KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER

GENERALIZED ESTIMATING EQUATION (GEE)

PADA DATA LONGITUDINAL

(Skripsi)

Oleh

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDARLAMPUNG

2016

NAELU RASYIDA

ABSTRACT

PARAMETER ESTIMATION’S CHARACTERISTICS OF

GENERALIZED ESTIMATING EQUATION (GEE)

ON LONGITUDINAL DATA

By

NAELU RASYIDA

Repeated measurement on longitudinal data can caused autocorrelation. The

method to modelling autocorrelation data is Generalized Estimating Equation

(GEE), since in this method the correlation is counted so that obtained more

efficient model. In this study, will be discussed about parameter estimation’s

characteristics on GEE includes unbiased and efficient. Parameter estimator on

GEE can be proved unbiased, and the efficiency depend on the best correlation

structure choosed. If there are some possibility of the correlation structures to

chosen, so the most efficient is that obtained smallest Quasi Information Criterion

value.

Keyword : longitudinal data, generalized estimating equation, unbiased, efficient

ABSTRAK

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER

GENERALIZED ESTIMATING EQUATION (GEE)

PADA DATA LONGITUDINAL

Oleh

NAELU RASYIDA

Pengukuran berulang pada data longitudinal dapat menyebabkan adanya

autokorelasi. Metode yang cocok untuk memodelkan data yang mengandung

autokorelasi adalah Generalized Estimating Equation (GEE), karena dalam metode

ini korelasi diperhitungkan sehingga menghasilkan model yang lebih efisien.

Dalam penelitian ini, akan dikaji mengenai karakteristik penduga parameter pada

GEE yang meliputi sifat takbias dan efisien. Penduga parameter pada GEE terbukti

takbias, dan keefisienannya tergantung pada pemilihan struktur korelasi yang

terbaik. Jika terdapat beberapa struktur korelasi yang mungkin untuk dipilih, maka

model yang paling efisien adalah yang menghasilkan nilai Quasi Information

Criterion terkecil.

Kata kunci : data longitudinal, generalized estimating equation, takbias, efisien

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER

GENERALIZED ESTIMATING EQUATION (GEE)

PADA DATA LONGITUDINAL

Oleh

NAELU RASYIDA

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2016

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Pringsewu pada tanggal 14 Mei 1995, anak pertama dari dua

bersaudara pasangan Bapak Sukirno dan Ibu Nurhasanah.

Penulis menyelesaikan pendidikan formal di Taman Kanak-Kanak KH. Gholib

Pringsewu pada tahun 2001, Sekolah Dasar Negeri 2 Rejosari Pringsewu pada

tahun 2007, Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Pringsewu pada tahun 2010,

Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Gadingrejo pada tahun 2012, dan diterima

sebagai mahasiswa di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Lampung pada tahun 2012 melalui jalur SNMPTN

tertulis.

Selama menjadi mahasiswa Universitas Lampung, penulis aktif dalam organisasi

kemahasiswaan yaitu sebagai anggota Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung periode 2013-2015 dan sebagai anggota Badan

Eksekutif Mahasiswa FMIPA Universitas Lampung periode 2013-2015. Penulis

juga pernah menjadi asisten mata kuliah Statistika Dasar dan Statistika Matematika

di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

Penulis telah melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Dinas Peternakan dan Kesehatan

Hewan Provinsi Lampung pada tahun 2015, dan Kuliah Kerja Nyata (KKN) pada

tahun 2015 di Desa Gunung Timbul, Kec. Tumijajar, Kab. Tulangbawang Barat.

