Embed Size (px)
DESCRIPTION
vibraciones
Citation preview
Laboratorio Tópicos III
Laboratorio 1
Alumno: Guillermo Echagüe Arriaza.
Profesora: Marcela Cruchaga.
Curso: Tópicos III.
Carrera: Ingeniería Civil Mecánica.
Fecha: 24-08-2012.
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
2
Contenido Resumen del contenido del informe .............................................................................................. 3
Objetivos ....................................................................................................................................... 3
Presentación de los resultados ....................................................................................................... 4
Análisis y Discusiones ................................................................................................................ 19
Apéndice ..................................................................................................................................... 21
Desarrollo de los cálculos ....................................................................................................... 21
Bibliografia ............................................................................................................................. 25
3
Resumen del contenido del informe
En el siguiente informe a desarrollar, se tiene por objetivo desarrollar el problema
entregado en clases. Se desarrolla a través de un esquema propuesto en clases, primero se
desarrolla las ecuaciones que gobiernan el problema deducida por medio de diagramas de
cuerpo libre, posteriormente se resuelven estas ecuaciones y se determinan sus constantes por
medio de los valores iníciales de la posición y velocidad. Finalmente esta solución se grafica
para ver su comportamiento.
Objetivos
1. OBJETIVO GENERAL:
Evaluar la respuesta vibratoria en sistemas de 1 grado de libertad ante variaciones de
parámetros característicos de los sistemas masa-resorte-amortiguador.
2. OBJETIVO ESPECÍFICO:
a) Identificar los efectos de los parámetros característicos sobre el comportamiento
vibratorio de un sistema con un grado de libertad.
b) Describir la evolución de los desplazamientos en vibración libre bajo diferentes
características de los componentes de un sistema con 1 grado de libertad.
4
Presentación de los resultados
1. La ecuación de equilibrio dinámico para:
a) Caso en vibración libre
b) Caso en vibración forzada al considerar que se le aplica un desplazamiento
𝐹 𝑡 = 𝐹 sin 𝜔𝑓𝑡
Desarrollo:
a) 𝑗𝜃 = 𝑀
𝑗 = 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 + 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =1
3𝑚𝐿2 + 𝑀𝐿2 =
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝑀 = −𝑘0𝜃 − 𝑘1 + 𝑘2 𝐿
2
2
𝜃 − 𝑐𝐿2𝜃
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2𝜃 = −𝑘0𝜃 − 𝑘1 + 𝑘2
𝐿
2
2
𝜃 − 𝑐𝐿2𝜃
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2𝜃 + 𝑐𝐿2𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿
2
2
𝜃 = 0
𝜃 +𝑐𝐿2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 = 0
𝜃 + 2𝑛𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 = 0
b) 𝑗𝜃 = 𝑀
𝑗 = 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 + 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =1
3𝑚𝐿2 + 𝑀𝐿2 =
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝑀 = −𝑘0𝜃 − 𝑘1 + 𝑘2 𝐿
2
2
𝜃 − 𝑐𝐿2𝜃 +3𝐿
4𝐹(𝑡)
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2𝜃 = −𝑘0𝜃 − 𝑘1 + 𝑘2
𝐿
2
2
𝜃 − 𝑐𝐿2𝜃 +3𝐿
4𝐹(𝑡)
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2𝜃 + 𝑐𝐿2𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿
2
2
𝜃 =3𝐿
4𝐹(𝑡)
𝜃 +𝑐𝐿2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 =
3𝐿4
𝐹 ∗ sin(𝜔𝑓𝑡)
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 + 2𝑛𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 =
𝑀(𝑡)
𝑗
5
2. Determine la frecuencia natural (𝜔𝑛 ) y la constante de amortiguamiento (n).
a) Caso en vibración libre
𝜔𝑛2 =
𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2 𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜔𝑛 = 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝑛 =𝐶
2 13𝑚 + 𝑀
b) Caso en vibración forzada al considerar que se le aplica un desplazamiento
𝐹 𝑡 = 𝐹 sin 𝜔𝑓𝑡
𝜔𝑛2 =
𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2 𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜔𝑛 = 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝑛 =𝐶
2 13𝑚 + 𝑀
6
3. Obtener la respuesta del sistema si:
a) La constante de rigidez k0 aumenta 5 veces su valor.
b) La constante de rigidez k0 disminuye 5 veces su valor.
c) La constante de rigidez k2 es igual a la constante k1, es decir, 50 N/m. Comparar los tres casos.
