Libro Ingenieria Economica 2007.pdf

8/10/2019 Libro Ingenieria Economica 2007.pdf

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CONTENIDO

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INTRODUCCION 5

CAPITULO I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 7

1.1 DINERO 7

1.1.1 Que Ha Sido Histricamente Y Que Es El Dinero?. 7

1.1.2 Propiedades Bsicas Del Dinero. 7

1.2 CUANTIFICACIN DEL DINERO 9

1.3 INTERS 11

1.3.2 Variables Que Inciden Sobre El Inters. 12

1.3.3 Cuantificacin Del Inters. 13

1.3.4 Tasa De Inters. 14

1.3.5 Tipos De Inters. 14

1.3.6 Algunas Tasas De Inters Importantes. 14

CAPITULO II. DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA 22

2.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA 22

2.2 VALOR DEL DINERO A TRAVS DEL TIEMPO 22

2.3 SERIE UNIFORME (A) 25

2.4 GRADIENTE 39

2.4.1 Gradiente Aritmtico (G). 39


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2.4.2 Gradiente Geomtrico (C). 46

2.5 SERIES UNIFORMES CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTOGEOMTRICO 53

CAPITULO III. INTERESES: MODALIDADES, PERIODOS YEQUIVALENCIAS 107

3.1 RELACIN DE EQUIVALENCIA ENTRE INTERESES DE DIFERENTES.PERODOS 107

3.2 INTERS NOMINAL vs. INTERS EFECTIVO 109

3.2.1 Inters Nominal. 109

3.2.2 Inters Efectivo. 110

3.2.3 Relacin De Equivalencia Entre Inters Nominal Y Efectivo (R D E). 110

3.3 ALGUNAS ANOTACIONES SOBRE NOMINAL Vs EFECTIVO 112

3.4 TASAS DE INTERS EN CADENA 115

3.5 UNIDAD DE VALOR REAL CONSTANTE (UVR) 141

3.5.1 El Sistema Colombiano de Ahorro y Vivienda. 141

CAPITULO IV. INFLACION Y DEVALUACION 158

4.1 INFLACION 169

4.2 DEVALUACIN 176

4.2.1 Definicin De Devaluacin. 177

4.2.2. Devaluacin En Colombia. 177

4.2.3 Determinacin De La Tasa De Cambio. 181

4.2.4 Devaluacin O Revaluacin. 182


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4.2.5 Relaciones De Equivalencia 184

4.3 ALGUNAS RELACIONES IMPORTANTES 193

CAPITULO V. CRITERIOS ECONOMICOS PARA TOMA DE DECISIONES YEVALUACION DE ALTERNATIVAS 223

5.1 EVALUACION ECONOMICA DE PROYECTOS 224

5.2 ANALISIS POR MEDIO DE FLUJOS NETOS 224

5.3 INTERS DE OPORTUNIDAD Y RIESGO 225

5.4 CRITERIOS CON BASE EN LA DIFERENCIA ENTRE INGRESOS YEGRESOS 225

5.4.1 Valor Presente Neto (Vpn). 226

5.4.2 Valor Futuro Neto (Vfn). 228

5.4.3 Valor Anual Neto (Van). 229

5.4.4 Relacin Entre Vpn, Vfn, Van El Vpn. 230

5.5 CRITERIO RELACIN BENEFICIO/COSTO(B/C) 231

5.6 CRITERIOS CON BASE EN LA RENTABILIDAD OBTENIDA 232

5.6.1 Tasa Interna De Retorno (Tir). 232

5.6.2 Verdadera Rentabilidad (Vr). 234

5.7 CRITERIOS CON BASE EN EL MONTO FINAL ACUMULADO 237

5.7.1 Valor Futuro De Los Flujos De Fondo (Vfff). 237

5.8 CRITERIOS CON BASE EN EL TIEMPO DE RECUPERACION DE LAINVERSION 238

5.8.1 Periodos De Recuperacin En Pesos Corrientes Y Sin Inters. 238


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5.8.2 Periodo De Recuperacion En Pesos Corrientes Incluyendo I*. 238

5.8.3 Periodo De Recuperacion En Pesos Constantes. 238

5.9 EVALUACION DE ALTERNATIVAS 238

5.9.1 Clasificacion De Las Alternativas 239

5.10 CRITERIOS DE EVALUACION SEGUN EL TIEMPO DEALTERNATIVAS 240

5.10.1 Alternativas Con Beneficios Diferentes, Mutuamente Excluyentes,

Igual Vida Y Diferente Inversion. 2405.10.2 Alternativas Con Diferentes Beneficios, Mutuamente Excluyentes,Diferente Vida E Inversion. 241

5.10.3 Alternativas Independientes Con Diferentes Beneficios, Vida EInversion. 241

5.10.4 Alternativas Complementarias. 242

5.10.5 Alternativas Que Producen Iguales Beneficios. 242

ANEXO 252


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INTRODUCCION

El presente libro es un texto a nivel introductorio para un primer curso en

ECONOMIA PARA INGENIEROS, para estudiantes de Ingenieras.

Este texto busca facilitar al estudiante, la consulta precisa pero profunda para el

desarrollo de labores acadmicas en el rea de economa para ingenieros.

Creemos que este enfoque es el que mejor se adapta a las necesidades de estoslectores, por que les permite concentrarse en aplicaciones que tiene la Economa

en las diversas ramas de la ingeniera, adems creemos que el libro tambin

puede servir como un til libro de consulta.

Nuestro objetivo central del texto y del curso es el de dar la herramienta que nos

ayuda a explicar de una forma sencilla y fcil los diferentes conceptos financieros

y econmicos bsicos para entender, analizar y evaluar situaciones y alternativas

de inversin y endeudamiento.

Los temas que se trataran en el presente texto, se encuentran ordenados de una

forma comprensible para estudiantes de Ingenieras, donde cada uno de los temas

se subdivide en grandes captulos que, a su vez, se subdividen en mdulos; con el

objetivo de que el lector pueda identificar rpidamente el tema que le interese.

Dentro del mdulo, la titulacin permitir, de un vistazo rpido, decidir cul tema

se requiere consultar.


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Este texto est cuidadosamente ilustrado, tiene cuadros, tablas que constituyen en

si mismos mdulos de informacin autnoma.

Utilidad en si, es el fin perseguido en este texto, por eso se espera que sea degran ayuda para el estudio del curso de Economa Para Ingenieros.


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CAPITULO I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.1 DINERO

Bsicamente los economistas definen dinero como algo que es generalmente

aceptado para el pago de bienes y servicios o cancelacin de deudas. Los billetes

y monedas entonces encajan en esta definicin; pero tambin los cheques son

aceptados, luego los saldos en cuenta corriente constituyen dinero. De otro lado la

palabra dinero (plata) es comnmente usada para referirse a riqueza "Ardila tienemucha plata"; involucrando no solo dinero sino todo tipo de propiedades.

Igualmente es usada esta palabra para referirse a ingresos "Un ejecutivo gana

mucha plata".

1.1.1 Que Ha Sido Histricamente Y Que Es El Dinero?. De una u otra forma

diversos artculos han sido usados como dinero en distintos tiempos: Granos, lana,

tabaco, metales, etc. La caracterstica que todos ellos compartieron fue escasez,

adicionalmente durabilidad y divisibilidad pero ante todo su aceptacin general. La

principal funcin del dinero es facilitar el intercambio de bienes y servicios. A

diferencia de un sistema econmico primitivo basado en el trueque, el intercambio

con dinero le imprime facilidad y eficiencia a las transacciones. El dinero no slo

reduce el tiempo y esfuerzo dedicado al intercambio sino que permite la divisin y

especializacin de trabajo.

1.1.2 Propiedades Bsicas Del Dinero.

Servir como medio de intercambio

Servir como valor almacenable


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La primera es la propiedad ms evidente del dinero al ser usado para la compra

de bienes y servicios, adicionalmente el dinero al ser almacenado en busca de

compra de bienes y servicios en el futuro, sirve temporalmente como medio para

almacenar poder adquisitivo (An cuando esta propiedad es rpidamentecontrolada por la inflacin al menos en parte debe cumplirse); por ltimo el dinero

permite que los precios de los bienes y servicios se den de acuerdo a un mismo

standard o unidad contable.

Hoy se habla de dinero plstico, sper dinero e incluso sociedad sin dinero fsico

para referirse a operaciones automatizadas de transferencia de fondos de todo

tipo con base en algn tipo de tarjeta que rene informacin sistematizada sobresaldos disponibles por cada individuo en un sistema y que se actualice

constantemente con cada transaccin. Esto sera posible en un futuro con los

avances de infraestructura y de las comunicaciones y sera lgico pensar en que

este tipo de sistemas predomina por su seguridad, agilidad y eficiencia. De

cualquier forma las propiedades presentadas se seguirn dando y tal vez aunque

sea en un volumen relativamente pequeo el dinero fsico seguir siendo

necesario.

1.1.3 Banco De La Repblica.

Funciones.

A travs del Banco se cumplen las disposiciones relativas al control monetario, de

crdito y de cambio que dicte la Junta Monetaria.

Es el encargado de computar el ingreso nacional del pas.

Es el Banco emisor del pas, maneja la Casa de la Moneda de Bogot encargada

de la acuacin de la moneda fraccionaria.


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Administra las reservas de oro y moneda extranjera en Colombia.

Es el Banquero y Fiscal del Gobierno.

Encargado de guardar las reservas en efectivo de los bancos y liquidador de las

deudas y acreencias entre ellos. El encaje de estas instituciones debe mantenerse

como depsitos disponibles sin intereses.

Acta como banquero de los Bancos particulares y oficiales, Corporaciones

Financieras, Fondo Nacional del Caf, Fondos Ganaderos e Instituciones de

Desarrollo Cooperativo.

Administrador y Banquero de PROEXPO, FIP, Fondo de Desarrollo Industrial y

Desarrollo Elctrico.

Administra y maneja los convenios de pago suscritos con otros pases.

Depositario en Colombia de las disponibilidades del Fondo Monetario

Internacional, Banco Mundial, Banco Interamericano de Desarrollo.

Funciones relativas al cambio y comercio exterior.

1.2 CUANTIFICACIN DEL DINERO

Para determinar cuanto dinero hay en una economa se debe medir lo que esaceptado para el pago de bienes y servicios.


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Esta medicin puede hacerse incluyendo lo que es generalmente aceptado para el

pago de bienes y servicios, o menos estrictamente incluyendo en una medida

cada vez ms amplia otros instrumentos menos lquidos hasta llegar a una oferta

monetaria ampliada.

