Matemática Herramientas y saberes - Edelvives · las clases, punteos sobre aspectos disciplinares específi- ... ción con los números y las operaciones involucrados. Operaciones:

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Ut dolore velit, si tat lute cortie dolorer ad diam, consenim adionse feu facin ullandi onulla feuis alit nostrud ex eugiat adit auguer ad tem er autem ver irit ut iriliscidunt vul-pute erosto commolor sequissim ipis augiat. Er suscilit iureet pratum ex eugiat ip er senim iusto digna ad estrud tat iriure dolesse quisit prat lamet wisci tem del ea corper secte do-lesed magna faci et irillaore con-sectet aliquatum nullaor in hent incidunt landip er si.

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5 Índice

Introducción 2

Planificación 3

1. Números naturales. Suma y resta. Figuras 6

2. Sistema de numeración. Las cuatro operaciones. Triángulos 8

3. Múltiplos y divisores. Multiplicación. Triángulos 10

4. Múltiplos y divisores. División. Cuadriláteros 12

5. Fracciones. Cuadriláteros 14

6. Comparación de fracciones. Operaciones con fracciones. Medida 16

7. Fracciones y números decimales. Sistema sexagesimal de medida 18

8. Los decimales y la recta numérica. Suma y resta de decimales. Perímetro y área 20

9. Decimales. Proporcionalidad y estadística. Área 22

Bibliografía sugerida para ampliar las discusiones planteadas 24

Solucionario 25

Recursos para el docente

© 2011, Edelvives. Av. Callao 224, 2º piso (C1022AAP) Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN 978-987-642-098-3

Reservados todos los derechos de la edición por la Fundación Edelvives. Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de los ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.

Proyecto didáctico y Dirección EditorialPedro Saccaggio

AutoríaPierina LanzaFlavia Guibourg

EdiciónAndrés Albornoz

CorrecciónAmanda Paltrinieri

Proyecto visual y Dirección de ArteMariana Valladares

Diseño de tapa Mariana Valladares

DiagramaciónBlaunt diseño editorialSergio Israelson

IlustraciónTapa: Paula Ana Socolovsky

Fotografía y documentaciónMariana Jubany

Preimpresión y producción gráficaSamanta Kalifón

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2 Los conocedores

pero también puede construir un nuevo saber cuestio-nando y reformulando lo previo, circunscribiéndolo, desestimándolo, etc. ¿Cómo desarrolla esta actividad un alumno? Resolviendo problemas que necesiten de sus saberes previos para ser abordados y que, al mismo tiempo, pidan algo más.

El enfoque centrado en la resolución de problemas facilita la producción matemática. Cuando hablamos de resolución de problemas, estamos hablando amplia-mente, abarcando todos los ejes del quehacer matemá-tico en el grado: numeración, operaciones, geometría y medida. Por eso, en los capítulos del libro, los proble-mas se plantean en cada eje y al inicio del trabajo sobre los temas.

Para trabajar desde este enfoque son necesarias al-gunas condiciones: trabajar a partir de las hipótesis que plantean los alumnos y plantear verdaderos problemas que los desafíen para que busquen la construcción de un nuevo saber y, al mismo tiempo, les permitan poner en juego sus conocimientos previos para resolverlos.

También en este enfoque hace falta equilibrar el tra-bajo grupal con el trabajo en parejas y el trabajo indi-vidual. El trabajo grupal y las puestas en común pos-teriores para recuperar lo hecho habilitan el debate, la argumentación, la validación de las hipótesis y de los procedimientos, el trabajo sobre los errores y las institu-cionalizaciones parciales. El trabajo en parejas facilita ciertas confrontaciones y un espacio más íntimo para que cada uno comparta sus hipótesis e ideas. El trabajo individual pone en contacto al alumno con lo que cada uno ha podido construir a partir del trabajo en conjunto.

En el segundo ciclo es importante, además, tener en cuenta la necesidad de “algoritmizar” los procedimien-tos y de aplicar los saberes en otros contextos.

Es nuestra intención que, al recorrer cada capítulo del libro, reflexionemos juntos sobre algunos aspectos de la didáctica de la matemática. Empleamos la pala-bra didáctica en un sentido amplio, ya que considera-mos aspectos metodológicos, asuntos de la gestión de las clases, punteos sobre aspectos disciplinares específi-cos y su implicancia en la elección de las propuestas que les hacemos a los alumnos, etc. Cuando sea pertinente, incluiremos también notas sobre la dinámica de los gru-pos; por ejemplo, cuando se trata del trabajo sobre los errores, de las puestas en común y de la expresión del pensamiento propio a través de hipótesis, conjeturas y argumentaciones.

En los múltiples haceres comprendidos en la tarea de enseñar, los docentes ponemos en acto más o me-nos explícitamente un conjunto de ideas sobre qué sig-nifica aprender Matemática y sobre cómo facilitar ese proceso de aprendizaje a los alumnos. Cada docente ha ido elaborando este conjunto de ideas a lo largo de los años, no solo a través de sus experiencias en la práctica docente, sino también en los años de su propia escola-ridad. Por eso, habitualmente ese conjunto de ideas no tiene una cohesión interna relacionada en forma exclu-siva con una línea teórica determinada. Este entretejido de ideas y experiencias se constituye en un marco refe-rencial conceptual y operativo, es decir que no solo es el referente desde el cual se piensa la tarea de enseñar y el aprendizaje, sino que también es un referente operativo desde el cual se actúa en la situación de aula frente a la toma de decisiones.

En esta guía docente del libro Matemática 5 de la se-rie Los conocedores les proponemos la interesante tarea de recorrer juntos algunas actividades a modo de ejem-plo de un hacer matemático centrado en el enfoque teórico de los diseños y de los documentos actuales.

Para comenzar, pongamos el foco en los aprendiza-jes relacionados con un saber matemático significativo que el alumno hace en la escuela y centrémonos en la construcción del saber. A la pregunta acerca de cómo es posible una construcción con sentido, qué facilita esa construcción y qué procesos y saberes están imbricados en ella, podemos decir que la teoría cognitiva del apren-dizaje que sustenta este enfoque:• responde que un conocimiento genuino implica

procesos de resolución de problemas: observar los indicios y combinarlos, reordenar las evidencias dis-ponibles y, finalmente, observar el problema desde una perspectiva nueva;

• aduce que un conocimiento significativo no puede ser introducido en el sujeto desde el exterior sino que ha de elaborarse y construirse desde el interior, y que el aprendizaje significativo es un proceso dis-tinto de aprender de memoria; y

• plantea que una persona que sabe es alguien que tiene comprensión y que posee medios para solucio-nar problemas nuevos. Aprender matemática implica no solo un hacer sino

un hacer en el que se ponen en juego saberes previos de cierta manera. Por ejemplo, un alumno puede ela-borar un saber que supera los anteriores y los incluye,

Introducción

3Los conocedores

Objetivos por eje. Que los alumnos... Contenidos por eje

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Numeración•Lean,escribanyusennúmerosnaturalesmayoresque100.000.•Identifiquenyutilicenlaspropiedadesdelsistemadecimalparainter-

pretar, registrar, comunicar y comparar números y cantidades. •Profundicenelanálisisdelvalorposicionaldelascifrasenelsistema

de numeración decimal.•Argumentensobrelasequivalenciasdelasdistintasdescomposiciones

de un número usando unidades de distintos órdenes.Operaciones: resolución de problemas•Operenconnúmerosnaturales.•Seancapacesdesumaryrestarcondistintossignificados,utilizandoy

organizando diferentes informaciones y procedimientos.•Seancapacesdeevaluarlarazonabilidaddelresultadoobtenido.•Seancapacesdeelegirlaestrategiadecálculomáspertinenteenrela-

ción con los números y las operaciones involucrados.Operaciones: estrategias de cálculo •Elaborenestrategiasdecálculobasadasenelanálisisdelvalorposicional.•Analicenrelacionesnuméricasparaformularreglasdecálculo.Geometría•Reproduzcanyconstruyanfigurasconángulosrectosyarcosdecir-

cunferencia, usando regla, escuadra y compás.•Construyanfigurascombinadasapartirdeciertasinformaciones.•Utilicenelcompásparatransportarsegmentos,dibujarcircunferen-

cias y medir ángulos.•Copienfigurasyelaboreninstruccionesparasureproducción.

Numeración •Sistemadenumeracióndecimal.Regularidades.•Lecturayescrituradenúmerosnaturales.Expresióndeunnúmeroen

términos de unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etcétera.•Comparacióndenúmerosnaturales.Criteriosdecomparación.•Rectanumérica.•Descomposicióndenúmerosbasadaenlaorganizacióndecimaldel

sistema. •Relacionesaditivasymultiplicativasquesubyacenaunnúmero.Operaciones: resolución de problemas•Sumayrestadenúmerosnaturales.Diferentessignificados:compara-cióndecantidades.Situacionesqueinvolucrenvariospasos.

•Tratamientodelainformación:situacionespresentadasdediferentesmodos: cuadros de doble entrada, tablas, etcétera.

•Estimación.Usodelcálculoaproximado.Operaciones: estrategias de cálculo •Cálculosmentalesapartirdelanálisisdelaescrituradecimal.•Usodecálculosconocidospararesolverotros.Sumasyrestasdenú-

meros redondos de 5 y 6 cifras.Geometría•Exploracióndefiguraspoligonalesqueincluyanarcosdecircunferen-

cia y ángulos rectos. Construcción de figuras con ángulos rectos y arcos de circunferencia, usando regla, escuadra y compás.

•Reproduccióndefiguras.

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Numeración•Caractericenelsistemadenumeracióndecimalyestablezcancompa-

raciones entre nuestro sistema y otros sistemas de numeración.Operaciones: resolución de problemas•Operenconnúmerosnaturales.•Resuelvansituacionesqueinvolucrandiferentesoperacionesypasos.•Resuelvansituacionesdecomparacióndecantidades.•Organiceninformacionesyusenvariadosprocedimientosderesolución.Operaciones: estrategias de cálculo •Seancapacesdeelegirlaestrategiadecálculomáspertinenteenrela-

ción con los números y las operaciones involucrados.•Utilicenlacalculadoracomoherramientapara investigar,deducire

interpretar propiedades de los números. Geometría•Describan,reconozcanycomparentriángulosteniendoencuentala

longitud de sus lados y la amplitud de sus ángulos. •Utilicenlapropiedadtriangularenlaconstruccióndetriángulos.•Construyantriángulosapartirdeciertosdatos.•Estudienycalculenlasumadelosángulosinterioresdeuntriángulo.•Comprendanelconceptodealturadeuntriángulo.•Identifiquenlastresalturasquetieneuntriángulo.•Clasifiquentriángulossegúnsusladosysegúnsusángulos.

Numeración•Otrossistemasdenumeración.Comparaciónconnuestrosistema.•Sistemadenumeracióndecimal.Comparaciónconotrossistemas.Operaciones: resolución de problemas•Situacionesqueinvolucrenvariasoperaciones.•Situacionespresentadasdediferentesmodos:cuadrosdedobleentra-

da, tablas, etcétera.•Resolucióndeproblemas:tratamientodelainformación.Operaciones: estrategias de cálculo•Cálculosmentalesapartirdelanálisisdelaescrituradecimaldelos

números.•Redondeoyaproximación.•Usodelacalculadora.Geometría•Construccióndetriángulosconregla,compásytransportadordados

ciertos datos.•Propiedadtriangular.•Condiciónnecesariaysuficienteparalaconstruccióndetriángulos.•Sumadelasmedidasdelosángulosinterioresdeuntriángulo.•Alturadeuntriángulo.•Clasificacióndelostriángulossegúnsusladosyángulos.

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Numeración•Encuentrenyutilicenmúltiplosydivisores.•Distingannúmeroscompuestosynúmerosprimos.Operaciones: resolución de problemas•EncuentrenyutilicenelDCMyelMCMpararesolversituaciones.•Resuelvanproblemasdeproporcionalidaddirecta.•Analicenrelacionesentrecantidadesparadeterminarydescribirregu-

laridades, incluyendo la proporcionalidad.•Determinencuándodosvariablesserelacionandemodoproporcional.•Seancapacesdeseleccionarlosdatospertinentesyorganizarlainfor-

mación para resolver un problema.Operaciones: estrategias de cálculo •Utilicenlacalculadoracomoherramientapara investigar,deducire

interpretar propiedades de los números y las operaciones. •Elaborenenunciadossobrelaspropiedadesdelasoperacionesyargu-

menten sobre su validez.•Usenlaspropiedadesdelamultiplicaciónpararesolvercálculosmentales.•Elaborenycomparenprocedimientosdecálculoexactoparamultipli-

car por dos cifras. Geometría•Construyantriángulosapartirdeciertosdatoseindicaciones.•Estudien acerca de las condiciones necesarias y suficientes para la

construcción de triángulos.

Numeración•Múltiplosydivisores.•Númeroscompuestosynúmerosprimos.Operaciones: resolución de problemas •Múltiplocomúnmenorydivisorcomúnmayor.•Multiplicaciónydivisión.Situacionesdeproporcionalidaddirecta.•Identificacióndesituacionesdeproporcionalidaddirecta.•Distinciónentresituacionesproporcionalesysituacionesnopropor-

cionales.Operaciones: estrategias de cálculo•Cálculosmentalesdemultiplicaciónsobrelabasedelaspropiedades

del sistema de numeración y las operaciones y multiplicación por la unidad seguida de cero.

•Estimaciónderesultados.•Algoritmodelamultiplicación.•Laspropiedadesdelamultiplicación.Geometría•Construccióndetriángulos.•Condiciónnecesariaysuficienteparalaconstruccióndetriángulos.•Construccióndetriángulosrectánguloseisósceles.•Construccióndeuntriángulodadaalgunaaltura.

Planificación. Matemática 5

4 Los conocedores


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Numeración•Explicitenrelacionesnuméricasvinculadasalamultiplicaciónyladi-

visión: múltiplos y divisores. •Estudienacercadeloscriteriosdedivisibilidad.Operaciones: resolución de problemas•Resuelvanproblemasdelcampomultiplicativo:dereparto,departi-

ción y de iteración.•Analicenlavalidezdeconsideraronoelresto.•Seancapacesdeorganizarlainformaciónpararesolverunasituación.•Elaborenyrespondanpreguntasapartirdediferentesinformaciones,

registren y organicen la información en tablas y gráficos sencillos.•Explicitenrelacionesnuméricasvinculadasalamultiplicaciónyladi-

visión:D=d×c+r.•Interpretenlarelaciónentredivisor,dividendo,cocienteyresto.Operaciones: estrategias de cálculo •Utilicenlacalculadoracomoherramientapara investigar,deducire

interpretar propiedades de los números y las operaciones. •Elaborenycomparenprocedimientosdecálculoexactoparadividir

por una y dos cifras. •Elaborenenunciadossobrelaspropiedadesdelasoperacionesyargu-

menten sobre su validez.•Utilicenlaspropiedadesdeladivisiónpararesolverdiversoscálculos

mentales.•Seleccionenlaestrategiadecálculomáspertinenteenrelaciónconlos

números y las operaciones involucradas.Geometría•Analicenafirmacionesacercadelaspropiedadesdelasfigurasyargu-

menten sobre su validez.•Construyancuadriláterosapartirdeciertosdatoseindicaciones.•Estudienacercadelaspropiedadesdelasdiagonalesdeloscuadrilá-

teros.

Numeración•Criteriosdedivisibilidad.Operaciones: resolución de problemas •División.Tratamientodelainformación.Análisisdelresto.•Iteracióndeunprocesodeadiciónosustracción.•Utilizacióndelasrelacionesc×d+r=Dyr<dpararesolverproble-

mas.Operaciones: estrategias de cálculo•Cálculosmentalesdedivisión sobre labasede laspropiedadesdel

sistema de numeración y las operaciones.•Ladivisiónporlaunidadseguidadeceros.•Algoritmointermediodeladivisiónpordoscifras.•Estimaciónderesultados.•Seleccióndelaestrategiadecálculomáspertinenteenrelacióncon

los números y las operaciones.•Laspropiedadesdeladivisión.Geometría•Cuadriláteros:denominaciónyclasificaciónsegúnlaspropiedadesde

las diagonales.•Cuadriláteros:construcción,elementos,definiciónypropiedades.

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Numeración•Realicenrepartosequivalentesutilizandodistintasestrategias.•Comprendanlarelaciónqueexisteentreladivisiónenteraylafrac-

ción.•Interpreten, registren, comuniquen y comparen el resultado de un

reparto o una partición a través de distintas escrituras de fracciones. •Utilicenlarectanuméricapararepresentarycompararnúmerosra-

cionales.•Ubiquennúmerosfraccionariosenintervalosdados,ydeterminenlos

intervalos para ubicar otros números dados.•Comparennúmerosfraccionarios.Operaciones: resolución de problemas•Comprendanelconceptodenúmerofraccionarioyloutilicenendi-

versos contextos. •Operenconfracciones.•Resuelvansituacionesenlasquetienenqueutilizarfraccionesenel

contexto de la medida.Operaciones: estrategias de cálculo •Elaborenestrategiasdecálculomentalpertinentesenrelaciónconlos

números y las operaciones involucradas.•Estudienelprocedimientoalgorítmicoparasumaryrestarfracciones.Geometría•Analicenlaspropiedadesdeloscuadriláteros.•Estudien acerca de las condiciones necesarias y suficientes para la

construcción de cuadriláteros.•Construyancuadriláterosapartirdeciertosdatos.•Clasifiquencuadriláterossegúnlaspropiedadesdelosladosylosán-

gulos.

Numeración •Situacionesderepartodeenterosenpartesiguales,análisisdelosre-

partos, concepto de equivalencia. •Diferentesescriturasdeexpresionesconfracciones.•Conceptodeequivalenciaentreescriturasdiferentes.•Lasfraccionesyladivisión:vinculaciónentrelosnúmerosqueinter-

vienen en una división entera con la fracción que expresa el resultado de un reparto.

•Representacióndefraccionesenlarectanumérica.Ubicacióndefrac-ciones en la recta numérica a partir de diferentes informaciones.

•Comparacióndefracciones.Operaciones: resolución de problemas •Fraccionesenelcontextodelamedición.•Situacionesproblemáticasconfraccionesencontextodemedida.Operaciones: estrategias de cálculo •Cálculosmentalesparaencontrarlafraccióndeunenteroyparare-

construir una fracción o un entero usando fracciones de una o varias clases dadas.

•Sumayrestadefracciones:algoritmosconvencionales,resolucióndeproblemas de adición y sustracción de fracciones.

•Multiplicaciónydivisióndeunafracciónporunnúmeronaturalensituaciones de partición, reparto y medida.

Geometría•Lasdiagonalesdeloscuadriláteros.•Cuadriláteros:denominaciónyclasificaciónsegúnlaspropiedadesde

las diagonales.•Propiedadesdelasdiagonales.Construccionesconociendolasmedi-

das de los lados y las diagonales. Condiciones de posibilidad.•Losladosylosángulosdeloscuadriláteros.Construccionesconocien-

do las medidas de los lados y los ángulos. Condiciones de posibilidad.•Cuadriláteros: clasificación según laspropiedadesde los ladosy los

ángulos. Romboide.

Planificación. Matemática 5

5Los conocedores


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Numeración•Interpreten, registren, comuniquen y comparen cantidades em-

pleando expresiones decimales de uso cotidiano.•Interpreten la equivalencia entre expresiones decimales para una

misma cantidad.•Analicenelvalorposicionalenlanotacióndecimal.Operaciones: resolución de problemas•Elaborencriteriosdecomparaciónentredecimales.•Resuelvansituacionesdesuma,restaymultiplicaciónenlasquein-

tervienen expresiones decimales. •Interpretenyorganiceninformaciónrecibidadevariadasformas.Operaciones: estrategias de cálculo •Elaborenestrategiasdecálculomentalpertinentesenrelacióncon

los números y las operaciones involucradas.•Estudienelprocedimientoalgorítmicoparasumaryrestardecimales.•Analicenerroresposiblesyelaborenexplicacionesacercadeellos.Medida•Comprendanelprocesodemedirylanocióndemagnitud.•Estimenmedidaseligiendoelinstrumentoadecuado.•Establezcanequivalenciasentrediversasunidadesdelongitud,peso

y capacidad al interior de cada magnitud.•Organicenycomprendanelfuncionamientodelasunidadesdeme-

dida del simela.•Reconozcanyutilicenmedidasdetiempo.•Identifiquencaracterísticasdelsistemasexagesimal.•Utilicenlasunidadesdemedidadetiempoadecuadamente.•Realicenequivalenciasentrediversasunidadesdetiempo.

Numeración•Fraccionesdecimales ynúmerosdecimales:décimosy centésimos.

Relación entre el sistema monetario y los decimales.•Escrituradeexpresionesquerepresentanequivalenciasentrecanti-

dades.•Notaciónconcomapararepresentarlaposicióndedécimos,centési-

mos, milésimos. •Análisisdelvalorposicionalenlanotacióndecimal.•Lecturayescrituradenúmerosdecimales.Operaciones: resolución de problemas •Sumayrestadedecimales.Inicioenlacomparacióndedecimales.•Tratamientodelainformación:situaciónpresentadaenformaicónica.•Introducciónalcálculoaproximado.•Introducciónalamultiplicacióndeunenteroporundecimal.Operaciones: estrategias de cálculo •Procedimientosconvencionalesparasumaryrestardecimales.•Análisisdeerrores.Medida•Medidasdelongitud.Unidadesconvencionales:metro,centímetroy

kilómetro. •Medidasdepeso.Unidadesconvencionales:gramo,centigramo,mili-

gramo y kilogramo. •Medidasdecapacidad.Unidadesconvencionales:litroymililitro.•Estimaciónycomparacióndelongitudes,pesosycapacidades.•simela.•Tiempo:unidadesdemedida.Sistemasexagesimal.•Ángulos:unidadesdemedida.Sistemasexagesimal.

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Numeración•Ubiquendecimalesenunarectanuméricaapartirdeciertasinfor-

maciones dadas.•Representenenunarectalosdecimalesqueseindican.•Elaborencriteriosútilesparacompararyordenarexpresionesdeci-

males.•Utilicenlacalculadoracomoherramientaparainvestigaryreflexio-

nar sobre la estructura decimal de la notación decimal.Operaciones: resolución de problemas•Resuelvansituacionesdesumayrestaenlasqueintervienenexpre-

siones decimales.•Identifiquenciertascaracterísticasdelosnúmerosracionalesalana-

lizar posibles errores de cálculo. Operaciones: estrategias de cálculo •Elijanlaestrategiadecálculoadecuadadeacuerdoconlaoperación

que tienen que realizar y los números involucrados.•Elaborenestrategiasdecálculoaproximadoyredondeodedecimales.•Resuelvansituacionesdecálculomentalqueponganenjuegolaor-

ganización decimal de la notación.Medida•Comprendanlosconceptosdeáreaydeperímetro.•Construyansuperficiesequivalentesaunadada.•Elaborenestrategiasdecomparacióndesuperficies.

Numeración •Representacióndedecimalesenlarectanumérica.•Representaciónenlarectadeexpresionesdecimalesapartirdecier-

tas informaciones.•Nocióndedensidaddelosdecimales.•Resolucióndeproblemasqueexijancompararyordenarexpresiones

decimales.•Análisisdelvalorposicionalenlosnúmerosdecimales.•Resolucióndeproblemasqueinvolucrenelvalorposicionalenlano-

tación decimal. •Utilizacióndelacalculadoraparareflexionarsobrelaestructuradeci-

mal de la notación decimal.Operaciones: resolución de problemas •Situacionesproblemáticascondecimales.Tratamientodelainforma-

ción. Estimación y redondeo.Operaciones: estrategias de cálculo•Redondeodeexpresionesdecimalesalenteromáspróximo.•Cálculoaproximado:estimaciónderesultados.•Resolucióndesituacionesdecálculomentalqueponganenjuegola

organización decimal de la notación.Medida•Perímetroyáreadeunafigura.•Áreasequivalentes.

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Numeración•Establezcanrelacionesentrefraccionesdecimalesutilizandolaorga-

nización decimal del sistema métrico como contexto.•Interpretenlasequivalenciasyutilicenlasfraccionesensituaciones

de medición.Operaciones: resolución de problemas•Analicenrelacionesentrevariables,seleccionenlosdatospertinentes

y organicen la información para resolver un problema.•Elaboren tablas ygráficospara comunicardatos ypara resolver la

situación.Operaciones: estrategias de cálculo •Elijanlaestrategiadecálculoadecuadadeacuerdoconlaoperación

que tienen que realizar y los números involucrados.•Elaborenycomparenprocedimientosdecálculoexactoparamulti-

plicar un decimal por un natural. Medida•Calculenelperímetroyeláreadeunafiguradada.•Elaborenprocedimientosparacalcularáreasyperímetrosdefiguras.•Comparenáreasdefiguras.

Numeración•Utilizacióndelaorganizacióndecimaldelsistemamétricocomocon-

texto para establecer relaciones entre fracciones decimales. •Situacionesdemediciónqueexijancambiosdeunidades.Operaciones: resolución de problemas •Relacionesentrevariables.Estadísticayproporcionalidad.•Relacionesdeproporcionalidaddirecta.•Estadística:Interpretacióndelainformaciónpresentadaentablasy

gráficos de barras. Confección de tablas y gráficos.Operaciones: estrategias de cálculo •Multiplicacióndeundecimalporunnúmeronatural.•Estrategiasdecálculomentalparadeterminarladistanciaentredos

expresiones decimales. •Estrategiasdecálculomentalconnúmerosdecimales.Repertorioadi-

tivo: completar un entero.Medida•Medicióndeláreadeunasuperficie.Elcm2 como unidad de medida. •Áreayperímetro.Áreadeunafigura.•Superficiesequivalentes.

