1IndiceCURSO2010/2011COMPUTACIONPARALELACurso2010/2011Captulo1.
Introduccionalosmultiprocesado-resCaptulo2.
ResumendelassentenciasFortranCaptulo3. Parallel Virtual Machine:
PVMCaptulo4. MultiplicacionesmatricialesCaptulo5.
MetodosdirectosderesoluciondesistemaslinealesCaptulo6.
Metodositerativosclasicos2 1. Introduccionalosmultiprocesadores1.
INTRODUCCIONALOSMULTIPROCESADORES1.1. Introducci on.1.2.
Tiposdearquitecturasparalelas.1.3. Conceptos basicos ymedidas
deparalelis-mo.3 1. Introduccionalosmultiprocesadores1.1.
Introducci
onDEMANDAComputadorescongranpotenciadecalculo.Velocidadenlacomputacion.LIMITACIONESRestriccioneslogicos.Restriccionestecnologicos.4
1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresSOLUCIONESDetiposoftware:mejorasenlosalgoritmos.Detipohardware:
mejoras enlatecnologadecomputadores(mayorrapidezdeinstruc-ciones,
dispositivos electr onicos mas rapidos,. . .)Paralelismo:
replicarunidadesdetratamien-todeinformaci onconel
objetivoderepartirtareasentrelasmismas.AlasarquitecturasdeestetiposelasdenominaArquitecturasparalelas5
1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresAPLICACIONESModeladopredictivoysimulaciones.Disenoyautomatizaciondeproyectosdein-geniera:Aerodinamicacomputacional.Inteligenciaarticial
yautomatizaci on:Procesadode imagenes, reconocimientodepatrones,
comprensiondel habla,
de-duccionautomatica,roboticainteligente,sistemasexpertos, . . .
.Aplicacionesdedeteccionremota.Exploracionderecursos energeticos:
explo-racionssmica, modeladodeyacimientos, e-nergadefusi
onenplasmas, . . . .6 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresAPLICACIONES(Cont.)Investigaci on
medica: tomografa asistida porcomputador, ingeniera genetica,
genoma hu-mano, . . . .Investigaci
ondearmamentosydefensa.Problemasdeinvestigaci onbasica:
qumica,mecanicacuantica, dinamicadeuidos, . . . .7 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresAPLICACIONES(Enmedianasempresas)Uso
de computacion de altas prestacionespara el diagnostico temprano de
fallos enturbinasdegas.Control decalidaddediscos opticos
defec-tuosos.ProyectoPARSAR:
ProcesamientorapidoybaratodeimagenesSAR(Radardeaperturasintetica).Proyecto
PCECOWATER: Modelado
ecien-tedecorrientesenentornosmedioambienta-les.ProyectoHIPEROAD:
Disenoaerodinamicodecoches.Proyecto STAMPAR: Diseno de
troquelesparalaestampaciondechapa.8 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresAPLICACIONES(mascercanas)Efectosespecialesdediversaspelculas(Ti-tanic).DerrotadeKasparovfrenteaDeepBlue.9
1. Introduccionalosmultiprocesadores1.2.
TiposdearquitecturasparalelasArquitecturassegmentadasopipeline.Divisiondeunaunidaddeprocesoenpartesosegmentos,
dotandolosderegistroscapa-cesdealmacenarresultadosintermedios.Segmentaciondeunaunidadaritmeticaenpartesquerealizanunasubfuncionsobreunpardeoperandos.10
1. IntroduccionalosmultiprocesadoresArquitecturastipoSIMDUna unica
instrucci on ejecutandose sobre
dis-tintosdatos.Variosprocesadoresconunaunicaunidaddecontrol.ArquitecturasMIMDDistintasinstruccionesseejecutansobredis-tintosconjuntosdedatos.Varioselementosdeprocesoycadaunoconsupropiaunidaddecontrol.
Tambiendeno-minadosMultiprocesadores.11 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresMultiproc.
dememoriadistribuidaCada procesador tiene su propia
memoria,inaccesiblealosdemasprocesadores.Noexistememoriacomun.Lacomunicacionseefectuamediantepasodemensajes.Multiproc.
dememoriacompartidaTodos los elementos
deprocesotienenac-cesoaunamemoriacomun.Cadaunopuedetenerunamemorialocal.La
comunicacion se realiza a traves de lamemoriacomun.12 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresTopologadelareddeinterconexi
onFormade conectarse los distintos
procesa-doresparaestablecerlacomunicacionentreellos.Debe lograr
conectar el mayor numero
denodosconpocosenlacespornodo,undiametropequeno,ypocos conictos
deaccesoenlared.13 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresRedcrossbarPoseeelementos
deconmutacionmedianteloscualesseconectanlosnodosentres.Procesador1Procesador2ProcesadorNMemoria1
Memoria2 MemoriaNr r rr r rr r r14 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresTopologadebusTodosloselementosestanconectadosaunbusrapidoProcesadorPCacheMem.
LocalI/OProcesador2CacheMem. LocalI/OProcesador1CacheMem.
LocalI/OMem. Global15 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresTopologadeanilloCadaelementoestaconectadoalosvecinosmasproximosporunenlaceunidireccional
obidirec-cional.P1P2P3PpE E E. . . E EP1P2P3PpE E E. . . E ' ' ' '
' EAnillobidireccionalAnillounidireccional16 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresTopologademallaCada nodo esta
conectado a sus cuatro veci-nos mas pr oximos. Lamallaes
abiertacuandoademas los enlaces delaperiferiaestananula-dos.P P P
PP P P PP P P PP P P P17 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresTopologadehipercuboPuedeusarseparaconectar
N=2nprocesado-res. Cadaprocesador corresponde
aunverticedeunhipercubondimensional yestaconecta-doaotrosi enel
hipercubohayunaaristaentreloscorrespondientesvertices.PPPPET TE'c
c'P PP PET TE'c c'
3-dimensionalPPPPET TE'c c'2-dimensional18 1.
Introduccionalosmultiprocesadores1.3.
ConceptosbasicosymedidasdeparalelismoDenicion Se llama gradode
paralelismodeunalgoritmonumericoal n umerodeoperacio-nesenel
algoritmoquepuedenserrealizadasenparalelo.DenicionSe llama grado
medio de paralelismodeunalgoritmonumericoal
numerodeopera-cionesenel
algoritmoquepuedenserrealizadasenparalelodivididoporel n
umerodeetapas.19 1. IntroduccionalosmultiprocesadoresDenicion Se
llamaincrementode velocidad(ospeed-up) de
unalgoritmoparalelocuandoseejecutasobrerprocesadoresaSr=TiempodeejecucionenunsoloprocesadorTiempodeejecucionenrprocesadoresDenicion
Se llamaincrementode
velocidad(ospeed-up)deunalgoritmoparalelocuandoseejecutasobrer
procesadores respectoal mejoralgoritmosecuencial aSr=Tiempodeej.
enunproc. del alg. secuencial masrapidoTiempodeej. enrproc. dealg.
paraleloEvidentementeSrSrr20 1.
IntroduccionalosmultiprocesadoresDenicion
Sellamaecienciadeunaalgoritmoparalelo, respectoas
mismoaEr=Srr,siendolaecienciarespectoal mejor
algoritmosecuencialEr=Srr.ObviamenteErEr
1Objetivo:Conseguirlamayorecienciaoincre-mentodevelocidadposible,aunquedifcilmentesepodraobtenerel
optimoEr= 1.21 2. ResumendelassentenciasFortran2.
RESUMENDELASSENTENCIASFORTRAN3.1. Sentenciasdeprocedimiento.3.2.
Sentenciasdeespecicacion.3.3. Sentencias de asignaciony de control
deprograma.3.4. Sentenciasdecontrol deujo.3.5. Sentenciasparael
control decheros.3.6. Sentenciasdeentrada/salida.3.7. Usodel
compiladorg77Fortran.22 2. ResumendelassentenciasFortran3.
RESUMENDELASSENTENCIASFORTRANUtilizaremoslasiguientenomenclatura:[.
. .] Indicaunelementoopcional.. . .)
Esunalistadevaloresnumericos.MAYUSCULAS SentenciasFortran.Las
sentencias Fortran se colocaran entre
lascolumnas7y72.Losespaciosenblancosseranignorados.Unalineaquecomienceconun*ounaCenlacolumna1seraignoradaporel
compilador.Un* enlacolumna6indicaqueesalineaescontinuaci
ondelaanterior.Algunas sentencias pueden tener una etiquetade
identicaci onformadapor 1a5dgitos enlascolumnas1a5.23 2.
ResumendelassentenciasFortran3.1.
