Instituto Tecnologico de Saltillo - itsbasicas.com · Instituto Tecnologico de Saltillo Departamento de Ciencias Basicas Curso de Nivelacion Cuadernillo de trabajo Precalculo M.C

Instituto Tecnologico de Saltillo

Departamento de Ciencias Basicas

Curso de Nivelacion

Cuadernillo de trabajo

Precalculo

M.C Jose Luis Flores Aguilar Ing. Sergio Fernando Gaytan Aguirre

M.C Edna M. Gonzalez Martınez M.C Martin Martınez Rodriguez

M.C Silvia Polendo Luis M.C Marıa De La Paz Solıs Alvarez

M.C L. Marisol Valdes Gonzalez

Verano 2010

Indice

Parte I Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

Unidad 1. Topicos selectos de geometrıa analıtica 1

Sesion 1 Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sesion 2 Recta (cont.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sesion 3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sesion 4 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sesion 5 Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Sesion 6 Circunferencia (cont.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Sesion 7 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Sesion 8 Aplicaciones de las conicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Unidad 2. Funciones 7

Sesion 9 Producto cartesiano y definicion de relacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Sesion 10 Definicion de funcion, dominio y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Sesion 11 Funciones polinomiales y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Sesion 12 Funciones racionales (cont.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Sesion 13 Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Sesion 14 Funciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Sesion 15 Resolucion de ecuaciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Unidad 3. Topicos selectos de trigonometrıa 13

Sesion 16 Angulos y conversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Sesion 17 Funciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Sesion 18 Graficas de funciones trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Sesion 19 Identidades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

ii

INDICE

Parte II Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II

Unidad 1. Topicos selectos de geometrıa analıtica 15

Respuestas de la sesion 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15








Unidad 2. Funciones 24








Unidad 3. Topicos selectos de trigonometrıa 30





Flores/Gaytan/Gonzalez/Martınez/Polendo/Solıs/Valdes iii

Parte I

Problemas

I

Unidad 1. Topicos selectos de geometrıa analıtica

� Sesion 1. Recta �

1. Escribe la ecuacion de la recta que contenga el (los) puntos indicados, y/o que tengan la pendiente indi-

cada y/o las intersecciones indicadas. Escribe la ecuacion final en la forma pendiente ordenada al origen

y = mx+ b.

a) (0, 4); m = −3

b) (−5, 4); m = 25

c) (−4, 8); (2, 0)

d) Interseccion con el eje y en 4 y m = −1

e) La interseccion con el eje x es 6 y con el eje y es 2.

f ) Intersecta al eje x en -4 y al eje y en 3.

g) (−1, 0); m = − 12

� Sesion 2. Recta (cont.) �

1. Escribe la ecuacion para la recta que contenga los puntos indicados y que cumpla la condicion indicada.

Escribe la respuesta final en la forma estandar Ax+By = C, A > 0

a) (−3, 4); paralela a y = 3x− 5

b) (2,−3); perpendicular a y = − 13x

c) (3,−2); vertical

d) (5, 0); paralela a −3x− 2y = 4

e) (0,−4); perpendicular a x+ 3y = 9

2. Con referencia al cuadrilatero con vertices A(0, 2), B(4,−1), C(1,−5), D(−3,−2)

a) Muestra que AB es paralelo a DC.

b) Muestra que AB es perpendicular a BC.

1

1. Topicos selectos de geometrıa analıtica

� Sesion 3. Parabola �

1. Grafica cada ecuacion y localiza el foco y la directriz.

a) y2 = 4x

b) y2 = −12x

c) y2 = −20x

d) x2 = 10y

2. Encuentre la ecuacion de una parabola con vertice en el origen, elija como eje al eje x o al eje y, y:

a) Directrız : y = −3 b) Foco : (0,−7) c) Directrız : x = 6

3. Encuentra la ecuacion de la parabola que tenga su vertice en el origen, su eje como se indica y que pase

por el punto dado:

a) Eje y; (4, 2) b) Eje x; (−3, 6) c) Eje y; (−6,−9)

