Introduction aux problèmes du RMT Les problèmes du RMT font tous l�’objet d�’une analyse a priori des contenus mathématiques, de la tâche de l�’élève, complétée par une description des critères d�’attribution des points. Ils sont ensuite soumis à des centaines ou milliers de classes lors des épreuves, dans les mêmes conditions : temps limité à 50 minutes, toute l�’organisation de la gestion et de résolution est à la charge de la classe qui doit rendre une seule copie par problème, avec solutions et explications (le maître titulaire n�’est pas présent, un autre adulte « surveille » la classe). Les classes sont regroupées en catégories qui vont de 3 à 10 (8-9 ans à 15-16 ans), chacune reçoit de 5 à 7 problèmes à résoudre par épreuve. Puis vient l�’attribution des points (de 0 à 4) à chaque copie, par les commissions de chaque section, selon des critères établis lors de l�’analyse a priori. La synthèse de ces premiers résultats donne pour chaque problème une « moyenne » de points par catégorie, sur l�’ensemble des classes de toutes les sections, ainsi que la répartition de ces points selon les critères 0, 1, 2, 3, et 4. Pour certains problèmes, des analyses a posteriori permettent d�’identifier les procédures adoptées par les élèves lors de la résolution, les difficultés, les obstacles, les erreurs récurrentes, le niveau de construction des concepts mathématiques. L�’ensemble des analyses et des données recueillies permet l�’élaboration de variantes de certains problèmes pour en savoir plus sur la manière dont les élèves les résolvent. Finalement, tous les sujets sont regroupés dans une banque de problèmes, en préparation actuellement, par familles de tâches, par concepts mathématiques, avec un système de mots-clés pour s�’y orienter. On y trouvera les énoncés des problèmes, les concepts mathématiques intervenant dans la résolution, les données statistiques de l�’attribution des points et, lorsque des analyses a posteriori ont été conduites, la description des procédures observées effectivement, le relevé des obstacles ou erreurs significatifs et aussi quelques idées d�’exploitation didactique des problèmes à l�’intention des maîtres qui voudraient les insérer dans le parcours d�’apprentissage de leur classe. (Dans les cas où on ne dispose pas encore d�’analyses a posteriori, les fiches de la banque reprendront les analyses a priori des problèmes, telles qu�’elles étaient au moment de leur élaboration). De nombreux groupes de travail de l�’ARMT travaillent depuis des années, à cette présentation de nos problèmes sous leurs aspects mathématiques et didactiques. Notre banque de problèmes va bien au-delà d�’« annales » des problèmes du RMT, qui se limiteraient à la publication des énoncés, avec des analyses a priori encore hypothétiques ou à des statistiques donnant des « taux de réussite » détachés de toutes les réflexions sur les obstacles et procédures effectives relevées. Nous nous contentons de publier, dans cette partie du site, quelques exemples d�’énoncés de nos problèmes accompagnés de brèves remarques afin que le visiteur puisse en percevoir quelques caractéristiques (catégories, concepts, indices de réussite, �…) lui permettant de les envisager à des fins d�’apprentissage pour les élèves de sa classe. Pour en savoir plus, le visiteur devra se rendre sur la banque de problèmes, qui sera accessible prochainement par un lien direct.

Quelques exemples de problèmes du RMT Avec quelques indications sur les niveaux scolaires (catégories) et les thèmes mathématiques abordés pour faciliter les choix. Titres Catégories Thèmes 1. Gourmandises 3, 4 Géométrie 3D + Dénombrement

