Manual fundamentos de espectroscopia

Fundamentos de espectroscopa (Clave 1309)

Manual de prcticas

Departamento de Fsica y Qumica Terica

Facultad de Qumica, UNAM

Fundamentos de

Espectroscopa

Manual de prcticas Versin 1.2

Visitanos en: http://fqespectros.wordpress.com/

Este manual es de distribucin gratuita para los alumnos de la materia Fundamentos de Espectroscopa (Clave 1309) de

la Facultad de Qumica, UNAM. Ciudad Universitaria 2015.


Manual de prcticas

1

Tabla de contenido

Reglamento Interno de Higiene y Seguridad para los Laboratorios de Fsica del Departamento

de Fsica y Qumica Terica ...................................................................................................................................... 1

Prctica 1. Ley de Hooke y movimiento armnico simple ........................................................................... 2

Prctica 2. El pndulo simple ................................................................................................................................... 4

Prctica 3. Ondas transversales en una cuerda ................................................................................................ 8

Prctica 4. Leyes de reflexin y refraccin de la luz .................................................................................... 10

Prctica 5. ndice de refraccin de lquidos .................................................................................................... 12

Prctica 6. Interferencia de Young ..................................................................................................................... 15

Prctica 7. La polarizacin de la luz ................................................................................................................... 18

Prcticas optativas .................................................................................................................................................... 21

Optativa 1. Movimiento armnico subamortiguado ................................................................................... 21

Optativa 2. Fenmenos ondulatorios en una cuba de ondas ................................................................... 23

Optativa 3. Determinacin de la constante de Planck ................................................................................ 27

Optativa 4. ptica sin lentes .................................................................................................................................. 29

Taller de simetra ....................................................................................................................................................... 31

I. Grupos puntuales, elementos y operaciones de simetra ...................................................................... 31

Taller de simetra molecular ................................................................................................................................. 37

II. Algunas implicaciones de la simetra ........................................................................................................... 37

Taller de simetra molecular ................................................................................................................................. 42

III. Tablas de caracteres .......................................................................................................................................... 42


Manual de prcticas

Reglamento Interno de Higiene y Seguridad para los Laboratorios de Fsica del Departamento de Fsica y Qumica Terica

ARTCULO 1o. El presente reglamento es complementario del Reglamento de Higiene y Seguridad para los Laboratorios de la Facultad de Qumica de la UNAM y es aplicable a los laboratorios de Fsica de la propia Facultad. Su observancia es obligatoria para el personal acadmico, alumnos y trabajadores administrativos y no excluye otra reglamentacin que resulte aplicable. ARTCULO 2o. Todas las actividades experimentales que se realicen en los laboratorios debern estar supervisadas por un responsable, el cual ser designado por la jefatura de la Seccin de Fsica Experimental. ARTCULO 3o. El profesor deber identificar los riesgos especficos

de cada prctica e indicar las medidas y procedimientos de seguridad adecuados, especialmente al usar equipo energizado y lser. ARTCULO 4o. Cualquier medida y/o procedimiento no considerado en el presente Reglamento queda sujeto a lo indicado en el Reglamento de Higiene y Seguridad para Laboratorios de la Facultad de Qumica. Manual de Seguridad para Trabajar en los Laboratorios de Fsica a) Utilizar instrumentos o herramientas provistas de cordones de potencia con tres alambres de conexin a tierra fsica. b) Cortar la fuente de alimentacin antes de hacer conexiones y desconexiones. c) Revisar todos los cordones y terminales antes de emplearlos, verificando

que no estn daados y en caso de que alguno lo estuviera informar a quien corresponda. d) Evitar pararse en pisos metlicos o hmedos al manejar equipo elctrico. e) No manejar instrumentos elctricos cuando la piel est hmeda. f) No llevar ropa suelta ni cabello largo y suelto cerca de maquinaria en movimiento. g) Cuidar los cautines y soldaduras elctricas cuando estn calientes. h) Cuidar siempre el ltimo cable o punta de prueba al potencial ms alto. i) No anular ningn dispositivo de seguridad mediante la instalacin de corto circuito o fusibles de ms amperaje al especificado por el fabricante.

Artculo Transitorio nico El presente Reglamento, una vez aprobado por el Consejo Tcnico, entrar en vigor el da siguiente de su publicacin en la Gaceta de la Facultad de Qumica. Aprobado por el H. Consejo Tcnico el 28 de abril de 1994.


Manual de prcticas

Prctica 1. Ley de Hooke y movimiento armnico simple

Fuente: Manual de prcticas para fundamentos de espectroscopa. Proyecto PAPIME PE10110.

Introduccin

Algunos materiales se estiran cuando se les aplica una fuerza, tal es el caso de un resorte o de

una liga; sin embargo, no en todos los materiales elsticos el estiramiento es proporcional a la

fuerza. Cuando la proporcionalidad se cumple para un material, el movimiento puede

describirse clsicamente como un oscilador armnico simple, cuya ecuacin puede expresarse

como:

2

2+

= 0 (Ec. 1)

donde la literal k corresponde a la constante de fuerza del resorte y m a la masa acoplada al

mismo. Debido al ngulo de fase , la solucin a esta ecuacin puede expresarse en trminos

de funciones seno o coseno.

= ( + ) (Ec. 2)

Cuyo trmino xm es la mxima amplitud de desplazamiento u oscilacin, es la frecuencia

angular igual a = k/m. Dado que esta funcin se repite despus de un lapso de tiempo 2/

definido como el periodo T en el que realiza una oscilacin, ste puede definirse como:

=2

= 2

m

k (Ec. 3)

Por lo que ste depende de la masa acoplada al resorte. Cabe mencionar que las vibraciones de

las molculas al analizarse por espectroscopa infrarroja pueden describirse a travs de un

movimiento armnico simple. En el caso ms simple de una molcula diatmica, sta se puede

modelar como dos masas (una de mayor peso que la otra) unidas por un resorte cuya oscilacin

ser generada por una perturbacin en el sistema.


Manual de prcticas

3

Procedimiento

Establezca un sistema como el que se muestra en la figura 1 a fin de efectuar las mediciones de

elongacin del resorte por cada masa acoplada, de acuerdo a la ley de Hooke, y periodo de

oscilacin del mismo. Considere una amplitud de

oscilacin pequea para minimizar los efectos de

torsin del resorte durante su elongacin. Recuerde que

dicha fuerza adicional produce efectos que no se han

considerado en la deduccin del movimiento armnico

simple (Ec. 2).

Utilice al menos 10 masas distintas para efectuar la

medicin de la elongacin y posteriormente el perodo

de oscilacin del resorte. Para la medicin del periodo

de oscilacin del resorte realice al menos 10 mediciones

del perodo para asociar una incertidumbre tipo A con

la estadstica suficiente.

Tratamiento de datos

Realizar una grfica de fuerza F (N) versus elongacin x (cm) y determinar la constante de

restitucin mediante un ajuste de mnimos cuadrados.

Construir una grfica de perodo T(s) versus masa m (kg) y determinar si es una relacin

lineal o no. Analizar la dependencia descrita en la teora. Establecer el mecanismo por el

cual se puede linealizar la grfica. Una vez que los pares de datos presentan una tendencia

lineal, realizar un ajuste por cuadrados mnimos a fin de obtener la constante de fuerza del

resorte.

Comparar los mtodos por los que se ha obtenido la constante de fuerza del resorte y

comentar al respecto.

Referencias

1. Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane. Physics. John Wiley & Sons, Inc. Volumen

1, Cuarta Edicin. 1992. p. 318.

2. Paul A. Tipler. Fsica. Tomo I, Segunda Edicin. Editorial Reverte, S.A. 1991, p. 379.

3. Joseph Christensen, An improved calculation of the mass for the resonant spring pendulum,

Am. J. Phys. 72 (6), June 2004, p. 818

4. Ernesto E. Galloni and Mario Kohen, Influence of the mass of the spring on its static and

dynamic effects, Am. J. Phys. 47 (12), December 1979, p. 1076

5. Eduardo E. Rodrguez, Gabriel A. Gesnouin, Effective Mass of an Oscillating Spring, The

Physics Teacher, Vol. 45, February 2007, p. 100

m

Figura 1. Sistema masa-resorte


Manual de prcticas

4

Prctica 2. El pndulo simple


Introduccin

Un ejemplo importante del movimiento peridico es el del pndulo simple. Si el ngulo formado

por la cuerda con la vertical no es demasiado grande, el movimiento de la lenteja del pndulo

es armnico simple.

Figura 1. Conjunto de fuerzas que actan en un pndulo simple.

Considrese un objeto de masa m situado en el extremo de una cuerda de longitud L, como se

ve en la figura 1. Las fuerzas que actan sobre el objeto son la de la gravedad y la tensin

T de la cuerda. La fuerza tangencial es y est en el sentido en el que disminuye el

ngulo . Sea s la longitud de arco medido desde el punto inferior del arco. La longitud del arco

est relacionada con el ngulo medido desde la vertical por:

= (Ec. 1)

Donde la aceleracin tangencial es d2s/dt2. La componente tangencial de = es =

= 2

2

Es decir

2

2= = (

) (Ec. 2)

Si s L, el ngulo = s/L es pequeo y puede aproximarse sen . Utilizando sen(s/L) s/L en la ecuacin (2) se obtiene:


Manual de prcticas

5

2

2=

(Ec. 3)

Se ve que en el caso de ngulos pequeos para los cuales la aproximacin sen es vlida, la aceleracin es proporcional al desplazamiento. El movimiento del pndulo es armnico simple

para desplazamientos pequeos. Si se escribe 2 en lugar de g/L, la ecuacin (3) se transforma

en:

2

2= 2 (Ec. 4)

La solucin de esta ecuacin es:

= 0 ( + ) (Ec. 5)

En donde s0 es el desplazamiento mximo medido a lo largo del arco de circunferencia. El

periodo del movimiento es

= 2

= 2

(Ec. 6)

El movimiento de un pndulo simple es armnico simple slo si el desplazamiento angular es

pequeo de modo que sen . El movimiento de un pndulo simple en el caso de ngulos grandes no es armnico simple. Sin embargo, el movimiento es peridico aunque el periodo ya

no sea independiente de la amplitud, como en el caso del movimiento armnico simple.