4. Usa la definicion de parabola y la formula de la distancia para encontrar la ecuacion de la parabola con:

a) Directrız : y = −4; Foco : (2, 2) b) Directrız : x = 4; Foco : (6,−4)

� Sesion 4. Elipse �

1. Traza una grafica de cada ecuacion, encuentre las coordenadas de los focos, determina las longitudes de

los ejes menor y mayor.

a)x2

25+

y2

4= 1

b)x2

4+

y2

25= 1

c) x2 + 9y2 = 9

d) 25x2 + 9y2 = 225

2. Encuentra una ecuacion de la elipse en la formax2

a2+y2

b2= 1, si el centro esta en el origen y ademas cumple

con lo siguiente:

a) Eje mayor sobre el eje x, LEM1 = 8 y Lem

2 = 6.

b) Eje mayor sobre el eje y, LEM = 22 y Lem = 16.

c) Eje mayor sobre el eje x, LEM = 16 y la distancia de los focos hasta el centro es igual a 6.

d) Eje mayor sobre el eje y, Lem = 20 y la distancia de los focos hasta el centro es igual a√70.

1Longitud del eje mayor2Longitud del eje menor

Flores/Gaytan/Gonzalez/Martınez/Polendo/Solıs/Valdes 2


� Sesion 5. Circunferencia �

1. En los siguientes ejercicios, determine la ecuacion estandar del cırculo que satisfaga las condiciones dadas.

a) Centro (−1, −4) y radio 8.

b) Centro en el origen, pasa por (4, 7).

c) Extremos de un diametro son P (−1, 3) y Q(7, −5).

d) Centro (7, −3); tangente al eje x.

2. Demuestre que la ecuacion dada es un cırculo y, determine el centro y el radio del mismo.

a) x2 + y2 − 2x+ 4y + 1 = 0

b) x2 + y2 + 6y + 2 = 0

c) 2x2 + 2y2 + x = 0

d) 16x2 + 16y2 + 8x+ 32y + 1 = 0

� Sesion 6. Circunferencia (cont.) �

1. Trace la grafica de la ecuacion dada y escrıbela en su forma estandar.

a) x2 + y2 + 6x− 12y + 45 = 0

b) x2+y2−16x+12y+200 = 0

c) x2 + y2 − 6x− 8y + 21 = 0

d) 4x2 +4y2 − 4x− 8y− 11 = 0

e) 4x2+4y2−12x+40y+77 = 0

f ) 5x2+5y2−9x−19y−26 = 0

� Sesion 7. Hiperbola �

1. Encuentre los focos, vertices y asıntotas de cada hiperbola, y trace su grafica.

a) y2 − x2

25= 1

b) x2 − y2 = 1

c) 25y2 − 9x2 = 225

d) 4y2 − x2 − 1 = 0

e) 9x2 − 16y2 = 1

2. Deduzca una ecuacion de la hiperbola que cumpla con las condiciones dadas.

a) Focos en (±6, 0), vertices en (±2, 0)

b) Vertices en (0, ±6), ecuaciones de asıntotas y = ± 13x

c) Vertices en (0, ±6); la hiperbola pasa por (−5, 9)

d) Focos en (±3, 0); la hiperbola pasa por (4, 1).

e) Focos en (0, ±1); longitud del eje transversal 1.



� Sesion 8. Aplicaciones de las conicas �

1. Una pequena empresa adquiere una computadora por $4,000. Despues de 4 anos se espera que el valor de

la misma sea de $200. Para fines de contabilizacion, el negocio utiliza la depreciacion lineal para obtener

el valor de la computadora en un tiempo dado. Esto quiere decir que si V es el valor de la computadora

en el tiempo t, entonces se utiliza una ecuacion lineal para relacionar V con t.

a) Obtenga la ecuacion lineal que relaciona V con t.

b) Determine el valor depreciado de la computadora despues de 3 anos de la fecha de adquisicion.

