INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

MATERIA:Ingeniera Econmica

CATEDRATICA:M.C. Zinath Javier Gernimo

CARPETA DE EVIDENCIA

ALUMNA:Mayra del C. Chanona Martnez

NDICEUNIDAD 1.Fundamentos bsicos deIngeniera Econmica.

INTRODUCCIN..31.1 Concepto de Ingeniera Econmica..41.2 Inters simple e Inters compuesto. 61.3 Equivalencia y diagrama de flujo. 81.4 Factores de Inters y su empleo. ..12Mapa conceptual..22

UNIDAD 2. Anlisis de Alternativas de Inversin.2.1 Mtodo del Valor Presente.232.2 Mtodo del Valor Anual..302.3 Mtodo de la tasa interna de retorno..372.4 Anlisis Beneficio / Costo..412.5 Anlisis de sensibilidad.....47Mapa conceptual...53CONCLUSIN..54BIBLIOGRAFA.55

INTRODUCCINEl siguiente trabajo se realiz con el objeto de nosotros como alumnos necesitamos conocer parte principal de la ingeniera econmica y logremos emplearla bien, ya que por medio de este trabajo se explicara que es la ingeniera econmica, porque es importante, donde podemos aplicarla, los principales conceptos de ingeniera econmica, as como las frmulas ms utilizadas que nos facilitaran los problemas que se nos presenten. La Ingeniera Econmica es una especialidad que integra los conocimientos de ingeniera con los elementos bsicos de la microeconoma. Su principal objetivo es la toma de decisiones basada en las comparaciones econmicas de las distintas alternativas tecnolgicas de inversin. Las tcnicas empleadas abarcan desde la utilizacin de planillas de clculo estandarizadas para evaluaciones de flujo de caja, hasta procedimientos ms elaborados, tales como anlisis de riesgo e incertidumbre, y pueden aplicarse tanto a inversiones personales como aemprendimientos industriales.

1.1 Concepto de Ingeniera Econmica.Las decisiones que toman ingenieros, gerentes, presidentes de corporaciones e individuos,por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra.Amenudolas decisiones reflejan la eleccin fundamentada de una persona sobre cmo invertirmejor fondos, tambin llamados capital. Con frecuencia el monto del capital estrestringido, as como el efectivo disponible de una persona a menudo se encuentralimitado. La decisin sobre cmo invertir capital indudablemente cambiar el futuro,con esperanza de mejorar; es decir, que se le agregar valor. Los ingenierosdesempean un papel esencial en las decisiones que tienen que ver con la inversinde capital, basadas en sus esfuerzos de anlisis, sntesis y diseo. Los factores quese toman en cuenta en la toma de decisiones constituyen una combinacin tanto defactores econmicos como no econmicos. Otros factores pueden ser de naturalezaintangible, como la conveniencia, la buena voluntad, la amistad y otros.Fundamentalmente la ingeniera econmica implica formular, estimar yevaluar los resultados econmicos cuando existan alternativas disponiblespara llevar a cabo un propsito definido. Otra forma de definir la ingenieraeconmica consiste en describirla como un conjunto de tcnicas matemticasque simplifican las comparaciones econmicas.Para numerosas corporaciones, en especial las ms grandes, muchos de sus proyectosy servicios tienen alcance internacional: pueden desarrollarse en un pas para aplicarseen otro, el personal y las plantas ubicadas en diversos sitios de todo el mundo separanen forma rutinaria el diseo del producto de su manufactura, as como de los consumidoresque lo adquieren. Los enfoques que se presentan aqu se implantan sin dificultadtanto en empresas multinacionales como dentro de un pas o localidad nicos. Eluso correcto de las tcnicas de ingeniera econmica tiene una importancia especialporque virtualmente cualquier proyecto -local, nacional o internacional- afectarlos costos y/o los ingresos.

Es la disciplina que se preocupa de los aspectos econmicos de la ingeniera; implica la evaluacin sistemtica de los costos y beneficios de los proyectos tcnicos propuestos.

1.2. Inters simple e Inters compuesto.Los trminos inters, periodo de inters y tasa de inters son tiles enel clculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de inters en el pasado y un periodo de inters en el futuro. Sin embargo, para ms de un periodo de inters los trminos inters simple inters compuesto se toman importantes.El inters simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorandocualquier inters generado en los periodos de inters precedentes. El inters simpletotal durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:Inters = (principal)(nmero de periodos)(tasa de inters)

En el caso del inters compuesto, el inters generado durante cada periodo de intersse calcula sobre el principal ms el monto total del inters acumulado en todoslos periodos anteriores. As, el inters compuesto es un inters sobre el inters.Tambin refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el inters. El interspara un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:Inters = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de inters).

La cantidad total que se paga al final de N periodos de inters es P + I. As, si se prestan$1,000 durante tres aos, a una tasa de inters simple del 10% anual, el inters que se obtiene sera deI=$1000x3x0.10=$300La cantidad total que se debera al final de los tres aos sera de $1,000 + $300=$1,300. Observe que la cantidad acumulada por concepto del inters percibido es una funcinlineal del tiempo hasta que se pague el inters (por lo general, no antes de que finaliceel periodo N).Se dice que el inters es compuesto siempre que el cobro de ste por cualquier periodo de inters (por ejemplo un ao) se base en la cantidad principal que resta ms cualquier cargopor intereses acumulados hasta el comienzo de ese periodo. Para cantidades de dinero mayores, tasas de inters ms elevadas o un nmero mayor de periodos de inters. Entonces, el inters simple considera el valor del dinero en el tiempo aunque no incluye la capitalizacin de los intereses.Para observar el efecto del inters compuesto, obsrvese la tabla, en la que se expone la evolucin del valor de un capital de 1.000 , que se cede durante 5 perodos, a un inters compuesto del 5% por perodo.PerodoCantidad que se adeuda al inicio del perodoIntereses del perodoCantidad que se adeuda al final del perodo