Cuando se tienen ngulos de oscilacin grandes se sabe que sen


Manual de prcticas

6

Procedimiento

Construya un pndulo simple tal como se muestra en la figura 2. Aqu se utilizar una

fotocompuerta electrnica que har la medicin del periodo de oscilacin del pndulo. Aunque

en la grfica no se muestra, es conveniente utilizar un pndulo bifilar para mantener al pndulo

oscilando en un plano y no se impacte sobre la fotocompuerta electrnica la lenteja.

Para efectos de comparacin entre los resultados experimentales y las predicciones de la teora

conviene iniciar las mediciones con ngulos menor o igual a 10.

Utilice al menos 10 longitudes distintas para el pndulo (se sugiere longitudes mayores a 1 m)

y en cada caso registre 10 parejas de valores (L, T) para hacer una comparacin con la teora y

tambin comparaciones entre datos experimentales en una misma grfica.

Considere que al efectuar las mediciones correspondientes a > 10 tendra que realizar otro

tipo de ajustes como la interpolacin mediante splines cbicos o interpolacin de Lagrange,

pero dichos mtodos numricos estn fuera del alcance de este curso.

Figura 2. Arreglo experimental para determinar el periodo de oscilacin de un pndulo

simple.


Realice una grfica del periodo T (s) versus la longitud de la cuerda, L (m) y determine si es

una relacin lineal o no. Analice la dependencia descrita en la teora. Establezca el

mecanismo por el cual puede linealizar la grfica.

Determinar el valor de la aceleracin gravitacional.


Manual de prcticas

7

Referencias

1. Paul A. Tipler. Fsica. Segunda edicin, Tomo I, Editorial Revert, S. A., 1991, p. 387-393.

2. Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Fsica, Volumen I, Mecnica. Addison-Wesley

Iberoamericana, S. A., 1986, p. 366-369.

3. Salvador Gil, Eduardo Rodrguez. Fsica re-Creativa, Prentice Hall, 2001, p. 341-342.


Manual de prcticas

8

Prctica 3. Ondas transversales en una cuerda


Introduccin

Las oscilaciones que se presentan en una cuerda tensa que vibra se pueden estudiar si se

conocen algunas caractersticas como la tensin a la que est sometida y su densidad lineal de

masa (o masa por unidad de longitud).

Las ondas que se producen en una cuerda son ondas transversales que se propagan con una

velocidad dada por

=

(3.1)

donde T es la tensin a la que est sometida la cuerda y es la densidad lineal de masa (o masa por unidad de longitud. Si se miden estas variables es posible calcular la velocidad de

propagacin.

Por otro lado, tambin es posible determinar la velocidad de propagacin cuando se producen

ondas estacionarias y se utiliza la relacin

= (3.2)

donde es la frecuencia de oscilacin y la longitud de onda. Debe notarse que la longitud de onda es dos veces la distancia entre nodos sucesivos. Vanse principalmente las referencias 2,

3, 6 y 7.

Procedimiento Experimental

En el almacn del laboratorio se dispone de un equipo con el que es posible generar ondas

estacionarias en una cuerda. Siga las instrucciones de armado del equipo para generar las

ondas.

Dado que el equipo no cuenta con un medidor de la frecuencia de oscilacin de la cuerda, ser

conveniente utilizar un estroboscopio para determinar dicha frecuencia.

Tambin es conveniente fijar papel milimtrico sobre la mesa de trabajo y debajo de la cuerda para facilitar la lectura de la amplitud de oscilacin de la cuerda. De ser posible, vale la pena

tomar fotografas de la cuerda esttica y luego durante las oscilaciones.

La medicin de la masa de la cuerda debe hacerse con una balanza analtica para determinar la

densidad lineal de masa.

Es conveniente variar la frecuencia de la corriente manteniendo una tensin fija. Despus se

puede variar la tensin suspendiendo pesos distintos en un extremo de la cuerda y

manteniendo el otro fijo, como se ve en la figura 1.

Para cada tensin deben hacerse 10 cambios de frecuencia y cambiar 10 veces la tensin, por

lo menos.


Manual de prcticas

9

Figura 1. La cuerda de longitud L se mantiene tensa al aplicar una masa m en uno de sus

extremos mientras el otro se mantiene fijo.

Tratamiento de datos y discusin

1. Analic la relacin de los modos de vibracin con la longitud de la cuerda y con la tensin

de la cuerda.

2. Establezca el nmero de nodos para cada tensin y longitud, y diga a que armnico

corresponde.

3. Determine la longitud de onda, y la velocidad de propagacin de la onda para cada caso.

4. Establezca la relacin frecuencia-masa a travs de una grfica.

5. Realic una grfica de frecuencia al cuadrado versus masa para el primer, segundo y tercer

armnico observado, y determine la densidad lineal de la cuerda a partir de la pendiente.

Referencias

1. Experimentos de Fsica, Harry F. Meiners, Walter Eppenstein, Kenneth H. Moore,

Editorial Limusa, Mxico, 1980, ISBN 968-18-0432-5, p. 317-320.

2. Wave Phenomena, Dudley H. Towne, Dover Publications, Inc., 1967, ISBN 0-486-65818-

X, p. 5-6 y 322-327.

3. Fsica, Volumen II, Mecnica, Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Addison-Wesley

Iberoamericana, S. A., 1986, ISBN 0-201-00279-5, p. 712-716.

4. Physics, Vol 1, Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, John Wiley & Sons, Inc.

1992, ISBN 0-471-55917-2, p. 423-424.

5. Fsica re-Creativa, Experimentos de Fsica, Salvador Gil y Eduardo Rodrguez, Prentice

Hall, 2001, Pearson Education S. A., p. 170-172.

6. Timothy C. Molteno, Nicholas B. Tufillaro, An experimental investigation into the

dynamics of a string, Am. J. Phys., 72 (9), September 2004, p. 1157

7. Michael Sobel, The Standing Wave on a String as an Oscillator, The Physics Teacher. Vol.

45, March 2007, p. 137


Manual de prcticas

10

Prctica 4. Leyes de reflexin y refraccin de la luz


Introduccin

Cuando un haz de luz incide a un ngulo 1 con respecto a la normal de una superficie que

separa dos medios, parte de la misma se transmite y parte se refleja, como se observa

esquemticamente en la figura 1. En cada uno de los medios, la luz se propaga con velocidades

diferentes.

Figura 1. Reflexin y refraccin de la luz.

Como puede observarse, la fraccin que se transmite a travs de un medio con ndice de

refraccin n , experimenta una desviacin con respecto a la direccin del haz incidente y se

transmite entonces a un ngulo 3 con respecto a la normal. A este fenmeno se le conoce como

refraccin. Por otra parte, la fraccin que se refleja lo hace a un ngulo 2 que se localiza en el

cuadrante opuesto al del ngulo de incidencia.

En este experimento se pretende establecer relaciones entre los ngulos de incidencia, reflexin

y refraccin, de tal manera que sea posible efectuar predicciones al respecto.

Procedimiento

Utilizando una D como en la figura 2, haga incidir un haz de luz, de preferencia el de un lser,

con distintos ngulos de incidencia, empezando con -90 y terminando con 90 con respecto a

la normal al lado plano de la D, con incrementos de 5. Para cada ngulo de incidencia mida

tanto el ngulo de reflexin como el de refraccin.


Manual de prcticas

11

Figura 2. Dispositivo experimental


Construir una tabla en la que la variable independiente sea el ngulo de incidencia y la

variable dependiente sea el ngulo de reflexin en un caso y el de refraccin en otro.

Construir una grfica con los valores obtenidos para la reflexin de la luz, y otra grfica para

los datos correspondientes a la refraccin.

Construir una tabla en la que la variable independiente sea la funcin trigonomtrica seno

del ngulo de incidencia y la variable dependiente sea la funcin seno del ngulo de

reflexin en un caso y seno del ngulo de refraccin en el otro.

A partir de las grficas anteriores, establecer las relaciones matemticas que relacionen al

ngulo de reflexin como funcin del ngulo de incidencia y al ngulo de refraccin tambin

como funcin del ngulo de incidencia.

Utilizando el mtodo de cuadrados mnimos, determinar el ndice de refraccin

correspondiente al material del que est hecho la D.

A partir del ndice de refraccin obtenido, indicar el posible material del que est hecha la

D

Actividad adicional (opcional)

Haciendo incidir la luz de un lser sobre la parte curva de la D, determinar el ngulo crtico

para el cual se presenta la reflexin total interna dentro del material que se est analizando.

Estas mediciones requieren de mucho cuidado para determinar apropiadamente el ngulo

crtico, ya que no resulta tan fcil distinguir en qu momento se presenta la reflexin total

interna.

Referencias

1. Eugene Hetch, Alfred Zajac. ptica. Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 64-105.

2. David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics, Volume 2, John Wiley & Sons,

Inc., 1992, p. 904-909.



Manual de prcticas

12

Prctica 5. ndice de refraccin de lquidos

Autor(es): Ivonne Rosales Chvez, Elisa Collado Fregoso.

Introduccin

El espectro de ondas electromagnticas abarca una amplia gama de energas que van desde

ondas poco energticas como las de radio, hasta ondas de alta energa como los rayos gamma.