1.2.1 Medios De Pago (M1). Es la concepcin ms bsica de dinero, consistente

con la definicin ya expresada de dinero. Incluye solo al efectivo en circulacin

mas los depsitos en cuenta corriente.

M1 = Efectivo + Depsitos en Cuenta Corriente

Para 1998 los medios de pago (M1) alcanzaron un valor cercano a los nueve

billones de pesos. Con un crecimiento a Junio cercano al 2% anual. Muy inferior al

crecimiento del resto de la dcada que oscilaba entre el 9% y el 45%.

1.2.2 Otras Medidas Del Dinero.

M2:Le adiciona a los medios de pago lo que se denominan cuasidineros, que son

otros instrumentos con cierto grado de liquidez pero que no son generalmente

aceptados para el pago de bienes y servicios. Se incluyen las cuentas de ahorro

tradicional, las cuentas de ahorro en UPAC, CDTs en general.

M2 = M1 + CUASIDINEROS

M3: Le adiciona a M2 los depsitos a la vista, los depsitos fiduciarios y lascdulas del BCH en poder del pblico.


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M3 = M2 + Depsitos a la vista + Depsitos fiduciarios + Cdulas del BCH en

poder del pblico.

M3 + BONOS: Es el agregado utilizado para medir la oferta monetaria ampliada yes considerado como un indicador ms certero para el control del dinero y la

poltica monetaria puesto que involucra realmente todos los instrumentos y la

generacin de crdito por parte del sistema financiero. A mediados de 1998 su

valor ascenda a los 54 billones de pesos con una variacin cercana al 1% anual.

M3 + Bonos = M3 + Bonos del sistema financiero

1.3 INTERS

Quien est en posesin del dinero tiene ventaja relativa respecto a quien no. Esta

ventaja, est reflejada en las mltiples posibilidades de intercambio mediante las

cuales se puede generar utilidad; en esencia esta es la razn de ser del inters.

1.3.1 Definicin. Inters se puede definir como la retribucin pagada o recibida

por el uso del dinero. Inters es la renta que se paga por utilizar el dinero ajeno

que se recibe por invertir nuestro dinero. Estas situaciones se presentan en

diferentes formas, es conveniente desarrollar una serie de relaciones de

equivalencia mediante las cuales se puede evaluar con certeza el rendimiento

obtenido de una determinada inversin o el costo real que representa una

determinada fuente de financiamiento.

A continuacin pasaremos del plano cualitativo al plano cuantitativo para definir el

inters y su uso en las relaciones financieras de equivalencia.


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1.3.2 Variables Que Inciden Sobre El Inters. Adicionalmente el inters puede

ser mayor menor dependiendo de una serie de factores como son:

Riesgo.Una alternativa que no presenta riesgo es preferida a otra con igualinters y algn nivel de riesgo. Algunos inversionistas estn dispuestos a afrontar

un determinado nivel de riesgo tratando de obtener una mayor rentabilidad; es

decir a mayor nivel de riesgo mayor ser el inters.

Inflacin.Es importante hacer nfasis a la relacin entre tasas de inters y

tasas de inflacin; la inflacin es el porcentaje de incremento en el nivel general de

precios. Diversas economas (pases) presentan diversas tasas de inflacin y deinters, se observa que en pases con mayor nivel de inflacin tienen a su vez

mayores tasas de inters y esto es lgico ya que un inversionista busca

incrementar durante el periodo de la inversin no slo el monto del dinero invertido

sino su capacidad de compra, es decir, que al final de la inversin, con el dinero

obtenido se pueda comprar mayor nmero de bienes y servicios de los que poda

adquirir al comienzo de la inversin. Por lo tanto desde este punto de vista entre

mayor sea la inflacin mayor ser el inters.

Dinero Circulante. El dinero, al igual que cualquier otra mercanca, est

sujeto a las fuerzas de oferta y demanda que sobre l se ejercen. El gobierno de

todo pas ejerce un control sobre el dinero en circulacin y para ello efecta las

llamadas OMAS*en las que segn su conveniencia, compra vende papeles del

gobierno, para expandir contraer el dinero circulante; otra forma de control es el

encaje bancario, donde todo banco debe depositar en el Banco de la Repblica un

porcentaje de sus captaciones y segn sea el caso el gobierno puede incrementaro disminuir dicho porcentaje. Si el dinero circulante se incrementa, existirn ms

pesos para comprar y el mismo nmero de bienes y servicios, lo cual genera por

fuerzas de oferta y demanda un incremento en el nivel de precios, lo que significa


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inflacin. El dinero puede ser demandado para realizar algn proyecto; entre

mayor nmero de proyectos exista y mayor sea su rentabilidad esperada (Tasa de

crecimiento de la economa), es de esperarse que las tasas de inters sean

mayores. *Operaciones de Mercado Abierto

Comercio y Finanzas Internacionales. A nivel internacional, la moneda de

un pas est tambin sujeta a fuerzas de oferta y demanda relacionadas con el

comercio exterior y las inversiones internacionales. El precio de una moneda est

reflejado en su tasa de cambio respecto a las otras monedas, si mucha gente

adquiriera pesos para realizar inversiones en Colombia comprar productos,

dicho incremento en demanda generara un incremento del valor del pesorespecto a otras monedas revaluacin del peso, pero si los colombianos

adquirieran dlares para comprar artculos en el exterior para realizar

inversiones externas, la tasa de cambio del peso respecto al dlar aumentara y

esto es llamado devaluacin. Si aumentara la demanda de dlares se generara

una devaluacin del peso en busca de equilibrio, desde este punto de vista la

inflacin gener devaluacin. En general entonces los niveles de inflacin,

devaluacin e inters estn interrelacionados.

Acciones Gubernamentales:Se debe tomar en cuenta que el gobierno juega

un rol importante no solo como regulador, sino como actor en el mercado

financiero, ya que l en algunos casos es un captador importante de dinero con lo

cual el inters tiende al alza, en otros casos un inversionista fuerte y en general

muchas de sus acciones inciden sobre el inters.

1.3.3 Cuantificacin Del Inters. Desde el punto de vista de un prstamo,

Inters es el costo del capital, es decir, es la suma pagada por el uso del dinero

ajeno y desde el punto de vista de un inversionista es el retorno obtenido, monto


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adicional al dinero invertido; el inters expresado como porcentaje del dinero

invertido es denominado rentabilidad.

1.3.4 Tasa De Inters. Desde el punto de vista de un proyecto deendeudamiento, la tasa de inters es la diferencia entre la suma cancelada al final

del periodo y la suma que se recibe en prstamo, dividida por la suma recibida

inicialmente. Generalmente se expresa como un porcentaje para un periodo de

tiempo determinado.

1.3.5 Tipos De Inters. El inters puede ser simple o compuesto, dependiendo

de si el inters acumulado al comienzo de un periodo es considerado para elclculo del inters al mismo periodo.

Inters Simple. El inters por periodo es calculado con base en el capital que

se posee al comienzo del periodo sin tenerse en cuenta el posible inters

acumulado al comienzo del mismo.

Inters Compuesto. El inters se calcula con base en el capital inicial ms

cualquier suma de inters acumulado al principio del periodo.

NOTA: En adelante, siempre que se hable de inters se estar haciendo

referencia a un inters compuesto.

1.3.6 Algunas Tasas De Inters Importantes.

Tasas de captacin de Intermediarios financieros.

DTF:Es la tasa de captacin, promedio para los depsitos a trmino fijo a 90 das

realizado por los Bancos Comerciales, las Corporaciones Financieras y las


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Compaas de Financiamiento comercial. Su clculo se realiza semanalmente

como el promedio ponderado de todas las captaciones efectuadas por las diversas

Instituciones Financieras. (Tambin existe el clculo para 180, 360 das).

TBS:Es similar al DTF, pero slo para Bancos y mide diversos plazos desde 7

das hasta un ao. Las tasa de Captacin de las dems Instituciones Financieras

se miden con puntos porcentuales diferenciales respecto a la TBS.

TCC:Es la tasa de captacin de Corporaciones.

Correccin Monetaria. Es la tasa de variacin de la UPAC (Unidad de poderadquisitivo constante). Es la tasa usada en las Corporaciones de Ahorro y

Vivienda y se calcula como el 74% de la DTF promedio en las 4 semanas previas

al mes que se esta calculando.

Tasas Burstiles.

TCBmercado Primario en la bolsa de Medelln. : Es la tasa de captacin Burstil

para CDT (certificado de Depsito a Trmino), emitidos en el.

TRB: Es la tasa de Rentabilidad Burstil, para ttulos de renta fija. (CDT

Aceptacin, ttulos de participacin, papeles comerciales, etc.) que se negocian en

el mercado secundario (cuando pasa de un inversionista a otro, a diferencia del

primario que es cuando recin se emiten los ttulos).

IRBB:ndice de rentabilidad de la bolsa de Bogot, para papeles de renta fija.

IBOR:ndice de rentabilidad de la bolsa de occidente, para papeles de renta fija.


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Tasas Internacionales.

Prime Rate: Es la tasa de colocacin, de los Bancos de Estados Unidos a sus

buenos clientes.

LIBOR: (London InterBank Offered Rate) Es la tasa de inters interbancaria, o

sea a la que unos bancos muy grandes que trabajan con captaciones y

colocaciones en Eurodlares o Euromonedas, en general le prestan a otros

bancos. Se utiliza adicionalmente como referencia para crditos internacionales.

TASAS DE INTERS DE CAPTACINTOTAL SISTEMA - EFECTIVO ANUAL

PROMEDIO MENSUAL ( Porcentaje)

Mes 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Enero 33.90 35.81 31.94 26.07 25.68 32.82 32.66 25.78 24.67

Febrero 33.32 33.87 28.38 25.55 25.27 34.89 32.39 25.48

Marzo 34.06 36.13 29.97 26.09 25.31 35.03 32.90 25.10

Abril 34.94 32.27 26.98 26.22 25.25 35.69 33.09 24.33

Mayo 34.47 35.79 24.26 25.79 26.21 34.63 31.58 23.38

Junio 35.04 36.23 22.11 26.02 28.30 33.33 31.36 23.21

Julio 36.23 36.78 21.39 25.58 28.94 29.81 31.84 22.96

Agosto 35.36 38.52 25.50 24.33 31.07 29.11 30.07 23.07

Septiembre 36.37 38.62 27.26 24.26 30.94 30.91 28.12 22.87

Octubre 36.75 37.62 27.66 24.88 33.05 29.51 28.14 23.54

Noviembre 36.15 37.20 26.87 25.44 36.27 29.54 28.06 24.09

Diciembre 37.52 36.39 26.98 26.37 37.87 33.58 27.76 24.32

Fuente: Encuesta semanal de la Superintendencia Bancaria, a

bancos, corporaciones financieras, compaas de financiamiento

comercial y corporaciones de ahorro y vivienda.


