieio snus anks t i pajuts painim o ais trsavo ypat ing gabum dka grei ta i k i lo akademins kar jeros la ipta is : tapo Kembridounivers ite to profesor ium i , Karal ikos ios M okslo draugi jos nar iu , vl iau jos prezi -dentu . Neramiame revol iuci j amiuje nugyveno ior ikai ram gyvenim, nes iblak,niekur nekel iavo, v is la ik skyr moks lui , buvo aminink gerbiamas i r ver t inamas .Visai k i ta ip gyveno Vi lhelmas Gotf r idas Leibnicas . I sam klas ikin i s i lavinim j i sg i jo , gal ima sakyt i, neieidam as i nam gaus io je savo tvo teiss p rofesor iausbibliotekoje. Taiau susiskaldiusios kunigaiktystes Vokieti jos universi tetai moks-lo lygiu tol i grau nepri lyg o Ang li jos ir Pra nc zijos unive rsi tetams. Todl isam imatemat ikos ini Leibnicas g i jo bdamas jau apie t r i sde imt ies met, kai Paryiujeben drauja nt su ym iaus ia is ma tema t ikais j apm t ikra ma tema t in kar tl ig . Ne t ik-t inai grei ta i j i s perprato naujj matemat ik i r pats tar tum er te par daugyb naujidj . Idj j i s v isada turjo daugy b vai riose s r ityse: f i losof i jos , m atema t ikos ,poli t ikos, . . . Bu vo prats visk usirain ti , dauge lis lapeli su jo uraa is i liko.I j ga lime sprst i apie net iktinai didelius Leib nico u m oju s ir plan us. Taiau to-ki slyg kaip Niutonas j iems ipl tot i Leibnicas niekada neturjo . Niekada neds tunivers i te te , tarnavo vai r iems didikams i r buvo nuo j pr iklausomas . . . ie du mo ns Niuton as A ngl i jo je ir Leibnicas ko nt inent inje Euro poje ger iaus ia iperprato naujj matemat ikos metod esm, i pl tojo juos , sus is temino i r sukr naujm atem atiko s sr i t diferen cial in i r integralin skaiiav im . J darbai ne tik ireiktas paias idjas apie kreivi l iest ines ir f igr plot ir kn tri skaiiavim, betsavaip jas in terpretavo ir papi ld . Pavyz diui , Niuton as a ikino savo idjas nau do-damasis k i t imo, judj imo terminais , Leibnicas sukr patogesnius ymenis i r naujojoskaiiavimo ta isykles .Neaps iei ta be kar t gin dl pr ior i te t . Taiau j ie seniai nur imo, nuopelnai deramaiver t in t i , o abiej geni j vardai ta ik ia i sugyvena visuose matemat ikos vadovl iuose,kuriuose dstomas diferencial inis ir integralinis skaiiavimas.Pagrindinis io skaiiavimo teiginys taip ir vadinasi: Niutono ir Leibnico formul.Prae is visai ne dau g laiko ir js atversi te puslap su ia form ule ir j su prasi te. Tadapr is iminki te , kad kel i pr ie jos matemat ikai t ies imtmeius .


14/192

Izaokas Niutonas (1643-1727).

Vilhelmas G otfrida s Leibnicas(1646-1726).

Izaoko Niutono talent vaikystje nebuvokam paadinti. Tvas nemo kjo net pasira-yti, be to anksti mir. Ir mokyklojeNiutonas niekuo ypatingai neisiskyr. Motinanet buvo j atsimu si i moky klos, nordam akad jis veikiau imokt vesti k. Bet tamNiutonas dar maiau tiko. Niutono protastartum sibgjo" palaipsniui. Tvirtinama,kad ir matematika jis rimiau usim tada, kainusipirks astrologijos knyg suprato jos neper-skaitysis trko matematikos ini. O paiossvarbiausios matematikos ir fizikos idjos jamkilo 1665-166 7 metais, kai dl kilusio maroudarius universitet jis leido dienas tvikje.

Mokykloje Vilhelmui Leibnicui ne k tebuvoveikti. Savarankikai jis buvo daugiau imoksnei j galjo imokyti mokytojai. Vienas imotyv mokytis Leibnicui buvo noras perskai-tyti tvo teiss profesoriaus knygas.Keturiolikos met Leibnicas jau Leipcigouniversiteto studentas. Vokietijos universitetuosegaljai gerai sigilinti filosofij, taiau mate-matik menkai. Tad ir vienu ymiausiu savoamiaus matematiku V. Leibnicas tapo savaranki-k studij dka. Tiesa, bendravo su ymiausiaismatem atikais Paryiuje, vis gyvenim susirainjosu madaug 600 korespondent. V. Leibnicas vienas paskutini genij universal. Viskas jamrpjo, visk jis im an. A r ms amiuje dargali bti toki moni?


15/192

I Ivestins1. Ribos i r ivest ins1.1. Fu nkc ijos ribins reikm s 161.2. Tolydios fun kc ijos 221.3. Fun kcijos reikm i poky iai 271.4. Fun kcijos gra fiko liestins ir fun kc ijos ivestin 311.5. Ivestini skaiiavimo pavyzdiai 371.6. Fun kcijos ivestin ir jud jim o greitis 401.7. Dvi ivestini skai iavim o taisykls 451.8. D au gian ario ivestin 472 . I ves t in i t a ikymas funkci joms t i r t i2.1. Funkcij reikmi didjimas, majimas ir ekstremumai 522.2. Lag rano teor em a 542.3. Funk cijos reikmi didjim o ir m a jimo poym iai 572.4. Funk cijos eks trem um ai: kaip j iekoti? 603 . Funkci j i vest in i skaiiavimo ta i sykls3.1. Fun kcij sand aug os ir dalm ens ivestins 643.2. Sud tins funk cijos ivestin 684 . Tr igonomet r in i funkci j i ves t ins4.1. Riba Iim ^ ' 71

zf. O z4.2. Sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento funkcij ivestins 755 . Rod ik l ins , l ogar i tmins i r l a ipsn ins funkci j i ves t ins5.1. Ska iius e 795.2. Ro diklin s fun kc ijos ivestin 825.3. Lo garitm ins funk cijos ivestin 855.4. Laipsn ins funk cijos ivestin 876 , F u n k c i j i v e s t i n i l a i k y m a i6.1. Funkcij tyrimas

6.2. Funkciic^ 6 . 2 . Funkc i j o s d id i a us i a i r m a i a us i a r e ik m u da r a m e K r l o j i r i t o u i l a v i n i n i *

89m


16/192

1 . R ibo s ir ivest ins1.1. Funkcijos ribins reikmsdj karto vandens s t ikl in termometr ir nutar s tebti , kaip vanduo vsta, tarkime,de imt minui , baigiant is iam terminui matytume, kad temperatra ar t ja pr ie tamtikros re ikms .Jeigu kas nors paklaust, k reikia teiginys:

kai re ikm ar t ja pr ie 2 , ta i funkci jos f ( ) = re ikms ar t ja pr ie 4" ,t ikr iaus ia i bandytume paaikint i nus ibrai graf ik .

Taigi in tui tyviai puikia i jauiame, k re ikia , kad funkci jos re ikms ar t ja pr ie tamtikro skaiiaus". Taiau matematikoje visos svokos turi bti t iksl iai i r nedviprasmikaiapibrtos .K, pavy zdiui , re ikia odis ar t ja" ? Juk kai apibriam e funk ci j form ule arbanubriame jos graf ik , n iekas nepradeda nei judt i , nei ar t t i . odiais,, artja prie 2"

t ies iog nor ime pasakyt i , kad imame reikmes vis ar t imesnes ir ar t imesnes skaiiui 2.Patyr inkime, kaip te igin ar t jant re ikmei pr ie 2 , funkci jos f{x) x2 r e ikmsar t ja pr ie 4" gal ima urayt i matemat inmis formulmis .

Ka d y m aa i skir tsi nu o 4, t. y.dyd i s 41 bt maas , tur imeimti r e i k m p a k a n k a m a iart im 2, t . y. dydis \x 2\ turib t i pakankamai maas .

2 =


17/192

I pradi ga l ime t ies iog pasi r inkt i ke le t ar t im skai iu i 2 k in tamojo re ikmi , ap-skai iuot i a t i t inkamas funkci jos re ikmes i r pa ir t i , k iek jos sk i r ias i nuo skai iaus 4 .X 1,97 1,98 1,99 2 2,0 1 2,02 2 ,03X 2 3 ,8809 3 ,9204 3 ,9601 4 4 , 0 4 0 1 4 , 0 8 0 4 4 , 1 2 0 9

I x 2 - 4 | 0 , 1 1 9 1 0 , 0 7 9 6 0 , 0 3 9 9 0 0 , 0 4 0 1 0 , 0 8 0 4 0 , 1 2 0 9Patyr in j i len te l ga l ime padary t i , pavyzdiu i , tok i i vad: nordami , kad funkci -j o s f ( x ) = 2 re ik m s sk i r ts i nuo 4 m aia u kaip 0 ,1 , t. y . kad bt te i s inga nely gyb | / ( x ) 4 | < 0 ,1 , ga l ime imt i re ikmes i in tervalo (1 ,98; 2 ,02) .Sis in tervalas yra s ime t r i kas skai iaus 2 a tv i lg iu . Pa y m j 8 = 0 ,0 2 , j ga l im eurayt i ta ip : (2 S; 2 + S). Visus io in tervalo skai ius ga l ime nusakyt i ne lygybe|x 2 | < .I tos paios len te ls maty t i , kad nordami , jog f ( x ) = x2 re ikms t enk in t ne lygyb| / ( x ) 4 | < 0 ,05 , ga l ime imt i re ik m es i in tervalo (1 ,9 9; 2 ,0 1) , t . y . i in terva lo(2 - S ; 2 + 8) su 8 = 0 ,0 1 .

Je igu no r tume , kad f ( x ) = x2 re ikms sk i r t s i nuo 4 ma iau ka ip v i ena imt j ,ta ip pa t ga l tume nurodyt i in terval (2


18/192

tiesiog riba), kai artja prie 2 ir simbolikai raome:kai > 2, tai f i x ) > 4 arb a Iim f i x ) = 4. :>2

Panaiai gal ima paaikint i , pavyzdiui , matemat in te iginio kai artja prie 2, taif i x ) = 3 artja prie 8" prasm, i r apskri tai teiginio kai artja prie a , t a i / ( x )artja prie A" prasm.JeigM kintamajam artjant prie a, funkcijos f i x ) reikms artja prie A, tai sim-bolikai raome:

ka i a, tai f i x ) A arba I i m / ( x ) = A . taSkaii A vadiname ribine funkcijos f i x ) reikme, kai artja prie a (arba tiesiogfunkcijos riba, kai r a).

