Lois de commande par modes glissants du moteur pas-à-pas

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Submitted on 22 Feb 2007

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Lois de commande par modes glissants du moteurpas--pas

Frdric Nollet

To cite this version:Frdric Nollet. Lois de commande par modes glissants du moteur pas--pas. Automatique / Robo-tique. Ecole Centrale de Lille; Universit des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2006. Franais.

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00132768https://hal.archives-ouvertes.fr

N dordre : 32 Annee 2006

THESE

presentee a

ECOLE CENTRALE DE LILLE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR

delivre conjointement par

lEcole Centrale de Lille et lUniversite des Sciences et Technologies de Lille

par

Frederic Nollet

Specialite : AUTOMATIQUE et INFORMATIQUE INDUSTRIELLE

LOIS DE COMMANDE PAR MODES GLISSANTS

DU MOTEUR PAS A PAS

Soutenue le 7 decembre 2006 devant le jury suivant :

President : Thierry Marie Guerra Professeur a lUVHC de ValenciennesRapporteurs : Jean-Pierre Barbot Professeur a lENSEA de Cergy

Franck Plestan Matre de conference a lIRCCyN de NantesExaminateur : Jean-Pierre Richard Professeur a lEC de LilleInvite : Frederic Gillon Matre de conference a lEC de LilleDirecteurs de these : Wilfrid Perruquetti Professeur a lEC de Lille

Thierry Floquet Charge de Recherche CNRS au LAGIS

These preparee au

Laboratoire dAutomatique, Genie Informatique et Signal (L.A.G.I.S.)UMR CNRS 8146 - Ecole Centrale de Lille

Cite scientifique - Villeneuve dAscq

Je nai pas de talents particuliers.Je suis juste passionnement curieux.

[ Pensees intimes, Lettre a Carl Seelig, 11 mars 1952 ]Einstein, Albert

Brisez vos limites, faites sauter les barrieres de vos contraintes,mobilisez votre volonte, exigez la liberte comme un droit,

soyez ce que vous voulez etre. Decouvrez ce que vous aimeriez faireet faites tout votre possible pour y parvenir.

[ Jonathan Livingston le goeland ]Bach, Richard

En verite, le chemin importe peu,la volonte darriver suffit a tout.

Camus, Albert

Le bonheur nest pas chose aisee.Il est tres difficile de le trouver en nous,

il est impossible de le trouver ailleurs.

Bouddha

La recherche a tous les niveaux est un jeuet ce nest pas deconsiderer lesprit

scientifique de dire cela car riennest plus serieux quun enfant qui samuse.

Sevely Y.

Table des matieres

Avant propos 1

Notations 5

Introductions 7Utilisation du moteur pas-a-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Lois de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Contexte de letude 151.1 Description du banc dessai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Modele du moteur pas-a-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Equations electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2 Equations mecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3 Puissances mises en jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.4 Modele dans le repere ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.5 Modele dans le repere (d q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Analyse du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Objectifs 252.1 La platitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Erreur de poursuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Planification de trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Position r(t) et courant direct idr(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2 Optimisation de trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Generalites sur les modes glissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.1 Commandes par modes glissants dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.2 Commandes par modes glissants dordre superieur . . . . . . . . . . . . . 42

3 Identification 453.1 Methodes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.1 Methode calculatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.2 Releves experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.3 Methode des moindres carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 Methode par modes glissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.1 Determination de R et L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.2 Determination de R, K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.3 Determination de R, K et fv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Commandes par retour detat classiques 654.1 Methode de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1 Etablissement de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.3 Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Methode des perturbations singulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.1 Etablissement de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.3 Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Linearisation entrees-sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.1 Etablissement de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.3 Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Commandes par retour detat par modes glissants 895.1 Commandes par modes glissants dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.1 Vitesse seule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.1.2 Position et courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 Commandes par modes glissants dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2.1 Etablissement de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2.3 Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.4 Comparaison des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3 Commandes par modes glissants dordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3.1 Etablissement des lois de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.2 Commande ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.3.3 Commande discontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6 Commandes par retour detat base sur un observateur 1396.1 Observateur base sur un algorithme du Twisting (Obs n 1) . . . . . . . . . . . . 1396.2 Observateur etape par etape par modes glissants dordre 1 (Obs n 2) . . . . . . 1436.3 Differentiateur base sur un algorithme du Super Twisting (Obs n 3) . . . . . . . 1476.4 Differentiateur du troisieme ordre (Obs n 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.5 Stabilite de la boucle fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.6 Resultats experimentaux - Commande par MG2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.6.1 Sans couple resistant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.6.2 Avec couple resistant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.6.3 Prise en compte de Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.7 Commande par MG3 basee sur un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.7.1 Observateur de vitesse et acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.7.2 Resultats experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.7.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Conclusions et perspectives 176

Annexes 182

A Le moteur pas-a-pas 183A.1 Moteur a reluctance variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.1.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183A.1.2 Phenomenes electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

A.2 Moteur a aimant permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.2.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.2.2 Phenomenes electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

A.3 Moteur hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188A.4 Grandeurs caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

B Les lois de commande classiques 191B.1 Methode de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191B.2 Methode des perturbations singulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191B.3 Methode de la linearisation de lerreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

C Les lois de commande par modes glissants 201C.1 MG1 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

C.1.1 Resultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.2 MG1 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

C.2.1 Resultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.3 MG1 Position et courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

C.3.1 Resultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.3.2 Resultats des experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

C.4 MG2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.4.1 Resultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.4.2 Resultats des experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

C.5 MG3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.5.1 Resultats des experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

D Observateurs 214D.1 MG2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

D.1.1 Resultats des experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214D.2 MG3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

D.2.1 Resultats des experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Bibliographie 222

Table des figures

1 Commande en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Les differents modes dalimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Zones de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Demarche de letude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1 Synoptique du banc dessai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Vue globale du banc dessai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Le banc moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Vue du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Principe - Eclate - Coupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Schema electrique du modele dans le repere ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Allure du couple moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Schema electrique du modele dans le repere (d q) . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Trajectoires de reference en position, vitesse et acceleration . . . . . . . . . . . . 292.2 Trajectoires de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Trajectoires de reference en acceleration, vitesse et position (25) . . . . . . . . . 362.4 Trajectoires de reference en acceleration, vitesse et position (50) . . . . . . . . . 372.5 Trajectoires de reference optimisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6 Allure de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7 Commande par retour de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.8 Commande par retour de position et de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9 Phenomene de reticence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 Synoptique des mesures electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Reponse a un echelon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Moindre carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Identification de R et L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5 Identification de R et K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6 Identification de R, K et fv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Lyapunov - Vitesse - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Lyapunov - Vitesse - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 Lyapunov avec correcteur - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Couple resistant Cr = 0Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5 Couple resistant Cr - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6 Lyapunov - Vitesse - Cr = 0 - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.7 Lyapunov - Vitesse - U et I - Cr = 0 - Experimentations . . . . . . . . . . . . . 70

4.8 Lyapunov - Vitesse - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . 714.9 Lyapunov - Vitesse - U et I - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . 714.10 Lyapunov en Vitesse avec correcteur - Cr = 0Nm - Experimentations . . . . . . 724.11 Lyapunov en Vitesse avec correcteur - U et I - Cr = 0Nm - Experimentations . 724.12 Lyapunov - Vitesse avec correcteur - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . 734.13 Lyapunov - Vitesse avec correcteur - Cr = 0.55Nm - U et I - Experimentations . 734.14 Lyapunov - Vitesse avec correcteur fort - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . 754.15 Lyapunov - Vitesse avec correcteur fort - Cr = 0.55Nm - U et I - Experimentations 754.16 PS - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.17 PS - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.18 PS - Cr = 0Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.19 PS - Cr = 0Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.20 PS - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.21 PS - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.22 Linearisation de lerreur - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . 834.23 Linearisation de lerreur - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . 834.24 Linearisation de lerreur - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . 844.25 Linearisation de lerreur - Cr = 0Nm - Positions - Experimentations . . . . . . . 854.26 Linearisation de lerreur - Cr = 0Nm - U et I - Experimentations . . . . . . . . 864.27 Linearisation de lerreur - Cr = 0.55Nm - Positions - Experimentations . . . . . 874.28 Linearisation de lerreur - Cr = 0.55Nm - U et I - Experimentations . . . . . . . 87

