4 Los conocedores - edelvives.com.ar · bajo grupal con el trabajo en parejas y el trabajo indi- ... punteos sobre aspectos disciplinares específi-cos y su implicancia en la elección

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Ut dolore velit, si tat lute cortie dolorer ad diam, consenim adionse feu facin ullandi onulla feuis alit nostrud ex eugiat adit auguer ad tem er autem ver irit ut iriliscidunt vulpute erosto commolor sequissim ipis augiat. Er suscilit iureet pratum ex eu-giat ip er senim iusto digna ad estrud tat iriure dolesse quisit prat lamet wisci tem del ea corper secte dolesed magna faci et irillaore consectet aliquatum nullaor in hent incidunt landip er si.

Esse min ut augait

am, consequatum dolor senisim vulput laoreet, si

bla conse magna commodolut nosto od dionsenim

veliquat utpat. Unt wis at vel iuscing

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laortie veliscip el incilla

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commodipit alit, cor se

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sequat,sequisit alit nonulluptat. Luptat atue facilis

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quat. Ut dolore velit, si

tat lute cortie dolorer ad diam, consenim adionse

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nullaor in hent incidunt landip er si.

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4 Índice

Introducción 2

Planificación 3

1. Números naturales. Suma y resta. Figuras 6

2. Números naturales. Suma y resta. Ángulos 8

3. Números naturales y números romanos. Multiplicación. Circunferencia 10

4. Números naturales y recta numérica. División. Triángulos 12

5. Números naturales. División. Triángulos 14

6. Fracciones. Divisibilidad. Cuadriláteros 16

7. Fracciones. Instrumentos de medición. Tiempo 18

8. Fracciones. Longitud, peso y capacidad 20

9. Números decimales. Perímetro y área 22

Bibliografía sugerida para ampliar las discusiones planteadas 24

Solucionario 25

Recursos para el docente

© 2011, Edelvives. Av. Callao 224, 2º piso (C1022AAP) Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN 978-987-642-097-6

Reservados todos los derechos de la edición por la Fundación Edelvives. Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de los ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.

Proyecto didáctico y Dirección EditorialPedro Saccaggio

AutoríaPierina LanzaFlavia Guibourg

EdiciónAndrés Albornoz

CorrecciónAmanda Paltrinieri

Proyecto visual y Dirección de ArteMariana Valladares

Diseño de tapa Mariana Valladares

DiagramaciónBlaunt diseño editorialSergio Israelson

IlustraciónTapa: Paula Ana Socolovsky

Fotografía y documentaciónMariana Jubany

Preimpresión y producción gráficaSamanta Kalifón

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2 Los conocedores

pero también puede construir un nuevo saber cuestio-nando y reformulando lo previo, circunscribiéndolo, desestimándolo, etc. ¿Cómo desarrolla esta actividad un alumno? Resolviendo problemas que necesiten de sus saberes previos para ser abordados y que, al mismo tiempo, pidan algo más.

El enfoque centrado en la resolución de problemas facilita la producción matemática. Cuando hablamos de resolución de problemas, estamos hablando amplia-mente, abarcando todos los ejes del quehacer matemá-tico en el grado: numeración, operaciones, geometría y medida. Por eso, en los capítulos del libro, los proble-mas se plantean en cada eje y al inicio del trabajo sobre los temas.

Para trabajar desde este enfoque son necesarias al-gunas condiciones: trabajar a partir de las hipótesis que plantean los alumnos y plantear verdaderos problemas que los desafíen para que busquen la construcción de un nuevo saber y, al mismo tiempo, les permitan poner en juego sus conocimientos previos para resolverlos.

También en este enfoque hace falta equilibrar el tra-bajo grupal con el trabajo en parejas y el trabajo indi-vidual. El trabajo grupal y las puestas en común pos-teriores para recuperar lo hecho habilitan el debate, la argumentación, la validación de las hipótesis y de los procedimientos, el trabajo sobre los errores y las institu-cionalizaciones parciales. El trabajo en parejas facilita ciertas confrontaciones y un espacio más íntimo para que cada uno comparta sus hipótesis e ideas. El trabajo individual pone en contacto al alumno con lo que cada uno ha podido construir a partir del trabajo en conjunto.

En el segundo ciclo es importante, además, tener en cuenta la necesidad de “algoritmizar” los procedimien-tos y de aplicar los saberes en otros contextos.

Es nuestra intención que, al recorrer cada capítulo del libro, reflexionemos juntos sobre algunos aspectos de la didáctica de la matemática. Empleamos la pala-bra didáctica en un sentido amplio, ya que considera-mos aspectos metodológicos, asuntos de la gestión de las clases, punteos sobre aspectos disciplinares específi-cos y su implicancia en la elección de las propuestas que les hacemos a los alumnos, etc. Cuando sea pertinente, incluiremos también notas sobre la dinámica de los gru-pos; por ejemplo, cuando se trata del trabajo sobre los errores, de las puestas en común y de la expresión del pensamiento propio a través de hipótesis, conjeturas y argumentaciones.

En los múltiples haceres comprendidos en la tarea de enseñar, los docentes ponemos en acto más o me-nos explícitamente un conjunto de ideas sobre qué sig-nifica aprender Matemática y sobre cómo facilitar ese proceso de aprendizaje a los alumnos. Cada docente ha ido elaborando este conjunto de ideas a lo largo de los años, no solo a través de sus experiencias en la práctica docente, sino también en los años de su propia escola-ridad. Por eso, habitualmente ese conjunto de ideas no tiene una cohesión interna relacionada en forma exclu-siva con una línea teórica determinada. Este entretejido de ideas y experiencias se constituye en un marco refe-rencial conceptual y operativo, es decir que no solo es el referente desde el cual se piensa la tarea de enseñar y el aprendizaje, sino que también es un referente operativo desde el cual se actúa en la situación de aula frente a la toma de decisiones.

En esta guía docente del libro Matemática 4 de la se-rie Los conocedores les proponemos la interesante tarea de recorrer juntos algunas actividades a modo de ejem-plo de un hacer matemático centrado en el enfoque teórico de los diseños y de los documentos actuales.

Para comenzar, pongamos el foco en los aprendiza-jes relacionados con un saber matemático significativo que el alumno hace en la escuela y centrémonos en la construcción del saber. A la pregunta acerca de cómo es posible una construcción con sentido, qué facilita esa construcción y qué procesos y saberes están imbricados en ella, podemos decir que la teoría cognitiva del apren-dizaje que sustenta este enfoque:• responde que un conocimiento genuino implica

procesos de resolución de problemas: observar los indicios y combinarlos, reordenar las evidencias dis-ponibles y, finalmente, observar el problema desde una perspectiva nueva;

• aduce que un conocimiento significativo no puede ser introducido en el sujeto desde el exterior sino que ha de elaborarse y construirse desde el interior, y que el aprendizaje significativo es un proceso dis-tinto de aprender de memoria; y

• plantea que una persona que sabe es alguien que tiene comprensión y que posee medios para solucio-nar problemas nuevos. Aprender matemática implica no solo un hacer sino

un hacer en el que se ponen en juego saberes previos de cierta manera. Por ejemplo, un alumno puede ela-borar un saber que supera los anteriores y los incluye,

Introducción

3Los conocedores

Objetivos por eje. Que los alumnos... Contenidos por eje

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lo 1

Numeración•Lean,escribanyusennúmerosnaturaleshastael10.000.•Identifiquenyutilicenlaspropiedadesdelsistemadecimalparainter-

pretar, registrar, comunicar y comparar números y cantidades.Operaciones: resolución de problemas

•Seancapacesdesumaryrestarcondistintossignificados,utilizandodiferentes informaciones y procedimientos.

•Seancapacesdeevaluarlarazonabilidaddelresultadoobtenido.Operaciones: estrategias de cálculo

•Elaborenestrategiasdecálculoquelespermitanampliarsurepertorioaditivo.

•Analicenrelacionesnuméricasparaformularreglasdecálculo.Geometría

•Describan,reconozcanycomparenfiguras.•Analicenafirmacionesacercade laspropiedadesde figurasdadasy

argumenten sobre su validez.•Identifiquenloselementosdeunafigura.•Reproduzcanyconstruyanfigurasconángulosrectosutilizandoregla

y escuadra.

Numeración•Sistemadenumeracióndecimal.Regularidades.•Lecturayescrituradenúmeros.•Comparacióndenúmerosnaturales.Criteriosdecomparación.

Operaciones: resolución de problemas•Sumayrestadenúmerosnaturales.Diferentessignificados.•Tratamientodelainformación:situacionespresentadasdediferentes

modos (cuadros de doble entrada, tablas, etcétera).•Usodelcálculoaproximadoenlaresolucióndeproblemas.

Operaciones: estrategias de cálculo•Cálculosquesumenoresten1.000aunnúmerocualquiera.•Usodecálculosconocidospararesolverotros.•Sumasyrestasdenúmerosredondosde4cifras.

Geometría•Identificacióndeloselementosquecaracterizanalasfiguras:lados,

diagonales, vértices. •Identificacióndealgunospolígonos.•Construccióndefigurasconángulosrectos,usandoreglayescuadra:

reproducción de figuras.

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Numeración•Identifiquenyutilicenlaspropiedadesdelsistemadenumeraciónde-

cimal para interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades y númerosmayoresque10.000.

•Profundicenelanálisisdelvalorposicionaldelascifrasenelsistemade numeración decimal.

•Utilicenlacalculadoracomoherramientapara investigar,deducireinterpretar propiedades de los números.Operaciones: resolución de problemas

•Operenconnúmerosnaturales.•Resuelvansituacionesqueinvolucrandiferentesoperaciones.•Resuelvansituacionesdecomparacióndecantidades.•Expresensimbólicamentelasaccionesrealizadas.

Operaciones: estrategias de cálculo•Seancapacesdeelegirlaestrategiadecálculomáspertinenteenrela-

ción con los números y las operaciones involucrados.•Elaborenestrategiasdecálculoqueutilicenlainformaciónobtenida

del análisis del valor posicional.Geometría

•Comparenymidanánguloscondiferentesrecursos.•Estimenlamedidadeunánguloapartirdelacomparaciónconun

ángulo recto.•Clasifiquenángulos.•Midanángulosconeltransportador.

Numeración•Resolucióndeproblemasqueexijanunaprofundizaciónenelanálisis

del valor posicional.•Usodelacalculadora.•Descomposicióndenúmerosbasadaenlaorganizacióndecimaldel

sistema.•Explicitacióndelasrelacionesaditivasymultiplicativasquesubyacen

a un número.•Interpretaciónyutilizacióndelainformacióncontenidaenlaescritu-

ra decimal.Operaciones: resolución de problemas

•Sumayrestadenúmerosnaturales.Diferentessignificados:compara-ción de cantidades.

•Situacionesqueinvolucranvariasoperaciones.•Situacionespresentadasdediferentesmodos:cuadrosdedobleentra-

da, tablas, etcétera.•Expresiónsimbólicadelasaccionesrealizadas.

Operaciones: estrategias de cálculo•Cálculosmentalesapartirdelanálisisdelaescrituradecimal.•Estrategiasdecálculoparalasumaylaresta.•Estimaciónderesultados.•Seleccióndelaestrategiadecálculomáspertinenteenrelacióncon

los números y las operaciones.Geometría

•Ángulos.Reproducciones.Clasificación:agudos,rectosyobtusos.•Medicióndeángulosusandoelángulorectocomounidaddemedida.•Medicióndeángulos:usodeltransportador.Estimacióndemedidas.

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Numeración•Establezcancomparacionesentreelsistemadenumeraciónromanoy

el decimal.Operaciones: resolución de problemas

•Resuelvanproblemasdelcampomultiplicativo:deproporcionalidaddirecta, de organizaciones rectangulares y de combinatoria que se re-suelven con una multiplicación.

•Seancapacesdeseleccionarlosdatospertinentesyorganizarlainfor-mación para resolver un problema.Operaciones: estrategias de cálculo

•Elaborenenunciadossobrelaspropiedadesdelasoperacionesyargu-menten sobre su validez.

•Utilicen laspropiedadesde lamultiplicaciónpara resolverdiversoscálculos mentales.

•Elaborenycomparenprocedimientosdecálculoexactoparamultipli-car por dos cifras.Geometría

•Identifiquenlasnocionesdecircunferenciaydecírculo.•Reproduzcanunafiguradada.•Construyanfigurasgeométricasconlosinstrumentosadecuados.•Utilicenelcompásparatransportarsegmentos,dibujarcircunferen-

cias y medir ángulos.•Seinicienenlareflexiónsobrelanocióndelugargeométrico.

Numeración•Investigaciónsobrelasreglasdefuncionamientodelosnúmerosro-

manos. Comparación con nuestro sistema de numeración.Operaciones: resolución de problemas

•Multiplicaciónydivisión:situacionesdeproporcionalidaddirecta,deorganizaciones rectangulares y de combinatoria.

•Tratamientode la información: identificacióndedatosnecesarioseinnecesarios.

•Situacionesqueinvolucranvariasoperaciones.Operaciones: estrategias de cálculo

•Cálculomental:multiplicaciónporlaunidadseguidadeceros.•Multiplicaciónpordoscifrasydiversasescriturasparalospasosinter-

medios del algoritmo.•Repertoriomultiplicativoycálculosbasándoseenlaspropiedadesdelamultiplicación.Usodelacalculadora.

•Seleccióndelaestrategiadecálculomáspertinenteenrelaciónconlos números y las operaciones.Geometría

•Circunferenciaycírculo:definiciónyelementos.•Reproduccióndefiguras.•Usodel compás como recursopara transportar segmentos, dibujar

circunferencias y medir ángulos.•Circunferenciaycírculo.Nocióndelugargeométrico.

Planificación. Matemática 4

4 Los conocedores


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Numeración•Determinenlaubicacióndelosnúmerosenunarectanuméricaapar-

tir de ciertas informaciones dadas.•Expresenunnúmeroentérminosdeunidades,decenas,centenas,

etcétera.Operaciones: resolución de problemas

•Resuelvanproblemasdelcampomultiplicativo:derepartoydeparti-ción.

•Analicenlavalidezdeconsideraronoelresto.•Seancapacesdeorganizarlainformaciónpararesolverunasituación.•Elaborenyrespondanpreguntasapartirdediferentesinformaciones;

registren y organicen la información en tablas y gráficos sencillos.Operaciones: estrategias de cálculo

•Elaborenenunciadossobrelaspropiedadesdelasoperacionesyargu-menten sobre su validez.

•Utilicenlaspropiedadesdeladivisiónpararesolverdiversoscálculosmentales.

•Elaborenycomparenprocedimientosdecálculoexactoparadividirpor una y dos cifras.

•Seleccionenlaestrategiadecálculomáspertinenteenrelaciónconlosnúmeros y las operaciones involucradas.Geometría

•Identifiquenloselementosdeuntriángulo.•Clasifiquentriángulossegúnsusladosysegúnsusángulos.•Construyantriángulosapartirdeciertosdatos.•Copienfigurasyelaboreninstruccionesparasureproducción.•Estudien acerca de las condiciones necesarias y suficientes para la

construcción de triángulos.•Utilicenlacircunferenciacomoherramientaparalaconstrucciónde

triángulos.

Numeración•Númerosnaturales.Determinacióndelaubicacióndelosnúmerosen

la recta numérica a partir de ciertas informaciones dadas.•Sistemadenumeracióndecimal.Lecturayescrituradenúmeros.•Expresióndeunnúmeronaturalentérminosdeunidades,decenasy

centenas.Operaciones: resolución de problemas

•Significadosdeladivisión:repartoypartición.•Situacionesquecombinendiferentesoperacionesconnúmerosnatu-

rales. •Tratamientodelainformación:situacionespresentadasdediferentes

modos: cuadros de doble entrada, tablas, etcétera.•Multiplicaciónydivisión:situacionesdeproporcionalidad.•Análisisdelresto.

Operaciones: estrategias de cálculo•Divisiónenteradenúmerosnaturales.•Usoderesultadosdelatablapitagóricapararesolverdivisiones.•Cálculosmentalesapoyándoseenpropiedadesdelasoperaciones.•Divisiónporlaunidadseguidadeceros.•Divisiónporunacifra:algoritmosyprocedimientos.•Diversasescriturasparalospasosintermediosdelalgoritmo.•Estimaciónderesultados.•Usodelacalculadora.•Seleccióndelaestrategiadecálculomáspertinenteenrelacióncon

los números y las operaciones.•Divisiónpordoscifras:algoritmosyprocedimientos.•Divisiónenteradenúmerosnaturales:análisisdelalgoritmointerme-diopor1cifra.Geometría

•Eltriánguloysuselementos.•Triángulos:elementos,congruenciayclasificación.•Clasificaciónsegúnlosladosylosángulos.•Construccióndetriángulos,relacionesentreloslados.•Condiciónnecesariaysuficienteparalaconstruccióndetriángulos.•Laconstruccióndetriángulos:lacircunferenciacomo“herramienta”.

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Numeración•Realicenrepartosequivalentesutilizandodistintasestrategias.•Interpreten, registren, comuniquen y comparen el resultado de un

reparto o una partición a través de distintas escrituras de fracciones.•Comprendanelconceptodenúmerofraccionario.

Operaciones: resolución de problemas•Encuentrenyseancapacesdeutilizarmúltiplosydivisoresdeunnú-

mero dado.•Interpretenlarelaciónentredivisor,dividendo,cocienteyresto.

Operaciones: estrategias de cálculo•Comparenyanalicenprocedimientosdecálculoexactoparadividir

por una y dos cifras.•Utilicenlaspropiedadesdeladivisiónpararesolverdiversoscálculos

mentales.Geometría

•Analicenlaspropiedadesdeloscuadriláteros.•Estudien acerca de las condiciones necesarias y suficientes para la

construcción de cuadriláteros.•Construyancuadriláterosapartirdeciertosdatos.•Identifiquenrectasparalelasyperpendiculares.•Tracenrectasparalelasyperpendicularesaunadada.•Explorenlasrelacionesentrelosángulosinterioresdeuntriángulo.

Numeración•Fraccionesencontextodereparto:situacionesderepartoenpartes

iguales en las que tiene sentido repartir el resto. •Conceptoynocióndefracción.•Relaciónentrelaspartesylosenteros.•Fraccióndeunentero.Diferentesrepresentacionesdealgunasfraccio-

nes.Operaciones: resolución de problemas

•Divisibilidad:múltiplosydivisoresdeunnúmero.•Relaciónentredivisor,dividendo,cocienteyresto.

Operaciones: estrategias de cálculo•Divisiónenteradenúmerosnaturales:algoritmointermediopor1y2

cifras. Propuestas para “acortar” en función de las estrategias de cálcu-lo trabajadas con la multiplicación.

•Cálculomental:divisiónporlaunidadseguidadeceros.•Estimaciónderesultados.

Geometría•Cuadriláteros:elementosyclasificación.•Construccióndecuadriláteros.Exploracióndelascondicionesnecesa-

rias y suficientes.•Relacionesdeparalelismoyperpendicularidad.•Construccióndetriángulos:exploracióndelasrelacionesentreángu-

los interiores.

Planificación. Matemática 4

5Los conocedores


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Numeración•Ubiquenfraccionesenunarectanuméricaapartirdeciertasinforma-

ciones dadas.•Representenycomparenfracciones.•Reconstruyanlaunidadgráficamenteusandofracciones.

Operaciones: resolución de problemas•Operenconnúmerosfraccionarios.•Señalenunadeterminadafraccióndeunacantidadcontinuaydeuna

cantidad discreta.•Analicenlasrelacionesentrelaunidadylasfracciones.

Operaciones: estrategias de cálculo•Elijanlaestrategiadecálculoadecuadadeacuerdoconlaoperación

que tienen que realizar y los números involucrados.•Decidanquéfracciónsumarorestaraunadadaparaobtenerunente-

ro.Medida

•Comprendanelprocesodemedir.•Comprendanlanocióndemagnitud.•Estimenmedidaseligiendoelinstrumentoadecuado.•Reconozcanyutilicenmedidasdetiempo.

Numeración•Representaciones,relacionesycomparacióndefracciones.•Reconstruccióndelaunidadusandofracciones,aspectográfico.•Representacióndefraccionesenlarectanumérica.•Fraccionesequivalentes.

Operaciones: resolución de problemas•Launidadylasfracciones.•La fraccióndeunacantidadcontinuay la fraccióndeunacantidad

discreta.Operaciones: estrategias de cálculo

•Relacionesentrefracciones:reconstruccióndelaunidadusandofrac-ciones.

•Cálculosmentales:quéfracciónesnecesariosumarorestaraunafrac-ción dada para obtener un entero y para obtener enteros mayores que uno.

•Comparacióndefracciones.Medida

•Conceptodemedidaydemagnitud.•Instrumentosdemedición.•Unidadesdetiempo.

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Numeración•Ubiquenfraccionesenunarectanuméricaapartirdeciertasinforma-

ciones dadas.•Representenenunarectalasfraccionesqueseindican.•Dadaunafracción,encuentrenfraccionesequivalentes.•Elaborencriteriosútilesparacompararfracciones.

Operaciones: resolución de problemas•Resuelvansituacionesdesumayrestadefracciones.

Operaciones: estrategias de cálculo•Utilicenelconceptodefraccionesequivalentespararesolvercálculos

de suma y resta.Medida

•Estimenmedidasdelongitud,depesoydecapacidad.•Comparendistintasunidadesdemedidadentrodeunamismamagni-

tud.•Estudienunidadesdemedidaconvencionalesparacadamagnitud.

Numeración•Representacióndefraccionesenlarectanumérica.•Fraccionesdecimales.•Fraccionesequivalentes:aproximaciónalanociónensituacionesde

reparto y medida.•Comparacióndefracciones.

Operaciones: resolución de problemas•Sumayrestadefracciones.•Introducciónalamultiplicacióndefracciones.

Operaciones: estrategias de cálculo•Sumayrestadefracciones.Algoritmosconvencionales.

Medida •Medidasde longitud:unidades convencionales:metro, centímetroy

kilómetro. Estimación. Comparación de longitudes. •Medidasdepeso:unidadesconvencionales,gramo,centigramo,mili-

gramo y kilogramo. Estimación. Comparación de pesos. •Medidasdecapacidad:unidadesconvencionaleslitroymililitro.Esti-

mación. Comparación de capacidades.

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Numeración•Comprendanelconceptodenúmerodecimalendistintosusoscotidia-

nos: dinero y medidas.•Reconstruyanunacantidadusandomonedasdeunaclasedetermina-

da.•Identifiquen y utilicen las características de los números decimales

para interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades expresa-das con un número decimal.Operaciones: resolución de problemas

•Operenconnúmerosdecimales.•Resuelvansituacionesenlasquehayaquesumaryrestarconnúmeros

decimales.•Usenelcálculoaproximadoenlaresolucióndeproblemas.

Operaciones: estrategias de cálculo•Elijanlaestrategiadecálculoadecuadadeacuerdoconlaoperación

que tienen que realizar y los números involucrados.•Estudienelprocedimientoalgorítmicoparasumardecimales.•Analicenerroresposiblesyelaborenexplicacionesacercadeellos.

Medida•Calculenelperímetrodeunafiguradada.•Seinicienenlareflexiónsobreelconceptodeárea.

Numeración•Númerosracionales:expresionesdecimales.•Lecturayescrituraencontextodeusosocial:eldinero.•Losnúmerosdecimalesyeldinero.Loscentavos.Equivalenciasentre

monedas de uso común. Expresión numérica de las equivalencias esta-blecidas.

•Reconstruccióndeunacantidadusandomonedasdeunaclasedeter-minada.

•Comparacióndenúmerosdecimales.Operaciones: resolución de problemas

•Problemasdesumayrestadenúmerosdecimales.•Multiplicacióndeundecimalporunnatural.•Usodelcálculoaproximadoenlaresolucióndeproblemas.

Operaciones: estrategias de cálculo•Cálculosmentalesusandolacalculadora:estimaciónycomprobación.•Sumayrestadenúmerosdecimales.

Medida•Cálculodeperímetros.Comparación.Estimación.•Aproximaciónalconceptodeárea.

6 Los conocedores

NumeraciónEl propósito en este capítulo es el tratamiento del

sistema de numeración decimal y, al mismo tiempo, el trabajo de este primer tiempo de clase constituye una síntesis de lo que se hizo en Primer ciclo sobre nume-ración.

El trabajo con cuadros de números recupera saberes previosyfavorecelaexploración.Deestemodo,brindaoportunidades para que los chicos puedan advertir re-gularidades, establecer diversas relaciones entre los nú-meros y comprender la información contenida en ellos.

Para no dejar esta mirada librada solamente a lo espontáneo, es necesario que el docente realice opor-tunamente intervenciones que provoquen ciertas re-flexiones en pos de construir el conocimiento al que se apunta. En este sentido, en la sección Para conversar juntos se incluyen en las páginas del libro preguntas y sugerencias, con la certeza de que no es la explicitación por parte del docente de las propiedades y regularida-des del sistema lo que hace que los alumnos se apropien del conocimiento, sino el trabajo constructivo a partir de propuestas que permiten a los chicos explorar, utilizar y analizar el comportamiento del sistema de numeración.