Kar ta i s pa t i funkc i j a / ( x ) ga li bt i neapibrta su = a , t a iau I im / (x) egz i s tuoja .2Panagr inkime, pavyzdiu i , fun kci j / ( x ) = ( 0 ).

Ka i = 0 , i funkci ja yra neapibrta , taiau nubrai grafik s i t ikinsime, kadIim f{x) = 0. - 0

Rast i paprast funkci j r ibas nesudt inga.Pavyzdiui , je i funkci ja f i x ) vi soms reik m m s priskiria t pat skaii c, t . y.f i x ) = c, tai is skaiius yra ir funkcijos riba, kai artja prie a. Taip pat akivaizdu,kam lygios funkci jos f i x ) = r ibos.


19/192

K a i fu n k c i j o s f i x ) , gix) apibr tos to je pa t a ib je , ta i to je a ib je ga l ime nagrin t if u n k c i j a sfix)fix)+ gix), fix)-gix), l Y j - .gix)

Sufo rmuluos ime t e ig in ius ap ie i funkc i j r ibas .Sakykime, kad kai -> a, tai f i x ) > A, gix) -> B. Tada, kai > a:1 ) fix)+ gix)-* A+ B;2) f i x ) gix) -+A-B;3) jei B O, tai ^ y j .

inoma , i a s savybes ga l ima su fo rmuluo t i i r naudo jan t r i bos ymen l im. Pavyzd iu i ,p i rm j savyb ga l ime u ray t i t a ip :lim ( f i x ) + g(x)) = lim f i x ) + lim gix).>q v >a

iomis savybmis dana i naudo jamas i ska i iuo jan t funkc i j r ib ines re ik mes .I 1 PA V Y Z D Y S. A p s k a i i u o k i me l im (x 3 + x 2 + x ) .

-* 1Tikr iaus ia i i karto pasakysi te , kad i r iba lygi 3. Kaip j gavote? reikin x 3 + 2 + xstatte = 1 ir apska i i avo te jo re ik m ? A r v i sada ska i iuo jan t rib pakan ka s ta ty tia t i t i nkam a re ikm i r apska i iuo t i fun kc i jo s re ik m ? Ne , nev i sada . Ka da gi ga l ima ,o kada ne?Kar t a i s gau t i t e i s ing a t sakym nesunku , be t ne l engva j pag r s t i .Tod l panagr ink ime pavyzd , s t engdamies i pag r s t i k i ekv ien ingsn . in om e , kad l im = 1. Pas inaudo j an t r j a r ib savybe , gaus ime :-*]l im = lim ( x) = lim lim = 1 1 = 1, x - * l >1

3 olim lim l im ;t = l l = l .jc 1 - > 1D a b a r pas inaudo j p i rm ja r ib savybe , gaus ime :l i m ( x 3 + x 2 + x ) = l im ( x 3 + x 2 )+ l i m = l im x 3 + l im x 2 + l i m = 1 + 1 + 1 = 3 .jc> 1 >1 ->1


20/192

I 2 PAVYZDYS. Apskai iuokim e l im -* 2 ; + 6 .Jeigu bandytume skaiiuoti rib t iesiog statydami reikin = 2 , m u m s nepasisekt.I t ikrj, l im (x2) = O, todl t reiosios rib savyb s taikyti neg alime . Pa ba nd yk imeiskaidyti reikinio skait ikl dauginamaisiais:

2 5x + 6 = (x 2)(x 3).Taigi

x2-5X + 6 (X-2)(X-3)l im = lim = lim (JC 3) = 1.x^-2 x 2 -+2 2 - + ! JJ , Ap skaiiuoki te ^ l im ^

Pratimai ir udaviniai

Nurodyki t e , kur ioms funkci joms t e i s inga lygyb:a) lim f ( x ) = 0; b) lim f ( x ) = 1; ->1 >0c) lim /( j c ) = 1; d) l im / ( * ) = 0 . 1 > 1

2. Rask i te reikmes, su kuriomis funkci jos f (JC) re ikms tenkina nurodytas ne-lygybes. Paymki te ias reikmes Ox ayje :a) f ( ) = , 1 / 0 0 - 2 | < 1, I f ( ) -2\< 0 ,5 , \ f ( x ) - 2 | < 0 ,1 ;b ) f ( x ) = 2x, I f ( ) + 1 | < 1 , | / ( J C) + 1 | < 0 , 5 , \ f ( x ) + 1 | < 0 , 1 .

3. Nubra iyki t e funkci jos f ( x ) grafik. Isprski te nelygyb \ f ( x ) 2| < 0,1 irsprendinius paymki te brinyje:a) f ( x ) = 2JC 1; ) f ( x ) =-\x + 3\c) f ( ) = \ x - l \ d) f ( x ) = -2x + 1.


21/192

4. Pavaizduot i ke l i funkci j graf ika i :4

A

0 t

c y D yA A /

i/ 0 a 0

Nurodyki te , kur ioms funkc i joms :a) lim /(JC) egzistu oja; b) l im /(JC) = A; c) lim f ( x ) neegz is tuoja . > a > x-* aPate iki te funkci j f (x) pavyzdi, kad bt te is inga lygyb:a) lim f ( x ) = 3; >-1c) lim f i x ) = 2; > 0

b) lim / ( J C ) = - I ;x-+0d) lim / ( J C) = - 1 . 1Nub ra iyki te tok i funk c i j gra f ikus .Ap skai iuok i te fun kci j os r ib. Nubra iyk i te funk ci jos graf ik . Paym ki te r ibi-nes a rgumento i r funkci jos re ikmes:a) lim (2JC 1); b) lim (x 2 - JC) ; C) lim (JC - I ) 2 ; d) lim (JC + I ) 3 . > 2 1 >1 2Raski te funkc i jos rib:a) lim ^ f ; b ) lim 2 ; c) lim d ) lim>0 x ^ x ^ 2 D X 4 1 x + * + ' >2 * j2x 1 . x+2. 3x 1>0Raski te funkc i jos r ib . Nubra iyki te funkci jos graf ik :

' 2. - irXa) lim

2 ~ 3 + 2 >1 X - I b) lim-l x + l *c) lim ^ ;j + 2 *d) l im -y22 + 6 'Raski te funkc i jos rib:a) lim ^ ^ ; b) lim c) lim * d ) l i m M i l .Pa ta r imas . Pertvarkykite reikinius taip, kad aknys atsidurt vardikliuose.

10. Paaikinkite , kodl neegzistuoja r iba:a) lim [JC]; b) lim{jc}; *c) lim ^ - ,x-+2 -*0 x>l x 1


22/192

1.2. Tolydios funkcijosN ubra iyk ime g ra f ikus t r i j funkc i j :

h ( x ) = x \ / 2 ( * ) = 1, kai O,kai x = 0; h(.x) = 1, ka i < 0 ,ka i ^ 0 .

Brdami funkc i j g ra f ikus sk i r t inga i e lgms ymdami t a k su = 0 . P i r m u o j ua tve ju n ieko ypa t ingo ne vyko : nea t i t rkdamas nuo p lok tumos p ie tuko smaiga lysper jo tak


23/192


24/192

I 3 PAVY ZDYS . I t irk ime to ly durn funk ci josf i x ) = 72: kai O,O, kai x = 0.

Nubrai graf ik matome, kad v ien in te l i s takas , kur iame funkci ja t rki , y ra = 0 .Visuose k i tuose taku ose funk cija yra tolydi . Taigi fun kc ija yra tolydi interva luose( -oo ; 0 ) i r (0 ; + 0 0 ) .

JI Iduotis. Pasakyki te , kokiuose takuose funkci ja f i x ) = t o Iydi , kokiuose trki.Tark ime, kad funkci jos f i x ) ir g(x) yra apibrtos i r tolydios intervale (a; b). Tadafunkc i jo s

fix)+ gix) ir fix)-gix)taip pat yra tolydios intervale (1a; b). Jei g(x) 0, kai e (a; b), tai i r funkcija

fix)gix)

yra tolydi intervale (a; b).I 4 PAVYZDYS. inome , kad funkc i j a fix.) = yra to lydi v isoje real ij skaiia ibje . Tada funkci ja gix) = 2 = taip pat tolydi visoje real ij skaii aibje.

Apskri tai , su bet kokiu m = 1 , 2 , . . . f u n k c i j a / ( ) = xm yra tolydi visoje rea l i jskaii aibje.Remdamiesi to lydi funkci j savybmis gauname, kad , pavyzdiu i , daugianar ia i

Plix) = 2x + 3, piix) = 5x4 + 3 x 2 + 1yra visoje skaii aibje tolydios funkcijos.Apskri tai , bet kuris daugianaris

Pix) = anxn + an-ix"-1 + + a\x + Q(ia n yra natralusis skaiius, o c real iej i skaiiai) yra tolydi visoje real ij skaiia ibje funkci ja .


25/192

If i x ) =

5 PAVYZD YS. Dvie j daugiana r i da lmuo 5 + 4 2 - 4x + 3

yra funkc i ja , apibrta su visais x, iskyrus tas re ikmes , su kur iomis x 2 4 x + 3 = 0 .Isprend i lygt gauname, kad funkci ja apibr ta visuose takuose , 1, 3,t. y. j o s apib rim o sri t sud aro interval (oo; 1), (1 ;3 ), (3; + 0 0 ) s junga . Kiek-vie nam e i i interval fu nk cija yra tolydi. I t ikr j, bet ku riam e i i intervalf unkc i j o s

Plix) = 5 + 4 3x ir piix) = X2 4x + 3yra tolyd ios. Tada ir j dalm uo, t . y.

Plix)f i x ) = ( yra be t kur iame i i interva l tolydi funkci ja . Trumpai sakome, kad funkci ja tolydivisoje apibr imo sr i tyje .Laipsnins , rodikl ins , logar i tmins , t r igonometr ins i r a tvirk t ins t r igonometr insfunkci jos yra tolydios savo apibr imo sr i tyse .