Bismillaahirrohmanirrohiim

Alhamdulillahirobbil’alamiin…

Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, kupersembahkan karya

kecilku ini untuk

Bapak dan Ibu, yang sangat aku cintai

Adikku, yang aku sayangi

Dosen Pembimbing dan Penguji, yang selalu memotivasiku

Sahabat-sahabatku, yang selalu menyemangatiku

Serta

Almamater tercinta tempatku menuntut ilmu

Hidup adalah Ibadah

Semakin Kamu Belajar, Semakin Kamu Tahu Bahwa

Kamu Tidak Tahu

Carilah Ilmu Sejak Dari Buaian Hingga Ke Liang Lahat

(Al Hadist)

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan karunia-Nya kepada

penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul

“Karakteristik Penduga Parameter Generalized Estimating Equation (GEE)

Pada Data Longitudinal”. Tak lupa shalawat serta salam selalu tercurah kepada

Rosululloh Muhammad SAW yang selalu kita harapkan syafaatnya kelak, aamiin.

Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan laporan skripsi

ini. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya

kepada :

1. Bapak Ir. Warsono, M.S., Ph.D. selaku pembimbing pertama yang telah

memberikan ide, pengarahan, serta meluangkan waktu ditengah kesibukannya

untuk membimbing penulis.

2. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku pembimbing kedua yang selalu membimbing

penulis dengan sabarnya dan banyak memberikan masukan serta motivasi

kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

3. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc. selaku penguji yang telah banyak

memberikan masukan, kritik dan saran yang sangat membangun demi

kesempurnaan skripsi ini.

4. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D. selaku pembimbing akademik.

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas

Lampung.

7. Seluruh dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

8. Bapak Sukirno dan Ibu Nurhasanah, orang tua tercinta yang telah

membesarkan dan mendidik dengan penuh kasih sayang, selalu mendukung,

menyemangati, memotivasi dan tiada hentinya mendoakan penulis.

9. Nurul Annisa Fadila, adik yang paling menggemaskan, yang selalu

menyemangati dan mendoakan penulis.

10. Wanita-wanita rusuh (Anisa/Icha, Lina, Grita, Citra, Hana, Merda, Sella) dan

keluarga besar Matematika 2012 yang telah berjuang bersama dan banyak

memberikan semangat serta motivasi kepada penulis.

11. Aan Chumaidi Ab. yang selalu menyemangati dan memotivasi penulis.

12. Semua pihak yang terlibat dalam penyelesaian skripsi ini yang tidak dapat

penulis sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan karena

kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT. Penulis sangat mengharapkan kritik dan

saran yang membangun. Penulis juga berharap agar tulisan ini bermanfaat bagi

pembaca.

Bandarlampung, Oktober 2016

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ......................................................................................... xv

I. PENDAHULUAN ..................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................. 1

1.2 Tujuan Penelitian .................................................................................. 2

1.3 Manfaat Penelitian ................................................................................. 3

II. TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 4

2.1 Data Longitudinal ................................................................................. 4

2.2 Generalized Linear Model (GLM) ....................................................... 4

2.3 Generalized Estimating Equation (GEE) ............................................. 5

2.3.1 Struktur Data ................................................................................. 6

2.3.2 Pemilihan Working Correlation Matrix ........................................ 7

2.3.3 Menduga Kovarians dari Penduga Parameter................................ 10

2.4 Quasi-likelihood Information Criterion (QIC) ..................................... 11

2.5 Sifat-Sifat Penduga yang Baik .............................................................. 12

III. METODOLOGI PENELITIAN ............................................................ 14

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................... 14

xiv

3.2 Metode Penelitian .................................................................................. 14

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................... 16

4.1 Sifat Tak Bias ....................................................................................... 19

4.2 Penduga Efisien ..................................................................................... 20

V. KESIMPULAN ......................................................................................... 33

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 34

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 Respon Pengaruh Obat Pada Penderita Depresi .............................. 24

Tabel 4.2 Keterangan Syntax Program ........................................................... 26

Tabel 4.3 Struktur Korelasi Autoregressive .................................................... 27

Table 4.4 Struktur Korelasi Exchangable ........................................................ 27

Table 4.5 Struktur Matriks Varians-Kovarians Model-Based Autoregressive 28

Table 4.6 Struktur Matriks Varians-Kovarians Model-Based Exchangable .... 29

Tabel 4.7 Struktur Matriks Varians-Kovarians Empirical Autoregressive ...... 29

Tabel 4.8 Struktur Matriks Varians-Kovarians Empirical Exchangable ......... 30

Table 4.9 Dugaan Parameter Berdasarkan Struktur Korelasi .......................... 31