El estudio del comportamiento y propiedades de una pequea porcin del espectro, la luz

visible, se lleva a cabo por la ptica. En un principio la ptica realizaba el estudio de algunos de

los fenmenos de la luz como la reflexin y refraccin a travs de modelos geomtricos. En

dichos modelos la ptica geomtrica describe la trayectoria de la luz como un rayo que se

propaga en lnea recta, describiendo los fenmenos de reflexin y refraccin de la luz como un

rayo el que al chocar con una superficie rebota o cambia de direccin al atravesar la superficie.

La figura 1 describe la reflexin de la luz, donde la lnea DH

es normal a la superficie AC en el punto B. En tanto que

corresponde al ngulo entre el rayo incidente EB y la

perpendicular DB y al rayo reflejado BF. En el caso de la

reflexin el ngulo equivale al ngulo (Ley de la

reflexin).

Para el fenmeno de la refraccin su trayectoria se describe

por el cambio de direccin del rayo incidente EB, al pasar la

superficie cuyo ngulo corresponde a la inclinacin del

rayo BG, siendo ste menor que .

La desviacin de la luz al pasar del medio aire al agua (o de

cualquier otra sustancia lquida) se puede calcular por

medio de la ley de Snell al medir el ngulo de reflexin y

refraccin de la sustancia (agua). La ley de Snell se basa en

la propiedad de un material, ndice de refraccin (n) de los materiales por los que pasa el rayo

de luz.

La ley de Snell establece la relacin entre el rayo incidente y el rayo refractado:

=

12

=21

(. 1)

donde es el ngulo incidente, el ngulo refractado, v1 y v2 la velocidad de la luz en los

materiales o medios, y n1 y n2 los ndices de refraccin de stos. No obstante, la ley de Snell

considera la medicin de los ngulos del rayo incidente y refractado. Para la determinacin del

ndice de refraccin es posible calcular ste slo considerando una serie de mediciones de

longitud y una aproximacin de ngulo pequeo como lo refiere Newburgh et al.

Figura 1. Geometra de la

reflexin y refraccin


Manual de prcticas

13

La determinacin del ndice de refraccin constituye una herramienta sencilla de identificacin

de algunos materiales solidos o lquidos por medio de la trayectoria de un haz de luz que pasa

a travs de stos.

Procedimiento

Colocar la fuente de luz (lser) en la posicin E tal como se muestra en el esquema de la

figura 2.

Antes de colocar la cuba, determinar el ngulo con respecto al eje vertical D (procurar que

no sea mayor de 15), para ello utilizar un transportador y tomar como centro el punto

donde se incide la luz del lser con la mesa para determinar los grados del ngulo,

recordando que con la relacin de ngulos internos-externos el ngulo evaluado

corresponde a .

Una vez hecha esta medicin colocar la cuba vaca procurando que el lser pase por tres

cuartos de la parte superior de la cuba, punto B, para ello auxiliarse con una tarjeta blanca

alineada con uno de los lados y marcar en el borde de la cuba para medir la distancia (d).

Sin mover el recipiente y con mucho cuidado llenarlo con agua hasta el borde y medir la

profundidad (h). Cada una de las mediciones, se deben de hacer por triplicado. MUCHO

CUIDADO AL MONTAR EL LSER!

Figura 2. Esquema del sistema para la medicin de alturas de un contenedor sin (F) y con

agua (G) al incidir una fuente de luz.


Realizar el tratamiento correspondiente enunciado en el artculo Using the small-angle

approximation to measure the index of refraction of water.


Manual de prcticas

14

Referencias

1. Gerald Rottman. The geometry of light. Galileos telescope, Keplers optics. Publicado por

Gerald Rottman, Baltimore, Maryland. 2008, p. 9-10.

2. Ronald Newburgh, Using the small-angle approximation to measure the index of refraction

of water, The Physics Teacher. 38 (2000) p. 478-479.

3. Nanoprofessor. Introduccin a ciencia y tecnologa de nanoescala. NanoInk, Inc. 2011, p. 96.


Manual de prcticas

15

Prctica 6. Interferencia de Young


Introduccin

El principio de propagacin rectilnea de la luz ha sido fundamental para la descripcin de los

fenmenos analizados en la ptica geomtrica; gracias a ese principio se ha podido reemplazar

las ondas luminosas con los rayos que representan las direcciones de propagacin de los frentes

de onda y obtener relaciones sencillas que dan cuenta, con buena aproximacin, del

comportamiento de algunos sistemas pticos.

Sin embargo, ya desde el siglo XVII Grimaldi haba observado que la luz tena la capacidad de

bordear obstculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre la

superficie de un estanque; este hecho contradeca el principio de propagacin rectilnea y

reforzaba la teora acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz.

Thomas Young, en el ao 1803, realiz el primer experimento tpicamente ondulatorio al

producir el fenmeno de interferencia entre las ondas generadas en dos rejillas.

Procedimiento

Interferencia producida por una rejilla.

a. Hacer incidir luz procedente de una fuente puntual monocromtica sobre una rejilla.

b. Colocar una pantalla paralela a la rejilla, en donde se formar una franja iluminada que

puede interpretarse como la proyeccin geomtrica de la rejilla.

c. Variar el ancho de la rejilla de ms amplia a ms estrecha de tal forma que pueda observar

los cambios que se producen en la serie de franjas que se proyectan en la pantalla. (El ancho

de la franja de mayor intensidad del patrn de difraccin, disminuye segn la rejilla se haga

ms estrecha).

d. Localizar el ancho de la rejilla (muy estrecha), en donde la zona de iluminacin se ampla

en lugar de disminuir, ste fenmeno es el llamado difraccin y evidencia que la luz no se

propaga en forma rectilnea.

e. Determinar el ancho de la rejilla en que ocurre la difraccin.

f. Realizar la medicin del ancho de la franja ms intensa a diez distancias de la pantalla a la

rejilla.

Interferencia producida por dos rejillas.

a. Hacer incidir luz procedente de una fuente puntual monocromtica, sobre dos rejillas (S1 y

S2) las cuales deben tener anchos iguales.

b. Colocar una pantalla (P) paralela a las dos rejillas, lo suficientemente alejada de las rejillas,

figura 1.


Manual de prcticas

16

Figura 1. Interferencia producida por dos rejillas, el punto indica la fuente de luz

monocromtica, en tanto que S1 y S2 corresponden a las rejillas (Slits).

a) Medir la distancia entre los extremos ms separados de las rejillas S1 y S2, y la distancia de

separacin entre las rejillas y la pantalla (D), as como la distancia del centro de la pantalla

al punto (x), Figura 2.

Figura 2. Dos ondas que se superponen en el punto P viajando en lneas de propagacin

paralelas.

Los caminos pticos recorridos por las ondas paralelas generadas en las rejillas S1 y S2 para

llegar al punto P son, respectivamente, r1 y r2. La diferencia de fase depende nicamente de la


Manual de prcticas

17

diferencia de caminos pticos, o sea, la distancia entre S2 y el punto M, que puede estimarse

como: |r2 - r1| = S2M = d (Sen ), en dnde es el ngulo entre el eje ptico del sistema, FO, y

la lnea FP paralela a las trayectorias de las ondas, bajo ciertas condiciones, sen tan = x /

D.

b) Realizar las mediciones de: d, D y x, para diferentes puntos brillantes.

c) Realizar las mediciones de: d, D y x, para diferentes puntos oscuros.

d) Medir el ancho de la franja ms brillante para diferentes distancias de D.


Interferencia producida por una rejilla.

Compare el ancho de la rejilla con de la longitud de onda de la luz incidente.

Realice una grfica distancia rejilla-pantalla versus ancho de la franja ms intensa.

Interferencia producida por dos rejillas.

A partir de los valores de d, D y X para puntos brillantes y oscuros, determine las diferencias de

caminos pticos para los diferentes puntos. Qu relacin existe entre las diferencias de

caminos pticos y el tipo de interferencia que observa?

Referencias

1. Eugene Hetch, Alfred Zajac. ptica. Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 64-105

2. David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics, Volume 2, John Wiley & Sons,

Inc., 1992, p. 904-909.



Manual de prcticas

18

Prctica 7. La polarizacin de la luz

Autor(es): Marcelo Francisco Lugo Licona

Introduccin

Los polarizadores para ondas electromagnticas tienen determinadas caractersticas de diseo,

segn la longitud de onda de que se trate. En el caso de microondas con una longitud de onda

de unos pocos centmetros, un buen polarizador es una serie de alambres conductores paralelos

muy prximos entre s y aislados unos de otros. Los electrones tienen libertad de movimiento

a lo largo de los alambres conductores, y se mueven en respuesta a una onda cuyo campo E es

paralelo a los alambres. Las corrientes resultantes en los alambres disipan energa por

calentamiento de I2R, En consecuencia, una onda que atraviese un filtro de esta naturaleza

quedar polarizada principalmente en la direccin perpendicular a los alambres [1].

El filtro polarizador ms comn para la luz visible es un material conocido por su nombre

comercial de Polaroid, el cual se utiliza extensamente en fabricacin de lentes de Sol y filtros

polarizadores para lentes fotogrficos.

Inventado originalmente por el cientfico estadounidense Edwin H. Land, este material contiene

sustancias que presentan dicrosmo, una absorcin selectiva en la que uno los componentes

polarizados se absorbe mucho ms intensamente que el otro. Un filtro Polaroid transmite el

80% o ms de la intensidad de las ondas polarizadas paralelamente a cierto eje del material,

conocido como eje de polarizacin, pero slo el 1% o menos de las ondas polarizadas

perpendicularmente a este eje. En cierto tipo de filtro Polaroid, unas molculas de cadena larga

contenidas el filtro estn orientadas con su eje perpendicular al eje de polarizacin; estas

molculas absorben preferentemente la luz que est polarizada a lo largo de ellas, de forma

muy parecida a los alambres conductores de un filtro polarizador para microondas [1, p. 1263].

Procedimiento

En esta prctica se usar la luz proveniente de la pantalla de una computadora porttil como

fuente de luz ya polarizada, ver el diseo del sistema en la figura 1.