𝜃 𝑡, 𝐾0 , 𝑘1 , 𝑘2 = 𝑒−𝑛𝑡 𝜃 0 cos 𝜔𝑑𝑡 + 𝑛𝜃 0 + 𝜃 0
𝜔𝑑 sin 𝜔𝑑𝑡
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛2 − 𝑛2
Grafico desplazamiento v/s tiempo
0 2 4 60.1
0
0.1
0.2
t 10 50 25 ( )
t 50 50 25 ( )
t 2 50 25 ( )
t 10 50 50 ( )
t
7
t (t,10,50, 25) (t,50,50, 25) (t,2,50, 25) (t,10,50, 50)
0 0,0870 0,0870 0,0870 0,0870
0,5 0,1637 0,0110 0,2100 0,1452
1 0,0223 -0,0174 0,0963 0,0015
1,5 -0,0156 0,0093 0,0234 -0,0177
2 -0,0059 -0,0036 0,0001 -0,0017
2,5 0,0007 0,0011 -0,0028 0,0020
3 0,0009 -0,0002 -0,0014 0,0004
3,5 0,0001 0,0000 -0,0004 -0,0002
4 -0,0001 0,0000 0,0000 -0,0001
4,5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
5,5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
6,5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
7,5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
8,5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
9,5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
8
Grafico desplazamiento v/s tiempo
forzada t K0 k1 k2 1
n
1
n 2
f2
2 n f 2 n2
f2
2
3 F1 f
4 L1m1
3M2
sin n t 0
2 n f
2 n f 2 n2
f2
2
3 F1
4 L1m1
3M2
cos n t n
2f
2
2 n f 2 n 2 f2
2
3 F1
4 L1m1
3M2
sin f t 2 n f
2 n f 2 n 2 f2
2
3 F1
4 L1m1
3M2
cos f t n
0 2 4 6 8 104
2
0
2
4
forzada t 10 50 25 ( )
forzada t 50 50 25 ( )
forzada t 2 50 25 ( )
forzada t 10 50 50 ( )
t
9
t1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
forzada t1 50 50 25
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.087
0.064
0.472
0.303
0.124
-0.09
-0.468
-0.22
-0.358
0.284
0.155
0.537
0.114
0.023
-0.314
-0.429
-0.183
-0.142
0.425
0.208
0.491
forzada t1 10 50 25
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.087
-0.032
0.143
1.405
1.44
-0.382
-1.343
-0.61
-0.369
-0.766
0.209
1.745
1.271
-0.378
-0.667
-0.3
-0.98
-1.228
0.407
1.71
0.892
10
4. Para el caso de vibración libre amortiguada:
a) Determine el tipo de sistema según y graficar su respuesta.
b) Aumentar el coeficiente de amortiguación c en un 100% y graficar la respuesta.
Comparar con el gráfico anterior. c) Determine el coeficiente de amortiguación c para que el sistema se vuelva críticamente
amortiguado. Comparar con los dos casos anteriores.