Table 4.10 Nilai QIC Berdasarkan Struktur Korelasi ...................................... 31

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Analisis statistika banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti ilmu sosial,

kesehatan, pendidikan, dan lain-lain. Dalam analisis statistika, terdapat beberapa

teknik pengamatan dalam mengumpulkan data, seperti pengamatan cross section,

time series, dan longitudinal. Pengamatan longitudinal merupakan pengamatan

yang menggabungkan antara pengamatan cross section dan time series.

Kelebihan pengamatan longitudinal dari pengamatan yang lain yaitu mampu

memberikan informasi tentang dinamika perubahan pada data cross section dari

waktu ke waktu. Namun pengukuran secara berulang pada pengamatan longitudinal

dapat menyebabkan terjadinya autokorelasi. Untuk memodelkan data yang

mengandung autokorelasi tidak bisa menggunakan model linear biasa maupun

model linear yang diumumkan atau yang biasa disebut Generalized Linear Model

(GLM). Liang dan Zeger (1986) mengusulkan metode Generalized Estimating

Equation (GEE) untuk mengatasi data yang berkorelasi.

GEE merupakan metode yang memodelkan sebuah fungsi yang diketahui dari

harapan marginal variabel dependent sebagai fungsi linear dari satu atau lebih

variabel penjelas. GEE umumnya digunakan untuk menduga parameter regresi

2

dalam model marginal dan menentukan struktur korelasinya. Pendugaan parameter

pada GEE dilakukan menggunakan metode quasi-likelihood dimana hanya

mengasumsikan hubungan antara µ dan var(Y) daripada distribusi peluang untuk Y.

Quasi-likelihood melambangkan variansnya berupa ϕvar(Y), dimana ϕ merupakan

dugaan berdasarkan perubahan yang diobservasi dalam data sampel. Pendugaan

quasi-likelihood bukanlah maximum likelihood karena metodenya tidak secara

lengkap menggunakan distribusi untuk Y, dan oleh karena itu tidak ada fungsi

likelihood.

Pendugaan parameter menggunakan metode GEE untuk kasus data longitudinal

yang berdistribusi normal telah dilakukan oleh Hedeker dan Gibbons dalam

bukunya yang berjudul Longitudinal Data Analysis (2006). Pada buku tersebut

tidak dikaji karakteristik dari penduga yang didapatkan. Karakteristik suatu

penduga perlu dievaluasi untuk mendapatkan informasi tentang sifat-sifat dari

penduganya. Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji karakteristik

penduga parameter dari metode GEE yang meliputi sifat tak bias dan efisien.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini yaitu :

1. Menentukan penduga parameter model data longitudinal menggunakan metode

GEE.

2. Mengkaji karakteristik penduga yang meliputi sifat ketakbiasan dan efisien.

3

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang bisa didapatkan dari penelitian ini yaitu :

1. Menambah wawasan mengenai metode GEE.

2. Mendapat dugaan parameter model data longitudinal menggunakan metode

GEE.

3. Mengetahui karakteristik penduga parameter dengan metode GEE.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Data Longitudinal

Menurut (Johnston, 1984) data panel biasa disebut juga data longitudinal atau data

runtun waktu silang (cross-sectional time series), di mana banyak kasus (orang,

perusahaan, negara dan lain-lain) diamati pada dua periode waktu atau lebih yang

diindikasikan dengan penggunaan data time series. Data panel dapat menjelaskan

dua macam informasi yaitu informasi cross-section pada perbedaan antar subyek,

dan informasi time series yang merefleksikan perubahan pada dimensi waktu.

Ketika kedua informasi tersebut tersedia, maka analisis data panel dapat digunakan.