11.000 (1.000*5%)= 50 1.000 + 50 = 1.050

21.050 (1.050*5%)= 52,50 1.050 + 52,50 1.102,50

31.102,50 55,13 1.157,63

41.157,63 57,88 1.215,51

51.215,51 60,78 1.276,28

La frmula para calcular el inters compuesto se puede deducir del ejemplo anterior, y sera la siguiente:Cn= C0(1 + i)nDonde,C0: es el valor inicial del capital cedido.I: es la tasa de inters.N: es el nmero de perodos que se cede el capital.Cn: es el valor final del capital cedido.Con los mismos datos del ejemplo anterior, aplicando la frmula planteada se obtiene:C5= 1000 (1 + 5%)5C5= 1.276,28

1.3. Equivalencia y diagrama de flujoLos trminos equivalentes se utilizan muy a menudo para pasar de una escala a otra.Algunas equivalencias comunes o conversiones son las siguientes:Longitud: 100 centmetros = 1 metro 1000 metros =1 kilmetro 1 atmsfera = 103 pascales= 1 kilopascalMuchas medidas equivalentes son una combinacin de dos o ms escalas. Por ejemplo, 110 kilmetros por hora (kph) equivalen a 68 millas por hora (mph), o a 1.133 millas por minuto, con base en que 1 milla 1.6093 kilmetros y en que 1 hora 60minutos. Puede concluirse, adems, que conducir a 68 mph durante dos horasequivale a viajar aproximadamente un total de 220 kilmetros o 136 millas. Secombinaron tres escalas -el tiempo expresado en horas, la distancia en millas ytambin en kilmetros- para elaborar enunciados equivalentes. Un uso adicionalde estas equivalencias consiste en calcular el tiempo en horas de manejo entre dosciudades por medio del empleo de dos mapas, uno que indique la distancia en millasy otro que la exprese en kilmetros. Obsrvese que durante estos anlisis se us larelacin fundamental de que 1 milla 1.6093 kilmetros. Si esta relacin cambiara,entonces las dems equivalencias seran errneas.Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interspermiten formular el concepto de equivalencia econmica, que implica que dossumas diferentes de dinero en diferentes tiempos tienen el mismo valor econmico.Por ejemplo, si la tasa de inters es de 6% anual, $100 hoy (tiempo presente) equivalena $106 un ao despus.Cantidad acumulada = 100 + 100(0.06) = 100(1 + 0.06) = $106As, si un amigo nos ofreciera un regalo con un valor de $100 el da de hoyo unode $106 un ao despus, no habra diferencia entre una oferta y otra. En cualquiercaso tendramos $106 despus de un ao. Sin embargo, las dos sumas de dineroson equivalentes entre s cuando la tasa de inters es de 6% anual. Si la tasa deinters fuera superior o inferior, $100 el da de hoy no equivaldran a $106 un aodespus.Adems de la equivalencia futura, se puede aplicar la misma lgica para calcularla equivalencia para aos anteriores. Un total de $100 ahora equivale a $100/ 1.06 = $94.34 hace un ao a una tasa de inters de 6% anual. De estos ejemplos seafirma lo siguiente: $94.34 el ao pasado, $100 ahora y $106 un ao despus sonequivalentes a una tasa de inters de 6% anual. La equivalencia de estas cantidadesse verifica calculando las dos tasas de inters para periodos de inters de un ao.6/100x100= 6% anual5.66/94.34x100%=6%anualLos flujos de efectivo como las entradas y salidas de dinero. Estos flujos pueden ser estimaciones o valores observados. Cada individuo o empresa cuenta con entradas de efectivo -rendimientos e ingresos (entradas)-; y desembolsos de efectivo -gastos y costos (salidas)-. Estas entradas y desembolsos constituyen los flujos de efectivo; con un signo ms representa las entradas de efectivo y con un signo menos representa las salidas de efectivo. Los flujos de efectivo ocurren durante periodos especficos, tales como un mes o un ao.De todos los elementos del enfoque de estudio de ingeniera econmica, la estimacin de flujos de efectivo es probablemente la ms difcil e inexacta. Las estimaciones de flujos de efectivo son slo eso: estimaciones relativas a un futuro incierto. Una vez estimadas, las tcnicas de este libro orientan en el proceso de toma de decisiones. Sin embargo, la exactitud probada con el tiempo de la estimacin de entradas y salidas de efectivo de una alternativa claramente determina la calidad del anlisis econmico y su conclusin.Las entradas de efectivo, o ingresos, pueden constar de los siguientes elementos, dependiendo de la naturaleza de la actividad propuesta y de la clase de negocioque se emprenda.Ejemplos de entradas de efectivo (estimacin)Ingresos (por lo general incrementales provenientes de una alternativa).Reducciones en los costos de operacin (atribuibles a una alternativa).Valor de salvamento de activos.Recepcin del principal de un prstamo.Ahorros en impuesto sobre la renta.Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos.Ahorros en costos de construccin e instalaciones.Ahorros o rendimiento de los fondos de capital corporativo.Las salidas de efectivo, o desembolsos, pueden estar constituidas por los siguientes elementos, dependiendo, de nueva cuenta, de la naturaleza de la actividad y del tipo de negocio.Ejemplos de salidas de efectivo (estimacin)Costo de adquisicin de activos.Costos de diseo de ingeniera.Costos de operacin (anual e incremental).Costos de mantenimiento peridico y de remodelacin.Pagos del inters y del principal de un prstamo.Costo de actualizacin (esperado o no esperado).Impuestos sobre la renta.Gasto de fondos de capital corporativos.La informacin necesaria para llevar a cabo las estimaciones puede estar disponible en departamentos tales como contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, ingeniera,diseo, manufactura, produccin, servicios de campo y servicios computacionales.La exactitud de las estimaciones depende en gran medida de la experiencia de la persona que realiza la estimacin con situaciones similares. Generalmentese efectan estimaciones puntuales; es decir, que se obtiene la estimacin de un valor nico para cada elemento econmico de una alternativa. Si se adopta un enfoque estadstico para el estudio de la ingeniera econmica, puede realizarse una estimacinde rango o estimacin de distribucin. Aunque sus clculos son ms complicados, un estudio estadstico ofrece resultados ms completos cuando se espera que lasestimaciones clave varen ampliamente. En gran parte de este libro utilizaremos estimaciones puntuales. En los ltimos captulos estudiaremos la toma de decisiones bajo riesgo.Una vez que se llevan a cabo las estimaciones de entradas y salidas de efectivo,es posible determinar el flujo de efectivo neto.Flujo de efectivo neto=ingresos - desembolsos =entradas de efectivo - salidas de efectivo Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del tiempo dentro de un periodo de inters, se adopta un supuesto que simplifica el anlisis.La convencin de final de periodoimplica la suposicin de que todos los flujos de efectivo ocurren al final de un periodo de inters. Si varios ingresos ydesembolsos se llevan a cabo dentro de un periodo de inters determinado,se da por supuesto que el flujo de efectivo neto ocurre al final del periodo de inters. El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un anlisis econmico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja.Se trata de una representacin grfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. El diagrama incluye los datos conocidos, los datos estimadosy la informacin que se necesita. Es decir, que una vez que el diagrama de flujo de efectivo se encuentra completo, otra persona debera ser capaz de abordar el problemapartir del mismo.El tiempo del diagrama de flujo t = O es el presente, y t = 1 es el final del periodo 1. Por ahora, supondremos que los periodos se expresan en aos. La escala de tiempo de la figura 1.7 abarca 5 aos. Ya que la convencin de final de ao ubicalos flujos de efectivo al final de cada ao, el "1" indica el final del ao 1.