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EJERCICIOS

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Tasa de inters.

Cul ser la tasa de inters aplicada al prestar $1.000 hoy, para cancelar $1.200

al final de 1 ao? Definiendo la tasa de inters como "i" se tendra:

i = ( 1200 - 1000 ) / 1000

i = 0.2 20%

La respuesta se puede dar en forma porcentual o decimal como se prefiera. Se

pagarn entonces $200 por intereses, y el inters ser el 20%. Cuando estamosevaluando un proyecto, al tomar la decisin, se debe tener un punto de

comparacin (inters mnimo) a partir del cual, el inters de una alternativa ser

atractivo no.


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2. Inters Simple.

Qu cantidad de dinero se poseer despus de prestar $1.000 al 30% de inters

simple anual durante dos aos?

....|_______________________|_______________|

$1.000...........................$1.000 + $300 ................$1.000 + $300 + $300

Al final del primer ao se tiene los $1.000 ms los $300 por inters; y al final del

segundo ao se tendr los $1.000 iniciales, $300 por inters del primer ao y $300

por inters del segundo ao ($1.600).

3. Inters Compuesto.

Qu cantidad de dinero se poseer despus de prestar $1.000 al 30% de inters

compuesto anual durante dos aos?

....|_______________________|_______________|

$1.000...........................$1.000 + $300 .....................$1.300 + $390

Al final del primer ao se tiene $1.300. Para el segundo ao el clculo ser sobre

los $1.300 que se poseen al comienzo del periodo, y no solo sobre los $1.000

iniciales; por tanto los intereses causados en el segundo ao son:

Primer ao = $1.000 x 0.30 = $300

Segundo ao = $1.300 x 0.30 = $390

Suma final = $1.300 + $390 = $1.690


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1. Una entidad financiera ofrece duplicar el dinero invertido en 5 aos. Cul

sera la tasa de inters efectiva mensual y anual obtenida en dicha inversin?

DATOS :

P = Cantidad inicial

F = 2P (Cantidad final)

n = 5 aos = 60 meses

i (mensual)= ?

i(anual)=?

Utilizando la frmula:

F=P(1+i) ^n

Despejo:

i = (F/P)^(1/n) - 1

2P = P (1+i)^n

i = (2) ^ (1/n)1

Reemplazando valores:

i (m) = (2) ^ (1/60)1 = 0.0116 (1.16% mensual)

i (a) = (2) ^ (1/5)1 = 0.1487 (14.87% anual)


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2. Su familia adquiri un lote al inicio de 1972 por el valor de $10000.000 y acaba

de hacer un negocio para venderlo al final del ao 2007 por $640000.000. Qu

tan rentable fue el negocio?

DATOS :

P = $10000.000

F = $640000.000

n = 36 aos = 432 meses del inicio de 1972 al final de 2007

i (mensual)= ?

i(anual)=?

Utilizando la frmula:

F=P(1+i) ^n

Despejo:

i = (F/P)^(1/n)1

Reemplazando valores:

i (a) = (640/10) ^ (1/36)1 = 0.1224 (12.24% anual)

i (m) = (640/10) ^ (1/432)1 = 0.00967 (0.967% mensual)

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio1. Qu cantidad de dinero se poseer despus de prestar $99.000 al

22% de inters compuesto anual durante tres aos?

Ejercicio2. Qu cantidad de dinero se poseer despus de prestar $99.000 al

22% de inters simple anual durante tres aos?


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Ejercicio3. Cul ser la tasa de inters aplicada al prestar $99.000 hoy, para

cancelar $180.000 al final de 1 ao?


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CAPITULO II. DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA

2.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA

Un diagrama de flujo de caja es la representacin grfica de los ingresos y

egresos ocasionados durante la vida de un proyecto. Se emplean en estos

diagramas flechas verticales, que sealando hacia arriba representan un flujo de

caja positivo (INGRESO), y sealando hacia abajo representan un flujo de caja

negativo (EGRESO). Cada flecha parte de una lnea horizontal que representa eltiempo, y est subdividida en periodos (das, meses, etc.).

Esta representacin grfica ser utilizada a lo largo de este tutorial para

ilustrar cualquier proyecto de inversin o endeudamiento.

2.2 VALOR DEL DINERO A TRAVS DEL TIEMPO

Este concepto significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor

si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de inters es mayor


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que cero. Es importante reconocer que un peso que se recibe en el futuro valdr

menos que un peso que se tenga actualmente, debido a que el dinero puede

ganar un cierto inters cuando se invierte por un periodo determinado.

RELACIONES ENTRE CANTIDADES DE DINERO SITUADAS ENTRE

DIFERENTES PERIODOS DE TIEMPO

Existe hoy (momento cero) una cantidad de dinero P, sobre la cual se genera un

inters compuesto i en cada periodo de tiempo (das, meses, bimestres,

trimestres, ao, etc.).

Se desea conocer el monto total acumulado en un tiempo determinado. Sea:

P : Valor presente

F : Valor futuro

n : nmero de periodos entre P y F

i : tasa de inters por periodo (%)

La cantidad final acumulada "F" depende del nmero de periodos "n" as:

Si n = 1.Cuando ha transcurrido un periodo tenemos la cantidad inicial (P) ms el

inters generado en ese periodo ("P" multiplicado por la tasa de inters "i").

Utilizando la nomenclatura definida se tendra :


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F = P + P * ( i ) = P * (1+i)

Cuando ha transcurrido un periodo tenemos la cantidad inicial ms el inters

generado en ese periodo.

Si n = 2. Cuando han transcurrido dos periodos tenemos la cantidad obtenida

hasta el primer periodo (P(1+i)), ms el inters generado por esa cantidad en el

segundo periodo. De forma que el monto acumulado al final del segundo periodo

ser:

F = P * ( 1+i ) + P * ( 1+i ) * i = P * (1+i) ^ 2

Si n = 3.Para un tercer periodo tenemos la cantidad acumulada hasta el segundo

periodo (P(1+i)2) ms el inters generado por dicha cantidad en el nuevo periodo.

F = P * ( 1+i ) ^2 + P * ( 1+i ) ^2 * i = P * ( 1+i ) ^3


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En forma general podemos deducir la relacin para n periodos de tiempo:

[ 1 ]

e inversamente,

[ 2 ]

En la relacin bsica desarrollada F= P(1+i)n existen cuatro variables P, F, i, n.

2.3 SERIE UNIFORME (A)

Es un flujo uniforme que se presenta durante n periodos de tiempo (mes, trimestre,semestre, etc.) consecutivos, cada uno de ellos con un valor A.

Grficamente se representa de la siguiente forma:


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26

RELACIN DE EQUIVALENCIA ENTRE UNA SERIE UNIFORME (A) Y UN

VALOR FUTURO (F) SITUADO EXACTAMENTE AL FINAL DE LA SERIE

(PERIODO n)

Sea:

P: Valor presente

A: Valor de la serie uniforme

n: nmero de flujos de la serie uniforme

i: tasa de inters peridica

El valor futuro podra ser expresado como la suma de cada uno de los flujosindividuales "A" trasladados hacia el periodo "n", as:

Supongamos que cada A es un valor presente ubicado en su respectivo periodo.

En la expresin bsica F= P (1+i)n ; P representa un monto situado atrs con

relacin a F y n es el nmero de periodos que separan a P de F.

Anlogamente:

Para el valor presente A situado en el periodo 1: F = A (1+i) ^ (n-1)



Para el valor presente A situado en el periodo n-1: F = A(1+i) ^(n - (n-1)) = A(1+i)

Para el valor presente A situado en el periodo n: F = A(1+i)^(n-n) = A

Para obtener el valor futuro de la serie uniforme, se deben sumar los valores

futuros generados por cada A en los diferentes periodos:(1) F= A(1+i)^(n-1) + A(1+i)^(n-2) + A(1+i)^(n-3) + ... + A(1+i) + A

Multiplicando (1) por (1+i) se obtiene:


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27

(2) F(1+i)= A(1+i)^n + A(1+i)^(n-1) + A(1+i)^(n-2) + ... + A(1+i)^2 + A(1+i)

Y al hacer la substraccin (2) - (1) se obtiene:

F(i)= A(1+i)^n - A

Finalmente se obtiene la expresin:

[ 3 ]

e inversamente

[ 4 ]

RELACIN DE EQUIVALENCIA ENTRE UNA SERIE UNIFORME (A) Y UN

VALOR PRESENTE (P) SITUADO UN PERIODO ATRS DEL PRIMER FLUJO

DE LA SERIE


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28

Combinando la expresin

[4]

con la expresin [1] F=P(1+i)n se

obtiene:

[ 5 ]

inversamente:

[ 6 ]

OTRA FORMA DE NOTACIN DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Las relaciones de equivalencia que hemos obtenido hasta el momento tienen la

forma:

Donde:

Y: Valor buscadoX: Valor conocido

(Y / X, i, n): Factor de equivalencia que se lee :

"Dado un X, hallar un Y, al i % en n periodos".

Con esta forma de notacin las relaciones de equivalencia son:


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29

[1] F = P ( F / P , i , n )

[2] P = F ( P / F , i , n )

[3]F = A ( F / A , i , n )

[4]A = F ( A / F , i , n )


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30

[5]A = P ( A / P , i , n )

[6] P = A ( P / A , i , n )

Una forma simple y rpida de hallar los factores de equivalencia es realizando

programas sencillos de calculadora que pida los valores de i y de n, obtenindose

un resultado muy preciso. Otra forma (la tradicional) es utilizando las tablas de

factores. Sin embargo las tablas jams podrn presentar todas las combinaciones

para los posibles valores de tasas de inters y nmero de periodos, requirindose

en muchos casos de interpolaciones que conducen a resultados inexactos.


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31

Ejemplos

3. Usted decide invertir durante un ao, al final de cada trimestre $100.000.

Cunto habr acumulado al final del ao si los depsitos obtienen un inters del2,5% trimestral?