2.2 Generalized Linear Model (GLM)

Menurut Agresti (2015), Generalized Linear Models (GLM) memperluas model

regresi linear dasar meliputi distribusi respon tidak normal dan kemungkinan fungsi

tidak linear dari nilai tengahnya. GLM mempunyai tiga komponen yaitu :

1. Komponen acak (random component), menetapkan variabel respon y dan

distribusi peluangnya. Suatu pengamatan 𝒚 = (𝑦1, … , 𝑦𝑛)𝑇 pada distribusinya

diperlakukan saling bebas (independent).

5

2. Prediktor linear (linear predictor). Untuk sebuah vektor parameter 𝜷 =

(𝛽1, … , 𝛽𝑝)𝑇 dan sebuah X matriks model n x p yang berisi nilai-nilai dari

variabel penjelas p untuk n pengamatan, prediktor linearnya adalah 𝑿𝜷.

3. Fungsi link (link function), yaitu fungsi g yang digunakan untuk setiap

komponen penjelas dari E(y) yang merelasikannya ke prediktor linear,

sehingga persamaan pada GLM adalah

g[E(y)]=Xβ.

Dalam model linear klasik, fungsi link bisa berupa fungsi yang identik atau

kanonik. Suatu fungsi link dikatakan fungsi link kanonik bila parameter

kanoniknya sama dengan fungsi linknya, yaitu

𝜂 = 𝜃

dimana 𝜃 adalah parameter kanonik.

Berikut fungsi link kanonik untuk beberapa distribusi :

Distribusi Fungsi link kanonik

Normal 𝜂 = 𝜇

Poisson 𝜂 = log 𝜇

Binomial 𝜂 = log (𝜇

(1 − 𝜇)⁄ )

Gamma 𝜂 = 𝜇−1

2.3 Generalized Estimating Equation (GEE)

Menurut Nelder dan Wedderburn (1972) , metode GEE adalah perluasan dari GLM

dengan tambahan :

1. Varians dari 𝑦𝑖 adalah 𝑣𝑖 = 𝑣𝑖(𝜇𝑖) dan merupakan sebuah fungsi yang

ditentukan dari nilai tengah 𝜇𝑖.

6

2. 𝑦𝑖 merupakan keluarga eksponensial. Distribusinya antara lain binomial,

poisson, gamma, dan invers Gaussian. Ketika diasumsikan distribusi dari 𝑦𝑖

adalah normal dan menetapkan fungsi link identitas g(µi) = µi, hal ini sama

dengan menyusun model sebagai GLM.

GEE digunakan untuk mengatasi data yang berkorelasi dan merupakan sebuah

perluasan dari quasi-score equation. Metode GEE memodelkan sebuah fungsi yang

diketahui dari harapan marginal variabel dependent sebagai fungsi linear dari satu

atau lebih variabel penjelas. GEE mendeskripsikan komponen acak model untuk

setiap respon marginal dengan sebuah fungsi link umum dan varians, serupa dengan

model GLM. Model GEE secara umum sama dengan model GLM yaitu

g[E(y)]=Xiβ

dimana

𝜷 = [

𝛽0

𝛽1

⋮𝛽𝑝

] 𝑑𝑎𝑛 𝑿𝑖 =

[ 1 𝑋𝑖11 𝑋𝑖12 ⋯ 𝑋𝑖1𝑝

1 𝑋𝑖21 𝑋𝑖22 ⋯ 𝑋𝑖2𝑝

⋮1

⋮𝑋𝑖𝑛𝑖1

⋮ ⋱ ⋮𝑋𝑖𝑛𝑖2

⋯ 𝑋𝑖𝑛𝑖𝑝]

Penduga GEE dari 𝜷 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan

∑𝑫𝒊′[𝑽(�̂�)]−𝟏(𝒚𝒊 − 𝝁𝒊)

𝑁

𝑖=1

= 0

dimana �̂� adalah penduga yang konsisten bagi 𝛼 dan 𝑫𝑖 = 𝜕𝝁𝒊 𝜕𝜷⁄

2.3.1 Struktur Data

Menurut Kleinbaum (2010), persamaan untuk GEE adalah sebagai berikut

𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖𝑗1 + 𝛽2𝑋𝑖𝑗2 + ⋯+ 𝛽𝑝𝑋𝑖𝑗𝑝 + 𝜀