6 Los conocedores

NumeraciónEl propósito en este capítulo es el tratamiento del

sistema de numeración decimal y, al mismo tiempo, el trabajo de este primer tiempo de clase constituye una síntesis de lo que se hizo en 4.º grado sobre numeración.

Para no dejar esta mirada librada solamente a lo espontáneo, es necesario que el docente realice opor-tunamente intervenciones que provoquen ciertas re-flexiones en pos de construir el conocimiento al que se apunta. En este sentido, en la sección Para conversar juntos se incluyen en las páginas del libro preguntas y sugerencias, con la certeza de que no es la explicitación por parte del docente de las propiedades y regularidades del sistema lo que hace que los alumnos se apropien del conocimiento, sino el trabajo constructivo a partir de propuestas que permiten a los chicos explorar, utilizar y analizar el comportamiento del sistema de numeración.

Este tipo de preguntas dirigidas a la reflexión im-plican intervenciones del docente que son necesarias y apuntan a detenerse sobre aspectos del hacer que a menudo son intuitivos y pueden parecer de cierta ob-viedad, pero sin los cuales el avance queda librado a las posibilidades de cada chico.

Este es el único capítulo del libro en el que se propo-ne el trabajo con la recta numérica con números natu-rales. El uso de la recta es muy útil no solo en este cam-po numérico sino también en el trabajo con números racionales. Por eso, es necesario que los chicos comien-cen comprendiendo su uso con los números naturales. Sieldocenteconsiderauobservaquesusalumnosnocuentan con suficientes conocimientos previos sobre la recta numérica, puede recurrir a las actividades plan-teadas sobre ese tema en el libro de 4.° grado.

Operaciones: resolución de problemasLanocióndeproblema no debe confundirse con la

realización de una operación y el hallazgo del resultado, ni debe significar la simple ejecución de un algoritmo. Tiene que ver, en cambio, con la construcción de nuevos objetos matemáticos.

Algunos problemas surgen del interior de la propia disciplina (intramatemáticos). Estos son los problemas que encontraremos habitualmente en los ejes Nume-ración y Estrategiasde cálculo.Otros, en cambio,pro-vienen del mundo exterior, de la vida real (extramate-máticos). En la escuela se propicia la enseñanza de una Matemática relacionada con la faz instrumental; por eso, es conveniente para el trabajo escolar trabajar con situaciones que impliquen una matemática aplicada, contextualizada, relacionada con la interpretación del

Antes de entrar en los contenidos específicos de este capítulo, es importante destacar que en cada capítulo se presentan recuadros con juegos, desafíos e información.

Los juegos permiten una entrada lúdica a los con-tenidos trabajados en las actividades numeradas del capítulo. Pueden jugarse al comienzo, durante el desa-rrollooenelcierredeltema.Sisejueganalcomienzo,pueden ser útiles para observar los saberes previos de los alumnos.

Losdesafíos proponen una nueva vuelta en la cons-trucción de los contenidos trabajados a partir de las actividadesnumeradasdelcapítulo.Sugerimospresen-tarlos cuando el tema esté avanzado. Con ellos se inten-ta favorecer la búsqueda de estrategias de resolución diferentes, que escapen a lo convencional y que supe-ren aspectos muy mecánicos a menudo presentes en las prácticas de resolución que habitualmente emplean los chicos.

El trabajo con los desafíos y las situaciones de juego favorece la problematización de algunos conceptos ma-temáticos que es interesante poner en discusión.

Losrecuadrosde información funcionan como ven-tanas al exterior y, a menudo, al pasado. Con ellos bus-camos favorecer una mirada del conocimiento desde el punto de vista de la construcción, un conocimiento que la humanidad ha ido y continúa construyendo para dar respuesta a las necesidades e interrogantes que se van presentando.

Por otra parte, los contenidos de cada capítulo están organizados en relación con los ejes que es necesario trabajar en una misma unidad temporal: Numeración, Operaciones:resolucióndeproblemas,Operaciones:es-trategias de cálculo y Geometría o Medida.

En cada unidad de trabajo, de un mes aproximada-mente, se abordan todos los ejes, de manera que lo que unalumnoestáconstruyendoenelejeNumeraciónseapuesto en foco al mismo tiempo en Estrategias de cálculo y en Resolución de problemas. En cada capítulo las acti-vidades están identificadas según su eje, pero todas están relacionadasentresí.LoscontenidosdelosejesGeome-tría y Medida se construyen de un modo más sólido si se trabajan en forma constante a lo largo del año que si se abordan en bloque durante un tiempo breve.

Por último, para afianzar la construcción de los con-tenidos y facilitar las institucionalizaciones teóricas, en las fichas, que irán pegadas en la carpeta, se encuen-tran los recuadros teóricos sintetizados y una propuesta de actividades relacionadas con el tema del recuadro. Es importante que el trabajo con las fichas se proponga a posteriori de la construcción de los conceptos.

Números naturalesSuma y restaFiguras

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7Los conocedores

mundo que rodea a los alumnos, con sus necesidades e intereses cotidianos, que paulatinamente les ofrecerán los elementos formales propios de la ciencia objeto de estudio.

En los capítulos de este libro, hay problemas cuyo tí-tulo proviene del contexto extramatemático en el que están encuadradas las situaciones, porque el objetivo es, al mismo tiempo, la construcción progresiva de las operaciones necesarias para resolverlos y el tratamien-to de la información que se presenta. En este capítulo, tanto en Escalar montañas como en La feria de artesanos el trabajo se centra en la suma y la resta de números naturales, en los diferentes significados de estas opera-ciones, especialmente en la comparación de cantidades y en el tratamiento de la información: el uso de varios pasos, la selección de datos y el abordaje de situacio-nes presentadas de diferentes modos (cuadros de doble entrada, tablas, etcétera). Conviene recordar que, para estimar un resultado, como se pide en La feria de arte-sanos, es posible redondear los números del cálculo con el fin de transformarlo en un cálculo más sencillo de resolver mentalmente.

Además de las situaciones, en todos los capítulos hay en este eje un análisis de posibles estrategias de re-solución cuyo objetivo es facilitar la reflexión conjunta sobre las estrategias en función de la resolución de las situaciones.

Operaciones: estrategias de cálculo

Trabajemos recordando que la habilidad de calcular implica manejar propiedades relacionadas con la natu-raleza de los números, con las reglas del sistema posi-cional decimal y con las propiedades de la operación en sí misma.

Loscálculos mentales tienen las siguientes caracte-rísticas.Soncálculosenlosqueseconsideraelnúmerototal;sonreflexionados.Sepuederecurrirallápizypa-pel, y a la calculadora, según sea la búsqueda que se realice con ella en función del cálculo propuesto. Estos cálculos se caracterizan por una diversidad de técnicas y de estrategias que guardan relación con los números en juego, con los conocimientos del sistema de nume-ración, con las operaciones que tiene disponibles quien los realiza y también con sus preferencias personales.

En este capítulo se vuelve sobre algunas estrategias de cálculo que es deseable que los chicos hayan traba-jado en años anteriores y que es útil actualizar. Al mis-mo tiempo, se propone un avance en la complejidad, yaqueseaumentaelrangonumérico.Unadeestases-trategias es reconocer que no siempre respetar el signo

es lo más útil para resolver mentalmente un cálculo, tal comodicenloschicosenlapágina17.

En las actividades de la primera página de este eje el tema central es el valor posicional, es decir, el va-lor relacionado con la posición, para poder diferenciar claramente valor absoluto de valor relativo. Además, en este capítulo se continúa reflexionando acerca de la noción de sistema. Por eso, se aborda la resolución de problemas que exigen una profundización del análisis del valor posicional, tarea que ya fue trabajada extensa-mente en 4.° grado.

GeometríaEste enfoque implica un movimiento respecto de la

postura“primeroenseñoydespuéslousan”.Losdesa-fíos tienen que ser de tal clase que, para resolverlos, los alumnos puedan usar sus conocimientos previos, pero que, al mismo tiempo, no les sean suficientes y experi-menten la necesidad de construir otros saberes.

Losjuegos de adivinar la figura pueden parecer re-petidos.Sinembargo,enlosjuegosdeadivinar,enlasactividades de construcción a partir de ciertos datos, en la elaboración de mensajes o en las actividades de re-producción de un modelo dado, vamos a ir observando y proponiendo un ajuste cada vez mayor en el vocabu-lario, ciertas restricciones en cuanto a la cantidad de preguntas que se pueden hacer para adivinar, y vamos también a ir aumentando la cantidad y la complejidad de las figuras que intervienen en el juego.

Con las actividades propuestas, iremos viendo que se manifiestan diversos y variados procedimientos de reso-lución, si damos el espacio para que los chicos las resuel-van de forma autónoma y del modo que sepan hacerlo. En los momentos de análisis conjunto de las formas de resolución se va a ir institucionalizando el conocimiento que desde otro enfoque se daba en una clase.

Es importante permitir que los chicos desarrollen sus procedimientos e hipótesis sin darles desde el adulto un formato previo, para que puedan elaborar progre-sivamente los objetos geométricos. En esta elaboración –con la intervención docente– irán logrando concep-tualizaciones parciales que se convertirán en el saber previo para encarar la construcción de los conceptos matemáticos en los años siguientes. Es importante res-petar el momento del intercambio para que los chicos tengan la posibilidad de argumentar, confrontar, corre-gir, preguntar y debatir. Todas estas acciones son fun-dantes en la construcción de los conceptos.

8 Los conocedores

la posibilidad de que algunos de esos procedimientos no aparezcan en un grupo escolar, aunque sí hayan apa-recido en otros. Hay que destacar que la presencia en el libro de los diferentes procedimientos no implica su enseñanza y que la reflexión sobre esos procedimientos no implica imponer una única manera de resolver las situaciones.Nuestraintenciónalincluirlosesfacilitarlagestiónde la clase. Si algunode los alumnoshubierapresentado un procedimiento distinto, es conveniente tomarlo y presentarlo también.

Operaciones: estrategias de cálculoEn este eje se continúa el trabajo con nuestro sistema

de numeración. En Comprobar con la calculadora, el ob-jetivo es revisar estrategias que es esperable que hayan sido elaboradas en 4.° grado y, al mismo tiempo, ir más allá. En esta página se recorren variadas estrategias de cálculo, todas basadas en la organización decimal del sistema y en la interpretación y la utilización de la infor-mación contenida en la escritura decimal.

En la página destinada al redondeo, el trabajo se ini-cia directamente con el planteo de una situación y un Para conversar y responder juntos (“¿Por qué la señora dice “gasté 50+ 100+ 100”? Conversen acerca de lautilidad del redondeo para hacer un cálculo aproxima-do. ¿Cómo redondeó la señora cada número?”). Con esto se busca favorecer la enunciación y la explicitación de las hipótesis de cada alumno antes de institucionalizar ciertas reglas del redondeo, que se ofrecen luego en el recuadroteórico.Finalmente,seproponeredondearnú-meros según lo indicado en la tabla, en función de lo enunciado en el recuadro.

El trabajo que se propone sobre algunas estrategias decálculopuedeparecer“poco”.Larazónesquesees-pera que el abordaje de esas estrategias haya sido ini-ciadoyaen4.°grado.Sieldocenteencuentraquesusalumnos no cuentan con esos saberes previos y que hace falta un mayor desarrollo, puede utilizar las páginas del libro de 4.° grado en las que se inicia el trabajo con esas estrategias.

GeometríaEn este capítulo se estudian dos propiedades fun-

damentales para evaluar la existencia del triángulo: la propiedad triangular y la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. Estas propiedades también serán fundamentales para considerar la posi-bilidad de construcción de un triángulo. Asimismo, en este capítulo se aborda la clasificación de los triángulos según sus lados y según sus ángulos.

En los recuadros teóricos que aparecen a lo largo del libro, se presenta una síntesis de los contenidos mate-máticos más relevantes de cada eje. Estos recuadros son el resultado de diversas institucionalizaciones parciales. Laintenciónessistematizarloshaceresylosconceptosmatemáticos que se fueron desplegando a partir de las propuestas de las actividades anteriores. Es un buen momento para que el docente se comprometa con la fase de institucionalización.

NumeraciónEl principal objetivo de estudiar otros sistemas de

numeración es comparar con otros nuestro sistema de-cimal, con el fin de profundizar la explicitación de sus características y de avanzar en una reflexión que poten-cie su uso en las estrategias de cálculo que cada alumno vaconstruyendoydesplegando.Otroobjetivoimportan-te es reflexionar sobre el hecho de que los saberes se han ido construyendo a lo largo del tiempo, con el aporte de muchas civilizaciones y como respuesta a las necesida-des que se fueron presentando.

Para poder hacer este análisis comparativo es nece-sario conocer algo de los otros sistemas. Por eso, hay algunas actividades de escritura y de “traducción” de unnúmerodeunsistemaalotro.Lasreglasdenuestrosistema están consignadas en un recuadro teórico en el Capítulo1,demodoque loschicosyacuentancon lainformación para reflexionar sobre el comportamien-to y el funcionamiento de cada sistema y para realizar comparaciones.

Operaciones: resolución de problemasVidrieras para decorar y La investigación de Juan son

situaciones que involucran varias operaciones y estra-tegias que se espera que los chicos hayan elaborado en 4.° grado: la consideración del resto en una división y el uso de estrategias de cálculo mental. Además, se conti-núa el trabajo sobre el tratamiento de la información, que se va a ir desplegando en cada uno los capítulos; en este caso, se trabaja con un cuadro de doble entrada y con la selección de la información pertinente para resol-ver una situación.

En relación con el uso de las páginas tituladas Re-flexionemos juntos sobre los problemas es necesario puntualizar que, antes de abordarlas, hay que poner en común las soluciones que desplegaron los alumnos, ya que la introducción de posibles soluciones, a menu-do presentadas como realizadas por otros chicos, tiene como finalidad recrear procedimientos interesantes y ofrecerlos al análisis del grupo, al debate, considerando

Sistema de numeraciónLas cuatro operacionesTriángulos

2

9Los conocedores

El trabajo que se intenta hacer en general a lo largo de las páginas del libro es claramente científico: a partir de diferentes pruebas, cálculos, etc., los niños elabora-rán conjeturas que luego se corroborarán o refutarán. En la escuela primaria, los chicos no cuentan aún con elementos que les permitan llevar adelante procesos de-ductivos (de lo general a lo particular), característicos de laconstruccióndelconocimientomatemático.Detodasmaneras, cuando sea posible, se presentarán algunas pruebas matemáticas.

Laactividadinicialdelapágina34apuntaaqueloschicos puedan hipotetizar acerca de la relación entre las medidas de los lados del triángulo. Por supuesto, no estamos en condiciones de demostrar que todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos; pero sí institucionalizaremos esta afirmación a partir de las diferentes afirmaciones elaboradas por los chicos luego de construir los diferentes triángulos. Sabemos,como dijimos antes, que no es un proceso deductivo, pero es el camino que ubica a los niños como hacedores del conocimiento matemático, del mismo modo que los matemáticos construyeron el conocimiento matemático cuando se les presentó un problema.

En lapágina35,apartirde lamedición,pretende-mos que los chicos elaboren también conjeturas acerca de la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. No tenemos herramientas para de-mostrar esta propiedad, pero, en la actividad 24, “inten-tamos” despegarnos de la medición. Apoyándose en la definición de rectángulo y usando como herramienta la altura de un triángulo, los chicos podrán elaborar la afirmación de que la suma de las medidas de los án-gulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a 180º(ladiagonaldivideelrectánguloendostriángulosrectángulos congruentes). Luego, en elPara conversar juntos, pretendemos que la discusión avance a cual-quier triángulo.

Enlaspáginas36y37,secontinúaconelestudiodelas propiedades mencionadas, pero ahora se conside-ra la clasificación de los triángulos de acuerdo con sus lados y sus ángulos. Además, aunque tampoco se demuestre, se discute acerca de las medidas de los án-gulos interiores de los triángulos isósceles y equiláteros.

Es importante destacar que, aunque las condiciones de posibilidad para la construcción de triángulos aún no son objeto de estudio, sí se pretende que se discu-ta acerca de cuáles son las posibilidades para que el triángulo dibujado sea único, es decir, qué medidas es necesario indicar para que todos hagan el mismo trián-gulo. Por ejemplo, todos podemos dibujar un triángulo

isósceles y obtusángulo, pero si no se fijan las medidas de lados y ángulos, las construcciones no serán únicas.

Finalmente, queremos destacar la necesidad de de-jar siempre el espacio y el tiempo para las discusiones planteadas en los Para conversar juntos de estas páginas de Geometría. Estas discusiones son las que favorecen el encadenamiento de las institucionalizaciones parciales y progresivas que vamos realizando. Asimismo, las pre-guntas fueron incluidas oportunamente con el objetivo de cuidar epistemológicamente los objetos matemáticos.

Enlasactividadesderepasodelapágina39sepre-tende que los chicos apliquen lo trabajado sobre trián-gulosenlaspáginasdelcapítulo.Sinembargo,apareceunaactividad(la43,enlaqueselessolicitaquetracenlas alturas de un triángulo obtusángulo) que podrá pro-vocar mayor discusión entre los chicos y que necesita deunmayoracompañamiento.Detodasmaneras,estaactividad será recuperada en el capítulo siguiente. Por otra parte, en las fichas, hay más actividades para apli-car y reforzar todo lo visto.

También es posible que algunas de las actividades de la sección Para volver a pasar por los temas sean uti-lizadas para evaluaciones parciales a lo largo del año, a fin de considerar el posicionamiento de los chicos en relación con los diferentes ejes conceptuales.

Eldesafíoqueapareceenlapágina34tieneporob-jetivos desarrollar la imaginación espacial, colaborar en la construcción del concepto de triángulo y ayudar a la búsqueda de métodos sistemáticos para la resolución de problemas.

El juego que aparece en estas páginas es útil para en-trar en tema o para cerrarlo. Jugando, los chicos elabo-ran sus primeras afirmaciones en relación con la clasifi-cación de los triángulos y, a partir del juego, revisan sus saberes elaborados en la clase. Es importante tener en cuenta que los juegos se deben jugar a lo largo del año en diferentes oportunidades, ya que permiten el avance y el afianzamiento de los contenidos.

10 Los conocedores

7. El 11 es primo y susmúltiplos hasta 100 ya fuerontachados,entoncesdejamosel11sintachar.Losnú-meros que quedaron sin tachar, son los números pri-mosmenoresque100.Identificar los números primos y los números com-

puestos es fundamental para el estudio del divisor común mayor y el múltiplo común menor.

Operaciones: resolución de problemas

Sabemosqueparalograrunaprendizajesignificativoen Matemática hay que proponer situaciones que plan-teen problemas. Enfrentados al problema, las nociones matemáticas se constituyen en instrumentos necesarios para su resolución y, por lo tanto, se les otorga valor y sentido. Por ello, un conocimiento matemático solo pue-de considerarse aprendido cuando se ha funcionalizado, es decir, cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situación o un problema.

En estas páginas, en En el taller de arte, se presentan situaciones para el tratamiento de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales: los conceptos de múl-tiplo común menor y divisor común mayor. El estudio de la divisibilidad, que fue iniciado en 4.º grado, se aborda ahora con mayor carga teórica, y se continuará en 6°.

También se abordan los conceptos de múltiplo común y de divisor común y la interpretación de los pasos a seguir para determinar el menor de los múltiplos comunes no nulos y el divisor común mayor entre dos o más números.

En Un torneo deportivo se continúa poniendo aten-ción en el tratamiento de la información en torno a los problemas del campo multiplicativo, con situaciones de proporcionalidad y con la construcción del concep-to de proporcionalidad directa, que implica no solo la identificación de situaciones de proporcionalidad direc-ta sino también la distinción entre situaciones propor-cionales y situaciones no proporcionales.

En las situaciones de proporcionalidad nos interesa avanzar en el análisis de las propiedades –iniciado en Pri-mer ciclo– a partir de las regularidades observadas en las tablas, pero con el objetivo de avanzar en el tratamiento delamultiplicación.Unodelossignificadosdelamultipli-cación lo otorgan las situaciones de proporcionalidad, por ejemplo, un problema clásico de Primer ciclo es: “¿Cuánto pagó Ana por 6 alfajores si cada uno cuesta $ 2?”. En este problema de proprcionalidad es posible representar la re-lación (“al doble de alfajores el doble de pesos”, “al triple de alfajores el triple de pesos”) en una tabla para analizar suspropiedades(porejemplo,“sisesumaelpreciode1alfajoralde2alfajores,seobtieneelpreciode3alfajo-res”). A partir de $ 2, que es el valor de la unidad, se puede

NumeraciónEn 4.º grado se comenzó el trabajo con los conceptos

de múltiplo y de divisor, y con las relaciones entre cocien-te, divisor, dividendo y resto. En 5.º grado se continúa la profundización en el tratamiento de la divisibilidad.

En este capítulo se abordarán nuevamente los concep-tos de múltiplo y de divisor, y además, los conceptos de números primos y compuestos. Para determinar los pri-meros números primos, se utiliza la criba de Eratóstenes.

Ladivisibilidad es el estudio que se lleva a cabo so-bre la división exacta y las conclusiones que surgen de él.Unnúmeronaturala tiene la propiedad de ser divi-sible por otro número natural b cuando, al efectuar la división entre a y b, el cociente es exacto. Como con-secuencia de esta definición, surgen afirmaciones que comenzaremos a institucionalizar progresivamente en Segundociclo,asaber:• todonúmeroesdivisibleporsímismoyporlaunidad;• elnúmero1esdivisorde todos losnúmerosporque

todoslosnúmerossonmúltiplosde1;• todo número tiene infinitosmúltiplos porque pode-

mos multiplicarlo por cualquiera de los números natu-rales y obtener un múltiplo;

• sisemultiplicaunnaturalporceroelresultadoescero,por lo que el cero es múltiplo de todos los números;

• todo número tiene una cantidad finita de divisores,porque solo todos los números naturales menores que él pueden generar cocientes exactos; y

• todonúmeroparesmúltiplode2.En el conjunto de los números naturales se pueden

reconocer tres subconjuntos disjuntos: el de los números primos (que son divisibles por sí mismos y por la unidad), el de los números compuestos (que tienen más de dos divisores)yelconjuntocuyoúnicoelementoesel1.Enlatotalidad del conjunto de los números naturales no pode-mos realizar esta partición, pero sí en el conjunto de los cien primeros, a partir de la construcción de la criba de Eratóstenes. El procedimiento utilizado es el siguiente.1. Armamos una tabla con los números del 1 al 100,

comolaquesepresentaenlapágina41dellibro.2. Tachamosel1,quenoesprimonicompuesto.3. El2esprimo,peronosonprimoslosmúltiplosde2;

entonces, tachamos los números pares, salvo el 2.4. El3esprimo,peronolosmúltiplosde3;entonces,

tachamoslosmúltiplosde3notachados,salvoel3.5. El 5 es primo, pero no lo son los múltiplos de 5; enton-

ces,tachamoslosmúltiplosdel5apartirdel25(el10,el15yel20yafuerontachados).

6. El7esprimo,peronolosonlosmúltiplosde7;enton-ces,tachamosel49,el77yel91.

Múltiplos y divisoresMultiplicaciónTriángulos

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11Los conocedores

calcular el valor de cualquier cantidad de alfajores con una multiplicación(porejemplo,para4alfajores:4×2),obienunasuma(2+2+2+2).NoesobjetivodelPrimercicloque los alumnos identifiquen las propiedades de la pro-porcionalidad, pero sí que las usen intuitivamente en la resolucióndediversosproblemascomo“Unaflortiene5pétalos.¿Cuántospétalostienen9flores?”o“Ariellequiereregalar 4 caramelos a cada una de sus 4 primas. ¿Cuántos tienequecomprar?”.Encambio,enSegundociclolapro-porcionalidad se convierte en objeto de estudio.

Operaciones: estrategias de cálculoEn este capítulo el trabajo se centra en el desarrollo de

estrategias de cálculo mental ligadas a la multiplicación y basadas en el uso de las propiedades de la multiplicación. Este desarrollo implicará el uso de la multiplicación por la unidad seguida de ceros y el afianzamiento del algoritmo. Este es un buen momento para poner en duda, ratificar o rectificar algunas estrategias, obtener progresivamente algunas certezas, profundizar y generalizar.

En relación con el estudio de las propiedades de la multiplicación, hay que tener presente que la búsqueda de sentido de las propiedades se da en el uso y que la definición de las propiedades ha de ser posterior a la re-solución de problemas que impliquen su uso.

En muchos momentos del libro se proponen activida-des para hacer con calculadora. A veces se utiliza para verificar, otras para resolver y corregir, otras para explorar, etc. En este capítulo, la calculadora es un buen instrumen-to para explorar las propiedades de la multiplicación, ya que facilita poner el foco en las propiedades sin el esfuer-zo de numerosas reiteraciones del procedimiento algorít-mico y con una reducción favorable de posibles errores.

Enlapágina48,presentamoslacuentademultiplicar,que ya ha sido trabajada en años anteriores. Para poder discutir el uso correcto del algoritmo se presentan algu-nas cuentas con errores, cuyo análisis permitirá revisar las estrategiasdecadaalumno.Enlapágina49,apartirdela cuenta de multiplicar y de cálculos mentales, sintetiza-mos las propiedades de la multiplicación, que también se trabajan desde el Primer ciclo, aunque sin explicitarse.

GeometríaEn este capítulo se abordan las condiciones necesarias

y suficientes para la construcción de triángulos. Por un lado, las construcciones son objeto de estudio. Por otro, son una herramienta para lograr “el mejor dibujo” del objeto geométrico que queremos estudiar. A mayor pre-cisión, mayores posibilidades tiene el chico de comenzar a identificar las propiedades que caracterizan al objeto.

El uso de la regla y el compás permite el transporte de segmentos y de ángulos y, por supuesto, otras construc-ciones que, siguiendo a la escuela griega, se consideran fundamentales: trazar la recta que une dos puntos (regla), hallar el punto de intersección de dos rectas (regla), trazar una circunferencia de centro y radio dados (compás), ha-llar la intersección de recta y circunferencia (regla y com-pás) y la intersección de dos circunferencias (compás).