5.1 MG1 en vitesse - Vitesse - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 MG1 en vitesse - Tensions et courants - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . 925.3 MG1 en vitesse - Zoom - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4 MG1 en vitesse - Vitesse - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . 935.5 MG1 en vitesse - Tensions et courants - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . 935.6 MG1 en position et courant direct - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . 955.7 MG1 - Positions et Id - Experimentations - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . 975.8 MG1 - Vitesses - Experimentations - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.9 MG1 - Tensions et courants - Experimentations - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . 985.10 MG2 en position et courant direct - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . 1025.11 MG2 en position et courant direct - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . 1025.12 MG2 en position et courant direct - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . 1035.13 MG2 en position et courant direct - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . 1035.14 Positions et Id - MG2 - Experimentations - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . 1055.15 Positions et Id - Zoom erreur - MG2 - Experimentations - Cr = 0Nm . . . . . . 1055.16 Vitesses - MG2 - Experimentations - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.17 Tensions et courants - MG2 - Experimentations - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . 1065.18 Positions et Id - MG2 - Experimentations - Cr = 0Nm R 25% . . . . . . . . 1075.19 Positions et Id - MG2 - Experimentations - Cr = 0Nm R + 25% K + 25% . 1085.20 Positions - Id - MG2 - Experimentations - Cr = 0.550Nm . . . . . . . . . . . . . 1105.21 Tension Va et courant Ia - MG2 - Experimentations - Cr = 0.550Nm . . . . . . 1115.22 MG2 - Experimentations sans ou avec Cr = 0.550Nm . . . . . . . . . . . . . . . 1125.23 New - et Id - Simu - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.24 Old - et Id - Simu - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.25 New - U I W Pj- Simu - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.26 Old - U I W Pj- Simu - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.27 Comparaison des trajectoires - Simu - Cr = 0Nm - . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.28 New - et Id - Simu - Cr = 0.55Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.29 Old - et Id - Simu - Cr = 0.55Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.30 New - U I W Pj- Simu - Cr = 0.55Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.31 Old - U I W Pj- Simu - Cr = 0.55Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.32 Ancienne trajectoire avec Cr = 0Nm - Comparaison- Experimentations . . . . . 1205.33 Nouvelle trajectoire avec Cr = 0Nm - Comparaison- Experimentations . . . . . 1215.34 Ancienne trajectoire avec Cr = 0.55Nm - Comparaison- Experimentations . . . 1225.35 Nouvelle trajectoire avec Cr = 0.55Nm - Comparaison- Experimentations . . . . 1235.36 Comparaison des couples de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.37 MG 3 - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.38 CMGI - et Id - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.39 CMGI - et Id - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.40 CMGI - et Acc - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.41 CMGI - et Acc - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.42 CMGI - U I W Pj- Simu - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.43 CMGI - U I W Pj- Simu - Cr = 0.55Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.44 MG 3 - CMGI - Cr = 0Nm - Position - Experimentations . . . . . . . . . . . . . 1355.45 MG 3 - CMGI - Cr = 0Nm - Vitesse - Experimentations . . . . . . . . . . . . . 1365.46 MG 3 - CMGI - Cr = 0Nm - Acceleration - Experimentations . . . . . . . . . . 137

6.1 Obs n 1 - Positions-Vitesses-Courants-Tensions - Cr = 0Nm - Simulation . . . . 1416.2 Obs n 1 - Positions-Vitesses-Courants-Tensions - Cr = 0.55Nm - Simulation . . 1426.3 Obs n 2 - Positions-Vitesses-Courants-Tensions - Cr = 0Nm - Simulation . . . . 1456.4 Obs n 2 - Positions-Vitesses-Courants-Tensions - Cr = 0.55Nm - Simulation . . 1466.5 Structure de lobservateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6 Obs n 3 - Positions-Vitesses-Courants-Tensions - Cr = 0Nm - Simulation . . . . 1486.7 Obs n 3 - Positions-Vitesses-Courants-Tensions - Cr = 0.55Nm - Simulation . . 1496.8 Obs n 4 - Positions-Vitesses-Courants-Tensions - Cr = 0Nm - Simulation . . . . 1516.9 Obs n 4 - Positions-Vitesses-Courants-Tensions - Cr = 0.55Nm - Simulation . . 1526.10 MG2 avec observateur - Positions - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.11 MG2 avec observateur - Vitesses - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.12 MG2 avec observateur - Tensions et courants- Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . . 1566.13 MG2 avec observateur - Positions - Cr max 0.55Nm . . . . . . . . . . . . . . . 1586.14 MG2 avec observateur - Vitesses - Cr max 0.55Nm . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.15 MG2 avec observateur - Tensions et courants - Cr max 0.55Nm . . . . . . . . . 1596.16 MG2 avec observateur - Estimation de Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.17 MG2 avec observateur - Sans ou avec Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.18 MG2 avec observateur - Positions (avec Cr) - Cr max 0.55Nm . . . . . . . . . . 1636.19 MG2 avec observateur - Vitesses (avec Cr) - Cr max 0.55Nm . . . . . . . . . . 1636.20 MG2 avec observateur - Tensions et courants (avec Cr) - Cr max 0.55Nm . . . 1646.21 MG3 avec observateur - Positions - Courant direct - Cr = 0Nm . . . . . . . . . 1676.22 MG3 avec observateur - Vitesses - Accelerations - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . 1686.23 MG3 avec observateur - Courants et tensions - Cr = 0Nm . . . . . . . . . . . . 168

6.24 MG3 avec observateur - Erreurs en position et courant direct - Variations pa-rametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.25 MG3 avec observateur - Positions - Courant direct - Cr 6= 0Nm . . . . . . . . . 1706.26 MG3 avec observateur - Vitesses - Accelerations - Cr 6= 0Nm . . . . . . . . . . . 1716.27 MG3 avec observateur - Tensions et courants - Cr 6= 0Nm . . . . . . . . . . . . 171

A.1 Moteur a reluctance variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183A.2 Moteur de type multistack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.3 Circuit magnetique a un seul enroulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.4 Moteur a aimant permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186A.5 Structure de base du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186A.6 Allure du couple moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187A.7 Moteur hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

B.1 Lyapunov - Cr = 0Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193B.2 Lyapunov - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194B.3 Lyapunov - Cr = 0.55Nm avec correcteur sur la position - Experimentations . . 195B.4 Lyapunov - Cr = 0.55Nm avec correcteur sur la position - Experimentations . . 196B.5 Perturbations singulieres - Cr = 0Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . 197B.6 Perturbations Singulieres - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . 198B.7 Linearisation de lerreur - Cr = 0Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . . 199B.8 Linearisation de lerreur - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . 200

C.1 MG 1 - Vitesse - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203C.2 MG 1 - Position - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204C.3 MG 1 - Position - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205C.4 MG1 en position et courant direct - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . 206C.5 MG1 en position et courant direct - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . 207C.6 MG1 en position et courant direct - Cr = 0 - Experimentations . . . . . . . . . . 208C.7 MG2 en position et courant direct - Cr = 0Nm - Simulations . . . . . . . . . . . 209C.8 MG2 en position et courant direct - Cr = 0.55Nm - Simulations . . . . . . . . . 210C.9 MG2 en position et courant direct - Cr = 0 - Experimentations . . . . . . . . . . 211C.10 MG2 en position et courant direct - Cr = 0.550Nm - Experimentations . . . . . 212C.11 MG3 - ISM sans observateur - Cr = 0 - Experimentations . . . . . . . . . . . . . 213

D.1 MG2 - avec observateur - Cr = 0 - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . 217D.2 MG2 - avec observateur - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . 218D.3 MG3 - avec observateur - Cr = 0 - Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . 219D.4 MG3 - avec observateur - Cr = 0.55Nm - Experimentations . . . . . . . . . . . . 220

Avant propos

Ce memoire est la synthese dun travail effectue a lEcole Centrale de Lille dans le Labora-toire dAutomatique, de Genie Informatique et du Signal (LAGIS). Je souhaite, tout dabord,planter le decor afin dexpliquer le contexte de cette aventure, comment et grace a qui cela aete rendu possible.

Apres une courte experience professionnelle dans lindustrie suite a lobtention de mon DUT(Genie Electrique option Automatisme), je debute ma carriere denseignant en tant que MatreAuxiliaire en 1986 avant de devenir Professeur de Lycee Professionnel (PLP1).

Jentreprends ensuite une formation en cours du soir au CNAM (DEST + Cycle ingenieuren electrotechnique) terminee en juin 1992, qui me permet, en parallele, dobtenir les concoursPLP2 et CAPET. Je suis a lheure actuelle Professeur certifie au Lycee Baggio a Lille depuisseptembre de la meme annee.

Le temps passant, javais envie de rebondir, de repartir sur quelque chose de nouveau, deme remettre en cause.... Bien que co-ordinateur pedagogique en AII (Automatisme et Informa-tique Industrielle), implique dans la formation des etudiants-professeurs PLC1 et stagiaires-professeurs PLC2 ainsi que moniteur SST (Sauveteur-Secouriste du Travail), .... je men-nuyais quelque peu, professionnellement parlant.

Cest lors de vacances en famille, en fevrier 2001, que lidee de cette aventure a pris naissancesuite a une discussion avec Monsieur Pierre-Jean Barre. Quil en soit ici remercie.

Et depuis, je nai plus le temps de mennuyer ! ! !

Il fallu donc effectuer les demarches administratives, remplir des dossiers pour minscrire etcommencer quelques revisions et cela malgre de graves brulures au visage et surtout aux mains(suite a un accident). A mon epouse, Brigitte, et a mes trois enfants, Pauline, Margaux etThibaut, qui alors ecrivaient ou tournaient les pages des livres pour moi, et qui mont supporte,je presente ma gratitude ... et ce netait que le debut. Jaurais loccasion de leur reiterer mareconnaissance.

Puis, en septembre 2001, le DEA commence ! ! !

Mon travail denseignant (a plein temps) avec de nouvelles missions pedagogiques me de-mande beaucoup de temps. Dans quelle galere me suis je lance ? Il a fallu rogner sur les loisirs

1

et diminuer lelevage de volailles (Tant pis pour le pate de foie de volailles) et de moutons ! ! !

Dans cette difficile annee, mais au combien enrichissante et interessante, par une explication,un conseil judicieux, une methode de travail, la correction dun exercice supplementaire ou uneparole dencouragement, ils mont soutenu. Je tiens a remercier particulierement, messieurs lesProfesseurs et Docteurs Richard Jean-Pierre, Dambrine Michel, Craye Etienne, et PerruquettiWilfrid.

Merci aussi a messieurs le Docteur Floquet Thierry et le Professeur Perruquetti Wilfridpour leurs suivis, encouragements, aide et conseils lors du travail de memoire de DEA.

Merci a toutes ces personnes de mavoir permis dattaquer dans de bonnes conditions lathese.

Letape suivante est letude, la realisation et la mise en oeuvre du banc dessai qui evolueraquelque peu. Mes remerciements sadressent a lensemble du personnel technique du LAGIS,Hilaire (Je peux avoir une ramette de papier ? ), Gilles, Jacques, Patrick (Tu peux venir voir,jai un probleme sur mon ordinateur ? ) et plus particulierement a Bernard pour sa disponibilite.