7

Dimana 𝑌𝑖𝑗 melambangkan respon dari subyek ke-i pada pengamatan ke-j, untuk i

= 1, …, n dan j = 1, …, ti, 𝑋𝑖𝑗𝑝 adalah variabel penjelas ke-p pada subyek ke-i

pengamatan ke-j, 𝜀 mengandung autokorelasi akibat pengamatan yang berulang.

2.3.2 Pemilihan Working Correlation Matrix

Liang dan Zeger (1986) telah memperoleh beberapa dugaan struktur working

correlation untuk digunakan dalam pendugaan GEE. Berikut ini beberapa pilihan

untuk R dengan rumus matriks untuk t = 4.

1. Independence : R = R0 = I

𝐑 = [

1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 00 1

]

Dalam kasus ini, penyelesaian GEE sama seperti menentukan model regresi biasa

untuk data independent, dan menghasilkan parameter dugaan yang sama. Tetapi,

galat bakunya berbeda.

2. Fixed : R = R0

Matriks korelasi fixed terjadi ketika ada determinasi bentuk dari analisis

sebelumnya. Maka langsung masukkan matriks kovariansnya.

8

3. Exchangeable

𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑖𝑗, 𝑦𝑖,𝑗′) = {1 𝑗 = 𝑗′

𝛼 𝑗 ≠ 𝑗′}

𝐑 = [

1 𝛼𝛼 1

𝛼 𝛼𝛼 𝛼

𝛼 𝛼𝛼 𝛼

1 𝛼𝛼 1

]

�̂� =1

(𝑁∗ − 𝑝)𝜙∑ ∑ 𝑒𝑖𝑗𝑒𝑖𝑗′

𝑗<𝑗′

𝐾

𝑖=1

𝑁∗ = 0.5∑𝑛𝑖(𝑛𝑖 − 1)

𝐾

𝑖=1

Rincian struktur korelasi ini memuat konstanta korelasi-korelasi antara dua

pengukuran dalam sebuah subyek, yaitu, Rjj’ = α, untuk j ≠ j’. struktur korelasi ini

diasumsikan dalam sebuah model random effects dengan sebuah intersep acak dan

juga diketahui sebagai compound symmetry dalam literatur pengukuran berulang

ANOVA.

4. Unstructured

𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑖𝑗 , 𝑦𝑖,𝑗′) = {1 𝑗 = 𝑗′

𝛼𝑗𝑗′ 𝑗 ≠ 𝑗′}

𝐑 = [

1 𝛼21

𝛼21 1

𝛼31 𝛼41

𝛼32 𝛼42

𝛼31 𝛼32

𝛼41 𝛼42

1 𝛼43

𝛼43 1

]

�̂�𝑗𝑗′ =1

(𝐾 − 𝑝)𝜙∑𝑒𝑖𝑗𝑒𝑖𝑗′

𝐾

𝑖=1

9

Ketika matriks korelasi tidak terinci secara lengkap, ada 𝑡(𝑡 − 1)/2 parameter

untuk diestimasi. Struktur ini menyediakan estimasi yang lebih efisien untuk β tapi

hanya digunakan ketika ada secara relative beberapa waktu observasi atau kondisi.

Sebagai tambahan, ketika ada data hilang dan/atau macam-macam jumlah observasi

tiap subyek, penduga dari struktur korelasi lengkap mungkin hasil dalam sebuah

matriks definit nonpositive dan penduga parameter mungkin tidak dihasilkan.

