Introduccion a la Fısica Experimental

Guıa de la experiencia

Pendulo Fısico.

Un metodo para determinar la aceleracion de

la gravedad.

Departamento de Fısica Aplicada.Universidad de Cantabria.

1 de diciembre de 1999

Tenga en cuenta que la lectura previa de esta guıa y la comprobacion delas ecuaciones le llevara del orden de una hora, incluyendo la consulta delas palabras clave, y que la lectura de la bibliografıa especıfica en inglesle llevara entre una y dos horas.

Resumen

Se indica como utilizar un pendulo fısico, conectado a un sistemade adquisicion de datos por ordenador, para determinar el valor dela aceleracion de caıda libre g.

Introduccion

Cuando se suspende un solido rıgido 1 de un punto que no pasa por su centrode masas (CM) y se separa de su posicion de equilibrio, dicho solido realiza unmovimiento oscilante bajo la accion de su propio peso y recibe el nombre dependulo. Estudiando las caracterısticas de su movimiento se puede inferir quetiene interesantes aplicaciones, una de las cuales, enunciada en el tıtulo, seraobjeto de este experimento.

Pendulo matematico

Una masa puntual m que oscila, con pequenas amplitudes, cerca de la superficieterrestre suspendida de un hilo inextensible de longitud l tiene un perıodo T

1Consulte y escriba la definicion de todos los conceptos que aparecen en letra cursiva en estetexto y que no esten previamente definidos.

1

que viene dado por la expresion2 (pendulo matematico):

T = 2π

√l

g, (1)

donde g = GMT/R2T es la aceleracion de la gravedad en la superficie terrestre.

Despejando en la Ec. (2), se tiene que

g = 4π2 l

T 2. (2)

Determinando T con suficiente precision, se puede obtener un valor de g ade-cuado.

Pero g tambien puede determinarse experimentalmente utilizando pendulosfısicos, que presentan ciertas ventajas experimentales respecto de un pendulomatematico.

Pendulo fısico

Sea un cuerpo rıgido plano de masa m y suspendido de un punto O (punto desuspension). Supongase que se desvıa el cuerpo de su posicion de equilibrioun cierto angulo φ contenido en el plano del cuerpo. El movimiento que iniciadicho cuerpo cuando se libera viene regido por la Segunda Ley de Newtonaplicada a la rotacion, es decir,

τ = Iα = Id2 φ

d t2, (3)

en donde τ es el momento resultante de las fuerzas exteriores, α es la acele-racion angular e I es el momento de inercia respecto a un eje perpendicular alplano de oscilacion y que pasa por O. A su vez,

τ = −mgD sen φ , (4)

en donde g es la aceleracion de la gravedad y D es la distancia del CM al puntoO. De las expresiones Ec. (3) y Ec. (4) se deduce:

d2 φ

d t2+

mgD

Isen φ = 0 (5)

que es la ecuacion diferencial de movimiento del pendulo.Si los desplazamientos angulares φ son pequenos, se puede escribir la Ec. (5)

de forma aproximada,d2 φ

d t2+

mgD

Iφ = 0 . (6)

2Obtener esta expresion por analisis dimensional.

2

(a) (b)

(1)

(2)

(3)

Figura 1: Dispositivo experimental de un pendulo fısico, barrita metalica y dos pesos de latoncon tornillo de sujecion, conectado a un sensor de movimiento rotatorio (marca PASCO),conectado a un sistema de adquisicion y representacion de datos por ordenador. (1) Barracon pesos, (2) sensor de movimiento rotatorio, (3) trıpode de sujecion.

Reflexiones previas a la realizacion del experimento

Antes de llevar a cabo las experiencias, considere las siguientes cuestiones:

1.- Haga un esquema de un pendulo fısico en el que aparezcan las magnitudesimplicadas en la Ec. (4). Mida dichas magnitudes para el pendulo dadocon los dos pesos colocados al extremo libre de la barrita.

2.- ¿Que aproximacion se ha hecho al pasar de la Ec. (5) a la Ec. (6)? Parautilizar la Ec. (6) en el desarrollo del experimento, ¿podrıa estimar elrango aceptable de variacion de φ?

3.- ¿Que tipo de movimiento describe la Ec. (6)?

4.- ¿Cual es la expresion del perıodo T de una oscilacion? Demuestre que

T = 2π

√I

MgD. (7)

3

Estime el perıodo del pendulo fısico –obtengalo a partir de la Ec. (6)–suponiendo que las dos masas de laton con tornillo se han situado alextremo de la barra.

5.- Suponga que una de las masas de laton se encuentra siempre en el extremolibre de la barrita y que la otra masa de laton se va a ir colocando a lolargo de la barrita, cada vez a menor distancia del punto de oscilacion.Vuelva a escribir la expresion anterior del perıodo T expresando I enfuncion de la masa m de cada peso de laton, de la longitud L de la barray de la distancia l que hay entre el punto de suspension y el punto enel que se encuentra la primera masa de laton. Exprese la posicion delcentro de gravedad del pendulo en funcion de L y l. Demuestre que seobtiene la relacion

T (l) = 2π

√√√√2(L2 + l2)

g(L + l)(8)

¿Que significa que T →∞ cuando D → 0?

6.- Demuestre que la curva del perıodo T (l) presenta un mınimo para unacierta longitud l y obtenga la posicion de ese mınimo.

Descripcion del material

Para llevar a cabo este tipo de experiencias se utiliza el siguiente material (verFig. 1):

1. Barrita metalica ligera y dos masas de laton –con forma cilındrica [(1) enFig. 1].

2. Sensor de rotacion (marca PASCO) conectado a un sistema de adquisicionde datos, controlado por un ordenador [(2) en Fig. 1].