Je ne peux oublier dans mes remerciements le personnel administratif, Marie-Francoise, Bri-gitte et Christine.

Jadresse egalement mes remerciements aux thesards, plus precisement Alexandre, Chris-tophe, Djamel, Francois, Nima, Romain qui ont partage ces annees avec moi et qui mont aidea franchir cette nouvelle etape. Un remerciement particulier a Michael pour notre fructueuseet amicale collaboration.

Je remercie vivement Monsieur Dambrine Michel, Professeur a lUVHC de Valenciennes,pour son soutien amical, son aide et ses conseils mathematiques.

Je remercie vivement Monsieur Barbot Jean-Pierre, Professeur a lENSEA de Cergy, etMonsieur Plestan Franck, Matre de Conferences a lIRCCyN de Nantes qui ont accepte detrerapporteurs de ce memoire. Leurs conseils judicieux ont ete une aide precieuse pour la redactiondefinitive de celui-ci.

Quil me soit permis de remercier aussi Monsieur Gillon Frederic, Matre de Conferences, alEC de Lille et Monsieur Richard Jean-Pierre, Professeur a lEC de Lille, davoir pris le tempsdexaminer ce travail et de linteret quils y ont porte.

Je leur adresse egalement mes remerciements pour avoir accepte detre de ce jury.

Je remercie vivement Monsieur Guerra Thierry-Marie, Professeur a lUVHC de Valen-ciennes, qui me fait lhonneur de presider ce jury.

Ce travail naurait ete possible sans laide et le soutien dun duo de choc pour lencadrementde cette these :

2

Monsieur le Docteur Thierry Floquet, Charge de Recherche CNRS au LAGIS de lEcoleCentrale de Lille, qui a beaucoup souffert a la lecture de mes articles en anglais ! ! ! Merci deces fructueux echanges et du temps accorde.

Monsieur Perruquetti Wilfrid, Professeur au LAGIS de lEcole Centrale de Lille, qui ma ac-compagne et surtout guide tout au long de ces quatre annees. Merci de mavoir donne une lignedirectrice tout en me laissant divaguer au gre de theoremes, simulations et experimentationsafin que je trouve par moi-meme le chemin a suivre ce qui netait pas toujours facile au debut.

Merci encore a eux pour leur sympathie et leur disponibilite.

Je tiens ici a renouveler mes remerciements a mes enfants et a mon epouse qui a eu lecourage deffectuer la lecture de cette these dun jargon souvent incomprehensible pour elle.

Quil me soit permis, ici, de renouveler, a tous, toute mon amitie et ma profonde et tressincere gratitude.

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Notations

v, v Tensions instantanees aux bornes des enroulements dans le repere ( )i, i Courants instantanees dans les enroulements dans le repere ( )vd, vq Tensions instantanees aux bornes des enroulements dans le repere (d q)id, iq Courants instantanees dans les enroulements dans le repere (d q), Flux des enroulements dans le repere ( )y, y, y(3), y(4) Derivee 1ere, 2eme, 3eme et 4eme de la variable yek Erreur entre la valeur reelle et la valeur de reference pour la variable k

R Resistance dune enroulement K Constante de coupleL Inductance dun enroulement Kd Couple de detenteJ Moment dinertie fv Frottements visqueuxN Nombre de dents au rotor Angle de position du rotor Vitesse de rotation du rotorCem Couple electromagnetique Cp Couple total des perturbationsCr Couple resistant Wc CoenergiePe Permeance Re Reluctance

Mp Matrice de Park Periode dechantillonnagep Variable de Laplace S Variable de glissementu, v Les commandes y1, y2 Les sorties

sign(f) Fonction signe reelle definie par sign(f) =

{1 si f < 0

1 si f > 0R Ensemble des nombres reelsRn Espace vectoriel de dimension n construit sur lensemble des nombres reelsR+ Ensemble des nombres reels positifs ou nulsMG1 Loi de commande par modes glissants dordre 1MG2 Loi de commande par modes glissants dordre 2MG3 Loi de commande par modes glissants dordre 3

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Introduction

Utilisation du moteur pas-a-pas.

Levolution des technologies et des besoins de lindustrie ont permis des progres significatifsdans les domaines des asservissements de position et de vitesse, entre autre, pour les machinesoutils, robots mobiles ou manipulateurs. Le respect du cahier des charges est souvent exprimeen fonction des caracteristiques et des qualites de lasservissement selon les deux grandeursprecitees. Il y a, depuis plusieurs annees, a cet effet, une augmentation de lutilisation des mo-teurs alternatifs.

Les machines electriques, et plus particulierement les moteurs electriques, presentent denombreux avantages pour ce type dasservissement (simplicite dinstallation, souplesse demploi,robustesse, gamme de produits tres large) et sont couramment utilises en tant quactionneurs etconvertisseurs denergie electrique en energie mecanique. De plus, les progres de lelectroniquede puissance et des systemes de calculs ont permis dameliorer et doptimiser les performancesdynamiques et statiques de ces convertisseurs electromecaniques.

Des caracteristiques des differents types de moteurs on retiendra les avantages des mo-teurs pas-a-pas qui sont des actionneurs incrementaux fonctionnant par des deplacementselementaires successifs entre des positions darrets selon une periodicite dans lespace :

- les positions darrets sont des etats dequilibre,

- les deplacements etant relatifs, les erreurs ne sont pas cumulatives et la precisionde positionnement est fonction de la precision darret sur un pas,

- la simplicite de mise en oeuvre et de commande en boucle ouverte,

- la plage et la gamme de vitesse etendues,

- le couple important a larret,

- le bon rendement.

Enfin lamelioration de la qualite des aimants permanents et levolution des circuits de com-mande a microprocesseur expliquent aussi lextension de lutilisation de ces moteurs. Le moteurpas-a-pas est un actionneur electromecanique principalement utilise pour le positionnement. Ilpeut fournir un couple important avec une faible inertie. De plus, il est tres fiable et requiertpeu de maintenance puisque sans balai. Son aptitude a fournir une bonne precision en controlede vitesse ou de position, combinee a sa petite taille et a son faible cout, font de ce moteur unactionneur apprecie dans de nombreuses applications telles que les imprimantes, les machinestextiles, les machines-outils ou encore en robotique.

7

Vous pourrez trouver des elements complementaires sur lutilisation dans le milieu industrieldes moteurs pas-a-pas de facon plus detaillee dans [Acarnley 92], [Deltoro 85], [Gieras 02] ou[Lacroux 94].

De facon generale, le moteur pas-a-pas doit recevoir une information pour le sens de rotationet une impulsion par pas. La creation et lenvoi au moteur dun nombre fini dimpulsions, Figure1, constituent une commande (ou consigne) de position et la frequence de celles-ci constitue lacommande (ou consigne) de vitesse pour un asservissement classique.

Fig. 1 Commande en boucle ouverte

La rotation du moteur seffectue par une sequence de permutation circulaire des configura-tions dalimentation dans un sens ou dans lautre. Les alimentations actuelles sont generalementclassees en cinq modes, Figure 2 :

Fig. 2 Les differents modes dalimentation

8

- Mode 1 : une seule phase est alimentee a la fois par le courant nominal In. Cest dans cecas quest defini le pas angulaire.

- Mode 2 : deux phases sont alimentees a la fois par le courant In. Le couple est plus im-portant dun facteur

2.

- Mode 3 : la combinaison en alternance des deux modes precedents permet de fonctionneren demi-pas.

- Mode 4 : on utilise le meme principe que precedemment mais, lorsquune seule phase estalimentee, le courant est augmente dun facteur

2, afin dobtenir le couple du Mode 2 avec

une precision double.

- Mode 5 : ce mode, communement appele ministepping, consiste a multiplier les posi-tions intermediaires en alimentant chaque phase par des fractions du courant nominal. Celacorrespond a lextension du fonctionnement en mode 4.

Si on determine les valeurs des courants selon les equations suivantes :{

I = In

2 cos

I = In

2 sin

et en donnant a r valeurs equidistantes de /2r, alors on obtient r fois le nombre de positionsdequilibre du mode 1.

Remarque 1 La precision depend donc de lassociation du moteur pas-a-pas et du mode dali-mentation. Toute modification de lun des elements modifie evidemment la precision.

Remarque 2 De plus, quelque soit le mode dalimentation, le couple fournit est fonction de cemode. En effet, les profils des courants sont figes ce qui limite le champ dapplication de ce typede fonctionnement lorsquil est necessaire dadapter le courant en temps reel pour faire face alapparition ou a une variation du couple resistant.

Les commandes classiques, en boucle ouverte, se contentent, en general, de verifier que lenombre souhaite de pas a ete realise sans prendre en compte la structure electromagnetiquecomplete. De plus, il ne faut pas negliger certains inconvenients de cette commande pour cetype de moteur :

- couple de pointe limite par la saturation magnetique,- possibilite dechauffement aux faibles et moyennes vitesses,- tendance aux oscillations amorties et ondulations de couple,- les commandes en fraction de pas sont souvent sujettes a erreurs de precision

et donc lamelioration de la precision de positionnement, pour un moteur donne, est difficile arealiser,

- possibilite de pertes de pas selon la dynamique employee.

Dans tous les cas, les performances de ce type de moteur sont fortement liees a celles de sonalimentation et de sa commande.

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De plus, selon le couple de charge, les frequences de demarrage, de fonctionnement oudarret peuvent etre une source de dysfonctionnement. Il faut donc respecter des zones defonctionnement, Figure 3, dun moteur pas a pas.

Fig. 3 Zones de fonctionnement

Pour palier a ces divers inconvenients, letude portera sur lacommande en tension (tensions de phases instantanees calculeesen temps reel) en boucle fermee du moteur pas-a-pas pour un suivide trajectoire en vitesse ou en position .