2. Al nivel del mar, la presion del agua es la misma que la del aire por encima del agua, 15 lb/pulg2. Por

debajo de la superficie, la presion aumenta en 4.34 lb/pulg2 por cada 10 pies de profundidad.

a) Obtenga una ecuacion para la relacion entre presion y profundidad por debajo de la superficie del

oceano

b) ¿A que profundidad es la presion igual a 100 lb/pulg2

3. En el puente colgante de la figura 1, la forma de los cables de suspension es parabolica. Los pilones, u

horcas (torres de apoyo), estan separados 600 metros de distancia, y el punto mas bajo de los cables

portadores esta a 150 metros por debajo del extremo superior de los pilones. Deduzca la ecuacion de la

parte parabolica de los cables, colocando el origen del sistema de coordenadas en el vertice.

Figura 1.1:



4. El telescopio Hale, del observatorio del Monte Palomar, tiene un espejo de 200 pulgadas de diametro, como

se ve en la figura 2. Ese espejo tiene una forma parabolica que concentra la luz de las estrellas en el foco

primario, el cual es el foco de la parabola. El espejo tiene 3.79 pulgadas de profundidad en el centro.

Calcule la distancia focal del espejo parabolico, que es la distancia del vertice al foco.

Figura 1.2:

5. El fronton de una puerta se construye con la forma de la mitad superior de una elipse, como se ve en la

figura 3. El fronton tiene 20 pulgadas de alto en su punto de maxima altura, y 80 pulgadas de ancho en

su base. Calcule la altura del fronton a 25 pulgadas del centro de la base.

Figura 1.3:

6. Para un objeto en orbita elıptica en torno a la Luna, los puntos de la orbita que estan mas cerca y mas

lejos del centro de la Luna se llaman perilunio y apolunio, respectivamente. Son los vertices de la orbita.

El centro de la luna esta en uno de los focos de la orbita. La nave espacial Apollo 11 se puso en orbita

lunar cuyo perilunio estaba a 68 millas y el apolunio a 195 millas de la superficie del satelite. Suponiendo

que la Luna es una esfera de 1075 millas de radio, deduzca una ecuacion de la orbita de la Apollo 11.

Figura 1.4:



7. Luz de una lampara forma un area iluminada en la pared, como se ve la figura 5. ¿Por que el contorno de

esta area iluminada es una hiperbola? ¿Como se debe sujetar una lampara sorda para que su haz luminoso

forme una hiperbola en el suelo.

Figura 1.5:

8. Algunos cometas, como el Halley, son parte permanente del sistema solar, y describen orbitas elıpticas en

torno al Sol. Otros atraviesan el sistema solar solo una vez, y describen una trayectoria hiperbolica, con el

Sol un uno de sus focos. La figura 6 muestra la trayectoria de uno de esos cometas. Deduzca una ecuacion

de la trayectoria, suponiendo que el maximo acercamiento del cometa al Sol es d2 2× 109 millas, y que la

trayectoria que traıa antes de acercarse al sistema solar forma un angulo recto con la trayectoria con que

continua despues de dejar el sistema.

Figura 1.6:


Unidad 2. Funciones

� Sesion 9. Producto cartesiano y definicion de relacion �

1. Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b} encuentre:

a) A×B b) B ×A c) A×A d) B ×B

2. Sean X = {2, 3, 4} y Y = {3, 4, 5, 6, 7} encuentra y representa en un diagrama sagital el conjunto relacion

ℜ que esta dado por:

a) Si x divide a y con residuo cero

b) 2x+ 1 > y + 3

3. Explica con tus propias palabras ¿que es una relacion?

� Sesion 10. Definicion de funcion, dominio y rango �

1. Expresa el concepto de funcion.

2. Determina si la terna (A,B, f) define una funcion y da las razones que te permiten concluir.

a) A = {a, b, c}, B = {3, 6, 12, 15} y la regla de correspondencia f(a) = 3, f(b) = 6,

f(c) = 12, f(b) = 15

a

b

c

3

6

12

15

Af

B

7

2. Funciones

b) A = {−1, 0, 1, 2}, B = {5} y la regla de correspondencia f(−1) = 5, f(0) = 5,

f(1) = 5, f(2) = 5

−1

0

1

2

5

Af

B

3. Especifique el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = 7− 3x

b) y = −54x−1

c) h(x) =√−x

d) y = 5x2 + 3x− 7

e) g(x) = 2x2+2x+1

f ) q(x) = lg(x+ 2)

4. En los siguientes problemas determine si la grafica es una funcion, si lo es utilıcela para encontrar el dominio

y rango.