Manual de prcticas

19

Utilizar una computadora porttil y

ajustar el brillo a la mxima intensidad y el

mximo contraste (leer el manual de la

computadora para lograrlo). Como primer

ejercicio, utilizar cualquier programa (un

editor de texto o de imgenes puede ser

apropiado) de la computadora que

presente alguna regin de la pantalla en

blanco.

Con el sensor de luz (light sensor) [2]

conectado a una interfase colectora de

datos Vernier Lab Pro [3] y sta a una

computadora en la que tenga instalado el

programa Logger Pro 3.4.6 [3] para la

deteccin de la luz, colocar el detector en diferentes partes dela regin en blanco sobre la

pantalla (procurar hacer la menor presin posible con el detector sobre la pantalla de la

computadora sobre la que se har el anlisis pues podra daarla), ver la figura 2. Observar y

anotar el valor registrado por el detector en cada sitio en el que ha colocado la sonda de

deteccin.

A continuacin interponer un filtro

polarizador entre la pantalla de la

computadora y el sensor de luz, registrar el

valor mostrado por el sensor y hacer una

rotacin en el polarizador (se sugiere hacer la

rotacin cada 5), ver las figuras 3.

Figura 1. Arreglo experimental para efectuarlas mediciones del estado de polarizacin de la luz proveniente de la pantalla una computadora porttil

Figura 2. Se coloca el sensor de luz sobre la pantalla de la computadora, procurando evitar la entrada de luz de otras fuentes


Manual de prcticas

20

Figura 3. (A) Entre la pantalla de la

computadora y el sensor de luz se interpone

un filtro polarizador para verificar el estado

de la polarizacin de la luz emitida por la

computadora. (B) Al rotar el polarizador se

pueden observar los cambios en la

intensidad de la luz transmitida a travs del

mismo.

En la figura 4 se muestra una seccin de la pantalla

en la que aparece el valor de la intensidad luminosa

registrada por el sensor de luz.

Figura 4. En la parte inferior izquierda de la

fotografa puede verse la lectura de una de las

mediciones hechas con el sensor de luz. Tambin

puede apreciarse parte de la pantalla del programa

activo con el que se registran las mediciones.


Analizar los datos obtenidos, trazar una grfica y escribir las conclusiones correspondientes.

Referencias

1. Fsica Universitaria con Fsica Moderna, Sears, Zemansky, Young, Pearson Education Inc.

2. Vernier, usa un fotodiodo de silicio Hamamatsu 1133.

3. Introduction to Molecular Spectroscopy, G. M. Barrow, McGraw-Hill Book Company, Inc.,

1962, p. 61-82.

4. Wave Phenomena, Dudley H. Towne, Dover Publications, Inc. New York, 1967, p. 196-197.

5. ptica, E. Hetch, A. Zajac, Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 44, 45, 91, 95, 485.

6. Ondris-Crawford R., Crawford G. P., Doane J. W., Liquid Crystals, the phase of the future,

Phys. Teach. 30, 332 (1992).

7. Fakhruddin H., Some Activities with Polarized Light from a Laptop LCD Screen, Phys.

Teach. 46, 229 (2008)

8. Ciferno T. M., Ondris-Crawford R. J., Crawford G. P., Inexpensive Electro optic experiments

on Liquid Crystals Displays, Phys. Teach. 33, 104 (1995).

(A) (B)


Manual de prcticas

21

Prcticas optativas

Optativa 1. Movimiento armnico subamortiguado

Autor: Dra. Elizabeth Hernndez Marn

Introduccin

En la prctica 1 de este manual se estudi, en principio, el modelo de un sistema que oscila

nicamente bajo la accin de una fuerza restauradora lineal1, o considerando que el sistema es

afectado por alguna otra fuerza no conservativa (por ejemplo, friccin) despreciable dentro de

los lmites temporales del experimento. Sin embargo, en ciertos sistemas oscilatorios se pueden

encontrar fuerzas que retardan el movimiento. Una consecuencia es que la energa mecnica

del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento est amortiguado. 1

La ecuacin de movimiento de un sistema oscilatorio bajo la influencia de una fuerza

retardadora puede expresarse como: 1

2

2+ +

= 0 (Ec. 1)

donde la literal k corresponde a la constante de fuerza del resorte y m a la masa acoplada al

mismo. Los primeros dos trminos de la expresin del lado derecho de la ecuacin 1

corresponden al movimiento armnico simple ya estudiado. Notar que se agrega el trmino

debido a la fuerza retardadora = donde b es una constante llamada coeficiente de

amortiguamiento. La solucin a la ecuacin 1 es

= ( 2 ) ( + ) (Ec. 2)

Cuyo trmino xm es la mxima amplitud de desplazamiento u oscilacin. La frecuencia angular

es igual a:

=

(

2)

2

= 2 (

2)

2

(Ec. 3)

es decir o es la frecuencia de oscilacin en ausencia de la fuerza retardadora.

En esta prctica se estudiar un movimiento armnico subamortiguado, es decir que el sistema

oscila con una amplitud que decrece lentamente en funcin del tiempo. 2

Procedimiento

Antes de llegar al laboratorio consiga cualquier aparato que le permita grabar video y asegrese

de tenerlo a la mano al momento de desarrollar la prctica.


Manual de prcticas

22

Es recomendable que lleve al laboratorio una laptop con el programa Tracker3 previamente

instalado y probado.

En el laboratorio establezca un sistema como el que se

muestra en la figura 1. El vaso de precipitados deber

tener agua suficiente para cubrir la masa sujetada al

resorte cuando el sistema est en equilibrio.

Inicie la videograbacin del movimiento oscilatorio

segundos antes del inicio de dicho movimiento..

Considere una amplitud de oscilacin pequea para

minimizar los efectos de torsin del resorte durante su

elongacin. Una vez que el sistema deje de oscilar,

finalice la videograbacin. Repita un par de veces el

experimento.

Descargue los videos a la laptop e inicie el anlisis de

dicho video con el programa Tracker. Es posible

encontrar en internet varios tutoriales para usar

Tracker.

Figura 1. Sistema masa-resorte

La figura 2 muestra un ejemplo del estudio del video que viene incluido con la instalacin del

programa (archivo ball_oil.mov).

Figura 2. Uso de Tracker para analizar el video ball_oil.mov que se incluye en la instalacin del

programa.


Manual de prcticas

23

Analice los videos que obtuvo para determinar con cul de los experimentos se trabajar y

finalmente, importar los datos de desplazamiento como funcin del tiempo a una hoja de

clculo


Con los datos obtenidos, realizar una grfica de desplazamiento (y) versus tiempo (t).

Probablemente sea necesario borrar los primeros y los ltimos datos para lograr una

representacin adecuada del movimiento subamortiguado. La grfica inicial de todos los

datos determinar los datos que no contribuyan al estudio.

Una vez determinado el intervalo de datos que se van a emplear, asegurarse de corregir el

tiempo para que la grfica final inicie en t = 0 s.

Igualmente asegrese de corregir los valores de desplazamiento y para lograr dentro de lo

posible que el movimiento oscile simtricamente alrededor de y = 0 cm (o mm).

Una vez que se tenga la grfica final, determinar la frecuencia de oscilacin del sistema. Es

la frecuencia de oscilacin constante durante todo el movimiento, o la frecuencia de

oscilacin tambin disminuye con el paso del tiempo?

Realizar una nueva grfica con puntos (y, t) correspondientes a las crestas del movimiento

oscilatorio. Confirmar si esta grfica sigue un modelo del tipo .

En caso de que la grfica anterior s se pueda modelar con el patrn exponencial, determine

el valor de y de .

Se puede cambiar la viscosidad del lquido contenido en el vaso de precipitados para

estudiar el efecto en el trmino .

Referencias

6. Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Fsica para ciencias e ingeniera. Physics. Volumen

1, Sptima Edicin. Cengage Learning Editores, Mxico, 2008. p. 436.

7. Paul A. Tipler, Gene Mosca. Physics for scientists and engineers. Volumen 1, Quinta Edicin.

W. H. Freeman and Co. Nueva York, 2004, p. 445.

8. www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/

Optativa 2. Fenmenos ondulatorios en una cuba de ondas


Manual de prcticas

24

Autor: Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.

NOTA. Para mayor informacin sobre el procedimiento a seguir en esta prctica consulte el

Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.

Introduccin

Una lente es un sistema que consiste en dos (o ms) superficies refractoras, donde al menos

una es curva. Las lentes se encuentran su mayor aplicacin en la ptica en la cual se usan para

determinar propiedades de la luz. Sin embargo, aunque en la ptica tienen su mayor utilidad no

son las lentes exclusivas de ella, as, existen lentes para microondas, ondas superficiales, ondas

de radio, etc. El estudio de las lentes se remonta a la poca de Ptolomeo, ya que los griegos

conocan la magnificacin (o aumento de los objetos) al ser vistos a travs de esferas de vidrio

llenas de agua. As como las lentes uno de los elementos pticos que se conoce desde hace miles

de aos son los espejos. Un espejo es ms sencillo que una lente, su uso se basa en que con l se

puede reflejar una onda. As como las lentes existen espejos para todo tipo de ondas, desde los

rayos X hasta las olas de mar, por ejemplo. Cabe resaltar que para conformar un espejo

nicamente se necesita de una superficie y para un lente se necesitan mnimo dos superficies

Tanto las lentes como los espejos tienen clasificaciones, para el caso de las lentes tenemos:

lentes convexas y lentes cncavas. Y para los espejos se tienen convexos, cncavos y planos.

Las lentes convexas tiene la propiedad de ser convergentes, esto es, de hacer que un haz de

ondas se concentre en un punto despus de pasar por la lente. Las lentes convexas o

convergentes se clasifican principalmente en tres tipos: biconvexas, planoconvexas y concavo-

convexas.