En particular, para poder construir un triángulo, hay que contar con los siguientes datos.• Dosladosaybyelángulocomprendido C.Lacons-

trucción se reduce al simple transporte de los datos.• UnladoaydosángulosB y C.Dadosdosángulos,pue-

de hallarse el tercero construyendo por transporte el suplementariodesusuma(quesumen180º).Poreso,suponemos en la construcción que conocemos los án-gulos contiguos al lado dado, transportamos sobre los extremos del lado ambos ángulos en un mismo semi-plano y queda construido el triángulo.

• Treslados.Elproblemasereduceahallarlaintersecciónde dos circunferencias cuyos centros son los extremos de un lado a y sus radios son los otros dos lados, b y c.En estos tres casos, los triángulos que se obtienen con

unos mismos datos son iguales, es decir que la solución es única. Con la construcción que sigue no ocurre lo mismo.• Dosladosaybyelángulo A opuesto a uno de ellos.

Sobreunodelosladosde A llevamos el lado contiguo. Con centro en su extremo C y con radio a trazamos una circunferencia.Suintersección(dosposibilidadesparaB) con la recta del otro lado r determina el triángulo.Esta última posibilidad implica una discusión matemá-

tica que no será objeto de estudio en 5.º grado.Como un caso particular de los anteriores, es posible

resolver fácilmente la construcción de un triángulo rec-tángulo si se conocen los dos catetos, un cateto y un ángu-lo, la hipotenusa y un ángulo o la hipotenusa y un cateto. También se puede resolver la construcción de un triángu-lo isósceles si se conocen un lado y un ángulo, la base y un ángulo, o la base y un lado.

Estas diferentes construcciones son abordadas en las cuatro páginas de Geometría del capítulo. Además, en la última página del eje se analizan determinadas construc-ciones teniendo en cuenta como dato la altura.

Elobjetivodeldesafíopresentadoenlapágina51eselaprendizajedelaresolucióndeproblemas.Noalcanzaconuna primera vista para que el problema quede resuelto: es necesario realizar “nuevas observaciones”. Ante la pregun-ta de cuántos triángulos hay en la figura, es muy común que los chicos primero respondan 24. En las miradas pos-teriores, podrán determinar la totalidad de los triángulos.

12 Los conocedores

En Cooperativa “La catamarqueña”, ¿Cuántas veces? y Los problemas y la cuenta de dividir, las situaciones que se plantean apuntan a abordar variadas situaciones que con-tinúan centrándose en la generación de un avance en la construcción del concepto de división.Sehacefocoenel hecho de que un chico tenga la posibilidad de resolver diversos problemas a través de la división. Por ejemplo, que encuentre que la división le permite:• averiguar en cuántas partes se puede repartir una

cantidad dada y saber cuánto le corresponde a cada una (problemas de partición);

• averiguarcuántolecorrespondeacadapartedentrode un reparto (problemas de reparto);

• averiguarcuántasveces se repiteunperíododeter-minado (problemas de iteración);

• analizarquésucedeconelresto,dondeseponeenevidencia que el resultado de la cuenta no es siempre la respuesta al problema, y

• establecerlarelaciónentredividendo,divisor,cocientey resto. Es importante que el chico le pueda poner un nombre a cada una de estas partes, según el contexto del problema, y que pueda identificar a qué se refie-re cada una. A eso responde el pedido de elaborar un problema que se responda con cada parte del algorit-mo de la división, una complejidad mayor que la plan-teada en 4.° para el trabajo con este tema.

Operaciones: estrategias de cálculoEs esperable que los alumnos hayan ido transitando

por variadas estrategias de cálculo mental en torno a la multiplicación y la división, lo que implica la construcción de un repertorio y el trabajo sobre las propiedades de las operaciones y los números, con el doble objetivo de la construcción y el uso.

Para resolver una situación, los chicos exploran di-versas estrategias heurísticas; es un objetivo de 4.º co-menzar a utilizar el algoritmo convencional, y de 5.° avanzar en la construcción y afianzar su uso con un mayor dominio de las propiedades de la multiplicación y la división que se están poniendo en juego en su reso-lución. Es necesario transitar por diversas estrategias de cálculo mental antes de “registrar” el algoritmo como el procedimiento óptimo para encontrar el resultado de una división. Y es esperable que en 4.° se haya traba-jado sobre las más significativas para abordar la cons-trucción del algoritmo. En este capítulo se avanza en el análisis del algoritmo de la división por dos cifras y se pide expresar en palabras una explicación (“Busquen una manera de explicar el procedimiento que utilizó Marina a alguien que no lo conozca.”).

NumeraciónEn este capítulo, el estudio se orienta a los criterios

de divisibilidad.Lascifrasquecomponenunnúmeronosindicanlas

posibilidades que ese número tiene de ser divisible por otro.Lascondicionesquesedescribenparaesascifrasdeterminan los criterios de divisibilidad que permiten averiguar el número por el cual es divisible otro dado sin necesidad de hacer la cuenta de dividir. Por ejem-plo,unnúmeroesdivisiblepor11cuandolasumadelas cifras de los lugares pares menos la suma de las ci-frasdeloslugaresimparesesmúltiplode11(4.357noesmúltiplode11porque(3+7)–(4+5)=1,quenoesmúltiplode11).

En 5.º grado se construirán algunos criterios de divi-sibilidad y en 6.º se construirán otros; pero la intención, tanto en 5.º como en 6.º, es que los chicos “exploren” los números para elaborar dichos criterios.

Operaciones: resolución de problemas El objetivo de los apartados Para conversar juntos

es mirar, con otros, diferentes soluciones y tratar de descentrar la mirada de la propia producción, esto es, observar con más objetividad lo hecho por uno mismo y analizar los procedimientos y las estrategias utilizados porloscompañeros.Desdeelpuntodevistadelapren-dizaje matemático, estas prácticas en el aula generan avances sobre los conocimientos y su interrelación: el comportamiento de los números, las relaciones entre ellos, las operaciones posibles, la diversidad de cami-nos de resolución. Por otra parte, en un enfoque que toma en cuenta la construcción del saber matemático, el pedido de validación posterior (al hacer la reflexión sobre la propia acción) y la argumentación basada en lo hecho son fundantes del avance progresivo, que es uno de nuestros objetivos.

Es necesario tener en cuenta que cuando hablamos de recuperar saberes previos nos referimos no solo a los que los chicos ya tienen, sino a las actualizaciones que puedan hacer de esos saberes para encarar la nueva situación.Losniñosdeberíansaberenquéviejoscon-ceptos pueden apoyarse e ir estableciendo las relaciones que existen entre la división, la multiplicación, la suma y la resta. Es función de la escuela favorecer el trabajo con diferentes situaciones y contextos que permitan a los chicos aprender a distinguir cuál es la operación o las operaciones que resuelven una situación.

En muchas ocasiones, las preguntas que se plantean tienen como propósito generar un avance respecto del tratamiento del mismo tema en 4.° grado.

Múltiplos y divisores DivisiónCuadriláteros

4

13Los conocedores

En la página 64 presentamos la cuenta de dividir que ya ha sido trabajada en años anteriores. Para poder dis-cutir el uso correcto del algoritmo se presentan algunas cuentas con errores. El análisis de estos errores permiti-rá revisar las estrategias de cada alumno.

En la página 65, a partir de cálculos mentales, sinte-tizamos las propiedades de la división. Para explorar las propiedades también nos apoyamos en el uso de la calculadora.

Es responsabilidad de la escuela enseñar a usar la calculadora.Unaformadehacerloesmediantelareso-lución de cálculos que permitan un uso reflexivo de la calculadora.Porejemplo:¿Porqué3+4x5noes35?Siquieroobteneresteresultado,¿quépasosdeboseguirpara resolverlo?

GeometríaEn este capítulo nos ocuparemos de estudiar los

cuadriláteros. Para entrar en tema comenzaremos ela-borando mensajes. Esto les permitirá a los niños deter-minar qué contenidos tienen disponibles y cuáles nece-sitan para resolver la situación.

Para definir los diferentes cuadriláteros tenemos en cuenta el paralelismo de los lados. Cuando un cuadri-látero tiene solo un par de lados opuestos paralelos se llama trapecio.Si,encambio,sonparaleloslosdosparesse llama paralelogramo.

Se debe prestar especial atención a la definición decuadriláterosquesepresentaaloschicos.Noeslomismodecir “un trapecio es el que tiene al menos un par de la-dos paralelos” que “un trapecio tiene un solo par de lados paralelos”. En el capítulo se trabaja con la segunda defi-nición.Silohacemosconlaprimera,losparalelogramostambién serían trapecios.

Considerando esta última definición, los rectángu-los, los rombos y los cuadrados pertenecen al conjunto de los paralelogramos. Cada uno puede definirse como un paralelogramo del siguiente modo:• el rectángulo es unparalelogramoque tiene todos

los ángulos iguales (equiángulo),• el romboesunparalelogramoque tiene todos sus

lados iguales (equilátero), y• elcuadradoesunparalelogramoequiláteroyequián-

gulo.Entonces, el cuadrado es rectángulo y rombo. Otra

consecuencia de estas relaciones es que todo rectángu-lo, rombo o cuadrado tiene todas las propiedades del paralelogramo.Precisamente,laactividad23apuntaareflexionar sobre estas propiedades en el marco del mé-todo deductivo.

En este capítulo comenzamos a abordar la cons-trucción de cuadriláteros.Sepretendelaconstruccióncon el auxilio de la regla no graduada y el compás para que el razonamiento deductivo sea el fundamento de esa construcción.

En diferentes actividades se propone el uso de otros instrumentos geométricos, como la regla graduada y el transportador. La intención es que los niños elabo-ren conjeturas sobre las relaciones entre los elementos de las figuras y las propiedades. Progresivamente se irá avanzando hacia el uso de la regla no graduada y el compás con el objetivo de que no solo “aparezcan” argumentos hipotéticos deductivos, sino también argu-mentos deductivos.

Laconjeturaescentraleneltrabajomatemáticodela escuela primaria y el razonamiento deductivo lo será en la escuela secundaria.

El Para conversar juntos que se encuentra a continua-ciónde laactividad20apuntaa laelaboracióndeunaafirmaciónysujustificación.Loschicosnocuentanconherramientas desde el marco metodológico-matemático, en particular, con la demostración; pero sí pueden, a partir de los datos indicados, “observar” las relaciones entre los triángulos que conforman la representación de la figura.

14 Los conocedores

Podemos afirmar que, para llegar a un aprendizaje significativo, el alumno debe construir por sí solo el co-nocimiento matemático, y los problemas son el motor que lo motivan a indagar entre sus saberes previos para decidir qué le conviene hacer y lo conducen a la inves-tigación de nuevos saberes. Estos le permitirán revisar y reorganizarsusestructurascognitivas.Labúsquedadeprocedimientos para resolver las diferentes situaciones va otorgando sentido a los conceptos matemáticos. Para favorecer esta búsqueda de sentido, el docente debe contextualizar los conocimientos que desea que los alumnos aprendan y vincularlos con una gran variedad de situaciones en las que puedan emplearse.

Este enfoque propone una forma de trabajar centra-da en la construcción; por eso, cuando se trata de re-solver problemas se alienta a los chicos a que lo hagan con los saberes y las estrategias con las que cuentan. Así avanzan gradualmente y de manera segura hacia la comprensión del sentido de las operaciones. Es posible que algunos utilicen procedimientos adquiridos mecá-nicamente, y está en la gestión del docente indagar si son sólidos y comprendidos, solo mecánicos o un poco de cada manera. El momento de compartir lo hecho y reflexionar sobre algunos aspectos de la tarea o de los contenidos es muy importante porque, en el caso de este eje, les permitirá a los chicos avanzar en la comprensión de los enunciados y en la construcción de estrategias de resolución y, progresivamente, en la comprensión de la operación.

Operaciones: estrategias de cálculo En Las fracciones y los enteros se enfoca la relación

entre las partes y los enteros (un tema central en 4.°) y se avanza en los recursos de cálculo mental para en-contrar la fracción de un entero; el recuadro teórico da cuenta del cómo y sistematiza un enunciado. En Recons-truir una fracción se ofrecen situaciones que permiten componer una cantidad a partir de otras expresadas en fracciones y se trabaja con magnitudes continuas y dis-cretas, ya que al momento de identificar la parte y el todo, presentan dificultades diferentes.

Recordemos que para el tratamiento de las opera-ciones es importante considerar diferentes tipos de pro-blemas y diferentes estrategias de cálculo. En el caso de las operaciones con fracciones, las estrategias de cálculo mental son fundamentales para poder comprender los algoritmos convencionales. Por ejemplo, pensar en es-crituras equivalentes para reconstruir un entero o una fracción nos permite comprender más fácilmente la suma o resta de fracciones; hacemos el camino inverso

Numeración En este capítulo se inicia el trabajo con los números

racionales,quesedesplegaráhastaelcapítuloel9.El concepto de fracción es central en el segundo ci-

clo. Por eso, teniendo en cuenta el avance en la com-plejidad del objeto matemático, resulta indispensable definir qué aspectos de aquel deberán ser abordados en cada uno de los años del ciclo. En 4.º grado el foco estuvo puesto en el concepto de fracción y en ciertas estrategias de cálculo que confluyen en la construcción del concepto, ya que un buen trabajo sobre el concepto crea una base sólida para todos los contenidos que se trabajan con fracciones.

En 5.° grado, la entrada a las fracciones también se propone desde las situaciones de reparto de enteros en partes iguales, el análisis de esos repartos y el concep-to de equivalencia. Es esperable que en 4.° el concepto haya sido elaborado y que, cuando el tema se trate en 5.°, los alumnos estén en condiciones de abordar el aspecto de la escritura de las fracciones, las diferentes escrituras de expresiones con fracciones y el concepto de equivalencia entre escrituras diferentes. En La cuenta de dividir y las fracciones se avanza respecto del trabajo hecho en 4.° al enunciar la relación entre las fraccio-nes y la división, expresando en el recuadro teórico la vinculación entre los números que intervienen en una división entera con la fracción que expresa el resultado de un reparto.

Sieldocenteconsideraquesusalumnosnocuentancon suficientes saberes previos para iniciar este análisis como se propone en estas páginas, sugerimos utilizar algunas de las actividades propuestas en el libro de 4.° grado.

Operaciones: resolución de problemas El trabajo con fracciones se sigue proponiendo desde

la perspectiva del cálculo mental y no del cálculo algo-rítmico. El cálculo mental se define como un conjunto de procedimientos que no refieren a un algoritmo. Es un conjunto de estrategias y procedimientos que va desple-gando quien los hace, a partir del análisis de los datos con los que cuenta. Son cálculos que se utilizan paraobtenerresultadosexactosoaproximados.Lasestrate-gias pueden ser muy diversas y no se espera un único camino para llegar a la resolución; por esto las estrate-gias que se analizan son propias del cálculo mental y se hacen preguntas y propuestas que apuntan a que cada alumno valide su solución; por ejemplo: “Compartan cómo resolvieron cada uno de los repartos y cómo escri-bieron las fracciones que obtuvieron como resultado.”.

FraccionesCuadriláteros

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15Los conocedores

a partir del trabajo con fracciones usuales: “¿Cuántos oc-tavosnecesitoparaobtenerunmedio?Yparacomprar1kiloymediodeyerba,¿cuántospaquetesde1/4kgpue-do llevar?”. Ambas situaciones, una de contexto real y otra de contexto intramatemático, nos permiten aproxi-marnos a las escrituras equivalentes de un número.

Siempezamosdeestamaneraserámuchomássenci-llocomprenderporqué1/4+1/8representa3/8;labús-queda de fracciones equivalentes para realizar la suma indicada resulta una estrategia inmediata de resolución.

Geometría En este capítulo seguimos explorando las propieda-

des de los cuadriláteros en relación con las diagonales, los lados y los ángulos. Asimismo, continuamos estu-diando las condiciones de posibilidad de las construc-ciones de cuadriláteros.

La intencióndelestudiode lasdiagonales del rec-tángulo es conjeturar sobre su medida. Los chicos“observarán” que para todos los rectángulos las dia-gonales son congruentes.Nopretendemosquehaganuna demostración matemática, pero sí podemos ha-cer algunas afirmaciones, producto de razonamientos lógico-matemáticos.

Porejemplo,enelrectánguloABCD,podemos“com-parar”lostriángulosACDyBCD:elladoCDescompar-tidoporlosdostriángulos, losladosACyBDsoncon-gruentes por ser lados opuestos del rectángulo, y los ángulosCyDsonrectosporserABCDrectángulo.Estasafirmaciones nos permiten concluir que los triángulos son congruentes, lo que significa que también lo son los ladosADyBC,quesonlasdiagonalesdelrectángulo.

A los chicos no les plantearemos que hemos traba-jado con uno de los criterios de igualdad de triángulos, aplicado a los triángulos rectángulos: “Dos triángulosrectángulos de catetos respectivamente iguales son iguales.”Sibienestadiscusiónsobreloscriteriosdecon-gruencia de triángulos será un objetivo de trabajo en la escuela secundaria, es necesario –como venimos soste-niendo a lo largo de estas páginas– iniciar a los chicos en el camino argumentativo matemático.

A

C

B

D

En las actividades siguientes, a partir de ciertas pau-tas de construcción, pretendemos que los chicos pue-dan definir el cuadrilátero. Por ejemplo, si las diago-nales son diferentes, se cortan en su punto medio y son perpendiculares, sabemos que se trata de un rombo. A partir de las construcciones, los chicos no solo definen, sino también establecen las propiedades, en este caso, relacionadas con las diagonales: “las diagonales de un rectángulo son iguales”, “las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y se bisecan mutuamen-te”, “las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos de los vértices que unen”, “las diagonales de un rombo forman cuatro triángulos congruentes”.

Enlaspáginas84y85“observamos”quésucedeconlas medidas de los ángulos y de los lados. Cabe aclarar algo muy importante que no se suele tener en cuenta: los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de los lados; lo que sucede con la medida de los ángulos y de los lados es consecuencia de esa definición y no parte de la definición: las diagonales de un paralelogramo se cor-tan en su punto medio. Este punto es centro de simetría delparalelogramo.Losladosopuestossonigualesentresí, y los ángulos opuestos también (por ser homólogos en dichasimetría).Losángulosconsecutivossonsuplemen-tarios (por ser conjugados respecto de dos lados opuestos cortados por el lado común). Aunque esto último no será objeto de discusión, debemos cuidar la adecuada trans-posición didáctica del objeto matemático.

Enlapágina85caracterizamosydefinimoselrom-boide,quenoesnitrapecio,niparalelogramo.Sinem-bargo, podemos determinar que algunos paralelogra-mos son romboides, como el rombo.

Enlapágina87reforzamoseltrabajoconconstruc-ciones, especialmente el referido a cuáles son las con-diciones de posibilidad para una construcción.

16 Los conocedores

igualomayorque1).Detengámonossobre lautilidadde esta clasificación desde el punto de vista del saber matemático. Pensar en una clasificación de las fraccio-nescomomenoresque1,igualesa1,mayoresque1yequivalentes a un entero facilita el trabajo de compara-ción y ubica en un contexto que posibilita la resolución de situaciones.

Tengamos nuevamente en cuenta que es fundamen-tal generar un espacio que favorezca el trabajo colectivo de reflexión y análisis de los problemas planteados, so-bre todo con la descontextualización que implican los que aquí proponemos, para promover la comunicación y explicitación de las distintas conclusiones, y observar cuáles son los conocimientos de los que parten los chi-cos y cuáles utilizan.

Operaciones: resolución de problemas En 5.º se intensifica el trabajo con fracciones en el

contexto de la medición; por eso se plantean situacio-nes problemáticas con fracciones en contexto de medi-da, como en los problemas de En la carpintería. Es tarea de 5.º el estudio de las relaciones entre fracciones. En distintas actividades del capítulo (no solo de este eje) el objetivo es comparar fracciones apelando a diferentes argumentos y se debe trabajar también con algunas ac-tividades que permitan la reconstrucción de la unidad conociendo la medida de una fracción de esa unidad. Por ejemplo: “¿Cuál sería la medida de las tablas si la unidad de medida fuera la mitad de la tabla usada an-teriormente? ¿Y si fuera el doble?”.

Operaciones: estrategias de cálculoEnlaspáginas94y95nosocupamosdelosalgorit-

mos convencionales para sumar y restar fracciones.Lasoperacionesentre fracciones sonunaextensión

de las operaciones con números naturales a los raciona-les no enteros. Tienen las mismas propiedades y pueden ser interpretadas con los mismos criterios que sirvieron de base para el análisis y el desarrollo de las opera-ciones entre naturales. Pero debemos prestar especial atención a la propuesta de trabajo que desarrollemos en el aula; si no, incurriremos fácilmente en errores oca-sionados por obstáculos epistemológicos y didácticos. Porejemplo,parasumar1/5+2/6,loschicos,apoyadosen sus saberes sobre los números naturales, suelen ha-cer(1+2)/(5+6)=3/11;esteerrortienesuorigenenun obstáculo de origen epistemológico. Estos obstáculos están estrechamente ligados al saber matemático. Laconstrucción del conocimiento matemático se enfrenta con ellos y se apoya en ellos.

Numeración Larecta numérica es un instrumento muy interesante

para avanzar en la representación y la comprensión del sistema de numeración y, al mismo tiempo, ofrece algu-nas dificultades a muchos niños (en 4.° la utilizaron para ubicar naturales y fracciones). En 5.° solo le hemos de-dicado una rápida mirada con los números naturales en elcapítulo1;ahora,enRepresentar fracciones en la recta numérica entramos de lleno con fracciones de diferente denominador. Reiteramos la sugerencia sobre los saberes previos. Como la recta numérica no es un contenido de es-tudio sino un instrumento, algunos docentes no la toman en consideración al planificar las actividades. Por eso, si los alumnos no hubieran tenido contacto con la recta para ubicar fracciones, es necesario comenzar ubicando fraccionesdeigualdenominador.Larectaseconvierteenun excelente instrumento para avanzar en el concepto de fracciones y elaborar el de densidad de los racionales, queseampliaráyprofundizaráen6.º.Sugerimosqueeldocente observe las posibilidades de su grupo mientras los deja explorar la recta, acompañando y guiando el de-bate posterior, por ejemplo, con intervenciones del tipo: “Compartan qué estrategias utilizaron para decidir dónde representar los números en las rectas y elaboren una ex-plicación posible de lo que hicieron.” o “Compartan cómo pensaronlaubicaciónde1/8enlasegundarecta.¿Todoslo ubicaron en el mismo lugar? ¿Por qué?”.

A lo largo del libro, en numerosas ocasiones se les pide a los alumnos que expliquen con sus palabras (“¿Es cierto que dos fracciones son equivalentes si represen-tan la misma parte de un entero? ¿Cómo lo explica-rían?”). Esto se debe a que cada intento de explicación implica necesariamente una objetivación del concep-to, de la estrategia, de las ideas que se tienen sobre el tema; y la distancia y la objetivación son un objetivo importante en 5.°.

En la primera página se trabajan las relaciones entre fracciones y nos adentramos en estrategias de cálcu-lo para comparar fracciones.Unade estas estrategiasserá considerar si la fracción equivale a un entero o si es mayor o menor que él, tal como se presentan en las actividades2y3.Esesperablequelosalumnospuedanrecurrir a cálculos mentales que impliquen la relación entre el numerador y el denominador.

Lamiradahadedirigirsea la relación entre el nu-merador y el denominador. Aún hay textos escolares en los que se clasifica las fracciones en propias (numerador menor que denominador), impropias (numerador ma-yor que denominador) y aparentes (la relación entre nu-merador y denominador da como resultado un entero

Comparación de fraccionesOperaciones con fraccionesMedida

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17Los conocedores

Por ejemplo, la presentación que se hace de las frac-ciones (las pizzas, los chocolates, etc.) constituye un ver-dadero obstáculo didáctico para la comprensión de la fraccióncomonúmeroracional.Losobstáculosdeori-gen didáctico se deben a las decisiones que toman el docente o el propio sistema educativo en relación con algunos conocimientos matemáticos.

Las fracciones surgieron como una necesidad deinterpretar y cuantificar la cantidad continua y se in-terpretan como descripción de un estado parte-todo o como descripción de un proceso de reparto. Asimismo, una fracción es la síntesis de dos acciones u operado-res enteros: uno que divide (“estar contenido en”) y otro que multiplica (“medida”). Por eso, las operaciones pro-pias de las fracciones son la multiplicación y la división.

Enlaspáginas96y97centramoseltrabajoenlamul-tiplicación y la división de una fracción por un núme-ro natural. Como se trata de un estado inicial fracciona-rio (multiplicando) y un operador entero (multiplicador) no resultará difícil para el niño encontrar una estrategia de resolución: repetir o seriar partes de un todo entero. En el caso de la división, se trata de la composición de dos operadores sucesivos que dividen, aplicados al nu-merador de la fracción.

MedidaComenzamosunaseriedecapítulos (6,7,8y9)en

losquesevatomarelejeMedida.Sugerimosaldocenterelevar los saberes previos de sus alumnos y las expe-riencias realizadas en torno a la medida, antes de iniciar el trabajo con las situaciones propuestas en este capítu-lo, el único que aborda el trabajo con las medidas de longitud, peso y capacidad. Este relevamiento tiene por objeto considerar si es posible comenzar con el tema tal como se plantea en estas páginas o si hace falta co-menzar por el tema tal como está planteado en el libro de 4.°, de manera que los alumnos puedan recuperar algunas ideas centrales sobre los problemas de la me-dición. Este comentario se basa en que la medida es a menudo un tema al que se le dedica poco espacio en los primeros años de la escolaridad; al querer comenzar en 5.° sin haber pasado por experiencias clave anteriores, los alumnos no cuentan con los saberes necesarios para construir los conceptos que se abordan en estas páginas.

