La Rosace - WALLON

La Rosace

Géométrie cycle 3 / 6ème : figures complexes observations et construction – la rosace- 1/21Bruno LAMBERT RAR Wallon Garges lès Gonesse

SommaireLa Rosace ............................................................................................................................................1 1.De la rosace à la division du cercle en 6 parties égales et figures associées....................................3

1.1.Activité : Rosace hexagone et étoile.........................................................................................3 1.2.Activité en 6ème : la rosace à 6 pétales....................................................................................3 1.3.Figure associée : l'étoile des neiges..........................................................................................4

a)programme de construction présenté sous la forme d'une BD................................................5 1.4.Les trois lunes : exemple de fiche pour activité géogébra en 6ème.........................................6

2.Pavage de rosace et figures associées...............................................................................................7 3.De la rosace à la super rosace et figures associées...........................................................................8

3.1.Super Rosace : Programme de construction en BD..................................................................8 3.2.Super Rosace : Programme de construction ............................................................................8 3.3.Exercices de coloriage..............................................................................................................9

a)Super rosace utilisée comme traits de construction : une autre étoile..................................10 b)Super rosace utilisée comme traits de construction : Hexagone tournant............................11 c)Super rosace utilisée comme traits de construction : l'étoile de Pompéï..............................13

4.Rosace et axes de symétrie, figures associées................................................................................17 4.1.Activité : trouver les axes de symétrie de la rosace, la super rosace, l'hexagone régulier et l'étoile à 6 branches........................................................................................................................17

a)Hexagones imbriqués 1 ........................................................................................................18 b)Hexagones imbriqués 2.........................................................................................................20

5.Références et outils.........................................................................................................................21 5.1.Bibliographie..........................................................................................................................21 5.2.Sites ........................................................................................................................................21 5.3.Logiciels utilisés.....................................................................................................................21


1. De la rosace à la division du cercle en 6 parties égales et figures associées

1.1.Activité : Rosace hexagone et étoile• faire dessiner la rosace sur papier blanc

• demander aux élèves de décrire la figure obtenue : de quoi est-elle composée ?

On peut espérer avoir les mots « cercle » et « bout, morceau, arc de cercle »

Il peut apparaître aussi « pétale ».

• Faire émerger les « points » : le cercle, les bouts de cercles, se coupent ils ? Noter par une croix l'endroit où les cercles se coupent. On a 7 points le centre et 6 points du cercle.

• Construire l'hexagone en reliant les points consécutifs

InstitutionnaliserConnaissance : cercle et centre du cercle et surtout arc de cercle.

Capacité : A partir de la construction de la rosace en reportant la longueur du rayon sur le cercle j'obtiens la division du cercle en 6 parties égales. On ne fait que reporter la longueur sans tracer les arcs, pour obtenir les 6 points

le cercle divisé en 6 parties égales

1.2.Activité en 6ème : la rosace à 6 pétalesConstruire une rosace à 6 pétales. Combien observe-t-on de points d'intersection ?A partir de la rosace à 6 pétales construire l'hexagone régulier et l'étoile à 6 branches comme sur le modèle.


hexagone régulierrosace à 6 pétales étoile à 6 branches

Le disque divisé en six parties égales : fractions en sixième

1.3.Figure associée : l'étoile des neiges

L'objectif est d'obtenir cette figure, qu'on appellera « étoile des neiges ».

Observation de la figure et questions (points d'intersection)Exemple : G est le point d'intersection des segments [AC] et [BF]Complète les phrases suivantes(tu ne peux utiliser que les points A, B, C, D , E ou F pour définir les segments)

• H est le point d'intersection des segments [BD] et

[...]

• I est le point d'intersection des segments [...] et [...]

• J est le point d'intersection …...................................

• K................................................................................

• L …................................................................................

Observation de la figure et questions (polygones)

Quelle est la nature du triangle ABG ? ….......................Quelle est la nature du triangle OBG ? ….......................Quelle est la nature du triangle AOG ? ….......................Quelle est la nature du triangle ABO ? ….......................Explique tes réponses et justifie par des mesures

Quelle est la nature du quadrilatère DIOJ ? ….......................Explique ta réponse et justifie par des mesures

repasse en rouge les côtés du quadrilatère ABDEQuelle est la nature du quadrilatère ABDE ? ….....................