Este tipo de preguntas dirigidas a la reflexión im-plican intervenciones del docente que son necesarias y apuntan a detenerse sobre aspectos del hacer que a menudo son intuitivos y pueden parecer de cierta ob-viedad, pero sin los cuales el avance queda librado a las posibilidades de cada chico.

Laactividaddecomparar cantidades genera un ám-bito fecundo para reflexionar y elaborar hipótesis sobre los números, su comportamiento en la serie, la relación entre la lectura y la escritura, y el funcionamiento del sistema de numeración.

Operaciones: resolución de problemasLanocióndeproblema no debe confundirse con la

realización de una operación y el hallazgo del resultado, ni debe significar la simple ejecución de un algoritmo. Tiene que ver, en cambio, con la construcción de nuevos objetos matemáticos.

Algunos problemas surgen del interior de la propia dis-ciplina (intramatemáticos). Estos son los problemas que encontraremos habitualmente en los ejes NumeraciónyEstrategiasdecálculo.Otros,encambio,provienendelmundo exterior, de la vida real (extramatemáticos). En la escuela se propicia la enseñanza de una Matemática re-lacionada con la faz instrumental; por eso, es convenien-te para el trabajo escolar trabajar con situaciones que impliquen una matemática aplicada, contextualizada,

Antes de entrar en los contenidos específicos de este capítulo, es importante destacar que en cada capítulo se presentan recuadros con juegos, desafíos e información.

Los juegos permiten una entrada lúdica a los con-tenidos trabajados en las actividades numeradas del capítulo. Pueden jugarse al comienzo, durante el desa-rrollooenelcierredeltema.Sisejueganalcomienzo,pueden ser útiles para observar los saberes previos de los alumnos.

Losdesafíos proponen una nueva vuelta en la cons-trucción de los contenidos trabajados a partir de las actividadesnumeradasdelcapítulo.Sugerimospresen-tarlos cuando el tema esté avanzado. Con ellos se inten-ta favorecer la búsqueda de estrategias de resolución diferentes, que escapen a lo convencional y que supe-ren aspectos muy mecánicos a menudo presentes en las prácticas de resolución que habitualmente emplean los chicos.

El trabajo con los desafíos y las situaciones de juego favorece la problematización de algunos conceptos ma-temáticos que es interesante poner en discusión.

Losrecuadrosde información funcionan como ven-tanas al exterior y, a menudo, al pasado. Con ellos bus-camos favorecer una mirada del conocimiento desde el punto de vista de la construcción, un conocimiento que la humanidad ha ido y continúa construyendo para dar respuesta a las necesidades e interrogantes que se van presentando.

Por otra parte, los contenidos de cada capítulo están organizados en relación con los ejes que es necesario trabajar en una misma unidad temporal: Numeración, Operaciones:resolucióndeproblemas,Operaciones:es-trategias de cálculo y Geometría o Medida.

En cada unidad de trabajo, de un mes aproximada-mente, se abordan todos los ejes, de manera que lo que unalumnoestáconstruyendoenelejeNumeraciónseapuesto en foco al mismo tiempo en Estrategias de cálculo y en Resolución de problemas. En cada capítulo las acti-vidades están identificadas según su eje, pero todas están relacionadasentresí.LoscontenidosdelosejesGeome-tría y Medida se construyen de un modo más sólido si se trabajan en forma constante a lo largo del año que si se abordan en bloque durante un tiempo breve.

Por último, para afianzar la construcción de los con-tenidos y facilitar las institucionalizaciones teóricas, en las fichas, que irán pegadas en la carpeta, se encuen-tran los recuadros teóricos sintetizados y una propuesta de actividades relacionadas con el tema del recuadro. Es importante que el trabajo con las fichas se proponga a posteriori de la construcción de los conceptos.

Números naturalesSuma y restaFiguras

1

7Los conocedores

relacionada con la interpretación del mundo que rodea a los alumnos, con sus necesidades e intereses cotidianos, que paulatinamente les ofrecerán los elementos formales propios de la ciencia objeto de estudio.

En los capítulos de este libro, hay problemas cuyo tí-tulo proviene del contexto extramatemático en el que están encuadradas las situaciones, porque el objetivo es, al mismo tiempo, la construcción progresiva de las operaciones necesarias para resolverlos y el tratamiento de la información que se presenta. En este capítulo, en El buffet, el trabajo se centra en la suma y la resta de números naturales, en los diferentes significados de es-tas operaciones y en el tratamiento de la información, específicamente, en aprender a abordar situaciones pre-sentadas de diferentes modos: cuadros de doble entra-da, tablas, etc.

Además de las situaciones, en todos los capítulos, hay en este eje un análisis de posibles estrategias de re-solución cuyo objetivo es facilitar la reflexión conjunta sobre las estrategias en función de la resolución de las situaciones.

Operaciones: estrategias de cálculoEl sentido de las operaciones es una construcción vin-

culada tanto a las situaciones problemáticas como a los procesos que llevan a su resolución, y se construye para-lelamente en el ámbito de la resolución de los problemas y en el de las estrategias y recursos de cálculo. Trabaje-mos sin olvidar que la habilidad de calcular implica ma-nejar propiedades relacionadas con la naturaleza de los números, con las reglas del sistema posicional decimal y con las propiedades de la operación en sí misma.

Loscálculos mentales tienen las siguientes caracte-rísticas.Soncálculosenlosqueseconsideraelnúmerototal;sonreflexionados.Sepuederecurrirallápizypa-pel, y a la calculadora, según sea la búsqueda que se realice con ella en función del cálculo propuesto. Estos cálculos se caracterizan por una diversidad de técnicas y de estrategias que guardan relación con los números en juego, con los conocimientos del sistema de numeraci-ón, con las operaciones que tiene disponibles quien los realiza y también con sus preferencias personales.

Lasactividadesdecálculomentalrequierenunages-tiónmuycercanadelaclase.Noesfructíferoproponerlos cálculos y dar la consigna de hacerlos mentalmente. Es necesario que, al mismo tiempo, la serie de cálculos se proponga como objeto de reflexión, ya que la pre-gunta del docente y la reflexión conjunta favorecen la aparición y el tratamiento de relaciones y propiedades de números y operaciones.

En este capítulo, se vuelve sobre algunas estrategias que es deseable que hayan sido trabajadas en años an-teriores, y que es útil actualizar, a saber:• A partir de una cuenta pueden armar muchas más

con los mismos números que intervienen en la cuen-ta inicial. Con esto, se trae a la clase el concepto de reversibilidad de las operaciones, que también se trabaja en la estrategia siguiente.

• Para resolver estos cálculos me sirve hacer mentalmen-te una resta.

• Para resolver estos cálculos me ayuda el nombre del número. Con esta estrategia, enfocamos la relación entre la numeración oral y la numeración escrita.

GeometríaEste enfoque implica un movimiento respecto de la

postura“primeroenseñoydespuéslousan”.Losdesa-fíos tienen que ser de tal clase que, para resolverlos, los alumnos puedan usar sus conocimientos previos, pero que, al mismo tiempo, no les sean suficientes y experi-menten la necesidad de construir otros saberes.

Losjuegos de adivinar la figura pueden parecer re-petidos.Sinembargo,enlosjuegosdeadivinar,enlasactividades de construcción a partir de ciertos datos, en la elaboración de mensajes o en las actividades de re-producción de un modelo dado, vamos a ir observando y proponiendo un ajuste cada vez mayor en el vocabu-lario, ciertas restricciones en cuanto a la cantidad de preguntas que se pueden hacer para adivinar, y vamos también a ir aumentando la cantidad y la complejidad de las figuras que intervienen en el juego.

Con las actividades propuestas, iremos viendo que se manifiestan diversos y variados procedimientos de reso-lución, si damos el espacio para que los chicos las resuel-van de forma autónoma y del modo que sepan hacerlo. En los momentos de análisis conjunto de las formas de resolución se va a ir institucionalizando el conocimiento que desde otro enfoque se daba en una clase.

Es importante permitir que los chicos desarrollen sus procedimientos e hipótesis sin darles desde el adulto un formato previo, para que puedan elaborar progre-sivamente los objetos geométricos. En esta elaboración –con la intervención docente– irán logrando concep-tualizaciones parciales que se convertirán en el saber previo para encarar la construcción de los conceptos matemáticos en los años siguientes. Es importante res-petar el momento del intercambio para que los chicos tengan la posibilidad de argumentar, confrontar, corre-gir, preguntar y debatir. Todas estas acciones son fun-dantes en la construcción de los conceptos.

8 Los conocedores

la posibilidad de descubrir las distintas escrituras equi-valentes de un mismo número, posibilitan saberes po-tentes para la construcción de los algoritmos.

Operaciones: resolución de problemasPodemos afirmar que, para llegar a un aprendizaje

significativo, el alumno debe construir por sí mismo el conocimientomatemático.Losproblemassonelmotorque lo motivan a indagar entre sus saberes previos para decidir qué le conviene hacer y lo conducen a la inves-tigación de nuevos saberes, que le permitirán revisar y reorganizar sus estructuras cognitivas.

Este enfoque propone una forma de trabajar centra-da en la construcción y procura evitar la enseñanza de mecanismos que los chicos no comprenden. Por eso, cuando se trata de resolver problemas, se los alienta a que lo hagan con los saberes y las estrategias con los que cuentan. De estemodo, avanzan demaneragradual y segura hacia la comprensión del sentido de las operaciones.

Es posible que algunos chicos utilicen procedimien-tos adquiridos mecánicamente; está en la gestión del docente indagar si son sólidos y comprendidos, si son solo mecánicos o en parte comprendidos y en parte mecánicos. El momento de compartir lo hecho y de re-flexionar sobre algunos aspectos de la tarea o de los con-tenidos es muy importante porque, en el caso de este eje, les permitirá a los niños avanzar en la comprensión de los enunciados y en la construcción de estrategias de resolución, y progresivamente en la comprensión de la operación.

La búsqueda de procedimientos para resolver las diferentes situaciones va otorgando sentido a los con-ceptos matemáticos. Entonces, el docente debe contex-tualizar los conocimientos que desea que los alumnos aprendan y vincularlos con una gran variedad de situa-ciones en las que aquellos puedan emplearse para favo-recer esta búsqueda de sentido.

En estas páginas de problemas nos abocamos al uso de la suma y la resta de números naturales para resol-verlos, complejizando el trabajo del Primer ciclo, y nos centramos en uno de los significados que más dificultad ofrece: la comparación de cantidades.

Desdeelpuntodevistadeltratamientodelainfor-mación, se presentan situaciones que involucran varias operaciones presentadas de diferentes modos: cuadros de doble entrada, tablas, etc., y se continúa abordando el aspecto de la escritura matemática, con el pedido de la búsqueda de la expresión simbólica de las acciones realizadas.

En los recuadros teóricos que aparecen a lo largo del libro, se presenta una síntesis de los contenidos mate-máticos más relevantes de cada eje. Estos recuadros son el resultado de diversas institucionalizaciones parciales. Laintenciónessistematizarloshaceresylosconceptosmatemáticos que se fueron desplegando a partir de las propuestas de las actividades anteriores. Es un buen momento para que el docente se comprometa con la fase de institucionalización.

NumeraciónEn estas páginas, se prosigue el trabajo con nuestro

sistema de numeración. En las actividades del capítulo el tema central es el valor posicional, es decir, el va-lor relacionado con la posición, para poder diferenciar claramente valor absoluto de valor relativo. Además, en este capítulo se continúa reflexionando acerca de la no-ción de sistema.

Lostemasqueseabordansonlaresolucióndepro-blemas que exijan una profundización del análisis del valor posicional, la descomposición de números basada en la organización decimal del sistema, la explicitación de las relaciones aditivas y multiplicativas que subya-cen a un número, y la interpretación y la utilización de la información contenida en la escritura decimal. El primer Para conversar juntos (“¿Cómo le explicarían a otra persona que las mismas cifras sirven para escribir númerosdiferentes?Porejemplo,el1.234yel4.321.”),el trabajo que se plantea en Todo con billetes y en Bol-sas, cajas y paquetes y el desafío giran en torno a esos contenidos.

Hay algunas preguntas que invitan a los chicos a la revisión de sus hipótesis sobre la estructura del sistema de numeración; por ejemplo, la serie de preguntas de la página25(“¿Lacantidaddedecenasdeunnúmeroesigual a la que está indicada en el lugar de las decenas? ¿Cuántasdecenashayenelnúmero521?¿Cuántasuni-dades? ¿Y centenas? ¿Qué número ocupa el lugar de las decenas? ¿Y el de las unidades? ¿Y el de las centenas?”) o las preguntas del desafío, que proponen volver sobre el tema y ver cuánto de lo que se fue trabajando está firme. Por ejemplo, al interrogante del desafío (“¿Cuántas cen-tenas hay en 9.999? ¿Cuántas decenas? ¿Y unidades?”) muchos chicos van a responder que hay 9 centenas, 9 decenas y 9 unidades. Buscamos que se movilice el in-terrogante por la variedad y la cantidad de información que nos ofrece cada número. Estas preguntas del desafío apuntan a una mirada más matemática. En 9.999 hay 99 centenas, 999 decenas y 9.999 unidades. Este trabajo matemático y la descomposición polinómica, que abren

Números naturalesSuma y restaÁngulos

2

9Los conocedores

La comparación de estados implica una compleji-dad mayor, porque la estrategia para encontrar el re-sultado consiste en establecer una relación uno a uno entre los elementos de los dos conjuntos, y esto es más complejo que unirlos y contarlos, como se hace en la composición de estados.

En la primera situación de Las Intertribus se combi-na una estructura aditiva de composición de estados con una de comparación. Esto significa que es necesa-rio más de un paso para resolverla. Esta es otra comple-jidad del ciclo, que se irá desplegando en varias situa-ciones de este y otros capítulos.

Operaciones: estrategias de cálculoCuando trabajamos las estrategias de cálculo con los

chicos, uno de los objetivos es la sistematización de un conjuntoderesultadosydeestrategias.Losmétodosylas estrategias de cálculo mental que se enfocan en estas páginas se relacionan con el análisis de la escritura de-cimal de los números; con apoyarse en la construcción e identificación previa de relaciones y regularidades; con descomponer y componer aditivamente los números, vinculándolos con la organización del sistema de nume-ración; con el uso para el cálculo de la relación entre la numeración oral y la numeración escrita; con el redon-deo y la estimación de resultados, y con la selección de la estrategia de cálculo más pertinente en relación con los números y las operaciones involucradas.

Hay que tener en cuenta que el cálculo mental es un cálculo reflexionado y que no significa hacer solo cálculos con la mente; es posible y hasta deseable que los chicos utilicenlápizypapel.Unadelascaracterísticasprincipa-les del cálculo mental es que no es algorítmico y que las estrategias guardan relación con los números implicados y con los conocimientos previos de quien los realiza so-bre el sistema de numeración y las operaciones.

Luegodelaresolución,tantoindividualcomogrupal,es importante realizar un trabajo colectivo de análisis y de reflexión. En otros momentos se puede sumar a este compartir una reflexión dirigida, planteada a par-tir de una situación creada especialmente a tal efecto. Por ejemplo, en la página 32, un chicodice: “Con es-tos cálculos me doy cuenta de que diciendo el nombre de cada número puedo saber el resultado sin sumar” y una chica: “En estos cálculos me doy cuenta de que en elresultadofaltaelnombredeloqueresté”.Luego,sepregunta: “¿Qué piensan de lo que dicen los chicos?”. El objetivo de estas actividades es el avance en la suma y la resta de números naturales y en el desarrollo de estrategias de cálculo mental.

Lasactividadesdecálculomentalfavorecenlaapari-ción y el uso de relaciones y propiedades de los núme-ros y de las operaciones. Es necesario que sean recono-cidas y formuladas fundamentalmente en este ciclo de la escuela primaria. A lo largo de los diferentes capítu-los, se irá proponiendo el trabajo y la reflexión acerca de algunas estrategias, para que puedan ser objetivadas y estén cada vez más disponibles.

Cabe explicitar que es función de la escuela favorecer una clase de trabajo con el cálculo que permita a los niños aprender a elegir entre el cálculo mental exacto y el aproximado, entre el cálculo algorítmico y el uso de la calculadora. Por eso, en muchas ocasiones se les pedirá a los chicos que estimen si el resultado es posible o no; que redondeen los números a otros más bajos o más altos, según qué les convenga más; que anoten la estimación del resultado, etcétera.

GeometríaEn este eje se retoma una actividad iniciada en el

capítulo1–lacopiadefigurasylaelaboracióndeins-trucciones para dibujar– para abordar un concepto muy complejo: los ángulos. Acerca de los ángulos se aborda la reproducción, la estimación, la clasificación en agu-dos, rectos y obtusos, la medición usando el ángulo rec-to como unidad de medida y el transportador.

El concepto de ángulo presenta varias dificultades para loschicosdeestaedad.Unadeellases ladere-conocer que dos ángulos son iguales si tienen la misma abertura, más allá de la longitud de sus lados (las semi-rrectas).Otradificultadesconfundireldibujoenlahojaconelobjetogeométricoángulo.Unadificultadmásesla medición, sumada al uso del transportador, un instru-mento de compleja lectura y maniobrabilidad.

Para ir abordando las dificultades relacionadas con el concepto de ángulo se proponen las actividades de copia y elaboración de instrucciones. Estas primeras me-diciones están relacionadas con la escuadra como ins-trumento para medir y con la estimación de las medidas deunángulo.Lamediciónseiniciaconlacomparacióncon el ángulo recto (bien representado por la escuadra) y la clasificación en mayores que, menores que o iguales aunángulorecto.Luego,continúaconlaestimacióndela medida, siempre teniendo presente el ángulo recto antes de pasar al uso del transportador, de modo que el transportador se utilice para ajustar la estimación. Esto resuelve las situaciones típicas de registrar 150º comomedidadeunángulode30º.Esmuyimportantededi-carle tiempo suficiente a esta tarea de medir, tanto en la fase de estimación como en la de medición.

10 Los conocedores

Hay que tener en cuenta que el sistema de nume-ración romano solo nos permite estudiar cómo se construyeunacantidadfinitadenúmerosnaturales.Siquisiéramos tratar la totalidad de los números (incluir los negativos, los racionales, etc.), la información que tenemos es insuficiente.

Operaciones: resolución de problemasEn este capítulo abordamos el contenido matemáti-

co de la multiplicación y también fuertemente el tra-tamiento de la información. En el Primer ciclo la cons-trucción del concepto de multiplicación está relacionada fundamentalmente con situaciones de proporcionali-dad.En4.ºgradoseavanzaenlaconstruccióndelsen-tido de la multiplicación con el planteo de problemas que involucran productos de medidas (combinatoria y organizaciones rectangulares).

Sabemosqueparalograrunaprendizajesignificativoen Matemática hay que proponer situaciones que plan-teen problemas. Enfrentados al problema, las nociones matemáticas se constituyen en instrumentos necesarios para su resolución y, por lo tanto, se les otorga valor y sentido. Por ello, un conocimiento matemático solo puede considerarse aprendido cuando se ha funcionali-zado, es decir, cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situación o un problema.

En este capítulo, bajo el título De viaje se presentan varias situaciones que muestran la clase de problemas que se resuelven con la multiplicación y la división: si-tuaciones de proporcionalidad directa, de combinatoria y de organizaciones rectangulares.

Para que los chicos aprendan a resolver los proble-mas es necesario plantear situaciones que pongan la mirada en la resolución de problemas como objeto de enseñanza.Seguramenteacordamosenqueesnecesa-rio enseñar a resolver problemas y, para eso, hace falta hacer foco en algunos aspectos que se encuentran expli-cados en los recuadros teóricos.

Bajo el título De visita, además de volver sobre las organizaciones rectangulares y sobre la combinatoria, enfocamos específicamente el tratamiento de la infor-mación a través del pedido de identificación de datos necesarios e innecesarios y de situaciones que involu-cran varias operaciones y variadas maneras de presen-tar los datos.

Operaciones: estrategias de cálculoEn este capítulo se vuelve sobre una tarea propia de

3.ºgrado:eldesarrollodeestrategiasdecálculomen-tal ligadas a la multiplicación por la unidad seguida de

NumeraciónEn este capítulo se estudia el sistema de numeración

romano. El propósito es más amplio que la información cultural acerca de unos números que tienen presencia ennuestravidacotidiana.Unobjetivoesreflexionarso-bre el hecho de que los saberes se han ido construyendo a lo largo del tiempo, con el aporte de muchas civiliza-ciones y como respuesta a las necesidades que se han idopresentando.Otroobjetivoescompararotrosistemade numeración con el nuestro para, entre otras cosas, identificar las características del sistema que usamos cotidianamente.

Lasdiferenciasentrenuestrosistemadenumeraciónyel sistema romano hacen muy interesante analizarlo con los chicos. El sistema romano es aditivo, pero no multipli-cativo; no es decimal; no es posicional; no presenta nin-gúnsímboloconlafuncióndel0;ytienesietesímbolosque no son suficientes para escribir todos los números naturales.

En la comparación, estas diferencias abren el espec-tro al hecho de la construcción de un sistema de nume-ración y facilitan la reflexión sobre el sistema de nu-meración decimal que usamos. Para poder hacer este análisis comparativo es necesario conocer algo del sis-tema romano. Por eso, hay actividades de escritura y de “traducción” de números de un sistema al otro.

Las reglas del sistema romano están consignadasen un recuadro teórico, pero previamente se les pide a los chicos que hagan la inferencia de estas reglas, que puedan pensar en el comportamiento y en el funcio-namiento del sistema a partir del trabajo con algunos números ya dados.

En el primer Para conversar juntos del capítulo se les pide a los chicos: “Observenlaescrituradeestosnúme-rosenelsistemadenumeraciónromano:3,4,22,40,6 y 60. ¿Qué inferencias puedenhacer sobre cómo seconstruyen esas escrituras?” Más adelante, se les pre-gunta: “El romano, ¿les parece un buen sistema para calcular? ¿Por qué?” y “Mientras que en nuestro sistema de numeración elmil se escribe 1.000, en el romanose escribe M. ¿Que diferencias encuentran entre ambos sistemas?” Este es un ejemplo del tipo de trabajo que se realiza desde este enfoque, que consiste en plantear un problema o situación, resolverlo con lo que se sabe, reflexionar con otros sobre lo hecho y sobre los errores (que aquí se ofrecen directamente en una de las activi-dades), elaborar hipótesis y finalmente concluir en algo que quede institucionalizado, ya sea temporalmente (se retomará en el mismo año de trabajo) o definitivamente para ese grado (se retomará el año siguiente).

Números naturales y números romanosMultiplicaciónCircunferencia

3

11Los conocedores

ceros. Por otra parte, se avanza hacia el desarrollo de estrategias ligadas a las propiedades de la multiplica-ción y hacia el afianzamiento del algoritmo. Este es un buen momento para poner en duda, ratificar o rectificar algunas estrategias, obtener progresivamente algunas certezas, profundizar y generalizar.

Un trabajo interesante en relación con lamultipli-cación por la unidad seguida de ceros es pedirles a los chicos que elaboren una regla y argumenten su valor. El pedido puede ser individual, en parejas o en grupos pequeños. Sepuedeproponerque elaboren y validencon ejemplos la regla.

El trabajo sobre el algoritmo de la multiplicación (y sobre los algoritmos de las operaciones en general) impli-ca reconocer que su naturaleza no es solamente instru-mental, sino que también es un proceso de construcción que se apoya en todos los aprendizajes sobre el sistema denumeraciónylasoperaciones.Elobjetivoen4.ºgradoes profundizar la comprensión conceptual del algoritmo y contar con una de sus mayores ventajas: la reducción de errores cometidos cuando se emprenden caminos más largos y complejos y el control de los pasos se vuelve di-fuso.

Lacomprensióndelalgoritmodelamultiplicaciónseve favorecida y estimulada cuando se hacen preguntas o planteos del tipo: “Estos compañeros obtuvieron todos el mismo resultado, pero llegaron de formas diferentes. Observen las cuentas y busquen en qué se parecen yen qué se diferencian.” Estos requerimientos de expli-cación apuntan a que los chicos pongan en palabras los pasos, el reconocimiento del uso de las propiedades de la multiplicación, las estrategias de cálculo mental, el repertorio multiplicativo que es necesario para agilizar el proceso, etc. En el intento de dar una explicación, los chicos van comprendiendo mejor lo que ellos han he-cho o lo que otro ha hecho al resolver el cálculo.

En relación con el estudio de las propiedades de la multiplicación, hay que tener presente que la búsque-da de sentido de las propiedades se da en el uso y que la definición de las propiedades ha de ser posterior a la resolución de problemas que impliquen su uso.

