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El trabajo presenta la importancia del mallado y la demostración de compresiones y tracciones en estructuras
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TRABAJO FINAL CALCULO DE ESTRUCTURAS POR M.E.F. Lunes 23 de Enero del 2012 Universidad Politécnica de Cataluña CIMNE Barcelona
Luis Alberto Montoya Coronado [email protected]
C0898367
EJERCICIO # 1
PLACA
La figura muestra una placa plana de hormigón armado sujeta a una carga uniformemente repartida
y con las condiciones de apoyo indicadas.
Calcule el valor máximo de la carga que satisface las restricciones que se indican.
1) Las tracciones máximas en cualquier punto no deben superar los 100 MPa
2) Las compresiones máximas en cualquier punto no deben superar los 80 MPa
3) Tomar los valores de E y v de un hormigón estándar.
4) El espesor de la placa es de 0.25 m
Cargas actuantes:
a) Peso propio
b) Peso propio + carga uniforme.
Las dimensiones en metros de la placa:
Discretización del problema
Dada la morfología del problema, nos encontramos ante el estudio de una placa, para dicho estudio el caso
que nos ocupa se corresponde con el primero ya que en nuestro caso estamos trabajando con una placa
delgada (puesto que la relación entre la dimensión mayor y el espesor de la placa es inferior a 0,1 - del orden
de 0,005).
En tal caso, debemos de suponer antes una serie de hipótesis fundamentales:
a. Los puntos del plano medio no tienen desplazamientos paralelos al plano medio de la placa.
b. Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio de la placa tienen aproximadamente el
mismo desplazamiento vertical.
c. La tensión normal σz es despreciable.
d. Los puntos sobre rectas normales al plano medio antes de la deformación, permanecen sobre rectas
también ortogonales a la deformada del plano medio después de la deformación.
Dadas las hipótesis básicas, establecemos los diferentes campos de desplazamientos, deformaciones y
tensiones.
Descripción del caso de carga
En este caso, la única carga que actúa sobre la estructura es el mismo peso propio de la placa que, como es de
esperar, no tienen efectos muy negativos en cuanto a desplazamientos.
Descripción de la malla utilizada
En el caso en el que nos encontramos, trabajaremos con dos tipos diferentes de elementos; el primero de ellos
serán elementos de placa delgada DKT de tres nodos y tres grados de libertad (la flecha y los dos giros
respecto a los ejes contenidos en el plano medio de la placa) cada nodo.
Se realizan ocho tamaños de malla para cada uno de los elementos obteniendo unos resultados en cuanto a
desplazamientos y números de elementos usados con peso propio del elemento
La elección de dicho tamaño se realiza en base a intentar un equilibrio lógico entre el coste computacional
utilizado en tiempo en el proceso y un resultado suficientemente preciso
Análisis de convergencia de la placa al número de nodos y desplazamientos
Tamaño del elemento
Cantidad de nodos
Numero de elemento
Desplazamientos con Peso Propio
(mm) Variación
1 513 232 3.8837
0.9 651 298 3.9004 -0.0167
0.7 1065 498 3.922 -0.0216
0.5 2029 966 3.9305 -0.0085
0.4 3219 1548 3.9323 -0.0018
0.3 5637 2738 3.9358 -0.0035
0.25 8244 4025 3.9369 -0.0011
0.2 12 756 6257 3.9375 -0.0006
3.88
3.89
3.9
3.91
3.92
3.93
3.94
3.95
0 2 4 6 8 10
Des
pla
zam
ien
to
Convergencia Numero de nodos vs Dezplazamiento
Series1
CONCENTRACIONES DE TENSIONES
Al momento de chequear las tensiones máximas y compresiones máximas tenemos en las esquinas
concentraciones de tensiones que entre más mallamos más tienda al infinito las tensiones por lo que
la solución sería redondear las esquinas, sin embargo estas concentraciones siguen apareciendo por
lo que recurrimos a ocultar los elementos donde están las concentraciones creando una capa de
“error” y meter en esa capa los elementos donde hay esas tensiones, apagarla y recalcularla. Así
logramos obtener unas tensiones más óptimas y reales con las que podemos trabajar para encontrar
la carga última de la placa chequeando las tensiones.