DATOS :

F = ?

n = 4 trimestres

i = 2,5% trimestral

F1= 100.000

F2= 100.000 (1+0.025)1= 102,500

F3= 100.000 (1+0.025)2= 105062,5

F4= 100.000 (1+0.025)3= 107689,06

FT= F1+ F2 + F3 + F4 = 415251,56


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32

O usando frmula para serie uniforme:

F = A [ ( 1 + i )n- 1 ] / i

F = 100.000 [ ( 1 + 0,025 )4- 1 ] / 0,025F = $415251,56

Cuanto debera haberse depositado, para obtener el mismo valor final, si el

momento del deposito hubiera sido al principio y no al final de cada trimestre.

Aant (1+i) = A

Aant = A / (1+i)

F = Aant (1+i) [ ( 1 + i )n- 1 ] / i

F = (100.000 / 1,025)(1,025) * [ ( 1 + 0,025 )4- 1 ] / 0,025

F = $415251,56

* Cuanto debera haberse depositado para obtener el mismo valor final si al

momento del depsito hubiera sido al inicio y no al final de cada trimestre


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33

F=415251.56

A=?

0 4

i=2.5%

Aplicando la formula

Se obtiene

4. Su empresa recibe un prstamo a corto plazo (1 ao) el cual deber ser

cancelado mediante cuotas trimestrales fijas (cuota trimestral vencida) si el

prstamo es de y la tasa de inters es del 3% trimestral, determine el

valor de la cuota a pagar


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34

P=10'000.000

A=?

0 4

i=3%


Remplazando

Se obtiene

Cual hubiera sido el valor de las cuotas si paga anticipado?


Se obtiene


35/282

35

5. Cual ser el valor de la cuota a pagar en el prstamo anterior si el plazo

hubiera sido dos aos y las cuotas del segundo ao fueran planeadas para

incrementarse en un 10% respecto al primer ao

P=10'000.000

A1

0 4

i=3%

8

A2=1.1A1

Resolviendo

Obtenemos

Como


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36

tem Val o r

prstamo 10.000.000,00

plazo aos 2

Periodos 4

inters

trimestral 0,030

Periodo

Trimestral

Saldo

inicial

Inters

causado

Cuota a

pagar

Abono a

capital

Saldo

final1 10000000 300000 1360553,18 1060553,183 8939446,82

2 8939446,817 268183,4045 1360553,18 1092369,778 7847077,04

3 7847077,039 235412,3112 1360553,18 1125140,872 6721936,17

4 6721936,167 201658,085 1360553,18 1158895,098 5,563E+06

5 5,563E+06 1,669E+05 1496608,501 1329717,269 4,233E+06

6 4,233E+06 1,270E+05 1496608,501 1369608,787 2,864E+06

7 2,864E+06 8,591E+04 1496608,501 1410697,051 1,453E+06

8 1,453E+06 4,359E+04 1496608,501 1453017,962 -4,424E-09

6. Si la modalidad del pago se mantuviera a dos aos con cuotas fijas trimestrales

vencidas y en lugar de aumentar en el segundo ao tuviramos unas cuotas

extraordinarias al final de cada semestre por valor de Cul seria el

valor de las cuotas a pagar?


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37

P=10'000.000

A

0 4

i=3%

8

140.000

Resolviendo

Se obtiene

tem Valor

Prstamo 10000000

plazo aos 2

Periodos

trimestrales8

inters trimestral 0,03

cuota

extraordinaria140000

inters semestral 0,0609

periodos

semestrales4


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38

Periodo

Trimestral

Saldo

inicial

Inters

causado

Cuota a

pagar

Abono a

capital

Saldo

final

1 10000000 300000 1355598,371 1055598,371 8944401,629

2 8944401,629 268332,0489 1495598,371 1227266,322 7717135,307

3 7717135,307 231514,0592 1355598,371 1124084,312 6593050,995

4 6593050,995 197791,5298 1495598,371 1297806,841 5295244,154

5 5295244,154 158857,3246 1355598,371 1196741,046 4098503,107

6 4098503,107 122955,0932 1495598,371 1372643,278 2725859,83

7 2725859,83 81775,79489 1355598,371 1273822,576 1452037,253

8 1452037,253 43561,1176 1495598,371 1452037,253 -5,3551E-09

***Cul ser el saldo al cabo del primer ao con las dos modalidades de pago?

(una vez pagado la cuota?

P=10'000.000

1'496.623

0 4

i=3%

8

1'360.566


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39

2.4 GRADIENTE

En ocasiones se pueden presentar flujos peridicos que cambian periodo a

periodo en una determinada cantidad o porcentaje; en stos casos se dice queexiste un GRADIENTE.

Analizando la forma de aumento (o disminucin) del flujo podemos clasificar el

gradiente como Gradiente Aritmtico o Gradiente Geomtrico.

2.4.1 Gradiente Aritmtico (G). Un gradiente, a diferencia de una serie uniforme,

es un flujo que vara cada periodo. Si la variacin periodo a periodo es un valorconstante G se dice que es un gradiente aritmtico y si dicha variacin fuere

porcentual tomara el nombre de gradiente geomtrico.

Tomemos inicialmente el caso del gradiente aritmtico y especficamente del

gradiente aritmtico positivo (o creciente) que se presenta cuando el flujo crece tal

como se observa en la siguiente grfica.

Relacin de equivalencia entre un Gradiente Aritmtico (G) y un valor futuro

(F)


40/282

40

Donde:

G : Valor del GradienteF: Valor futuro

i : Tasa de inters compuesto por periodo

n : nmero de periodos

Analicemos cada uno de los flujos:

Para el segundo periodo en el que se presenta el primer flujo (G) y tomando este

G como un valor presente, el valor futuro generado sera:

F = G * ( 1+i )^( n-2 )

(n-2 es el nmero de periodos entre el primer flujo G y el periodo final n).

Para el tercer periodo en el que se presenta un flujo de valor 2G; el valor futuro

generado sera:

(1) F = 2 * G * ( 1+i )^( n-3 )

(n-3 puesto que el inters se genera a partir del periodo 3).

Para el periodo n-1 el flujo es (n-2)G, por tanto, el valor futuro generado es:

(2) F = (n-2) * G * (1+i)^(n - (n-1)) = (n-2) * G * (1+i)


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41

En el periodo n, el flujo (n-1)G es el mismo valor futuro puesto que no genera

inters.

El valor futuro generado por el Gradiente Aritmtico es la suma de cada uno de losvalores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos.

Obtendremos:

(3) F= G * ( 1+i )^(n-2) + 2G * (1+i)^(n-3) + ... + (n-2)G * (1+i) + (n-1) * G

Multiplicando por el factor (1+i)

(4) F(1+i)= G(1+i)^(n-1) + 2G(1+i)^(n-2) +...+ (n-2)G(1+i)^2 + (n-1)G(1+i)

Restando (3) de (4) se obtiene:

(5) F(i) = [G(1+i)^(n-1) + G(1+i)^(n-2) +...+ G(1+i)^2 + G(1+i) + G] - nG

Obsrvese que la parte sealada (con letra inclinada) es similar a la ecuacin (1)

obtenida en el anlisis de la serie uniforme cuya frmula general es [3].

Podemos escribir:

(6)

Finalmente despejamos

[7]


42/282

42

e inversamente

[8]

Relacin de equivalencia entre un Gradiente Aritmtico (G) y un valor

presente (P)

Recordemos que [2] : F = P * (1+i) ^n

Reemplazando [2] en [7] tenemos:

P * (1+i) ^n = G * [ (1+i)^n -1 - n * i] / i^2

Luego,

[9]

e inversamente


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43

[10]

Relacin de equivalencia entre un Gradiente Aritmtico (G) y una Serie

Uniforme (A)

De la relacin [3]r

Reemplazando [3] en [7]

[11]

e inversamente


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44

[12]

G= A[(i)(1+i)n- i)/ ((1+i)n-1-n(i))]

7. Los $ 10000000 del prstamo trimestral se van a pagar en una cuota creciente

en $ 50000 Cul ser el valor de la primera cuota trimestral?

P=10'000.000

0 4

i=3%

8

A

A+50.000

A+100.000

A+350.000


Remplazando


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45

Cuota trimestral:

***Cul ser el valor de la primera cuota si trimestralmente decreciera ?

Resolviendo

El valor de la primera cuota es

Gradiente Aritmtico Decreciente (negativo). En algunos casos el flujo

(ingresos egresos), presenta una disminucin constante G en cada periodo.

Por ejemplo, observemos el siguiente flujo de egresos:

Como en cada periodo disminuye una cantidad G (en este caso G=100.000)

respecto al periodo anterior a partir del primer flujo, se dice que es un

GRADIENTE ARITMTICO DECRECIENTE NEGATIVO.


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46

La evaluacin de ste tipo de flujo es: Tomar una serie uniforme con el primer

valor del flujo y a sta, restarle un Gradiente Aritmtico (G) para quitar el exceso

de la siguiente forma:

P= 500.000 (P/A, i%,4) - 100.000(P/G, i%,4)

El mismo tratamiento se dar para un flujo de ingresos:

P= 500.000(P/A, i%,4) - 100.000(P/G, i%,4)

2.4.2 Gradiente Geomtrico (C). Este tipo de gradiente se presenta cuando el

flujo crece cada periodo un porcentaje constante (Delta : D), siendo C el flujo

inicial.


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47

Relacin de equivalencia entre un Gradiente Geomtrico (C,D ) y un valor

futuro (F)

Donde:

C : Valor inicial del Gradiente Geomtrico

D : Porcentaje compuesto de crecimiento por periodo

i : Tasa de inters compuesto por periodo

n : Nmero de periodos

F : Valor futuro

Analicemos cada uno de los flujos:


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48

Para el primer periodo se presenta el flujo inicial C, tomando este C como un valor

presente, el valor futuro generado sera:

F = C (1+i)^(n-1)

Para el periodo (n-1), el flujo es C(1+D )^(n-2) y el valor futuro correspondiente:

F= C (1+i)(1+D )^(n-2)

En el periodo n, el flujo es C(1+D )^(n-1) y no genera inters puesto que es el

ltimo periodo. El valor futuro generado por el gradiente geomtrico es la suma de

cada uno de los valores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos.Efectuando esta suma se obtiene:

(5) F = C (1+i)^(n-1) + C(1+D )(1+i)^(n-2) + . . . +

C(1+D )^(n-2)(1+i) +C(1+D )^(n-1)

Tratando de que cada elemento en la serie equivalga al anterior multiplicamos por

el factor (1+i) y dividimos por el factor (1+D ):

(6)F

=C

+C(1+i)n-

1 + ...

