Lógica Formal - Portal do IFSC - Página Inicialdocente.ifsc.edu.br/vilson.junior/md/02_LogicaFormal.pdf · Objetivos • Utilizar símbolos da lógica proposicional; • Encontrar

Lógica Formal

Matemática DiscretaProf. Vilson Heck Junior

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Objetivos

• Utilizar símbolos da lógica proposicional;

• Encontrar o valor lógico de uma expressão em lógicaproposicional;

• Construir demonstrações formais em lógicaproposicional;

• Usar símbolos formais da lógica predicada;

• Construir demonstração formais;

• [Talvez] Conhecer a linguagem de programaçãoProlog;

Lógica na MTD Discreta?

• Resolver problemas que envolvam raciocínio lógico;

• Construir, questionar, compreender e criticarargumentos;

• Reconhecer e trabalhar com símbolos formais que sãoutilizados na lógica proposicional;

• Usar a lógica proposicional para representar e avaliarargumentos;

• Construir demonstrações formais nas lógicasproposicionais e usá-las para determinar a validade deum argumento;

• Executar diversas técnicas de demonstração;

Conteúdo

• Proposições;

• Valores lógicos;

• Conectivos;

• Tabelas-verdade;

• Tautologias, Contradições e Contingências;

• Lógica proposicional;

• Predicados;

• Talvez: Programação Lógica.

PROPOSIÇÕESLógica Formal

Proposições

• Em lógica, proposições são sentençasdeclarativas com valores comprovadamente eindiscutivelmente: verdadeiro ou falso;

– Nenhum outro possível valor!

• Proposições também são chamadas dedeclarações por diferentes autores oucontextos.

Proposições

• As seguintes sentenças são proposições:

1. Dez é menor do que sete.• Matematicamente comprovado ser Falso.

2. Existe vida em outros planetas do universo.• Por enquanto, não sabemos a resposta, mas

conhecemos meios viáveis a longo prazo que nos darãoestá resposta.

3. Um triângulo tem três lados.• Verdadeiro.

4. Madrid é a capital da Espanha.• Verdadeiro

Proposições

• As seguintes sentenças não são proposições:

1. Como está você?• Isto não contém uma declaração com significado V ou F.

2. Ela é muito talentosa.• Apesar de ser uma frase declarativa, faltam

informações sobre quem é “ela” para constatar V ou F.

3. Brócolis é saboroso.• Isto não é nem verdade e nem falso absoluto, é uma

questão de opinião, por tanto, não é uma proposiçãoválida.

Proposições

• Algumas sentenças são, ainda, dignas de muitodebate filosófico:

1. Fantasmas existem.• Alguns filósofos defendem que é uma proposição, mas

que é definitivamente falsa, pois não há provas contrárias;

• Outros defendem que a sentença nem se quer é umaproposição, mas sim parte de crendices ou folclores, daimaginação e, por tanto, impossível de ser verificada.

Negação de uma Proposição

• Qualquer proposição existente pode ser negada;

• Em escrita ou fala, utilizamos a partícula negativa“não”;

• Ex. de Proposição:

– 𝑃 : “Está chovendo agora”.

• Ex. de Proposição Negada:– 𝑃, ¬𝑃, ~𝑃 ou 𝑃′ : “Não está chovendo agora”.

• Ao aplicar a negação, o valor lógico da proposição seráinvertido:

P ¬P ¬¬P

V F V

F V F

Negação de uma Proposição

P – representado em conjunto ¬P – representado em conjunto

CONECTIVOS LÓGICOSLógica Formal

Conectivos Lógicos

• Ao falar ou escrever, combinamos frases simples por meiode conectivos lógicos;

• Estas combinações formam sentenças compostas queenriquecem as informações trocadas;

• As informações como um todo, dependem de umacombinação dos valores lógicos das proposições e seusconectivos;

• Na Lógica Formal, chamaremos estas sentenças compostasde: Sistema Formal. Outros nomes utilizados são:– Fórmulas Proposicionais;– Fórmulas Bem Formuladas: FBFs.