2. Bien cachés 3, 4 Géométrie, dénombrement de triangles

Des triangles, oui, mais combien? 6 - 8 Géométrie, dénombrement de triangles

3. Pyramides de briques 3 - 5 Additions et soustractions dans N

Pyramides de briques (variante) 6 - 10 + approche algèbre et équations

4. Dîner aux chandelles 4 - 6 Somme de multiples

Dîner aux chandelles (variante) 8 -10 Somme de multiples, algèbre et équations

5. Parties de billes 5, 6 Addition et soustraction dans Z

6. L�’anniversaire 5 - 7 Numération

7. Éclairs au chocolat 6 - 7 Opérations dans N, équations

8. Le parterre de tulipes 7 - 10 Nombres rationnels

9. Bâtonnets et triangles 7 - 10 Inégalité triangulaire

10. Date de naissance 8 - 10 Sommes de multiples

11. Les confitures 6 - 8 Proportionnalité et nombres rationnels

12. Rallye 2005 3, 4 Comparaisons et unités d�’aires

13. La table à déplacer 4 - 8 Approfondissement du concept de rectangle

14. La boîte de cubes 6 - 10 Géométrie dans l�’espace, cubes dans une boîte

15. La boîte à recouvrir 3 - 5 Faces d�’un parallélépipède rectangle

16. La chasse aux trois 3 - 5 Numération, chiffres d�’une séquence de

nombres

17. Nouveaux feutres 7 - 10 Système de numération de base huit

18. Machine à calculer 5 - 7 Fonction (affine) à déterminer

19. Le bouquet 7 - 10 Equation à résoudre par voie arithmétique

1. GOURMANDISES (Cat. 3, 4) Maman a acheté une boîte de chocolats et l�’a posée sur la table. Voici la boîte, pleine mais encore fermée, avec son couvercle :

Le lendemain matin, quand elle ouvre la boîte, elle découvre que ses enfants ont déjà mangé une partie des chocolats. Voici ce qui reste :

Combien de chocolats y avait-il dans la boîte quand elle était pleine ? Combien de chocolats les enfants ont-ils déjà mangés ? Expliquez comment vous avez trouvé vos réponses.

REMARQUES Ce problème fait appel aux compétences de visualisation spatiale et permet de vérifier les capacités de dénombrement, par addition et/ou multiplication, avec une approche du concept de volume. Les deux réponses, 60 et 23 ont été trouvées par environ 60 % (cat. 3) et 70 % (cat. 4). Les autres réponses incorrectes sont dues à des erreurs de comptage.

2. BIEN CACHES (Cat. 3, 4) André et Danièle observent cette figure : André dit : « Je vois 5 triangles dans cette figure. » Danièle lui répond : « Moi, j'en vois beaucoup plus que ça ! » Combien peut-on voir, en tout, de triangles différents dans cette figure ? Indiquez clairement tous les triangles que vous avez trouvés.

DES TRIANGLES, OUI, MAIS COMBIEN ? (Cat. 6, 7, 8) Voici un pentagone régulier, dessiné avec toutes ses diagonales : Alice dit : « Je vois 10 triangles dans ce pentagone. » Bianca lui répond : « Moi, j'en vois plus que ça ! » Combien peut-on voir, en tout, de triangles dans cette figure ? Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

REMARQUES On trouve de nombreux problèmes du RMT de ce genre, consistant à déterminer le nombre de figures élémentaires (triangles, carrés, rectangles, �…) que l�’on peut observer dans une figure plus complexe. L�’intérêt de la tâche se situe dans la reconnaissance de figures géométriques, leur désignation et l�’organisation rigoureuse d�’un inventaire. Pour le premier de ces problèmes, les 12 triangles ont été identifiés et comptés correctement par 27 % des classes (Cat. 3) et 44 % (Cat 4) 40 % des copies présentent de 1 à 4 oublis ou doublons 30 % (Cat. 3) et 20 % (Cat. 4) des classes reconnaissent moins de 6 triangles. Pour le second problème, la recherche est beaucoup plus exigeante car il y a 35 triangles dans la figure. Les taux de reconnaissance s�’améliorent légèrement de la catégorie 6 à la catégorie 8 de 15 à 20 % de réponses correcte (35) avec explications claires et complètes (texte, liste ou dessin) de 10 à 15 % de réponses 34 ou 36 avec un seul oubli ou un seul doublon, environ 30 % de réponses (25 ou 30) avec oubli d�’un seul des 5 types de triangles, environ 40 % de réponses (15, 20 ou 25) avec oubli de deux types de triangles, de 5 à 10 % de réponses avec moins de 15 triangles différents repérés.