Pratimai i r udaviniai11. Kokiuose ta kuose yra to lydi funkc i ja fix), kai :

a) f i x ) = 2 x 3 ; b ) f i x ) = 3 + 2;c) f i x ) = ^ ; d ) f i x ) = ^ ?12. Nubra iyki te funkc i jos f i x ) grafik ir s i t ikinkite , kad j i yra tolydi take = 0 :

2x + 1, ka i = 0,a) / ( ) =c) f i x ) =

0, ka i x ^ 0 ,Xx2, ka i > 0 ; , ka i |x | ^ 1,1,

b > / < * > = { * 2 + 1 ; k a i x > 0 ;d ) / ( X ) = I F F T ' K A I X < 0 '

ka i |x | < 1; 1, kai ^ 0 .13. Ar funkc i ja f i x ) yra tolydi intervale (0; 1):

a) f i x ) = ^ t ;1 .2x ') f (X) = bb) f i x ) = t g x ;d) f i x ) = Ig (2 - ) ?


26/192


27/192

1.3. Funkcijos reikmi pokyiaiDanai svars tome, kaip pas ikei tus v ieniems dydiams pas ikeis k i t i . Je i padidins imeautomobi l io grei t , k iek sut rumps kel ion? Kiek padids degal snaudos? O kieki la idos?Tegu funkc i j a f(x) yra apibrta kok iam e nors in tervale (a; b) ir XQ yra io intervaloska i ius . Pake i sk ime nepr ik lausomojo k in tamojo r e ikm nuo XQ ik i (padid inkimearba sumainkime) . Nepr iklausomojo kintamojo pokyt pras ta ymt i Ax, ia yragraik abcls raid, at i t inkanti lotynikos abcls raid D ( tar iame delta x). Taigi

Ax =x x xO + Surad ski r tum tarp funkci jos re ikmi f (XQ + Ax) ir F(X o) surasime, kiek pasikeitfunkc i jos r e ikm.A P I B R I M A SSkirtum f ( xo + ) f ( o) vadiname funkcijos f ( x ) reikmi pokyiu take xo ,atitinkaniu kintamojo pokyt Ax, ir ymime Af (XQ):

/ ( 0 ) = f (xo + ) - / ( x 0 ) .

Danai t rumpumo dlei v ie toj funkci jos re ikmi pokyt is take xo" sakome t ies iogfunkci jos pokyt is take xo" .

I 1 PAVY ZDYS. Apska i iuok ime funkc i jos / ( ) = x 3 reikmi pokyt take xo = 1,kai argumento p o ky tis y ra = 0 , 2 .Atl ik papras tus skaiiavimus , gauname: / ( 1 ) = / ( 1 + 0 ,2 ) - / ( 1 ) = 1 , 23 - I 3 = 0 , 728 .

Ka i > 0 , t ai funkc i jos / ( x ) = x 3 reikm lygi tr iui kubo, kurio krat ins i lgis yra x.I ms skaiiavim matome: je igu matuodami vienet in io kubo kra t in suklys ime i rpadidins ime t ikrj kra t ins i lg dydiu 0 ,2 , ta i skai iuodami kubo tr padarys imepaklaid lygi net 0 ,728. Taigi kone padvigubins ime kubo tr .


28/192

1 uduotis. Apska i iuok i t e funkc i jos f(x) = x 3 re ikmi pokyt take XQ = 1,kai argumento poky t is y ra = 0,2 . Pa lyg ink i te j su pokyiu, at i t inkaniuargumento pokyt = 0,2 .Funkc i jos reikmi pokytis take xo priklauso ir nuo XQ, i r nuo . Im kim e XQ = 1i r su rask ime , ka ip p r ik lauso funkc i jos / ( ) = x 2 re ikmi pokyt is nuo re ikmi:

/ ( 1 ) = (1 + ) 2 - I 2 = 2 + ( ) 2 .K ai yra maas , ant ras is pokyio / ( 1 ) d m u o ( ) 2 yra ymiai maesnis up i rmj dmen 2 . T aig i f u n k c ij o s p o ky ti s maai skir iasi nuo 2 . Pavyzdiui , kai = 0 ,1 , tai / ( 1 ) = 0 ,2 1 , o 2 = 0 ,2 ; ka i = 0 ,0 1 , tai / ( 1 ) = 0 ,0 2 01 , o2 Ax = 0,02 ir 1.1. Taigi kai Ax reikms yra maos, tai

/ ( 1 ) 2 .2 uduotis. Urayk i t e funkc i jos / ( ) = x 3 re ikmi pokyt / ( 2 ) pas inaudojsumos kubo formule (xo + ) 3 = Xq + 3x (2 Ax + 3xo ( ) 2 + ( ) 3 . Nurodyki te ,kokiam reikiniui apytiksl iai lygus is pokytis , kai gyja labai maas re ikmes .

I 2 PAVYZDY S. Rask im e funkc i jos / ( x ) = s in re ikmi pokyt , kai xo = j . Pr i ta iks inus ski r tumo formul , gauname:/7 \ . / \ TT + + - 5 + Af ) = s in I h } sin = 2 c o s sin =J V 3 / V 3 / 3 2 2/ \

= 2 cos 1 s in .\ 3 2 / 2Toki pokyio iraik kain ar pavadintume paprasta. Paiekokime apytiksls , taiaupapras tesns pokyio i ra ikos . Samprotaukime ta ip: kai m a a s , c o s ( j + ^ n ) ~cos j ; s in t ikr iausiai ned aug skir iasi nu o ^I - . Taigi:

/ 7 T \ 1N a u d o d a m i e s i skaiiuokli iek t iek paskaiiuok ime. Imk ime maas Ax re ikmes ,apska i iuok ime / ( j ) ir p a lyg ink im e su ^ :k ai = 0 ,1 , tai / ( f ) = 0 ,0 45 59 0. . . , o ^ = 0 ,0 5;k ai = 0 ,0 1 , tai / ( | ) = 0 , 00 4 9 56 6 .. ., o ^ A x = 0 , 0 05ir 1.1. Taigi skaiiuojant pagal apyt iks l formul gauname madaug t pat , kaip i rpagal t iksl i.3 uduotis. Pana ia i ka ip 2 pavyzdyje urayk i t e funkc i jos / (x ) = cos poky ioAf (^ j formul. Pabandykite surast i paprast apytiksl pokyio iraik, gerai t inkan- i ma iems .Pasir inkite kelet ma re ikmi, pas inaudoj skaiiuokl i apskaiiuoki te / (i r palyginkite su reikmmis, gautomis i apytiksls pokyio iraikos.


29/192

1 . x 2 + l ;

19. Apska i iuok i t e :a ) / ( 2 ) , k a i f ( x ) = f -b ) / ( 1 ) - / ( 0 ) , k a i f ( ) =c) 2 f(3) - 3 f (2), kai f ( x ) = x2 - 5x + 5;d) / 2 ( 1 ) - / 2 ( 0 ) , k a i f ( ) = V ( * + l ) ( * + 2 ) .

20. Pavaizduot i f u n k c i j f ( x ) ir g(x) graf ikai . \4 III3 V2- /1 I j I1 I ^

I brinio raskite:a) / ( 1 ) , kai Ax = Ub) / ( 0 ) , kai = 2;c ) A g(O ), ka i = 2 ;d) # ( 1) , k ai = 3.

21. Apska i iuok i t e funkc i jos f ( x ) = x - 2 re ikmi pokyt , kai = 0 ,1 : ) / ( 0 ) ; b ) A Z ( l ) ; c ) Af (2); d) / ( 3 ) .Nubraiyki te ios funkci jos graf ik , paymki te argumento i r funkci jos re ikmipoky ius . rodyki te , kad funkci jos f ( x ) = ax + b re ikmi pokyt is take xo i re ikiamaslygybe Af(x0) = a Ax.Apska i iuok i t e funkc i jos f ( x ) = 2x x 2 re ikmi pokyt , kai = 0 ,1 : ) / ( 0 ) ; ) / ( 1 ) ; c) / ( 2 ) .Nubraiyki te funkci jos graf ik , paymki te argumento i r funkci jos re ikmi po-kyius .

24 . Vertikaliai auktyn sviesto akmens aukio vir ems ( ireikto metrais) pri-k lausomyb nuo l a iko ( s ekundmis ) nusako funkc i j ah(t) = 1 + 1 2 1 - 212.1) Raskite:a) la iko mom ent , kada akm uo bus 1 me tro auk tyje ;b) la iko moment , kada akmuo bus aukiaus ia i paki ls i r d idiaus i paki l imoaukt ;

22.23.


30/192

c ) ka ip pak i t o akmens pad t i s pe r p i rms i a s dv i s ekundes ;d ) Af t ( l ) , ka i Ai = 2 ;e ) Af t (2 ) , ka i At = 2. Paa ikinki te gauto dyd io f iz ikin prasm;f ) kok ke l i nuskr i e jo akmuo pe r 4 p i rms i a s sekundes .2 ) K ga l i t e pa saky t i ap i e akmens pad t p ra jus 7 sekundms nuo me t imom o m e n t o ?25 . Rask i t e fun kc i j o s F (x ) = J re ikmi pokyt Af (XQ), kai :

a ) X 0 = 1, A x = 0 ,0 1; b) x 0 = 1, A x = - 0 , 0 1 ;c ) X0 = 10, A x = 0 ,0 1; d) X0 = 1 0, A x = - 0 , 0 1 .2 6 . Funkc i jos r e ikmi d id j imo (a rba ma j imo) ap ib r im naudojan t funkc i j osre ikmi poky io svok ga l ima suformuluo t i t a i p :Jei kiekviename intervalo I take teigiam argumento pokyt atitinka teigiamas

funkcijos reikmi pokytis, tai funkcija tame intervale yra didjanti', jei funkcijosreikmi pokytis neigiamas majanti.Naudodamies i funkc i j os poky i a i s rodyki t e , kad funkc i j a f (x) in te rva le I y radid jant i :a) f ( ) =X2, I = ( 0 ; + o c ) ; b ) f ( x ) = x2-x, I = ( 1 ; + o o ) ;c ) f ( x ) =x\ I = ( - o o ; + o o ) ; d ) f ( x ) = s i n x , I = ( - ; f ) ;e) f ( ) = l o g 2 x , I = ( 0; + o o ) ; f ) f ( x ) = t g x , / = ( - ; f ) .

Pavyzdys . rodykime, pavyzdiui, kad intervale (i ; +oo) funkcijaf ( x ) = Iog2(2x 1) yra didjanti.Apskaiiav funkcijos f ( x ) pokyt su Ax > 0, gauname:Af(x) = f(x + Ax) - f ( x ) = Iog2 (2(x + Ax ) - l) - Io g 2(2x - 1) =2(x + A x) - 1 2x 1 + 2Ax , / 2A x \= l 0 & 2x 1 = l 0 & 2x 1 = l 0 & ( 1 + 2 ^ 1 J '

Kadangi Ax > O ir > i , tai 1 + ^j > 1. Todl io reikinio logarit-mas teigiamas. Taigi Af (x) > O ir fun kcija f ( x ) intervale ( j ; +oo) yradidjanti.