5. m-dependent

𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑖𝑗 , 𝑦𝑖,𝑗+𝑠) = {1 ; 𝑠 = 0 𝛼𝑠 ; 𝑠 = 1, 2, … ,𝑚0 ; 𝑠 > 𝑚

𝐑 = [

1 𝛼1

𝛼1 1𝛼2 0𝛼1 𝛼2

𝛼2 𝛼1

0 𝛼2

1 𝛼1

𝛼1 1

]

�̂�𝑡 =1

(𝐾𝑡 − 𝑝)𝜙∑ ∑ 𝑒𝑖𝑗𝑒𝑖,𝑗+𝑡

𝑗≤𝑛𝑖−𝑡

𝐾

𝑖=1

𝐾𝑡 = ∑(𝑛𝑖 − 𝑡)

𝐾

𝑖=1

Dengan struktur m-dependent, korelasi tergantung pada jarak antara pengukuran.

Sehingga, nilainya mendekati nol untuk s > m.

6. Auto-regressive (AR-1)

𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑖𝑗, 𝑦𝑖,𝑗+𝑠) = 𝛼𝑠 ; 𝑠 = 0, 1, 2, … , 𝑡𝑖 − 𝑗

10

𝐑 = [

1 𝛼𝛼 1

𝛼2 𝛼3

𝛼 𝛼2

𝛼2 𝛼𝛼3 𝛼2

1 𝛼𝛼 1

]

�̂� =1

(𝐾1 − 𝑝)𝜙∑ ∑ 𝑒𝑖𝑗𝑒𝑖,𝑗+1

𝑗≤𝑛𝑖−1

𝐾

𝑖=1

𝐾1 = ∑(𝑛𝑖 − 1)

𝐾

𝑖=1

Dengan sebuah struktur korelasi auto-regressive, korelasi tergantung pada jarak

antar pengukuran, semakin jauh jaraknya maka nilai korelasinya semakin kecil.

2.3.3 Menduga Kovarians dari Penduga Parameter

Setelah penduga GEE diperoleh, kemudian kovariansnya juga diduga. Penduga

model-based dari matriks kovarians untuk �̂� adalah invers dari matriks informasi

terobservasi

𝑽𝒎(�̂�) = 𝑰0−1

dimana

𝑰0 = ∑𝑫𝑖′

𝑛

𝑖=1

𝑽𝑖−1𝑫𝑖

ini merupakan penduga yang konsisten jika model dan matriks working correlation

ditentukan secara spesifik (Albert dan McShane, 1995).

Penduga empirical sandwich (robust) dari Cov(�̂�) diberikan sebagai berikut

𝑰0−1𝑰1𝑰0

−1 = 𝑽𝒆(�̂�)

Dimana

11

𝑰1 = ∑𝑫𝑖′

𝑛

𝑖=1

𝑽𝑖−1𝐶𝑜𝑣(𝒀𝑖)𝑽𝑖

−1𝑫𝑖

Cov(𝒀𝑖) diduga dengan

(𝒀𝒊 − 𝝁𝒊(�̂�)) (𝒀𝒊 − 𝝁𝒊(�̂�))′

ini adalah penduga yang tetap konsisten ketika V(µij) ≠ 𝑣(�̂�𝑖𝑗), atau ketika 𝑹𝒊(𝜶)

bukan matriks korelasi dari Yi, atau ketika korelasi sebenarnya berubah-ubah untuk

setiap subyek.

2.4 Quasi-likelihood Information Criterion (QIC)

Quasi-likelihood information criterion (QIC) merupakan modifikasi dari Akaike

information criterion (AIC) yang diterapkan pada model GEE. QIC didefinisikan

sebagai berikut

𝑄𝐼𝐶 = −2𝚀(�̂�, 𝜙) + 2𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒[𝑽𝒎−𝟏(�̂�)𝑽𝒆(�̂�)]

Dimana 𝚀(�̂�, 𝜙) merupakan fungsi quasi-likelihood yang didefinisikan

𝚀(�̂�, 𝜙) =𝚀𝑖𝑗

𝜙

𝜙 diduga dengan

�̂� =1

𝑁 − 𝑝∑∑𝑒𝑖𝑗

2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝐾

𝑖=1

(Pan, 2001).