3. PYRAMIDES DE BRIQUES (Cat. 3, 4, 5) Dans ces pyramides, on écrit un nombre sur chaque brique, selon la règle suivante : Pour chaque brique qui repose sur deux autres, le nombre écrit est la somme des nombres des deux briques sur lesquelles elle est posée. Par exemple : 14 est le nombre de la brique posée sur les briques 3 et 11 car 14 = 3 + 11,

51, le nombre de la brique du haut, est la somme de 27 et 24.

51 27 24 14 13 11

3 11 2 9

Écrivez les nombres qui manquent pour compléter la pyramide ci-dessous, avec la même règle :

60 18 15

8

nombres manquants.

VARIANTE SUR LE MEME THEME (Cat. 6, 7, 8, 9, 10) Compléter les deux pyramides suivantes : »

70

31

25 13 20

15 15 7

Matteo et Diego commencent alors à compléter les deux pyramides proposées. Lorsqu�’ils confrontent leurs résultats, ils constatent qu�’ils ont la même solution pour la pyramide de gauche. Matteo dit qu�’il n�’est pas possible de compléter la pyramide de droite. En revanche, Diego, très fier de lui, affirme qu�’il a trouvé les nombres qui lui permettent de la compléter selon la règle. Complétez vous aussi les deux pyramides. Expliquez votre raisonnement pour trouver les nombres manquants.

REMARQUES Type de problème facilement adaptable en fonction des catégories, faisant appel à des connaissances arithmétiques élémentaires : addition et soustraction de nombres naturels (et décimaux pour la deuxième pyramide de la variante) et cheminement déductif. L�’occasion est bonne, à propos des pyramides de la variante, d�’entrer en algèbre et de faire constater que l�’efficacité du recours aux équations. La réussite est très bonne pour la première partie (de 80% à 90%), elle est plus faible pour la variante où la séquence de déductions est plus complexe et où l�’irruption de nombres non naturels dérange les élèves (de 50% à 60%).

4. DINER AUX CHANDELLES (Cat. 4, 5, 6) Laura a organisé un dîner dans son jardin. Pour créer une belle atmosphère, elle éclaire la table avec des chandeliers à deux branches, à trois branches et à quatre branches. Elle choisit au moins un chandelier de chaque sorte et sur chacun d�’eux, elle met une bougie par branche. Laura compte qu�’elle a mis 20 bougies en tout sur les chandeliers qu�’elle a utilisés. Comment Laura a-t-elle pu placer les 20 bougies ? Donnez toutes les possibilités. Indiquez pour chacune le nombre de chaque type de chandeliers et expliquez votre raisonnement.

VARIANTE (Cat. 8, 9, 10) Laura organise un dîner dans son jardin. Pour créer une belle atmosphère, elle éclaire la table avec des chandeliers. Elle utilise quatre chandeliers à deux bougies et d�’autres chandeliers à quatre bougies et à cinq bougies. Sur chaque chandelier elle met le maximum de bougies possibles. Elle utilise ainsi au total 100 bougies et 25 chandeliers. Combien de chandeliers à 4 bougies Laura utilise-t-elle ? Et combien à 5 bougies ? Expliquez votre raisonnement.

REMARQUES Problème adaptable mettant en jeu toutes les connaissances arithmétiques sur les opérations, les multiples, les décompositions, pour permettre un passage progressif à l�’introduction d�’outils algébriques dans sa variante. Les quatre répartitions du premier problème sont trouvées par 40 à 50 % des classes, de la catégorie 3 à 5. Pour la variante, 50 % environ des classes trouvent la réponse correcte (13 chandeliers à 4 bougies et 8 à 5 bougies) dont la moitié avec des explications claires (où l�’unicité de la solution apparaît clairement en cas de résolution arithmétique).