Para colocar los empotramientos se creó un
eje local a la línea inclinada para que el
empotramiento se comportara perpendicular
a la línea inclinada.
Carga (KN/M) 1 100 500 1000 5000 10000 50000
Tracción Mpa 0.079902 0.67489 3.5544 7.1559 35.949 71.949 359.9
Compresión Mpa -0.037794 -1.4286 -7.5145 -15.124 -76.002 -152.1 -760.87
TABLA DE CARGA EN KN vs TRACCIONES EN MPa
TABLA DE CARGA EN KN vs COMPRESIONES EN Mpa.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
Series1
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
Series1
Según estas gráficas de iteraciones de cargas en KN con las tracciones máximas y compresiones
podemos deducir por donde está la carga que agota la placa no pasándose de 150 Mpa en tracciones
y 80 Mpa en compresiones.
Según estas graficas me limitan las compresiones a menos cargas estando muy holgado en las
tracciones donde ahora haremos las iteraciones para encontrar la carga máxima en compresión.
Trabajando con una regla de tres, si para 5000 KN/m2 me dan 76 Mpa, para 80 Mpa me dará una
carga de agotamiento 5250 KN/m2 con las restricciones dadas en tracciones y compresiones, y
calculando la placa con esa carga obtenemos 79.9 Mpa en compresión y 37.74 Mpa en tracción por
lo que concluimos que en tracción estamos muy sobrados de resistencia.
DEFORMACIÓN DE LA PLACA:
Chequeando los desplazamientos observamos
los empotramientos de los bordes laterales y
observamos la parte en azul que es el mayor
desplazamiento que se tiene en la placa, y en
rojo los menores que permite el
empotramiento debido a su restricción y los
giros de su eje local.
PROBLEMA S-21
Dimensionar y calcular una presa de gravedad de hormigón de 80 m de altura. La anchura en coronación debe
ser de 6 m. con las restricciones geométricas que se indican.
Realizar el proyecto mediante un análisis bidimensional y posteriormente en 3D para verificar el diseño
utilizando en ambos casos las siguientes hipótesis:
1) Las tracciones máximas en cualquier punto de la presa no deben superar los 2 Mpa.
2) El peso específico del hormigón es de 25000 N/m3 y del terreno es de 20000 N/m3
3) El Modulo de elasticidad del hormigón a usar es de 22 G N/m2 y el coeficiente de poisson es de
0,20
4) Base empotrada en el terreno
5) Cimentación en terreno homogéneo. Modulo de elasticidad: 37 G N/m2 y coeficiente de poisson
0,30.
6) Cargas actuantes:
a) Peso propio
b) Peso propio + empuje hidrostático en presa y cimentación (altura del agua 77 metros)
El perfil del emplazamiento es el que se muestra:
Discretización del problema
Dada la morfología del problema, nos
encontramos ante el estudio de una deformación
plana en el caso de presa de gravedad de 2D y un
sólido 3D ambos casos trabajados en RamSeries
Plane-State ( Plane-Strain ) y 3D Solid.
.
Descripción del caso de carga
En los casos las cargas actuantes son el peso
propio de la estructura y la presión hidrostática del
agua perpendicular al terreno y perpendicular a la
presa de forma linear trapezoidal normal al
costado de la presa.
Descripción de la malla utilizada
En el caso 2D en el que nos encontramos,
trabajaremos con dos tipos diferentes de
elementos; el primero de ellos serán elementos de
placa delgada DKT de tres nodos y tres grados de
libertad (la flecha y los dos giros respecto a los
ejes contenidos en el plano medio de la placa)
cada nodo.
En el caso 3D trabajaremos con tetraedros de 10
nodos para más exactitud de igual manera ya
habíamos echo el análisis de convergencia para
mirar el grado de error ya obtuvimos el tamaño
del elemento que aplicaremos al solido 3D
Se realizan seis tamaños de malla para cada uno
de los elementos obteniendo unos resultados en
cuanto a desplazamientos y números de
elementos usados con peso propio del elemento
y con cargas hidrostática.