2 7 . rodyki t e , kad funkc i j a f ( x ) intervale Ia) f ( x ) = 2 x + 1 0, / = ( - o o ; + o o ) ;c) f ( x ) = co s , I = ( 0 ; ) ;e) f ( ) = lo g , I = ( 0 ; + o o ) ;

m a j a n t i :b ) f ( ) =x2+ 2 , = ( - o o ; - 2 ) ;d ) f ( ) = 2~x, I = (-oo; +oo);f ) / ( ) = S i n x , / = ( 1 ; .


31/192

1.4. Funkcijos grafiko liestins ir funkcijos ivestinTies, turinti su apskritimu vienintel bendr tak, vadinama to apskritimo liestine.Taiau toks liestins apibr imas netinka daug eliui kit kreivi. Pavy zdiui, tiesy = 1 natralu laikyti kosinusoids y = cos l iestine take = O, y = 1. Taiau ities su kosinusoide turi be galo daug tak.Kita vertus, ties = O turi vienintel ben dr tak su kosinu soide. Bet ios tiesskosinusoids liestine juk nevadinsime!

Apibrime kreivs liestin taip, kad apibrimas tikt visais atvejais.Tarkime, koordinai ploktumoje nubrta kreiv ir norime surasti jos liestin takeM Q. Imkime kit kreivs tak M ir per takus MQ ir M nubrkime ties. i tiesvadinsime kreivs kirstine. Jeigu takui M artjant prie MQ, kirstin M QM artja prietam tikros ribins tiess I, tai i ties ir yra kreivs liestine take MQ. i ribin tiesturi bti ta pati nesvarbu i kurios pus s tak as M artja prie MQ. Kirstin M QMarts prie ribins tiess, jeigu kampo , kur ji sudaro su Ox aimi, didumas arts prietam tikros ribins reikms tpQ.

APIBRIMASKreivs liestine take MQ vadiname ties, prie kurios artja ties, einanti per kreivstakus MQ ir M , kai M artja prie M Q.

Ties gali liesti apskritimtik viename take. Ties y = 1 lieia k osinusoidbe galo daugelyje tak.

Kreivs liestine take MQyra ties I, prie kurios artjakirstin MQM, kai M artja prie M Q.


32/192

Kai kuriuose takuose kreiv gali neturti l iestins. Panagrinkime, pavyzdiui, kreiv,sudaryt i dviej susikertani apskrit im lank. i lank susikirt imo take (9(0; 0)kreivs l iestins nra.

Kre iv , sudaryta i dvie j apskr i t imlank, take 0(0; 0) l ies t ins ne tur i .Jei takas M artja prie O i de in s kirstin OM artja prie t iess = 0 ;je i i kairs prie t iess y = 0.Jeigu kreiv iame take turt l iestin,ta i abiem a tve ja is ki rs t in OM ar t tprie tos paios t iess.

Pas tebkim e, kad na uj j l iest ins apibr im ga l ime ta ikyt i ne t tada , ka i nagr in jam ojikreiv yra t ies. Tiess l iestine kiekviename jos take yra ta pati t ies!I l uduotis. Pasakykite , kuriuose takuose turi l iestin kreiv, kuri yra funkcijosy = |x 2 11 gra fika s.Tegu dabar f ( x ) yra tolydi funkcija . ios funkcijos grafikas yra netrki kreiv. Tar-kime, kad take xo kreiv turi l iestin. Panagrinsime, kaip galima urayti jos lygt .Pas ir inkime du kre ivs takus MQ(XQ; I(XQ)) ir M (XQ + Ax; f (XQ + ) ) , ia 0yra k in tam ojo pokyt i s . Pe r takus M Q ir M nubrkime kre ivs kirs t in . Uraykimeios kirst ins lygt . Lygtis bus tokia:

y = kx + I.Suras ime koef ic ient k ir I reikmes. lygt y = kx + l s ta tykime = XQ, y = f (XQ)ir = Xo + , y = f(xo + ) . G au sim e dvie j lygi s is tem su ne inomais ia isk ir I:

f ( xo) = kxQ + / ,f(xQ + ) = k ( x Q + ) + I.I antros ios lygt ies a tm pirmj , gauname:

k = /(XQ + Ax) - f(xo), k = . I br inio matome, kad santykis a ^ 0 - 1 lygus tangentui kampo, kur sudaro kirs t insu Ox a imi . Paymj kamp , ga l ime urayti , kad

k = tg


33/192

I pirmos sistemos lygties suradI - f i x ) - kxQ = f ( x o) - tg - X q

ir jstat k ir I reikmes y = kx +1, gauname toki kirst ins lygt :y = tg(p + fix0)-tg(p X0 arba y = tg


34/192

A P I B R I M A SFunkcijos f ( ) ivestine take XQ vadiname funkcijos pokyio / ( * ) = f (xO + * ) - f (x )

ir nepriklausom ojo kintamojo pokyio Ax santykio rib, kai Ax 0.J ymime F (XQ)\

f t , , / ( * )/ ( X0 ) = . -> 0 A x

Je ig u fu n k c i j a f ( ) turi i ves t in take = x0, d an a i sak o m a , k ad f u n k c i j a y r ad i f e r en c i ju o jam a i am e t a k e .M atm e, kad fun kc i jos i ves t in take xo tu r i pap ras t geom etr in p rasm : ska i iusf (xo) lygus tangen tu i kam po, kur fun kci jos g raf iko l ies t ine take xq sudaro su Oxaim i arb a kitaip tar iant , F (XQ) yra ios l ies t ins k ryp t ies koef ic ien tas .Jeigu funkcija f ( x ) take = XQ turi ivestin f'(xo), tai funkcijos grafikas takeM 0(x 0\ f(xo)) turi liestin. Liestins lygtis:

= / ' O o ) (x - *o) + f'(xo) = lim MS^.^ y o = f (x0). >0 Ax

P A V Y Z D Y S . P a r a y k i m e f u n k c i j o s f ( x ) = j graf i ko l iest ins take XQ = 1 lygt.L ies t ins lyg t i s y ra tok ia : y = f'(xo) ( xo) + f(xo), ia XQ = 1, f(xo) = \ = 2.Taig i te re ik ia su rast i lies t ins k ryp t ies koef ic ien t , t . y . i ves t in / ' ( 1 ) N aud oda m ies ii v es t in s ap ib r im u , g au n am e :

_ l i m / ( + * * > - / " > _ l i m ^ = >0 AJC - > 0 A X

- 2 A x o , 1= lim = 2 lim ^O A x ( l + ) - 0 1 + A xKai A x O, ta i 1 + A x 1 i r 1. Taig i / ' ( 1 ) = - 2 . Fu nkc i jos g raf ikol iest ins lygtis:

y = -2(x - 1 ) + 2 , y = 2x + 4 .

I uduotis. Par ay k i t e f u n k c i jo s f ( x ) = l iest ins take X0 = O lygt .


35/192

\t o j S A1

Kreivs , kur ias bra iome, daniaus ia i yra koki nors funkci j graf ika i .Taigi pirm a fun kci jo s , pask ui kre ivs . Taiau dau g do mi kre ivim atem atikoje a ts i rado ki ta ip. Pavyzdiu i , pas in aud ojan t jud j im o svoka .A

Apskrit imui r iedant t iese,jo takas A br ia kre iv ,kur i vadinama c ikloide .

O je igu apskr i t im r identume ki tu to pa t iesspindul io apskr i t imu?Riedanio apskr i t imo takas A br t gra i i rdies formos kre iv . Todl j i i r vadinamakardioide ( lot . cordis irdis).

Pagalvoki te , kokias kre ives br t apskr i t imo takas , je i apskr i t imasriedt dvigubai ( tr igubai, keturgubai, . . . ) didesnio spindulio apskri-t imais . Tokios kre ivs vadinamos epic ikloidmis .

Pratimai ir udaviniai28. siirkite fu nk cijo s grafik ir pasa kyk ite , ku riuo se tak uo se j is neturi l iestins:

29 . Kur iuose ta kuose funk c i jos f ( x ) grafikas neturi l iestins:a) f ( ) = \x\ + \x + 1|; b) f ( x ) = \x + 1| - \x - 1|;c ) / ( J C) = | * ( J C + 1)1; d) f ( x ) = | i I | ?


36/192


37/192

1.5. Ivestini skaiiavimo pavyzdiaiFunkc i jos f (X ) ivestine take = XQ vadiname skai i, kur apibr iame lygybe

/ ' ( x o ) = Hm A f ( X 0 ) = f ( X 0 + A x ) - f ( X 0 ) .AX^-O AxPaprastai funkcija turi ivestin (yra diferencijuojama) ne viename take. Danai j i turiivestin kiekviename apibrimo sri t ies take, kartais kai kuriuose takuose ivestinneegzis tuoja . Pr iskyr toms kintamojo reikmms, su kuriomis ivestin egzistuoja,jos re ikm, gauname nauj funkci j . i nauj funkci j vadiname t ies iog funkci josivestine.Naudojami ke l i funkc i jos Y = f (X) i ves t ins ymenys , pavyzdiui ,

/ ' 1 y' r -dx raome:

d/(* o) , dyUp)/ Uo )- : . ( *o)> J dxI 1 PAVYZDYS. Raskime pai papras iaus i funkci j f(x) = c, g(x) = ivestines.Funkc i ja F(x) visoms nepr iklausomo kintamojo re ikmms pr iskir ia t pa t ska i i c.

Taigi funkcijos pokytis bet kuriame take lygus nuliui:A f ( x ) = F(x + A x ) - f ( ) = C - c = 0.

Todl/ ' W = lim ! = 0 .

AX^O AxSurask ime funkc i jos G(x) = pokyt take x:

A g(x) = g(x + A x ) g( x ) = ( + ) = A x .Todl

g (x ) = lim = = 1. ^-O A x A xTaigi

C = O, = 1 .


38/192

I 2 P A V Y Z D Y S . A p s k a i i u o k i m e f u n k c i j o s f ( ) = 2 i ves t in .P i rmiaus ia r andame funkc i jo s poky t :A f(x) = f ( x + A x) - f ( x ) = (x + A x ) 2 - 2 = 2 A x + ( A x ) 2 .

