La théorie du portefeuille

Philippe Bernard

Master Ingénierie EconomiqueDépartement d’Economie Appliquée

Université Paris Dauphine

Historiquement L’optimisation moyenne / variance

développée par le prix Nobel Harry Nobel Laureate Harry Markowitz in 1952

« Portfolio Selection », Journal of Finance vol.7, pp. 77-91

Portfolio Selection : Efficient Diversification of Investments, 1959

Description une technique opérationnelle pour

obtenir des portefeuilles diversifiés En arbitrant entre le rendement

moyen et le risque de marché induit (volatilité du rendement du portefeuille)

Les inputs : les rendements espérés des titres leurs volatilités les covariances L’estimation : souvent sur données historiques

Présentation formelle Cadre et notations: J actifs indicés j=1,…,J résumés

par le rendement espéré la volatilité (= écart-type) la matrice de covariance

jrj

ij σ

Un portefeuille est défini par les parts des titres qui le composent

part du titre j portefeuille :

jx

J

j

x

x

x

x..

...1

portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio)

1.1 xT

sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire

Le programme d’optimisation

1.1

ˆ

: s.c. min 2

21

x

rxrr

T

Tp

p

Les conditions marginales Pour tout titre j

j

i

iji rx.

)~,~cov(. pj

i

iji rrx

Avec :

J

i

Jii

j

i

jii

i

ii

rx

rx

rx

....

. ...

. 1 1

1...1...1

....

....

...

...1 1

J

j

J

j

r

r

r

x

x

x

1... rx

:est optimal leportefeuil le doncet

1... 11

rx

Conséquences La frontière des portefeuilles

quelques exemples

Conséquences (suite) Le théorème des deux fonds à la

Fischer Black (1972) Une base de deux portefeuilles (au

sens stricte) Portefeuille de variance minimale Portefeuille maximisant le ratio de

Sharpe

Le portefeuille de variance minimale

1.11

1 11

min

T

x

Le portefeuille maximisant le ratio de Sharpe

rr

xT

SR

1

1.

11

Er

Porte f d e va ria nc e m inim a le

Porte f m a xim isa nt le ra tio d e Sha rp e

min11 ).1.1.()..1.( xxrx SR

Le portefeuille optimal comme combinaison des deuxportefeuilles de la base :

Remarque : Les deux portefeuilles proposés

définissent une des bases possibles donnant les portefeuilles efficients.

De même qu’en mathématiques, il existe une infinité de base vectorielles « équivalentes », dans la théorie il existe une infinité de couples de portefeuilles permettant d’obtenir l’ensemble des portefeuilles efficients.

Les limites de la théorie du portefeuille Les restrictions sur les préférences l’importance des moments

supérieures à 2 pour certains secteurs (hedge funds)

Le problème de l’extension à la dynamique

le modèle de Merton (1973)

Les limites de la théorie du portefeuille (suite) Le problème essentiel pour les

praticiens : la sensibilité du choix optimal aux

inputs la concentration des portefeuilles

obtenus par une estimation sur données historiques

solutions : Black & Litterman, Michaud et le boostrap, etc.

Extensions de la théorie du portefeuille Les portefeuilles caractéristiques de

Grinold & Kahn

Grinold & Kahn (2000) « Active portfolio management », 2nd édition, 2000, McGraw Hill

Grinold et Kahn ont été longtemps membres de l’équipe de recherche de BARRA, le leader mondial des modèles de risque