Introduccion a La Teoria de Elementos Finitos - 08

8/6/2019 Introduccion a La Teoria de Elementos Finitos - 08

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Facultad de Ingeniera

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IIIPara alumnos de la carrera de Ingeniera Aeronutica y Mecnica de la UNLP

Introduccin a la Teora de Elementos Finitos(Tratamiento de la formulacin de elementos

unidimensionales a partir del mtodo directo)

Autores:Ing. Santiago PezzottiIng. Federico Antico

Revisado por:Ing. Juan Pablo Durruty

-2008-


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Estructuras III Introduccin a los Elementos Finitos

Introduccin1

El campo de la mecnica se puede dividir en 3 grandes reas:

1. Terica2. Aplicada3. NumricaEl rea terica se encarga de estudiar las leyes y principios de la mecnica por su valor

cientfico. Por ejemplo las leyes de Newton y las leyes de la cinemtica entre otras.El rea aplicada transfiere los conocimientos tericos a las aplicaciones cientficas e

ingenieriles. En general esa transferencia de conocimientos es utilizada para la generacin demodelos matemticos que representen a los fenmenos fsicos.

El rea numrica aparece para resolver aquellos problemas que son difciles de resolveranalticamente. Hoy en da los avances de la computacin permiten resolver de sta maneraalgunos problemas de manera muy sencilla. El resultado obtenido a partir de la resolucinnumrica utilizando a la computacin como herramienta de apoyo es lo que se define como

mecnica computacional. Los resultados obtenidos a partir de la mecnica compuacionaldebern ser interpretados teniendo en cuenta la evolucin de los fenmenos fsicos.

Mecnica computacional

Se puede hacer una divisin de los grupos que forman la mecnica computacional segn laescala fsica del fenmeno que se quiere estudiar:

Nano mecnica y micro mecnica Mecnica del continuo

o Slidos y estructuraso Fluidoso Multi fsicos (slido fluido)

El primero de estos se encarga de los fenmenos a nivel molecular y atmico. Las leyes quegobiernan estos modelos son aquellas relacionadas con la fsica y la qumica. La micromecnica se encarga principalmente de los fenmenos fsicos a niveles cristalogrficos ygranulares.

La parte de la mecnica del contnuo estudia los fenmenos fsicos a nivel macroscpico.Las reas tradicionales de este ltimo campo son la de los slidos y los fluidos.

Problemas estticos y dinmicos

Los problemas de mecnica del continuo se pueden dividir de acuerdo a los efectosinerciales a ser tenidos en cuenta:

Estticos DinmicosEn los problemas dinmicos existe una dependencia del tiempo, en estos problemas las

fuerzas inerciales son parte del problema.En los problemas estticos o cuasi estticos las fuerzas inerciales son nulas o despreciables.

1 Felippa - Introduction to finite element method

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Comportamientos lineales y no lineales

Llamaremos a los problemas lineales, a aquellos en los la respuesta a una perturbacin delsistema (estructura con cargas aplicadas) responde a una relacin lineal con el valor de laperturbacin.

Los problemas no lineales pueden asociarse al comportamiento del material y a la geometradel modelo.

Alcance de este estudio

Con lo visto anteriormente podemos realizar un desglose de los campos que queremoscubrir en este curso:

Mecnicao Computacional

Del continuo Slidos estructuras

o Estticos Lineales2Muchos problemas de ingeniera involucran una complejidad tal que nos vemos forzados a

realizar un modelo matemtico que represente al fenmeno fsico.Una manera sencilla de simplificar el modelo es sub dividir el problema en partes o

elementos para luego volverlo a construir ensamblando las partes para predecir elcomportamiento del sistema completo. Por ejemplo, una estructura como la de la figura quesigue. Aqu se tiene un reticulado isoestticamente restringido. Para su resolucin ser necesarioseparar la estructura en dos partes, resolver los subsistemas, que se pueden equilibrar por simismos, para luego realizar la reconexin del sistema para ver obtener el resultado final, queser la obtencin de los esfuerzos en cada uno de sus miembros considerando los efectos del

sistema completo.

2 Oate Una introduccin generalizada al mtodo de los elementos finitos

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Elemento 2

P

P

Elemento 1

Nodo

Hay sistemas en los cuales las partes son claramente diferenciables, estando estasconectadas por uniones comnmente llamadas nodos. A tales sistemas se los denominadiscretos.