SentenciasdeprocedimientoPROGRAMnombre)Dene el nombre del programa
que se utilizara
co-mopuntodeentradaparasuejecucion.SUBROUTINEnombre)[(lista.argumentos)]El
nombredeneel puntodeentradaprincipal.Lalistadeargumentosopcional
puedecontenernombresdevariablesoarrays.FUNCTIONnombre)([lista.argumentos])El
nombre dene el punto de entrada princi-pal. Debemos
asignarleunvalor al
nombrean-tesdeejecutarcualquiersentenciaRETURN.Elcontrol
sedevuelveal
programaquellamoalafuncioncuandoseencuentraunasentenciaRE-TURNoEND.24
2. ResumendelassentenciasFortran3.2. Sentenciasdeespecicaci
onINTEGERlista.nombres)Indica que los nombres de variables, arrays
o fun-ciones son de tipo entero. Deben estar
separadosporcomas.REAL*4lista.nombres)REAL*8lista.nombres)SimilaraINTEGER,seusaparadenirvariablesdetipoREALensimpleprecision(REAL*4)odobleprecisi
on(REAL*8).CHARACTERs)nombre, . . .)Dene una variable, array o
funcion de tipo
CHA-RACTERdelongituds,dondesesunaconstan-tepositiva(sinsigno).25 2.
ResumendelassentenciasFortranPARAMETER(nombre) = exp.), . .
.)Asignaunnombreaunaconstante.DIMENSIONnombre.array)(n1[, n2, . .
.])Dene el nombre de un array y los lmites desus
ndices.PuededeclararseunarraydentrodeunasentenciadedeclaraciondetipocomoIN-TEGER,
REAL, etc.Lasdimensionesenel programaprincipal
debenserconstantesenteras,mientrasqueenlossub-programaspuedenservariablescticiasoexpre-siones.26
2. ResumendelassentenciasFortran3.3.
Sentenciasdeasignacionydecontroldeprogramanombre.variable) =
expresi on)Sentenciadeasignacion:nombre.variable) es el nombre de
una variableounelementode unarray. Si la expresiondela derecha es
aritmetica, se evalua en primerlugar, a continuaci on se convierten
al tipo denombre.variable)ypor
ultimoseasignasuvaloranombre.variable).ENDSeutilizaparaindicar el
nal deunaunidaddeprograma.STOPLa sentencia STOP termina la
ejecucion del pro-grama, yaseael programaprincipal
ounsub-programa.27 2. ResumendelassentenciasFortran3.4.
Sentenciasdecontrol deujoRETURNLasentenciaRETURNhacequeel control
delsubprograma vuelva al punto desde donde
sellamoalasubrutinaquelaincluye.CALLnombre.subprograma)[(lista.argumentos)]Transere
el control a la sub.
nombre.subp.).Lalistadeargumentoscontienelosparametrosreales que
puedenser, entre otros constantes,expresiones, nombresdevariables,
ynombresoelementosdeunarray.GOTOnumero.sentencia)El
GOTOincondicional transereel control
alasentenciaetiquetadaconnumero.sentencia),quedebeserunaconstanteenteraynounava-riable.28
2. ResumendelassentenciasFortranIF(expresi on.aritmetica))s, s0,
s+IFaritmeticoSeeval ualaexpresi onaritmetica, dependiendodesi el
resultadoes negativo, ceroopositivo,el control
setranserealassentenciascuyaeti-quetaseanlosn umeross, s0os+,
respectiva-mente.IF(expresi on.l ogica))sentencia.ejecutable)IFl
ogicoSi expresi on.l ogica)escierta,unavezevaluada,se ejecutara la
sentencia sentencia.ejecutable);encasocontrario, el programa
continua enlasentenciasiguiente.29 2.
ResumendelassentenciasFortranDeniciondelaexpresionlogicaa1opa2Dondea1ya2sonexpresionesaritmeticas,
va-riables, constantesocadenadecaracterescuyovalor pueda ser
comparadoconotromediantelosoperadoresop siguientesOperadorlogico
Signicado.EQ. Igual a.NE. Distintode.GT. Mayorque.GE. Mayoroigual
que.LT. Menorque.LE. Menoroigual
quequepuedensercombinadasconOperadorlogico Signicado.OR.
Ologico.AND. Ylogico.NOT. Negacionlogica30 2.
ResumendelassentenciasFortranIF(expresi on.l ogica))THENSi (expresi
on.l ogica))escierta, laejecuciondelprogramacontin
uaenlalneasiguiente;encasocontrario, el control pasa a la siguiente
sentenciaELSEoELSEIF, si existe, oalaENDIF.ELSEMarca el comienzo de
un camino alternativo (ca-sofalso)aunasentenciaIF(. .
.)THENoELSEIF(. . .)THEN.ELSEIF(expresi on.l ogica))THENEsta
sentencia es equivalente a IF(. . .)THEN, sinembargo,
solamenteseejecutarasi unasenten-ciaIF(. . .)THENoELSEIF(. .
.)THENdel nivelsuperiortieneunvalorfalso.ENDIFIndicael nal
deunbloqueIF(. . .)THEN.31 2.
ResumendelassentenciasFortranDOac=bmin, bmax[, binc]Marcael
comienzodeunbloquedesentenciasque se ejecutan repetidamente en
funcion de unavariabledecontrol, ac, cuyovalorinicial
esbminydespuesdecadaejecucionseactualizaaac +binc(oac + 1si
seomitebinc). Esteprocesoserepite hasta que la variable de control
superael valor maximo, bmax. Unavezalcanzadoestevalor
laejecucioncontinuaenlalineasiguientealasentenciaENDDO.ENDDOMarcael
nal deunbloquedesentenciasDO.32 2.
ResumendelassentenciasFortran3.5. SentenciasFortranparael control
decherosOPEN(UNIT=u, FILE=nom., STATUS=est.))La sentencia OPENse
utiliza para asignar unn
umerodeunidadaunchero.uesunenteroqueindicaeln
umerodelaunidadasociadaal chero(detresdgitosomenos).nombrees
unnombrequeidenticaal chero(debeirencerradoentrecomillas).estadoes
una expresi on de tipo caracter queindicaqueel
cheroyaexiste(OLD)oqueelcheronoexiste(NEW).CLOSE(numero.unidad))Estasentenciaseutilizaparadesconectarun-cherodeunaunidad.33
2. ResumendelassentenciasFortran3.6.
Sentenciasdeentrada/salidaREAD(num.unidad),
formato))lista.entradas)Estasentencialeelos elementos
delalistadeentradalista.entradas)delaunidaddeentradanumero.unidad)conlaespecicaciondeforma-toformato).WRITE(num.unidad),
formato))lista.salidas)Lasespecicacionestienenel
mismosignicadoqueenlasentenciaREAD.PRINTformato),
lista.salidas)SentenciaWRITEabreviadadirigidaal
outputstandart.num.sentencia)FORMAT(list.espec.formato))Sentenciadeespecicaciondeformato.34
2. ResumendelassentenciasFortran3.7. Usodel
compiladorg77FORTRANg77[ opci on[ chero]
...ELcomandog77compilacherosfuenteFOR-TRAN.Loscherosinputpuedenserconexten-si
on.f(fuente)oconextensi
on.o(objeto).Lasopcionesmasimportantesson:-cS
olocompila.-gProducedebuginformaci
on.-wEliminaciertosmensajesdeinformacion.-IBuscaeneldirectorioloscherosINCLUDEquenoguranconel
pathabsoluto.-lBusca la librera especicada, dondeseleccionael
cherolib.a.-LBuscaenel
directoriolosche-rosespecicadospor-l.-oNombredel
cheroejecutable,enlugardea.out.-OOptimizael c odigogeneradopor el
compi-lador.-O3Realizael nivel
deoptimizacion-Oademasdeotrasoptimizacionesmasintensas.35 3.
Parallel Virtual Machine: PVM3. PARALLELVIRTUALMACHINE: PVM4.1.
ConguracionyarranquedePVM.4.2. ConsolaPVM.4.3.
Ficherodeconguracionhostle.4.4. UsodelassubrutinasPVM.Control
deprocesos.Informacion.Pasodemensajes.Gruposdeprocesosdinamicos.36
3. Parallel Virtual Machine: PVM4. PARALLELVIRTUALMACHINE:
PVMPVMesunpaquetedesoftwarequepermiteauna colecci on de
computadores
hetereogeneosconectarsesobreunaredcualquieraparaapare-cer comoun
unicorecursocomputacional con-currentedememoriadistribuida.El
terminomaquinavirtual serausadoparade-signar elcomputador de
memoria distribuida queobtenemos con PVM. Por host
entenderemoscualquieradeloscomputadoresquesonusadosparacrearlamaquinavirtual.PVMproporciona
las funciones necesarias pa-ra inicializar automaticamente tareas
sobre lamaquinavirtual y permite
acadatareacomu-nicarseysincronizarseconcualquierotratarea.Unatareaesdenidacomounaunidadcompu-tacional
en PVM, analogamente a un procesoUnix. Las aplicaciones puedenser
paralelizadasusandoconstruccionesusualesdepasodemen-sajes.37 3.