2

−2

2−2

a)

1

2

3

4

−1

1 2 3−1−2−3

b)

1

−1

π−π

c)

1

2

−1

−2

1 2 3

d)


2. Funciones

� Sesion 11. Funciones polinomiales y racionales �

1. Encuentre el dominio y codominio de cada funcion.

a) f(x) = 3x− 2

b) y =5

2

c) g(x) = −2x2 + x− 3

d) y =x− 3

x− 1

e) h(x) = x3 + 1

f ) y = −13

g) k(x) =x

3− 2

h) y =5− x

4x2 + 9

2. Identifique que tipo de funcion es indicando su dominio y codominio.

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

a)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

b)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1

1 2 3 4 5−1

c)

2

4

6

8

1 2 3−1−2−3

d)


2. Funciones

3. Relacione las siguientes columnas:

a) La grafica de la funcion y = x2 + x− 2 es:

b) Sea ax+ by+ c = 0 una funcion lineal, ¿cuanto

vale la pendiente?

c) ¿Que tipo de funcion es h(x) = −2

3?

d) El dominio de la funcion l(x) =6x+ 2

x3 − 8es:

e) ¿Cual es la grafica de una funcion constante?

dfff

R− {−2, 2}

Una lınea recta

Un polinomio

−c

b

Constante

R− {2}

Una parabola

−a

b

� Sesion 12. Funciones racionales (cont.) �

1. Bosqueje la grafica y obtenga el dominio, asıntotas horizontales y verticales (si existen) de las siguientes

funciones:

a) f(x) =2x3 + x− 1

x3 + x

b) y =5

x− 13

c) g(x) =−2x

4x+ 1

d) y =x4 − x2

x2 − 1

e) h(x) =1

x

f ) y = − x2 − 4

2x2 + 8

� Sesion 13. Funciones exponenciales �

1. Evalue cada expresion, redondeando a dos decimales

a) e3

b) 2−3.1

c) 0.63

2

d) 2(51.6)


2. Funciones

2. Relacione cada grafica con una de la siguientes funciones

a) y = 3x b) y = 3−x c) y = −3x d) y = 3x − 1

1

2

−1

−2

−3

−4

−5

1 2−1−2−3

i)

1

2

3

4

−1

−2

1 2−1−2−3

ii)

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2 3−1−2

iii)

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2−1−2−3

iv)

� Sesion 14. Funciones logarıtmicas �

1. Pasa de la forma exponencial a la forma logaritmica

a) 23 = 8

b) 8−1 = 18

c) ex+1 = 0.5

d) 10m = n

2. Expresa la ecuacion dada en forma de exponecial

a) log√2 2 = 2

b) log2 32 = 5

c) ln 5 = x

d) ln y = 5


2. Funciones

3. Relacione la funcion logaritmo dada con las siguientes graficas

a) y = log3 x b) y = log3 x+ 2 c) y = log3(x+ 2) d) y = − log3 x

1

2

−1

−2

3 6 9

i)

1

2

−1

−2

3 6 9

ii)

1

2

3

−1

−2

3 6 9

iii)

2

4

3 6 9

iv)