A veces estas divisiones no son posibles por lo que se llega a un modelo matemtico que semanifiesta en ecuaciones diferenciales (problemas de elasticidad tridimensional). Este tipo desistemas recibe el nombre de sistemas contnuos.

En algunos casos la solucin analtica de estos problemas es difcil de encontrar.Para disminuir la complejidad del problema la propuesta ser recurrir al modelo contnuo coninfinitos grados de libertad a uno de finitos grados de libertad. Esto es lo que se define como unsistema discreto.

Introduccin

El mtodo de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en ingls) es un mtodo declculo utilizado en diversos problemas de ingeniera, que se basa en considerar al cuerpo o

estructura dividido en elementos discretos, con determinadas condiciones de vnculo entre s,generndose un sistema de ecuaciones que se resuelve numricamente y proporciona el estado

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http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa


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de tensiones y deformaciones. Tambin se utiliza en matemticas como mtodo nodalaproximado para resolver ecuaciones diferenciales en forma numrica.

Es un procedimiento numrico aplicable a un gran nmero de problemas con condiciones deborde impuestas (en las estructuras las condiciones de borde serian: restricciones y cargasexternas). Varios de estos problemas no tienen solucin analtica o es muy difcil obtenerla, porlo que se convierte en la nica alternativa de resolucin. Con este mtodo se pueden resolversistemas los cuales no son fciles de resolver mediante modelos matemticos simples.

Existen dos tipos de caminos para su formulacin, basndose en el principio de los trabajosvirtuales, es decir, formulaciones variacionales, o mediante el mtodo de Garlekin, Mtododirecto o bien con Raleigh Ritz..

Si bien fue originalmente desarrollado para el anlisis de estructuras, con este mtodo sepueden representar entre otros, los siguientes fenmenos fsicos:

Fenmenos termodinmicos: distribucin de temperaturas en un slido. Simulacin de efectos dinmicos: Choque de dos cuerpos. Geomecnica: Comportamiento de la corteza terrestre.

Concepto

La base del mtodo de los elementos finitos es la representacin de un cuerpo por unensamble de subdivisiones llamadas elementos. Estos elementos se interconectan a travs depuntos llamados nodos.

Una manera de discretizar un cuerpo o estructura es dividirla en un sistema equivalentede cuerpos pequeos, tal que su ensamble representa el cuerpo original. La solucin que seobtiene para cada unidad se combina para obtener la solucin total. Por ende, La solucin delproblema consiste en encontrar los desplazamientos de estos puntos y a partir de ellos, las

deformaciones y las tensiones del sistema analizado. Las propiedades de los elementos que unena los nodos, estn dadas por el material asignado al elemento, que definen la rigidez del mismo,y la geometra de la estructura a modelizar (a partir de las Leyes de la Elstica). Lasdeformaciones y las fuerzas externas se relacionan entre si mediante la rigidez y las relacionesconstitutivas del elemento. Trabajando en rgimen elstico, las ecuaciones que definen elsistema pueden expresarse de forma matricial como se muestra a continuacin:

[K] .{}={F}

Donde :

[K]: es la matriz rigidez del sistema {}: es el vector desplazamientos {F}: es el vector de esfuerzos

Los tipos de elementos utilizados generalmente en la resolucin a travs de Fem son:

Elementos Lineales (1-D)

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http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principio_de_los_trabajos_virtuales&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principio_de_los_trabajos_virtuales&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_variacioneshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Garlekin&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Garlekin&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_variacioneshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principio_de_los_trabajos_virtuales&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principio_de_los_trabajos_virtuales&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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Estos pueden ser:o Resorteo Barraso Vigaso Caos

Elementos Planos (2-D)

Estos pueden ser:o membranaso placas

Elementos Slidos (3-D)

Es importante destacar que se puede utilizar combinaciones de estos elementos

actuando en conjunto.Proceso de Anlisis por Elementos Finitos

El proceso de anlisis por elementos finitos se puede describir como:

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ModeladoGeomtrico

Modelado

deElementos Finitos

Definicin delAmbiente

Anlisis

Corroboracin de Resultados

Modelado Geomtrico: Creacin del modelo matemtico del objeto o del conjunto.Reproduccin del slido en forma precisa y de la geometra de la superficie.