Parallel Virtual Machine: PVM4.1. ConguracionyarranquedePVMPVMusa
varias variables para arrancar y eje-cutar una aplicacion, y que
cada usuariodebedenirseensu.bash prole.PVMROOT=/usr/lib/pvm3Donde
actualmente se encuentra instalado PVM.PVMARCH=LINUXEl
tipodearquitecturaconlaquetrabajaremosPVMDPATH=$PVMROOT/lib/pvmdDondeseencuentrapvmd.PVMTMP=/tmpDondepvmdejaalgunosarchivos.exportPVMROOTPVMDPATHPVMARCHPVMTMPExportamostodaslasvariables.38
3. Parallel Virtual Machine: PVMAdemas debemos ampliar los caminos
de busque-dadelasiguienteformaPATH=$PATH:$PVMROOT/libAmpliamos el
pathdondeestanlos
ejecutablesdePVM.PATH=$PATH:$HOME/pvm3/bin/$PVMARCHAmpliamosel
pathconel directoriopropiodon-deseencontrarannuestrosejecutables.39
3. Parallel Virtual Machine: PVM4.2. ConsolaPVMLaconsoladePVM,
llamadapvm, essolamen-te unaposicionde PVMque permite al
usua-riocomenzar,extraerinformacionymodicarlamaquinavirtual
deformainteractiva.Cuandocomenzamos, pvmdetermina si
PVMestayaejecutandose; si estonoes as
ejecutaautomaticamentepvmdsobreel hostenel
queestemostrabajando.Previoatodoestotenemosqueasegurarnosqueen
nuestro HOMEdirectorio existe un
chero.rhostsquecontendralosnombresdeloshostsquepuedenformar
partedelamaquinavirtual.Lospermisosdeestearchivosedebenmodicardelamanera:
chmod700.rhosts40 3. Parallel Virtual Machine:
PVMUnavezquesehainicializadolaconsolaapare-cerael smbolopvm>que
acepta distintos comandos por medio delstandartinput.
Loscomandosmasimportantesson:addseguido de uno o mas nombres de
hosta nadeestoshostsalamaquinavirtual.conf dalaconguraci
ondelamaquinavirtualincluyendoel nombredehost,IDdelatareapvmd,
tipodearquitecturayunavelocidadrelativa.deleteseguidodeunoomasnombresdehosteliminaestoshostsdelamaquinavirtual.halt
matatodos los procesos PVMincluyendolaconsola.
SalimosporcompletodePVM.41 3. Parallel Virtual Machine:
PVMhelpdainformacionsobreloscomandosdeusointeractivo.ps-adatodoslosprocesosqueseencuentranenlamaquinavirtual,sulocalizacion,sun
u-merodeidenticaciondetarea,yel
numerodeidenticaciondetareadesupadre.quit
saledelaconsolaunicamente.reset matatodos los procesos
exceptolacon-solaeinicializaPVM, el cual
estadispuestoparaadmitirotrotrabajo.spawncomienzaunaaplicacionPVMdeformainteractiva.
Cuando se usa este comando hayquetener encuentaquenuestraaplicaci
onnopuedetenerstandartinput.42 3. Parallel Virtual Machine: PVM4.3.
FicherodeconguracionhostlePVMpuedeserinicializadomediantelainstruc-ci
onpvmhostledondehostlees uncheroquedenelacon-guraci
ondeloshostsquePVMcombinaparaformarlamaquinavirtual.El
cherohostlecontienesimplementeunalis-tadenombresdehosts,
unoencadalinea. Laslineas enblancosonignoradas ylas lineas
queempiecencon#sonlineasdecomentarios.HayquetenerencuentaquelamaquinadesdelaqueinicialicemosPVMdebeestarenlalista.Los
hosts queel usuarionodeseeanadir enlaconguraci on inicial, pero que
si desee anadirposteriormente pueden ser especicados en elhostle
comenzando la linea correspondiente porel smbolo&.43 3.
Parallel Virtual Machine: PVM4.4. UsodelassubrutinasPVMControl
deprocesoscall
pvmfmytid(tid)tidIdenticadordetareadetipoentero.Valoresmenoresqueceroindicanunerror.Esta
rutina hace que el procesose ejecute
enPVMdesdesuprimerallamada.call
pvmfexit(info)infoCodigodeestadoenterodevueltoporlaru-tina.Valoresmenoresqueceroindicanunerror.Larutinapvmfexitinformaal
pvmdlocal quesuprocesohasidoabandonadoporPVM. Estarutinanomatalos
procesos los cuales
puedenseguirrealizandotareasporejemplodetipose-cuencial.Pvmfexitdebeserllamadaportodoslosproce-sosPVMantesdenalizar.44
3. Parallel Virtual Machine: PVMcall
pvmfspawn(task,ag,where,ntask,tids,numt)task Cadena de caracteres
que contiene el nombre delejecutable del procesoPVMa arrancar. La
localizacionpordefectodeestosejecutableses:$HOME/pvm3/bin/$PVMARCH/nombreejecutable.agEnteroqueespecicalasopcionesspawn.
Denidosenel
chero$PVMROOT/include/fpvm3.hquede-beraincluirseentodoprogramaPVMmedianteel
corres-pondienteinclude.Opcion Valor SignicadoPVMTASKDEFAULT 0
PVMpuedeelegircualquiermaquinaparaarrancarlatarea.PVMTASKHOST 1
whereespecicaunhostparticular.PVMTASKARCH 2
whereespecicauntipodearquitectura.PVMTASKDEBUG 4 arrancael
procesobajodepurador.whereCadenadecaracteresqueespecicadondearran-carel
procesoPVMolaclasedearquitectura.ntaskEnteroqueespecicael
numerodecopiasdel
eje-cutableaarrancar.tidsArraydeenterosdelongitudmnimantask.Enlasa-lida,el
arraycontienelostidsdelosprocesosPVMarran-cadosporlallamadapvmfspawn.numt
Entero que devuelve el numero actual de tareasarrancadas.45 3.
Parallel Virtual Machine: PVMLoscodigosdeerrorson,
entreotros:Nombre CausaposiblePvmBadParam -2
Darunargumentonovalido.PvmNoHost -6 El
hostespecicadonoestaenlamaquinavirtual.PvmNoFile -7 El
ejecutableespecicadopuedenoencontrarse.PvmNoMem -10
Fallalaasignaciondememoria.PvmSysErr -14 pvmdnoresponde.PvmOutOfRes
-27 Fueraderecursos.call pvmfkill(tid, info)tidIdenticador de la
tarea del proceso PVMquesevaamatar.infoCodigo de estado entero
devuelto por larutina. Valores menores
queceroindicanune-rror.Larutinapvmfkill mandaunasenal de
termi-nacional procesoPVMidenticadopor tid. Sipvmfkill
terminaconexito, infodevuelvecero.Si
haocurridoalgunerrorentoncesdevuelveunenteromenorquecero.Pvmfkillnoestadisenadaparamataralprocesoque
llama. Para matarse el mismo se llama apvmfexitseguidodestop.46 3.
Parallel Virtual Machine: PVMInformaci oncall
pvmfparent(tid)tidIdenticadordelatareadetipoenteroquedevuelvelarutinayquecorrespondealatareadel
padredel procesoquelallama. Si el
procesoquelallamanosehacreadoconpvmfspawn,
entoncestid=PvmNoParent.call pvmfcong(nhost, narch, dtid, name,
arch, speed, info)nhost Entero que devuelve el numero de hosts en
lamaquinavirtual.narchEnteroquedevuelveel numerodediferentes
for-matosdedatosquesepuedenusar.dtidEnteroque devuelve el
identicador de tarea (ID)paraestehost.nameNombredel
host(caracter).archTipodearquitecturadel
host(caracter).speedEnteroquedevuelvelavelocidadrelativadel host.El
valorpordefectoes1000.infoEnteroque devuelve uncodigode estado.
Valoresmenoresqueceroindicanunerror.47 3. Parallel Virtual Machine:
PVMPasodemensajesEl procesode envode unmensaje esta
com-puestodetrespasosenPVM.1. Unbuer deenvodebeser
inicializadopormediodeunallamadaapvmnitsend().2. El mensaje debe
ser empaquetado en estebuerusandolasubrutinapvmfpack().3.El
mensajecompletoseenvaaotroprocesollamandoapvmfsend()opvmfmcast()cuan-dosequiereenviaratodoslosprocesos.Serecibeunmensajeendospasos.1.Seinicializalarecepciondelmensajemedian-telallamadaapvmfrecv().2.
Sedesempaquetacadaunodelos
paquetesdelbuerqueserecibemediantelarutinapvm-funpack().48 3.
Parallel Virtual Machine: PVMcall pvmnitsend(encoding,
bud)encodingEnteroqueespecicael siguientees-quemadecodicaci
ondemensajes:Valordecodicacion SignicadoPVMDATADEFAULT 0
UsodemaquinasheterogeneasPVMDATARAW 1 NocodicadoPVMDATAINPLACE 2
DatosdepositadosensusitiobudEnterodevueltoque contiene
unidenti-cador del buer demensaje. Valores
menoresqueceroindicanunerror.49 3. Parallel Virtual Machine:
PVMcall pvmfpack(what, xp, nitem, stride,
info)whatEnteroqueespecicael tipodedatosquesevaaempaquetar.