1.4. Factores de Inters y su empleo: factor de pago nico, factor valor presente, factor valor futuro, factor de serie uniforme, factor de gradiente, factor mltiple.En esencia, un nmero infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores nicos involucrados. Esto se debe a que slo hay dos requisitos que deben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i. y (2) las unidades en n deben ser las mismas que aqullas en i. en notacin estndar de factores, entonces, las ecuaciones de pago nico pueden generalizarse de la siguiente manera:P = F (P/F, i efectivo por periodo, nmero de periodos)F = P (F/P, i efectivo por periodo, nmero de periodos)Tasa de inters efectivaUnidades para n

1% mensualMeses

3.03% trimestraltrimestres

6.15% semestralPeriodos semestrales

12.68% anualAos

26.97% cada 2 aosPeriodos de 2 aos.

Por consiguiente, para una tasa de inters del 12% anual compuesto mensualmente, podran utilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de n que aparecen en la siguiente tabla, en las frmulas de pago nico. Por ejemplo, si se utiliza la tasa efectiva equivalente por mes para i (1%), entonces el trmino n debe estar en meses (12). Si se utiliza una tasa de inters efectiva semestral para i, es decir (1.03)3 - 1 3.03%, entonces n debe estar en trimestres (4).

El seor Hernndez planeainvertirsu dinero en un depsito que paga el 18% anual compuesto diariamente. Qu tasa efectiva recibir anual y semestralmente?I anual = (1+0.18/365)365-1 = 19.72%I semestral = (1+.09/182)182-1 = 9.41%Si una persona deposita $1000 ahora, $3000 dentro de 4 aos a partir de la fecha del anterior depsito y $1500 dentro de 6 aos a una tasa de inters del 12% anual compuesto semestralmente. Cunto dinero tendr en su cuenta dentro de 10 aos?Solucin: Suponga que se ha decidido utilizar una tasa de inters anual para resolver el problema. Dado que solamente pueden ser utilizadas tasas de inters efectivas en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con la tabla anterior, para r = 12% y capitalizacin semestral, i efectivo = 12.36%, o mediante la ecuacin:I anual = (1 +0.12/2)2 - 1 = 0.1236 = 12.36%Dado que i est expresado en unidades anuales, n debe estar expresado en aos. Por lo tanto.F = 1000(F/P,12.36%,10)+3000(F/P,12.36%,6)+1500(F/P,12.36%,4)F = 1000(3.21)+3000(2.01)+1500(1.59)F = $11625.00Como el inters capitaliza semestralmente, si utilizamos la tasa de inters efectiva semestral, obtenemos el siguiente resultado:F = 1000(F/P,6%,20)+3000(F/P,6%,12)+1500(F/P,6%,8)F = 1000(3.2071)+3000(2.0122)+1500(1.5938)F = $11634.40Factor de cantidad compuestapago nico(FCCPU) o factor F/P:F = P(1+i)nFactor de valor presente, pago nico (FVPPU) o factor P/F:P = F[1 / (1+i)n]Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A:P = A[(1+i) n-1 / i (1+i)n]Factor de recuperacin del capital (FRC) o factor A/P:A = P[i (1+i)n / (1+i) n-1]

Factor del fondo de amortizacin (FA) o factor A/F:A = F[i / (1+i) n-1]Factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU) o factor F/A:F = A[(1+i) n-1 / i]Notacin estndar de los factores:Para identificar factores es ms sencillo utilizar la notacin estndar de los nombres de los factores y sta ser utilizada en lo sucesivo:Nombre del factor notacin estndarValor presente, pago nico(P/F,i,n)

Cantidad compuesta, pago nico(F/P,i,n)

Valor presente, serie uniforme(P/A,i,n)

Recuperacin del capital(A/P,i,n)

Fondo de amortizacin(A/F,i,n)

Cantidad compuesta, serie uniforme(F/A,i,n)