3. Trıpode ajustable y barra soporte [(3) en Fig. 1]

4. Una regla

5. Un cronometro digital (opcional).

Modo operativo

Se dispone de un solido rıgido consistente en una barrita hueca de aluminioligero en la que se pueden ajustar mediante tornillos dos pesos de laton.Cuando la barra, con sus pesos, se sujeta al sensor de movimiento rotatoriomediante un tornillo, y encajada en las ranuras que el sensor tiene al efecto, yse deja oscilar, se observa la variacion del angulo en funcion del tiempo. A par-tir de esta variacion se puede obtener la dependencia del perıodo de oscilacionT con las diferentes posiciones que ocupan los pesos a lo largo de la barra.

4

Coloque uno de los pesos de laton al extremo de la barra. Coloque elotro a una cierta distancia de este y determine el correspondiente valor de l .Determine la posicion del centro de gravedad de la barra. Estime el perıodode oscilacion que espera. Haga oscilar el pendulo, con pequena amplitud, ydetermine el perıodo del movimiento midiendo el tiempo que emplea el penduloen realizar un numero grande de oscilaciones. Repita este procedimiento para,al menos, otras seis posiciones del segundo peso a lo largo de la barra. Tabulelos resultados experimentales obtenidos.

A partir de la medidas experimentales de l y T (l) se puede obtener el valorde g por dos metodos diferentes

Primer metodo: Se va variando sistematicamente la distancia l – y midiendoel perıodo T (l) que le corresponde. La Ec. (8), puede escribirse

T 2 =8π2

g

L2 + l2

L + l, (9)

que tiene la forma de ecuacion de una recta si L = (L2 + l2)/(L + l) es lavariable independiente y T 2 la variable dependiente.

Represente graficamente los puntos experimentales (Li, T2i ). Ajustelos a

una recta y obtenga g.

Segundo metodo: Se identifican dos posiciones de la segunda masa de latonpara las que el pendulo tenga el mismo perıodo.

Se define la longitud equivalente, λ, de un pendulo fısico como la longitudde un pendulo matematico que tiene la misma masa y el mismo perıodoque el pendulo fısico. Teniendo presente la expresion del perıodo de unpendulo matematico y la Ec. (8), se debe verificar

T = 2π

√√√√2(L2 + l2)

g(L + l)= 2π

√λ

g. (10)

Obtenga dos valores de l, l1 y l2, tal que

L1 =L2 + l21L + l1

= L2 =L2 + l22L + l2

, (11)

calcule λ para ese perıodo y obtenga g.

Preguntas adicionales relacionadas con la experiencia

1. Puesto que el perıodo de un pendulo como el que ha utilizado en estosexperimentos no depende de la masa colocada en su extremo, ¿comopodrıa haber demostrado previamente que el perıodo T (l) debe presentarun extremo?

5

2. ¿Por que el pendulo debe oscilar en un plano?

3. Estime el valor de la amplitud de los movimientos que ha impuesto alpendulo.

4. Discuta las ventajas e inconvenientes de cada metodo sugerido para obtenerg.

5. Un tentetieso con forma de aguila –que se apoya en el pico– esta hechode plastico ligero y tiene dos pesos de plomo al extremo de sus alas [JFort, et al., A counterintuitive toy: the bird that never falls down, PhysicsEducation, 33, 98-99 (1998)]. En su primer modo de oscilacion, las alasoscilando arriba y abajo ambas en el mismo plano, la cola del aguilasubiendo y bajando, tiene un perıodo de oscilacion de 0, 7± 0, 1 s. En susegundo modo, cabeceo de las alas, el eje pico cola se mantiene horizontal,tiene un perıodo de oscilacion de 1, 5 ± 0, 2 s. Estime estos valores delos perıodos sabiendo que el peso total del aqguila es de 44,7 g, que ladistancia del ala al pico es de 7,0 cm, que la distancia perpendicular delpico a la lınea que une los extremos de las alas es de 2,0 cm y que ladistancia entre el punto de apoyo –el pico– y el centro de gravedad delaguila es de 0,5 cm.

Referencias

[1] Catala J., Fısica General, Ed. Gerri S.A., Valencia (1966), 4a edicion, cap.9,pg. 124.

[2] Burbano S., Burbano E.,Gracia C., Fısica General, Ed. Mira, Zaragoza(1993).

[3] Tipler P. A., Fısica, Ed. Reverte S.A., Barcelona (1999), 4a edicion, tomoI.

[4] R. A. Nelson y M. G. Olsson, The pendulum- Rich physics from a simplesystem, Am. J. Phys. 54, 112 (1986).

[5] M. I. Molina, Simple linearization of the simple pendulum for any ampli-tude, Phys. Teach. 35, 489-490 (1997).

[6] G. O. Kolodiy, An experiment with a physical pendulum, The PhysicsTeacher 17, 52 (1979)

[7] K E Jesse, Kater pendulum modification, Am. J. Phys. 48, 785-786 (1980)

[8] B Denardo and R Masada , A Not-so-obvious pendulum experiment, ThePhysics Teacher 28, 51-52 (1990)

[9] J. W. Fox, Experiments with modified form of simple pendulum, Am. J.Phys. 26, 559-560 (1958)

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[10] An approximate expression for the large angle period of a simple pendulum,Rajesh R Parwani, Eur. J. Phys. 25 (2004) 37–39; Ganley W P 1985 Simplependulum approximation Am. J. Phys. 53 73–6 Kidd R B and Fogg S L 2002A simple formula for the large-angle pendulum period, Phys. Teach. 40 81–3 Molina M I 1997 Simple linearizations of the simple pendulum for anyamplitude, Phys. Teach. 35 489–90

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