5. PARTIES DE BILLES (Cat. 5, 6) Dimanche, Gérard a reçu un beau sac de billes et il décide de les prendre toutes, dès le lendemain à l�’école, pour jouer avec ses camarades. Le lundi, il gagne 12 billes, il est très content. Le mardi, il rejoue, mais il perd 15 billes. Il n�’est pas content. Le mercredi, il perd encore 8 billes. Il est bien triste. De retour chez lui, il compte ses billes et il constate qu�’il lui reste la moitié des billes qu�’il avait le dimanche lorsqu�’il a reçu son sac. Le jeudi, il ne joue pas car il a peur de perdre encore plus de billes. Le vendredi, il hésite, mais joue tout de même et gagne 7 billes. Combien a-t-il de billes dans son sac le vendredi soir ? Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

REMARQUES Pour déterminer l'état final de cette succession de transformations, il faut combiner celles qui sont �“positives�” et celles qui sont �“négatives�” qui préfigurent les opérations avec des nombres relatifs. Il faut aussi jouer avec le déroulement du temps et savoir revenir en arrière pour trouver le « clé » donnée par la comparaison des états entre le dimanche et le mercredi. Un tiers des classes n�’ont pas pu maîtriser cette succession, un tiers ont pu la conduire partiellement, le dernier tiers sont arrivés aux 18 billes du vendredi soir. Attention donc, ce problème exigera des mises en commun intermédiaires dans le travail en classe pour ne pas décourager ceux qui ont de la peine à y entrer.

6. L�’ANNIVERSAIRE (Cat 5, 6, 7) C�’est l�’anniversaire d�’Anita. Son amie Berthe lui apporte un gâteau au chocolat. Sur ce gâteau, elle a placé 7 bougies qui indiquent l�’âge d�’Anita : des rouges et des vertes. Chaque bougie rouge vaut dix ans et chaque bougie verte vaut un an. Son ami Charles lui apporte une tarte aux fraises sur laquelle il a placé 8 bougies qui indiquent aussi l�’âge d�’Anita : des bleues et des vertes. Chaque bougie bleue vaut douze ans et chaque bougie verte vaut un an. Quel est l�’âge d�’Anita ? Expliquez comment vous avez trouvé son âge.

REMARQUE Il s�’agit ici de trouver deux nombres de deux chiffres égaux: l�’un écrit en base dix dont la somme des chiffres est 7, l�’autre écrit en base douze, dont la somme des chiffres est 8; dans un contexte de bougies et gâteaux d�’anniversaire. C�’est l�’occasion de revenir sur notre numération de position et de dresser un inventaire des nombres de deux chiffres dont la somme des chiffres est 7 en base dix et 8 en base douze. Dans ce contexte, la solution, 52 ans, est trouvée par environ 80 % des classes des trois catégories, avec des explications jugées satisfaisantes dans la moitié des cas.

7. ECLAIRS AU CHOCOLAT (Cat. 6, 7, 8) Au bar du club de vacances « Archimède », il y a toujours des éclairs au chocolat. Chaque jour, du lundi au vendredi, le bar se fait livrer la même quantité d�’éclairs ; tandis que le samedi et le dimanche il commande 20 éclairs de plus que les autres jours, parce qu�’il y a une plus forte demande. Chaque jour de la semaine dernière (du lundi au dimanche) tous les éclairs ont été vendus. Durant le week-end, le bar a vendu en tout 4 éclairs de plus que ceux qui ont été vendus durant les cinq premiers jours de la semaine. Combien d�’éclairs sont-ils livrés au bar chaque jour de la semaine? Expliquez votre raisonnement.

REMARQUES Il s�’agit d�’un des très nombreux problèmes du RMT conçu pour confronter les approches arithmétique et algébrique d�’une situation nouvelle, où interviennent l�’addition, la multiplication, la distributivité, des compensations et/ou équivalences. Lors de l�’attribution des points, on s�’est rendu compte que la tâche de résolution est semée de très nombreux obstacles dus au contexte et à la lecture, au point de relever en moyenne de 70 % « d�’incompréhension du problème », les réponses correctes (32 éclairs le samedi et dimanche, 12 éclairs les autres jours) n�’apparaissent que chez, respectivement 10%, 20%, 30% des classes de catégories 6, 7, 8. On ne peut donc pas envisager de proposer ce problème en classe dans les conditions de passation des épreuves du RMT ; il faut prévoir des mises en commun pour aplanir une partie des obstacles avant de passer, dans le domaine numérique, au traitement d�’une relation, simple, qu�’on peut écrire algébriquement : 5N + 4 = 2(N + 20) mais qu�’on peut aussi résoudre sans algèbre.