El Valor actual neto tambin conocido valor actualizado neto (eninglsNet presentvalue), cuyo acrnimo es VAN (en ingls NPV), es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado nmero de flujos de caja futuros, originados por una inversin. La metodologa consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversin inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual neto del proyecto.El mtodo de valor presente es uno de los criterios econmicos ms ampliamente utilizados en la evaluacin de proyectos de inversin. Consiste en determinar la equivalencia en el tiempo 0 de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto y comparar esta equivalencia con el desembolso inicial. Cuando dicha equivalencia es mayor que el desembolso inicial, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado.La frmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:Vt representa los flujos de caja en cada periodo t.I0 es el valor del desembolso inicial de la inversin.n es el nmero de perodos considerado.El tipo de inters es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomar como referencia el tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimar si la inversin es mejor queinvertiren algo seguro, sin riesgo especfico. En otros casos, se utilizar el coste de oportunidad.Cuando el VAN toma un valor igual a 0, k pasa a llamarse TIR (tasa interna de retorno). La TIR es la rentabilidad que nos est proporcionando el proyectoA factor de la recuperacin de capital es el cociente de una constante anualidad a valor actual de recibir esa anualidad para una longitud del tiempo dada. El usar tipo de inters i, el factor de la recuperacin de capital es:Donde n es el nmero de las anualidades recibidas.Esto se relaciona con frmula de la anualidad, que da el valor actual en trminos de anualidad, tipo de inters, y nmero de anualidades.Si n = 1, el CRF reduce a 1+i. Como n va al infinito, el CRF va a i.Este factor permite transformar un valor presente en una serie uniforme:A = P (1 + i) n. I(1 + i)n 1Dnde:A = Serie constante o uniformeLa caracterstica de la serie uniforme anticipada es la ocurrencia de los pagos al principio de cada intervalo de pago. El primer pago ocurre al principio de cada intervalo de pago, elsegundopago ocurre al principio del segundo pago y as sucesivamente hasta el ltimo pagoque ocurreal principio del ltimo intervalo de pago.Veamos la forma general de esta serie en undiagrama de flujode caja:

En esta forma generalhay quedestacar algunos detalles tiles para la comprensin de esta serie: Elvalor presenteest en 0, exactamente donde ocurre el primer pago. El valor futuro est en N, un periodo despus de efectuar el ltimo pago. El plazo o trmino de la serie abarca desde el principio del primer intervalo de pago, hasta el final del ltimo intervalo de pago. Latasa de intersperidica i, siempre debe corresponde a la tasa de inters peridica vencida y en ningn evento se debe considerar la tasa de inters peridica anticipada, la serie anticipada se refiere a la ocurrencia de los pagos y no a la periodicidad de ocurrencia de la tasa. La equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme anticipada, como en todos los sistemas de amortizacin equivalentes de pago, tambin se da.El valor presente de la serie uniforme anticipada es unpago nicopresente de valor P, el cual est en 0, exactamente donde ocurre el primer pago y el cual es equivalente a N cuotas de valor R cada una y efectuadas al principio de cada intervalo de pago. Para hallar el valor presente, se debe entonces establecer una ecuacin de valor como lo hemos venido realizados. Seleccionemos como fecha de comparacin el periodo 1 y observemos como la serie se asemeja a una serie vencida u ordinaria.

A la ecuacin de valor presente de la serie anticipada, tambin podramos llegar, convirtiendo la serie anticipada en serie ordinaria, simplemente multiplicando el valor del pago de la serie anticipada por el factor (1+i), as los pagos tendran el valor de R?(1+i) pero estos ocurriran al final del intervalo de pago, la cual es la caracterstica de la serie ordinaria. Lo que realmente hemos realizado, es convertir la serie anticipada en ordinaria, de la siguiente forma:

Para hallar el valor presente de esta serie, multiplicamos el valor del pago R*(1+i) por el factor que convierte una serie ordinaria en un pago nico presente [(1-(1+i)-Ni].P=R*(1+I)*[(1-(1+i)-N) i]. Esta es la misma ecuacin a la cual se haba llegado, para hallar el valor presente de la serie anticipada.El valor futuro de la serie uniforme anticipada es un pago nico de valor F, el cual seencuentraen N exactamente un periodo despus de ocurrir el ltimo y el cual es equivalente a N pagos de valor R cada uno, efectuados al principio de cada intervalo de pago.Para hallar el valor futuro de la serie, multiplicamos el valor equivalente del pago vencido R*(1+i), por el factor que convierte una serie ordinaria en un pago nico futuro [((1+i)N-1)i].F= R*(1+i)*[((1+i)N-1)i].Un gradiente aritmtico es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso,cambia por la misma cantidad aritmtica cada periodo. La cantidad del aumento o dela disminucin es el gradiente. Por ejemplo, si un ingeniero industrial predice que elcosto del mantenimiento de un robot aumentar en $ 500 anuales hasta que la mquinase desecha, hay una serie gradiente relacionada y la cantidad del gradiente es $500.Las frmulas desarrolladas anteriormente para una serie A tienen cantidades de final de ao de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada final de ao es diferente, de manera que es preciso derivar nuevas frmulas. Primero suponga que el flujo de efectivo al final del ao 1 no forma parte de la serie del gradiente, sino que es una cantidad base. Esto es conveniente porque en las aplicaciones reales la cantidad base en general es mayor o menor que el aumento o la disminucin del gradiente. Por ejemplo, si una persona compra un automvil usado con una garanta de un ao, se podra esperar que durante el primer ao de operacin tuviera que pagar tan slo la gasolina y el seguro. Suponga que dicho costo es $1 500; es decir, $1 500 es la cantidad base. Despus del primer ao, la persona tendra que solventar el costo de las reparaciones, y razonablemente se esperara que tales costos aumentaran cada ao. Si se estima que los costos totales aumentarn en $50 cada ao, la cantidad al segundo ao sera $1 550, al tercero, $1 600, y as sucesivamente hasta el ao n, cuando el costo total sera $1 550 + (n - 1)50. El diagrama de flujo de efectivo para esta operacin se muestra en la figura 2.10. Observe que el gradiente ($50) aparece por primera vez entre los aos 1y 2, Yla cantidad base no es igual al gradiente.El smbolo G para los gradientes se define como:G= cambio aritmtico constante en la magnitud de los ingresos o desembolsosde un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