� Sesion 15. Resolucion de ecuaciones logarıtmicas �

1. Resuelva las siguientes ecuaciones

a) 13x−1 = 81

b) 2x · 2 =√2

c) 52x+1 = 125

d) 7x2+x = 49

e)(

149

)x= 7

f ) 5x2

+ 5 = 30

g) 3x2 · 9−x · 3 = 1

h) log2 16 = y

i) log 1

3

27 = y

j ) ln(x+ 1)− 1 = lnx

k) log3(x − 4) = 2


Unidad 3. Topicos selectos de trigonometrıa

� Sesion 16. Angulos y conversiones �

1. Convierta los grados en radianes.

a) 10◦

b) 15◦

c) 45◦

d) 215◦

e) 270◦

f ) −120◦

g) −230◦

h) 540

2. Convierta los radianes en grados

a) 2π9

b) 5π4

c) 11π6

d) 4π

e) 2π3

f ) 3.1π

g) 5π12

h) −2π

3. Convierte cada angulo a grados decimales con tres cifras decimales.

a) 5◦′33′′ b) 354◦8′29′′

4. Convierte cada angulo a la forma grado-minuto-segundo.

a) 3.042◦ b) 403.223◦

5. Relacione las siguientes columnas:

a) Si dos angulos son suplementarios y uno mide

la mitad del otro, ¿cuanto mide cada uno?.

b) Encuentra dos angulos complementarios, si uno

es la cuarta parte del otro.

c) Si un angulo concavo mide 354◦ cuanto mide

su angulo convexo.

d) Encuentre el angulo que es igual a su comple-

mento.

e) ¿Que angulo es igual a un quinto de su conju-

gado?

6◦

270◦ y 90◦

60◦

45◦

150◦ y 30◦

120◦ y 60◦

−6◦

72◦ y 18◦

13

3. Topicos selectos de trigonometrıa

� Sesion 17. Funciones circulares �

1. Encuentra las coordenadas para cada punto circular.

a) W (π)

b) W (6π)

c) W (−π)

d) W (3π2 )

e) W (−π2 )

f ) W (11π2 )

g) W (π4 )

h) W (π6 )

i) W (−π3 )

j ) W (2π3 )

2. Encuentra el valor exacto de cada expresion (si es que existe) sin usar calculadora.

a) cos(0)

b) sen(π6 )

c) sen(π2 )

d) tan(π3 )

e) tan(π2 )

f ) sec(0)

g) sec(π4 )

h) tan(π4 )

i) csc(0)

� Sesion 18. Graficas de funciones trigonometricas �

1. Grafique las siguientes funciones trigonometrıas y ademas determine el periodo y la amplitud.

a) y = sen(2x)

b) y = cos(

x+ π2

)

c) y = 3 sen(

2x− π3

)

d) y = − 12 cos(x)

e) y = 12 cos(x) + 3

f ) y = sen(2x)− 1

� Sesion 19. Identidades basicas �

1. Demuestra que los siguientes problemas son identidades.

a) sen(α) sec(α) = tan(α)

b) cot(υ) sec(υ) sen(υ) = 1

c) sen(−x)cos(−x) = − tan(x)



d) sen(α) = tan(α) cot(α)csc(α)

e) cot(υ) + 1 = csc(υ)(

cos(υ) + sen(υ))

f ) cos(x)−sen(x)sen(x)cos(x) = csc(x) − sec(x)

g) sen2(t)cos(t) + cos(t) = sec(t)

h) cos(x)1−sen2(x) = sec(x)

2. Convierte los siguientes problemas a formas que impliquen sen(x), cos(x) y/o tan(x) mediante identidades

de suma o resta.

a) sen(30◦ − x)

b) sen(180◦ − x)

c) tan(

x+ π3

)

3. Demuestra las identidades en los siguientes problemas.

a) [sen(x) + cos(x)]2 = 1 + sen(2x)

b) sen2(x) = 12 [1− cos(2x)]

c) 1− cos(2x) = tan(x) sen(2x)


Parte II

Soluciones

II

Unidad 1. Topicos selectos de geometrıa analıtica

�Respuestas de la sesion 1. �

1. geo

a) y = −3x+ 4

b) y = −2

5x+ 2

c) y = −4

3x+

8

3

d) y = −x+ 4

e) y = −1

3x+ 2

f ) y =3

4x+ 3

g) y = −1

2x− 1

2


1. geo

a) 3x− y = −13

b) 3x− y = 9

c) x = 3

d) 3x− 2y = 15

e) 3x− y = 4

2. geo

a) mAB = − 34 = mDC .

b) (mAB)(mBc) =(

− 34

) (

43

)

= −1.