Procedimiento

El primer paso de la prctica es nivelar la cuba de ondas, como se muestra en la figura 1, para

determinar el nmero Af. Primero colocar el pliego de papel e iluminar el rea de trabajo

colocando la lmpara al centro de donde se requiere. Despus se coloca el modelo de lente (o

espejo) en el centro, de tal forma que las ondas incidan paralelamente al eje transversal de la

lente, la lente queda cercana al perturbador y debe cubrirse con la barrera la zona exterior de

la lente, para evitar que el paso de ondas a la regin de anlisis como se muestra en la figura 2.


Manual de prcticas

25

Figura 1. Alineamiento de la cuba de ondas.

Figura 2. Arreglo experimental con ondas planas.

Primero se tiene que generar un tren de ondas planas, para determinar el punto de

convergencia del tren al pasar por el lente. Se debe encontrar una frecuencia a la cual el proceso

se vea con claridad. Se determina la longitud de onda antes y despus de la lente para sacar el

ndice de refraccin relativo; posteriormente, se localiza el punto de convergencia y se

determina su distancia desde el centro o eje.

El segundo consiste en colocar la lente a la distancia determinada en el punto anterior, y en ese

paso hacer incidir ondas circulares sobre el lente.


Manual de prcticas

26


Comprender la accin de una lente.

Determinar la distancia focal de la lente.

Calcular el ndice de refraccin del medio y explicar de qu depende.

Comprender la accin de un espejo

Determinar las caractersticas del fenmeno de la reflexin

Se necesita determinar la longitud de onda a partir de fotografas tomadas al pliego de papel

cuando las ondas pasen a travs del lente. A su vez, se debe determinar la distancia focal del

lente. Segn la ecuacin de la lente delgada. En el segundo paso, determinar qu pasa con

la distancia de convergencia del lente al hacer pasar ondas circulares a la distancia focal.

Cmo se llama el fenmeno que realiza el lente?

Para complementar los resultados obtenido y completar el anlisis de recomienda que el

alumno revise la ley de refraccin y la ecuacin de los lentes delgados. A su vez el siguiente

cuestionario ser til para el anlisis.

Explicar por qu se estima que el origen de emisin de ondas planas est situado en el

infinito? Qu significa el hecho de que al pasar ondas planas por un lente convergen en un

punto y si por otro lado, al pasar ondas circulares (en el punto de convergencia) y en la

misma lente se transforman en ondas planas?

Referencias

4. Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.


Manual de prcticas

27

Optativa 3. Determinacin de la constante de Planck

Autor(es): Walls Prez, Xavier, Jimnez Lpez, Cristina

Introduccin

Uno de los conceptos ms estudiados y menos comprendidos en la historia de la ciencia ha sido

la luz. El estudio de la misma se remonta a los estudios de Isaac Newton y Christiaan Huygens

para determinar el comportamiento de la luz como onda o partcula. Sin embargo no fue hasta

los inicios de la mecnica cuntica que pudo determinarse la dualidad onda-partcula de la luz.

Los principales aportes a este descubrimiento se atribuyen a Max Planck al proponer la

ecuacin de Planck, ecuacin bsica para la realizacin de la teora cuntica y otras grandes

teoras, entre ellas el efecto fotoelctrico, teora descrita posteriormente por Albert Einstein.

Desde la formulacin de la Ecuacin de Planck toda la fsica posterior es llamada fsica moderna.

La ecuacin de Planck resulta ser un concepto fundamental para la fsica, ya que esta estableci

el comportamiento cuntico de la luz. Para poder comprender esta ecuacin es fundamental

conocer al agente principal de esta ecuacin, que es la constante que lleva su nombre, es decir,

la constante de Planck.

Material

Fuente de poder

Cables banana-banana

Caimanes

Resistencia elctrica

Multimedidor

Lmpara de luz halogenada

LED de color (se recomienda el uso de LEDs transparentes que emiten luz de color)

Computadora

Espectrofotmetro de pelcula de difraccin (ser construido a partir de distintos

materiales de acuerdo al espectrofotmetro seleccionado)

Consultas recomendadas para la construccin del espectrofotmetro:

http://makezine.com/projects/high-res-spectrograph/

http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast161/Unit4/HandSpec/

http://old.publiclab.org/sites/default/files/8.5x11mini-spec3.8.pdf

http://old.publiclab.org/sites/default/files/desktop-kit-instructions-0.4.pdf


Manual de prcticas

28

Procedimiento

Para realizar este experimento y encontrar un valor para la constante de Planck armar el

siguiente sistema que se presenta en la figura 1, al cual se incorporar el multimedidor para

determinar la diferencia de potencial elctrico.

Figura 1. Circuito elctrico para la determinacin de la constante de Planck.

Medir la diferencia de potencial elctrico necesaria para encender el LED. Manteniendo la

diferencia de potencial elctrico constante, se utilizar el espectrofotmetro construido para

medir la longitud de onda de la luz emitida por el LED. Para un correcto funcionamiento del

espectrofotmetro se recomienda utilizar el programa de recopilacin de datos en:

http://spectralworkbench.org/


Determinar la energa elctrica del sistema a partir de la diferencia de potencial elctrico.

E = eV (Ec. 1)

Dnde representa la energa elctrica, representa a la carga del electrn y representa

la diferencia de potencial elctrico.

Determinar la frecuencia de la onda de luz a partir de la velocidad de la luz:

c = (Ec. 2)

Dnde representa a la velocidad de la luz en el vaco, representa la longitud de onda y

representa la frecuencia de onda.

Establecer la relacin entre la energa elctrica y la frecuencia de onda de la luz del LED con

lo cual es posible determinar la constante de Planck.

E = h (Ec. 3)

Dnde representa la energa, representa a la constante de Planck y representa la

frecuencia de onda.

Referencias

1. The physics of vibrations and waves, Sextaedicin, Pain, H.J. Wiley & Sons, 2005, p. 367-376.

2. Vibraciones y Ondas, Segundaedicin, French, A.P. Massachusetts Institute of Technology:

MIT, 2002, p. 324-335.


Manual de prcticas

29

Optativa 4. ptica sin lentes

Autor(es): Ernesto Ladrn de Guevara.

Introduccin

La distancia focal de una lente o de un espejo depende de su curvatura y del ndice de difraccin

del medio (para el caso de la lente). De esta manera se utilizar una lente plana convexa para

tomar fotos de objetos pequeos y determinar el poder magnificador de la lente al tomar fotos

de un objeto de tamao conocido.

Material

Telfono celular

Pizeta de agua

Jeringa

Rejilla de difraccin

Soporte universal

Pinzas

Procedimiento Experimental

Se deber montar el telfono celular sobre un soporte que permita manipularlo y que la cmara

fotogrfica se encuentre hacia arriba. Se le pondr una gota de agua sobre la cmara fotogrfica

y se buscar la distancia ideal a la cual las imgenes estn enfocadas.

La cmara se deber configurar con sensibilidad a la automtica a la luz y en los siguientes dos

estados:

al mnimo aumento,

al mximo aumento.

Solo se deber utilizar una sola resolucin, de preferencia menor a 2 megapxeles, para que las

imgenes sean fciles de manipular.

Sobre un vernier se debern poner 3 ms muestras pequeas pegada a la escala de pulgadas,

y se debern tomar imgenes en foco de las muestras.

Para calibrar los aumentos de una lente se deber tomar la foto de una rejilla de difraccin. A

su vez, para conocer la separacin entre las barras de la rejilla se deber medir el patrn de

difraccin con un lser (de longitud de onda conocida) y se deber determinar la separacin

que tiene cada lnea de la rejilla por medio de la ley de difraccin.


Manual de prcticas

30

Demostracin en el laboratorio.

A travs de una gota (de agua de la llave) que cuelga de la punta de una jeringa, hacer pasar un

lser verde por la gota y proyectar imagen en una hoja blanca. Explique de qu depende la

magnificacin que se observa en la pantalla.


El alumno deber reportar:

Las imgenes tomadas por su cmara de varios objetos pequeos.

Las imgenes de una rejilla de difraccin que le ser entregada por el profesor.

La imagen del patrn de difraccin de la rejilla proyectada sobre una superficie oscura.

El anlisis del patrn de difraccin que indique la separacin de cada elemento de rejilla,

tabulado y con las incertidumbres del instrumento con el cual se determin.

Sobre la imagen de la rejilla se deber dibujar (in silico) una barra o cuadro del tamao de

la separacin, esta barra se debe copiar a las dems imgenes para determinar la

amplificacin del lente.


Manual de prcticas

31

Taller de simetra

I. Grupos puntuales, elementos y operaciones de simetra

Introduccin

La simetra molecular es til en la clasificacin de molculas, para simplificar clculos de

mecnica molecular, determinar la presencia de ciertas propiedades moleculares tales como polaridad y quiralidad, etc. La importancia de la simetra se har evidente en cursos ms avanzados que contemplan tpicos tales como cristalografa de rayos X, la derivacin de las

reglas de seleccin para diversas espectroscopas, entre otros.

Este taller no pretende ser una revisin detallada de los principios que rigen el estudio de la

simetra molecular, sino una introduccin a algunos de los conceptos relevantes.

Luego de una exposicin de los conceptos que se desea introducir, se incluyen ejercicios a

resolver durante la clase.

En esta sesin sern introducidos los conceptos bsicos de simetra molecular.

I. Definicin de grupo

Sea G un conjunto no vaco y "" empleado para expresar una operacin binaria en G. Entonces

G es un grupo bajo "" s y slo s se cumple lo siguiente:

i) Hay cerradura.

Para todo elemento gi y gj que pertenecen al conjunto, el producto de la operacin gi gj tambin es un elemento del conjunto.

ii) Hay asociatividad.