forzada t1 2 50 25
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.087
-0.076
-0.421
0.582
2.111
1.844
-0.615
-2.738
-2.187
0.192
1.621
1.063
0.168
0.43
0.909
-0.1
-2.052
-2.447
-0.284
2.259
2.468
forzada t1 10 50 50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.087
-38.321·10
0.301
1.38
0.929
-0.624
-0.788
-0.387
-0.894
-0.576
1.017
1.296
0.25
0.114
0.089
-1.102
-1.386
0.055
0.721
0.345
0.815
C2
C2
1
3m1 M2
n
d C2 n 1 C2 2
t C2 en C2 t
0.087cos n 1 C2 2 t
1 0.087n C2
n 1 C2 2
sin n 1 C2 2 t
11
Grafico desplazamiento v/s tiempo
0 2 4 6 8 100.1
0
0.1
0.2
sub t( )
critico t( )
sobre t( )
t
12
5. Analice la vibración forzada no amortiguada y determine la respuesta del
sistema para su parte transiente y estacionaria. (grafique)
Grafico desplazamiento v/s tiempo
Estacionaria t( )3 F1
41
3m1 M2
n2
f2
sin f t
Transiente t( )3 F1
41
3m1 M2
n2
f2
L1
sin f t 0 cos n t 1
3 F1
41
3m1 M2
f
n2
f2
L1
1
n
sin n t
0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
Estacionariat( )
Transiente t( )
t
13
t1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
sTransiente t1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.087
0.611
1.343
1.406
0.17
-1.117
-1.267
-0.867
-0.518
0.326
1.475
1.534
0.341
-0.665
-0.947
-1.154
-1.035
0.121
1.425
1.446
0.566
Estacionaria t1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0.704
1.031
0.804
0.146
-0.591
-1.01
-0.888
-0.289
0.465
0.969
0.954
0.426
-0.33
-0.909
-1
-0.555
0.189
0.831
1.027
0.672
m
14
6. Analice la vibración forzada amortiguada y determine la respuesta del sistema
para su parte transiente y estacionaria. (Grafique)
Grafico desplazamiento v/s tiempo
Transiente t( )1
n
1
n2
f2
2 n f 2 n2
f2
2
3 F1 f
4 L1m1
3M2
sin n t 0
2 n f
2 n f 2 n2
f2
2
3 F1
4 L1m1
3M2
cos n t n
2f
2
2 n f 2 n2
f2
2
3 F1
4 L1m1
3M2
sin f t 2 n f
2 n f 2 n2
f2
2
3 F1
4 L1m1
3M2
cos f t
Estacionaria t( )n
2f
2
2 n f 2 n2
f2
2
3 F1
4 L1m1
3M2
sin f t 2 n f
2 n f 2 n2
f2
2
3 F1
4 L1m1
3M2
cos f t
0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
Estacionariat( )
Transiente t( )
t
15
t1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
sTransiente t1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0.087
-0.032
0.143
1.405
1.44
-0.382
-1.343
-0.61
-0.369
-0.766
0.209
1.745
1.271
-0.378
-0.667
-0.3
-0.98
-1.228
0.407
1.71
0.892
Estacionaria t1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
-0.654
0.138
0.856
1.115
0.776
0.02
-0.746
-1.112
-0.881
-0.177
0.622
1.087
0.969
0.331
-0.485
-1.04
-1.038
-0.478
0.338
0.972
1.085
16
7. Determinar la frecuencia impuesta f donde el sistema entra en resonancia.
Graficar para los puntos 5 y 6.
Vibración forzada no amortiguada para su parte transciente y estacionaria
Grafico desplazamiento v/s tiempo
Grafico desplazamiento v/s tiempo
0 2 4 6 8 10200
100
0
100
200
Estacionariat( )
Transiente t( )
t
0 20 40 60 80 100200
100
0
100
200
Estacionariat( )
Transiente t( )
t
17
Vibración forzada amortiguada para su parte transciente y estacionaria
Grafico desplazamiento v/s tiempo
t1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
sTransiente t1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0.087
0.914
1.562
-1.464
-3.074
2.546
4.313
-4.103
-5.158
6.045
5.506
-8.263
-5.276
10.627
4.413
-12.992
-2.895
15.208
0.729
-17.122
2.043
Estacionaria t1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0
135.715
-21.521
-132.302
42.502
125.562
-62.413
-115.665
80.755
102.859
-97.066
-87.466
110.936
69.874
-122.017
-50.525
130.029
29.905
-134.771
-8.534
136.125
m
0 2 4 6 8 101
0.5
0
0.5
1
Transiente t( )
Estacionariat( )
t
18
Datos:
K0 = 10 N*m k1 = 50 N/m k2 = 25 N/m c = 7 kg/s
m = 1 kg M = 3 kg L = 75cm
f = 1.5 rad/s F = 40 N
0 = 5° 𝜃 0 = 1 𝑟𝑎𝑑
𝑠
t1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
sTransiente t1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0.087
0.294
-0.137
-0.271
0.182
0.24
-0.223
-0.202
0.257
0.159
-0.284
-0.111
0.302
0.06
-0.313
-3-7.541·10
0.314
-0.045
-0.306
0.097
0.29
Estacionaria t1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
-0.863
0.073
0.851
-0.216
-0.814
0.353
0.755
-0.481
-0.674
0.594
0.574
-0.691
-0.457
0.768
0.328
-0.823
-0.189
0.855
0.045
-0.863
0.1
19
Análisis y Discusiones
Se aprecia que independientemente como sea el caso, vibración libre o vibración
forzada la frecuencia natural y la constante de amortiguación son las mismas en ambos caso, ya
que estas características son propias del sistema y no influyen las fuerzas externas que actúan
sobre él. Para la frecuencia natural se aprecia que la constante de rigidez K0, es el término que
más determina el comportamiento de la respuesta del sistema.