TaigiA f ( X ) 2x Ax + (Ax)2f (x) = l im = l im = l im (2x + A x) .Ax^-O Ax - >0 Ax Ax^O

Ka i A x O, tai 2x + A x 2x . Tod lf'(x) = Ix a rba (x 2 ) ' = 2x .

I 1 uduotis. A p s k a i i u o k i t e f u n k c i j o s f ( ) = 2 x 2 i ves t in .I 3 P A V Y Z D Y S . A p s k a i i u o k i m e f u n k c i j o s f (x) = -Jx i ves t in .Ta ikydami i ves t ins ap ib r im r aome:

, Af(x ) / + Ax - Jxf ( ) = hm = l im . ->0 Ax Ax-+0 AxPoky i s an tyk pe r tva rkyk ime ta ip :

V + A x J l (Jx~+~Ax Jx)(Jx + Ax + Jx) _A x Ax (Jx + A x + / )

( + A x ) 1Ax (J + A x + Jx) Jx + Ax + Jx

Kai Ax - > O, t ai + Ax -> , Jx + A x Jx. Vadinas i ,, Jx + Ax Jx 1f ' ( ) = I im = ^O Ax 2Jx

Taigi

J

J2 uduotis. Rask i te t a k , ku r iame funkc i jo s f (x) = Jx grafiko l ies t ine su Ox a i m isudaro 45 kamp .


39/192

3 6 . R a s k i t e f u n k c i j o s f i x ) i ves t in r emdamies i ap ib r imu:a ) f i x ) = 2x 1;c ) f ( x ) = 2x-3x 2.e ) f ( x ) = V 2 x + T ;g) f i x ) = -Jax + b , a , b e R;

b) f i x ) = 3x- 2x2;d) f i x ) = v^TT;f ) f i x ) = 2 + bx + c, a, b, c e R',h> f i x ) = ^ , a , b , c e R .

3 7 .

3 8 .3 9 .

R a s k i t e f u n k c i j o s f i x ) i ves t in r emdamies i ap ib r imu:a) f i x ) = 5 ; b ) f i x ) = ^ i p r ;c ) f i x ) = J ^ r ; d ) f i x ) = _ . rodyk i te , kad d i f e renc i juo jamai funkc i j a i f i x ) t e i s inga lygyb :i f i x ) + c)'= f i x ) .Seno vs g ra ik ka tapu l to s pa le is t a s akm uo sk r ie jo t r a jek to r i j a , ap raom a fun kc i j aA (jc) = j c - - j j , 1 0 0.a ) K ok iu kam pu akm uo buvo pa le i s t a s?b ) K ok d id iaus i auk t j i s buvo p as iek s?c ) K ok iu kam pu j i s nukr i to?

-s

Kod l funkcijos ivestin matematikai ym i vairiai?ymenys f i x ) , y' geri jau tuo, kad yra labai paprasti. Juos XVIII a. pabaigojepradjo naudoti Lagrana s. Pa ts Leibnicas ivestin ymjo ^ arba d ^ f -ie ymenys geri tuo, kad primena ivestins apibrim, ivestin yra pokyiusantykio riba. Graik abcls raids , S (delta) lotyn kalbos abcljeatitinka raides D, d, taigi d y ar d f ( x ) yra tarsi prisiminimas apie pokyius.O Niutonas ym jo funkcijos y = f (x) ivestin taip: y. Ir is ymuo kartais yravis dar naudojamas.


40/192

1.6. Funkcijos ivestin ir jud jim o greitisFunkcij ivestini pris ireikia ne t ik nagrinjant kreivi l iest ines .Tegu s ( t) y ra fun kc ija, reikianti k no (d ar geriau m aterial iojo tako) nu eit k eliper laikotarpi t, prajus nuo judj imo pradios . Sakys ime t ies iog, kad s(t) k el ias,nuei tas ik i la iko momento t; jud j imo prad io je t = 0. Taigi, kai t = 0, tai s (t) = 0.Jeigu judj imas vyks ta pas toviu grei iu v, ta i s (t) = t ir ios funkcijos grafikas yrat ies. Tiess krypties koeficientas yra grei t is v.

Jeigu judj imo grei t i s k inta k iekvien akimirk, ta i funkci jos s (t) grafikas yra kreiv.Pavyzdiui , la isvai kr in tanio kno nuei tas kel ias re ikiamas funkci ja

ios funkci jos graf ikas yra parabol .Nordami surast i vidutin judjimo greit laikotarpiu nuo i iki / -f- At, tur ime imatuot inueit keli (.v pokyt) As = s(t + At) s(t) i r padalyti i laiko pokyio At. Taigi

is vidutinis grei t is lygus funkcijos 5 ( i) grafiko kirs t ins , einanios per takus M(t; s (t))ir M(t + At; s(t + ) ) , k ry p ti es k o e fi ci e nt u i.

s(t + At)-s(t)Wvid V


41/192

Jei Ai art insime prie nul io, ta i vvid = a r ts pr ie ju d j im o gre i io la iko m om en tu t(moment in io g re i io v(t)). Kita vertus, santykio ^y riba, kai At > O, yra funkc i joss (t) i ves t in :

A s .v (t) = lim = s (t). >-0 A iTa ig i nue i to ke l io funkc i jos s (t) i ve s t in y ra fun kc i j a , kur ios r e ikm k i ekv i enam eta ke l yg i moment in i am jud j imo gre i iu i a t i t i nkamu l a iko momentu :

s'(t) = v(t).Nordami su inot i , k iek paki to jud j imo gre i t i s l a ikota rpiu nuo t ik i t + At, t u r imeapska i iuo t i funkc i j os (t) pokyt :

Av (t) = v (t + At) - ( t) .San tyk is i reik ia vidut in pag rei t , o jo r iba, kai At -* 0 mo me nt in pagre i t a (t) l a i ko momentu i :

Av (t) .a (t) = l im arba a(t) = v (t). >-0 At 1 P A V Y Z D Y S . L a i s v a i kr in t an io kno nue i t a s ke l i a s r e i k i amas fo rmule s (t) = .Rasime moment in kr i t imo gre i t i r pagre i t .Moment ini s gre i t i s yra ke l io i ves t in , t a igi

As (t) (g (t+ At)2-t2V (t) = S (t) = l im = lim - >-0 At At-* 0 \ 2 A ig 2tAt + (At)2 g= - lim = - lim (21 + At) = gt.2 At-+ 0 At 2 >0

Pagrei t is yra gre i io i ves t in :^ >u\ v A v i t ) r 8 ( t + ) ~ g ta (t) = v (t) = lim = lim = g. - 0 At ^O A i J

Jeigu funkcija s (t) reikia materialaus tako nueit keli iki laiko mom ento t, taimom entinis greitis v (t) laiko momentu t lygus funkcijos s (t) ivestinei, mom entinispagreitis a (t) funkcijos v (t) ivestinei:v(t)=s'(t), a(t) = v'(t).


42/192

Tarkime dabar , kad kn as (a rba ma ter ia lus t akas) jud a ti ese . N or dam i nusakyt i jopad t t i e s j e ve sk ime koord ina i s i s t em : paymkime prad ios t a k O, pa s i r i nk i -me i lg io matavimo viene t . Tada kno pad t ies ki t im la ikui bgant pa togu nusakyt if u n k c i j a x(t), re i k i an i a kno koord ina t l a i ko momentu t.

Kno pad t l a i ko momentu tn u s a k o m e n u r o d y d a m i k n ok o o r d i n a t x(t).

Kai knas juda t i es je nurodyta krypt imi , t a iAx(t) = x(t + ) - x(t) (At > 0)reikia kel i , kur knas ve ik la ikota rpiu nuo t ik i t + At.Taigi

, Ax(t) As .x'(t) = l im = l im = v(t), '(t) > 0. -0 At 0 AtJeigu knas juda krypt imi , pr ie inga t i ess kryp ia i , t a i

Ax(t) = x(t + At) - x(t) = .Tada , * ( ) , ' (t) = lim = - l im = - ( ) , x'(0 < 0. >0 At ->0 AtTaigi kno koord ina t s (ka ip l a iko funkc i j os ) (t) i ves t in ne t ik parodo, koks yramoment ini s kno gre i t i s , be t i r kokia jud j imo krypt i s .Dana i kno moment in iu g re i iu vad inama pa t i kno koord ina t s ( t) i ves t in . Tadagre i t i s ga l i bt i i r t e igiamas , i r ne igiamas . enklas parodo, kur ia krypt imi juda knas .

O ( t + At) xx'(t) > 0

K o o r d i n a t s (t) i ve s t i n nurodoi r moment in kno gre i t , i rj u d j i m o k r y p t .Ka i funkc i j a f ( x ) nra susi jusi su f iz ikiniu judj imu, karta is vist iek kalbame apiegre i ius . Sakome , kad funkc i j os F(X) i ves t in , ka i = XQ, p a r o d o f u n k c i j o s re ikmiki t imo grei t iame take.


43/192

40. Du materials takai A ir B j u d a Oy ayje . Tak padt Oy ayje nusako pa te iktif unkc i j y = f A (O ir y = f U) graf ika i . L a ikas ma tuoja ma s sekundmis ,a ts tumas metra is.

I grafik nustatykite:a ) kada abu taka i buvo vienodai nutol nuo koordina i pradios tako;b) kad a atstum as tarp tak buv o didiausias;c) kokie buvo abie j tak gre iia i mo men tu t = 10;d) koks buvo tako A gre i t is momentu t = 30;e) kada ir jud jo viena krypt imi , kada pr ie ingom is krypt imis .41. Tiese judanio kno gre i t is nusakomas funkci ja v(t) = 3t + 2 t 2 . Laikas ma-tuojam as sekund mis , gre i tis cent imetra is per sekund . Koks kn o pagre i t isla iko momentu t = 4?42. Mater ia laus tako, judanio Oy ayje , padt nusako funkci ja y (t) = 2t2 + 1.Raski te mater ia laus tako:a) koordina tes la iko momenta is t = 0 ir t = 5;b) vidu tin greit laiko intervale [0; 5];

c) greiius, kai t = 0 ir t = 5;d) pagreit .43. Vert ika l ia i auktyn imesto akmens aukt nusako funkci ja h{t) = at2 + 31 +Laikas matu ojam as sekund mis , aukt is metra is . Raski te :a ) akm ens aukt met im o mo men tu (t = 0 ) ;b) koef ic ient a , je i inom a, kad auk iaus ia i akm uo bus paki ls po 3 sekun di;c) po kiek la iko akm uo nukr is ;

d) vidutin akmens greit kylant auktyn;e) vidutin akm ens greit krintant em yn ;f) akm ens gre it la iko mo men ta is t = 1, t = 2, t = 6;g) pagreit .