Lasopcionesson:STRING 0 REAL4 4BYTE1 1 COMPLEX8 5INTEGER2 2 REAL8
6INTEGER4 3 COMPLEX16 7xpPunteroal
principiodeunbloquedebytes.Puedesercualquiertipodedato,perodebeem-parejarsealcorrespondientetipodedatodesem-paquetado.nitemNumerototal
deitemsparaempaquetar(noel numerodebytes).stride El stride a usar
cuando empaquetamoslositems.infoCodigo de estado entero devuelto
por larutina.
Valoresmenoresqueceroindicanerror.Losmensajesdeberandesempaquetarseexacta-mentecomosonempaquetadosparaasegurarseunabuenarecepcion.50
3. Parallel Virtual Machine: PVMcall pvmfsend(tid, msgtag,
info)tidIdenticador enterodetareadel
procesodedestino.msgtagEtiquetademensajedetipoenterosu-ministradaporel
usuario.msgtagdebeserma-yor oigual quecero. Estopermiteal
programade usuario distinguir entre diferentes tipos
demensajes.infoC odigo de estado entero devuelto por larutina.
Valores menores
queceroindicanune-rror.Larutinapvmfsendenvaunmensajealmacenadoenelbuer
de envo activo al proceso PVM identicado por
tid.msgtagseutilizaparaetiquetarelcontenidodelmensaje.La rutina
pvmfsend es asncrona, es decir, la compu-tacionenel procesoemisor
sereanudatanprontocomoelmensajesealmacenaensuvaparaelprocesoreceptor.51
3. Parallel Virtual Machine: PVMcall pvmfmcast(ntask, tids, msgtag,
info)ntaskNumerodetareasalasqueselesenva.tids Array de
longitudntaskque contiene losIDsdelastareasalasqueselesharael
envo.msgtagEtiquetademensajedetipoenterosu-ministradaporel
usuario.msgtagdebeserma-yor oigual quecero. Estopermiteal
programade usuario distinguir entre diferentes tipos
demensajes.infoCodigo de estado entero devuelto por larutina.
Valores menores queceroindicanune-rror.Larutinapvmfmcast
lanzaunmensajealmacenadoenel buer de envo activo a las tareas
especicadas conel array tids. El contenidodel mensaje se distingue
pormsgtag.pvmfmcastesasncronoyestabasadoenel arbol gene-rador de
mnimopeso. Lacomputacionenlos
procesosqueenvanserecobratanprontocomoel
mensajeesal-macenadoenladirecciondelosprocesosreceptores.52 3.
Parallel Virtual Machine: PVMcall pvmfrecv(tid, msgtag, bud)tid
Identicador entero de tarea suministradoporel usuariodel
procesoqueenva.msgtagEtiquetademensajedetipoenterosu-ministradapor
el usuario. Estopermiteal pro-gramadeusuariodistinguir
entrediferentes ti-posdemensajes.budEnteroquedevuelveel valor del
identi-cador del nuevobuer receptor activo.
Valoresmenoresqueceroindicanunerror.Larutinapvmfrecvbloqueaelprocesohastaquellegaunmensajeconlaetiquetamsgtagdesdetid.Un1enmsgtagotidasignacualquieretiquetademen-sajeoproceso.1.Sitid=
1ymsgtagsedeneporelusuario,entoncespvmfrecvaceptaraunmensajedel
procesoquetieneunaasignacionmsgtag.2.Simsgtag=
1ytidsedeneporelusuario,entoncespvmfrecvaceptaracualquiermensajequeseenveporelprocesotid.3.
Si tid= 1ymsgtag= 1,
entoncespvmfrecvacep-taracualquiermensajedecualquierproceso.53 3.
Parallel Virtual Machine: PVMcall pvmfunpack(what, xp, nitem,
stride, info)whatEnteroqueespecicael tipodedatosquesevaaempaquetar.
Lasopcionesson:STRING 0 REAL4 4BYTE1 1 COMPLEX8 5INTEGER2 2 REAL8
6INTEGER4 3 COMPLEX16 7xpPunteroal
principiodeunbloquedebytes.Puedesercualquiertipodedato,perodebeem-parejarseal
correspondientetipodedatoempa-quetado.nitemNumerototal
deitemsparaempaquetar(noel numerodebytes).stride El stride a usar
cuando desempaquetamoslositems.infoCodigo de estado entero devuelto
por larutina.
Valoresmenoresqueceroindicanerror.Larutinapvmfunpackdesempaquetaunarraydetiposdedatosdadosdesdeel
buerreceptoractivo.54 3. Parallel Virtual Machine:
PVMLafacilidadMAKEPara compilar estos programas utilizaremos la
facilidadmake. El siguiente ejemplocorresponde al cherommaster1
querealizalacompilaciondelosdoscherosfuenteanterioresyseejecutamake-f
mmaster1#Deniciondel
directoriodondeestaranlosejecutables#XDIR=$(HOME)/pvm3/bin/$(PVMARCH)##Compiladordefortran,
opcionesylibrerasF77=g77FFLAGS=-O-wFLIBS=-lfpvm3-lpvm3##PathabsolutodondeseencuentranlaslibrerasLFLAGS=-L$(PVMROOT)/lib/$(PVMARCH)#all:
master1slave1#master1:
master1.oshutdown.o$(F77)$(FFLAGS)-omaster1master1.oshutdown.o$(LFLAGS)$(FLIBS)mvmaster1$(XDIR)#master1.o:
master1.f$(F77)$(FFLAGS)-cmaster1.f#shutdown.o:
shutdown.f$(F77)$(FFLAGS)-cshutdown.f#slave1: slave1.f$(F77)
$(FFLAGS) -oslave1slave1.f $(LFLAGS)$(FLIBS)mvslave1$(XDIR)55 3.
Parallel Virtual Machine:
PVMGruposdeprocesosdinamicosTodoprogramaqueuserutinas
degrupodebeserlincadoconlalibreralibgpvm3.acall
pvmfjoingroup(grupo, inum)grupoNombredel
grupo.inumNumerodegrupodevueltoporlarutina.Lasubrutinapvmfjoingroupincorporalatareaquehacelallamadaal
grupollamadogrupoydevuelvesunumerodentrodel grupo. Si
ocurrealgunerror, inumseranegativo. El
numerodegrupocomienzaenceroyvaincrementandoseenunaunidadcuandootrastareasseanadenalgrupo.56
3. Parallel Virtual Machine: PVMcall pvmvgroup(grupo,
info)grupoNombredel grupo.infoC odigodeestadodevueltoporlarutina.La
subrutina pvmvgroup elimina a la tarea quehacelallamadadel
grupollamadogrupo.call pvmfgettid(grupo, inum, tid)grupoNombredel
grupo.inumN umerodegrupo.tidN umerodeidenticaci
ondetareadevuelto.Larutinapvmfgettiddael tidde
unprocesoPVMidenticadopor el grupoysunumerodegrupo. Si ocurrealg
unerror, tidseranegativo.57 3. Parallel Virtual Machine: PVMcall
pvmfbarrier(grupo, count, info)grupoNombredel grupo.count Entero
que especica el numero de miem-brosdel
grupoquedebenllamarapvmfbarrierantesdecontinuar.infoCodigodeestadodevueltoporlarutina.Larutinapvmfbarrier
bloqueaal
procesoquehacelallamadahastaquecountmiembrosdelgrupohanllamadoapvmfbarrier,produciendo-se,
entonces, unasincronizacion.call pvmfbcast(grupo, msgtag,
info)grupoNombredel
grupo.msgtagEtiquetademensaje.infoCodigodeestadodevueltoporlarutina.Larutinapvmfbcast
envael
mensaje(empa-quetadopreviamente)atodaslastareasdelgru-poespecicado,
exceptoaellamisma.58 3. Parallel Virtual Machine: PVMcall
pvmfreduce(func, data, count, datatype, msgtag, grupo, root,
info)funcFuncionquedenelaoperacionrealizadasobrelosdatos globales.
Hay unaserie de funciones
predenidas:PvmMax,PvmMin,PvmSumyPvmProduct,peroca-dausuariopuededenirselaspropias.dataPunteroal
iniciodeunconjuntodedatos locales.Enel output, el arraydatadel
procesorootsesobrees-cribiraconelresultadodelaoperaciondereduccion.Paralosotrosprocesos,elarraydataeneloutputpuedediferirdel
valorinicial.countEnteroqueespecicael
numerodeelementosdeltipodatatypeenel arrayespecicadopordata. El
valordecount debeser el mismoentodos los miembros
delgrupo.msgtagEtiquetademensaje.grupoNombredel grupo.root
Numerodel miembrodel grupoque
almacenaraelresultado.infoCodigodeestadodevueltoporlarutina.La
rutina pvmfbcast realiza operaciones globales talescomo maximo,
mnimo, suma u otras denidas por elusuario,sobre los
datossuministradospor todos los miem-brosdel grupo.