La regulation de position dun systeme electromecanique est le type dasservissement clas-sique dun robot mobile ou dun bras manipulateur. Dans tous ces systemes, le moteur pas-a-paspeut etre utilise de facon efficace grace a ses diverses qualites. La commande en boucle fermeede ce type de moteur permet dentrevoir de nouvelles applications industrielles dans beaucoupde domaines.

Lois de commande

Le moteur pas-a-pas, malgre ses qualites, reste trop souvent encore synonyme de com-mande en boucle ouverte. Sa commande en boucle fermee ne connat pas encore le succesquelle meriterait compte tenu des nombreux avantages propres a cette methode (le systemeetant regule, il est moins sensible aux variations et perturbations exterieures). Cet etat de faitest surtout du a ce que le modele du moteur est typiquement non lineaire, donc complexe. Lescommandes en boucle ouverte sont, alors, des modes dalimentations periodiques a frequencesvariables. Les methodes de commande en boucle fermee presentees ci-apres permettent de cal-culer, en temps reel, ou instantanement les tensions de phases necessaires a lasservissementou la poursuite de trajectoire de la position (ou encore de la vitesse).

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Cette etude se propose dexposer des methodes relativement simples et presentant de bonnequalites, qui permettent denvisager leur implantation effective dans des applications indus-trielles. De plus, le modele du moteur pas-a-pas est un systeme possedant la propriete dite deplatitude, cest-a-dire que toutes les variables detats et les entrees peuvent etre parametreesen fonction de sorties dites plates (ou linearisantes) et par un nombre fini de leurs deriveestemporelles successives. Un systeme plat est equivalent a un systeme lineaire commandable.Cette propriete facilite, en outre, considerablement la planification de trajectoire hors ligne.

Differentes lois de commande, pour des asservissements en position ou en vitesse, basees surles methodes de linearisation [Bodson 93], [Zribi 91], de perturbations singulieres [Khalil 86], depassivite associee a la platitude [Sira-Ramirez 01] ou de modes glissants [Zribi 01], [Nollet 03-2],[Nollet 04-1], [Nollet 04-2] ou [Nollet 06-1] ont deja ete etudiees. Des experimentations ont par-fois illustre ces etudes. Ces methodes presentent des facilites de mise en uvre et de reglagemais pas toujours de bonnes qualites de precision et de robustesse vis-a-vis dun couple deperturbation ou dincertitudes parametriques.

Dans cette etude, nous proposons de realiser des lois de commandes afin de suivre, defacon precise et robuste, des trajectoires de reference en position et en courant. Letude porteraplus particulierement sur la synthese de lois de commandes par modes glissants dordre 1, 2 et 3.

Ce choix est motive par le fait que cette technique a deja fait ses preuves dans le cadrede la commande des machines electriques mais aussi parce que, ainsi quil a deja ete exposedans plusieurs travaux (voir par exemple [Sira-Ramirez 00], [Zribi 01]), la combinaison de lapropriete de platitude et de techniques basees sur les modes glissants conduit a des schemasde commande efficace et simple a mettre en place dans le cadre du suivi robuste de sortiesde reference. En effet, lutilisation combinee des modes glissants et de la platitude impliquedes proprietes de decouplage entrees/sorties et une linearisation dynamique et robuste. Parconsequent, cette combinaison possede des qualites de robustesse, facilement exploitables, in-troduites par ces deux theories lors de strategie de stabilisation et de suivi de trajectoires.

Ce type de commande a deja ete largement utilisee dans de nombreux domaines ou applica-tions (robotique, mecanique, electrique, pneumatique, agro-alimentaire, aeronautique, automo-bile, etc...), en theorie ou en pratique, ([Bartolini 97], [Bartolini 99], [Bartolini 03], [Emelyanov 86],[Floquet 03], [Barbot 03], [Floquet 04], [Floret 01], [Fridman 02], [Lagrouche 07], [Levant 93],[Levant 01], [Levant 05], [Perruquetti 02], [Sira-Ramirez 02], [Slotine 84], etc ... ), avec dautrestypes de moteur ([Floquet 00], [Floquet 02], [Glumineau 93], [Lagrouche 04], [Lagrouche 06])ou dapplications electriques ([Utkin 93], [Utkin 99] ).

Il faut signaler quil existe dautres pistes detudes pour des commandes robustes de moteurselectriques, par exemple, [Caravani 98], [Xu 98] (Backstepping).

La commande par modes glissants pour les systemes non lineaires a ete largement etudieeet developpee depuis son introduction [Utkin 77]. Celle-ci appartient a une classe plus large ap-pelee commandes a structure variable. Lobjectif de la methode est, a laide dune commandediscontinue, de contraindre le systeme a evoluer au bout dun temps fini et de se maintenirsur une surface, appelee surface de glissement, ou le comportement resultant correspond aux

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dynamiques souhaitees. Le regime du systeme ainsi commande est appele mode glissant et ladynamique de celui-ci peut etre rendue insensible aux variations parametriques, aux erreurs demodelisation et a certaines perturbations externes. La loi de commande par modes glissants estde conception relativement simple et presente des qualites de robustesse vis-a-vis de certainesclasses de perturbations.

Cependant, il existe quelques problemes comme le phenomene de reticence, du au caracterediscontinu de la commande. Ces inconvenients peuvent etre vraiment nefastes pour le moteur,en provoquant un echauffement important des enroulements ou en excitant des dynamiques dehautes frequences non modelisees, mais aussi pour le convertisseur statique (frequence de fonc-tionnement des interrupteurs statiques). En effet, selon la frequence de ce phenomene, il peutprovoquer des degats au niveau de lelectronique de puissance lors des commutations. Il existedifferentes methodes pour diminuer ce phenomene dont lune consiste a remplacer la fonctionsigne par une approximation continue au voisinage de la surface de glissement (fonction satura-tion ou fonction sigmode) [Edwards 98], [Slotine 84]. Une autre methode consiste a utiliser lesmodes glissants dordre superieur [Bartolini 04], [Bartolini 00], [Fridman 02], [Emelyanove 93],[Levant 93], [Utkin 06] dont le principe est de rejeter les discontinuites au niveau des deriveessuperieures de lentree du systeme. Leffet de la reticence est ainsi elimine, tout en preservantles proprietes de robustesse et en ameliorant meme la precision de convergence.

Dans [Zribi 01], les auteurs ont developpe une loi de commande par modes glissants clas-siques. Cependant, aucune perturbation, quelle soit dorigine exterieure ou parametrique, nestprise en compte. Il apparat en fait que, pour une telle commande basee sur la connaissancede letat uniquement (i.e. sans adjonction de capteurs ou dobservateurs), le regime glissant estdetruit par lapparition dun couple de charge ou par la variation de certains parametres. Ici,nous montrerons, experimentations a lappui, que lutilisation dalgorithmes par modes glis-sants dordre 2, permet de pallier a ce probleme. Dautre part, la reduction du phenomene dereticence ainsi que lamelioration de la precision de convergence, seront mises en evidence. Latheorie des modes glissants est ici aussi utilisee pour elaborer et implanter des observateurs aussibien a des fins didentifications que pour se substituer a un capteur afin den diminuer le nombre.

Le but de ce travail est de mettre en oeuvre et de comparer plusieurs lois de commandeen boucle fermee dun asservissement de position afin de valider les possibilites et qualites desmodes glissants (surtout ceux dordre 2 et 3). Les experimentations menees et les resultatspresentes permettent de mettre en evidence les avantages, inconvenients, limites et contraintesde ces differentes techniques en sappuyant sur differents criteres :

mise en oeuvre, nombre de parametres a regler, facilite de reglage. qualite de lasservissement : precision, rapidite, stabilite, robustesse (vis-a-vis dincerti-

tudes parametriques ou de perturbations). point de vue energetique : tensions, courants, puissance dissipee, grandeurs maximales

instantanees, energie consommee.

Le memoire est organisee de la facon suivante.

Apres cette petite introduction, dans le chapitre 1, le contexte de letude est definit, lebanc dessai est decrit et les caracteristiques des elements sont detailles. Puis, les modeles du

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moteur pas-a-pas utilises pour letablissement des lois de commandes sont elabores. Dans lechapitre 2, la problematique de letude est alors explicitee. Les objectifs des lois de commandesont explicites, les trajectoires de reference sont determinees. La propriete de platitude facilitegrandement la planification de la trajectoire de reference. Enfin une methode doptimisation decelles-ci est decrite.

Le troisieme chapitre rappelle des methodes classiques didentifications des parametres dumoteur pas-a-pas. Ensuite, lefficacite des estimateurs par modes glissants dordre 2 etantdemontree, des estimateurs sont alors utilises pour effectuer une identification en ligne desparametres du moteur pas-a-pas. Des resultats experimentaux accompagnent cette description.

Des lois de commandes plus classiques sont rappelees rapidement, dans le chapitre 4.Pour chaque loi, sont presentes la loi de commande, les resultats des simulations et les relevesexperimentaux. Le chapitre 5 presente des lois par modes glissants dordre 1, 2 et 3. De memeque precedemment, pour chaque loi, sont presentes la loi de commande, les resultats des simu-lations et les releves experimentaux.

Dans le Chapitre 6, afin de diminuer le nombre de capteurs, un observateur de vitessepar modes glissants est introduit ainsi quun estimateur de couple de charge. Ils sont testesexperimentalement avec les lois par modes glissants dordre 2 et 3.

Dans la conclusion, les experimentations etant effectuees, les resultats experimentaux sontalors presentes et detailles afin de mettre en evidence et de valider les avantages dune part,delutilisation des modes glissants par rapport aux lois plus classiques, et dautre part, des modesglissants dordre superieur. Une synthese des resultats precedents est elaboree tout en expli-quant les difficultes rencontrees et enfin, lesquisse de certaines perspectives en ce qui concernela commande de ce type de moteur pour deventuelles nouvelles applications est evoquee.