8. LE PARTERRE DE TULIPES (Cat. 7, 8, 9 10) Mme Petitepart décide de planter des tulipes de couleurs différentes dans un parterre de son jardin. Elle dispose de tulipes de huit couleurs différentes : rouge, jaune, orange, blanc, lilas, violet, rose et saumon. Avec les tulipes rouges, elle peut occuper du parterre, avec les tulipes jaunes elle peut occuper

du parterre, avec les tulipes orange , avec les tulipes blanches , avec les tulipes lilas , avec les

tulipes violettes , avec les tulipes roses , avec les tulipes saumon .

Madame Petitepart veut occuper complètement son parterre et, pour chaque couleur choisie, elle veut utiliser toutes les tulipes à sa disposition. Mais pour y arriver, elle doit bien choisir les couleurs. Elle se rend compte qu�’elle peut choisir trois couleurs de tulipes mais, par exemple, elle ne peut pas prendre ensemble les tulipes rouges, jaunes et orange. Quelles sont les trois couleurs de tulipes avec lesquelles Madame Petitepart peut occuper entièrement son parterre ? Est-ce possible d�’occuper entièrement le parterre avec les tulipes de quatre couleurs. Si oui, lesquelles ? Expliquez vos réponses.

REMARQUES Les fractions sont les mal aimées des élèves et souvent assimilées à des exercices fastidieux et des algorithmes appliqués à l�’aveugle. Les problèmes du RMT qui abordent le sujet laissent aux élèves la charge et le plaisir de transcrire le contexte en une relation numérique qui serait ici, dans un exercice traditionnel « Trouvez, parmi les huit fractions unitaires données, les associations de celles dont la somme est 1 ». La réponse correcte aux deux questions (rouge, jaune, lilas) et (rouge, orange, lilas, saumon) est trouvée par un tiers des classes de catégorie 7 ; il y a une progression sensible et régulière avec les années, jusqu�’à deux tiers en catégorie 10.

9. BATONNETS ET TRIANGLES (Cat. 7, 8, 9, 10) Georges a trouvé dans une boîte six bâtonnets dont les longueurs sont : 4 cm, 5 cm, 6 cm, 9 cm, 10 cm et 11 cm. Il en choisit trois pour former un triangle. Voici par exemple le triangle construit avec les trois bâtonnets de 4 cm, 6 cm et 9 cm de longueur :

Après avoir construit un triangle, Georges remet les trois bâtonnets dans la boîte et recommence. Combien de triangles différents Georges pourra-t-il construire avec ses six bâtonnets ? Expliquez comment vous avez trouvé vos réponses et décrivez-les.

REMARQUES L�’inégalité triangulaire est au c�œur de cette recherche de triangles. Ceux qui n�’y sont pas sensibles (ou chez qui un enseignement trop abstrait aurait tué toute référence aux objets ou au « bon sens » géométrique) se contentent d�’une recherche combinatoire des six nombres (mesures des longueurs) en présence, pris trois à trois. Ces derniers sont malheureusement très nombreux (plus d�’un quart) et ceux qui n�’ont contrôlé l�’inégalité triangulaire que dans quelques cas le sont aussi (près d�’un tiers). La réponse correcte et complète (14 triangles, avec leurs côtés) n�’est donnée que par 16% des classes de catégories 7 et 8 et environ 35 % des classes de catégorie 9 et 10. En résumé: un bon problème pour diagnostiquer la prise en compte des contraintes géométriques dans une recherche de type combinatoire.

4

6

9

10. LA DATE DE NAISSANCE (Cat. 8, 9, 10) Michèle dit à son nouvel ami qu�’elle est capable de découvrir le jour et le mois de sa naissance s�’il suit les instructions suivantes : « Multiplie par 13 le numéro de ton jour de naissance. Multiplie par 14 le numéro de ton mois de naissance. Additionne les deux produits et dis-moi le résultat final de tes calculs. » Son ami lui répond : « Le résultat final de mes calculs est 479. » Quels sont le jour et le mois de naissance de l�’ami de Michèle? Expliquez votre raisonnement.