El trabajo con la medida debe contemplar los si-guientes puntos:• elhechodemedir,elconceptodemedida;• elconceptodemagnitud:todoloquepuedemedirse

recibe el nombre de magnitud;• losinstrumentosqueseusanyparaquésonapropiados;

• lasunidadesdemedidacotidianasymásaccesibles;• elconceptodeequivalenciademedidas;• lasequivalenciasposiblesapartirde lasunidadesde

medida vistas durante las actividades que se proponen;• elusodefraccionesenelcontextodelamedida:1/2,

1/4,3/4;• laestimacióndeunamedida.

A partir de las actividades de este capítulo lo que se va a ir recuperando con los alumnos es que:• medireselegirunaunidadydeterminarcuántasve-

ces entra en el objeto que se mide;• el resultado de lamedición depende de la unidad

elegida;• almedir,muchasveceshacefaltafraccionar,partirla

unidaddemedidaelegida(“mide1y1/2...”);• laeleccióndelasunidadesdemedidadependedel

objeto que se mide;• lamediciónsiempreesaproximada;sinembargohay

instrumentos y procedimientos que garantizan una medición de mayor exactitud;

• cadamagnitud cuenta con diferentes instrumentosde medida.Con cada magnitud de las tres que se enfocan en

este capítulo se propone el mismo trabajo: ver unidades convencionales, realizar estimaciones y comparaciones, hallar equivalencias.

Es posible que el docente evalúe que es conveniente que algunas o todas las actividades sean resueltas en pequeñosgrupos,enparejasoenungrupogrande.Lasintervenciones del docente en relación con las estima-ciones son necesarias y apuntan a detenerse sobre un aspecto del hacer que a menudo es intuitivo y puede parecer obvio. Pero sin esa reflexión el avance queda librado a la posibilidad de cada uno; de allí la importan-cia de compartir lo que cada uno hizo en sus páginas.

Es evidente que existe un tipo de conocimiento mate-mático que puede ser construido, adquirido, desarrolla-do fuera de la escuela, en diferentes contextos sociales y a través de diversas prácticas habituales en la cultura en la que se vive, y la medida es buen ejemplo para esto. Pero podemos decir que, si bien en la vida prácti-ca ese conocimiento suele ser eficaz, al mismo tiempo desconoce las condiciones de su propia producción. El aprendizaje escolar pide una organización de la tarea donde las metas, los contenidos, las actividades, la orga-nización sean muy diferentes de los de la vida cotidiana y complementen sus saberes con reflexiones conjuntas y sistematizaciones teóricas cada vez más avanzadas.

18 Los conocedores

Fracciones y números decimalesSistema sexagesimal de medida

7En los números con coma, mientras mayor sea el nú-

mero de cifras, menor será el valor relativo; mientras que para los enteros, a mayor cantidad de cifras le co-rresponde mayor valor relativo. Entonces, para compa-rar expresiones decimales es necesario tener en cuenta si se trata de expresiones del mismo valor relativo (mis-ma cantidad de cifras decimales) o expresiones de distin-to valor relativo (distinta cantidad de cifras decimales).

Esta noción también implica una posible constitución de obstáculos. Por ejemplo, el siguiente de un número essiempreunaunidadmayorqueél:elsiguientede34es35.Peroesteconocimientotieneundominiodeva-lidez limitado: el conjunto de los números naturales; cuando los chicos lo aplican al dominio de los números decimales, les provocan errores persistentes que conlle-van pérdida de sentido; por ejemplo: “el siguiente de 2,3es2,4”.

Para el tratamiento de las operaciones tenemos en cuenta la descomposición polinómica del número deci-mal.Laintenciónesabordar,progresivamente,eltrata-miento algorítmico de las operaciones con decimales.

Enlaspáginas110y111tambiénseabordaeltrabajocon el cálculo aproximado. Es importante que, a lo lar-go de la escuela primaria, los chicos aprendan diferen-tes tipos de cálculo con el fin de poder decidir cuál es el cálculo más conveniente en función de la situación que se deba resolver. El cálculo puede ser mental o algorít-mico, exacto o aproximado y estimativo.

El dominio de los algoritmos no es suficiente para el dominio del cálculo, no alcanza con “hacer bien las cuentas”.Loschicosdebenaprenderaestimarresulta-dos, a evaluar la necesidad de encontrar un resultado exacto o aproximado, a utilizar adecuadamente la cal-culadora, a utilizar diversas estrategias de cálculo, y a controlar los resultados.

También en estas páginas se aborda el tratamiento de la información. Es un objetivo de aprendizaje la re-solución de problemas, y no solo la propuesta metodo-lógica para aprender Matemática.

Son actividades posibles para aprender a resolverproblemas, por ejemplo:• plantear,apartirdeunaseriededatos,posiblespre-

guntas que se puedan responder con esos datos;• indicarlosdatosquesirvenylosquenosirvenpara

contestar la pregunta;• darunaseriedecálculoseindicarcuálocuálesper-

miten resolver el problema.A partir de una situación presentada en forma icó-

nica, en el capítulo les solicitamos a los niños que res-pondan a una serie de preguntas. Esta es otra posible

Numeración En las actividades de estas páginas el objetivo es que

los chicos se enfrenten con escrituras decimales, esta-blezcan la relación entre pesos, centavos y décimos (las monedas de 10 centavos), interpreten escrituras, esta-blezcan relaciones entre la lectura y la escritura de los de-cimales, interpreten la información que ofrece el numero con coma, analicen que un mismo valor puede formarse de variadas maneras (usando diferentes monedas) y com-partan acerca de la expresión numérica de las equivalen-cias establecidas e incluyan los milésimos, que en 4.° no tuvieron mucho lugar. Además, se les plantea un trabajo en relación con los mismos números expresados como fracción decimal y como números con coma.

Nosetratadeunanuevaclasedenúmeros,sinodela notación no fraccionaria de los no enteros: notación decimal. Ya sabemos que en todo sistema numérico po-sicional los valores relativos de las cifras están determi-nados por la posición ocupada. En particular, en nues-tro sistema decimal puede expresarse cualquier número enteropositivosobrelabasedecanjesdea10entreunordenyel siguiente.De lamismaforma, losnúmeroscon coma requieren canjes de a 10 entre las partes yla unidad, y entre las partes de un orden y el siguiente. Entonces, descomponer un número significa indicar el valor relativo de sus cifras, referidas a la unidad.

El propósito no es solamente avanzar hacia la re-flexión sobre la relación de los decimales y el sistema monetario, poniendo en juego un saber sobre el dinero que muchos chicos ya tienen desde lo cotidiano, sino también que, a partir de estos nombres que ya conocen, puedan validar y argumentar con base matemática.

Lanotacióndecimalylanotaciónfraccionarianoper-miten un reconocimiento inmediato del mismo número; el número expresado de ambas formas no es inmediata-mente reconocido. Por eso proponemos situaciones de pasaje que hacen observables diferentes aspectos y, al mismo tiempo, su equivalencia. El juego Decimal de la me-moria involucra estos saberes. Es interesante subrayar que el juego resulta una herramienta efectiva para el aprendi-zaje de determinados contenidos. Por eso es conveniente señalar la diferencia entre el uso didáctico del juego y su uso social. Mientras el chico siempre tiene como propó-sito ganar y jugar, el docente tiene como propósito que el alumno aprenda el contenido involucrado en el juego.

Operaciones: resolución de problemas En estas páginas comenzamos el tratamiento de las

operaciones con números decimales y la comparación de números decimales.

19Los conocedores

actividad que permite el tratamiento de la información.Eldesafíode lapágina111ofrece laposibilidadde

desplegar diferentes estrategias para determinar todas las soluciones del problema. Además, los chicos no es-tán acostumbrados a considerar más de una respuesta para un problema; generalmente, los problemas escola-res tienen una única solución.

Operaciones: estrategias de cálculo

Anteriormente hemos ido puntualizando que la ha-bilidad de calcular implica manejar propiedades rela-cionadas con la naturaleza de los números, con las re-glas del sistema posicional decimal y, al mismo tiempo, con las propiedades de la operación en sí misma.

En Sumar y restar decimales se propone un trabajo directamente ligado a los algoritmos, mostrando dos cuentas de sumar en las que se pide que se detecten posibles errores y se les busque una explicación. Al ope-rar con números decimales hay errores muy frecuen-tes que devienen de considerarlos como naturales; en laactividad21seproponeladetecciónyelanálisisdeestosposibleserrores.Sonvariadaslasdificultadesquelos alumnos van experimentando desde que tienen los primeros contactos con estos números hasta que pue-den reconocerlos en distintas situaciones, utilizarlos de forma correcta, operar con ellos, comprender su signi-ficado e integrarlos en sus esquemas de conocimientos como nuevos números que incluyen a los enteros pero que tienen propiedades diferentes.

Sibienelrepertoriomatemáticodeloschicosaúnesmuy limitado, ya que disponen de pocos conocimien-tos matemáticos, también podemos identificar errores sistemáticos y persistentes, cuyo origen se encuentra en un conocimiento anterior que se constituye en un obs-táculo para un nuevo conocimiento. Resulta entonces necesario, en pos de buenos aprendizajes, poner espe-cial cuidado en el tratamiento de estos errores.

Medida Lamedida resulta accesible para el niño alrededor

de los 6 años. A esta edad usa espontáneamente instru-mentos de medida, como un vaso, pero no los considera unidades parciales posibles de ser repetidas consecuti-vamente un número de veces. Aproximadamente a los 7añosreconocelaunidaddemedidaylanecesidaddeuna unidad de medida universal.

En particular, en 5.º los chicos aprenderán el sistema de medición de ángulos y el del tiempo. El concepto de ángulocomienzaatrabajarseenelSegundociclo.

Se reproducen poligonales abiertas y cerradas, se

utilizan instrumentos no convencionales para trans-portar el ángulo (por ejemplo, las varillas articuladas). Se identifica el ángulo en una figura y semiden losángulos para comunicar informaciones que permiten reproducir un polígono.

Además, se identifican los ángulos agudos, rectos y obtusos,ysecomienzaconelusodeltransportador.Semiden ángulos usando el ángulo recto como unidad de medida; se usa el transportador para medir y compa-rar ángulos; se usa el grado como unidad de medida de los ángulos, y se utiliza el sistema sexagesimal de medición de ángulos. Este sistema, que se aprenderá en 5.º, considera como unidad de medida un grado sexa-gesimal, que es la noventava parte de un ángulo recto.

En cuanto al tiempo, los trabajos desde los primeros grados se organizan en torno a dos aspectos:• lanocióndeduración, que con sus especificidades

responde aproximadamente a los trabajos de otras magnitudes, y

• lossistemas convencionales de medida del tiempo, que juegan un importante papel desde el inicio en la construcción de la magnitud. Esto, particularmente, no ocurre en el aprendizaje de las otras magnitudes.El sistema sexagesimal de los antiguos mesopotámi-

costienecomobaseelnúmero60.Apesardeque60es muy grande para utilizarlo como base de un sistema de notación, todavía lo utilizamos al dividir la hora en 60minutos,elminutoen60segundos,yelcírculoen6veces60º.Elnúmero60tienelaventajadequeesdivi-siblepor1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30y60;además,para los mesopotámicos, que eran ávidos astrónomos, labase60encajabaconsudivisióndelañoen360días.

Lasactividadespropuestasenlaspáginasdemedidaapuntan al uso convencional de estos sistemas de me-dición y, aunque se muestra cómo se suman o restan tiempos y ángulos, no es un objetivo fundamental el uso de los algoritmos convencionales. Por ejemplo, en lapágina116sesumanyrestanángulos,peroapartirde la aplicación de la suma de los ángulos interiores de un polígono.

20 Los conocedores

Los decimales y la recta numéricaSuma y resta de decimalesPerímetro y área

8regularidades, rectificar o ratificar de manera inmediata el resultado de la anticipación que se le ha pedido. En estas páginas se la aprovecha para resolver problemas que involucren el valor posicional en la notación deci-mal y para reflexionar sobre la estructura decimal de la notación decimal.

Operaciones: resolución de problemas En las situaciones planteadas en el capítulo, el foco

está puesto en el tratamiento de la información y en el uso del redondeo y la estimación.

Es esperable que los alumnos puedan resolver los cálculos que se piden empleando estrategias de cálculo mental que han venido elaborando juntos. Cabe pun-tualizar en este caso que el cálculo mental, que exige la puesta en juego de estrategias específicas en función de los números con los que se trabaja, habilita un mayor control de las propiedades que hacen válida la estrate-gia que se despliega.

Las razones fundamentales para incluir la estima-ción en la escuela son:• seempleaenmultituddesituacionesreales,• atiendealarazonabilidaddelosresultados,• potencia el empleo e invención de estrategias pro-

pias.Laspersonasquehanadquiridolahabilidaddeesti-

mar, la emplean en situaciones cotidianas, más frecuen-temente que las técnicas exactas, como las que hacen uso del cálculo con lápiz y papel.

Laenseñanzaescolardebeabarcareldoblecarácterde la Matemática, exacto y aproximado, y debe propor-cionar a los alumnos actividades que les permitan apre-ciar en qué circunstancias conviene utilizar una u otra.

Operaciones: estrategias de cálculo El sentido de las operaciones es una construcción

vinculada tanto a las situaciones problemáticas como a los procesos que llevan a su resolución, y se construye paralelamente en el ámbito de la resolución de los pro-blemas y en el de las estrategias y recursos de cálculo.

En estas actividades miramos los mismos temas que se trabajaron en numeración y en resolución de proble-mas con el propósito de elaborar esos conocimientos desde la perspectiva de las estrategias de cálculo. Recor-demos que las actividades de cálculo mental requieren una gestión muy cercana de la clase; no es fructífero pro-poner los cálculos y dar la consigna de “hacerlos mental-mente”. Es necesario que, al mismo tiempo, la serie de cálculos se proponga como objeto de reflexión, ya que son la pregunta del docente y la reflexión conjunta las

Numeración Hemos dicho que la recta numérica es un muy buen

instrumento, un buen recurso para trabajar el concepto de densidad de los racionales. Algunos aspectos sobre el uso de la recta ya fueron elaborados por los alumnos con las fracciones. Aquí se trata de recuperar lo apren-dido y reinvertirlo en relación con los decimales. A los niños les sorprende el hecho de que siempre es posible ubicar otros números entre dos números decimales. Este es el motivo por el que se realizan preguntas como esta: “Entre un número decimal y otro de la recta numérica, ¿cuántos números decimales es posible ubicar?”. Para que este concepto se afiance, es importante no apresu-rarse y compartir estrategias, reflexiones e hipótesis, tal como se propone en el Para conversar y responder juntos delapágina120(“Compartanlaestrategiaqueutiliza-ronparaubicar0,25y0,5enlarecta.¿Todosemplearonlamismaestrategia? Siusaronvarias, ¿cuál lesparecemás práctica?”).

Es necesario que todas las afirmaciones, tanto las del alumno como las del docente y las de los compañeros, estén abiertas al cuestionamiento, la reflexión y la ela-boraciónenelaula.Losalumnosnecesitanaprenderaser capaces de explicar, justificar y argumentar acerca deloquehanpensado.Lasrectassevanescalonandoen dificultad y hace falta detenerse lo necesario en cada una antes de avanzar.

El concepto de densidad también cuestiona la idea de encontrar “el anterior y el posterior”, una actividad extensamente recorrida con los naturales desde primer grado. Por eso, después de realizar un trabajo con di-versas actividades que los ponen en contacto con la re-solución de problemas que exigen comparar y ordenar expresiones decimales, el Para conversar y responder juntosdelapágina123lespideque expliquen qué hace falta tener en cuenta para ordenar un grupo de números decimales como los presentados y por qué decimos que no existe un número siguiente a otro número decimal.

Las actividades con calculadora facilitan el análisisdel valor posicional, ya que el cálculo se ve facilitado y la comprobación es veloz.

Algunos docentes no ven con buenos ojos el uso de la calculadora, debido a la idea de que su uso inhibe el aprendizaje de las operaciones y el desarrollo del pensa-miento asociado al cálculo. Cabe explicitar que muchas veces los problemas presentados requieren usos de la calculadora que no son la obtención de un resultado (como lo hemos ido transitando en las distintas activi-dades hasta aquí), y la calculadora se convierte en una herramienta apta para explorar propiedades, encontrar

21Los conocedores

que favorecerán la aparición y el tratamiento de relacio-nes y propiedades de números y operaciones.

En estas páginas se estudia la aproximación por de-fecto y por exceso.Sivamosaoperarconunnúmerodecimal, lo más frecuente es que no necesitemos tantas cifras decimales. Por ello es conveniente aproximar un número a la unidad que sea más adecuada en cada caso mediante el redondeo o truncamiento. El redondeo se puede hacer por defecto o por exceso. Cuando redon-deamos por defecto, el valor aproximado es menor queelverdadero.Porejemplo,para3,247,sideseamosaproximar a los décimos, nos fijamos en la cifra que ocupaellugardeloscentésimos,quees4.Locompara-mos con 5 y, como 4 es menor que 5, dejamos la cifra de losdécimosqueteníamos.Elnúmerosería3,2.Cuandoredondeamos por exceso, el valor aproximado es mayor queelverdadero.Porejemplo,para3,247,sideseamosaproximar a los centésimos, nos fijamos en la cifra de losmilésimos,quees7.Lacomparamoscon5y,como7esmayorque5,aumentamosuncentésimoyquedaelnúmero3,25.

También podemos aproximar el número por trun-camiento. Por ejemplo, si queremos aproximar 3,247a los décimos, considerando iguales a cero a todas las cifras que le siguen hacia la derecha, todas esas cifras son decimales; por lo tanto, no las escribimos, y queda elnúmero3,2.

MedidaEn las páginas de medida nos ocuparemos de los

conceptos de perímetro y área. Comenzamos a articular geometría y medida, y medimos superficies que tienen forma de figuras poligonales.

En relación con el perímetro, construiremos las fór-mulas para diferentes polígonos y las aplicaremos a la solución de algunos problemas.

En cuanto al concepto de área, se comienza con el es-tudiodesuperficiesequivalentes.Lasfigurasformadaspor la suma de figuras congruentes son equivalentes en superficie.Lanocióndeconservacióndeunasuperficie,aunque sus partes se distribuyan de diferente manera, se basa en la idea de que la adición y sustracción de partes equivalentes de dos estados equivalentes en su-perficie genera superficies también equivalentes.

Es importante destacar la diferencia entre superficie yárea.Unasuperficieplanaesunapartedelplano,unasuperficie es un conjunto de puntos. El área es una pro-piedad de la superficie, es una cantidad.

También se estudia la relación entre perímetro y área. El niño supone que, conservadas las superficies, se

conservan los perímetros; tiene dificultades para decidir si las variaciones y la conservación de las superficies se corresponden o no con las variaciones y la conservación de los respectivos perímetros.

El recurso que se usa en estas páginas es el tangram. Lostangrams,juegosdecubrimientodelplanoconre-giones, son muy importantes porque favorecen las ex-periencias de construcción de regiones de igual área y la práctica en transformaciones de figuras planas. Además, desarrollan la noción de conservación del área, permi-ten la búsqueda de relaciones entre las figuras del tan-gram y la comparación de áreas y perímetros de figuras construidas con él.

El juego planteado con el tangram fomenta la posi-bilidad de probar, experimentar, argumentar y genera-lizar, todas prácticas propias del hacer matemático, un verdadero trabajo científico matemático.

Para que el concepto de área se alcance, es impor-tante un espacio de discusión sostenido en el tiempo. Recordemos que los conceptos se construyen progre-sivamente; no podemos usar y “cerrar” los conceptos apresuradamente. Se avanza y se retrocede continua-mente para la recuperación, revisión y reestructura-ción de los saberes previos, que permitirá una “nueva mirada” del concepto. Además, los alumnos necesitan aprender a ser capaces de explicar, justificar y validar sus producciones. Entonces pondremos el foco en los procedimientos y no solo en los resultados; las estrate-gias utilizadas para resolver el problema son tan impor-tantes como el resultado. En Matemática, la discusión sobre lo producido permite construir saberes sobre la argumentación.Nosoloproponemoseltrabajoconde-terminados conceptos matemáticos; también son obje-tivos de enseñanza la resolución de problemas y los pro-cesos de argumentación específicos de la Matemática.

22 Los conocedores

DecimalesProporcionalidad y estadísticaÁrea

9a – a=0)yconlaintroduccióndelosnúmerosnega-tivos(seintroducenlossímbolos–1,–2,–3,etc.,juntocon la definición a – b=–(b – a) para a<b.

Losnúmerosnaturales,elceroylosnúmerosnegati-vos constituyen las tres subclases de los números ente-ros.Sinembargo,estecamponuméricotambiénresultainsuficiente, pues el cociente entre dos números enteros no siempre es otro número entero. El cociente a : b de dos números enteros a y b solamente será un entero cuando b sea un divisor de a. Pero si no es así, a : b es un número fraccionario.• Sia > b, pero a no es múltiplo de b, a : b es un frac-

cionariomayorquelaunidad.Porejemplo,3:2=3/2=11/2=1,5.

• Sia<b,a : b es un fraccionario menor que la unidad. Porejemplo,1:5=1/5=0,2.Entonces, en un caso el cociente es un número frac-

cionario; en el otro, un entero. En ambos casos es un númeroracional.Losenterosylasfraccionesformanlaclase de los números racionales. En este conjunto siem-pre es posible la división, excepto la división por cero. Asimismo, todo número racional puede ser escrito en forma decimal simplemente con hacer la división entre el numerador y el denominador. Por ejemplo las ex-presionesdecimalesosonfinitas:0,5(1/2=0,5),osoninfinitasperiódicas:0,333...(1/3=0,333...).Endefiniti-va, podemos decir que todo número racional tiene una cantidad finita o infinita periódica de cifras decimales.

Losnúmerosquenosepuedenescribircomococien-te de números enteros se llaman números irracionales. Unejemplomuyconocidoeselnúmeroπ. El número irracional aparece en cuanto una medida es inconmen-surable con la unidad (cuando no puede compararse con ella un número exacto de veces), como ocurre con la longitud de la circunferencia respecto a su diámetro (número π) o con la diagonal del cuadrado respecto a su lado (√2).Launióndelosdostiposdenúmeros,racio-nales e irracionales, constituye los números reales.

Operaciones: resolución de problemasEn este capítulo nos ocupamos de algunos conceptos

de estadística y de las relaciones de proporcionalidad entre variables.

Laestadística es el estudio de los mejores modos de acumular y analizar datos, y de establecer conclusiones acerca del colectivo del que se han recogido tales datos. Por otra parte, la estadística es la ciencia que estudia el comportamiento matemático del azar, midiendo y con-trolando los riesgos de los fenómenos aleatorios.

Losdatosresultantesdeuntrabajoestadísticosuelen

Numeración En estas páginas volvemos sobre la relación entre las

diferentes escrituras de los números racionales, y en-focamos el uso de estos números en el contexto de la medida y el reconocimiento de equivalencias. Es espe-rable que los alumnos puedan basarse en las estrategias elaboradas y en las reflexiones compartidas para utilizar la organización decimal del sistema métrico como con-texto para establecer estas relaciones entre fracciones decimales. Las actividades son diversas y recorren unespectro amplio de este pasaje entre escrituras.

Enlasactividades1y2,seestudianlasrelacionesdebase10enelcontextodelamedida,mientrasque,enlasactividades3y4,seestudianlasrelacionesentrelasfracciones decimales y las expresiones decimales.

En el sistema decimal existen órdenes, en los que los valores quedan determinados por la posición de la cifra, apartirdecanjessucesivosde10ysuspotencias.Silosvalores corresponden a un entero, se llaman decenas, centenas,unidadesdemil,etc.Sisetratadecifrasde-cimales, el valor posicional se rige por las mismas rela-ciones, pero invertidas. Para indicar las relaciones entre las partes y la unidad, o entre partes de distinto orden, hablamos de décimos, centésimos, milésimos, etc. Por ejemplo, 7/2= 3+ 1/2 (como expresión fraccionaria;3enterosyunmedio)y7/2=3,5(comoexpresiónde-cimal;3enterosy5décimos).Enparticular,cuandolaexpresión decimal tiene una cantidad finita de cifras decimaleshablamosdenúmerodecimal.Losnúmeros decimales provienen de las fracciones decimales.

Lasfracciones ordinarias (o de denominador no co-rrespondiente a la base del sistema) pueden convertir-se en fracciones decimales si sus denominadores son 2 o 5 y sus múltiplos. Y a estas les corresponden, a su vez, expresiones exactas con coma (el cociente indicado conduce en algún momento a resto cero en alguna de las cifras no enteras).

A continuación presentamos una caracterización del conjuntodelosnúmerosreales.EnelSegundocicloestu-diamos los números naturales y los números racionales.

La ideadenúmero natural es de las más antiguas en Matemática. Su aplicación para contar y describirresulta evidente. El conjunto de los números naturales esN=⎨1,2,3,4,5, ...,28,29, ...⎬. Pero este sistema numérico resulta insuficiente, pues en él la sustracción no siempre es posible, es decir, la diferencia entre dos números naturales no siempre es otro número natural. La operación a – b no tiene sentido dentro del cam-po de los números naturales, cuando a<b.Sesuperaesta restricción con la introducción del cero (puesto que

23Los conocedores

presentarse de dos maneras inseparables y complemen-tarias: mediante una tabla de datos y mediante una grá-ficaapropiada.Lagráficapermitiráverdeunamanerarápida y esquemática el resultado global. La tabla dedatos permitirá un análisis más detallado de la situa-ción.Losgráficosmásutilizadosson:diagramasdeba-rras, histogramas, polígonos de frecuencias, diagramas de sectores y pictogramas.

Las situacionesdeestadísticaque seabordanenelcapítulo requieren del uso de gráficos de barras y del concepto de frecuencia.