Lorganisation du memoire correspond a la demarche de letude, Figure 4, qui a ete mise enplace.

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Fig. 4 Demarche de letude

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Chapitre 1

Contexte de letude

1.1 Description du banc dessai

Les experimentations ont ete realisees sur un banc dessai developpe au sein de lequipeSyNeR du LAGIS. Celui-ci est constitue dun moteur pas-a-pas, dun codeur optique absolu,de capteurs de courant, de deux amplificateurs, dune carte dinterface dSpace 1104, dun or-dinateur equipe de logiciels specifiques, dun frein a poudre generant le couple de charge, duncapteur de couple et dun couplemetre digital. Chacun de ces elements est succintement decritci-apres.

Le schema synoptique du banc, Figure 1.1, est le suivant :

Fig. 1.1 Synoptique du banc dessai

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CHAPITRE 1. CONTEXTE DE LETUDE

Une vue globale du banc est donnee Figure 1.2.

Fig. 1.2 Vue globale du banc dessai

Le banc moteur : Le banc moteur, Figure 1.3, est compose, de gauche a droite, du codeuroptique, du moteur pas-a-pas et du banc de charge.

Fig. 1.3 Le banc moteur

Un disque gradue, Figure 1.4, a ete installe pour une appreciation visuelle du deplacement.

Fig. 1.4 Vue du disque

Le moteur utilise est un Turbo Disc P850 - Portescap dont la technologie est basee surun disque magnetique comme rotor, ce qui procure une faible inertie, un poids plus faibleet des caracteristiques dynamiques plus elevees que la plupart des moteurs pas-a-pas detechnologie classique.

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1.1. DESCRIPTION DU BANC DESSAI

Les caracteristiques du moteur, donnees constructeurs, avec enroulements branches enserie sont les suivantes :

Courant nominal : In = 1, 8A Precision : 1, 8 (200 pas)

Inertie : J = 150.107kg.m2 Nbre de dents : N = 50Couple de maintien : Cm = 780.10

3N Resistance : R = 2, 6 Frottements visqueux : fv = 10

3 N.m.s/rad Inductance : L = 6, 4mH

Les figures 1.5 permettent de comprendre la technologie de ce type de moteur.

Fig. 1.5 Principe - Eclate - Coupe

Le codeur de position : la position est mesuree a laide dun codeur optique absolu (13 bits- 8192 points), monte en bout darbre, dont la precision est de lordre de 7.67 104 rad. Ila une precision environ 40 fois plus grande que lecart angulaire entre deux pas successifsdu moteur pas-a-pas (utile pour faire du positionnement en micro-pas).

Le banc de charge : la charge est un banc de Langlois (ref FR-DYN90) equipe dun freina poudre, dun capteur de couple et dune dynamo tachymetrique (10 V / 1000 tr/mn)qui donne linformation de mesure de la vitesse envoyee a linterface dSPACE. La tensionalimentant le frein a poudre est delivree par lordinateur par lintermediaire dune cartedamplification. Lallure de la tension de frein Vfrein est un signal de type carre.

Le poste informatique : lordinateur de type PC Pentium 4 est equipe des logiciels Ma-thworks, Matlab et Simulink, pour les calculs et les simulations et dune carte dSPACE1104 avec le logiciel ControlDesk pour la recuperation, laffichage et la visualisation desdifferents parametres et courbes lors des experimentations. La periode dechantillonnagechoisie pour les experimentations est = 104s.

Alimentation du moteur : les lois de commande determinent les tensions a appliquer auxbornes des deux phases v et v du moteur. Elles sont delivrees par lintermediaire de lacarte dSPACE puis amplifiees par deux cartes a base damplificateurs operationels OPA541 de Burr-Brown (40V 10A). En effet, la puissance disponible en sortie de cartedSPACE est trop faible pour alimenter directement les enroulements du moteur pas-a-pas. Chaque montage est a gain variable (1, 2, 3 ou 4), refroidi par ventilateur et protegepar une resistance de limitation de courant.

17


Les capteurs de courant : on utilise des transducteurs de courant (ref : HX 03-P) deLEM Components dune precision de 1% pour mesurer les courants i et i dans lesenroulements.

Remarque 3 La valeur de la position de reference a chaque instant, ou la position finale dereference, ne correspondent pas forcement a un nombre entier de pas. Les lois de commandeen tension doivent permettre de se positionner selon nimporte quelle fraction de pas et de symaintenir. Cependant, la meilleure precision possible de positionnement sera limitee par celledu codeur optique absolu de position.

1.2 Modele du moteur pas-a-pas

Il ne sagit pas ici de refaire la theorie des moteurs pas-a-pas mais seulement de determineret de presenter succinctement les equations des modeles, [Bodson 93], [Goedel 84], qui serontutilises par la suite.

Le lecteur pourra trouver en Annexe A des explications plus detaillees sur les technologiesdes moteurs pas-a-pas ainsi que les theories, les phenomenes physiques et les premiers calculsqui conduisent aux equations ci-apres.

1.2.1 Equations electriques

Le moteur pas-a-pas est schematise, dans le repere ( ) de la facon suivante :

Fig. 1.6 Schema electrique du modele dans le repere ( )

ou i, i sont les courants et ou v, v, les variables dentree, sont les tensions appliqueesaux bornes des enroulements des phases et . et sont respectivement la position et lavitesse angulaires du rotor du moteur.

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1.2. MODELE DU MOTEUR PAS-A-PAS

Pour le modele avec N dents au rotor, R etant la resistance dun enroulement, en se limitantau premier harmonique pour la determination des self inductances (L0 et L1), les equationselectriques de chaque enroulement, et , sont donnees par :

{v = Ri +

ddt

v = Ri +ddt

On en deduit les flux dans les enroulements{

= (L0 + L1cos(2))i + L1sin(2)i + rcos = (L0 L1cos(2))i + L1sin(2)i + rsin

ou r est le flux maximal envoye par laimant a travers une bobine. Le flux r du rotor estequivalent a la circulation dun courant fictif ir dans un pseudo enroulement rotorique ayantune inductance Lr, soit : r = Lrir. Donc, les equations des flux sont les suivantes :

{ = (L0 + L1 cos(2N))i + L1 sin(2N)i + Lrir cos(N) = (L0 L1 cos(2N))i + L1 sin(2N)i + Lrir sin(N)

En posant = ddt

, alors,

v = Ri + ((L0 + L1 cos(2N))didt

) 2NL1i sin(2N) + 2NL1i cos(2N)+L1 sin(2N))

didt

NLrir sin(N)v = Ri + ((L0 + L1 cos(2N))

didt

) 2NL1i sin(2N) + 2NL1i cos(2N)+L1 sin(2N))

didt

+ NLrir cos(N)

(1.1)

1.2.2 Equations mecaniques

- Expression du couple electromagnetique

On peut etablir lallure du couple moteur, Figure 1.7, lors de lalimentation dune seulephase.

Fig. 1.7 Allure du couple moteur

On peut y voir les quatre positions stables (ou positions de detente) rencontrees lors de lanon-alimentation en courant du moteur. Lexpression du couple electromagnetique est :

Cem = NLrir(i sin(N) i cos(N)) + NL1((i2 i2) sin(2N) + 2ii cos(2N)

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Le premier terme represente linteraction du courant avec laimant et les autres termes represententles couples de reluctance variable negligeables, en general, devant le premier. Pour prendre encompte la variation de la reluctance externe de laimant selon la position, il faut introduire uncouple de detente de la forme suivante :

Cd = Kd sin(4N)

On obtient donc :

Cem = NLrir(i sin(N)i cos(N))+NL1((i2i2) sin(2N)+2ii cos(2N))Kd sin(4N)

- Application de lequation fondamentale de la dynamique

Soit J le moment dinertie totale des masses en rotation ramene sur larbre moteur, lequationfondamentale de la dynamique secrit :

Jd

dt= CT

ou CT represente lensemble des couples appliques au moteur (frottements visqueux, couple decharge...), avec :

CT = Cem fv + Crou fv sont les frottements visqueux et Cr est le couple de perturbation. On a donc

J ddt

= NLrir(i sin(N) i cos(N)) + NL1((i2 i2) sin(2N) + 2ii cos(2N)) Kd sin(4N) fv Cr

(1.2)

1.2.3 Puissances mises en jeu

- Expression de la puissance mecanique

Pm = Cem

- Expression de la puissance electrique

La puissance electrique instantanee est donnee par la formule suivante :

p(t) = vTi

On pose

Lr =

L0 + L1 cos(2N) L1 sin(2N) Lr cos(N)

L1 sin(2N) (L0 L1 cos(2N) Lr sin(N)

[R] =

(R 00 R

), ir =

iiir

, i =(

ii

).

et = Lrir

20

1.2. MODELE DU MOTEUR PAS-A-PAS

et on a donc

p(t) = ([R]i +d

dt)T i

p(t) = iT[R]i +12

(iTr

Lri)

t+ 1

2iTr

(LT

)

i

Par identification, on peut voir que le premier terme de p(t) represente les pertes joules, ledeuxieme la puissance transmise au secondaire et le troisieme terme correspond a la puissancemecanique.