REMARQUES Ce problème n�’est « pas très difficile » puisque les trois quarts des classes des trois catégories ont trouvé la solution : le 25 novembre. Mais ce n�’est pas dans cette solution que réside l�’intérêt du problème. C�’est dans son exploitation en classe, en algèbre pour réfléchir à la nature des solutions de 13x + 14y = 479 ou en arithmétique pour savoir combien il y a de couples de multiples, l�’un de 13, l�’autre de 14, dont la somme est 479 !

11. LES CONFITURES (Cat. 6, 7, 8) C�’est la récolte des cerises. Grand-mère prépare des confitures dans son énorme chaudron, pour sa famille et ses voisins. Lundi, elle cuit 8 kg de cerises avec 5 kg de sucre. Mardi, elle cuit 10 kg de cerises avec 7 kg de sucre. Jeudi, jour de la plus grande récolte, elle cuit 16 kg de cerises avec 10 kg de sucre. Samedi, fin de la récolte, elle cuit 5 kg de cerises avec 3 kg de sucre. Quel est le jour où elle a fait la confiture qui a le goût le plus sucré ? Y a-t-il des jours où les confitures ont le « même goût » en sucre ? Expliquez comment vous avez trouvé vos réponses.

REMARQUES Un problème emblématique du RMT dont l�’intérêt est de provoquer le conflit entre une perception additive (détermination des écarts) et une perception multiplicative (détermination des rapports) pour déterminer l�’équivalence de « recettes ». De nombreuses expérimentation et variantes de ce problème ont permis de constater que la grande majorité des élèves des catégories 5 et 6 trouvent que les jours où les confitures ont le même goût en sucre sont le lundi et le mardi car il y a 3 kg d�’écart entre les quantités de cerises et de sucre. Il faut attendre les catégories 7 et 8 pour voir apparaître le calcul des rapports pour aboutir à la réponse « lundi et jeudi ».

12. RMT 2005 (Cat. 3, 4) Sur le mur de l�’école, on a peint l�’intérieur des lettres R, M et T pour la prochaine finale du Rallye Mathématique Transalpin. Il reste encore à peindre l�’intérieur des quatre chiffres de 2005. Sophie va peindre, le « 2 » et le premier « 0 ». Marc peindra l�’autre « 0 » et le « 5 ».

Qui utilisera le plus de peinture ? Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

REMARQUES Un des premiers problèmes du RMT pour faire apparaître les différentes conceptions de la mesure d�’une aire avant les apprentissages formels, devenu progressivement un instrument de diagnostic et de confrontation entre élèves. Ce thème de comparaison des aires a été repris dans d�’autres problèmes de la même famille. Les analyses de copies d�’élèves ont fait apparaître, en catégories 3 et 4, mais encore chez des élèves plus âgés, des procédures très caractéristiques dont les trois principales sont : le comptage des pièces indépendamment de leur aire ; les conversions des différentes pièces en l�’une d�’entre elle conçue comme l�’unité d�’aire, précédant le comptage de ces unités ; les mesures de périmètre des figures à comparer.

13. LA TABLE A DEPLACER (Cat 4, 5, 6, 7, 8) Ce dessin représente le sol de la cuisine de Julie avec des petits cercles au centre de chaque carreau. Julie a remarqué une chose étonnante : dans certaines positions, les quatre pieds de la table de cuisine recouvrent exactement quatre petits cercles du carrelage. Julie place tout d�’abord la table dans une certaine position, avec les quatre pieds qui recouvrent exactement les quatre cercles marqués en noir sur le dessin (en haut à gauche). Julie la déplace de manière que les quatre pieds de la table recouvrent exactement quatre autres cercles. Deux de ces cercles sont marqués en rouge sur le dessin. Marquez en rouge les deux autres cercles recouverts par les deux autres pieds de la table dans cette deuxième position. Julie déplace encore la table dans une troisième position et pose de nouveau les quatre pieds sur quatre cercles. Deux de ces cercles sont marqués en bleu sur le dessin. Marquez en bleu les deux autres cercles recouverts par les deux autres pieds de la table dans cette troisième position. Pourrait-on déplacer la table pour que ses quatre pieds recouvrent encore quatre cercles, dont un est marqué en vert sur le dessin ? Si oui, dites de combien de manières on peut disposer la table avec un pied sur le cercle vert et les trois autres sur d�’autres cercles et marquez ces cercles, en vert et avec d�’autres couleurs s�’il y a plus d�’une possibilité.