Para todo elemento gi, gj, y gk que pertenecen al conjunto se cumple que:

gi (gj gk) = (gi gj) gk

iii) Existe el elemento identidad o idntico expresado con el smbolo "e" tal que:

gi e = e gi =gi

iv) Existe el inverso (gi-1) de cada elemento gi tal que:

(gi-1) gi = e

donde gi-1 tambin debe pertenecer al conjunto.

Ejemplo. Sea el conjunto C = {1, -1}. Su tabla de multiplicar es entonces:


Manual de prcticas

32

1 -1 1 1 -1 -1 -1 1

Notar que se cumple la cerradura porque todos los elementos de la tabla pertenecen al

conjunto C.

Adicionalmente, en este ejemplo, el elemento identidad es el nmero 1 porque:

1 1 = 1

1 -1 = -1 1 = -1

Tambin, cada nmero es su propio inverso:

-1 -1 = 1

1 1 = 1

EJERCICIO 1

1. Sea A un conjunto tal que A = {1, -1}.

(a) Llene la siguiente tabla

1 -1 1 -1

(b) Indique si el conjunto A es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea un

grupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.

2. Sea C el conjunto de los colores primarios, C = {verde, rojo, azul}.

(a) Llene la siguiente tabla

verde Rojo azul verde rojo azul

(b) Indique si el conjunto C es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea un

grupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.


Manual de prcticas

33

II. Elementos y operaciones de simetra Un elemento de simetra es una entidad geomtrica tal como un punto, un plano o una lnea con respecto al cual se llevan a cabo las operaciones de simetra. Una operacin de simetra implica 'transformar' un objeto en el espacio, de tal forma que la apariencia de dicho objeto es indistinguible de la estructura original. La correspondencia entre los elementos y operaciones de simetra se muestra en la siguiente tabla:

Elemento Operacin

- identidad (e)

punto inversin (i)

lnea (eje) rotacin (Cn)

plano reflexin o imagen ()

III. Operaciones de simetra (a) Identidad (e)

Consiste en la realizacin de ninguna accin.

(b) Rotacin (Cn)

Esta operacin se lleva a cabo alrededor de un eje de rotacin. El objeto es rotado un ngulo de 2/n radianes (n es un entero). Por ejemplo, para una molcula de agua la rotacin es 2/2 = radianes o 180.

Algunas molculas tienen ms de un eje de rotacin, por ejemplo en la molcula que se muestra a continuacin existe un eje C4 y otro C2 perpendicular a C4. La convencin dicta que el eje principal con el valor mayor de n sea designado como el eje principal. En este ejemplo, el eje C4 es el eje principal.


Manual de prcticas

34

Existen casos en que una molcula contiene ms de una rotacin sobre un eje. Por ejemplo, la molcula cuadrada plana XeF4 tiene un eje C4 que atraviesa al tomo de Xe y que es perpendicular al plano de la molcula. Si se llevan a cabo dos rotaciones consecutivas de 90, es decir (C4)2 = C4 C4, el equivalente sera realizar una rotacin de 180 alrededor del mismo eje. De este modo, el eje C2 coincide con el eje C4.

En las molculas diatmicas se puede realizar una rotacin para cualquier valor de ngulo a travs del eje internuclear. Este eje se llama C y es el eje de rotacin principal.

(c) Reflexin a travs de un plano ()

Una reflexin se lleva a cabo en un plano de simetra (algunas veces llamado plano espejo). Los planos de reflexin pueden contener ejes de rotacin o ser perpendiculares a un eje de rotacin. Cuando un plano es perpendicular al eje principal, dicho plano se designa con el smbolo h. Cuando un plano contiene al eje de rotacin principal, dicho plano se denota como v. De este modo, un v se considera paralelo al eje de rotacin.

Un caso especial es el plano diedral, denotado con d. Este plano es paralelo al eje principal y bisecta el ngulo entre dos ejes C2 que son perpendiculares al eje principal.

(d) Inversin (i)

La inversin ocurre a travs del centro de simetra, i. La operacin de inversin transforma un punto (x,y,z) de la molcula en otro punto (-x,-y,-z). Notar por ejemplo que el agua no posee un centro de inversin, mientras que el XeF4 s lo tiene.


Manual de prcticas

35

(e) Rotaciones impropias (Sn)

Una rotacin impropia consiste en la aplicacin de dos operaciones sucesivas: 1) Una rotacin de 2/n radianes alrededor de un eje (llamado eje Sn) y 2) una reflexin en un plano que es perpendicular a Sn. En el ejemplo anterior el eje de rotacin no es necesariamente un eje Cn de la molcula. (Notar que un rotacin de 90 por s sola no da como resultado a la molcula original). Entonces, la reflexin en un plano que pasa a travs del carbono central, es necesaria para completar la operacin de simetra.

IV. Grupos puntuales Un conjunto de operaciones de simetra particulares para una molcula cumple con los 'requisitos' para formar un grupo. De acuerdo a las operaciones de simetra contenidas en el grupo, es posible obtener una gran variedad de grupos. Las molculas son clasificadas de acuerdo a los elementos de simetra que poseen (es decir, de acuerdo al grupo al que pertenecen). Existen dos sistemas de notacin: el sistema Schoenflies (en el cual un grupo puntual es llamado, por ejemplo C4v y el sistema Hermann-Mauguin que se usa ms en cristalografa.

EJERCICIO 2 Se le proporcionarn 5 molculas, determine su grupo puntual siguiendo la nomenclatura de Schoenflies. Utilice el diagrama de flujo proporcionado en el Anexo 1.

Bibliografa sugerida 1. P. Atkins, J. de Paula, Physical Chemistry, 9a ed. 2010, Freeman and Company. Revisar el

captulo titulado "Molecular Symmetry" (en esta o en ediciones anteriores).


Manual de prcticas

36

2. F. A. Cotton, Chemical Applications of Group Theory, 1990, Wiley. ANEXO 1. Diagrama de flujo para determinar el grupo puntual de acuerdo a la nomenclatura de Schoenflies.


Manual de prcticas

37

Taller de simetra molecular

II. Algunas implicaciones de la simetra

Polaridad Una molcula polar tiene un dipolo elctrico permanente, , el cual tiene una orientacin especfica en la molcula. Si una molcula tiene un eje de rotacin, entonces el momento dipolar debe encontrarse a lo largo de dicho eje. Esto es porque el momento dipolar no puede cambiar bajo una rotacin. Por ejemplo, el momento dipolar de una molcula de agua se encuentra a lo largo de su eje C2:

Si una molcula posee al menos un eje secundario o un plano perpendicular al eje de rotacin principal, entonces no puede tener momento dipolar. Lo contrario implicara que debera encontrarse a lo largo de todos los ejes de rotacin y sobre todos los planos de reflexin. Esto no puede ocurrir y por lo tanto = 0. Por ejemplo, XeF4 tiene un eje principal C4 y un plano secundario C2, perpendicular al principal. Los momentos dipolares individuales a lo largo de cada enlace Xe-F se cancelan unos a otros y el resultado neto es = 0.

Siguiendo el mismo razonamiento, si una molcula tiene un centro de inversin entonces no puede tener momento dipolar. Entonces, molculas cuyo grupo puntual es Oh e Ih no tendrn momento dipolar. Adicionalmente, molculas bajo el grupo puntual Td tampoco tienen momento dipolar. Quiralidad

Si una molcula es quiral, es pticamente activa. Una molcula es quiral cuando las imgenes especulares de la molcula no pueden ser superpuestas. Una molcula con rotaciones impropias no es quiral. Notar que la rotacin impropia S2 (rotacin C2, seguida de una reflexin a travs del respectivo plano !h es la operacin de inversin. Por lo tanto, si una molcula tiene un centro de inversin, y/o planos de reflexin no puede ser quiral. Molculas que pertenecen a los grupos puntuales Dnd, Dnh, Td, y Oh no son quirales.


Manual de prcticas

38

EJERCICIO 1 1. Indique si las molculas que le son asignadas son polares y/o quirales. Justifique usando

argumentos de simetra.

Tablas de multiplicacin de un grupo

Ya se ha mencionado que un conjunto de operaciones de simetra particulares para una

molcula forma un grupo. El nmero de elementos en un grupo se define como el orden del

grupo. Frecuentemente, el orden del grupo se denota con el smbolo h.

Por ejemplo, podemos llamar C2v a un conjunto que contiene las operaciones de simetra E, C2,

(xz) y (yz), (es decir, la operacin identidad, un eje de rotacin C2 y dos planos de reflexin v). Por lo tanto, el orden del grupo puntual C2v es 4.

La operacin de multiplicacin dentro de un grupo se denota como A B y puede 'leerse' como "primero se lleva a cabo, sobre la molcula, la operacin de simetra B. Enseguida, se realiza la

operacin A. El resultado neto de la accin consecutiva es otra operacin de simetra. Para

ilustrarlo, tomar al diclorometano orientado como en la siguiente figura:

Siguiendo el diagrama de flujo proporcionado anteriormente, se puede comprobar que al

diclorometano le corresponde el grupo puntual C2v.

La operacin identidad, E, deja a la molcula sin cambios.

El eje C2 se encuentra a lo largo del eje-z. La operacin C2 transforma la molcula de la siguiente

manera:

Llevar a cabo dos operaciones C2 consecutivas, es equivalente a haber aplicado la identidad:

C2 C2 = E.

La molcula de diclorometano tiene dos planos de reflexin (ambos paralelos al eje C2). Uno de

los planos contiene a los tomos Cl-C-Cl. Llamaremos a este plano (yz). El otro plano ser


Manual de prcticas

39

entonces (xz). La aplicacin de la operacin (yz) intercambia la posicin de los 2 hidrgenos mientras los dems tomos no se mueven. Por otro lado, la operacin (xz) permuta nicamente a los tomos de cloro.

Si se aplica dos veces consecutivas la operacin (yz), encontramos que es lo mismo que aplicar la identidad: [(yz)]2 = (yz) (yz) = E.