En muchos momentos del libro se proponen activi-dades para realizar con la calculadora. Algunas veces se utiliza para verificar, otras para resolver y corregir, otras para explorar, etc. En este capítulo, la calculadora es un buen instrumento para explorar las propiedades de la multiplicación, ya que facilita poner el foco en las propiedades sin el esfuerzo de numerosas reiteraciones del procedimiento algorítmico y con una reducción fa-vorable de posibles errores.

GeometríaLa circunferencia es un objeto geométrico que re-

sulta un auxiliar matemático fundamental para la cons-trucción de los distintos conceptos de Geometría que los chicos verán a lo largo del año. En este capítulo se tratan la definición y los elementos de la circunferencia y del círculo, la reproducción de figuras en hoja lisa, y el uso del compás como recurso para transportar segmentos, dibujar circunferencias y medir ángulos. Elaborar men-sajes o instrucciones es una actividad fundamental, ya que describir una figura y dar instrucciones para que otro la construya o la adivine pide ir más allá de la for-ma para introducirse en las relaciones de los elementos que la caracterizan y, al mismo tiempo, desafía a usar un lenguaje cada vez más ajustado al lenguaje especí-fico matemático. Además, estas actividades de adivinar, copiar y elaborar mensajes e instrucciones facilita al do-cente la observación con cierta inmediatez de las con-cepciones y los saberes de los que disponen los chicos.

En la reproducción de figuras en las que aparece la circunferencia, es necesario el uso del compás. El uso del compás no es un contenido matemático; el compás es un instrumento y su uso es necesario para una re-presentación más precisa de la figura. Esta calidad de representación facilita una mejor definición de los ob-jetos geométricos y la identificación de las propiedades que los caracterizan.

Para la reproducción de las figuras, empezamos usando hojas cuadriculadas, ya que facilitan la repro-ducciónylamedicióndelongitudesyángulos.Loschi-cos pueden contar los cuadraditos; de este modo, por ejemplo, para reproducir un rectángulo no necesitan considerar la perpendicularidad de los lados.

Luego, utilizamos hojas lisas porque en 4.º gradoes necesario instalar la necesidad del uso de los ins-trumentos geométricos y la medida, para representar mejor y para copiar mejor de hoja lisa a hoja lisa. Por eso, se plantean preguntas como las siguientes: “¿Cómo hicieron para marcar los puntos? ¿Qué instrumento uti-lizaron? ¿Conocen algún instrumento de geometría que les permita dibujar esa figura?” “Para reproducir el di-bujo, ¿solo usaron el compás? ¿Por qué? ¿Conocen algún instrumento diferente de la regla que les permita tomar medidas? ¿Cuál?”

Por otra parte, las indicaciones para las construcciones que se piden van teniendo restricciones y condiciones, por ejemplo: “Copien el siguiente dibujo usando regla no graduada y compás.” Estas restricciones instalan y fa-vorecen la reflexión sobre las características del objeto matemático.

12 Los conocedores

• El nivel de dificultad de ubicar un número en la recta si ya hay otros ubicados es menor que el de ubicar los números y al mismo tiempo decidir los intervalos.

• Es necesario prestar atención a la variedad de las in-dicaciones para graduar su dificultad.

Operaciones: resolución de problemasEl objetivo de las situaciones de este capítulo es po-

ner en foco el tema de la división y las situaciones de reparto y partición, y continuar con el tratamiento de la información: situaciones presentadas de diferentes mo-dos, con cuadros de doble entrada, tablas, etc.

Es interesante observar que los problemas de multi-plicar se pueden convertir en problemas de dividir si se cambia el lugar de la incógnita. Proponer a los chicos que realicen estas transformaciones es muy interesante y permite al docente observar el dominio que tienen los alumnos del campo en general.

En relación con la división es conveniente incluir pro-blemas que nos permitan abordar tanto el significado de reparto como el de partición. • En los problemas de reparto, se conoce la cantidad

total de elementos a repartir y la cantidad de partes, pero no se conoce cuántos elementos corresponden a cada una de las partes.

• En los problemas de partición se conoce el valor de cada parte y se pregunta por la cantidad de partes en las que puede repartirse el total.En cuanto al trabajo del aula, podemos considerar

que un conocimiento matemático fue aprendido cuan-do es posible emplearlo como medio para resolver si-tuaciones o problemas y, para que ese aprendizaje sea realmente significativo para un chico, es necesario que lo haya construido por sí mismo. En el aula, esa cons-trucción se va produciendo en el marco de las propues-tas e intervenciones pertinentes del docente. Por eso, es necesario que estas propuestas e intervenciones lo motiven a indagar entre sus saberes previos para decidir qué le conviene hacer, cuáles de todos los conocimien-tos de los que dispone puede utilizar o es mejor utilizar en una solución. Es posible que, en esa indagación, el chico descubra que no dispone del conocimiento apro-piado para resolver el problema con el que se enfrenta. Entonces, las propuestas e intervenciones han de ser suficientemente amplias y ricas para permitirle la inves-tigación de nuevos saberes, lo que, a su vez, le permitirá revisar y reorganizar sus estructuras cognitivas.

En el caso de los problemas que se resuelven con la división, vale aclarar que pertenecen al campo multipli-cativo, ya que requieren el empleo de multiplicaciones o

NumeraciónEste capítulo comienza con el trabajo sobre la recta

numéricaconnúmerosnaturales.Loschicosde4.ºgra-do ya conocen lo suficiente acerca del funcionamiento del sistema de numeración y de los números naturales como para abordar las dificultades que plantea la rec-ta numérica. Como los niveles de dificultad con la recta numérica varían mucho de chico a chico, sugerimos al docente que con estas actividades observe las posibili-dades de sus alumnos en relación con el manejo de la recta, los deje explorar y acompañe la resolución de las actividades de modo que, si fuera necesario, se convierta en una situación de trabajo grupal desde el inicio.

A lo largo del texto puntualizamos momentos de tra-bajo conjunto. El trabajo con otros está pensado para el tratamiento de ciertas complejidades, para abrir la dis-cusión, para habilitar la entrada de los saberes previos. Por eso, cada vez que esté indicado es necesario reali-zar esaspropuestas grupales. Segúnel grupo, esposi-ble trabajar en forma conjunta todas las actividades del desarrollo del capítulo, ya que en las últimas páginas y en las fichas hay actividades individuales que retoman los contenidos trabajados a lo largo del capítulo. Este es un aspecto importante de la construcción de un saber, ya que el trabajo individual permite al alumno tomar contacto con lo que verdaderamente se ha apropiado de todo el trabajo que se viene haciendo en la clase.

Algunos aspectos que se deben tener en cuenta cuan-do se trabaja con la recta están incluidos en el recuadro teórico, con el fin de que les queden más claros a los alumnos. Hay otros aspectos, sin embargo, que el do-cente debe conocer para gestionar fructíferamente el trabajo, a saber:• En la recta es posible representar números.• Esta representación incluye un espacio de intervalo

entre los números que no está presente en la suce-sión oral ni en la escrita cuando decimos o escribi-mos1,2,3,4,etc.

• La representación incluye el 0, que tampoco estápresente cuando contamos. Muchos niños escriben comoprimernúmerodelarectael1.

• Larepresentacióntienecomocondiciónque los in-tervalos entre los números se sostengan a lo largo de la recta. Los intervalos pueden decidirse cada vez,pero una vez decididos se han de mantener en la misma recta. Esta variación de la extensión del inter-valo de una recta a otra les resulta difícil de aceptar a muchos chicos.

• Laextensióndelosintervalospuededecidirsesienlarecta no están dados algunos números.

Números naturales y recta numéricaDivisiónTriángulos

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13Los conocedores

divisiones. Es frecuente ver que, planteado un problema de división, los niños lo resuelven con multiplicaciones diversas. Este es el motivo por el que incluimos ambas posibilidades de resolución en la segunda situación de Va-caciones de invierno.Laprimerasituaciónesdereparto;lasegunda implica una partición. Cabe aclarar que la pala-bra repartir en la frase que dice el nene no excluye que se tratedeunapartición,porquesereparten130caramelosenmontoncitosde12ysevesiesosmontoncitosson10,másde10omenosde10.Enlaresolucióndeestasitua-ción también se incluye el uso del cálculo mental como una posibilidad interesante para analizar entre todos y es posible también que otros chicos encuentren caminos de resolución que no están expresados en el capítulo.

Operaciones: estrategias de cálculoEsesperablequeen3.ºgradoloschicoshayantransi-

tado por variadas estrategias de cálculo mental en torno a la multiplicación y a la división. Esto implica la cons-trucción de un repertorio y el trabajo sobre las propie-dades de las operaciones y los números, con el doble objetivo de la construcción y el uso. En el capítulo 3hemos propuesto recuperar algunas de esas estrategias y avanzar con algunas de ellas. En este capítulo, las ac-tividades de división por la unidad seguida de ceros y los cálculos aproximados tienen también ese objetivo. Es necesario asegurarse de que los saberes enunciados a continuación estén presentes para poder abordar con éxito el trabajo que se propone en relación con el algo-ritmo de la división.• Exploración de algunas relaciones en la tabla pitagórica.• Productos de la tabla pitagórica.• Multiplicaciónpor10,por100ypor1.000encontran-

do regularidades.• Multiplicacióndenúmerosredondospor1dígito.• Númerosredondosdivididonúmerosde1cifra.• Númerosredondosdividido10,100,1.000.• Usodecálculosconocidospararesolverotros.• Usodediferentesdescomposicionesdelosnúmeros

para resolver multiplicaciones.• Usodelresultadodemultiplicacionesconocidaspara

resolver otras.• Usoderesultadosdelatablapitagóricapararesolver

divisiones.• Usodelasdescomposicionesdelosnúmerosparare-

solver divisiones.En4.ºgrado,laintencióneselaborarunalgoritmopara

la técnica de la división. En estas páginas se comienza con ladivisiónporunacifra.Enelcapítulo5secontinúaconesta elaboración y se plantea una división por dos cifras.

Para acercarnos a la división desde lo intranumérico, descontextualizando el cálculo, se propone el análisis de diversas escrituras para los pasos intermedios del algo-ritmo y el trabajo con la estimación de resultados.

En las preguntas del Para conversar juntos: “¿En qué separecenlascuentasdePaulayÁngela?¿YlasdeIg-nacioyÁngela?¿Enquésediferencianestasúltimas?”,se requiere una oportuna gestión del docente, con in-tervenciones que acompañen la búsqueda que hacen los chicos.

GeometríaEl trabajo geométrico de este capítulo tiene por obje-

tivo la elaboración y la sistematización de las propieda-des de los triángulos. Al retomar el juego de adivinar la figura, ahora con la dificultad de que todos son triángu-los, favorecemos la mirada sobre algunos aspectos que queremos enfocar: los ángulos y los lados.

Este hacer geométrico que transitamos en los ca-pítulos implica momentos de construcción, discusión, validación y conceptualización. Como dijimos antes, es importante permitir que los procedimientos y las hipótesis de los chicos se manifiesten sin darles un formato previo para que puedan elaborar progresiva-mente los objetos geométricos. En esta elaboración, con la intervención del docente, irán logrando concep-tualizaciones parciales que se convertirán en el saber previo de las actividades de los próximos capítulos. Por ejemplo, en la conceptualización de los distintos cuadriláteros, el trabajo en torno a los triángulos se vuelve muy relevante.

El enunciado de los elementos del triángulo y su uso para la clasificación ha de ser posterior al uso durante el juego y las actividades: es el corolario de la construcción del concepto que se propone a través de las actividades y no el punto de partida.

Hay que tener en cuenta que las construcciones me-diante instrumentos geométricos son indispensables para la mejor representación de las figuras. Es necesario avanzar en la caracterización de las figuras a partir de las relaciones observables en ellas. Cuanto mejor sea la re-presentación, más fácil será avanzar en las definiciones.

En un Para conversar juntos se propone: “¿Qué pre-guntas harían para poder adivinar cada una de las fi-guras? Elijan uno de los triángulos dibujados. Escriban pistas y dénselas a un compañero para que pueda des-cubrir de cuál se trata.” Este pedido de redactar las pre-guntas y las respuestas o pistas es un paso más en la definición de las figuras, porque el chico debe cumplir ambos roles: el del que pregunta y el del que responde.

14 Los conocedores

saber matemático, el pedido por la validación posterior al hacer, la reflexión sobre la propia acción y la argu-mentación basada en lo hecho son fundantes del avan-ce progresivo.

Hay que tener en cuenta que, cuando hablamos de saberes previos, nos referimos no solo a los que los chicos ya tienen, sino también a la actualización que puedan hacer de esos saberes para encarar la nueva si-tuación.Loschicosdeberíansaberenquéviejosconcep-tos pueden apoyarse, e ir estableciendo qué relaciones existen entre la división, la multiplicación, la suma y la resta. Es función de la escuela favorecer el trabajo con diferentes situaciones y contextos que permitan a los chicos aprender a distinguir cuál es la operación o las operaciones que resuelven cada situación.

En Los tejidos de Silvia los problemas contemplan situaciones variadas: la relación entre dividendo, divi-sor, cociente y resto; el análisis del resto; la posibilidad de dar más de una respuesta y de pensar las respuestas desde lo matemático y también incluir el contexto.

En estas páginas, además, seguimos ocupándonos del avance en la construcción del concepto de división y, entre otros aspectos, hacemos foco en el hecho de que un chico se encuentre con la posibilidad de resolver diversos problemas mediante la división, por ejemplo, que encuentre que la división le permite:• averiguar en cuántas partes se puede repartir una

cantidad dada y saber cuánto le corresponde a cada una (problemas de partición);

• averiguar cuánto le corresponde a cada parte dentro de un reparto (problemas de reparto);

• analizar qué sucede con el resto, donde se pone en evidencia que el resultado de la cuenta no es siempre la respuesta al problema;

• estimar el cociente para favorecer el control de los resultados;

• hacer cálculos en los que emplea sus conocimientos sobre la descomposición de números y la multiplica-ción por la unidad seguida de ceros. Elobjetivodelaactividad3(“Pararesolverlosproble-

mas anteriores, Eloísa anotó estas cuentas. Complétenlas y anoten a qué datos se refiere cada número.”) es que los chicos puedan poner nombre a cada uno de los elemen-tos del algoritmo de la división según el contexto del pro-blema. Este trabajo apunta a evitar que no sepan dar la respuesta al problema, aunque hagan bien las cuentas.

Operaciones: estrategias de cálculoEn el capítulo anterior puntualizamos que en el Primer

ciclo los chicos exploran diversas estrategias heurísticas

NumeraciónEl propósito del juego que está planteado al inicio

de este capítulo es el tratamiento del sistema de nume-ración decimal y de los números naturales. Este juego permite evidenciar habilidades y saberes acerca de la lectura y la escritura de números, la descomposición de números basada en la organización posicional y deci-mal del sistema, las relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a un número y la expresión de un número en términos de unidades, decenas y centenas.

El cuadro que hay que completar en la página que sigue al juego permite la problematización de algunos conceptos matemáticos que queremos sistematizar en este momento: el sistema de numeración decimal, la lectura y escritura de números, y la expresión de un nú-mero en términos de unidades, decenas, centenas, etc.

Para lograr este tipo de aprendizaje y esta sistemati-zación se requiere la intervención estratégica del docen-te. Por eso, los problemas que se le plantean al alumno y la manera en que el docente organiza y conduce la ac-tividad tienen que poder motivar a los niños a indagar entre sus saberes previos para decidir qué les conviene hacer, es decir, cuáles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solución.

Operaciones: resolución de problemasEn las páginas de resolución de problemas, tanto en El

bazar de Jorge como en Los tejidos de Silvia, se continúa poniendo atención en el tratamiento de la información en torno a los problemas del campo multiplicativo, con situaciones de proporcionalidad, reparto y partición, y si-tuaciones que combinan diferentes operaciones con nú-merosnaturales.Seponeelfocoenuntrabajoespecíficocon el análisis del resto y en el comienzo de la construc-cióndel conceptodeproporcionalidaddirecta.Lasdossituaciones de El bazar de Jorge recuperan, además, el trabajo con estrategias de cálculo mental hecho en ca-pítulos anteriores.

LosobjetivosdelosapartadosPara conversar juntos de estas páginas son mirar diferentes soluciones junto con otros, generar la posibilidad de descentrar la mi-rada de la propia producción, observar con más obje-tividad lo hecho por uno mismo, y analizar los proce-dimientosylasestrategiasdeloscompañeros.Desdeelpunto de vista del aprendizaje matemático estas prácti-cas en el aula generan avances sobre los conocimientos y su interrelación: el comportamiento de los números, las relaciones entre ellos, las operaciones posibles, la di-versidad de caminos de resolución, etc. Por otra parte, en un enfoque que toma en cuenta la construcción del

Números naturalesDivisiónTriángulos

5

15Los conocedores

pararesolverunadivisión.Esunobjetivode4.ºgradoco-menzar a utilizar el algoritmo convencional. Es necesario transitar por diversas estrategias de cálculo mental antes de “registrar” el algoritmo como el procedimiento óptimo para encontrar el resultado de una división.

En el capítulo anterior se trabajaron las estrategias más significativas para abordar la construcción del algoritmo. En este capítulo avanzamos hacia el análisis del algorit-modeladivisiónpordoscifras.Sibienlasestrategiasdecálculo necesarias en este algoritmo intermedio son las mismas para una, dos o cualquier cantidad de cifras del divisor, es conveniente avanzar con cierta lentitud para garantizar la solidez de las construcciones en el dominio de este hito social que es “aprender la cuenta de dividir”. Nosoloseofrecenparaelanálisiscuentascompletas,sinoque además están desplegados los cálculos mentales que se fueron haciendo para resolverlas.

Cuando se plantea un trabajo en el aula sobre las estrategias de cálculo mental, para que esta práctica se desarrolle en condiciones que la vuelvan potente, hay que considerar algunos puntos.• Saberqueelcálculomentalpermitetrabajarconlos

números en un contexto intramatemático, es decir, sin otros contextos que den sentido.Sibieneljuegoesunabuena estrategia para trabajar con el cálculo mental, después de jugar hace falta una reflexión que avance hacia la descontextualización de las jugadas.

• Permitir las anotaciones. El lápiz y el papel facilitan pensar las soluciones, ensayar procedimientos, regis-trarpasosyresultadosintermedios.Lasanotacionesse convierten en la base desde la cual partir para co-municar.

• Noesposiblepensareltrabajoconlasestrategiasdecálculo con la lógica del tema dado. En cambio, se ha de volver a esa estrategia tantas veces como ha-gan falta: con un juego, con cálculos para reflexionar, con desafíos y, cada vez, adaptándose a los progresos que el grupo y cada alumno vayan haciendo. Como el aprendizaje no es lineal, estas propuestas deben ser flexibles en cuanto a los tiempos y a los logros.

• Es necesario planificar secuencias en torno a una es-trategia, organizar una progresión de aprendizajes y no trabajar las clases de manera aislada.

• Hay que tener en cuenta que los tiempos de adqui-sición de estrategias de cálculo mental se dan a me-dianoyalargoplazo.Loquepuedeserevidenteparaun niño puede ser incomprensible para otro. Hay un aprendizaje que se logra por un tipo de práctica sos-tenida en el tiempo, poniendo reiteradamente la mi-rada sobre ciertas regularidades.

GeometríaEn este capítulo damos entrada especialmente a

determinadas prácticas matemáticas que permiten el avance en el uso de lenguaje específico y en la ela-boración de instructivos para realizar construcciones geométricas.

A lo largo de la escolaridad el niño va diferenciando dibujo de figura. El dibujo es una representación de la figura, del objeto geométrico. Hace falta un trabajo que logre que se observen mejor en el dibujo las propieda-des de la figura que ese dibujo representa.

Selespidealoschicosquerealicenlasconstruccio-nes ajustándose a ciertos datos o utilizando determina-dos instrumentos. Esto tiene varios propósitos, a saber:• Que los chicos comiencen a evidenciar la necesidad

de fijar algunos datos, por ejemplo, ciertas medidas para la construcción de un único triángulo.

• Que determinen si con los datos dados alcanza para fijar la construcción de un único triángulo o de va-rios.

• Que determinen criterios para la construcción de un único triángulo y puedan elaborar institucionaliza-ciones parciales del estilo de “para construir un único triángulo se deben conocer la medida de dos lados y el ángulo comprendido” o “para construir un único triángulo es necesario conocer la medida de los tres lados”.

• Que decidan cuáles son los instrumentos adecuados para la construcción solicitada.

• Que construyan o identifiquen pistas para adivinar triángulos haciendo uso de la clasificación de los trián-gulos.

• Que conjuguen las dos clasificaciones; por ejemplo, que indiquen si es posible que un triángulo sea rec-tángulo y escaleno.

• Que al observar que no todas las construcciones son posibles, elaboren hipótesis que los acerquen a la propiedad triangular, es decir, que la condición nece-saria y suficiente para que sea posible la construcción de un triángulo es que la medida de cada lado sea menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.Hay dos instructivos en el capítulo: el de la construc-

ción de triángulos, que recupera el uso de la circunfe-rencia como auxiliar matemático y el de la copia de un ángulo con regla y compás, que vuelve sobre un conte-nidotrabajadoenelcapítulo2,ahoraconlacompleji-dad de seguir un instructivo y de que está al servicio de la caracterización de las figuras.

16 Los conocedores

trata el estudio que se lleva a cabo sobre las divisiones exactas y las conclusiones que surgen de ese estudio.

Este es un tema que se inicia en 4.º grado con unprimerabordajeysecontinúaen5.ºgradoyen6.ºgra-do con mayor carga teórica. El estudio de los conceptos asociados a la divisibilidad permite la investigación de relaciones entre números, especialmente el análisis del algoritmo de la división, al que se le dedica también un espacio en la parte de estrategias de cálculo de este mismo capítulo.

En4.ºgradosecomienzaeltrabajoconlosconceptosde múltiplo y de divisor de un número; y con las relacio-nes entre cociente, divisor, dividendo y resto.

Unpasomuyimportanteeneltrabajoconlaresolu-ción de problemas y el tratamiento de la información es que los chicos vayan desarrollando habilidades en relación con la validación de sus producciones y la con-frontación de la solución a la que llegaron con las de sus pares. Esta validación ha de enmarcarse en un espacio generado especialmente por el docente, un espacio que favorezca la discusión y el análisis de los procedimientos paraversisonadecuadosyconvenientes.Deestemodo,los chicos se van aproximando a la conceptualización de un determinado contenido y son capaces de distinguir qué procedimientos son válidos y eficaces, y cuáles no lo son.

Losmodosderesoluciónylosprocedimientosqueloschicos emplean para abordar un problema muestran, en parte, el sentido que para ellos tiene esa situación y los significados que hasta el momento han podido construir. Por eso, hace falta poner atención tanto en los problemas que seleccionamos como en el relevamiento de los diversos procedimientos que los chicos van desa-rrollando en la clase para resolverlos, ya que este rele-vamiento nos permitirá seleccionar lo que ofreceremos a la reflexión en las puestas en común para provocar, en el tiempo, el progreso de los conocimientos.

Operaciones: estrategias de cálculoEl título que inicia el trabajo en este eje es Pensar las

cuentas de dividir, porque el trabajo en estas páginas con la división entera de números naturales va a estar centrado en propuestas para “acortar” la resolución del algoritmointermediopor1y2cifras,enfuncióndelasestrategias de cálculo que fueron trabajadas con la mul-tiplicación.

Como la división es un concepto muy complejo, es necesario continuar trabajándolo con los chicos a lo lar-go de toda la escolaridad primaria. Hemos visto que va mucho más allá del algoritmo tradicional de la cuenta

NumeraciónLasfracciones conforman el conjunto de los núme-

ros racionales, al igual que los números decimales, que son fracciones decimales. Para construir el concepto de fracción los chicos tienen que encontrarse con la posi-bilidad de resolver diversos problemas mediante el uso de fracciones e identificar que una fracción puede ser la expresión de una relación entre la parte y el todo, el resultado de una situación de reparto, el resultado de una medición. Estos son los significados del concepto defracciónqueseabordaránen4.ºgrado.

ElconceptodefracciónescentralenelSegundociclo.Por eso, es indispensable definir qué aspectos deberán ser abordados en cada año del ciclo, tomando en cuenta el avance en la complejidad del objeto matemático. En 4.ºgradoesnecesariocentrarseenelconceptodefrac-ción y en ciertas estrategias de cálculo que confluyen en la construcción del concepto, ya que un buen trabajo sobre el concepto crea una base sólida para todos los contenidos relacionados con fracciones. Por eso, le dedi-caremos mucho espacio a ese trabajo y, en un principio, menos espacio a otra clase de operaciones relacionadas con las fracciones que implican estrategias más avan-zadas.

Laentradaalconceptoenestecapítuloseplanteaenrelación con la división, a partir de situaciones de repar-to. El resto del capítulo continúa con temas relacionados con la división. En los capítulos 7 y 8, se sumarán situa-ciones que permitan componer una cantidad a partir de otras expresadas en fracciones, utilizar fracciones para medir longitudes, comparar fracciones, hacer cálculos mentales con fracciones y, finalmente, sumar y restar fracciones.