REMARQUES Les élèves, à l�’origine de catégorie 4 puis jusqu�’à ceux de catégories 7 et 8, dessinent en général des parallélogrammes non rectangles pour les images successives de la table. Les obstacles essentiels résident dans la difficulté de passer d�’une figure donnée uniquement par ses 4 sommets à la figure du rectangle (dont le mot ne figure pas dans l�’énoncé) puis dans la distinction entre parallélogramme et rectangle et la conservation des longueurs. Il y a encore beaucoup à faire pour construire le concept de rectangle, jusqu�’à l�’âge de 12 à 13 ans; contrairement à ce que l�’on pourrait penser en se limitant à l�’aborder de manière traditionnelle, par l�’observation de figures déjà dessinées.

14. LA BOITE DE CUBES (Cat. 7, 8, 9, 10) François a une boîte en forme de parallélépipède rectangle de dimensions intérieures13 cm, 8 cm et 7 cm. Il dispose de nombreux cubes en bois, les uns de 2 cm d�’arête, les autres de 1cm d�’arête. François veut remplir complètement la boîte avec le moins possible de cubes. Combien doit-il en mettre de chaque sorte ? Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

REMARQUES Pour remplir la boîte avec le moins possible de cubes, il faut placer le maximum de grands cubes et combler les vides avec les petits. Lorsqu�’on a compté 4, 6 et 3 cubes de 2 cm d�’arête dans les dimensions respectives de la boîte: 8, 13 et 7, il suffit de calculer le produit 4 x 6 x 3 pour trouver 72 grands cubes, occupant 72 x 8 = 576 cm3 pour trouver 152 cm3 d�’écart avec le volume total e la boîte. Mais les résultats démentent la simplicité de ces opérations. Le problème a été proposé en catégories 6 et 7 avec un échec quasi total en catégorie 6 et avec 15% de réussite seulement en catégorie 7; et quelques expérimentations ,ont montré que les obstacles subsistent jusqu�’aux catégories 10 et au-delà. Par conséquent, pour exploiter en classe de problème très intéressant - car il mobilise toutes les connaissances sur les volumes élémentaires liées à une visualisation des objets en présence - il faut prévoir de nombreuses mises en commun intermédiaires, des dessins et pourquoi pas du matériel de manipulation.

15. LA BOITE A RECOUVRIR (Cat 3, 4, 5) Graziella veut couvrir entièrement une boîte avec des rectangles de papier. Elle a déjà dessiné ces trois rectangles pour couvrir exactement le dessous de la boîte, le dessus de la boîte et une des autres faces de la boîte.

Dessinez sur le quadrillage ci-dessous les trois rectangles qui manquent pour couvrir exactement les autres faces de la boîte.

REMARQUES

La moitié des classes de catégorie 4 et les deux tiers de celles de catégorie 5 dessinent correctement les faces manquantes. Les élèves ont la possibilité de vérifier leurs propositions par découpage. Le problème est donc bien adapté aux catégories concernées et permet d�’entrer « naturellement » en géométrie de l�’espace.

le dessus le dessous

16. CHASSE AU TROIS (Cat. 3, 4, 5) Isidore est en train d�’écrire la suite des nombres, à partir de 1 :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, �… À un certain moment, Isidore écrit le chiffre 3 pour la vingt-cinquième fois. Quel nombre est-il en train d�’écrire à ce moment ? Montrez comment vous avez trouvé.

