مجيع حمتوايت هذه املذكره مأخوذه من الطبعه السادسه من كتاب مالحظه:

Precalculus Mathematics for Calculus

James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson

الباب السادس

الدوال املثلثيه .يف هذا الباب سنعيد تعريف الدوال الدائريه اليت سبق أن درسناها يف الباب اخلامس إبستخدام توجد طريقه أخرى لدراسه الدوال الدائريه إبستخدام املثلثات القائمه الزاويه

سنبدأ أوال بدراسه الزوااي. . الدوال املثلثيه املثلثات و سنسميها هنا

قياس الزاواي 6.1عاده ماننظر إىل الزاويه . Oو رأس مشرتك 2Rو 1Rتتكون من ضلعني AOBزاويه يف الشكل أدانه من ضلعني و رأس مشرتك بينهما فمثال الزاويه تتكون

جتاه عقارب للزاويه. إذا كان الدوران إبجتاه معاكس إل ابلضلع النهائي 2Rابلضلع اإلبتدائي و 1R. يف هذه احلاله نسمي 2Rإبجتاه 1Rعلى أهنا دوران للضلع إبجتاه عقارب الساعه.الساعه فإن الزاويه تعترب موجبه و ابلعكس تعترب الزاويه سالبه إذا كان الدوران

و يرمز هلا ابلدرجه. بديهيا هو مقدار إنفراج الزاويه. تسمى وحده قياس الزاويه 2Rإبجتاه الضلع 1Rعندما يتحرك الضلع مقدار الدوران حول الرأس هو قياس الزاويه

1. الزاويه اليت قياسها درجه واحده تكون بدوران الضلع اإلبتدائي °ابلرمز

360جزء من الدوره الكامله. يف دراسه التفاضل و بعض الفروع اآلخرى من الرايضيات توجد

و مركزها 1وهو مقدار إنفراج الزاويه مقاس بطول القوس املقابل هلا على دائره نصف قطرها ( rad) يرمز له ابلرمز الراداين سمى مقياس أكثر فاعليه يف قياس الزوااي ي و لتعريف دقيق للراداين لدينا رأس الزاويه

زاويه موجبه زاويه سالبه

الضلع اإلبتدائي

الضلع النهائي الضلع النهائي

الضلع اإلبتدائي

املقابل للزاويه.و مركزها رأس الزاويه فإن قياس االزاويه ابلراداين هو طول القوس 1إذا رمست دائره نصف قطرها : تعريف

راداين بينما و سيكون قياس زاويه مستقيمه هو راداين 2فإن دوران كامل حول الدائره سيكون قياسه 2هو 1الدائره اليت نصف قطرها حميط حيث أن

سيكون قياس الزاويه القائمه هو 2

راداين. 2على دائره الوحده قياسها 2راداين. الزاويه املقابله لقوس طوله

فإننا حنصل على العالقه البسيطه التاليه 2و مقاسه ابلراداين هي °360حيث أن دوره كامله على الدائره مقاسه ابلدرجات هي

°

180180° 1 1°

180rad rad rad

درجات إىل راداين نضرب بـلتحويل قياس الزاويه من180

.

180لتحويل قياس الزاويه من راداين إىل درجات نضرب بـ

.

لتصور ما هو طول الراداين الحظ أن

1 57.296° 1° 0.01754rad rad

: 1مثال

(a ابلراداين °60عرب عن(b عرب عن6

rad ابلدرجات

احلل:

) 60° 60180 3

180) 30°

6 6

a rad rad

b rad

الوضع القياسي للزاويه

على اجلزء املوجب حملور السينات. حبيث يكون رأسها منطبق على نقطه األصل و ضلعها اإلبتدائي xyاإلحداثي يف املستوى إذا رمست وضع قياسييقال ان الزوايه يف فيما يلي أمثله لزوااي يف وضع قياسي

أذا تطابقا كال ضلعيهما. يف الشكل أعاله جند أن الزاويتني متتامختان نقول عن زاويتني يف الوضع القياسي أهنما a و c ممتامختان.