En el caso de las situaciones de proporcionalidad se hace hincapié en las de proporcionalidad directa. En 5.º grado se comienza a trabajar el concepto de proporcio-nalidad. Recién en este año la proporcionalidad tiene estatus de conocimiento.Durante los años anteriores,los chicos han abordado situaciones de proporcionali-dad, pero como uno de los significados posibles de la multiplicación.

Como es la primera aproximación al concepto, los chicos comenzarán a hacer uso de distintos procedi-mientos para la resolución de los problemas.

Operaciones: estrategias de cálculo En el trabajo con estrategias de cálculo mental, los

números múltiplos, especialmente los de 25, tienen un lugar propio, incrementan el repertorio aditivo con na-turalesbasadosenelcomplementoa100.Esasestrate-gias elaboradas con naturales son útiles, en este caso, con los racionales, y piden un ajuste acorde con los números en cuestión. En estas actividades retomamos estas estrategias de cálculo con los múltiplos de 25 y las de“elcomplementoa10,100,1.000”ylasreutilizamospara calcular la distancia entre un numero decimal y un entero, tanto cuando “le falta” como cuando “se pasa”. El juego Aproximaciones es una nueva vuelta sobre el tema, desde un contexto lúdico.

El trabajo con los juegos es una vía para la adquisi-ción de conocimientos matemáticos. Pero para que esto sea posible, los chicos deben verse enfrentados con una actividad en la que tengan que tomar decisiones sobre qué conocimientos utilizar, para luego poder argumen-tarsobreellos.Sinohayproyectodeenseñanza,eljuegosolo se limita a la reproducción de indicaciones exter-nas, a un momento de juego y no de aprendizaje de un contenidomatemático.Luegodejugar,enlagestióndela clase, el maestro deberá instalar la reflexión acerca de lo que hicieron, permitir la discusión y la confronta-ción sobre los diferentes procedimientos utilizados y la validación de lo producido.

En el Para conversar y responder juntos se plantean numerosos interrogantes con el propósito de orientar la reflexión y lograr una objetivación de las estrategias: “¿Qué opinan de las estrategias utilizadas por los chi-cos? ¿Por qué el chico dice que son parecidas, aunque diferentes? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Cómo pueden usar estas estrategias para resolver el cálculo de restar de la actividad anterior?”. Al resolver laactividad20(“Resuelvanloscálculos.Agrupenlosnú-meros de la manera que crean más conveniente”), es es-perable que los alumnos puedan decidir cómo agrupar los números, y no necesariamente respetar el orden en que están presentados, de tal manera que puedan pen-sarenirarmandoenterosypensarprimeroen1,5+6,5yen4,75+3,25;ydespuésinclusoensumarlaspartesdecimales primero y luego agregar los enteros.

MedidaEn este capítulo se continúa avanzando con el con-

cepto de área: cómo se mide el área de una superficie y el uso del cm2comounidaddemedida.Unaunidadcuadrada es la superficie que encierra un cuadrado, cuyo lado es una unidad de longitud. También se avan-za en la construcción de la fórmula para determinar el área de un rectángulo.

Cuando medimos una cantidad, necesitamos estable-cer una unidad de medida y, en función de ella, asigna-mos un número a la cantidad, que se llama su medida. Dichomatemáticamente,seaunamagnitudmedibleA (por ejemplo longitud, peso, etc.) con una unidad de medida u y sea a cualquier cantidad en A; entonces, existe un único número m tal que a=m . u, al cual se le llama medida de a respecto de u. Es decir que la me-dida de la cantidad a expresa el número de veces que a contiene a u.Lamedidadeunacantidaddependedelaunidad cuyo uso se convenga, pero la cantidad es inde-pendientedequeselamidaono.Dehecho,cuandoseexpresa el valor de una cantidad respecto de diferentes unidades de medida, se evidencia la conservación de la cantidad. En particular, en 5.º grado comenzaremos a ocuparnos de las medidas de superficie.

Para la construcción de cualquiera de las magnitudes, el chico debe considerar y percibir una magnitud como una propiedad de los objetos, aislándola de otros atri-butos que esos objetos puedan presentar. El chico debe identificar qué cambios en el objeto dejan invariante la propiedad característica de la magnitud y debe poder realizar ordenaciones respecto de la magnitud. Asimis-mo, debe poder establecer correspondencias entre nú-meros y cantidades de magnitud (la capacidad de medir).

24 Los conocedores

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DocumentosdeactualizaciónydesarrollocurriculardelGo-biernodelaCiudaddeBuenosAires,SecretaríadeEducación,DirecciónGeneraldePlaneamiento,DireccióndeCurrícula.En:http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php

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Bibliografía sugeridapara ampliar las discusiones planteadas

25Los conocedores

Solucionario

Capítulo 1

1) Los números seña-lados con un rec-tángulo son los que hay que buscar en lasopa.Losnúmerosseñalados con una elipse corresponden alaactividad3.Losnúmerosresalta-dosson:•Nove-cientos treinta y seis mil setenta y ocho. •Ochocientoscincomiltreintaycuatro.•Novecientosveinte mil veinte.

2) 936.078 > 920.020 > 805.034 > 704.999 > 618.004 >450.060>311.502.

3) haymuchasposibilidades.Losseñaladosenlasopaseescri-benasí:•Doscientosdosmildoce.•Cienmilcientonoventa.

Para conversar y responder juntos•Paraleercorrectamenteunnúmerohayquetenerencuentael

valor posicional de cada cifra y la cantidad de cifras que tiene. Para escribirlo correctamente sucede lo mismo, pero además debemos “pensar” en qué lugares ubicar ceros.

•No.•hay71decenasdemily712unidadesdemil.

4) a) LapersonamásjovenesAgustina. b) Lademayoredades Juan. c) LucíayAlbertotienenedadessimilares.

5) 7.696.777 < 12.500.987 < 12.555.777 < 15.434.222 <19.933.121<34.111.999.

6)

Para conversar juntos•Unaposible estrategia seríaubicarprimero1.500.000,queseencuentraenelpuntomedioentre1.000.000y2.000.000,y luego dividir en 5 partes iguales el segmento comprendido entre1.000.000y1.500.000,parapoderdeterminar laubi-caciónde 900.000 y 2.100.000.Otraposibilidad es que loschicos comiencendividiendopor10el segmentoentre0y1.000.000paraluegoubicartodoslospuntos.

7) Sami:1.201.000.Lucas:1.010.200.jazmín:1.111.000.

8) 1.201.000>1.111.000>1.010.200.

Para conversar juntos•Sí,porqueenlatablaseindicacuántasvecessacaroncadaunadelascantidades.Enestecaso,todossacaron1.000.000.Observandolasiguienteunidad,vemosqueSamisacómásveces100.000queelrestodeloschicos.Noesnecesariomi-rarlasdemáscantidadesparasaberqueSamisalióprimera.

7 0 4 9 9 9 0 5 4 1

0 2 1 6 4 0 0 8 5 9

3 0 0 0 1 1 6 0 0 3

0 0 2 0 2 0 1 2 0 6

3 2 0 1 0 1 1 1 6 0

1 8 0 5 0 3 4 2 0 7

1 2 0 0 3 9 7 0 6 8

5 1 1 0 0 1 9 0 8 5

0 1 4 0 6 1 8 0 0 4

2 8 1 9 2 0 0 2 0 2

0 1.000.000

1.500.000 2.100.000900.000

2.000.000 3.000.000

Desafío

9) Armazonesdelámparas:$320.Cable:$100.Cristalesdecolor:$300.hilos:$100.Papelesestampados:$100.Pe-gamento: $ 55. Con el redondeo, es posible indicar que el dinerolealcanzará.Mónicagastóexactamente$963.

10) Al dueño del negocio le alcanza el dinero, ya que pagaría entotal$1.745.

11) a) 1.530km. b) 1.410km. c) 1.675km.

12) Si eligen la autopista en lugar de la ruta que bordea lacosta,recorren120kmmenos(1.530km–1.410km).

13) Sieligenloscaminosinternosenlugardelcaminomáscor-to,recorren265kmdemás(1.675km–1.410km).

14) haríanentotal3.085km(1.410km+1.675km).

15) Ladistanciaentrelasciudadesporautopistaes:•PuertodeLahoja-LosAlbatros:345km.•LosAlbatros-MardelasCaracolas:365km.•MardelasCaracolas-LaAldeadelaArena:380km.Ladistanciaentrelasciudadesporloscaminosinternoses:

•PuertodeLahoja-LosAlbatros:410km.•LosAlbatros-MardelasCaracolas:430km.•MardelasCaracolas-LaAldeadelaArena:455km.

Para conversar juntos•En este caso, es importante recuperar las producciones di-

ferentes –correctas o incorrectas– para cada problema. Por ejemplo, resulta importante discutir cómo, para resolver un problema “de resta”, a veces resulta más fácil entrar por la resta y otras veces por la suma. Por ejemplo, en el problema 12,paradeterminarladiferenciaentre1.530y1.410puedenhacer:de1.410kma1.500kmhay90km+30km=120km.

16) a)

1.000 menos Número 1.000 más 35.398.108 35.399.108 35.400.1087.599.240 7.600.240 7.601.240

b)

10.000 menos Número 10.000 más 1.465.030 1.475.030 1.485.030

35.389.108 35.399.108 35.409.1087.590.240 7.600.240 7.610.240

1

200

400600

800

1100

1400

1700

1810

1492

2011

105

2000 2100

26 Los conocedores

b)

Número Entre Número 720.539 720.540 720.541 253.100 253.101 253.102 671.999 672.000 672.0012.173.558 2.173.559 2.173.560

c)

10 menos Número 10 más754.090 754.100 754.110124.990 125.000 125.010399.990 400.000 400.010

1.300.048 1.300.058 1.300.068

26) Por ejemplo: a) 5.009.364. b) 8.999.994. c) 3.500.718. d) 12.000.783.

27) 270.100 < 277.099 < 277.100 < 405.000 < 405.088 <405.090<405.098<450.000.

28) a) Unmillóncienmiluno. b) Quinientos cincuenta y cinco mil cinco. c) Novecientosnuevemilnoventa.

29) b y c.

30) LapoblacióndeTierradelFuegoesde101.079personas.

31) a) Lefaltan493palabras. b) Sí,lopuedepresentar.

32) a) Recorrió1.250km. b) Lefaltan1.550kmparallegar. c) habrárecorridoaproximadamente5.600km.

33) a) 88.400. b) 250.000. c) 980.300. d) 78.000. e) 120.700.f) 630.900. g) 44.200. h) 92.400. i) 55.100. j) 380.000.

k) 78.500. l) 21.400. m) 37.700. n) 930.000.

34) a) 650. b) 4.000. c) 5.500.

35) Producción personal.

Capítulo 2

1) 3.240.

Para conversar y responder juntos•El sistema egipcio no es posicional. Es un sistema aditivo

caracterizado por la presencia de un símbolo distinto para cada una de las potencias de la base, por esto se denomina de agrupamiento múltiple. El desorden en la escritura de los números no es un problema para tener en cuenta.

Para conversar y responder juntos

•9.362: 1.054:

•Elceroesnecesarioyútilparaexpresarlacarenciadeunida-des de cualquier orden.

2) LaescrituradeGamaltienemássímbolosporqueenlaescri-tura de Tarek aparece la cuerda enrollada que representa al 100yenlaescrituradeGamallaherraduraquerepresentaal10(entotal,6).Elsistemaegipcionotienelímiteparalacantidad de símbolos necesarios, pero si para el número de repeticionesdelossímbolos:comomáximo10.

c)

100.000 menos Número 100.000 más 1.375.030 1.475.030 1.575.030

35.299.108 35.399.108 35.499.1087.500.240 7.600.240 7.700.240

d)

1.000.000 menos Número 1.000.000 más 475.030 1.475.030 2.475.030

34.399.108 35.399.108 36.399.1086.600.240 7.600.240 8.600.240

17) a) 84.450. b) 50.800. c) 190.000. d) 770.300. e) 47.000. f) 50.700. g) 230.900. h) 420.600.

18) a) 37.970. b) 56.540. c) 48.230. d) 460.200.

19) a) 35.980. b) 42.110. c) 53.750. d) 300.000.

Para conversar y responder juntos•Esmuyimportanterescatarestecomentariodeloschicos,ya

que las estrategias que plantean están claramente asociadas al trabajo con cálculos mentales.


21)

Para conversar y responder juntos•Todaslasconstruccionesdeberíanquedariguales.Sihaydi-

ferencias, se deben a que no interpretaron bien el instructivo o consideraron medidas incorrectas. En el primer caso se ob-tendría una figura diferente y, en el segundo, posiblemente, una figura semejante.

22) Dibujáunasemicircunferenciaderadio3cmyeldiáme-tro que une ambos extremos de la semicircunferencia. Con centro en el centro de la semicircunferencia, dibujá una circunferenciaderadio1cmyotrasemicircunferenciaderadio 2 cm externa a la primera dibujada, con los extremos que coincidan con el diámetro dibujado.


Para conversar y responder juntos•En la primera figura se utiliza solo la regla porque la cuadrícula

permite copiar adecuadamente la figura. En la segunda tam-bién, porque alcanza con contar los cuadraditos. En la tercera se necesita la escuadra y el compás, porque hay que dibujar un rectángulo y un círculo centrado y considerar medidas.

24) 77.007.

25) a)

Uno menos Número Uno más235.008 235.009 235.010399.999 400.000 400.001

2.709.078 2.709.079 2.709.0803.688.098 3.688.099 3.688.100

5 cm1,5 cm

27Los conocedores

14) Hay que hacer este cálculo:

15) hayaproximadamente16.400ciervos.

16) Seocupanalmenos11.500hectáreasenestaactividad.

17) a) Aproximadamente 45 crías. b) Aproximadamente con 200saltos. c) Pesanaproximadamente1.875kilos.

Para conversar y responder juntos•Laseñora,paradeterminarelgasto,redondeólascantidades.•Laseñoraredondeó48y99haciaarribay102haciaabajo.El

redondeo resulta útil para determinar cálculos aproximados, por ejemplo, en situaciones de compra y venta.

18)

Número A las decenas

A las centenas

A las unida-des de mil

A las dece-nas de mil

897.889 897.890 897.900 898.000 900.000231.192 231.190 231.200 231.000 230.000342.607 342.610 342.600 343.000 340.000109.999 110.000 110.000 110.000 110.000

19) a) 15.000+2.500,88.888+11.111y17.300–10.000. b) 1.000×70+289. c) 30.000+5.000+200+70+6. d) Seobtieneconelprimercálculoyconeltercero.

20) a) 16.000. b) 150.000. c) 450.000.

Para conversar juntos•Parahacerlasanticipacionesnosbasamosenelanálisisdela

escritura decimal de los números y en el uso del redondeo.

Para conversar juntos•Los chicospodránarmar7 triángulosdistintos:•3,5y5 •3,8y8•3,8y10•5,5y8•5,8y8•5,8y10•8,8y10.

•Como la medida de cada lado debe ser menor que la suma de las medidas de los otros dos, con estas combinaciones no esposiblearmaruntriángulo:•3,5y8•3,5y10•5,5y10.

21)

7.000 1140 636,3 70 40 7

5 cm

10 cm

10 cm

8 cm

5 cm 5 cm

3 cm

5 cm10 cm

5 cm 5 cm

8 cm 8 cm

8 cm 8 cm8 cm 8 cm

8 cm 8 cm

3 cm

3 cm

3) En el sistema indio importa el orden de la escritura porque una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base inmediatamente superiores y porque cada cifra tiene dos valores, uno según su forma y otro por el lugar que ocu-pa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades simples, la segunda, unidades de segundo orden, etc.

4) El sistema indio es más práctico, ya que reúne tres caracte-rísticas fundamentales: es decimal, cifrado y posicional.

5) El sistema egipcio es aditivo de agrupamiento múltiple. El sistemaromanoesaditivo.ElsistemadelaantiguaIndiaesdecimal, cifrado y posicional. En particular, nuestro siste-ma de numeración escrita tiene estas características, pero el oral es multiplicativo ordenado.

DesafíoEl14sediceChunkaTawayoqyel15,ChunkaPichqayoq.

6) a) b) c)

7) Paramultiplicarpor10,bastaconefectuaruncorrimientode signos.

a)7:

b)35:

c)740:

8) a) 7×10=70. b) 35×10=350. c) 740×10=7.400.

9) Posiblesobservacionesalmultiplicarpor10:enelsistemaegipcio, se mantiene la cantidad de símbolos y, en el deci-mal, se agrega un cero; en el sistema egipcio, cambian los símbolos y, en el decimal, no, solo se agrega el cero.

10) Almultiplicarporunapotenciade10enelsistemadeci-mal se agregan tantos ceros como tiene dicha potencia. En el sistema egipcio se mantiene la cantidad de símbolos, pero los símbolos son diferentes.

Para conversar juntos•Enelsistemadecimalseutilizan3símbolosigualesparaes-cribirel888.Enelsistemaegipcio,24símbolos.

11) En el sistema egipcio se considera la misma base que en

nuestro sistema. El indio tiene exactamente las mismas características. En el romano no es posible encontrar nin-guna de las características.

12) ventajasdenuestrosistemadenumeración:unacantidadmínima de símbolos que permite construir los infinitos números; el cero, que permite expresar la carencia de uni-dades; es posicional; es decimal.

13)

Provincia Cantidad de criaderos Cantidad de ciervos colorados La Pampa 11 7.000Buenos Aires 14 5.500Neuquén 12 3.000Chubut 2 200San Luis 3 400Entre Ríos 3 200Santa Fe 1 100

×10

28 Los conocedores

27

Para conversar juntos•Enelincisoa, la construcción no es única porque solo se indi-calamedidadeunángulo.Lomismosucedeconlaconstruc-ción del inciso b. En cambio, en el inciso c, la construcción es única porque en el equilátero todos los lados son congruen-tes y entonces no hace falta indicar otra condición.

•Losángulosdeuntriánguloequiláteromiden60°.•En un triángulo isósceles los ángulos de la base son con-

gruentes.

28)

En el número... 69.241 41.926 16.492El 9 vale 9.000 900 90El 2 vale 200 20 2El 4 vale 40 40.000 400El 6 vale 60.000 6 6.000El 1 vale 1 1.000 10.000

29)En el número... 14.926 91.624 24.169

El 9 vale 900 9.00090.000 9

El 2 vale 20 20020 20.000

El 4 vale 4.000 4 4004.000

El 6 vale 6 60600 60

El 1 vale 1.00010.000

1001.000 100

30) a) 76.410. b) 10.467.

31) Por ejemplo: a) 341.976. b) 542.861. c) 129.657. d) 346.980. e) 967.013. f ) 649.237.

32) Seobtieneelnúmero935.451conloscálculosb y d.

33) a) Eran241personas. b) Eltotaldelosgastosfuede$16.147.

34) Enellibrohayaproximadamente75.200palabras.

35) Lashojaslealcanzarán.Necesitará945.

36) a) Lauranacióen2001. b) Suhermanonacióen2006. c) CuandoLauratenga27,elpadretendrá61yelhermano,22.

37) Sofía,de14años,yLucía,de17,coleccionanestampillas.Comenzaronahacerlohace3años y juntanaproximada-mente150poraño.Tienenquepegarlasenunálbumnue-vo,yaqueelanteriorselesrompió.Elálbumtiene50pági-nas. ¿Cuántas estampillas deberán pegar en cada página?

38)

502.671 769.286 399.222A las decenas 502.670 769.290 399.220A las centenas 502.700 769.300 399.200A las unidades de mil 503.000 769.000 399.000A las decenas de mil 500.000 770.000 400.000A las centenas de mil 500.000 800.000 400.000

45º

30º

5 cm

a) b) c)22)

Para conversar juntos•Noentodosloscasossedibujaelmismotriángulo.Enelinci-

so c, al no fijarse un tercer dato, la construcción no es única.

DesafíoSepuedenarmar44triángulosentotal.

23) a) 70°,70°,40°. b) 90°,30°,60°. c) 20°,27°,133°.

Para conversar juntos•Lasumadelosángulosinterioresdelostriánguloses180°.

Esto vale para cualquier triángulo.

24) Lasumadelosángulosinterioresdeambostriángulosesde180°.

Para conversar juntos•Lasumadelasmedidasdelosánguloses180°.

Para conversar juntos•TienerazónLuli,porqueeltriánguloesisóscelesacutángulo.

25)

Para conversar juntos•Notodosdibujaronlosmismostriángulosporque,paraque

sean congruentes, es necesario fijar las medidas.

26)

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

4 cm

5 cm

5 cm

35º7 cm

a) b) c)

a) b)

Equilátero Isósceles Escaleno

Acutángulo

Rectángulo No es posible

No es posibleObtusángulo

29Los conocedores

6) Parahacer40banderinesnecesitan1.000cmdetela.

7) Tienenquellevar12botellasdeaguay18degaseosa.

Para conversar juntos•Otraestrategiaes,paraelcasodelasbotellas,hacer36:6=6

y, entonces, multiplicar por 6 cada una de las cantidades de botellas de agua y de gaseosa.

8) a) 1 1/2 kg de lentejas. Es de proporcionalidad directa,porque el aumento de las cantidades se da de manera proporcional. b)$30.Esdeproporcionalidaddirecta.Lajustificación es la misma que la del inciso a. c)$22.Noesde proporcionalidad directa, porque la oferta significa una disminución del precio unitario. d)Noesdeproporcionali-dad directa y tampoco se puede saber la respuesta, porque el aumento de la altura en función del tiempo transcurrido no se da de manera proporcional. e)No,porquedentrode20años,tendrá45añosysumamá,70años,y45noeslamitadde 70.No es deproporcionalidaddirecta, porqueno hay un cociente constante, aunque si una diferencia constante: 25 años.

Para conversar juntos•Para identificar si las situaciones son de proporcionalidad

directa se puede observar si hay un aumento o una disminu-ción proporcional de las cantidades.

• a) Si para 10 personas necesito 1/2 kg de lentejas, para30, como representa 3 veces 10, hago 1/2 kg × 3 o 1/2+1/2+1/2.b)Seresuelvedemodosimilaralcasoanterior.

9) 290×12:2.

10) a) 328×4. b) 328×8. c) 214×9. d) 214×27. e) 155×16. f) 127×25.

11) Por ejemplo: a) 200×4×2o200×16:2. b) 315×44×2o315×22×4. c) 400×2×30o4×2×100×30.d) 440×2×7o220×4×7. e) 222×4×12o444×2×12.f) 444×2×4×2o444×2×16:2(444×16).

12) 27×500:100.

13) Porunlado,a=c=f.Porelotro,b=d=e=g.Unaformaposibledepensarloesobtenerprimero18y,luego,versiquedamultiplicadopor10opor100.

14) a) 2.880(288×10). b) 2.880(288×10). c) 28.800(288×10×10). d) 28.800(288×100). e) 144(288:2). f) 1.440(288×10:2). g) 1.440(288×5). h) 14.400(288×10×5).

Para conversar y responder juntos•Unaposibleexplicaciónesqueunnúmeroadmitediversasdescomposicionesenfactoresprimosy/ocompuestos.

15) a) a y b. b) c y d. c) e. d) f y g. e) h.

16) Elresultadocorrectoes94.335.Laa y la d están resueltas correctamente. En la b,elerrorescolocar35.445enlugarde31.445 (cuandohace6.000×5 leda30.000; con los1.000“quesehabíallevado”,deberíaobtener31.000yno35.000).Enlac,elerrorestáen6.289;corresponde62.890.

17) El resultado es el mismo porque para la multiplicación se verifica la propiedad conmutativa.

39) a) 12.000. b) 69.000. c) 250.000.

40) a) 18.400–2.400. b) 49.500–500. c) 49.500–9.000. d) 49.500–1.500.

41)

•Enamboscasoslaconstrucciónesúnicaporquesefijantrescondiciones.

42) 54°(ánguloagudo)eneltriángulorectánguloy126°(án-gulo obtuso) en el triángulo obtusángulo.

43)

44)

45) En el primer caso no es posible, ya que la suma del segun-doyeltercerladonoesmayora8.Enelsegundocasosíesposible,yaquelasumadelosángulosesiguala180°.

Capítulo 3

1) •15.•Enestecaso,siconsideramoslosquetienensolo4divisores,laúnicaposibilidadesel14;siconsideramoslosquetienenalmenos4,podríaserel12.•17.•49.

2) Elcuartomúltiplode6es24.Elsextomúltiplode7es42.30esmúltiplode6,porque5×6=30;sepuedeencontrarunfactorenteroque,multiplicadopor6,daexactamente30.

3) Losnúmeroscompuestosysusdivisoressonlossiguientes.•10:1,2,5,10.•16:1,2,4,8,16.•18:1,2,3,6,9,18.•21:1,3,7,21.•32:1,2,4,8,16,32.•48:1,2,3,4,6,8,12,16,24,48.

4) Estosnúmerossellamanprimos:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

5) Hay varias posibilidades. a) 30:3×10;2×15;2×3×5. b) 25:5×5;1×25;1×5×5. c) 60:12×5;6×10;2×2×

3×5. d) 78:2×39;2×3×13;6×13. e) 63:3×21;3×3×7;1×3×21. f) 136:2×68;2×2×34;2×2×2×17.

3 cm 5 cm

6 cm

40º

5 cm

6 cm

a) b)A

ltura

Altura

Alt

ura

30 Los conocedores

Para conversar juntos•Nosepuedenconstruirtriángulosenlossiguientescasos:a)Cuandolosladosmiden4cm,5cmy9cm,porquelamedi-da de cada lado debe ser menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.c) Cuando los ángulosmiden35°, 45° y 120°; o 35°, 100° y120°;o45°,100°y120°.Tambiénenelcasoqueelladomida5cmylosángulosadyacentesalmismo100°y120°;oquelosángulosmidan100°y120°yelladoqueseoponea100°mida5cm;oquelosángulosmidan100°y120°yel ladoqueseoponea120°mida5cm.