44/192


45/192

1.7. Dvi ivestini skaiiavimo taisyklsPadaugin funkc i j / (JC) i realiojo skaiiaus a, ga una m e na u j f unkc i j

g(;c) = a f ( x ) ,apibr t toje pa t a ib je , ka ip i r funkci ja / (JC) . Suraskime ios funkci jos re ikmipokyt take x:

A g ( x ) = g(x + * ) - g(x) = af(x + Ax) - a f ( x ) == ( f ( x + ) - f(x)) = aAfix).

Taigi funkci jos gix) re ikmi poky ius gauname daugindami f i x ) re ikmi poky iusi skaiiaus a. s i t ikins ime, kad funkci jos g(x) ivestin, kai j i egzistuoja, irgi randamapanaia i .T E O R E M ATegu funkcija f i x ) yra diferencijuojama take JC t. y. turi ivestin, o a yra realusisskaiius. Tada funkcija gix) = a ( ) irgi yra diferencijuojama take JC be to,

g'( ) = af'ix), t. y. (a ( ))' = af\x).

rodymas. No rdami suras ti funkc i jos gix) i ves t in , tur ime sudaryt i funk ci jo s pok yioAg(x) i r nepr iklausomojo kintamojo pokyio Ax santyk i r suras t i io santykio r ib ,kai A x > 0. Jau m atm e, kad A g (x ) = aAfix). TaigiAg(x) Af(x)= a .A x A x

TadaA g ( x ) / Af ( ) Af(x) ,g ( ) = l im = l im [a = a l im = a f ( x ) . ^ A x ^ V A x J ^ A x

I 1 PAVYZD YS. inome , kad ( 2 ) ' = 2x . Todl , pavyzdiui ,( 3 x 2 ) ' = 3 (x 2 ) ' = 3 2 x = 6 x , ( - 2 x 2 ) ' = ( - 2 ) ( x 2 ) ' = - 4 x . J

Je igu dvi funkc i jos f ( x ) i r g(x) apibr tos toje pa t nepr iklausomojo kintamojo re ikmi a ib je , t a i sud j funkc i j re ikmes , gau nam e na uj fun kc i jh (x ) = f ( x ) + g (x),

apibrt toje pat aibje.Naujos ios funkc i jos pokyt i s lygusAh(x) = Af(x) + A g ( x ) .


46/192

s i t ik inkime, kad pana i lygyb te is inga i r i ves t inms .T E O R E M ATegu funkcijos / ), g ( ) yra diferencijuojamos tame paiame take x, t. y. turiivestines. Tada funkcija h(x) = f (x) + g(x) taip pat diferencijuojama iame takeir

h'(X) = f'(x) + g'( ) , t . y. ( f (X) + g(x))' = f (X) + g'(x).rodymas. K a d a n g i Ah(x) = Af (x) -j- Ag(x), tai

Ah(X) = Af(X) + A g ( x ) = Af(x) | A g ( x )A x A x A x A xRemdamies i r ib s avybe , gauname:, Ah(x) Af(x) Ag(x) , ,h (x) - l im = l im h l im = / (x ) + g (x) . ^ A x >0 A x ->0 A x

I 2 P A V Y Z D Y S . S u s k a i i u o k i m e f u n k c i j o s f ( ) = 2 + i ves t in . Remdamies i tuo ,k a d ( x 2 ) ' = 2x i r x ' = 1 be i rody ta t eo rema , gaun am e: ( x 2 + x ) ' = ( x 2 ) ' + x ' = 2 x + l .Jau gal ime suskai iuot i be t kokios kvadrat in iu t r inar iu ap ibriamos funkci jos i ves t i -n . Pavyzd iu i ,( 3 x 2 + 2x - 1) ' = (3 x 2 ) ' + (Ix)' + ( - 1 ) ' = 3 ( x 2 ) ' + 2x + 0 = 6x + 2.

I Uduotis. Parayk i te funkc i jo s y = 3x 2 + 2x 1 graf iko l ies t ins lygt take XQ = 0 .Taig i funkci j sumos ives t in lygi i ves t in i sumai . Nesunku s i t ik in t i , kad i r funkci jskir tum o ives t in lygi i ves t in i sk i r tumui . I t ikr j , ta iky dam i rodyta s teore m asg a u n a m e :

( / ( ) - g ( x ) ) ' = ( f ( ) + ( - 1 ) g(x))' = f ( ) + ((-1) gix))' == f (X) -g' (X).

Skaiiuojant ivestin, pastov d augikl galima ikelti prie ivestins enkl:(a ( ))' = af'(x).

Funk cij sumos ivestin lygi ivestini sumai:( / ( X ) + g ( x ) ) ' = f (X)+ g' (X).

Funk cij skirtumo ivestin lygi ivestini skirtumui:[f (X) - g(x))' = f'(x) - g'(x).


47/192


48/192

Apska i iuokime funkc i jos f ( ) = 4 i ves t in . Skai iuodami (x + A x ) 4 remkims(1) lygybe:(x + Ax) 4 = (x + A x) 3 (x + Ax) = (x 3 + 3 x 2 A x + ( A x ) 2 p ( x ) ) ( x + A x ) =

= 4 + 4 x 3 A x + ( A x ) 2 r(x), (2)ia r(x) = Ax p(x) + 3 x 2 + p(x).Taigi

Af(x) =x4 + 4 x 3 A x + ( A x ) 2 r(x) - x4 = 4 x 3 A x + ( A x ) 2 r(x).Toliau skai iuodami pana ia i ka ip a tve ju n = 3, gauname:

( x 4 ) ' = 4x 3 .

1 uduotis. Remdamies i (2) lygybe gauki te lygyb(x + Ax) 5 = 5 + 5 x 4 A x + ( A x ) 2 s ( x )

ir rodykite , kad( x 5 ) ' = 5x 4 .

Visas gautsias ivestines( 0 ) ' = O, ( 1 ) ' = 1, ( 2 ) ' = 2x , ( 3 ) ' = 2 , ( 4 ) ' = 4 3 , ( 5 ) ' = 5 4gal ima urayti ta ip:

( " ) ' = " " 1 , n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .Sa m pr o t a uda m i panaiai , kaip ir nagrintais atvejais , galime i lygyb rodyti visomsn re ikmms .Visiems n = 0 , 1, 2 , . . . teisinga lygyb (xn)' = " - 1 .

D a b a r j a u g al im e skai iuot i i ves t ines funk ci j, apibr iam bet kokia is daugianar ia is .1 PAVYZD YS. Apska i iuokime funkc i jos f ( x ) = 2 x 7 3 x 5 + x + 1 ivestin.Remdamies i ives t ini ska i iavimo ta isyklmis i r lygybe (x n ) ' = " - 1 , gauname:

f ( x ) = ( 2 x 7 ) ' - (3 x 5 ) ' + + 1' = 14 x 6 - 15x 4 + 1.

2 uduotis. Apska i iuoki te funkc i jos f ( x ) = ^ x 1 8 ^ x 5 + 3 x 2 13 ivestin.4 8


49/192

46 . Raski te funkci jos ives t in :a ) / ( J C) = 2JC3 - 3 x 2 + 6 x - 6 ;c ) / ( JC) = 4JC2 + 6 x - 1 0 ;e) f(x) = 3 - J t 2 - X - I ;

b ) / ( J C) = 3JC4 - 4JC3 + 6JC2 - 1 2 ;d ) / ( x ) = 5 x 4 + 2 x 2 + 5x ;f ) f ( x ) = x 3 + | j c 2 + + 2 .

47 . Raski te funkc i jos i ves t in nurodytame take:a ) / ' ( 0 ) , k a i / ( x ) = 3 x 2 - 5x + 10; b) / ' ( :2 ) , ka i / ( x ) = 3 - 6x;c ) / 4 1 ) , k ai / ( x ) = 2 x 4 - 3 + 1; d ) / 4 - 1 ) , k ai / ( x ) = 2 x 6 + 6.

48 . Parayki te fun kci jo s graf iko l iest ins , nubr tos per nurod yt tak , lygt . Nu-bra iyki te funkci jos graf ik i r l ies t in :a) y = 2 - 2x , M (0 ; 0) ; b) y = 2 x 2 - 4x + 2, M(0; 2) ;c) y = - X 2 - 2x + 3, M(0; 3) ; d ) y = - 3 x 2 + 3, M(-1; 0 );e ) y = - 3 + 1, M (0 ; 1); f) y = x 3 + 1, M ( l ; 2 ) .

49 . Raski te tak, kuriame funkcijos grafiko l iestine lygiagreti abscisi aiai:a) y =

3 3x + 1; b) y = x

3 3 x

2+ x ;c) y = 3 + 9 x 2 ; d) y = 2 x 3 - 6x.

50. Raski te funkci jos graf iko tak, kuriame grafiko l iestine su abscisi aimi sudaronurodyt kamp. Nubra iyki te funkci jos graf ik i r l ies t in :a) y = - 2 + 4 x , = j',b) y = 2x 2 + J3 x, = f .

51 . D uo tos f unkc i j o s / ( x ) ir gix). Kurios i j grafikas yra statesnis", kai = 1 :a) f{x) = 3 + 10, gix) = 2 x 2 - 10;b ) fix) = 3 + 2x , gix) = 5 x 2 - IOOx;c) fix) = IOOx + 1, g (x ) = IO x 1 0 + 2 ;d) fix) = 5 x 6 + IOx 5 , g ( x) = 6x 5 + 12x 4 ;e) fix) = 2, gix) = x ;f ) / ( x ) = 2 x , gix) = 5 x ?

52 . Sakome , kad kreivs kertasi s taiu kampu, jei yra statmenos j l iestins, nu-br tos per ki r t imosi tak . rodyki te , kad funkci j fix) ir g (x) grafikai kertasis ta iu kampu, je i :a) fix) = 3 x 2 + 4 x , gix) = |x ;


50/192

b ) / ( ) = 2 , g(x) = ix- I ) 2 ;c) f i x ) =x2, gix) = - +.

P a t a r i m a s . Pasinaudo kite tuo, kad dvi tiess, kuri lygtys y = k\x+bi ir y = k2x+b2,yra statmenos, kai ki = 1.