Seiniciaeltrabajodeanálisisdelrestoenlosrepar-tos y particiones equitativas buscando la identificación de situaciones de reparto en partes iguales en las que tie-ne sentido repartir el resto, con la intención de ver si es posible repartir el resto y, de ser posible, cómo puede hacerse el reparto. Los problemas buscan producir laaparición de algunas fracciones, algunas más conoci-das, otras menos: los medios, los cuartos, los tercios y los quintos. Es posible que algunos resuelvan los pro-blemas con dibujos, escribiendo expresiones con pala-bras y no con números, o con expresiones fraccionarias poco convencionales como la mitad de 1/2.

Operaciones: resolución de problemasEn La florería de don Carlos se presentan situaciones

para el tratamiento de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales. En relación con este tema se

FraccionesDivisibilidadCuadriláteros

6

17Los conocedores

de dividir. Por eso, se proponen Más estrategias para dividir mentalmente, estrategias de cálculo que tienen validez en sí mismas y que, al mismo tiempo, comple-mentan y sostienen el trabajo con el algoritmo.

Elobjetivodelaactividad11 es el encuadramiento, es decir, que se refiere a poder decidir en qué intervalo numérico se encuentra un cálculo. Unaspecto funda-mental del cálculo –no solo del cálculo mental– es la posibilidad de estimar, redondear, aproximar, ya que, cada día, la mayoría de los cálculos que se hacen fuera de la escuela son mentales y muchas veces la respuesta no tiene por qué ser exacta: alcanza con una aproxima-ciónoestimación.Inclusocuandoseutilizalacalcula-dora debemos asegurarnos de haber tecleado bien los datos y, para ello, hay que contrastar el resultado con la estimación del resultado.

El desafío que se ofrece en estas páginas es un tema centraldetrabajoen5.ºgradoeimplicalarelaciónen-tre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.

GeometríaEste es el último capítulo en el que se ven temas de

geometría, ya que los capítulos siguientes están cen-tradosenlamedida.Laspáginasdegeometríadeestecapítulo no solo abordan el trabajo sobre los cuadrilá-teros, sino que dan una vuelta más al tema de las cons-trucciones, a partir de todo lo que se vino trabajando desdeelcapítulo1.Poreso,haytítulosreferidosa loscuadriláteros, como Los elementos y la clasificación de los cuadriláteros y Construcción de cuadriláteros, y títulos referidos a otras construcciones: Rectas paralelas y per-pendiculares y Más construcciones de triángulos, en las quesecomienzauntrabajoqueserámásfuerteen5.ºyen6.º:laexploracióndelasrelacionesentrelosángulosinteriores.

EnelSegundociclosecomienzaconlaconstruccióndecuadriláteros.Seabreeltemaen4.ºgrado,contac-tando con los saberes previos del trabajo con figuras; se locontinúa fuertementeen5.ºgrado;y se lo tratademanerabreveen6.ºgradoparaadentrarseenlospolí-gonos. El objetivo de las actividades propuestas en este capítulo es el avance en la identificación de las propie-dades que caracterizan a cada uno de los cuadriláteros, considerando los lados y los ángulos, que permitirán definirlos.

El comienzo de esta parte del capítulo remite al jue-go de adivinar la figura. Esta vez la pista que se ofrece al análisis incluye la relación de perpendicularidad. Esta actividad es otro buen ejemplo de cómo la misma dinámica del juego de adivinar la figura se puede ir

complejizando de tal manera que sea útil para abor-dar cualquier figura.Utilizar elmismo juego, con lasvariaciones de las figuras en torno a las cuales se está trabajando, permite a los chicos centrarse en el traba-jo sobre el objeto matemático específico, ya que la di-námica del juego es conocida y no lleva ni tiempo ni energía especial aprenderla.

En estas páginas se definen los cuadriláteros en fun-ción de si tienen solo un par de lados paralelos o dos pares.Notodoslostextosplanteanestadefinición,queclasifica los cuadriláteros en trapecios, paralelogramos y cuadriláteros que no tienen ningún par de lados pa-ralelos (trapezoides). El cuadrado es rombo y es rectán-gulo; los cuadrados, los rectángulos y los rombos son paralelogramos.

Al igual que en las construcciones de triángulos del capítulo5,elpedidodeestasconstruccionesseajustaa ciertos datos o al uso de determinados instrumentos, porquetienenvariadospropósitos.Unodeestospropó-sitos es el avance en la identificación de las propiedades que caracterizan a los cuadriláteros, considerando los ladosylosángulos.Otropropósitoesdiscutiracercadelos elementos necesarios para construir un único cua-drilátero; acerca de cuáles son los elementos que fijan la forma y el tamaño, y que los chicos puedan decir si, dados ciertos datos, es posible o no construir infinitos cuadriláteros (en clase se hablará “muchos cuadriláte-ros”), y acerca de qué datos son necesarios para la cons-trucción de un paralelogramo y qué es necesario indicar para que el cuadrilátero sea único.

El desafío acerca de cuántos cuadrados hay en la figura tiene como uno de sus objetivos principales el desarrollo de habilidades específicas para la resolución de problemas, ya que no siempre basta con la primera mirada para la resolución de un problema. Resulta ne-cesario identificar una estrategia óptima para la resolu-ción de la situación (en este caso, para el conteo de la cantidad de cuadrados); por ejemplo, la identificación de regularidades.

Los juegosydesafíos–nosolo losdeestecapítulo–favorecen el desarrollo de habilidades para comprender conceptos y el lenguaje específico matemático, identifi-car analogías y diferencias, seleccionar datos y procedi-mientos correctos, cambiar una metodología de trabajo cuando la que se está utilizando “no sirve” y, fundamen-talmente, colaboran en el desarrollo de una actitud po-sitiva hacia la Matemática.

18 Los conocedores

FraccionesInstrumentos de mediciónTiempo

7equivalentesa1/2ylosenterosestánpartidosencuar-tos,sextos,octavosydécimos.Enlaactividad11, se bus-ca que identifiquen que se trata de la misma cantidad yvieneacontinuacióndeunpedidodeexpresar1/3ensextos, aclarando que se trata de “la misma cantidad de agua”.

Operaciones: resolución de problemasEn estas páginas nos adentramos en una reflexión

que tiene una fuerte presencia en muchas de las acti-vidades y problemas que se plantean con fracciones: cuando trabajamos con fracciones, es muy importante tener presente la unidad. En Las fracciones y la unidad, además, se abordan los conceptos de cantidad continua y cantidaddiscreta. Son tres situacionesqueplanteandiferentes casos en relación con la unidad.

Enlaprimerasituación,3y1/3representanlamismacantidad de escalones, porque ambos tomaron unida-des diferentes: la señora considera que los 9 escalones son la unidad y Jorge considera a cada escalón como una unidad.

Enlasegundasituación,1/2y2/4tambiénrepresen-tan la misma cantidad. Esta situación refiere al uso de fracciones en el contexto de un uso social de las medi-dasdecapacidad.Losescalonesestánseparados,pero,en cambio, no se puede separar el líquido en partes y contarlo: es una cantidad continua. Para resolverla, los chicos pueden recurrir a gráficos o dibujos, o a un cálculo mental.

Enlatercerasituación,1/2eslamitadparaambos,pero representa cantidades diferentes de monedas, por-quelasunidadesquesirvendebaseparacalcular1/2son diferentes.

Operaciones: estrategias de cálculoEn 4.º grado definiremos la fracción a partir de si-

tuaciones de reparto y progresivamente se irán suman-do situaciones que permitan componer una cantidad a partir de otras cantidades expresadas en fracciones, comparar fracciones, hacer cálculos mentales con frac-ciones, utilizar fracciones para medir longitudes, y su-mar y restar fracciones.

En estas páginas se continúa con la relación entre las partesylosenteros.Seproponeencontrarlafraccióndeun entero según sean magnitudes continuas o discretas y diferentes representaciones de algunas fracciones.

Las operaciones con fracciones se continúan traba-jando desde la perspectiva del cálculo mental y no de la del cálculo algorítmico. Cuando hablamos de cálculos algorítmicos con fracciones, pensamos, por ejemplo, en

En este capítulo se propone trabajar con las fraccio-nes tanto en el eje de numeración como en los ejes de operaciones.

NumeraciónEn Las fracciones el foco del trabajo con el concepto

de fracción está puesto en las representaciones, el as-pecto gráfico, las relaciones, la comparación de fraccio-nes y la reconstrucción de la unidad usando fracciones. El recuadro teórico está al comienzo, una situación muy poco común. Esto es así porque brinda una información necesariapararesolverlaactividad1yútilenlasacti-vidades2,3y4.Almismotiempo,sintetizael trabajocomenzado en el capítulo 6.

Laactividad6planteaunasituacióndiferentedelasanteriores, ya que no hay un entero sobre el que tomar decisiones: se presenta una parte y hay que reponer el entero. Es posible que algunos chicos tomen cada dibu-jo como el entero. Para facilitar la lectura de que cada dibujo es la mitad se ofrecen formas variadas, como la inclusión de un medio circulo.

Al reconstruir el entero es posible hacer dibujos di-ferentes. El objetivo del Para conversar juntos que se encuentra a continuación de la actividad 6 (“¿Hay más de un dibujo posible? Compartan los dibujos que hicie-ron.”) es que, al compartir, los alumnos puedan validar el entero que cada chico reconstruyó y que, aunque los dibujos de cada uno sean diferentes, todos puedan ser vistos como enteros equivalentes si respetan la cantidad de partes.

Bajo el título Las fracciones en la recta numérica, se trabaja la representación de fracciones en la recta nu-mérica y se da otra vuelta al concepto de fracciones equivalentes. Como los niveles de dificultad con la recta numérica varían mucho de chico a chico, es conveniente haber trabajado en el contexto de los números natura-les con algunos aspectos que presentan dificultad en su uso, porque, al ser ya conocida, se convierte en un exce-lente instrumento para avanzar en el concepto de frac-ciones y para comenzar a introducirse en el concepto de densidad de los números racionales, que se amplía y seprofundizaen5.ºyen6.º.Sugerimosqueeldocenteobserve las posibilidades de su grupo de alumnos mien-tras los deja explorar la recta, y que acompañe y guíe el debate posterior.

El objetivo de las actividades de Fracciones equiva-lentes es constatar que, aunque un entero esté partido en diferente cantidad de partes, las fracciones que ex-presan una parte pueden ser equivalentes. Es el caso de la actividad 9, en la que se pide que pinten fracciones

19Los conocedores

el algoritmo conocido en la escuela para obtener frac-ciones equivalentes (multiplicar o dividir el numerador y el denominador por un mismo número) o al uso de este algoritmo en las operaciones de suma y resta de frac-ciones de distinto denominador. El cálculo mental, por el contrario, se define como un conjunto de procedimientos que no refieren a un algoritmo –conjunto de estrategias y procedimientos que va desplegando el que los hace a par-tir del análisis de los datos con los que cuenta–, y que se utilizan para obtener resultados exactos o aproximados. Lasestrategiaspuedensermuydiversasynoseesperaunúnico camino posible para llegar a la resolución.

En Armar un entero se trabajan las relaciones entre fracciones, la reconstrucción de la unidad usando frac-ciones y qué fracción es necesario sumar o restar a una fracción dada para obtener un entero. En Armar enteros mayores que 1 el tema de estudio es qué fracción es ne-cesario sumar a una fracción dada para obtener enteros mayores que uno.

En Comparar fracciones nos adentramos en las estra-tegiasdecálculoparacompararfracciones.Unadeestasestrategias de cálculo es considerar si la fracción equiva-leaunentero,oesmayoromenorqueunentero.Lassituacionespresentadasenlaactividad12estáncontex-tualizadas, mientras que las presentadas en la actividad 14no lo están y los chicospueden recurrir a cálculosmentales que impliquen la relación entre el numerador y el denominador.

En esta parte del capítulo, la mirada comienza a di-rigirse hacia la relación entre el numerador y el deno-minador. Todavía hay textos escolares en los que se lee la clasificación de las fracciones en propias (el numera-dor es menor que el denominador), impropias (el nu-merador es mayor que el denominador) y aparentes (la relación entre numerador y el denominador da como resultadounenteroigualomayorque1).Encambio,pensar en una clasificación de las fracciones como me-noresque1,igualesa1,mayoresque1yequivalentesa un entero, facilita el trabajo de comparación y nos ubica en un contexto que posibilita la resolución de situaciones.

Tengamos nuevamente en cuenta que es fundamen-tal generar un espacio que favorezca el trabajo colectivo de reflexión y de análisis de los problemas planteados –sobre todo con la descontextualización que implican los que aquí proponemos–, para promover la comuni-cación y la explicitación de las distintas conclusiones y la observación de cuáles son los conocimientos de los que parten los chicos y cuáles los que utilizan.

MedidaEn este capítulo comienza una serie (capítulos 7, 8 y

9)enlaqueelejeeslamedida.Sugerimosaldocentere-levar los saberes previos de sus alumnos y las experien-cias realizadas en torno a la medida en el Primer ciclo antes de iniciar el trabajo con las situaciones propuestas en este capítulo. Este relevamiento tiene por objetivo considerar si es posible comenzar directamente con el tema o si hace falta comenzar por algo que permita a los alumnos recuperar algunas ideas centrales sobre los problemas de la medición.

El trabajo con la medida tiene que contemplar estos puntos:• El hecho de medir, el concepto de medida.• El concepto de magnitud. Todo lo que puede medirse

recibe el nombre de magnitud.• Losinstrumentosqueseutilizanyparaquésonapro-

piados.• Lasunidadesdemedidacotidianasymásaccesibles.• Lasequivalenciasposiblesapartirdelasunidadesde

medida vistas durante las actividades que se propo-nen.

• Elusodefraccionesenelcontextodelamedida:1/2,1/4,3/4.

• Laestimacióndeunamedida.A partir de las actividades de este capítulo y de los

siguientes, se recuperará que:• Medir es elegir una unidad y determinar cuántas ve-

ces entra en el objeto que se mide.• El resultado de la medición depende de la unidad

elegida.• Al medir, muchas veces hace falta fraccionar, partir la

unidaddemedidaelegida(“mide11/2”).• Laeleccióndelasunidadesdemedidadependedel

objeto que se va a medir.• Lamedición siempre es aproximada; sin embargo,

hay instrumentos y procedimientos que garantizan una medición de mayor exactitud.

• Para cada magnitud son adecuados diferentes instru-mentos de medida.En el caso de la medición del tiempo, la intención es

que se tome la noción de tiempo como una magnitud. Esto implica identificar unidades de medida y también instrumentosdemedición.Dadalacomplejidaddelasnociones relacionadas con la medición del tiempo, la intención es que los chicos de 4.º grado vayan reali-zando un trabajo superador respecto del iniciado en el Primer ciclo.

20 Los conocedores

FraccionesLongitud, peso y capacidad

8ejemplo, en 1/4 y en 0,25. Tomando esto en conside-ración se proponen en el eje Medida actividades que implican ir pensando las relaciones entre la notación decimal y la fraccionaria.

Operaciones: resolución de problemasEl tema de estas páginas es la suma y la resta de fraccio-

nes, y una introducción a la multiplicación de fracciones.En la primera situación de La huerta, es necesario res-

ponder una pregunta que implica realizar, en un primer paso, una suma de fracciones de distinto denominador y, luego, una resta.Laintenciónesquelosalumnospue-dan apelar a las estrategias de cálculo mental y a la bús-queda de fracciones equivalentes que vienen trabajando desde el capítulo 6. Por lo tanto, el objetivo no es que todos usen el procedimiento algorítmico para sumar y restar fracciones.

El cálculo algorítmico es una serie de reglas que se utilizan y se aplican en un orden preestablecido, siem-pre el mismo y del mismo modo, independientemente de cuáles sean los números que estén en juego, como una forma de garantizar que se alcance el resultado buscado en un número finito de pasos. En este sentido, si algún alumno usa el cálculo algorítmico (sea un pro-cedimiento reflexionado o mecánico), se lo trata como un procedimiento más que se verá cuando sea el mo-mentodecompartircómoseresolvióelproblema.Dehecho, al trabajar este tema en estrategias de cálculo, se proponen varias estrategias para resolver sumas y restas.

En la segunda situación de La huerta se trata de hallar la mitad del terreno que se pensaba utilizar para plan-tar la lechuga:1/2de3/8.Conestasituación,estamosentrando en el terreno de la multiplicación de fraccio-nes, un tema que plantea un verdadero desafío a los alumnosde4.º.Esimportantequeelmaestroseleccionebuenos problemas, que esté atento a los procedimien-tos que utilizan los alumnos para resolverlos y que pro-ponga actividades que provoquen la evolución de esos procedimientos y la construcción de nuevos significados. Pero hay que tener cuidado de no apresurarse a institu-cionalizar lo que aún no está sólidamente construido. Por eso, decimos que se trata de una introducción a la multiplicación de fracciones. Es fundamental permitir que cada chico resuelva las situaciones según sus posi-bilidades y saberes, y que el avance se vaya dando al compartir con otros las estrategias y los procedimien-tos, al reflexionar juntos sobre lo hecho, en el marco de oportunas intervenciones docentes.

En este capítulo se continúa el trabajo con las frac-ciones tanto en el eje numeración como en los ejes de operaciones.

NumeraciónLa recta numérica es un instrumento muy intere-

sante para avanzar en la representación y en la com-prensión del sistema de numeración y, al mismo tiem-po, ofrece algunas dificultades a muchos chicos. Hemos recorrido algunos puntos que se deben tener en cuenta desdeque fueusadaenel capítulo4paraubicarnú-meros naturales, hasta la propuesta en el capítulo 7 de ubicar fracciones del mismo denominador y la intro-ducción del tema de las equivalencias. En este capítu-lo aumenta la complejidad, ya que el pedido es ubicar fracciones con distinto denominador.

Ahora bien, si observamos las diferentes dificultades que se van sumando –el uso de la recta en sí misma, las fracciones, la equivalencia– tenemos más posibili-dades de pensar propuestas para ubicar fracciones que presenten una dificultad creciente pero que no “den un salto”. Esto significa que, si bien las fracciones pueden tener distinto denominador, es conveniente que se en-cuadren o bien entre fracciones equivalentes sencillas (medios y cuartos, quintos y decimos), o bien entre frac-ciones que presenten cierta facilidad para dividir el in-tervalo (tercios, sextos y novenos). Esta es precisamente la propuesta de Más fracciones en la recta numérica. El desafío que se encuentra varias páginas más adelante enestecapítuloesundesafíoen4.ºgradoporquepidela ubicación en la recta de fracciones para las que hay que dividir el mismo intervalo en forma muy diferente: tercios y medios.

Otraactividadqueaumentalacomplejidaddelusode la recta numérica y pone en evidencia la construc-ción que se ha venido haciendo del concepto de fracción es pedirles que, dada una fracción, ubiquen enteros, o que señalen en la recta las fracciones representadas por unamarca.Enesteúltimocaso,enlaactividad4, “¿qué fracción corresponde escribir en el primer punto de la recta?¿2/3?¿4/6?¿8/12?”.Estosdenominadoressonmássencillos de representar por los cuadraditos de la hoja (que fueron colocados para facilitar la relación). Pero también es posible escribir cualquier otro denomina-dor, y este es un debate muy interesante de mantener con el grupo.

La notación decimal y la notación fraccionaria nopermiten un reconocimiento inmediato del mismo númeroexpresadodeambasformas.Noesinmediata-mente reconocido el número que está expresado, por

21Los conocedores

Operaciones: estrategias de cálculoAl inicio del trabajo sobre el eje en este capítulo

hay situaciones contextualizadas en las que se trata de sumar y restar para encontrar la respuesta. En las pá-ginas de resolución de problemas, se propuso una re-flexión sobre la situación allí planteada y las posibles resoluciones. Ahora se trata de estar atentos a lo que cada alumno pudo ir elaborando de lo conversado en formagrupal.Laescrituradelospasosqueutilicen,loscálculos que hagan, la forma de escribir con fracciones o no estos procedimientos quedan librados a cada chico. Es esperable que los chicos se apoyen en las relaciones entre fracciones que se vienen tratando desde el capí-tulo 6 y en las estrategias de cálculo mental que fueron recorriendo.Porejemplo,en laactividad19ase tratadeunasumasimple:2/6+1/6;lab,ademásdequehayquehacer3/4+3/4=6/4,comoesposibleresponder“comieron6/4de tarta”o “comieron1 tartay1/2”, seconvierte en una situación interesante para debatir. En la actividad c se pueden usar fracciones equivalentes. En la d, pueden usar todo lo aprendido en relación con completarunenteroy,entonces,pensar4/4–1/4=3/4o1/4+...=4/4.Enlaeseincursionaenlamultiplica-ción de fracciones, ya que la respuesta implica calcular 1/4de3/4.Lafpidepensarnuevamenteenfraccionesequivalentes o en una representación gráfica.

La representación gráfica probablemente sea una forma de resolución que usen los chicos para varios de estos problemas.Dehecho, se pregunta por este pro-cedimiento en el Para conversar juntos (“¿Cómo resol-verían gráficamente la siguiente suma: 5/6+2/3?”).Ydespués de analizar dos situaciones mediante ese pro-cedimiento, se les pide a los chicos que resuelvan gráfi-camente, juntos, las situaciones restantes.

La actividad 20 plantea directamente los cálculos descontextualizados. El objetivo es que los alumnos puedan recurrir a distintas estrategias entre todas las tratadas desde el capítulo 6, en función de los números que intervienen en cada cálculo.

MedidaEltrabajoconlasmedidasen4.ºsepuedeiniciaren

el marco de lo realizado en el Primer ciclo: la realización efectiva de mediciones de longitud, de capacidad y de peso usando unidades no convencionales e identifican-do progresivamente el hecho de que medir requiere el uso de unidades convencionales.

El concepto de magnitud fue trabajado en el capítulo anterior. En este capítulo, el eje se aborda en seis pági-nas, dos por cada magnitud: longitud, peso, capacidad.

Con cada magnitud se propone el mismo trabajo: ver unidades convencionales, y realizar estimaciones y com-paraciones.

En cuanto al trabajo con la medida, en algún mo-mento la escuela ha dedicado mucho espacio a las uni-dades convencionales y a los pasajes entre unidades. Hoy se considera que es necesario darle a la estimación el espacio que merece. Por eso, desde el comienzo del trabajo con medida en el Primer ciclo se realizan estima-ciones en función de las magnitudes, los instrumentos y las unidades de medida. Este trabajo es imprescindible porque permite hacer juicios subjetivos sobre diferentes medidas en situaciones cotidianas y, además, favorece el desarrollo de la capacidad de juzgar la razonabilidad de una medida, lo que da mucho fruto al momento de pensar los pasajes entre una unidad y otra.

Para cada magnitud se proponen actividades de esti-mación; por ejemplo, que indiquen qué unidad es más útil para medir algo, que estimen cuánto miden ciertos objetos, que indiquen si coinciden las estimaciones que hicieron con las medidas que tomaron y que completen tablas con elementos que midan lo que se les indica en ella.

Despuésdehaberrealizado lasestimaciones, se lesofrece un momento para compartir lo hecho y reflexio-nar sobre ello en el Para conversar juntos. Este tipo de intervenciones del docente, como dijimos antes, son ne-cesarias y apuntan a detenerse sobre un aspecto del ha-cer que a menudo es intuitivo y puede parecer de cierta obviedad, pero sin esa reflexión el avance queda librado a la posibilidad de cada uno.

Es evidente que existe un tipo de conocimiento ma-temático que puede ser construido, adquirido o desa-rrollado fuera de la escuela, en diferentes contextos sociales y a través de diversas prácticas habituales en la culturaenlaquesevive.Lamedidaesbuenejemplodeesto.Sibienenlavidacotidianaeseconocimientosueleser eficaz, es un conocimiento que, al mismo tiempo, desconoce las condiciones de su propia producción. El aprendizaje escolar es un aprendizaje que pide una or-ganización de la tarea donde las metas, los contenidos, las actividades y la organización son muy diferentes de los de la vida cotidiana y complementan sus saberes.

22 Los conocedores

Números decimalesPerímetro y área

9de los años escolares posteriores.

En las actividades de estas páginas los objetivos son que se enfrenten con escrituras decimales, establezcan la relación entre pesos y centavos, y décimos (las mone-dasde10centavos),interpretenescrituras,establezcanrelaciones entre la lectura y la escritura de los decima-les, interpreten la información que ofrece el número con coma, analicen que un mismo valor puede formar-se de variadas maneras (usando diferentes monedas) y analicen la expresión numérica de las equivalencias establecidas.

Unavezquesehanexploradolasrelacionesentrelosnombres y las escrituras, partiendo de los saberes pre-vios de los chicos, se institucionalizan ciertos aspectos de la lectura y la escritura de los números decimales.