REMARQUES

La réponse correcte (131) n�’est trouvée que par 40 % des classes de catégorie 3, ce taux passe à 60% en catégorie 5. La résolution demande une observation des régularités de notre système de numération et la distinction chiffre/nombre. Il est facile de modifier les variables de ce problème, longueur de la suite, changement des chiffres pour permettre aux élèves de structurer les répétitions et périodicités observées. On trouvera de nombreuses variantes dans la banque de problèmes du RMT.

17. NOUVEAUX FEUTRES (Cat. 6, 7, 8, 9, 10) La directrice d�’une école maternelle a commandé des stylos feutres pour l�’année scolaire 2012 - 2013. La société qui les fabrique les emballe dans des petites boîtes qui contiennent chacune huit feutres. Pour expédier le matériel à l'école, l�’employé qui prépare les commandes utilise : - des boîtes de taille moyenne, qui peuvent contenir exactement 8 petites boîtes, - des grandes boîtes, qui peuvent contenir exactement 8 boîtes moyennes ; puis il procède de la façon suivante : quand il a rempli 8 petites boîtes, il les place dans une boîte moyenne, et quand il a rempli 8 boîtes moyennes, il les met dans une grande boîte, puis il recommence avec les feutres qui restent. L�’employé constate qu�’entre tous les modèles de boîtes, petites, moyennes et grandes, il a utilisé en tout 85 boîtes pour préparer la commande pour l�’école et que toutes les boîtes sont complètement remplies. Combien de stylos la directrice de l�’école a-t-elle commandés ? Précisez le nombre de boîtes de chaque taille (petites, moyennes et grandes), qui ont été utilisées. Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

REMARQUES

Derrière ce contexte de boîtes, il y a le système de numération en base huit qu�’il faut savoir conduire jusqu�’aux groupements de 3e ordre. Ce problème a été proposé en catégories 6, 7 et 8, mais les obstacles étaient trop élevés pour la première, où près de 80% des classes n�’ont pas pu entrer dans la résolution. Dès la catégorie 7, un tiers des classes arrivent à la réponse correcte et complète (600 feutres ; 1 grande, 9 moyenne, 75 petites boîtes). On peut donc proposer le problème à des élèves plus âgés, en sachant que des mises en commun intermédiaires seront nécessaires.

18. MACHINE A CALCULER (Cat. 5, 6, 7)

Sophie possède une sorte de machine à calculer munie d�’une touche .

Quand Sophie tape 5 puis , sa machine affiche : 25

Quand Sophie tape 7 puis , sa machine affiche : 31

Quand Sophie tape 10 puis , sa machine affiche : 40

Quand Sophie tape 9 puis , que pourrait afficher sa machine ? Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

REMARQUES

Petite recherche tout à fait à la portée des catégories prévues. Le fonction à découvrir est affine, « multiplier par 3 puis ajouter 10 » et l�’image de 9 est 31. L�’intérêt du problème est dans son exploitation en classe pour illustrer les notions de fonction, relation fonctionnelle, correspondance objet-image, expression algébrique, algorithme.

19. LE BOUQUET (Cat. 7, 8, 9, 10) Dans la classe de Sandra, les élèves apprécient beaucoup leur professeur de mathématiques. Ils ont décidé de lui offrir un bouquet de fleurs pour la fête de Noël. Chaque élève a donné autant de fois 2 centimes d�’Euros qu�’il y a d�’élèves dans la classe. Sandra a réuni les cotisations et fait le compte de ce qu�’elle a reçu. Non compris sa propre contribution, elle a 22 euros et 44 centimes. Combien y a-t-il d�’élèves dans la classe ? Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

REMARQUES

La tâche mathématique est de trouver le nombre n tel que 2n(n �– 1) = 2244. On peut y arriver par essais, par la recherche des diviseurs de 2244, par une approche de la racine carrée de 1122 ou en tentant la voie algébrique. Mais avant tout, il faut traduire l�’histoire de la collecte en relations numériques et c�’est là que se situe l�’obstacle. La grande majorité des classes de catégorie 7 ne l�’ont pas surmonté. Seules les classes des catégories 9 et 10 ont pu entrer dans les calculs, avec une réussite de 50% environ. Ce problème est d�’un grand intérêt pour une activité en classe pour valoriser les résolutions anticipées d�’équations par voie arithmétique.