Todoslosmiembrosdel grupodebenlla-marapvmfreduce,perosoloel
miembroidenticadoco-morootalmacenaelresultado.Silosdemasprocesosde-benconoceresteresultadodebemandarseexplcitamentemediantepasodemensajes.59
4. Multiplicacionesmatriciales4. MULTIPLICACIONESMATRICIALES2.1.
Multiplicacionmatriz-vector.2.2. Multiplicacionmatriz-matriz.2.3.
Unalgoritmomatriz-matrizporbloques.60 4.
MultiplicacionesmatricialesSeaAunamatriz deordenm
nyxunvec-tordedimensi onn. Estableceremoslasiguientenotaci
on:__a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn__ a1 a2......am a1a2
anEsdecir, representamosporaiel vectorlai deA, i = 1, 2, . . . ,
majel vectorcolumnaj deA, j= 1, 2, . . . , n61 4.
Multiplicacionesmatriciales2.1.
Multiplicacionmatriz-vectorTenemosdosformasdeverel productoAx1.
Productointernodedosvectores:Ax =__n
k=1a1kxkn
k=1a2kxk...n
k=1amkxk__=__a1 xa2 x...am x__,ai x =n
k=1aikxk2. Combinacioneslineales:Ax
=x1__a11a21...am1__+x2__a12a22...am2__++xn__a1na2n...amn__=n
i=1xiai.62 4. MultiplicacionesmatricialesAlgoritmoij:
(basadoenel productointerno)Fori = 1tomForj= 1tonyi=yi
+aijxjAlgoritmoji: (basadoencomb. lineales)Forj= 1tonFori =
1tomyi=yi +aijxj63 4.
MultiplicacionesmatricialesMatriz-vectorenparaleloAlgoritmobasadoencomb.
linealesSupongamos p=n. Consideremos el
siguientealmacenamientodelosdatosenlosproc.:x1a1x2a2
xnanP1P2PnTodoslosproductosxiaisonrealizadosconunperfectogradodeparalelismo.Sobre
memoria distribuida la gura indica
quelosdatosestanenlasmemoriaslocales.Sobrememoriacompartidalaguradebeinter-pretarsecomoasignaciondetareas.Enmemoriadistribuida,
lasumadelosresulta-dosdecadaprocesadorsepuederealizarconelalgoritmodefan-inaplicadosobrevectores.64
4.
MultiplicacionesmatricialesMatriz-vectorenparaleloAlgoritmobasadoenel
prod. internoSupongamos p=m. Consideremos el
siguientealmacenamientodelosdatosenlosproc.:a1x
a2xamxP1P2PmCadaprocesadorrealizaunproductointernoconunperfectogradodeparalelismo.No
hay que aplicar fan-in, ni transferencia dedatos.Lasincronizaci ons
oloesnecesariaalnaldeloscalculos.65 4.
MultiplicacionesmatricialesPeronormalmenteny/omseranconsiderable-mentemayoresquep.Solucion:Asignaracadaprocesadoralgunas-lasocolumnas.Enuncasoideal,parael
algoritmobasadoenelproductointerno, pdebedividir am,
ymplasseranasignadas acadaprocesador. Matemati-camente,Ax
=__A1A2...Ap__x =__A1xA2x...Apx__,donde Aicontienemplas de A. Si
Aiyxsonasignadosal procesador i, entonceslosproduc-tosA1x, A2x, . .
. , Apxpuedenser realizadosconunperfectogradodeparalelismo.Si p
nodivide a m(on), entonces se
intentadistribuirlaslas(ocolumnas)entrelosproce-sadorestantomasproporcionalmentecomoseaposible.66
4. Multiplicacionesmatriciales2.2.
Multiplicacionmatriz-matrizSeanAyBdosmatricesdeordenmnyn
qrespectivamente. SeguiremosdenotandoporA Bla aibicolumna aibiEl
productoABpuedeser vistocomoq multi-plicacionesmatriz-vectorAbi, i
= 1, 2, . . . , q.Esdecir,AB=_Ab1Ab2 Abq_Podremosutilizar
cualquieradelosdosalgorit-mosanterioresprestandoatencional
almacena-mientodeloselementos.67 4.
MultiplicacionesmatricialesMatriz-matrizenparaleloAlgoritmobasadoencomb.
linealesSupongamos p=n. El almacenamientoseraelsiguienteP1P2
PnParacalcular Ab1b11a1b21a2 bn1anParacalcular Ab2b12a1b22a2
bn2an
Paracalcular Abqb1qa1b2qa2 bnqanAlmacenamiento b1, a1b2, a2 bn,
anCadaprocesador
obtendraunamatrizdeordenmq;todasellasdebensersumadasparaobte-nerel
resultadonal,porejemploconel algorit-modefan-inaplicadoamatrices.68
4.
MultiplicacionesmatricialesMatriz-matrizenparaleloAlgoritmobasadoenel
prod. interiorSupongamosp=m. El almacenamientoseraelsiguienteP1P2
PmParacalcular Ab1a1b1a2b1 amb1Paracalcular Ab2a1b2a2b2 amb2
Paracalcular Abqa1bqa2bq ambqAlmacenamiento a1, B a2, Bam,
BEnestecaso, el
resultadoestaalmacenadodemaneraquecadaprocesadorposeeunadelasmlasdelamatrizproductoAB.Todoestotambienes
validosi disponemos demenos procesadores que el numero de las
ycolumnas.69 4. MultiplicacionesmatricialesConsideraremos ahora
algoritmos paralelos ba-sadosenparticionesdelasmatricesAyB.
Su-pongamosentoncesqueAyBestanparticiona-dasdelaforma:C=AB=__A11A12
A1rA21A22 A2r.........As1As2 Asr____B11B12 B1tB21B22
B2t.........Br1Br2 Brt__=_r
k=1AikBkj_Porejemplo, si p=st, el numerodebloquesenC,
entoncesestos st bloquespuedenser
calcu-ladosenparaleloteniendoencuentaunabuenaasignaciondelosbloquesdeAyBalosproce-sadores.Casos
especiales deestesoncuandos=1, esdecir
cuandoAestaparticionadaengrupos decolumnas, ycuandot =1, es decir,
cuandoBestaparticionadaengruposdelas.70 4.
MultiplicacionesmatricialesOtrocasoseracuandor=1, esdecir,
cuandoAestaparticionadaensbloques formados porgrupos de las y Besta
particionada en t
bloquesformadosporgruposdecolumnas.C=AB=__A11A21...As1___B11B12 B1t
==__A11B11A11B12 A11B1tA21B11A21B12 A21B1t.........As1B11As1B12
As1B1t__.Si usamos p=st procesadores conlos bloquesde A y
Balmacenados tal y como indica la
propiaestructuradelosbloquesdelamatrizresultadoC, tenemos
quecadaunodeestos bloques
re-sultadopuedensercalculadosenparaleloenunprocesador.71 4.
Multiplicacionesmatriciales2.3.
Unalgoritmomatriz-matrizporbloquesConsideremos lamatrices Ay
Bparticionadasenr rbloquesdeidenticotamano, esdecir,A =__A00A01
A0,r1A10A11 A1,r1.........Ar1,0Ar1,1 Ar1,r1__,B=__B00B01
B0,r1B10B11 B1,r1.........Br1,0Br1,1 Br1,r1__.Supongamos que
disponemos de una malla abier-tader rprocesadoresPs0Ps1
Pss.........P10P11 P1sP00P01 P0ss =r 172 4.
MultiplicacionesmatricialesInicialmentePijcontieneAijyBij.Cadaprocesadorcalcu-larael
bloquecorrespondienteCijdel
productoC=AB.Internamenteestosbloquestendranel mismonombre,
esdecir, AijB Bij(CijAlgoritmoCadaprocesador Pijestaraidenticadopor
sula(=i)ysucolumna(=j).Parak= 0, 1, . . . , r 1Si
columna=mod(la+k,r):Mandar,atodoslosprocesadoresdemi la.(= ( +, BSi
no:Recibir,del procesador queenvaenmi layalmacenarloen,T /1.(= (
+,T /1 BHacer una rotacionde los bloques co-lumnadeB, esdecir,
PijmandasubloqueBaPi1,j. El
procesoP0jmandasubloqueBaPr1,j.DespuesdeestasriteracionesCcontieneelproductoABdistribuidoentre
los procesadores y los bloquesde Bhan sufrido una rotacion entre
las columnas,volviendoaestar almacenadoscomoal iniciodel
al-goritmo.73 4.
MultiplicacionesmatricialesA22B20A22B21A22B22A11B10A11B11A11B12A00B00A00B01A00B02A20B20A21B21A22B22A10B10A11B11A12B12A00B00A01B01A02B02TTTTTTTTTEE
''A20B00A20B01A20B02A12B20A12B21A12B22A01B10A01B11A01B12A20B00A21B01A22B02A10B20A11B21A12B22A00B10A01B11A02B12TTTTTTTTT'
EE'74 4.