Lo que quiere decir que (yz) es su propio inverso. Lo mismo ocurre con (xz).

Ahora, la multiplicacin (yz) (xz) da como resultado:

Este resultado es equivalente a la aplicacin de una rotacin C2, entonces

(yz) (xz) = C2

EJERCICIO 2

(a) Muestre, con diagramas como los del ejemplo de arriba, que (xz) (yz) = C2. (b) Encuentre el resultado de la operacin (yz) C2:

(c) Utilizando diagramas como los anteriores, encuentre (xz) C2 . (d) Encuentre el resultado del producto C2 (xz). (e) A partir de los resultados anteriores y realizando las operaciones adicionales necesarias,

construya la tabla de multiplicacin para el grupo C2v.


Manual de prcticas

40

Algunas reglas para tener en cuenta:

1. Para la multiplicacin, realizar primero la operacin sobre la columna y luego la operacin

sobre la fila.

2. En una fila o columna no se puede repetir ningn elemento del grupo.

C2v e C2 (xz) (yz) e e C2 C2 (xz) (xz) (yz) (yz)

Nota: La conmutatividad no es una condicin necesaria para que un conjunto sea un grupo. Sin

embargo, la conmutatividad se puede cumplir en algunos casos.

El conjunto C2v contiene a la identidad y cumple la cerradura. Para que C2v sea un grupo, es

necesario que cada elemento del grupo tenga su inverso (que debe ser parte del conjunto) y se

debe cumplir tambin con la asociatividad.

EJERCICIO 3

(a) Recordando que gi-1 gi = e, donde gi-1 es el inverso de gi, identifique al inverso de cada elemento del conjunto C2v. Llene la siguiente tabla:

Operacin Inverso e e C2

(xz) (yz)

(b) A partir de la tabla que construy en el ejercicio 2, compruebe que para las siguientes

operaciones se cumple la asociatividad:

1. C2 [(xz) (yz)] = [C2 (xz)] (yz) 2. [(xz) (xz)] (yz) = (xz) [(xz) (yz)]

Ejemplo: E [C2(yz)] = [EC2](yz)

lado izquierdo de la igualdad: E[C2(yz)] = E[(xz)] = (xz)

lado derecho de la igualdad: [EC2](yz)= [C2](yz) = (xz)

Dado que en el lado derecho e izquierdo de la igualdad se llega al mismo resultado, la igualdad

se demuestra como verdadera.


Manual de prcticas

41

TAREA OPCIONAL. Construya la tabla de multiplicar para el grupo puntual C3v.

La molcula de amoniaco corresponde al grupo puntual C3v. Esta molcula tiene un eje de

rotacin C3 y tres planos de reflexin.

Para este ejercicio, se establece la siguiente convencin: cada plano de reflexin ser etiquetado

de acuerdo a la posicin (1,2, o 3) que contenga a dicho plano. Por ejemplo la aplicacin del

plano 1 resulta en:

Notar que las etiquetas 1,2 y 3 no cambian y que el plano 1 ocasiona el intercambio de los hidrgenos denominados HB y HC.

Se puede mostrar que cada plano es su propio inverso y que (C3)3 = (C3)2 C3 = C3 (C3)2 =E, y por lo tanto (C3)2 es el inverso de C3.

Algunos ejemplos para ayudar a completar la tabla de multiplicar:

* C3 C3 = (C3)2

*2 3 = C3

* 1 C3 = 2


Manual de prcticas

42

Con la informacin proporcionada, se puede comenzar a llenar la tabla de multiplicar para C3v.

C3v e C3 (C3)2 1 2 3 e C3 (C3)2 e

(C3)2 1 2 e 2 e C3 3 e

Algunas reglas para tener en cuenta:

1. La rotacin C3 va en contra de las manecillas del reloj.

2. Para la multiplicacin, realizar primero la operacin sobre la columna y luego la operacin

sobre la fila.

3. En una fila o columna no se puede repetir ningn elemento del grupo.

Taller de simetra molecular

III. Tablas de caracteres

Introduccin

Cuando una molcula tiene simetra, es posible hacer uso de esa simetra para clasificar a los

orbitales atmicos y moleculares correspondientes. Esto resulta importante para simplificar el

clculo de algunas propiedades moleculares tales como momentos dipolares. Tambin facilita

la evaluacin de reglas de seleccin para transiciones electrnicas.

La simetra molecular es una herramienta valiosa al clasificar el movimiento vibracional de una

molcula y es til en la prediccin de transiciones vibracionales permitidas.

Las operaciones de simetra estudiadas anteriormente tambin se pueden aplican a los

orbitales atmicos:


Manual de prcticas

43

Notar que al aplicar una rotacin C2 sobre un orbital s, no hay cambio de signo sobre dicha

funcin.

La misma operacin sobre uno de los orbitales p, digamos el py, causa un cambio en el signo respecto a la funcin original.

El enlace qumico se puede describir en trminos de la distribucin electrnica sobre los

orbitales de una molcula. Estos orbitales moleculares (OM) pueden ser escritos como una combinacin lineal de orbitales atmicos (CLOA). A continuacin se presentan un par de

diagramas de OM para la molcula de H2 y el in H2+, respectivamente.

De acuerdo a la representacin esquemtica de arriba, es posible escribir cada uno de los

orbitales moleculares ( y *. No confundir con el smbolo para planos de reflexin) como una combinacin lineal de dos orbitales atmicos 1s centrados en cada uno de los tomos de

hidrgeno.

Denominando a cada uno de los hidrgenos como HA y HB, la combinacin de enlace es:

= 1/2 (1sA + 1sB)

Mientras que la combinacin de antienlace * es:

= 1/2 (1sA - 1sB)

La descripcin anterior de la distribucin electrnica en las molculas se basa en la teora del

orbital molecular. Y expresar a los orbitales moleculares como una combinacin de orbitales

atmicos es parte del mtodo MO-LCAO (molecular orbital- linear combination of atomic

orbitals).

En esta sesin se pretende mostrar cmo el uso de simetra permite derivar y leer tablas de

caracteres que ayudaran en la aplicacin del mtodo MO-LCAO.


Manual de prcticas

44

Transformaciones

En sesiones anteriores se trabaj con las operaciones de simetra (rotaciones, reflexiones, etc.)

sobre los tomos de una molcula. Ahora, a cada uno de los tomos se les asociar un conjunto

de objetos (por ejemplo, orbitales atmicos, o un sistema coordenado) y se estudiar el efecto

de la aplicacin de las operaciones de simetra (transformacin) sobre esos objetos.

Por ejemplo, agregar un sistema coordenado a cada uno de los tomos en una molcula de SO2

que se localiza sobre el plano yz:

donde xS es el eje-x asociado con el tomo de azufre, xA es el eje-x asociado con el tomo de oxgeno A, xB es el eje-x asociado con el tomo de oxgeno B, etc.

La molcula de SO2 pertenece al grupo puntual C2v. Dicho grupo contiene 4 elementos, a saber,

las siguientes operaciones de simetra: E, C2, v(xz) y v(yz).

Ahora, considerar el efecto que tiene sobre los ejes coordenados sobre cada tomo, cada uno de

las operaciones del grupo C2v. Es claro que la identidad E deja cada eje coordenado sin cambio.

Para el plano v(yz) tenemos lo siguiente:

eje-x Cambio de signo para todos los ejes-x de cada tomo (la coordenada +x pasa a -x).

eje-y No hay cambio de signo para ningn eje de ningn tomo.

eje-z No hay cambio de signo para ningn eje de ningn tomo.

Los resultados pueden escribirse como:

v(yz) xS = -xS v(yz) yS = yS v(yz) zS = zS

v(yz) xA = -xA v(yz) yA = yA v(yz) zA = zA

v(yz) xB = -xB v(yz) yB = yB v(yz) zB = zB

Se podra representar a todas las coordenadas como un vector de 9 componentes y cada

transformacin como una matriz de 9x9. Sin embargo, esto puede llegar a ser complicado

conforme aumenta el nmero de tomos. Pero hay que notar que los ejes-x siempre se

transforman a ejes-x, los ejes-y a ejes-y y los ejes-z a ejes-z. Esto reduce entonces la posibilidad de representar la transformacin con matrices de 3x3.


Manual de prcticas

45

Entonces, para la reflexin debido a v(yz) se tiene:

()(, , ) = (, , ) (1 0 00 1 00 0 1

)

()(, , ) = ( , , ) (1 0 00 1 00 0 1

)

()(, , ) = (, , ) (1 0 00 1 00 0 1

)

Se puede ver que cada lnea en la matriz representa el valor del signo de la transformacin, as

como la posicin en el espacio de cada eje.

Ahora, para la rotacin C2:

eje-x Cambio de signo para todos los ejes-x de cada tomo.

Notar tambin que los tomos OB y OA intercambian posiciones.

eje-y Cambio de signo para todos los ejes-y.

Los tomos OB y OA intercambian posiciones.

eje-z No hay cambio de signo para ningn eje-z.

Los tomos OB y OA intercambian posiciones.

Los resultados pueden escribirse como:

C2 xS = -xS C2 yS = -yS C2 zS = zS

C2 xA = -xB C2 yA = -yB C2 zA = zB

C2 xB = -xA C2 yB = -yA C2 zB = zA


Manual de prcticas

46

y en trminos de matrices:

2(, , ) = (, , ) (1 0 00 1 00 0 1

)

2(, , ) = ( , , ) (1 0 00 0 10 1 0

)

2(, , ) = (, , ) (1 0 00 0 10 1 0

)

Todas las matrices reflejan tanto el cambio (o no cambio) de signo, como el intercambio de las

posiciones A y B (prestar atencin sobre todo en la segunda y tercera lneas de cada matriz).

La transformacin de los orbitales px debida al plano v(xz) queda de la siguiente manera:

()(, , ) = (, , ) (1 0 00 0 10 1 0

)

Nuevamente, las matrices reflejan el cambio de posiciones A y B.