1.2.4 Modele dans le repere ( )Le modele, dans sa forme generale, en utilisant les equations (1.1) et (1.2), peut secrire

sous la forme dun systeme dequations differentielles comme suit :

v = Ri + (L0 + L1 cos(2N))didt

2NL1i sin(2N) + 2NL1i cos(2N)+L1 sin(2N)

didt

+ NLrir sin(N)

v = Ri + (L0 + L1 cos(2N))didt

2NL1i sin(2N) + 2NL1i cos(2N)+L1 sin(2N)

didt

+ NLrir cos(N)

J ddt

= NLrir(i sin(N) i cos(N)) + NL1((i2 i2) sin(2N) + 2ii cos(2N))Kd sin(4N) fv Cr

= ddt

Pour simplifier le modele, on peut montrer quil nexiste quune tres faible variation des auto-inductances ou reluctance pendant les rotations. L1 est donc negligeable par rapport a L0. Onpose alors L = L0, inductance de chaque enroulement. Kd peut etre neglige. De plus, en posantK = NLrir, on obtient le modele non lineaire suivant :

didt

= 1L(v Ri + K sin N)

didt

= 1L(v Ri K cos N)

ddt

= 1J(K(i cos N i sin N) fv Cr)

ddt

=

(1.3)

1.2.5 Modele dans le repere (d q)La transformation de Park ([Park 29]), ou Direct-Quadrature Transformation, permet de

saffranchir des termes trigonometriques et de definir de nouvelles variables dentree, vd et vq,ainsi que les variables detat, id, iq, , , dans le repere dit (d q). Cette transformation estdonnee par :

[id, iq]T = Mp [i, i]

T

[vd, vq]T = Mp [v, v]

T ou Mp =

(cos N sin N sin N cos N

). (1.4)

21


Le modele dans le repere (d q)

Fig. 1.8 Schema electrique du modele dans le repere (d q)

secrit

diddt

= 1L(vd Rid + NLiq)

diqdt

= 1L(vq Riq NLid K)

ddt

= 1J(Kiq fv Cr)

ddt

=

(1.5)

ou id est le courant direct, iq le courant en quadrature, vd la tension directe et vq la tension enquadrature. Il faut remarquer quavec cette transformation, selon lequation suivante,

d

dt=

1

J(Kiq fv Cr)

le couple est uniquement commande par lintermediaire de iq.

1.3 Analyse du systeme

Il est connu que le systeme etudie (on verra par la suite, que le systeme est un systeme plat)est commandable, observable et identifiable.

En effet, si on pose {x = [id, iq, , ]

T

u = [vd, vq]T

alors le systeme (1.5) peut secrire

x = f()x + gu + p

22

1.3. ANALYSE DU SYSTEME

avec

f() =

RL

N 0 0N R

L0 K

0 0 0 1

0 KJ

0 fvJ

, g =

1L

00 1

L

0 00 0

et p =

000

CrJ

Puisque, quelque soit x, lalgebre daccessibilite de Lie est de rang 4, le systeme est loca-lement commandable.

En effet, soit x = [id, iq, , ] et

f =

RLid + Niq

RLiq Nid KL

KJiq fvJ

, g1 =

1L

000

, g2 =

01L

00

et en posant

= [f, g2] =g2x

f fx

g2

on obtient

=

NL

RL2

0 K

JL

.

Alors [f, g1, g2, ] est de rang 4.

De plus, le linearise est commandable et on peut retrouver le fait que le systeme est locale-ment commandable.

Dautre part, en posant y = [, id], nous montrerons par la suite que ce systeme admet ycomme sorties plates ce qui prouve que le systeme est equivalent a un systeme lineaire com-mandable moyennant un bouclage dynamique (ici un bouclage statique suffit). De plus, il estbien sur observable avec ses sorties plates.

En ce qui concerne les parametres du moteur pas-a-pas (R, L,K, J, fv), ils sont identifiablesen utilisant les sorties y puisque, pour chacun de ces parametres, on peut les determiner enfonction des sorties y et de leurs derivees.

Par exemple, pour le parametre R, on considere L connu, en prenant

diddt

=1

L(vd Rid + NLiq)

on trouve

Rid = vd Ldiddt

+ NLiq

23


et donc

R =vd Ldiddt + NLiq

id

De plus, , id et iq sont mesures (par lintermediaire de i et i.

Or, comme nous le verrons plus tard, le systeme etant plat, les variables vd, et iq peuventsexprimer en fonction des sorties plates y (id et ) et de leurs derivees. Donc, R peut sexprimerselon les sorties plates y et de leurs derivees.

Autre exemple, on desire maintenant effectuer une identification des parametres R et L. Onconsidere K connu. A partir du systeme suivant :

diddt

= 1Lvd RL id + Niq

diqdt

= 1Lvq RL iq Nid KL

qui peut secrire

diddt

diqdt

=

id vd

iq K vq

RL

1L

+

Niq

Nid

On obtient alors

RL

1L

=

vqidvq+vdiq+vdK

vdidvq+vdiq+vdK

iq+K

idvq+vdiq+vdK id

idvq+vdiq+vdK

diddt

diqdt

Niq

Nid

On mesure les courants i, i (donc les courants id et iq sont connus) et la vitesse . Lescommandes vd et vq sont connues. On peut, la aussi, identifier R et L.

24

Chapitre 2

Objectifs

Ici, lobjectif principal de commande est la poursuite dune trajectoire de reference en posi-tion r(t) avec rejet ou attenuation de perturbation. Ainsi que nous le verrons, la propriete deplatitude du systeme permettra egalement de definir une trajectoire de reference pour le cou-rant direct idr(t) et den deduire ensuite les autres variables de reference telles que lensemblesatisfasse les dynamiques du moteur (pour Cr = 0) :

didrdt

= 1L(vdr Ridr + NLriqr)

diqrdt

= 1L(vqr Riqr NLridr Kr)

drdt

= 1J(Kiqr fvr)

drdt

= r

(2.1)

Sous lhypothese que toutes les variables detat sont totalement ou partiellement mesurables,differentes lois de commande seront appliquees. On sinteressera egalement a la robustesse parrapport au couple de perturbation Cr et aux variations de parametres.

2.1 La platitude

Un systeme, ayant m entrees, est dit plat (pour de plus amples details sur la theorie, voir[Fliess 95], [Fliess 93], [Fliess 92-1] et [Fliess 92-2] pour une description complete de la theorie)sil existe m fonctions yj, differentiellement independantes entre elles et fonction des etats etde leurs derivees, telles quon puisse exprimer toute variable du systeme (etats et entrees) enfonction des yj et dun nombre fini de leurs derivees. Les yj sont appelees les sorties plates.

Il faut remarquer que :- la dimension de la sortie plate est egale au nombre de commandes du systeme (ici,

y1 = et y2 = id, ainsi que u1 = vd et u2 = vq),- il ny a pas unicite des sorties plates,- on peut souvent trouver des sorties plates possedant une interpretation physique (ici

la position , variable de type mecanique qui participe au transfert denergie, et le courantdirect id).

Montrons que le moteur pas-a-pas, sans couple de charge, cest-a-dire non perturbe, avec lessorties y1 = et y2 = id est un systeme plat. Pour cela, il suffit dobserver que, lensemble des

25

CHAPITRE 2. OBJECTIFS

variables du moteur pas-a-pas peut etre determine a partir de la position et du courant directet dun nombre fini de leurs derivees :

= y1 = y1id = y2iq =

1K

(Jy1 + fvy1)vd = Ly2 + Ry2 NLK y1(Jy1 + fvy1)vq =

JLK

y(3)1 +

1K

(Lfv + RJ) y1 +(

RfvK

+ K + NLy2)y1

Le fait que le modele du moteur soit un systeme plat est interessant pour plusieurs raisons. Lapropriete de platitude facilite considerablement la planification de trajectoires. En imposantune trajectoire desiree, r et idr, aux sorties plates et id, on obtient aisement, les trajectoiresde lensemble des variables de reference r, iqr, vdr et vqr, qui verifient le systeme (2.1), sansintegrer dequations differentielles. En effet, on a :

iqr =1K

(J d2rdt2

+ fvdrdt

)r =

drdt

vdr = Ldidrdt

+ Ridr NLriqrvqr = L

diqrdt

+ Riqr + NLridr + Kr

Dautre part, un systeme plat est exactement linearisable par bouclage dit endogene, cest-a-direengendre par les variables du systeme et leurs derivees. Enfin, les sorties plates nintroduisentaucune dynamique des zeros et garantissent ainsi la stabilite interne des variables detat et desortie du systeme, y compris les autres sorties, non plates, qui ne sont pas a minimum de phase.

2.2 Erreur de poursuite

Le probleme traite ici est donc de stabiliser a lorigine lerreur de poursuite,

e = [id idr, iq iqr, r, r]T = [e1, e2, e3, e4]T , (2.2)

dont la dynamique est donnee par :

e1 =1L

(vd Re1 + NL(e3e2 + e3iqr + e2r))e2 =

1L

(vq Re2 NL(e3e1 + e3idr + e1r) Ke3)e3 =

1J

(Ke2 fve3 Cr)e4 = e3

(2.3)

avec vd = vd vdr et vq = vq vqr. Notons que :

e1 =1Lvd + 1 (e)

e(3)4 =

KJL

vq + 2 (e) +fvJ2

Cr 1J Cr(2.4)

ou1 (e) =

1L

(Re1 + NL(e3e2 + e3iqr + e2r))

2 (e) = KJL (Re2 + NL(e3e1 + e3idr + e1r) + Ke3) fvJ2

(Ke2 fve3)(2.5)

26

2.3. PLANIFICATION DE TRAJECTOIRES

On montrera egalement la robustesse des lois de commande par modes glissants par rap-port aux incertitudes parametriques (mauvaise connaissance ou variation, due, par exemple, alechauffement). Dans ce cas la, nous ecrirons le modele de la facon suivante :

e1 =(

1L

+ 1)vd

(RL

+ 2)e1 + N(e3e2 + e3iqr + e2r)

e2 =(

1L

+ 1)vq

(RL

+ 2)e2 N(e3e1 + e3idr + e1r)

(KL

+ 3)e3)

e3 =(

KJ

+ 4)e2

(fvJ

+ 5)e3 1J+6 Cr

e4 = e3

(2.6)

1 = (

1L

), 2 =

(RL

), 3 =

(KL

), 4 =

(KJ

), 5 =

(fvJ

), 6 = (J) representent les

differentes incertitudes parametriques qui sont supposees avoir une dynamique devolutionnegligeable par rapport aux constantes de temps du systeme, i.e. i 0, et etre uniformementbornee par rapport au temps. Il est clair que sil y a des incertitudes parametriques les erreurs,e1, e2, e3 et e4, en sont modifiees.