: 2مثال

(a 30املتامخه للزاويه أوجد الزوااي° القياسي.يف الوضع

(b املتامخه للزاويه أوجد الزوااي3

.يف الوضع القياسي

احلل:

(a أن أي °360سنضيف إليها مضاعفات °30إلجياد الزوااي املتامخه للزوايه

30° 360°n n

. °30متثل الزوااي املتامخه لـ

فمثال

30° 360° 390°, 30° 720° 750°

°30هي زوااي موجبه متامخه لـ

و

30° 360° 330°, 30° 720° 690°

. °30متامخه لـ هي زوااي سالبه

(b إلجياد الزوااي املتامخه للزوايه3

2سنضيف إليها مضاعفات أن أي

2 n3

n

متثل الزوااي املتامخه لـ 3

.

فمثال

7 132 4

3 3 3 3

هي زوااي موجبه متامخه لـ3

و

5 112 4

3 3 3 3

متامخه لـ هي زوااي سالبه3

.

. °1290و متامخه لزاويه يف الوضع القياسي و قياسها °360و °0أوجد زاويه قياسها بني : 3مثال

°1290. فمثال كل من الزاويه °1290و سنحصل على زاويه متامخه لـ °1290من الزاويه °360نستطيع طرح أيه مضاعف لـ احلل: 360° 930° والزاويه 1290° 2 360° 570° و 360على 1290الزاويه فإننا نقسم وإلجياد تلك °360و °0. ولكننا نريد زاويه بني °1290هي زوااي متامخه لـ

سيكون ابقي القسمه مساو لقياس الزاويه اليت نريد

1290 3 360 210

°210أي أن قياس الزاويه املطلوبه هو

طول القوس الدائري:

أهنا مركزيه يف الدائره ) إبختصار مركزيه( إذا كان رأسها يقع يف مركز الدائره. نقول عن الزاويه

رداين هو للقوس املقابل لزاويه مركزيه قياسها sالطول rيف دائره نصف قطرها تعريف:

s r

sابلراداين هو و سيكون قياس rالصيغه أعاله ستعطينا طريقه لتعريف مقياس الراداين إبستخدام دائره هلا إيه قطر

r طول القوس الدائري املقابل لـ هو sحيث

. rيف دائره نصف قطرها

: 4مثال

(a 30مركزيه قياسها منر و املقابل لزاويه 10أوجد طول القوس الدائري لدائره نصف قطرها° .

(b زاويه مركزيه مرت فما هو قياس تلك الزاويه ابلرداين. 6مرت و تقابل قوس طوله 4يف دائره نصف قطرها

احلل :

(a 30فإن 1و كما رأينا يف املثال جيب أوال حتويل قياس الزاويه إىل راداين° / 6 rad أي أن طول القوس هو

5

106 3

s r m

(b حسب الصيغه /s r جند أن

6 3

4 2rad

حساب املثلثات القائمه الزاويه 6.2 وهلا العديد من التطبيقات. بعض النسب بني اضالع املثلث القائم الزاويه تسم هذه النسب ابلنسب املثلثيهيف هذا اجلزء سندرس

النسب املثلثيه:

فإن النسب النثلثيه معرفه كاأليت الزاويه أحد زواايه ليكن لدينا مثلث قائم

sin cos tan

csc sec cot

. حيث أن مثلثني cosecantو secantو cotangentو tangentو cosineو sineالرموز املستخدمه يف تعريف هذه النسب املثلثيه هي إختصارات لـ فقط. فإن هذه النسب لن تعتمد على حجم املثلث و إمنا على الزاويه سيكونلن متشاهبان قائمي الزاويه وهلما ننفس الزاويه

الوتر

الوتر

الوتر

الوتر الوتر

املقابل

املقابل

املقابل

املقابل

املقابل

اجملاور

اجملاور

اجملاور

اجملاور

اجملاور

يف الشكل التايل : أوجد مجيع النسب املثلثيه للزاويه 1مثال

احلل:

3زاويه حاده حبيث : لتكن 2مثال cos

4 . أرسم مثلث قائم الزاويه إحدى زواايه .مث أوجد قيم النسب املثلثيه الباقيه

إذا كان طول املقابل 3 هو وطول جماور 4إىل الوتر فإننا سنرسم مثلث قائم الزاويه طول وتره هو يعرف على انه نسبه اجملاور للزاويه cosاحلل: حيث أن

2ت فإن فإنه من نظريه فيثاغورث للمثلثا xهو 24 3 16 9 7x .