+C(1+D

)n-

3(1+i)2

+

C(1+D

)n-

2(1+i)


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49

Restando (5) de (6):

F =

C

-

C(1+D

)n-1

[13]

para todo i D

[14]

para todo i D

(1:Diferente)

Si i = D , la ecuacin (5) se convertira en:

F= C(1+i)^(n-1) + C(1+i)(1+i)^(n-2) + ... + C(1+i)^(n-2)(1+i) + C(1+i)^(n-1)

luego,

[15]


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50

para i = D

[16]

para i = D

Teniendo en cuenta que F=P(1+i)n obtenemos las frmulas:

[17]

[18]

Relacin de equivalencia entre un Gradiente Geomtrico (C,D ) y un valor

presente (P)


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51

Reemplacemos [2] en [13]

P(1+i)n= C *(1+i)n - (1+D )n/(i-D )

luego,

[19]

[20]

De manera similar, es decir, haciendo los reemplazos necesarios, podemos

encontrar relaciones de equivalencia entre:

- Gradiente Geomtrico y Serie Uniforme

[21]


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52

[22]

8. Usted ingresa a laborar con un salario de 3`000.000 mensuales al final

de cada ao su empleador depositara salarios en un fondo de cesantas

suponga que su salario se incrementara anualmente en un y que la

rentabilidad anual del fondo de cesantas es del Cunto abra acumulado al

cabo de aos sin retiros

3'360.000

0 30

F=?



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53

Remplazando

Obtenemos

***Cual ser el salario en el ao 30?


Remplazando

Obtenemos

2.5 SERIES UNIFORMES CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTO GEOMTRICO

En nuestro medio es comn encontrar casos en los que durante un ao se

presentan flujos mensuales constantes y anualmente el flujo mensual crece un

porcentaje D. Tal es el caso de ciertas modalidades de pago para prestamos devivienda y en general del comportamiento de los salarios.

A continuacin se desarrolla un modelo general para este tipo de flujos.


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55

Cada serie uniforme consta de (m) periodos menores con un inters (i) y si cada

una de ellas la convertimos en un futuro relativo equivalente, entonces se

obtendrn (n) flujos en forma de gradiente geomtrico, con un incremento relativo

de D, (figura (b)) as la expresin para el primer flujo generado por la serie

uniforme inicial es:

La expresin para el segundo flujo y para el tercer flujo, considerando el

incremento (D ) relativo es:

Y as sucesivamente hasta el ensimo (n) flujo futuro de expresin.


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56

que no genera intereses por ser el ltimo periodo mayor.

Determinando todos los anteriores (n) flujos el gradiente geomtrico de (n)

periodos mayores con un inters (ii) donde ii = (1+i)m - 1 Expresin final para el

inters de cada periodo mayor.

De tal forma que si los flujos relativos se llevan a un flujo total futuro se puede

hallar el equivalente al C del gradiente.

Entonces:

Cgrad =

Permitiendo ya esta expresin y utilizando las anteriores expresiones para hallar

un P y un F de un gradiente geomtrico, obtener las expresiones similares para

este modelo.

As de la anterior expresin : P = Cgrad

Se halla la similar quedando as:

[23]


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57

[24]

De igual forma se da la expresin F =Cgrad

Se encuentra la anloga para este modelo:

[25]

[26]

Las frmulas [23], [24], [25] y [26] no solo son de gran utilidad (puesto que es el

modelo ms usado en las Corporaciones de Ahorro y Vivienda) sino que se

pueden considerar como el modelo general en el cual las frmulas anteriores para


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58

las relaciones de equivalencia entre P, F, A, y C son casos especficos de dicho

modelo general.

9. Con los datos del ejercicio anterior sobre cesantas deseamos conocer ahora

cuanto es el monto acumulado en pensiones si para ello el empleador deposita

mensualmente en un fondo de pensiones de su salario recuerde que el

salario inicial es de 3000.000, el incremento anual es del y el inters del fondo

de pensiones es del

Para hallar el i mensual aplicamos

Remplazando

Obtenemos



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59

Remplazando

Obtenemos

10. Un profesor se va en condiciones de estudio al exterior durante dos aos y

desea saber cuanto debera dejar en una cuenta bancaria para que su familia

pueda cubrir los gastos mensuales que estn estimados en y que

crecen mensualmente en un suponga que el dinero en la cuneta recibir un

inters mensual de

a.

P=?

024

2'000.000



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60

Remplazando

Obtenemos

b.


Remplazando

Obtenemos

11.Del ejercicio anterior Suponiendo que usted disfrutara de la pensin 15 aos

cual seria el porcentaje mensual del salario que Ud. tendra si hubiera seguido

trabajando que recibira como pensin


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61

2.154'000.000

0 15

B

B+delta


Remplazando

Obtenemos

12.Su familia decidi adquirir una vivienda que vale para ello dispone

de en ahorros y el resto ser financiado a 20 aos con una tasa del

mensual. Determine el valor de las cuotas mensuales a pagar en las

siguientes modalidades

a. Cuotas fijas

b. Cuota creciente $5000 mensuales

c. Cuota creciente 0.5% mensual

d. Cuota fija mensual con crecimiento anual del 6%


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62

Cuotas fijas:

60'000.000

0 240

i=1.1%


Reemplazando

Obtenemos

Cuota creciente $5000 mensual: Gradiente aritmtico


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63

60'000.000

0 240

A

A+1'200.000

A+10000

A+5000

Luego

Cuota creciente 0.5% mensual: Gradiente geomtrico

60'000.000

0 240



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64

Reemplazando

Obtenindose

Crecimiento anual 6%: cuota fija


Reemplazando

Obtenindose

Series Geomtricas Consecutivas con Crecimiento Geomtrico. Existen

sistemas en nuestro medio en los cuales es comn encontrar casos en los que

durante un ao se presentan flujos mensuales que aumentan un porcentaje (X) y a

su vez anualmente aumentan otro porcentaje (Y) . Tal es el caso de ciertasmodalidades de pago para prestamos de vivienda y prestamos en el extranjero.


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65

A continuacin se desarrolla un modelo general para este tipo de flujos.

NOTA: Por facilidad cuando se hable de periodos mayores piense en aos y

cuando se hable de periodos menores piense en meses; pero en general elmodelo se desarrolla para cualquier tipo de periodo menores y mayores.

Si:

n : Nmero de periodos mayores nmero de series uniformes.

m : Nmero de periodos menores de cada serie uniforme que hay en un periodomayor nmero de periodos en los cuales la cuota aumenta un porcentaje X

P : Valor presente equivalente del modelo

Y : Porcentaje compuesto de crecimiento por series de (m) periodos.

c : Valor Inicial de la primera serie uniforme.

i : Tasa de Inters de uno de los periodos menores.(im)

ii : Tasa de inters de uno de los periodos mayores (in)

n * m : Nmero total de periodo del modelo.

(c)


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66

Cada serie geomtrica consta de (m) periodos menores con un inters (i) y si cada

una de ellas la convertimos en un futuro relativo equivalente, entonces se

obtendrn (n) flujos en forma de gradiente geomtrico, con un incremento relativo

de Y , (figura (c)) as la expresin para el primer flujo generado por la serie

geomtrica inicial es:

La expresin para el segundo flujo y para el tercer flujo, considerando el

incremento (D ) relativo es:


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67

Y as sucesivamente hasta el ensimo (n) flujo futuro de expresin.

que no genera intereses por ser el ltimo periodo mayor.

La expresin quedara como una serie geomtrica con C :

Para hallar F quedara as:

Para hallar P quedara as:

Para hallar C dado un F quedara as:


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68

Para hallar C dado un P quedara as:

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Valor del Dinero a travs del Tiempo.

Ejemplo 1. Se dispone de 1'000.000 de pesos el cual se deposita en una entidad

financiera que le pagar un inters mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial

acumulada cada mes. Cunto se tendr al final de 1 ao?

DATOS :

P=1'000.000

i= 2.5% mensualn= 12 meses

F= ?

Aplicando la frmula F = P * ( 1+i )^n

F=1'000.000 (1+0.025)^12

F = 1'344.888,82


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69

Ejemplo 2. Cunto deber depositarse hoy en una entidad financiera que paga un

inters trimestral del 8.5%, para tener $4'000.000 dentro de 2 aos?

DATOS :

F= $4'000.000

i= 8.5% trimestral

n= 8 trimestres (2 aos)

P=?

P = F * (1+i)^(-n)

P= 4'000.000 (1+0.085)^(-8)P= 2'082.677,79

Ejemplo 3. Una entidad financiera ofrece que, por cualquier monto que se le

entregue, devolver el doble al cabo de 30 meses. Qu inters est pagando?

DATOS :

P = Cantidad inicial

F = 2P (Cantidad final)

n = 30 meses

i = ?

Utilizando la frmula i = (F/P)^(1/n) - 1

2P = P (1+i)^30

2 = (1+i)^30

i= 0.023 (2.3% mensual)


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70

Ejemplo 4. Cada cunto se duplica el dinero invertido al 2%?

DATOS :

P= Cantidad inicialF= 2P (cantidad duplicada)

n=?

n = [ log(F/P) ] / ( log(1+i) )

2P = P * (1+0.02)^n

log 2 = n*log(1.02)

n = 35 periodos de tiempo

Relacin de Equivalencia entre una Serie Uniforme (A) y un valor Presente

(P) situado un Periodo atrs del primer flujo de la serie.

Ejemplo 5. Usted decide ahorrar mensualmente $10.000 los cuales depositar al

final de cada mes en una entidad financiera que paga un inters del 2.5%

mensual. Cunto habr acumulado al cabo de 2 aos?

A = $10.000

i = 2.5% mensual

n = 24 meses

F = ?


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71

F= $323.490,38

Ejemplo 6. Cunto debe ahorrar mensualmente un estudiante que desea reunir

$2'000.000 al final de sus 5 aos de carrera con el fin de montar su propia

empresa, si los ahorros le rentan el 3% mensual?

A = ?F = 2'000.000

n = 60 meses

i = 3% mensual

A= 12.265,92


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Ejemplo 7. Usted va a comprar un carro que vale $5'000.000 bajo las siguientes

condiciones:

cuota inicial: 40%

Saldo financiado a 5 aos al 2% mensual con cuotas mensuales iguales.Cunto pagar mensualmente?

P = $3'000.000

n = 60 meses

i = 2% mensual

A = ?