Explique ta réponse et justifie par des mesures


programme de construction présenté sous la forme d'une BD

1. Diviser le cercle en six parties égales 2. Construire l'étoile à 6 branches

3. Placer les points d'intersection comme sur la figure

4. Tracer au feutre les côtés du quadrilatère CHOI

5. Faire de même pour les autres quadrilatères 6. Tracer les diamètres [AD] [BE] et [CF] au feutre.Il ne reste plus qu'à gommer les côtés de l'hexagone GHIJKL


1.4.Les trois lunes : exemple de fiche pour activité géogébra en 6èmeOuvre le fichier : cercle divisé en 6 parties égales.ggbdans mes documents >géogébra_mon nom_ma classe

Trace les côtés du triangle ACE : …............................. (complète avec le nom des segments)

Trace les diamètres du cercle que l'on peut obtenir avec les points de la figure : ….................................... (complète avec le nom des segments)

Complète la figure sur le papier et sur l'écran

Complète :

G est le point d'intersection des segments [...] et [….]H.................................................................................I….................................................................................

Définis ces nouveaux points de la même manière sur la figure géogébra à l'aide de :

intersection de deux objets

Rends invisible tous les segments.

Pour tracer la première lune :Trace l'arc de cercle de centre F et reliant E à ATrace l'arc de cercle de centre G et reliant E à A

Pour finir la figureTrace l'arc de cercle de centre … et reliant … à …Trace l'arc de cercle de centre … et reliant … à …

Trace l'arc de cercle de centre … et reliant … à …Trace l'arc de cercle de centre … et reliant … à …


2. Pavage de rosace et figures associéesConsigne : à partir de la première rosace, remplir la feuille de rosaces

en ne gardant que les points d'intersection on obtient du papier pointé triangulaire


3. De la rosace à la super rosace et figures associées

3.1.Super Rosace : Programme de construction en BD

Au lieu de tracer uniquement les arcs à l'intérieur du cercle de centre O, trace tous les cercles en entier

3.2.Super Rosace : Programme de construction Exécute le programme de construction suivant

Programme de construction• Placer deux points O et A

• Tracer le cercle (C1) de centre O et passant par A

• Tracer le cercle (C2) de centre A et passant par O

• Nommer B et F les points d'intersection de (C1) et (C2)

• Tracer le cercle (C3) de centre B et passant par O

• (C3) et (C1) se coupent en A et C, placer C• Tracer le cercle (C4) de centre C et passant par O

• (C4) et (C1) se coupent en B et D, placer D• Tracer le cercle (C5) de centre D et passant par O

• (C5) et (C1) se coupent en C et E, placer E• Tracer le cercle (C6) de centre E et passant par O

• (C6) et (C1) se coupent en D et F, placer F• Tracer le cercle (C7) de centre F et passant par O


3.3.Exercices de coloriageA partir de la construction de la super rosace obtenir les figures suivantes par coloriage


a) Super rosace utilisée comme traits de construction : une autre étoile

On souhaite obtenir la figure suivante :

Construire la super rosace Tracer les segments nécessaires pour obtenir l'étoile.

Observation de la figure et questions (segments)Ecris la liste de tous les segments qu'il faut tracer pour obtenir l'étoile

• Tracer le segment [….]

• ….


b) Super rosace utilisée comme traits de construction : Hexagone tournant

On cherche à obtenir la figure suivante :


Construire la super rosaceL'hexagone ABCDEFEt le cercle de centre O passant par G


c) Super rosace utilisée comme traits de construction : l'étoile de Pompéï

Photos prises par les élèves du collège Henri Wallon en mai 2010 lors du voyage à Rome et Pompéi accompagnés par Mme Bach, M Gibrac, Mme Mollo et Mme Boullais.


Etoile de Pompéi : Observation de la figure et questions

Observation de la figure et questions

1. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?