A medida que se varia el coeficiente de amortiguamiento se modifica de un estado sub
amortiago, amortiguado critico y sobre amortiguado. Para el caso críticamente amortiguado el
grafico muestra que una fuerza de amortiguación que conduce a amortiguamiento crítico es
suficiente para disipar toda la energía inicial de un sistema antes que un ciclo de la marcha se
halla completado. Un sistema críticamente amortiguado por lo tanto puede pasar a través de un
equilibrio a lo sumo una vez antes de las desintegraciones de movimiento. Las vibraciones
libres de un sistema sub amortiguado son oscilatoria, pero no periódico. Las vibraciones serían
periódicas si no fuera por el decaimiento de la amplitud. A pesar de que la amplitud disminuye
entre los ciclos, el sistema tiene la misma cantidad de tiempo para ejecutar cada ciclo. Para
vibraciones libres sobre amortiguado, la amortiguación viscosa conduce a la decadencia de las
oscilaciones libres. Cuando se añade a un sistema lineal de un grado de libertad, se añade una
fuerza linealmente proporcional a la velocidad, y la ecuación diferencial permanece lineal. El
amortiguamiento viscoso también conduce a efectos positivos cuando se añade a los sistemas
sometidos a excitación forzada.
La solución de la ecuación forzada depende de la forma de Feq(t) para obtener la
solución particular del sistema. Si ζ>0, θ(t) tiende a cero cuando t se hace muy grande. La
presencia de la solución homogénea en la solución general conduce a un movimiento transitorio
inicial que rápidamente se desintegra. La respuesta de estado estacionario es la respuesta del
sistema después de que el movimiento transitorio ha decaído suficientemente. Solamente la
solución particular contribuye a la respuesta de movimiento transitorio para un sistema lineal.
En la Solución forzada no amortiguada la respuesta, graficada es la suma de dos
términos trigonométricos de diferentes frecuencias. Cuando la vibración de sistema conservador
se inicia, el movimiento que mantiene el sistema es la frecuencia natural sin aporte adicional de
energía. Por lo tanto, cuando la frecuencia de excitación es la misma que la frecuencia natural,
el trabajo realizado por la fuerza externa no es necesaria para mantener el movimiento. Los
aumentos totales de energía debido a la entrada de trabajo conducen a un aumento continuo de
la amplitud. Cuando la frecuencia de excitación es diferente de la frecuencia natural, el trabajo
realizado por las fuerzas externas son necesarias para mantener el movimiento en la frecuencia
de excitación.
En la Solución forzada amortiguada, sólo el comportamiento a largo plazo es de interés
para el sistema sujeto a una excitación armónica, en este caso 𝐹 𝑡 = 𝐹 sin 𝜔𝑓𝑡 . Cuando
t→∞, la solución homogénea tiende a cero y sólo queda la respuesta forzada. Así, por excitación
armónica, la respuesta libre de vibraciones se descuida y considera sólo la respuesta forzada o la
respuesta de estado estacionario. La amplitud y ángulo de fase proporcionan información
importante acerca de la respuesta forzada.
20
La resonancia de un sistema se produce cuando f = n. Los términos no homogéneos
de la ecuación diferencial forzada no amortiguada y la solución homogénea no son linealmente
independientes. La respuesta de un sistema en el que la frecuencia de excitación es igual a la
frecuencia natural, crece sin límites. En el sistema físico real de la amplitud es limitada. En un
sistema con un elemento elástico tal como un resorte helicoidal, el límite de proporcionalidad
del resorte del material es eventualmente alcanzado. Después de este tiempo el movimiento del
sistema se rige por una ecuación diferencial lineal que refleja la relación no lineal fuerza-
desplazamiento en el resorte.