23)

Desafío hay72triángulosdiferentes.

24) a)

b) Hay dos soluciones posibles: para que la solución sea única, se debería indicar que el ángulo sea adyacente o contiguo al lado de 4 cm.

c) d)

Para conversar juntos•Enelcasodelostriángulosrectángulossolomealcanzacon

indicar dos datos porque el tercer dato es el ángulo recto.

25)

45º 30º 120º3,5 cm 3 cm

5,4 cm

2,5 cm3,8 cm

2,5 cm

a) b)

c)

5 cm

4 cm

30º

30º

4 cm4

cm

40º

50º

5 cm

4 cm6 c

m

3 cm 3 cm

3 cm

4 cm

a)

b)

c)

50º

30º

18) a) v. b) v. c) v. d) F. e) v. f) v. g) F. h) v. i) v.

19)

Para conversar juntos•Laconstrucciónesúnicaporquesefijan3condiciones.

20)

Para conversar juntos•Los chicos posiblemente construirán diferentes triángulosporque, fijando 3 medidas angulares, logramos construirtriángulos semejantes y no congruentes.

21) a) Sepuedenconstruir8 triángulosdiferentes (4,5y7;4,7y9;4,5yelángulocomprendidoentrelosdosladosmide35°;4,7yelángulocomprendidoentrelosdosla-dosmide35°;4,9yelángulocomprendidoentrelosdosladosmide35°;5,7yelángulocomprendidoentre losdosladosmide35°;5,9yelángulocomprendidoentrelos dos ladosmide 35°; 7, 9 y el ángulo comprendidoentrelosdosladosmide35°).b)Sepuedenconstruir16 triángulosdiferentes (4,5y7;4,5yelángulocomprendidoentrelosdosladosmide35°;4,7yelángulocomprendidoentrelosdosladosmide35°;5,7yelángulocomprendidoentrelosdosladosmide35°;4, 5 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 45°; 4,7yelángulocomprendidoentrelosdosladosmide45°;5,7yelángulocomprendidoentrelosdosladosmide45°;4ylosángulosadyacentesalmismomiden35°y45°;5ylosángulosadyacentesalmismomiden35°y45°;7ylosángulosadyacentesalmismomiden35°y45°;35°,45°yelladoopuestoa35°mide4cm;35°,45°yelladoopuestoa35°mide5cm;35°,45°yel ladoopuestoa35°mide7cm;35°,45°yelladoopuestoa45°mide4cm;35°,45°yelladoopuestoa45°mide5cm;35°,45°yelladoopuestoa45°mide7cm).c) Sepuedeconstruir,aunque laconstrucciónnoesúni-ca,untriángulocuyosángulosmiden35°,45°y100°.Sepueden construir 5 triángulos con un lado de 5 cm y sus ángulosadyacentesde35°y45°,de35°y100°,de35°y120°,de45°y100°,de45°y120°.Sepuedenconstruir2triángulosdiferentescondosángulosquemiden35°y45°yelladoopuestoa35°mide5cm,oelladoopuestoa45°mide5cm.Sepuedenconstruir2triángulosdiferentescondosángulosquemiden35°y100°yelladoopuestoa35°mide5cm,oelladoopuestoa100°mide5cm.Sepuedenconstruir 2 triángulos diferentes con dos ángulos que mi-den35°y120°yelladoopuestoa35°mide5cm,oelladoopuestoa120°mide5cm.Sepuedenconstruir2triángu-losdiferentescondosángulosquemiden45°y100°yelladoopuestoa45°mide5cm,oel ladoopuestoa100°mide5cm.Sepuedenconstruir2triángulosdiferentescondosángulosquemiden45°y120°yelladoopuestoa45°mide5cm,oelladoopuestoa120°mide5cm.


10 cm

5 cm

30º

30º 100º

50º

31Los conocedores

30) Los números primos son 13, 19 y 29, porque los únicosdivisoresqueadmitensonel1yelmismonúmero.

31) a) 810=405×2=162×5=81×2×5. b) 54=27×2=3×9×2=18×3. c) 75=15×5=25×3=5×5×3.d) 120=60×2=3×4×10=3×2×2×2×5.

32) a) 100-125-150-175. b) 48-60-72-84. c) 44-55-66-77. d) 104-112-120-128.

33) 3,5,7,11,13,17,19,23,29y31.

34) 6,8,9,10,12y14.

35) a) 12. b) 15. c) 24. d) 18.

36) Nolealcanzaeldinero.Deberíapagar$580(25×$12+70×$4)ytiene$500.Con$500lacantidadmáximademercadería que podría comprar, si no quiero que me sobre dineroes,porejemplo,25autitosy50mazosdecartaso20autitosy65mazosdecartas.

37) Sepuedenformar9parejasdiferentes.

38) a) Necesita356azulejos. b) Tienequecomprar18cajas.

39) a, b y e.

40) En cada caja grande hay 2.400 galletitas (20× 15× 8).En10cajasgrandeshay24.000galletitas.

41) No,sololealcanzarápara336fotos.

42) Lamaestrajuntará$644(28×(15+8)).

43) 21.300.

44) a) 7.690. b) 76.900. c) 769.000. d) 648. e) 6.480. f) 6.480.g) 64.800. h) 64.800.

45) 50×30×2.

46) 50×20×3.

47) 50×12×3.

48) a) ACD. b) ABD.hipotenusa:AD.Catetos:AByBD. /ABC.Hipotenusa: AC. Catetos: AB y BC.

49) AEB./CED.Ladosiguales:CEyED.Base:CD.

50)

51) Sielángulocomprendidodebeestarentrelosladosindica-dosesimposible,elángulonomide40°.Silosladosigua-lesmiden5,5cmyelángulocomprendido40°también,porquelabasenomide9cm.Lomismosucedesilosladosigualesmiden9cm.Puedoconstruiruntriángulo,peronoserá isósceles, aunque perceptiblemente lo parezca.

7 cm

3,5 cm 4,5 cm

Para conversar juntos•Paralostriángulosisóscelesbastaconindicardosdatospor-

que el tercer dato es el lado congruente.

26)

Para conversar juntos•Lasalturassecortanenunpuntointerioroexterioraltrián-

gulo. Es exterior en el caso del triángulo obtusángulo. •Eltriángulorectángulotiene3alturas,perosucedequedos

de ellas coinciden con los catetos.•Larespuestaseencuentraenunodelosrecuadrosteóricos

de la página.

27) a) Para que sea posible construir el triángulo, el lado del que se habla debe ser la base del triángulo porque es impo-sible que la medida de la altura supere a la medida de los ladoscongruentes.Laalturarespectodelabasedivideeltriángulo isósceles en dos triángulos rectángulos, donde la altura es un cateto y el lado diferente de la base, la hipote-nusa, y la medida de la hipotenusa es mayor que la medida de los catetos.

b)

Para conversar juntos•El triángulo isóscelesquedadivididoendos triángulos rec-

tángulos e isósceles.•Paraconstruiruntriángulorectánguloisóscelessenecesitala

medida de un cateto, o la medida de la hipotenusa.

28) Sontodasfalsas.

Para conversar juntos• a) Untriánguloescalenosípuedeseracutángulo. b) Untrián-gulorectángulotiene3alturas,perodosdeellascoincidencon los catetos. c) Si losángulosdel triángulomiden30°y90°,eltriángulonopuedeserisósceles.Silofuera,dosángu-losdeberíanmedir90°,locualesimposible,porqueeltercerángulomediría0°;odosángulosdeberíanmedir30°,locualtambién es imposible, porque entonces la suma de las me-didasdelosángulosinterioresdeltriángulosería150°. d) Siel triángulo es obtusángulo no puede tener un ángulo recto porquelasumadelasmedidasdelosángulossupera180°. e) Nopuede,porque11cmnoesmenorque5cmmás5cm. f) Sidosángulosdeuntriángulomiden100°y30°,esimpo-siblequeseaisósceles,porqueeltercerángulomediría50°.

29) a) 7,14,21,28. b) 25,50,75,100. c) 50,100,150,200.

6 cm

3 cm

32 Los conocedores

ciente me indica la cantidad de veces que resto 24.•Para resolver los problemas, los chicos posiblemente reali-

zarán sumas o restas sucesivas; o directamente harán una división, que es la que resulta más útil.

6) Alcumpleañosfueron29amigos.

Para conversar y responder juntos• a) Tenía 317figuritas. Si completé 12páginas deun álbumyme sobraron 17 figuritas, ¿cuántas puse en cada página?b) Completé12páginasdeunálbumponiendo25figuritasporpágina.Simesobraron17figuritas,¿cuántastenía?c) Tengo 317figuritasparapegarenunálbum.Siquieroponer25porpágina, ¿cuántas páginas podré completar? d) Tenía317figu-ritas.Sicompleté12páginasdeunálbumcon25figuritasporpágina, ¿cuántas figuritas quedaron sin pegar?

•Tengo317figuritasparapegarenunálbum.Siquieroponer25encadapágina,¿cuántaspáginaspodrécompletar?Siquie-ro dejar pegadas todas las figuritas, ¿cuántas páginas ocuparé?

Desafío10(1.270–63×20).

7) 367.000:1.000=367.

8) 738.000:1.000=738.

9) 738.000:100 : 10=738o738.000:10 : 100=738.

10) a=b=cye=f.

Para conversar y responder juntos•Una posible explicación es que las cuentas son diferentes

porque aparecen operaciones y cantidades diferentes, pero que, al descomponer los números, generamos expresiones equivalentes.

11) 3.765.Almultiplicarpor3ydividirpor3,estámultiplican-dodirectamentepor1.

12) 25.200:20×2.

13) a=e;b=fyc=d.

14) a) 12×1.Cálculomentalprevio:3:3=1. b) 12×2.Cálculomentalprevio:6:3=2. c) 2×3.Cálculomentalprevio:12:6=2. d) 12×1/2.Cálculomentalprevio:3:6=1/2.2×3.Cálculomentalprevio:12:6=2. e) 12×1.Cálculomentalprevio:6:6=1. f) 4×6.Cálculomentalprevio:12:3=4.

15) a) I. b) C. c) C. d) I. e) C. f) I. g) I. h) C.

DesafíoPorejemplo:•6.216:16×2.•(3.000–3):18×2.

Para conversar y responder juntos•LaúnicaqueestámalesladeSimona,queolvidóponerelcerodespuésdel2alhacer10:24.

•Unaexplicaciónposiblees:“Sefueaproximandopornúme-rosredondos,2×24=48yteníaquellegaral49.000.En-tonces,multiplicópor1.000.Lequedaron1.032.Delmismomodo,probócon40y,finalmente, lequedaron72yprobócon3.Luego,sumótodoslosresultadosparciales.”

16) 14.

52)

53) a) No.Paraqueseaúnicalaconstruccióndeboindicarsielángulo está comprendido entre los lados dados o es opues-to a alguno de los lados dados. b) No. Se construyeunaserie de triángulos semejantes. c) No.Deberíaindicar,porejemplo, la medida de uno de los lados.

Capítulo 4

1) a) No,porque225noesmúltiplode8. b) Podríaponer28acrílicos en cada estante pero sobraría uno.

2) Pondrá17pincelesencadafrasco.

Para conversar y responder juntos•Nohacefaltahacerladivisiónparaencontrarlarespuesta.Se

pueden tener en cuenta los criterios de divisibilidad.

3) Múltiplosde2:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100.Múltiplosde5:5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100.Múltiplosde10:10,20,30,40,50,60,70,80,90,100.

Para conversar juntos•Seexplicitaenelrecuadroteóricodelapágina.

4)

Divisible por 6 Divisible por 4 Divisible por 3 Divisible por 9

4_.54240.54243.54246.54249.542

40.54243.54246.54249.542

43.542

3.2_0

3.2103.2403.270

3.2003.2203.2403.2603.280

3.2103.2403.270

3.240

45_450456

452456

450453456459

450459

2._372.0372.3372.6372.937

2.637

Para conversar juntos•Unnúmeroesdivisiblepor3cuandolasumadesuscifrasesmúltiplode3.Unnúmeroesdivisiblepor9cuandolasumadesuscifrasesmúltiplode9.Unnúmeroesdivisiblepor4sielnúmero formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4.

5) a) Sihoyessábado,en30díasnopuedesersábadoporquedesábadoasábadopasan7días.Serásábadoen28días. b) 12veces. c) 17veces.Llegamosal3. d) Hace la última paradaenelkm3.Antesdellegaralkm0hará6paradas.

Para conversar juntos•Ambos chicos tienen razón. Sepuede restar sucesivamente24hastallegara0;odirectamentedividir360por24.Elco-

9 cm

3 cm

33Los conocedores

Para conversar juntos•Notodosdibujaronlosmismoscuadriláteros,salvoenelin-

ciso c, porque no se indicaban en cada caso todas las condi-ciones necesarias para que el cuadrilátero sea único.

22)

Para conversar juntos•Las construcciones fueron únicas porque se indicaron las

condiciones necesarias y suficientes.

23) a) F. b) F. c) v. d) F. e) v. f) F. g) v. h) v. i) F. j) F. k) v.

24) a) Trapecio isósceles.

b) Paralelogramo propiamente dicho.

Para conversar y responder juntos•Si quisiéramosuna construcciónúnicadeberíamos indicar,

en el caso del paralelogramo, la medida de los lados y el án-gulo comprendido, y, en el caso del trapecio, la medida de los lados y los ángulos de la base.

25) Dibujenunrombode4cmdeladoconunángulode60°.

26)

Número Múltiplo de…38 2124 2 y 4105 3 y 58.640 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9140 2, 4 y 53.024 2, 3, 4, 6, 8 y 9

a)

b)

c)

d)

30º4,5 cm

3 cm

3,5 cm

50º3 cm

7 cm2,

5 cm

a)

b)

c)

d)

30º4,5 cm

3 cm

3,5 cm

50º3 cm

7 cm2,

5 cm

Para conversar y responder juntos•La respuestadelneneescorrectaporqueaplicóadecuada-mentelapropiedaddistributiva:168:12=(120+48):12=120:12+48:12=10+4=14.Larespuestadelanenaesincorrectaporqueaplicómallapropiedaddistributiva:168:12=168:(6+6)=168:6+168:6=28+28=56.

Para conversar y responder juntos•La respuestadelnenees incorrecta,porque consideraestaequivalenciaincorrecta:1.484:(10+4)=1.484:10:4.

•Estasituaciónseparecealasdelasremerasenqueenamboscasos se aplica incorrectamente la propiedad distributiva.

17) a) v. b) F. c) F. d) v. e) F.

18) a) Dibujáuntrapecioisóscelesconlabasemayorde3,9cm,labasemenorde2cmylaalturade1,7cm.Dibujásusi-métricorespectodelabasemayor.Luego,uníelvérticesu-perior izquierdo del primer trapecio dibujado con el punto mediodelabasemayor.Finalmente,uníelvérticeinferiorizquierdo del segundo trapecio dibujado con el punto me-dio indicado anteriormente.b)Dibujáunrectángulode4cm×3cm.Trazásusdiago-nales y el segmento que une los puntos medios de los lados de 4 cm.c)Dibujáun rectángulode5 cm×3 cm.Enunode losladosde5cmmarcáunpuntoqueseencuentraa3,5cmdeunodelosvértices.Luego,uniloconlosvérticesdelotrolado de 5 cm.

Para conversar juntos•Paraelaborarlosmensajeshayqueconocerlasdefinicionesde

trapecio, rectángulo, rombo y triángulo. Además, hay que poder identificar sus elementos: vértices, diagonales y bases. También es necesario saber cuándo una figura es simétrica a otra.

19) Uncuadradoesunrombo,porqueladefiniciónderombodice que es un paralelogramo que tiene 4 lados iguales, y el cuadrado cumple con esas condiciones.

20)

Para conversar juntos•Lafiguraquequedadeterminadaesunromboconsusdia-

gonales. Podemos afirmar que es un rombo porque quedan dibujados8triángulosrectángulosigualesy,porlotanto,unparalelogramo con cuatro lados iguales.

21)

5 cm

4 cm

a)

b) c)

d) e)

35º

35º

5 cm

60º 60º

34 Los conocedores

44)

45)

Capítulo 5

1) Losprocedimientosutilizadossonequivalentes.

2)

3) Dolores:12/6.Mateo:8/6.Sol:11/3.

Para conversar juntos•Esprobablequetodoshayanarribadoalasmismassoluciones.

Para conversar y responder juntos•Escorrecto,porque2/3,10/15y6/9sonequivalentes.

4) a) 3/4. b) 1/2. c) 1/4. d) 3/4. e) 1/4. f) 1/2. g) 1/4. h) 1/4.i) 3/4. j) 1/2.

5)

Móviles 1 3 4 6 8 10 15 18Cantidad de cartón 1/4 3/4 1 6/4 8/4 10/4 15/4 18/4

6) Tienen que comprar 5 planchas.

7) Lesconvienehacer20móviles.

8) Pueden armar 4 móviles.

Para conversar y responder juntos•Esprobablequeparacompletarlatablasumenloscuartos,y

para determinar la cantidad de móviles determinen cuántos cuartos hay en la cantidad de cartón indicada.

•Albatienerazónporque22/4eslomismoque8/4+2/4=10/4. 9) a) 34/5. b) 81/2. c) 63/4.

10) Lediotortaa8amigos.Unmododedarsecuentaesdeter-minandocuántasvecesentran3/8enunentero:encadatorta2vecesysobran2/8.Son3tortas,entoncestengo6veces3/8ysobran6veces2/8,esdecir2veces3/8.

6,5 cm

4 cm

68º

4 cm60º

Dolores

Mateo

Sol

27) 35,porqueterminaen5.

28) c.

29) 1,2,3,6,9y18.

30) Nolesconviene,porquesiloscompranporsucuentaentotalpagarían$750.

31) a) Tienenquecontratar7micros. b) Lesconvienecontratarlacombiparallevaralgunaspersonas.Sivantodosenmi-cro,gastan400×7=2.800.Encambio,sicontratanunacombiparallevaralas7personasquesobransicontratan6micros,gastan400×6+15×7=2.505o400×6+15×12=2.580,siesquetienenquepagarporlosasientosvacíos.

32) a) Colocó40filas. b) Elpatiomide10,5m×12m(estamossuponiendo que las baldosas tienen forma cuadrada).

33) Hay muchas respuestas posibles. Por ejemplo, para las manzanas,unasposiblesofertasserían:“Lleve2kgypa-gue$11”,“Lleve5kgypague$26”y“Lleve10kgypague$50”.

34) a=c=f/b=e=h/d=g.

35) 639.900:10:3.

36) a) 14.550:50. b) 24.936:6. c) 15.993:9. d) 370.500:300.

37) Entre10y100:c.Entre100y1.000:a, d y e.Entre1.000y10.000:b.


39) a) v. b) F. c) v. d) F.

40) Sepuedendibujarinfinitosparalelogramos.Porejemplo:

41) Unrombode5cmdeladoyunángulointeriorde120°.Untrapecioisóscelesconlabasemayorde7cm,labasemenor de 4 cm y el ángulo contiguo a la base menor de 120°.Unrectángulocuyosladosconsecutivosmiden4cmy7cm.Unparalelogramocuyosladosconsecutivosmiden5cmy7cm,yelángulocomprendido,120°.

42) Siquierousarlostresdatosenlamismafigurasoloespo-sibleconstruirunparalelogramo.Deotramanera,podríaconsiderar casos particulares del paralelogramo, por ejem-plo un cuadrado de lado 5 cm o un rectángulo cuyos lados consecutivosmidan5cmy8cm.

43)

7 cm

3,5 cm

4 cm101º

2,5

cm

35Los conocedores

Para conversar y responder juntos• a) Paralelogramo propiamente dicho. b) Rombo. c) Cuadrado.

23)

CuadriláteroLas diagonales

… son perpen-diculares

… miden lo mismo

… se cortan en el punto medio

Paralelogramo XRectángulo X XRombo X XCuadrado X X XTrapecio isósceles XTrapecio rectánguloTrapecio escaleno

Para conversar juntos•Paralelogramo:triángulosacutángulos(uobtusángulos)yes-

calenos. Rectángulo: triángulos rectángulos y escalenos. Rom-bo: triángulos acutángulos (u obtusángulos) e isósceles. Cua-drado: triángulos rectángulos e isósceles. Trapecio isósceles: triángulos acutángulos u obtusángulos; y escalenos o isósceles. Trapecio rectángulo: se pueden formar los diferentes tipos de triángulos. Trapecio escaleno: se pueden formar triángulos acutángulos y obtusángulos; isósceles, equiláteros y escalenos.

•Siconsideramoslostriángulosdeterminadosporlasdosdia-gonales, por ejemplo en el caso del cuadrado, quedan cuatro triángulos congruentes isósceles y rectángulos; en el caso del rombo, cuatro triángulos congruentes rectángulos y escalenos; y en el caso del rectángulo, cuatro triángulos isósceles, dos con-gruentes y acutángulos y dos congruentes y obtusángulos.

24)

Para conversar juntos•Lasconstruccionessonúnicas,salvoenlosincisosa, c y f. En

el inciso a, para que la construcción sea única, debemos fijar un tercer dato, por ejemplo el ángulo comprendido entre los lados. En el inciso c, debemos fijar, por ejemplo, el ángulo

a) b)

c)

d)

e) f)

g) h)

7 cm

5 cm 8 cm

7 cm

5 cm

6 cm

3 cm

3 cm

4 cm

5 cm

2 cm

7 cm

6 cm

3 cm

11) En la c.

12) a) Decadatortasellevan3/4.Decadatarta,6/4.Decadamatambre, 1/2. b) Cada uno lleva menos que una torta (3/4<1)ymásqueunatarta (6/4>1).c) Dividieron28bombones, en partes iguales, entre 4.

DesafíoLamitadde13es13/2.Lamitadde1/4es1/8.Lamitadde2/4es1/4o2/8.4/5esmayorque7/10.

13) a) F. b) F. c) F. d) v. e) v. f) v.

Para conversar juntos• a)31/4. b) 31/4. c) 21/3.

Para conversar y responder juntos•Elcálculonosiempredaráexacto,comoen155:4=38,75.

14) a) 60. b) 60. c) 51. d) 40. e) 330. f) 120. g) 180. h) 204. i) 120. j) 12.

15) Porejemplo,paraAdela:1paquetede1/2kgydospaque-tesde1/8kg,yparaInés:6paquetesde1/8kg.

16) 3paquetes.

17) 6 paquetes.

18) 12paquetes.

19) Debedarle2paquetesde1/10acadaunodesusamigos. 20) Sepuedearmardediferentesmodos:•1/3+1/12+1/12.

•1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12.

Para conversar y responder juntos•Almultiplicarporunacantidadcadavezmáschica,aumenta

la cantidad de paquetes. Además, cada vez obtengo el doble de paquetes porque divido por una cantidad que representa el doble de la anterior.

21) Por ejemplo,

Para conversar juntos•Todaslasdiagonalessecortanenunpunto.Secortanenel

punto medio. En todos los casos son iguales. Cuando el rec-tánguloescuadrado,formanunángulode90°.

22) a)

b) c)

30º

3 cm

5 cm

5 cm

3 cm

4 cm

36 Los conocedores

29) 27/18=3/2.

30) 8dedulcedemembrillo,3dedulcedelechey1decrema.

31) Compró12botones.

32) había50tornillos.

33) a)

Azúcar (en kg) 1/4 1/2 3/4 1 1 1/4Cantidad de galletitas 12 24 36 48 60

b)

Chocolate en polvo (en kg) 1/4 3/4 1 1 1/2 2

Cantidad de budines 3 9 12 18 24

34) a) 4/6=2/3. b) 3/8. c) 9/12=3/4. d) 5/7.

35) a) 30. b) 30. c) 20. d) 12. e) 25. f) 15. g) 150. h) 90. i) 60.j) 48. k) 50. l) 45.

36) a) 4. b) 25. c) 9. d) 16. e) 5. f) 2. g) 3. h) 4. i) 2. j) 2. k) 2.

37) Porejemplo:•6/10+8/10.•5/10+4/10+5/10.

38) Porejemplo:•1/2+1/2+1/2.•1/2+1/2+4/8.

39) Porejemplo:•1/3+1/12+1/12.•1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12.•1/3+1/3–1/12–1/12.

40) a) v. b) F. c) v. d) F. e) v. f) v. g) v. h) v.

41) a) Noesposible,porquearmaríauncuadradoounrec-tángulo. b) Sí. c) No,porquearmaríauncuadrado. d) No,porque armaría un cuadrado o un rombo.

42) a) Sí,porqueconstruiríauntrapecioisósceles como el de la figura.b)No,porquelasumadelosángu-los interiores no puede superar los 360°.

43)

44) No,tendríaquetenerdosángulosrectosparaqueeltrape-cio sea isósceles.

45) Noesúnica,porquedependerádelamedidadeloslados.

46)

90º

60º

118º3,5 cm 3,5 cm

comprendido entre las diagonales. En el inciso f, hay que in-dicar la medida de alguno de los ángulos interiores.

25) Por ejemplo,

Para conversar juntos•Enlosdiferentesparalelogramospodemosobservarquelosángulosinterioresyopuestossoncongruentes.Otraobserva-ción posible es que si sumamos dos ángulos interiores conse-cutivos,ambossuman180°.

26)

Para conversar y responder juntos• a) Rectángulo. b) Rombo. c) Trapecio isósceles•Paralelogramo: dos lados consecutivos y un ángulo. Conside-

rando también las diagonales: dos lados consecutivos y una diagonal; un lado, una diagonal y un ángulo; un lado y las dos diagonales. Rectángulo: los lados. Considerando tam-bién las diagonales: un lado y la diagonal. Rombo: el lado y uno de los ángulos. Considerando también las diagonales: el lado y una diagonal. Cuadrado: el lado. Considerando tam-bién las diagonales: la diagonal.