Lassituacionespresentanundesafíoqueponealoschicos en situación de enfrentarse con el problema y buscar cómo resolverlo antes de conocer cómo se hace mediante una explicación recibida. En algunos de estos intercambios se les comenzó a pedir que “expliquen”. Es lo que ocurre, por ejemplo, en este Para conversar jun-tos: “Por un billete de un determinado valor, ¿siempre la cantidaddemonedasde50centavosseráeldoblequelasde$1?¿Porqué?¿Ocurrelomismoconlasde10y5centavos? ¿Cómo explican la relación entre la cantidad demonedasde$1y lasdeveinticincocentavosparaun billete del mismo valor?” Esto favorece la objetiva-ción de un saber que cobra mejor forma al intentar ser explicitado.

Luego, se continúa el trabajo con las hipótesis quetienen los chicos acerca de los números, representadas porloquedicenloschicosdelapágina139, y se pro-pone un avance al compartir las estrategias que utilizan para la comparación y el ordenamiento.

Eldesafíodelapágina139(“Escriban3númerosde-cimalesentre1,5y1,6.Escribanunnúmeroentre2y3que tenga 8 en la cifra de los décimos. ¿Cuál es el nú-mero que tiene 99 décimos y la cifra de los centésimos es1?”),queesundesafíoen4.ºgrado,en5.ºesunodelos temas centrales de trabajo para abordar el concepto dedensidaddelosracionales.Loconsignamosamododeejemplo de la complejización año a año de los mismos temas y, al mismo tiempo, para observar el lugar y el tono de los desafíos presentados en los capítulos.

Operaciones: resolución de problemasLosobjetivosdelasactividadespropuestasenestas

páginas son que los chicos sumen y resten decimales, e institucionalizar finalmente el algoritmo en relación con la suma. Cuando decimos finalmente, nos referimos

En este capítulo, se entra de lleno en el trabajo con decimales, tanto en el eje de numeración como en los ejes de operaciones.

NumeraciónLos números decimales son racionales. Ciertos as-

pectos de los racionales ya fueron tratados con las fracciones, pero las expresiones decimales presentan unacomplejidadqueesnuevaparalosalumnosde4.ºgrado. Los chicos han ido construyendo una serie deconocimientos numéricos durante los años anteriores de su escolaridad y, al enfrentarse con los racionales, se encuentran con que sus conocimientos tienen un do-minio de validez limitado: el conjunto de los números naturales.

En el terreno de los naturales es adecuado pensar en el número anterior y el posterior, por ejemplo, y este saber les permite a los chicos respuestas correctas a di-versas situaciones. Pero ¿qué sucede cuando esta idea de anterior o posterior se aplica a otros dominios numé-ricos, como el de los números racionales? El uso directo de estos saberes produce errores que significan impor-tantes pérdidas de sentido. Por ejemplo, “el siguiente a1,3es1,4”o“1/3+1/2esiguala1/5”.Estoserroressistemáticos y persistentes tienen origen en un conoci-miento anterior que se constituye en un aspecto que hay que observar, confrontar, ratificar o rectificar, y so-bre el que hay que reflexionar y debatir, con el objetivo de lograr otros conocimientos. Como hemos dicho, las expresiones decimales son una forma de representar los números racionales y, por eso, mucho de lo trabajado con las fracciones se convierte en un saber recuperable para tratar los números con coma.

Laentradaaltrabajocondecimalessevefacilitadacuando se la enfoca en relación con el dinero y el siste-ma monetario, un objeto de la vida cotidiana con el que a esta edad ya tienen contacto. Hay además una gran cantidad de portadores numéricos presentes en la vida en los que se leen expresiones decimales.

Para resolver las situaciones los chicos pueden hacer dibujos de los billetes y de las monedas, pueden usar billetes de cotillón, pueden realizar cálculos, registrar escrituras en las que hay una cuenta o en la que se mez-clan palabras y números. Como dijimos antes, es impor-tante permitir que los procedimientos y las hipótesis de los chicos se manifiesten sin darles un formato previo para que puedan elaborar progresivamente los objetos matemáticos. En esta elaboración, con la intervención docente, irán logrando conceptualizaciones parciales que se convertirán en el saber previo de las actividades

23Los conocedores

a que lo que se esperaba es que antes resolvieran las actividades a partir de diferentes estrategias de cálculo: exacto, aproximado y mental.

En las dos situaciones de Compras en el kiosco, se abordan la suma y la resta de números decimales y la multiplicación de un decimal por un natural. En el aná-lisis de la primera situación la nena dice: “Podemos su-mar primero la parte entera y después, la decimal”. En la segunda situación, se plantea un problema que pue-de ser resuelto con la suma o con la multiplicación. Hay aún algunos pasos que transitar antes de estar en condi-ciones de abordar el algoritmo de la suma de decimales. Por eso, se continúa con el planteo de situaciones en las actividades del siguiente eje.

Operaciones: estrategias de cálculo

En diversos momentos hemos planteado que el sen-tido de las operaciones es una construcción que está vinculada tanto a las situaciones problemáticas como a los procesos que llevan a su resolución, y que el senti-do de las operaciones se construye paralelamente en el terreno de la resolución de los problemas y en el de las estrategias y recursos de cálculo. Recordemos también que la habilidad de calcular implica manejar propie-dades relacionadas con la naturaleza de los números, con las reglas del sistema posicional decimal y, al mis-mo tiempo, con las propiedades de la operación en sí misma.

Unavezhechasestasaclaraciones,miremospuntual-mente el tema del cálculo en las situaciones de este eje. En En la librería se continúa trabajando con la estrate-gia de estimación en situaciones contextualizadas.

El cálculo mental y el cálculo estimativo o aproxima-do son estrategias muy útiles cuando se trata de antici-par o de estimar rápidamente un resultado y son una buena herramienta de control de los propios resultados obtenidos a través de cálculos convencionales o algorít-micos, o incluso de la calculadora.

Laestimaciónylaaproximaciónsefortalecenconeljuego Aproximando resultados. Losdesafíosylosjuegoscon números presentan los cálculos de forma amena, muestran el aspecto recreativo de la Aritmética, per-miten identificar propiedades numéricas, establecer relaciones y practicar operatoria en forma amena, in-teresante y desafiante. Además, es posible jugarlos en repetidas oportunidades y, de ese modo, observar el avance en el uso y en la elaboración de la estrategia.

En Cuentas con coma se hace una primera aproxima-ción a los algoritmos. Se presenta el de la suma y, apartir de los saberes que allí pueden haberse construi-

do, se plantea una resta de números decimales y se pro-pone compartir cómopiensan ese procedimiento. Losalgoritmoscondecimalessonuntemafuertede5.º;en4.ºsoloseiniciaeltrabajo.Lamiradasobrelosposibleserrores favorece la reflexión sobre estos números, que han generado una ruptura tan fuerte en relación con los naturales.

MedidaEn estas páginas se inician las primeras aproximacio-

nes a los conceptos de perímetro y de área. En Cálculo de perímetros se plantean las situaciones

y se cierra ese momento de trabajo con un Para conver-sar juntos (“¿Cómo hicieron para averiguar la medida de cada contorno? ¿Todos lo hicieron de la misma forma?”). Recién después se entra de lleno al tema con la institu-cionalización de la “formula” para hallar el perímetro.

Azulejos en la cocina es la primera aproximación al concepto de área. El propósito es que los chicos em-pleen diferentes estrategias para resolver las situacio-nes: dibujar el plano de la pared pasado a centímetros, o pasarlo a centímetros, utilizar una hoja cuadriculada y contar los cuadraditos; utilizar azulejos dibujados y recortados a modo de material concreto o dibujar los azulejos sobre la superficie del plano. Es deseable que los chicos se apoyen en los conocimientos que tienen sobre las fracciones para poder indagar sobre ciertos resultados.

En el caso de los conceptos de perímetro y de área resulta importante aproximarnos al de área y abordar la relación entre ambos.

24 Los conocedores

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Bibliografía sugeridapara ampliar las discusiones planteadas

25Los conocedores

5) Sietemilquinientoscincuenta 1.234Mildoscientostreintaycuatro 7.055Tresmilnovecientosnueve 7.505Sietemilcincuentaycinco 7.550Tresmilnoventaynueve 3.909Miltreintaycuatro 3.099Sietemilquinientoscinco 1.034

6) EnelCuadro1vanpintadoslosnúmeros1.014y1.021. EnelCuadro2vanpintadoslosnúmeros1.240y1.350.

a)1.350.b)1.240.c)1.014.d)1.021.

Juego4 0 4 3 2 8 0 5 5 0 2 1 6 4 0 0 8 5 3 0 0 3 1 1 6 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 3 2 0 1 0 1 1 1 9 0 8 1 9 2 0 0 2 01 2 0 0 3 9 7 0 6 1 1 1 0 0 1 9 0 87 1 4 0 0 0 8 0 0

7) a)5.299-5.099.Elmenores5.099.b)1.059-1.060.Elme-nores1.059.c) 8.276-7.276.Elmenores7.276.d)4.532 -4.533.Elmenores4.532.

8) Hay varias respuestas posibles en cada caso. a) Por ejem-plo,3.047.b)Porejemplo,2.892.c)Porejemplo,1.099.

d)Porejemplo,7.101.

9) Unadelasmuchasrespuestasposibleses:a) 9.000 9.687 9.700b) 7.050 7.129 7.200c) 2.000 3.000 4.000d) 5.079 5.080 5.085

10) 3.000-3.003-3.030-3.300-3.309-3.333-3.390-3.903-3.930.

Desafío1.444y2.444.hay10números:1.204,1.214,1.224,1.234,1.244,1.254,1.264,1.274,1.284,1.294.

11) a)$37.b)Nolealcanzaparacomprarotrachalina.Lefalta$1.c)Gastó$368.Pagócon$400.d)Sí,lealcanza.Gasta-ría$326.e)$370.f)Lasposibilidadessonlassiguientes:Sacón(S),vestido(v)ychalina(Ch):$490-S,Remera(R)yRemera:$435-S,RyCh:$418-S,ChyCh:$401-v,vyv:$381-v,vyR:$309-v,vyCh:$292-v,RyR:$237-v,RyCh:$220-R,Ch,Ch:$131-v,ChyCh:$203-R,RyR:$165-R,RyCh:$148-Ch,ChyCh:$114.

12) Producción personal.

Desafío

40 30 8090 50 1020 70 60

Capítulo 1

1) Losnúmerosquefaltanson:•Enelcuadro1.Fila1:1.004,1.005,1.008.Fila2:1.011,1.016,1.017,1.019.Fila3:1.022,1.023,1.028.

•Enelcuadro2.Fila1:1.040,1.050,1.080.Fila2:1.160,1.170,1.190.Fila3:1.200,1.230,1.280,1.290.Fila4:1.310,1.340,1.370.

•Enelcuadro3.Fila1:0.Fila2:1.200,1.700,1.900.Fila3:2.300,2.600.Fila4:3.100,3.400.Fila5:4.500,4.800.Fila6:5.200,5.600.Fila7:6.500,6.700.Fila8:7.300,7.800.Fila9:8.900.Fila10:9.100,9.400.

2) EnelCuadro1avanzandea1porfilaydea10porcolumna.En el Cuadro2 avanzande a 10porfila y de a 100porcolumna.EnelCuadro3avanzandea100porfilaydea1.000porcolumna.

3) Los intrusos son los ubicados en las celdas sombreadas.Entre paréntesis, se encuentra el número correcto.

200 201 202 203 204 205 206 208 (207) 208 209

210 211 212 213 214 215 216 217 217 (218) 219

220 221 221 (222) 223 225

(224)226

(225) 226 227 228 229

230 231 232 233 234 235 237 (236) 237 238 239

230 (240) 241 242 243 244 245 246 247 248 248

(249)

250 241 (251) 252 253 254 255 256 257 258 259

260 261 263 (262) 263 264 264

(265) 266 267 268 269

270 271 272 273 274 275 276 267 (277) 278 279

280 281 282 273 (283) 284 285 286 287 288 299

(289)299

(290) 291 292 293 294 295 296 297 298 299

300

4) 4.200 4.201 4.202 4.203 4.204 4.205 4.206 4.207 4.208 4.2094.210 4.211 4.212 4.213 4.214 4.215 4.216 4.217 4.218 4.2194.220 4.221 4.222 4.223 4.224 4.225 4.226 4.227 4.228 4.2294.230 4.231 4.232 4.233 4.234 4.235 4.236 4.237 4.238 4.2394.240 4.241 4.242 4.243 4.244 4.245 4.246 4.247 4.248 4.2494.250 4.251 4.252 4.253 4.254 4.255 4.256 4.257 4.258 4.2594.260 4.261 4.262 4.263 4.264 4.265 4.266 4.267 4.268 4.2694.270 4.271 4.272 4.273 4.274 4.275 4.276 4.277 4.278 4.2794.280 4.281 4.282 4.283 4.284 4.285 4.286 4.287 4.288 4.2894.290 4.291 4.292 4.293 4.294 4.295 4.296 4.297 4.298 4.2994.300

Para conversar juntos•En el primer casillero, corresponde colocar el cero. Para darse cuentahayquefijarsedequémaneraaumentanlosnúme-ros.Enestecaso,enlafila,lohacende100en100.Entonces,el número que falta es el cero.

•Unaformadedetectarlosintrusosesmirarcómo“avanzan”losnúmerosenlafilaoenlacolumna.

•Paratransformarelcuadrodelosnúmerosdel200al300eneldelosnúmerosdel4.200al4.300,hayqueagregar,delantedecadanúmero,elnúmero4.

Solucionario

26 Los conocedores


26) Unaposibilidades:“TracenunsegmentoABquemida5cm.Apoyen la escuadra de manera tal que el vértice del ángulo rectocoincidaconelextremoA,y tracenel segmentoADquemida3cm.ApoyenlaescuadrademaneratalqueelvérticedelángulorectocoincidaconelextremoDytracenel segmentoDCquemida5cm (ADdebequedarcon lamismaorientaciónqueAB).UnanlosextremosByC”.


28)

Uno menos Número Uno más8.576 8.577 8.5789.989 9.990 9.9911.999 2.000 2.0014.000 4.001 4.002

Número entre Número1.237 1.238 1.2392.039 2.040 2.0413.100 3.101 3.1025.999 6.000 6.001

29) 2.332.

30) 1.199,1.100,1.099,1.010,1.009,1.001,1.000.

31) 6.901:entre6.899y7.015.5.038:entre5.010y5.085.

32) 7.256:Sietemildoscientoscincuentayseis.5.055:Cincomilcincuentaycinco.9.999:Nuevemilnovecientosnoventaynueve.1.001:Miluno.

33) a)Fueron1.677personas.b) Había más gente grande que chicos en edad escolar. c)Noasistierondosfamiliaresporalumno. d) Para igualar el número de alumnos, tendrían quehaberasistido350vecinos.

34) a)Seprestaron371librosentotal.b) En la biblioteca que-daron189librosdehistoriay285deGeografía.

35) Tiene140estampillasdeParaguay.

36) a)Biancaantestenía$103.b) Entre la tía y la abuela le regalaron$94.

37)

500 + 100 = 600 600 – 500 = 100600 – 100 = 5005.000 + 1.000 = 6.000

300 + 500 = 800 800 – 500 = 300800 – 300 = 5003.000 + 5.000 = 8.000

700 + 200 = 900900 – 700 = 200900 – 200 = 7007.000 + 2.000 = 9.000

38) a) 3.120. b) 1.499. c) 5.370. d) 4.500. e) 4.570. f) 4.573.g)2.628.h)3.541.i)5.872.j)1.300.k)847.l)3.962.

13) 600 + 200 = 800 400 + 300 = 700800 – 200 = 600 700 – 400 = 300800 – 600 = 200 700 – 300 = 4006.000 + 2.000 = 8.000 4.000 + 3.000 = 7.000

14) a)1.205.b)2.899.c)2.300.d)2.250.e) 977. f)2.500.

15) 1.977–1.000y3.500–1.000.

16) a)7.000.b)8.180.c)5.666.d)1.888.e)2.345.f)3.900.

17) 888+1.000,1.345+1.000y2.900+1.000.

18) a)4.200.b)7.200.c)10.400.

Con la calculadora

Cálculo Con calculadora Mentalmente 678 + 100 7783.333 + 10 3.343

9.876 – 749 9.1272.001 + 500 2.5016.773 – 918 5.855190 + 200 390850 – 100 750

5.149 – 2.502 2.647

19) Primera fila, de izquierda a derecha:•“Esunrectánguloquetienetrazadaunadiagonal”.•“Esunhexágono”.•“Esunrombopropiamentedicho”.•“Esunrectángulo”.Segundafila,deizquierdaaderecha:•“Esunparalelogramopropiamentedicho”.•“Esunromboquetienetrazadaunadiagonal”.•“Esuntriánguloisósceles”.•“Esuntrapecio”.Tercerafila,deizquierdaaderecha:•“Esuncuadrado”.•“Esunacircunferenciacondosdiámetrostrazados”.•“Esuntriángulorectángulo”.•“Esunacircunferencia”.•“Esuncuadradoquetienetrazadassusdosdiagonales”.

20) a)Cuadrado.Tiene4vértices,4ladosysepuedentrazardosdiagonales. b)Paralelogramo.Tiene4vértices,4 ladosy sepueden trazar dos diagonales. c)Rombo.Tiene4vértices,4lados y se pueden trazar dos diagonales. d) Pentágono. Tiene 5vértices,5ladosysepuedentrazar5diagonales.e) Trapecio. Tiene4vértices,4ladosysepuedentrazardosdiagonales. f)Triángulo.Tiene3vértices,3ladosynotienediagonales.

21) Unaposibilidades:“Dibujáuncuadradode2cmdeladoytrazá sus diagonales”.

Desafío hay9rectángulosy16triángulos. 22) Producción personal.

23) Es necesario utilizar la escuadra en el último dibujo, por-que no están marcados los “cuadraditos” que permiten trazar los segmentos perpendiculares.

24) Quedadibujadouncuadradode5cmdelado.

27Los conocedores

Para conversar juntos•385=3×100+8×10+5×1.•65.652=6×10.000+5×1.000+6×100+5×10+2×1.

DesafíoHay 77 centenas.Hay 888 decenas.hay2.222unidades.Hay 99 centenas, 999 decenas y 9.999 unidades.

10) Podránarmar126bolsasde10jabonescadauna.Lesso-brarán3jabones.

11) Necesitaron54cajas.Debieronarmar540bolsasde10ja-boncitoscadauna.Nolessobraronjaboncitos.

12) Podránarmar 374bolsasde 10 jaboncitos cadauna, 37cajasde100jaboncitosy3paquetesde1.000.

Con la calculadora• Sumar2.000.• haymásdeunaposibilidad.Selepuedesumar,por

ejemplo,100,200,300orestarle100o200.• Restarle50.• Unaposibilidades:0+9.000+800+70+6.• Unaposibilidades:2.345–2.000–300–40–5.

13) Loscálculosquesirvensonelbyelc.

14) Loscálculosquesirvensonelbyeld.

15) Finalizócon245puntos.Sepuedehacer130+130–15o130–15+130.

16) Porejemplo: Sofíaes coleccionistadepiedras, tiene600ejemplaresdediversasclases.Lasemanapasadasaliódeexcursiónyencontró58nuevaspiedrasparaagregarasucolección.Sinembargo,se leperdieron20enelcamino.¿CuántaspiedrastieneentotallacoleccióndeSofía?

17) a)Elverde.b) El Azul. c)1.°Rojocon110puntos.2.°verdecon100puntos.3.°Azulcon90puntos.d)Obtuvo30pun-tos más. e)Obtuvo100puntosmenos.

18)

Equipo Puntaje1° Rojo 272° Amarillo 243° Azul 12

19) a)9.532.b)8.923.c)5.647.d)21.865.

20) a)3.000+900+80+5.b)7.000+200+40+4. c)2.000+900+80+6.

21) a)20.000.b)28.000.c)28.700.d)30.000.e)34.000. f)34.500.

22) a)50.000+6.000+400+90+7=56.497. b) 90.000+2.000+500+60+3=92.563. c) 20.000+5.000+800+40+9=25.849.

Desafíohayvariasrespuestas.Porejemplo,896–823o901–828.

39) Joaquín puede elegir los cuadrados o el rombo propia-mente dicho.


Capítulo 2

1)

1.832 + 40 1.872 1.832 – 20 1.8121.530 + 70 1.600 1.832 – 30 1.8022.460 + 50 2.510 1.832 – 40 1.7921.220 + 300 1.520 1.832 – 100 1.7321.600 + 400 2.000 1.832 – 300 1.5323.250 + 2000 5.250 1.832 – 900 932

2)

825 + 10 835 875 – 10 865990 + 10 1.000 990 – 20 970764 + 30 794 714 – 10 704

1.330 + 100 1.430 1.330 – 100 1.2301.450 + 100 1.550 1.450 – 300 1.1503.120 + 1.000 4.120 3.220 – 200 3.0203.290 + 2.000 5.290 6.290 – 5.000 1.290

666 + 8.000 8.666 5.100 – 5.000 100

Para conversar juntos •Unaexplicaciónposiblees:“Aunqueintervenganlasmismas

cifras, los números formados no tienen el mismo valor. El valor de cada cifra depende del lugar que ocupa”.

3) No,porquehayqueconsiderarlacantidaddedecenasquehay en las unidades superiores.

4) hay52decenas,521unidadesy5centenas.

5) Ellugardelasdecenasloocupael2.Eldelasunidades,el1.Eldelascentenas,el5.

6)

En el número… el 5 vale… el 3 vale… el 7 vale… el 1 vale… 1.537 500 30 7 1.0005.371 5.000 300 70 17.135 5 30 7.000 1003.751 50 3.000 700 11.753 50 3 700 1.000

7) 789, 798, 879, 897, 978 y 987.

8)

En el número… el 9 vale… el 8 vale… el 7 vale… el 6 vale…9.687 900 (9.000) 80 70 (7) 6006.978 900 8 70 600 (6.000)8.769 9 8.000 7.000 (700) 60

9)

Prenda ValorBilletes

$ 10.000 $ 1.000 $ 100 $ 10 $ 118 pantalones $ 2.754 0 2 7 5 410 vestidos $ 12.350 1 2 3 5 011 chalinas $ 385 0 0 3 8 58 trajes $ 4.080 0 4 0 8 0

28 Los conocedores

31) Producción personal.32) Hay dos soluciones posibles:

33) a)9.320.b)2.039.

34) hay varias soluciones posibles. Por ejemplo, 21.395,19.472,76.951,92.357y38.459.

35) a)4.322=4×1.000+3×100+2×10+2.b)87.654=8×10.000+7×1.000+6×100+5×10+4.

36) v,v,F.

37) 1.450,1.490,1.620,1.400,1.220,1.720y16.200.

38) a)20.765.b)30.598.c)28.065.d)34.098.e)28.705. f)34.508.g)28.760.h)34.590.

39) •MaríaLauracompró3camisasporlasquepagó$150entotalyunpantalónquelecostó$72.¿Cuántodinerogastóen toda la compra?•Enzocompró5kgdepapasy2kgdebatatas.Sicocinó1kgdepapasy1kgdebatatas,¿cuántoskilosdepapasybatatas le quedan aún en total?

40) a)1.900.b)10.000.c)10.650.

41) a)17.000.b)30.096.c)34.048.d)80.000.e)40.943.

42) a)3.247=3.000+200+40+7. b)32.478=30.000+2.000+400+70+8.

43) a)1.389.b)55.555.c)1.235.d)8.042.e)12.007.


45) •Dibujá12segmentosqueformanunapoligonalcerradano cruzada. Son todos perpendiculares entre sí ymiden1cm,2cm,1cm,1cm,2cm,1cm,1cm,2cm,1cm,1cm,2cmy1cm,respectivamente.•Dibujáuntriánguloisóscelescuyosladosigualesmidan4cmyelladodesigual3cm.• Dibujá un ángulo de 140° cuyos lados midan 3 cm y3,5cm.Trazáunsegmentode6cmquetengaunextremoque coincida con el extremo diferente del vértice del ángulo de140°delsegmentode3cmyqueformeconestesegmen-tounángulode15°.Elsegmentode6cmcruzaalsegmentode3,5cm.• Dibujá 4 segmentos consecutivos que midan 2 cm;2,5cm;4cmy2,5cm.Elde2cmdebeformarunángulode60°conelde2,5cm;esteúltimodebeformarunán-gulode30°conelde4cmynocruzaalde2cm;yelde4cmdebeformarunángulode90°conelde2,5cm.Lossegmentosquemiden2,5cmdebenquedarenladoscon-trariosrespectodelsegmentode4cm.

4 cm

5 cm

5 cm3 cm

3 cm

4 cm

23)

Mayor que 1.000

Menor que 1.000 Me di cuenta porque...

478 + 499 × ambos números son meno-res que 500.

510 + 507 × ambos números son mayo-res que 500.

615 + 122 ×500 supera en más de 300 unidades a 122 y 615 solo en 115 a 500.

550 + 440 ×los 50 de 550 no alcanzan para compensar los 40 de 440 para obtener 1.000.

24)

Mayor que 10.000

Menor que 10.000 Me di cuenta porque...