La resonancia es una condición de cuidado en sistemas de estructuras mecánicas ya que
produce grandes desplazamientos no deseados que pueden llevar al fracaso.
21
Apéndice
Desarrollo de los cálculos
Caso vibración libre amortiguada
𝑗𝜃 = 𝑀
𝑗 = 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 + 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =1
3𝑚𝐿2 + 𝑀𝐿2 =
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝑀 = −𝑘0𝜃 − 𝑘1 + 𝑘2 𝐿
2
2
𝜃 − 𝑐𝐿2𝜃
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2𝜃 = −𝑘0𝜃 − 𝑘1 + 𝑘2
𝐿
2
2
𝜃 − 𝑐𝐿2𝜃
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2𝜃 + 𝑐𝐿2𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿
2
2
𝜃 = 0
𝜃 +𝑐𝐿2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 = 0
𝜃 + 2𝑛𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 = 0
𝜃 𝑡 = 𝑒−𝑛𝑡 𝑐1 cos 𝜔𝑑𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑑𝑡
𝜃 𝑡 = −𝑛𝑒−𝑛𝑡 𝑐1 cos 𝜔𝑑𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑑𝑡 + 𝑒−𝑛𝑡 −𝜔𝑑𝑐1 sin 𝜔𝑑𝑡 + 𝜔𝑑𝑐2 cos 𝜔𝑑𝑡
𝜃 0 = 𝑐1
𝜃 0 = −𝑛𝜃 0 + 𝜔𝑑𝑐2
𝑐2 =𝑛𝜃 0 + 𝜃 0
𝜔𝑑
𝜃 𝑡 = 𝑒−𝑛𝑡 𝜃 0 cos 𝜔𝑑𝑡 + 𝑛𝜃 0 +𝜃 0
𝜔𝑑 sin 𝜔𝑑𝑡 Caso sub amortiguado
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛2 − 𝑛2
𝜃 𝑡 = 𝑒−𝑛𝑡 (𝑐1 + 𝑐2𝑡) Caso Criticamente amortiguado
𝜃 𝑡 = 𝑒−𝑛𝑡 (𝑐1𝑒𝜔𝑑 𝑡 + 𝑐2𝑒
−𝜔𝑑 𝑡) Caso Sobre amortiguado
22
Caso Vibración forzada no amortiguada
𝑗𝜃 = 𝑀
𝑗 = 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 + 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =1
3𝑚𝐿2 + 𝑀𝐿2 =
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝑀 = −𝑘0𝜃 − 𝑘1 + 𝑘2 𝐿
2
2
𝜃 +3𝐿
4𝐹(𝑡)
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2𝜃 = −𝑘0𝜃 − 𝑘1 + 𝑘2
𝐿
2
2
𝜃 +3𝐿
4𝐹(𝑡)
1
3𝑚 + 𝑀 𝐿2𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿
2
2
𝜃 =3𝐿
4𝐹(𝑡)
𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 =
3𝐿4
𝐹 ∗ sin(𝜔𝑓𝑡)
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 =
𝑀(𝑡)
𝑗
𝜃 𝑡 = 𝜃(𝑡)𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 + 𝜃(𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝜃(𝑡)𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 = 𝑐1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑛𝑡
𝜃(𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝐴 sin 𝜔𝑓𝑡
𝜃 (𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝐴𝜔𝑓cos 𝜔𝑓𝑡
𝜃 (𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = −𝐴𝜔𝑓2 sin 𝜔𝑓𝑡
𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 =
𝑀(𝑡)
𝑗
−𝐴𝜔𝑓2 sin 𝜔𝑓𝑡 + 𝜔𝑛
2𝐴 sin 𝜔𝑓𝑡 =
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
sin(𝜔𝑓𝑡)
𝐴 𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓
2 sin 𝜔𝑓𝑡 =
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
sin(𝜔𝑓𝑡)
𝐴 =
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
23
𝜃 𝑡 = 𝑐1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑛𝑡 +
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
sin(𝜔𝑓𝑡)
𝜃 𝑡 = −𝑐1𝜔𝑛 sin 𝜔𝑛𝑡 + 𝑐2𝜔𝑛 cos 𝜔𝑛𝑡 +
3𝐿4
𝐹𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
cos 𝜔𝑓𝑡
𝑐1 = 𝜃 0
𝑐2 =1
𝜔𝑛 𝜃 0 −
34𝐹𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
𝜃 𝑡 = 𝜃 0 cos 𝜔𝑛𝑡 +1
𝜔𝑛 𝜃 0 −