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-Factor MltipleMuchas de las situaciones reales de los problemas de ingeniera econmica no involucran un solo factor sino el uso de varios factores combinados es por esto que se vuelve importante desarrollar la habilidad para manejar varios factores. Es importante que en este momento establezcamos el concepto de equivalencia el cual nos ser muy til. El concepto de equivalencia no solo es usado en la ingeniera econmica sino en otras ciencias. Un ejemplo es el caso de la fsica. Torque1 (100lbs) (2fts). Torque 2 (200lbs) (1ft.) En este caso el torque 1 y 2 nos producen el mismo efecto aunque las magnitudes sean diferentes. Esto es que son equivalentes Las equivalencias dentro de la ingeniera econmica son tiles ya que nos permiten cambiar varios flujos de efectivo en un solo flujo de efectivo que nos produzca el mismo efecto, esto nos da facilidad para solucionar el problema as como para interpretarlo.Una persona compra na propiedad pagando por ella $5,000 den enganche y pagos anuales diferidos de $500 durante 6 aos, empezando dentro de 3 aos. Cul es el valor presente de la inversin si la tasa de inters anual efectiva es del 8%? 1. Dibujar un DFE representando los ingresos y egresos del problema. El monto del enganche se ubica en el periodo 0 ubicacin del valor presente y los pagos de $500 a partir del ao 3 y hasta el periodo 8 (seis aos a partir del ao 3).2. Ubicar el valor presente o el valor futuro en el diagrama del flujo de caja. Para este caso el valor presente lo ubicamos en 0. 3. Determinar n reenumerando los periodos. En este caso n para la serie de pagos vale 6.

4. Representar en el DFE la ubicacin del flujo equivalente deseado.

En este caso el flujo equivalente deseado Pt se ubica en 0 ya que nos piden el monto equivalente en el presente. Se indica como ingreso ya que sera el equivalente de la inversin.5. Realizar la transformacin de los factores individuales hasta ubicarlo en el punto en el tiempo del flujo equivalente deseado que marca el problema. En este caso buscamos el valor en 0 por lo que debemos de convertir aquellos flujos de efectivo que no se encuentran en 0, uno de ello es la serie de pago por lo que realizamos la conversin $500 (P/A,8%,6) y obtenemos el valor equivalente de $2,311.44 en el periodo 2, esto es un periodo antes del primer depsito de la serie de pagos tal y como lo represente el DFE de serie de pagos.El valor de $2,311.44 an no se encuentra en 0 por lo que es necesario trasladarlo hasta 0 utilizando el factor 2,311.44 (P/F,8%,2)=1,981.69. En conclusin podemos decir que este es el valor equivalente a la serie de pagos de $500 en el tiempo presente.Siendo que esta cantidad y la de $5,000 se encuentran en el mismo periodo es decir en 0, es posible sumarlas en forma algebraica por lo que al final tendramos una valor de $5,000 + $1,981.69 = $6,981.69 que sera la respuesta final.

2.1 Mtodo del valor presente.Una cantidad futura de dinero convertida a su valor equivalente ahora tiene un monto de valor presente (VP) siempre menor que el flujo de efectivo real, debido a que para cualquier tasa de inters mayor que cero, todos los factores PIF tienen un valor presente menor que 1.0. Por tal razn, con frecuencia se hace referencia a clculos de valor presente con la denominacin de flujo de efectivo descontado (FEO). En forma similar, la tasa de inters utilizada en la elaboracin de los clculos se conoce como tasa de descuento. Otros trminos utilizados a menudo para hacer referencia a los clculos de valor presente son valor presente (VP) y valor presente neto (VPN). Hasta este punto, los clculos de valor presente se han realizado para un proyecto o alternativa nicos. Se consideran las tcnicas para comparar dos o ms alternativas mutuamente excluyentes, utilizando el mtodo del valor presente. Se varias extensiones al anlisis del valor presente -valor futuro, costo capitalizado, periodo de recuperacin, costos del ciclo de vida y anlisis de bonos-; todos emplean el valor presente para analizar alternativas.-Comparacin de alternativas con vidas tiles iguales.El anlisis de valor presente, que ahora llamaremos VP, se calcula a partir de la tasa mnima atractiva de rendimiento para cada alternativa. El mtodo de valor presente es muy popular debido a que los gastos o los ingresos se transforman en dlares equivalentes de ahora. Es decir, todos los flujos de efectivo futuros asociados con una alternativa se convierten en dlares presentes. En esta forma, es muy fcil percibir la ventaja econmica de una alternativa sobre otra.La comparacin de alternativas con vidas iguales usando el mtodo de valor presente es bastante directa. Si se utilizan ambas alternativas en capacidades idnticas para el mismo periodo de tiempo, stas reciben el nombre de alternativas de servicio igual. Cuando las alternativas mutuamente excluyentes implican slo desembolsos(servicio) o ingresos y desembolsos (ganancia), se aplican las siguientes guas para seleccionar una alternativa.Una alternativa. Calcule el VP a partir de la TMAR. Si VP ~ O, se alcanza o se excede la tasa mnima atractiva de rendimiento y la alternativa es financieramente viable.Dos o ms alternativas. Determine el VP de cada alternativa usando la TMAR. Seleccione aquella con el valor VP que sea mayor en trminos numricos, es decir, menos negativo o ms positivo, indicando un VP menor en costos de flujos de efectivo o un VP mayor de flujos de efectivo netos de entradas menos desembolsos.Observe que la gua para seleccionar una alternativa con el menor costo o el mayor ingreso utiliza el criterio de mayor en trminos numricos. ste no es el valor absoluto de la cantidad de VP pues el signo cuenta. La seleccin mostrada a continuacin aplica correctamente la directriz para los valores listados de VP.VP,VP,ALTERNANTIVA SELECCIONADA.

$-1500$ -5002

-500+10002

+2500-5001

+2500+15001

Si los proyectos son independientes, la directriz para la seleccin es la siguiente:Para uno o ms proyectos independientes, elija todos los proyectos con VP ~ O calculado con la TMAR.Esto compara cada proyecto con la alternativa de no hacer. Los proyectos debern tener flujos de efectivo positivos y negativos, para obtener un valor de VP que exceda cero; deben ser proyectos de ingresos.Un anlisis de VP requiere una TMAR para utilizarse como el valor i en todas las relaciones de VP.