1. a) y2 = 4x

1

2

−1

−2

1 2−1−2

x=−1

f(1,0)b

15


b) y2 = −12x

3

6

−3

−6

3 6−3−6

x=3

f(−3,0)b

c) y2 = −20x

5

10

−5

−10

5 10−5−10

x=5

f(−5,0)b

d) x2 = 10y

5

10

−5

−10

5 10−5−10

y=−5

f

(

0, 52

)

b



2. geo

a) x2 = 12y b) x2 = −28y c) y2 = −24x

3. geo

a) x2 = 8y b) y2 = −12x c) x2 = −4y

4. geo

a) x2 − 4x− 12y − 8 = 0 b) y2 + 8y − 8x+ 48 = 0


1. geo

a) F1 : (−√21, 0), F2 : (

√21, 0), LEM = 10, Lem = 4

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

b bFF1

b) F1 : (0,−√21), F2 : (0,

√21), LEM = 10, Lem = 4

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3−1−2−3

b

b F

F1



c) F1 : (−√8, 0), F2 : (

√8, 0), LEM = 6, Lem = 2

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

bb FF1

d) F1 : (0,−4), F2 : (0, 4), LEM = 10, Lem = 6

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4−1−2−3−4

b

b F

F1

2. geo

a)x2

16+

y2

9= 1

b)x2

64+

y2

121= 1

c)x2

64+

y2

28= 1

d)x2

100+

y2

170= 1




1. geo

a) (x+ 1)2 + (y + 4)2 = 64

b) x2 + y2 = 65

c) (x− 3)2 + (y + 1)2 = 32

d) (x− 7)2 + (y + 3)2 = 9

2. geo

a) C(1, −2), r = 2

b) C(0,−3), r =√7

c) C(

− 14 , 0

)

, r = 14

d) C(

− 14 , −1

)

, r = 1


1. geo

a) Es una circunferencia punto centrada en (−3, 6).

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4

bC

b) No representa lugar geometrico.

c) (x− 3)2 + (y − 4)2 = 4

1

2

3

4

5

6

7

−1

1 2 3 4 5 6−1−2

bC



d)(

x− 12

)2+ (y − 1)2 = 4

1

2

3

−1

1 2 3−1−2

bC

e)(

x− 32

)2+ (y + 5)2 = 8

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3 4 5−1−2−3

bC

f )(

x− 910

)2+ (y − 19

10 )2 =

962

100

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

bC




1. geo

a) V (0, ±1); F (0, ±√26); y = ±1

5x

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

b) V (±1, 0); F (±√2, 0); y = ±x

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

c) V (0, ±3); F (0, ±√34); y = ±3

5x

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7



d) V(

0, ± 12

)

; F(

0, ±√52

)

; y = ±1

2x

1

2

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4

e) V (± 13 , 0); F (± 5

12 , 0); y = ±3

4x

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

2. geo

a) 32x2 − 4y2 − 128 = 0

b) 324y2 − 36x2 − 11664 = 0

c) 20y2 − 36x2 − 720 = 0

d) x2 − 8y2 − 8 = 0

e) 4y2 − 4

3x2 − 1 = 0




1. a) V = −950t+ 4000

b) $1150

2. a) P = 0.434p+ 15

b) P = 195.85 pies

3. x2 = 600y

4. 659.63 pulg

5. 5√39/2 ≈ 15.6pulg.

6.x2

14, 556, 042+

y2

14551610= 1

7. a) Porque la pared corta paralelamente al cono.

b) La lampara debe de ser paralela al suelo.

8.x2

(

2×109√2−1

)2 − y2(

2×109√2−1

)2 = 1


Unidad 2. Funciones


1. –

a) A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

b) B ×A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

c) A×A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

d) B ×B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

2. –

a) ℜ = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

2

3

4

3

4

5

6

7

Af

B

b) ℜ = {(3, 3), (4, 3), (4, 4), (4, 5)}

2

3

4

3

4

5

6

7

Af

B

3. Respuesta individual

24

2. Funciones


1. Respuesta individual

2. –

a) De acuerdo a la definicion de funcion, la terna (A,B, f) no define una funcion, puesto que al elemento

b del dominio le corresponden dos (6,15) del contradominio.

b) En este caso la terna si representa una funcion, ya que a todo elemento del domino le corresponde

uno y solo un elemento del contradominio.