5 3 . S tab d o m as smag r a t i s p e r t sek u n d i p as i su k a (t ) = a + bt - ct2r ad ian k am p u , i a a , b, c te ig iam i sk a ii a i . Rask i t e s t ab d o m o sm ag r a iokampin g re i t . Per k iek la iko smagra t i s sus tos?

5 4 . Ko o r d in a i p lo k tu m o je tv ir t ai t v i rt i n ta s" f u n k c i jo sy = (x- I)

3

graf ikas . L ink jo i de ins ima s l ink t i d id iu l i s s ta tus is t r ikampis ABC, k o la ts i rm s fun kc i jos g raf ik sus to ja . Ras k i te , kok ia bus tr ikam pio v i r ns Akoord ina t , ka i t r ikampis sus tos .

5 5 . Ap sk a i i av f u n k c i jo sf i x ) = 2 + i v es t in , g au n am e :( 2 + * / = 6x + 1.Ap sk a i i av ios f u n k c i jo s i v es tin , g au n am e :(6x + 1) ' = 6 .Kad an g i g av o m e f u n k c i j , k u r i g y ja v i en in te l r e ik m , t a i6' = 0 .Kel is tok i ska i iav im ingsn ius re ik t a t l ik t i , kad gau tume nu l , je i :a) f i x ) = 6 x 3 + 3 x 2 ; b ) f i x ) = 4 + 3 ;c ) f i x ) = ( 2 + 2 ) 2 ; d ) f i x ) = ( 2 3 - I ) 3 ?


51/192


52/192

7 - ) - f (X)- s (f ( ))

I dvie j funkc i j gal ima sudaryt i na uj sud t in funkc i j . ,

Taig i i papras t funkci j gal ime sudaryt i va i r ias sudt ingesnes funkci jas . Kaip tyr i -nt i j sa vyb es? K aip bra iyt i graf ik us?G er iaus ios paga lb in inks t i r i an t funkc i j a s y ra j i ves t ins .

2.1. Funkcij reikmi didjimas, majimas ir ekstremumaiF u n k c i j a f ( x ) v a d i n a m a didjania in tervale (a; b), j e i g u d i d e s n a r g u m e n t o r e i k m a t i tinka d idesn fun kc i jo s r e ikm . K i ta ip t ar i an t, funk c i j a y ra d id jan t i in te rva le(a; b), j e i g u v i s i e m s a < x\ < x^ < b yra t e i s inga ne lygyb f(xj) < f ( x j ) F u n k c i j a f ( x ) v a d i n a m a majania in tervale (a\ b), j e igu d idesn a rgumen to r e ikma t i tinka m ae sn fun kc i jo s r e ikm , t . y . v i s i ems a < x\ < X2 < b yra te is ingan e l y g y b f(x\)> f ( )Jeigu in tervale (a; b) f u n k c i j a y ra didjant i , ta i in terval (a; b) v a d i n a m e j o s d i d j i m oin te rva lu , j e igu ma jan t i m a j im o in te rva lu .Funkc i jo s d id j imo i r ma j imo in te rva lus l engva i nus ta tome i g ra f iko : d id jan t a r -gumen to r e ikmms d id jan ios funkc i jo s g ra f ikas ky la v i r " , ma jan ios le i -d i a s i e m y n " .

F u n k c i j a y = f ( x ) y rad id jan t i in te rva le (00; 3 ) ,ma jan t i in te rva le (3 ; + 0 0 )

A P I B R I M A SSakoma, kad funkcija f ( x ) take XQ gyja maksim um , jeigu ga lima rasti tok inter-val (XQ 0 ) , kad su visais , priklausaniais iam intervalui,teisinga nelygyb f(x0) > f ( x ) . Takas XQ vadinamas funkcijos maksimumo taku,o funkcijos reikm f(x0) funkcijos maksimumu.


53/192

Taigi funk cija take XQ gyja mak sim um , jeigu yra toks intervalas (nors ir labai m aas).kuriam priklauso pats takas XQ, kad iame take funkci jos reikm F(X o) yra didesnu ki tas iame intervale gyjam as fun kci jos reikmes / ( x ) .Tolydios funkci jos gyja maksimumus j reikmi didj imo i r maj imo intervalsandros takuose. Funkci ja maksimumo i r minimumo tak gal i turt i ne vien.

Panaiai apibriami i r funkci jos minimumo takai .A P I B R I M A SSakoma, kad funkcija f ( x ) take XQ gyja minimum, jeigu galima rasti tok interval(XQ 3; XO + kad su visais X0, priklausaniais iam intervalui, teisinganelygyb f ( xo) < / ( J C ) . Takas xo vadinamas funkcijos minimum o taku, o funkcijosreikm / ( x o ) funkcijos minimumu.

Fun kci ja gali neturti nei ma ksim um o, nei minim um o tak, gal i turt i t ik ma ksimu moar t ik minimumo takus, taiau taip pat gal i turt i t iek maksimumo, t iek minimumotak. Maksimumo i r minimumo takai vadinami funkci jos ekstremumo takais (lo-tyniko odio extremus reikm kratut inis, gal inis), o fun kc ijos reikm s iuosetakuose funkci jos eks t remum ais .I 1 PAVYZD YS. Pris iminus, kaip at rodo fun kci j / ( x ) = 2 X , f ( x ) = grafikai ,nesunku padaryt i i vad, kad ios funkci jos neturi ekst remumo tak.

* 1 uduotis. Pateiki te daugiau pav yzdi fun kci j, neturini eks t remum o tak.

jco ir JC2 f unkc i j os f ( )m a k s i m u m o takai ,x\ minimu mo takas .

ios funkci jos ekst remumo tak neturi .


54/192

I 2 PAVY ZDYS. Fun kC ja f M - * , v ,e , , el i _ askas = yra ios funk ci jos m inim um o takas . is takas yra ir fun kc i jos / ( x ) = \x \ m i n i m u m otakas . Funkc i j a / ( x ) = 1 x2 taip pat tur i vienintel ekstremumo tak; takas x> = Oyra jos maks imumo takas .

I 3 PAVYZDY S. Funkc i j a / ( x ) = s in turi be galo daug ma ksim um o i r be galo daugm i n i m u m o tak. Tak uose Xk j + 2 k (k e Z ) f u n k c i j a g y j a m a k s i m u m u sf (Xjc) = l , o t akuose x / = + 2 ( I e Z) m i n im u m u s / ( x / ) = 1.

- - II 3 uduotis. Suraski te v isus funkci jos g(x) = | s in x | mak s imum o ir min im um o takus. |

2.2. Lagrano teoremainodami, kad automobi l i s per t r i s valandas nuvaiavo 210 ki lometr , gal ime apskai -iuoti vidutin jo greit: uvid = ^ = 70 (km /h). A r galim a teigti, kad nors akim irkautomobil is vaiavo iuo greiiu, jeigu jo grei t is nuolat keitsi?Sugr ime pr ie io klaus im o kiek vl iau , o dabar t ruput pabraiyk ime. In tervale[a ; b] nubrkime kokios nors tolydios ir tur inios ivestin visuose intervalo (a; b)takuose funk ci jos graf ik . Takus A (a\ f (a)) ir B (b; f (b)) sujunk ime t iese . Argalima nubrti t ies, kuri bt lygiagreti t iesei AB i r l ies t funkci jos graf ik?

ios funkci jos tur i po vien eks t remumo tak.

F u n k c i j a / ( x ) = s i n t ur i be ga lo daug mak s imu mo i r min imu mo t a k .


55/192

Pairj brin t ikriausiai nusprsime, kad galima. Tegu i t ies l ieia grafik take,kur io absc ise = c .

Je i funkc i ja f ( x ) visuoseinterva lo (a ; b) t a kuos eturi ivestin, ta i bent vienametake c e (a\ b) graf iko l ies t inelygiagre t i AB.

Kadangi nubrtoji t ies yra lygiagreti t iesei AB, ta i kampai a ir yra lygs . Tadalygs i r j tangenta i : t g a = tg . Taiau tg yra funkc i jos f ( x ) graf iko l iestinstake x = c krypties koeficientas, todl tg? = f'(c). Skaiius tg a yra funkc i jos f ( x )pokyio i r a rgumento pokyio santykis :

toa = BR = - f te)gC l AD b-ata igi

b a te igin gr ie ta i rod prancz matematikas Z. L. Lagranas .L A G R A N O T E O R E M AJeigu funkcija yra tolydi intervale [a; b] ir visuose takuose e ( a ~,b) turi ivestin,tai yra toks takas c (a; b), kad

f (b) - f (a) .

O dabar sus iekime Lagrano teorem su kun jud j imu. Je i f ( x ) re ikia mater ia laustako nueit keli per laik x, ta i santykisf (b) - f (a)b a

reikia vidutin tako greit la ikotarpiu nuo a iki b, o f'(c) mo men tin jo gre i tla iko momentu c . Taigi Lagrano teorema te igia , kad nors vien akimirk judaniotako momentinis gre i t is buvo lygus vidut iniam gre i iui .Uduotis. Takas c, su kur iuo te is inga Lagrano teoremos lygyb , yra nebt ina i vie-ninte l is. Nu brki te graf ik fun kci jo s , kur ia i Lag rano teorem os lygyb bt te is ingasu dviem skir t ingomis c re ikmmis .


56/192

5 6 . Fu n k c i j a f ( x ) ap ibr ta in te rva le [a; b]. Raski te tak c , kur iameF T O - M Z M .

b aNu b r a iy k i t e b r in :a) f ( ) =x2, e [0; 4]; b) f ( x ) = 2, e [ - 1 ; 1 ] ;c) f ( ) =x 3, e [0; 2]; d) f ( x ) = , e [ ; 2 ] .

57 . M ater ia l io jo tako pad t Oy ay je n u sak o f u n k c i j ay (t) = 32 1 - t2( a t s tu m as m a tu o jam as m e t r a i s , la ik as sek u n d m is ) . Rask i t e v id u t in ta k ogre i t la iko a tkarpo je [a ; b ] ir la iko mo m ent , ka i mom ent in is g re i t i s lygus v i -d u t in i am :a) a = 0 , b = 10; b) a = 16, b = 32; c) a = 8, b = 2 4 .

Nu r o d y m as . Momentinis tako greitis yra funkcijos y (t) ivestin, o vidutinis greitis koordinats y(t) pokyio ir laiko pokyio santykis.