27)

Cuadrilátero Tienen dos pares de lados opuestos que miden lo mismo

Tienen dos pares de lados consecutivos que miden lo mismo

Tienen cuatro lados que mi-den lo mismo

Paralelogramo XRectángulo XRombo X X XCuadrado X X XTrapecio isósceles XTrapecio rectánguloTrapecio escaleno

Para conversar juntos•Elromboyelcuadrado.

28) a) Losparalelogramosyelromboide. b) Losparalelogramos. c) El rectángulo, el cuadrado y el trapecio rectángulo.

d) El rectángulo y el cuadrado. e) El rectángulo y el cuadrado.

Para conversar juntos•Elromboidetieneunpardeángulosquemidenlomismoy

las diagonales son perpendiculares.

a) b)

c)

3 cm

2 cm

35º

2 cm

2 cm

40º4 cm

2 cm

37Los conocedores

8) a) 1/4=2/8,3/12,4/16. b) 2/4=1/2,3/6,4/8. c) 1/2=2/4,3/6,4/8. d) 6/4=3/2,9/6,12/8. e) 24/8=12/4,6/2,3.

9) Los dos chicos tienen razón, ya que en ambos casos seobtiene como resultado una fracción equivalente. Ambas operaciones son inversas.

10) a) Faltapintar3/8depared. b) quedandisponibles3/12osuequivalente,1/4depared. c) quedó1/10dehelado.

11) En general, los chicos para encontrar la respuesta utiliza-rán procedimientos similares a los presentados en el texto.

12) a) 8/10=4/5. b) 10/9. c) 11/6. d) 15/12=5/4. e) 1/6. f) 1/8. g) 1/10. h) 5/12.

13) a) Comieron9/4o21/4depizzaysobraron3/4. b) Juan tiene$420y lefaltan$140. c) Ledará1/4 ldejugodenaranja a cada sobrino. d) Pesarían24/10kg.

14) a) 6. b) 16. c) 4. d) 94. e) 250. f) 144.

15) a) 3/2. b) 16/9. c) 8/3. d) 5/6.

16) a) 1/10. b) 1/12. c) 2/10=1/5. d) 4/12=2/6=1/3.

Para conversar juntos•Aldividirpor2unafracción,elresultadolopuedoobtener

multiplicando por 2 el denominador.

17) Puedeusarlafichade0,002hm(0,002hmesequivalentea2dm)olade0,35dm(0,35dmesequivalentea3,5cm).

Para conversar juntos•Porejemplo,200mm/cualquierotracantidad.

18) a) Aproximadamente60cm. b) Aproximadamente180cm. c) Por ejemplo, un pie. d) Por ejemplo, el alto de la puerta.

19) Lasmedidasqueseindicansonaproximadasporquedepen-derádequiénlastome.Lasestimacionesseránpersonales.•Ellargodemimano:15cm.•Elanchodemimano:8cm.•Ladistanciaentremicasaylaescuela:800m.•Ellargodeunauto:2m.•Ladistanciaentreeltechodemiaulayelsuelo:3m.

20) a) 11mm. b) 23mm. c) 46 mm.

21) a) 1cmy2mm. b) 2 cm y 5 mm. c) 4cmy1mm.

22) a) 2 kg aproximadamente. b) 5 kg aproximadamente.c) Por ejemplo, un tomo de una enciclopedia. d) Por ejem-plo, una lámpara.

23) Lasmedidasqueseindicansonaproximadas,porquedepen-derádequiénlastome.Lasestimacionesseránpersonales.

•Unacartucheraconlápices:400g.•Uncuaderno:300g. •Unanaranja:200g.•Tresnaranjas:600g.•Unlibro:500g.

24) a) 0,003kg. b) 0,013kg. c) 0,00237kg. d) 0,125kg. e) 1,145kg. f) 5,8kg.

25) a) 7g. b) 23g. c) 4.025g. d) 345g. e) 7.008g. f) 3.129g.

26) a) Por ejemplo, 250ml. b) Por ejemplo, 12.000.000ml.c) Por ejemplo, la pileta del lavadero.

Capítulo 6

1)

Para conversar y responder juntos•Unaposible estrategiaes considerar las fraccionesque tie-nendenominador3,dividirlasunidadesen3partesigualesyubicarlas.Luego,considerarlasdedenominador6,dividirlosterciosendospartesigualesyubicarlas.Finalmente,ubicar3/2dividiendolasunidadesendospartesiguales.

•Dosfraccionesqueestánubicadasenelmismopuntodelarecta son equivalentes.

2) Sonmenoresqueunentero:1/3,1/2,2/3,1/4,3/8,2/6y3/5.

3) Sonmayoresqueunentero:4/3,3/2,7/3,5/2,9/5y7/4.

4) a)

b)

Para conversar juntos•Unaformaposible,enelincisoa,esubicar1/3,luegocono-ciendolamedidade1/3ubicar4/3.Finalmenteubicar5/2,determinando cuántos enteros y cuántos medios hay. En el inciso b, la forma es ubicar la unidad y luego las fracciones demodosimilaracomosehizoenlaactividad1.

•Todosubicarán1/8enelmismolugarporqueeslamitadde1/4.

Desafío •12cm.•16cm,seríamaslarga.

5) a) Arielusómayorcantidaddetémpera.Sirepresentamoslas dos fracciones en la recta numérica, podremos observar que3/4estámáscercadelaunidadque3/5.Estonosindi-ca que Ariel ha usado mayor cantidad de témpera.

b) Celeste tiene el álbum más completo. En la recta numérica:

Para conversar y responder juntos•Cualquieradelasestrategiasplanteadasesválida.•Sidosfraccionesrepresentanlamismapartedelenterosonequivalentes.Unamanerafácildecomprenderloesatravésde la recta numérica.

6) a) 2/3. b) 3/4. c) 4/5.

7)

0 1/32/6

2/3 1 3/29/6

5/3 2

0 1/3 4/31 2 5/2

0 1/41/8 1/2 1 5/4

0 3/5 3/4 1

0 6/103/8 1

0 1 2 324/8

1/42/8

2/44/81/2

6/4

38 Los conocedores

6) a) 5. b) 40. c) 67. d) 11. e) 68. f) 124.

7) En los casos d y erecibirá$0,05devuelto.

8) $2,05y205/100.

9) a) Todas,salvo0,050. b) 0,25y25/100. c) 75/10y7,5.

10) a) 6/10+4/100. b) 2/10+6/100+7/1.000. c) 1+3/10+5/100.

11) •0,5=1/2=5/10=ceroenteros,cincodécimos.•0,125=1/8=125/1.000=ceroenteros,cientoveinticincomilésimos.•0,25=1/4=25/100=ceroenteros,veinticincocentésimos.

12) Entotalsegastaría$44,09.

13) Gastaríanentotal$21,98.

Para conversar juntos•Posiblemente,algunosresolveránapartirdelasuma,otrosusandolamultiplicaciónyotrosaproximandoa$11.

14) a) Anacompró1kgdelecheenpolvoyunbudín.¿Cuántogastó? b) Ernestinacompró1kgdearrozy1detergente.Sipagócon$20,¿cuántoledierondevuelto?

15) Tienequegastar$5,97.

16) Cuestan$5,96.

17) Ledaríandevuelto$24,23(50–3×8,59).

18) No lealcanzaráeldineroporquedebería gastar$27,23(13,70+2×1,27+10,99).

19) Cuestamás1kgdequesocremoso.Ladiferenciaesde$9.

Desafío

Porción de fugazzeta rellena: $ 1,80

Porción de muzzarella: $ 1,20

Porción de fainá:$ 0,60

2 2 01 0 71 1 51 2 31 3 12 1 22 0 40 0 100 1 80 2 60 3 40 4 20 5 03 0 1

20) LacuentadeIgnacioestáresueltacorrectamente.Lacuen-ta de Micaela no, porque sumó mal las cifras decimales: sumó como si fueran enteros y no fracciones del entero.

Para conversar y responder juntos•Unaposibilidadesjustificarlodelasiguientemanera:

235,495 = 235 enteros + 4 décimos + 9 centésimos + 5 milésimos

+ 61,328 = 61 enteros + 3 décimos + 2 centésimos + 8 milésimos

296 enteros + 7 décimos + 11 centésimos + 13 milésimos

27) •5ml:unacuchara.•25ml:unatazadecafé.•125ml:un frasco de perfume. • 250 ml: una jarra para café.

•1l:uncartóndeleche.•2lunaollagrandeparacocinar.•5l:unaregaderadejardín.•10l:nadadelopresentado.•100l:untanquedeaguadeunacasa.

28) Equivalea0,001l.

29) a) 3.000ml. b) 3.400ml. c) 2.347.000ml.

30) a) 0,003l. b) 0,0025l. c) 0,00401l.

31) a) 2.348,342l. b) 2.349,347l. c) 2.348,854l.

32) a) 4/12. b) 3/12. c) 2/8. d) 4/6. e) 1/3. f) 2/3. g) 1/2. h) 2/4.

33) a) Son equivalentes. b) No son equivalentes. c) No sonequivalentes. d) Son equivalentes. e) Son equivalentes.f) Nosonequivalentes. g) Sonequivalentes.

34) a) >. b) =. c) <. d) <. e) >. f) >.

35) a) 10/14 = 5/7. b) 14/12 = 7/6. c) 8/18 = 4/9. d) 9/10.e) 3/12=1/4. f) 5/10=1/2. g) 19/40.

36) quedó1/10detarta.

37) vilmarecorrióentotal5/4depista.Porlotanto,podemosdecirquerecorriólapistaunavezy1/4más.

38) Noesposiblellenarunabotellade2l,yaquelasumada29/20l,esdecirquefaltaría11/20paracompletarlos2l.

39) Completaronmásdelamitadylesfalta7/20paraterminar.

40) a) 4/3. b) 12/7. c) 14/3. d) 15/4. e) 20/5=4. f) 24/8=3.g) 18/4=9/2. h) 15/6=5/2.

41) Tendrán9/4mosuequivalente21/4m.

42) Recorreencolectivo3km.

43) a) 100cmequivalena1m. b) 1.000mequivalena1km. c) 10kgequivalena10.000g. d) 1kgequivalea1.000g.

44) a) 30cm. b) 470cm. c) 2 cm. d) 314cm. e) 1.275cm.

45) a) 5 m. b) 80m. c) 4.170m. d) 7.468m.

Capítulo 7

1) 10,4,2,20y10respectivamente.

2) a) $0,20. b) $0,50. c) $0,25.

3) a) 1/2. b) 1/10.

4) a) 58. b) 22. c) 41. d) 9.

Para conversar juntos•Unarespuestaposible,porejemplo,escalcular lacantidad

de monedas por cada peso.

5) 1/10,1/100y1/1.000,respectivamente.

39Los conocedores

•Lamedidadelrestodelosángulosinteriores–losnocolorea-dos– también se podría determinar. Cada cuadrilátero, al ser dividido por la diagonal, queda descompuesto en dos trián-gulos congruentes, entonces también serán congruentes las medidas de los ángulos simétricos.

30) a) 22°55'49". b) 56°43'6". c) 14°4'13". d) 43°17'51".

31) a) 35°30'. b) 48°2'23".

32) a) 44°. b) 32°38'.

33) a) F. b) v. c) v.

34) a) 85. b) 452. c) 3. d) 3. e) 27.

35) $2,45($1,20+$1+$0,25).

36) a) Unenteroynoventaynuevecentésimos. b) Ochocientosdoce milésimos. c) Treinta y seis enteros y setenta y cinco centésimos. d) Dosenterosyochentaycuatromilésimos.

37) a) 2/20 = 3/30 = 10/100. b) 8/20 = 12/30 = 40/100.c) 3=300/100=3.000/1.000. d) 10/1.000=100/10.000=2/200. e) 14/200=21/300=28/400. f) 17/20=170/200=850/1.000. g) 45/20=9/4=2.250/1.000.

38) a) 0,95-0,950-95/100. b) 0,74-0,740-74/100.

39) a) 7/10+3/100. b) 81/10+5/100y80/10+15/100. c) 2+6/10+9/100+4/1.000y26/10+9/100+4/1.000.

40) a) 8/10+7/100. b) 1+99/100. c) 56/10+12/1.000.

41) Sergiopesa85kg.

42) Gastanentotal$38,75.

43) a) 127,58. b) 772,31. c) 104,05. d) 1.300,659.

44) a) 02:45. b) 10:50. c) 21:10. d) 24:20.

45) Saledelaescuelaalas13:15.

46) El vuelo duró 2 horas y 25 minutos.

47) Durmió7horasy45minutos.10:35p.m.y6:20a.m.

48) a) 6.334. b) 86.102. c) 106.463.

49) 00:05-8:30a.m.-15:35-7:05p.m.-22:40.

50) a) 960minutos. b) 1.105minutos. c) 1.080segundos. d) 64.800segundos.

Capítulo 8

1)

2) Conazul:0,99-0,01-0,001-0,2.Conrojo:1,34-1,333-1,08.Converde:2,17-2,058.

0 1 2 30,25 0,5 1,5 2,4

Como10milésimosforman1centésimo:13milésimos=10milésimos+3milésimos=1centésimo+3milésimos.Entonces, 296enteros+7décimos+11centésimos+13milésimos=296enteros+7décimos+12centésimos+3milésimos.Como10centésimosforman1décimo,12centésimos=10centésimos+2centésimos.Entonces,296enteros+7décimos+12centésimos+3milésimos=296enteros+8décimos+2centésimos+3milésimos=296,823.

21) a) I, porque se suma incorrectamente la parte decimal(como si fueran números enteros y no fracciones del en-tero). b) C. c) I, por lamisma razónquea. d) I, porquese suma incorrectamente la parte entera (se olvida sumar unadecena:“el1quesellevó”)ylapartedecimal(seubicaincorrectamenteladecenade17).

Para conversar y responder juntos•ElprocedimientodeMartinaescorrecto.Alagregaruncero,

pensó en la siguiente equivalencia: 4 décimos es lo mismo que 40centésimos.Sepodríajustificardelasiguientemanera:27,4=27enteros+4décimos=27enteros+3décimos+10centésimosy3,25=3enteros+2décimos+5centésimosSirestamos,quedaría:24enteros+1décimo+5centésimos=24,15.

22) 2horasy20minutosentrelosdosprimeroscomienzos,yluego 2 horas y 25 minutos en el resto de los casos.

23) 14:33-16:38-18:53-21:03-23:18.

24) Puedeverlaalas19:25.Debeesperar1horay40minutos.

Para conversar y responder juntos•Unaposibilidadestransformarlasdiferentesmedidasenmi-

nutos y calcular las diferencias o sumas, y luego transformar las cantidades encontradas en horas y minutos.

25) a) 1horay27minutos. b) 2horasy37minutos.

26) a) 9horasy25minutos. b) 10horasy43minutos. c) 11horas. d) 13horasy48minutos.

Para conversar juntos•Comonopuedorestar45minutosa25minutos,podemos

hacer lo siguiente: 9 h 85' 10 h 25' 30"

– 9 h 45' 15"

0 h 40' 15"

27) a) 0:02a.m. b) 2:00a.m. c) 8:00p.m. d) 11:58p.m.

28) a) 02:30. b) 15:15. c) 07:40. d) 18:45.

29) a) 64°30'. b) 27°30'. c) 78°30'. d) 34°.

Para conversar y responder juntos•Enlosincisosa y c,comolosángulossonrectángulos,a90°

se le resta el ángulo indicado. En el b, como es un rombo, cada uno de los triángulos que lo componen es isósceles, en-toncessepuedehacer:180°–23°=157°yluego157°:2=78°30'.Eneld,hacemos:180°–35°30'–110°30'=34°.

40 Los conocedores

12) a)11. b)10. c) 26. d)7. e) 5.

13) a) 0,05. b)0,2. c)0,02. d)0,8. e)0,05. f)0,7. g)0,01. h)0,1. i)0,2. j)0,001. k)0,4. l)0,05.

14) a)

En la calculadora, primero anotó:

Luego, hizo este cálculo:

Y en el visor apareció:

31,295 – 0,005 31,2931,295 – 0,09 31,20531,295 – 0,2 31,095278,436 – 1 277,436278,436 – 0,036 278,4278,436 – 0,43 278,006278,436 – 0,006 278,43

b)




361,255 + 0,1 361,355361,255 + 0,01 361,265361,255 + 0,001 361,25664,7 + 0,8 64,7864,7 + 0,089 64,78964,089 + 0,7 64,78964,089 + 1,7 65,789

15) 17,33.

16) 25,90.

Desafío0,509.

17) a) 5. b) 4. c) 4. d) 5. e)37. f)37. g)38. h)38. i)115. j)114.k)114. l)115.

18) a)Mayorque10:3,16+7,09y5,63+4,70. Menorque10:2,88+7,1,13,75–3,9y24,36–14,99. b) Mayorque20:12,45+11,3y10,88+9,99. Menorque20:9,15+8,77,35,06–15,78y23,04–12,87.

Para conversar y responder juntos•Seobservalacifradelosdécimos:siesmayoroigualque5sesuma1alaparteentera,siesmenorque5laparteenterano se modifica.

•Paracompletarlastablasdelaactividad18,enelcasodelassumas, primero se puede sumar la parte entera y luego la partedecimal,perorealizandounaaproximación.Otrapo-sibilidad es redondear al entero cada uno de los números y luego sumarlos. En el caso de la resta, se procede del mismo modo: se aproxima al entero y luego se realiza la resta.

19) Porejemplo:•1=0,5+0,5=0,72+0,28=0,99+0,01.•0,1=0,022+0,078=0,04+0,06=0,001+0,099.•0,01=0,0055+0,0045=0,001+0,009=0,003+0,007.

20) a)6,34.b)7,1. c)3,85. d)6,9.

21) a)9,22.b)16. c)7,42.d)14,2.

Para conversar y responder juntos•Enelcasodesumar0,1,simplementesumamos1aldécimodecadaunodelosnúmeros.Lomismosucedecuandone-cesitamos restar.Perosi tengoquerestar0,1aunnúmero

Para conversar y responder juntos•Unaposibleestrategiaesubicar0,5yluego0,25porque0,5eslamitadde1y0,25lamitadde0,5.

Para conversar y responder juntos•Ambostienenrazón,entredosnúmerosrealeshayinfinitos

números reales. El conjunto de los números reales es denso. Entre1,2y1,3,porejemplo,puedoconsideraraquellosnú-meros que representan centésimos.

3)

4)

5)

Para conversar y responder juntos•Paraelpunto3seguramentesetuvoencuentaque2,15re-presentaelpuntomedioentre2,1y2,2.Lomismosucedecon 2,65. En el punto 4, posiblemente se dividió en 5 partes igualeselsegmentoqueseencuentraentre3,4y3,45.Enel5,comoladistanciaentre6,1y6,2es0,1, seguramenteseubicóel6aunadistanciade1/10deunidadrespectode6,1yal7aunadistanciade7/10deunidadrespectodel6,3.

•Elintervaloentre3,4y3,5sedivideen10partesiguales.•Entre un número decimal y otro de la recta numérica es posi-

ble ubicar infinitos números decimales.

Para conversar y responder juntos•Todas las afirmaciones son correctas, salvo la primera.

6) Elnúmeroqueestámáscercadel8es7,99.

Para conversar y responder juntos•Unaposibilidadesdeterminarelvalorabsolutodeladiferen-ciaentre8ycadaunodelosnúmeros.

7) Elmenor es 4,04 y elmayor, 4,44.Unaposibilidadparadarse cuenta es observar la cantidad de décimos, centési-mos y milésimos que tienen los números.

8) Por ejemplo: a)5,3-5,46-5,6.b)5,72-5,74-5,79.c)5,714-5,716-5,718.d)5,7114-5,7117-5,7119.

9) 7,88<7,9<8,077<8,09<8,155<8,69<8,7.

Para conversar y responder juntos•Para ordenar un grupo de decimales hay que tener en cuenta

primero la parte entera, luego la decimal y en esta, primero los décimos, después los centésimos, etc.

•Nohayunnúmerosiguienteaotronúmerodecimalporquesiempre se puede encontrar otro número decimal entre dos decimales.

10) 5<5,3<5,46<5,6<5,7<5,71<5,711<5,7114<5,7117<5,7119<5,712<5,714<5,716<5,718<5,72<5,74<5,79<5,8<6.

11) Undécimo:0,1.Uncentésimo:0,01.

2 2,1 2,2

2,15 2,65

2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

3,4 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,5

6 6,1 6,2 6,3 7

41Los conocedores

Para conversar juntos•En algunos casos no todos construyen lamisma figura. Por

ejemplo, se puede armar un cuadrado con dos piezas utilizan-do los dos triángulos pequeños o utilizando los dos triángulos grandes. En este caso el área variará. Hay casos en los que se mantendrá el valor del área, pero variará la forma; por ejem-plo, utilizando el paralelogramo y los dos triángulos pequeños podemos construir un triángulo o un paralelogramo.

30) Todaslasfigurasocupanlamismasuperficie(8cm2), aun-quevaríelaforma.Elperímetrodeltriánguloes9,6cm;eldelcuadrado,8cm;yeldelparalelogramo,9,6cm.

Para conversar y responder juntos•Aunqueeláreasemantengaconstante,nonecesariamente

sucede lo mismo con el perímetro.

31) a) Azules:8.violetas:8.verdes:16.Rojas:8.Amarillas:4. b) Azul:1/8.violeta:1/8.verde:1/16.Roja:1/8.Amarilla:1/4.

32)

33)

34)

35) a) 0,33-0,7-0.98. b) 2,1-2,5-2,81. c) 0,84-0,86-0,88.d) 0,251-0,253-0,259. e) 0,1113-0,1117-0,1118.

36) Elnúmeroqueestámáscercadel5esel5,07.

37) Elmenores2,002yelmayor,2,222.Medoycuentacompa-rando la cantidad de décimos, centésimos y milésimos.

38) 1,389<1,4<1,532<1,55<1,6.

39) a) Tiene varias opciones. Por ejemplo, tres porciones de papasfritasa$34,50;tresdeensaladarusaa$29,97;unadecanelonesdeespinacaydosdeensaladarusaa$34,78;una porción de ravioles con tuco y dos porciones de ensa-ladarusaa$34,68,etc.b)Gastó$51,70yledieron$8,30de vuelto.

40) a) 8,47. b) 8,67. c) 71,15. d) 72,95. e) 16,2. f) 18.

41) a) Medida:16 cm. b) Medida:14 cm. c) Medida:18 cm.Lasestimacionessonpersonales.

42) a) cm. b) m o cm. c) m. d) m o cm. e) hm, dam o m. f) hm, dam o m.

43)

0 0,1 0,6 0,7

0,75

1

8 8,1 8,2 8,4 8,6 8,7 8,8

4 4,2 4,3 4,4 5

P = 10 cm

P = 12 cm P = 12 cm P = 12 cm

P = 12 cm

P = 12 cm

entero,desarmamoselentero,porejemplo:4–0,1=3,9+0,1–0,1.Enelcasodesumarorestar0,9,podemosresolvercomo explicitamos a continuación.

•El procedimiento que utiliza el niño es correcto, porque en definitivahacelosiguiente:23,65+0,9=23,65+1–0,1.

•Porejemplo,parahacer8,32–0,9podemoshacer: 8,32–0,9=8,32–(1–0,1)=8,32–1+0,1.

22) a)12cm.b)12cm.c) 6 cm. d)12cm.e)8cm.f)7cm.

Para conversar juntos•a) Triángulo rectángulo y escaleno. b) Rectángulo. c) Rombo.

d) Hexágono regular. e) Cuadrado. f) Triángulo acutángulo e isósceles.

•En todos los casos podemos directamente sumar todos los lados, pero en función de determinadas características de las figuras podemos simplificar los procedimientos así:a)P=4cm+5cm+3cm. b)P=2×2cm+2×4cm.c) P = 4 × 1,5 cm. d) P = 6 × 2 cm. e) P = 4 × 2 cm.f)P=2cm+2×2,5cm.

23) a)P=4(cantidaddelados)×longituddellado.b)P=3(cantidaddelados)×longituddellado.c)P=2(cantidaddeladosiguales)×longituddellado+longitud del lado restante.d)P=2(unpardeladosparalelos)×longituddellado+2(elotropardeladosparalelos)×longituddellado.e)P=2(pardeladosiguales)×longituddellado+longi-tuddelabasemenor+longituddelabasemayor.

24) a)P=400m.b)P=440m.c)P=472m.

25) Sus lados pueden medir, considerando solo cantidadesenteras:1cm,1cm,15cmy15cm-2cm,2cm,14cmy14cm-3cm,3cm,13cmy13cm-4cm,4cm,12cmy12cm-5cm,5cm,11cmy11cm-6cm,6cm,10cmy10cm-7cm,7cm,9cmy9cm-8cm,8cm,8cmy8cm.Siconsideramosnosolomedidasenteras, lacantidaddesolucionesesinfinita.Siunodelosladosmide10cm,elrestodelosladosmedirá10cm,6cmy6cm.

26) 11,25cm.

27)


Para conversar juntos•Todas ocupan la misma superficie, aunque no tienen la mis-

ma forma, porque para todas utilizamos las mismas figuras.

29)

Cantidad de piezas Triángulo Cuadrado Rectángulo Romboide Trapecio

2 Sí Sí No No Sí3 Sí Sí Sí No Sí4 Sí Sí Sí No Sí5 Sí Sí Sí No Sí6 No No No No Sí

42 Los conocedores

11)Cantidad de jugo Cantidad de vasos

1/4 litro 11 litro 4

1 1/2 litro 62 litros 8

2 1/2 litros 104 litros 16

Para conversar juntos•Todas las situaciones anteriores son de proporcionalidad

directa, salvo la primera, porque aunque ambas cantidades aumentan no lo hacen proporcionalmente.

12) a) En la semana 4. b) Enlasemana1. c) Semana1:2.000espectadores. Semana 2: 2.750 espectadores. Semana3: 2.500 espectadores. Semana 4: 3.750 espectadores.d) 1.750. e) 11.000.