Le modele du moteur pas-a-pas, et ceci est une consequence de la propriete de platitude, estdonc equivalent a deux systemes lineaires independants sous forme canonique commandable.Ceci simplifie la synthese dun retour detat, tout en suggerant une approche par modes glis-sants dordre 1 ou superieur. En effet, cette technique permet de robustifier une commandelinearisante par retour detat classique (qui serait sensible a toute imperfection de modele).Dautre part, les formes canoniques generalement obtenues pour la commande par modes glis-sants induisent une dynamique des zeros [Isidori 95] dont depend alors la stabilite du systemeen boucle fermee. Ici, ce probleme nexiste pas puisquil ny a pas de dynamique des zeros as-sociee aux sorties plates.

2.3 Planification de trajectoires

2.3.1 Position r(t) et courant direct idr(t)

Dans un premier temps, la trajectoire de reference, relative au deplacement du moteur pas-a-pas dun angle ri rad a un angle rf rad

1, a ete elaboree afin de ne pas avoir de discontinuiteet da-coups en vitesse et en acceleration pour eviter des pics denergie electrique.

Dans ce but, il a ete choisi les six contraintes de bord sur la position, la vitesse et laccelerationsuivantes :

r(ti) = ri ; r(tf ) = rfr(ti) = r(tf ) = 0

r(ti) = r(tf ) = 0

(2.7)

En posant

t =(t ti)(tf ti)

1Les valeurs numeriques etant ici sans importance pour la suite des developpements

27


et en utilisant une equation basee sur une interpolation polynomiale de Bernstein de degre 5de la forme suivante

r(t) = i + (f i)(a5t + b4t + c3t + d2t + et + f)

dont les derivees sont

r(t) = (f i)(5a4t + 4b3t + 3c2t + 2dt + e)

r(t) = (f i)(20a3t + 12b2t + 6ct + 2d)Avec les contraintes sur la position

r(ti) = i + (f i)(a5t + b4t + c3t + d2t + et + f)r(ti) = i + (f i)(f) = if = 0

r(tf ) = i + (f i)(a5t + b4t + c3t + d2t + et + f)r(tf ) = i + (f i)(a + b + c + d + e) = f(f i)(a + b + c + d + e) = f i

Avec les contraintes sur la vitesse

r(ti) = (f i)(5a4t + 4b3t + 3c2t + 2dt + e)r(ti) = (f i)(e) = 0e = 0

r(tf ) = (f i)(5a4t + 4b3t + 3c2t + 2dt + e)r(tf ) = (f i)(5a + 4b + 3c + 2d) = 05a + 4b + 3c + 2d = 0

Avec les contraintes sur lacceleration

r(ti) = (f i)(20a3t + 12b2t + 6ct + 2d)r(ti) = (f i)(2d) = 0d = 0

r(tf ) = (f i)(20a3t + 12b2t + 6ct + 2d)r(tf ) = (f i)(20a + 12b + 6c) = 020a + 12b + 6c = 0

On obtient le systeme dequations suivant

20a + 12b + 6c = 05a + 4b + 3c = 0a + b + c = 1

que lon peut ecrire sous le forme suivante

20 12 65 4 31 1 1

abc

=

001

28


On obtient donc

abc

=

6

1510

et lequation secrit

r(t) = i + (f i)(65t 154t + 103t ) (2.8)Les trajectoires de reference en position, vitesse et acceleration, sont donnees Figure 2.1

avec

ri = 0rad ; rf = 6rad

ti = 0s tf = 1s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

2

4

6Trajectoires de rfrence

Pos

ition

(r

ad)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

5

10

Vite

sse

(

rad/

s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20

0

20

Acc

lr

atio

n

(ra

d/s

)

Temps (s)

Fig. 2.1 Trajectoires de reference en position, vitesse et acceleration

Il est a noter que tout autre type dinterpolation polynomiale satisfaisant aux conditions debord aurait pu satisfaire (Lagrange, Bernstein, Bezier etc....) pour peu quil soit suffisamment

29


proche dun optimal pour un critere ayant du bon sens physique.

De par le modele (1.5), et plus precisement lequation ci dessous,

d

dt=

1

J(Kiq fv Cr)

on sapercoit que lon peut commander le couple en fonction de iq. Afin dobtenir un couplemaximal, cest a dire iqr maximal, il est souhaitable de choisir une trajectoire de reference encourant tel que idr = 0 ou meme idr < 0. De plus, on cherche une trajectoire de reference encourant permettant de minimiser les pertes joules2 :

Jpj =

tf

0

R(i2d + i2q)dt

clairement il faut idr(t) = 0.

Ce choix est logique, physiquement parlant, car il faut remarquer que le courant direct idne participe pas au transfert denergie.

Sauf avis contraire, ce sont ces trajectoires qui seront utilisees pour toutes les lois de com-mandes.

2.3.2 Optimisation de trajectoire

Dans un deuxieme temps, afin de minimiser les pertes joules, tout en maintenant un couplemaximal, on souhaite changer la trajectoire de reference en position.

Il faut alors reecrire le critere de minimisation des pertes

Jpj =

tf

0

R(i2d + i2q)dt = R

tf

0

y22 +1

K2(Jy1 + fvy1)

2dt (2.9)

Or id = 0. Donc, le critere precedent se reduit a

Jpj =R

K2

tf

0

(Jy1 + fvy1)2dt (2.10)

Il existe plusieurs methodes pour resoudre ce probleme.

Minimisation directe du critere

Pour obtenir les equations des trajectoires optimales, on minimise le critere (2.10) indiqueprecedemment (pertes Joules sur iq). En considerant une fonctionnelle de la forme

Fpj =

tf

0

F (t, y1, y1, y1)dt

2Remarquons que notre propos, a ce stade, nest pas de sinteresser au probleme de la planification detrajectoire minimisant un critere energetique. Les trajectoires choisies ici pretendent uniquement a illustrer lesperformances de la commande en terme de suivi, tout en restant physiquement raisonnable

30


avec les conditions initiales et finales, sur la position et la vitesse, suivantes :

y1(0) = (ti) et y1(tf ) = (tf )y1(0) = 0 et y1(tf ) = 0

(2.11)

En effet, avec les conditions dEuler generalisees, nous avons besoin de quatre contraintes. Ilreste a utiliser le profil en vitesse pour repondre au probleme de minimisation de

tf

0

(J2y21 + 2Jfvy1y1 + f2v y

21)dt (2.12)

En posant

L = (J2y21 + 2Jfvy1y1 + f2v y

21)

les conditions dEuler generalisees donnent

L

y1 d

dt

[L

y1

]+

d2

dt2

[L

y1

]= 0 (2.13)

avecLy1

= 2J2y1 + 2Jfvy1

Ly1

= 2Jfvy1 + 2f2v y1

Ly1

= 0

on obtient donc

2Jfvy(3)1 2f2v y1 + 2J2y(4)1 + 2Jfvy

(3)1 = 0

soit

J2y(4)1 f 2v y

(2)1 = 0

Si on pose z = y1, lequation precedente devient

z 2z = 0

avecf2vJ2

= 2

et

=fvJ

=(0.015)

(4.3104)= = 36

Cest une equation differentielle du second ordre lineaire a coefficients constants sans secondmembre dont la solution est de la forme suivante :

z(t) = a sinh(t) + b cosh(t) (2.14)

Donc, dans notre cas, les equations, correspondant aux equations des trajectoires de lacceleration,de la vitesse et de la position, secrivent :

31


y(t) = a sinh(t) + b cosh(t)

y(t) = a

cosh(t) + b

sinh(t) + c

y(t) = a2

sinh(t) + b2

cosh(t) + ct + d

(2.15)

Il faut tenir compte des conditions initiales precitees (2.11) pour resoudre ces equations, et celadonne :

a = c

b = d2

c = d sinh(tf )

1cosh(tf )

d =f

1(sinh(tf ))

2

1cosh(tf )cosh(tf )+

sinh(tf )

1cosh(tf )tf

(2.16)

Les trajectoires de references optimales ont, pour = 36, Figure 2.2, les allures suivantes :

Cependant, on ne prend pas en compte les conditions initiales et finales sur lacceleration.Cela engendre deux pics importants sur lacceleration. Il est donc necessaire dutiliser une autremethode : celle des B-Splines.

Methode des B-Splines

En considerant lequation polynomiale precedente (2.8) et les conditions initiales et finalessuivantes (2.7), il est possible dutiliser la methode des B-Splines pour optimiser les trajectoires(position, vitesse et acceleration) en fonction du critere et des contraintes aux bords.

Generalites

Le but, a ce stade, est de faire une simple presentation des courbes B-Splines. Le besoinici est de pouvoir utiliser une famille tres riche de courbes dependant de parametres. Il estnecessaire de disposer de suffisamment de parametres pour pouvoir specifier les conditions auxlimites et autres contraintes. Il faut aussi pouvoir estimer leffet de chaque parametre afin detrouver rapidement, en les ajustant, une courbe qui correspond a celle imaginee. Dautre part,le calcul de la courbe en fonction des parametres doit etre rapide.

Les B-Splines, utilisees en analyse numerique depuis les annees 30, possedent ces proprietes.