5.100 + 6.700 × 5.000 + 6.000 = 11.000 y es mayor que 10.000.

4.999 + 4.888 × ambos números son menores que 5.000

4.700 + 5.200 ×los 200 de 5.200 no llegan a compensar los 700 de 4.700 para obtener 10.000.

4.700 + 6.300 × 700 + 300 = 1.000 y 4.000 + 6.000 = 10.000.

25) a)14.000.b)70.000.


27) Dibujáunángulode30°cuyosladosmidan3cm.Dibujáun segmento de 7 cm con uno de los extremos que coinci-daconelextremodelsegmentode3cmquenocoincideconelvérticedelángulode30°.Ambossegmentosdebenformarunángulode65°.Enelotroextremodelsegmentode7cm,ensentidocontrarioalsegmentode3cm,dibujáunsegmentode3cm,que formeunángulode90°coneste.

Para conversar juntos•Nosepuedecopiareldibujousandosolamentelaescuadra.

Es necesario usar transportador o compás para reproducir los ángulosdiferentesde90°.

28) Solo el 2.° ángulo esmenor que 90°. Para poder dar larespuesta podemos utilizar la escuadra.

DesafíoHay 8 ángulos de cada tipo.

29) Losángulosmiden,aproximadamente,110°,40°y130°.Siutilizoeltransportador,encuentroquelamedidaes:100°,50°y125°,respectivamente.


Para conversar juntos•Unángulorectomide90°.

29Los conocedores

•Las cuentas de Abril y de Agustín representan cálculosalgorítmicos de la multiplicación, mientras que las cuentas deLucíaydejoaquínrepresentancálculosmentales.

•EnlacuentadeAbril,el1queestáarribadel2indicaquesedebesumarotradecenaal20×2.

•EnlacuentadeAgustínel1estáenel16.

15) a)Puededividirpor2.b)18×2×100.c) a)500×2×2.b)500×200×2.c)2×2×21.d)200×2×21.e)500×2×20.f)230×2×22.g)2×20×21.h)2×22×21.d) a)37×4.b)37×8.c)46×9.d)46×27.e)23×16.f)12×25.e)35×1.000=35.000.

Para conversar juntos• 25.• Siaunnúmerocualquieralomultiplicamosylodividimos

por el mismo número, obtenemos el número inicial, ya que estamosmultiplicandopor1.

16) Por ejemplo:

Para conversar juntos•Para marcar los puntos podemos trazar la circunferencia de radio3cm,utilizandoelcompás.

•Lospuntosqueestánsobrelacircunferenciaseencuentrana3cmdeA,losqueestánenelinteriordelcírculo,amenosde3cmdeA,y losqueestánenelexteriordelcírculo,amásde3cmdeA.

Para conversar juntos•Lamedidadeldiámetrodelacircunferenciaesequivalenteadosveceslamedidadelradio(d=2r).


Para conversar juntos•Se utiliza regla y compás. Se puede comenzar trazando el

segmento y luego las tres circunferencias que tienen ese seg-mento o parte de él como diámetro.


Para conversar juntos•Para hacer el dibujo se necesita regla y compás. Para tomar

medidas se puede utilizar el compás.

Desafío

A 3 cm

B

C

H

D

G E

F

46) Producción personal.Capítulo 3

1) Xvale10.Ivale1.

2) I=1;v=5;X=10;C=100;L:50;X:10.7=vII;12=XII;21=XXI;43=XLIII;108=CvIII;134=CXXXIv.

Para conversar juntos•3=III;4=Iv;22=XXII;40=XL;6=vI;60=LX.•Algunasinferenciasposiblesson:“Lossímbolosescritosaladerechade otro le suman su valor” y “I y X a la izquierdarestan valor”.

3) Lasescriturasincorrectasson:XXXXI,vC,CCM,IC,XXXIIIIyXM.

Para conversar juntos•El sistema de numeración romano no es un buen sistema

para calcular porque no es posicional como el sistema de numeracióndecimal.Ladiferenciaprincipalesqueelsiste-ma romano es aditivo y el nuestro, multiplicativo, decimal y posicional.

4) a)Puedeelegirentre18peluchesdiferentes(6×3).b) Co-cinó24masitas(6×4).c) Habrían tenido que tocar hasta 48timbres(12×4).

5) a)Gastó$120ycompró144pañales.Datosnonecesarios:piso9ydepartamento3.b)Puedehacer48combinacionespara vestirlo.Datosnonecesarios: 15días y 18deabril.c)hay48personas.Datononecesario:Parrilla78.d) Sesirven 25 ravioles en cadaplato.Don Lucio prepara 750raviolespordía.Datosnonecesarios:Parrilla78,52años.

6) Sí,estábien.

7) 50,500,5.000,120,230,670,1.230,44.560y7.890.

8) Senecesitan30,300y3.000agujasparaarmar3,30y300sobrecitos. Se necesitan 400, 4.000 y 40.000 agujas paraarmar4,40y400paquetes.Senecesitan6.000,60.000y600.000agujasparaarmar6,60y600cajas.

9) a)3.200.b)45.000.

Desafío40×10=4×100.50×100=5×1.000.230×10=23×100.

10) a)500.b)1.000.c)750.

11) a)420.b)630.c)840.

12) a)80×2=160 (8 × 2 = 16)b)60×9=540 (6 × 9 = 54)c)900×4=3.600 (9 × 4 = 36)

13) a)40×5=200 400×5=2.000 4.000×5=20.000b)80×9=720 800×9=7.200 8.000×9=72.000

14) 336plantines.

Para conversar juntos

30 Los conocedores

25) a)222.b)555.c)1.111.d)2.002.e)70.f) 98. g)43.h)444.

26) a)MD.b)CL.c)v.d) MMMCC. e) CCCXX. f)XXXII.

27) Por ejemplo:827→DCCCXXvII379→CCCLXXIX

28) 70=LXX.99=XCIX.

29) a)vIII.b)DCCCLXXXvIII.c)LXXXvIII.d) vIIIDCCCLXXXvIII.

30) Cristinayjorgetenían20opcionesposiblesparacenar.

31) 101.Lasolucióndependedecómosepartalafiguraparapoder contar los rectangulitos. Las soluciones correctasson:11×4+7×3+9×4;4×4+4×4+5×11+7×2;4×4+9×4+7×7;y4x4x2+5x11+7x2.

32) Enlasbandejasacomodaron240alfajores.

33) 5cuadernoscostarán$100.

34) 17×10 1.70017×100 17.00017×1.000 170170×10 17.000170×100 1.700170×1.000 170.000

35) 58×10=580.43×100=4.300.100×92=9.200. 1.000×25=25.000.

36) Por ejemplo,

48 × 10 2.600

130 × 20 710

71 × 10 2.800

28 × 100 1.000


38)


40)


A

A 2 cm de B

A más de 2 cm de B

B

C

4 cm

2 cm

D

A 4 cm

BC

F

G

DE


Para conversar juntos•Para tomar las medidas se utiliza el compás.•Para copiar los segmentos, primero trazamos con la regla

no graduada un segmento cualquiera, luego medimos con el compás la longituddeunode los segmentosde lafigu-ra dada y la trasladamos sobre el segmento trazado inicial-mente. A continuación apoyamos el compás en uno de los extremos del segmento de la figura y tomamos lamedidahasta la intersección de los dos segmentos. Esta medida re-presentalamitaddecualquieradelossegmentosdelafigura.Trasladamos esta medida al segmento que representa la copia ymarcamoselpuntomedio.Dibujamoselotrosegmentoquees perpendicular al anterior y lo corta en su punto medio.

20) Sepuedetomarlamedidadeunsegmentocomparandolaabertura del compás con la longitud del segmento.


Para conversar juntos•Pueden encontrar un instructivo para copiar ángulos con re-glaycompásenelcapítulo5,página85.

22)

Para conversar juntos•Todas las construcciones deberían ser las mismas porque se

indican las medidas.

23) Porejemplo:“Trazáunsegmentode4cm.Concentroenel punto medio del segmento, trazá una circunferencia de radio2cm.Concentroenelmismopunto,trazáunacir-cunferenciaderadio1cm.”

Para conversar juntos•En general escribirán mensajes similares, porque otra posi-bilidadsignificaríapensarencircunferenciasconcéntricasyluego trazar el diámetro de la circunferencia de radio mayor.

24)

Para conversar juntos•Siunenloscentrosdelascircunferencias,seformaunacir-

cunferencia con el mismo radio que el de las circunferencias dibujadas.

4 cm2 cm 2 cm2 cm 2 cm

P

31Los conocedores

b)90:10=9 d)7.000:10=700 f)4.500:10=450 900:10=90 7.000:100=70 2.700:10=270 9.000:10=900 7.000:1.000=7 6.800:100=68

Para conversar juntos•Cuandodividimospor 100unnúmeroque terminapor lomenoscon2ceros,lequitamoslosúltimos2ceros.Cuandodividimospor1.000unnúmeroqueterminaporlomenosen3ceros,lequitamoslosúltimos3ceros.

Para conversar juntos•LascuentasdePaulayÁngelaseparecenenque,enambas,621sedesarmaen500+100+20+1.LasdeIgnacioyÁn-gela se parecen en que ambos resuelven el cálculo por medio del algoritmo no convencional de la división, “reparten” por partes.Además, lascuentasdeIgnacioyÁngelasediferen-cianenqueelprocedimientodeÁngelaesmáseconómico.

10) a)407:4estácercade100.b)5.120:5estácercade1.000.c)31:3estácercade10.

Para conversar juntos•Como en todos los casos dividimos por un número de una solacifra,paradecidirporcuálpotenciade10elegir,bastacon tener en cuenta el tamaño del dividendo.

11) a)Podríadividirpor10.b)Podríahaberdivididopor100.47.200 : 100= 472. c) Podría haber dividido por 1.000.99.000:1.000=99.d)Podríadividirdosvecespor2.

12) a)24×7=168.b)360:60=6.c)152:19=8. d)29× 11=319.e)77×5=385.f)400:8=50.

13) ¿Tiene dos lados iguales? ¿Es obtusángulo?

Para conversar juntosa) ¿Tiene un ángulo recto? ¿Tiene sus tres lados desiguales?

¿Tieneunladoquemidamásde5cm?b) ¿Tiene dos lados iguales? ¿Es obtusángulo?c) ¿Tiene un ángulo recto? ¿Tiene dos lados iguales?d) ¿Tiene sus tres lados desiguales? ¿Tiene un ángulo obtuso?

¿Tiene un lado que mida más de 7 cm?e) ¿Tiene sus tres ángulos agudos? ¿Tiene dos lados iguales y

uno desigual?f) ¿Tiene sus tres lados iguales?g) ¿Tiene sus tres lados desiguales? ¿Tiene tres ángulos agu-

dos?h) ¿Tiene un ángulo recto? ¿Tiene sus tres lados desiguales?

¿Tieneunladoquemidamásde5cm?i) ¿Tiene sus tres lados desiguales? ¿Tiene un ángulo obtuso?

¿Tiene un lado que mida más de 7 cm?•Ana eligió el triángulo b.

14) EltriánguloqueadivinóLeoesele.

15) No es suficiente. Es necesario indicar si es rectángulo oacutángulo.

16) a)Esrectánguloyescaleno.Unodesusladosmide4cm. b) Es obtusángulo e isósceles. c) Es rectángulo e isósceles.

17) Fedeeligióeltriángulob.

18) Un triángulo rectángulo no puede ser equilátero. En elequiláterotodoslosángulosmiden60°.

Capítulo 4

1)

2)

3)

4)

5) a)Tiene40plantinesdepetuniasparaubicarencadahilera(240:6).Encadahilerairían20plantinesdecolorvioleta,12decolorrosay8decolorblanco(120:6,72:6y48:6).

b)Gastó$368(2×49+5×20+20×4+30×3).Parapagarusó4billetes.Devueltoledieron$32(400–368).

c)Marianotuvoquecargar22cajas(198:9).

Para conversar juntos•Para resolver estos problemas se utilizan todas las operacio-nes,peroespecialmente lamultiplicacióny ladivisión.Loscálculos realizados están explicitados anteriormente.

•Hay más de una manera de resolverlos. Por ejemplo en el inciso e, en lugar de plantear la división, los chicos pueden probar con diferentes multiplicaciones hasta obtener el nú-meroque,multiplicadopor9,da198.

6)

8 × 5 = 40 9 × 7 = 6340 : 5 = 8 63 : 7 = 940 : 8 = 5 63 : 9 = 7

7)

8 × 9 = 72 4 × 6 = 24 3 × 9 = 2772 : 8 = 9 24 : 4 = 6 27 : 3 = 972 : 9 = 8 24 : 6 = 4 27 : 9 = 3

DesafíoMultiplicar60×8esequivalenteamultiplicar80×6,porque60×8=6×10×8=6×80=80×6.200×4=2×400y250×2=25×20.Si30×9=270,entonces270:3=90.

8) a)12.b)120.c)1.200.

Para conversar juntos•Unode loschicosdesarma240en200+40,ydividecadasumandopor2.Elotrosabeque24:2es12,entoncessileagregaun0a24,deberáagregarleun0alresultado,a12.

9) a)68:2=34 c)80:4=20 e)35:5=7 680:2=340 800:4=200 350:5=70 6.800:2=3.400 8.000:4=2.000 3.500:5=700

0 km 40 km30 km20 km10 km

0 km 200 km100 km

0 km 500 km 1.000 km 1.500 km 2.000 km

0 km 2.000 km1.000 km 3.000 km 4.000 km 5.000 km

32 Los conocedores

33) 450:90=5.7.200:90=80.7.200:900=8.

34) a)16×15=240.b)55×11=605.c)39×12=468. d)168:24=7.e)660:110=6.f)800:20=40.

35) Por ejemplo:

a) Escaleno y obtusángulo.b) Escaleno y rectángulo.c) Equilátero y acutángulo.d)Isóscelesyrectángulo.e)Isóscelesyacutángulo.

36) a) c. b) b.

37) Norapudohaberpreguntado:¿Esuntriángulorectángu-lo?Otraspreguntasposiblespuedenser:¿Esuntriánguloequilátero? ¿Es un triángulo acutángulo?

38) a)Obtusánguloyescaleno.b) Rectángulo y escaleno. c) Rectángulo y escaleno.

Capítulo 5

1)

15 238 quince mil doscientos treinta y ocho

10.000 + 5.000 + 200 + 30 + 8

1 decena de mil, 5 unidades de mil, 2 centenas, 3 decenas y 8 unidades

88.888 ochenta y ocho mil ochocientos ochenta y ocho

80.000 + 8.000 + 800 + 80 + 8

8 decenas de mil, 8 unidades de mil, 8 centenas, 8 dece-nas y 8 unidades

77.777 setenta y siete mil setecientos setenta y siete

70.000 + 7.000 + 700 + 70 + 7

7 decenas de mil, 7 unidades de mil, 7 centenas, 7 dece-nas y 7 unidades

430.800 cuatrocientos treinta mil ochocientos

400.000 + 30.000 + 800

4 centenas de mil, 3 decenas de mil y 8 centenas

125.966 Ciento veinticinco mil novecientos sesenta y seis

100.000 + 20.000 +5.000 + 900 + 60 + 6

1 centena de mil, 2 decenas de mil, 5 unidades de mil, 9 centenas, 6 dece-nas y 6 unidades

2) a)Sonofertas,porquecadaovillodelanarojacuesta$9,sicompro3pagaría$27;ycadaovillodelanaazulcuesta$12,sicompro4pagaría$48.b)Ahorra$2y$8,respecti-vamente. c)Puedecomprar8bufandas.Sidecidecomprarunabufandamás,debeagregar$5.d) Para acomodar to-dos los ovillos necesita 8 canastos. En 7 canastos colocará 15ovillosyenuncanasto,10ovillos.

a)

d)

b)

e)

c)

19) Esuntriángulorectánguloyescaleno.Losladosdelángulorectomiden2,5cmy8,5cm,aproximadamente.

Para conversar juntos•Muchos chicos posiblemente no tengan en cuenta las medi-

das del triángulo.


Para conversar juntos•No todosdibujarán losmismos triángulos,porque tendrán

diferentes medidas los lados y ángulos. Además, algunos di-bujarán, en el caso del triángulo isósceles, triángulos isósce-les acutángulos, otros isósceles rectángulos y otros isósceles obtusángulos. Y en el caso del triángulo acutángulo, algunos dibujarán acutángulos isósceles, otros acutángulos escalenos y otros acutángulos equiláteros.

DesafíoSedibujan9triángulos.

21) a)4.203<4.230.b) 9.777 > 9.767. c) 5.998<6.000. d)3.654<3.821.

22) 807-870-1.008-1.080-1.800-2.543-2.601-2.610.

23) 501-510-599-5.001-5.010-5.099-5.100.

24)

Uno menos: el anterior Uno más: el posterior9.999 10.000 10.00124.998 24.999 25.00030.000 30.001 30.002

25) Losnúmerosquefaltanson:50,150y250.

26)

27) a) Tiene que llevar $ 189.b) Cada uno tiene que poner $63.

28) Lesconvieneviajarenauto,yaquegastarían$600,mien-trasqueenmicrogastarían$720.

29) Acadapuestoletocaron23globos.

30) En cada bolsita colocó 4 chupetines. No alcanzaron. Siquiereponer3dadosencadabolsitanecesita90dados.

31) a) 8. b)16.c)12.d)24.e)4.f)2.

32) a) 60:10=6 d)5.000:10=500 600:10=60 5.000:100=50 6.000:10=600 5.000:1.000=5 b) 350:10=35 e)3.200:100=32 3.400:10=340 6.800:100=68 8.200:10=820 7.600:100=76

c) 49:7=7 f)56:8=7 490:7=70 560:8=70 4.900:7=700 5.600:8=700

0 4020

33Los conocedores

6) a)Armaron26hileras.b)20+20+10+5=55.c) En la primeracuenta:100×8=800,20×8=160y4×8=32.Enlasegundacuenta:100×4=400,100×4=400,20×4=80,20×4=80y7×4=28.

7)

Mentalmente Con calculadora8 × 2 × 2 × 2 6490 × 100 9.0002.954 × 2 × 2 11.816540 × 10 5.4005.079 × 3 × 3 45.711100 × 11 1.10025 × 12 30090.876 × 17 1.544.892

Mentalmente Con calculadora8.888 : 8 1.1118.771 : 49 1791.000 : 100 103.070 : 10 30734.804 : 77 4522.800 : 2 1.40080.730 : 69 1.1709.000 : 1.000 9

8) Para que sea posible la reproducción de la figura debemos agregar las medidas de los lados del triángulo.

9)

Para conversar juntos•Todosconstruyenelmismotriánguloporquesefijan3datos.•Losinstrumentosgeométricosqueseutilizansonreglagra-

duada y compás.•Noesposibleconstruiruntriángulocuyosladosmidan2cm,4cmy7cm:lamedidadecadaladodebesermenorquelasuma de las medidas de los otros dos lados.

10)

Para conversar juntos•Todosconstruyenelmismotriánguloporquesefijan3datos.•Losinstrumentosgeométricosqueseutilizansonreglagra-

duada y transportador.•Sinosehubieraindicadolamedidadelángulo,nohabríanpo-

dido construir todos el mismo triángulo porque, por ejemplo, habría variado la medida del ángulo formado entre los lados.

4 cm

7 cm

5 cm

5 cm

6 cm

70º

e)

Ovillos rojos 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Precio $ 25 $ 50 $ 75 $ 100 $ 125 $ 150 $ 175 $ 200 $ 225 $ 250

Ovillos azules 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Precio $ 40 $ 80 $ 120 $ 160 $ 200 $ 240 $ 280 $ 320 $ 360 $ 400

f)Puedearmar:1paquetede36botones.2de18.3de12.4de9.6de6.9de4.12de3.18de2.36de1.

Para conversar juntos•Para que haya una única respuesta, en el enunciado se debe

incluir la cantidad de botones que se quiere colocar en cada paquete.

g)Puedecolocarencadapaquete6botones.Siquiereco-locar 6 botones en cada paquete, puede armar 8 paquetes.

3) Dividendo → 50 8 ← Divisor Dividendo → 50 6 ← Divisor

Resto → 2 6 ← Cociente Resto → 2 8 ← Cociente

DesafíoLosnúmerosquefaltanson:0,77y23,respectivamente.

4) Podránarmar23collaresde25botonescadauno.Lesso-brarán12botones.

Para conversar juntos•LascuentasdeAnalíayArielseparecenenqueambosresuel-

ven el cálculo mediante el algoritmo no convencional de la división,“reparten”porpartes.Seaproximanprogresivamen-te al resultado con multiplicaciones por números redondos (utilizanestrategiasdecálculomental).Sediferencianenqueel procedimiento de Analía es más económico que el de Ariel.

•LascuentasdeAnalíayLautaroseparecenenque,enambas,587 se desarma. La diferencia está en que descomponen elnúmero de diferente manera. Analía desarma de la siguiente manera:500+50+37yLautaroasí:250+250+50+25+12.

•SiLedayCarodecidenarmaruncollarmásnecesitarán13botones.

Para conversar juntos•Las cuentas de hernán y Magda se diferencian en que la

de Magda es más económica y, además, en la estrategia de cálculo mental utilizada. Hernán hace lo siguiente:

•449=10×14+10×14+10×14+1×14+1×14+1.Magda:449=14×2×10+10×14+14×2+1.

•LacuentadehernánseparecemásaladeAriel,yladeMag-da, a la de Analía.

5) 555:23=24(pararesolver,loschicospuedendescompo-nerelresultadoen10+10+1+1+1+1).Unproblemaposible:Enlaescuelaestánorganizandounafiesta.hicieronunarifapararecaudar fondos.Los$555queserecaudaronserepartiránentrelos23cursos.¿Cuán-to dinero recibirá cada curso? ¿Cuánto dinero sobrará?

510:12=42(loschicos,pararesolverpuedendescompo-nerelresultadoen20+20+2).Unproblemaposible:Enlapanaderíaprepararon510ma-sitasdecoco.Siquierenponer12encadabandeja,¿cuán-tas bandejas podrán armar? ¿Cuántas masitas sobran?

34 Los conocedores

28) Sepuedendibujardiferentestriángulosporquenecesito3datos para poder construir un único triángulo.

29) Sepuededibujarunúnicotriánguloporquetengotresdatos.

30) Porejemplo,9cm,12cmy17cm.

31) Sepuededibujarunúnicotriánguloporquetengotresdatos.

32) Lasoluciónnoesúnica.Faltaundatoparaquelosea.

33) Sepuedendibujardiferentestriángulos.Porejemplo:


Capítulo 6

1) a)Puedeusarencadatorta21/2frascos.Sepuedeseguirrepartiendo lo que sobra. b) A cada alumno le debe entre-gar2libros.Nosepuedeseguirrepartiendoloquesobra:

5 cm45º

7 cm

6 cm

5 cm

5 cm

7 cm

60º

6 cm

5 cm


12) a) Para que las circunferencias se crucen la suma de las medidas de los dos radios debe superar los 9 cm. b) Lascircunferencias no se cruzarán cuando la suma de las me-didas de los dos radios sea inferior a 9 cm. c)Lascircunfe-rencias tendrán un punto en común cuando la suma de las medidas de los dos radios sea 9 cm.


14)

15) 8.701 ochentamilsetecientosuno8.710 8.000+700+18.071 8decenasdemil,7decenas,1unidad80.710 8decenasdemil,7centenas,1decena80.071 ochomilsetentayuno80.701 8.000+700+10

16) a) 87.399 > 87.099. b)25.001<25.010.c)43.150<44.000.d)62.086<62.088.

17) a)Porejemplo,19.034.b)Porejemplo,31.920.c)51.290.d)Porejemplo,71.002.

18) 20.001 - 20.010 - 20.100 - 200.001 - 200.010 - 200.100 -210.000.

19) Porlos193jarrospagó$965.

20) Con$125sepuedencomprar8cuadernos.Con$250al-canzaparacomprar16cuadernos.

21) Encadacajahabrá13alfajores.

22) Por ejemplo: “Tengo 78 frascos de mermelada para aco-modaren5estantes.Siquieroponer lamismacantidadde frascos en cada estante, ¿cuántos frascos acomodaré en cada uno? ¿Me sobrarán frascos?”

23) Porejemplo:“Tengo169cajasparallevaraundepósito.Siencadaviajesolopuedotrasladar12cajas,ydebotrasla-darlas todas, ¿cuántos viajes tengo que realizar?”

24) En cada estante acomodaré 12 libros. No podré acomo-dartodosloslibros(mesobran4),porqueencadaestantedebo colocar la misma cantidad.

25) a)100×25=2.500.10×25=250.1×25=25.Cociente:111.b)200×13=2.600.20×13=260.3×13=39.Co-ciente:223.

26) a)100+100+20+20=240.b)100+20+20+2=142.

27) El triángulo es equilátero y acutángulo.

4 cm

5 cm

3 cm

7 cm60º

35Los conocedores

10) a)10.b)100.c)1.000.d)923conresto1.e)92conresto31.f)9conresto230.