5 8 . s iv a izd u o k im e , k ad n u s ib r a i k o o r d in a i p lo k tu m o je p a r ab o l y = x2

i r t ies,i p jovme iomis l in i jomis apr ibo t f igr i r pad jome an t Ox aies ta ip , kaipp a r o d y ta b r in y je . Rask i t e b r in y je p ay m t a t s tu m d:


57/192

2.3. Funkcijos reikmi didjimo ir majimo poym iaiiame skyre lyje su inosime, ka ip remiant is funkci jos ives t ine ga l ima nusta tyt i , kurfunkci jos re ikms did ja , kur maja .T E O R E M AJei funkcija / (JC) intervale (a; b) turi ivestin ir ivestin yra teigiama, tai iameintervale funkcija yra didjanti.

rodymas. Pasir inkime du interva lo (a; b) takus JCJ < x2 i r nagr inkime funkci j in-tervale [x\ \ 2 ] Pri ta ik Lagrano teorem gauname, kad yra toks takas c e ( 1; X2),kad

f (X2)~ /(JC)X2 - x\ = f ' ( C ) , f ( X 2 ) - f (XL) = f'(C) (X2 - X1).

I

Taiau ives tin y ra teig iam a, t. y. f'(c) > O ir JC2 > J q , tod l f(x2) f ( j q ) > O,arba / ( JC2) > f(xi). Taigi funkci ja / ( J C) intervale (a; b) yra didjanti .Pana ia i yra rodoma i r teorema apie majanias funkci jas .T E O R E M AJei funkcija f ( x ) intervale (a\ b) turi ivestin ir ivestin yra neigiama, tai iameintervale funkcija y ra majanti.

31 uduotis. Raski te funkci jos / (JC) = =Y +x ivestin ir rodykite , kad funkcija visojerealij skaii aibje yra didjanti . I

1 PAVYZDYS. Raskime funk c i jos f ( x ) - v 3 3JC re ikmi did j imo interva lus .Apska i iuojame funkc i jos i ves t in : f'(x) = (x 3x)' = 3x 3 = 3(x 1).Nordami ras t i , kur ives t ins re ikms yra te igiamos, sprendiame ne lygyb:3(JC2 - 1) > O arb a (JC - 1)(JC + 1) > 0.

ios nelygybs sprendini aib sudaro intervalai (00; 1) ir (1; +oo). Taigi iuoseinterva luose funk ci ja yra did jant i . Surad funk ci jos re ikmi did j imo ir maj im ointervalus, apskaiiav kelias funkcijos reikmes galime bent jau apytiksliai nubraiytifunk c i jos gra f ik.

Intervaluose (00; 1) ir (1; +oo) funkcija yra. did janti, o jo s ivestin teigiam a.Intervale (1; 1) funkcija yra majanti, o josivestin neigiama.


58/192

2 PAVYZDYS. Raskime funk c i josf ( x ) = 2x4 - 2

re ikmi did j imo i r maj imo interva lus .Pirmiausia raskime ives t in :f \ x ) = ( 2 x 4 - 2)' = 2 4 3 - 2x = 8 x 3 - 2x = 2x(4x2 - 1).

Matome , kad ivestin lygi nuliui , kai

Funkci jos re ikmi did j imo interva lus ras ime isprend ne lygyb2 x ( 4 x 2 - 1) > 0.

ios ne lygybs sprendini a ib sudaro du interva la i :( - I ; 0 ) ir ( i ; + o o ) .

iuose interva luose fu nk ci ja yra did jant i . Ta ip pa t yra du interva lai , kur iuose fun kci j ayra majant i :( - C O i - I ) k ( 0 ; I ) .

Apska i iav funkc i jos re ikmes/ ( - I ) = - I / ( 0 ) = 0 . / ( I ) = - I

i r pay m j a t i t inkam us graf iko takus , ga l ime apyt iks l ia i nubra iyt i fun kci jo s graf ik .

I2 uduotis. Raski te takus , kur iuose funkci jos y = ^x3 2x2 + 3x grafikas kerta Ox Ia . Rem dam ies i ives t inmis raski te interva lus, kur iuose funk ci ja yra did jant i a rba Imajant i . Apyt iks l ia i nubra iyki te funkci jos graf ik .


59/192

59. rodyki te , kad fun kc i ja f i x ) yra didjanti intervale / = (0; + 0 0 ) , o funkc i jagix ) ma jant i tame interva le :a) f i x ) =X2-I ; b) f i x ) = Jx;c ) g ( x ) = 2 - x 3 ; d) gix) = .

60. Raski te interva lus , kur iuose funkci ja yra did jant i a rba majant i , nubra iyki tegraf ik :a) f ( x ) = 2 - Ix + 1 2; b ) / ( ) = 2 + - 1;c) f i x ) = 2x2 - Ax; d) f ( x ) = 3x - 1.

61. Raski te interva lus , kur iuose funkci ja yra didjant i a rba majant i :a) f i x ) =x3+ Ax; b) f i x ) = x3 - 6x;c) f{x) = Ax4 - 10; d) f i x ) = 4 + Ax2;e) f i x ) = x2ix - 3); f) f i x ) = xix - I ) 2 .

62. Raski te interva lus , kur iu ose fun kc i ja yra didjant i a rba majant i , i r nubra iyki tegraf ik :

S i i 2;b ^ w = 1 ' ! , b i r . i ; 5 x + 6, kai > 2;

d ) f i x ) = 2 Ax + 3, kai ^ 3, 2 + I x - 1 2, k ai > 3 .63. Koordina i p lok tumoje nubr t i funkc i j f i x ) = 3 ir gix) = 1 grafikai.

Nene ig iamiems apibrkime funkc i j dix), kuri lygi atstumui tarp grafik tak(x ; fix)) ir (x; g(x)) Raski te funkc i jos d(x) (x ^ 0) did j imo i r maj imointerva lus .


60/192

2.4. Funkcijos ekstremumai: kaip j iekoti?Jau inome: kai funkcijos ivestin yra teigiama, tai funkcija yra didjanti , kai nei-giam a ma janti . Itirsime, ka ip funk cijo s reikm s kinta ties tais takais, kuriuos eivestin lygi nuliui arba i viso neegzistuoja. Tokie takai vadinami kritiniais.Tegu xo funkcijos kritinis takas. Taigi F'(XQ) = 0 arba ivestin neegzistuoja.Tarkime, galima nurodyti tok skaii 8 > 0, kad:

f'(x) > 0, kai e (xo 8\ xo),f'(x) < 0, kai (xo; xo + 8).

Tada intervale ( ; xo) fu nkc ija yra didjanti, o intervale (xo; XQ + 0 f i x ) < Of'( o) neegzistuojax o ma k s imu m o takas

Jeigu galima nurodyti tok skaii 8 > 0, kad:f'(x) < 0, kai e (xo 0f'(xo) = 0xo min imum o takas

f ( ) < 0 f'(x)> 0f'(xo) neegzis tuojax o min imu m o takas .


61/192

Taiau kartais funkcijos ivest ins reikms abipus kri t inio tako gali bti to pat iesenklo (teigiamos arba neigiamos). Tada kri t inis takas nebus funkcijos ekstremumotakas.

Jeigufunkcijos f ( x ) ivestins f'(x) reikms keiia enkl, kai diddamas praeinakritin tak XQ, tai funkcija iame take turi ekstremum.Takas xo yra maksimumo takas, jeigu praeinant XQ ivestins f'(x) reikm i en-klas keiiasi i pliuso minus. Takas XQ yra minimum o takas, jeigu praeinantJCO ivestins f'(x) reikm i enklas keiiasi i minuso plius. Jei praeinant XQivestins reikmi enklas nesikeiia, tai takas nra ekstremumo takas.

Taigi iekoti funkcijos f ( x ) ekstremum galime taip: randame kri t inius takus ir kiek-vienam j tyrinjame, kaip keiiasi ivest ins f \ x ) reikmi enklas, kai jc diddamaspraeina t kritin tak. Jeigu ivestins reikmi enklas keiiasi kritinis takas yraekstrem um o taka s, jei nesikeiia nra.Taiau ar i taip elgdam iesi niekad a nepr aiop som e ekstrem um o tak? Ar negaliatsitikti taip, kad ek stre m um o ta kas xo nr a kritinis takas, t . y.f \ xQ ) egz i s t uo j a ,

taiauf (xo) 0?

Kad taip negali bti , teigia teorema, kuri rod prancz matematikas P. Ferma.F E R M A T E O R E M AJeigu funkcija / ( j c ) ekstremumo take jco turi ivestin, tai i ivestin lygi nuliui:/ ' ( * ) = 0.

f ( X ) = X If'( JC) = 3jc

2/ ( O ) = 0f ( ) > 0 , + 0X0 = 0 nra ekst remumo takas.

g(x) = x ' * ^ , > O

g '(x ) > 0 , 0g'(0) neegzistuojaxo = 0 nra eks t remumotakas.


62/192

PA V Y ZD Y S. R a s k im e in te rva lus , ku r iuos e f unkc i j a/ ( J C ) = 3 - 3 X 2

yra did jan t i a rba ma jant i be i funkc i jos eks t remumus .Si funkci ja apibr ta visoje rea l ij ska i i a ib je . Randame jos ives t in :f \ x ) = ( 3 - 3 x 2 ) ' = 3x 2 - 3 2x = 3x (x - 2) .

Taigi i ves t in egzis tuoja visuose takuose ; ka i = O, = 2 j i lygi nul iui . ie takaiyra fu nk cijo s krit iniai takai. Krit ini tak tyrimui patog u naud oti toki lentel:X ( - o o ; 0 ) 0 (0; 2) 2 ( 2 ; + oo)f f ( ) > 0 0 f ' ( ) < 0 0 f ' ( ) > 0f / / ( 0 ) = 0 , m a x \ f (2) = -4, m in /

L e n te l j e f unkc i j o s r e ik m i d id jim pa ym jom e rodyk l e f , m a j im \ . Taig iinterva luose (oo; 0) ir (2; + o o ) fu nk cij a did janti , o intervale (0; 2) m aja nti .Take = 0 f u n k c i ja gy j a m a ks im um / ( 0 ) = 0 , o t a ke = 2 m i n i m u m / ( 2 ) = - 4 .I~2 PAVYZD YS. Raskim e funk c i jos

X 3f ( x ) = + 2+ re ikmi did j imo i r maj imo interva lus i r eks tremumus.i funkci ja apibr ta i r di ferenci juojama visoje rea l ij ska i i a ib je :

/ ' ( J C ) = I . 3 X 2 + 2 x + 1 = 2 + 2 x

Documents

Matematika 12. Isplestinis Kursas. 1 Dalis (2003) by Cloud Dancing