Modelado de Elementos Finitos: Subdividir la geometra del modelo en elementosdiscretos. Asignar las propiedades del material y del elemento.

Definicin del Ambiente: Aplicar las cargas y las condiciones de borde para simularel ambiente de la operacin.

Anlisis: Computar los resultados (tensiones, deformaciones, etc.) a partir deanlisis estticos, dinmicos o de transferencia de calor.

Corroboracin de Resultados: Comparar los resultados con los criterios de diseo.Redisear la estructura y repetir el proceso si fuese necesario.

En la actualidad la utilizacin de este mtodo ha crecido notablemente debido a lautilizacin de software avanzado (adems de un hardware potente que debe poseer granvelocidad y mucha memoria).

Cabe destacar que la utilizacin de software no implica la obtencin del resultadoexacto y real, es solo una aproximacin y esta en el criterio del usuario el saber discernir entre

un resultado coherente y uno que no lo es; adems de conocer los mrgenes de error y laslimitaciones del modelo y el mtodo.

Mtodo Directo

Elemento Resorte

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Los elementos tipo resorte ms sencillos son definidos solamente con rigidez ensentido longitudinal del mismo, o sea son capaces de resistir esfuerzos de traccin compresin.

El elemento se define con las siguientes caractersticas:

Eje de coordenadas local: x Nodos: i, j Desplazamientos de los nodos (grados de libertad): ui, uj Fuerzas internas:fi, fj Rigidez del elemento: kSe debe recordar que las fuerzas del sistema podrn actuar solamente en los nodos

de los elementos.

Las fuerzas internas del resorte se pueden expresar en funcin de losdesplazamientos nodales y la rigidez del elemento:

Se puede expresar este sistema de forma matricial. Las fuerzas internas como unvector columna llamadof, as como el vector de los desplazamientos nodales (u):

f= , u=

Los desplazamientos contemplados en el modelo matemtico (en la direccin x delelemento) sern los grados de libertad del elemento (GL).

Cuando alguno de estos desplazamientos es una condicin de borde (desplazamientoconocido) este GL pasa a ser un dato del sistema; pasando entonces a ser la fuerza en elnodo la incgnita a resolver en el mismo.

=

uj

ui

kk

kk

fj

fi.

Siendo la matriz rigidez del elemento.

kk

kk

Debe observarse que la matriz rigidez es simtrica de modo que se cumpla el

equilibrio del sistema de fuerzas del elemento.

fi

fjui

uj

x

fj fi

Ke

xx

j fif

Ke fi = Ke (ui - uj)

fj = Ke (uj - ui)

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La matriz del elemento es cuadrada, el orden de la misma se relaciona directamentecon la cantidad de grados de libertad. Para el elemento definido anteriormente la matrizrigidez es de orden 2.

Sistema de Resortes

Considerando un par de resortes en serie:

Para el Elemento 1:

Para el Elemento 2:

Donde es la fuerza interna local del Nodo i actuando en el Elemento m (i=1,2).Considerando la condicin de equilibrio esttico de fuerzas: F externas = F internas

Nodo 1:

Nodo 2:

Nodo 3:

Desarrollando con los valores de las fuerzas internas en funcin de la rigidez de cadaelemento:

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De forma Matricial:

O bien, K.U=F

Donde: K: es la matriz rigidez del sistema completo de resortes

Se puede plantear por separado y luego plantear superposicin:

Planteando superposicin se obtiene:

A modo de ejemplo si consideramos un sistema que posee las siguientes condiciones:

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Reemplazando:

Se reduce a:

Y,

Como incgnita tenemos:

Resolviendo,

Reemplazando se obtiene la fuerza de reaccin:

Como conclusin, para un sistema de n nodos, el mtodo de elementos finitos permitegenerar n ecuaciones, las cuales debern tener n incgnitas para ser un sistema definido.Las incgnitas podrn ser parte del vector desplazamiento o ser parte del vector fuerza. Cadanodo deber tener su desplazamiento o su fuerza actuante como condicin de borde impuesta.Este sistema permite, cmo veremos ms adelante resolver sistemas isoestticos e hiperestticossin necesidad de cambiar el mtodo.