Conectivos Lógicos

• Exemplos:1. Fulano foi até a loja de esportes e foi até a casa de sua avó.

2. Fulano foi até a loja de esportes ou foi até a casa de sua avó.

3. Fulano ou foi até a loja de esportes, ou foi até a casa de sua avó.

• Há duas proposições:A. Fulano foi até a loja de esportes;

B. Fulano foi até a casa de sua avó.

• Quais são as interpretações possíveis para os trêsexemplos?

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico E:– Também conhecido como conjunção;

– Representado na lógica proposicional pelo símbolo ˄ ou .

– Presume que ambas as proposições conectadas devem serverdadeiras.

– Exemplo: A ^ B

• Lê-se “A e B”

• Lê-se “Fulano foi até a loja de esportes e foi até a casa desua avó.”

Conectivos Lógicos

Conjunção, do ponto de vista de conjuntos:A ^ B

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico E:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é

necessária a construção da tabela-verdade;

– A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicosde cada proposição do sistema;

– Tabela-verdade E:

A B A ^ B

V V V

F V F

V F F

F F F

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico OU:– Também conhecido como disjunção;

– Representado na lógica proposicional pelo símbolo ˅ ou +

– Presume que ao menos uma proposição conectada deve serverdadeira.

– Exemplo: A ˅ B

• Lê-se “A ou B”

• Lê-se “Fulano foi até a loja de esportes ou foi até a casade sua avó.”

Conectivos Lógicos

Disjunção, do ponto de vista de conjuntos:A ˅ B

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico OU:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é



– Tabela-verdade OU:

A B A ˅ B

V V V

F V V

V F V

F F F

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico OU Exclusivo:– Também conhecido como disjunção exclusiva;

– Representado na lógica proposicional pelo símbolo ˅ ou ⊕

– Presume que somente uma proposição conectada deve serverdadeira.

– Exemplo: A ˅ B

• Lê-se “A ou exclusivo B”

• Lê-se “Ou Fulano foi até a loja de esportes ou foi até acasa de sua avó.”

Conectivos Lógicos

Disjunção exclusiva, do ponto de vista de conjuntos:A ˅ B

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico OU Exclusivo:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é



– Tabela-verdade OU Exclusivo:

A B A ˅ B

V V F

F V V

V F V

F F F

Exercícios do livro

• Parte A - Lista de questões do livro.

• GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência daComputação - um tratamento moderno de matemática discreta -5 ed. Rio de Janeiro, LTC – 2013.

CONSTRUINDO TABELAS-VERDADELógica Formal

Precedência dos Operadores

• Para construir uma tabela-verdade, será necessárioresolver todas as possíveis combinações de valoreslógicos das proposições existentes;

• A resolução de um sistema formal deve seguir umaordem, assim como acontece nas equaçõesmatemáticas:

1. (), {}

2. ¬

3. ˅, ^, ˅

Tabelas-Verdade

Assumindo o seguinte:

• “Hoje irá chover ou nevar e não iremos caminhar”.

A. Hoje irá chover;

B. Hoje irá nevar;

C. Hoje iremos caminhar;

– (𝑨˅B)^¬C

Tabelas-Verdade

• Sistema Lógico: (𝐴˅B)^¬C

– Valores possíveis para proposição A:A

V

F

Tabelas-Verdade


– Arranjo de valores entre proposições A – B:A B

V V

F V

V F

F F

Tabelas-Verdade


– Arranjo de proposições incluindo C:A B C

V V V

F V V

V F V

F F V

V V F

F V F

V F F

F F F

Tabelas-Verdade


– Inclusão da primeira parte do sistema:A B C (AvB)

V V V V

F V V V

V F V V

F F V F

V V F V

F V F V

V F F V

F F F F

Tabelas-Verdade


– Inclusão da segunda parte do sistema:A B C (AvB) ¬C

V V V V F

F V V V F

V F V V F

F F V F F

V V F V V

F V F V V

V F F V V

F F F F V

Tabelas-Verdade


– Solução final do sistema:A B C (AvB) ¬C (𝐴˅B)^¬C

V V V V F F

F V V V F F

V F V V F F

F F V F F F

V V F V V V

F V F V V V

V F F V V V

F F F F V F

CONECTIVOS LÓGICOS (PARTE - 2)Lógica Formal

Conectivos Lógicos

• Exemplos:1. Se Fulano foi até a loja de esportes então foi até a casa de sua avó.