و سيكون

مثلثات خاصة:

. نظرا ألمهيتها نشري إليها هناس .بعض املثلثات القائمه الزاويه يسهل حساب نسبها املثلثيه إبستخدام نظريه فيثاغورث

1أول تلك املثلثات حنصل عليه برسم القطر يف مربع طول ضلعه .

/) أو °90,°45,°45. املثلث الناتج له الزوااي 2أن طول هذا القطر هو إبستخدام نظريه فيثاغورث جند 4, / 4, / 2 ).

للحصول على املثلث الثاين سنبدأ مبثلث ABC و سنرسم املستقيم 2الضلعني و طول كل منهما متطابقDB العامودي على القاعدهAC و . Bلزاويه الرأس هلا و فاملنص

) أو °90,°60,°30املثلث فإننا حنصل على ABCينصف املثلث DBو حيث أن 3هو DBطول املستقيم جند أن إبستخدام نظريه فيثاغورث / 6, / 3, / 2 )

/) أو °60و °30,°45فإننا نتستطيع حساب النسب املثلثليه للزوااي إبستخدام املثلثات اليت أوجدانها أعاله 4, / 6 و/ 3 كما يف اجلدول التايل )

الدوال املثلثيه للزوااي 6.3سنبدأ بتعريفها و يف هذا اجلزء سنعمم تعريف النسب املثلثليه ليشمل مجيع أنواع الزوااي و ذلك بتعريف الدوال املثلثيه على الزوااي.لقد عرفنا سابقا النسب املثلثيه للزوااي احلاده

على الزوااي احلاده أوال مث نعمم ذلك التعريف.

يف الوضع القياسي كما يف الشكل أدانه . ضع مثلث قائم الزاويه و له الزاويه احلاده POQليكن

ستقع النقطه ,P x y P الضلع النهائي للزاويه على يف املثلث .POQ جند أن الضلع املقابل لللزاويه سيكون له الطولy بينما ستمثلx طول

2ن الضلع اجملاور للزاويه. إبستخدام نظريه فيثاغورث جند أن طول الوتر سيكو 2r x y . أي أن

sin cos tany x y

r r x

) ليس ابلضروره حاده( و النسب املثلثيه اآلخرى ميكن إجيادها بنفس الطريقه. مما سبق جند أننا نستطيع متديد تعريف النسب املثلثيه ليشمل أي زاويه بصوره عامهبقيه لثيه على كدوال يف الزوااي كما يلي سنعرف الدوال املث

زاويه يف الوضع القياسي و لتكن : لتكن تعريف ,P x y 2نقطه على ضلعها النهائي. إذا كان 2r x y من نقطه األصل إىل النقطه هي املسافه

,P x y فإن

sin cos tan 0

csc 0 sec 0 cot 0

y x yx

r r x

r r xy x y

y x y

اجملاور

املقابل الوتر

tan90°حيث أن القسمه على الصفر غري معلرفه فإن بعض الدوال املثلثيه لن تون معرفه عند بعض الزوااي فمثال y

x 0غري معرف إلنx . الحظ أن الزوااي

الربعيه. ابلزوااي اليت رمبا تكون الدوال املثلثليه عندها غري معرفه هي تلك الزوااي اليت يكون ضلعها النهائي مطابق ألحد احملاور و تسمى هذه الزوااي

على إختياران للنقطه من املهم إدراك أن قيم الزوااي املثلثيه ال تعتمد , yP x هذا إلنه إذا كانت ، ,P x y أيه نقطه أخرى على الضلع النهائي

Pو POQفإن املثلثان OQ .سيكوانن متشاهبان

مقارنه الدوال املثلثيه ابلدوال الدائريه.

