LA TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER (Fast Fourier Transform ...ltarazona/spds/spds1ba.pdf · • Este diagrama constituye la base para el algoritmo de DIT-FFT. Diagrama de Mariposa

22/05/02 Procesamiento Digital de Señales - UNEXPO Luis Tarazona 100

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

W0

W1

W2

W 3

-W 0

-W 1

-W2

-W 3

Stage 1

W0

W2

-W0

-W2

W 0

W2

-W0

-W2

W0

-W 0

W0

-W 0

W0

-W0

W0

-W 0

Stage 2Stage 3x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

W0

W1

W2

W 3

-W 0

-W 1

-W2

-W 3

Stage 1

W0

W2

-W0

-W2

W 0

W2

-W0

-W2

W0

-W 0

W0

-W 0

W0

-W0

W0

-W 0

Stage 2Stage 3

LA TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER

(Fast Fourier Transform – FFT)


La Transformada Discreta de FourierEcuaciones de análisis y síntesis

Análisis:

Síntesis:

(7.1)

(7.2)

10,)()(1

0−≤≤= ∑

−

=

NkWnxkXN

n

nkN

10 ,)(1)(1

0−≤≤= ∑

−

=

− NkWkXN

nxN

k

knN

10,)()(1

0−≤≤= ∑

−

=

NkWnxkXN

n

nkN

10 ,)(1)(1

0−≤≤= ∑

−

=

− NkWkXN

nxN

k

knN


Propiedades de los Twiddle Factors

(7.3)

(7.4)

(7.5)

nNkN

NnkN

knN WWW )()( ++ ==

knN

NknN WW −=+ 2/

2/2

NN WW =

(periodicidad)

(simetría)

nNkN

NnkN

knN WWW )()( ++ ==

knN

NknN WW −=+ 2/

2/2

NN WW =

(periodicidad)

(simetría)


La Transformada Rápida de Fourier• Es la única transformada que es discreta en el

dominio del tiempo y de la frecuencia y estádefinida para secuencias de duración finita.

• Es una transformada computable, pero su implementación usando (7.1) y (7.2) es muy ineficiente, en especial para secuencias largas.

• Cooley y Tuckey (1965) demostraron un procedimiento para reducir considerablemente la cantidad de cálculos necesarios para la DFT. Estos y otros algoritmos eficientes se conocen colectivamente como algoritmos de Transformada Rápida de Fourier (FFT).


Cálculo eficiente de la DFT

• La DFT requiere de N 2 multiplicaciones complejas y N (N-1) adiciones complejas.

• Idea detrás de la FFT: Divide y vencerás– Se divide la secuencia original de N muestras en dos

secuencias de (N / 2) muestras y así sucesivamente.– Los algoritmos de FFT culminan con secuencias de

dos muestras que solo requieren una multiplicación, dos sumas y recombinación de muestras.

– Esto reduce el total de operaciones a (N log N).


Algoritmos FFT base-2 • Basándonos en las propiedades de los “twiddle

factors” se describirán dos algoritmos FFT específicos, que requieren de (N log N)operaciones:

– FFT de diezmado en tiempo (decimation-in-time FFT)DIT-FFT.

– FFT de diezamdo en frecuencia (decimation-in-frequency FFT) DIF-FFT.

• Estos algoritmos asumen que la longitud N de la secuencia es una potencia de 2, es decir, N=2v, ventero. Es por esto que se les conoce como algoritmos base-2.


FFT de diezmado en tiempo (DIT-FFT)

• Si se divide la secuencia de N puntos de (7.1) en dos secuencias DFT, una conteniendo las muestras pares de x(n) (denotadas como x2n) y la otra las muestras impares de x(n) (denotadas como x2n+1) se obtiene:

(7.6)k= 0,1,…, N-1

∑∑−

=

++

−

=

+=12/

0

)12(12

212/

02)(

N

n

knNn

nkN

N

nn WxWxkX


• Usando las propiedades de los twiddle factors:

• La Ec. (7.4) muestra dos DFTs de N/2 puntos, las cuales se pueden calcular en menos tiempo que una DFT de N puntos. Este proceso de diezmado se continúa hasta que se llega a una serie de DFTs de dos puntos, es decir, sólo dos muestras de entrada.