MultiplicacionesmatricialesA21B10A21B11A21B12A10B00A10B01A10B02A02B20A02B21A02B22A20B10A21B11A22B12A10B00A11B01A12B02A00B20A01B21A02B22TTTTTTTTT'EE
'C20C21C22C10C11C12C00C01C02A20B20A21B21A22B22A10B10A11B11A12B12A00B00A01B01A02B0275
5. Metodosdirectosderesoluciondesistemaslineales5.
METODOSDIRECTOSDERESOLUCIONDESISTEMASLINEALES5.1MetodosDirectos.5.2DescomposicionLU.76
5.
Metodosdirectosderesoluciondesistemaslineales5.1MetodosdirectosConsideremosel
sistemalinealAx =bdonde A/ninvertible y bes unvector co-lumnadetama
non.(1)Metodosdirectos:Soluci on exacta salvo errores de
redon-deo.N
umerodeoperacionespredeterminado.(2)Metodositerativos:Soluci
onaproximada.Menor importanciade los errores de re-dondeo.77 5.
Metodosdirectosderesoluciondesistemaslineales5.2Descomposici
onLUDadaunamatrizA /ninvertible.Objetivo:EscribirAcomoA
=LU,dondeLesunamatriztriangularinferioryUesunamatriztriangularsuperior.Uso:ResolverunsistemadeecuacioneslinealesdelaformaAx
=b, A /n.AlgoritmoLU(kij)Parak= 1, 2, . . . , n 1Parai =k +1, . . .
, naik=aikakkParaj=k +1, . . . , naij=aij aikakj78 5.
MetodosdirectosderesoluciondesistemaslinealesC omo:Si A =LU,
podemosescribirAx =b LUx =b.Si llamamosUx =y,entoncesobtenemosel
sistemaLy=b.Luegoel sistemaAx=bpodraser resueltoendospasos:Resolver
el sistema triangular inferiorLy=b.Unavezconocidoel valor dey,
resolver elsistematriangularsuperiorUx =y.92 6.
Metodositerativosclasicos6.
METODOSITERATIVOSCLASICOS6.1Introduccion.6.2Normasvectorialesymatriciales.6.3Metodos
iterativos secuenciales.
Planteamien-toyconvergencia.6.4Metodositerativossecuencialesclasicos.6.5Paralelizaciondelosmetodositerativoscla-sicos.93
6. Metodositerativosclasicos6.1. Introducci onAx
=b(1)Metodosdirectos:Soluci on exacta salvo errores de redon-deo.N
umerodeoperacionespredeterminado.(2)Metodositerativos:Soluci
onaproximada.Menor importanciade los errores de re-dondeo.94 6.
Metodositerativosclasicos6.2.
NormasvectorialesymatricialesDenicionSeaV=Kev. Diremosque||
:VResunanormavectorial, si paratodox, y V(i) |x| 0.(ii) |x| = 0, si
ysolosi, x =0.(iii) |cx| = [c[|x|, c K.(iv) |x +y| |x| +|y|.95 6.
MetodositerativosclasicosEjemplos:EnRn.Laslpnormas, dadox = (x1,
x2, . . . , xn)t:|x|p=__n
i=1[xi[p__1p, p 1.Lanormainnito,
dadox,|x|=max1in[xi[.Lasnormasanterioressonmon otonas:Si [v[ [w[,
entonces|v| |w|.96 6. MetodositerativosclasicosDenicion| | : /n
Resunanormamatricial,si dadasAyBde/n:(i) |A| 0.(ii) |A| = 0, si
ysolosi, A =O.(iii) |cA| = [c[|A|, c K.(iv) |A+B| |A| +|B|.(v) |AB|
|A||B|.97 6.
MetodositerativosclasicosDenicionSea||unanormavectorial sobreKn.
Sella-ma norma matricial inducida por dicha normavectorial a:|A|
=max|x|=1|Ax|.Entonces|A| =max|x|=1|Ax| = maxx,=0|Ax||x|.98 6.
MetodositerativosclasicosObservaciones:Todanormamatricial
inducidapor unanormavectorial escompatible.Si
||esunanormacompatible, entonces|I| = 1Ejemplo:Lanormamatricial
innito, inducidapor lanormavectorial innito|A|=max1in__n
j=1[aij[__,si A = [aij]1i,jn.99 6.
MetodositerativosclasicosDenicionSeaAunamatrizcuadradadetamanon
n,(A) = maxi[i[ : iesvalorpropiodeA.TeoremaSi || es una norma
matricial y A /n, entoncessesatisface (A) |A|.100 6.
Metodositerativosclasicos6.3.
Metodositerativossecuenciales.PlanteamientoyConvergenciaDenicionSeaV=Kevysea||unanormavectorial
so-breV .Decimosque x(k)k1convergealvectorx V
conrespectoalanorma||, si ys olosi,|x(k)x|k1tiende a 0 cuando k
tiende ainnito.101 6. MetodositerativosclasicosAx =b, A /nA =MN, M,
N /n, MinvertibleMx =Nx +biterandoestaexpresi onMx(k+1)=Nx(k)+b, k=
0, 1, 2, . . .oequivalentementex(k+1)=M1Nx(k)+M1b, k= 0, 1, 2, . .
.102 6. MetodositerativosclasicosLa convergencia de los metodos
iterativos sepuedeestudiaranalizandoel error. As:=M1N
+M1b,Sie(k+1)=x(k+1),entoncese(k+1)=_M1Nx(k)+M1b__M1N +M1b_=
M1N(x(k))= M1Ne(k)
=_M1N_k+1e(0)CONVERGENCIAsi ysolosilmk_M1N_k=O103 6.
Metodositerativosclasicosx(k+1)=M1Nx(k)+M1bk= 0, 1, 2, . .
.esconvergente(M1N)< 1(A =MNconvergente)104 6.
Metodositerativosclasicos6.4.
MetodositerativossecuencialesclasicosMETODODEJACOBIAx =bA =D L UDx
= (L +U)x +bx(k+1)=D1(L +U)x(k)+D1b,k= 0, 1, . . . .x(k+1)i= n
j=1,j,=iaijaiix(k)j+biaii,1 i n, k= 0, 1, . . . .105 6.
MetodositerativosclasicosMETODODEJACOBIx(k+1)1=
a12a11x(k)2a13a11x(k)3 a1na11x(k)n+b1a11x(k+1)2=
a21a22x(k)1a23a22x(k)3 a2na22x(k)n+b2a22......x(k+1)n=
an1annx(k)1an2annx(k)2an3annx(k)3 an,n1annx(k)n1+bnannEJEMPLO10x1 +
x2 + x3 = 12x1 + 10x2 + x3 = 12x1 + x2 + 10x3 = 12x(k+1)1=
110x(k)2110x(k)3+1210x(k+1)2= 110x(k)1110x(k)3+1210x(k+1)3=
110x(k)1110x(k)2+1210Iteracion JACOBI Error[[x(m)x[[20 0 0 0
1.73211 1.2 1.2 1.2 0.34642 0.96 0.96 0.96 0.06933 1.008 1.008
1.008 0.01394 0.9984 0.9984 0.9984 0.00285 1.00032 1.00032 1.00032
0.000556 0.999936 0.999936 0.999936 0.00011106 6.
MetodositerativosclasicosMETODODEGAUSSSEIDELAx =bA =D L U(D L)x =Ux
+bx(k+1)= (D L)1Ux(k)+(D L)1b,k= 0, 1, . . . .x(k+1)i= i1
j=1aijaiix(k+1)jn
j=i+1aijaiix(k)j+biaii,1 i n, k= 0, 1, . . . .107 6.
MetodositerativosclasicosMETODODEGAUSSSEIDELx(k+1)1=
a12a11x(k)2a13a11x(k)3 a1na11x(k)n+b1a11x(k+1)2=
a21a22x(k+1)1a23a22x(k)3 a2na22x(k)n+b2a22x(k+1)3=
a21a33x(k+1)1a22a33x(k+1)2 a2na33x(k)n+b3a33......x(k+1)n=
an1annx(k+1)1an2annx(k+1)2an3annx(k+1)3
an,n1annx(k+1)n1+bnannEJEMPLO10x1 + x2 + x3 = 12x1 + 10x2 + x3 =
12x1 + x2 + 10x3 = 12x(k+1)1= 110x(k)2110x(k)3+1210x(k+1)2=
110x(k+1)1110x(k)3+1210x(k+1)3= 110x(k+1)1110x(k+1)2+1210Iteracion
GAUSS-SEIDEL Error[[x(m)x[[20 0 0 0 1.73211 1.2 1.08 0.972 0.21722
0.9948 1.0033 1.00019 0.00623 0.99965 1.000016 1.000033 0.00035108
6. MetodositerativosclasicosDenicion SeaA =
[aij]1i,jnunamatrizrealdetamanon n. Sediceque1. Aesdiagonal
dominantesi[aii[ n
j=1,j,=iaij, i = 1, 2, . . . , n. (1)2. Aesestrictamentediagonal
dominantesi
lasndesigualdades(1)sonestrictas.TeoremaSiAesestrictamentediagonaldomi-nante,
entonces,
paracualquierelecciondex(0)losmetodosdeJacobiyGauss-Seidelconvergenalasoluciondel
sistemalineal Ax =b.109 6. Metodositerativosclasicos6.5.