لكي نفهم يه معرفه على الزوااي إبستخدام املثلتات القائمه الزاويه.الدوال املثلثاحلقيقيه إبستخدام دائره الوحده جند أن الدوال الدائريه معرفه على األعدادبيمنا يف املستوى األحداثي ابلضبط ماهي العالقه بينهما لنبدأ برسم دائره الوحده

لتكن ,P x y بقوس طوله هي النقطه الطرفيه اليت احملددهt على دائره الوحده. أي أنt ستقابل زاويه يف مركز الدائره ) إنظر الشكل أدانه( . إذا

. yو xو طول ضلعيه مها OPQ حنصل على مثلث قائم الزاويه فإننا xعلى حمور Qإىل النقطه Pأسقطنا خط عامودي من

حسب تعريف الدوال الدائريه فإن

sin cost y t x و حسب تعريف الدوال املثلثيه فإن

sin cos1 1

y xy x

مقاسه ابلرداين فإن و إذا كانت 1

tt

ل الذي يطرح نفسه اآلن ملاذ ندرس نفس الدوال بطريقتيم السوا. أو للزاويه طي نفس القيم للعدد احلقيقيأي أن كال الدوال تعمبقارنه طريقيت التعريف جند أهنما متطابقتان خمتلفتني . اإلجابه هي أن هناك العديد من التطبيقات تتطلب طريقه دون األخرى.

. حساب الدوال املثلثليه إلي زاويه

rموجب القيمه كما أن yو xهذا إلن كال من الربع األول يقع يف من تعريف الدوال املثلثليه جند أن قيم تلك الدوال ستكون موجبه إذا كان الضلع النهائي لـ دائما مقدار موجب) فهو املسافه بني نقطة األصل و النقطه ,P x y إذا كان الضلع النهائي لـ .) يقع يف الربع الثاين فإن قيمx ستكون سالبه بينما ستكون قيم

y يف الربع الثاين ستكون موجبه أي أنsin وcsc موجبتني و بقيه الدوال املثلثيه اآلخرى ستكون قيمها سالبه. و ابملثل نستطيع معرفه إشارات مجيع الدوال املثلثليه يف بقيه األرابع. و سيكون لدينا مايلي

إشارات الدوال املثلثليه الدوال السالبه الدوال املوجبه الربع

فيما يلي سنوجد قيم الدوال املثلثيه لزوااي ليست ابلضروره حاده

أوجد : 1مثال

) cos135° b) tan390°a

احلل:

(a 135حيث أن الضلع النهائي لـ يقع على املستقيمy x . تعريف الدوال املثلثيه وطبقا للرموز من فإن أي نقطه على الضلع النهائي حتقق معادله هذا املستقيم

cos135الشكل أدانه جند أن يف /x r و لكنx/ r cos45 2 / 2 أي أن

2cos135

2

(b 390الزوايه حيث أن 30متامخه للزاويه فإن ضلعيهما النهائيني سيتطابقان عليه فإن

3tan 390 tan 30

3

.........................................................

.....................................

التعريف ذلك سيدعوان إىلحاده مطابقه إىل إشاره ) أي رمبا ختتلف يف اإلشاره ( لقيم الدوال املثلثيه للزوااي احلاده. ريللزوااي الغمن املثال السابق جند أن قيم الدوال املثلثيه التايل

تعريف: )الزاويه املرجعيه(

. xمع حمور هي الزاويه احلاده اليت يكوهنا الضلع النهائي لـ و املرتبطه بـ الزاويه املرجعيه زاويه يف الوضع القياسي . لتكن