La elección de dicho tamaño se realiza en base a
intentar un equilibrio lógico entre el coste
computacional utilizado en tiempo en el
proceso y un resultado suficientemente
preciso.
CONDICIONES DE CONTORNO
PRESA 2D
La condiciones de contorno de la presa en 2D fueron
restringir la base de la cimentación en los 2 ejes
locales en “x” y “y”(empotrada) y los costados de la
cimentación restringirla en los movimientos laterales
“x”.
PRESA 3D
Las condiciones de contorno de la presa en 3D
fueron restringir la base en todos los movimientos
“x,y,z” para lograr un empotramiento en la base de la
cimentación, en los costados se restringe a la derecha
e izquierda los movimientos en “x” y en frente y
atrás se restringen los movimientos en “z”.
VISTA DE LOS MATERIALES
PRESA EN 3D MODELADA
MODELO 3D
Para crear el modelo 3D se creó el terreno en 2D y
la presa en 2D, ambas en el plano “x, y”, con una
separación desde el punto extremo derecha del
terreno hasta el centro de la coronación de la presa
la mitad de mi desarrollo para hacer una rotación
de la presa en 90 grados usando de pivote el
extremo derecho del terreno, así ambos quedaran
perpendicular y se puede hacer una extrucción de
ambos lograr intersecar áreas, luego borrar todo lo
que este intersectado que no nos sirva. Crear los
Volúmenes necesarios y asignarle los materiales.
Una vez creado los materiales asignarlos, asignar peso propio de la estructuras, asignar las cargas de presión
hidrostática a las áreas de la presa y del terreno. Correr el programa y chequear los resultados para ver si son
lógicos y concordante respecto a las condiciones de contorno que le hemos dada.
COVERGENCIA 2D CON AGUA
El análisis de convergencia realizado con la presa en 2D se hizo con los caso de la presa con agua (con
presión hidrostática), analizando los desplazamientos en “y”, la variación de este. También analizamos las
convergencias de las tracciones para igualmente chequear las tracciones máximas sobre la presa con lo que
puedo definir que las tracciones máximas en la presa NO sobra pasan los 2 Mpa con las pendientes
elegida de m = 0.09 y n = 0.90 donde cumplimos la condiciones de 0.75 < m + n < 1.00. En todos los ejes
chequeamos las tracciones máximas, obtuvimos los gráficos que presentamos después de la tabla dada.
PRESA DE GRAVEDAD LLENA DE AGUA
Análisis de convergencia de la placa al número de nodos y desplazamientos
Tamaño del elemento
Cantidad de Nodos
Numero de
elemento Desplaz. Variación
σx max
(N/mm²)Mpa
σy max
(N/mm²)Mpa
σz max
(N/mm²)Mpa
Tracciones Tracciones Tracciones
7 257 428 3.7808 0.53297 solo compresión solo compresión
5 492 868 3.7859 -0.0051 0.64306 solo compresión solo compresion
2 2770 5254 3.7880 -0.0021 0.87814 solo compresión solo compresión
1 10907 21244 3.7890 -0.0010 1.2233 solo compresión solo compresión
0.7 22142 43470 3.7898 -0.0008 1.4838 solo compresión solo compresión
0.5 43346 85556 3.7897 -0.0001 1.4878 solo compresión solo compresión
GRÁFICAS DE CONVERGENCIAS, PRESA CON PRESIÓN HIDROSTÁTICA.
