8/12/2019 Ispit Analiza1 Gajic M1 Jun2014
1/1
Analiza 1 za M0/M1 smer, jun 2014
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = x2 153
x3 8 .
2. a) Funkciju fiz prethodnog zadatka razviti u Maklorenov red i
odrediti oblast na kojojtaj razvoj vazi.
b) Izracunati f(5)(0).
3. Neka je f : (0, +) [0, +) opadajuca funkcija i neka je +1
f(x)dx= +.a) Dokazati da za proizvoljne x0, T >0 vazi:
n=0
f(x0+nT) = +.
b) Ako je g : (0, +) [0, +), g 0, neprekidna i periodicna
funkcija, tada je
+
1
f(x)g(x)dx= +
.
Dokazati. (Pomoc: integral predstavlja povrsinu izmedu grafika
funkcije i x-ose.)
4. (bonus zadatak) Neka je I=
+1
arccos(cos x)
xdx.
a) Ispitati konvergenciju datog integrala u zavisnosti od
parametra R.b) Izracunati I2. (Pomoc: izracunati prvo
(2n+1)
arccos(cosx)x2 dx.)
Korisne formule: n! nnen
2n, n (Stirlingova formula).
Analiza 1 za M0/M1 smer, jun 2014
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = x2 153
x3 8 .
2. a) Funkciju fiz prethodnog zadatka razviti u Maklorenov red i
odrediti oblast na kojojtaj razvoj vazi.
b) Izracunati f(5)(0).
3. Neka je f : (0, +
)
[0, +
) opadajuca funkcija i neka je +1
f(x)dx= +
.
a) Dokazati da za proizvoljne x0, T >0 vazi:
n=0
f(x0+nT) = +.
b) Ako je g : (0, +) [0, +), g 0, neprekidna i periodicna
funkcija, tada je +1
f(x)g(x)dx= +.
Dokazati. (Pomoc: integral predstavlja povrsinu izmedu grafika
funkcije i x-ose.)
4. (bonus zadatak) Neka je I=
+
1
arccos(cos x)
xdx.
a) Ispitati konvergenciju datog integrala u zavisnosti od
parametra R.b) Izracunati I2. (Pomoc: izracunati prvo
(2n+1)
arccos(cosx)x2 dx.)
Korisne formule: n! nnen2n, n (Stirlingova formula).