2. Fulano foi até a loja de esportes se e somente se foi até a casa desua avó.

• Há duas proposições:A. Fulano foi até a loja de esportes;

B. Fulano foi até a casa de sua avó.

• Quais são as interpretações possíveis para os doisexemplos?

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico Se ... Então ...:– Também conhecido como implicação ou condicional;

– Representado na lógica proposicional pelo símbolo →

– Assume a existência de uma proposição antecedente e umaconsequente;

– Sempre que a proposição antecedente for verdadeira, há aimplicação da consequente também ser verdadeira

– Exemplo: A → B

• Lê-se “A implica em B”

• Lê-se “Se Fulano foi até a loja de esportes, então Fulanofoi até a casa de sua avó.”

Conectivos Lógicos

Implicação, do ponto de vista de conjuntos:A → B

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico Se ... Então ...:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é



– Tabela-verdade Implicação:

A B A → B

V V V

F V V

V F F

F F V

Atividade Prática

• Escreva o antecedente e o consequente de cada uma dassentenças a seguir: (sugestão: reescreva as sentenças colocando-as na forma se/então):

1. Se a chuva continuar, então o rio vai transbordar.

2. Uma condição suficiente para a falha de uma rede elétrica é que achave central desligue.

3. Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios.

4. Uma boa dieta é uma condição necessária para uma saúdesaudável.

Conectivos Lógicos

• Agora imagine um cenário onde há uma “implicação dupla”.

• Neste caso, ambas proposições dependeriam uma da outramutuamente;

• Construa a tabela-verdade para:

(𝐴 → 𝐵)^(𝐵 → 𝐴)

A B

V V

F V

V F

F F

Conectivos Lógicos




(𝐴 → 𝐵)^(𝐵 → 𝐴)

A B A→B B→A

V V V V

F V V F

V F F V

F F V V

Conectivos Lógicos




(𝐴 → 𝐵)^(𝐵 → 𝐴)

A B A→B B→A (A→B)^(B→A)

V V V V V

F V V F F

V F F V F

F F V V V

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico se e somente se:– Também conhecido como bi-implicação (bicondicional ou

equivalência);

– Representado na lógica proposicional pelo símbolo ↔

– Assume que ambas proposições devem ter valores iguais;

– Exemplo: A ↔ B

• Lê-se “A se e somente se B”

• Lê-se “Fulano foi até a loja de esportes se e somente sefoi até a casa de sua avó.”

Conectivos Lógicos

Bi-implicação, do ponto de vista de conjuntos:A ↔ B

Conectivos Lógicos

• Conectivo lógico ... se e somente se ...:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é



– Tabela-verdade Bi-implicação:

A B A ↔ B

V V V

F V F

V F F

F F V

Atividade Prática

• Utilizando apenas os operadores/conectivos lógicos:– E, OU, Não;

• Construa sistemas lógicos equivalentes aos seguintesconectivos:1. Ou exclusivo;

2. Se ... Então ...

3. Se e somente se


• Para construir uma tabela-verdade, será necessário resolvertodas as possíveis combinações de valores lógicos dasproposições existentes;

• A resolução de um sistema formal deve seguir uma ordem,assim como acontece nas equações matemáticas:

1. (), {}

2. ¬

3. ˅, ^, ˅

4. →

5. ↔


1. (), {}

2. ¬

3. ˅, ^, ˅

4. →

5. ↔

Equação Original Certo Errado

¬A v B (¬A) v B ¬(A v B)

A v B → C (A v B) → C A v (B → C)

A ^ B → C ↔ D ((A ^ B) → C) ↔ D A ^ (B → (C ↔ D))

Expressões em PortuguêsPortuguês Conectivo Lógico Expressão Lógica

Não A.É falso que A...Não é verdade que A...