A= $86.303,90


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Ejemplo 8. Usted asume una hipoteca a 25 aos por $75250.000, con una tasa

de inters mensual del 2%. Piensa ser propietario de la casa durante 4 aos y

luego venderla, liquidando el prstamo con un pago final. Cul ser el monto de

este pago al final de 4 aos?. Las cuotas son fijas y debern ser pagadasmensualmente.

Primero hallamos el valor de la mensualidad:

A = P [ ( 1 + i )ni ] / [ ( 1 + i )n- 1 ]

A = 75250.000 [ ( 1 + 0,02 )300( 0,02 ) ] / [ ( 1 + 0.02 )300-1 ]

A = $1508.968,521

Ahora hallamos cunto se ha pagado durante los primeros 4 aos:

F = A [ ( 1 + i )n- 1 ] / i

F = 1508.968,52 [ ( 1 + 0,02 )48- 1 ] / 0,02

F = $119741.962,6

Al final de los primeros 4 aos se han pagado $ 119741.962,6

Si llevamos el valor de la hipoteca al periodo 48, podemos restar estos dos valores

F = P ( 1 + i )n

F = $194677.046,5


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74

El pago que se debe hacer para cancelar la hipoteca es:

$194677.046,5 - $119741.962,5 = $74935.084

Ejemplo 9. Una empresa requiere $2'000.000, los cuales va a recibir como

prstamo bancario con las siguientes condiciones:

Plazo: 1 ao

inters: 8% trimestral

Forma de pago: cuotas trimestrales iguales vencidas, las cuales incluyen intereses

y abonos a capital.

a. Determine el valor de la cuota.n = 4 trimestres

i = 8% trimestral

P = 2'000.000

A = ?

A= $603.841,61


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b. Ilustre mediante un cuadro periodo a periodo los siguientes conceptos:

- Saldo inicial

- Intereses causados

- Cuota a pagar- Abono a capital

- Saldo final

PERIODOSALDO

INICIAL

INTERES

CAUSADO

CUOTA A

PAGAR

ABONO A

CAPITAL

SALDO

FINAL

I 2'000.000 160.000 603.841.61 443.841.61 1'556.158.39

II 1'556.158.39 124.492.67 603.841.61 479.348.94 1'076.809.45

III 1'076.809.45 86.144.76 603.841.61 517.696.85 559.112.60

IV 559.112.60 44.729.01 603.841.61 559.112.60 - 0 -

2'000.000

Los intereses son causados por el saldo inicial de cada periodo. Los abonos a

capital se calculan como la cuota a pagar menos los intereses causados.

El saldo final se obtiene restando el abono a capital del saldo inicial. Este saldo

final ser el saldo inicial para el prximo periodo.

c. Compruebe que el total de los abonos a capital es exactamente el prstamo

recibido, y que el saldo al final del ao es exactamente cero.

El cuadro nos muestra que la suma de abonos a capital nos da exactamente los

$2'000.000 recibidos, y que el saldo al final del ao (cuarto periodo) es cero.


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d. Analice los saldos periodo a periodo y la relacin inters-abono a capital

durante los diferentes periodos.

Los saldos van disminuyendo cada periodo ms rpidamente, dado que el abonoa capital aumenta periodo a periodo, mientras que los intereses sobre el saldo

inicial del periodo correspondiente van disminuyendo.

Ejemplo 10. Para comprar maquinaria usted ha recibido un prstamo de

$65000.000 por dos aos, con un inters semestral del 16%, pagadero en cuotas

semestrales iguales vencidas las cuales incluyen inters y abonos a capital.

Calcule el valor de la cuota y haga un cuadro donde se incluyen abono a capital,

inters, saldo inicial y saldo final.

A = P [ ( 1 + i )ni ] / [ ( 1 + i )n- 1]

A = 65000.000 [ ( 1 + 0,16 )4( 0,16 ) ] / [ ( 1 + 0,16 ) - 1 ]


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A = $ 23229.379,5159

PERIOD

O

SALDO

INICIAL

INTERES

CAUSADO

CUOTA A

PAGAR

ABONO A

CAPITAL

SALDO

FINAL

165000.000,0

0

10400.000,0

0

23229.379,5

1

12829.379,5

1

52170.620,4

8

2 52170.620,4

8

8347.299,27 23229.379,5

1

14882.080,2

3

37288.540,2

4

3 37288.540,2

4

5966.166,43 23229.379.5

1

17263.213,0

7

20025.327,1

6

420025.327,1

6

3204.052,34 23229.379.5

1

20025.327,1

6

-0-

65000.000,0

Otra forma de Notacin de las Relaciones de Equivalencia

Ejemplo 11. Cunto deber invertirse hoy, Julio 1 de 1997 para hacer retiros

trimestrales vencidos iguales por $500.000 cada uno durante 1999, si los

depsitos obtienen un inters del 8% trimestral?


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Existen dos formas de resolver este problema:

a. Utilizando la relacin de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000) y un

valor presente situado un periodo atrs del primer flujo de la serie, en este caso enel periodo 6.

Hasta el momento: P '= A ( P/A , i , n ) [6]

donde:

P ' : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el punto 6.

A : $500.000

P : Es P'

i : 8% trimestral

n : 4 (porque la serie uniforme es de 4 flujos)

Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor presente situado en el

periodo 6 (P'), es necesario llevarlo ahora al periodo cero que es el momento en el

cual hacemos el depsito.

Para hacer este traslado consideramos a P' como un valor futuro (F) con respectoa P (en el periodo cero), por lo tanto tenemos:

P= P' (P/F,i,n) [2]


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donde:

P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo cero

P' = A(P/A,i,n)F = P'

i = 8% trimestral

n = 6 (porque P' est situado exactamente en el periodo 6 y es necesario llevarlo

al periodo cero).

En definitiva: P = A ( P/A , i , n ) ( P/F , i , n )

P = $1'043.600,867

b. Utilizando la relacin de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000), y un

valor futuro situado exactamente al final de la serie, en este caso en el periodo 10.

Hasta el momento: F = A ( F/A , i , n ) [3]


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Donde:

F : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10

A : $500.000i : 8% trimestral

n : 4 (porque la serie es de 4 flujos)

Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor futuro situado en el

periodo 10 (F), es necesario llevarlo al periodo cero, siendo F un valor futuro

respecto a P (en el periodo cero).

Entonces : P = F ( P/F , i , n )

donde:

P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 0

F : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10

i : 8% trimestral

n : 10 (porque F est situado en el periodo 10 y es necesario llevarlo a cero)

En definitiva : P = A ( F/A , i , n ) ( P/F , i , n )

P = $1'043.600,867


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Ejemplo 12. Usted recibe un prstamo de $2'000.000, el cual deber pagar de la

siguiente forma:

Plazo : 2 aosInters : 2.5% mensual

Pagos mensuales vencidos por un valor A durante el primer ao, y por un valor 2A

durante el segundo ao.

Determine el valor de la cuota.

a. Primera forma de solucin:

* Llevamos la serie A al periodo cero (P1)

P1= A(P/A,i,n) [6]

P1= A(P/A,2.5%,12)

* Llevamos la serie 2A al periodo 12

P2= 2A(P/A,i,n)

P2= 2A(P/A,2.5%,12)

* Llevamos el valor P2 al periodo cero (P2'). P2 es con respecto a P2' un valor

futuro, por tanto:

P2'= P2(P2/F,i,n) [2]

P2'= 2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12)


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* Hacemos P igual al valor equivalente de la serie A (retiros hechos en el primer

ao) en el periodo cero (P1), ms el valor equivalente de la serie 2A (retiros

hechos en el segundo ao) en el periodo cero.

P= P1+P2'P= A(P/A,2.5%,12)+2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12)

2'000.000 = A(10,2577646)+2A(10,2577646)(0,74355585)

A= $78.393,84695

b. Segunda forma de solucin

Tenemos dos series, cada una de valor A, la primera con 24 flujos (del 1 al 24), la

cual llamaremos serie I y la segunda con 12 flujos (del 13 al 24), que llamaremosserie II.

* Llevamos la serie I al periodo 24 (F1)

F1= A(F/A,i,n)

F1= A(F/A,2.5%,24)

* Llevamos la serie II al periodo 24 (F2)

F2= A(F/A,i,n)

F2= A(F/A,2.5%,12)

* Llevamos F1 al periodo cero (P1)

P1=F1(P/F,i,n)

P1=A(F/A,2.5%,24)(P/F,2.5%,24)

* Llevamos F2 al periodo cero (P2)P2=F2(P/F,i,n)

P2=A(F/A,2.5%,12)(P/F,2,5%,24)


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* Hacemos P igual al valor equivalente de la serie I en el periodo cero (P1), ms el

valor equivalente de la serie II en el periodo cero (P2)

P=P1+P2

P=(A(F/A,2.5%,24)+A(F/A,2.5%,12))(P/F,2.5%,24)2'000.000=A(17.885)+A(7.627)

A = $78.394,48

c. Tercera forma de solucin

Aplicando el mismo procedimiento, pero esta vez llevando cada una de las series

a un valor presente, es decir, llevar la serie I al punto cero; la serie II al punto 12 y

luego a valor presente cero. Debemos obtener el mismo resultado.

* Llevando la serie I al periodo cero (P1)

P1=A(P/A,2.5%,24)

P1=17,885A

* Llevando la serie II al periodo 12 (P2)

P2=A(P/A,2.5%,12)

P2=10,2577

* Llevando P2 (tomndolo como F y llevndolo al periodo cero)

P2=F(P/F,2.5%,12)

P2=7,627A

* Hacemos P igual al periodo equivalente de la serie I en el periodo cero(P1),mas

el valor equivalente de la serie II en el periodo cero (P2)P=P1+P2

2'000.000=A(17.885)+A(7.627)

A = $78.394,48


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Ejemplo 13. Usted requiere saber de cunto dinero debe disponer hoy Enero 1 de

1997, generando un inters del 2% mensual para poder hacer retiros mensuales

vencidos durante 1998 de $20.000 cada uno, al final del 98 $100.000 adicionales;

durante 1999 $30.000 mensuales, y al final del 99 $150.000 adicionales.

P=[100.000+20.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,24)+

[150.000+30.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,36)

P = $ 499.724,79

Ejemplo 14. Usted va a comprar un equipo de sonido en un almacn deelectrodomsticos, el cual ofrece un crdito cooperativo al 2.5% mensual. La

forma de pago ser cuotas mensuales vencidas iguales durante 2 aos. Al cabo

de 6 meses se podra finalizar la deuda cancelando el saldo, el cual sera de

$120.000. Cul es el valor de compra del equipo de sonido?