2. Quelle est la nature de ASRF ?Trouve d'autres quadrilatères ayant la même nature que ASRF :

3. Quelle est la nature de BITH ?Trouve d'autres quadrilatères ayant la même nature que BITH :

4. Quelle est la nature de IJU ?Trouve d'autres triangles ayant la même nature que IJU :

5. trouve tous les axes de symétrie de la figure

A partir de l'hexagone ABCDEF trace la super rosace.

Repasse en vert les droites (JP) et (BC).Comment sont (JP) et (BC) ?


Etoile de Pompéi : Construction

On trace la super rosace et l'hexagone ABCDEFon trace les droites formant l'étoiles à 6 branches intérieure à l'hexagone. Les intersections de ces droites avec les cercles de la super rosace donnent les sommets des carrés

On obtient l'hexagone et la première couronne de carrés

Pour obtenir les triangles et losanges on construit les cercles de centre les sommets extérieurs des carrés, en reprenant toujours le même rayon.

On trace les côtés des triangles et losanges.


Etoile de Pompéi : extensions possibles de la figure

Mosaïque en marbre et nacre de la Grande Mosquée de Damas. Gustave Le Bon : La civilisation des Arabes (1884)

http://classiques.uqac.ca/classiques/le_bon_gustave/civilisation_des_arabes/gravures/planches_couleurs_gif/planche_08.html

Activité• Colorie l'étoile de Pompéi sur chacune des figures• Construis ces deux figures en partant de l'étoile de Pompéi




4. Rosace et axes de symétrie, figures associées

4.1.Activité : trouver les axes de symétrie de la rosace, la super rosace, l'hexagone régulier et l'étoile à 6 branches

Sur papier calque faire construire les 4 figures à partir d'un cercle initial de même rayon.

Découper chacune des figures

Par pliage trouver les axes de symétrie de chacune des figures

Faire superposer les 4 figures et constater que l'on a les même six axes de symétrie.

On remarque que les axes de symétrie sont

• (AD) ; (BE) et (CF) les diamètres du cercle de départ formés à partir des sommets de l'hexagone

• (GJ) (HK) et (IL) les droites passant par les points d'intersection de la super rosace symétriques par rapport à O.

ces trois axes passent par les milieux des côtés opposés de l'hexagone et par les points d'intersection de l'étoile à six branches


a) Hexagones imbriqués 1 On veut obtenir la figure ci contre ou selon le coloriage une des figures ci dessous.


Construire l'hexagone et ses 6 axes de symétrie à partir de la super rosace

Les points d'intersection des axes de symétrie et de l'hexagone donnent les sommets d'un deuxième hexagone imbriqué dans le premier

Les points d'intersection des axes de symétrie et du deuxième hexagone donnent les sommets d'un troisième hexagone .

etc.


b) Hexagones imbriqués 2On refais la même construction que précédemment en ajoutant les cercles circonscrits à chacun des hexagones successifs.


5. Références et outils

5.1.Bibliographie• La géométrie par le dessin au cycle III – Claude Hameau- Nathan Pédagogie

• La géométrie pour le plaisir (plusieurs tomes) J et L Denière BP 74 Malo 59942 Dunkerque Cedex

• Les belles figures du kangourou – Patricia et Bernard Hennequin – ACL éditions du Kangourou

5.2.Sites • les animaux compassés : http://compasses-zoo.net/index_fr.php

• club géogébra : http://club-geogebra.sitego.fr/

5.3.Logiciels utilisés• géogébra : http://www.geogebra.org/cms/fr

• xnview : http://www.xnview.com/fr/index.html

• photofiltre : http://www.01net.com/telecharger/windows/Multimedia/photo_numerique/fiches/telecharger-21756.html

• paint

• openoffice : http://fr.openoffice.org/

• avec dmaths : http://www.dmaths.org/


http://www.dmaths.org/

http://fr.openoffice.org/

http://www.01net.com/telecharger/windows/Multimedia/photo_numerique/fiches/telecharger-21756.html

http://www.01net.com/telecharger/windows/Multimedia/photo_numerique/fiches/telecharger-21756.html

http://www.xnview.com/fr/index.html

http://www.geogebra.org/cms/fr

http://club-geogebra.sitego.fr/

http://compasses-zoo.net/index_fr.php

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