13) a) 150. b) El jugo. c) Labarritadecereales. d) Bebidas.

14) Producción grupal.

15) a) 0,75. b) 0,36. c) 0,50. d) 0,992. e) 0,25. f) 0,975.

16) a) 0,25. b) 5,125. c) 4,50. d) 8,005. e) 3,05. f) 1,75.

17) a) 4,75. b) 2,75. c) 4,50. d) 1,25. e) 3,50. f) 0,75.

18) a) 1,25. b) 4,25. c) 2,50. d) 0,75. e) 3,50. f) 5,75.

Para conversar juntos•Algunasposiblesestrategiasson:•Enlaactividad15,puedopensarcuántodebosumarlealnú-meroparaobtener1(observolapartedecimal).

•Enlaactividad16,puedorestar1(observolaparteentera).•Enlaactividad17,puedopensarcuántodebosumarlealnú-

mero para obtener 5 (primero “completo” la parte decimal hasta el entero más próximo y luego veo cuántos enteros faltan).

•Enlaactividad18,puedorestar5(observolaparteentera).

19) a) 10. b) 5,75.

Para conversar y responder juntos•Pararesolverelprimercálculosepuedeobservarprimerola

parte decimal y luego sumar todos los enteros. En el segundo cálculo,podemosrestarprimerolaparteentera:9–3=6,yluegoa6sacarle0,25(descomponiendoel6ensumandosdetalformaqueunodeellosseael0,25:5+0,75+025–0,25=5,75).Una formadeagrupar los sumandosenelprimercálculoes:2,75+2,25y3,5+1,5.

Para conversar y responder juntos•Ambasestrategiassonválidas.Separecenenquetienenen

cuenta la parte decimal de los números, pero se diferencian en que en un caso desarman y reagrupan y en el otro conmu-tan y reagrupan inicialmente para realizar el cálculo.

•Pararesolver9–3,25podemoshacer: 9–3–0,25o9,00–0,25=8+1–0,25.

20) a) 16. b) 9. c) 10. d) 15,5.

21) 7,62.

44) Porejemplo,lasdosprimerasfigurasdelaactividad43.

45) Por ejemplo:

Capítulo 9

1) a) 3,05m. b) 4,599m. c) 20cm. d) 21cm. e) 21,5cm.

2) Lasmedidasestánexpresadascomofraccionesdelmetro. a) 7/100. b) 247/100. c) 991/1.000. d) 9/1.000.

e) 1.325/1.000. f) 1=10/10=100/100.

3) a) 0,768. b) 9,262. c) 52,075.

4) a) 0,235=2/10+3/100+5/1.000. b) 39/100=3/10+9/100. c) 7,045=7+4/100+5/1.000.

5)

¿Cuánto es…? Fracción decimal Escritura equivalente como expresión decimal

1/10 de 1/10 1/100 0,011/10 de 1/100 1/1.000 0,0011/10 de 1/1.000 1/10.000 0,00011/10 de 8/100 8/1.000 0,0081/10 de 30/1.000 30/10.000 0,003

Para conversar y responder juntos•Otraformadepensarloescomounamultiplicación.

6) 3/7=0,428571,queesdistintode3,7=37/10.

7) Porejemplo,siconsideramos2,35escribimos235enelnu-merador y la unidad seguida de tantos ceros como lugares despuésdelacomahayeneldenominador.Si,encambio,tenemoslafraccióndecimal,porejemplo48/1.000,sabe-mosquetendremos3lugaresdespuésdelacoma(tengo3cerosluegodelaunidad)yentoncesantesdel48ydespuésdelacomahayqueubicaruncero:0,048.

8)

Alfajores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …Precio ($) 12 24 24 36 48 48 60 72 72 …

Por28cajashabráquepagar$228.

9) Compró15llaverosdelmismoprecio.

10) Cantidad de litros de jugo Cantidad de litros de jugo concentrado

1 1/42 1/25 1 1/4

10 2 1/215 3 3/430 7 1/2

P = 10 cm

P = 12 cm P = 12 cm P = 12 cm

P = 12 cm

P = 12 cm

43Los conocedores

9/100. f) 2/10+3/100.

36) a) 1,75. b) 1,50. c) 1,25. d) 0,75. e) 0,50. f) 0,25.

37) a) 0,25. b) 0,50. c) 5,50. d) 2,25. e) 0,75. f) 3,75.

38) a) 12. b) 20. c) 15. d) 11.

39) a) 9y10. b) 11y12. c) 4 y 5. d) 14y15.

40) Sondeproporcionalidaddirecta las relaciones:alfajores-precio y cajas-bombones, porque las cantidades aumentan de manera proporcional.

41) Deberíanhaberpagado$600.

42) Puedo comprar 6 paquetes.

43) a) 50. b) Latelevisión. c) El juego. d) 12. e) 8. f) 3.



46) a) Faltaronmásloschicos(10)quelaschicas(6). b) Lunes,martes y miércoles faltaron más chicos que chicas y el vier-nes faltaron más chicas que chicos. c) El jueves. d) Lunes:14; martes:17;miércoles:17;jueves:20yviernes:15.

47) Asistencia de los chicos:

Asistencia de las chicas:

48) Eláreadelasdosfigurasesde8cm2.

49)Largo Ancho Área Perímetro7 cm 6 cm 42 cm2 26 cm5 cm 4 cm 20 cm2 18 cm5 cm 8 cm 40 cm2 26 cm

10 cm 10 cm 100 cm2 40 cm

Ficha 11) Elmenornúmeroposiblees102.578yelmayor,875.210.

2) a)Elmenornúmeroposiblees30.269yelmayor,39.620. b)Elmenornúmeroposiblees60.239yelmayor,69.320.

3) 875.210>102.578>69.320>60.239>39.620>30.269.

24681012

Lune

s

Mar

tes

Miér

coles

Juev

es

Viern

es

0

24681012

0

Lune

s

Mar

tes

Miér

coles

Juev

es

Viern

es

Para conversar juntos•Esposiblequelohayapensadodelasiguientemanera:2,54×3=(2+0,5+0,04)×3=(2+5/10+4/100)×3=2×3+5/10×3+4/100×3=6+15/10+12/100=6+10/10+5/10+1/10+2/100=7+6/10+2/100=7,62.

22) 7ramoscuestan$45,50.

23) 9mazoscuestan$78,75.

24) Usó4metrosdecinta.

25) a) 343,76. b) 65,709. c) 91,112. d) 67,64.

Para conversar juntos•Siemprehaylamismacantidaddecifrasdecimalesenelre-

sultado y en el número decimal que multiplicamos. Esa es la regularidad.

26) 19kgdecerezascuestan$256,50.

27) 23litroscuestan$741,75.

28) a) 9. b) 16. c) 8.

Para conversar juntos•Paraencontrarlamedidadeterminamoscuántasvecescabe

la unidad en la figura a medir.

29) a) 4. b) 3. c) 2.

Para conversar juntos•Sí.Lajustificaciónsepresentaenelrecuadroteórico.

30) a) 8cuadraditos. b) 16cuadraditos.

31) a) 4 cm2. b) Aproximadamente10cm2. c) 10cm2. d) Aproxi-madamente 5 cm2. e) 6 cm2.

Para conversar juntos•Una conclusión es que, para obtener lasmedidas, cuandoconsideramos1cm2, podemos tener en cuenta directamente lasmedidasdeloselementosdelasfiguras.Siqueremosen-contrareláreadeuncuadrado,podemoshacerl×l.

32) a) P=16cm.A=12cm2. b) P=14cm.A=12cm2.

Para conversar juntos•Comoelrectángulopuededescomponerse,apartirdeuna

de las dos diagonales, en dos triángulos congruentes, para hallar el área del triángulo podemos hacer el producto de los lados y dividir por 2.

33) a) 22 m2. b) 550baldosas. c) 22 m. d) $ 552 (porque debería comprar46cajasde12baldosas).

DesafíoSepuedendibujarestasfiguras:Unrectángulodelados1,5cmy6cm.Untriángulodebase6cmyaltura3cm.Unparalelo-gramoconunladode3cm,alturade3cmyunodelosángu-losde45°.Unrectángulodelados1cmy9cm.

34) a) 0,849. b) 5,315. c) 43,17. d) 39,015.

35) a) 5/10+4/100. b) 8/10+9/100+2/1.000. c) 2/10+1/100+6/1.000. d) 1+2/10+3/100+5/1.000. e) 3+7/10+

44 Los conocedores

Ficha 81)

Número A las decenas A lascentenas

A las unida-des de mil

A las decenas de mil

601.239 601.240 601.200 601.000 600.000283.861 283.860 283.900 284.000 280.000359.928 359.930 359.900 360.000 360.000

2) a)Esposible.2.900+4.100+5.000=12.000.b)Noesposible.9.100+8.000+2.800=19.900.c)Esposible.1.900+11.200+3.100=16.200.

Ficha 91) b, d y e) Sepuedenconstruir,yaquesiemprequesesuman

dos lados el resultado es mayor que la medida del tercero. a)Nosepuedeconstruir,yaquelasumadelosladosquemiden3cmy4cmnoesmayorqueeltercerlado(8cm). c)Nosepuedeconstruir,yaquelasumadelosladosquemiden2cmy4cmnoesmayorqueeltercerlado(7cm). f)Nosepuedeconstruir,yaquelasumadelosladosquemiden3cmy5cmnoesmayorqueeltercerlado(11cm).

2)

Ficha 101) a, b y d)Sepuedenconstruir,yaquelasumadelasmedidas

delosángulosesiguala180°. c)Nosepuedeconstruir,yaquelasumadelasmedidasdelosángulosesiguala240°. e)Nosepuedeconstruir,yaquelasumadelasmedidasdelosángulosesiguala285°. f)Nosepuedeconstruir,yaquelasumadelasmedidasdelosángulosesiguala130°.

2)

Ficha 111)

b) d) e)

2 cm 3 cm

3 cm

3 cm 4

cm

4 cm3 cm

3 cm

1 cm

a) b)

d)45º

75º

15º

55º

20º105º

45º

a) d)

b)

c)

f)

e)

Ficha 21) a)

b)

2)

3)

Ficha 31) Pagó$50.Nogastarontodoeldinero,lesobraron$10.

a) 548, 27 y 10. b) veinticinco compañeros. c) Para res-ponder la pregunta hay que multiplicar 25 (cantidad de compañeros)por2(valordecadapincel).Luego,unavezsumadaslascantidadesdedinerodisponibles($60),hayquerestarles$50.d)veinticincocompañeros.

Ficha 41)

1.000 10.000 100.000 1.000.0002.456 X 102.456

39.899 X 40.89992.500 X 102.500

190.888 X 200.888579.610 X 580.610

3.745 X 1.003.745

2) 1.000 10.000 100.000 1.000.000

70.700 X 69.700150.304 X 149.304805.789 X 705.789

1.630.450 X 630.450109.300 X 99.300200.420 X 190.420

3) Por ejemplo: a) 3.498+1.000=4.498. b) 99.623+10.000=109.623. c) 897.000+100.000=997.000. d) 65.179 +1.000.000=1.065.179. e) 100.458–1.000=99.458. f) 12.982 – 10.000=2.982. g) 1.000.892 – 100.000=900.892. h) 1.005.614–1.000.000=5.614.

Ficha 51) a)42.580(suma). b)44.127(resta). c)5.970(resta). d)4.850

(suma).

2) a)6.600. b)6.200. c)73.000. d)45.000. e)4.400. f)5.100.g)60.000. h)37.000.

Ficha 6Producción personal.

Ficha 71) a) Egipcio. b) Egipcio. c)Indio. d) Egipcio. e)Indio. f)Indio.

g)Indio. h)Indio. i) Egipcio. j)Indio. k) Egipcio. l) Egipcio.

0 50 100 200 300 350 400

25.000 50.000 150.000 200.000100.000

450.000425.000320.000 380.000 475.000

300.000 500.000400.000

0 400300200

45Los conocedores

Ficha 161)

Ficha 171)

d)Noesposiblelaconstrucción.

Ficha 181)

Ficha 191) •Unnúmeroesdivisiblepor2cuandolacifradelasunida-

desesdivisiblepor2(númeropar).Ejemplos:34,48,64,72y108.

a)

b)

c) d)

5 cm

4 cm

4 cm4 cm

2 cm3 cm

3 cm

30º

75º 50º 80º

140º

A

B

A B

C

A B

C

C

A

B C

a) b) c)

4 cm3 cm 2 cm45º 30º

2,5

cm

a) Hay dos posibilidades

b) Hay dos posibilidades

c) d)

3,5 cm

4 cm

3 cm

5 cm

4 cm

3,5 cm50º

50º

35º 35º

3 cm

4 cm

Ficha 121) a) Rectángulo isósceles. b) Equilátero. c) Escaleno. d) Esca-

leno obtusángulo. e)Isósceles.

2) a)Noesposiblequeexistantriángulosequiláterosyobtu-sángulos, ya que los tres ángulos del triángulo equilátero miden60°y,entonces,nopuedetenerunánguloobtuso. b) Es posible que existan triángulos escalenos y rectángulos yaque,alserrectángulo,unodelosángulosmedirá90°ylosdemásseráncualquierpardeángulosquesume90°.Por lo tanto, siempre que tenga todos los ángulos diferen-tes, tendré triángulos escalenos.

Ficha 131) a)Sí,yaque300:3dacomoresultadounnúmeroentero,

esdecir,esunmúltiplode3. b)Sí,yaque330:3dacomoresultadounnúmeroentero,esdecir,esunmúltiplode3. c)No,yaque307:3dacomoresultadounaexpresiónde-cimal,esdecir,noesmúltiplode3. d)Sí,yaque321:3dacomo resultado un número entero, es decir, es un múltiplo de3. e)No,yaque310:3dacomoresultadounaexpresióndecimal,esdecir,noesmúltiplode3.

2) a)1,2,3,4,6,8,12,24. b)1,3,9,27,81. c)1,2,3,5,6,10,15,30.

3) Por ejemplo: a)21,35,49. b)6,14,20. c)15,45,75. d)88,121,220.

Ficha 141) a)Noesposiblepensarlocomodeproporcionalidaddirec-

ta, ya que el peso que una persona aumenta por año va-ría según la edad, entre otras cosas. b) Es posible pensarlo como de proporcionalidad directa, ya que el aumento es proporcional. c) Es posible pensarlo como de proporcio-nalidad directa, ya que el aumento es proporcional. d)Noes posible pensarlo como de proporcionalidad directa, ya quetenemosunacantidadpredeterminadadedientes(32dientes) que comienzan a formarse en la primera infancia ysondefinitivosalrededordelos7años.

2)

Cantidad de paquetes 2 20 5 12 1Cantidad de milanesas de soja 8 80 20 48 4

Cantidad de latas 4 10 2 30 1Cantidad de galletitas 200 500 100 1.500 50

Ficha 151) a)10×9=9×10.b) (3×7)×10=(7×10)×3.

c) (11+2)×3=11×3+2×3.

2) a)540. b)540. c)2.700. d)2.700.

a) d)

b)

c)

f)

e)

46 Los conocedores

c) Hay infinitas soluciones, que dependen de las medidas de los lados. Por ejemplo:

d) Hay infinitas soluciones, que dependen de las medidas de los lados. Por ejemplo:

Ficha 251) Cantidad de personas 4 1 3 10 11 15 20 27Carne (en kilos) 2 1/2 3/2 5 11/2 15/2 10 27/2

Cantidad de personas 4 1 3 10 11 15 20 27Bebida (en litros) 6 3/2 9/2 15 33/2 45/2 30 81/2

2) a)3/4. b)4/8=1/2(50centavoscadauno). c)5/10=1/2.d)2/5. e)4/12=1/3. f)3/6=1/2.

3) Cadaunacomió3/5depizza.

4) Usó0,2m,esdecir1/5m.

Ficha 261) 4 sobrinas recibieron figuritas.

2) Cadaunorecibe32/7dechocolate.

3) Acadachicoletocan45/9deturrón.

4) Ladivisióncuyoresultadoesmayorque42/6eslac.

Ficha 271) a)40. b)30. c) 24. d)20. e)15. f)80. g)90. h)72. i)40. j)90.

2) Tiene6autosdecarreray9réplicasdeautosantiguos.

Ficha 281) Sepuedeconstruirunparalelogramoconlasdiagonalesc.

2) Sepuedeconstruiruncuadradoconlasdiagonalesb.

3) Sepuedeconstruirunromboconlasdiagonalesc.

Ficha 291) ElotropardeladosopuestosesCDyAB.

2) OtropardeladosconsecutivosesACyCD.

3) a)D y B . b) A y B . c) C y A .

4)

c)45º 45º

25º

F P

LG

•Unnúmeroesdivisiblepor3 si la sumade los valoresabsolutos de sus cifras esmúltiplo de 3. Ejemplos: 48,168,165,183y234.

•Unnúmeroesdivisiblepor6cuandoesdivisiblepor2ypor3.Ejemplos:24,48,72,126y312.

•Unnúmeroesdivisiblepor9 si la sumade los valoresabsolutos de sus cifras esmúltiplo de 9. Ejemplos: 27,36,45,72y135.

•Unnúmeroesmúltiplode5cuandolascifrasdelasuni-dadesesmúltiplode5.Ejemplos:25,75,100,105y180.

•Unnúmeroesdivisiblepor10silacifradelasunidadesescero.Ejemplos:10,20,60,100y150.

•Unnúmeroesmúltiplode4cuandoelnúmeroformadopor las dos últimas cifras es múltiplo de 4. Ejemplos: 24, 16,112,248y252.

2) a)528. b)212. c)324. d)711.

Ficha 201) D:dividendo,d:divisor,c:cocienteyr:resto.

2) 317=25×12+17y17<25.

3) a)70. b)2.055. c) 2.

Ficha 211) a)15. b)11. c)18. d)134.

2) Estebanpreparó86pancitosyquiereponer6encadabol-sita.Siquiereembolsartodoslospancitos,¿cuántasbolsi-tas necesitará?

Ficha 221) a)239. b)762. c)563. d) 42. e)9. f) 6. g)13. h) 22. i)31. j) 6.

k)12. l)11.

2) Brunopodríadividirnuevamentepor10.

3) Danlomismo,porunlado,a, b y c, y por el otro, d y e.

4) a)v. b)F. c)F. d)v. e)F.

Ficha 231) Untrapecionoesunparalelogramoporquetienedosla-

dos paralelos (bases), a diferencia del paralelogramo, que tiene ambos pares de lados opuestos paralelos.

2) Uncuadradoesunrectángulo,yaqueesunparalelogramocon cuatro ángulos rectos.

3) Un cuadrado es un rombo, ya que es unparalelogramocon los cuatro lados iguales.

Ficha 241)

4) 5)

a) b)

70º

55º

3,5 cm

2,5 cm

2 cm

47Los conocedores

1) 3,09y309/100.2) •0,47:cuarentaysietecentésimos.

•4,7:cuarentaysietedécimos.•4,70:cuatroenterossietedécimos.•0,047:cuarentaysietemilésimos.

3) a)0,52=5/10+2/100. b)0,93=9/10+3/100. c)2,128=21/10+2/100+8/1.000.

Ficha 391) a)618,04. b)629,821. c)1.119,66.

2) a) 963,12 (olvidó “llevarse el 1”). b) Correcta. c) 1.201,54(sumó la parte decimal como si fueran números enteros).

Ficha 401) a)47,36. b) 64,5. c)50,8. d) 42,65.

2) a) Correcta. b)234,02(hizo48–5). c)395,45(seolvidóel1que “pidió prestado”).

Ficha 411) a)Macarena:11'59".Gisela:12'58".Federico:11'43". b)Macarena:719".Gisela:778".Federico:703". c)Ninguno.

2) Llegóalas16h45'.

Ficha 421) a)69°20'. b)37°9'23".

2) a)35°. b) 62° 42'.

3) a)129°35'. b)44°15'.

Ficha 431) a)

b)

2) •Demenoramayor,losnúmerosmarcadosconunpuntoson:3,1,3,2,3,5,3,6y3,8.

•3,25seubicaenelpuntomedioentre3,2y3,3.•3,75seubicaenelpuntomedioentre3,7y3,8.

Ficha 441) a) 2,45 m. b)2,47m.

2) Por ejemplo: a) 3,1 - 3,2 - 3,8. b) 3,12 - 3,14 - 3,18.c)3,221-3,225-3,228.

3) 9,99-9,9-9,5-9,19-9,111-9,09.

Ficha 451) 5,44.

2) 5,35.

3) 2,51,2,61,2,91,3,01y4,21.

0 1 2 3 3,30,2 0,7 1,1 2,2

0 1 20,5

0,75

1,25 2,5

Ficha 301) a)F. b)v. c)v. d)F. e)v. f)F. g)v. h)v. i)F. j)F. k)v. l)v.

m)F. n)v. ñ)v. o)v. p)F. q)v. r)v.

Ficha 311) b)Entre2y3. c)Entre1y2. d)Entre0y1.(Cabeaclararque

el0noesnatural,peroavecesseconsideraelconjuntodelosnaturales incluyendoel 0:N

0). e) Entre 1 y 2. f) Entre

0y1. g)Entre2y3. h)Entre0y1. i)Entre1y2. j)Entre3y4.k)Entre2y3. l)Entre0y1. m)Entre2y3. n)Entre0y1.

2)

Ficha 321) a)5/4. b)3/4. c)3/4. d)6/9. e)7/8. f)6/9. g)3/10. h)2/3. i)

6/10.

2) Comprómáselseñor,porque1/5esmenorque1/4.

Ficha 331) Por ejemplo: a) 4/10, 6/15 y 8/20. b) 2/3, 8/12 y 12/18.

c)12/3,8/2y48/12. d)6/8,9/12y12/16. e)4/6,6/9y8/12. f)15/5,9/3y90/30.

2) Secortó29/36decinta.quedóenelrollo7/36decinta.

3) Seprepararon83/4litrosdejugo.

Ficha 341) Lefaltan120figuritas.

2) Acadasobrinoletocó1/8degalletitas.

3) Compró11/2kgdecerezas.

Ficha 351) a) mm. b) cm. c) m. d) dm.

2) a)170. b)230. c)190. d)210.

3) a)400. b)3.000. c)2.300. d)12.000.

Ficha 361) a) kg. b) g. c) mg. d) kg.

2) a)3.000. b)1,5. c)1.500.

3) a) l. b) ml. c) cl.

4) a)2.000. b)3,5.

Ficha 371) a) 5. b)40. c)67. d)11(ysobran5centavos). e)68(ysobran

5 centavos). f)124.

2) a) 5/10. b) 675/100. c) 53/100. d) 6.752/1.000. e) 67/10.f)105/100.

3) a)0,5. b)0,75. c)0,25. d)0,025.

4) a)5/10. b)25/100. c)75/100. d)125/1.000.

Ficha 38

0 11/4 3/2 9/4

1/8 10/8

2 3

48 Los conocedores

4)




78,24 + 0,1 78,34

12,35 + 0,006 12,356

39,66 + 0,01 39,67

85,42 – 0,01 85,41

103,57 – 0,1 103,47

Ficha 461) Lealcanzaparacomprarlos3regalos,peroentreloscrayo-

nes y la caja de marcadores deberá optar por los crayones.

2) a)133. b)208. c)79. d)78. e)306. f)721. g)111. h)112.

3) Por ejemplo: a)45,67+68,24. b)39,5+58,95.

Ficha 471) Susladosmiden12cm.

2) Susladosmiden9cm.

3) Tienequecomprar13mdepuntilla.

4) Hay más de una posibilidad. Por ejemplo, un rectángulo quetenga2cuadraditosdeunladoy9delotro.

Ficha 481) Hay más de una posibilidad. Por ejemplo, un rectángulo

quetenga3cuadraditosenunodelosladosy10enotro.

2) a)Sepuedearmarunrectánguloquetenga,porejemplo,2cuadraditosenunodelosladosy9enotro. b)Sepuedearmarunrectánguloquetenga,porejemplo,3cuadradi-tos en uno de los lados y 6 en otro. c)Sepuedearmarunrectánguloquetenga,porejemplo,1cuadraditoenunodelosladosy18enotro.

Ficha 491) a)0,381. b)47,529. c)15,063.

2) a) 2 + 6/10 + 7/100. b) 4 + 2/10 + 1/100 + 5/1.000.c)9+3/10+8/1.000

3) a)1/100. b)1/1.000. c)1/10.4) Ningunarepresentaunalongitudde5cm.

5) d y f.

Ficha 501) a)250. b)Lascartas. c)50.

2)

Ficha 511) a)2,75. b)3,5. c)1,25. d)0,9. e)0,91. f) 2,5. g)3,25. h)1,75.

i)0,89. j)0,1.

2) a) 0,25. b) 0,09. c) 0,1. d) 0,5. e) 0,912. f) 0,75. g) 1,27.h)2,05.

3) a)0,75. b)1,25. c) 2,5. d)1,25. e) 2,5. f)8,5. g)6,75. h)3,25. i)0,75. j)1,25. k)12,5. l)1,25. m)7,5. n) 4,5. ñ)1,75. o) 5,25.

Ficha 521) a)valoraproximado:325.valorexacto:325,08. b)valoraproximado:45.valorexacto:44,56. c)valoraproximado:148.valorexacto:147,958. d)valoraproximado:4.000.valorexacto:3.744.

2) a)32litrosdelechecuestan$132,8. b)18kilosdemanza-nascuestan$94,5. c)27metrosdetelacuestan$375,3.

Ficha 531) a)Área:12cm2. b)Área:9cm2.

2) Área:6cm2.

3) Área:4,5cm2.

Ficha 541) a)Eláreadelterrenoesde4.200m2. b) El área de la casa

esde200m2. c)Eláreadelahuertaesde100m2.

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 Más de 3He r m a n o s

Alum

nos

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