Negação ¬A

E; mas; também; além disso Conjunção A ^ B

Ou Disjunção A v B

Ou A, Ou B.Disjunção exclusiva

A v B

Se A, então B.A implica B.A, logo B.A só se B; A somente se B.B segue AA é uma condição suficiente para B; basta A para B.B é uma condição necessária para A.

Condicional A → B

A se e somente se B.A é condição necessária e suficiente para B.

Bicondicional A ↔ B

Negações corretas e incorretas

Proposições Correta Incorreta

Vai chover amanhã.É falso que vá chover amanhã.

Não vai chover amanhã

Pedro é alto e magro.É falso que Pedro seja alto e magro.

Pedro não é alto ou não é magro.Pedro é baixo ou gordo.

Pedro é baixo e gordo.(Pode ser que Pedro não tenha

apenas 1 das propriedades)

O rio é raso ou está poluído.É falso que o rio seja raso ou esteja poluído.

O rio não é raso nem está poluído.O rio é fundo e não está poluído.

O rio não é raso ou não está poluído.(Ambas devem ser falsas!)

Atividade Prática

• Sendo A:

– Júlia gosta de manteiga mas detesta creme.

• Qual das alternativas representa ¬A?

1. Júlia detesta manteiga e creme.

2. Júlia não gosta de manteiga nem de creme.

3. Júlia não gosta de manteiga mas adora creme.

4. Júlia odeia manteiga ou gosta de creme.

TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS

Lógica Formal

Tautologia

• É dita tautológico todo sistema lógico cuja tabela-verdade resultaapenas em valores Verdadeiros:

– A ^ B ↔ B ^ A: (comutatividade)

A B A ^ B B ^ A ↔

V V V V V

F V F F V

V F F F V

F F F F V

Tautologia


– (A ^ B) ^ C ↔ A ^ (B ^ C): (associatividade)

A B C A ^ B B ^ C ^ C A ^ ↔

V V V V V V V V

F V V F V F F V

V F V F F F F V

F F V F F F F V

V V F V F F F V

F V F F F F F V

V F F F F F F V

F F F F F F F V

Tautologia


– A ^ (B v C) ↔ (A ^ B) v (A ^ C): (distributividade)

A B C A ^ B B v C A ^ C A ^ ) v ( ↔

V V V V V V V V V

F V V F V F F F V

V F V F V V V V V

F F V F V F F F V

V V F V V F V V V

F V F F V F F F V

V F F F F F F F V

F F F F F F F F V

Contradição

• É dita contradição todo sistema lógico cuja tabela-verdade resultaapenas em valores Falsos:

– A ^ ¬A

A ¬A A ^ ¬A

V F F

F V F

Contradição

• É dita contradição todo sistema lógico cuja tabela-verdade resultaapenas em valores Falsos:

– (A → B) ^ (A ^ ¬B)

A B A → B A ^ ¬B (A → B) ^ (A ^ ¬B)

V V V F F

F V V F F

V F F V F

F F V F F

Contingências

• Todo e qualquer sistema lógico que não seja Tautologiae Contradição, será considerado contingência.

Questões Poscomp (1/2)

• Poscomp[2013, q11]: Considere as sentenças aseguir:– P: Pedro faz as tarefas todos os dias.– Q: Pedro terá boas notas no final do ano. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a

tradução em linguagem simbólica da negação dasentença composta a seguir:

“Se Pedro faz as tarefas todos os dias, então Pedro teráboas notas no final do ano.”

1. P → Q2. P ↔ Q3. P ^ ~Q4. ~P ^ ~Q5. ~P ^ Q

Questões Poscomp (2/2)

• Poscomp[2013, q13]: Admita que um novo conectivo binário,rotulado pelo símbolo ↕, seja definido pela tabela-verdade aolado. Com base nessa definição e nas operações usuais com osconectivos v, ^ e ~, considere as afirmativas a seguir.