McCullagh dan Nelder (1989) mendefinisikan beberapa fungsi 𝚀𝑖𝑗 untuk beberapa

distribusi sebagai berikut

12

1. Normal

𝚀𝑖𝑗 = −1

2(𝑦𝑖𝑗 − 𝜇𝑖𝑗)

2

2. Inverse Gaussian

𝚀𝑖𝑗 =(𝜇𝑖𝑗 − 0,5𝑦𝑖𝑗)

𝜇𝑖𝑗2

3. Gamma

𝚀𝑖𝑗 = − [𝑦𝑖𝑗

𝜇𝑖𝑗+ log (𝜇𝑖𝑗)]

4. Negative Binomial

𝚀𝑖𝑗 = [log Γ (𝑦𝑖𝑗 +1

𝑘) − log Γ (

1

𝑘) + 𝑦𝑖𝑗log (

𝑘𝜇𝑖𝑗

1 + 𝑘𝜇𝑖𝑗) +

1

𝑘log (

1

1 + 𝑘𝜇𝑖𝑗)]

5. Poisson

𝚀𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗 log(𝜇𝑖𝑗) − 𝜇𝑖𝑗

6. Binomial

𝚀𝑖𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 log(𝑝𝑖𝑗) − ( 𝑦𝑖𝑗 − 𝜇𝑖𝑗) log(1 − 𝑝𝑖𝑗)

2.5 Sifat-Sifat Penduga yang Baik

Suatu penduga dikatakan penduga yang baik jika penduga tersebut memiliki sifat

tak bias dan efisien. Berikut ini akan didefinisikan sifat-sifat penduga yang baik.

1. Sifat Tak Bias

Penduga 𝑈(𝑿) dikatakan sebagai penduga tak bias bagi g(𝜽) jika

𝐸(𝑈(𝑿)) = g(𝜽), ∀𝜽 ∈ 𝛀

(Hoog and Craig, 1995).

13

2. Sifat Efisien

Setelah diketahui sifat ketakbiasan suatu penduga, selanjutnya yaitu menyelidiki

apakah penduga tersebut efisien. Suatu penduga dikatakan efisien jika variansnya

minimum. Sifat varians minimum suatu penduga didefinisikan sebagai berikut.

Jika T* merupakan penduga bagi g(𝜽), dan ada T sebarang penduga bagi g(𝜽),

maka T* dikatakan penduga dengan varians minimum jika

𝑉𝑎𝑟(𝑇∗) ≤ 𝑉𝑎𝑟(𝑇)

(Hoog and Craig, 1995).

Varians minimum suatu penduga juga dapat diketahui dengan menggunakan

pertidaksamaan Rao-Cramer dengan definisi sebagai berikut.

Misal T* merupakan penduga tak bias g(𝜽), maka untuk sebarang penduga tak bias

T bagi g(𝜽) disebut penduga yang efisien jika Var(T*) ≤ Var(T) untuk setiap 𝜽 ∈ 𝛀

dimana

𝑉𝑎𝑟(𝑇) ≥(

𝜕𝜕𝜽

𝑔(𝜽))2

𝑛. 𝐸 [𝜕𝜕𝜽

ln 𝑓(𝑿; 𝜽)]2

(Bain and Engelhardt, 1992).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penulis melakukan penelitian ini pada semester genap tahun ajaran 2015-2016 di

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah peneliti dalam melakukan penelitian ini yaitu :

1. Mengkaji jurnal-jurnal dan penelitian-penelitian terdahulu mengenai metode

Generalized Estimating Equation (GEE).

2. Melakukan estimasi parameter dari model yang didapat menggunakan metode

GEE. Menurut Stokes, Davis, and Koch (2012), langkah-langkah dalam

menduga parameter dengan metode GEE adalah sebagai berikut :

a. Merelasikan respon marginal 𝜇𝑖𝑗 = 𝐸(𝑦𝑖𝑗) dengan kombinasi linear dari

kovariat yaitu g(µij) = 𝑥𝑖𝑗′ β, dimana 𝜷 = (𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑝)′ adalah vektor p x

1 dari parameter yang tidak diketahui dan g adalah fungsi link yang

diketahui. Vektor parameter 𝜷 mengkarakteristikkan bagaimana distribusi

respon cross-sectional tergantung pada variabel penjelas.