-Comparacin de alternativas con vidas tiles diferentes.Cuando el mtodo de valor presente se utiliza para comparar las alternativas mutuamente excluyentes s que poseen vidas diferentes, se sigue el procedimiento de la seccin anterior con una excepcin:El VP de las alternativas deber compararse sobre el mismo nmero de aos.Esto es necesario, ya que la comparacin del valor presente implica calcular el valor presente equivalente para flujos de efectivo futuros en cada alternativa. Una comparacin justa puede realizarse slo cuando los valores de VP representan costos (e ingresos) asociados con igual servicio. Al no comparar igual servicio siempre favorecer la alternativa de vida ms corta (para costos), aun si no es la ms econmica, ya que se involucran periodos ms breves de costos. El requerimiento de igual servicio puede satisfacerse por cualquiera de los siguientes dos enfoques:Compare las alternativas durante un periodo de tiempo igual al mnimo comn mltiplo (MCM) de sus vidas.Compare las alternativas usando un periodo de estudio de n cantidad de aos, que no necesariamente tome en consideracin las vidas tiles de las alternativas; a este mtodo se le conoce como el enfoque del horizonte de planeacin. Directriz para realizar la seleccin ser la misma que la de las alternativas con vida igual. El enfoque del MCM automticamente hace que los flujos de efectivo para todas las alternativas se extiendan para el mismo periodo de tiempo. Por ejemplo, las alternativas con vidas esperadas de dos y tres aos se comparan durante un periodo de tiempo de seis aos. Tal procedimiento requiere que las suposiciones se realicen respecto de los ciclos de vida subsecuentes de las alternativas.Las suposiciones del anlisis de VP con alternativas de vida diferente son las siguientes:1. El servicio ofrecido por las alternativas ser necesario para el MCM de aos o ms.2. La alternativa seleccionada se repetir durante cada ciclo de vida del MCM exactamente en la misma forma.3. Los estimados del flujo de efectivo sern los mismos en cada ciclo de vida. La tercera suposicin es vlida slo cuando se espera que los flujos de efectivo varen exactamente de acuerdo con el ndice de inflacin (o deflacin), el cual se aplica al periodo de tiempo del MCM. Si se espera que los flujos de efectivo varen por cualquier otro ndice, entonces el anlisis de VP deber conducirse utilizando un valor constante en dlares, que considere la inflacin (vase el captulo 14). Un anlisis de periodo de estudio es necesario si no es realizable la primera suposicin acerca de la cantidad de tiempo de las alternativas. Un anlisis de valor presente sobre el MCM requiere que el valor de salvamento estimado se incluya en cada ciclo de vida.Para la aproximacin por periodo de estudio, se elige un horizonte de tiempo, durante el cual se realiza un anlisis econmico, y slo aquellos flujos de efectivo que ocurran en ese periodo de tiempo se consideran relevantes al anlisis; se ignoran todos los flujos de efectivo ocurridos ms all del periodo de estudio. Deber considerarse un valor de mercado estimado al final de este periodo. El horizonte de tiempo escogido deber ser relativamente corto, en especial cuando las metas de negocio a corto plazo son muy importantes. El enfoque del periodo de estudio a menudo se utiliza en el anlisis de reemplazo; tambin es til cuando el MCM de las alternativas da como resultado un periodo de evaluacin irreal, por ejemplo, 5 y 9 aos.-Costo capitalizadoEl costo capitalizado (CC) se refiere al valor presente de una alternativa cuya vida til se supone durar para siempre. Algunos proyectos de obras pblicas tales como puentes, diques, sistemas de irrigacin y vas de ferrocarril se encuentran dentro de esta categora. Adems, los fondos permanentes de universidades o de organizaciones filantrpicas se evalan utilizando mtodos de costo capitalizado.Se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida til se considera perpetua. Puede considerarse tambin como el valor presente de un flujo de efectivo perpetuo, como por ejemplo: carreteras, puentes, etc. Tambin es aplicable en proyectos que deben asegurar una produccin continua, en los cuales los activos deben ser reemplazados peridicamente.-Comparacin de las alternativas mediante el costo capitalizado.La comparacin entre alternativas mediante costo capitalizado es realizada con la premisa de disponer de los fondos necesarios para reponer por ejemplo un equipo, una vez cumplida su vida til.Se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida til se considera perpetua. Puede considerarse tambin como el valor presente de un flujo de efectivo perpetuo, como por ejemplo: carreteras, puentes, etc. Tambin es aplicable en proyectos que deben asegurar una produccin continua, en los cuales los activos deben ser reemplazados peridicamente.La comparacin entre alternativas mediante costo capitalizado es realizada con la premisa de disponer de los fondos necesarios para reponer por ejemplo un equipo, una vez cumplida su vida til.La ecuacin para obtener el costo capitalizado se obtiene de:P= Valor PRESENTE.A= Anualidad o serie de pagos constantes e iguales.i= tasa de inters.n= nmero de periodos.S el numerador y el denominador se dividen entre (1 + i)n, la ecuacin del numerador se transforma.-Comparacin de alternativas segn el costo capitalizado.Cuando se comparan 2 o ms alternativas en base de su costo capitalizado se emplea el procedimiento del ejemplo 1 del tema anterior. Puesto que el costo capitalizado representa el costo total presente de financiacin y mantenimiento de una alternativa dada para siempre, las alternativas se compararan automticamente para el mismo nmero de aos. La alternativa con el menor costo capitalizado es la ms econmica. Como en el mtodo del valor presente y otros mtodos de evaluacin de alternativas, solo se deben considerar las diferencias en el flujo d caja entre las alternativas. Por lo tanto y cuando sea posible, los clculos deben simplificarse eliminando los elementos de flujo de caja comunes a las 2 alternativas. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento para comparar 2 alternativas en base a su costo capitalizado.