ParalelizaciondelosmetodositerativosclasicosParalelizaci ondel
metododeJacobi.Paralelizaci
ondelmetododeJacobiporblo-ques.ProblemamodelodelaecuaciondeLaplace.110
6. MetodositerativosclasicosParalelizaci ondel metododeJacobiSeael
sistemaAx=bdeordenn, ysuponga-mosquedisponemosdenprocesadores, Pi,
i =1, 2, . . . , n. Seax(0)unvectorinicial yk= 0.Enel
procesadorPirealizar:1Recibir el vector x(k)de un procesador
central.2Calcularx(k+1)i= n
j=1,j,=iaijaiix(k)j+biaii.3Mandar x(k+1)ial procesador central
el cualpuedecomprobarel criteriodeparada.4Hacerk k +1.5Ira1.111 6.
MetodositerativosclasicosParalelizaci ondel metododeJacobi
porbloquesConsideremosladivisi ondeAenbloquesA =__A11A12 A1pA21A22
A2p.........Ap1Ap2 App__conlos bloques Aiidetama
noninieinver-tibles.
Supongamoslosvectoresxybdivididosenbloquesdetama noni.x
=__x1x2...xp__, b =__b1b2...bp__.Podemos construir
unalgoritmoiterativopararesolverelsistemaAx
=bdelasiguienteforma:Parak= 0, 1, 2, . . .ResolverAiix(k+1)i=
j,=iAijx(k)j+bi,i = 1, 2, . . . , p.112 6.
MetodositerativosclasicosAlgoritmoparalelodeJacobi
porbloques.Enparaleloel procesadorPiobtieneAii=LiUiEnparalelo,
Picalculad(0)i=
j,=iAijx(0)j+biParak= 0, 1, 2, . . .
hastaconvergenciaEnparalelo, PiresuelveLiy(k+1)i=d(k)iEnparalelo,
PiresuelveUix(k+1)i=y(k+1)iSi
Testdeconvergencia=VerdaderoEntoncesACABAREnparalelo,
Pidifundex(k+1)iEnparalelo, Picalculad(k+1)i=
j,=iAijx(k+1)j+bi113 6. MetodositerativosclasicosEjemplo__4 1 0
1 0 0 0 0 01 4 1 0 1 0 0 0 00 1 4 0 0 1 0 0 01 0 0 4 1 0 1 0 00 1 0
1 4 1 0 1 00 0 1 0 1 4 0 0 10 0 0 1 0 0 4 1 00 0 0 0 1 0 1 4 10 0 0
0 0 1 0 1 4____x1x2x3x4x5x6x7x8x9__=__10001001000100200100200___A11
A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33__x1x2x3_=_b1b2b3_x(0)= (1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1)t Enparaleloel procesadorPi obtieneAii=LiUiP1:_4 1 01
4 10 1 4_=_1 0 00,250 1 00 0,267 1__4 1 00 3,750 10 0 3,733_P2:_4 1
01 4 10 1 4_=_1 0 00,250 1 00 0,267 1__4 1 00 3,750 10 0
3,733_P3:_4 1 01 4 10 1 4_=_1 0 00,250 1 00 0,267 1__4 1 00 3,750
10 0 3,733_114 6. Metodositerativosclasicos Enparalelo, Pi
calculad(0)i=
j,=iAijx(0)j+biP1:d(0)1= A12x(0)2A13x(0)3+b1= _1 0 00 1 00 0
1__x4x5x6_(0)_0 0 00 0 00 0
0__x7x8x9_(0)+_b1b2b3_=_1011101_P2:d(0)2= A21x(0)1A23x(0)3+b2= _1 0
00 1 00 0 1__x1x2x3_(0)_1 0 00 1 00 0
1__x7x8x9_(0)+_b4b5b6_=_1022102_P3:d(0)3= A31x(0)1A32x(0)2+b3= _0 0
00 0 00 0 0__x1x2x3_(0)_1 0 00 1 00 0
1__x4x5x6_(0)+_b7b8b9_=_201101201_115 6. Metodositerativosclasicos
Enparalelo, Pi resuelveLiy(1)i=d(0)iP1:_1 0 00,250 1 00 0,267
1__y1y2y3_(1)=_1011101_=_10126,25108_P2:_1 0 00,250 1 00 0,267
1__y4y5y6_(1)=_1022102_=_10227,5109,33_P3:_1 0 00,250 1 00 0,267
1__y7y8y9_(1)=_201101201_=_201151,25241,33_ Enparalelo, Pi
resuelveUix(1)i=y(1)iP1:_4 1 00 3,750 10 0
3,733__x1x2x3_(1)=_10126,25108_=_28,9314,7128,93_P2:_4 1 00 3,750
10 0 3,733__x4x5x6_(1)=_20127,5109,33_=_29,2915,1429,29_P3:_4 1 00
3,750 10 0 3,733__x7x8x9_(1)=_201151,25241,33_=_64,6457,5764,64_ Si
Testdeconvergencia=Verdaderonorma1= 69,57 +70,71 +183,86 =
324,14EntoncesACABAR Enparalelo, Pi difundex(k+1)i116 6.
Metodositerativosclasicos Enparalelo, Pi calculad(k+1)i=
j,=iAijx(k+1)j+biP1:d(1)1=
A12x(1)2A13x(1)3+b1=_129,2915,14129,29_P2:d(1)2=
A21x(1)1A23x(1)3+b2=_193,5772,29193,57_P3:d(1)3=
A31x(1)1A32x(1)2+b3=_229,29115,14229,29_117 6.
MetodositerativosclasicosIter.normax1x2x3x4x5x6x7x8x901111111111324.14285728.9314.7128.9329.2915.1429.2964.6457.5764.642148.06122538.0222.838.0260.4748.3160.4773.7365.6573.73392.889212849.3036.7349.3066.8255.5266.8285.0179.5885.01443.308204951.6339.6951.6375.2566.7075.2587.3482.5587.34527.507407654.8444.0954.8477.0169.0777.0190.5586.9590.55612.887478955.5145.0255.5179.4772.5079.4791.2287.8891.2278.209063856.4646.3556.4679.9973.2279.9992.1789.2192.1783.85033556.6546.6356.6580.7274.2580.7292.3789.4992.3792.454198856.9447.0356.9480.8774.4780.8792.6589.8992.65101.15139957.0047.1257.0081.0974.7881.0992.7190.0992.71.
. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .
.370.000000157.1447.3257.1481.2575.0081.2592.8690.1892.86118 6.
MetodositerativosclasicosProblemamodelodelaecuaci ondeLaplace2u
=uxx +uyy= 0, (x, y) u(x, y) =u, (x, y) 119 6.
MetodositerativosclasicosAplicacion1. Obtenciondel
campoelectricoSedeseaconocerelcampoelectricoenlaregioncomprendidaentredoselectrodosdegeometrasencilla,
tal ycomoindicalagura:Las condiciones de contorno para nuestro
ca-so particular, estan estipuladas por el poten-cial aplicadoa los
electrodos. Por tanto, parael ejemplode la gura enel que se ha
consi-deradounmalladodetama no10, enel calculote
oricosesupondraunasupercielmiteconpo-tencialesV0,j=Vi,0=Vi,10=Vfuente,
V10,j= 0V120 6. MetodositerativosclasicosAplicacion2.
Distribuciondel potencial
enuncondensadorUncondensadorestacompuestopordosplacasdeseccioncuadradaseparadasporunelementoaislantetal
ycomomuestralagura:La diferencia de potencial entre las placas
provo-caqueelpotencialenelelementoaislantevare.El
objetivoescalcular estadistribuciondel po-tencial.121 6.
MetodositerativosclasicosAplicacion3.
CalculodelatemperaturadeunaplacaSupongamosqueunaplacadeundeterminadomaterial
s
olidodegeometrasencillaseleaplicaundeterminadocalorenlosextremos.Sedeseacalcular
cual sera la temperatura en cualquierpuntointerior.122 6.
MetodositerativosclasicosDiscretizaciondelaecuaci
ondeLaplaceenundominiodegeometrasencilla0 11 u10
u20...uN0u1,N+1u2,N+1...uN,N+1uN+1,1
uN+1,Nu01u11
u0N
u1Nchu21
u2NTuN1
...uNN...Si u(xi, yj) =uij2uijui+1,j+ui1,j+ui,j1+ui,j+14uijh2=
0i, j= 1, 2, . . . N123 6. MetodositerativosclasicosAx =bx = (u11.