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Posibles formas de pago:

* P= A(P/A,2.5%,24)

120.000= A(P/A,2.5%,18)

120.000= A(14,353363)

A= $8.360,41

Reemplazando el valor de A en *:

P = 8.360,41(P/A,2.5%,24)

P = $149.525,81

Ejemplo 15. Un almacn vende cualquiera de sus electrodomsticos de contado oa crdito. Si es de contado, el valor pagado es el precio de lista menos un 30% de

descuento. Si es a crdito, debe cancelarse como cuota inicial el 20%, y el resto

se pagar en 10 meses con cuotas iguales cada una de ellas por un valor igual al

80% del precio en lista dividido por 10. Cul es el inters real mensual de

comprar a crdito?


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PL: Precio de lista

Hallando el flujo neto equivalente a la diferencia entre las dos formas de pago

tenemos:

Donde 0.5 PL representa el dinero que realmente esta siendo financiado ya que a

crdito de todas formas debe darse 0.2 PL como cuota inicial y si el comprador

dispusiera de 0.5 PL adicionales completara el precio de compra de contado que

es 0.7 PL y se evitara el pago de las diez cuotas adicionales. En otras palabras, el

comprador paga diez cuotas mensuales equivalentes al 8% del precio de lista a

cambio de no tener que pagar hoy un 50% del precio de lista (precio de contado

menos cuota inicial), lo que puede ser interpretado como un prstamo.

0.7PL=0.2PL + 0.08PL(P/A,i%,10)

0.5PL=0.08PL(P/A,i%,10)

(P/A,i%,10)=6,25

Debemos hallar un valor de i despejando la frmula y con calculadora hallamos

que : i = 9,6140%

Luego el comprador esta pagando un inters mensual cercano al 10%


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Gradiente Aritmtico

Ejemplo 16. Usted va a depositar dentro de 6 meses $50.000, dentro de 9 meses

$100.000, dentro de 1 ao $150.000, y as sucesivamente hasta que hace elltimo depsito dentro de 4 aos. Cunto tendr en ese entonces acumulado, si

los depsitos ganan un inters del 8% trimestral?

G = $50.000

i = 8% trimestral

n = 16 trimestres

F = ?

F= 50.000 * (1+0,08)16 -1 -16(0,08)/(0,08)2

F= $8'952.676,90


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Ejemplo 17.Cunto debera invertir hoy para hacer los siguientes retiros:

Dentro de 4 trimestres $200.000

Dentro de 5 trimestres $210.000

Dentro de 6 trimestres $220.000y as sucesivamente hasta el dcimo segundo trimestre, con un inters del 7.5%

trimestral?

Separemos el flujo en 2 partes:

Una serie uniforme con A= $200.000 y un gradiente aritmtico de valor

G=$10.000.

El valor P puede calcularse de diferentes formas. Debe tenerse en cuenta que slo

pueden sumarse cantidades si stas se encuentran en el mismo punto. Podemos

resolver el problema de diversas formas:


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a. Primera Solucin: Llevando cada flujo a presente (periodo 3) y luego el total al

punto cero

P= [200.000 (P/A,7.5%,9) + 10.000(P/G,7.5%,9)] (P/F,7.5%,3) P=1'207.759,22

b. Segunda Solucin: Llevando cada flujo a futuro (periodo 12) y despus

trasladarlo a presente. P= [200.000(F/A,7.5%,9) + 10.000(F/G,7.5%,9)]

(P/F,7.5%,12)

P= (2'445.969,767+430.646,511)*(P/F,7.5%,12)=$1'207.759,22

c. Tercera Solucin: Obteniendo el A equivalente para G y as tener una nica

serie uniforme

P= {[10.000(A/G,7.5%,9) + 200.000] (P/A,7.5%,9)}(P/F,7.5%,3)

P=1'500.395,508*(P/F,7.5%,3) P=1'207.759,22

Gradiente Aritmtico Decreciente (Negativo)

Ejemplo18. Cunto debera depositarse hoy al 10% mensual para obtener los

siguientes flujos?


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Un posible planteamiento con su solucin sera:

P = 1'000.000(P/A,10%,12) + 100.000(P/G,10%,5)(P/F,10%,3)+

500.000(P/A,10%,4)(P/F,10%,8)+[1'100.000(P/A,10%,7)

400.000(P/G,10% ,7)](P/F,10%,12)P = $8'148.273,705

Otro planteamiento podra ser:

P = 1'000.000(P/A,10%,4)+[100.000(P/G,10%,4)+1'100.000(P/A,10%,9)]*

(P/F,10%,4) +

[400.000(P/A,10%,4)*(P/F,10%,8)] + 700.000 (P/A,10%,6)-

400.000(P/G,10%,6)]*(P/F,10%,13)

P= $8'148.273,05


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Gradiente Geomtrico.

Ejemplo 19. 10 estudiantes recin ingresados piensan asociarse y crear un fondo

de ahorros mensuales de tal forma que al culminar sus 5 aos de estudio poseanun capital de $10'000.000 con el propsito de fundar su propia empresa. Sus

ingresos les permiten incrementar el ahorro mensual en un 2% y la entidad

financiera les ofrece un inters mensual del 2.5%. Cunto deber ser el ahorro

mensual inicial de cada uno de los estudiantes?

F = $10'000.000

D = 2% mensuali = 2.5% mensual

n = 60 meses

C = ?

C= = $44.692,3795

Cuota individual inicial = C/10 = $4.469,24


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Ejemplo 20. El montaje de una empresa requiere hoy una inversin de

$100'000.000. En dicha empresa se producirn y vendern mensualmente 10.000

unidades de un producto "J". Producir cada "J" cuesta el primer mes $200 y ste

valor crecer mensualmente 2%. Dicho producto se podr vender el primer mespor un valor $V y reajustar su precio en 1.5% mensual. Si el producto "J" tiene una

vida de 5 aos, cul ser el precio de venta que hace que el proyecto genere una

rentabilidad bruta mensual del 3%?

Tenemos:P=$100'000.000

C=10.000V

C'=$2'000.000

P=C (P/C,3%,1.5%,60) - C'(P/C',3%,2%,60)

100'000.000=10.000V*((1,03)60-(1,015)60)/(1,03)60(0,03-0,015)-

2'000.000*((1,03)60-(1,02)60)/(1,03)60(0,03-0,02)

100'000.000=10.000V (39,02031719)-2'000.000(44,31)

V= $483,40


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Ejemplo 21. El seor Carlos Suarez decide comprar una pequea parcela por

valor de $50.000.000, la cual deber pagar de la siguiente manera: cuota inicial

20% ( de contado ) y el 80% financiado por una corporacin de ahorro y vivienda

durante 15 aos. Si el inters es del 2,5% mensual , determine el valor de la cuotaa pagar en los siguientes casos :

Cuota fija mensual vencida

Cuota mensual creciente

Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0,7%

El objetivo de este ejemplo es de carcter ilustrativo, por lo tanto se muestra elcomportamiento en una grfica del inters causado y del abono a capital de cada

uno de los tres casos mencionados anteriormente durante el periodo establecido.

CUADRO COMPARATIVO DE LAS DIFERENTES MODALIDADES DE PAGO

Valor Presente $40.000.000

Tasa de inters 2,5%

Nmero de Periodos 180

Delta 0,70%

La anualidad es 1.011.880,47

Cuota Gradiente Aritmtico 26.725,830

Cuota Gradiente Geomtrico 750.946,97


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F = 125.000 ( 0,35 / 0,1619 ) [ ( 1 + 0,35 )10- ( 1 + 0,20 )10] / ( 0,35 - 0,20 )

F = $ 25067.875,53

Reemplazando los valores en (1):Capacum= 15479.341 + 25067.875,53

Capacum= $ 40547.216,53

b. El patrimonio (capital) de la empresa equivale a un capital actual de cuanto?.

P = [ F / ( 1 + i )n) donde:

F = Capacum

i = 20% anualn = 10 aos

P = [ 40547.216,53 / ( 1 + 0,20 )10]

P = $ 6548.601,84

Ejemplo 23. Usted decide comprar un apartamento por $20'000.000 el cual

deber ser pagado as: 30% contado y 70% financiado por una Corporacin de

Ahorro y Vivienda durante 15 aos. Cul sera la cuota a pagar en cada uno de los

siguientes casos, dado un inters del 2% mensual.

a)Cuota fija mensual vencida

n =1

m =180 meses

D = 0

P = $14'000.000i = 2% mensual

ii = [(1+0.02)180-1] entonces ii=3432.08 %


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Aplicamos

b = 14'000.000

b = $288.158,32

b) Cuota fija mensual creciendo anualmente en un 10%

D =10% anual

i=2% mensual

ii=(1+0.02)12-1= 0.2682

n=15 aos

m=12 meses


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Aplicando la formula de la parte a) obtendremos:

b = 14'000.000

b = $199.165,55

c) Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0.75%:

D = 0.75% mensual

i = 2% mensual

ii = 2% mensual

n = 180 meses

m = 1

b = 14'000.000

b = $196.334,12


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Ejemplo 24. En una empresa, con el beneplcito de los trabajadores y con el

propsito de acumular una buena jubilacin, se decide depositar en un solo fondo

individualizado para cada empleado los siguientes montos:

Mensualmente el 10% del salario, semestralmente las primas ( salario) y

anualmente las cesantas.

Cunto recibira mensualmente como jubilacin en el 2027 (expresado como

porcentaje del salario que tendra en dicho ao), un trabajador que ingresa al inicio

de 1997 con un salario de $1000.000 y recibe incrementos anuales del 20%, si el

dinero depositado obtiene una rentabilidad anual del 32% y la pensin dejubilacin se recibir durante 15 aos con incrementos anuales del mismo 20%.

El problema se puede interpretar como un conjunto de tres tipos de flujo:

Series uniformes con crecimiento geomtrico (para el 10% del salario):

B= 100.000 ii= 0.32 D = 0.2 m= 12 n=30

i= (1+ii)1/m-1 = (1+0.32)1/12-1 = 0.023405691


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Hallando el futuro de esta serie al final del ao 2026

F1= 100.000 (F/B, D = 0.2, i= 0.023405691, ii= 0.32, (12*30))

F1= $44.487169.210

Series uniformes con crecimiento geomtrico, para las primas:

b= 500.000 D = 0.2 n= 30 ii=0.32

i= (1+0.32)-1 = 0.148913

Calculando el futuro para el final del 2026:

F2= 500.000 (F/b, D = 0.2, i= 0.148913, ii= 0.32, (2*30))

F2= $34961.897,81

Un gradiente geomtrico para las cesantas:

c= 1000.000 D = 0.2 n= 30 i= 0.32F3= 1000.000 (F/C, D = 0.2, i= 0.32, 30)

F3= $32.539153.950


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El total acumulado al final ao 2026 es:

F= F1+ F2+ F3= $111.988220.970

El salario en ese momento sera: SF = 1000.000 (1+0.2)30SF= $237376.313,80

Para el tiempo que recibe la jubilacin:

Series uniformes con crecimiento geomtrico:b=? P= 11.988220.970 m=12 n=15

D = 0.2 ii= 0.32 i= 0.023405691

b= 111.988220.970 (b/P, D = 0.2, i= 0.023405691, ii= 0.32, (12*15))

b= $1.292302.593 Primera jubilacin, en el 2027.