11)

Entre 1 y 10Entre 10 y

100Entre 100 y

1.000Entre 1.000 y

10.000

18.300 : 2 ×

455 : 5 ×

75 : 8 ×

2.137 : 3 ×

Para conversar juntos•Dividirpor10,por100ypor1.000significasacarlealdividen-

do (contando desde las unidades) tantos ceros como tiene la potenciade10porlaquedivido.Enelcasodequelosnú-meros no terminen en tantos ceros como tiene la potencia de 10,significasacarletantoslugares(tambiéncontandodesdeellugardelasunidades)comotienelapotenciade10porlaquedivido.Porejemplo,aldividir9.231por10,lesacoel1yelresultadoserá923yelresto1.Sucedequeestoydescom-poniendoa9.231en9.230+1.

•Para decidir en qué columna marcar, como en todos los casos se divide por un número de una cifra, se puede observar la magnitud del dividendo y luego la proximidad del divisor al 1oal10.

Con la calculadora•Cociente6yresto3.•Cociente11yresto7.•Cociente15y resto 7.

12) Sucompañeropuedeelegirlasfiguras:a,b,c,f,h,j,l,m,o.

Para conversar juntos•Parapoder identificar todos lamismafigura,debemosdar

otras indicaciones, por ejemplo, si tiene señalada una diago-nal, o dos diagonales; si tiene ángulos rectos; etc. También se puedeconsiderarelnombredelafigura.

13) Dospistasposiblesson:•Esunrectángulopropiamentedicho.•Tienedosparesdelados,respectivamenteiguales;yto-

dos sus ángulos son rectos.En estas pistas no se considera, por ejemplo, la medida, porque se distingue el rectángulo h del l, que tiene seña-ladaunadiagonal. Sihubieraque tenerencuentaotrasfiguras(conotrosrectángulosdibujados),posiblementesedeberían considerar otras pistas.

14) Uncuadradoesunrectánguloporqueesunparalelogra-mo y tiene sus ángulos rectos.

15) a) Por ejemplo:

Sepuedenconstruirdiferentesrectánguloscondosladosquemiden4 cm. Si sequieredibujarunúnico cuadrilátero,hayquefijarlamedidadelosotroslados.

4 cm

4 cm

5libros.c)Acadapersonaledebedar$37,25.Sepuedeseguir repartiendo. d)Encadaflorerotienequecolocar5flores.Nosepuedeseguirrepartiendoloquesobra:2flo-res. e)Acadaequipoledará3hojasy1/3dehoja.Sepue-de seguir repartiendo. f)Acadaunoletocarán2alfajoresy2/5dealfajor.Sepuedeseguirrepartiendo.

Para conversar juntos•En los casos en los que las cantidades son continuas se puede

seguir repartiendo el resto; en los casos de cantidades dis-cretas, no.

2) Por ejemplo, para el inciso e:

Para conversar juntosLassolucionesdeAbrilyAgustínsepuedenescribirde lasi-guientemanera:22/5.

3) Está pintada la mitad en los pinceles, el chocolate, los sa-capuntas y el círculo.

Para conversar juntos•TantoBeléncomoNahueltienenrazón.Beléntiene1de3caramelosdementayNahuel2de6caramelos.Ambasfrac-cionessonequivalentes:1/3=2/6.

•Para darse cuenta de en qué casos está pintada la mitad, cuando las cantidades son discretas, contamos los objetos y observamos que la mitad estén pintados. Cuando las canti-dadessoncontinuas,nosfijamossilafiguraestádivididaendos partes equivalentes y una de ellas está pintada.

•Laquintaparteconnúmerosfraccionariosseescribe1/5.

DesafíoSon4amigos.

4) 1/3,1/2y1/4,respectivamente.


6) 1/5y1/4,respectivamente.

7) vanpintadoscuatrosolesylamitaddelcuadrado.

Para conversar juntos•Porque del total de objetos debo tener pintada la tercera

parte. Al ser cantidades discretas, debo contar los objetos y dividirlospor3.Esacantidadobtenida luegode ladivisiónrepresenta la tercera parte.

8) a)Enlaprimeracuenta,Mirandahizo:200×12=2.400,30×12=360y4×12=48.Enlasegundacuentahizo:400×11=4.400,50×11=550y7×11=77.b) En la pri-mera,considerando40y4.Enlasegunda,considerando200,20y2.

9) a)93.b)930.c)9.300.d)74.e)740.f)744.g)45.h)85. i)63.

Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3

36 Los conocedores

Para conversar juntos•Para construir un cuadrado se necesita la medida de los la-dos, y si no indico que es un cuadrado yme refiero a uncuadrilátero,lamedidadelosángulos:90°.

•Hay una única posibilidad.

16)

Para conversar juntos•Losinstrumentosdegeometríaqueseutilizaronsonlareglagraduada,yeltransportadorolaescuadra.Laconstrucciónes única: un trapecio rectángulo.

17) 1.TracenunsegmentoABquemida5cm. 2.ConvérticeenA,yconunodelosladosquecoincidacon

AB,tracenunángulode45°.Enelotroladomarquenelextremo C a una distancia de A de 7 cm.

3.DesdeC,tracenunsegmentoenelmismosentidoydi-recciónqueABquemida5cm.AlotroextremollámenloD.

4.UnanBconD.

Desafíohay14cuadrados.


19) Paralaprimerafigura:Dibujenunacircunferenciaderadio1,7cm.Tracenenlafiguradosdiámetrosperpendiculares.

Para la segunda figura: Dibujen una circunferencia deradio 1,7 cm. Tracen un diámetro de la circunferencia.Tracen un segmento paralelo al diámetro señalado, a una distancia de 7 mm, aproximadamente.

Para conversar juntos•Lasinstruccionespuedenvariar.•Enlaprimerafiguralosdiámetrosformanunángulode90°.•Enlasegundafiguraeldiámetroyelotrosegmentosonpa-

ralelos.

20)

a)AB//CDyAC//BD.b) AB ⊥ AC, AB ⊥BD,CD⊥AC,CD⊥BD,AD⊥ BC.

21)

3 cm

4 cm

5 cm

D C

A B

A 4 cm B

C D

AB

b) Por ejemplo:

Sepuedenconstruirdiferentesparalelogramoscondosladosquemiden4cm.Si sequieredibujarunúnicocuadrilátero,hayquefijarlamedidadelotropardeladosydelángulocom-prendido entre dos lados.

c) Por ejemplo:

Sepuedenconstruirdiferentesparalelogramos.Nosepuededibujar un único cuadrilátero, porque no se conoce la medida del ángulo comprendido entre un par de lados.

d) Por ejemplo:

Puedo construir diferentes cuadriláteros: trapecio rectángulo como el de la imagen, trapecio isósceles, rombo, romboide, paralelogramo propiamente dicho, rectángulo y cuadrado.Paraquelafiguraseaúnicadeboindicar,porejemploenelcasodelcuadrado,quelosángulosmiden90°.

e) Producción personal.

f) Por ejemplo:

Para conversar juntos•Nodibujarontodoselmismoparalelogramoporquenote-

nemos la medida del ángulo comprendido entre un par de lados, necesaria para que la construcción sea única.

g)

Seconstruyeunúnicocuadradoporqueseindicalamedidade los lados.

4 cm

4 cm

5 cm

4 cm

4 cm

6 cm

3,5 cm

3 cm

37Los conocedores

31) Porejemplo,30,45,75y105.

32) Porejemplo,28,112y196.

33) 342:1,2,3,6,19,38,57,114,171,342. 128:1,2,4,8,16,32,64,128. 250:1,2,5,10,25,50,125,250.

34) 6:Porejemplo,12,18,24,30,36.13:Porejemplo,13,26,39,52,65.3:Porejemplo,9,12,15,18,21.

35) 12,21,22y31.

36) a)Cociente780yresto0.b)Cociente78yresto0.c) Cocien-te7yresto800.d)Cociente520yresto0.e)Cociente52yresto0.f)Cociente5yresto200.g)Cociente198yresto7.h)Cociente19yresto87.i)Cociente1yresto987.

37) 181.

38) Noesposible,porqueelrestodebesermenorqueeldivi-sor.

39) Siquieredarle lamismacantidaddepotesacadanieto,deberáregalarleacadauno4potes.

40) Lomáximoquepodrácomercadaunoserán41/4galletitas.

41)

AB//CD,AC//BD.AB ⊥ AC, AB ⊥BD,CD⊥AC,CD⊥BD,AD⊥ BC.

42) Por ejemplo:

a)Enlosprimerosdoscasos,nosedibujaunaúnicafigura,porque depende de las medidas y formas que se conside-ren.Soloeneltercercasolafiguraesúnica.b) En el primer caso se puede dibujar un trapecio isósceles, un rectángulo, un rombo, un paralelogramo propiamente dicho o un cuadrado. En el segundo caso se puede dibujar un cuadrado o un rombo. Y en el tercero, un paralelogra-mo propiamente dicho.

43) 1.Dibujenunrectángulode4,4cm×2,2cmdelado.Elladode4,4cmdebeserparaleloalbordehorizontaldelahoja.Paraleloalladode2,2cmyporelpuntomediodelladode4,4cm,tracenunsegmentode2,2cm.Seobserva-rán2cuadradosdibujados.2.Enelprimercuadrado,ydeladoalado,tracenunseg-mento paralelo al lado que queda paralelo al borde hori-zontaldelahojaya5mmdelladosuperiordelcuadrado.3.Enelsegundocuadrado,tracenladiagonalquevadesdeel vértice inferior izquierdo hasta el vértice superior derecho.4. Tracen desde el vértice inferior derecho del segundo

A B

C D

5 cm

4 cm

9 cm47º

22) Para trazar dos rectas perpendiculares utilizando una es-cuadra se puede proceder de la siguiente manera:

23) a)Noesposibleconstruireltriángulo,porquelasumadelas medidas de los ángulos interiores de un triángulo debe dar180°y,enestecaso,haydosángulosquemiden100°.b)

c)Nosepuedeconstruiruntriánguloporquedosángulossu-man180°yelterceromediría0°,locualesimposible.

Para conversar juntos•Untriángulonopuedetenerdosángulosinterioresobtusosporquesignificaríaquelasumadelasmedidasdelosángu-losseríamayorque180°.

•Sí puede tener dos ángulos interiores agudos porque cadaunoseríamenorque90°y, sumadassusmedidas,elvalorobtenidoseríainferiora180°.

24) Lasumadelosángulosinterioresdeunrectángulomide360°.a)Quedanformados2triángulos.b)Lasumadelasmedidas de los ángulos interiores de cada uno de los trián-gulosmide180°.

25)

Para conversar juntos•Noconstruyeron todoselmismo triángulo,porquepuedenvariarlasmedidasdeloslados.Lostriángulosobtenidosse-rán semejantes, pero no congruentes.

26) Repartí12caramelosentre6chicos 1/2Repartíunapizzaentre4chicos 1/3Repartíunkilodeheladoentre5chicos 1/4Repartí30lápicesentre3chicos 1/5Repartí12figuritasentre2chicos 1/6

27) Debenquedarpintados6autitosdecolorrojo,4decolorverdey2decolorazul.

28) 1/2,2/3,2/5,1/3,1/4y1/2.

29) Porejemplo:6,8y15.Paraencontrarestosnúmeros,sepuede pensar en la multiplicación de dos números primos, porejemplo:3×7;21solotienetresdivisores,ademásdel1:3,7y21.

30) En este caso solo podemos considerar los números primos, porejemplo:7.El7tienecomodivisoresa7y1.Siemprelosdivisoresserán1yelmismonúmero.

5 cm35º 70º

30º 65º

85º

38 Los conocedores

7)

8)

Para conversar juntos•Porque1/2y2/4sonequivalentes.Siconsideroelmismoen-tero,1/2y2/4seencuentranalamismadistanciade0.

•Porque2/2y4/4sonequivalentes.Además,puedodecirquetengoelmismoenteroyenuncasotomo2delas2partesigualesenlaqueestádivididoelentero,yenelotro4delas4partesigualesenlaqueestádivididoelentero.Lomismosucedecon4/2y8/4.

•Por ejemplo, cuando considero el mismo tamaño, es lo mis-mo“comerme3/2que6/4depizza”.

9)

2/44/83/65/10

10) 2/6.

11) Sí,esverdad.

12) a)4/5.b)Lesobraron6/10,queesmásquelamitad. c)Tienerazón.Lefaltapintar3/8.

Para conversar juntos•1/5+4/5=5/5•6/10+4/10=10/10•5/8+3/8=8/8

DesafíoEs posible, porque dependerá del tamaño de ambos. Para que podamosdecirque1/3esmenorque1/2,losenterosquecon-sidero tienen que ser equivalentes en medida.


14) a)2/3.b)1/2.c)3/5.d)4/6e)4/8.f)2/3.g)1/2.h)3/5.i)4/6.j)4/8.

15) a)10/8sepasa2/8deunentero.10/8–8/8=2/8o10/8–2/8=8/8=1.b)3/2sepasa1/2deunentero.3/2–2/2=1/2o3/2–1/2=2/2=1.c)9/6sepasa3/6deunentero.9/6–6/6=3/6o9/6–3/6=6/6=1.d)5/3sepasa2/3deunentero.5/3–3/3=2/3o5/3–2/3=3/3=1.

0 11/2 3/2 2 3

0 11/4 2/44/4 8/4

2/2 4/2

6/4 2 3

cuadrado un segmento paralelo a la diagonal anterior-mente trazada y con la misma medida.5.Unanelextremosuperiorderechodelsegundocuadradocon el vértice del último segmento trazado que quedó libre.

44) a)No.b)No.c)Sí. 45) a)

Sepuededibujarunúnicotriánguloporquetengotresda-tos: los lados y el ángulo comprendido.

b)Siemprequedaformadountriánguloequiláterodelado4cm.

Capítulo 7

1) Enloscuadrados1,3y4.

2)

3)

4)

Para conversar juntos•Observandoqueestuvierapintadaunadecuatropartesequi-

valentes.•Para partir en tres partes iguales, por ejemplo, dividimos uno

de los lados en tres partes de igual medida (marcamos dos puntos en el lado) y luego trazamos los segmentos paralelos, y de igual medida a los otros lados que tienen uno de los extremos en los puntos marcados.

5) 1/5esunacantidadqueentra5vecesenunentero.1/2esmayorque1/4porque,considerandoelmismoentero,cuandodividoen4partes iguales, laparteesmáschicaquecuandodividoen2partesiguales.

6)

Para conversar juntosHay más de un dibujo posible, por ejemplo, para la primera figura:

4,5 cm

2,8 cm

35º

39Los conocedores

Producción personal



Calenda-rio: mes de septiembre con el 1 y el 23 señalados





25) Elpesodeunbebé:c.3mdemadera:i.200gdesalame:j.Elpesodeunacadenitadeplata:j.30minutos:e.Ellargodeunescritorio:h.36gradosdetemperaturacorporal:l.2horas:e.2gradosdetemperaturaambiente:d.11/2ldeagua:a.Elpesodeunabolsadecebollas:k.1/4ldeyogur:a.Latemperaturadeunhornoencendido:b.Lacantidadde harina para hacer una torta: a. El largo de tu dedo me-ñique:g.Latelanecesariaparaunvestido:f.

26) Es correcto.

27) Por ejemplo, año, mes, semana, día, hora, minuto y se-gundo.

28) a)12meses.b) 7 días. c)24horas.d)60minutos. e)60segundos.f)30minutos.g)15minutos.

29) Enelrelojdigitalsemarcanlas24h.Porellopodemosiden-tificar si se refiere a las 8 de la mañana o a las 8 de la noche. Enelrelojdeagujassolotenemosindicadas12horas.

Para conversar juntos•Eldíaempiezaalas0horas.•Decimos tres y media porque pasó media hora de las tres. Decimos siete menos cuarto porque falta 1/4 de hora parallegar a las siete.

30) Loesperó30minutos.Tardaron15minutosenllegar.

31) hay15minutos.

32) a)2/10.b)5/10.c)2/4.d)2/8.e)4/8.f)2/6.

33) a)v.b)F.c)v.d)F.e)F.f)v.g)F.h)v.

34) a)Porejemplo,1/5,3/7,10/11y5/9.b)Porejemplo,7/3,12/7,9/4,8/5.c)Porejemplo.4/4,12/12,13/13,20/20.

35) 1/3,7/4y5/2.

36) Andrés envasó 8 frascos de dulce y le quedaron 6 frascos.

37) Le sobraron 4/10 de tela, es decir 4metros de tela. Esacantidad es menor que la mitad.

38) Debendibujarse8tacitasmás.

39) Converde:1/3,1/5,2/6.Connaranja:4/3,10/8,7/5,10/9.Conazul:5/5,7/7.

40) Por ejemplo: a)Lacarne,elpan,el fiambre.b)Laleche,el agua, el detergente. c)Lacintadebebé,lacantidaddepapel para empapelar una pared, la cinta de embalar.

d)Lacargadeuncamión,unrinoceronte,lacantidaddetrigo de una cosecha. e)Ladistanciaentredosciudades,elperímetro de un campo cultivado, el largo de un camino. f)Lamanteca,elarroz,losfideos.g)Laesenciadevainilla,el agua, la gaseosa. h) un lápiz, el largo de una hoja de carpeta, el perímetro de un azulejo.

Para conversar juntos•Sielnumeradoresmayorqueeldenominador,lafracciónesmayorque1.Sielnumeradoresmenorqueeldenominador,siempre la fracción es menor que la unidad.

16) a)4/3y7/3,respectivamente.b)6/4y10/4,respectivamente.

17) a)10/8.b)13/10.c)10/5.d)5/4.e)6/2.f)11/3.

18) a)v.b)v.c)F.d)F.e)v.f)F.

Para conversar juntos•Para llegar a la fracción que falta para completar el entero (si esmenorquelaunidad)nospodemosfijarencuántolefaltaal numerador para tener el mismo valor que el denominador y luego le sumamos tantas veces el valor del denominador como sea necesario para poder llegar al entero buscado.

•Silafracciónesmayorquelaunidad,procedemosdelmismomodo.Observamoscuántolefaltaalnumeradorparallegara un múltiplo del denominador, de manera que obtengamos el entero buscado.

19) a)7/8.b)10/9.c)7/5.d)6/6.e)3/2.f)10/3.

20) a)3/4.b)1/2.c)3/4.

Para conversar juntos•En el caso de que no tenga iguales numeradores o denomi-

nadores, puedo buscar fracciones equivalentes a las dadas, de forma tal que ambas, por ejemplo, tengan el mismo de-nominador.

21) Converde:2/3,3/4,1/2,2/5,2/8.Connaranja:5/3,9/8,5/2,9/5,10/6,7/4.Conazul:4/4,2/2,3/3,8/8,6/6.

22) a)Recorrió1/6másMónica.b)LeyómásLucía.c) Plantó menosNéstor.

Para conversar juntos•Laquedamás trabajo es la situacióndel incisoc, porque

necesito determinar las fracciones equivalentes apropiadas para poder comparar las fracciones.

23)

En metros En kilos En litrosEl largo de una manguera de regar. ×Diez cebollas. ×Los maníes de una bolsa. ×El agua de un balde. ×Cuánto aumentó de peso un tigre bebé

×

La altura de una estatua. ×El contenido de un tanque de nafta. ×

24)

Longitud Peso Capacidad Tiempo

3 metros de elástico 1/2 kilo de yerba 250 cm3 de

crema

Reloj de pared que marca las 3 horas

75 cm de cinta bebé

1 kilo de harina 1 litro de leche

Reloj de pulsera que marca las 15 horas

4 1/2 m de tela 200 g de manteca

1.250 ml de agua

Reloj digital que marca las 3:00 p. m.

40 Los conocedores

15) 13/4,7/4,14/8,21/12,3/2y1/4.

16) Losdostienenrazónporque3/5y6/10sonequivalentes.

17) El segmento mide 6 cm. Entonces, si debo dibujar un seg-mentoquemida2/3deldado,deberámedir4cm.Enelcasode7/6:7cm,ypara4/6:4cm.

18) 3/4esmásgrandeque3/5.1/4esmáschicoque3/8.

19) a)Entotalregaló3/6(o1/2)detarta.b)Secomieronentotal6/4detarta,esdecir1tartay1/2.c)Secomieronentotal4/6(o2/3)detorta.d)Lequedaron3/4delchocolate.e)Lequedaaún2/4(o1/2)dechocolate.f)Lequedaaún3/6(o1/2)dechocolate.

Para conversar juntosPor ejemplo,

Para conversar juntosa)

b)

d)

e)

20) a)1/2.b)11/10.c)1/8.d)3/8.e)2/9.f)3/4.g)7/10.h)2/3.i)1/3.j)1/8.k)13/10.l)3/2.m)2.n)25/11.ñ)2/5.

Desafío

21) a) m. b) km. c) mm. d) cm. e) m. f) m. g) mm o cm. h) mm o cm. i) m. j) km.

5/6 + 2/34/6

= 9/6

2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

3/4 + 3/4 = 6/4 = 1 2/4 = 1 1/2

1 – 1/4 = 4/4 – 1/4 = 3/4

1/4

3/4 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2

1/4

1/4

1/41/4 1/41/4 1/4 1/21/4

0 11/2 2/3 2

Capítulo 8

1)

2)

3)

4) A:2/3.B:4/3.

Para conversar juntos•Sienunarectaestánubicados1y1/2podemosubicarel0,porqueladistanciaentre0y1/2eslamismaqueentre1/2y1.

•Siestánubicados1/2y2tambiénesposibleporqueentre1/2y2haytresmedios.Entonces,latercerapartedeladistanciaentre1/2y2esladistanciaentre1/2y0.

5)

6)

7)

Para conversar juntos•1/2seubicaríaenelmismolugarque5/10porque1/2y5/10

son fracciones equivalentes.

8)

9) 2/4y4/8.

10) Losdosdicenlomismoporque1/5esequivalentea2/10.

11) Por ejemplo: 21/2-11/2-1/211/2-11/2-11/21-1-1-11/21/2-1/2-1/2-11/2-11/221/2-1-11-1-11/2-1/2-1/2

12) hay3/4litrosdeagua.13) Compró6/4kilogramosdepan.

14) 2/10,1/5,40/200y60/300.

0 11/3 4/6 11/9 14/62 3

0 1/5 1 2

0 1/4 2

0 15/10

25/100 10/5

25/102 3

1/100 1

0 15/10

0 11/2 5/4

4/8 1 1/4

2

41Los conocedores

Para conversar juntos•Los niños podrían decir que para realizar las estimaciones

tuvieron en cuenta el tamaño de los objetos.

33) a)500ml.b)250ml.c)750ml.

34) a)Menosque1litro.b)Másque1litro.c)1litro.d) Menos que1litro.

35) Por ejemplo:Másque1litro:lacantidaddeaguadeunapileta,lacan-tidad de agua de una laguna, la cantidad de líquido de un barril.Cerca de 1 litro: la cantidad de agua que contiene unapava, la cantidad de leche que entra en una licuadora, la cantidad de jugo que contiene una jarra.Menosque1litro:lacantidaddetédeunataza,lacantidadde líquido que contiene un frasco de jarabe, la cantidad de líquido que entra en un plato para sopa.

36)

37)

38) a)3/4=6/8=9/12=15/20.b)5/6=10/12=15/18=20/24.c)1/5=2/10=3/15=4/20.d)2/3=4/6=6/9=8/12.

e)4/3=8/6=12/9=20/15.

39)

40) Elsegmentorojomideaproximadamente1/2delsegmen-toverdey2veceselsegmentoazul.

41) a)v.b)F.c)F.d)F.

42) a)2.b)11/2.c)1/2.

43) El segmento unidad mide 6 cm.

44) Latirarojamide3veceslatiraverdey6/7delatiraazul.

45) a)7/10>3/5.b)1/2=5/10.c)2/3<3/4.d)1/3<2/4. e)5/6>3/4.f)1/2>3/10.

46) Lauracomiómás.

47) Completaron13/20delálbumylesfaltacompletar7/20.

48) Entrelasdoscomieron5/6delalfajor.

49) Llevó$24alcine.

50) a)1/2.b)2/3.c)3/4.d)1/2.e)3/4.f)1/4.g)2/3.h)34/7. i)9/5.j)5/4.k)3/4.l)1/10.m)11/6.n)13/5.ñ)1/3.o)4/5.

p)1/2.q)3/5.r)7/4.s)19/5.

51) Entrelosdoscompraron1.250gdecarne.

52) Manuela consume más leche.

0 3/9 3/6 2/3 1

0 1/2 3/4 1

22) En todos los casos las medidas realizadas con la regla son aproximadas y dependen del objeto elegido. El grosor de laguíadeteléfonos:valorestimado:5cm;valorconregla:4cmy1mm.Elanchodetusilla:valorestimado:50cm;valorconregla:46cm.Ellargodetuescritorio:valores-timado:11/2metros;valorcon regla:1metroy20cm.Laalturadelapuertadelaula.valorestimado:2metros;valorconregla:1metroy90cm.