15

b. Memilih bentuk working correlation matrix Ri(α) untuk setiap 𝑦𝑖 =

(𝑦𝑖1, 𝑦𝑖2, … , 𝑦𝑖𝑡𝑖)′, dimana ti ≤ t.

c. Mengestimasi vektor parameter 𝜷. Penduga GEE dari 𝜷 didapatkan dengan

menyelesaikan persamaan

∑𝑫𝒊′[𝑽(�̂�)]−𝟏(𝒚𝒊 − 𝝁𝒊)

𝑁

𝑖=1

= 0

dimana �̂� adalah penduga yang konsisten bagi 𝛼 dan 𝑫𝑖 = 𝜕𝝁𝒊 𝜕𝜷⁄ .

3. Mengkaji sifat tak bias penduga 𝜷.

4. Mengkaji sifat efisien penduga 𝜷.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, maka diperoleh :

1. Penduga GEE untuk 𝜷 dengan distribusi marginalnya normal adalah

�̂� = [∑𝑿𝒊′[𝑽(�̂�)]−𝟏𝑿𝑖

𝑁

𝑖=1

]

−1

[∑𝑿𝒊′[𝑽(�̂�)]−𝟏𝒚𝒊

𝑁

𝑖=1

]

2. Penduga GEE merupakan penduga yang takbias karena 𝐸(�̂�) = 𝜷.

3. Penduga GEE lebih efisien jika pemilihan struktur korelasinya tepat, yaitu

struktur korelasi yang menghasilkan nilai QIC terkecil. Dalam penelitian ini,

nilai QIC terkecil dihasilkan dari struktur korelasi autoregressive yaitu

1024,8207 daripada struktur korelasi exchangeable yaitu 1024,8260.

DAFTAR PUSTAKA

Agresti, A. 2007. An Introduction to Categorical Data Analysis Second Edition.

John Wiley and Sons, Inc, New Jersey.

Agresti, A. 2015. Foundations of Linear and Generalized Linear Models. John

Wiley and Sons, Inc, New Jersey.

Albert, P. and McShane, L. 1995. A Generalized Estimating Equation Approach for

Spatially Correlated Binary Data : Application to The Analysis of

Neuroimaging Data. Biometrics.

Bain, L.J. and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical

Statistics Second Edition. Duxbury Press, California.

Hedeker, D. and Gibbons, R.D. 2006. Longitudinal Data Analysis. John Wiley and

Sons, New Jersey.

Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Prentice-

Hall, New Jersey.

Johnston, J. 1984. Econometric Methods. McGraw Hill, USA.

Kleinbaum, D.G. 2010. Logistic Regression. Springer Series in Statistics, New

York.

Liang, K.Y. and Zeger, S.L. 1986. Longitudinal Data Analysis Using Generalized

Linear Models. Biometrics.

McCullagh, P. and Nelder, J.A. 1989. Generalized Linear Model, 2th Edition.

Chapman & Hall, London.

Nelder, J.A. and Wedderburn, R.W.M. 1972. Generalized Linear Model. Journal

of The Royal Statistical.

Pan, W. 2001. Akaike’s Information criterion in Generalized Estimating Equation.

Bioimetrics.

35

Stokes, M.E., Davis, C.S. and Koch, G.G. 2012. Categorical Data Analysis Using

SAS, Third Edition. SAS Intitute Inc, Cary NL.

Swan, T. 2006. Generalized Estimating Equation When The Response Variable Has

a Tweedie Distribution : An Application For Multi-site Rainfall Modelling.

University of Southern Queensland, Toowoomba QLD.

Utami, dkk. 2014. Generalized Method of Moment’s Characteristics on Panel Data.

Journal. Sci-int, Lahore. 26 : 985-990.