(7.7)k= 0,1,…, N-1

∑∑−

=+

−

=

+=12/

02/122/

12/

02)(

N

n

nkNn

kN

nkN

N

nn WxWWxkX



• Si se define:

• Entonces, (7.7) se puede reescribir como:

(7.8)k= 0,1,…, N-1

(7.9)k= 0,1,…, N-1

(7.10)k= 0,1,…, N-1

nkN

N

nnWxkC 2/

12/

02)( ∑

−

=

=

∑−

=+=

12/

02/12)(

N

n

nkNn WxkD

)()()( kDWkCkX kN+=

nkN

N

nnWxkC 2/

12/

02)( ∑

−

=

=

∑−

=+=

12/

02/12)(

N

n

nkNn WxkD

)()()( kDWkCkX kN+=



• Para y usando (7.4), la ec. (7.10) se transforma en:

• Por ejemplo, supóngase N = 8. Luego, a partir de (7.10) y (7.11):

12/ +> Nk

(7.11)k = 0,1,…, N/2-1

(7.13)k = 0,1,2,3,4

(7.12)k = 0,1,2,3,4

)()()2/( kDWkCNkX kN−=+

)()()( kDWkCkX kN+=



)()()( kDWkCkX kN+=



• Las ecuaciones (7.12) y (7.13) se pueden representar mediante el siguiente diagrama de flujo (conocido como “mariposa FFT” – FFT butterfly).

Mariposa FFT de dos puntos

• Este diagrama constituye la base para el algoritmo de DIT-FFT.

Diagrama de Mariposa FFT

WNk

-WNk

X(k)

X(k+N/2)D (k)

C (k)



• La siguiente lámina muestra la descomposición de una DFT de 8 puntos en dos DFTs de 4 puntos mediante las ecuaciones (7.12) y (7.13).

• Repitiendo este procedimiento, cada DFT de 4 puntos se descompone en una de dos puntos, como se muestra dos láminas mas adelante.

• Un diagrama de flujo completo para ocho puntos se muestra finalmente. Note que cada descomposición corresponde a una etapa en el cálculo de la DFT.


Descomposición de una DFT de 8 puntos en dos DFTs de 4 puntos – Etapa 1 de la DIT-FFT

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

C(0)

WN0

WN0-

C(1)

C(2)

C(3)

D(0)

D(1)

D(2)

D(3)

DFT de 4 puntos

DFT de 4 puntos

WN1

WN1-

WN2

WN2-

WN3

WN3-


Descomposición de las DFT de 4 puntos en DFTs de 2 puntos – Etapa 2 de la DIT-FFT

WN1

WN0

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

WN0

WN2

WN0

WN2

WN0

WN2

WN2

WN0

WN1

WN2

WN3

WN0

WN2

WN3-

-

-

-

-

-

-

-

DFT de 2 puntos

DFT de 2 puntos

DFT de 2 puntos

DFT de 2 puntos


DIT-FFT de 8 puntos

Etapa 3 Etapa 2 Etapa1

WN1

WN0

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

WN0

WN0

WN0

WN0

WN0

WN0

WN0

WN0

WN0

WN2

WN0

WN2

WN0

WN2

WN2

WN0

WN1

WN2

WN3

WN0

WN2

WN3-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-


DIT-FFT de 8 puntos - Observaciones

• Se requieren log2N etapas y cada etapa tiene 2 adiciones y dos multiplicaciones complejas, por lo tanto se tendrán N log2N adiciones y multiplicaciones complejas.

• El diagrama también sugiere una forma útil de almacenar los datos en arreglos intermedios durante el cálculo de cada etapa (Cómputo “en sitio”).

• Para realizar el cómputo en sitio, se requiere que los datos originales se almacenen (o se accedan) en un orden no secuencial.


• Es posible reordenar la mariposa FFT para reducir a una sola la multiplicacion compleja:

• Reordenando, se obtiene:

• Que requiere de sólo una multiplicación compleja.

Cálculo simplificado de la mariposa FFT

WNk

-WNk

X(k)

X(k+N/2)D (k)

C (k)

-1

X(k)

X(k+N/2)D (k)

C (k)

WNk


FFT de diezmado en frecuencia (DIF-FFT)

• En este caso, en lugar de dividir la secuencia de entrada en secuencias más pequeñas, se divide la secuencia de salida. Asumiendo de nuevo una secuencia de N=2v puntos, se divide X(k) en dos mitades:

(7.14)

10,)()()(1

2/

1)2/(

0

−≤≤+= ∑∑−

=

−

=

NkWnxWnxkXN

Nn

nkN

N

n

nkN


FFT de diezmado en frecuencia

• Mediante substitución de variables obtenemos:

• Pero:

(7.15)

(7.16)

10,2

)()(1)2/(

0

2/1)2/(

0−≤≤

++= ∑∑

−

=

−

=

NkWNnxWWnxkXN

n

nkN

kNN

N

n

nkN

====−−−−======== −−−−

impar 1,-par 1,

)1()(2/

kk

eW kkjkNN

ππππ

10,2

)()(1)2/(

0

2/1)2/(

0−≤≤

++= ∑∑

−

=

−

=

NkWNnxWWnxkXN

n

nkN

kNN

N

n

nkN

====−−−−======== −−−−

impar 1,-par 1,

)1()(2/

kk

eW kkjkNN

ππππ



• Entonces, (7.15) puede escribirse como un par de ecuaciones:

∑−

=

++=

1)2/(

0even for ,

2)()(

N

n

nkN kWNnxnxkX

∑−

=

+−=

1)2/(

0odd for ,

2)()(

N

n

nkN kWNnxnxkX

para k par

para k impar

(7.18)

(7.17)



• Sustituyendo k = 2k para k par y k = 2k + 1 para k impar:

∑−

=

=

++=

1)2/(

0

2 1-2

...,1,0 ,2

)()2(N

n

nkN

NkWNnxnxkX

(7.20)

(7.19)

∑−

=

−

=

+−=+

1)2/(

0

2 12

,...,1,0 ,2

)()12(N

n

nkN

nN

NkWWNnxnxkX


FFT de diezmado en frecuencia• Sean:

• Luego, (7.19) y (7.20) se reescriben como:

++=

2)()( Nnxnxna

∑−

=

==

1)2/(

02/ 1-

2...,1,0 ,)()2(

N

n

nkN

NkWnakX

(7.24)

(7.21)

(7.23)

(7.22)

∑−

=

−

==+

1)2/(

02/ 1

2,...,1,0 ,)()12(

N

n

nkN

nN

NkWWnbkX

+−=

2)()( Nnxnxnb


FFT de diezmado en frecuencia• Las ecuaciones (7.23) y (7.24) representan dos DFTs

de N/2 puntos, las cuales son más simples de calcular que la DFT original. El proceso se continua hasta terminar con DFTs de sólo dos puntos.

• Note que para obtener la DFT de N puntos se deben formar las secuencias a(n) y b(n), luego multiplicar b(n) por WN

k y finalmente calcular las DFTs de N/2 puntos de esas dos secuencias para obtener las muestras pares e impares, respectivamente.

• Las propiedades de simetría y periodicidad de los twiddle factors reducen aún más la complejidad computacional.


Diagrama de Mariposa FFT

• El siguiente diagrama de flujo representa el diagrama de mariposa para la DIF-FFT

Mariposa DIF-FFT de dos puntos

• Este diagrama constituye la base para el algoritmo de DIF-FFT.

X(k)

X1(n+N/2) X(k+N/2)

X1(n)

-1

nNW


FFT de diezmado en frecuencia (DIT-FFT)

• La siguiente lámina muestra la descomposición de una DFT de 8 puntos en dos DFTs de 4 puntos mediante las ecuaciones (7.1) y (7.13).

• Repitiendo este procedimiento, cada DFT de 4 puntos se descompone en una de dos puntos, como se muestra dos láminas mas adelante.

• Un diagrama de flujo completo para ocho puntos se muestra finalmente. Note que cada descomposición corresponde a una etapa en el cálculo de la DFT.


Descomposición de una DFT de 8 puntos en dos DFTs de 4 puntos – Etapa 1 de la DIF-FFT

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

b(2)

b(1)

b(0)

a(3)

a(2)

a(1)

a(0)

b(3)

X(0)

X(2)

X(4)

X(6)

X(1)

X(3)

X(5)

X(7)

W0

W1

W2

W3

-1

-1

-1

-1

Stage 1

4-point DFT

4-point DFT

Etapa1

DFT de 4 puntos

DFT de 4 puntos


Descomposición de las DFT de 4 puntos en DFTs de 2 puntos – Etapa 2 de la DIF-FFT

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

X(0)

X(4)

X(2)

X(6)

X(1)

X(5)

X(3)

X(7)

WN0

W1

WN2

WN3

-1

-1

-1

-1

Stage 1

2-point DFT

2-point DFT

2-point DFT

2-point DFT

Stage 2

WN0

WN2

WN0

WN2

-1

-1

-1

-1

Etapa 1 Etapa 2DFT de2 puntos

DFT de2 puntos

DFT de2 puntos

DFT de2 puntos


DIF-FFT de 8 puntos

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

X(0)

X(4)

X(2)

X(6)

X(1)

X(5)

X(3)

X(7)

WN0

WN1

WN2

WN3

-1

-1

-1

-1

Etapa 1 Etapa 2

WN0

WN2

WN0

WN2

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

Etapa 3


DIF-FFT de 8 puntos - Observaciones

• Se requieren log2N etapas y cada etapa tiene 2 adiciones complejas y una multiplicación compleja, por lo tanto se tendrán N log2N adiciones y N/2 log2N multiplicaciones complejas.

• El diagrama también sugiere una forma útil de almacenar los datos en arreglos intermedios durante el cálculo de cada etapa (Cómputo “en sitio”).

• Al realizar el cómputo en sitio, las secuencia de salida queda en orden no secuencial (índice con los bits invertidos).

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