2.2 Mtodo de Valor Anual.En muchos estudios de ingeniera econmica, el mtodo del VA es el ms recomendable cuando se le compara con el VP, el VF y la tasa de rendimiento (siguientes dos captulos). Ya que l VA es el valor anual uniforme equivalente de todos los ingresos y desembolsos, estimados durante el ciclo de vida del proyecto o alternativa, cualquier persona familiarizada con pagos anuales, es decir, unidades monetarias anuales, puede entender con facilidad el concepto de VA. l VA, que posee la misma interpretacin econmica que el valor A utilizado hasta ahora, es el equivalente de los valores VP y VF en la TMAR para n aos. Los tres valores se pueden calcular fcilmente, uno a partir del otro, por medio de la frmula:VA = VP(A/P,i,n) = VF(A/F;i,n) El valor n en los factores representa el nmero de aos para la comparacin de alternativas de servicio igual. ste es el MCM del periodo de estudio establecido del anlisis del VP o VF.Cuando todas las estimaciones del flujo de efectivo se convierten a un VA, este valor se aplica a cada ao del ciclo de vida y para cada ciclo de vida adicional. De hecho, una ventaja de interpretacin y de clculo radica en que l VA debe calcularse exclusivamente para un ciclo de vida. Por lo tanto, no es necesario emplear el MCM de las vidas, como en el caso de los anlisis del VP y del VF.Por lo tanto, el clculo del VA durante el ciclo de vida de una alternativa determina l VA para todos los ciclos de vida futuros. Como en el caso del mtodo del VP, existen tres supuestos fundamentales del mtodo del VA que deben entenderse.Cuando las alternativas que se comparan tienen vidas diferentes, se establecen los siguientes supuestos en el mtodo del VA:1. Los servicios proporcionados son necesarios al menos durante el MCM de las alternativas de vida.2. La alternativa elegida se repetir para los ciclos de vida subsiguientes exactamente de la misma forma que para el primer ciclo de vida.3. Todos los flujos de efectivo tendrn los mismos valores calculados en cada ciclo de vida.En la prctica, ningn supuesto es necesariamente correcto. Si en una evaluacin los primeros dos supuestos no son razonables, se debe establecer un periodo de estudio para el anlisis. Obsrvese que para la suposicin 1, el periodo de tiempo puede ser el futuro indefinido (para siempre). En la tercera suposicin, se espera que todos los flujos de efectivo cambien exactamente con la tasa de inflacin (o deflacin). Si sta no fuera una suposicin razonable, deben hacerse estimaciones nuevas de los flujos de efectivo para cada ciclo de vida y nuevamente usarse un periodo de estudio.Una alternativa debera tener las siguientes estimaciones de flujos de efectivo: Inversin inicial P. Representa el costo inicial total de todos los activos y servicios necesarios para empezar la alternativa. Cuando partes de estas inversiones se llevan a cabo durante varios aos, su valor presente constituye una inversin inicial equivalente. Esta cantidad se denota con P.Valor de salvamento S. Es el valor terminal estimado de los activos al final de su vida til. S tiene un valor de cero si no se anticipa ningn valor de salvamento; S es negativo si la disposicin de los activos tendr un costo monetario. En periodos de estudio ms cortos que la vida til, S es el valor comercial estimado o valor comercial al final del periodo de estudio.Cantidad anual A. Es la cantidad anual equivalente (costos exclusivos para alternativas de servicio; costos y entradas para alternativas de ingresos). A menudo se trata de un costo de operacin anual (COA); as que la estimacin es, de hecho, un valor equivalente A.El valor anual (VA) para una alternativa est conformado por dos elementos: la recuperacin del capital para la inversin inicial P a una tasa de inters establecida (por lo general la TMAR) y la cantidad anual equivalente A. Las siglas RC se emplean para indicar el elemento relativo a la recuperacin del capital. En forma de ecuacin, se tiene queVA= -RC-A Tanto RC como A son negativos en virtud de que representan costos. La cantidad anual total A se determina a partir de los costos peridicos uniformes (y posiblemente ingresos) y cantidades no peridicas. Los factores P/A y P/F pueden ser necesarios para obtener, primero, una cantidad presente y, despus, el factor A/P convierte esta cantidad en el valor A de la ecuacin. (Si la alternativa tiene que ver con un proyecto de ingresos, habr estimaciones positivas de flujos de efectivo en los clculos del valor de A.)La recuperacin de una cantidad de capital P comprometida para un activo, ms el valor del capital en el tiempo a una tasa de inters particular, constituye un principio fundamental del anlisis econmico. La recuperacin de capital es elcosto anual equivalente de la posesin del activo ms el rendimiento sobre la inversin inicial. El factor A/P se utiliza para convertir P a un costo anual equivalente. Si hay un valor de salvamento positivo anticipado S al final de la vida til del activo, su valor anual equivalente se elimina mediante el factor A/F Esto reduce el costo anual equivalente de posesin del activo. As, la RC es igual a:Re = -[P(A/P,i,n) - S(AIF,i,n)]Existe una segunda forma, tambin correcta, para determinar la RC. Cualquierade los mtodos ofrece el mismo resultado. En la seccin 2.3 se estableci larelacin entre los factores A/P y A/F de la siguiente manera: (A/F,i,n) = (A/P,i,n) - i Ambos factores se encuentran presentes en la ecuacin [6.3] de Re. Si se sustituye el factor A/F, se obtiene:RC = -{P(A/P,i,n) - S[(A/P,i,n) - i]}= -[(P - S)(A/P,i,n) + S(i)]Hay una lgica fundamental detrs de esta frmula. Restar S de la inversin inicial P antes de aplicar el factor A/P, implica que se recuperar el valor de salvamento. Esto reduce la RC, el costo anual de propiedad del activo. Sin embargo, el hecho de que S no se recupere hasta el ao n de la posesin queda compensado cargando el inters anual S(i) a la Re.La aplicacin de esta segunda tcnica para calcular la RC da como resultado el mismo valor.RC = -{ [8.0 + 5.0(P/F,12%,1) - 0.5](A/P,12%,8) + 0.5(0.12)}= -{ [12.46 - 0.5](0.2013) + 0.06} = $-2.47-Comparacin de alternativas con vidas tiles diferentes.El mtodo del valor anual por lo comn es la tcnica de evaluacin ms sencilla de llevar a cabo cuando se especifica la TMAR. La alternativa elegida posee el menor costo anual equivalente (alternativas de servicio) o el mayor ingreso equivalente (alternativas de ingresos). Esto implica que las directrices de eleccin son las mismas que en el caso del mtodo del VP, salvo que se emplea el VA.Para alternativas mutuamente exclusivas, calcule el VA usando la TMAR. Una alternativa: VA 2:: 0, la TMAR se alcanza o se rebasa. Dos o ms alternativas: se elige el costo mnimo o el ingreso mximo reflejados en el valor VA (numricamente ms grande).Si un supuesto no resulta aceptable para una alternativa, se debe aplicar un anlisis de periodo de estudio. Despus las estimaciones de flujos de efectivo a lo largo del periodo de estudio se convierten en cantidades de VA.