3. –

a) R

b) R− {14}

c) (−∞, 0]

d) R

e) R− {−1}

f ) (−2,∞)

4. –

a) No es una funcion.

b) La grafica sı determina una funcion cuyo dominio y rango estan dados por R y (0,∞) respectivamente.

c) La grafica sı determina una funcion cuyo dominio esta dado por R y su rango por (−1, 1)

d) No es una funcion.


1. –

a) D : R Cod : R

b) D : R Cod :5

2

c) D : R Cod :(

−∞,− 238

]

d) D : R− {1} Cod : R− {1}

e) D : R Cod : R

f ) D : R Cod : −13

g) D : R Cod : R

h) D : R Cod : R

2. –

a) Funcion lineal, D : R y Cod : R.

b) Funcion cuadratica, D : R y Cod : (−∞, 2].

c) Funcion cuadratica, D : R y Cod : [4,∞).

d) Funcion constante, D : R y Cod : 5.


2. Funciones

3. –

a) Una parabola

b) −a

b

c) Constante

d) R− {2}

e) Una lınea recta


1. –

a) D : R− {0}

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

x=0

y=2


2. Funciones

b) D : R− { 13}

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x= 1

3

y=0

c) D : R− {− 14}

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

x=− 1

4

y=− 1

2


2. Funciones

d) D : R

1

2

3

−1

1 2−1−2

e) D : R− {0}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

x=0

y=0

f ) D : R

1

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

y=− 1

2


2. Funciones


1. –

a) 20.09 b) 0.12 c) 0.71 d) 26.27

2. –

a) – iv) b) – iii) c) – i) d) – ii)


1. –

a) log2 8 = 3 b) log818 = −1 c) ln 0.5 = x+ 1 d) log10 n = m

2. –

a) (√2)2 b) 25 = 32 c) ex = 5 d) e5 = y

3. –

a) – i) b) – iV) c) – iii) d) – ii)


1. –

a) x = −3

b) x = − 12

c) x = 1

d) x = −2 y x = 1

e) x = − 12

f ) x = ±√2

g) x = 1

h) y = 4

i) y = −3

j ) x =1

e− 1

k) x = 13


Unidad 3. Topicos selectos de trigonometrıa


1. trig

a) 118π

b) 112π

c) 14π

d) 4336π

e) 32π

f ) − 23π

g) − 2318π

h) 3π

2. trig

a) 40◦

b) 225◦

c) 330◦

d) 720◦

e) 120◦

f ) 558◦

g) 75◦

h) −360◦

3. trig

a) 5.859◦ b) 354.141◦

4. trig

a) 3.042◦ b) 403.223◦

5. trig

a) 120◦ y 60◦

b) 72◦ y 18◦

c) 6◦

d) 45◦

e) 60◦


1. trig

a) (−1, 0)

b) (1, 0)

c) (−1, 0)

d) (0,−1)

e) (0,−1)

f ) (0,−1)

g)(

1√2, 1√

2

)

h)(√

32 , 1

2

)

i)(

12 ,−

√32

)

j )(

− 12 ,

√32

)

30


2. trig

a) 1

b) 12

c) 1

d)√3

e) N.D.1

f ) 1

g)√2

h) 1

i) N.D.


1. a) 2A = 1 y 3P = π b) A = 1 y P = 2π c) A = 3 y P = π d) A = 12 y P = 2π e) A = 1

2

y P = 2π f ) A = 1 y P = π

1

−1

π 2π−π−2π

a)

1

−1

π 2π−π−2π

b)

1

2

3

−1

−2

−3

π 2π−π−2π

c)

1

−1

π 2π−π−2π

d)

1

2

3

4

π 2π−π−2π

e)

1

−1

−2

−3

π 2π−π−2π

f)

1No Definido2Amplitud3Periodo




1. Hay diferentes demostraciones.

2. trig

a) 12

(

cos(x)−√3 sen(x)

)

b) sen(x)

c)tan(x) +

√3

1−√3 tan(x)

3. Existen diferentes posibles demostraciones.


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