. . u1N. . . uN1. . . uNN)tb = valoresconocidosdeuenlafronteraA
=__B II B I............... II B__ /N2B=__4 11 4 1............... 11
4__ /N124 6. MetodositerativosclasicosMETODODEJACOBIM=__444...4__,
N=__H II H I............... II H__;dondelamatrizHdetamanoNNesH=__0
11 0 1............... 11
0__.Laiteracioncorrespondienteax(k+1)=M1Nx(k)+M1b, k= 0, 1, 2, . .
. ,resultaseru(k+1)ij=14_u(k)i+1,j+u(k)i1,j+u(k)i,j+1 +u(k)i,j1_,i,
j= 1, 2, . . . , N, k= 0, 1, 2, . . . .125 6.
MetodositerativosclasicosDEPENDENCIASjui1,jjuijjui+1,jjui,j+1jui,j1126
6. MetodositerativosclasicosDistribuci
ondedatosenunmallaSupongamosquehaypprocesadoresconectadoscontopologademalla.
Por comodidad, consi-deramosqueN2=rp.
Ademasconsideraremosquelasconexionesdelamallasonbidirecciona-les,
esdecir,
quedosprocesadorescontguossecomunicanenambasdirecciones.u11u12u21u22u13u14u23u24u15u16u25u26u31u32u41u42u33u34u43u44u35u36u45u46u51u52u61u62u53u54u63u64u55u56u65u66'''EEEEEE'''c
c cT T TT T Tc c cT T Tc c cT T Tc c cE E ' 'E E ' 'E E ' '127 6.
MetodositerativosclasicosEncada iteraci onel procesador Pijrealiza
lassiguientestareas:1. Calculas2=rinc ognitas.2. Transmite4sinc
ognitas(sincognitasacadaprocesadorvecino).3. Recibe4s inc ognitas
(s incognitas decadaprocesadorvecino).ukl uk,l+s......uk+s,l
uk+s,l+s' E E 'cTTcProcesadorPij128 6.
MetodositerativosclasicosDistribuci
ondedatosenunanillobidireccionalSupongamosquehaypprocesadoresconectadoscontopologadeanillobidireccional.Porcomo-didad,
consideramosqueN=rp.129 6. MetodositerativosclasicosEncadaiteraci
onel procesador Pi, i=1, . . . , prealizalassiguientestareas:1.
CalculaN rinc ognitas.2. Transmite2 Ninc
ognitas(Nincognitasacadaprocesadorvecino).3. Recibe2Ninc
ognitas(Nincognitasdeca-daprocesadorvecino).130 6.
MetodositerativosclasicosEjemploConsideremos el casoparticular p=3,
r =2,N= 6.Como cada procesador necesita actualizar un to-tal deN
r=6incognitas,estasestaranalma-cenadas,independientementedelprocesador,enunarrayx(1
:N, 1 :r).x(1 :N, 1 :r)
=__x11x12x21x22x31x32x41x42x51x52x61x62__Ademas, cadaprocesador
necesitaconocer
losvaloresfronterasuperioreseinferioresqueseal-macenaranenlasposicionesx(0,
1:r)yx(N+1, 1: r). Por ultimo, debe almacenar los valo-res del
vecinoizquierdoyderecho(encasodeser unprocesador extremo, estos
valores seranfrontera).131 6.
MetodositerativosclasicosContodoello,elalmacenamientonecesarioparacadaprocesadorsera:x(0
:N+1, 0 :r +1)
=__x00x01x02x03x10x11x12x13x20x21x22x23x30x31x32x33x40x41x42x43x50x51x52x53x60x61x62x63x70x71x72x73__Resolveremos
el problema de la obtencion
delcampoelectricoanteriorconlosvaloresfronte-ra considerados
utilizandoesta distribuciondedatosyutilizandoel metododeJacobi. El
vec-torinicial serainicializadoa1s.132 6.
MetodositerativosclasicosFasedeinicializaci onP1:__100,0 100,0
100,0 100,0100,0 1,0 1,0 1,0100,0 1,0 1,0 1,0100,0 1,0 1,0 1,0100,0
1,0 1,0 1,0100,0 1,0 1,0 1,0100,0 1,0 1,0 1,00,0 0,0 0,0
0,0__P2:__100,0 100,0 100,0 100,01,0 1,0 1,0 1,01,0 1,0 1,0 1,01,0
1,0 1,0 1,01,0 1,0 1,0 1,01,0 1,0 1,0 1,01,0 1,0 1,0 1,00,0 0,0 0,0
0,0__P3:__100,0 100,0 100,0 100,01,0 1,0 1,0 100,01,0 1,0 1,0
100,01,0 1,0 1,0 100,01,0 1,0 1,0 100,01,0 1,0 1,0 100,01,0 1,0 1,0
100,00,0 0,0 0,0 0,0__133 6.
MetodositerativosclasicosTodoslosprocesadorescopianlaporciondexenxold:xold(1
: 6, 1 : 2) =x(1 : 6, 1 : 2)Todos los procesadores actualizan su
por-ci ondexapartirdexold:xi,j=14_xoldi1,j+xoldi+1,j+xoldi,j1
+xoldi,j+1_,i = 1, 2, . . . , 6, j= 1, 2obteniendo:134 6.
MetodositerativosclasicosP1:x =__100,0 100,00 100,00 100,0100,0
50,50 25,75 1,0100,0 25,75 1,00 1,0100,0 25,75 1,00 1,0100,0 25,75
1,00 1,0100,0 25,75 1,00 1,0100,0 25,50 0,75 1,00,0 0,00 0,0
0,0__P2:x =__100,0 100,00 100,00 100,01,0 25,75 25,75 1,01,0 1,00
1,00 1,01,0 1,00 1,00 1,01,0 1,00 1,00 1,01,0 1,00 1,00 1,01,0 0,75
0,75 1,00,0 0,00 0,00 0,0__P3:x =__100,0 100,00 100,0 100,01,0
25,75 50,50 100,01,0 1,00 25,75 100,01,0 1,00 25,75 100,01,0 1,00
25,75 100,01,0 1,00 25,75 100,01,0 0,75 25,50 100,00,0 0,00 0,00
0,0__ Cadaprocesadorcalculasuporciondenormaentrexyxold:
1i6,1j2(xoldij xij)2.P1: 6113,375, P2: 1225,25, P3: 6113,375.135
6.
MetodositerativosclasicosLlamarapvmfreduceparasumarlasnormasparcialesycalcularsurazcuadradaenP1:norma
= 115,982757.Comunicacionesentrevecinos: Enviar
delavariablexyrecibirenxold.Siguienteiteraci on: Todos los
procesadorescopianlaporci ondexenxold: xold(1 : 6, 1 :2) =x(1 : 6,
1 : 2). Con todo esto, xoldquedara:P1:xold =__100,0 100,00 100,00
100,00100,0 50,50 25,75 25,75100,0 25,75 1,00 1,00100,0 25,75 1,00
1,00100,0 25,75 1,00 1,00100,0 25,75 1,00 1,00100,0 25,50 0,75
0,750,0 0,00 0,0 0,00__P2:xold =__100,00 100,00 100,00 100,0025,75
25,75 25,75 25,751,00 1,00 1,00 1,001,00 1,00 1,00 1,001,00 1,00
1,00 1,001,00 1,00 1,00 1,000,75 0,75 0,75 0,750,00 0,00 0,00
0,00__P3:xold =__100,00 100,00 100,0 100,025,75 25,75 50,50
100,01,00 1,00 25,75 100,01,00 1,00 25,75 100,01,00 1,00 25,75
100,01,00 1,00 25,75 100,00,75 0,75 25,50 100,00,00 0,00 0,00
0,00__136 6.
MetodositerativosclasicosResumendelassiguientesiteracionesIter.
NormaP1 NormaP2 NormaP3 Norma1 6113.375 1225.250 6113.375 115.9822
1641.64 382.890 1641.64 60.5493 760.904 324.477 760.904 42.9684
427.656 306.214 427.656 34.0815 267.677 291.080 267.677 28.74710
60.018 131.883 60.018 15.87115 20.052 47.321 20.052 9.35020 7.021
16.683 7.021 5.54325 2.472 5.878 2.472 3.29030 0.871 2.071 0.871
1.95340 0.108 0.257 0.108 0.68850 0.013 0.031 0.013 0.24260 0.001
0.003 0.001 0.08581 2E-05 4E-05 2E-05
0.009Resumendeiteracionesconinner= 10Iter. NormaP1 NormaP2 NormaP3
Norma1 32155.041 3298.229 32155.041 260.0152 415.980 8389.635
415.980 96.0293 1545.638 405.4582 1545.638 59.1334 84.834 1706.022
84.834 43.3095 327.803 108.495 327.803 27.64210 1.952 17.997 1.952
4.68015 0.179 0.173 0.179 0.72920 0.002 0.010 0.002 0.12427 2E-05
4E-05 2E-05 0.009