23) Considerandolasmedidasrealizadasconlaregla:4cmy1mm;46cm;1my20cm;1my90cm.

Para conversar juntos•En general las estimaciones coincidirán con las mediciones

realizadas.•1/2m=50cm.1/4m=25cm.11/2m=150cm.

Para conversar juntos•1mequivalea1.000mm.1kmequivalea100.000cm.

24) a)Porejemplo,másque1metro:elaltodeunapuerta,ellargodeunpizarrón,ellargodeunauto.Menosque1metro: el ancho de un cuaderno, el ancho de una impre-sora, el largo de un libro. Cerca de un metro: el largo del escritorio, el ancho de la ventana, el ancho de la puerta.b) Por ejemplo, más que un centímetro: una goma de bo-rrar,unlápiz,elaltodelpotedeyogur.Menosque1cen-tímetro: el largo del tornillo de los anteojos, el diámetro de la pupila del ojo, el ancho de la uña del dedo meñique. Cercade1centímetro:elanchodeldedoanular,ungan-cho para abrochar un par de hojas, el ancho de una de las teclas de la computadora.

25) a) g. b) kg. c) t. d) g. e) t. f) kg.

26) a)1t.b)5g.c)4kg.d)100g.

27) Unlápiz,lalanaparahacerunabufanda,veintenaranjas,una jirafa.

Para conversar juntos•Loschicospodríandecirquepara realizar lasestimaciones

tuvieron en cuenta: la experiencia personal, el tamaño y el peso de los objetos (porque conocen su medida aproximada), etc.

28) a)500g.b)250g.c)1.500g.d)500kg.e)250kg. f)1.500kg.

29) Porejemplo,másque1kilogramo:untelevisor,unasilla,unescritorio.Cercade1kilogramo:unlibro,unaolla,unapavaconagua.Menosque1kilogramo:unataza,unlibro,un plato.

Para conversar juntos•Losniñospodríandecirquetuvieronencuentaelpesodeob-

jetos que conocen. Por ejemplo: “conocemos algo que pesa 1kgyluegolocomparamosconotrosobjetosquepesanmásomenosque1kg”.

30) a) l. b) ml. c) ml. d) l (kl). e) l (hl).

31) a)1l.b)1.000l.c)1/4l.

32) Unataza,unabotelladeaguamineral,eltanquedeaguade una casa.

42 Los conocedores

13) a)Lealcanzaráeldineroporqueelcostototalsería$69,40yllevó$75,70.b)El librolecostó$27,55.c)$80.d)Ledierondevuelto$14,62.

Desafío6,35y6,26.

e)50,75.

Para conversar juntos•91,35sicompra5y101,5sicompra6.

f)Ledarán53,5devuelto.

Para conversar juntos•Como la oferta no aclara que las tres revistas deben ser iguales, loschicospodríanresponderyjustificardedosmanerasdife-rentes:1.Paga$71,80,porquelascuatrorevistassondiferen-tes;2.Pagaotrovalor,yaqueconsideralamitaddelvalordealgunadelas4revistas,seguramentelamáscara.

14) a)0,9.b)0,5.c)0,40.d)0,35.e)0,25.f)0,75.

15) a)0,8.b)1.c)0,20.d)0,10.e)1,25.f)0,25.

Para conversar juntos•Ambostienenrazón.Eslomismosumar0,2que0,20a0,60paraobtener0,8,porque2/10esequivalentea20/100.

16) a)6,75.b)Entre10y11.c)6,15.

17) 18,67.

18) Lasegundaylacuartacuentaestánbienresueltas.Lapri-meracuentaestámal resueltaporquehace6+8=14,enlugarde60/100+80/100=140/100=1,4.Laterceracuentaestámalresueltaporquehace13+7=20,enlugarde13/100+70/100=83/100=0,83.

Para conversar juntos•16,50.

19) 250cmy240cm.

Para conversar juntos•Para averiguar la medida de cada contorno podemos sumar lasmedidasdetodoslosladosdelafigura.Otramanerapo-sibleeshacer:70cm×2+55cm×2,enelprimercaso,y60cm×4enelsegundo.

20) 15cm.

Para conversar juntos•Para el paralelogramo necesitamos la medida de los lados

diferentes. Para el trapecio, las medidas de la base mayor, de la base menor y la de los lados iguales.

21) Para cada servilleta deberá comprar 74 cm de puntilla(73,40 cm). Si quisiera colocarle puntilla a 6 servilletas,444cm(440,40cm).

22) Nolealcanzarálacintaporquenecesita7,60mysolocom-pró 6 m.

Para conversar juntos•Si el perímetro de un rectángulo es de 32 cm, sus lados

53) Lucíacomió5/12delchocolate.

Capítulo 9

1) a)6pesoscon50centavos.b)1pesocon25centavos.

2) $1,10.

3) Decir“unpesoveinte”eslomismoquedecir“unpesoconveintecentavos”.Seescribe:$1,20.

4) a)$1,50.b)$1,25.

5) a)$1,20.b)$0,65(o65centavos).c)$3,70elpreciode10botones.$0,37elde1botón.d)Sillevan10botonessueltos,pagan$1,50.Sillevan100,$15.

6) a)0,3.b)2,3.c)0,03.d)0,23.e)0,003.f)0,023.

7) a)1,6.b)0,6.

8) a)Lilianapuedeusar,porejemplo,5monedasde50centa-vosy3de10centavos;o10monedasde25centavosy3de10centavos.b) Ana puede usar, por ejemplo, 7 monedas de50centavosy1de25centavos;ousar6monedasde50centavosy3de25centavos.

9) a)10.b)20.c)40.d)100.e)200.

10) a)20monedas.b)10monedas.c) 6 monedas. d)23mone-das. e)14monedas.f)8monedasymedarían5centavosde vuelto.

Para conversar juntos•Sí,porqueunamonedade$1esequivalenteadosde50

centavos.•En el caso de lasmonedas de 10 centavos, la cantidad demonedasde10centavosserá10vecesmayorquelasde$1,porque10monedasde10centavosequivalenaunade$1.

•Enelcasodelasmonedasde5centavos,lacantidaddemo-nedasde5centavosserá20vecesmayorquelasde$1,por-que20monedasde5centavosequivalenaunade$1.

•Enelcasodelasmonedasde25centavos,lacantidaddemo-nedasde25centavosserá4vecesmásquelasde$1porque4monedasde25centavosequivalenaunade$1.

11) a)$2,05.b)$3,1o$3,10.

Para conversar juntos•Enel segundocasohaydoscartelesposiblesporque3,1=31/10y3,10=310/100=31/10.

12) a) El producto que tiene un mayor precio son las agujas de tejer. El más barato son los alfileres de gancho. b)0,09;0,1;0,50;1,25;1,9;4,15;4,20.

Para conversar juntos•$1,9esmayorque$1,25porque90centavossonmásque25centavos.

DesafíoPorejemplo,1,51;1,56y1,58.Porejemplo,2,83.9,91.

43Los conocedores

39) a)57,09.b)79,44.c)45,67.d)99,05.

40) Cadaladomide3,5cm.

41) a)12cm.b)16cm.

42) Sepuededibujarotrorectángulodeladosquemidan8cmy4cm,respectivamente.

43) Porejemplo,elcuadradodelado4cm.hayvariasrespues-tas posibles, es necesario buscar todas las multiplicaciones dedosfactoresquedenporresultado16.

Ficha 1

1) a)9.420.b)2.049.

2) a)87.530.b)30.578.

3) 2.049,9.420,30.578,87.530.

4) • Dosmil cuarenta y nueve. • Nuevemil cuatrocientosveinte.•Treintamilquinientossetentayocho.•Ochentay siete mil quinientos treinta.

5) 452,425,542,524,245,254.

Ficha 2

1) a)1.288.b)1.704.c)1.529.d)1.802.e)1.455.

2) a)850 1.850–1.000b)493 1.493–1.000c)607 1.607–1.000d)375 1.375–1.000e)1.900 2.900–1.000

Ficha 3

1) 980–680=300,980–300=680y6.800+3.000=9.800.

2) a)1.800+200+100=2.000+100=2.100.b)2.700+300+600=3.000+600=3.600.c)1.400+600+200=2.000+200=2.200.d)2.500+500+200=3.000+200=3.200.e)4.900+100+500=5.000+500=5.500.f)3.800+200+300=4.000+300=4.300.g)3.900+100+300=4.000+300=4.300.

Ficha 4

1)

Cálculo Con calculadora Mentalmente 5.550 + 10 5.5607.208 – 869 6.339740 – 10 73093.764 + 17.906 111.670890 – 100 79010.000 – 8.479 1.52120.000 + 5.000 25.00025.000 + 376 25.37648.000 + 1.000 49.00048.000 + 1.235 49.235

puedenmedir10cmy6cm, respectivamente.La respues-tanoesúnica,porejemplootramedidapodríaser:4cmy12cm,respectivamente.

23) Paracubrirlaparednecesitará534azulejosrojos,aproxi-madamente;o300azulejosverdes.

Para conversar juntos•Cubre exactamente la pared con los verdes.

Desafío

24) Necesitaría 267 azulejos grises, aproximadamente, y 240azulejos marrones.

Para conversar juntos•Cubre exactamente la pared con los azulejos marrones.

25) Necesitaría,aproximadamente,235azulejosgrises.

Para conversar juntos•Todosobtuvieronunacantidadaproximada,porque450noes divisor de la cantidad que representa la superficie quequeda por cubrir.

26) 2azulejosrojosequivalena1gris.

27) Es correcto lo que dice, porque si duplico la superficie ne-cesito el doble de baldosas para cubrir el patio.

28) Enlaprimeracolumna:4,1-4,2-4,3-4,4-4,5-4,6-4,7-4,8-4,9-5.

Enlasegundacolumna:4,1-4,11-4,12-4,13-4,14-4,15-4,16-4,17-4,18-4,19.

29) Enlaprimeracolumna:4,1-4-3,9-3,8-3,7-3,6-3,5-3,4-3,3-3,2.

Enlasegundacolumna:12,1-12,09-12,08-12,07-12,06-12,05-12,04-12,03-12,02-12,01.

30) Gastóentotal$45,05yledierondevuelto$4,95.

31) $5.

32) Puedegastar$13,75.

33) Unadocenacostará$15.

34) Ledierondevuelto$26,50.Lehubierandadodevuelto$17.

35) a)6,5.b)27,07.c)2,5.d)0,5.e)3,5.f)1,20.g)28,90. h)1,75.

36) a)1,5.b)1,75.c)2,5.d)2,75.e)1,6.f)2,6.g)3,6.h)4,6.

37) a)84,2.b)60,2.c)37,14.d)19.e)4,5.f)7,75.

38) a)33.b)36.c)29.d)1.

44 Los conocedores

2) Porejemplo,Lucíatiene30librosmásqueSofía.SiSofíatiene102libros,¿cuántoslibrostieneLucía?

Ficha 9

1)

A las decenasA las cen-tenas

A las unidades de mil

2.133 2.130 2.100 2.0005.289 5.290 5.300 5.0002.914 2.910 2.900 3.0009.162 9.160 9.200 9.0005.321 5.320 5.300 5.0001.891 1.890 1.900 2.0001.899 1.900 1.900 2.000

2) Aproximadamentenecesito$20+$20=$40.Pero,paraque alcance el dinero al comprar, el redondeo debe hacer-se siempre a la decena superior.

Ficha 10

1) a)Obtuso.b) Agudo. c) Agudo. d) Recto. e)Obtuso.

2) Por ejemplo:

Ficha 11

1) a)Estimación:90°ymedida:90°. b)Estimación130°ymedida:120°. c)Estimación:60°ymedida:60°.

2)

Ficha 12

1) a)Agudo.45°.b)Recto.90°.c)Obtuso.110°.d)Agudo.30°.e)Obtuso.145°.

2) a)80°.b)130°.

Ficha 13

1) a)DLXXIII.b)DCCCLII.c)MCXI.

2) a)116.b)444.c)1.505.

3) a)LXXXI.b)CIX.c)XLIX.

obtuso agudo recto

35º 95º 105º

2) a)Porejemplo,1.450+300=1.750y162+20=182.b)Porejemplo,4.563+1.789=6.352y389+177=566.

Ficha 5

1) a)Rectángulo.4ladosy4vértices.

b) Rombo.4ladosy4vértices.

c) Triángulo.3ladosy3vértices.Noesposibletrazarlas diagonales.d Trapecioisósceles.4ladosy4vértices.

e) Cuadrado.4ladosy4vértices.

Ficha 6

1) Tiene dos pares de lados paralelos. Todos sus ángulos son rectos.Losladosmiden2cmy4cm,respectivamente.

2) a) Tienen 6 lados iguales.b)Tiene4ladosynosontodosiguales.

Ficha 7

1) a)No,tengotantasunidadescomoelnúmeroindicado.Porejemplo, elnúmero365 tiene365unidades.b) 8. c) 978.

d)No, tengotantasdecenascomoel resultadoenteroob-tenidoaldividirelnúmeropor10.Porejemplo,elnúme-ro3.847tiene384decenas(3.847:10=384,7).e) 7. f) 97.

g)No,tengotantascentenascomoelresultadoenteroob-tenidoaldividirelnúmeropor100.Porejemplo,elnúme-ro4.535tiene45centenas(4.535:100=45,35).h) 9. i) 9.

Ficha 8

1) a)hay230librosdecuentosmásqueenciclopedias.b) Hay 135diccionarios.c)hay300novelas.

45Los conocedores

Ficha 18


Ficha 19

1) a)

b)

c)

Ficha 20

1) a) R. b) P. c) R.

2) Marijótiene50librosyquiererepartirlosenpartesigualesentresus3sobrinos.¿Cuántoslibrosledaráacadauno?¿Quedarán algunos libros sin repartir?

3) Germántiene500libros.Siquiereguardar75encadacaja,¿cuántascajasnecesita?¿Lequedaránlibrossinguardar?¿Por qué?

Ficha 21

1) a)45×8=360,360:8=45,360:45=8.b)67×9=603,603:9=67,603:67=9.c)82×7=574,574:7=82,574:82=7.d)96×5=480,480:5=96,480:96=5.e)73×6=438,438:6=73,438:73=6.

Ficha 22

1) a) 89. b) 89. c) 89. d)7.421.e)3.852.f) 6.999. g)22.h)45. i)83.j)345.k)823.l)576.m)12.n)120.ñ)1.200.o)73. p) 989. q)576.

2) Puedoarmar14bolsitas.

Ficha 23

1)

2) a) isósceles. b) equilátero. c) isósceles. d) escaleno. e) esca-leno. f) isósceles.

0 10 20

0 10050 150 200

0 1.000 2.000 3.000

vértice

lado

ángulo

Ficha 14

1) Por ejemplo: 5×4+5×12+3×2o10×4+5×5+5×3+3×2.2) Sonposibles30combinaciones(5×6).

Ficha 15

1) Lucianocoleccionaestampillas.Estáarmandounálbum.Siencadapáginaquierepegar35estampillasyelálbumtiene15páginas,¿cuántasfiguritaspodrápegarenelálbum?

2) Lauraorganizóelpreciodelosalfajoresenestatabla:

Alfajores Precio1 $ 2,502 $ 53 $ 7,504 $ 105 $ 12,506 $ 157 $ 17,508 $ 209 $ 22,50

SiMarcelaquierecomprar15alfajores,¿cuántodeberápagar?SiEnzopagó$12,50,¿cuántosalfajorescompró?¿Ysipagó$25?



Ficha 16

1) a)760.b)7.600.c)76.000.d)1.380.e)13.800.f)138.000. g)12.450.h)124.500.i)235.600.

2)

Mentalmente Con calculadora8 × 2 × 2 × 2 6490 × 100 9.0002.954 × 2 × 2 11.816540 × 10 5.4005.079 × 3 × 3 45.71125 × 10 × 10 2.500

Ficha 17

1)

2) Eldiámetromide4cm.

circunferencia

centro

radio

diámetr

o

46 Los conocedores

c)

d)


Ficha 30


2) a)

b)

Ficha 31

1) a)Debeentregaracadaequipo25postales.Nosepuedeseguir repartiendo.b)Puedegastarencadaregalo$25y50centavos.c)Paracadamantelpuedeusar1metroy25centímetros.

Ficha 32

1) a)30:1,2,3,5,6,10,15y30.b)12:1,2,3,4,6y12.

2) a)7:porejemplo,14,21y49.b)5:porejemplo,15,20y50.c)4:porejemplo,16,24y32.d)11:porejemplo,22,33y44.

3) a)Puedearmar1móvilcon36pajaritos.2con18.3con12.4con9.6con6.9con4.12con3.18con2.36con1.b)Encadamóvilpodríacolocar12pajaritos.c)Siusara9pajaritospodríaarmar4móviles.Siusara4pajaritosporcada móvil podría armar 9 móviles.

Ficha 33

1) 167eseldividendo,8eldivisor,20elcocientey7elresto.

2) a)Resto=3.b)Cociente=40.c)Divisor=5. d)Dividendo=182.

3) 200×15=3.000,40×15=600,y6×15=90.

4 cm

3 cm

50º

4 cm

3 cm

90º

6 cm

2 cm5 cm

7 cm

4 cm

45º

Ficha 24

1) a)verde.b) Rojo. c) Rojo. d) Azul. e)verde.f) Azul.

2)

Ficha 25

1) a)954.206.b)437.309.c)56.036.d)749.108.e)53.503.

Ficha 26

1) a)2.793.b)6.531.c)1.356.d)8.499.e)5.750.f)3.155. g)2.006.h)3.040.

Ficha 27

1)

Cantidad de entradas 1 2 5 10 12 15 20 30Precio por entrada $ 8 $ 16 $ 40 $ 80 $ 96 $ 120 $ 160 $ 240

2)

Cantidad de paquetes 1 2 5 10 12 15 20 30Cantidad de galletitas 10 20 50 100 120 150 200 300

Ficha 28

1) Considerandoqueelrestopuedevaler8,7,6,5,4,3,2,1o0;losdividendosposiblesson:80,79,78,77,76,75,74,73o72,respectivamente.

2) a)Estáentre100y1.000.Una formadedarsecuentaesdividir3.960por10(396)yluegopor3.Elresultadoseráunnúmeromayorque100.b)Estámáscercade200.Sidividimos2.500por10,obte-nemos250;entoncesaldividirporunnúmerounaunidadmásgrande,elresultadoseencontraráentre200y250.c)Estámáscercade170.Sidividoa8.525por100medaaproximadamente85,y85×2=170.

Ficha 29

1) a)Nosepuedeconstruir.b)

rectánguloacutángulo obtusángulo

6 cm

3 cm

7 cm

47Los conocedores

Ficha 38

1) Enelprimerpunto,corresponde1/3;enelsegundo,dondeestáubicadoel1,5/5,yeneltercero,6/4.

2)

3)

4) No,porque4/3seencuentraa1/3de1ylafracciónindica-darepresenta3/2.

Ficha 39

1) 2/8.Lacantidadnopuedeexpresarseenmediosporqueesmenorque1/2.

2) 3/6,2/4,4/8,5/10,6/12.

3) 2/6,3/9,4/12.

4) Porejemplo,1/2,1/4,3/6,2/3.

Ficha 40

1) a)Quedaron4empanadas.b) Quedaron 8 metros. c)5/8esmásquelamitad,es1/8más.Lefaltapegar3/8delaguarda.

2) a)3/4.b)1/6.

3) a)3/2.5/2–3/2=1.b)1/5.6/5–1/5=1.

Ficha 41

1) a)Esverdad,porque2/6y1/3sonfraccionesequivalentes.b)Noesverdad,porque3/9y1/3sonfraccionesequivalen-tes. c)Omarusómáscartulina,porque3/4esequivalentea6/8queesmayorque3/8.

2) a)2/8.b)1/4.c)1/4.d)2/5.e)2/10.f)2/3.

Ficha 42

1) a) Metros. b)Litro.c) Minutos. d)kilo.2) Ambostienenrazón,porque2m=200cm.

3) a) 933 km aproximadamente.b) 6.962m. c) 1 toneladaaproximadamente. d) 34 litrosaproximadamente.e) 600minutos.

0 12/4 5/4 5/23/34/4

32

0 11/4 2

Ficha 34

1) vértices:F,G,P,L Ángulos:F , P , G ,L Lados:FP, PL, GL, FG Diagonales:FL y GP

2)

Sepuedenconstruirdiferentesparalelogramos,porquesedebería indicar la medida del otro lado consecutivo y la medida del ángulo entre los dos lados, por ejemplo.

3)

También se pueden construir diferentes paralelogramos, porque aunque se indica la medida de los dos lados consecutivos, no se indica la medida del ángulo que forman entre ambos, por ejemplo.

Ficha 35

1) a) Tiene un par de lados paralelos y desiguales, y los lados que no son paralelos son iguales. b) Tiene un par de lados paralelos y desiguales, y dos ángulos rectos. c) Tiene un par de lados paralelos y desiguales, y los lados que no son para-lelos también son desiguales.

Ficha 36

1) Para construir un único paralelogramo se necesitan los si-guientes datos: dos lados consecutivos y una diagonal; dos lados consecutivos y el ángulo comprendido entre ambos; un lado, una diagonal y un ángulo; un lado y las dos dia-gonales.

2) Laconstrucciónesúnica,porqueseindica la medida de los lados y, al decir que es

un cuadrado, se sabe que sus ángulos son rectos.

3) En este caso, el rombo no va a ser único porque pueden va-riar las medidas de los ángulos. Por ejemplo, son posibles estos dibujos:

Ficha 37


2) vanpintadasdosfloresyunacuartapartedelatorta.

3) 1/2.Porqueesequivalentea2/4,queesmayorque1/4.

6 cm

6 cm

3 cm

48 Los conocedores

Ficha 48

1) a)Seintentaquelacantidadseaexacta,peromuchasve-ces resulta aproximada porque en función de la consisten-cia esperada de la mezcla se agrega un poco más de leche. b) Aproximada, porque, por ejemplo, al poner alcohol en un trozo de algodón, no se considera una cantidad especí-fica. c) Aproximada, porque no sabemos la cantidad exacta de jugo que consumirá cada persona. d) Exacta, porque conocemos la capacidad del envase.

2) a)Porbidónnecesita20botellas.b)Compró101/2litrosde gaseosa.

Ficha 49

1) a) Diecisiete enteros y cinco décimos.b) Trece enteros y veinticinco centésimos. c) Catorce centésimos. d)Ochocen-tésimos. e)Doceenterosytrescentésimos.

2) a)1,32.b)0,32.c)9,5.d)9,05.

3) a)0,8-0,08-0,008.b)3,5-0,35-0,035.

Ficha 50 1) a)300centavos.b)1.400centavos.c)11.100centavos. d)250centavos.

2) a)$30,55.b)$62,50.c)$8,05.d)$11,10.e)$0,32.

3) $62,50-$30,55-$11,10-$8,05-$0,32.

Ficha 51

1) a)Sí,lealcanzacon$20.Pararesolverelproblemasepue-deredondear$2,05a$2,yluegohacer$2×8=$16.

b)Nolealcanzaeldinero.$38,99escasi$39,y$61,80escasi$62.$39+$62=$101.

2) a)91.b)110.c)50.d)39.

Ficha 52

1) a) Es correcta. b)Elresultadocorrectoes138,72.c) El resul-tadocorrectoes175,04.d)Elresultadocorrectoes55,02.e)Elresultadocorrectoes65,97.f) Es correcta.

Ficha 53

1) a)70cmy62cm.b)70cm×3+62cm×3=132cm×3=396cm=3,96m.

2) a)28cm(7×4).b)16cm(5×2+3×2).

Ficha 54

1) a)40.b)10.c)5.

2) a)34.b)27.

Ficha 43

1) a)

b)

2)

Ficha 44

1) a)25/100.b)5/10.c)75/100.d)2/10.

2) 4/10,40/100,2/5.

3) a)Compró5bolsas.b)Compró15/4kgdecebollas,esde-cir,33/4kg.

Ficha 45

1) a)

b)

2) a)3/5+8/10=3/5+4/5=7/5.Comieronentotal7/5depizza,esdecir1pizzay2/5depizza.b)Lequedó1/4delaresma.

Ficha 46

1) Losdibujosmiden,dearribahaciaabajo:10cm,7cmy5cm.

2) a) Aproximada. b) Exacta. c) Exacta.

3) Enunacuadrahay,aproximadamente,10.000cm(100×100)o100.000mm(10.000×10).

Ficha 47

1) a) Exacta (a veces puede ser aproximada). b) Aproximada. c) Puede ser exacta o aproximada. d) Aproximada.

e) Exacta.

2) a) Entre las dos compraron 3 kg y 250 g de carne (o3,250kg).b)Compró21/2kgdefruta.

0 11/25/10 15/10 2 1/2

1 1/2 25/102 3

0 25/100 1/2 3/41/4 50/100 75/100

1

0 11/2 5/61/3 2

6/810/8 = 5/4

4/8

1/51/5

7/10 – 1/5 = 7/10 – 2/10 = 5/10 = 1/2

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