Elemento barra en una dimensinConsideremos una barra de seccin constante:

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El sistema se compone de:

Dos Nodos: i, j Modulo de Elasticidad E

rea de la Seccin Transversal A Longitud del Elemento LEl mismo est sujeto a:

Fuerzas internas: fi, fjEl elemento tiene dos grados de libertad, en el sentido longitudinal del elemento, cualquierdesplazamiento de los nodos en el sentido normal al elemento no generara esfuerzos internos:

Dos desplazamientos: ui, ujSabiendo que la rigidez a traccin / compresin de una barra es:

Y haciendo una analoga con el elemento resorte, tenemos que:

Por lo tanto,

O bien,

Por lo tanto, la ecuacin de equilibrio del Elemento ser:

Para la resolucin de este sistema se procede de la misma manera que en el elemento resorte.

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Elemento Barra en Dos Dimensiones

Local Global

x,y X,Y

ui,vi ui,vi

1 grado de Libertad pornodo

2 grados de Libertad pornodo

Nota: El desplazamiento lateral vi no contribuye a la deformacin de la barra.La idea es trabajar con las coordenadas globales, por lo tanto se deben hacer las siguientestransformaciones:

Donde:

Escrito en forma matricial:

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O bien,

Donde la matriz transformacin:

Donde la relacin con la matriz ortogonal:

A modo de ejemplo, se puede decir que para un sistema de elemento barra con dos nodostenemos que:

O bien,

Con,

Las fuerzas nodales son transformadas de la misma manera:

Para obtener la matriz rigidez en dos dimensiones:

En el sistema local de coordenadas tenemos que:

Esto se puede escribir en su totalidad como:

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O bien,

Utilizando las transformaciones

Obtenemos:

Multiplicando ambos lados por TT y como TT*T=I , obtenemos:

La matriz rigidez en el sistema global quedara de la siguiente manera:

La cual es una matriz simtrica de 4X4. Escrita de manera explicita tenemos que:

Donde los cosenos directores l y m son:

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Elemento VigaSe considera una viga en el plano. Esta toma esfuerzos de Corte, Axiles y Momentos,

todas consideradas en el plano. Cada Nodo posee tres Grados de Libertad (u, v, q).Un elemento que toma estas cargas, tiene asociado para el calculo a E, J, l y A.

El sistema se compone de:

Dos Nodos: i, j Modulo de Elasticidad E rea de la Seccin Transversal A Longitud del Elemento L Momento de Inercia I

El mismo est sujeto a:

Fuerzas internas en los Nodos: Fi, Fj, Vi, Vj Momento en los Nodos: Mi, Mj

Habr tres grados de libertad por cada nodo

Cuatro desplazamientos: ui, uj, vi, vj Dos Giros: i, jPara crear la Matriz Rigidez se suponen casos con desplazamientos unitarios, que luego

mediante Superposicin se ensamblan y dan forma a dicha matriz.Se adoptan giros en sentido horario y desplazamientos positivos.

Se supone ui=1uj, vi, vj, i, j =0

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Aplicando la Ley de Hooke, tal como se hace con elemento barra, tenemos que:

ii ul

EAH =

Por lo tanto,

l

EAHi =

Realizando un equilibrio de fuerzas,

l

EAHj =

Se supone vi =1ui, uj, vj, i, j = 0

Mj

Mi

Se puede demostrar calculando por Mtodo de las Fuerzas que para un DesplazamientoTransversal en el extremo i, los esfuerzos en el sistema son:

3

12

l

EJVi = 2

6

l

EJMi =

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3

12

l

EJVj = 2

6l

EJMj =

0=iH 0=jH

Se supone i=1ui, uj, vi, vj, j = 0

De la misma manera que en el caso anterior, tenemos que:

MjMj

2

6

l

EJVi = l

EJMi

4=

2

6

l

EJVj =

l

EJMj

2=

0=iH 0=jH

Procediendo de forma anloga para los desplazamientos del Nodo j , obtendremos losrestantes coeficientes de la Matriz Rigidez del Elemento.

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Ejemplos Prcticos

1. Elemento ResorteSea un sistema de resortes en serie, con una carga P aplicada:

Datos:

Se pide:

a) Encontrar la matriz rigidez del sistema.b) Desplazamientos en los Nodos 2 y 3.c) Las fuerzas en los empotramientos (Nodos 1 y 4).d) La fuerza en el resorte 2.