34𝐹𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
sin 𝜔𝑛𝑡
+
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
sin(𝜔𝑓𝑡)
Caso Vibración forzada amortiguada
𝜃 +𝑐𝐿2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 + 𝑘0 + 𝑘1 + 𝑘2
𝐿2
2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 =
3𝐿4
𝐹 ∗ sin(𝜔𝑓𝑡)
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝜃 + 2𝑛𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 =
𝑀(𝑡)
𝑗
𝜃 𝑡 = 𝜃(𝑡)𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 + 𝜃(𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝜃(𝑡)𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 = 𝑐1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑛𝑡
𝜃(𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝐴 sin 𝜔𝑓𝑡 + 𝐵 cos 𝜔𝑓𝑡
𝜃 (𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝐴𝜔𝑓cos 𝜔𝑓𝑡 − 𝐵𝜔𝑓sin 𝜔𝑓𝑡
𝜃 (𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = −𝐴𝜔𝑓2 sin 𝜔𝑓𝑡 − 𝐵𝜔𝑓
2sin 𝜔𝑓𝑡
𝜃 + 2𝑛𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 =
𝑀(𝑡)
𝑗
−𝐴𝜔𝑓2 sin 𝜔𝑓𝑡 − 𝐵𝜔𝑓
2sin 𝜔𝑓𝑡 + 2𝑛 𝐴𝜔𝑓cos 𝜔𝑓𝑡 − 𝐵𝜔𝑓sin 𝜔𝑓𝑡 + 𝐴 sin 𝜔𝑓𝑡 + 𝐵 cos 𝜔𝑓𝑡
=
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
sin(𝜔𝑓𝑡)
24
−𝐴𝜔𝑓2 + 𝐴𝜔𝑛
2 − 𝐵2𝑛𝜔𝑓 sin 𝜔𝑓𝑡 + −𝐵𝜔𝑓2 + 𝐵𝜔𝑛
2 + 2𝐴𝑛𝜔𝑓 cos 𝜔𝑓𝑡
=
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
sin(𝜔𝑓𝑡)
𝐴 𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓
2 − 𝐵2𝑛𝜔𝑓 =
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝐵 𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓
2 + 2𝐴𝑛𝜔𝑓 = 0
𝐴 =−𝐵 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2𝑛𝜔𝑓
−𝐵 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2
2𝑛𝜔𝑓 =
3𝐿4
𝐹
13𝑚 + 𝑀 𝐿2
𝐵 = −
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2
𝐴 = 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2𝑛𝜔𝑓
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2
𝜃 𝑡 = 𝑐1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑛𝑡
+ 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2𝑛𝜔𝑓
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2 sin 𝜔𝑓𝑡
−
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2
cos 𝜔𝑓𝑡
𝜃 𝑡 = −𝑐1𝜔𝑛 sin 𝜔𝑛𝑡 + 𝑐2 𝜔𝑛cos 𝜔𝑛𝑡
+ 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2𝑛𝜔𝑓
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2 cos 𝜔𝑓𝑡
+
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2 sin 𝜔𝑓𝑡
𝑐1 = 𝜃 0 +
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2
25
𝑐2 =1
𝜔𝑛 𝜃 0 −
𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓
2
2𝑛𝜔𝑓
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2
𝜃 𝑡 = 𝜃 0 +
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2 cos 𝜔𝑛𝑡
+1
𝜔𝑛 𝜃 0 −
𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓
2
2𝑛𝜔𝑓
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓2
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2 sin 𝜔𝑛𝑡
+ 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2𝑛𝜔𝑓
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2 sin 𝜔𝑓𝑡
−
3𝐿4
𝐹2𝑛𝜔𝑓
13𝑚 + 𝑀 𝐿2 𝜔𝑛
2 − 𝜔𝑓2
2+ 2𝑛𝜔𝑓
2
cos 𝜔𝑓𝑡
Bibliografia
Graham, S. (2000). “Fundamentals of mechanical vibrations”. (Second Edition). United
States: McGraw Hill Companies.