.الشكل التايل يوضح العديد من األمثله للزوااي املرجعيه و كيفيه حتديدها

أن نعرف يف أي ربع يقع الضلع النهائي للزاويه.من املهم لتحديد الزاويه املرجعيه

لـ: أوجد الزاويه املرجعيه 2مثال

5) ) 870

3a b

. xتذكر أن الزاويه املرجعيه هي زاويه حاده يكوهنا الضلع النهائي للزاويه مع حمور احلل:

(a 5حيث أن الضلع النهائي للزاويه / 3 يقع يف الربع الرابع

هي الزاويه املرجعيه لـ فستكون

52

3 3

(b 870حيث أن الزاويه 150و الزاويه ( متتامختان 870 2 360 150 )870 فإن الضلع النهائي للزاويه يقع يف الربع الثاين

وعليه فستكون الزاويه املرجعيه هي

180 150 30

: أوجد 3مثال

a) sin 240 ) cot 495b

احلل:

(a 240يقع الضلع النهائي للزاويه الثالث يف الربع

240هي 240ستكون الزاويه املرجعيه لـ إذن 180 60 ستكون إشاره وsin240 سالبه عليه فإن

3sin 240 sin 60

2

(b 495الزاويه 135للزاويه متامخه اليت يقع ضلعها النهائي يف الربع الثاين

180إذن ستكون الزاويه املرجعيه هي 135 45 و ستكون إشارهcot 495 سالبه وعليه فإن

cot 495 cot135 cot 45 1

إجياد الدوال املثلثليه إلي زاويه:

سنتبع اخلطوات التاليه: إلجياد قيم الدوال املثلثيه إلي زاويه

. و املرتبطه ابلزاويه املرجعيه نوجد الزاويه .1 . عن طريق حتديد الربع الذي تقع فيه حندد إشاره الداله املثلثيه لـ .2

. ن مساويه إىل إشاره لقيم الدوال املثلثيه للزاويه املرجعيه ستكو قيم الدوال املثلثيه لـ .3

16: أوجد 4مثال )sin ) sec

3 4a b

احلل:

(a 16الزاويه / 3 4متامخه للزاويه / 3 و حيث أن الضلع النهائي لتلك الزوااي يقع يف الربع الثالث

فستكون الزاويه املرجعيه هلما هي 4 / 3 / 3 و ستكون قيمه داله الـsin هلما سالبه أي أن

16 4 3sin sin sin

3 3 3 2

(b الزاويه تقع/ 4 يف الربع الرابع و ستكون الزاويه املرجعيه هلا هي/ 4

موجبه يف الربع الرابع فإن secو حيث أن داله الـ

sec sec 24 4

املتطابقات املثلثيه األساسيه

. بشرط أن تكون الداله املثلثيه معرفه عند تتحقق هذه املتطابقات إلي ربط الدوال املثلثيه بعضها ببعض و توجد العديد من املتطابقات اليت ت

: 5مثال

(a عرب عنsin بداللهcos

(b عرب عنtan بداللهsin إذا كانت .يف الربع الثاين

من متطابق فيثاغورث جند أن احلل:

2sin 1 cos

تقع يف الربع األول او الثاين فسيكون لدينا . إذا كانت تقع فيه و ستعتمد اإلشاره على الربع الذي

2sin 1 cos

تقع يف الربع الثالث أو الرابع فإن أما إذا كانت

2sin 1 cos

(b حيث أنsintan

cos

إذن حنتاج فقط أن نكتبcos بداللهsinلفقره . بطريقه مماثله حلل ا(a مع مالحظه أن تقع يف الربع الثاين و أن

جند أن إشارهتا سالبه يف الربع الثاين cosالـ داله

2

sin sintan

cos 1 sin

2إذا كان : 6مثالtan

3 و تقع يف الربع الثالث فأوجدcos .

حل 1 سنحتاج أن نكتبcos بداللهtan 2. يف أحد متطابقات فيثاغورث لدينا 2tan 1 sec و سنحصل منها على أن2sec tan 1 حيث أن . يف الربع الثالث فإن إشارهsec سالبه.أي أن

املتطابقات التبادليه

متطابقات فيثاغورث

2sec tan 1

أي

2 2

1 1 1cos

sec tan 1 21

3

1 3.