Solucin

a) La matriz rigidez de cada elemento es:

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Aplicando el principio de superposicin se obtiene la matriz rigidez del sistemacompleto:

o bien,

La Ecuacin Matricial de Equilibrio quedara de la siguiente manera:

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b) Aplicando las Condiciones de Borde:

en la Ecuacin Matricial de Equilibrio y tachando la primera y cuarta fila y columna,tenemos que:

Cuya solucin es:

c) Con la primera y cuarta fila de la Ecuacin de Equilibrio, y con los datos delos desplazamientos ya calculados, tenemos que:

d) La ecuacin de equilibrio del elemento 2 es:

donde,

Por lo tanto se puede calcular, la fuerza como:

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2. Sistema de ResortesSea un sistema de resortes en serie-paralelo con cargas aplicadas:

Se pide:

Para el Sistema de Resortes de la figura, cuyos nodos fueron numerados deforma arbitraria, encontrar la Matriz Rigidez Global.

Solucin:

Se construye una Tabla de Conectividad de Elementos:

La matriz rigidez de cada elemento:

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Por lo tanto, aplicando el Principio de Superposicin, obtendremos la MatrizRigidez Global del Sistema:

3. Elemento BarraSean dos barras de igual Longitud, igual Modulo de Elasticidad y el rea de una

es dos veces la de la otra:

Se pide:

Hallar el desplazamiento en el Nodo 2.

Solucin:

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La Matriz Rigidez de cada elemento:

Elemento 1

Elemento 2

Aplicando el Principio de Superposicin, obtenemos la Matriz Rigidez Global, yas, obtenemos la Ecuacin de Equilibrio.

Aplicando las Condiciones de Borde:

y reemplazando, se obtiene:

Para hallar el desplazamiento en el Nodo 2, utilizamos solo la segunda fila:

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Por lo tanto,

4. Elemento Barra en Dos DimensionesSean dos barras idnticas que poseen el mismo Modulo de Elasticidad, la misma

rea Transversal y la misma Longitud:

Se pide:

Hallar el desplazamiento del Nodo 2.Solucin:

En el sistema Local de Coordenadas, la matriz rigidez de los elementos es:

Estas matrices no pueden ser ensambladas juntas, ya que cada una esta endiferentes Sistemas Coordinados. Por esta razn se debe trabajar con un SistemaCoordenado Global.Trabajaremos con cada elemento por separado:

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Elemento 1:

La matriz rigidez del elemento 1 respecto a la Terna Global es:

Elemento 2:

La matriz rigidez del elemento 1 respecto a la Terna Global es:

Aplicando el Principio de Superposicin, podemos armar la Ecuacin deEquilibrio:

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Utilizando las Condiciones de Borde:

Consideramos solo la tercer y cuarta fila, junto a la tercer y cuarta columna, yobtenemos:

Resolviendo:

5. Elemento VigaSea una viga empotrada-empotrada, con una carga P aplicada en L/2 y un

Momento actuando en el mismo punto:

Se pide:

a) Hallar la Rotacin y Deflexin del Nodo 2.

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b) Hallar las Reacciones de Vinculo en los Empotramientos.

Nota: Para este ejemplo, se tomo como convencin que el momento antihorario espositivo. No solo como condicin de borde, sino en el anlisis matricial, y es por esoque la matriz rigidez difiere en signos con la de la explicacin de la pagina 15.

Solucin:

a) La Matriz Rigidez de cada Elemento es:

La Ecuacin de Equilibrio Global es:

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Aplicando las Condiciones de Borde:

Reemplazamos y obtenemos:

Por lo tanto, resolviendo:

b) Reemplazando en la Matriz Global, tenemos:

Resolviendo tenemos,

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Referencias

Anlisis de Estructuras mediante el Mtodo de los Elementos Finitos. Ing. RubenLopez Triaca. Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires.

Introduction to Finite Element Method. Yijun Liu. University of Cincinnati. Finite Elements in Solids and Structures. Astley. Resistencia de Materiales. Stiopin Introduction to finite element method. Felippa Una introduccin generalizada al mtodo de los elementos finitos. Oate

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