I. P ↕ Q é equivalente a Q ↕ P.

II. (P ↕ Q) v (Q ↕ P) não é uma contingência.

III. (Q ↕ P) ^ (P ↕ Q) é uma contradição.

IV. ~[(Q ↕ P) ^ (P ↕ Q)] é uma tautologia.

• Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas I e II são corretas.

b) Somente as afirmativas I e IV são corretas.

c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.

d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.

e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

P Q P ↕ Q

V V F

V F V

F V F

F F F


• Parte B – Lista de questões do livro.


PROPRIEDADES, SUBSTITUIÇÕES, DEDUÇÕES E VALIDADE

Lógica Formal

Validade de Argumentos

• A argumentação de um advogado é válida?

– “Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria nagaveta. A faca não estava na gaveta ou JasonPritchard viu a faca. Se a faca não estava lá no dia10 de outubro, segue que Jason Pritchard não viu afaca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 deoutubro, então a faca estava na gaveta e o marteloestava no celeiro. Mas todos sabemos que omartelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras esenhores do Júri, meu cliente é inocente.”

Outras equivalências

• A ^ F F

• A^ V A

• A ^ ¬A F

• A ^ A A

• B v F B

• B v V V

• B v ¬B V

• B v B B

• A v (B ^ C) (A v B) ^ (A v C)

• A v B (A ^ ¬B) v (¬A ^ B)

• A → B ¬(A ^ ¬B) ¬A v B

• A ↔ B (A ^ B) v (¬A ^ ¬B)

Leis de De Morgan

• O matemático inglês Augusto De Morgan (1806 – 1871) foi o primeiro aenunciar algumas equivalências lógicas (e de conjuntos). Estasequivalências convertem operações lógicas E em OU e vice-versa e sãoamplamente utilizadas na construção de sistemas lógicos:

– ¬(A v B) ¬A ^ ¬B

– ¬(A ^ B) ¬A v ¬B

Leis de De Morgan

• Na prática, não importa o número de proposições. Ex.:

– ¬(A v B v C v D) ¬A ^ ¬B ^ ¬C ^ ¬D

– ¬(A ^ B ^ C ^ D ^ E) ¬A v ¬B v ¬C v ¬D v ¬E

Substituições e Deduções

• As substituições e as deduções lógicas sãoutilizadas para a verificação da validade emargumentos lógicos:

– Através do Cálculo Proposicional!

• Ver as tabelas de equivalência e de inferência.– Modus ponens: modus ponendo ponens - em Latim significa

“a maneira que afirma afirmando”.

– Modus tollens: em Latim significa “modo que nega”.

Validade de Argumentos

• Alguns argumentos lógicos precisam ser interpretados para teremsuas validades lógicas verificadas;

• Nem sempre é possível constatar a validade de uma argumentode maneira objetiva, às vezes é necessário aplicar algumassubstituições, ou realizar um cálculo proposicional;

• Um argumento pode ser representado em forma simbólica como:

– 𝑃1^𝑃2^𝑃3^⋯^𝑃𝑛 → 𝑄

• Neste caso: 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 são proposições dadas, chamadas dehipóteses do argumento, enquanto 𝑄 é a conclusão doargumento.

Ex. 1: Validade de Argumentos

• Argumento: P1 ^ P2 → Q– P1: “Se está chovendo, então há nuvens.”

– P2: “Está chovendo.”

– Q: “Há nuvens.”

• Proposições:– A: Está chovendo.

– B: Há nuvens

• Dedução/validação:– P1: A → B

– P2: A

– Q: B

Válido?

Argumentos fortes!


• Iniciamos pelas hipóteses, assumindo-as comoverdadeiras:1. A → B (V)

2. A (V)

• Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmenteiniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz queA deve ser V. Sabendo que A é V, podemos verificar quais os possíveisvalores para B que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto,consultaremos a tabela verdade da implicação:

A B A → B

V V V

F V V

V F F

F F V


• Neste caso, tínhamos duas opções:– Analisar toda a tabela verdade da implicação; ou

– Aplicar alguma regra de inferência ou equivalência que nosindicasse a resposta.

• A primeira regra de inferência da tabela entregue:“Modus Ponens” diz: “sempre que o antecedente emuma implicação for verdadeiro, seu consequentetambém deverá ser verdadeiro”.