EJERCICIO 1 Escribir las transformaciones a las que son sujetas los orbitales py y pz al aplicar el plano v(xz). Escriba tambin las matrices asociadas a dichas transformaciones.

Ahora, considerando todas las transformaciones debidas a las operaciones de simetra para los

orbitales px (xS, xA,xB), se tienen 4 matrices que representan todas las operaciones de simetra evaluadas anteriormente:

() = (1 0 00 1 00 0 1

) (2) = (1 0 00 0 10 1 0

)

( ()) = (1 0 00 0 10 1 0

) ( ()) = (1 0 00 1 00 0 1

)


Manual de prcticas

47

Las 4 matrices anteriores forman una representacin (reducible) del grupo C2v. De hecho, estas

matrices reproducen el efecto de las operaciones de simetra.

Cada conjunto de objetos sobre los tomos (sistema coordenado u orbital atmico) produce

una matriz. Ahora, si colocramos un orbital px sobre cada tomo se generaran las mismas matrices que las anotadas anteriormente.

EJERCICIO 2 Escribir las 4 matrices (D(e), D(C2), D(v(xz)), D(v(yz)) que representan las transformaciones de los orbitales py sobre cada tomo.

Es posible tener varias representaciones matriciales diferentes, y mientras ms elementos tenga el grupo puntual, ms matrices son generadas. Entonces, es ms sencillo trabajar con una cantidad ms invariante -la traza de la matriz-. La traza es la suma de los elementos diagonales de una matriz. Por ejemplo, las trazas de las matrices de la pgina anterior son:

TrD(E) = 3, TrD(C2) = -1, TrD(v(xz)) = 1, TrD(v(yz)) = -3. La traza de la matriz se llama el carcter de la representacin. Entonces, para la representacin definida por (xS, xA,xB) se tiene la representacin reducible (es decir, es un smbolo que denota a una representacin reducible):

C2v e C2 v(xy) v(yz) 3 -1 1 3

Una ventaja de usar caracteres, es que las trazas de matrices que representan elementos en la misma clase son idnticas. Por ejemplo, en el caso del grupo puntual C3v, se incluyen operaciones del tipo C3 y (C3)2. Estas operaciones pertenecen a la misma clase y entonces se espera que las trazas de sus matrices sean similares. Regresando a las matrices relacionadas con (xS, xA,xB), se observa que dichas matrices pueden ser subdivididas:

() = (1 0 00 1 00 0 1

)

De este modo, es posible separar 4 matrices de 1x1 para el tomo S y 4 matrices de 2x2 para los tomos de oxgeno OA y OB. Para S:


Manual de prcticas

48

TrD(e) = 1, TrD(C2) = -1, TrD(v(xz)) = 1, TrD(v(yz)) = -1. Para A y B:

() = (1 00 1

) (2) = (0 1

1 0 ) ( ()) = (

0 11 0

) ( ()) = (1 00 1

)

Traza = 2 0 0 -2

Entonces, se ha logrado reducir la representacin matricial de 3x3 a una representacin

matricial 1-dimensional y una representacin 2-dimensional. De este modo la matriz de 3x3 es

una representacin reducible. La matriz unidimensional no puede ser simplificada ms por lo

que se dice que es una representacin irreducible. En la Tabla 1, esta representacin irreducible

se presenta con el smbolo 1.

Tabla 1. Representacin reducida 1.

C2v e C2 v(xy) v(yz) 1 1 -1 1 -1 2 2 0 0 -2

EJERCICIO 3 Usando las matrices del Ejercicio 1, encontrar los caracteres de las representaciones reducibles para los orbitales py. Llenar la siguiente tabla:

C2v e C2 v(xy) v(yz) 1 2

El nmero de representaciones irreducibles es igual a nmero de clases. En el grupo puntual C2v hay 4 clases, una por cada operacin de simetra. Por lo tanto en C2v deben existir 4 representaciones irreducibles. Hasta el momento slo se ha identificado una, con sus caracteres (trazas) asociados. Pero una vez formadas todas las representaciones irreducibles, es posible crear una tabla de caracteres del grupo puntual. La tabla de caracteres de C2v se muestra a continuacin:

C2v e C2 v(xy) v(yz) h=4 A1 1 1 1 1 z x2,y2,z2 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz B2 1 -1 -1 1 Y, Rx yz

La fila inicial indica el grupo puntual y las operaciones de simetra. La primera columna contiene el nombre de las representaciones irreducibles (4 en este caso). La nomenclatura que se sigue para nombrar a las representaciones irreducibles es la siguiente: A y B se usan para indicar que el caracter de la rotacin principal es 1 o -1, respectivamente. Cada representacin


Manual de prcticas

49

irreducible es unidimensional porque el caracter de la operacin E es 1. Si la traza (el caracter) fuera 2, entonces la representacin sera una matriz bidimensional. Si el caracter fuera 3, se tendra una matriz de 3x3. El orden del grupo (h) se encuentra al sumar los cuadrados de los caracteres de cada clase. En las dos ltimas columnas se indica qu funciones en un punto fijo son transformadas de acuerdo a la representacin irreducible. Por ejemplo, la coordenada x y el orbital px sobre un tomo que queda fijo se transforma como la representacin irreducible B1. El producto xy se transforma como A2. Los trminos Rx, Ry, Rz se refieren a operadores tales como los del momento angular. Si se compara 1 de la Tabla 1 con las representaciones irreducibles de la tabla de caracteres para C2v, se puede notar que 1 corresponde con B1. Esto es porque el tomo S se encuentra en un punto fijo del grupo puntual. Tambin se vio que xA y xB, forman una matriz bidimensional. Esto implica que 2 en la Tabla 1 es reducible.

EJERCICIO 4 Siguiendo el ejemplo dado en clase, determinar la representacin irreducible de la combinacin [pxA - pxB].

Se ha visto que para la molcula de SO2, el orbital px del azufre transforma como B1 (1, Tabla 1). Tambin se ha visto que existe una combinacin lineal de los orbitales px del oxgeno que transforma como B1. Entonces, los orbitales px de azufre y oxgeno se pueden combinar de dos maneras:

a pxS + b(pxA + pxB) -a pxS + b(pxA + pxB)

La primera combinacin representa un orbital molecular de enlace, la segunda combinacin es un orbital de antienlace *.

Algunas aplicaciones

Una aplicacin de la teora de grupos se encuentra en el clculo de valores esperados y reglas de seleccin (espectroscopa). Producto directo. Se obtiene al multiplicar los caracteres de cada representacin irreducible involucrada en el producto.


Manual de prcticas

50

Se encuentra que el resultado del producto A2xB1 es similar a la representacin irreducible B2. Por lo tanto A2xB1 = B2.

C2v e C2 v(xy) v(yz) A1 1 1 -1 -1 B1 1 -1 1 -1

A2xB1 1 -1 -1 1 Estados moleculares. Es posible determinal es estado molecular de un sistema al tomar el producto directo de las representaciones irreducibles de cada orbital molecular ocupado por un electrn. Para capas cerrradas (todos los electrones apareadas), el resultado es la irreducible totalmente simtrica (es decir, aquella cuyos caracteres son todos 1). Por ejemplo, en en grupo puntual C2v, la irreducible totalmente simtrica es la A1. Los estados excitados se obtienen usualmente al excitar uno o ms electrones a orbitales vacios. Suponer que en una molcula, un electrn se excita de un orbital (por ejemplo, la combinacin B1 del ejemplo con SO2) a un orbital * (tambin B1). Entonces, el estado excitado sera B1xB1 = A1. Valores esperados. Sea O un operador cualquiera. De este modo, una integral (elemento de matriz) se define como cuando = se tiene el valor esperado si la funcin de onda est normalizada. Para que esa integral sea diferente de cero, no debe cambiar ante ninguna operacin de simetra. Asumiendo que se transforma como que tambin es irreducible, y que O se transfroma como la irreducible 0 y finalmente ( se transforma como . Entonces es posible calcular el producto directo:

x 0x Si el resultado es, o contiene a la representacin totalmente simtrica, entonces la integral ser diferente de cero. Por ejemplo, el operador de momento dipolar es

= -e (xi + yj + zk) Este operador es relevante para determinar la probabilidad de que ocurra una transicin electrnica. En el ejemplo de SO2, el estado basal se transforma como A1, y de acuerdo a la tabla de caracteres, las coordenadas x transforman como B1. Ya se ha calculado que uno de los estados excitados transforma como A1. Para que la transicin sea permitida, al menos uno de los productos x 0x debe ser la irreducible totalmente simtrica. Entonces, si se irradia luz polarizada nicamente en la direccin x, se tiene que:

x 0x = A1 B1 A1 = B1


Manual de prcticas

51

Por lo tanto, la transicin * con luz polarizada nicamente en la direccin x no es permitida.

EJERCICIO 5 Siguiendo el ejemplo anterior, determine si la transicin * es permitida cuando se irradia con luz polarizada en la direccin y z. Es decir, resuelva los siguientes productos:

y = z =

y determine si en alguno de los dos casos anteriores se obtiene como resultado la representacin A1. Recuerde que = A1 (estado basal), = A1 (estado excitado), y que y y z (direccin de la luz polarizada) se puede encontrar en la tabla de caracteres.

EJERCICIO 6 Para las 3 vibraciones normales de la molcula de agua (tambin perteneciente al grupo puntual C2v), determinar la representacin irreducible de cada una de dichas vibraciones normales. (Revisar el ejercicio 4)

Nota: Taller de Simetra Molecular, partes I, II y III estn basadas principalmente en "Chemistry 373: Quantum Mechanics and Symmetry. Laboratory Manual", Department of Chemistry, University of Calgary, Fall 2007, pags. 17-29.

Documents

Manual fundamentos de espectroscopia