On se donne une suite de points t0 ..... tm, appeles nuds, de la droite reelle. Le vecteur(t0, ...., tm) sappelle vecteur des nuds. Certains nuds peuvent etre confondus. Si r nudssont egaux a un reel , on dit est de multiplicite r. Dautre part, on se donne dautres pointsP0, ....., Pm Rn, appeles points de controle, qui forment ensemble le polygone de controle. On

32


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6Position

rad

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

Vitesse

rad/

s

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1200

100

0

100

200Acclration

rad/

s

Temps (s)

Fig. 2.2 Trajectoires de reference

limagine comme une courbe t X0(t) qui saute dun point a lautre aux instants ti, i.e.

X0(t) = Pi pour t [ti, ti+1[ . (2.17)

Si le nud ti = ti+1, le sommet Pi est simplement ignore. On cherche a approcher cette courbediscontinue par une courbe plus reguliere. La premiere etape consiste a faire passer une lignepolygonale par les points Pi, i.e. lorsque t varie entre deux nuds ti et ti+1 , X1(t) decrit lesegment [Pi1, Pi[ a vitesse constante. On determine la formule suivante

X1(t) =

(1 t ti

ti+1ti

)Pi1 +

t titi+1ti

Pi (2.18)

Si le nud ti = ti+1, la courbe saute de Pi1 a Pi en ti. Si les nuds sont distincts, lacourbe obtenue est continue mais non derivable en general. Ses composantes sont des fonctionslineaires par morceaux.

33


Letape suivante conduit, si les nuds sont tous distincts, a une courbe X2 de classe C1

(mais non C2 en general) au prix daugmenter le degre : elle est quadratique par morceaux. Ellene passe plus par les sommets Pi mais conserve une proximite au polygone en un sens different :si t est compris entre les nuds ti et ti+1 , X2(t) est lenveloppe convexe des sommets Pi2, Pi1et Pi.

Comment trouver X2, et plus generalement Xk pour k 2 ?

Supposons les points Pi affinement independants. Alors la courbe, Xk1 secrit de maniereunique comme une combinaison de la forme suivante

Xk1(t) =

Bi,k1(t)Pi (2.19)

ou les fonctions Bi,k sont positives ou nulles, et leur somme est egale a 1. Pour gagner un degrede differentiabilite, lidee est de remplacer dans cette formule la suite de points fixes Pi par despoints Pi(t) mobiles le long du polygone de controle, ou Pi(t) se deplace de Pi1 a Pi pendantlintervalle de temps [ti, ti+k[. Autrement dit, on pose

Xk(t) =

Bi,k1(t)

((1 t ti

ti+kti

)Pi1 +

t titi+kti

Pi

)(2.20)

Cela donne pour les fonctions Bi,k la relation de recurrence

Bi,k(t) =t titi+kti

Bi,k1(t) +

(1 t ti+1

ti+k+1ti+1

)Bi+1,k1(t) (2.21)

qui les determine uniquement.

Le parametre principal est le polygone de controle, dont la courbe epouse les formes. Lacomplexite du calcul de la courbe depend avant tout du degre de differentiabilite (on sarretesouvent a k = 3). Le parametre secondaire est le vecteur des nuds. On sen sert avant toutpour sassurer que la courbe passe par des points prescrits avec des tangentes prescrites, i.e.pour controler les raccords.

Probleme doptimisation

Le but est doptimiser une trajectoire de reference existante

r(t) = i + (f i)(103t 154t + 65t )

afin de minimiser les pertes Joules, cest a dire minimiser le critere

Jpj =R

K2

tf

0

(Jy1 + fvy1)2dt (2.22)

avec les six contraintes aux instants initiaux et finaux sur la position, la vitesse et laccelerationdonnees en (2.7. On restreint la recherche a lespace des B-Splines. On cherche donc une equationdu type :

r(t) = r(t) +n

i=0

PiBi,k (2.23)

34


Les B-Splines aux instants initiaux et finaux sont determinees de telle sorte quelles soientnulles ce qui permet deliminer les contraintes. Le probleme revient a minimiser le critere sanscontraintes.

En effectuant une discretisation du temps, le probleme revient a minimiser le critere enminimisant les parametres Pi. On utilise alors la methode de Descente de gradient.

Cette methode sapplique lorsque lon cherche le minimum dune fonction F (x) dont on

connat lexpression analytique, qui est derivable (dF (x)dx

), mais dont le calcul direct du mini-mum est difficile.

Pour trouver analytiquement le minimum de la fonction F (x), il faut trouver les racines de

lequation dF (x)dx

= 0 ce qui est difficile.

Lalgorithme doptimisation le plus simple est la methode de la Descente de gradient,dont le principe est de partir dun point aleatoire (x0) puis de se deplacer dans la direction dela plus forte pente. En appliquant un certain nombre diterations,

xi+1 = xi F (xi)

lalgorithme converge vers une solution qui est un minimum local de F (x).

Resultats

Tout dabord, il faut specifier que les trajectoire de reference en position r(t), donneesFigures 2.3 et 2.4, sont relatives au deplacement du moteur pas-a-pas dun angle ri = 0 rad aun angle rf = 1.5 rad pour un aspect pratique de visibilite de ces courbes.

On obtient les resultats suivants (acceleration-vitesse-position), Figure 2.3, avec lutilisationde 25 fonctions B-Splines :

On peut remarquer des oscillations non desirables pour les allures de la vitesse et delacceleration.

Afin dameliorer la precision et de determiner les allures qui convergent vers les solutionsoptimales, on augmente le nombre de fonctions B-Splines (ici 50), on obtient alors, Figure 2.4 :

Cette methode permet doptimiser des trajectoires existantes mais ne donne pas les tra-jectoires optimales meme, si en augmentant le nombre de fonctions B-Splines, il est possiblede converger vers celles-ci. Cette methode permet de nous donner lallure des trajectoiresde reference desirees. En theorie, il serait possible daugmenter encore le nombre de fonctionsB-Splines pour obtenir le resultat souhaite, cependant, il nest pas envisageable dimplanter cesequations qui demanderaient un temps de calcul trop important.

Il faut malgre tout reconnatre quil y a concordance des allures des trajectoires de referenceentre les deux techniques de calculs. Et donc, pour remedier au probleme de minimisation, on

35


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 140

30

20

10

0

10

20

30

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

Fig. 2.3 Trajectoires de reference en acceleration, vitesse et position (25)

peut donc choisir des allures de trajectoires se rapprochant de celles trouvees par la methodedes B-Splines sans les oscillations mais correspondant aux courbes precedentes (Figure 2.2).Les trajectoires de reference elaborees sont les suivantes (Figure 2.5).

Elles ont ete etablies a partir de lequation de lacceleration. Cette derniere a ete elaboreea partir dune fonction sinus multipliee par un gain. On peut alors parametrer les temps t1, t2(Figure 2.6) et la valeur maximale.

36


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1200

150

100

50

0

50

100

150

200

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

Fig. 2.4 Trajectoires de reference en acceleration, vitesse et position (50)

37


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6Position

( rad

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6Vitesse

( rad

/ s

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1500

0

500Acclration

Temps ( s )

( rad

/ s

)

Fig. 2.5 Trajectoires de reference optimisees

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

400

200

0

200

400

Acclration

rad/s

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

400

200

0

200

400

Zoom Acclration

rad/s

Temps (s)

t1

t2

t1

Fig. 2.6 Allure de reference

38

2.4. GENERALITES SUR LES MODES GLISSANTS

2.4 Generalites sur les modes glissants

Les modes glissants pour les systemes non lineaires ont ete largement etudies et developpesdepuis leur introduction. Lobjectif de la methode est, a laide dune commande discontinue, decontraindre le systeme a evoluer et rester, en temps fini, sur une surface ou le comportementresultant correspond aux dynamiques souhaitees. De plus amples details peuvent etre trouvesdans les ouvrages [Edwards 98], [Perruquetti 02] ou [Utkin 77].

La loi de commande par modes glissants est de conception relativement simple et presentedes qualites de robustesse vis-a-vis dune certaine classe de perturbations. Cependant, il existequelques problemes comme le phenomene de reticence et la brutalite de la commande dis-continue. Ces inconvenients peuvent etre vraiment nefastes pour le moteur en provoquant unechauffement important dans les enroulements. Pour palier a ce defaut on peut remplacer lesfonctions signe par des fonctions sigmodes plus lisses ou utiliser des commandes par modesglissants dordre superieur au degre relatif du systeme par rapport a la variable de glissementchoisie.

2.4.1 Commandes par modes glissants dordre 1

Generalites

Afin dexpliquer succinctement la methode employee par la suite, il me semble necessairedeffectuer une presentation, sur un exemple, du principe des modes glissants. Considerons unmobile dont la position est x, la force appliquee u, la force resistante Fr et dont lequation est :

d2x

dt2= u + Fr

Pour une commande en tout ou rien de type u = U , on peut calculer les trajectoires par :

x = Ut + x(0) +

Frdt

x(t) = 12Ut2 + tx(0) +

Frdt

Pour Fr = 0, dans le plan (x, x), les trajectoires sont des paraboles. Lobjectif de la commandeest de ramener le mobile a sa position dequilibre, cest a dire lorigine dans le plan (x, x).

Une premiere commande peut etre : u = Usign(x). Cependant, celle-ci ne permet pasde stabiliser le systeme (en labsence de force), comme les trajectoires, de type periodique, lemontrent sur la Figure 2.7.

Une deuxieme commande peut etre : u = Usign(x + kx). Celle-ci permet de stabiliser lesysteme comme le montre la Figure 2.8.

La droite dequation x + kx = 0, dite droite de commutation, correspond a la surface deglissement. En effet, par un bon choix de U , la trajectoire vient sur la droite, glisse dessus etrejoint lorigine.

39


Fig. 2.7 Commande par retour de position

Fig. 2.8 Commande par retour de position et de vitesse

La commande tout ou rien presente lavantage detre plus rapide quune commande lineaire.De plus, en regime glissant, les

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Lois de commande par modes glissants du moteur pas-à-pas