• Portanto, A sendo verdade, resta a B apenas serverdade. Logo, nossa conclusão é B!– Desta forma o argumento é válido!


• Argumento original:

– P1: A → B

– P2: A

– Q: B

• Validade?

1. A → B (hip, V)

2. A (hip, V)

3. B (mp, 1 ,2)Foi possível chegar à mesma conclusão

O argumento é válido!



– P2: “Não há nuvens.”

– Q: “Não está chovendo.”


– B: Há nuvens


– P2: ¬B

– Q: ¬A

Válido?



2. ¬B (V)

• Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmenteiniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz queB deve ser F. Sabendo que B é F, podemos verificar quais os possíveisvalores para A que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto,consultaremos a tabela verdade da implicação:

A B A → B

V V V

F V V

V F F

F F V




• A segunda regra de inferência da tabela entregue:“Modus Tollens” diz: “sempre que o consequente emuma implicação for falso, seu subsequente tambémdeverá ser falso”.

• Portanto, B sendo falso, resta a A apenas ser falso.Logo, nossa conclusão é ¬A!– Desta forma o argumento é válido!



– P1: A → B

– P2: ¬B

– Q: ¬A

• Validade?

1. A → B (hip, V)

2. ¬B (hip, V)

3. ¬A (mt, 1 ,2)Foi possível chegar à mesma conclusão

O argumento é válido!



– P2: “Há nuvens.”

– Q: “Está chovendo.”


– B: Há nuvens


– P2: B

– Q: A

Válido?



2. B (V)

• Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmenteiniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz queB deve ser V. Sabendo que B é V, podemos verificar quais os possíveisvalores para A que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto,consultaremos a tabela verdade da implicação:

A B A → B

V V V

F V V

V F F

F F V




• Não encontramos uma regra de inferência ousubstituição que possa nos resultar em um único valorlógico aceitável para A. Na prática, A pode ser tanto Vquanto F, não há garantias lógicas para apenas umresultado.

• Portanto, B sendo verdadeiro, A não tem um únicovalor definido. Logo, nossa conclusão ¬A v A!– Desta forma o argumento é inválido!



– P1: A → B

– P2: B

– Q: A

• Validade?

1. A → B (hip, V)

2. B (hip, V)

3. A v ¬A (tab. verd., 1 ,2)Não foi possível chegar à mesma conclusão

O argumento é inválido!


• (¬A v B) ^ (B → C) → (A → C)

1. ¬A v B (hip)

2. B → C (hip)

3. A (hip da conclusão)

4. B (1, 3, silogismo disjuntivo)

5. C (2, 4, modus ponens)


• A argumentação de um advogado:

– “Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria nagaveta. A faca não estava na gaveta ou JasonPritchard viu a faca. Se a faca não estava lá no dia10 de outubro, segue que Jason Pritchard não viu afaca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 deoutubro, então a faca estava na gaveta e o marteloestava no celeiro. Mas todos sabemos que omartelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras esenhores do Júri, meu cliente é inocente.”


• Proposições:A. O cliente é inocente.

B. A faca estava na gaveta.

C. Jason viu a faca.

D. A faca estava lá no dia 10 de outubro.

E. O martelo estava no celeiro.

• Equação:(¬A -> B) ^ (¬B v C) ^ (¬D -> ¬C) ^ [D -> (B ^ E)] ^ ¬E -> A


(¬A -> B) ^ (¬B v C) ^ (¬D -> ¬C) ^ [D -> (B ^ E)] ^ ¬E -> A

• Prova:1. ¬A → B (hip)

2. ¬ B v C (hip)

3. ¬ D → ¬ C (hip)

4. D → (B ^ E) (hip)

5. ¬E (hip)

6. ¬E v ¬B (5, adição)

7. ¬(E ^ B) (6, De Morgan)

8. ¬(B ^ E) (7, comutatividade)

9. ¬ D (4, 8, modus tollens)

10. ¬ C (3, 9, modus ponens)

11. ¬ B (2, 10, silogismo disjuntivo)

12. ¬ ¬ A (1, 11, modus tollens)

13. A (12, dupla negação)


• Parte C – Lista de questões do livro.


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