13 13

9

حل 2 تذكر أن فيما عدا إمكانيه إختالف يف األشاره . 6.2يف اجلزء 2ممكن حلها بطريقه أكثر سهوله إبستخدام نفس الطريقه املتبعه يف حل مثال أله: هذه املس

2. لذا إذا ماتركنا موضوع اإلشاره جانبا اآلن فإننا نبحث عن زاويه حاده حتقق أن فإن قيمه الداله املثلثيه لزاويه ما مساويه لقيمه الزاويه املرجعيه هلا tan

3 لنرسم

13من نظريه فيثاغورث جند أن الوتر يف املثلث يساوي مثلث قائم الزاويه وله الزاويه احلاده

cosمن أبعاد املثلث جند مباشره أن 3 / 13 و حيث أن يف الربع الثالث فإنcos سيكون سالب أي أن

3cos

13

sec: إذا كانت 7مثال 2 و فأوجد قيم الدوال املثلثيه اآلخرى لـيف الربع الرابع .

احلل: سنرسم املثلث كما يلي

تقع يف الربع الرابع سيكون لدينا آخذين يف اإلعتبار أن الزاويه

متارين الباب السادس

قياس الزوااي 6.13 14 أوجد قياس الراداين للزوايه . معطى لدينا زاويه مقاسه ابلدرجات

15 26 أوجد قياس الدرجات للزاويهمعطى لدينا زاويه مقاسه ابلراداين .

27 32 معطى لدينا زاويه ابلوضع القياسي . أوجد زاويتني موجبتني متامختني للزاويه و زاويتني سالبتني متامختني للزاويه

33 38 معطى لدينا زاويتني يف الوضع القياسي. حدد ما إذا كانت الزاويتني متتامختني أم ال

39 44 0أوجد زاويه بني 360و و اليت تكون متامخه للزاويه

45 50 2و 0بني أوجد زاويه و اليت تكون متامخه للزاويه

يف الشكل التايل sأوجد طول القوس 51.

الشكل التايليف أوجد قياس الزاويه 52.

للدائره يف الشكل أدانه rأوجد قياس نصف القطر 53.

مرت . 10مركزيه يف دائره نصف قطرها 45أوجد طول القوس الدائري املقابل لزاويه 54.

ميل. 2مركزيه يف دائره نصف قطرها 2radأوجد طول القوس الدائري املقابل لزاويه 55.

حساب املثلثات القائمه الزاويه 6.23 8 أوجد قيم النسب املثلثيه السته للزاويه يف الشكل التايل

11 16 أوجد قيمهx فيما يلي

17 18 عرب عنx وy بدالله النسب املثلثيه لــ .

19 24 أرسم مثلث له الزاويه احلاده مث أوجد بقيه النسب املثلثيه اآلخرى

25 30 أوجد قيمه التعبري

31 38 أوجد مجيع أطوال املثلث املرسوم

41 44 أوجد قيمهx .

. بدالله النسب املثلثيه لــ xعرب عن الطول 45.

,عرب عن األطوال 46. ,c b a وd .يف الشكل التايل بدالله النسب املثلثيه

الدوال املثلثيه 6.3

3 10 املعطاه أوجد الزاويه املرجعيه للزاويه

11 34 أوجد قيمه الداله املثلثيه

35 38 أوجد الربع الذي تقع فيه الزاويه مستعينا ابملعلومات املعطاه

39 44 املثلثيه األوىل بدالله الثانيه حيث أكتب الداله تقع يف الربع املعطى

45 52 أوجد قيم الدوال املثلثبه لــ مستعينا ابملعلومات املعطاه

/إذا كانت 53. 3 فأوجد قيمه كل من التعابري التاليه

يف الربع الثالث يف الربع الثاين يف الربع الرابع يف الربع االول يف الربع الثاين يف الربع الثالث

يف الربع الثالث

يف الربع الثاين

يف الربع االول