Expresado como porcentaje del salario de ese ao:

b%=

b%= 544.4109%


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Usted deposita $ 2000.000 en una cuenta de ahorro que rinde el 2% mensual,

si no hace ningn otro depsito en la cuenta, cunto tiempo debe pasar para quela cuenta llegue a $ 3000.000?.

R / 20,4753 meses.

2. Tras un examen cuidadoso de la finanzas personales, usted decide que el pago

mximo mensual que puede pagar en una hipoteca es de US$630.

Puede ofrecer un pago inicial de US$ 12.000 y la tasa de inters mensual es del1%. Si asume una hipoteca de 30 aos, cul es el precio mximo que puede pagar

R / 73.247,5486.

3. Se abre una cuenta de jubilacin el 15 de Abril de 1985 con un depsito de

$2000.000. Desde entonces, ha depositado $160.000en la cuenta cada mes. Si

la cuenta devenga inters mensuales del 15%, cunto dinero tendr en la cuenta

el 15 de Abril del ao 2.000?.

R / $174.068.657,4

4. Usted est financiando la compra de un nuevo auto con un prstamo a 3 aos,

con un inters mensual del 1.8%. El precio de compra del auto es de $10000.000

y la financiacin es del 70%. Cunto valor deben tener los pagos mensuales?.

Qu tasa inters tendra que obtener para reducir el pago mensual en $10.000?.

R / $265.886,8229; 1,5667% mensual.

5. Hallar el valor presente de 15 pagos que decrecen aritmticamente en $400, si

el primer pago es de $5.000 con un inters del 4%.

Rta. $27.697,74


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6. Hallar $X del siguiente flujo de caja con un inters del 20%

7. Hallar el primer pago de un gradiente aritmtico creciente en $300, que tenga

50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con un primer

pago de $1.000 suponga una tasa del 20%.

R/ $6.835,90

8. La compaa de tejados ha ofrecido a una pequea firma dos opciones para

pagar reparaciones necesarias en los tejados. La opcin 1 implica un pago de

$2.500 tan pronto como el trabajo termine, por ejemplo hoy. La opcin 2 concede

a la firma diferir el pago durante 5 aos, al cabo de los cuales debe hacer un pago

nico de $5.000. Si la tasa de inters es del 10% anual, calcule el valor presente

para cada opcin y seleccione la que tenga el menor valor de P.

R/ P1 = $2.500; P2 = $3104,60

9. Un gerente est tratando de decidir si compra una mquina nueva hoy o esperay compra una similar dentro de 3 aos. La mquina a la fecha le costara $25.000,

pero dentro de 3 aos espera que su costo sea de $39.000. Si la compaa usa


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una tasa de inters del 20% anual, Debera el gerente comprarla hoy o dentro de

3 aos?.

R/ P despus = $22.569,20;debe comprar ms tarde.

10.Una compaa planea hacer depsitos de manera que cada uno sea un 12%

mayor que el anterior. Cul ser el valor del primer depsito ( al final del ao 1 )

si la compaa desea acumular $21.000 al final del ao 16? Suponga que la tasa

de inters de la compaa es del 12% anual.

R/ P = $3.425,10; D = 239,76

11. Un trabajador opta por la modalidad de retiro programado con renta vitaliciadiferida para su jubilacin. En la cual el afiliado contrata con una aseguradora una

renta vitalicia con el fin de recibir pagos mensuales a partir de una fecha

determinada, reteniendo en su cuenta individual de ahorro pensional, los fondos

suficientes para obtener un retiro programado, durante el periodo que medie entre

la fecha en empiece a ahorrar y la fecha en que la renta vitalicia diferida comience

a ser pagada por la aseguradora.

Si el trabajador ingresa al sistema cuando cumple 25 aos con un salario de

$500000 de los cuales aporta el trabajador y el empleador el 3.5% con destino a

gastos de administracin y el 10% con destino a la cuenta de ahorro individual y

adicionalmente, el trabajador decidiera aportar trimestralmente otro 10% de su

salario y anualmente $10.000 por cada ao de edad que tenga.

Determine bajo el supuesto de que el obtendr una rentabilidad del 30% anual en

el fondo y que el salario crece anualmente un 24%.

a. Cunto habr acumulado en su cuenta de ahorro individual cuando cumpla 55

aos, en pesos y en nmero de salarios ?


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b. Si el trabajador contrata con una aseguradora el pago mensual, a partir de

cuando cumpliera 65 aos de una cifra equivalente al 25 % del salario que hubiera

tenido si hubiera seguido trabajando y la aseguradora le cobra por eso lo que ella

necesitara para que, suponiendo una rentabilidad de sus fondos del 30% ydescontando una dcima parte de dicha rentabilidad como comisin, se generar

lo suficiente para pagarle la cifra contratada hasta su vida esperada 80 aos.

Cunto le quedara en su cuenta para cubrir el retiro programado entre los 55 y

los 605 aos.

12. En el sistema pensional el patrono aporta mensualmente un 10% del salario de

cada trabajador y este ltimo aporta un 3.5% adicional. La edad propuesta parajubilarse es 65 y 60 aos respectivamente para hombres y mujeres. Los aportes

entran aun fondo donde sern administrados para obtener una rentabilidad

atractiva sobre los aporte s recibidos. Una vez obtenida la jubilacin cada

trabajador recibir mensualmente una pensin por un valor que podra ser superior

o inferior a lo que recibira de salario si hubiera continuado trabajando

dependiendo del tiempo que permaneci aportando al fondo.

Dado que el sistema est montado para que el valor esperado de la pensin

recibida por el trabajador una vez jubilado sea equivalente a lo aportado y

suponiendo que :

Tanto el salario como la pensin de jubilacin se incrementara anualmente en

un 25%.

La Entidad Administradora del fondo de pensiones lograra una rentabilidad

anual del 32%. El trabajador aportar al fondo durante 30 aos y luego recibir la pensin de

jubilacin durante 13 aos.


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CAPITULO III. INTERESES: MODALIDADES, PERIODOS Y EQUIVALENCIAS

3.1 RELACIN DE EQUIVALENCIA ENTRE INTERESES DE DIFERENTES.

PERODOS

Hasta ahora debe estar claro que invertir un milln de pesos al 3% mensual es

diferente a invertirlo al 36% anual (3%*12=36%) pero no nos hemos detenido a

examinar una relacin que exprese equivalencia entre tasas de inters mensuales

respecto a anuales o en general equivalencias entre cualquier tipo de periodos.Esta seccin se ocupa de ello.

Supongamos que deseamos encontrar el inters equivalente para dos periodos de

tiempo de diferente duracin. Al periodo de tiempo mayor lo llamaremos "periodo

mayor" y el otro ser entonces "periodo menor".

Denotemos:

i : Inters efectivo del periodo menor

ii : Inters efectivo del periodo mayor

m : Nmero de periodos


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Si el inters del periodo menor (i), equivale al inters del periodo mayor (ii),

entonces F debe ser igual si se parte del mismo P:

F = P ( 1+i ) ^m = P (1+ii)

Por lo tanto: ( 1+i ) ^m = ( 1+ii )

Entonces se obtiene:

[27]

ii = ( 1+i ) m - 1

e inversamente:

[28]

i = ( 1+ii ) 1/m- 1

3.2 INTERS NOMINAL vs. INTERS EFECTIVO

En el lenguaje comercial es muy comn hablar de las tasas de inters en trminos

anuales, no obstante los intereses se paguen o causen en periodos de

capitalizacin o composicin inferiores al ao, y en forma anticipada o vencida

dentro de dicho periodo.

3.2.1 Inters Nominal. Es la tasa de inters que se pagar durante un periodo

(generalmente un ao) pero sin tomar en cuenta la periodicidad con que se paga.

Por ejemplo, para un inters del 8% trimestral, el inters nominal anual sera el

32% pagadero trimestralmente. Como podemos observar, ste inters es una


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simple multiplicacin del inters en cada periodo por el nmero de periodos de que

consta el periodo de referencia en el inters nominal (ao). Por lo tanto, para

definir completamente el inters a pagar, debe especificarse adicionalmente el

periodo (mes, trimestre, semestre, ao) y la forma de pago dentro del periodo decapitalizacin (vencido anticipado).

3.2.2 Inters Efectivo. Es lgico que para un mismo inters nominal,

dependiendo del periodo de capitalizacin y la forma de pago, el inters que

efectivamente se pague vare, ya que no es lo mismo pagar intereses al final de un

periodo largo que el inters equivalente pero fraccionado en periodos pequeos,

puesto que al entregar intereses se deja de disponer de ese dinero. Adems, porla misma razn, no es lo mismo pagar intereses al comienzo que al final de un

periodo.

3.2.3 Relacin De Equivalencia Entre Inters Nominal Y Efectivo (R D E).

Definamos:

r : Tasa de inters nominal (generalmente 1 ao)

Periodo de capitalizacin o composicin: Periodo o subperiodo en el que

realmente se estn causando los intereses (pagando o cobrando).

m: Nmero de periodos o subperiodos de capitalizacin de que consta el periodo

al cual se hace referencia en r.

ip: Inters del periodo o subperiodo de capitalizacin.

Forma de capitalizacin o composicin: es el momento en el periodo o subperiodo

de capitalizacin en el que se causan los intereses. Si es al comienzo sern

anticipados. Si es al final sern vencidos.


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Relacin de equivalencia entre r y E cuando la forma de capitalizacin

dentro del subperiodo es vencida

Sabemos que

Por ser vencido, ip es un inters efectivo del periodo de capitalizacin. Mientras

ms frecuente sea la composicin del inters, mayor ser la diferencia entre la

tasa de inters nominal y la efectiva.

En este momento podemos utilizar la relacin de equivalencia entre intereses de

difer

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