2.932
2.934
2.936
2.938
2.94
2.942
0 10000 20000 30000 40000 50000
De
spla
zam
ien
to
Convergencia Numero de nodos vs Dezplazamiento
Series1
0
0.5
1
1.5
2
0 10000 20000 30000 40000 50000
Tra
ccio
nes
en
"x"
Convergencia Numero de nodos vs Traccion en "x"
Series1
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 10000 20000 30000 40000 50000
Tra
ccio
nes
en
"y"
Convergencia Numero de nodos vs Traccion en "y"
Series1
COVERGENCIA 2D SIN AGUA
El análisis de convergencia realizado con la presa en 2D se hizo con los caso de la presa sin agua (sin presión
hidrostática), analizando los desplazamientos en “y”, y la variación de este. También analizamos las
convergencias de las tracciones para igualmente chequear las compresiones mínimas sobre la presa ya que por
el efecto que estar actuando solo con peso propio nos da todo en compresión y chequeamos la mínima
compresión para ver cuánto esta de cerca a las tracciones, en todos los ejes chequeamos las compresiones
mínimas y obtuvimos los gráficos que presentamos después de la tabla dada.
PRESA DE GRAVEDAD VACIA
Análisis de convergencia de la placa al número de nodos y desplazamientos
Tamaño del
elemento
Cantidad de nodos
Numero de elemento
Desplaz. Variación
σx min (N/mm²)Mpa
σy min (N/mm²)Mpa
σz min (N/mm²)Mpa
Compresiones Compresiones Compresiones
7 257 428 3.4996 -0.000001632 -0.0094659 -0.029842
5 492 868 3.5254 -0.0258 -0.0060626 -0.010786 -0.030107
2 2770 5254 3.5472 -0.0218 -0.064202 -0.080992 -0.01692
1 10907 21244 3.5515 -0.0043 -0.03728 -0.074517 -0.0085181
0.7 22142 43470 3.5526 -0.0011 -0.049037 -0.08174 -0.0046399
0.5 43346 85556 3.553 -0.0004 -0.049517 -0.090097 -0.0019438
3.49
3.5
3.51
3.52
3.53
3.54
3.55
3.56
0 10000 20000 30000 40000 50000
Des
pla
zam
ien
to e
n "
y"
Convergencia Numero de nodos vs Dezplazamiento
Series1
-0.1
-0.09
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0 10000 20000 30000 40000 50000
Tra
ccio
ne
s e
n "
y"
Convergencia Numero de nodos vs Compresion en "y"
Series1
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0 10000 20000 30000 40000 50000
Tra
ccio
nes
en
"x"
Convergencia Numero de nodos vs compresion en "x"
Series1
DESCRIPICION Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
1: En esta área observamos los
desplazamiento en vertical todos negativos
donde lógicamente con las condiciones que
tenesmo la estructuras se desplaza hacia abajo
en medidas de milímetros lo máximo 3.7 mm
2: En esta área miramos los menores desplazamiento de la presa que trasfieren esos desplazamiento
al terreno.
Claramente observamos las deformaciones
que son proporcionales desde arriba de la
cúspide de la presa las mayores hasta en azul
que son relativamente cero.
Si miramos bien los colorines las tensiones
casi toda la estructura esta en tensión es
encuentra en compresión y las partes en rojo
son las únicas que tienen leves tensiones y la
parte debajo de la presa sobre el terreno en
azul es la que mas compresiones se están
generando.
MODELO 3D.
PRESA DE GRAVED 3D
Analisis de convergencia de la placa al número de nodos y desplazamientos
Tamaño del elemento
Cantidad de nodos
Numero de elemento
Desplazamientos Variación σx (N/mm²)Mpa
TRACCIONES
50 488 1665 1.8706 0.39506
30 622 2332 0.79476 1.07584 0.19857
20 1440 5695 0.0083 0.78646 0.28826
16 2415 10365 0.00039 0.00791 0.30624
14 3335 14924 0.00032124 0.00006876 0.30895
11 6296 29792 0.000011678 0.0003 0.36992
CONVERGENCIA NUMERO DE NODOS VS DESPLAZAMIENTOS
Conclusión: En la presa 3D las tensiones en cualquier punto de la presa no exceden de los 2 Mpa,
cumpliendo con los objetivos indicados.
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
Des
pla
zam
ien
tos
Numero de nodos
Convergencia Numero de nodos vs Desplazamientos
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 10000 20000 30000 40000
Series1