-Mtodo del valor presente de salvamento.Una alternativa debera tener las siguientes estimaciones de flujos de efectivo:Inversin inicial P. costo inicial total de todos los activos y servicios necesarios para empezar la alternativa.Valor de salvamento S. valor terminal estimado de los activos al final de su vida til. Tiene un valor de cero si no se anticipa ningn valor de salvamento y es negativo si la disposicin de los activos tendr un costo monetario. S es el valor comercial al final del periodo de estudio.Cantidad anual A. costos exclusivos para alternativas de servicio. El valor anual para una alternativa est conformado por dos elementos: la recuperacin del capital para la inversin inicial P a una tasa de inters establecida y la cantidad anual equivalente A.RC y A son negativos porque representan costos. A se determina a partir de los costos peridicos uniformes y cantidades no peridicas. Los factores P/A y P/F pueden ser necesarios para obtener una cantidad presente y, despus, el factor A/P convierte esta cantidad en el valor A.La recuperacin de capital es el costo anual equivalente de la posesin del activo ms el rendimiento sobre la inversin inicial.A/P se utiliza para convertir P a un costo anual equivalente. Si hay un valor de salvamento positivo anticipado S al final de la vida til del activo, su valor anual equivalente se elimina mediante el factor A/F.En los clculos de recuperacin del capital es importante que stos incluyan la inflacin. Dado que las UM futuras (valores corrientes) tienen menos poder de compra que las UM de hoy (valores constantes), requerimos ms UUMM para recuperar la inversin actual. Esto obliga al uso de la tasa de inters del mercado o la tasa inflada en la frmula (C/VA).-Mtodo de recuperacin de capital comparacin de alternativas por CAUE.Dentro deuna empresahay situaciones en la cual es necesario tomar una decisin de tipo econmico sin que se involucren ingresos, es decir, en tales situaciones solo existen costos y es nicamente sobre estabasesobre la que hay que tomar la decisin. Las siguientes son las situaciones ms comunes:a)Elegir entre varias mquinas alternativas que forman parte de un proceso productivo intermedio, es decir, no elaboran un producto final y por lo tanto no producen ingresos por s mismas.b)Decidirentre doso ms instalaciones alternativas, en donde, por supuesto, los nicos datos disponibles son costos.Para estos casos se utiliza elmtodo analticollamado Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE). Se acostumbra representar los ingresos con signo positivo y los costos con signo negativo. Sin embargo en este tipo de problemas. Donde lo predominante son los costos, es ms conveniente asignarles a estos un signo positivo, pues de lo contrariotodas lasecuaciones y resultados estaran llenas de signos negativos, lo que podra confundir al estudiante.El mtodo delCAUErecibe este nombre debido a que expresa todoslos flujosde un horizonte de tiempo, en una cantidad uniforme por periodo, es decir, los expresa como una anualidad; por supuesto, calculada a su valor equivalente. Como se utiliza en anlisis de alternativas implicando solo costos, se debera elegir aquella alternativa con el menor costo expresado como una cantidad uniforme. No es usual calcular elCAUE2para analizar una sola alternativa, pues elCAUEen forma individual significamuy pocoal no tener una referencia contra la cual compararlo.Un activo, por ejemplo, una mquina, es una unidad de capital. Tal unidad de capital pierde valor durante el periodo de tiempo en que es utilizada para llevar a cabo las actividades productivas de una empresa. Est perdida de valor representa un consumo paulatino real o gasto de capital.Existen dos transacciones monetarias asociadas con la obtencin y retiro eventual de un activo de capital: su costo inicial y el valor de salvamento. Con base en estas cantidades es posible deducir una formula bastante sencilla para determinar el costo anual equivalente del activo para su utilizacin enestudios econmicos. Sea:P= costo inicial del activoF VS= valor de salvamento estimadon= vida estimada de servicio en aos.

2.3 Mtodo de la tasa interna de retorno.

Desde la perspectiva de una persona que ha recibido un dinero en prstamo, la tasa de inters se aplica al saldo no pagado, de manera que la cantidad prestada y el inters total se pagan en su totalidad con el ltimo pago del prstamo. Desde la perspectiva de quien otorga el prstamo, existe un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo. La tasa de inters es el rendimiento sobre este saldo no recuperado, de manera que la cantidad total prestada y el inters se recuperan en forma exacta con el ltimo pago. La tasa de rendimiento define ambas situaciones.Tasa de rendimiento (TR) es la tasa pagada sobre el saldo no pagado del dinero obtenido en prstamo, o la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una inversin, de forma que el pago o entrada final iguala el saldo exactamente a cero con el inters considerado.La tasa de rendimiento est expresada como un porcentaje por periodo, por ejemplo, i = 10% anual. sta se expresa como un porcentaje positivo; no se considera el hecho de que el inters pagado sobre un prstamo sea en realidad una tasa de rendimiento negativa desde la perspectiva del prestatario. El valor numrico de i puede oscilar en un rango entre -100% hasta el infinito, es decir, -100%